ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση"

Transcript

1

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση

3 ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θωμΐδης Ιωάης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης OMAΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Πολύζος Γεώργιος ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ Αδμόπουλος Λεωίδς Επίτιμος Σύμβουλος του ΠΙ Δκτυλογράφηση: Σχήμτ: Γρδέρη Ρόζ Μπούτσικς Μιχάλης Με πόφση της ελληικής κυβερήσεως τ διδκτικά βιβλί του Δημοτικού, του Γυμσίου κι του Λυκείου τυπώοτι πό το Οργισμό Εκδόσεως Διδκτικώ Βιβλίω κι διέμοτι δωρεά

4 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση Αδρεδάκης Στυλιός Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κτσργύρης Βσίλειος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μέτης Στέφος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μπρουχούτς Κω/ος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Ππστυρίδης Στύρος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ 999

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ To βιβλίο που κρτάτε στ χέρι σς περιλμβάει τη ύλη τω Μθημτικώ, όπως προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδώ της Θετικής Κτεύθυσης της Γ τάξης του Ειίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 999- Το βιβλίο υτό προήλθε πό μόρφωση του βιβλίου τω Μθημτικώ της ης κι της ης δέσμης της Γ τάξης του Γεικού Λυκείου κι ποτελείτι πό δύο μέρη To πρώτο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΛΓΕΒΡΑ, ποτελείτι πό δυο κεφάλι To πρώτο κεφάλιο ποτελεί μι εισγωγή στη Θεωρί τω Πιάκω, η ο- ποί μετξύ άλλω είι έ εργλείο γι τη μελέτη τω Γεωμετρικώ Μετσχημτισμώ κι τω Γρμμικώ Συστημάτω, τ οποί μελετώτι στο ίδιο κεφάλιο Το δεύτερο κεφάλιο εισάγει στους Μιγδικούς Αριθμούς, οι οποίοι είι προέκτση τω Πργμτικώ Αριθμώ Οι Μιγδικοί Αριθμοί κλύφθηκ τη περίοδο της Αγέησης στη προσπάθει επίλυσης εξισώσεω τρίτου βθμού Όμως, στους ιώες που κολούθησ ποδείχτηκε η μεγάλη σημσί τους γι πάρ πολλά προβλήμτ της μθημτικής επιστήμης κι τω εφρμογώ της Το κεφάλιο υτό έχει ληφθεί πό το βιβλίο τω Μθημτικώ Θετικής Κτεύθυσης Β τάξης Ειίου Λυκείου τω συγγρφέω: Αδμόπουλου Λ, Βισκδουράκη Β, Γβλά Δ, Πολύζου Γ κι Σβέρκου Α Tο δεύτερο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΝΑΛΥΣΗ, ποτελείτι πό τρί κεφάλι Το πρώτο κεφάλιο σημτοδοτεί έ έο ξεκίημ Είι το πέρσμ πό τις πεπερσμέες πράξεις στις «άπειρες διδικσίες» Τ σπέρμτ της έοις του ορίου υπάρχου σφλώς με πολύ σφή κι συγκεκριμέο τρόπο στ γρπτά του Αρχιμήδη Η άπτυξη, όμως, υτής της έοις έγιε στ χρόι της Αγέησης κι έκτοτε κτέχει κετρική θέση στο κόσμο τω μθημτικώ εοιώ Κτ ρχάς στο κεφάλιο υτό προυσιάζοτι βσικές κι ήδη γωστές στους μθητές - έοιες τω συρτήσεω, κθώς κι μερικές κόμη βσικές έοιες της Αάλυσης Στη συέχει εισάγετι η έοι του ορίου στο, η έοι του ορίου στο κι στο κι δίοτι οι πιο χρκτηριστικές ιδιότητές του Τέλος, δίετι η έοι της συέχεις μις συάρτησης κι προυσιάζοτι οι βσικότερες ιδιότητές της Στο δεύτερο κι τρίτο κεφάλιο προυσιάζοτι οι έοιες της πργώγου κι του ολοκληρώμτος τιστοίχως κι γίετι χρήση τω εοιώ υτώ σε πολλές εφρμογές Η πράγωγος κι το ολοκλήρωμ είι κτά κάποιο τρόπο οι

6 δύο διφορετικές όψεις του ίδιου ομίσμτος Σε μι έκφρσή τους είι η κλίση της εφπτομέης κι το εμβδό, σε άλλη η τχύτητ κι το μήκος της τροχιάς εός κιητού κτλ Αυτό το βιβλίο ως θρώπιο δημιούργημ δε είι τέλειο Ο μόος τρόπος γι έχουμε στ σχολεί μς ύστερ πό μερικά χρόι έ κλύτερο μέσο διδσκλίς είι ο ηφάλιος κι ελεύθερος διάλογος, το οποίο η επιστημοική πράδοση έχει κθιερώσει γι ιώες τώρ Γι υτό το λόγο η συγγρφική ο- μάδ με ιδιίτερη ικοποίηση θ δέχετι σχόλι κι πρτηρήσεις γι το βιβλίο πό οποιοδήποτε συάδελφο, μθητή ή άλλο πολίτη εδιφέρετι γι τ ζητήμτ της πιδείς Τ σχόλι κι οι πρτηρήσεις μπορού ποστέλλοτι στο Πιδγωγικό Ιστιτούτο, Μεσογείω 96, 5 Αγί Πρσκευή Μάρτιος 999 Οι Συγγρφείς

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Πίκες Γρμμικά Συστήμτ Σελ Η έοι του πίκ Πρόσθεση πιάκω - Πολλπλσισμός ριθμού με πίκ 6 Πολλπλσισμός πιάκω Γεωμετρικοί μετσχημτισμοί 7 5 Η έοι του γρμμικού συστήμτος 5 6 Επίλυση γρμμικού συστήμτος με τη μέθοδο πλοιφής του Gauss 5 7 Eπίλυση γρμμικού συστήμτος με τη μέθοδο τω οριζουσώ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Μιγδικοί Αριθμοί Η Έοι του Μιγδικού Αριθμού 85 Πράξεις στο Σύολο τω Μιγδικώ 88 Μέτρο Μιγδικού Αριθμού 97 Τριγωομετρική Μορφή Μιγδικού 5 Πολυωυμικές Εξισώσεις στο Β ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Όριο - συέχει συάρτησης Σελ Πργμτικοί Αριθμοί 9 Συρτήσεις Μοότοες συρτήσεις - Ατίστροφη συάρτηση 8 Όριο συάρτησης στο 57 5 Ιδιότητες τω ορίω 65 6 Μη πεπερσμέο όριο στο 76 7 Όριο συάρτησης στο άπειρο 8 8 Συέχει συάρτησης 88

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Διφορικός Λογισμός Η έοι της πργώγου 9 Πργωγίσιμες συρτήσεις - Πράγωγος συάρτήση Κόες πργώγισης 9 Ρυθμός μετβολής 5 Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού 5 6 Συέπειες του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής 5 7 Τοπικά κρόττ συάρτησης 58 8 Κυρτότητ - σημεί κμπής συάρτησης 7 9 Ασύμπτωτες - Κόες De L Hospital 79 Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός Αόριστο ολοκλήρωμ Μέθοδοι ολοκλήρωσης 9 Διφορικές εξισώσεις 8 Ορισμέο ολοκλήρωμ 6 5 Η συάρτηση F f t dt 6 Θεώρημ Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού 7 Εμβδό επιπέδου χωρίου ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 65

9 Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πίκες κι Γρμμικά Συστήμτ

11 ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Γεικά Τέσσερ εργοστάσι πργωγής υτοκιήτω A, B, Γ κι Δ δίου γι το τελευτίο μοτέλο τους ως προς πέτε τεχικά χρκτηριστικά τις εξής πληροφορίες: Εργοστάσιο Α: Ισχύς 97 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,7 sec, τελική τχύτητ 8 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km 9,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι Εργοστάσιο Β: Ισχύς DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,9 sec, τελική τχύτητ 9 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km lit, φορολογήσιμοι ίπποι Εργοστάσιο Γ: Ισχύς 5 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h 7,9 sec, τελική τχύτητ km/h, κτάλωση στη πόλη ά km, 7, lit, φορολογήσιμοι ίπποι 6 Εργοστάσιο Δ: Ισχύς 7 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h 7,6 sec, τελική τχύτητ 5 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι Τις πληροφορίες υτές μπορούμε τις προυσιάσουμε πιο οργωμέ ως ε- ξής: Εργοστάσιο Τεχικά Χρκτηρ Ισχύς DIN Α 97 Β Γ 5 Δ 7 Χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,7,9 7,9 7,6 Τελική Τχύτητ km/h Κτάλωση στη πόλη lit ά km 9,5 7,,5 Φορολογήσι μοι ίπποι 6

12 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ ριθμητικά δεδομέ της ορθογώις υτής διάτξης, κλεισμέ μέσ σε γκύλες, ,7,9 7,9 7, λέμε ότι σχημτίζου έ πίκ με γρμμές κι 5 στήλες ή, συτομότερ, έ πίκ τύπου 5 ή κόμ έ 5 πίκ Έστω το σύστημ 5 9,5 7,,5 z ω 6 z ω 7z ω Το σύστημ υτό θ μπορούσε πρστθεί ως εξής: Συτελεστής Εξίσωση η η η του του του z του ω στθ όρος Έτσι οι συτελεστές τω γώστω σχημτίζου το πίκ 5 7 κι οι συτελεστές τω γώστω μζί με τους στθερούς όρους το 5 πίκ 5 Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ 7 Μι διάτξη γρμμές κι στήλες, λέγετι πίκς τύπου μ ή πλούστερ μ πίκς μ το πλήθος ριθμώ σε μορφή ορθογωίου σχήμτος με μ

13 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τους πίκες τους συμβολίζουμε συήθως με κεφλί γράμμτ A, B, Γ κτλ Οι ριθμοί με τους οποίους σχημτίζουμε έ πίκ λέγοτι στοιχεί του πίκ Το στοιχείο εός μ πίκ Α που ήκει στη i-γρμμή κι j-στήλη συμβολίζετι με ij Έτσι ο μ πίκς Α γράφετι: i μ i μ j στήλη j j ή συτομογρφικά ], i μ, j [ ij Γι πράδειγμ, ο πίκς ] με [ ij ij μj ij i i γρμμή μ i j έχει στοιχεί,, κι Επομέως, ο πίκς υτός γράφετι Η ισότητ μετξύ τω πιάκω ορίζετι ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο πίκες A, B λέμε ότι είι ίσοι, ότ έχου το ίδιο ριθμό γρμμώ, το ίδιο ριθμό στηλώ δηλδή είι του ίδιου τύπου κι τ τίστοιχ στοιχεί τους είι ίσ Γι δηλώσουμε ότι δύο πίκες είι ίσοι γράφουμε A B, Από το ορισμό υτό προκύπτει ότι δύο πίκες διφορετικού τύπου δε μπορεί είι ίσοι Α ές πίκς έχει το ίδιο ριθμό γρμμώ κι στηλώ, δηλδή είι τύπου * γι κάποιο, τότε ο πίκς υτός λέγετι τετργωικός πίκς Τ στοιχεί,,, εός τετργωικού πίκ Α, λέμε ότι σχημτίζου τη κύρι διγώιο του Α Α τ στοιχεί εός τετργωικού πίκ Α που δε βρίσκοτι στη κύρι διγώιο είι όλ, τότε ο Α λέγετι διγώιος πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες: είι διγώιοι πίκες,, 6

14 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ές πίκς που έχει μί μόο γρμμή, όπως ο λέγετι πίκς 7 γρμμή, εώ ές πίκς που έχει μί μόο στήλη, όπως ο λέγετι πίκς στήλη Ές πίκς που έχει έ μόο στοιχείο, όπως ο [ ] λέγετι πίκς στοιχείο Τέλος, ές τετργωικός πίκς λέγετι τριγωικός άω, ότ όλ τ στοιχεί του που βρίσκοτι κάτω πό τη κύρι διγώιο είι μηδεικά κι τριγωικός κάτω, ότ όλ τ στοιχεί του που βρίσκοτι πάω πό τη κύρι διγώιο είι μηδεικά Γι πράδειγμ, οι πίκες 6 5, είι τριγωικοί άω, εώ οι πίκες 6 5 είι τριγωικοί κάτω 7, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Το διπλό σχήμ πριστάει το οδικό δίκτυο που συδέει τις πόλεις Α, Β, Γ, Δ κι Ε Ν πρστθεί το δίκτυο υτό με έ πίκ του οποίου κάθε στοιχείο φερώει το πλήθος τω δυτώ τρόπω μετάβσης πό πόλη σε πόλη, όχι οπωσδήποτε διφορετική πόλη, φού προηγουμέως περάσουμε πό μί μόο πόλη, πχ ΑΒΑ κτλ ΛΥΣΗ Από τη πόλη Α στη Α υπάρχου τρόποι: ABA, AΔ Α, AEA, πό τη Α στη Β δε υπάρχει τρόπος, φού πρέπει περάσουμε πό μί μόο πόλη, πό τη Α στη Γ υπάρχου τρόποι AΔ Γ, ΑΒΓ, πό τη Α στη Δ υπάρχει ές τρόπος ΑΕΔ, πό τη Α στη Ε υπάρχει τρόπος ΑΔΕ κτλ Ε A Δ B Γ

15 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Έτσι το οδικό δίκτυο μπορεί πρστθεί με το πίκ διπλής εισόδου ΣΤΗΝ ΑΠΟ Α Β Γ Δ Ε Α Β Γ Δ Ε ή πλά με το 5 5 πίκ Ν εξετστεί υπάρχου τιμές τω, γι τις οποίες ισχύου: 5 i ii ΛΥΣΗ i H ισότητ ισχύει, κι μόο συληθεύου οι ισότητες Η τρίτη ισότητ ληθεύει γι πρπάω Η τιμή υτή του επληθεύει κι τις άλλες δύο ισότητες Επομέως, οι ισότητες συληθεύου γι ii Η ισότητ ισχύει, κι μόο συληθεύου οι Η δεύτερη κι τρίτη ισότητ γράφοτι κι προφώς δε συληθεύου γι κμί τιμή τω κι υπάρχου τιμές τω ισότητες Επομέως, δε, γι τις οποίες οι πίκες υτοί είι ίσοι

16 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ο διπλός πίκς δείχει ΟΜΑΔΕΣ γι τρεις ομάδες ποδοσφίρου τους γώες Α, τις ίκες Ν, τις ΝΙΚΗ ήττες Η, τις ισοπλίες Ι, τ ΘΥΕΛΛΑ τέρμτ Ε που πέτυχε η ομάδ, τ τέρμτ Δ που δέχτηκε ΔΑΦΝΗ η ομάδ κι τους βθμούς Β που έχει Α A ] είι ο πίκς υτός, τότε βρείτε: [ ij i Ποιος είι ο τύπος του πίκ ii Ποιες πληροφορίες μς δίου τ στοιχεί, κι A N 6 7 H I 5 E 5, 7 Δ 6 B 5 7 Δίετι συτομογρφικά ο πίκς A ] όπου Ν πρστήσετε το πίκ υτό, φού βρείτε τ στοιχεί του [ ij i j ij Ν βρείτε τ, γι τ οποί ισχύει: i ii Γι ποι τιμή του θετικού ριθμού ο πίκς είι διγώιος ln ln ln 5 Ν βρεθού οι τιμές τω [,π γι τις οποίες ισχύει: ημ εφ ημ συ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑ Πρόσθεση πιάκω Μί ετιρεί πουλάει τηλεοράσεις, ψυγεί, κουζίες κι πλυτήρι σε Αθή, Θεσσλοίκη κι Πάτρ Οι πωλήσεις τους μήες Σεπτέμβριο κι Οκτώβριο προυσίσ τη εξής κίηση:

17 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 Σεπτέμβριος Οκτώβριος Aθή Θεσ/κη Πάτρ Aθή Θεσ/κη Πάτρ Τηλεοράσεις Ψυγεί 9 5 Κουζίες 9 8 Πλυτήρι Επομέως, τους δυο υτούς μήες οι συολικές πωλήσεις της ετιρείς ήτ οι εξής: Τηλεοράσεις Ψυγεί Κουζίες Πλυτήρι Αθή Θεσ/ίκη Πάτρ Α τώρ θεωρήσουμε τους πίκες τω πρπάω πωλήσεω έχουμε: Γι το Σεπτέμβριο: 8 A Γι το Οκτώβριο: 5 B κι γι τις συολικές πωλήσεις: Γ O πίκς Γ λέγετι άθροισμ τω πιάκω Α κι Β κι συμβολίζετι με δηλδή Γ A B Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: A B, ΟΡΙΣΜΟΣ Άθροισμ δυο μ πιάκω A [ ] κι B β ] λέγετι ο μ πίκς ij του οποίου κάθε στοιχείο είι το άθρο ισμ τω τίστοιχω στοιχείω τω Α κι Β Ο πίκς υτό ς συμβολίζετι με A B Δηλδή, A B ij β [ ij ] [ ij

18 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δε ορίζουμε άθροισμ πιάκω διφορετικού τύπου 9 7 Γι πράδειγμ, οι πίκες A 8 5 κι B 9 6 που είι του ίδιου τύπου, με βάση το πρπάω ορισμό, μπορού προστεθού κι το άθροισμά τους είι A B , εώ οι πίκες Γ κι Δ που δε είι του ίδιου τύπου δε μπορού προστεθού 5, Η πράξη με τη οποί βρίσκουμε το άθροισμ δύο πιάκω λέγετι π ρ ό σ θ ε σ η π ι ά κ ω Ιδιότητες της πρόσθεσης τω πιάκω Η πρόσθεση τω πιάκω έχει ιδιότητες άλογες με τη πρόσθεση τω πργμτικώ ριθμώ Συγκεκριμέ: Α A, B, Γ είι μ πίκες, τότε A B B A τιμετθετική A B Γ A B Γ προσετιριστική Α είι ο μ πίκς που όλ τ στοιχεί του είι μηδέ, τότε γι κάθε μ πίκ Α ισχύει A A A Ο πίκς λέγετι μηδεικός πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες, είι μηδεικοί Α με A συμβολίσουμε το πίκ του οποίου όλ τ στοιχεί είι τίθετ τω τίστοιχω στοιχείω εός πίκ Α, τότε ισχύει A A A A Ο πίκς A λέγετι τίθετος του πίκ Α

19 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 6 Γι πράδειγμ, ο τίθετος του πίκ είι ο πίκς Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει γράφουμε A B Γ γι κθέ πό τ ίσ θροίσμτ A B Γ, A B Γ Ομοίως, A, B, Γ,Δ είι πίκες του ίδιου τύπου, τότε έχουμε: [ A B Γ ] Δ A B Γ Δ [ A B Γ] Δ A [ B Γ Δ] A [ B Γ Δ] [ B A Γ] Δ κτλ κι επομέως, μπορούμε γράφουμε A B Γ Δ γι κθέ πό τ θροίσμτ υτά Γεικά, επειδή ισχύει η τιμετθετική κι η προσετιριστική ιδιότητ, μπορεί ποδειχθεί ότι το άθροισμ τριώ ή περισσοτέρω πιάκω A, A,, A είι το ίδιο κτά οποιοδήποτε τρόπο κι εκτελεστεί η πρόσθε- ση κι συμβολίζετι με A A A Αφίρεση πιάκω Όπως κι στη περίπτωση τω πργμτικώ ριθμώ, έτσι κι στους πίκες η φίρεση ορίζετι με τη βοήθει της πρόσθεσης Συγκεκριμέ, A, B είι δύο μ πίκες, τότε η διφορά A B ορίζετι ως εξής: A B A B Γι πράδειγμ, A κι 6 B, τότε A B Δηλδή, ο πίκς A B προκύπτει με φίρεση τω στοιχείω του Β πό τ τίστοιχ στοιχεί του Α Από τους πρπάω ορισμούς της πρόσθεσης κι της φίρεσης προκύπτει ότι: Πράγμτι: X B A X A B Α X B A, τότε X B B A B, οπότε X A B, εώ Α X A B, τότε X B A B B, οπότε X B A Πολλπλσισμός ριθμού με πίκ Ο πρκάτω πίκς Α περιγράφει τις τιμές πώλησης σε δρχμές τριώ ηλε- ειδώ μις βιομηχίς σε δύο υποκτστήμτ: κτρικώ

20 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Tηλεοράσεις Βίτεο Στερεοφωικά 6 8 A 5 7 ο υποκτάστημ ο υποκτάστημ Α κτά τη περίοδο τω εκπτώσεω, ο βιομήχος προτίθετι κάει έκπτωση % στ προϊότ του, τότε πρέπει διμορφώσει τις έες τιμές στο 8% τω προηγουμέω Οι έες τιμές πώλησης θ προκύψου πολλπλσιάσουμε τις πλιές τιμές με,8, όπως φίετι στο πρκάτω πίκ:,8 6,8, B,8 5,8, Ο πίκς Β λέγετι γιόμεο του ριθμού,8 με το πίκ Α κι συμβολίζετι με,8 A, δηλδή είι B, 8A Γεικά, έχουμε το κόλουθο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Γιόμεο εός πργμτικού ριθμού λ με έ πίκ A [ ij ], λέγετι ο πίκς που προκύπτει πολλπλσιάσουμε κάθε στοιχείο του Α με λ Ο πίκς υτός συμβολίζετι με λ A ή λa Δηλδή, λ A Η πράξη με τη οποί βρίσκουμε το γιόμεο ριθμού με πίκ λέγετι π ο λ- λ π λ σ ι σ μ ό ς ρ ι θ μ ο ύ μ ε π ί κ Γι πράδειγμ, το γιόμεο του ριθμού λ με το πίκ A 5 είι ο πίκς: [ λij A 6 ] Iδιότητες του πολλπλσισμού ριθμού με πίκ Α A, B είι μ πίκες κι κ, λ πργμτικοί ριθμοί, τότε ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες, που είι άμεση συέπει του ορισμού: Επιπλέο, ισχύει η ισοδυμί: κ λ A κα λα λ A B λ λ κ λα κλ A A A λa λ ή A

21 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓH βρεθεί ο πίκς Χ γι το οποίο ισχύει: ε π ί κ ε ς ΛΥΣΗ Έχουμε N X Mι τέτοι ισότητ είι μι ε ξ ί σ ω σ η μ X 5 X X X X X ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Σε κθεμιά πό τις πρ ις, βρείτε το άθροισμ κάτω περιπτώσε B A A B κι τη διφορά, εφόσο φυσικά ορίζοτι: i 5 A, 5 6 B ii A, B

22 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ iii ] 6 5 [ A, ] 6 5 [ B 6 5 A, 5 B iv v Α είι κι είτε μ λ κ ω γ β A, μ λ κ ω γ β B A, το άθροισ 5 A, A A A 5 6 A A, A βρ μ βρείτε τ ω,, Ν γι τ οποί ισχύει η ισότητ: πράξ i ii ω Ν κάετε τις εις: iii 5 Α κι βρείτε τους πίκες: λ λ λ λ λ λ λ A 8 B, 6 iv B A A ii iii A A B 5 i 6 Ν λύσετε ισώσεις: τις εξ i ii 7 Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ X X

23 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ συ συ ημ είι ές διγώιος πίκς ημ ημ συ ημ συ συ ημ β β 8 Α X κι Y βρείτε τις τιμές τω γ δ γ,,β,γ,δ δ ώστε ισχύει: 8 X 5Y B ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ, γι τ οποί ισχύει: i ii N βρείτε τους πίκες X, Y γι τους οποίους ισχύει: X Y κι 5X Y Α A κι 5 B, λύσετε τη εξίσωση X B X A 5B Μι βιομηχί που κτσκευάζει τηλεοράσεις, βίτεο κι κάμερες έχει δύο εργοστάσι πργωγής Π κι Π Το κόστος πργωγής ά συσκευή δίετι σε χιλιάδες δρχ στους πρκάτω πίκες: Τηλ Βιτ Κμ Τηλ Βιτ Κμ 8 Υλικά 8 Υλικά Π 5 6 Π Εργσί 8 8 Εργσί Ν βρείτε το πίκ Π Π κι εξηγήσετε τι εκφράζει 5 Μι βιομηχί έχει τέσσερ εργοστάσι πργωγής Π, Π, Π κι Π, κθέ πό τ οποί πράγει δύο προϊότ E κι E Το ημεεπίπεδο πργωγής σε μοάδες προϊότω δίετι στο επόμε- ο ρήσιο πίκ:

24 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Π Π Π Π 8 6 E A 8 E i N βρείτε το ημερήσιο επίπεδο πργωγής, υτή υξηθεί κτά % ii Ν βρείτε το σύολο της πργωγής ά προϊό σε 5 μήες, υποτ εθεί ότι τ εργοστάσι δούλ εψ μήες με το προηγούμεο επίπεδο κι μήες με το έο επίπεδο πργωγής μής = μέρες ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός του γιομέου δύο πιάκω Ας υποθέσουμε ότι γι τη κτσκευή δύο ειδώ γλυκισμάτω Γ κι Γ χρειζόμστε τ υλικά σε kg που φίοτι στο πρκάτω πίκ: Αλεύρι Ζάχρη Βούτυρο,,6, Γ A Γ,,8, γλύκισμ γλύκισμ Έστω επίσης ότι το κόστος σε δρχ τω υλικώ υτώ ά κιλό, γι τ έτη 99 κι 99, είι όπως δείχει ο πρκάτω πίκς: λεύρι B 7 ζάχρη 9 βούτυρο Γι βρούμε το κόστος σε δρχμές τω υλικώ του γλυκίσμτος, πολλ- πλσιάζο υμε τις ποσότητες τω υλικώ με τις τίστοιχες τιμές κι προσθέτουμε τ γιόμε υτά Δηλδή το κόστος του Γ το 99 ήτ, 6,6 7, 9 56 Η πρπάω διδικσί περιγράφετι με τη βοήθει τω πιάκω ως εξής: Γ

25 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 6 [,,6,] 7 [, 6,6 7, 9] [56] 9 O πίκς [56] λέγετι γιόμεο της πρώτης γρμμής του Α επί τη πρώτη στήλη του Β Αλόγως, το κόστος του Γ το 99 ήτ, 8,6, 696 Δηλδή πριστάετι με το γιόμεο της πρώτης γρμμής του Α επί τη δεύτερη στήλη του Β 8 [,,6,] [696] Ομοίως, το κόστος του Γ το 99 ήτ:, 6,8 7, 9 7 ή 6 [,,8,] 7 [7], 9 εώ το 99 ήτ: Ο πίκς 56 Γ 7, 8,8, 89 ή 8 [,,8,] [89] δείχει το κόστος τω δύο γλυκισμάτω κτά τ έτη 99 κι 99 Ο πίκς Γ που προκύπτει με το πιο πάω τρόπο λέγετι γιόμεο του πίκ Α με το πίκ Β κι συμβολίζετι με A B ή AB, δηλδή 6 8,,6, Γ 7,,8, Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ

26 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6 Α είι ές ] [ ik A μ πίκς κι ] [ kj β B είι ές ρ πίκς, τότε ορίζουμε ως γιόμεο του πίκ Α με το πίκ Β κι το συμβολίζουμε με B A ή με ΑΒ το ρ μ πίκ, του οποίου κάθε στοιχείο είι το ά- γ ij θροισμ τω γιομέω τω στοιχείω της -γρμμής του Α με τ τίστοιi χ στοιχεί της -στήλης του Β Δηλδή, j j i j i j i ij β β β γ Σχημτικά -στήλη j μρ μj μ μ iρ ij i i ρ j ρ j ρ j ρ j ρ j μ μ μ i i i γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ β β β β β β β β β β β β i γρμμή Γι πράδειγμ, το γιόμεο βρίσκετι ως εξής: 5, γ γ κι γ γ Επομέως, Τοίζετι ότι το γιόμεο ΑΒ ορίζετι ότ ο ριθμός τω στηλώ του πίκ Α είι ίσος με το ριθμό τω γρμμώ του πίκ Β Σχημτικά: ρ μ ρ μ AB Β A, Γι πράδειγμ,, κι, τότε, σύμφω με το πρπάω ορισμό, ορίζοτι τ γιόμε κι είι A B 5 Γ AΓ BA AB,,

27 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7, 8 7 AB κι BA, AΓ εώ δε ορίζοτι τ γιόμε κι ΓΒ BΓ, ΓΑ Ιδιότητες του πολλπλσισμού τω πιάκω Α είι πργμτικοί ριθμοί κι είι πίκες, τότε ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες με τη προϋπόθεση οτι ορίζοτι οι πράξεις που σημειώοτι μ λ, B A, Γ AB BΓ A προσετιριστική κι ΑΓ AB Γ Β Α ΓΑ BA A Γ Β επιμεριστική AB λμ μb λa Α με συμβολίσουμε το I διγώιο πίκ του οποίου κάθε στοιχείο της κυρίς διγωίου είι ίσο με, τότε γι κάθε τετργωικό πίκ Α ισχύει: A A I AI O πίκς υτός λέγετι μοδιίος πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες, είι μοδιίοι I I Το πίκ θ το συμβολίζουμε πλούστερ με Ι, ότ είι προφής ο τύπος του I Α τώρ Α είι ές μ πίκς, τότε ισχύου ΑΙ A κι I μ A A Γι πράδειγμ

28 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ κι 5 6 Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει γράφουμε ABΓ γι κθέ πό τ ίσ γιόμε ABΓ, AB Γ Ομοίως, Α,Β,Γ,Δ είι πίκες τέτοιοι, ώστε ορίζοτι τ γιόμε ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ τότε έχουμε 5 6 [ AB Γ] Δ AB ΓΔ A[ B ΓΔ] A[ ΒΓ Δ] [ A BΓ] Δ κι μπορούμε γράφουμε ΑΒΓΔ γι κθέ πό τ γιόμε υτά Γεικά, επειδή ισχύει η προσετιριστική ιδιότητ, μπορεί ποδειχτεί ότι ότ πολλπλσιάζουμε έ ριθμό πιάκω A, A,, A το γιόμεο θ είι το ίδιο κτά οποιοδήποτε τρόπο κι εκτελεστεί ο πολλπλσισμός, χωρίς ό- μως λλάξει η σειρά τω πργότω κι συμβολίζετι με A A Α ο Α είι ές τετργωικός πίκς, τότε ορίζοτι τ γιόμε ΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΑΑ, κτλ κι τ συμβολίζουμε με μορφή δυάμεω ως εξής: A, A, A,, - τιστοίχως Ορίζουμε επίσης A A Α p, q είι θετικοί κέριοι, κι κ πργμτικός ριθμός, ποδεικύετι ότι: ΣΧΟΛΙΟ A p q pq p q pq p p p A A, A A κι κa κ A Γωρίζουμε ότι γι το πολλπλσισμό τω πργμτικώ ριθμώ ισχύει, επιπλέο, κι η τιμετθετική ιδιότητ Δηλδή, ισχύει β β γι οποιουσδήποτε,β Η ιδιότητ, όμως, υτή δε ισχύει γι το πολλπλσισμό τω πιάκω, φού υπάρχου πίκες A 5 κι B, τότε A, B με AB BA Γι πράδειγμ, AB BA, φού: 9 8 AB, εώ BA Επειδή, λοιπό, δε ισχύει η τιμετθετική ιδιότητ οι ισότητες: A B A B A AB, A B A A B AB B, B A B A B, A B A B A AB B κτλ A AB BA οι πρπάω ισότη- δε ισχύου πάτοτε Στη περίπτωση, όμως, που τες ισχύου

29 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 ΕΦΑΡΜΟΓH Δίοτι οι πίκες κι Ν ποδειχτεί ότι: A B i I A, I B κι A B ii I BA AB iii AB B A B A ΛΥΣΗ i Είι I A B I Άρ B A ii Είι AB BA Άρ I BA AB iii Είι I BA AB I B BA AB A B A B A B A I BA AB λόγω της ii λόγω της ii AB AB B A Άρ, AB B A B A Ατιστρέψιμοι πίκες Γωρίζουμε ότι γι κάθε πργμτικό ριθμό με υπάρχει ο τίστροφός του, που συμβολίζετι με ή, γι το οποίο ισχύει

30 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Είι λογικό τώρ ρωτήσουμε: Α δοθεί ές πίκς Α μπορούμε βρούμε έ πίκ Β τέτοιο ώστε ισχύει AB BA I ; Σύμφω με το πολλπλσισμό που ορίσμε μι τέτοι ερώτηση έχει όημ μόο ο Α είι ές τετργωικός πίκς Οδηγούμστε έτσι στο εξής ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ές τετργωικός πίκς τύπου Α υπάρχει τετργωικός πίκς Β τύπου, τέτοιος ώστε ισχύει AB BA I, τότε ο Α λέγετι - τιστρέψιμος πίκς κι ο Β τίστροφος του Α Α ές πίκς Α έχει τίστροφο, τότε ποδεικύετι ότι υτός είι μοδικός κι συμβολίζετι με A Έτσι έχουμε: Γι πράδειγμ, τότε έχουμε: AB AA A A I A κι B, I Άρ, ο Β είι ο τίστροφος του Α κι BA I Σύμφω με το πρπάω ορισμό, ο πίκς Β είι τίστροφος του Α, ότ AB I κι BA I Αποδεικύετι, όμως, ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Α γι δυο πίκες A, B ισχύει μι πό τις ισότητες τότε θ ισχύει κι η άλλη AB I κι BA I, Με βάση υτό το θεώρημ, γι ποδείξουμε ότι ές πίκς Β είι τίστροφος εός πίκ Α, ρκεί ποδείξουμε μί μόο πό τις ισότητες AB I κι BA I Τέλος, ές πίκς Α είι τιστρέψιμος, τότε ισχύου οι ισοδυμίες: i ii AX B X A XA B X BA B Πράγμτι, γι τη i έχουμε: Α AX B, τότε A AX A B, οπότε X A B

31 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α X A B, τότε AX AA B, οπότε AX B Ομοίως ποδεικύετι κι η ii ΣΧΟΛΙΟ Γωρίζουμε ότι γι το πολλπλσισμό τω πργμτικώ ριθμώ ισχύει επιπλέο κι η ιδιότητ: β, τότε ή β Η ιδιότητ, όμως, υτή δε ισχύει γι το πολλπλσισμό τω πιάκω, φού πχ γι τους πίκες A κι B ισχύει χωρίς, ωστόσο, AB είι A O ή B O Δηλδή: Μπορεί έ γιόμεο πιάκω ισούτι με το μηδεικό πίκ, χωρίς κές είι μηδεικός Στη περίπτωση όμως που ισχύει AB κι ο ές πό τους πίκες είι - τιστρέψιμος, τότε ο άλλος είι μηδεικός Πράγμτι, ο Α είι τιστρέψιμος, τότε έχουμε διδοχικά: AB Aτίστροφος εός A πίκ AB A IB B β Έστω A ές πίκς Θ εξετάσουμε πότε υτός τιστρέφετι γ δ κι θ βρούμε το τίστροφό του Γι τιστρέφετι ο Α, πρέπει κι ρκεί υπάρχει πίκς X τέτοιος, ώστε ισχύει AX I ή, z ω ισοδύμ, γ β δ z ω βz γ δz βω γ δω βz γ δz βω Σ κι Σ γ δω Αρκεί, επομέως, τ συστήμτ Σ κι Σ έχου λύση Τ συστήμτ υτά έχου

32 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ κι D Επομέως: β D δ βγ γ δ β β δ, D z γ, D β, D ω δ γ δ γ A D, τότε τ συστήμτ Σ κι Σ έχου μοδική λύση, οπότε ο πίκς Α τιστρέφετι Η λύση του Σ είι το ζεύγος, z με D δ κι D D εώ η λύση του Σ είι το ζεύγος, ω D β κι D D Dz γ z, D D με D ω ω D D Άρ X δ D γ D β D, οπότε ο τίστροφος του Α είι ο πίκς D A δ D γ β Α D, τότε έ τουλάχιστο πό τ συστήμτ Σ κι Σ είι δύτο, οπότε ο πίκς Α δε τιστρέφετι Πράγμτι Α D ή D ή D ή D, τότε έ τουλάχιστο πό τ συστήμτ Σ κι Σ θ είι δύτο z β Α D D D D, τότε β γ δ, οπότε κι πάλι τ δύο συστήμτ θ είι δύτ Αποδείξμε λοιπό ότι: z ω ω O πίκς β β A είι τιστρέψιμος, κι μόο γ δ γ δ β Ο τίστροφος εός πίκ A, υπάρχει, δίετι πό το τύπο γ δ δ β β A, όπου D D γ γ δ Γι πράδειγμ:

33 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ο πίκς A τιστρέφετι, γιτί κι ο τίστροφός του είι ο A β Ο πίκς A δε τιστρέφετι, γιτί ΕΦΑΡΜΟΓH Δίοτι οι πίκες A κι B i N βρεθεί ο τίστροφος του πίκ Α ii Ν λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ AX B i Γι το πίκ Α έχουμε D Άρ ii Επειδή ο πίκς Α είι τιστρέψιμος, έχουμε: AX B X A A B X 6 X ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε τ γιόμε AB κι BA σε όποιες πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζοτι:

34 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i, ii, ] A [ B A B iii, 5 A 5 B iv, A 7 B Α, κι A B Γ Ν βρείτε τους πίκες: i AB ii Γ AB iii ABΓ T στοιχεί γι τις μοιβές κι το ριθμό τω εργτώ σε δύο οικοδομικές ετιρείες Α κι Β έχου με μορφή πιάκω ως εξής: Aριθμός εργτώ Εβδομδιίες ποδοχές Ειδικευμέοι Αειδίκευτοι σε χιλ δρχμές B A Αειδίκευτοι Ειδικευμέοι 5 Ν εκφράσετε με τη βοήθει του πολλπλσισμού τω πιάκω το σύολο τω μοιβώ τω εργτώ στις δύο ετιρείες Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ποδείξετε ότι ο πίκς Β είι τίστροφος του Α i, ii, A B 5 A B 5 Ν βρείτε το τίστροφο, εφόσο υπάρχει, κθεός πό τους πρκάτω πίκες: A, κι B θ θ θ θ Γ συ ημ ημ συ 6 i Ν βρείτε το τίστροφο του πίκ ημ συ συ ημ

35 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 ημ συ συ ημ ii Ν λύσετε τη εξίσωση: X συ ημ ημ συ Α A, τότε: B ΟΜΑΔΑΣ i Ν βρείτε τις τιμές τω, γι τις οποίες ισχύει A A I ii Ν υπολογίσετε τους πίκες A κι A A A, βρείτε το πργμτικό ριθμό, ώστε ισχύει A A I Ν βρείτε τους πίκες X, β X I,β γι τους οποίους ισχύει Α A, B, ποδείξετε ότι: i A I, B I iii A B A B A B ii A B, A B I 5 A A, ποδείξετε ότι: i Ο πίκς Α τιστρέφετι κι βρείτε το ii A A I, * A συ - ημ ημ συ 6 A A, B, τότε: ημ συ συ ημ i Ν ποδείξετε ότι A A, B A ii Ν ποδείξετε ότι A B iii Ν λύσετε τη εξίσωση A B I 7 Mι βιομηχί επίπλω κουζίς έχει δύο εργοστάσι E κι E Οι πίκες Μ κι Ν δίου τις ώρες εργσίς που πιτούτι γι τη κτσκευή κάθε επίπλου κι τις ωριίες μοιβές του προσωπικού σε δρχμές τιστοίχως

36 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κτσκευή Βάψιμο Συσκευσί E E,6,6, Πάγκος 5 55 M,9, Κρέκλ, N 6 7,5,, Τρπέζι 5 i Ν βρείτε το πίκ ΜΝ κι εξηγήσετε τι εκφράζει Κτσκευή Βάψιμο Συσκευσί ii Ποιο είι το κόστος εργσίς γι τη πργωγή μις κρέκλς στο εργοστάσιο κι εός πάγκου στο εργοστάσιο E ; E 8 Α A 5 6 κι B, ποδείξετε ότι: i A κι γεικά A, I άρτιος θετικός ii B I, B B κι γεικά B B περιττός θετικός ημ π 9 Δίετι ο πίκς A, συ ημ, π i Ν ποδείξετε ότι A A ii Ν λύσετε τη εξίσωση A I Α A, i Ν ποδείξετε ότι A A A ii Ν βρείτε τη σχέση μετξύ τω, ώστε ο πίκς A είι τίστροφος του A iii N βρείτε το τίστροφο του πίκ M λ λ Α A, λ λ λ, τότε: i Ν ποδείξετε ότι A I I, άρτιος A A, περιττός, A A κι γεικά ότι

37 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 ii Α λ, βρείτε το πίκ Χ γι το οποίο ισχύει 99 A X iii Ν υπολογίσετε το άθροισμ I A A A Δίετι ο πίκς A i Ν βρείτε το τίστροφο του πίκ Α ii Ν βρείτε το πίκ Χ σε κάθε μι πό τις πρκάτω περιπτώσεις: AX β AXA γ AX A A Α A, τότε: i Ν ποδείξετε ότι A I κι γεικά ότι Ι, άρτιος A I, περιττός ii Ν βρείτε τις πργμτικές τιμές του γι τις οποίες ισχύει A A ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Η Έοι του Γεωμετρικού Μετσχημτισμού Γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ότι συάρτηση πό έ σύολο Α σε έ σύολο Β είι μι διδικσί με τη οποί κάθε στοιχείο του Α τιστοιχίζετι σε έ κι μοδικό στοιχείο του Β Στη πράγρφο υτή θ σχοληθούμε με συρτήσεις γι τις οποίες τ Α κι Β συμπίπτου με το σύολο E τω σημείω εός κρτεσιού επιπέδου O Οι συρτήσεις υτές λέγοτι γεωμετρικοί μετσχημτισμοί στο επίπεδο ή, πλά, γεωμετρικοί μετσχημτισμοί Δηλδή, γεωμετρικός μετσχημτισμός είι οποιδήποτε συάρτηση Τ M, T :E E M, O

38 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ως προς τη συάρτηση υτή η εικό, T M, του σημείου M, θ συμβολίζετι με M, Έ πράδειγμ γεωμετρικού μετσχημτισμού είι η συάρτηση T :E E M, M,, η οποί τιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στο συμμετρικό του M ως προς το άξο C C M, O M, Στη συέχει θ σχοληθούμε μόο με τους γεωμετρικούς μετσχημτισμούς που πεικοίζου τ σημεί M, στ M, τω οποίω οι συτετγμέες δίοτι πό έ σύστημ της μορφής β μ γ δ ή, ισοδύμ, πό μι εξίσωση της μορφής β μ γ δ όπου,β,γ,δ,μ, πργμτικοί ριθμοί Α μ κι, τότε η εξίσωση πίρει τη μορφή β γ δ Στη περίπτωση υτή ο γεωμετρικός μετσχημτισμός λέγετι γρμμικός μετσχημτισμός κι ο πίκς λέγετι πίκς του γρμμικού μετ- β γ δ σχημτισμού Γι πράδειγμ, ο γεωμετρικός μετσχημτισμός που ορίζετι πό το σύστημ 7 7 ή, ισοδύμ, πό τη εξίσωση είι ές γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ το Με υτό το μετσχημτισμό 7 το σημείο A, πεικοίζετι στο A, 6, εώ το σημείο B, στο B,, δηλδή στο ευτό του Ας θεωρήσουμε τώρ το γρμμικό μετσχημτισμό

39 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 T : β γ δ κι τ μοδιί διύσμτ i, κι j, Τότε, η εικό A του πέρτος A, του διύσμτος i έχει συτετγμέες, γ, φού β, γ δ γ Β β,δ Β, j Α,γ O i Α, εώ η εικό B του πέρτος B, του διύσμτος j έχει συτετγμέες β, δ, φού γ β β δ δ Πρτηρούμε, δηλδή, ότι: Oι συτετγμέες της εικός του πέρτος, A,, του διύσμτος i, είι η πρώτη στήλη, εώ οι συτετγμέες της εικός του πέρτος, Β,, του διύσμτος j είι η δεύτερη στήλη του πίκ του γρμμικού μετσχημτισμού Γι πράδειγμ, ο γρμμικός μετσχημτισμός, που πεικοίζει τ πέρτ A, κι B, τω διυσμάτω i, κι j, στ σημεί A, κι B, τιστοίχως, έχει πίκ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός T : i Ν βρεθού οι εικόες A, κι B, τω σημείω A, κι B, τιστοίχως ii Ν ποδειχτεί ότι A B AB

40 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΣΗ i Έχουμε Επομέως, οι εικόες τω κι είι τ σημεί κι τιστοίχως, A, B, A, B ii Είι AB B A Πρτηρούμε ότι ο μετσχημτισμός υτός διτηρεί τις ποστάσεις Οι γρμμικοί μετσχημτισμοί που διτηρού τις ποστάσεις λέγοτι ισομετρίες Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : N βρεθεί: i Το πρότυπο του σημείου, A, δηλδή το σημείο που πεικοίζετι στο, Α A, ii Η εικό της ευθείς : ε ΛΥΣΗ i Ισχύει Επειδή ο πίκς είι τιστρέψιμος, πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το τίστροφό του, που είι ο πίκς κι έχουμε διδοχικά:

41 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άρ το σημείο Α έχει συτετγμέες, ii Αρκεί βρούμε τη εξίσωση η οποί επληθεύετι πό τις συτετγμέες τω εικόω τω σημείω της ευθείς ε κι μόο π υτές Πράγμτι, έχουμε: Eπομέως, το σημείο ήκει στη ε, τότε θ ισχύει:, M O ε ε 5 6 Άρ, το σημείο ήκει στη ευθεί, M : ε Αλλά κι τιστρόφως, το σημείο, M ήκει στη ευθεί : ε, τότε το ήκει στη ευθεί, M : ε Συεπώς, η εικό της ευθείς : ε είι η ευθεί : ε ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι κάθε γρμμικός μετσχημτισμός, του οποίου ο πίκς - τιστρέφετι, πεικοίζει: ευθείες σε ευθείες ευθύγρμμ τμήμτ σε ευθύγρμμ τμήμτ με άκρ τις εικόες τω άκρω πολύγω σε πολύγω με κορυφές τις εικόες τω κορυφώ Γι πράδειγμ, με το μετσχημτισμό

42 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ T : το τρίγωο ΑΒΓ με κορυφές A,, B, κι Γ, πεικοίζετι στο τρίγωο A BΓ που έχει ως κορυφές τις εικόες A,, B, κι Γ, τω κορυφώ του τριγώου ΑΒΓ Είι βολικό, πολλές φορές, έ πολύγωο A A A το πριστάουμε με το πίκ, που έχει ως στήλες τις συτετγμέες τω κορυφώ του Το πίκ υτό θ το λέμε πίκ του πολυγώου Έτσι, ο πίκς του ΑΒΓ είι ο, εώ του A BΓ ο Eίι φερό ότι 6 Β Γ A B Γ Α Β Γ Β Άρ ο πίκς του τριγώου A BΓ προκύπτει πολλπλσιάσουμε το πίκ του γρμμικού μετσχημτισμού με το πίκ του τριγώου ΑΒΓ Αυτό ισχύει κι γι οποιοδήποτε πολύγωο Βσικοί γεωμετρικοί μετσχημτισμοί Συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω Κλούμε συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο M, του κρτεσιού επιπέδου πεικοίζετι στο συμμετρικό του M, ως προς τη ρχή τω ξόω Όπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει C Μ -,- Γ O Α Α 7 Μ, C O Άρ, η συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω είι γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ I

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία Θάση Π. Ξέου Απρίτητο βοήθημ γι κάθε μθητή Λυκείου Ορισμοί τω εοιώ Τύποι κι ιδιότητες Βσική μεθοδολογί ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Πρόλογος Τ ο βιβλιράκι που κρτάς στ χέρι σου, μοδικό στη ελληική βιβλιογρφί, θ σου φεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β)

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β) οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) τυτότητες (+) + + (+) + + + + +(+) + (+) + (+) (+) (+)() + (+)( + ) ()( ++ ) (++γ) + +γ ++γ+γ + +γ γ (++γ)( () +(γ) +(γ) ) (++γ)( + +γ γγ) ()( + + + ) Ν + (+)( + +

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Μι κολουθι οομζετι γεωμετρικη προοδος, κι μοο, υπρχει λ, τετοιος ωστε. γι A κθε, β θετικοι, συγκριετι τους ριθμους Α = + β, Β = β + β + + = λ η = λ * 3. Ν δειχτει οτι +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ. 5-6 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ http://cutemathswordpresscom/ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 3 f g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω f φ(x) τότε:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία της Α Λυκείου

Η θεωρία της Α Λυκείου Η θεωρί της Α Λυκείου Τι λέγετι σύολο; Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που προέρχοτι πό τη εμπειρί μς ή τη διόησή μς, είι κλά ορισμέ κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Τ τικείμε υτά, που ποτελού το σύολο, οομάζοτι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ >

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα