ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΗ ΠΑΠΑ ΟΓΙΑΝΝΑΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΗ ΠΑΠΑ ΟΓΙΑΝΝΑΚΗ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΗ ΠΑΠΑ ΟΓΙΑΝΝΑΚΗ Η ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟ ΕΙΞΕΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΜΑΝΟΛΗΣ ΚΑΤΣΟΠΡΙΝΑΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005

2

3 Η µεταπτυχιακή αυτή εργασία πραγµατοποιήθηκε στο Μαθηµατικό Τµήµα του Πανεπιστηµίου Κρήτης, στα πλαίσια του µεταπτυχιακού προγράµµατος «Μαθηµατικά και Εκπαίδευση». Επιβλέπων Καθηγητής ήταν ο κ. Μανόλης Κατσοπρινάκης. Την επιτροπή αξιολόγησης αποτέλεσαν οι: Μανόλης Κατσοπρινάκης Μιχάλης Λάµπρου Σουζάννα Παπαδοπούλου

4

5 Αντί προλόγου Με την εργασία που ακολουθεί, ολοκληρώνεται ο µεταπτυχιακός κύκλος σπουδών µου. Ευρισκόµενος σ αυτήν την ευχάριστη θέση, θα ήθελα να ευχαριστήσω το Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης και τους καθηγητές του, για την υποστήριξη που µου προσέφεραν κατά την διάρκεια των µεταπτυχιακών µου σπουδών. Ιδιαίτερη µνεία θα ήθελα να κάνω στον δάσκαλό µου και ταυτόχρονα υπεύθυνο της εργασίας που ακολουθεί, Μανόλη Κατσοπρινάκη. Η βοήθειά του για την ολοκλήρωση και την αρτιότητα της εργασίας ήταν καταλυτική. Πιο σηµαντικό αποτέλεσµα της συνεργασίας µας, για εµένα, όµως ήταν η εµβάθυνση στην Ανάλυση καθώς και το περαιτέρω ξεκαθάρισµα ορισµένων εννοιών της. Θα ήθελα επίσης να τον ευχαριστήσω και για όλα όσα µου πρόσφερε, από τον καιρό που ήµουν µαθητής Λυκείου µέχρι σήµερα. Ευχαριστώ επίσης τα µέλη της επιτροπής για την τιµή που µου έκαναν, καθώς και για τις υποδείξεις τους και τις πολύτιµες συµβουλές τους. Τέλος ευχαριστώ την οικογένειά µου, η οποία µε την αµέριστη ενθάρρυνση, συµπαράσταση και υποστήριξη που µου προσέφερε, βοήθησε στην ολοκλήρωση της προσπάθειας αυτής. Φεβρουάριος 2005 Αποστόλης Παπαδογιαννάκης

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Πράξεις και ιάταξη στο σύνολο των Πραγµατικών Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί και Άρρητοι αριθµοί Το Αξίωµα της Πληρότητας ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Συνέχεια συναρτήσεων σε διάστηµα Παράγωγος συνάρτησης σε διάστηµα Ορισµένο ολοκλήρωµα συνάρτησης ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ..49

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΑ ΠΕΝΤΕ ΒΑΣΙΚΑ ΛΗΜΜΑΤΑ ΚΑΙ Η ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΡΑΘΕΟ ΩΡΗ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΛΗΜΜΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΤΟ ΕΥΤΕΡΟ ΒΑΣΙΚΟ ΛΗΜΜΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΤΟ ΤΡΙΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΛΗΜΜΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΛΗΜΜΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΛΗΜΜΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ Η ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΡΑΘΕΟ ΩΡΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ 79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΙΑ ΑΜΕΣΗ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΗΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ ΤΩΝ ΠΕΝΤΕ ΒΑΣΙΚΩΝ ΛΗΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΚΟΜΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ Η ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΛΗΜΜΑΤΩΝ Πρώτη Απόδειξη εύτερη Απόδειξη ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ Εφαρµογές των Βασικών Ληµµάτων Εφαρµογές της Παρατήρησης του Καραθεοδωρή..109 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 112 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α....I-XIV ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. I-XXXVI ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ I-XIX

8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην Ευρώπη, από τον καιρό του Ναπολέοντα (και αργότερα και στην Αµερική) τα µαθηµατικά της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης παρέµεναν προσηλωµένα στο τρίπτυχο: Στοιχειώδης Αριθµητική και Άλγεβρα. Ευκλείδεια Γεωµετρία. Τριγωνοµετρία. Μόνο µετά το δεύτερο µισό του Εικοστού αιώνα, οι αλµατώδεις εξελίξεις των Θετικών επιστηµών καθώς και η εκτόξευση του Sputnik από τους Σοβιετικούς, οδήγησαν στην εισαγωγή των, όπως επικράτησε να λέγονται, «Νέων, ή Μοντέρνων, Μαθηµατικών», στα σχολεία των αναπτυγµένων δυτικών χωρών. Η εισαγωγή αυτή ξεκίνησε από τις Η.Π.Α. την δεκαετία του 1950 και επεκτάθηκε αµέσως µετά και στην Ευρώπη. Την διαδικασία που γέννησε τα «Νέα Μαθηµατικά» καθώς και την λογική που συνόδευε αυτές τις αλλαγές, µπορεί να βρει κανείς π.χ. στα [19], [28], [37], όπως και σε πληθώρα άλλων άρθρων στα περιοδικά Μαθηµατική Επιθεώρηση

10 - 2 - και Ευκλείδης Γ της Ε.Μ.Ε., όπου και εκτενώς παρουσιάζονται οι κριτικές, που αυτά έχουν δεχθεί κατά καιρούς. Σε γενικές γραµµές, τα Νέα αυτά Μαθηµατικά διατήρησαν από την παραδοσιακή ύλη το θεωρητικό µέρος της Τριγωνοµετρίας, το οποίο και ενοποίησαν µε τη βασική Αριθµητική και Άλγεβρα, αφαίρεσαν, ή τουλάχιστον υποβάθµισαν, την Ευκλείδεια Γεωµετρία και πρόσθεσαν µεταξύ άλλων: Στοιχεία από τη Θεωρία Συνόλων και τη Λογική. Στοιχεία Αλγεβρικών οµών. Στοιχεία Γραµµικής Άλγεβρας. Αναλυτική Γεωµετρία και Μαθηµατικό Λογισµό (Στοιχειώδη Ανάλυση). Οι προσδοκίες από την εισαγωγή των Νέων Μαθηµατικών ήταν πολλές. Ενώ στα «Παλαιά Μαθηµατικά» δινόταν έµφαση περισσότερο στην «αλγοριθµική» διαδικασία, δηλαδή να µπορεί ο µαθητής να κάνει πράξεις µε γράµµατα και αριθµούς χρησιµοποιώντας σωστά τους «κανόνες», στα Νέα Μαθηµατικά το κέντρο βάρους µετατοπίστηκε στους ίδιους τους «κανόνες», δηλαδή να καταλάβει ο µαθητής γιατί πρέπει να ενεργήσει µε τον ένα ή τον άλλο τρόπο, να µάθει ακόµη και τα θεµέλια της «δοµής» µέσα στην οποία δουλεύει και µε αυστηρές διατυπώσεις, ακριβή γλώσσα (δηλαδή συµβολισµό) και πλήρεις αποδεικτικές διαδικασίες να οικοδοµήσει το σύνολο της ύλης, που προέβλεπαν τα νέα αναλυτικά προγράµµατα. Αναµενόταν έτσι να κατανοήσουν οι µαθητές τουλάχιστον ένα µεγάλο µέρος από τις νέες γνώσεις, να µάθουν να σκέπτονται µε σύστηµα και οργάνωση και να αποκτήσουν περισσότερη ωριµότητα στην µαθηµατική τους σκέψη, οπότε να είναι και πιο έτοιµοι για τις σπουδές τους στο Πανεπιστήµιο και πολλά άλλα. Οι προσδοκίες αυτές, όπως διαπιστώθηκε δυστυχώς πολύ γρήγορα, φαίνεται ότι δεν επαληθεύτηκαν. Τα Νέα Μαθηµατικά δεν επέφεραν βέβαια καταστροφικά αποτελέσµατα στον µαθητικό πληθυσµό και ίσως να ωφέλησαν και µία µικρή µειοψηφία µαθητών, των προικισµένων µε µαθηµατικό ταλέντο, όµως οι στόχοι που τέθηκαν για την πλειοψηφία των µαθητών σαφέστατα δεν επετεύχθησαν. Η αυστηρή διατύπωση στα Σχολικά βιβλία, ο υπερβολικός συµβολισµός και φορµαλισµός, που συχνά

11 - 3 - καταντούσαν να θεωρούνται σηµαντικότερα των ιδεών που έπρεπε να διδαχτούν, δηµιούργησαν πολλά προβλήµατα όχι µόνο στην πλειοψηφία των µαθητών, αλλά και την ίδια την εκπαιδευτική διαδικασία από διδακτική και παιδαγωγική σκοπιά. Παρ όλα αυτά, και ενώ σε Ευρώπη και Αµερική οι µελέτες έδειχναν ότι τα πράγµατα δεν πήγαιναν όπως αναµενόταν, ενώ πλήθαιναν τα επικριτικά άρθρα, που µιλούσαν για τα προβλήµατα που δηµιουργήθηκαν από την υιοθέτηση των Νέων Μαθηµατικών (σε αντίθεση µε τα πολύ λιγότερα υποστηρικτικά άρθρα), στην Ελλάδα έχοµε την ολοκληρωτική είσοδό τους στα σχολεία µας, µε την εκπαιδευτική µεταρρύθµιση του Εδώ πρέπει να εξηγήσουµε για λίγο το τι ακριβώς έγινε τότε. Η µεταρρύθµιση του ακολούθησε τις γενικές προδιαγραφές µιας σειράς εκπαιδευτικών µέτρων (µεταξύ των οποίων και η κατάργηση των τόνων), τα οποία περιελάµβαναν τόσο την αναµόρφωση της ύλης και των αναλυτικών προγραµµάτων όλων των µαθηµάτων για το Γυµνάσιο και το Λύκειο, όσο και την ιδιαίτερης σηµασίας, όπως θα δούµε και παρακάτω, αλλαγή του συστήµατος πρόσβασης στην Τριτοβάθµια εκπαίδευση, των λεγοµένων και Εισαγωγικών Εξετάσεων. Το 1979, τα νέα αυτά αναλυτικά προγράµµατα είχαν ήδη εισαχθεί στο Γυµνάσιο και τώρα έπρεπε να εισαχθούν και στο Λύκειο. Πράγµατι, το , η εισαγωγή τους άρχισε µε το νέο βιβλίο της Άλγεβρας Α Λυκείου (βλέπε [8]), αλλά ολοκληρώθηκε µε την έκδοση των νέων βιβλίων Β Λυκείου (βλέπε [10]) και Γ Λυκείου το 1983, όπου εκτός του βιβλίου της Ανάλυσης (βλέπε [12]), έχουµε και τα βιβλία της Άλγεβρας (βλέπε [11]) και της Αναλυτικής Γεωµετρίας από τους ίδιους συγγραφείς. Στο ενδιάµεσο, , η νέα ύλη διδασκόταν από τα παλαιά βιβλία, σε συνδυασµό µε κάποια άλλα, όπως π.χ. το [20] και η συνέχειά του (Τεύχος Β, που εκδόθηκε το 1979), αλλά και βοηθήµατα, που δεν ήταν του ΟΕ Β, όπως τα «Στοιχεία Αναλυτικής Γεωµετρίας, Ίδρυµα Ευγενίδου, 1981» του Γ. Τσάγκα. Παρατηρούµε δηλαδή, ότι ουσιαστικά η περισσότερη νέα ύλη προστέθηκε όχι τόσο στην Ανάλυση, όπου ο υπερβολικός συµβολισµός και επιµέρους τµήµατα της νέας ύλης είχαν ήδη εισαχθεί νωρίτερα, όσο

12 - 4 - στην Άλγεβρα (Γραµµική Άλγεβρα, Αλγεβρικές οµές κ.λπ.), ενώ στην Γεωµετρία µπήκε η Αναλυτική Γεωµετρία, µε παράλληλη υποβάθµιση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας και της Τριγωνοµετρίας, όπως ακριβώς απαιτούσαν τα Νέα Μαθηµατικά. Σχετικά µε την Ανάλυση, η οποία θα µας απασχολήσει αποκλειστικά από εδώ και πέρα, η µεγάλη διαφορά µε τα όσα διδασκόταν µέχρι τότε, συνίσταται όχι τόσο στην διαφοροποίηση της διδασκόµενης ύλης, αλλά στην παρουσίασή της, η οποία έπρεπε τώρα, σύµφωνα µε τις νέες απαιτήσεις, να γίνει αξιωµατικά και µε αυστηρές αποδεικτικές διαδικασίες, όπως θα δούµε και στην συνέχεια της εργασίας αυτής. Αυτό βέβαια, έπρεπε να γίνει από την αρχή, δηλαδή από την στιγµή που ο µαθητής µαθαίνει για το σύνολο των Πραγµατικών αριθµών κ.λπ., και έτσι προέκυψε το νέο βιβλίο της Α Λυκείου [8], για το οποίο θα έχουµε την ευκαιρία να µιλήσουµε εκτενώς στα επόµενα Κεφάλαια. Θα περίµενε βέβαια κανείς ότι αφού ακολουθήσαµε µια εξέλιξη µε πάνω από δεκαπέντε χρόνια καθυστέρηση, να είχαµε τουλάχιστον αποφύγει µερικά βασικά λάθη, τα οποία είχαν οδηγήσει σε αποτυχία τα Νέα Μαθηµατικά σε άλλες χώρες. Τέτοια λάθη ήταν π.χ. η έλλειψη σωστής προετοιµασίας και ευκαιριών για την συνεχή επιµόρφωση των εκπαιδευτικών της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης, ώστε να µπορούν να διδάξουν απρόσκοπτα τη νέα ύλη, το ένα και µοναδικό σχολικό εγχειρίδιο, η αποκοπή των Μαθηµατικών από τις άλλες επιστήµες (των οποίων τα προβλήµατα έδωσαν και δίδουν ώθηση στα Μαθηµατικά), η επιδίωξη να διδαχθούν τα «συγκεκριµένα» Μαθηµατικά (και όχι η Ευκλείδεια Γεωµετρία, πράγµα που θα ήταν πιο φυσιολογικό) µε πλήρη αξιωµατική θεµελίωση και λεπτοµερή αποδεικτική διαδικασία, δηλαδή µε τη «λογική» τους σειρά και αποξενωµένα από την ιστορική τους εξέλιξη, ο άκρατος συµβολισµός και φορµαλισµός και πολλά άλλα. Φαίνεται όµως ότι η εµπειρία των άλλων χωρών δεν απετέλεσε αφετηρία των δικών µας πειραµατισµών. Επαναλήφθηκε έτσι και στην Ελλάδα το φαινόµενο να µάθουν πολλοί καθηγητές τα Νέα Μαθηµατικά, για πρώτη τους φορά, από το σχολικό εγχειρίδιο. Αρκετοί από αυτούς έπρεπε να αντιµετωπίσουν την δυσκολία να διδάξουν πράγµατα τα οποία και οι ίδιοι δεν γνώριζαν κατά βάθος. Άρθρα, όπως τα [27], [28], [37] και πάρα πολλά άλλα παρόµοια, που εµφανίστηκαν τότε στο περιοδικό της

13 - 5 - Ε.Μ.Ε. «Μαθηµατική Επιθεώρηση», είναι ενδεικτικά του προβλήµατος που είχε δηµιουργηθεί. Μάλιστα, το 1983 η Ε.Μ.Ε., «µε στόχο την πολύπλευρη βοήθεια του καθηγητή της µέσης εκπαίδευσης, εγκαινιάζει» την έκδοση του νέου περιοδικού «Ευκλείδης Γ», το οποίο για αρκετά χρόνια διέθετε και ειδική στήλη «µε σκοπό να απαντά σε ερωτήσεις και απορίες µαθηµατικού περιεχοµένου» των καθηγητών Μέσης εκπαίδευσης (π.χ. βλέπε [23] και [24]), παράλληλα µε την δηµοσίευση των άρθρων µε τις απόψεις, σκέψεις και ιδέες των ίδιων των καθηγητών (π.χ. βλέπε [13], [19], [26], [38] και [46]). Κατά το ίδιο χρονικό διάστηµα (1980) έχουµε και την ιδιαίτερης σηµασίας, όπως είπαµε παραπάνω, αλλαγή του εξεταστικού συστήµατος πρόσβασης στην Τριτοβάθµια εκπαίδευση. Το τελευταίο, µέχρι το 1979, σύστηµα Εισαγωγικών Εξετάσεων, ήταν αυτό των λεγοµένων κύκλων σπουδών, όπως Πολυτεχνικός- Φυσικοµαθηµατικός-Γεωπονοδασολογικός κύκλος, Οικονοµικός κύκλος και λοιποί κύκλοι. Τώρα, τα έτη , έχουµε τις Πανελλήνιες εξετάσεις Β και Γ Λυκείου, που από το 1983, θα γίνουν Γενικές εξετάσεις ή έσµες (1 η, 2 η, 3 η και 4 η έσµη). Αν και οι έσµες καταργήθηκαν µόνο πρόσφατα, µε την εκπαιδευτική µεταρρύθµιση του και αντικαταστάθηκαν µε τις Πανελλαδικές εξετάσεις Β και Γ Λυκείου, ενδιάµεσα είχαµε µία ακόµα εκπαιδευτική µεταρρύθµιση το , όπως θα δούµε και παρακάτω. Στο σηµείο αυτό, πρέπει να τονίσουµε ότι, στην εργασία αυτή δεν έχουµε σκοπό να ασχοληθούµε ιδιαίτερα, πέρα από κάποιες γενικές διαπιστώσεις, µε την κριτική των µεταρρυθµίσεων αυτών, ούτε µε την αξιολόγησή τους. Σε µερικά από τα άρθρα της βιβλιογραφίας µας και των περιοδικών, που ήδη έχουµε αναφέρει, µπορεί ο κάθε ενδιαφερόµενος να διαβάσει σκέψεις και απόψεις σχετικές µε τα θέµατα αυτά. Νοµίζουµε όµως ότι, η διόγκωση της ύλης, η δυσκολία των νέων εννοιών, η υποβάθµιση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, όσο και της Τριγωνοµετρίας και της βασικής Άλγεβρας και όλοι οι άλλοι λόγοι, που συνήθως επιστρατεύονται για να δικαιολογήσουν το γιατί τα πράγµατα δεν πάνε καθόλου καλά και στην Ελλάδα µετά το 1980, αλλά αντίθετα χειροτερεύουν αντί να καλυτερεύουν, παρά τις δύο νεώτερες διορθωτικές

14 - 6 - εκπαιδευτικές µεταρρυθµίσεις, δεν είναι ούτε η µοναδικές, ούτε η σηµαντικότερες αιτίες αυτού του φαινοµένου. Κατά την γνώµη µας, πολύ σηµαντικότερο ρόλο κατέχουν δύο άλλοι παράγοντες της Ελληνικής πραγµατικότητας. Ο ένας είναι οι κοινωνικές και οι πολιτικές αλλαγές των χρόνων αυτών, τις οποίες όµως δεν µπορούµε να σχολιάσουµε εδώ, αν και πιστεύουµε ότι όλοι έχουµε διαπιστώσει την όλο και µεγαλύτερη απαξίωση του ρόλου του εκπαιδευτικού και του Σχολείου, παρά τις κατά καιρούς αντίθετες διαβεβαιώσεις. Ο άλλος, που δεν είναι ανεξάρτητος του προηγουµένου, έχει να κάνει µε την αλλαγή του συστήµατος των Εισαγωγικών Εξετάσεων στην Τριτοβάθµια Εκπαίδευση το 1980, γι αυτό και την χαρακτηρίσαµε προηγουµένως ως «αλλαγή ιδιαίτερης σηµασίας». Μέχρι το 1979 δεν υπήρχε ουσιαστικά εξεταστέα ύλη στις εξετάσεις αυτές. Ο υποψήφιος σπουδαστής έπρεπε πραγµατικά να ξέρει όλα όσα έµαθε σε όλη την διάρκεια της µαθητικής του ζωής και εάν µπορούσε (ή αν ήθελε κάποιες «καλές» σχολές) να µάθει και σχεδόν ο,τιδήποτε άλλο προσφερόταν τότε από την εξωσχολική βοήθεια. Για παράδειγµα υπήρχαν µεταφράσεις έγκυρων ξένων βιβλίων, αλλά και πληθώρα άλλων Ελληνικών σχολικών βιβλίων-βοηθηµάτων, µε ύλη και περιεχόµενα πολύ πέραν εκείνων, που ο µαθητής θα µπορούσε να µάθει από το σχολικό βιβλίο. Τότε δηλαδή, το εξωσχολικό βοήθηµα κρινόταν µε βάση πόσο «διαφορετικό» από το σχολικό βιβλίο ήταν, σε αντίθεση µε τα σηµερινά βοηθήµατα, που και πάλι υπάρχουν σε αφθονία, τα οποία όµως, αν δεν έχουν επαρκώς διαφηµίσει την «παράγραφο προς παράγραφο» ταύτισή τους µε το αντίστοιχο σχολικό βιβλίο, θεωρούνται άχρηστα. Το 1980, το πιο κρίσιµο και κοµβικό σηµείο του Εκπαιδευτικού µας µηχανισµού, δηλαδή το εξεταστικό σύστηµα για την πρόσβαση στην Τριτοβάθµια εκπαίδευση, αλλάζει πλήρως. Από εδώ και στο εξής η εξεταστέα ύλη είναι αυστηρά καθορισµένη και µόνο µέσα από το ένα και µοναδικό Σχολικό βιβλίο. Αν το βιβλίο αυτό έχει και κάποιες αβλεψίες ή ακόµη καµιά φορά και λάθη, ο υποψήφιος πρέπει να τα αναπαράγει στις απαντήσεις του, αν θέλει να βαθµολογηθεί «αντικειµενικά». Επιπλέον, το νέο αυτό εξεταστικό σύστηµα, όχι µόνο δεν επηρεάστηκε από τις δύο επόµενες εκπαιδευτικές µεταρρυθµίσεις, αλλά αντίθετα «βελτιώθηκε» περαιτέρω, µε νέες αφαιρέσεις εξεταστέας ύλης, µέχρι ακόµα και του

15 - 7 - τραγελαφικού σηµείου, να ζητείται π.χ. «από την παράγραφο τάδε να εξετάζονται µόνο οι ασκήσεις, αλλά όχι η θεωρία»! Φυσικά, το αναπόφευκτο αποτέλεσµα, ήταν και είναι η παπαγαλία και σιγά-σιγά η πνευµατική στείρωση, παρ όλο που η καταβαλλόµενη προσπάθεια των µαθητών, σε σύγκριση µε αυτήν των µαθητών της δεκαετίας του 1970 και προηγουµένως, θα έλεγε κανείς ότι όχι µόνο δεν µειώθηκε, αλλά µάλλον αυξήθηκε. Ας επανέλθουµε όµως στους στόχους της εργασίας αυτής, οι οποίοι κάλλιστα θα µπορούσαν να περιοριστούν µόνο στην παρουσίαση και επεξεργασία των άρθρων, τα οποία αναφέρονται στα Κεφάλαια 4 και 5 παρακάτω. Αυτός εξ άλλου ήταν και ο αρχικός σκοπός µας. Όµως, µετά από όσα είδαµε παραπάνω, θα ήταν µάλλον µεγάλη παράληψή µας να µην αναφερθούµε πρώτα στην αντίστοιχη, µε εκείνη των άρθρων αυτών, ύλη της Στοιχειώδους Ανάλυσης και να δούµε το πώς αυτή εντάχθηκε και διαµορφώθηκε κατά τα τελευταία 35 περίπου χρόνια στην σχολική µας πραγµατικότητα. Έτσι ο αναγνώστης, πρώτον θα πληροφορηθεί για το τι ακριβώς περιλαµβάνεται στα διάφορα Σχολικά µας βιβλία καθώς και σε κάποια άλλα συγγράµµατα, σχετικά µε τα θέµατα που θα µας απασχολήσουν εδώ. εύτερον, θα ενηµερωθεί πλήρως γι αυτά, τόσο από την παρουσίασή τους στα επόµενα δύο Κεφάλαια, όσο και από τα σχετικά αντίγραφα των Σχολικών βιβλίων, τα οποία παραθέτουµε στα Παραρτήµατα Α, Β και Γ, στο τέλος της εργασίας αυτής. Τέλος, θα έχει την ευκαιρία να διαµορφώσει την προσωπική του άποψη, σχετικά µε τις εκπαιδευτικές µεταρρυθµίσεις των χρόνων αυτών, παρακολουθώντας συγχρόνως και την ιστορική τους εξέλιξη. Επίσης, στην αρχή κάθε Κεφαλαίου, όπως και κάθε φορά που θα µας δίνεται η ευκαιρία, σε διάφορα άλλα µέρη της εργασίας αυτής, θα εξηγούµε τον σκοπό και τον στόχο των όσων παρουσιάζονται εκεί. Προς το παρόν ας δούµε µία συνοπτική παρουσίαση των όσων θα ακολουθήσουν. Στα Κεφάλαια 2 και 3 της εργασίας αυτής, θα δούµε εκτενώς τις αλλαγές και τις τροποποιήσεις της διδακτέας ύλης στο Λύκειο, που προήλθαν από την κρίσιµη εκπαιδευτική µεταρρύθµιση του και αφορούσαν το πιο προχωρηµένο Μαθηµατικά µέρος της, την Ανάλυση. Βέβαια, οι αναφορές µας θα ανατρέχουν συγχρόνως, τόσο προς τα πίσω,

16 - 8 - συγκρίνοντας µε ό,τι διδασκόταν µέχρι τότε, όσο και στις µετέπειτα εξελίξεις, µε τις δύο επόµενες εκπαιδευτικές µεταρρυθµίσεις. Με την µεταρρύθµιση του , έχουµε µια νέα αναδιάρθρωση της διδακτέας ύλης, όπου πολλά στοιχεία της προηγούµενης περιόδου παραλείπονται ή αλλάζει ο τρόπος παρουσίασής τους, ταυτόχρονα µε µία σταδιακή υποχώρηση από την αυστηρή αξιωµατική θεµελίωση και πολλά άλλα. Η ολοκληρωτική υποχώρηση από την αξιωµατική θεµελίωση και την αυστηρή αποδεικτική διαδικασία θα έλθει τελικά µε την πιο πρόσφατη µεταρρύθµιση του , η οποία συνοδεύεται και µε ένα ακόµη νέο στοιχείο, την όσο το δυνατόν µεγαλύτερη αύξηση του αριθµού των εισακτέων φοιτητών στην Τριτοβάθµια εκπαίδευση. εν θα ασχοληθούµε εδώ µε το εάν υπήρχαν ή όχι οι υποδοµές και όλες οι άλλες απαραίτητες προϋποθέσεις για να πραγµατοποιηθεί αυτό το τελευταίο, αλλά από ότι ήδη φαίνεται, θα αποτελέσει και αυτό, στο πολύ άµεσο µέλλον, ένα ακόµη πρόβληµα µαζί µε τα τόσα αλλά προβλήµατα της Παιδείας µας. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 4, θα παρουσιάσουµε έξι εργασίες, οι οποίες δηµοσιεύθηκαν στις στήλες τις σχετικές µε τα θέµατα της διδασκαλίας των Μαθηµατικών (στήλες των Classroom Notes και The Teaching of Mathematics), στο περιοδικό της Αµερικάνικης Μαθηµατικής Εταιρείας «The American Mathematical Monthly», κατά το χρονικό διάστηµα µεταξύ του 1957 έως το Οι πέντε πρώτες από αυτές, έχουν στόχο να ενοποιήσουν και να απλοποιήσουν ένα µεγάλο αριθµό αποδείξεων σηµαντικών θεωρηµάτων της Ανάλυσης. Αυτό επιτυγχάνεται, σε κάθε µία από τις εργασίες αυτές, µε τη βοήθεια ενός, όπως θα το λέµε παρακάτω, Βασικού Λήµµατος, το οποίο αποδεικνύεται µε την βοήθεια κάποιου αξιώµατος της πληρότητας των Πραγµατικών αριθµών. Η έκτη και τελευταία εργασία αναφέρεται στην Παρατήρηση του Καραθεοδωρή (όπως έχει επικρατήσει να λέγεται αυτή στην Ελληνική βιβλιογραφία βλέπε [31], σελ. 335 και [32], σελ. 79). Η παρατήρηση αυτή, η οποία δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένας εναλλακτικός ορισµός της

17 - 9 - παραγώγου, έχει επίσης πολλές και σπουδαίες εφαρµογές, όπως δούµε στα Κεφάλαια 4 και 5 παρακάτω. θα Τέλος, στο Κεφάλαιο 5 παρατηρούµε κατ αρχήν ότι, σε κάθε µία από τις πέντε πρώτες εργασίες του Κεφαλαίου 4, αποδεικνύεται, µε την βοήθεια του Βασικού της Λήµµατος, κάποιο αξίωµα της πληρότητας των πραγµατικών αριθµών, συνήθως διαφορετικό από εκείνο που είχε χρησιµοποιηθεί για την απόδειξη του ίδιου του Λήµµατος. Έτσι έχουµε ουσιαστικά την ισοδυναµία καθενός από τα πέντε Βασικά Λήµµατα, µε τα αξιώµατα της πληρότητας των πραγµατικών αριθµών. Συνεπώς και τα ίδια τα πέντε Βασικά Λήµµατα είναι ισοδύναµα µεταξύ τους. Το γεγονός αυτό, µας οδήγησε να αναζητήσουµε µια απ ευθείας απόδειξη αυτής της ισοδυναµίας. Μια τέτοια απόδειξη, που να συµπεριλαµβάνει όλα τα Λήµµατα, δεν µπορέσαµε να βρούµε στην βιβλιογραφία, γι αυτό θα δώσουµε µία δική µας στο πρώτο µέρος του Κεφαλαίου αυτού. Στο δεύτερο και τελευταίο µέρος του Κεφαλαίου αυτού (και της εργασίας µας), θα δώσουµε και άλλες εφαρµογές των πέντε Βασικών Ληµµάτων και της Παρατήρησης του Καραθεοδωρή, πέραν εκείνων, που θα δούµε στο Κεφάλαιο 4. Σηµείωση: Για τους αναγνώστες, που δεν διαθέτουν τα διάφορα Σχολικά βιβλία, στα οποία παραπέµπουµε συχνά, παραθέτουµε συνήθως ορισµένα χαρακτηριστικά αποσπάσµατά τους. Ιδιαίτερα όµως, για τα Θεωρήµατα της Συνέχειας, των Παραγώγων και των Ολοκληρωµάτων, ο αναγνώστης θα βρει, στα Παραρτήµατα Α, Β και Γ, στο τέλος της εργασίας αυτής, αντίγραφα από τα τρία τελευταία Σχολικά βιβλία της Ανάλυσης, στα οποία θα αναφερόµαστε συχνά. Τα βιβλία αυτά είναι κατά χρονολογική σειρά τα [12], [21] και[6]. Το Παράρτηµα Α περιλαµβάνει τα Θεωρήµατα της συνέχειας και από τα τρία αυτά βιβλία. Επειδή, όπως είπαµε, η σειρά που ακολουθούµε είναι η χρονολογική, τα αποσπάσµατα αυτά δείχνουν εύγλωττα την πορεία, που ακολούθησε το µάθηµα της Ανάλυσης στο Λύκειο, τα τελευταία χρόνια. Οι συγκρίσεις, µεταξύ των διαφόρων µερών της ύλης

18 που παραθέτουµε, είναι εύκολες, αρκεί να παρατηρήσει κανείς, σε τι διαφέρει κάθε φορά το ίδιο κοµµάτι της ύλης, από βιβλίο σε βιβλίο. Στα Παραρτήµατα Β και Γ, έχουµε κάνει την ίδια ακριβώς εργασία, αλλά για τα Θεωρήµατα που αφορούν την παράγωγο και το ολοκλήρωµα αντίστοιχα.

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουµε την ύλη εκείνη της στοιχειώδους Ανάλυσης, µε την οποία θα πρέπει να έχει εξοικειωθεί, όσο µπορεί καλύτερα, όποιος πρόκειται να ασχοληθεί µε τις έννοιες του ορίου, της συνέχειας, της παραγώγου κ.λπ. και µε τις συνέπειές τους. Η ύλη αυτή θα µπορούσε να ήταν αρκετά εκτεταµένη, αλλά εδώ θα δεχτούµε πολλά πράγµατα ως γνωστά (π.χ. τα περί συνόλων και άλλα, που θα δει ο αναγνώστης παρακάτω) και θα περιορισθούµε µόνο σε ότι αφορά το σύνολο των Πραγµατικών αριθµών και τις πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής. Ακόµη, δεν είναι σκοπός µας εδώ να υπεισέλθοµε στις λεπτοµέρειες της κατασκευής του συνόλου των πραγµατικών αριθµών. Εκείνο που µας ενδιαφέρει περισσότερο είναι οι ιδιότητες των στοιχείων του, καθώς και η ορολογία που συνήθως χρησιµοποιείται και όχι το πώς κατασκευάζεται αυτό και το «τι είναι» τα στοιχεία του, δηλαδή «οι αριθµοί». Η διαδικασία αυτή είναι λίγο-πολύ γνωστή σε όλους µας. Τόσο στα Μαθηµατικά του Σχολείου, όσο και στα διάφορα Μαθήµατα Ανάλυσης, πάντοτε υπάρχει µια µικρή ή µεγάλη

20 εισαγωγή στους πραγµατικούς αριθµούς, θεωρώντας τους σαν δεδοµένα αντικείµενα που ικανοποιούν κάποια αξιώµατα. Από τα αξιώµατα αυτά, εξάγονται στη συνέχεια όλες οι άλλες τους ιδιότητες και ορίζονται και όλες οι έννοιες της Ανάλυσης, που θα µας απασχολήσουν παρακάτω. Παράλληλα µε την σύντοµη αυτή ανακεφαλαίωση της παραπάνω ύλης, θα αναφερόµαστε ταυτόχρονα και στα συγκεκριµένα εκείνα µέρη της, που παρουσιάζονται στα αντίστοιχα Σχολικά Βιβλία, σύµφωνα µε τα Αναλυτικά Προγράµµατα των Εκπαιδευτικών Μεταρρυθµίσεων, που έγιναν, τα τελευταία 35 περίπου χρόνια, στην χώρα µας. Βέβαια, όταν λέµε αντίστοιχα Σχολικά Βιβλία, εννοούµε τα βιβλία εκείνα τα οποία απευθυνόταν στους µαθητές της ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ κατεύθυνσης, όπως αυτή λεγόταν αρχικά και µετά έγινε ΘΕΤΙΚΗ κατεύθυνση, µετά ΠΡΩΤΗ ΕΣΜΗ και τελευταία ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ κατεύθυνση ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Πράξεις και ιάταξη στο σύνολο των Πραγµατικών Ο συντοµότερος τρόπος για να περιγράψει κανείς την Αλγεβρική οµή του συνόλου των Πραγµατικών αριθµών είναι ο ακόλουθος: Το σύνολο των Πραγµατικών αριθµών είναι εφοδιασµένο µε δύο (εσωτερικές) πράξεις, +,, και µια σχέση ολικής (ή γραµµικής) διάταξης,, ώστε το (, +,, ) να είναι ένα ολικά διατεταγµένο σώµα. Εδώ έχουµε να παρατηρήσουµε ότι: (1) Το βιβλίο «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ» του Β. Στάϊκου, στις πρώτες εκδόσεις του, παρουσίαζε το σύνολο των Πραγµατικών αριθµών µε αυτόν τον τρόπο (βλέπε [44], σελ. 38). Στην συνέχεια και µέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 80, οι επόµενες εκδόσεις του βιβλίου αυτού δεν περιλαµβάνουν αυτήν την αναφορά (βλέπε [45]). Ενδιάµεσα, το 1978, εισάγεται στην Β Λυκείου, ως ύλη επιλογής, το κεφάλαιο των Αλγεβρικών οµών, όπου αναφέρεται και πάλι το ως Σώµα (βλέπε [20], σελ. 66).

21 (2) Τα Κεφάλαια 2 και 3, του βιβλίου, «ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ» (βλ. [8]), που ακολούθησε τα νέα αναλυτικά προγράµµατα των Μαθηµατικών το , περιγράφουν επίσης το µε αυτόν τον τρόπο. Το ίδιο επαναλαµβάνεται στο βιβλίο «ΑΝΑΛΥΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ» (βλέπε [12]), στο εισαγωγικό Κεφάλαιο 1 και επίσης αναφέρεται ως παράδειγµα σώµατος και στο [11], σελ. 82. (3) Στην συνέχεια, κατά τις νεώτερες εκπαιδευτικές µεταρρυθµίσεις των ετών και , κάθε αναφορά στο ότι το σύνολο των Πραγµατικών είναι διατεταγµένο σώµα απουσιάζει. Τώρα το κέντρο βάρους της διδασκαλίας έχει πλήρως µετατοπιστεί από την αυστηρή αξιωµατική θεµελίωση και την πλήρη αποδεικτική διαδικασία, στο να εµπεδώσουν οι µαθητές τις ιδιότητες των πράξεων και της διάταξης και στη σωστή χρήση τους. Οι αποδείξεις των περισσοτέρων ιδιοτήτων (π.χ. κανόνας προσήµων του πολλαπλασιασµού, νόµοι διαγραφής, κ.λπ.) έχουν παραλειφθεί (βλέπε [2] και [4]). Επίσης, από εδώ και στο εξής θα καταβληθεί µια συστηµατική προσπάθεια ώστε τα Σχολικά Μαθηµατικά όλων των τάξεων να απαλλαγούν από τον φορµαλισµό και τον άκρατο συµβολισµό, που τα χαρακτήριζε µέχρι τότε. Ας µείνουµε όµως για λίγο, µια και θα µας απασχολήσει πολλές φορές και στην συνέχεια, στην µεταρρύθµιση του στο Λύκειο, η οποία, όπως είδαµε και στο Κεφάλαιο 1, ήταν επέκταση εκείνης που ήδη εφαρµοζόταν στο Γυµνάσιο. Οι ειδικότερες επιδιώξεις της διδασκαλίας των νέων Μαθηµατικών προγραµµάτων ήταν, όπως αναφέρεται στον πρόλογο του παραπάνω βιβλίου της Α Λυκείου (βλέπε [8]): «να εµπεδώσει και να διευρύνει σε θεωρητικότερο επίπεδο γνώσεις που απέκτησαν οι µαθητές στο Γυµνάσιο» και «να µυήσει και να εξοικειώσει το µαθητή στη διαδικασία της µαθηµατικής αποδείξεως και να του αναπτύξει µαθηµατική σκέψη». Οι επιδιώξεις αυτές οδήγησαν, µεταξύ άλλων, σε ένα εισαγωγικό κεφάλαιο (Κεφάλαιο 1 του [8]) µε στοιχεία από τη Μαθηµατική Λογική

22 και στην αξιωµατική θεµελίωση του συνόλου των Πραγµατικών αριθµών. Στο κεφάλαιο της Μαθηµατικής Λογικής γίνεται αναφορά και στις πράξεις των συνόλων, οι οποίες ορίζονται ως σύνολα αληθείας κατάλληλων προτασιακών τύπων. Επίσης υπάρχει και χωριστή παράγραφος για τις διάφορες «µεθόδους αποδείξεων», µεταξύ των οποίων είναι και η Μαθηµατική Επαγωγή. Βέβαια, οι συγγραφείς του βιβλίου, στον Πρόλογό τους, αναφέρουν για το κεφάλαιο αυτό ότι: «Πρόκειται για το θεωρητικό υπόβαθρο που χρειάζεται ο µαθητής για να συνθέτει, να αναλύει και να ελέγχει συλλογισµούς, δηλαδή να συνειδητοποιεί κάθε φορά το πώς συλλογίζεται. Στα επόµενα κεφάλαια συνεχώς δίνονται ευκαιρίες για αναφορά σε έννοιες και µεθόδους που περιέχονται στο Κεφ. 1. Η διδασκαλία, λοιπόν, αυτού του κεφαλαίου δεν αποτελεί αυτοσκοπό, αλλά πρέπει να ανταποκρίνεται στην ιδιοµορφία του. Αρκεί στην αρχή µια γενική, σύντοµη και πρακτική ενηµέρωση των µαθητών για το περιεχόµενό του, κυρίως µε τα παραδείγµατα και τις εφαρµογές του. Η πλήρης αφοµοίωση εννοιών και µεθόδων και η εξοικείωση µε το συµβολισµό θα γίνει βαθµιαία κατά τη διδασκαλία των εποµένων». Σύµφωνα λοιπόν µε το πνεύµα αυτό, είναι απορίας άξιον το γιατί το κεφάλαιο αυτό, ή κάτι ανάλογό του, δεν ξαναεµφανίστηκε σε κανένα άλλο βιβλίο Μαθηµατικών στις επόµενες µεταρρυθµίσεις. Στη συνέχεια, στα επόµενα δύο κεφάλαια του [8], παρουσιάζεται το σύνολο των Πραγµατικών αριθµών ως αντιµεταθετικό σώµα (Κεφ. 2) και κατόπιν ως διατεταγµένο σώµα (Κεφ. 3). Παρόλο που οι µαθητές ήδη χρησιµοποιούσαν από το Γυµνάσιο τις πράξεις και τις ιδιότητες των πραγµατικών αριθµών, εδώ ο στόχος που τίθεται είναι σαφής και µεγάλος. Με τον τρόπο αυτό επιδιώκεται να συνειδητοποιήσει ο µαθητής ότι µερικές µόνο από τις ιδιότητες των πραγµατικών που γνωρίζει, αρκούν για να αποδειχθούν οι υπόλοιπες. Επιλέγοντας λοιπόν αυτές τις ιδιότητες το Σχολικό βιβλίο, τις δέχεται ως αξιώµατα και µε αυστηρή αποδεικτική διαδικασία αποδεικνύει τις υπόλοιπες ιδιότητες των πράξεων και της διάταξης των Πραγµατικών αριθµών. Στα κεφάλαια αυτά ορίζονται και µελετώνται επίσης, οι δυνάµεις µε ακέραιο εκθέτη, οι πρωτοβάθµιες εξισώσεις και ανισώσεις και η απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού µε τις ιδιότητές της.

23 έκα χρόνια µετά, η αξιωµατική θεµελίωση των Πραγµατικών αριθµών (στην ουσία ο ακρογωνιαίος λίθος της µεταρρύθµισης του ) εξαφανίζεται από τα βιβλία της Α Λυκείου και κατ επέκταση απ όλο το Λύκειο, όπως αναφέραµε ήδη. Επίσης, είδαµε παραπάνω ότι στα νέα αυτά βιβλία έχει παραλειφθεί εξ ολοκλήρου και το Κεφάλαιο της Λογικής. Μόνο στο [2], αφιερώνεται µια παράγραφος στο σύµβολο της ισοδυναµίας (σελ. 12), αλλά και αυτή θα παραλειφθεί στην επόµενη αλλαγή (βλέπε [4]) Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί και Άρρητοι αριθµοί Όταν ορίζουµε το σύνολο των Πραγµατικών αριθµών ως ένα διατεταγµένο σώµα, τότε τα σύνολα των * φυσικών αριθµών: ={0, 1, 2, 3, }, ={1, 2, 3, }, * ακεραίων αριθµών: ={0, ± 1, ± 2, }, ={ ± 1, ± 2, } ρητών: ={ m : m ακέραιος, n µη µηδενικός φυσικός, Μ.Κ..(m, n)=1} n και των αρρήτων = \, ορίζονται να είναι κάποια κατάλληλα υποσύνολά του. Συνήθως, ορίζουµε το σύνολο των φυσικών αριθµών να είναι η τοµή όλων των επαγωγικών υποσυνόλων του, δηλαδή, όλων εκείνων των υποσυνόλων Ε του, που έχουν την ιδιότητα: «0 Ε και (εάν α Ε τότε και α+1 Ε)» (π.χ. το ίδιο το, το σύνολο των µη αρνητικών πραγµατικών αριθµών κ.λπ.) και µετά τα και ορίζονται εύκολα. Αν σκεφτούµε λίγο τον παραπάνω ορισµό, βλέπουµε ότι το σύνολο των Φυσικών αριθµών είναι το µικρότερο επαγωγικό υποσύνολο του, πράγµα που είναι ισοδύναµο µε την Αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής, όπως αυτή διατυπώνεται στα [33] σελ. 32, [34] σελ. 32, [35] σελ. 21, [21] σελ.11, [31] σελ. 12, αλλά και η «Αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής» που αναφέρεται στα [5], σελ. 201 και [1], σελ. 137, είναι έµµεσα το ίδιο πράγµα.

24 Στο σηµείο αυτό, πρέπει να τονίσουµε ότι παρουσιάζεται ένα σοβαρό κενό στα βιβλία εκείνα του Σχολείου, τα οποία περιγράφουν το σύνολο των Πραγµατικών αριθµών ως διατεταγµένο σώµα, αφού κανένα τους δεν ορίζει το σύνολο των Φυσικών αριθµών, απ όπου θα οριστούν µετά και όλα τα παραπάνω υποσύνολα του. Σηµείωση: Ένας άλλος τρόπος να φθάσει κανείς στο, ξεκινά µε τον ορισµό του είτε συνολοθεωρητικά ή µε τα αξιώµατα Peano (βλέπε [33] σελ. 31, [34] σελ. 31, [35] σελ. 20, αλλά όχι το [36]) και µετά προχωρεί στην κατασκευή των, και. Για όλα τα προηγούµενα ο αναγνώστης θα βρει πολλές λεπτοµέρειες στα [31], Τόµος Ι, σελ. 11, [39] σελ. 5 και Παράρτηµα, [40], σελ. 24 και [43], Κεφάλαιο Το Αξίωµα της Πληρότητας Έως εδώ έχουµε δει ότι το (, +,, ) είναι ένα ολικά διατεταγµένο σώµα. Παρατηρούµε τώρα ότι και το (, +,, ) είναι επίσης ένα ολικά διατεταγµένο σώµα. Η ειδοποιός διαφορά των και θα φανεί παρακάτω µε ένα επιπλέον αξίωµα µε το οποίο θα εφοδιάσουµε το. Πριν φθάσουµε όµως σ αυτό και ακολουθώντας το [22], ας σταµατήσουµε λίγο στην επόµενη αρχή: Αρχή Ευδόξου Αρχιµήδη: Το δεν είναι άνω φραγµένο (ή ισοδύναµα: x,y, x>0, n : nx>y, ή ακόµα και 1 lim = 0, n κ.λπ.). Η αρχή αυτή δεν χαρακτηρίζει βέβαια το, όµως έχει πολλές και σπουδαίες συνέπειες. Για παράδειγµα χωρίς καµιά δυσκολία και χωρίς πολύ σκέψη, θα έλεγε κανείς ότι ένα µη κενό πάνω φραγµένο υποσύνολο των ακεραίων αριθµών έχει µέγιστο στοιχείο. Αν προσπαθήσει όµως, να το αποδείξει αυτό χωρίς την παραπάνω αρχή, τότε θα εµφανιστούν οι πραγµατικές δυσκολίες. Φυσικά, θα σκεφθεί την «Αρχή της καλής διάταξης του», ή όπως λέµε διαφορετικά, «Αρχή του ελαχίστου φυσικού», που είναι ισοδύναµη µε την Αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής και λέει ότι:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β Τηλ: 210 344 2478 FAX:

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ»

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΑΘΗΝΑ 1999 Οµάδα σύνταξης Συντονιστής: Γεώργιος Κιούσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ»

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ» ΑΘΗΝΑ 1999 Οµάδα σύνταξης Συντονιστής: Γεώργιος Κιούσης,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΑΘΗΝΑ 1999 Οµάδα σύνταξης Συντονιστής: Κιούσης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Ανάλυση. Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Ανάλυση. Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Ανάλυση Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στη Μαρία και στα παιδιά μας, Μυρτώ-Ασπασία και Δημήτρη. i ii Προκαταρκτικά. Το αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα