Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Transcript

1 Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Τάσος Σωτηράκης, Καθηγητής Δ.Ε., 3 ο ΓΕΛ Ρόδου, tasotirakis@gmail.com Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή προτείνουμε την χρήση της Γεωμετρίας σαν εργαλείο, που θα δώσει την δυνατότητα στους μαθητές, να διατυπώσουν εικασίες σε μαθηματικά θέματα. Αναφερόμαστε αποκλειστικά στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου. Παραθέτουμε σημεία στα οποία η Γεωμετρία χρησιμοποιείται στα σχολικά βιβλία. Προτείνουμε βελτιώσεις και ταυτόχρονα τρόπους χρήση της Γεωμετρία σε θέματα που η συμβολή της είναι κατά την κρίση μας αναγκαία. ABSTRACT In this project we recommend the use of Geometry as a tool, which will give the students the ability to formulate assumptions on Mathematical issues. We refer exclusively to the Math s of 3 rd Grade of Lyceum. We present the points where Geometry is used in the school books; we propose improvements and all that same time ways to use Geometry on exercises where its contribution is, in our opinion essential. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η γεωμετρία σαν κλάδος των Μαθηματικών, αρχικά φαίνεται να είναι απόμακρος από πολλούς άλλους κλάδους. Η χρήση όμως της γεωμετρίας, μπορεί να δώσει στον εκπαιδευτικό την δυνατότητα με κατάλληλα παραδείγματα, να δημιουργήσει τις συνθήκες κάτω από τις οποίες οι μαθητές θα έχουν την δυνατότητα να κατανοήσουν τις έννοιες που θέλει να διδάξει. Αυτό έγινε φανερό στην γλωσσική μελέτη που κάναμε στα βιβλία των Μαθηματικών της πρωτοβάθμιας αλλά και της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης στη χώρα μας (Μαλλιάκας- Σωτηράκης, 2011). Διαπιστώσαμε ότι όλες οι συγγραφικές ομάδες χρησιμοποίησαν σε μεγάλο βαθμό όρους και παραδείγματα από την γεωμετρία για να μπορέσουν να εισάγουν,

2 σχεδόν στο σύνολο της διδασκόμενης ύλης, Μαθηματικές έννοιες. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι στις 25 λέξεις και εκφράσεις με την μεγαλύτερη δυναμικότητα οι 16 ανήκουν καθαρά στον κλάδο της γεωμετρίας και οι υπόλοιπες σε μεγάλο βαθμό σχετίζονται με έννοιες γεωμετρικές. Θέλοντας λοιπόν να βοηθήσουμε προς αυτή την κατεύθυνση, θα παρουσιάσουμε κάποια παραδείγματα που θεωρούμε ότι πρέπει να χρησιμοποιούνται από τους εκπαιδευτικούς. Αυτά τα παραδείγματα παρουσιάζονται με τρόπο που να είναι δυνατή η χρήση λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας, ώστε να είναι αποτελεσματικότερη η εποπτεία της διδασκόμενης έννοιας. Στα σχολικά βιβλία των Μαθηματικών Κατεύθυνσης και Γενικής Παιδείας της Γ Λυκείου εντοπίσαμε έννοιες στην θεωρία και στις ασκήσεις, που η κατανόηση τους απαιτεί γνώσεις Γεωμετρίας άμεσα ή έμμεσα. Παρουσιάζουμε αυτές τις έννοιες και ταυτόχρονα παραθέτουμε τις αντίστοιχες γεωμετρικές γνώσεις που απαιτούνται για τον χειρισμό τους. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η Ευκλείδεια Γεωμετρία εμφανίζεται συχνότερα στο κεφάλαιο των Μιγαδικών αριθμών. Σχεδόν όλες οι έννοιες και τα θέματα των μιγαδικών παραπέμπουν άμεσα ή έμμεσα σε γεωμετρικές έννοιες. Αρχικά στο κεφάλαιο των μιγαδικών συναντάμε τα εξής: Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού, όπου εμφανίζονται οι αρχικές βασικές γεωμετρικές έννοιες του σημείου, των ημιευθειών ή ευθειών-αξόνων, της προβολής, της απόστασης σημείου από σημείο ή από ευθεία, της διανυσματικής ακτίνας, του μέτρου μιγαδικού που ορίζεται μέσω απόστασης ή μήκους ευθυγράμμου τμήματος, η εικόνα του συζυγή ενός μιγαδικού μέσω συμμετρίας ως προς άξονα. Επίσης μέσω συμμετρίας επεξηγούνται οι σχέσεις z z z z καθώς και ότι οι εικόνες των z, z, z, z ορίζουν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αν z R και z I. Οι ιδιότητες των παραλληλογράμμων βοηθούν στην κατανόηση του αθροίσματος και της διαφοράς δύο μιγαδικών με τις διανυσματικές τους ακτίνες και σε συνδυασμό με το 1 ο θεώρημα διαμέσων μπορούμε να ερμηνεύσουμε και γεωμετρικά τον χρήσιμο κανόνα παραλληλογράμμου z z z z 2 z 2 z που σε ειδικές περιπτώσεις μιγαδικών έχουμε ειδικά παραλληλόγραμμα, εμφάνιση Πυθαγορείου Θεωρήματος και άλλων Θεωρημάτων της Γεωμετρίας. Η παράσταση z1 z2 εκφράζει την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z 1 και z 2 και αν οι μαθητές κατανοήσουν σωστά αυτή την έννοια

3 θα είναι προετοιμασμένοι για να κατανοήσουν όλους τους γεωμετρικούς τόπους που εμφανίζονται στην ύλη. Όλοι όσοι διδάσκουμε στο Λύκειο βλέπουμε τη μεγάλη δυσκολία των μαθητών στην κατανόηση της έννοιας του γεωμετρικού τόπου. Η έννοια πρωτοεμφανίζεται στην Γεωμετρία της Α λυκείου με ελλιπή πιστεύουμε τρόπο. Εδώ τονίζουμε ότι οι μαθητές πρέπει να διδαχθούν σε βάθος τους γεωμετρικούς τόπους με την υποστήριξη των Λογισμικών Δυναμικής Γεωμετρίας που έχουμε πια στην διάθεση μας. Η σχέση z z0 a, με α > 0 αν μεταφραστεί σωστά, ως η απόσταση της εικόνας του μιγαδικού z, από την εικόνα του σταθερού μιγαδικού z 0 είναι σταθερή, θα μας παραπέμψει εύκολα στον ορισμό του κύκλου και κατόπιν οι σχέσεις z z0 a και z z0 a θα μας οδηγήσουν φυσιολογικά στα εσωτερικά ή εξωτερικά σημεία ενός κύκλου. Ανάλογα οι σχέσεις z z1 z z2, z z1 z z2, z z1 z z2, μας δείχνουν τον ορισμό της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ή το ένα από τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει αυτή. Να σημειώσουμε ότι η περίπτωση των ημιεπιπέδων δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο της Γ Λυκείου, υπάρχει μόνο σαν άσκηση. Ο μαθητής πρέπει να το γνωρίζει από τη Γεωμετρία της Α λυκείου και να είναι σε θέση να το ερμηνεύσει μέσω τριγωνικής ανισότητας. Με αυτή την ανισότητα μπορεί επίσης να δικαιολογήσει την ιδιότητα z1 z2 z1 z2 z1 z2. Σε ασκήσεις συναντάμε επίσης και άλλους βασικούς γεωμετρικούς τόπους όπως η έλλειψη και η υπερβολή. Συμπληρωματικά αναφέρουμε, παρότι είναι εκτός διδακτέας και εξεταστέας ύλης, την έννοια του ορίσματος ενός μιγαδικού όπου συναντάμε την έννοια και της γεωμετρικής γωνίας αλλά και της γωνίας διανύσματος με άξονα x x. Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η συμμετρία ως προς άξονα είναι μια έννοια που χρησιμοποιείται αρκετά στα βιβλία των Μαθηματικών της πρωτοβάθμιας και της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Παραθέτουμε τα στοιχεία από την καταγραφή των λέξεων και φράσεων, σχετικά με την συμμετρία, που βρήκαμε στην γλωσσική έρευνα που κάναμε στα σχολικά βιβλία. Στον πίνακα φαίνονται οι εκφράσεις που βρήκαμε και σε ποια τάξη (Μαλλιάκας, κ.α., ο.π.). Η έννοια αυτή χρησιμοποιείται πάρα πολύ στους μιγαδικούς αριθμούς. Ένας μαθητής πρέπει να είναι σε θέση να αντιλαμβάνεται στο διπλανό σχήμα τις εικόνες

4 των μιγαδικών z, z, - z, - z και να κατανοεί ότι ορίζουν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Εύκολα μετά μπορεί να αντιληφθεί ότι z z z z συμμετρία συμμετρία ως προς άξονα συμμετρία ως προς κέντρο συμμετρία ως προς συμμετρίες συμμετρικά συμμετρικά σχήματα συμμετρικά ως προς κέντρο συμμετρικές παραβολές συμμετρική, ως προς τον άξονα - κέντρο συμμετρικό συμμετρικό ως προς αρχή (κέντρο) συμμετρικό ως προς ευθεία συμμετρικό ως προς την διχοτόμο συμμετρικός (γραφική παράσταση) Α δημοτικού/β δημοτικού/γ δημοτικού/ε δημοτικού/α Γυμνασίου Α Γυμνασίου/ΑΛΓ. ΑΛ ΑΛΓ. ΑΛ Γ Γυμνασίου Β Γυμνασίου Α Γυμνασίου/ΓΛ κατ Δ δημοτικού/α-β Λυκείου Γεωμετρία Α-Β Λυκείου Γεωμετρία Γ Γυμνασίου ΓΛ κατ Α-Β Λυκείου Γεωμετρία ΚΑΤ ΒΛ ΚΑΤ ΒΛ ΚΑΤ ΒΛ ΑΛΓ ΒΛ ΠΡΑΞΕΙΣ. Οι μαθητές με γεωμετρία, αντιλαμβάνονται διαισθητικά το άθροισμα και την διαφορά των μιγαδικών αριθμών κάνοντας χρήση του διπλανού σχήματος. Με τη βοήθεια του σχήματος ο κανόνας παραλληλογράμμου: z w z w 2 z 2 w αποδεικνύεται γεωμετρικά με εφαρμογή του 1 ου θεωρήματος διαμέσων στο τρίγωνο ΟΜΝ ( MN ) ( OM ) ( ON ) 2( OK ) και 2 καταλήγουμε στον κανόνα θέτοντας (ΟΜ)= z, (ON)= w, (MN)= z-w, z w OK 2 ΕΥΘΕΙΕΣ. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες τριών μιγαδικών αριθμών τότε τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν ισχύει κάποια από τις παρακάτω συνθήκες: 1. // δηλαδή det(, ) 0 2. (ΑΒ)+(ΒΓ)= (ΑΓ) δηλαδή z 2 -z 1 + z 3 -z 2 = z 3 -z 1 ή άλλος συνδυασμός.

5 ΤΡΙΓΩΝΑ. Μπορούμε να συνδέσουμε τους μιγαδικούς με τα είδη των τριγώνων. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές αν ΑΒ=ΑΓ δηλαδή z 2 -z 1 = z 3 -z 2, ή άλλος συνδυασμός. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο αν ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ δηλαδή z 2 -z 1 = z 3 -z 2 = z 3 -z 1, ή άλλος συνδυασμός. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Α=90 ο αν ΑΒ 2 +ΑΓ 2 =ΒΓ 2 δηλαδή z 2 -z z 3 -z 1 2 = z 3 -z 2 2 Μ ΕΓΙΣΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤ Α Μ ΕΤΡΑ των z και z - w Α. Αν ο z κινείται σε κύκλο (Κ, ρ) και η αρχή των αξόνων Ο είναι εκτός του κύκλου τότε Max z ( OB) ( ) xk yk 2 2 Min z ( OA) ( ) xk yk 2 2. Αν επί πλέον θέλω να βρω και τον μιγαδικό z λύνω το σύστημα κύκλου και ευθείας ΟΚ που έχει εξίσωση δουλεύω αν το Ο είναι μέσα στον κύκλο. Β. Αν ο z κινείται σε ευθεία (ε) τότε min z = (ΟΚ) = d ( O, ε ), όπου ΟΚ (ε). Εδώ το max z δεν υπάρχει. Αν δεν έχω ευθεία αλλά ευθύγραμμο τμήμα ή ημιευθεία τα παραπάνω συμπεράσματα δεν είναι βέβαια και τότε ελέγχω σύμφωνα με το σχήμα. (π.χ. αν το ίχνος Κ της καθέτου είναι εκτός του τμήματος). Ειδική περίπτωση έχω αν η ευθεία (ε) είναι της μορφής y = x + β (δηλ. παράλληλη σε μία από τις διχοτόμους), τότε το Κ είναι το μέσο του ΑΒ διότι το ΟΑΒ είναι ισοσκελές και το ύψος ΟΚ είναι και διάμεσος. Γ. Αν ο z κινείται σε έλλειψη τότε max z = α και min z = β. Αν z 1, z 2 κινούνται στην έλλειψη τότε max z 1 - z 2 = 2α. Ανάλογα δουλεύω για υπερβολή Δ. Αν ο z κινείται σε ευθεία (ε) και ο w σταθερός με εικόνα Μ. min z - w = (ΜΝ) = d (Μ, ε ), όπου ΜΝ (ε) 2 O Α y K y x k k Β x. Όμοια

6 max z - w δεν υπάρχει. Αν δεν έχω ευθεία αλλά ευθύγραμμο τμήμα ή ημιευθεία τα παραπάνω συμπεράσματα δεν είναι βέβαια και τότε ελέγχω σύμφωνα με το σχήμα (π.χ. αν το ίχνος Κ της καθέτου είναι εκτός τμήματος). Ε. Αν ο z κινείται σε κύκλο (Κ, ρ) και ο w σταθερός με εικόνα Μ. Τότε έχω Max z w ( MB) ( M ) και Min z w ( MA) ( M ) Προσέχω αν το Μ είναι εντός του κύκλου. Ζ. Αν οι z, w κινούνται σε κύκλους (Κ, R) και (Μ, ρ). Τότε έχω max z - w = (ΒΔ) = (ΚΜ) + R + ρ και min z - w = (AΓ) = (ΚΜ) R ρ. Στην περίπτωση αυτή οι z, w κινούνται ανεξάρτητα. Καλό θα είναι να βρίσκω πρώτα τη θέση των δυο κύκλων συγκρίνοντας τη διάκεντρο με το άθροισμα και τη διαφορά των ακτίνων τους και από το σχήμα θα βλέπω ακριβώς ποιο είναι το ελάχιστο και ποιο το μέγιστο μέτρο. Οι διαφορετικές σχετικές θέσεις δυο κύκλων είναι οι παρακάτω: Η. Αν ο z κινείται σε ευθεία ε και ο w σε κύκλο (Κ,R). M Τότε έχω min z-w = (AΜ) = d ( Κ, ε )-R, KM (ε) A ενώ το max z-w, δεν υπάρχει. Αν δεν έχω ευθεία αλλά K ευθύγραμμο τμήμα ή ημιευθεία τα παραπάνω Ο χ' συμπεράσματα δεν είναι βέβαια και τότε ελέγχω σύμφωνα με το σχήμα (π.χ. αν το ίχνος Κ της καθέτου εκτός τμήματος). Θ. Αν οι z, w κινούνται σε παράλληλες ευθείες ε 1 και ε 2 min z - w =(AB) =d(a, ε 2 ) = d ( ε 1, ε 2 ) max z-w δεν υπάρχει εκτός αν δεν είναι ευθείες αλλά ευθύγραμμα τμήματα. Ι. Ανάλογα δουλεύουμε αν οι z, w κινούνται σε κύκλο και έλλειψη ή σε άλλους συνδυασμούς ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Στα σχολικά βιβλία, στην Ανάλυση κυριαρχεί η γεωμετρική διαισθητική ερμηνεία διαφόρων εννοιών και θεωρημάτων και όχι η καθαρή χρήση κανόνων απόδειξης. Επομένως ο γνώστης της Γεωμετρίας είναι σε θέση να

7 αντιληφθεί καλύτερα τις έννοιες αυτές και να κατανοήσει διάφορες τεχνικές ασκήσεων που σχετίζονται κυρίως με την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Παρακάτω θα αναφέρουμε τις βασικότερες από αυτές τις έννοιες και σχηματική παράσταση κάποιων από αυτές. Ορισμός συνάρτησης και συνάρτησης 1 1. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: A R, έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία x = x 0 και μάλιστα ακριβώς ένα αν x0 A και κανένα αν x0 A. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης 1 1 έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία y = α και μάλιστα ακριβώς 6 ένα αν a f ( A) και κανένα αν a f ( A). 4 Η ερμηνεία του πεδίου ορισμού Α και του 2 συνόλου τιμών f(a) με τις προβολές των σημείων της C f στους άξονες x x και y y 5 10 αντίστοιχα. -2 Η συμμετρική σχέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της f με την f. Η γεωμετρική ερμηνεία των ορισμών της μονοτονίας, των ακροτάτων καθώς και της κυρτότητας μια συνάρτησης και της σχέσης μιας κυρτής ή κοίλης συνάρτησης με την εφαπτομένη σε κάθε σημείο της. Στο σχήμα έχουμε μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση, η οποία είναι κοίλη στο (-, 0] και κυρτή στο [0, + ) Ισχύουν οι σχέσεις: f(x 2) f(x 1) ω 1 x 1 ω 2 x 2 x x f ( x ) f ( x ) (γν. αύξουσα) x x f '( x ) f '( x ) 1 2 (εξωτερική γωνία) ( f 'γν. αύξουσα και f κυρτή) Αν η f είναι κυρτή βλέπουμε ότι η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη και αυτή η σχέση αποδεικνύει ανισότητες. Γεωμετρικά μπορούμε να ερμηνεύσουμε όρια και συνέχεια συναρτήσεων καθώς και τους ορισμούς των ασυμπτώτων. Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος είναι άμεσα συνδεδεμένη με την έννοια του εμβαδού χωρίου. Τα θεωρήματα Bolzano, Ενδιαμέσων τιμών, Rolle, και θεώρημα Μέσης Τιμής ερμηνεύονται επίσης γεωμετρικά.

8 Οι πιθανές θέσεις ακροτάτων και η διερεύνηση του πλήθους των διαφορετικών λύσεων της εξίσωσης f(x) = α μπορούν πάλι να κατανοηθούν καλύτερα αν προσεγγιστούν και γραφικά. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Θεωρούμε δεδομένες τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων φ(x), ζ(x) σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Έστω ότι Δ φ και Δ ζ είναι τα πεδία ορισμού τους. Αν x ο Є Δ φ να προσδιοριστεί γεωμετρικά το σημείο (x ο, ζ(φ(x ο ))). Σ αυτό το πρόβλημα δεν έχουμε τους τύπους των συναρτήσεων και επομένως δεν μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς. Μπορούμε όμως με τη χρήση της ταυτοτικής συνάρτησης και των γεωμετρικών οργάνων να προσδιορίσουμε το σημείο της σύνθεσης των δύο συναρτήσεων πάνω στο ορθοκανονικό σύστημα στημα όπου είναι σχεδιασμένες οι γραφικές παραστάσεις τους. Στο σχήμα η τεθλασμένη ΑΒΓΔ είναι η συνάρτηση φ(x) και η τεθλασμένη ΕΖΗ η συνάρτηση ζ(x) ενώ η διακεκομμένη ευθεία είναι η y = x. Η τεταγμένη του σημείου Ι είναι ίση με φ(χ ο ) και η τεταγμένη του σημείου Μ είναι ίση με ζ(φ(x ο ο)). Άρα το σημείο Ν έχει συντεταγμένες (x ο, ζ(φ(x ο ))) και είναι το ζητούμενο σημείο της σύνθεσης. Χρησιμοποιώντας ένα λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας μπορούμε εύκολα να κατασκευάσουμε την γραφική παράσταση της σύνθεσης. Ξεκινώντας από το σημείο x ο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης φ και ακολουθώντας τις παράλληλες προς τους άξονες μπορούμε να περιγράψουμε την παραπάνω κατασκευαστική διαδικασία με το παρακάτω σχήμα: σημείο χ ο γρ. παράσταση συνάρτησης1 ταυτοτική γρ. παράσταση συνάρτησης2 σημείο σύνθεσης. (M. SPIVAC) Διερευνώντας την παραπάνω διαδικασία παρατηρούμε ότι δεν μας δίνει κατασκευαστικό αποτέλεσμα μόνο όταν η παράλληλη που θα φέρουμε από την ταυτοτική προς τον άξονα y y (στο σχήμα μας η ΚΜ) δεν έχει σημείο τομής με την γραφική παράσταση της συνάρτησης ζ. Υπάρχει λοιπόν ένας περιορισμός στην κατασκευή και αυτός μπορεί να δικαιολογήσει την διαδικασία εύρεσης του πεδίου ορισμού της σύνθεσης. Μπορούμε λοιπόν με στοιχειώδεις γεωμετρικές κατασκευές να αιτιολογήσουμε και να οπτικοποιήσουμε διαδικασίες που στο βιβλίο των Μαθηματικών της Γ Λυκείου παρουσιάζονται τελείως αλγεβρικά. Στο παρακάτω σχήμα

9 φαίνονται οι λωρίδες που δείχνουν τα τμήματα της γραφικής παράστασης της φ που δεν συνεισφέρουν στην σύνθεση των δεδομένων συναρτήσεων. Παρατηρούμε επίσης ότι η σύνθεση δύο γραμμικών συναρτήσεων είναι γραμμική συνάρτηση. Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να αποδειχθεί εύκολα με αλγεβρικές μεθόδους, αλλά η γεωμετρική του προσέγγιση είναι κατά την γνώμη μας ιδιαίτερα χρήσιμη αν θέλουμε οι μαθητές να αντιληφθούν διαισθητικά την έννοια της σύνεσης. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Στο διπλανό σχήμα έχουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f και της αντίστροφής της f 1. Έστω Γ ένα σημείο πάνω στην γραφική παράσταση της f και Γ το συμμετρικό του ως προς την διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων. Είναι γνωστό ότι οι συντεταγμένες των σημείων θα έχουν τη μορφή Γ(x o,f(x o )) και Γ (f(x o ),x o ). Φέρνουμε τις εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων στα σημεία Γ, Γ και έστω α και γ οι γωνίες κλίσεις αντίστοιχα. Λόγω συμμετρίας η γωνία α είναι ίση με την γωνία β. Προφανώς οι γωνίες β, γ είναι συμπληρωματικές. Θα έχουμε λοιπόν ότι f '( xo ) ( ) f ' 1 ( f ( x )). 2 f ' 1 ( f ( x )) f '( x o ) Η παραπάνω προσέγγιση δεν είναι απόδειξη του θεωρήματος αλλά τουλάχιστον κάνει το θεώρημα προφανές. (JAMES STEWART) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί είναι ένα κομμάτι της γεωμετρίας που περνά σχεδόν απαρατήρητο από την δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Οι απαραίτητοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί είναι η μεταφορά z z + a, όπου a є C, η στροφή z az, όπου a є C, η ομοιοθεσία z az, όπου a є R και η αντιστροφή z 1/z, όπου z 0. Η χρήση των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας, με την δυνατότητα κίνησης και την κατασκευή γεωμετρικών τόπων, είναι ένα εργαλείο που βοηθά πολύ στον πειραματισμό με αποτέλεσμα οι μαθητές να είναι σε θέση να διατυπώσουν εικασίες που

10 τους οδηγούν στην κατανόηση των θεωρημάτων. Αν χρησιμοποιήσουμε ένα γεωμετρικό σχήμα και εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό πάνω σ αυτό, τα αποτελέσματα γίνονται ευκολότερα αντιληπτά γιατί μεταβάλλονται ή διατηρούνται πολλά χαρακτηριστικά του σχήματος. Τέτοια χαρακτηριστικά μπορεί να είναι το μήκος, το εμβαδόν, το σχήμα, ο προσανατολισμός και το μέτρο των γωνιών. Προτείνουμε λοιπόν οι μετασχηματισμοί να εφαρμοστούν σε ένα τετράγωνο με χρωματισμένη την μια του πλευρά, για να είναι με αυτό τον τρόπο διακριτή η μεταβολή ή η διατήρηση του προσανατολισμού. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΡΟΦΗ Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα τετράγωνο ΒΓΔΕ και έναν μιγαδικό αριθμό Θ που κινείται πάνω στην περίμετρό του. Έχουμε επίσης τον μοναδιαίο κύκλο και ένα σημείο Η πάνω σ αυτόν. Τον μοναδιαίο κύκλο τον επιλέξαμε ώστε ο μιγαδικός Η να έχει μέτρο ίσο με 1. Χρησιμοποιώντας το λογισμικό GeoGebra μπορούμε να κατασκευάσουμε τον μιγαδικό z 2 H και τον γεωμετρικό τόπο ΚΛΜΝ που δημιουργείται όταν το σημείο Θ κινείται πάνω στο τετράγωνο. Η μετακίνηση του σημείου Η πάνω στον κύκλο επιφέρει μετακίνηση του γεωμετρικού τόπου. Από την χρωματισμένη πλευρά γίνεται αντιληπτό ότι αυτού του είδους οι μετασχηματισμοί μεταβάλλουν τον προσανατολισμό του σχήματος. Χρησιμοποιώντας τις γνώσεις που έχουν αποκτήσει οι μαθητές στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β Λυκείου, μπορούμε να εξηγήσουμε και αλγεβρικά την στροφή κατά 90 ο με τον πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού αριθμού με το i. Πράγματι το σημείο Α(α, β) έχει διανυσματική ακτίνα OA (, ) και αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό z = α + β i. Δημιουργούμε τον μιγαδικό αριθμό w = zi = (α + β i) I = α i β = - β + α i. Ο w έχει διανυσματική ακτίνα OB (, ). Εύκολα τώρα με την χρήση του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων έχουμε ότι OA OB 0 OA OB. Δεν είναι λοιπόν αναγκαία η τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού για να μπορέσουν οι μαθητές να αντιληφθούν την γεωμετρική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού δύο μιγαδικών αριθμών και ειδικότερα τον πολλαπλασιασμό με το i. Παρόλα αυτά πιστεύουμε ότι η τριγωνομετρική μορφή πρέπει να ενταχθεί στην διδασκόμενη ύλη των Μαθηματικών.

11 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑ Εργαζόμενοι στο ίδιο βασικό σχήμα μπορούμε να δημιουργήσουμε τον μιγαδικό αριθμό z 3 = Θ + Η. Ο γεωμετρικός τόπος του z 3 είναι ένα τετράγωνο που όπως φαίνεται στο σχήμα διατηρεί τον προσανατολισμό και το μέγεθος του αρχικού τετραγώνου. Η περιστροφή του Η πάνω στον μοναδιαίο κύκλο δίνει την δυνατότητα στους μαθητές να πειραματισθούν με αυτό τον μετασχηματισμό. Η τοποθέτηση του Η πάνω στα σημεία τομής του μοναδιαίου κύκλου με τους άξονες φανερώνει ει ξεκάθαρα το γεωμετρικό αποτέλεσμα της πρόσθεσης ενός πραγματικού ή ενός φανταστικού αριθμού σε έναν μιγαδικό αριθμό. Η χρήση ενός δρομέα α є R, μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε την παραλλαγή του μετασχηματισμού z = Θ + α. Η, όπου α є R. Αρχίζουμε έτσι να δημιουργούμε τις προϋποθέσεις για να ωθήσουμε τους μαθητές να εξετάσουν τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς μέσα από την έννοια της σύνθεσης συναρτήσεων. Σ αυτό το θέμα θα αναφερθούμε εκτενέστερα παρακάτω. Πάντως ένα στιγμιότυπο του μετασχηματισμού z = Θ + α. Η, όπου α є R μπορούμε να δούμε στο διπλανό σχήμα για α=2. Το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού φαίνεται στο σχήμα και είναι ο γεωμετρικός τόπος που διαγράφει ο μιγαδικός αριθμός z 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ ο μιγαδικός Θ κινείται στην περίμετρό του. Δημιουργούμε τον μιγαδικό αριθμό Ι = α. Θ, όπου α θετικός πραγματικός αριθμός. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το αποτέλεσμα για α = 1,5. Εύκολα οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν και να το επιβεβαιώσουν με μετρήσεις ότι ο μετασχηματισμός αυτός διατηρεί τον προσανατολισμό αλλά δεν διατηρεί το μήκος. Χρησιμοποιώντας τις γεωμετρικές γνώσεις των μαθητών στα όμοια τρίγωνα, το θεώρημα Θαλή και τους λόγους ευθυγράμμων τμημάτων μπορούμε να μελετήσουμε αυτόν τον μετασχηματισμό συγκρίνοντας τα μήκη του αρχικού και του τελικού σχήματος. Από το σχήμα μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι

12 1,5 R. Επίσης για κάθε σημείο Κ της ευθείας ΔΞ θα υπάρχει μια τιμή του α є R ώστε R και τελικά να οδηγήσουμε τους μαθητές στο συμπέρασμα ότι τρεις μιγαδικοί αριθμοί z, w, r ανήκουν στην w r ίδια ευθεία μόνο όταν R. z r ΣΥΝΘΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ Αν οι μαθητές επεξεργαστούν τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, τότε θα είναι δυνατόν να δώσουμε στην σύνθεση συναρτήσεων μια διαφορετική διάσταση με τη χρήση παραδειγμάτων που συνδυάζουν την γεωμετρία, την ανάλυση και τους μιγαδικούς αριθμούς. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα τέτοιο παράδειγμα. Πιστεύουμε ότι με αυτά τα παραδείγματα η διδασκαλία των Μαθηματικών αποκτά άλλο ενδιαφέρον (W W L Chen). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Αργυρόπουλος Η., Βλάμος Π., Κατσούλης Γ., Μαρκάτης Σ., Σιδέρης Π., Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου, Αθήνα, ΥΠΕΠΘ.,Π.Ι. 2. Ανδρεαδάκης Σ., Κατσαργύρης Β., Μέτης Σ., Μπρουχούτας Κ., Παπασταυρίδης Σ., Πολύζος Γ., Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Ενιαίου Λυκείου, ΟΕΔΒ, Αθήνα, Αδαμόπουλος Λ., Δαμιανού Χ., Σβέρκος Α., Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου, ΟΕΔΒ, Αθήνα Μαλλιάκας Κ., Σωτηράκης Α. (2011). Μοντέλο ανίχνευσης και συσχέτισης Μαθηματικών όρων στα σχολικά βιβλία Μαθηματικών της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης. Πρακτικά 28ου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Αθήνα, Ε.Μ.Ε. 5. Spivac, M.(1991), Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός, Ηράκλειο ΠΕΚ 6. James Stewart. Calculus Fourth Edition 7. W.W.L. Chen, 1996, INTRODUCTION TO COMPLEX ANALYSIS 8. TITU ANDREESCU- DORIN ANDRICA COMPLEX NUMBERS FROM A TO Z.