Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις"

Transcript

1 Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις

2

3 Σ.Κ. ΠΗΧΩΡΙ ΗΣ Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις Κρήτη 986 Αθήνα996 Σάµος 2006

4 Απειροστικός Λογισµός Πρόχειρες Σηµειώσεις. Σ. Πηχωρίδης Στοιχειοθεσία L A TEX2ε. Γραµµατοσειρά«Τάλως». ιαγράµµατα µε το Συνεργάστηκαν οι Αγαθοκλέους Ντόλι, Βάππας Κωνσταντίνος, Βασιλειάδης Γιώργος, Γεωργουλάκη Ζαµπία, Γιαννουτάκης Κ., ασκαλοπούλου Χρ., ιδαγγέλου Νίκη, ουλάµη Ηλέκτρα, Ιακώβου Μόρφω, Κλεισιάρης Χρ., Λάιος Γιώργος, Λεντούδη Παναγιώτα, Μαράκος Κωνσταντίνος, Παλυόλυρα Ελένη, Παναγιωτάκης Ιωάννης, Πετροπούλου Σταυρούλα, Σαπέρας Νικόλας, Σγουρέλλη έσποινα, Σπιτιέρης Ροζάριος, Σπύρου Ελένη, Τζήµα Ευαγγελία, Τζιάτζιος Νικόλας, Τσακουµάγκος Κωνσταντίνος, Τσαντάκης Βασίλης. c Ηλεκτρονικής Έκδοσης: Εργαστήριο Ψηφιακής Τυπογραφίας και Μαθηµατικών Εφαρµογών, Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου, Καρλόβασι, Σάµος. Απαγορεύεται η πώληση αντιγράφων, σε οποιαδήποτε µορφή ηλεκτρονική ή έντυπη (συµπεριλαµβανοµένων των φωτοτυπιών). Επιτρέπετε η δωρεάν επαναδιανοµή του αρχείου σε ηλεκτρονική ή έντυπη µορφή, ολόκληρου ή µέρους του εφόσον δεν αφαιρείται η παρούσα σελίδα.

5 Περιεχόµενα Οι πραγµατικοί αριθµοί. Η γεωµετρική παράσταση.2 Φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί αριθµοί.3 Άρρητοι αριθµοί 2.4 Ένα αξιωµατικό σύστηµα για τους πραγµατικούς αριθµούς 3.5 Ασκήσεις 6 2 ΠραγµατικέςΣυναρτήσεις 9 2. Μερικά χρήσιµα υποσύνολα του R 9 2.α ιαστήµατα 9 2.β Εσωτερικά σηµεία Παραδείγµατα πραγµατικών συναρτήσεων. 2.2α Ακολουθίες. 2.2β Πολυωνυµικές συναρτήσεις. 2.2γ Ρητές συναρτήσεις. 2.2δ Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις 2 2.2ε Πρόσηµο (sgn) ενός πραγµατικού αριθµού 4 2.2στ Ακέραιο µέρος ενός πραγµατικού αριθµού ζ Χαρακτηριστική Συνάρτηση 6 2.2η Γραφική παράσταση συναρτήσεων Ασκήσεις 8 3 Σύγκλιση, συνέχεια 9 3. Ακολουθίες 9 3.α Σύγκλιση σε πραγµατικό αριθµό 9 3.β Σύγκλιση στο ± 20 3.γ Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών Σύγκλιση και συνέχεια συναρτήσεων α Όρια συναρτήσεων β Ιδιότητες ορίων γ Συνέχεια συναρτήσεων 3

6 Περιεχόµενα 3.2δ Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. Είδη ασυνεχειών Ορισµένα βασικά Θεωρήµατα για συνεχείς συναρτήσεις Ασκήσεις 42 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Βασικές έννοιες 45 4.α Ορισµοί και απλά παραδείγµατα 45 4.β Ο κανόνας της αλυσίδας 49 4.γ Η παράγωγος ως συνάρτηση Φυσική και γεωµετρική σηµασία της παραγώγου α Η παράγωγος στη Μηχανική Η παράγωγος ως κλίση εφαπτοµένης Ορισµένα βασικά θεωρήµατα για παραγωγίσιµες συναρτήσεις α Ταθεωρήµατατου Rôlle καιτης µέσηςτιµής β Μονότονες Συναρτήσεις γ Οι συναρτήσεις α x, x α, log δ Ηεκθετική συνάρτηση α x, α > ε Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις Ασκήσεις 87 5 Το Ολοκλήρωµα Riemann 9 5. Το πρόβληµα του εµβαδού 9 5.α Η µέθοδος της εξάντλησης 9 5.β Ο Τετραγωνισµός της παραβολής Ορισµός και βασικές ιδιότητες του ολοκληρώµατος α Ο ορισµός του Darboux Ο ορισµός του Riemann Η ολοκληρωσιµότητα των µονότονων και συνεχών συναρτήσεων α Μονότονες συναρτήσεις β Συνεχείς συναρτήσεις Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Riemann α Τα βασικά θεωρήµατα για το ολοκλήρωµα Βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης 3 5.6α Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση Ολοκλήρωση κατά µέρη Η ολοκλήρωση των ρητών συναρτήσεων α Ολοκληρώµατα που ανάγονται σε ολοκληρώµατα ρητών συναρτήσεων Το απλό εκκρεµές Ολοκλήρωση µε τη βοήθεια του υπολογιστή Γενικευµένα ολοκληρώµατα Ο ορισµόςτου log x µετη βοήθειατουολοκληρώµατος Ασκήσεις 38 vi

7 Περιεχόµενα 6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Απροσδιόριστεςµορφές κανόνεςτου de l Hospital Ακρότατα συναρτήσεων Η γεωµετρική σηµασία της δεύτερης παραγώγου α Ηµέθοδοςτου Newton γιατη λύση εξισώσεων β Μια απλή διαφορική εξίσωση Ασκήσεις 60 7 Συµπληρώµατα Τα αξιώµατα του διατεταγµένου σώµατος Οι τοµές του Dedekind Ακολουθίες Cauchy Η δεκαδική παράσταση των πραγµατικών αριθµών Το πλήθος των πραγµατικών αριθµών Η συνέχεια Darboux για την παράγωγο Ισοδυναµία ορισµών Darboux και Riemann Οµοιόµορφη συνέχεια α Σχόλια και ασκήσεις Ο τύπος του Taylor. 78 vii

8 Βιογραφικό Σηµείωµα Ο Στυλιανός Κ. Πηχωρίδης γεννήθηκε στην Αθήνα στις8οκτωβρίου940.το963πήρετοδίπλωµατου Ηλεκτρολόγου Μηχανικού από το εµπ. Από το 968 µέχρι το 97 έκανε µεταπτυχιακές σπουδές στο Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου του Σικάγου, όπου και εκπόνησε τη διδακτορική του διατριβή µε την επίβλεψη του A. Zygmund. Απότο972µέχριτο983εργάστηκεωςερευνητής στο κπε ηµόκριτος. Από το 983 και µετά διετέλεσε καθηγητής του Μαθηµατικού τµήµατος του Πανεπιστηµίου Κρήτης. Το 99 εκλέχτηκε καθηγητής του νεοσύστατου Πανεπιστηµίου της Κύπρου, στο οποίο όµως παρέµεινε µόνο κατά το ακαδηµαϊκό έτος Κατά την διάρκεια της ακαδηµαϊκής σταδιοδροµίας του δίδαξε ως επισκέπτης καθηγητής σε διάφορα πανεπιστήµια της Γαλλίας και των ηπα. Το κύριο ερευνητικό του έργου αφορά την κλασική αρµονική ανάλυση και ιδιαίτερα τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα και την συζυγή συνάρτηση. Το 980 του απονεµήθηκε το διεθνές µαθηµατικό βραβείο«prix salem». Πέθανε στις 8 Ιουνίου του 992 στη Μαδρίτη κατά την διάρκεια διεθνούς συνεδρίου Αρµονικής Ανάλυσης. viii

9 Σηµείωµα των επιµελητών Το 2002 στο Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου δόθηκε το µάθηµα L A TEXκαι Postscript.ΜετάαπόσυνεννόησηµετηνΧρυσάνθηΠηχωρίδου (αδερφή του Στέλιου Πηχωρίδη) επιλέξαµε να δώσουµε στους φοιτητές για εξάσκηση την αντιγραφή των σηµειώσεων στον Απειροστικό Λογισµό του Στέλιου Πηχωρίδη. Συνεργάστηκαν πολλοί φοιτητές και γράφτηκε το µεγαλύτερο µέρος του κειµένου. Από εκείνο το σηµείο έπρεπε να γίνουν διάφορα πράγµατα: να διορθωθεί ο κώδικας που είχαν γράψει οι φοιτητές ο οποίος, όπως ήταν φυσικό, είχε πολλά TEXνικά λάθη, να συµπληρωθούν όσα κοµµάτια δεν είχαν αντιγραφεί, να κατασκευαστούν τα σχήµατα σε ηλεκτρονική µορφή, να σχεδιαστεί (TEXνικά) η παρούσα έκδοση, να κατασκευαστεί η γραµµατοσειρά που θα χρησιµοποιούσαµε, να γίνει αντιπαραβολή του κειµένου µε το πρωτότυπο. Τα δυο τελευταία αποτελούσαν και το δυσκολότερο µέρος του εγχειρήµατος. Η αντιπαραβολή έγινε γραµµή-γραµµή µε το πρωτότυπο κείµενο όπως αυτό εµφανίζεται στην πρώτη χειρόγραφη έκδοση από τις Εκδόσεις Σύγχρονη Εποχή. Γλωσσικές αλλαγές δεν έγιναν. Έγιναν όµως αλλαγές που σχετίζονται µε την ορθογραφία και το συντακτικό καθώς και αλλαγή των περισσοτέρων συντµήσεων σε πλήρεις εκφράσεις(«για παράδειγµα» αντί για«π.χ.», κ.λπ.). Έγιναν επίσης µερικές(λίγες) επεµβάσεις στο µαθηµατικό περιεχόµενο του βιβλίου. Συγκεκριµένα όσα(προφανή) λάθη εντοπίσαµε κατά την αντιπαραβολή µε το πρωτότυπο τα διορθώσαµε. Για παράδειγµα, στο κεφάλαιο 7 ο ορισµός του πεπερασµένου συνόλου δεν ήταν σωστός. Το πρωτότυπο έγραφε ότι ένα σύνολοείναιπεπερασµένοανείναισεέναπροςένακαιεπίαντιστοιχίαµετο σύνολο των φυσικών αριθµών(δες πρωτότυπο). Όταν ο Στέλιος Πηχωρίδης σταµάτησε τη δακτυλογράφηση των σηµειώσεών του, εµφανίστηκε στο Τµήµα Μαθηµατικών της Κρήτης ο πρώτος ίσως υπολογιστής στην Ελλάδα που έτρεχε το πρόγραµµα TEX µε µερική (αλλά σε ix

10 Σηµείωµα των επιµελητών ικανοποιητικό βαθµό) υποστήριξη για τα ελληνικά. Το µηχάνηµα, ένα vms, ονοµαζόταν Τάλως και οι χρήστες εργαζόταν σε αυτό µέσω των λεγόµενων «dummy terminals». Για τα αγγλικά το TEX χρησιµοποιούσε τις γραµµατοσειρές του Knuth αλλά για τα ελληνικά είχε µια πολύ ιδιαίτερη γραµµατοσειρά. Τοµηχάνηµα,και η εγκατάστασητου TEX που είχε, ήταν σε χρήσηµέχρι το 998, οπότε και αποσύρθηκε. Σε αυτό το µηχάνηµα, µε την ιδιαίτερη εκείνη γραµµατοσειρά για τα ελληνικά, γράφτηκαν πολλές εργασίες(για παράδειγµα φοιτητών) όπως και σηµειώσεις από τους διδάσκοντες. Είµαστε σίγουροι πως πολλοί συνάδελφοι έχουν ακόµα εκτυπώσεις από τον Τάλω. Για ιστορικούς λόγους λοιπόν αποφασίσαµε τις σηµειώσεις του Στέλιου Πηχωρίδη να τις αναπαραγάγουµε µε εκείνη τη γραµµατοσειρά. Η γραµµατοσειρά αυτή έχει χαθεί. Έτσι έπρεπε να επανασχεδιαστεί από την αρχή µε βάση εκτυπώσεις από τον Τάλω που είχαµε κρατήσει. Εκτός όµως από την µερική υποστήριξη που παρείχε, της προσθέσαµε διάφορα πράγµατα που έλλειπαν, όπως τονισµένα κεφαλαία, πεζοκεφαλαία κ.α. Οι σηµειώσεις του Στέλιου Πηχωρίδη χρησιµοποιήθηκαν για αρκετά χρόνια στο Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης, για την διδασκαλία του µαθήµατος του Απειροστικού Λογισµού, και µια ολόκληρη γενιά αποφοίτων του Πανεπιστηµίου Κρήτης, είχαν µια πρώτη επαφή µε την αυστηρή Ανάλυση, µέσα από τις σελίδες αυτών των σηµειώσεων. Σήµερα λοιπόν παρουσιάζουµε αυτό το κείµενο όπως νοµίζουµε ότι θα το είχε παρουσιάσει εκείνος αν ζούσε και µετέφερε τα αρχεία του στον Τάλω. Ελπίζουµε ότι εκτός από την, ιδιότυπη ίσως, απόδοση τιµής στη µνήµη του, οι σηµειώσεις αυτές στην νέα, και ίσως πιο ελκυστική µορφή τους, θα αποτελέσουν ουσιαστικό βοήθηµα για τους νεώτερους µαθηµατικούς. Αριστείδης Κοντογεώργης Αντώνης Τσολοµύτης Καρλόβασι, Σάµος x

11 Σηµείωµα των επιµελητών της πρώτης έκδοσης Ο Στέλιος Πηχωρίδης( ) ήλθε στο Πανεπιστήµιο Κρήτης το 983. Υπήρξε καθηγητής του Μαθηµατικού τµήµατος, στο οποίο δίδασκε κάθε εξά- µηνο και από ένα διαφορετικό µάθηµα. Γιαπολλάαπόαυτάταµαθήµατα(καιιδιαίτεραγιαταµαθήµατατηςΑνάλυσης) έγραψε διδακτικές σηµειώσεις, µερικές από τις οποίες χρησιµοποιούνται ακόµη από άλλους διδάσκοντες, αλλά όχι συστηµατικά. Εξαίρεση αποτελούν οι «πρόχειρες σηµειώσεις» που έγραψε ο Στέλιος την άνοιξη του 985 για το µάθηµα«απειροστικός Λογισµός Ι» και καθιερώθηκαν από τότε ως ένα από τα βασικά βοηθήµατα των πρωτοετών φοιτητών τόσο του Μαθηµατικού Τµήµατος, όσο και του τµήµατος της Επιστήµης των Υπολογιστών του Πανεπιστηµίου Κρήτης. Μάλιστα, από όσο γνωρίζουµε, τις ίδιες σηµειώσεις χρησιµοποιούν και στο Μαθηµατικό Τµήµα του Πανεπιστηµίου Κύπρου. Ας τονίσουµε, όµως, εδώ ότι και ο ίδιος ο Στέλιος τις σηµειώσεις αυτές τις φρόντισε ιδιαίτερα από την αρχή. Μ αυτό εννοούµε ότι είναι οι µόνες σηµειώσεις του, για τις οποίες θέλησε να αντικαταστήσει το αρχικό του χειρόγραφο µε ένα πιο ευπαρουσίαστο κείµενο(ο ίδιος δεν θεωρούσε τα γράµµατα του ευανάγνωστα και ο αναγνώστης µπορεί να κρίνει µόνος του από µερικές ασκήσεις που, εκ των υστέρων, πρόσθεσε ο Στέλιος σε κάποια κεφάλαια). Έτσι άρχισε να δακτυλογραφεί µόνος του τα χειρόγραφα, αλλά οι δυσκολίες που συνάντησε τον ανάγκασαν, µετά τις 29 πρώτες σελίδες να σταµατήσει. Το υπόλοιπο κείµενο γράφτηκε από τη Γιάννα Κυρέζη, υποψήφια φοιτήτρια τότε του Μαθηµατικού Τµήµατος, η οποία αντέγραψε µε τον ωραίο γραφικό χαρακτήρα τις ιδιόχειρες σηµειώσεις του Στέλιου. Παράτηνεπιµέλεια,όµως,καιτηνφροντίδαµετηνοποίαοΣτέλιοςετοί- µαζε τις σηµειώσεις του, ουδέποτε συµφώνησε να εκδώσει σε βιβλίο κάποιες από αυτές. Η απάντηση του στις προτροπές πολλών συναδέλφων του ήταν πάντοτε η εξής: «Αυτές δεν είναι ούτε καν σηµειώσεις. Είναι πρόχειρες ση- µειώσεις. Είναι γραµµένες αναγκαστικά σε πολύ µικρό χρονικό διάστηµα και ακολουθούν υποχρεωτικά το περιεχόµενο και τους στόχους, που την στιγµή αυτήπρόβλεπεοοδηγόςσπουδώνµας.ανκάποτεέχωτονχρόνοκαιαποφασίσω ΕκδόσειςΣύγχρονη Εποχή,996 xi

12 Σηµείωµα των επιµελητών της πρώτης έκδοσης να γράψω ένα βιβλίο για παράδειγµα για τον Απειροστικό Λογισµό, δεν είµαι καθόλου σίγουρος ότι θα µοιάζει και πολύ µε τις τωρινές µου σηµειώσεις» υστυχώς, η ζωή δεν έδωσε στον Στέλιο την ευκαιρία αυτή. Μας έµειναν µόνο οι«πρόχειρες σηµειώσεις» του. Έτσι, στην Ηµερίδα που διοργάνωσε το Μαθηµατικό τµήµα του Πανεπιστηµίου Κρήτης, στις 7 Μαΐου 993, στην µνήµη του Στέλιου, διατυπώθηκε από πολλούς η άποψη να εκδοθούν σε βιβλίο τουλάχιστον οι σηµειώσεις του Απειροστικού Λογισµού. Όλοι συµφώνησαν για µια τέτοια έκδοση και µάλιστα έδωσαν στον Μανόλη Κατσοπρινάκη αρκετές παρατηρήσεις τους, για κάποιες παραλήψεις, αβλεψίες και διευκρινίσεις που κατά την γνώµη τους έπρεπε να µπουν στο κείµενο. Με αυτό τον τρόπο, όµως, µαζεύτηκαν (εκτός από κάποιες ουσιαστικές διορθώσεις, που έπρεπε να γίνουν και τις περισσότερες από τις οποίες τις γνώριζε ήδη και ο Στέλιος) από την µία αρκετές ακόµα επεξηγήσεις και λεπτοµέρειες, και από την άλλη ένας µεγάλος αριθµός ασκήσεων, που η ενσωµάτωσή τους µέσα στο κείµενο θα άλλαζε αρκετά το ύφος του συγγραφέα. Για τον λόγω αυτό αποφασίσαµε να εκδοθεί τώρα το πρωτότυπο κείµενο, αφού κάναµε µόνο µερικές απαραίτητες διορθώσεις σε αυτό, µε τέτοιο τρόπο ώστε να µπορεί να διαβαστεί και ταυτόχρονα να φαίνονται τα σηµεία όπου έγιναν οι διορθώσεις. Για διευκόλυνση του αναγνώστη προσθέσαµε περιεχόµενα µε βάση τους τίτλους του κειµένου. Έτσι, παραδίνουµε στον καλοπροαίρετο αναγνώστη φωτογραφική µεταφορά του πρωτοτύπου κειµένου, ελπίζοντας να µας συγχωρέσει για όσες άλλες διορθώσεις διαπιστώσει ότι δεν κάναµε. Ο ίδιος οστέλιοςέβαζεπρώτηάσκησηστουςφοιτητές τουνατουβρουνόσογίνεται περισσότερα σφάλµατα(«λάθη», όπως έλεγε) στις σηµειώσεις του. Μια τέτοια έκδοση, χωρίς ιδιαίτερα πολλές µεταβολές και αλλοιώσεις του αρχικού κειµένου, ανταποκρίνεται και σε επιθυµία της αδελφής του Στέλιου, Χρυσάνθης Πηχωρίδου, η οποία και ανέλαβε να την προωθήσει. Ας ευχηθούµε ότι µελλοντικά θα παρουσιαστεί µια έκδοση βελτιωµένη και επιµεληµένη, σύµφωνα µε τις παρατηρήσεις των συναδέλφων που δίδαξαν αυτές τις σηµειώσεις. εκέµβριος 995 Οι µαθητές του Στέλιου Πηχωρίδη Μανόλης Κατσοπρινάκης και Σταύρος Παπαδόπουλος xii

13 Εισαγωγή Σκοπός του µέρους του Απειροστικού Λογισµού µε το οποίο θα ασχοληθούµε είναι η µελέτη ορισµένων βασικών ιδιοτήτων των πραγµατικών συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής. Στους περισσότερους κλάδους των Μαθηµατικών αρχίζουµε µε τη µελέτη ενός βασικού συνόλου, τα στοιχεία του οποίου ικανοποιούν κάποιες θεµελιώδεις σχέσεις, τις οποίες δεχόµαστε αξιωµατικά. Στη συνέχεια προχωρούµε στη µελέτη συναρτήσεων οι οποίες ορίζονται σε κατάλληλα υποσύνολα του βασικού αυτού συνόλου. Στον Απειροστικό Λογισµό το βασικό σύνολο είναι το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. Στο σηµείο αυτό πρέπει να κάνουµε δύο παρατηρήσεις: (i) Ιστορικά η ανάπτυξη του Απειροστικού Λογισµού, καθώς και των περισσοτέρων άλλων κλάδων των Μαθηµατικών, δεν έγινε µε αυτό τον τρόπο. Αν και η αξιωµατική µέθοδος στα Μαθηµατικά πρωτοεµφανίστηκε από τους κλασσικούς χρόνους (και παρέµεινε σαν µέθοδος στα Μαθηµατικά ουσιαστικά µοναδική),η «αξιωµατικοποίηση» του Απειροστικού Λογισµού επιτεύχθηκε µόλις στο τέλος του περασµένου αιώνα. (ii) Τόσο το βασικό σύνολο όσο και οι κλάσεις συναρτήσεων που µελετάµε στους διάφορους κλάδους των Μαθηµατικών µέχρι σήµερα, έχουν άµεση σχέση τόσο µε άλλους κλάδους των Μαθηµατικών όσο και µε άλλες επιστήµες. Π.χ. τα πρώτα ίχνη του Απειροστικού Λογισµού στην κλασσική εποχή ήταν άµεσα συνδεδεµένα µε τη Γεωµετρία(µήκος περιφέρειας, εµβαδά και όγκοι γεωµετρικών σχηµάτων κ.λ.π.) Η σηµαντική ανάπτυξη που γνώρισε ο κλάδος µετά την Αναγέννηση υπαγορεύτηκε σε πολύ µεγάλο βαθµό από ανάγκες Φυσικών Επιστηµών (Αστρονοµία, Μηχανική,...). εν υπάρχει αµφιβολία ότι ο Απειροστικός Λογισµός αποτελεί ένα από τα σηµαντικότερα επιστηµονικά επιτεύγµατα του ανθρώπου. Ξεκινώντας από διαισθητικά απλές και γενικά παραδεκτές αρχές, πετυχαίνει µια σύνθεση που προκαλείθαυµασµότόσογιατηλογικήενότητάτηςόσοκαιγιατονπλούτοτων xiii

14 Εισαγωγή αποτελεσµάτων της. Οι εφαρµογές του και η αλληλεπίδραση µε άλλους κλάδους της επιστήµης, σε ολοένα και αυξανόµενο ρυθµό, είναι αναρίθµητες και αναντικατάστατες. Είναι απολύτως απαραίτητο να κατανοήσει ο νεοεισαγόµενος στο θέµα και τις δύο αυτές όψεις της θεωρίας. Η κάθε µία, όσο σηµαντική και ενδιαφέρουσα και να είναι, µόνη της οδηγεί είτε σε ένα όµορφο, αλλά ίσως άχρηστο κοµψοτέχνηµα, ή σε ένα απέραντο δάσος από λογικά σωστούς, και ίσως αποκρουστικούς, τύπους, που η µόνη σηµασία τους θα είναι ότι είναι «αναγκαίο κακό». xiv

15 Ã Ä ÁÇ Οι πραγµατικοί αριθµοί. Η γεωµετρική παράσταση Θεωρούµεδύοδιαφορετικάσηµεία O και E,το E δεξιάτου O,πάνωσεµια ευθεία X X. Μπορούµε να θεωρήσουµε τους πραγµατικούς αριθµούς σαν τα σηµεία αυτής της ευθείας. Η διαισθητική εικόνα που έχουµε στο µυαλό µας είναι να αντιστοιχίσουµε σε κάθε σηµείο M της X X την απόσταση του M από το O, αν το M βρίσκεται δεξιά από το O (Σχήµα.) και πάρουµε το OE για µονάδα. x N 0 E M x Σχήµα. Έτσι, για παράδειγµα, το M αντιστοιχεί (προσεγγιστικά) στον αριθµό 2,5 καιτο N στον 0,5..2 Φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί αριθµοί Η µελέτη των πραγµατικών αριθµών αρχίζει συνήθως µε το σύνολο N των φυσικών αριθµών, 2, 3, 4,... Το άθροισµα και το γινόµενο δύο φυσικών είναι πάντοτε ένας φυσικός αριθµός. Αν στους φυσικούς επισυνάψουµε το 0 και τους αντίθετούς τους, παίρνουµε το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών 0, ±, ±2,...Τοάθροισµα,τογινόµενοκαι(κατάαντίθεσηπροςτουςφυσικούς) η διαφορά δύο ακεραίων είναι πάντοτε ένας ακέραιος αριθµός. Αν στους ακεραίουςεπισυνάψουµεκαιόλατακλάσµατα m/n,όπου m, nακέραιοικαι n 0,

16 . Οι πραγµατικοί αριθµοί τότε παίρνουµε το σύνολο Q των ρητών αριθµών. Εκτός του αθροίσµατος, του γινοµένου και της διαφοράς τώρα και το πηλίκο (κατά αντίθεση προς τους ακεραίους)δύορητών q/r, όπου r 0,είναι πάντοτερητόςαριθµός. Απλές γεωµετρικές κατασκευές στο επίπεδο δίνουν τη γεωµετρική παράσταση των ρητών αριθµών. Στο Σχήµα.2, για παράδειγµα, βλέπουµε την κατασκευή του ρητού 2/3(σηµείο Λ). Ξ N M x O Λ E x Σχήµα.2.3 Άρρητοιαριθµοί Ήδη από την αρχαιότητα ανακαλύφτηκαν πραγµατικοί αριθµοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί. Για παράδειγµα, το µήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου µε πλευρά δεν είναι ρητός αριθµός. Η πολύ ωραία απόδειξη αυτού του θεωρήµατος είναι γνωστή από τους κλασσικούς χρόνους και έχει ως εξής: Αν γράψουµε x για το µήκος της διαγωνίου, τότε θα έχουµε(πυθαγόρειο θεώρηµα) x 2 = = 2. Ας υποθέσουµε λοιπόν, για να οδηγηθούµε σε άτοπο, ότι ο x είναι ρητός, δηλαδή x = m/n όπου m, n ακέραιοι µε n 0. Απλοποιώντας, αν χρειαστεί, το κλάσµα m/n µπορούµε ακόµη να υποθέσουµε ότι «οι m και n δεν είναι καιοι δύοζυγοί».θαέχουµελοιπόν 2 = m 2 /n 2 ή m 2 = 2n 2 και εποµένωςοm 2, άρακαι ο m, είναι ζυγός,δηλαδή m = 2m για κάποιο ακέραιο m. Τότεόµως 2n 2 = 4m 2 ή n 2 = 2m 2 και εποµένως ο n 2, άρακαι ο n, είναι ζυγός. Φτάσαµε λοιπόν σε άτοπο και έτσι συµπεραίνουµε ότι ο x δεν είναι ρητός. Οι πραγµατικοί αριθµοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί λέγονται άρρητοι. 2

17 .4 Ένα αξιωµατικό σύστηµα για τους πραγµατικούς αριθµούς Το σύνολο όλων των πραγµατικών, ρητών και αρρήτων, θα συµβολίζουµε µετογράµµα R.Από ταόσαείπαµε µέχριτώραγίνεται φανερόότι N Z Q R. Μόνο η σχέση Q R δεν είναι τετριµµένη. Είναι όµως άµεση συνέπεια της προηγούµενης πρότασης..4 Ένα αξιωµατικό σύστηµα για τους πραγµατικούς αριθµούς Ένας τρόπος αυστηρής εισαγωγής των πραγµατικών αριθµών θα ήταν να δώσουµε ένα αξιωµατικό χαρακτηρισµό των φυσικών αριθµών (για παράδειγµα, µε τα λεγόµενα αξιώµατα του Peano) και, στη συνέχεια, να δώσουµε µια ακριβή έννοια στις διαδοχικές επισυνάψεις νέων στοιχείων που αναφέραµε στις προηγούµενες παραγράφους. Θα µπορούσαµε, για παράδειγµα, να ορίσουµε τους ακεραίους σαν διατεταγµένα ζεύγη φυσικών (m, n) µαζί µε κατάλληλους νόµους για ισότητα, πρόσθεση και πολλαπλασιασµό ακεραίων. Στο µυαλό µας φυσικά θα έχουµε την αντιστοίχηση του (m, n) µε τον ακέραιο m n και εποµένως θα ορίζαµε : (m, n) = (m, n ) αν και µόνο αν m + n = n + m, (m, n) + (m, n ) = (m + m, n + n ), (m, n)(m, n ) = (mm + nn, mn + nm ). εν θα ακολουθήσουµε αυτήν την «κατασκευαστική» πορεία, παρά το µεγάλο ενδιαφέρον που παρουσιάζει, αλλά θα θεωρήσουµε τους πραγµατικούς α- ριθµούς σαν ένα µη κενό σύνολο R µε τις εξής χαρακτηριστικές ιδιότητες: (α) Το R είναι διατεταγµένο σώµα. (β) Κάθεµηκενόκαιφραγµένοπροςταπάνωυποσύνολοτου Rέχειάνωπέρας (αξίωµα συνέχειας). Οφείλουµε βέβαια να επεξηγήσουµε τους όρους που εµφανίζονται στον παραπάνω χαρακτηρισµό των πραγµατικών αριθµών. ιατεταγµένο σώµα. Η ιδιότητα (α) εκφράζει συνοπτικά ότι οι συνήθεις πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασµός, ύπαρξη 0,, ύπαρξη αντιθέτου και αντιστρόφου) καθώς και η σχέση διατάξεως α β είναι ορισµένες στο R και έχουν τις ιδιότητες που περιµένουµε. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωµένος µε αυτές τις ιδιότητες και γι αυτό δεν τις επαναλαµβάνουµε εδώ. (βλέπε 7.) Αξίωµα συνέχειας. Πρέπει να εξηγήσουµε τους όρους «φραγµένο προς τα πάνω» και «άνω πέρας». Έναυποσύνολο Aτου Rλέγεταιφραγµένοπροςταπάνω,ανυπάρχουν α R ώστε για κάθε x A να ισχύει, x α. Κάθε τέτοιο α λέγεται «άνω φράγµα» του A. Άνω πέρας ή supremum ενός προς τα πάνω φραγµένου συνόλου A λέγεται ένα άνω φράγµα α του A το οποίο έχει την ιδιότητα : α α για κάθε άνω φράγµα α του A (συµβολισµός: α = supa). 3

18 . Οι πραγµατικοί αριθµοί Είναι φανερό ότι το άνω πέρας, αν υπάρχει, είναι µοναδικό. Πραγµατικά αν α, α είναι άνω πέρατα ενός συνόλου (A R) τότε α α και α α δηλαδή α = α. Το αξίωµα της συνέχειας λέει, ότι για κάθε φραγµένο προς τα πάνω και µη κενό υποσύνολο των πραγµατικών A, το sup A υπάρχει (στο R). Όπως θα γίνει φανερό από τα παραδείγµατα που ακολουθούν η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει αναντικαταστήσουµε το Rµε το Q. Παραδείγµατα: Εξετάζουµε τα σύνολα A = {0,, 3}, B = {x : x < 0} Γ = {x R : x > 0x 2 < 2}, = {x R : x > 0x 2 2}, E = {x Z : x διαιρείται µε το 3} Τα A, B, Γ, είναι φραγµένα προς τα πάνω. Για A, B, για παράδειγµα, ο αριθµός 3 είναι ένα φράγµα τους(τετριµµένο). Επίσης τετριµµένο είναι να δούµεότι sup A = 3. Τα Γκαι είναιεπίσηςφραγµέναπροςταπάνω.επειδήπροφανώς Γ αρκείναδείξουµεότιτο είναιφραγµένοπροςταπάνω(καιµάλιστακάθε άνω φράγµα του είναι και άνω φράγµα του Γ γιατί;) Ισχυρίζοµαι πράγµατι ότι,γιαπαράδειγµα,το 2είναιάνωφράγµατου.Έστωπραγµατικά x πρέπει να δείξω ότι x 2. Αν όµως x > 2, τότε x 2 > 4και έτσι αποκλείεται το x ναανήκει στο, διότι τότε x 2 2 < 4 < x 2. Το αξίωµα της συνέχειας µας εξασφαλίζει ότι υπάρχουν τα sup A(= 3), sup B, sup Γ, sup. Είναιεύκολοναδούµεότι sup B = 0.Πραγµατικάαν x B,τότε x 0 άρατο0είναι άνωφράγµατου B. Αν a ένα άλλο άνω φράγµα του B, τότε αποκλείεται a < 0 (διότι τότε a/2 < 0, άρα και a/2 B, και θα έπρεπε a/2 < a, οπότε (αφού a < 0) και /2 >, που φυσικά είναι άτοπο). Συνάγουµε λοιπόν ότι 0 a που αποδεικνύει τον ισχυρισµό µας. Παρατήρηση.4. Τα παραδείγµατα A, B δείχνουν ότι το sup ενός συνόλου µπορεί να ανήκει (περίπτωση συνόλου A) ή να µην ανήκει (περίπτωση συνόλου B) στο θεωρούµενο σύνολο. Είναι φανερό ότι Γ (για παράδειγµα, Γ) άρα, από το αξίωµα της συνέχειας, υπάρχει ένας πραγµατικός αριθµός x ώστε x = sup Γ. Ισχυρισµός: x 2 = 2και x > 0. Ο ισχυρισµός δείχνει ότι υπάρχει (στο R) η «θετική τετραγωνική ρίζα του 2»,ενώγνωρίζουµεότι δενυπάρχειστο Q. Απόδειξη. Για την απόδειξη αρκεί να δείξουµε ότι και οι δύο υποθέσεις x 2 < 2και x 2 > 2οδηγούνσε άτοπο.είναιπροφανέςότι x > 0. Έστωπρώτα x 2 < 2.Θαδείξωότιυπάρχει εµε 0 < ε ώστε x+ε Γ, το οποίο προφανώς αντιφάσκει µε το ότι το x είναι το sup Γ (και άρα άνω φράγµατου Γ). Αρκεί λοιπόνναδιαλέξωτο ε ώστε 4

19 .4 Ένα αξιωµατικό σύστηµα για τους πραγµατικούς αριθµούς δηλαδή (x + ε) 2 = x 2 + 2εx + ε 2 < 2 και 0 < ε, ε(2x + ε) < 2 x 2 και 0 < ε. Αρκεί, για παράδειγµα, να πάρω ε = min {, } 2 2 x2, 2x + (min {a, b}σηµαίνειτονπιοµικρόαπότους a, bαν a b,καιτον aαν a = b. Ανάλογα ορίζεται το max{a, b}). Άσκηση: min{a, b} = a+b a b 2, max{a, b} = a+b+ a b 2. Πράγµατι µε αυτή την επιλογή του ε και επειδή υποθέσαµε x 2 < 2 θα έχουµε 0 < ε και ε(2x + ε) ε(2x + ) 2 x 2 2 2x + (2x + ) < 2 x2. Έστω τώρα x 2 > 2. Θα δείξω τώρα, για να φτάσω πάλι σε άτοπο, ότι υπάρχει ε > 0ώστε x εείναιάνωφράγµατου Γ.Αρκείλοιπόνναδιαλέξουµε το ε > 0 έτσι ώστε x ε > 0και (x ε) 2 > 2,διότι τότε για κάθε y Γ θα έχουµε y 2 < 2 < (x ε) 2, δηλαδή y < x ε. Θέλω λοιπόν να βρω ε > 0 ώστε 0 < ε < xκαι x 2 2εx + ε 2 > 2. Αρκεί, γιαπαράδειγµα,ναπάρω ε = x2 2 2x (γιατί;). Όπωςκαιστηνπερίπτωση Γτο sup υπάρχεικαιµάλιστα sup Γ sup. Αν τώρα y, τότε y 2 < 2 ή y 2 = 2. Στην πρώτη περίπτωση y Γ και άρα y sup Γ και στη δεύτερη y = sup Γ, δηλαδή y sup Γ. Και στις δύο περιπτώσεις λοιπόν συνάγουµε ότι το sup Γ είναι άνω φράγµα του, εποµένως sup supγ. Τελικά λοιπόν sup Γ = sup. Ας εξετάσουµε τέλος το σύνολο E. Είναι διαισθητικά φανερό ότι το E δεν είναι φραγµένο προς τα πάνω. Πρέπει να το δείξουµε βασιζόµενοι στα αξιώµατα πραγµατικών a και b µόνο. Παρατηρούµε κατ αρχάς ότι E = {3k : k Z}. Ας υποθέσουµε ότι το E είναιφραγµένο.επειδήτο Eείναιπροφανώςµηκενό(γιαπαράδειγµα, 3 E) θαυπάρχειτο sup E,έστω b = sup E.Τότεόµως b < bκαιάραθαυπάρχει στοιχείο του E που είναι µεγαλύτερο του b, δηλαδή θα υπάρχει k Z ώστε 3k > b.συνάγουµεότι 3(k + ) = 3k + 3 > b + 3 = b + 2 > bκαι 3(k + ) E, που είναι φυσικά άτοπο (γιατί βρήκαµε στοιχείο του E γνήσια µεγαλύτερο από το sup E). Παρατήρηση.4.2Για µη κενά σύνολα A που δεν είναι φραγµένα προς τα πάνω γράφουµε sup A = + (Το σύµβολο + διαβάζεται «συν άπειρο». Θα το συναντάµε συχνά στη συνέχεια). Θα δούµε τώρα µια διαισθητικά φανερή και πολύ σηµαντική ιδιότητα των πραγµατικών. 5

20 . Οι πραγµατικοί αριθµοί Αν ε τυχαίος θετικός πραγµατικός αριθµός και a ένας άλλος πραγµατικός τότε υπάρχειέναςφυσικός nώστε nε > a Συνήθως εκφράζουµε την ιδιότητα αυτή λέγοντας «το σώµα των πραγ- µατικών R είναι Αρχιµήδεια διατεταγµένο». Η απόδειξη είναι άµεση συνέπεια του αξιώµατος της συνέχειας και ουσιαστικά τη δώσαµε στο παραπάνω παράδειγµα E. Πραγµατικά, αν δεν υπάρχει τέτοιο n N, τότε το σύνολο A = {nε : n N} θα είναι φραγµένο προς τα πάνω και (προφανώς) µη κενό. Θαυπάρχειεποµένωςτο sup A,έστω sup A = b.επειδή b ε < b,θαυπάρχει έναστοιχείο mε, m N,του Aώστε b ε < mε,δηλαδή b < (m+)ε.αλλά (m + )ε Aκαι φτάσαµεσε άτοπο. Παρατήρηση.4.3 Μπορεί να δειχτεί ότι υπάρχουν διατεταγµένα σώµατα στα οποία δεν ισχύει η ιδιότητα αυτή. Εποµένως η ισχύς της στους πραγµατικούς αριθµούς εξαρτάται ουσιαστικά από το αξίωµα της συνέχειας(βλέπε 7.). Είναι ιστορικά ενδιαφέρον να σηµειώσουµε εδώ ότι η παραπάνω πρόταση αναφέρεται µε θαυµαστή σαφήνεια από τον Αρχιµήδη στο έργο του «Τετραγωνισµός της ορθογωνίου κώνου τοµής (παραβολής)» όπου και διαβλέπει, σε µια εποχή που κάθε άλλο παρά ξεκαθαρισµένη ήταν η έννοια του πραγµατικού αριθµού, την ανάγκη να υποθέσει την ιδιότητα αυτή αξιωµατικά. Γράφει µεταξύ άλλων symbainei de ton proeirhmenon TeOrhmatOn ekaston mhdenos hsson ton aney toytoy toy lhmmatos apodedeigmenon pepisteyke naiarkeideestanomoianpistintoytoisanag menon ton yf amon ekdidomenon (...πιστεύεται δε ότι έκαστον των ανωτέρω θεωρηµάτων δεν υστερεί των θεωρηµάτων, τα οποία απεδείχθησαν χωρίς τη βοήθειαν του λήµµατος τούτου, µου είναι δε αρκετόν, εάν τα υπ εµού ευρεθέντα θεωρήµατα έχουν τον αυτόν βαθµόν αληθείας, όπως τα ανωτέρω αναφερόµενα...(ε.σ. Σταµάτη: Αρχιµήδους τετραγωνισµός παραβολής).) Τελείως ανάλογα µε τον ορισµό των φραγµένων προς τα πάνω συνόλων και του supremum ορίζονται τα φραγµένα προς τα κάτω σύνολα και το infimum(κάτω πέρας), το οποίο συµβολίζουµε inf. Πιο συγκεκριµένα αν A Rκαιγιακάθε x A, a x,τότετο aλέγεταικάτωφράγµατου A.Το inf A είναι ένα κάτω φράγµα µεγαλύτερο ή ίσο από κάθε άλλο κάτω φράγµα. Αν γράψουµε A για το σύνολο {x : x A}, τότε είναι τετριµµένο να δούµε ότι inf A = sup( A),απ όπουσυνάγουµεάµεσατοθεώρηµα(όχιαξίωµα!): Θεώρηµα.4.4Κάθεµηκενό φραγµένοπρος τακάτωσύνολο έχεικάτωπέρας..5 Ασκήσεις. είξτε ότι για κάθε θετικό αριθµό m υπάρχει ακριβώς µία θετική τετραγωνική ρίζα του, δηλαδή ακριβώς ένας θετικός αριθµός m ώστε ( m) 2 = m. 6

21 .5 Ασκήσεις 2.Είναι οαριθµός 2 + 3ρητός;Ίδιαερώτησηγιατοναριθµό ( + ) n ( 5 ) n 5 +, n N είξτε ότι µια ικανή συνθήκη για να ισχύει η σχέση: a b < ε για a, b R και ε > 0, είναι να υπάρχει x R ώστε: a x < ε/2 και b x < ε/2. Είναι η συνθήκη αυτή αναγκαία; Αν ναι τότε βρείτε όλα τα x R πουικανοποιούντην αναγκαίασυνθήκη. 4. είξτε ότι µεταξύ δύο τυχαίων διαφορετικών πραγµατικών αριθµών υ- πάρχει ένας άρρητος. 5. είξτε ότι κάθε φραγµένο προς τα πάνω υποσύνολο του N είναι πεπερασµένο.ισχύει ηίδια ιδιότητα γιατο Z; για το Q; 6. ώστε παράδειγµα, ανάλογα µε τα παραδείγµατα της παραγράφου.4, για κάτωφράγµατακαι µελετήστε τα µετονίδιο τρόπο. 7.Πραγµατευτείτε την ύπαρξη της 2 σαν infimum ενός κατάλληλου συνόλου A. 8.Αν A R, A, και θέσουµε A = {x R : x A}, τότε inf A = sup( A) 9. ίνεται A = { αβ : 2 < α 5, 4 < β 3}. Βρείτε, αν υπάρχουν τα sup A, inf Aκαι εξετάστε ανανήκουνήόχιστο A. 0.Αν A R, A και το A δεν είναι φραγµένο προς τα πάνω, τότε ορίζουµε το sup A να είναι το σύµβολο +. είξτε ότι: sup A = + αν και µόνο αν ισχύει «για κάθε M R υπάρχει x A ώστε x > M». ώστε ανάλογοορισµόγια το inf A =..Αν θέλατε να επεκτείνετε τον ορισµό των supa, inf A στην περίπτωση A =, τι θα προτείνατε; Πάρτε για δεδοµένο ότι προτάσεις της µορφής «Π Π 2» θεωρούνται αληθείς αν η πρόταση Π είναι ψευδής, ανεξάρτητααπότο ανείναι αληθήςήόχιηπ 2. 7

22

23 Ã Ä ÁÇ 2 Πραγµατικές Συναρτήσεις 2. Μερικά χρήσιµα υποσύνολα του R Όπως αναφέραµε στην εισαγωγή, το κύριο µέληµα µας θα είναι να µελετήσουµε συναρτήσεις ορισµένες πάνω σε υποσύνολα των πραγµατικών. Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση, εννοούµε µια αντιστοίχηση µεταξύ των στοιχείων ενός σύνολου A, το οποίο θα ονοµάζουµε πεδίο ορισµού της συνάρτησης, και στοιχείων ενός σύνολου B, το οποίο θα ονοµάζουµε πεδίο τιµών, ώστε σε κάθε στοιχείο a του A να αντιστοιχεί ακριβώς ένα στοιχείο του B. Συχνά χρησιµοποιούµε τα γράµµατα f, g, h,... για συναρτήσεις και γράφουµε f(a) για το στοιχείο του πεδίου τιµών που αντιστοιχεί στο a. Πριν προχωρήσουµε σε παραδείγµατα, θα εξετάσουµε µερικά υποσύνολα του R που εµφανίζονται συνήθως σαν πεδία ορισµού. Σχεδόν πάντοτε σάυτό το µάθηµα το πεδίο τιµών B θα είναι το R (τέτοιες συναρτήσεις λέγονται πραγµατικές). 2.α ιαστήµατα Τα πεδία ορισµού των πραγµατικών συναρτήσεων θα είναι συνήθως διαστήµατα.μετονόροαυτόεννοούµευποσύνολατου Rτης µορφής: Σύνολο Σύµβολο Ονοµασία {x : α < x < β} (α, β) ανοιχτόδιάστηµα α, β {x : α < x} (α, ) ανοιχτόδιάστηµα α, {x : α > x} (, α) ανοιχτόδιάστηµα, α R (, ) Πραγµατικοί {x : α x β} [α, β] κλειστό διάστηµα α, β {x : α x} [α, ) κλειστό διάστηµα α, {x : α x} (, α] κλειστό διάστηµα, α {x : α < x β} (α, β] {x : α x < β} [α, β)

24 2. Πραγµατικές Συναρτήσεις Το προτελευταίο διάστηµα λέγεται ηµιανοιχτό (ή ηµίκλειστο) ακριβέστερα ανοιχτό αριστερά και κλειστό δεξιά. Ανάλογη ονοµασία έχει και το τελευταίο διάστηµα. Στα παραπάνω τα α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί µε α < β. Τα σύµβολα, +, διαβάζονται«µείον άπειρο» και «συν άπειρο» αντίστοιχα. 2.β Εσωτερικάσηµεία. Ένασηµείο x ενόςυποσυνόλου Aτου R λέγεται εσωτερικόσηµείο του Aαν υπάρχει ε >0ώστετοανοιχτόδιάστηµα(x ε, x + ε),πουθατοονοµάζουµε και ε-περιοχήτου x, ναπεριέχεταιστο A : (x ε, x + ε) A Παρατηρείστε ότι όλα τα σηµεία των διαστηµάτων της µορφής (α, β), (α, ), (, α), (, ) είναι εσωτερικά σηµεία. Έστω για παράδειγ- µα x (α, β), δηλαδή α < x < β. Αν γράψουµε ε = min {x α, β x}, τότε (x ε, x + ε) (α, β) (βλέπε σχήµα2.). ε ( ) ) α = x ε x x + ε β {x < x + ε x + β x = β} Σχήµα 2. Τα σηµεία των υπολοίπων διαστηµάτων είναι επίσης εσωτερικά µε πιθανή εξαίρεση κάποια άκρα. Για παράδειγµα α [α, ) αλλά οποιαδήποτε ε-περιοχή του α, (α ε, α + ε) µε ε > 0, περιέχει αριθµούς µικρότερους του α (για παράδειγµατον α ε 2 και εποµένωςδενπεριέχεται στο [α, ] (σχήµα2.2). α ε 2 ( ) ) α ε α α + ε Σχήµα 2.2 Σε πάρα πολλές περιπτώσεις η µελέτη µιας πραγµατικής συνάρτησης απλουστεύεται στα εσωτερικά σηµεία του πεδίου ορισµού της και το γεγονός αυτό δικαιολογεί την εισαγωγή αυτής της έννοιας. 0

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Βασικά Μαθηµατικά ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 04 Μαρτίου 009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα- ϑηµατικών γνώσεων που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 3 Μαρτίου 4 Εισαγωγή Ο δρόµος της ϑεωρίας της ολοκλήρωσης ξεκινά απο τον Αρχιµήδη, αλλά η πραγµατική ιστορία αρχίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα