H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου"

Transcript

1 H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι, ως γνωστόν, στο Λύκειο κι το Πνεπιστήµιο κτά πράδοση ποκλειστικά µε µεθόδους της Ανλυτικής Γεωµετρίς, έχει δηµιουργήσει σε µθητές, φοιτητές κι όχι µόνο, την εντύπωση ότι οι κωνικές τοµές δεν είχν µελετηθεί ή δεν µπορούν ν µελετηθούν µε τις µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς. Στην εργσί υτή θ δούµε πως οι βσικές προτάσεις της θεωρίς των κωνικών τοµών κι µερικές εφρµογές της, που υπάρχουν στο τρίτο κεφάλιο των µθηµτικών της Β Λυκείου (κτεύθυνσης), µπορούν ν ποδειχθούν µε µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς. Θ βσιστούµε στους ορισµούς που υπάρχουν στο ντίστοιχο σχολικό βιβλίο της τάξης υτής, ώστε ν είνι εύκολη η πρκολούθηση των σχετικών θεµάτων πό τους συνδέλφους, λλά κι δυντή η ενδεχόµενη διδσκλί ορισµένων τουλάχιστον πό υτά. Αbstract The study of conic sections which is realized, as it is commonly known, in the upper secondary school (Lykeio) and in the University, traditionally exclusively using methods of analytical geometry, has created the impression to students and others that conic sections had not been studied or cannot be studied with the use of Euclidean geometry. This project will indicate how the basic statements of conic sections theory and some of its applications, which are included in chapter three of second grade of upper secondary mathematics book, can be proven using Euclidean geometry s methods.

2 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης We will employ the definitions that the respective book of the mentioned grade contains so that the teachers can not only easily follow the relevant items, but possibly include at least some of those in their teaching plan. Εισγωγή Η πρδοσική µελέτη των κωνικών τοµών µε µεθόδους της Ανλυτικής Γεωµετρίς (Α. Γ.) στην χώρ µς, φίνετι ν ρχίζει πό την εποχή του Νικηφόρου Θεοτόκη ( µ.χ) ο οποίος στο έργο του, Στοιχεί Μθηµτικών εκ πλιών κι νεωτέρων συνερνισθέντ (Μόσχ ) µελετά τις κωνικές τοµές κι µε µεθόδους της Α. Γ., της λεγόµενης τότε κι «υψηλοτέρς Γεωµετρίς». Τ µετέπειτ βιβλί που εκδόθηκν στην Ελλάδ, κυρίως των ρχών του προηγούµενου ιών, ν κι ορισµέν είχν κάποι στοιχεί µελέτης των κωνικών µε µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς (Ε. Γ.) ([4], σελ ), ουσιστικά κυριρχούσε η µελέτη µε µεθόδους της Α.Γ.. Η πράδοση υτή έχει δηµιουργήσει διχρονικά την εντύπωση ότι οι κωνικές τοµές δεν είχν ποτέ µελετηθεί µε µεθόδους της Ε. Γ. Η λήθει βέβι, όπως θ δούµε πρκάτω, είνι εντελώς διφορετική.. Σκοπός του άρθρου υτού είνι : ) Ν κάνει µι σύντοµη ιστορική νφορά στις κωνικές τοµές. β) Ν νδείξει έν µικρό µέρος της µελέτης των κωνικών τοµών µε µεθόδους της Ε.Γ.. γ) Ν γίνει δυντή πό τους συνδέλφους της δευτεροβάθµις εκπίδευσης η σύγκριση των µεθόδων της Ε. Γ., οι οποίες χρκτηρίζοντι πό κοµψότητ κι λιτότητ, σε σχέση µε την λγεβρική βάσνο των µεθόδων της Α. Γ. Αυτό βέβι δεν σηµίνει ότι δεν υπάρχουν κι προβλήµτ Γεωµετρίς που λύνοντι πιο πλά µε την Α. Γ., της οποίς τον ρόλο στ Ανώτερ Μθηµτικά θεωρούµε σηµντικό. Το θέµ όµως της σύγκρισης Α. Γ. κι Ε. Γ. σε επίπεδο Λυκείου κι γενικότερ της Ε. Γ.(Επιπεδοµετρίς κι Στερεοµετρίς) είνι νοικτό κι κάποτε πρέπει ν συζητηθεί στην Μθηµτική κοινότητ. δ) Ν γνωρίσουν οι συνάδελφοι που διδάσκουν στην Β Λυκείου τον τρόπο µελέτης των κωνικών τοµών µε Ε.Γ. κι έτσι ν τον ξιοποιήσουν κτά την κρίση τους στην διδσκλί τους. Έτσι θ µπορέσουν κι οι µθητές ν δουν κι «τον άλλο πλιό κλό δρόµο» ξιοποιώντς κι τις υπάρχουσες γνώσεις τους πό την Ε. Γ.

3 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 3 1. Σύντοµη Ιστορική Ανδροµή Αφορµή γι την νκάλυψη των κωνικών τοµών στην ρχιότητ, φίνετι ότι ήτν το περίφηµο «ήλιον Πρόβληµ»: Ν κτσκευστεί, µε κνόν κι διβήτη, κµή κύβου ο οποίος ν έχει όγκο διπλάσιο του όγκου ενός δοσµένου κύβου. Το πρόβληµ πρέµενε άλυτο γι πολλά χρόνι, µέχρι τη στιγµή που, όπως µς πληροφορεί ο Πρόκλος (450 περίπου µ.χ.), ([4], σελ. ) ο Ιπποκράτης ο Χίος ( 430 π.χ.) έκνε έν σηµντικό βήµ: διπίστωσε ότι το πρόβληµ είνι ισοδύνµο µε το ν πρεµβληθούν δυο µέσες νάλογοι µετξύ των τµηµάτων κι, όπου η κµή του δοθέντος κύβου, δηλδή ν κτσκευστούν τµήµτ κ, λ που ικνοποιούν τις κ λ σχέσεις = =. κ λ Τότε εύκολ προκύπτει κ 3 = 3, δηλδή το ζητούµενο τµήµ είνι το κ. Ο πρώτος που συνέδεσε τ τµήµτ κ, λ µε τις τοµές κώνου φίνετι ότι ήτν ο Μένιχµος ( π. Χ.) ο οποίος κι έδωσε δυο λύσεις στο πρόβληµ υτό ([4], σελ. 3-4). Στην πρώτη θεωρώντς τ τµήµτ κ, λ σν τοµή δυο πρβολών (x = y, y = x) κι στη δεύτερη σν τοµή µις πρβολής κι µις υπερβολής (x = y, xy = ). Στην συνέχει µε τις κωνικές τοµές, όπως µς πληροφορεί ο Πάππος στην Συνγωγή του ([4], σελ. 5) σχολήθηκν ο Αριστίος ο πρεσβύτερος (30 π.χ. περίπου) κι ο Ευκλείδης (300 π. Χ.) που έγρψν σχετικά βιβλί. Με τις κωνικές τοµές όµως σχολήθηκε κι ο Αρχιµήδης (87-1 π.χ.), ο οποίος, κυρίως στο έργο του Τετργωνισµός Ορθογωνίου κώνου τοµής, χρησιµοποιεί προτάσεις των κωνικών τις οποίες θεωρεί γνωστές, µάλλον πό το έργο του Ευκλείδη ([], τόµος β, σελ. 1-5 κι [4], σελ. 7-11). Όµως, η σχεδόν εξντλητική µελέτη των κωνικών τοµών ήλθε τον επόµενο ιών µε τον Απολλώνιο του Περγίο ( π. Χ.), τον επονοµζόµενο κι «Μέγ Γεωµέτρη», µε το περίφηµο έργο του Κωνικά (8 βιβλί, 1 χµένο) ([1] κι [4] σελ.1-39). Στον Απολλώνιο οφείλοντι κι τ ονόµτ (µε γεωµετρικό περιεχόµενο) των κωνικών τοµών που έχουµε κι σήµερ: πρβολή, έλλειψη, υπερβολή, ενώ πριν πό υτόν χρησιµοποιούσν τ ονόµτ ορθογωνίου, οξυγωνίου κι µβλυγωνίου κώνου τοµή ντίστοιχ. Μι άλλη σηµντική κινοτοµί

4 4 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης του Απολλώνιου είνι ότι υλοποίησε κι τις τρεις κµπύλες στον ίδιο κυκλικό (ορθό ή µη) κώνο µε κτάλληλες τοµές. Με τις κωνικές τοµές σχολήθηκε κι ο ιοκλής (περίπου 180 π.χ.) στο έργο του Περί Πυρείων ([4], σελ κι [7]), όπου νφέρει κι την ιδιότητ εστίς κι διευθετούσς στην πρβολή, γι την οποί δεν κάνει λόγο ο Απολλώνιος. Μι σηµντική κινοτοµί στις κωνικές πρόσφερε κι ο τελευτίος µεγάλος ρχίος Έλληνς µθηµτικός Πάππος ο Αλεξνδρινός (περίπου 300 µ.χ.) ο οποίος στο έργο του Συνγωγή (κι σε έν λήµµ του στο έργο του Ευκλείδη Τόποι προς επιφνείις) έδωσε έν ενιίο ορισµό γι τις κωνικές τοµές, τον λεγόµενο ορισµό του λόγου ([4], σελ κι [5]) : Σ έν επίπεδο θεωρούµε έν (στθερό) σηµείο Ε κι µι (στθερή) ευθεί (δ), στην οποί δεν νήκει το σηµείο Ε. Κλούµε κωνική τοµή το σύνολο των σηµείων του επιπέδου (που ορίζει η (δ) κι το Ε) τ οποί έχουν την ιδιότητ, ο λόγος, ε, των ποστάσεων τους πό το σηµείο Ε κι την ευθεί (δ), ν είνι στθερός (ν ε = 1 έχουµε την πρβολή, ν 0 < ε < 1 έχουµε την έλλειψη κι ν ε > 1 έχουµε την υπερβολή). Στην περίπτωση βέβι που δοθεί ο πρπάνω ορισµός οι γνωστοί ορισµοί της έλλειψης κι της υπερβολής (εστικοί ορισµοί) ποδεικνύοντι ως προτάσεις κι ντίστροφ. O επόµενος µεγάλος στθµός στην πορεί µελέτης των κωνικών τοµών ήτν η µελέτη τους υπό το πρίσµ της Προβολικής Γεωµετρίς πό τον 17 ο ιών κι µετά (Desargues, Gergone, Poncelet. Chasles, Steiner κ.ά, βλ. [4], σελ. 6-71), λλά ενδιφέρον γι τις κωνικές τοµές υπήρξε κι πριν, λόγω κι των εφρµογών τους στην Αστρονοµί (τροχιές πλνητών, κοµητών κλπ). Η προβολική Γεωµετρί είνι η µι κτεύθυνση µελέτης των κωνικών, η λεγόµενη συνθετική. Η άλλη είνι η γνωστή µς Ανλυτική Γεωµετρί (Α. Γ.) η οποί νπτύχθηκε πράλληλ µε την νάπτυξη της Άλγεβρς πό τον 16 ο ιών κι µετά. Μπροστά σε υτή την εθνική κληρονοµιά, το πύγσµ θ έλεγ της Αρχίς Ελληνικής Γεωµετρικής σκέψης, θεώρησ σκόπιµο ν προυσιάσω τις ποδείξεις των βσικών προτάσεων κι µερικών εφρµογών της θεωρίς των κωνικών τοµών (εκτός του κύκλου), που υπάρχουν στο τωρινό σχολικό βιβλίο της Β Λυκείου κτεύθυνσης µε µεθόδους της Ε. Γ. κι µε βάση τους ορισµούς που υπάρχουν στο βιβλίο υτό (οι ρχίοι Έλληνες Γεωµέτρες όριζν τις κωνικές τοµές διφορετικά, λλά ισοδύνµ).

5 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 5. ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (χρκτηριστική ιδιότητ πρβολής) Έστω πρβολή µε εστί Ε κι διευθετούσ (δ), EK = p η πόστση του Ε πό την (δ) κι Ο το µέσο του ΕΚ. Έν σηµείο Μ νήκει στην πρβολή, ν κι µόνο ν ισχύει ΜΠ =poπ, όπου Π η προβολή του Μ στον άξον ΟΕ της πρβολής. Απόδειξη Έχουµε (Σχήµ 1) KΕ = p, ΟΕ = p/, ΜΕ = ΜΗ ΜΕ = (ΚΕ + EΠ) ΜΕ = ΕΠ + p + peπ ΜΕ ΕΠ = p( p + EΠ) Η (δ) M ΜΠ = poπ K Σχήµ 1 O E Π Η ισοδυνµί υτή ισχύει κι ότν το Μ είνι η κορυφή της πρβολής. Σηµείωση Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη του προηγουµένου θεωρήµτος µε Α. Γ. (ως εξίσωση πρβολής). ΠΟΡΙΣΜΑ 1.1 Η ευθεί ΕΚ είνι άξονς συµµετρίς της πρβολής. (Υπ. Αν Μ το συµµετρικού ενός σηµείου Μ της πρβολής τότε ΜΠ = Μ Π, οπότε Μ Π = poπ κλπ) ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Το µήκος µις χορδής πρβολής που διέρχετι πό την εστί της κι είνι κάθετη στον άξονά της (εστικτοµή) είνι ίσο µε p = ΕΚ. Ο ριθµός υτός (κι όχι ο p) λέγετι πράµετρος της πρβολής.

6 6 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Ιστορική Σηµείωση Η σχέση ΜΠ = poπ («σύµπτωµ» κτά τους ρχίους Έλληνες γεωµέτρες, που εκφράζει ισότητ εµβδών) στην Α.Γ. ντιστοιχεί στην γνωστή µς εξίσωση πρβολής.h σχέση υτή ποδεικνύετι γι οποιδήποτε διάµετρο πρβολής (:ευθεί που είνι πράλληλη στον άξονά της) κι την εφπτοµένη στο άκρο της κι υτήν την σχέση κι σε υτήν την περίπτωση, εξήγγε ο Απολλώνιος π ευθείς πάνω στην τοµή κώνου µε επίπεδο που είνι πράλληλο σε µι γενέτειρ του (κυκλικού) κώνου ορθού ή µη. Μάλιστ επειδή ΜΠ = (πράµετρος) ΟΠ, δηλδή το τετράγωνο πλευράς ΜΠ είνι ισοδύνµο («πρβάλλετι») µε το ορθογώνιο µε διστάσεις p, ΟΠ, ο Απολλώνιος ονόµσε (γι πρώτη φορά) την τοµήκµπύλη υτή πρβολή ([1] τόµος, Πρότση 11, σελ. 30 κι [4], σελ. -5). ΠΡΟΤΑΣΗ (Εφρµογή σχ. βιβλίου, σελίδ 9) «Μι χορδή πρβολής τέµνει την πρβολή στ σηµεί Α, Β κι διέρχετι πό την εστί της Ε. Ν ποδειχθεί ότι το γινόµενο των ποστάσεων των Α, Β πό τον άξον της πρβολής είνι στθερό». Απόδειξη Έστω πρβολή µε διευθετούσ (δ), A P εστί Ε κι πράµετρο ΕΚ = p (Σχήµ ). Αν πράγµτι το γινόµενο υτό είνι (δ) στθερό, θ είνι το ίδιο γι οποιοδήποτε χορδή που διέρχετι πό την εστί, άρ κι γι την κάθετη στον άξον. Εύκολ K Η βρίσκουµε τότε ότι γι την χορδή O E Z υτή,(δηλ. ότν ΑΒ ΚΖ) οι προβολές είνι ΑΖ=ΑΕ=ΒΗ=ΒΕ κι ισχύει ΑΖ ΒΗ=ΑΕ ΒΕ=ΑΕ =ΑΖ = ΑΡ =p. Θ B Σχήµ Θ προσπθήσουµε λοιπόν ν δείξουµε υτό. Είνι ΑΖ = poz, BH = poh, οπότε ΑΖ ΒΗ = 4p ΟΖ OH (1) Από τ όµοι τρίγων ΑΕΖ, ΗΒΕ έχουµε (ΑΕ=ΑΡ=ΚΖ, ΒΕ =ΒΘ=ΚH)

7 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 7 AE EZ KZ EZ = ή = BE HE KH HE ή p / p / + OZ + OH OZ p / = p / OH = p OH = OZ p Οπότε 4ΟΖ OH = p κι πό την (1), ΑΖ ΒΗ = p. Πρτηρούµε ότι κι το γινόµενο των ποστάσεων των προβολών των Α, Β στον άξον της πρβολής, πό την κορυφή της πρβολής είνι στθερό (κι ίσο µε p /4). Σηµείωση Στις σελίδες 9-93 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της προηγούµενης ιδιότητς µε Α. Γ. Σχετική άσκηση Ισχύει το ντίστροφο: Αν το γινόµενο των ποστάσεων των άκρων µις χορδής ΑΒ πρβολής πό τον άξονά της είνι ίσο µε p, τότε η χορδή υτή διέρχετι πό την εστί της πρβολής. Ορισµός Εφπτοµένης Κωνικής Εφπτοµένη µις πρβολής (κι γενικά µις κωνικής: κύκλου, έλλειψης, υπερβολής) σ έν σηµείο της, λέµε την ευθεί της οποίς όλ τ σηµεί, εκτός του σηµείου υτού βρίσκοντι εκτός της κωνικής (δηλδή δεν υπάρχουν σηµεί της ευθείς εντός του επιπέδου µέρους της κωνικής όπου βρίσκοντι οι εστίες). Αποδεικνύετι ότι η εφπτοµένη σ έν σηµείο κωνικής είνι µονδική. Προκειµένου ν ποδείξουµε την νκλστική ιδιότητ της πρβολής θ χρειστούµε τ πρκάτω λήµµτ (το δεύτερο χρειάζετι µόνο γι ν δούµε κι έν δεύτερο τρόπο πόδειξης). ΛΗΜΜΑ 1 Έν σηµείο του επιπέδου της πρβολής βρίσκετι εκτός υτής (εκτός του κοίλου µέρους της όπου βρίσκετι η εστί) ν κι µόνο ν η πόστσή του πό την εστί της είνι µεγλύτερη πό την πόστσή του πό την διευθετούσ της (φήνετι ως άσκηση, βλ. κι [4] σελ.130).

8 8 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΛΗΜΜΑ Έστω (δ) κι (ε) δυο (στθερές) ευθείες τεµνόµενες στο σηµείο Λ κι Ε έν (στθερό) σηµείο εκτός υτών. Αν Ρ σηµείο της ευθείς (ε) κι ΡΖ PΕ κάθετη στην (δ), τότε ο λόγος γίνετι ελάχιστος ν κι µόνο η ΡΕ PΖ είνι κάθετη στην ΕΛ. (Αφήνετι ως άσκηση. Υπ. Θεωρούµε την κάθετη ΡΠ πό το Ρ στην ΕΛ, PΕ PE ΡΠ ΡΛ είνι = κλπ, βλ. κι [4], σελ. 136). PΖ ΡΠ ΡΛ ΡΖ ΠΡΟΤΑΣΗ 3 (Εφπτοµένη κι διευθετούσ) Έστω Μ σηµείο πρβολής κι Η η προβολή του στην διευθετούσ της. Τότε η διχοτόµος της γωνίς ΗΜΕ (η µεσοκάθετη του ΗΕ) είνι εφπτοµένη της πρβολής στο Μ κι ντίστροφ. Απόδειξη Έστω Ρ σηµείο της διχοτόµου ΜΛ της γωνίς ΗΜΕ διάφορο του Μ (Σχήµ 3). Θ δείξουµε ότι ΡΕ > ΡΖ. Τ τρίγων ΡΜΕ, ΡΜΗ είνι ίσ, οπότε ΡΕ = ΡΗ κι ΡΗ > ΡΖ, οπότε ΡΕ > ΡΖ. Άρ (Λήµµ 1) όλ τ σηµεί της ΜΛ, εκτός του Μ, βρίσκοντι εκτός της πρβολής. Ζ Ρ Σχήµ 3 Η (δ) Μ Θ Λ Ε Εποµένως η ΜΛ είνι εφπτοµένη της πρβολής. Εντελώς όµοι εργζόµστε ν το Μ είνι κορυφή της πρβολής. Έτσι η κάθετη στην

9 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 9 κορυφή της πρβολής είνι εφπτοµένη της πρβολής (υτό µπορεί ν ποδειχθεί κι διφορετικά). Αντίστροφ: Έστω ΜΛ εφπτοµένη της πρβολής στο Μ. Φέρνουµε την διχοτόµο της γωνίς ΗΜΕ, οπότε θ νι εφπτοµένη στο Μ κι λόγω της µονδικότητς της εφπτοµένης (πρλείπουµε εδώ την πόδειξη υτής πρότσης, βλ. άσκηση πρκάτω) η ΜΛ είνι διχοτόµος της ΗΜΕ. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 (Ανκλστική ιδιότητ της πρβολής) Η εφπτοµένη σ έν σηµείο Μ πρβολής σχηµτίζει ίσες γωνίες µε την εστική κτίν ΜΕ κι την πράλληλη πό το Μ προς τον άξον της πρβολής κι ντίστροφ. Απόδειξη Α τρόπος: Έστω ΜΛ εφπτοµένη στο Μ (Σχήµ 3), οπότε σύµφων µε την προηγούµενη πρότση είνι διχοτόµος της γωνίς ΗΜΕ κι λόγω ΡΜΘ = ΛΜH, έχουµε ΡΜΘ = ΛΜΕ. Αντίστροφ: Προκύπτει πό την Πρότση 3, φού η ευθεί υτή θ είνι διχοτόµος της γωνίς HME. Β τρόπος: Γι κάθε σηµείο Ρ της εφπτοµένης ΜΛ έχουµε (βλ. Λήµµ P ΜΕ 1) ΡΕ ΡΖ ή Ε 1 =, δηλδή το Μ ελχιστοποιεί τον λόγο ΡΕ/ΡΖ, PΖ ΜΗ οπότε πό το Λήµµ ( πρπάνω) η ΛΕ είνι κάθετη στην ΜΕ. Έτσι τ ορθογώνι τρίγων ΛΗΜ, ΛΕΜ είνι ίσ, οπότε HΜΛ = ΛΜΕ κλπ. Σηµείωση Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της ιδιότητς υτής µε Α.Γ.. Απλά το σχ. βιβλίο διτυπώνει την ιδιότητ σε σχέση µε κάθετη στην εφπτοµένη στο σηµείο Μ (προφνώς ισοδύνµ, βλ. επόµενο πόρισµ).

10 10 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΟΡΙΣΜΑ 4.1 Η κάθετη στην πρβολή σ έν σηµείο της Μ (δηλδή η κάθετη στην εφπτοµένη της πρβολής στο σηµείο υτό, σχήµ 3) διχοτοµεί την γωνί ΕΜΘ. ΠΟΡΙΣΜΑ 4. (εφρµογή σχ. βιβλίου, σελ. 98) Το τµήµ της εφπτοµένη µις πρβολής, πό το σηµείο επφής µέχρι την διευθετούσ της, φίνετι πό την εστί της µε ορθή γωνί. (Υπόδειξη : τ τρίγων ΛΜΗ, ΛΜΕ είνι ίσ κλπ.) Σηµειώσεις 1. Στην σελίδ 98 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη του πρπάνω πορίσµτος 4. µε Α. Γ... Το πόρισµ 4. µς δίνει έν τρόπο γι ν κτσκευάσουµε (µε κνόν κι διβήτη) την εφπτοµένη σ έν σηµείο (δεδοµένης) πρβολής. Άσκηση Ν δειχθεί ότι η εφπτοµένη πρβολής σε έν σηµείο της είνι µονδική. (Υπ. Πόρισµ 4. κι Λήµµ ) 3. ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 5 (χρκτηριστική ιδιότητ έλλειψης) Έστω έλλειψη µε στθερό άθροισµ, εστική πόστση ΕΣ = γ < κι Ο το µέσο του ΕΣ. Έν σηµείο Μ του επιπέδου της έλλειψης νήκει ΟΠ ΜΠ στην έλλειψη, ν κι µόνο ν ισχύει + = 1, όπου Π η β προβολή του Μ στον µεγάλο της άξον κι β = - γ. Απόδειξη Είνι (Σχήµ 4) ΟΕ = ΟΣ = γ, ΟΑ = ΟΒ =.Από το Πυθγόρειο θεώρηµ έχουµε ΜΕ = ΜΠ + (γ + ΟΠ), ΜΣ = ΜΠ +(γ - ΟΠ) (1) Αν ΜΕ ΜΣ (όµοι εργζόµστε ν ΜΣ > ΜΕ) µε φίρεση των (1) (ή πό το ο θεώρηµ των διµέσων) πίρνουµε ΜΕ ΜΣ = ΕΣ ΟΠ = 4γΟΠ ()

11 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 11 Οι σχέσεις (1), () είνι νεξάρτητες της ιδιότητς της έλλειψης. M Σχήµ 4 Α E Ο Π Σ Β γ Έστω ΜΕ + ΜΣ = (3), οπότε η () γίνετι ΜΕ - ΜΣ = ΟΠ (4) γ γ Από (3), (4) προκύπτει ΜΕ = + ΟΠ, ΜΣ = - ΟΠ (5) Προφνώς η (3) είνι ισοδύνµη µε το σύστηµ των (5) Λόγω της πρώτης των (1), έχουµε γ ΜΕ = + ΟΠ ΜΕ γ = ( + ΟΠ ) ΜΠ + ΟΠ + γ = γ ΟΠ ΜΠ + ΟΠ + = 1 (6) β Όµοι βρίσκουµε ότι κι η δεύτερη των (5) είνι ισοδύνµη µε την (6). Άρ τελικά η (6) είνι ισοδύνµη µε την (3). Σηµείωση Στις σελίδ 10 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη µε Α. Γ. του προηγουµένου θεωρήµτος (ως εξίσωση έλλειψης). ΠΟΡΙΣΜΑ 5.1 Έστω έλλειψη µε στθερό άθροισµ, εστική πόστση ΕΣ = γ < κι β = - γ. Έν σηµείο Μ του επιπέδου της νήκει στην έλλειψη, ν MΠ β MΠ β κι µόνο ν ισχύει = ή = _ ΟΠ ΠΑ ΠΒ όπου Π η προβολή του Μ στην ευθεί ΕΣ (ευθεί µεγάλου άξον της έλλειψης) κι Α, Β είνι τ σηµεί τοµής της έλλειψης µε τον µεγάλο της άξον.

12 1 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΟΡΙΣΜΑ 5. Η ευθεί η οποί ορίζετι πό τις εστίες έλλειψης, όπως κι η κάθετη στο µέσο Ο της εστικής πόστσης, είνι άξονες συµµετρίς της έλλειψης, ενώ το µέσο Ο είνι το κέντρο συµµετρίς της. ΠΟΡΙΣΜΑ 5.3 Το µήκος µις χορδής έλλειψης που διέρχετι πό µι εστί της κι είνι κάθετη στον µεγάλο της άξον (εστικτοµής) είνι ίσο µε β p =.Ο ριθµός υτός λέγετι πράµετρος της έλλειψης. Ιστορική Σηµείωση Στ ρχί κείµεν η πρπάνω χρκτηριστική ιδιότητ της έλλειψης εµφνίζετι στην (πιο εύχρηστη κι ζωντνή γεωµετρικά µορφή: λόγος MΠ β εµβδών) = ( : «σύµπτωµ» της κωνικής υτής, κτά τους ΠΑ ΠΒ ρχίους Έλληνες Γεωµέτρες) η οποί όπως είδµε είνι ισοδύνµη (πόρισµ 5.1) µε την γνωστή εξίσωση έλλειψης της Α.Γ.. H σχέση υτή ποδεικνύετι γι οποιδήποτε διάµετρο έλλειψης (ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο συµµετρίς της) κι την εφπτοµένη στο έν άκρο της (π.χ. Α) κι υτήν την σχέση, σ υτήν την γενική περίπτωση, εξήγγε ο Απολλώνιος π ευθείς πάνω στην τοµή κώνου µε επίπεδο που τέµνει όλες τις γενέτειρες του. Μάλιστ επειδή ΜΠ < ΠΑ p, (p πράµετρος, Σχήµ 4), δηλδή το τετράγωνο της ΜΠ είνι µικρότερο («ελλείπειν») του ορθογωνίου µε διστάσεις ΠΑ, p, ονόµσε (γι πρώτη φορά) την τοµή-κµπύλη υτή Έλλειψη ([1] τόµος, Πρότση 13, σελ. 38 κι [4], σελ. 9-3 ). ΠΡΟΤΑΣΗ 6 (θεωρί σχ. βιβλίου, σελίδ 104) Η µικρότερη διάµετρος µις έλλειψης είνι ο µικρός της άξονς κι η µεγλύτερη ο µεγάλος της άξονς. Απόδειξη Έστω µι έλλειψη µε ηµιάξονες, β, > β, κι εστίες Ε, Σ (Σχήµ 5).. Αρκεί ν δειχθεί ότι γι κάθε διάµετρο της έλλειψης Γ ισχύει

13 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 13 β Γ, εφόσον κι οι άξονες της έλλειψης είνι προφνώς κι διάµετροι υτής. Αρκεί σφλώς ν δειχθεί ότι β ΟΓ. Από το τρίγωνο ΓΣ κι το πρλληλόγρµµο ΕΓΣ (Ο κέντρο συµµετρίς έλλειψης) έχουµε Γ =ΟΓ ΓΣ+Σ =ΓΣ+ΓΕ=, οπότε ΟΓ. Είνι ΟΓ = ΓΠ + ΟΠ κι επειδή το Γ είνι σηµείο της έλλειψης (βλ. Πόρισµ 5.1) έχουµε ΓΠ = β - Άρ β ΟΠ. Α ΟΓ = β β - ΟΠ + ΟΠ = β + ΟΠ β (1 - ) β, εποµένως ΟΓ β. Η ισότητ ισχύει ότν ΟΠ=0, δηλδή ότν η ΟΓ τυτίζετι µε τον µικρό ηµιάξον. Προκειµένου ν ποδείξουµε την νκλστική ιδιότητ της έλλειψης θ χρειστούµε το πρκάτω λήµµ. Ε Γ Π Σχήµ 5 Ο Σ Β ΛΗΜΜΑ 3 Έν σηµείο Α του επιπέδου της έλλειψης βρίσκετι εκτός υτής, ν κι µόνο ν, το άθροισµ των ποστάσεών του πό τις εστίες της είνι µεγλύτερο του. (Υπ: εφρµόζουµε την τριγωνική νισότητ στο τρίγωνο ΑΓΕ (Σχήµ 6)). ΘΕΩΡΗΜΑ 7 (Ανκλστική ιδιότητ της έλλειψης) Αν µι ευθεί είνι εφπτοµένη σ έν σηµείο Μ µις έλλειψης, τότε σχηµτίζει ίσες γωνίες µε τις εστικές κτίνες MΕ κι MΣ κι ντιστρόφως.

14 14 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Απόδειξη Έστω Α (Σχήµ 6) τυχόν σηµείο της εφπτοµένης στο Β Μ, διάφορο του Μ, οπότε Σχήµ 6 είνι εκτός της έλλειψης. Έχουµε ΑΕ + ΑΣ = ΑΕ+ΑΓ+ΓΣ > ΕΓ+ΓΣ = Άρ γι το τυχόν σηµείο Α Α της εφπτοµένης ισχύει, Μ ΑΕ + ΑΣ = ΜΕ + ΜΣ, µε ισότητ µόνο ότν το Α Γ Τ συµπίπτει µε το Μ. Αυτό όµως συµβίνει, ως γνωστόν µόνο ν AME = ΣMT (ν Β το συµµετρικό του Ε ως προς την ΑΜ, τότε ΑΕ + ΑΣ = Ε Σ ΒΑ + ΑΣ ΒΣ, οπότε υτό γίνετι ελάχιστο ν Β, Α, Σ συνευθεικά, δηλ. το Α τυτίζετι µε το Μ κλπ). Αντιστρόφως : Έστω µι ευθεί ΜΤ που διέρχετι πό το σηµείο Μ της έλλειψης µε AME = ΣMT, όπου Α τυχόν σηµείο της ευθείς υτής διάφορο του Μ. Στην προέκτση της ΜΣ θεωρούµε τµήµ ΜΒ = ΜΕ. Τότε πό την ισότητ των τριγώνων ΑΒΜ, ΑΜΕ προκύπτει ΑΕ=ΑΒ. Έχουµε ΑΕ + ΑΣ = ΑΒ + ΑΣ > ΒΣ = ΒΜ + ΜΣ = ΜΕ + ΜΣ =, άρ το σηµείο Α βρίσκετι εκτός της έλλειψης (βλ. Λήµµ 3). Εποµένως η ευθεί υτή είνι εφπτοµένη της έλλειψης στο Μ. ΠΟΡΙΣΜΑ 7 Η κάθετη στην έλλειψη σ έν σηµείο της Μ (δηλδή η κάθετη στην εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο υτό) διχοτοµεί την γωνί ΕΜΣ. Σηµείωση: Με βάση το πόρισµ µπορούµε ν κτσκευάσουµε (µε κνόν κι διβήτη) την εφπτοµένη (δεδοµένης) έλλειψης σε έν σηµείο της.

15 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 15 ΠΡΟΤΑΣΗ 8 (Σχ. βιβλίο, εφρµογή σελίδς 109) Έστω έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξον, µικρό β, εστίες Ε, Σ κι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο τοµής των ξόνων της έλλειψης κι κτίν. Aπό έν σηµείο Μ της έλλειψης, εκτός των κορυφών της, θεωρούµε την κάθετη στον µεγάλο άξονά της που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ν. Τότε η εφπτοµένη του κύκλου στο Ν κι της έλλειψης στο Μ τέµνοντι πάνω στην ευθεί του µεγάλου άξον της έλλειψης. Απόδειξη Έστω ότι η εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο Μ τέµνει τον µεγάλο άξον στο Τ (Σχήµ 7). Αρκεί ν δειχθεί ότι η ΤΝ είνι εφπτόµενη του κύκλου ή ότι το τρίγωνο ΟΝΤ είνι ορθογώνιο στο Ν. N H θ M ω Z A E O P Σ Β T Σχήµ 7 Ισοδύνµ ρκεί ν δειχθεί ότι ΟΝ = ΟΡ ΟΤ ή = ΟΡ ΟΤ (τότε τ τρίγων ΟΝΡ, ΟΝΤ είνι όµοι κλπ). Προεκτείνουµε την ΕΜ κτά τµήµ ΜΗ = ΜΣ, οπότε ΗΕ = (συνηθισµένη κίνηση στην έλλειψη). Λόγω κι της νκλστικής ιδιότητς της εφπτοµένης στο Μ, η ΜΤ είνι µεσοκάθετη στο τµήµ ΣΗ, Ζ µέσο του ΣΗ, οπότε ΟΖ = ΗΕ ή ΟΖ =, κι ΟΖ//ΗΕ.

16 16 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης OZ OP Ισοδύνµ τώρ ρκεί ν δειχθεί ότι =, δηλδή ρκεί ν OT OZ δειχθεί ότι τ τρίγων ΟΖΡ, ΟΖΤ είνι όµοι. Ήδη έχουν κοινή την γωνί Ο. Θ δείξουµε ότι κι OZP ZTO =. Από το εγγράψιµο τετράπλευρο ΡΜΖΣ, έχουµε MZP = MΣP κι λόγω ΟΖ//ΜΕ MZO = θ = ω. Έτσι έχουµε OZP = ΜΖΡ - MZΟ = MΣP - ω = MT Σ ( P M Σ εξωτερική γωνί του τριγώνου ΜΤΣ). Έτσι τ τρίγων ΟΖΡ, ΟΖΤ είνι όµοι κλπ.. Σηµείωση Στις σελίδ 110 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της ιδιότητς υτής µε Α. Γ.. ΠΟΡΙΣΜΑ 8 Αν η εφπτοµένη στο σηµείο Μ της έλλειψης τέµνει τον µεγάλο της άξον στο σηµείο Τ κι Ρ η προβολή του Μ σε υτόν, τότε ισχύει ΟΡ ΟΤ=. Σηµείωση Το πόρισµ υτό µς δίνει έν άλλο τρόπο γι ν κτσκευάσουµε (µε κνόν κι διβήτη) την εφπτοµένη (δεδοµένης) έλλειψης σε έν σηµείο της. 4. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 9 ( Χρκτηριστική ιδιότητ της υπερβολής) Έστω υπερβολή µε στθερή διφορά, εστική πόστση ΕΣ = γ> κι Ο το µέσο του ΕΣ. Έν σηµείο Μ του επιπέδου της υπερβολής ΟΠ ΜΠ νήκει στην υπερβολή, ν κι µόνο ν ισχύει = 1, όπου β Π η προβολή του Μ στην ευθεί ΕΣ κι β = γ -. Απόδειξη Είνι (Σχήµ 8) ΟΕ = ΟΣ = γ, ΟΑ = ΟΒ =.

17 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 17 Από το Πυθγόρειο θεώρηµ έχουµε ΜΕ = ΜΠ + (γ + ΟΠ), ΜΣ = ΜΠ +(ΟΠ - γ) (1) Αν ΜΕ > ΜΣ (όµοι εργζόµστε ν ΜΣ > ΜΕ) µε φίρεση των (1) (ή πό το ο θεώρηµ των διµέσων) πίρνουµε ΜΕ ΜΣ = ΕΣ ΟΠ = 4γΟΠ () Οι σχέσεις (1), () είνι νεξάρτητες της ιδιότητς της υπερβολής. Μ Σχήµ 8 E Α Ο Β Σ Π γ Έστω ΜΕ - ΜΣ = (3), οπότε η () γίνετι ΜΕ + ΜΣ = ΟΠ γ γ Από (3), (4) προκύπτει ΜΕ = + ΟΠ, ΜΣ = ΟΠ - (5) Προφνώς η (3) είνι ισοδύνµη µε το σύστηµ των (5) Λόγω της πρώτης των (1), έχουµε γ ΜΕ = + ΟΠ ΜΕ γ = ( + ΟΠ ) ΜΠ + ΟΠ + γ = γ + ΟΠ ΜΠ = 1 (6) β Όµοι βρίσκουµε ότι κι η δεύτερη των (5) είνι ισοδύνµη µε την (6). Άρ τελικά η (6) είνι ισοδύνµη µε την (3) κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. ΟΠ Σηµείωση Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της προηγούµενης ιδιότητς µε Α. Γ. (ως εξίσωση υπερβολής). (4)

18 18 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΟΡΙΣΜΑ 9.1 Έστω υπερβολή µε στθερή διφορά, εστική πόστση ΕΣ = γ > κι β = γ -. Έν σηµείο Μ του επιπέδου νήκει στην υπερβολή, ν MΠ β MΠ β κι µόνο ισχύει = ή =, _ OΠ ΠΑ ΠΒ όπου Π η προβολή του Μ στην ευθεί ΕΣ (κύριο άξον της υπερβολής), Α, Β είνι τ σηµεί τοµής της υπερβολής µε τον κύριο άξονά της. ΠΟΡΙΣΜΑ 9. Η ευθεί η οποί ορίζετι πό τις εστίες υπερβολής, όπως κι η κάθετη στο µέσο Ο της εστικής πόστσης, είνι άξονες συµµετρίς της υπερβολής, ενώ το µέσο Ο είνι το κέντρο συµµετρίς της. ΠΟΡΙΣΜΑ 9.3 Το µήκος της χορδής υπερβολής που διέρχετι πό µι εστί της κι β είνι κάθετη στον µεγάλο άξον (εστικτοµή) είνι ίσο µε p =. Ο ριθµός υτός λέγετι πράµετρος της υπερβολής. Ιστορική Σηµείωση Στ ρχί κείµεν η πρπάνω χρκτηριστική ιδιότητ της υπερβολής εµφνίζετι στην (πιο εύχρηστη κι ζωντνή γεωµετρικά MΠ β µορφή: λόγος εµβδών) µορφή = «σύµπτωµ» της ΠΑ ΠΒ υπερβολής, κτά τους ρχίους Έλληνες Γεωµέτρες, η οποί όπως είδµε είνι ισοδύνµη (πόρισµ 9.1) µε την γνωστή εξίσωση έλλειψης της Α.Γ.. H σχέση υτή ποδεικνύετι γι οποιδήποτε διάµετρο υπερβολής (ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο συµµετρίς της) κι την εφπτοµένη στο έν άκρο της (π.χ. Β) κι υτήν την σχέση, σ υτήν την γενική περίπτωση, εξήγγε ο Απολλώνιος π ευθείς πάνω στην τοµή κώνου µε επίπεδο που τέµνει όλες τις γενέτειρες του. Μάλιστ επειδή ΜΠ > ΠΒ p, (p πράµετρος, Σχήµ 7), δηλδή το τετράγωνο της ΜΠ είνι µεγλύτερο («υπερβάλλειν») του ορθογωνίου µε διστάσεις ΠΒ, p ονόµσε (γι πρώτη φορά) την τοµή υτή Υπερβολή ([1] τόµος, Πρότση 1, σελ. 34 κι [4], σελ. 5-8).

19 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 19 Προκειµένου ν ποδείξουµε την νκλστική ιδιότητ της υπερβολής θ χρειστούµε τ πρκάτω λήµµτ. ΛΗΜΜΑ 4 Έν σηµείο Σ του επιπέδου της υπερβολής βρίσκετι εντός υτής (στ κοίλ µέρη της, όπου βρίσκοντι οι εστίες) ν κι µόνο ν η διφορά των ποστάσεων του, κτ πόλυτη τιµή, πό τις εστίες της είνι µεγλύτερη του, ενώ βρίσκετι εκτός υτής, ν κι µόνο ν η διφορά των ποστάσεων του, κτ πόλυτη τιµή, πό τις εστίες της είνι µικρότερη του. (φήνετι ως άσκηση) ΛΗΜΜΑ 5 Έστω έν τµήµ ΕΣ κι µι (στθερή) ευθεί (ε) που τέµνει το τµήµ ΕΣ, υπό δεδοµένη (οξεί) γωνί, σε σηµείο διάφορο του µέσου του. Αν Α τυχόν σηµείο της ευθείς (ε), τότε η διφορά ΑΕ - ΑΣ γίνετι µέγιστη ν κι µόνο η (ε) είνι διχοτόµος της γωνίς ΕΑΣ. Απόδειξη Α Έστω Ζ (Σχήµ 9) το σηµείο τοµής της (ε) µε το τµήµ ΕΣ κι ότι Σχήµ 9 ΕΖ > ΖΣ. Αν το συµµετρικό του Ε Λ ως προς την (ε), τότε Α = ΑΕ, οπότε πό το τρίγωνο ΑΣ έχουµε Ε ΑΕ - ΑΣ = Α -ΑΣ Σ, µε Σ Ζ Σ στθερό. Η ισότητ ισχύει µόνο ν τ σηµεί Α, Σ, είνι συνευθεικά. Αυτό (ε) µπορεί ν συµβεί, γιτί εφόσον Γ ΕΖ > ΖΣ είνι κι Γ= ΕΓ > ΣΛ (λόγω κι της οµοιότητς των EΓΖ, ΖΛΣ) άρ η Σ δεν είνι πράλληλη στην (ε) οπότε την τέµνει. Το σηµεί όµως Α, Σ, είνι συνευθεικά, ν κι µόνο η (ε) είνι διχοτόµος της γωνίς ΕΑΣ.

20 0 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σηµείωση Αν η (ε) διέρχετι πό το µέσο του ΕΣ τότε ποδεικνύετι ότι η διφορά ΑΕ - ΑΣ δεν µεγιστοποιείτι (πρόλο που είνι άνω φργµένη πό το στθερό Σ ) ΘΕΩΡΗΜΑ 10 (Ανκλστική ιδιότητ της υπερβολής) Αν µι ευθεί είνι εφπτοµένη σ έν σηµείο Μ µις υπερβολής, µε εστίες Ε, Σ, τότε είνι διχοτόµος της γωνίς ΕΜΣ κι ντιστρόφως. Απόδειξη Έστω Α (Σχήµ 10) τυχόν σηµείο της Α εφπτοµένης στο Μ, οπότε (βλ. Σχήµ 10 Λήµµ 4) ΑΕ - ΑΣ = ΜΕ ΜΣ, Μ µε ισότητ µόνο ότν το Α συµπίπτει Η µε το Μ. Έτσι η διφορά ΑΕ - ΑΣ γίνετι µέγιστη ν το Α συµπίπτει µε το Μ. Αυτό όµως συµβίνει (βλέπε Ε Ζ Σ προηγούµενο Λήµµ 5) µόνο ν ΣMZ ZME =. Αντιστρόφως: Έστω ΜΖ διχοτόµος της γωνίς ΕΜΣ κι Α τυχόν σηµείο της ΜΖ, διάφορο του Μ. Θ δείξουµε ότι το Α βρίσκετι εκτός της υπερβολής. Αν ΣΗ κάθετη στην ΜΖ, τότε ΜΖ είνι µεσοκάθετη στο τµήµ ΗΣ, οπότε ΑΗ = ΑΣ. Από το τρίγωνο ΑΗΕ έχουµε ΑΕ ΕΗ < ΑΗ = ΑΣ ή ΑΕ - ΑΣ < ΕΗ = ΜΕ - ΜΗ = ΜΕ - ΜΣ =, οπότε 0<ΑΕ - ΑΣ <, άρ το σηµείο Α βρίσκετι εκτός της υπερβολής (βλ. Λήµµ 4). Σηµείωση: Από το προηγούµενο θεώρηµ προκύπτει ένς τρόπος κτσκευής της εφπτοµένης υπερβολής σε έν σηµείο της. ΠΟΡΙΣΜΑ 10 Η κάθετη στην υπερβολή σ έν σηµείο της Μ (δηλδή η κάθετη στην εφπτοµένη της υπερβολής στο σηµείο υτό) σχηµτίζει ίσες γωνίες µε τις ηµιευθείες MΕ κι MΣ κι ντιστρόφως.

21 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 1 Ασύµπτωτες Υπερβολής Ως σύµπτωτες της υπερβολής (µε ηµιάξονες, β) στην Ε.Γ. ορίζοντι οι ευθείες που διέρχοντι πό το κέντρο συµµετρίς της υπερβολής (µέσο Ο της εστικής πόστσης ΕΣ) κι σχηµτίζουν µε την ευθεί υτή (οξεί) γωνί ω (Σχήµ 11) µε β PH εφω = =. OH ΠΡΟΤΑΣΗ 11 Οι σύµπτωτες υπερβολής δεν έχουν κοινά σηµεί µε την υπερβολή κι κάθε ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο συµµετρίς της κι βρίσκετι εντός της γωνίς (ω) των σύµπτωτων (που βρίσκετι η υπερβολή), τέµνει την υπερβολή. (Αυτές οι ιδιότητες συνιστούν τη γεωµετρική - κι πργµτική - σηµσί της έννοις σύµπτωτης) Απόδειξη Έστω ότι η σύµπτωτη ΟΡ τέµνει την υπερβολή σ έν σηµείο Ρ (Σχήµ PH β 11). Έχουµε = _ ΟH ΟH PH _ PH = ΟH κι λόγω ή ΟΗ PH β = ΟH = ΟΗ, άτοπο. προκύπτει Προφνώς κι η συµµετρική της ως προς την ευθεί ΕΣ δεν έχει κοινά σηµεί µε την υπερβολή. Άρ οι σύµπτωτες δεν τέµνουν την υπερβολή. Έστω τώρ µι ευθεί ΟΧ (Σχήµ 11) εντός της γωνίς των σύµπτωτων. που βρίσκετι ο ένς κλάδος της υπερβολής. Τότε, ν θ η (οξεί) γωνί της µε την ευθεί ΕΣ θ είνι 0 < εφθ < εφω = β. Θ δείξουµε ότι η ΟΧ τέµνει την υπερβολή.

22 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης X Σχήµ 11 Ρ M Ε Ο ω ω θ Σ Η Π Ανζητούµε κοινό σηµείο Μ της υπερβολής κι της ΟΧ, δηλδή τέτοιο ώστε ΟΠ ΜΠ _ β = M Π (1) κι εφθ = () ΟΠ Από τις σχέσεις υτές µε πλοιφή του ΜΠ προκύπτει ΟΠ β = (3). _ β εφ θ Εποµένως, ν πάνω στον κύριο άξον της υπερβολής πάρουµε τµήµ ΟΠ τέτοιο ώστε ν ισχύει η (3), το ντίστοιχο σηµείο της υπερβολής Μ, θ ικνοποιεί την (1) κι κτά συνέπει, όπως εύκολ προκύπτει, κι την (), άρ θ νήκει κι στην ευθεί ΟΧ. Σηµειώσεις 1. Η προηγούµενη πόδειξη στο δεύτερο µέρος, είνι κυρίως λγεβρική. Το τµήµ ΟΠ δεν κτσκευάζετι πάντ µε τον κνόν κι τον διβήτη. Υπάρχει κι κθρά γεωµετρική λλά λόγω έκτσης (χρησιµοποιεί µη γνωστές προτάσεις) δεν την νφέρουµε.. Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει θεώρηση των σύµπτωτων υπερβολής µε Α. Γ..

23 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 3 ΠΡΟΤΑΣΗ 1 (Εφρµογή σχ. βιβλίου, σελίδ 11) «Το γινόµενο των ποστάσεων ενός σηµείου υπερβολής πό σύµπτωτές της είνι στθερό». τις Λύση Έστω σηµείο Μ (Σχήµ 1) H υπερβολής (µε στθερή διφορά Γ, εστική πόστση γ, + β = γ ), ΜΓ, Μ τ κάθετ τµήµτ προς τις σύµπτωτες κι O η κάθετη πό το Μ στον κύριο ω άξον (των εστιών) της A ω Β M K υπερβολής που τον τέµνει στο σηµείο Κ κι την υπερβολή στ σηµεί Η, Ρ. Θ προσπθήσουµε ν δηµιουργήσουµε το γινόµενο Σχήµ 1 P ΜΓ Μ (πό πού λλού;) µέσ πό όµοι τρίγων. Από τ όµοι ορθογώνι τρίγων ΗΓΜ, ΟΗΚ έχουµε MΓ ΗΜ = (1) ΟΚ ΟΗ M ΜΡ Επίσης πό τ όµοι τρίγων ΟΚΡ, ΜΡ έχουµε = () ΟΚ ΟΡ Από τις δυο προηγούµενες σχέσεις µε πολλ/σµό προκύπτει (ΟΗ = ΟΡ) MΓ M ΗΜ ΜΡ = (3) ΟΚ ΟΗ Επίσης έχουµε ΗΜ ΜΡ = (ΗΚ - ΜΚ)(ΗΚ + ΜΚ) = ΗΚ - ΜΚ (4) β λλά ΗΚ = OK κι (πό Πόρισµ 9.1) MK β β = ή MK + β = OK = ΗΚ. _ OK Έτσι πό την (4) προκύπτει ΗΜ ΜΡ = β (5) Επίσης είνι ΟΗ = ΟΚ + ΗΚ = ΟΚ β + OK = OK + β (6)

24 4 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Έτσι πό την (3), λόγω των (5), (6), προκύπτει τελικά β ΜΓ Μ = + β στθερό. Σηµείωση Στις σελίδ 1 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της προηγούµενης ιδιότητς µε Α. Γ.. ΠΟΡΙΣΜΑ 1.1 Αν η κάθετη πό έν σηµείο Μ υπερβολής προς τον κύριο άξονά της, τέµνει τις σύµπτωτες στ σηµεί Η, Ρ τότε ΗΜ ΜΡ= β. ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Αν πό έν σηµείο ισοσκελούς υπερβολής φέρουµε κάθετες προς τις σύµπτωτές της, τότε το εµβδόν του σχηµτιζόµενου ορθογωνίου είνι στθερό κι ίσο µε /.- * * * Bιβλιογρφί 1. Απολλωνίου Κωνικά (1975, 1976).Τόµος Α, Β, Γ,, µετάφρση Ε. Σ. Στµάτη, Έκδοση Τ.Ε.Ε., Αθήν.. Αρχιµήδους Άπντ (1970, 1973). Τόµος Α - µέρος Β, µετάφρση Ε. Σ. Στµάτη, Έκδοση Τ.Ε.Ε., Αθήν. 3. Heath Th. (001), Ιστορί των Ελληνικών Μθηµτικών, Τόµος Ι, II, µετάφρση, έκδοση Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ., Αθήν. 4. Μπουνάκη.(005). Ιστορί κι µελέτη µε Ευκλείδει µέσ των Κωνικών Τοµών (Μετπτυχική εργσί, Πνεπιστήµιο Κρήτης) 5. Πάππου, Συνγωγή (001, 004).Επιµέλει κι µετάφρση Ε. Σπνδάγος, Εκδόσεις Αίθρ, Αθήν. 6. Πρόκλου (001, 00).Υπόµνηµ στο Βιβλίο στων Στοιχείων του Ευκλείδου, ( τόµοι), επιµέλει κι µετάφρση Ε. Σπνδάγος, Εκδόσεις Αίθρ. 7. Τoomer J. G. (1975).Diocles on Burning Mirrors, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York. -

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μθημτικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, 18 Δεκεμβρίου 009 ΓΕΝΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) 0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Μιχαήλ Τζούµας Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικών Ιωσήφ Ρωγών και Βεΐκου 302 00 Μεσολόγγι mtzoumas@sch.gr Περίληψη Οι κωνικές τοµές (κ.τ.) και ειδικότερα η Παραβολή, η Έλλειψη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΩΝΟΥ σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς - A Οµάδς. ύο πύργοι κι βρίσκοντι εκτέρωθεν ενός ποτµού. Ένς πρτηρητής Π βρίσκετι προς το ίδιο µέρος του ποτµού µε τον πύργο. ν στο τρίγωνο Π είνι Π 3m,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν ΣΤΟΙΧΕΙ Τ Ρ Ι Ω Ν Ω Ν Θυμάμι ότι... ˆ + ˆ + ˆ = 180 ο ντί ν ράφουμε συνέχει «το τρίωνο» μπορούμε ν ράφουμε Δ. ΠΛΕΥΡΕΣ = = = ΩΝΙΕΣ = = = ν χωρίσουμε τ τρίων σε κτηορίες, με κριτήριο τ κύρι στοιχεί τους,

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ 2 ΥΝ ΤΗ Υ Τ ΤΗΝ ΥΗ 363 ΜΤΗΗ Μ ΛΥ ΤΩΝΥ ΥΝΤΗ ΤΩΝ ΛΛΩΝ ΛΥΩΝ ΤΥ ΤΩΝ ΛΩΝ ΤΗ ΥΤ Μστροιάννης Ν. νάρυρος Μθημτικός πιμορφωτής Ν.Τ. ΛΗΗ Το θέμ προς διπρμάτευση νφέρετι στη σχέση των εμδών που σχημτίζοντι σε τρίωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική)

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική) ΙΣΤΡΙΕΣ ΦΩΤΣ (Ερωτήσεις δικιολόγησης στη εωµετρική πτική). Η πργκωνισµένη νάκλση στο προσκήνιο Τις περισσότερες ορές που ντιµετωπίζουµε έν έµ το οποίο σχετίζετι µε έν πρίσµ δινούς υλικού, έχουµε συνηίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα