Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις"

Transcript

1 Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις

2

3 Σ.Κ. ΠΗΧΩΡΙ ΗΣ Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις Κρήτη 986 Αθήνα996 Σάµος 2006

4 Απειροστικός Λογισµός Πρόχειρες Σηµειώσεις. Σ. Πηχωρίδης Στοιχειοθεσία L A TEX2ε. Γραµµατοσειρά«Τάλως». ιαγράµµατα µε το Συνεργάστηκαν οι Αγαθοκλέους Ντόλι, Βάππας Κωνσταντίνος, Βασιλειάδης Γιώργος, Γεωργουλάκη Ζαµπία, Γιαννουτάκης Κ., ασκαλοπούλου Χρ., ιδαγγέλου Νίκη, ουλάµη Ηλέκτρα, Ιακώβου Μόρφω, Κλεισιάρης Χρ., Λάιος Γιώργος, Λεντούδη Παναγιώτα, Μαράκος Κωνσταντίνος, Παλυόλυρα Ελένη, Παναγιωτάκης Ιωάννης, Πετροπούλου Σταυρούλα, Σαπέρας Νικόλας, Σγουρέλλη έσποινα, Σπιτιέρης Ροζάριος, Σπύρου Ελένη, Τζήµα Ευαγγελία, Τζιάτζιος Νικόλας, Τσακουµάγκος Κωνσταντίνος, Τσαντάκης Βασίλης. c Ηλεκτρονικής Έκδοσης: Εργαστήριο Ψηφιακής Τυπογραφίας και Μαθηµατικών Εφαρµογών, Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου, Καρλόβασι, Σάµος. Απαγορεύεται η πώληση αντιγράφων, σε οποιαδήποτε µορφή ηλεκτρονική ή έντυπη (συµπεριλαµβανοµένων των φωτοτυπιών). Επιτρέπετε η δωρεάν επαναδιανοµή του αρχείου σε ηλεκτρονική ή έντυπη µορφή, ολόκληρου ή µέρους του εφόσον δεν αφαιρείται η παρούσα σελίδα.

5 Περιεχόµενα Οι πραγµατικοί αριθµοί. Η γεωµετρική παράσταση.2 Φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί αριθµοί.3 Άρρητοι αριθµοί 2.4 Ένα αξιωµατικό σύστηµα για τους πραγµατικούς αριθµούς 3.5 Ασκήσεις 6 2 ΠραγµατικέςΣυναρτήσεις 9 2. Μερικά χρήσιµα υποσύνολα του R 9 2.α ιαστήµατα 9 2.β Εσωτερικά σηµεία Παραδείγµατα πραγµατικών συναρτήσεων. 2.2α Ακολουθίες. 2.2β Πολυωνυµικές συναρτήσεις. 2.2γ Ρητές συναρτήσεις. 2.2δ Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις 2 2.2ε Πρόσηµο (sgn) ενός πραγµατικού αριθµού 4 2.2στ Ακέραιο µέρος ενός πραγµατικού αριθµού ζ Χαρακτηριστική Συνάρτηση 6 2.2η Γραφική παράσταση συναρτήσεων Ασκήσεις 8 3 Σύγκλιση, συνέχεια 9 3. Ακολουθίες 9 3.α Σύγκλιση σε πραγµατικό αριθµό 9 3.β Σύγκλιση στο ± 20 3.γ Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών Σύγκλιση και συνέχεια συναρτήσεων α Όρια συναρτήσεων β Ιδιότητες ορίων γ Συνέχεια συναρτήσεων 3

6 Περιεχόµενα 3.2δ Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. Είδη ασυνεχειών Ορισµένα βασικά Θεωρήµατα για συνεχείς συναρτήσεις Ασκήσεις 42 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Βασικές έννοιες 45 4.α Ορισµοί και απλά παραδείγµατα 45 4.β Ο κανόνας της αλυσίδας 49 4.γ Η παράγωγος ως συνάρτηση Φυσική και γεωµετρική σηµασία της παραγώγου α Η παράγωγος στη Μηχανική Η παράγωγος ως κλίση εφαπτοµένης Ορισµένα βασικά θεωρήµατα για παραγωγίσιµες συναρτήσεις α Ταθεωρήµατατου Rôlle καιτης µέσηςτιµής β Μονότονες Συναρτήσεις γ Οι συναρτήσεις α x, x α, log δ Ηεκθετική συνάρτηση α x, α > ε Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις Ασκήσεις 87 5 Το Ολοκλήρωµα Riemann 9 5. Το πρόβληµα του εµβαδού 9 5.α Η µέθοδος της εξάντλησης 9 5.β Ο Τετραγωνισµός της παραβολής Ορισµός και βασικές ιδιότητες του ολοκληρώµατος α Ο ορισµός του Darboux Ο ορισµός του Riemann Η ολοκληρωσιµότητα των µονότονων και συνεχών συναρτήσεων α Μονότονες συναρτήσεις β Συνεχείς συναρτήσεις Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Riemann α Τα βασικά θεωρήµατα για το ολοκλήρωµα Βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης 3 5.6α Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση Ολοκλήρωση κατά µέρη Η ολοκλήρωση των ρητών συναρτήσεων α Ολοκληρώµατα που ανάγονται σε ολοκληρώµατα ρητών συναρτήσεων Το απλό εκκρεµές Ολοκλήρωση µε τη βοήθεια του υπολογιστή Γενικευµένα ολοκληρώµατα Ο ορισµόςτου log x µετη βοήθειατουολοκληρώµατος Ασκήσεις 38 vi

7 Περιεχόµενα 6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Απροσδιόριστεςµορφές κανόνεςτου de l Hospital Ακρότατα συναρτήσεων Η γεωµετρική σηµασία της δεύτερης παραγώγου α Ηµέθοδοςτου Newton γιατη λύση εξισώσεων β Μια απλή διαφορική εξίσωση Ασκήσεις 60 7 Συµπληρώµατα Τα αξιώµατα του διατεταγµένου σώµατος Οι τοµές του Dedekind Ακολουθίες Cauchy Η δεκαδική παράσταση των πραγµατικών αριθµών Το πλήθος των πραγµατικών αριθµών Η συνέχεια Darboux για την παράγωγο Ισοδυναµία ορισµών Darboux και Riemann Οµοιόµορφη συνέχεια α Σχόλια και ασκήσεις Ο τύπος του Taylor. 78 vii

8 Βιογραφικό Σηµείωµα Ο Στυλιανός Κ. Πηχωρίδης γεννήθηκε στην Αθήνα στις8οκτωβρίου940.το963πήρετοδίπλωµατου Ηλεκτρολόγου Μηχανικού από το εµπ. Από το 968 µέχρι το 97 έκανε µεταπτυχιακές σπουδές στο Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου του Σικάγου, όπου και εκπόνησε τη διδακτορική του διατριβή µε την επίβλεψη του A. Zygmund. Απότο972µέχριτο983εργάστηκεωςερευνητής στο κπε ηµόκριτος. Από το 983 και µετά διετέλεσε καθηγητής του Μαθηµατικού τµήµατος του Πανεπιστηµίου Κρήτης. Το 99 εκλέχτηκε καθηγητής του νεοσύστατου Πανεπιστηµίου της Κύπρου, στο οποίο όµως παρέµεινε µόνο κατά το ακαδηµαϊκό έτος Κατά την διάρκεια της ακαδηµαϊκής σταδιοδροµίας του δίδαξε ως επισκέπτης καθηγητής σε διάφορα πανεπιστήµια της Γαλλίας και των ηπα. Το κύριο ερευνητικό του έργου αφορά την κλασική αρµονική ανάλυση και ιδιαίτερα τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα και την συζυγή συνάρτηση. Το 980 του απονεµήθηκε το διεθνές µαθηµατικό βραβείο«prix salem». Πέθανε στις 8 Ιουνίου του 992 στη Μαδρίτη κατά την διάρκεια διεθνούς συνεδρίου Αρµονικής Ανάλυσης. viii

9 Σηµείωµα των επιµελητών Το 2002 στο Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου δόθηκε το µάθηµα L A TEXκαι Postscript.ΜετάαπόσυνεννόησηµετηνΧρυσάνθηΠηχωρίδου (αδερφή του Στέλιου Πηχωρίδη) επιλέξαµε να δώσουµε στους φοιτητές για εξάσκηση την αντιγραφή των σηµειώσεων στον Απειροστικό Λογισµό του Στέλιου Πηχωρίδη. Συνεργάστηκαν πολλοί φοιτητές και γράφτηκε το µεγαλύτερο µέρος του κειµένου. Από εκείνο το σηµείο έπρεπε να γίνουν διάφορα πράγµατα: να διορθωθεί ο κώδικας που είχαν γράψει οι φοιτητές ο οποίος, όπως ήταν φυσικό, είχε πολλά TEXνικά λάθη, να συµπληρωθούν όσα κοµµάτια δεν είχαν αντιγραφεί, να κατασκευαστούν τα σχήµατα σε ηλεκτρονική µορφή, να σχεδιαστεί (TEXνικά) η παρούσα έκδοση, να κατασκευαστεί η γραµµατοσειρά που θα χρησιµοποιούσαµε, να γίνει αντιπαραβολή του κειµένου µε το πρωτότυπο. Τα δυο τελευταία αποτελούσαν και το δυσκολότερο µέρος του εγχειρήµατος. Η αντιπαραβολή έγινε γραµµή-γραµµή µε το πρωτότυπο κείµενο όπως αυτό εµφανίζεται στην πρώτη χειρόγραφη έκδοση από τις Εκδόσεις Σύγχρονη Εποχή. Γλωσσικές αλλαγές δεν έγιναν. Έγιναν όµως αλλαγές που σχετίζονται µε την ορθογραφία και το συντακτικό καθώς και αλλαγή των περισσοτέρων συντµήσεων σε πλήρεις εκφράσεις(«για παράδειγµα» αντί για«π.χ.», κ.λπ.). Έγιναν επίσης µερικές(λίγες) επεµβάσεις στο µαθηµατικό περιεχόµενο του βιβλίου. Συγκεκριµένα όσα(προφανή) λάθη εντοπίσαµε κατά την αντιπαραβολή µε το πρωτότυπο τα διορθώσαµε. Για παράδειγµα, στο κεφάλαιο 7 ο ορισµός του πεπερασµένου συνόλου δεν ήταν σωστός. Το πρωτότυπο έγραφε ότι ένα σύνολοείναιπεπερασµένοανείναισεέναπροςένακαιεπίαντιστοιχίαµετο σύνολο των φυσικών αριθµών(δες πρωτότυπο). Όταν ο Στέλιος Πηχωρίδης σταµάτησε τη δακτυλογράφηση των σηµειώσεών του, εµφανίστηκε στο Τµήµα Μαθηµατικών της Κρήτης ο πρώτος ίσως υπολογιστής στην Ελλάδα που έτρεχε το πρόγραµµα TEX µε µερική (αλλά σε ix

10 Σηµείωµα των επιµελητών ικανοποιητικό βαθµό) υποστήριξη για τα ελληνικά. Το µηχάνηµα, ένα vms, ονοµαζόταν Τάλως και οι χρήστες εργαζόταν σε αυτό µέσω των λεγόµενων «dummy terminals». Για τα αγγλικά το TEX χρησιµοποιούσε τις γραµµατοσειρές του Knuth αλλά για τα ελληνικά είχε µια πολύ ιδιαίτερη γραµµατοσειρά. Τοµηχάνηµα,και η εγκατάστασητου TEX που είχε, ήταν σε χρήσηµέχρι το 998, οπότε και αποσύρθηκε. Σε αυτό το µηχάνηµα, µε την ιδιαίτερη εκείνη γραµµατοσειρά για τα ελληνικά, γράφτηκαν πολλές εργασίες(για παράδειγµα φοιτητών) όπως και σηµειώσεις από τους διδάσκοντες. Είµαστε σίγουροι πως πολλοί συνάδελφοι έχουν ακόµα εκτυπώσεις από τον Τάλω. Για ιστορικούς λόγους λοιπόν αποφασίσαµε τις σηµειώσεις του Στέλιου Πηχωρίδη να τις αναπαραγάγουµε µε εκείνη τη γραµµατοσειρά. Η γραµµατοσειρά αυτή έχει χαθεί. Έτσι έπρεπε να επανασχεδιαστεί από την αρχή µε βάση εκτυπώσεις από τον Τάλω που είχαµε κρατήσει. Εκτός όµως από την µερική υποστήριξη που παρείχε, της προσθέσαµε διάφορα πράγµατα που έλλειπαν, όπως τονισµένα κεφαλαία, πεζοκεφαλαία κ.α. Οι σηµειώσεις του Στέλιου Πηχωρίδη χρησιµοποιήθηκαν για αρκετά χρόνια στο Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης, για την διδασκαλία του µαθήµατος του Απειροστικού Λογισµού, και µια ολόκληρη γενιά αποφοίτων του Πανεπιστηµίου Κρήτης, είχαν µια πρώτη επαφή µε την αυστηρή Ανάλυση, µέσα από τις σελίδες αυτών των σηµειώσεων. Σήµερα λοιπόν παρουσιάζουµε αυτό το κείµενο όπως νοµίζουµε ότι θα το είχε παρουσιάσει εκείνος αν ζούσε και µετέφερε τα αρχεία του στον Τάλω. Ελπίζουµε ότι εκτός από την, ιδιότυπη ίσως, απόδοση τιµής στη µνήµη του, οι σηµειώσεις αυτές στην νέα, και ίσως πιο ελκυστική µορφή τους, θα αποτελέσουν ουσιαστικό βοήθηµα για τους νεώτερους µαθηµατικούς. Αριστείδης Κοντογεώργης Αντώνης Τσολοµύτης Καρλόβασι, Σάµος x

11 Σηµείωµα των επιµελητών της πρώτης έκδοσης Ο Στέλιος Πηχωρίδης( ) ήλθε στο Πανεπιστήµιο Κρήτης το 983. Υπήρξε καθηγητής του Μαθηµατικού τµήµατος, στο οποίο δίδασκε κάθε εξά- µηνο και από ένα διαφορετικό µάθηµα. Γιαπολλάαπόαυτάταµαθήµατα(καιιδιαίτεραγιαταµαθήµατατηςΑνάλυσης) έγραψε διδακτικές σηµειώσεις, µερικές από τις οποίες χρησιµοποιούνται ακόµη από άλλους διδάσκοντες, αλλά όχι συστηµατικά. Εξαίρεση αποτελούν οι «πρόχειρες σηµειώσεις» που έγραψε ο Στέλιος την άνοιξη του 985 για το µάθηµα«απειροστικός Λογισµός Ι» και καθιερώθηκαν από τότε ως ένα από τα βασικά βοηθήµατα των πρωτοετών φοιτητών τόσο του Μαθηµατικού Τµήµατος, όσο και του τµήµατος της Επιστήµης των Υπολογιστών του Πανεπιστηµίου Κρήτης. Μάλιστα, από όσο γνωρίζουµε, τις ίδιες σηµειώσεις χρησιµοποιούν και στο Μαθηµατικό Τµήµα του Πανεπιστηµίου Κύπρου. Ας τονίσουµε, όµως, εδώ ότι και ο ίδιος ο Στέλιος τις σηµειώσεις αυτές τις φρόντισε ιδιαίτερα από την αρχή. Μ αυτό εννοούµε ότι είναι οι µόνες σηµειώσεις του, για τις οποίες θέλησε να αντικαταστήσει το αρχικό του χειρόγραφο µε ένα πιο ευπαρουσίαστο κείµενο(ο ίδιος δεν θεωρούσε τα γράµµατα του ευανάγνωστα και ο αναγνώστης µπορεί να κρίνει µόνος του από µερικές ασκήσεις που, εκ των υστέρων, πρόσθεσε ο Στέλιος σε κάποια κεφάλαια). Έτσι άρχισε να δακτυλογραφεί µόνος του τα χειρόγραφα, αλλά οι δυσκολίες που συνάντησε τον ανάγκασαν, µετά τις 29 πρώτες σελίδες να σταµατήσει. Το υπόλοιπο κείµενο γράφτηκε από τη Γιάννα Κυρέζη, υποψήφια φοιτήτρια τότε του Μαθηµατικού Τµήµατος, η οποία αντέγραψε µε τον ωραίο γραφικό χαρακτήρα τις ιδιόχειρες σηµειώσεις του Στέλιου. Παράτηνεπιµέλεια,όµως,καιτηνφροντίδαµετηνοποίαοΣτέλιοςετοί- µαζε τις σηµειώσεις του, ουδέποτε συµφώνησε να εκδώσει σε βιβλίο κάποιες από αυτές. Η απάντηση του στις προτροπές πολλών συναδέλφων του ήταν πάντοτε η εξής: «Αυτές δεν είναι ούτε καν σηµειώσεις. Είναι πρόχειρες ση- µειώσεις. Είναι γραµµένες αναγκαστικά σε πολύ µικρό χρονικό διάστηµα και ακολουθούν υποχρεωτικά το περιεχόµενο και τους στόχους, που την στιγµή αυτήπρόβλεπεοοδηγόςσπουδώνµας.ανκάποτεέχωτονχρόνοκαιαποφασίσω ΕκδόσειςΣύγχρονη Εποχή,996 xi

12 Σηµείωµα των επιµελητών της πρώτης έκδοσης να γράψω ένα βιβλίο για παράδειγµα για τον Απειροστικό Λογισµό, δεν είµαι καθόλου σίγουρος ότι θα µοιάζει και πολύ µε τις τωρινές µου σηµειώσεις» υστυχώς, η ζωή δεν έδωσε στον Στέλιο την ευκαιρία αυτή. Μας έµειναν µόνο οι«πρόχειρες σηµειώσεις» του. Έτσι, στην Ηµερίδα που διοργάνωσε το Μαθηµατικό τµήµα του Πανεπιστηµίου Κρήτης, στις 7 Μαΐου 993, στην µνήµη του Στέλιου, διατυπώθηκε από πολλούς η άποψη να εκδοθούν σε βιβλίο τουλάχιστον οι σηµειώσεις του Απειροστικού Λογισµού. Όλοι συµφώνησαν για µια τέτοια έκδοση και µάλιστα έδωσαν στον Μανόλη Κατσοπρινάκη αρκετές παρατηρήσεις τους, για κάποιες παραλήψεις, αβλεψίες και διευκρινίσεις που κατά την γνώµη τους έπρεπε να µπουν στο κείµενο. Με αυτό τον τρόπο, όµως, µαζεύτηκαν (εκτός από κάποιες ουσιαστικές διορθώσεις, που έπρεπε να γίνουν και τις περισσότερες από τις οποίες τις γνώριζε ήδη και ο Στέλιος) από την µία αρκετές ακόµα επεξηγήσεις και λεπτοµέρειες, και από την άλλη ένας µεγάλος αριθµός ασκήσεων, που η ενσωµάτωσή τους µέσα στο κείµενο θα άλλαζε αρκετά το ύφος του συγγραφέα. Για τον λόγω αυτό αποφασίσαµε να εκδοθεί τώρα το πρωτότυπο κείµενο, αφού κάναµε µόνο µερικές απαραίτητες διορθώσεις σε αυτό, µε τέτοιο τρόπο ώστε να µπορεί να διαβαστεί και ταυτόχρονα να φαίνονται τα σηµεία όπου έγιναν οι διορθώσεις. Για διευκόλυνση του αναγνώστη προσθέσαµε περιεχόµενα µε βάση τους τίτλους του κειµένου. Έτσι, παραδίνουµε στον καλοπροαίρετο αναγνώστη φωτογραφική µεταφορά του πρωτοτύπου κειµένου, ελπίζοντας να µας συγχωρέσει για όσες άλλες διορθώσεις διαπιστώσει ότι δεν κάναµε. Ο ίδιος οστέλιοςέβαζεπρώτηάσκησηστουςφοιτητές τουνατουβρουνόσογίνεται περισσότερα σφάλµατα(«λάθη», όπως έλεγε) στις σηµειώσεις του. Μια τέτοια έκδοση, χωρίς ιδιαίτερα πολλές µεταβολές και αλλοιώσεις του αρχικού κειµένου, ανταποκρίνεται και σε επιθυµία της αδελφής του Στέλιου, Χρυσάνθης Πηχωρίδου, η οποία και ανέλαβε να την προωθήσει. Ας ευχηθούµε ότι µελλοντικά θα παρουσιαστεί µια έκδοση βελτιωµένη και επιµεληµένη, σύµφωνα µε τις παρατηρήσεις των συναδέλφων που δίδαξαν αυτές τις σηµειώσεις. εκέµβριος 995 Οι µαθητές του Στέλιου Πηχωρίδη Μανόλης Κατσοπρινάκης και Σταύρος Παπαδόπουλος xii

13 Εισαγωγή Σκοπός του µέρους του Απειροστικού Λογισµού µε το οποίο θα ασχοληθούµε είναι η µελέτη ορισµένων βασικών ιδιοτήτων των πραγµατικών συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής. Στους περισσότερους κλάδους των Μαθηµατικών αρχίζουµε µε τη µελέτη ενός βασικού συνόλου, τα στοιχεία του οποίου ικανοποιούν κάποιες θεµελιώδεις σχέσεις, τις οποίες δεχόµαστε αξιωµατικά. Στη συνέχεια προχωρούµε στη µελέτη συναρτήσεων οι οποίες ορίζονται σε κατάλληλα υποσύνολα του βασικού αυτού συνόλου. Στον Απειροστικό Λογισµό το βασικό σύνολο είναι το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. Στο σηµείο αυτό πρέπει να κάνουµε δύο παρατηρήσεις: (i) Ιστορικά η ανάπτυξη του Απειροστικού Λογισµού, καθώς και των περισσοτέρων άλλων κλάδων των Μαθηµατικών, δεν έγινε µε αυτό τον τρόπο. Αν και η αξιωµατική µέθοδος στα Μαθηµατικά πρωτοεµφανίστηκε από τους κλασσικούς χρόνους (και παρέµεινε σαν µέθοδος στα Μαθηµατικά ουσιαστικά µοναδική),η «αξιωµατικοποίηση» του Απειροστικού Λογισµού επιτεύχθηκε µόλις στο τέλος του περασµένου αιώνα. (ii) Τόσο το βασικό σύνολο όσο και οι κλάσεις συναρτήσεων που µελετάµε στους διάφορους κλάδους των Μαθηµατικών µέχρι σήµερα, έχουν άµεση σχέση τόσο µε άλλους κλάδους των Μαθηµατικών όσο και µε άλλες επιστήµες. Π.χ. τα πρώτα ίχνη του Απειροστικού Λογισµού στην κλασσική εποχή ήταν άµεσα συνδεδεµένα µε τη Γεωµετρία(µήκος περιφέρειας, εµβαδά και όγκοι γεωµετρικών σχηµάτων κ.λ.π.) Η σηµαντική ανάπτυξη που γνώρισε ο κλάδος µετά την Αναγέννηση υπαγορεύτηκε σε πολύ µεγάλο βαθµό από ανάγκες Φυσικών Επιστηµών (Αστρονοµία, Μηχανική,...). εν υπάρχει αµφιβολία ότι ο Απειροστικός Λογισµός αποτελεί ένα από τα σηµαντικότερα επιστηµονικά επιτεύγµατα του ανθρώπου. Ξεκινώντας από διαισθητικά απλές και γενικά παραδεκτές αρχές, πετυχαίνει µια σύνθεση που προκαλείθαυµασµότόσογιατηλογικήενότητάτηςόσοκαιγιατονπλούτοτων xiii

14 Εισαγωγή αποτελεσµάτων της. Οι εφαρµογές του και η αλληλεπίδραση µε άλλους κλάδους της επιστήµης, σε ολοένα και αυξανόµενο ρυθµό, είναι αναρίθµητες και αναντικατάστατες. Είναι απολύτως απαραίτητο να κατανοήσει ο νεοεισαγόµενος στο θέµα και τις δύο αυτές όψεις της θεωρίας. Η κάθε µία, όσο σηµαντική και ενδιαφέρουσα και να είναι, µόνη της οδηγεί είτε σε ένα όµορφο, αλλά ίσως άχρηστο κοµψοτέχνηµα, ή σε ένα απέραντο δάσος από λογικά σωστούς, και ίσως αποκρουστικούς, τύπους, που η µόνη σηµασία τους θα είναι ότι είναι «αναγκαίο κακό». xiv

15 Ã Ä ÁÇ Οι πραγµατικοί αριθµοί. Η γεωµετρική παράσταση Θεωρούµεδύοδιαφορετικάσηµεία O και E,το E δεξιάτου O,πάνωσεµια ευθεία X X. Μπορούµε να θεωρήσουµε τους πραγµατικούς αριθµούς σαν τα σηµεία αυτής της ευθείας. Η διαισθητική εικόνα που έχουµε στο µυαλό µας είναι να αντιστοιχίσουµε σε κάθε σηµείο M της X X την απόσταση του M από το O, αν το M βρίσκεται δεξιά από το O (Σχήµα.) και πάρουµε το OE για µονάδα. x N 0 E M x Σχήµα. Έτσι, για παράδειγµα, το M αντιστοιχεί (προσεγγιστικά) στον αριθµό 2,5 καιτο N στον 0,5..2 Φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί αριθµοί Η µελέτη των πραγµατικών αριθµών αρχίζει συνήθως µε το σύνολο N των φυσικών αριθµών, 2, 3, 4,... Το άθροισµα και το γινόµενο δύο φυσικών είναι πάντοτε ένας φυσικός αριθµός. Αν στους φυσικούς επισυνάψουµε το 0 και τους αντίθετούς τους, παίρνουµε το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών 0, ±, ±2,...Τοάθροισµα,τογινόµενοκαι(κατάαντίθεσηπροςτουςφυσικούς) η διαφορά δύο ακεραίων είναι πάντοτε ένας ακέραιος αριθµός. Αν στους ακεραίουςεπισυνάψουµεκαιόλατακλάσµατα m/n,όπου m, nακέραιοικαι n 0,

16 . Οι πραγµατικοί αριθµοί τότε παίρνουµε το σύνολο Q των ρητών αριθµών. Εκτός του αθροίσµατος, του γινοµένου και της διαφοράς τώρα και το πηλίκο (κατά αντίθεση προς τους ακεραίους)δύορητών q/r, όπου r 0,είναι πάντοτερητόςαριθµός. Απλές γεωµετρικές κατασκευές στο επίπεδο δίνουν τη γεωµετρική παράσταση των ρητών αριθµών. Στο Σχήµα.2, για παράδειγµα, βλέπουµε την κατασκευή του ρητού 2/3(σηµείο Λ). Ξ N M x O Λ E x Σχήµα.2.3 Άρρητοιαριθµοί Ήδη από την αρχαιότητα ανακαλύφτηκαν πραγµατικοί αριθµοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί. Για παράδειγµα, το µήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου µε πλευρά δεν είναι ρητός αριθµός. Η πολύ ωραία απόδειξη αυτού του θεωρήµατος είναι γνωστή από τους κλασσικούς χρόνους και έχει ως εξής: Αν γράψουµε x για το µήκος της διαγωνίου, τότε θα έχουµε(πυθαγόρειο θεώρηµα) x 2 = = 2. Ας υποθέσουµε λοιπόν, για να οδηγηθούµε σε άτοπο, ότι ο x είναι ρητός, δηλαδή x = m/n όπου m, n ακέραιοι µε n 0. Απλοποιώντας, αν χρειαστεί, το κλάσµα m/n µπορούµε ακόµη να υποθέσουµε ότι «οι m και n δεν είναι καιοι δύοζυγοί».θαέχουµελοιπόν 2 = m 2 /n 2 ή m 2 = 2n 2 και εποµένωςοm 2, άρακαι ο m, είναι ζυγός,δηλαδή m = 2m για κάποιο ακέραιο m. Τότεόµως 2n 2 = 4m 2 ή n 2 = 2m 2 και εποµένως ο n 2, άρακαι ο n, είναι ζυγός. Φτάσαµε λοιπόν σε άτοπο και έτσι συµπεραίνουµε ότι ο x δεν είναι ρητός. Οι πραγµατικοί αριθµοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί λέγονται άρρητοι. 2

17 .4 Ένα αξιωµατικό σύστηµα για τους πραγµατικούς αριθµούς Το σύνολο όλων των πραγµατικών, ρητών και αρρήτων, θα συµβολίζουµε µετογράµµα R.Από ταόσαείπαµε µέχριτώραγίνεται φανερόότι N Z Q R. Μόνο η σχέση Q R δεν είναι τετριµµένη. Είναι όµως άµεση συνέπεια της προηγούµενης πρότασης..4 Ένα αξιωµατικό σύστηµα για τους πραγµατικούς αριθµούς Ένας τρόπος αυστηρής εισαγωγής των πραγµατικών αριθµών θα ήταν να δώσουµε ένα αξιωµατικό χαρακτηρισµό των φυσικών αριθµών (για παράδειγµα, µε τα λεγόµενα αξιώµατα του Peano) και, στη συνέχεια, να δώσουµε µια ακριβή έννοια στις διαδοχικές επισυνάψεις νέων στοιχείων που αναφέραµε στις προηγούµενες παραγράφους. Θα µπορούσαµε, για παράδειγµα, να ορίσουµε τους ακεραίους σαν διατεταγµένα ζεύγη φυσικών (m, n) µαζί µε κατάλληλους νόµους για ισότητα, πρόσθεση και πολλαπλασιασµό ακεραίων. Στο µυαλό µας φυσικά θα έχουµε την αντιστοίχηση του (m, n) µε τον ακέραιο m n και εποµένως θα ορίζαµε : (m, n) = (m, n ) αν και µόνο αν m + n = n + m, (m, n) + (m, n ) = (m + m, n + n ), (m, n)(m, n ) = (mm + nn, mn + nm ). εν θα ακολουθήσουµε αυτήν την «κατασκευαστική» πορεία, παρά το µεγάλο ενδιαφέρον που παρουσιάζει, αλλά θα θεωρήσουµε τους πραγµατικούς α- ριθµούς σαν ένα µη κενό σύνολο R µε τις εξής χαρακτηριστικές ιδιότητες: (α) Το R είναι διατεταγµένο σώµα. (β) Κάθεµηκενόκαιφραγµένοπροςταπάνωυποσύνολοτου Rέχειάνωπέρας (αξίωµα συνέχειας). Οφείλουµε βέβαια να επεξηγήσουµε τους όρους που εµφανίζονται στον παραπάνω χαρακτηρισµό των πραγµατικών αριθµών. ιατεταγµένο σώµα. Η ιδιότητα (α) εκφράζει συνοπτικά ότι οι συνήθεις πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασµός, ύπαρξη 0,, ύπαρξη αντιθέτου και αντιστρόφου) καθώς και η σχέση διατάξεως α β είναι ορισµένες στο R και έχουν τις ιδιότητες που περιµένουµε. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωµένος µε αυτές τις ιδιότητες και γι αυτό δεν τις επαναλαµβάνουµε εδώ. (βλέπε 7.) Αξίωµα συνέχειας. Πρέπει να εξηγήσουµε τους όρους «φραγµένο προς τα πάνω» και «άνω πέρας». Έναυποσύνολο Aτου Rλέγεταιφραγµένοπροςταπάνω,ανυπάρχουν α R ώστε για κάθε x A να ισχύει, x α. Κάθε τέτοιο α λέγεται «άνω φράγµα» του A. Άνω πέρας ή supremum ενός προς τα πάνω φραγµένου συνόλου A λέγεται ένα άνω φράγµα α του A το οποίο έχει την ιδιότητα : α α για κάθε άνω φράγµα α του A (συµβολισµός: α = supa). 3

18 . Οι πραγµατικοί αριθµοί Είναι φανερό ότι το άνω πέρας, αν υπάρχει, είναι µοναδικό. Πραγµατικά αν α, α είναι άνω πέρατα ενός συνόλου (A R) τότε α α και α α δηλαδή α = α. Το αξίωµα της συνέχειας λέει, ότι για κάθε φραγµένο προς τα πάνω και µη κενό υποσύνολο των πραγµατικών A, το sup A υπάρχει (στο R). Όπως θα γίνει φανερό από τα παραδείγµατα που ακολουθούν η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει αναντικαταστήσουµε το Rµε το Q. Παραδείγµατα: Εξετάζουµε τα σύνολα A = {0,, 3}, B = {x : x < 0} Γ = {x R : x > 0x 2 < 2}, = {x R : x > 0x 2 2}, E = {x Z : x διαιρείται µε το 3} Τα A, B, Γ, είναι φραγµένα προς τα πάνω. Για A, B, για παράδειγµα, ο αριθµός 3 είναι ένα φράγµα τους(τετριµµένο). Επίσης τετριµµένο είναι να δούµεότι sup A = 3. Τα Γκαι είναιεπίσηςφραγµέναπροςταπάνω.επειδήπροφανώς Γ αρκείναδείξουµεότιτο είναιφραγµένοπροςταπάνω(καιµάλιστακάθε άνω φράγµα του είναι και άνω φράγµα του Γ γιατί;) Ισχυρίζοµαι πράγµατι ότι,γιαπαράδειγµα,το 2είναιάνωφράγµατου.Έστωπραγµατικά x πρέπει να δείξω ότι x 2. Αν όµως x > 2, τότε x 2 > 4και έτσι αποκλείεται το x ναανήκει στο, διότι τότε x 2 2 < 4 < x 2. Το αξίωµα της συνέχειας µας εξασφαλίζει ότι υπάρχουν τα sup A(= 3), sup B, sup Γ, sup. Είναιεύκολοναδούµεότι sup B = 0.Πραγµατικάαν x B,τότε x 0 άρατο0είναι άνωφράγµατου B. Αν a ένα άλλο άνω φράγµα του B, τότε αποκλείεται a < 0 (διότι τότε a/2 < 0, άρα και a/2 B, και θα έπρεπε a/2 < a, οπότε (αφού a < 0) και /2 >, που φυσικά είναι άτοπο). Συνάγουµε λοιπόν ότι 0 a που αποδεικνύει τον ισχυρισµό µας. Παρατήρηση.4. Τα παραδείγµατα A, B δείχνουν ότι το sup ενός συνόλου µπορεί να ανήκει (περίπτωση συνόλου A) ή να µην ανήκει (περίπτωση συνόλου B) στο θεωρούµενο σύνολο. Είναι φανερό ότι Γ (για παράδειγµα, Γ) άρα, από το αξίωµα της συνέχειας, υπάρχει ένας πραγµατικός αριθµός x ώστε x = sup Γ. Ισχυρισµός: x 2 = 2και x > 0. Ο ισχυρισµός δείχνει ότι υπάρχει (στο R) η «θετική τετραγωνική ρίζα του 2»,ενώγνωρίζουµεότι δενυπάρχειστο Q. Απόδειξη. Για την απόδειξη αρκεί να δείξουµε ότι και οι δύο υποθέσεις x 2 < 2και x 2 > 2οδηγούνσε άτοπο.είναιπροφανέςότι x > 0. Έστωπρώτα x 2 < 2.Θαδείξωότιυπάρχει εµε 0 < ε ώστε x+ε Γ, το οποίο προφανώς αντιφάσκει µε το ότι το x είναι το sup Γ (και άρα άνω φράγµατου Γ). Αρκεί λοιπόνναδιαλέξωτο ε ώστε 4

19 .4 Ένα αξιωµατικό σύστηµα για τους πραγµατικούς αριθµούς δηλαδή (x + ε) 2 = x 2 + 2εx + ε 2 < 2 και 0 < ε, ε(2x + ε) < 2 x 2 και 0 < ε. Αρκεί, για παράδειγµα, να πάρω ε = min {, } 2 2 x2, 2x + (min {a, b}σηµαίνειτονπιοµικρόαπότους a, bαν a b,καιτον aαν a = b. Ανάλογα ορίζεται το max{a, b}). Άσκηση: min{a, b} = a+b a b 2, max{a, b} = a+b+ a b 2. Πράγµατι µε αυτή την επιλογή του ε και επειδή υποθέσαµε x 2 < 2 θα έχουµε 0 < ε και ε(2x + ε) ε(2x + ) 2 x 2 2 2x + (2x + ) < 2 x2. Έστω τώρα x 2 > 2. Θα δείξω τώρα, για να φτάσω πάλι σε άτοπο, ότι υπάρχει ε > 0ώστε x εείναιάνωφράγµατου Γ.Αρκείλοιπόνναδιαλέξουµε το ε > 0 έτσι ώστε x ε > 0και (x ε) 2 > 2,διότι τότε για κάθε y Γ θα έχουµε y 2 < 2 < (x ε) 2, δηλαδή y < x ε. Θέλω λοιπόν να βρω ε > 0 ώστε 0 < ε < xκαι x 2 2εx + ε 2 > 2. Αρκεί, γιαπαράδειγµα,ναπάρω ε = x2 2 2x (γιατί;). Όπωςκαιστηνπερίπτωση Γτο sup υπάρχεικαιµάλιστα sup Γ sup. Αν τώρα y, τότε y 2 < 2 ή y 2 = 2. Στην πρώτη περίπτωση y Γ και άρα y sup Γ και στη δεύτερη y = sup Γ, δηλαδή y sup Γ. Και στις δύο περιπτώσεις λοιπόν συνάγουµε ότι το sup Γ είναι άνω φράγµα του, εποµένως sup supγ. Τελικά λοιπόν sup Γ = sup. Ας εξετάσουµε τέλος το σύνολο E. Είναι διαισθητικά φανερό ότι το E δεν είναι φραγµένο προς τα πάνω. Πρέπει να το δείξουµε βασιζόµενοι στα αξιώµατα πραγµατικών a και b µόνο. Παρατηρούµε κατ αρχάς ότι E = {3k : k Z}. Ας υποθέσουµε ότι το E είναιφραγµένο.επειδήτο Eείναιπροφανώςµηκενό(γιαπαράδειγµα, 3 E) θαυπάρχειτο sup E,έστω b = sup E.Τότεόµως b < bκαιάραθαυπάρχει στοιχείο του E που είναι µεγαλύτερο του b, δηλαδή θα υπάρχει k Z ώστε 3k > b.συνάγουµεότι 3(k + ) = 3k + 3 > b + 3 = b + 2 > bκαι 3(k + ) E, που είναι φυσικά άτοπο (γιατί βρήκαµε στοιχείο του E γνήσια µεγαλύτερο από το sup E). Παρατήρηση.4.2Για µη κενά σύνολα A που δεν είναι φραγµένα προς τα πάνω γράφουµε sup A = + (Το σύµβολο + διαβάζεται «συν άπειρο». Θα το συναντάµε συχνά στη συνέχεια). Θα δούµε τώρα µια διαισθητικά φανερή και πολύ σηµαντική ιδιότητα των πραγµατικών. 5

20 . Οι πραγµατικοί αριθµοί Αν ε τυχαίος θετικός πραγµατικός αριθµός και a ένας άλλος πραγµατικός τότε υπάρχειέναςφυσικός nώστε nε > a Συνήθως εκφράζουµε την ιδιότητα αυτή λέγοντας «το σώµα των πραγ- µατικών R είναι Αρχιµήδεια διατεταγµένο». Η απόδειξη είναι άµεση συνέπεια του αξιώµατος της συνέχειας και ουσιαστικά τη δώσαµε στο παραπάνω παράδειγµα E. Πραγµατικά, αν δεν υπάρχει τέτοιο n N, τότε το σύνολο A = {nε : n N} θα είναι φραγµένο προς τα πάνω και (προφανώς) µη κενό. Θαυπάρχειεποµένωςτο sup A,έστω sup A = b.επειδή b ε < b,θαυπάρχει έναστοιχείο mε, m N,του Aώστε b ε < mε,δηλαδή b < (m+)ε.αλλά (m + )ε Aκαι φτάσαµεσε άτοπο. Παρατήρηση.4.3 Μπορεί να δειχτεί ότι υπάρχουν διατεταγµένα σώµατα στα οποία δεν ισχύει η ιδιότητα αυτή. Εποµένως η ισχύς της στους πραγµατικούς αριθµούς εξαρτάται ουσιαστικά από το αξίωµα της συνέχειας(βλέπε 7.). Είναι ιστορικά ενδιαφέρον να σηµειώσουµε εδώ ότι η παραπάνω πρόταση αναφέρεται µε θαυµαστή σαφήνεια από τον Αρχιµήδη στο έργο του «Τετραγωνισµός της ορθογωνίου κώνου τοµής (παραβολής)» όπου και διαβλέπει, σε µια εποχή που κάθε άλλο παρά ξεκαθαρισµένη ήταν η έννοια του πραγµατικού αριθµού, την ανάγκη να υποθέσει την ιδιότητα αυτή αξιωµατικά. Γράφει µεταξύ άλλων symbainei de ton proeirhmenon TeOrhmatOn ekaston mhdenos hsson ton aney toytoy toy lhmmatos apodedeigmenon pepisteyke naiarkeideestanomoianpistintoytoisanag menon ton yf amon ekdidomenon (...πιστεύεται δε ότι έκαστον των ανωτέρω θεωρηµάτων δεν υστερεί των θεωρηµάτων, τα οποία απεδείχθησαν χωρίς τη βοήθειαν του λήµµατος τούτου, µου είναι δε αρκετόν, εάν τα υπ εµού ευρεθέντα θεωρήµατα έχουν τον αυτόν βαθµόν αληθείας, όπως τα ανωτέρω αναφερόµενα...(ε.σ. Σταµάτη: Αρχιµήδους τετραγωνισµός παραβολής).) Τελείως ανάλογα µε τον ορισµό των φραγµένων προς τα πάνω συνόλων και του supremum ορίζονται τα φραγµένα προς τα κάτω σύνολα και το infimum(κάτω πέρας), το οποίο συµβολίζουµε inf. Πιο συγκεκριµένα αν A Rκαιγιακάθε x A, a x,τότετο aλέγεταικάτωφράγµατου A.Το inf A είναι ένα κάτω φράγµα µεγαλύτερο ή ίσο από κάθε άλλο κάτω φράγµα. Αν γράψουµε A για το σύνολο {x : x A}, τότε είναι τετριµµένο να δούµε ότι inf A = sup( A),απ όπουσυνάγουµεάµεσατοθεώρηµα(όχιαξίωµα!): Θεώρηµα.4.4Κάθεµηκενό φραγµένοπρος τακάτωσύνολο έχεικάτωπέρας..5 Ασκήσεις. είξτε ότι για κάθε θετικό αριθµό m υπάρχει ακριβώς µία θετική τετραγωνική ρίζα του, δηλαδή ακριβώς ένας θετικός αριθµός m ώστε ( m) 2 = m. 6

21 .5 Ασκήσεις 2.Είναι οαριθµός 2 + 3ρητός;Ίδιαερώτησηγιατοναριθµό ( + ) n ( 5 ) n 5 +, n N είξτε ότι µια ικανή συνθήκη για να ισχύει η σχέση: a b < ε για a, b R και ε > 0, είναι να υπάρχει x R ώστε: a x < ε/2 και b x < ε/2. Είναι η συνθήκη αυτή αναγκαία; Αν ναι τότε βρείτε όλα τα x R πουικανοποιούντην αναγκαίασυνθήκη. 4. είξτε ότι µεταξύ δύο τυχαίων διαφορετικών πραγµατικών αριθµών υ- πάρχει ένας άρρητος. 5. είξτε ότι κάθε φραγµένο προς τα πάνω υποσύνολο του N είναι πεπερασµένο.ισχύει ηίδια ιδιότητα γιατο Z; για το Q; 6. ώστε παράδειγµα, ανάλογα µε τα παραδείγµατα της παραγράφου.4, για κάτωφράγµατακαι µελετήστε τα µετονίδιο τρόπο. 7.Πραγµατευτείτε την ύπαρξη της 2 σαν infimum ενός κατάλληλου συνόλου A. 8.Αν A R, A, και θέσουµε A = {x R : x A}, τότε inf A = sup( A) 9. ίνεται A = { αβ : 2 < α 5, 4 < β 3}. Βρείτε, αν υπάρχουν τα sup A, inf Aκαι εξετάστε ανανήκουνήόχιστο A. 0.Αν A R, A και το A δεν είναι φραγµένο προς τα πάνω, τότε ορίζουµε το sup A να είναι το σύµβολο +. είξτε ότι: sup A = + αν και µόνο αν ισχύει «για κάθε M R υπάρχει x A ώστε x > M». ώστε ανάλογοορισµόγια το inf A =..Αν θέλατε να επεκτείνετε τον ορισµό των supa, inf A στην περίπτωση A =, τι θα προτείνατε; Πάρτε για δεδοµένο ότι προτάσεις της µορφής «Π Π 2» θεωρούνται αληθείς αν η πρόταση Π είναι ψευδής, ανεξάρτητααπότο ανείναι αληθήςήόχιηπ 2. 7

22

23 Ã Ä ÁÇ 2 Πραγµατικές Συναρτήσεις 2. Μερικά χρήσιµα υποσύνολα του R Όπως αναφέραµε στην εισαγωγή, το κύριο µέληµα µας θα είναι να µελετήσουµε συναρτήσεις ορισµένες πάνω σε υποσύνολα των πραγµατικών. Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση, εννοούµε µια αντιστοίχηση µεταξύ των στοιχείων ενός σύνολου A, το οποίο θα ονοµάζουµε πεδίο ορισµού της συνάρτησης, και στοιχείων ενός σύνολου B, το οποίο θα ονοµάζουµε πεδίο τιµών, ώστε σε κάθε στοιχείο a του A να αντιστοιχεί ακριβώς ένα στοιχείο του B. Συχνά χρησιµοποιούµε τα γράµµατα f, g, h,... για συναρτήσεις και γράφουµε f(a) για το στοιχείο του πεδίου τιµών που αντιστοιχεί στο a. Πριν προχωρήσουµε σε παραδείγµατα, θα εξετάσουµε µερικά υποσύνολα του R που εµφανίζονται συνήθως σαν πεδία ορισµού. Σχεδόν πάντοτε σάυτό το µάθηµα το πεδίο τιµών B θα είναι το R (τέτοιες συναρτήσεις λέγονται πραγµατικές). 2.α ιαστήµατα Τα πεδία ορισµού των πραγµατικών συναρτήσεων θα είναι συνήθως διαστήµατα.μετονόροαυτόεννοούµευποσύνολατου Rτης µορφής: Σύνολο Σύµβολο Ονοµασία {x : α < x < β} (α, β) ανοιχτόδιάστηµα α, β {x : α < x} (α, ) ανοιχτόδιάστηµα α, {x : α > x} (, α) ανοιχτόδιάστηµα, α R (, ) Πραγµατικοί {x : α x β} [α, β] κλειστό διάστηµα α, β {x : α x} [α, ) κλειστό διάστηµα α, {x : α x} (, α] κλειστό διάστηµα, α {x : α < x β} (α, β] {x : α x < β} [α, β)

24 2. Πραγµατικές Συναρτήσεις Το προτελευταίο διάστηµα λέγεται ηµιανοιχτό (ή ηµίκλειστο) ακριβέστερα ανοιχτό αριστερά και κλειστό δεξιά. Ανάλογη ονοµασία έχει και το τελευταίο διάστηµα. Στα παραπάνω τα α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί µε α < β. Τα σύµβολα, +, διαβάζονται«µείον άπειρο» και «συν άπειρο» αντίστοιχα. 2.β Εσωτερικάσηµεία. Ένασηµείο x ενόςυποσυνόλου Aτου R λέγεται εσωτερικόσηµείο του Aαν υπάρχει ε >0ώστετοανοιχτόδιάστηµα(x ε, x + ε),πουθατοονοµάζουµε και ε-περιοχήτου x, ναπεριέχεταιστο A : (x ε, x + ε) A Παρατηρείστε ότι όλα τα σηµεία των διαστηµάτων της µορφής (α, β), (α, ), (, α), (, ) είναι εσωτερικά σηµεία. Έστω για παράδειγ- µα x (α, β), δηλαδή α < x < β. Αν γράψουµε ε = min {x α, β x}, τότε (x ε, x + ε) (α, β) (βλέπε σχήµα2.). ε ( ) ) α = x ε x x + ε β {x < x + ε x + β x = β} Σχήµα 2. Τα σηµεία των υπολοίπων διαστηµάτων είναι επίσης εσωτερικά µε πιθανή εξαίρεση κάποια άκρα. Για παράδειγµα α [α, ) αλλά οποιαδήποτε ε-περιοχή του α, (α ε, α + ε) µε ε > 0, περιέχει αριθµούς µικρότερους του α (για παράδειγµατον α ε 2 και εποµένωςδενπεριέχεται στο [α, ] (σχήµα2.2). α ε 2 ( ) ) α ε α α + ε Σχήµα 2.2 Σε πάρα πολλές περιπτώσεις η µελέτη µιας πραγµατικής συνάρτησης απλουστεύεται στα εσωτερικά σηµεία του πεδίου ορισµού της και το γεγονός αυτό δικαιολογεί την εισαγωγή αυτής της έννοιας. 0

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Μαθηµατικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 9/Γ/9-9- Υπ. Παιδείας ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος. Μετά από σχετική εισήγηση του Τµήµατος ευτεροβάθµιας

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

mail:

mail: Λογισμός Ι - Τμήμα 1Β Κ. Δασκαλογιάννης Γραφείο 18, 3ος όροφος ΣΘΕ τηλ: 2310-998074 mail: daskalo@math.auth.gr ιστοσελίδα: users.auth.gr/daskalo 2014 ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS (Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v..9 Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 4 Περιεχόμενα Πρόλογος ii Εισαγωγή iv Οριο και Συνέχεια Παράγωγος 8 3 Λογαριθµικές και Εκθετικές Συναρτήσεις 3 4 Τριγωνοµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα