H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου"

Transcript

1 H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι, ως γνωστόν, στο Λύκειο κι το Πνεπιστήµιο κτά πράδοση ποκλειστικά µε µεθόδους της Ανλυτικής Γεωµετρίς, έχει δηµιουργήσει σε µθητές, φοιτητές κι όχι µόνο, την εντύπωση ότι οι κωνικές τοµές δεν είχν µελετηθεί ή δεν µπορούν ν µελετηθούν µε τις µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς. Στην εργσί υτή θ δούµε πως οι βσικές προτάσεις της θεωρίς των κωνικών τοµών κι µερικές εφρµογές της, που υπάρχουν στο τρίτο κεφάλιο των µθηµτικών της Β Λυκείου (κτεύθυνσης), µπορούν ν ποδειχθούν µε µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς. Θ βσιστούµε στους ορισµούς που υπάρχουν στο ντίστοιχο σχολικό βιβλίο της τάξης υτής, ώστε ν είνι εύκολη η πρκολούθηση των σχετικών θεµάτων πό τους συνδέλφους, λλά κι δυντή η ενδεχόµενη διδσκλί ορισµένων τουλάχιστον πό υτά. Αbstract The study of conic sections which is realized, as it is commonly known, in the upper secondary school (Lykeio) and in the University, traditionally exclusively using methods of analytical geometry, has created the impression to students and others that conic sections had not been studied or cannot be studied with the use of Euclidean geometry. This project will indicate how the basic statements of conic sections theory and some of its applications, which are included in chapter three of second grade of upper secondary mathematics book, can be proven using Euclidean geometry s methods.

2 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης We will employ the definitions that the respective book of the mentioned grade contains so that the teachers can not only easily follow the relevant items, but possibly include at least some of those in their teaching plan. Εισγωγή Η πρδοσική µελέτη των κωνικών τοµών µε µεθόδους της Ανλυτικής Γεωµετρίς (Α. Γ.) στην χώρ µς, φίνετι ν ρχίζει πό την εποχή του Νικηφόρου Θεοτόκη ( µ.χ) ο οποίος στο έργο του, Στοιχεί Μθηµτικών εκ πλιών κι νεωτέρων συνερνισθέντ (Μόσχ ) µελετά τις κωνικές τοµές κι µε µεθόδους της Α. Γ., της λεγόµενης τότε κι «υψηλοτέρς Γεωµετρίς». Τ µετέπειτ βιβλί που εκδόθηκν στην Ελλάδ, κυρίως των ρχών του προηγούµενου ιών, ν κι ορισµέν είχν κάποι στοιχεί µελέτης των κωνικών µε µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς (Ε. Γ.) ([4], σελ ), ουσιστικά κυριρχούσε η µελέτη µε µεθόδους της Α.Γ.. Η πράδοση υτή έχει δηµιουργήσει διχρονικά την εντύπωση ότι οι κωνικές τοµές δεν είχν ποτέ µελετηθεί µε µεθόδους της Ε. Γ. Η λήθει βέβι, όπως θ δούµε πρκάτω, είνι εντελώς διφορετική.. Σκοπός του άρθρου υτού είνι : ) Ν κάνει µι σύντοµη ιστορική νφορά στις κωνικές τοµές. β) Ν νδείξει έν µικρό µέρος της µελέτης των κωνικών τοµών µε µεθόδους της Ε.Γ.. γ) Ν γίνει δυντή πό τους συνδέλφους της δευτεροβάθµις εκπίδευσης η σύγκριση των µεθόδων της Ε. Γ., οι οποίες χρκτηρίζοντι πό κοµψότητ κι λιτότητ, σε σχέση µε την λγεβρική βάσνο των µεθόδων της Α. Γ. Αυτό βέβι δεν σηµίνει ότι δεν υπάρχουν κι προβλήµτ Γεωµετρίς που λύνοντι πιο πλά µε την Α. Γ., της οποίς τον ρόλο στ Ανώτερ Μθηµτικά θεωρούµε σηµντικό. Το θέµ όµως της σύγκρισης Α. Γ. κι Ε. Γ. σε επίπεδο Λυκείου κι γενικότερ της Ε. Γ.(Επιπεδοµετρίς κι Στερεοµετρίς) είνι νοικτό κι κάποτε πρέπει ν συζητηθεί στην Μθηµτική κοινότητ. δ) Ν γνωρίσουν οι συνάδελφοι που διδάσκουν στην Β Λυκείου τον τρόπο µελέτης των κωνικών τοµών µε Ε.Γ. κι έτσι ν τον ξιοποιήσουν κτά την κρίση τους στην διδσκλί τους. Έτσι θ µπορέσουν κι οι µθητές ν δουν κι «τον άλλο πλιό κλό δρόµο» ξιοποιώντς κι τις υπάρχουσες γνώσεις τους πό την Ε. Γ.

3 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 3 1. Σύντοµη Ιστορική Ανδροµή Αφορµή γι την νκάλυψη των κωνικών τοµών στην ρχιότητ, φίνετι ότι ήτν το περίφηµο «ήλιον Πρόβληµ»: Ν κτσκευστεί, µε κνόν κι διβήτη, κµή κύβου ο οποίος ν έχει όγκο διπλάσιο του όγκου ενός δοσµένου κύβου. Το πρόβληµ πρέµενε άλυτο γι πολλά χρόνι, µέχρι τη στιγµή που, όπως µς πληροφορεί ο Πρόκλος (450 περίπου µ.χ.), ([4], σελ. ) ο Ιπποκράτης ο Χίος ( 430 π.χ.) έκνε έν σηµντικό βήµ: διπίστωσε ότι το πρόβληµ είνι ισοδύνµο µε το ν πρεµβληθούν δυο µέσες νάλογοι µετξύ των τµηµάτων κι, όπου η κµή του δοθέντος κύβου, δηλδή ν κτσκευστούν τµήµτ κ, λ που ικνοποιούν τις κ λ σχέσεις = =. κ λ Τότε εύκολ προκύπτει κ 3 = 3, δηλδή το ζητούµενο τµήµ είνι το κ. Ο πρώτος που συνέδεσε τ τµήµτ κ, λ µε τις τοµές κώνου φίνετι ότι ήτν ο Μένιχµος ( π. Χ.) ο οποίος κι έδωσε δυο λύσεις στο πρόβληµ υτό ([4], σελ. 3-4). Στην πρώτη θεωρώντς τ τµήµτ κ, λ σν τοµή δυο πρβολών (x = y, y = x) κι στη δεύτερη σν τοµή µις πρβολής κι µις υπερβολής (x = y, xy = ). Στην συνέχει µε τις κωνικές τοµές, όπως µς πληροφορεί ο Πάππος στην Συνγωγή του ([4], σελ. 5) σχολήθηκν ο Αριστίος ο πρεσβύτερος (30 π.χ. περίπου) κι ο Ευκλείδης (300 π. Χ.) που έγρψν σχετικά βιβλί. Με τις κωνικές τοµές όµως σχολήθηκε κι ο Αρχιµήδης (87-1 π.χ.), ο οποίος, κυρίως στο έργο του Τετργωνισµός Ορθογωνίου κώνου τοµής, χρησιµοποιεί προτάσεις των κωνικών τις οποίες θεωρεί γνωστές, µάλλον πό το έργο του Ευκλείδη ([], τόµος β, σελ. 1-5 κι [4], σελ. 7-11). Όµως, η σχεδόν εξντλητική µελέτη των κωνικών τοµών ήλθε τον επόµενο ιών µε τον Απολλώνιο του Περγίο ( π. Χ.), τον επονοµζόµενο κι «Μέγ Γεωµέτρη», µε το περίφηµο έργο του Κωνικά (8 βιβλί, 1 χµένο) ([1] κι [4] σελ.1-39). Στον Απολλώνιο οφείλοντι κι τ ονόµτ (µε γεωµετρικό περιεχόµενο) των κωνικών τοµών που έχουµε κι σήµερ: πρβολή, έλλειψη, υπερβολή, ενώ πριν πό υτόν χρησιµοποιούσν τ ονόµτ ορθογωνίου, οξυγωνίου κι µβλυγωνίου κώνου τοµή ντίστοιχ. Μι άλλη σηµντική κινοτοµί

4 4 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης του Απολλώνιου είνι ότι υλοποίησε κι τις τρεις κµπύλες στον ίδιο κυκλικό (ορθό ή µη) κώνο µε κτάλληλες τοµές. Με τις κωνικές τοµές σχολήθηκε κι ο ιοκλής (περίπου 180 π.χ.) στο έργο του Περί Πυρείων ([4], σελ κι [7]), όπου νφέρει κι την ιδιότητ εστίς κι διευθετούσς στην πρβολή, γι την οποί δεν κάνει λόγο ο Απολλώνιος. Μι σηµντική κινοτοµί στις κωνικές πρόσφερε κι ο τελευτίος µεγάλος ρχίος Έλληνς µθηµτικός Πάππος ο Αλεξνδρινός (περίπου 300 µ.χ.) ο οποίος στο έργο του Συνγωγή (κι σε έν λήµµ του στο έργο του Ευκλείδη Τόποι προς επιφνείις) έδωσε έν ενιίο ορισµό γι τις κωνικές τοµές, τον λεγόµενο ορισµό του λόγου ([4], σελ κι [5]) : Σ έν επίπεδο θεωρούµε έν (στθερό) σηµείο Ε κι µι (στθερή) ευθεί (δ), στην οποί δεν νήκει το σηµείο Ε. Κλούµε κωνική τοµή το σύνολο των σηµείων του επιπέδου (που ορίζει η (δ) κι το Ε) τ οποί έχουν την ιδιότητ, ο λόγος, ε, των ποστάσεων τους πό το σηµείο Ε κι την ευθεί (δ), ν είνι στθερός (ν ε = 1 έχουµε την πρβολή, ν 0 < ε < 1 έχουµε την έλλειψη κι ν ε > 1 έχουµε την υπερβολή). Στην περίπτωση βέβι που δοθεί ο πρπάνω ορισµός οι γνωστοί ορισµοί της έλλειψης κι της υπερβολής (εστικοί ορισµοί) ποδεικνύοντι ως προτάσεις κι ντίστροφ. O επόµενος µεγάλος στθµός στην πορεί µελέτης των κωνικών τοµών ήτν η µελέτη τους υπό το πρίσµ της Προβολικής Γεωµετρίς πό τον 17 ο ιών κι µετά (Desargues, Gergone, Poncelet. Chasles, Steiner κ.ά, βλ. [4], σελ. 6-71), λλά ενδιφέρον γι τις κωνικές τοµές υπήρξε κι πριν, λόγω κι των εφρµογών τους στην Αστρονοµί (τροχιές πλνητών, κοµητών κλπ). Η προβολική Γεωµετρί είνι η µι κτεύθυνση µελέτης των κωνικών, η λεγόµενη συνθετική. Η άλλη είνι η γνωστή µς Ανλυτική Γεωµετρί (Α. Γ.) η οποί νπτύχθηκε πράλληλ µε την νάπτυξη της Άλγεβρς πό τον 16 ο ιών κι µετά. Μπροστά σε υτή την εθνική κληρονοµιά, το πύγσµ θ έλεγ της Αρχίς Ελληνικής Γεωµετρικής σκέψης, θεώρησ σκόπιµο ν προυσιάσω τις ποδείξεις των βσικών προτάσεων κι µερικών εφρµογών της θεωρίς των κωνικών τοµών (εκτός του κύκλου), που υπάρχουν στο τωρινό σχολικό βιβλίο της Β Λυκείου κτεύθυνσης µε µεθόδους της Ε. Γ. κι µε βάση τους ορισµούς που υπάρχουν στο βιβλίο υτό (οι ρχίοι Έλληνες Γεωµέτρες όριζν τις κωνικές τοµές διφορετικά, λλά ισοδύνµ).

5 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 5. ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (χρκτηριστική ιδιότητ πρβολής) Έστω πρβολή µε εστί Ε κι διευθετούσ (δ), EK = p η πόστση του Ε πό την (δ) κι Ο το µέσο του ΕΚ. Έν σηµείο Μ νήκει στην πρβολή, ν κι µόνο ν ισχύει ΜΠ =poπ, όπου Π η προβολή του Μ στον άξον ΟΕ της πρβολής. Απόδειξη Έχουµε (Σχήµ 1) KΕ = p, ΟΕ = p/, ΜΕ = ΜΗ ΜΕ = (ΚΕ + EΠ) ΜΕ = ΕΠ + p + peπ ΜΕ ΕΠ = p( p + EΠ) Η (δ) M ΜΠ = poπ K Σχήµ 1 O E Π Η ισοδυνµί υτή ισχύει κι ότν το Μ είνι η κορυφή της πρβολής. Σηµείωση Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη του προηγουµένου θεωρήµτος µε Α. Γ. (ως εξίσωση πρβολής). ΠΟΡΙΣΜΑ 1.1 Η ευθεί ΕΚ είνι άξονς συµµετρίς της πρβολής. (Υπ. Αν Μ το συµµετρικού ενός σηµείου Μ της πρβολής τότε ΜΠ = Μ Π, οπότε Μ Π = poπ κλπ) ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Το µήκος µις χορδής πρβολής που διέρχετι πό την εστί της κι είνι κάθετη στον άξονά της (εστικτοµή) είνι ίσο µε p = ΕΚ. Ο ριθµός υτός (κι όχι ο p) λέγετι πράµετρος της πρβολής.

6 6 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Ιστορική Σηµείωση Η σχέση ΜΠ = poπ («σύµπτωµ» κτά τους ρχίους Έλληνες γεωµέτρες, που εκφράζει ισότητ εµβδών) στην Α.Γ. ντιστοιχεί στην γνωστή µς εξίσωση πρβολής.h σχέση υτή ποδεικνύετι γι οποιδήποτε διάµετρο πρβολής (:ευθεί που είνι πράλληλη στον άξονά της) κι την εφπτοµένη στο άκρο της κι υτήν την σχέση κι σε υτήν την περίπτωση, εξήγγε ο Απολλώνιος π ευθείς πάνω στην τοµή κώνου µε επίπεδο που είνι πράλληλο σε µι γενέτειρ του (κυκλικού) κώνου ορθού ή µη. Μάλιστ επειδή ΜΠ = (πράµετρος) ΟΠ, δηλδή το τετράγωνο πλευράς ΜΠ είνι ισοδύνµο («πρβάλλετι») µε το ορθογώνιο µε διστάσεις p, ΟΠ, ο Απολλώνιος ονόµσε (γι πρώτη φορά) την τοµήκµπύλη υτή πρβολή ([1] τόµος, Πρότση 11, σελ. 30 κι [4], σελ. -5). ΠΡΟΤΑΣΗ (Εφρµογή σχ. βιβλίου, σελίδ 9) «Μι χορδή πρβολής τέµνει την πρβολή στ σηµεί Α, Β κι διέρχετι πό την εστί της Ε. Ν ποδειχθεί ότι το γινόµενο των ποστάσεων των Α, Β πό τον άξον της πρβολής είνι στθερό». Απόδειξη Έστω πρβολή µε διευθετούσ (δ), A P εστί Ε κι πράµετρο ΕΚ = p (Σχήµ ). Αν πράγµτι το γινόµενο υτό είνι (δ) στθερό, θ είνι το ίδιο γι οποιοδήποτε χορδή που διέρχετι πό την εστί, άρ κι γι την κάθετη στον άξον. Εύκολ K Η βρίσκουµε τότε ότι γι την χορδή O E Z υτή,(δηλ. ότν ΑΒ ΚΖ) οι προβολές είνι ΑΖ=ΑΕ=ΒΗ=ΒΕ κι ισχύει ΑΖ ΒΗ=ΑΕ ΒΕ=ΑΕ =ΑΖ = ΑΡ =p. Θ B Σχήµ Θ προσπθήσουµε λοιπόν ν δείξουµε υτό. Είνι ΑΖ = poz, BH = poh, οπότε ΑΖ ΒΗ = 4p ΟΖ OH (1) Από τ όµοι τρίγων ΑΕΖ, ΗΒΕ έχουµε (ΑΕ=ΑΡ=ΚΖ, ΒΕ =ΒΘ=ΚH)

7 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 7 AE EZ KZ EZ = ή = BE HE KH HE ή p / p / + OZ + OH OZ p / = p / OH = p OH = OZ p Οπότε 4ΟΖ OH = p κι πό την (1), ΑΖ ΒΗ = p. Πρτηρούµε ότι κι το γινόµενο των ποστάσεων των προβολών των Α, Β στον άξον της πρβολής, πό την κορυφή της πρβολής είνι στθερό (κι ίσο µε p /4). Σηµείωση Στις σελίδες 9-93 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της προηγούµενης ιδιότητς µε Α. Γ. Σχετική άσκηση Ισχύει το ντίστροφο: Αν το γινόµενο των ποστάσεων των άκρων µις χορδής ΑΒ πρβολής πό τον άξονά της είνι ίσο µε p, τότε η χορδή υτή διέρχετι πό την εστί της πρβολής. Ορισµός Εφπτοµένης Κωνικής Εφπτοµένη µις πρβολής (κι γενικά µις κωνικής: κύκλου, έλλειψης, υπερβολής) σ έν σηµείο της, λέµε την ευθεί της οποίς όλ τ σηµεί, εκτός του σηµείου υτού βρίσκοντι εκτός της κωνικής (δηλδή δεν υπάρχουν σηµεί της ευθείς εντός του επιπέδου µέρους της κωνικής όπου βρίσκοντι οι εστίες). Αποδεικνύετι ότι η εφπτοµένη σ έν σηµείο κωνικής είνι µονδική. Προκειµένου ν ποδείξουµε την νκλστική ιδιότητ της πρβολής θ χρειστούµε τ πρκάτω λήµµτ (το δεύτερο χρειάζετι µόνο γι ν δούµε κι έν δεύτερο τρόπο πόδειξης). ΛΗΜΜΑ 1 Έν σηµείο του επιπέδου της πρβολής βρίσκετι εκτός υτής (εκτός του κοίλου µέρους της όπου βρίσκετι η εστί) ν κι µόνο ν η πόστσή του πό την εστί της είνι µεγλύτερη πό την πόστσή του πό την διευθετούσ της (φήνετι ως άσκηση, βλ. κι [4] σελ.130).

8 8 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΛΗΜΜΑ Έστω (δ) κι (ε) δυο (στθερές) ευθείες τεµνόµενες στο σηµείο Λ κι Ε έν (στθερό) σηµείο εκτός υτών. Αν Ρ σηµείο της ευθείς (ε) κι ΡΖ PΕ κάθετη στην (δ), τότε ο λόγος γίνετι ελάχιστος ν κι µόνο η ΡΕ PΖ είνι κάθετη στην ΕΛ. (Αφήνετι ως άσκηση. Υπ. Θεωρούµε την κάθετη ΡΠ πό το Ρ στην ΕΛ, PΕ PE ΡΠ ΡΛ είνι = κλπ, βλ. κι [4], σελ. 136). PΖ ΡΠ ΡΛ ΡΖ ΠΡΟΤΑΣΗ 3 (Εφπτοµένη κι διευθετούσ) Έστω Μ σηµείο πρβολής κι Η η προβολή του στην διευθετούσ της. Τότε η διχοτόµος της γωνίς ΗΜΕ (η µεσοκάθετη του ΗΕ) είνι εφπτοµένη της πρβολής στο Μ κι ντίστροφ. Απόδειξη Έστω Ρ σηµείο της διχοτόµου ΜΛ της γωνίς ΗΜΕ διάφορο του Μ (Σχήµ 3). Θ δείξουµε ότι ΡΕ > ΡΖ. Τ τρίγων ΡΜΕ, ΡΜΗ είνι ίσ, οπότε ΡΕ = ΡΗ κι ΡΗ > ΡΖ, οπότε ΡΕ > ΡΖ. Άρ (Λήµµ 1) όλ τ σηµεί της ΜΛ, εκτός του Μ, βρίσκοντι εκτός της πρβολής. Ζ Ρ Σχήµ 3 Η (δ) Μ Θ Λ Ε Εποµένως η ΜΛ είνι εφπτοµένη της πρβολής. Εντελώς όµοι εργζόµστε ν το Μ είνι κορυφή της πρβολής. Έτσι η κάθετη στην

9 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 9 κορυφή της πρβολής είνι εφπτοµένη της πρβολής (υτό µπορεί ν ποδειχθεί κι διφορετικά). Αντίστροφ: Έστω ΜΛ εφπτοµένη της πρβολής στο Μ. Φέρνουµε την διχοτόµο της γωνίς ΗΜΕ, οπότε θ νι εφπτοµένη στο Μ κι λόγω της µονδικότητς της εφπτοµένης (πρλείπουµε εδώ την πόδειξη υτής πρότσης, βλ. άσκηση πρκάτω) η ΜΛ είνι διχοτόµος της ΗΜΕ. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 (Ανκλστική ιδιότητ της πρβολής) Η εφπτοµένη σ έν σηµείο Μ πρβολής σχηµτίζει ίσες γωνίες µε την εστική κτίν ΜΕ κι την πράλληλη πό το Μ προς τον άξον της πρβολής κι ντίστροφ. Απόδειξη Α τρόπος: Έστω ΜΛ εφπτοµένη στο Μ (Σχήµ 3), οπότε σύµφων µε την προηγούµενη πρότση είνι διχοτόµος της γωνίς ΗΜΕ κι λόγω ΡΜΘ = ΛΜH, έχουµε ΡΜΘ = ΛΜΕ. Αντίστροφ: Προκύπτει πό την Πρότση 3, φού η ευθεί υτή θ είνι διχοτόµος της γωνίς HME. Β τρόπος: Γι κάθε σηµείο Ρ της εφπτοµένης ΜΛ έχουµε (βλ. Λήµµ P ΜΕ 1) ΡΕ ΡΖ ή Ε 1 =, δηλδή το Μ ελχιστοποιεί τον λόγο ΡΕ/ΡΖ, PΖ ΜΗ οπότε πό το Λήµµ ( πρπάνω) η ΛΕ είνι κάθετη στην ΜΕ. Έτσι τ ορθογώνι τρίγων ΛΗΜ, ΛΕΜ είνι ίσ, οπότε HΜΛ = ΛΜΕ κλπ. Σηµείωση Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της ιδιότητς υτής µε Α.Γ.. Απλά το σχ. βιβλίο διτυπώνει την ιδιότητ σε σχέση µε κάθετη στην εφπτοµένη στο σηµείο Μ (προφνώς ισοδύνµ, βλ. επόµενο πόρισµ).

10 10 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΟΡΙΣΜΑ 4.1 Η κάθετη στην πρβολή σ έν σηµείο της Μ (δηλδή η κάθετη στην εφπτοµένη της πρβολής στο σηµείο υτό, σχήµ 3) διχοτοµεί την γωνί ΕΜΘ. ΠΟΡΙΣΜΑ 4. (εφρµογή σχ. βιβλίου, σελ. 98) Το τµήµ της εφπτοµένη µις πρβολής, πό το σηµείο επφής µέχρι την διευθετούσ της, φίνετι πό την εστί της µε ορθή γωνί. (Υπόδειξη : τ τρίγων ΛΜΗ, ΛΜΕ είνι ίσ κλπ.) Σηµειώσεις 1. Στην σελίδ 98 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη του πρπάνω πορίσµτος 4. µε Α. Γ... Το πόρισµ 4. µς δίνει έν τρόπο γι ν κτσκευάσουµε (µε κνόν κι διβήτη) την εφπτοµένη σ έν σηµείο (δεδοµένης) πρβολής. Άσκηση Ν δειχθεί ότι η εφπτοµένη πρβολής σε έν σηµείο της είνι µονδική. (Υπ. Πόρισµ 4. κι Λήµµ ) 3. ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 5 (χρκτηριστική ιδιότητ έλλειψης) Έστω έλλειψη µε στθερό άθροισµ, εστική πόστση ΕΣ = γ < κι Ο το µέσο του ΕΣ. Έν σηµείο Μ του επιπέδου της έλλειψης νήκει ΟΠ ΜΠ στην έλλειψη, ν κι µόνο ν ισχύει + = 1, όπου Π η β προβολή του Μ στον µεγάλο της άξον κι β = - γ. Απόδειξη Είνι (Σχήµ 4) ΟΕ = ΟΣ = γ, ΟΑ = ΟΒ =.Από το Πυθγόρειο θεώρηµ έχουµε ΜΕ = ΜΠ + (γ + ΟΠ), ΜΣ = ΜΠ +(γ - ΟΠ) (1) Αν ΜΕ ΜΣ (όµοι εργζόµστε ν ΜΣ > ΜΕ) µε φίρεση των (1) (ή πό το ο θεώρηµ των διµέσων) πίρνουµε ΜΕ ΜΣ = ΕΣ ΟΠ = 4γΟΠ ()

11 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 11 Οι σχέσεις (1), () είνι νεξάρτητες της ιδιότητς της έλλειψης. M Σχήµ 4 Α E Ο Π Σ Β γ Έστω ΜΕ + ΜΣ = (3), οπότε η () γίνετι ΜΕ - ΜΣ = ΟΠ (4) γ γ Από (3), (4) προκύπτει ΜΕ = + ΟΠ, ΜΣ = - ΟΠ (5) Προφνώς η (3) είνι ισοδύνµη µε το σύστηµ των (5) Λόγω της πρώτης των (1), έχουµε γ ΜΕ = + ΟΠ ΜΕ γ = ( + ΟΠ ) ΜΠ + ΟΠ + γ = γ ΟΠ ΜΠ + ΟΠ + = 1 (6) β Όµοι βρίσκουµε ότι κι η δεύτερη των (5) είνι ισοδύνµη µε την (6). Άρ τελικά η (6) είνι ισοδύνµη µε την (3). Σηµείωση Στις σελίδ 10 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη µε Α. Γ. του προηγουµένου θεωρήµτος (ως εξίσωση έλλειψης). ΠΟΡΙΣΜΑ 5.1 Έστω έλλειψη µε στθερό άθροισµ, εστική πόστση ΕΣ = γ < κι β = - γ. Έν σηµείο Μ του επιπέδου της νήκει στην έλλειψη, ν MΠ β MΠ β κι µόνο ν ισχύει = ή = _ ΟΠ ΠΑ ΠΒ όπου Π η προβολή του Μ στην ευθεί ΕΣ (ευθεί µεγάλου άξον της έλλειψης) κι Α, Β είνι τ σηµεί τοµής της έλλειψης µε τον µεγάλο της άξον.

12 1 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΟΡΙΣΜΑ 5. Η ευθεί η οποί ορίζετι πό τις εστίες έλλειψης, όπως κι η κάθετη στο µέσο Ο της εστικής πόστσης, είνι άξονες συµµετρίς της έλλειψης, ενώ το µέσο Ο είνι το κέντρο συµµετρίς της. ΠΟΡΙΣΜΑ 5.3 Το µήκος µις χορδής έλλειψης που διέρχετι πό µι εστί της κι είνι κάθετη στον µεγάλο της άξον (εστικτοµής) είνι ίσο µε β p =.Ο ριθµός υτός λέγετι πράµετρος της έλλειψης. Ιστορική Σηµείωση Στ ρχί κείµεν η πρπάνω χρκτηριστική ιδιότητ της έλλειψης εµφνίζετι στην (πιο εύχρηστη κι ζωντνή γεωµετρικά µορφή: λόγος MΠ β εµβδών) = ( : «σύµπτωµ» της κωνικής υτής, κτά τους ΠΑ ΠΒ ρχίους Έλληνες Γεωµέτρες) η οποί όπως είδµε είνι ισοδύνµη (πόρισµ 5.1) µε την γνωστή εξίσωση έλλειψης της Α.Γ.. H σχέση υτή ποδεικνύετι γι οποιδήποτε διάµετρο έλλειψης (ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο συµµετρίς της) κι την εφπτοµένη στο έν άκρο της (π.χ. Α) κι υτήν την σχέση, σ υτήν την γενική περίπτωση, εξήγγε ο Απολλώνιος π ευθείς πάνω στην τοµή κώνου µε επίπεδο που τέµνει όλες τις γενέτειρες του. Μάλιστ επειδή ΜΠ < ΠΑ p, (p πράµετρος, Σχήµ 4), δηλδή το τετράγωνο της ΜΠ είνι µικρότερο («ελλείπειν») του ορθογωνίου µε διστάσεις ΠΑ, p, ονόµσε (γι πρώτη φορά) την τοµή-κµπύλη υτή Έλλειψη ([1] τόµος, Πρότση 13, σελ. 38 κι [4], σελ. 9-3 ). ΠΡΟΤΑΣΗ 6 (θεωρί σχ. βιβλίου, σελίδ 104) Η µικρότερη διάµετρος µις έλλειψης είνι ο µικρός της άξονς κι η µεγλύτερη ο µεγάλος της άξονς. Απόδειξη Έστω µι έλλειψη µε ηµιάξονες, β, > β, κι εστίες Ε, Σ (Σχήµ 5).. Αρκεί ν δειχθεί ότι γι κάθε διάµετρο της έλλειψης Γ ισχύει

13 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 13 β Γ, εφόσον κι οι άξονες της έλλειψης είνι προφνώς κι διάµετροι υτής. Αρκεί σφλώς ν δειχθεί ότι β ΟΓ. Από το τρίγωνο ΓΣ κι το πρλληλόγρµµο ΕΓΣ (Ο κέντρο συµµετρίς έλλειψης) έχουµε Γ =ΟΓ ΓΣ+Σ =ΓΣ+ΓΕ=, οπότε ΟΓ. Είνι ΟΓ = ΓΠ + ΟΠ κι επειδή το Γ είνι σηµείο της έλλειψης (βλ. Πόρισµ 5.1) έχουµε ΓΠ = β - Άρ β ΟΠ. Α ΟΓ = β β - ΟΠ + ΟΠ = β + ΟΠ β (1 - ) β, εποµένως ΟΓ β. Η ισότητ ισχύει ότν ΟΠ=0, δηλδή ότν η ΟΓ τυτίζετι µε τον µικρό ηµιάξον. Προκειµένου ν ποδείξουµε την νκλστική ιδιότητ της έλλειψης θ χρειστούµε το πρκάτω λήµµ. Ε Γ Π Σχήµ 5 Ο Σ Β ΛΗΜΜΑ 3 Έν σηµείο Α του επιπέδου της έλλειψης βρίσκετι εκτός υτής, ν κι µόνο ν, το άθροισµ των ποστάσεών του πό τις εστίες της είνι µεγλύτερο του. (Υπ: εφρµόζουµε την τριγωνική νισότητ στο τρίγωνο ΑΓΕ (Σχήµ 6)). ΘΕΩΡΗΜΑ 7 (Ανκλστική ιδιότητ της έλλειψης) Αν µι ευθεί είνι εφπτοµένη σ έν σηµείο Μ µις έλλειψης, τότε σχηµτίζει ίσες γωνίες µε τις εστικές κτίνες MΕ κι MΣ κι ντιστρόφως.

14 14 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Απόδειξη Έστω Α (Σχήµ 6) τυχόν σηµείο της εφπτοµένης στο Β Μ, διάφορο του Μ, οπότε Σχήµ 6 είνι εκτός της έλλειψης. Έχουµε ΑΕ + ΑΣ = ΑΕ+ΑΓ+ΓΣ > ΕΓ+ΓΣ = Άρ γι το τυχόν σηµείο Α Α της εφπτοµένης ισχύει, Μ ΑΕ + ΑΣ = ΜΕ + ΜΣ, µε ισότητ µόνο ότν το Α Γ Τ συµπίπτει µε το Μ. Αυτό όµως συµβίνει, ως γνωστόν µόνο ν AME = ΣMT (ν Β το συµµετρικό του Ε ως προς την ΑΜ, τότε ΑΕ + ΑΣ = Ε Σ ΒΑ + ΑΣ ΒΣ, οπότε υτό γίνετι ελάχιστο ν Β, Α, Σ συνευθεικά, δηλ. το Α τυτίζετι µε το Μ κλπ). Αντιστρόφως : Έστω µι ευθεί ΜΤ που διέρχετι πό το σηµείο Μ της έλλειψης µε AME = ΣMT, όπου Α τυχόν σηµείο της ευθείς υτής διάφορο του Μ. Στην προέκτση της ΜΣ θεωρούµε τµήµ ΜΒ = ΜΕ. Τότε πό την ισότητ των τριγώνων ΑΒΜ, ΑΜΕ προκύπτει ΑΕ=ΑΒ. Έχουµε ΑΕ + ΑΣ = ΑΒ + ΑΣ > ΒΣ = ΒΜ + ΜΣ = ΜΕ + ΜΣ =, άρ το σηµείο Α βρίσκετι εκτός της έλλειψης (βλ. Λήµµ 3). Εποµένως η ευθεί υτή είνι εφπτοµένη της έλλειψης στο Μ. ΠΟΡΙΣΜΑ 7 Η κάθετη στην έλλειψη σ έν σηµείο της Μ (δηλδή η κάθετη στην εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο υτό) διχοτοµεί την γωνί ΕΜΣ. Σηµείωση: Με βάση το πόρισµ µπορούµε ν κτσκευάσουµε (µε κνόν κι διβήτη) την εφπτοµένη (δεδοµένης) έλλειψης σε έν σηµείο της.

15 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 15 ΠΡΟΤΑΣΗ 8 (Σχ. βιβλίο, εφρµογή σελίδς 109) Έστω έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξον, µικρό β, εστίες Ε, Σ κι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο τοµής των ξόνων της έλλειψης κι κτίν. Aπό έν σηµείο Μ της έλλειψης, εκτός των κορυφών της, θεωρούµε την κάθετη στον µεγάλο άξονά της που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ν. Τότε η εφπτοµένη του κύκλου στο Ν κι της έλλειψης στο Μ τέµνοντι πάνω στην ευθεί του µεγάλου άξον της έλλειψης. Απόδειξη Έστω ότι η εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο Μ τέµνει τον µεγάλο άξον στο Τ (Σχήµ 7). Αρκεί ν δειχθεί ότι η ΤΝ είνι εφπτόµενη του κύκλου ή ότι το τρίγωνο ΟΝΤ είνι ορθογώνιο στο Ν. N H θ M ω Z A E O P Σ Β T Σχήµ 7 Ισοδύνµ ρκεί ν δειχθεί ότι ΟΝ = ΟΡ ΟΤ ή = ΟΡ ΟΤ (τότε τ τρίγων ΟΝΡ, ΟΝΤ είνι όµοι κλπ). Προεκτείνουµε την ΕΜ κτά τµήµ ΜΗ = ΜΣ, οπότε ΗΕ = (συνηθισµένη κίνηση στην έλλειψη). Λόγω κι της νκλστικής ιδιότητς της εφπτοµένης στο Μ, η ΜΤ είνι µεσοκάθετη στο τµήµ ΣΗ, Ζ µέσο του ΣΗ, οπότε ΟΖ = ΗΕ ή ΟΖ =, κι ΟΖ//ΗΕ.

16 16 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης OZ OP Ισοδύνµ τώρ ρκεί ν δειχθεί ότι =, δηλδή ρκεί ν OT OZ δειχθεί ότι τ τρίγων ΟΖΡ, ΟΖΤ είνι όµοι. Ήδη έχουν κοινή την γωνί Ο. Θ δείξουµε ότι κι OZP ZTO =. Από το εγγράψιµο τετράπλευρο ΡΜΖΣ, έχουµε MZP = MΣP κι λόγω ΟΖ//ΜΕ MZO = θ = ω. Έτσι έχουµε OZP = ΜΖΡ - MZΟ = MΣP - ω = MT Σ ( P M Σ εξωτερική γωνί του τριγώνου ΜΤΣ). Έτσι τ τρίγων ΟΖΡ, ΟΖΤ είνι όµοι κλπ.. Σηµείωση Στις σελίδ 110 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της ιδιότητς υτής µε Α. Γ.. ΠΟΡΙΣΜΑ 8 Αν η εφπτοµένη στο σηµείο Μ της έλλειψης τέµνει τον µεγάλο της άξον στο σηµείο Τ κι Ρ η προβολή του Μ σε υτόν, τότε ισχύει ΟΡ ΟΤ=. Σηµείωση Το πόρισµ υτό µς δίνει έν άλλο τρόπο γι ν κτσκευάσουµε (µε κνόν κι διβήτη) την εφπτοµένη (δεδοµένης) έλλειψης σε έν σηµείο της. 4. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 9 ( Χρκτηριστική ιδιότητ της υπερβολής) Έστω υπερβολή µε στθερή διφορά, εστική πόστση ΕΣ = γ> κι Ο το µέσο του ΕΣ. Έν σηµείο Μ του επιπέδου της υπερβολής ΟΠ ΜΠ νήκει στην υπερβολή, ν κι µόνο ν ισχύει = 1, όπου β Π η προβολή του Μ στην ευθεί ΕΣ κι β = γ -. Απόδειξη Είνι (Σχήµ 8) ΟΕ = ΟΣ = γ, ΟΑ = ΟΒ =.

17 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 17 Από το Πυθγόρειο θεώρηµ έχουµε ΜΕ = ΜΠ + (γ + ΟΠ), ΜΣ = ΜΠ +(ΟΠ - γ) (1) Αν ΜΕ > ΜΣ (όµοι εργζόµστε ν ΜΣ > ΜΕ) µε φίρεση των (1) (ή πό το ο θεώρηµ των διµέσων) πίρνουµε ΜΕ ΜΣ = ΕΣ ΟΠ = 4γΟΠ () Οι σχέσεις (1), () είνι νεξάρτητες της ιδιότητς της υπερβολής. Μ Σχήµ 8 E Α Ο Β Σ Π γ Έστω ΜΕ - ΜΣ = (3), οπότε η () γίνετι ΜΕ + ΜΣ = ΟΠ γ γ Από (3), (4) προκύπτει ΜΕ = + ΟΠ, ΜΣ = ΟΠ - (5) Προφνώς η (3) είνι ισοδύνµη µε το σύστηµ των (5) Λόγω της πρώτης των (1), έχουµε γ ΜΕ = + ΟΠ ΜΕ γ = ( + ΟΠ ) ΜΠ + ΟΠ + γ = γ + ΟΠ ΜΠ = 1 (6) β Όµοι βρίσκουµε ότι κι η δεύτερη των (5) είνι ισοδύνµη µε την (6). Άρ τελικά η (6) είνι ισοδύνµη µε την (3) κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. ΟΠ Σηµείωση Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της προηγούµενης ιδιότητς µε Α. Γ. (ως εξίσωση υπερβολής). (4)

18 18 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΟΡΙΣΜΑ 9.1 Έστω υπερβολή µε στθερή διφορά, εστική πόστση ΕΣ = γ > κι β = γ -. Έν σηµείο Μ του επιπέδου νήκει στην υπερβολή, ν MΠ β MΠ β κι µόνο ισχύει = ή =, _ OΠ ΠΑ ΠΒ όπου Π η προβολή του Μ στην ευθεί ΕΣ (κύριο άξον της υπερβολής), Α, Β είνι τ σηµεί τοµής της υπερβολής µε τον κύριο άξονά της. ΠΟΡΙΣΜΑ 9. Η ευθεί η οποί ορίζετι πό τις εστίες υπερβολής, όπως κι η κάθετη στο µέσο Ο της εστικής πόστσης, είνι άξονες συµµετρίς της υπερβολής, ενώ το µέσο Ο είνι το κέντρο συµµετρίς της. ΠΟΡΙΣΜΑ 9.3 Το µήκος της χορδής υπερβολής που διέρχετι πό µι εστί της κι β είνι κάθετη στον µεγάλο άξον (εστικτοµή) είνι ίσο µε p =. Ο ριθµός υτός λέγετι πράµετρος της υπερβολής. Ιστορική Σηµείωση Στ ρχί κείµεν η πρπάνω χρκτηριστική ιδιότητ της υπερβολής εµφνίζετι στην (πιο εύχρηστη κι ζωντνή γεωµετρικά MΠ β µορφή: λόγος εµβδών) µορφή = «σύµπτωµ» της ΠΑ ΠΒ υπερβολής, κτά τους ρχίους Έλληνες Γεωµέτρες, η οποί όπως είδµε είνι ισοδύνµη (πόρισµ 9.1) µε την γνωστή εξίσωση έλλειψης της Α.Γ.. H σχέση υτή ποδεικνύετι γι οποιδήποτε διάµετρο υπερβολής (ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο συµµετρίς της) κι την εφπτοµένη στο έν άκρο της (π.χ. Β) κι υτήν την σχέση, σ υτήν την γενική περίπτωση, εξήγγε ο Απολλώνιος π ευθείς πάνω στην τοµή κώνου µε επίπεδο που τέµνει όλες τις γενέτειρες του. Μάλιστ επειδή ΜΠ > ΠΒ p, (p πράµετρος, Σχήµ 7), δηλδή το τετράγωνο της ΜΠ είνι µεγλύτερο («υπερβάλλειν») του ορθογωνίου µε διστάσεις ΠΒ, p ονόµσε (γι πρώτη φορά) την τοµή υτή Υπερβολή ([1] τόµος, Πρότση 1, σελ. 34 κι [4], σελ. 5-8).

19 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 19 Προκειµένου ν ποδείξουµε την νκλστική ιδιότητ της υπερβολής θ χρειστούµε τ πρκάτω λήµµτ. ΛΗΜΜΑ 4 Έν σηµείο Σ του επιπέδου της υπερβολής βρίσκετι εντός υτής (στ κοίλ µέρη της, όπου βρίσκοντι οι εστίες) ν κι µόνο ν η διφορά των ποστάσεων του, κτ πόλυτη τιµή, πό τις εστίες της είνι µεγλύτερη του, ενώ βρίσκετι εκτός υτής, ν κι µόνο ν η διφορά των ποστάσεων του, κτ πόλυτη τιµή, πό τις εστίες της είνι µικρότερη του. (φήνετι ως άσκηση) ΛΗΜΜΑ 5 Έστω έν τµήµ ΕΣ κι µι (στθερή) ευθεί (ε) που τέµνει το τµήµ ΕΣ, υπό δεδοµένη (οξεί) γωνί, σε σηµείο διάφορο του µέσου του. Αν Α τυχόν σηµείο της ευθείς (ε), τότε η διφορά ΑΕ - ΑΣ γίνετι µέγιστη ν κι µόνο η (ε) είνι διχοτόµος της γωνίς ΕΑΣ. Απόδειξη Α Έστω Ζ (Σχήµ 9) το σηµείο τοµής της (ε) µε το τµήµ ΕΣ κι ότι Σχήµ 9 ΕΖ > ΖΣ. Αν το συµµετρικό του Ε Λ ως προς την (ε), τότε Α = ΑΕ, οπότε πό το τρίγωνο ΑΣ έχουµε Ε ΑΕ - ΑΣ = Α -ΑΣ Σ, µε Σ Ζ Σ στθερό. Η ισότητ ισχύει µόνο ν τ σηµεί Α, Σ, είνι συνευθεικά. Αυτό (ε) µπορεί ν συµβεί, γιτί εφόσον Γ ΕΖ > ΖΣ είνι κι Γ= ΕΓ > ΣΛ (λόγω κι της οµοιότητς των EΓΖ, ΖΛΣ) άρ η Σ δεν είνι πράλληλη στην (ε) οπότε την τέµνει. Το σηµεί όµως Α, Σ, είνι συνευθεικά, ν κι µόνο η (ε) είνι διχοτόµος της γωνίς ΕΑΣ.

20 0 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σηµείωση Αν η (ε) διέρχετι πό το µέσο του ΕΣ τότε ποδεικνύετι ότι η διφορά ΑΕ - ΑΣ δεν µεγιστοποιείτι (πρόλο που είνι άνω φργµένη πό το στθερό Σ ) ΘΕΩΡΗΜΑ 10 (Ανκλστική ιδιότητ της υπερβολής) Αν µι ευθεί είνι εφπτοµένη σ έν σηµείο Μ µις υπερβολής, µε εστίες Ε, Σ, τότε είνι διχοτόµος της γωνίς ΕΜΣ κι ντιστρόφως. Απόδειξη Έστω Α (Σχήµ 10) τυχόν σηµείο της Α εφπτοµένης στο Μ, οπότε (βλ. Σχήµ 10 Λήµµ 4) ΑΕ - ΑΣ = ΜΕ ΜΣ, Μ µε ισότητ µόνο ότν το Α συµπίπτει Η µε το Μ. Έτσι η διφορά ΑΕ - ΑΣ γίνετι µέγιστη ν το Α συµπίπτει µε το Μ. Αυτό όµως συµβίνει (βλέπε Ε Ζ Σ προηγούµενο Λήµµ 5) µόνο ν ΣMZ ZME =. Αντιστρόφως: Έστω ΜΖ διχοτόµος της γωνίς ΕΜΣ κι Α τυχόν σηµείο της ΜΖ, διάφορο του Μ. Θ δείξουµε ότι το Α βρίσκετι εκτός της υπερβολής. Αν ΣΗ κάθετη στην ΜΖ, τότε ΜΖ είνι µεσοκάθετη στο τµήµ ΗΣ, οπότε ΑΗ = ΑΣ. Από το τρίγωνο ΑΗΕ έχουµε ΑΕ ΕΗ < ΑΗ = ΑΣ ή ΑΕ - ΑΣ < ΕΗ = ΜΕ - ΜΗ = ΜΕ - ΜΣ =, οπότε 0<ΑΕ - ΑΣ <, άρ το σηµείο Α βρίσκετι εκτός της υπερβολής (βλ. Λήµµ 4). Σηµείωση: Από το προηγούµενο θεώρηµ προκύπτει ένς τρόπος κτσκευής της εφπτοµένης υπερβολής σε έν σηµείο της. ΠΟΡΙΣΜΑ 10 Η κάθετη στην υπερβολή σ έν σηµείο της Μ (δηλδή η κάθετη στην εφπτοµένη της υπερβολής στο σηµείο υτό) σχηµτίζει ίσες γωνίες µε τις ηµιευθείες MΕ κι MΣ κι ντιστρόφως.

21 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 1 Ασύµπτωτες Υπερβολής Ως σύµπτωτες της υπερβολής (µε ηµιάξονες, β) στην Ε.Γ. ορίζοντι οι ευθείες που διέρχοντι πό το κέντρο συµµετρίς της υπερβολής (µέσο Ο της εστικής πόστσης ΕΣ) κι σχηµτίζουν µε την ευθεί υτή (οξεί) γωνί ω (Σχήµ 11) µε β PH εφω = =. OH ΠΡΟΤΑΣΗ 11 Οι σύµπτωτες υπερβολής δεν έχουν κοινά σηµεί µε την υπερβολή κι κάθε ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο συµµετρίς της κι βρίσκετι εντός της γωνίς (ω) των σύµπτωτων (που βρίσκετι η υπερβολή), τέµνει την υπερβολή. (Αυτές οι ιδιότητες συνιστούν τη γεωµετρική - κι πργµτική - σηµσί της έννοις σύµπτωτης) Απόδειξη Έστω ότι η σύµπτωτη ΟΡ τέµνει την υπερβολή σ έν σηµείο Ρ (Σχήµ PH β 11). Έχουµε = _ ΟH ΟH PH _ PH = ΟH κι λόγω ή ΟΗ PH β = ΟH = ΟΗ, άτοπο. προκύπτει Προφνώς κι η συµµετρική της ως προς την ευθεί ΕΣ δεν έχει κοινά σηµεί µε την υπερβολή. Άρ οι σύµπτωτες δεν τέµνουν την υπερβολή. Έστω τώρ µι ευθεί ΟΧ (Σχήµ 11) εντός της γωνίς των σύµπτωτων. που βρίσκετι ο ένς κλάδος της υπερβολής. Τότε, ν θ η (οξεί) γωνί της µε την ευθεί ΕΣ θ είνι 0 < εφθ < εφω = β. Θ δείξουµε ότι η ΟΧ τέµνει την υπερβολή.

22 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης X Σχήµ 11 Ρ M Ε Ο ω ω θ Σ Η Π Ανζητούµε κοινό σηµείο Μ της υπερβολής κι της ΟΧ, δηλδή τέτοιο ώστε ΟΠ ΜΠ _ β = M Π (1) κι εφθ = () ΟΠ Από τις σχέσεις υτές µε πλοιφή του ΜΠ προκύπτει ΟΠ β = (3). _ β εφ θ Εποµένως, ν πάνω στον κύριο άξον της υπερβολής πάρουµε τµήµ ΟΠ τέτοιο ώστε ν ισχύει η (3), το ντίστοιχο σηµείο της υπερβολής Μ, θ ικνοποιεί την (1) κι κτά συνέπει, όπως εύκολ προκύπτει, κι την (), άρ θ νήκει κι στην ευθεί ΟΧ. Σηµειώσεις 1. Η προηγούµενη πόδειξη στο δεύτερο µέρος, είνι κυρίως λγεβρική. Το τµήµ ΟΠ δεν κτσκευάζετι πάντ µε τον κνόν κι τον διβήτη. Υπάρχει κι κθρά γεωµετρική λλά λόγω έκτσης (χρησιµοποιεί µη γνωστές προτάσεις) δεν την νφέρουµε.. Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει θεώρηση των σύµπτωτων υπερβολής µε Α. Γ..

23 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 3 ΠΡΟΤΑΣΗ 1 (Εφρµογή σχ. βιβλίου, σελίδ 11) «Το γινόµενο των ποστάσεων ενός σηµείου υπερβολής πό σύµπτωτές της είνι στθερό». τις Λύση Έστω σηµείο Μ (Σχήµ 1) H υπερβολής (µε στθερή διφορά Γ, εστική πόστση γ, + β = γ ), ΜΓ, Μ τ κάθετ τµήµτ προς τις σύµπτωτες κι O η κάθετη πό το Μ στον κύριο ω άξον (των εστιών) της A ω Β M K υπερβολής που τον τέµνει στο σηµείο Κ κι την υπερβολή στ σηµεί Η, Ρ. Θ προσπθήσουµε ν δηµιουργήσουµε το γινόµενο Σχήµ 1 P ΜΓ Μ (πό πού λλού;) µέσ πό όµοι τρίγων. Από τ όµοι ορθογώνι τρίγων ΗΓΜ, ΟΗΚ έχουµε MΓ ΗΜ = (1) ΟΚ ΟΗ M ΜΡ Επίσης πό τ όµοι τρίγων ΟΚΡ, ΜΡ έχουµε = () ΟΚ ΟΡ Από τις δυο προηγούµενες σχέσεις µε πολλ/σµό προκύπτει (ΟΗ = ΟΡ) MΓ M ΗΜ ΜΡ = (3) ΟΚ ΟΗ Επίσης έχουµε ΗΜ ΜΡ = (ΗΚ - ΜΚ)(ΗΚ + ΜΚ) = ΗΚ - ΜΚ (4) β λλά ΗΚ = OK κι (πό Πόρισµ 9.1) MK β β = ή MK + β = OK = ΗΚ. _ OK Έτσι πό την (4) προκύπτει ΗΜ ΜΡ = β (5) Επίσης είνι ΟΗ = ΟΚ + ΗΚ = ΟΚ β + OK = OK + β (6)

24 4 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Έτσι πό την (3), λόγω των (5), (6), προκύπτει τελικά β ΜΓ Μ = + β στθερό. Σηµείωση Στις σελίδ 1 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της προηγούµενης ιδιότητς µε Α. Γ.. ΠΟΡΙΣΜΑ 1.1 Αν η κάθετη πό έν σηµείο Μ υπερβολής προς τον κύριο άξονά της, τέµνει τις σύµπτωτες στ σηµεί Η, Ρ τότε ΗΜ ΜΡ= β. ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Αν πό έν σηµείο ισοσκελούς υπερβολής φέρουµε κάθετες προς τις σύµπτωτές της, τότε το εµβδόν του σχηµτιζόµενου ορθογωνίου είνι στθερό κι ίσο µε /.- * * * Bιβλιογρφί 1. Απολλωνίου Κωνικά (1975, 1976).Τόµος Α, Β, Γ,, µετάφρση Ε. Σ. Στµάτη, Έκδοση Τ.Ε.Ε., Αθήν.. Αρχιµήδους Άπντ (1970, 1973). Τόµος Α - µέρος Β, µετάφρση Ε. Σ. Στµάτη, Έκδοση Τ.Ε.Ε., Αθήν. 3. Heath Th. (001), Ιστορί των Ελληνικών Μθηµτικών, Τόµος Ι, II, µετάφρση, έκδοση Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ., Αθήν. 4. Μπουνάκη.(005). Ιστορί κι µελέτη µε Ευκλείδει µέσ των Κωνικών Τοµών (Μετπτυχική εργσί, Πνεπιστήµιο Κρήτης) 5. Πάππου, Συνγωγή (001, 004).Επιµέλει κι µετάφρση Ε. Σπνδάγος, Εκδόσεις Αίθρ, Αθήν. 6. Πρόκλου (001, 00).Υπόµνηµ στο Βιβλίο στων Στοιχείων του Ευκλείδου, ( τόµοι), επιµέλει κι µετάφρση Ε. Σπνδάγος, Εκδόσεις Αίθρ. 7. Τoomer J. G. (1975).Diocles on Burning Mirrors, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York. -

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μθημτικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, 18 Δεκεμβρίου 009 ΓΕΝΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

3. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο K( x0, y0 ) και ακτίνα ρ.

3. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο K( x0, y0 ) και ακτίνα ρ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Ο ΚΥΚΛΟΣ. Ν βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο(, κι κτίν ρ. Ποιος κύκλος ονομάζετι μονδιίος ; Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(,

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης 4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις σελίδας

Γενικές ασκήσεις σελίδας Γενικές σκσεις σελίδς 9 3. ίνετι η εξίσωση + λ 0 (), όπου λ R. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε τιµ του λ, η () πριστάνει κύκλο, του οποίου ζητείτι ν ρεθεί το κέντρο κι η κτίν. (ii) Ν ποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) 0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών 0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Ζήτηµ 1ο Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος Γενίκευση Πυθγόρειου ϑεωρήµτος Λυγάτσικς Ζήνων Πρότυπο Πειρµτικό Γ.Ε.Λ. Βρβκείου Σχολής 11 εκεµβρίου 01 Εισγωγή ίνουµε δύο σκήσεις που έχουν σν φετηρί το ϑεώρηµ του συνηµιτόνου. Αρχίζουµε µε έν γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλιο ο: ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστόάθος» 1. * Η εξίσωση + = ( > 0) πριστάνει κύκλο.. * Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 πριστάνει πάντ κύκλο.. * Ο κύκλος µε κέντρο Κ (1, 1) που περνά πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι

Διαβάστε περισσότερα

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλει : Αθνσιάδης Χράλμπος Μθημτικός . ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

(1). ΒΓ ˆ, οπότε Γ ˆ ˆ

(1). ΒΓ ˆ, οπότε Γ ˆ ˆ 4 ο φυλλάδιο νισοτικές σχέσεις (τριωνική νισότητ) (Version 10-7-016) 3.1 Θεώρημ Κάθε πλευρά τριώνου είνι μικρότερη πό το άθροισμ των δύο άλλων κι μελύτερη πό τη διφορά τους. Απόδειξη: Έστω τρίωνο ΑΒΓ.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙ: Κεφάλιο 1 ο σικά γεωμετρικά σχήμτ- Μέτρηση γωνίς μέτρηση μήκους - κτσκευές ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ = 6cm, ν πάρετε έν σημείο Γ, τέτοιο ώστε Γ = 2cm κι έν σημείο Δ, τέτοιο ώστε Δ =

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Προυσίσ τις ποδείξεις κάπως νλυτικά ώστε ν γίνουν πιο κτνοητές.εσείς μπορείτε ν τις προυσιάσετε πιο λιτά. Δίνετι τυχόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ˆΑ=1 =1 ορθή) κι Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσ.ν

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχεδίση µε τη χρήση Η/Υ Κ Ε Φ Λ Ι 1 Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Κ Τ Σ Κ Ε Υ Ε Σ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Σ Ν Θ Π Υ Λ Σ, Ε Π Ι Κ Υ Ρ Σ Κ Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Ι Ι Κ Η Σ Η Σ Κ Ι Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Η Σ Ε Ρ Γ Ω Ν Τ Ε Ι Λ Ρ Ι Σ Σ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

γεωμετρικών καμπύλων. Επειδή από τις αναλογίες (1) προκύπτει x y y (4), συμπεραίνουμε ότι τα μήκη των x y 2

γεωμετρικών καμπύλων. Επειδή από τις αναλογίες (1) προκύπτει x y y (4), συμπεραίνουμε ότι τα μήκη των x y 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισωή Η μελέτη της έλλειψης, της προλής κι της υπερολής πό τους Αρχίους Έλληνες μθημτικούς φίνετι ότι είχε φετηρί τη σχέση υτών των κμπύλων με ορισμέν προλήμτ εωμετρικών κτσκευών, όπως,

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )

Διαβάστε περισσότερα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα 1 7.1 7.7 ΘΩΡΙ 1. ύο θεµελιώδεις ισοδυνµίες ν, β 0 ευθ.τµήµτ κι x > 0 τότε = β x β = x = xβ = xβ 2. Ιδιότητες νλογιών β = γ δ δ = βγ (γινόµενο άκρων = γινόµενο µέσων) β = γ δ γ = β δ (ενλλγή των µέσων)

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

9.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 194. Ερωτήσεις κατανόησης. Στο παρακάτω σχήµα να συµπληρώσετε τα κενά Λύση

9.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 194. Ερωτήσεις κατανόησης. Στο παρακάτω σχήµα να συµπληρώσετε τα κενά Λύση 1 9.4 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 194 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ ν συµπληρώσετε τ κενά Ε i) = + +. ii) = + +.Ε. Ν βρεθεί το είδος των ωνιών του τριώνου ότν i) β = + ii) = β iii) β = i) β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

5 3 (iii) Όταν έχει εστίες τα σηµεία Ε ( 5, 0), Ε( 5, 0) και διέρχεται από το 5 = = 144, C : β = α = 5 3 α =.6 64 = 1. y = α β. ( γ 2 (5.

5 3 (iii) Όταν έχει εστίες τα σηµεία Ε ( 5, 0), Ε( 5, 0) και διέρχεται από το 5 = = 144, C : β = α = 5 3 α =.6 64 = 1. y = α β. ( γ 2 (5. . Ασκήσεις σχοικού ιίου σείδς A Οµάδς. Ν είτε την εξίσωση της υπεοής σε κθεµιά πό τις πκάτω πειπτώσεις : (i) Ότν έχει εστίες τ σηµεί Ε (, 0), Ε(, 0) κι κουφές τ σηµεί Α(5, 0) κι Α ( 5, 0). (ii) Ότν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ όγος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ κι Γ ονοµάζετι ο θετικός ριθµός λ γι τον οποίο ΑΒ ισχύει : AB = λ Γ = λ. Γ Μέτρο ενός ευθυγράµµου τµήµτος είνι ο λόγος του προς έν άλλο ευθύγρµµο

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα