ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση"

Transcript

1

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση

3 ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θωμΐδης Ιωάης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης OMAΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Πολύζος Γεώργιος ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ Αδμόπουλος Λεωίδς Επίτιμος Σύμβουλος του ΠΙ Δκτυλογράφηση: Σχήμτ: Γρδέρη Ρόζ Μπούτσικς Μιχάλης Με πόφση της ελληικής κυβερήσεως τ διδκτικά βιβλί του Δημοτικού, του Γυμσίου κι του Λυκείου τυπώοτι πό το Οργισμό Εκδόσεως Διδκτικώ Βιβλίω κι διέμοτι δωρεά

4 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση Αδρεδάκης Στυλιός Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κτσργύρης Βσίλειος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μέτης Στέφος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μπρουχούτς Κω/ος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Ππστυρίδης Στύρος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ 999

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ To βιβλίο που κρτάτε στ χέρι σς περιλμβάει τη ύλη τω Μθημτικώ, όπως προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδώ της Θετικής Κτεύθυσης της Γ τάξης του Ειίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 999- Το βιβλίο υτό προήλθε πό μόρφωση του βιβλίου τω Μθημτικώ της ης κι της ης δέσμης της Γ τάξης του Γεικού Λυκείου κι ποτελείτι πό δύο μέρη To πρώτο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΛΓΕΒΡΑ, ποτελείτι πό δυο κεφάλι To πρώτο κεφάλιο ποτελεί μι εισγωγή στη Θεωρί τω Πιάκω, η ο- ποί μετξύ άλλω είι έ εργλείο γι τη μελέτη τω Γεωμετρικώ Μετσχημτισμώ κι τω Γρμμικώ Συστημάτω, τ οποί μελετώτι στο ίδιο κεφάλιο Το δεύτερο κεφάλιο εισάγει στους Μιγδικούς Αριθμούς, οι οποίοι είι προέκτση τω Πργμτικώ Αριθμώ Οι Μιγδικοί Αριθμοί κλύφθηκ τη περίοδο της Αγέησης στη προσπάθει επίλυσης εξισώσεω τρίτου βθμού Όμως, στους ιώες που κολούθησ ποδείχτηκε η μεγάλη σημσί τους γι πάρ πολλά προβλήμτ της μθημτικής επιστήμης κι τω εφρμογώ της Το κεφάλιο υτό έχει ληφθεί πό το βιβλίο τω Μθημτικώ Θετικής Κτεύθυσης Β τάξης Ειίου Λυκείου τω συγγρφέω: Αδμόπουλου Λ, Βισκδουράκη Β, Γβλά Δ, Πολύζου Γ κι Σβέρκου Α Tο δεύτερο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΝΑΛΥΣΗ, ποτελείτι πό τρί κεφάλι Το πρώτο κεφάλιο σημτοδοτεί έ έο ξεκίημ Είι το πέρσμ πό τις πεπερσμέες πράξεις στις «άπειρες διδικσίες» Τ σπέρμτ της έοις του ορίου υπάρχου σφλώς με πολύ σφή κι συγκεκριμέο τρόπο στ γρπτά του Αρχιμήδη Η άπτυξη, όμως, υτής της έοις έγιε στ χρόι της Αγέησης κι έκτοτε κτέχει κετρική θέση στο κόσμο τω μθημτικώ εοιώ Κτ ρχάς στο κεφάλιο υτό προυσιάζοτι βσικές κι ήδη γωστές στους μθητές - έοιες τω συρτήσεω, κθώς κι μερικές κόμη βσικές έοιες της Αάλυσης Στη συέχει εισάγετι η έοι του ορίου στο, η έοι του ορίου στο κι στο κι δίοτι οι πιο χρκτηριστικές ιδιότητές του Τέλος, δίετι η έοι της συέχεις μις συάρτησης κι προυσιάζοτι οι βσικότερες ιδιότητές της Στο δεύτερο κι τρίτο κεφάλιο προυσιάζοτι οι έοιες της πργώγου κι του ολοκληρώμτος τιστοίχως κι γίετι χρήση τω εοιώ υτώ σε πολλές εφρμογές Η πράγωγος κι το ολοκλήρωμ είι κτά κάποιο τρόπο οι

6 δύο διφορετικές όψεις του ίδιου ομίσμτος Σε μι έκφρσή τους είι η κλίση της εφπτομέης κι το εμβδό, σε άλλη η τχύτητ κι το μήκος της τροχιάς εός κιητού κτλ Αυτό το βιβλίο ως θρώπιο δημιούργημ δε είι τέλειο Ο μόος τρόπος γι έχουμε στ σχολεί μς ύστερ πό μερικά χρόι έ κλύτερο μέσο διδσκλίς είι ο ηφάλιος κι ελεύθερος διάλογος, το οποίο η επιστημοική πράδοση έχει κθιερώσει γι ιώες τώρ Γι υτό το λόγο η συγγρφική ο- μάδ με ιδιίτερη ικοποίηση θ δέχετι σχόλι κι πρτηρήσεις γι το βιβλίο πό οποιοδήποτε συάδελφο, μθητή ή άλλο πολίτη εδιφέρετι γι τ ζητήμτ της πιδείς Τ σχόλι κι οι πρτηρήσεις μπορού ποστέλλοτι στο Πιδγωγικό Ιστιτούτο, Μεσογείω 96, 5 Αγί Πρσκευή Μάρτιος 999 Οι Συγγρφείς

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Πίκες Γρμμικά Συστήμτ Σελ Η έοι του πίκ Πρόσθεση πιάκω - Πολλπλσισμός ριθμού με πίκ 6 Πολλπλσισμός πιάκω Γεωμετρικοί μετσχημτισμοί 7 5 Η έοι του γρμμικού συστήμτος 5 6 Επίλυση γρμμικού συστήμτος με τη μέθοδο πλοιφής του Gauss 5 7 Eπίλυση γρμμικού συστήμτος με τη μέθοδο τω οριζουσώ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Μιγδικοί Αριθμοί Η Έοι του Μιγδικού Αριθμού 85 Πράξεις στο Σύολο τω Μιγδικώ 88 Μέτρο Μιγδικού Αριθμού 97 Τριγωομετρική Μορφή Μιγδικού 5 Πολυωυμικές Εξισώσεις στο Β ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Όριο - συέχει συάρτησης Σελ Πργμτικοί Αριθμοί 9 Συρτήσεις Μοότοες συρτήσεις - Ατίστροφη συάρτηση 8 Όριο συάρτησης στο 57 5 Ιδιότητες τω ορίω 65 6 Μη πεπερσμέο όριο στο 76 7 Όριο συάρτησης στο άπειρο 8 8 Συέχει συάρτησης 88

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Διφορικός Λογισμός Η έοι της πργώγου 9 Πργωγίσιμες συρτήσεις - Πράγωγος συάρτήση Κόες πργώγισης 9 Ρυθμός μετβολής 5 Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού 5 6 Συέπειες του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής 5 7 Τοπικά κρόττ συάρτησης 58 8 Κυρτότητ - σημεί κμπής συάρτησης 7 9 Ασύμπτωτες - Κόες De L Hospital 79 Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός Αόριστο ολοκλήρωμ Μέθοδοι ολοκλήρωσης 9 Διφορικές εξισώσεις 8 Ορισμέο ολοκλήρωμ 6 5 Η συάρτηση F f t dt 6 Θεώρημ Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού 7 Εμβδό επιπέδου χωρίου ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 65

9 Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πίκες κι Γρμμικά Συστήμτ

11 ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Γεικά Τέσσερ εργοστάσι πργωγής υτοκιήτω A, B, Γ κι Δ δίου γι το τελευτίο μοτέλο τους ως προς πέτε τεχικά χρκτηριστικά τις εξής πληροφορίες: Εργοστάσιο Α: Ισχύς 97 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,7 sec, τελική τχύτητ 8 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km 9,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι Εργοστάσιο Β: Ισχύς DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,9 sec, τελική τχύτητ 9 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km lit, φορολογήσιμοι ίπποι Εργοστάσιο Γ: Ισχύς 5 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h 7,9 sec, τελική τχύτητ km/h, κτάλωση στη πόλη ά km, 7, lit, φορολογήσιμοι ίπποι 6 Εργοστάσιο Δ: Ισχύς 7 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h 7,6 sec, τελική τχύτητ 5 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι Τις πληροφορίες υτές μπορούμε τις προυσιάσουμε πιο οργωμέ ως ε- ξής: Εργοστάσιο Τεχικά Χρκτηρ Ισχύς DIN Α 97 Β Γ 5 Δ 7 Χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,7,9 7,9 7,6 Τελική Τχύτητ km/h Κτάλωση στη πόλη lit ά km 9,5 7,,5 Φορολογήσι μοι ίπποι 6

12 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ ριθμητικά δεδομέ της ορθογώις υτής διάτξης, κλεισμέ μέσ σε γκύλες, ,7,9 7,9 7, λέμε ότι σχημτίζου έ πίκ με γρμμές κι 5 στήλες ή, συτομότερ, έ πίκ τύπου 5 ή κόμ έ 5 πίκ Έστω το σύστημ 5 9,5 7,,5 z ω 6 z ω 7z ω Το σύστημ υτό θ μπορούσε πρστθεί ως εξής: Συτελεστής Εξίσωση η η η του του του z του ω στθ όρος Έτσι οι συτελεστές τω γώστω σχημτίζου το πίκ 5 7 κι οι συτελεστές τω γώστω μζί με τους στθερούς όρους το 5 πίκ 5 Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ 7 Μι διάτξη γρμμές κι στήλες, λέγετι πίκς τύπου μ ή πλούστερ μ πίκς μ το πλήθος ριθμώ σε μορφή ορθογωίου σχήμτος με μ

13 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τους πίκες τους συμβολίζουμε συήθως με κεφλί γράμμτ A, B, Γ κτλ Οι ριθμοί με τους οποίους σχημτίζουμε έ πίκ λέγοτι στοιχεί του πίκ Το στοιχείο εός μ πίκ Α που ήκει στη i-γρμμή κι j-στήλη συμβολίζετι με ij Έτσι ο μ πίκς Α γράφετι: i μ i μ j στήλη j j ή συτομογρφικά ], i μ, j [ ij Γι πράδειγμ, ο πίκς ] με [ ij ij μj ij i i γρμμή μ i j έχει στοιχεί,, κι Επομέως, ο πίκς υτός γράφετι Η ισότητ μετξύ τω πιάκω ορίζετι ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο πίκες A, B λέμε ότι είι ίσοι, ότ έχου το ίδιο ριθμό γρμμώ, το ίδιο ριθμό στηλώ δηλδή είι του ίδιου τύπου κι τ τίστοιχ στοιχεί τους είι ίσ Γι δηλώσουμε ότι δύο πίκες είι ίσοι γράφουμε A B, Από το ορισμό υτό προκύπτει ότι δύο πίκες διφορετικού τύπου δε μπορεί είι ίσοι Α ές πίκς έχει το ίδιο ριθμό γρμμώ κι στηλώ, δηλδή είι τύπου * γι κάποιο, τότε ο πίκς υτός λέγετι τετργωικός πίκς Τ στοιχεί,,, εός τετργωικού πίκ Α, λέμε ότι σχημτίζου τη κύρι διγώιο του Α Α τ στοιχεί εός τετργωικού πίκ Α που δε βρίσκοτι στη κύρι διγώιο είι όλ, τότε ο Α λέγετι διγώιος πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες: είι διγώιοι πίκες,, 6

14 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ές πίκς που έχει μί μόο γρμμή, όπως ο λέγετι πίκς 7 γρμμή, εώ ές πίκς που έχει μί μόο στήλη, όπως ο λέγετι πίκς στήλη Ές πίκς που έχει έ μόο στοιχείο, όπως ο [ ] λέγετι πίκς στοιχείο Τέλος, ές τετργωικός πίκς λέγετι τριγωικός άω, ότ όλ τ στοιχεί του που βρίσκοτι κάτω πό τη κύρι διγώιο είι μηδεικά κι τριγωικός κάτω, ότ όλ τ στοιχεί του που βρίσκοτι πάω πό τη κύρι διγώιο είι μηδεικά Γι πράδειγμ, οι πίκες 6 5, είι τριγωικοί άω, εώ οι πίκες 6 5 είι τριγωικοί κάτω 7, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Το διπλό σχήμ πριστάει το οδικό δίκτυο που συδέει τις πόλεις Α, Β, Γ, Δ κι Ε Ν πρστθεί το δίκτυο υτό με έ πίκ του οποίου κάθε στοιχείο φερώει το πλήθος τω δυτώ τρόπω μετάβσης πό πόλη σε πόλη, όχι οπωσδήποτε διφορετική πόλη, φού προηγουμέως περάσουμε πό μί μόο πόλη, πχ ΑΒΑ κτλ ΛΥΣΗ Από τη πόλη Α στη Α υπάρχου τρόποι: ABA, AΔ Α, AEA, πό τη Α στη Β δε υπάρχει τρόπος, φού πρέπει περάσουμε πό μί μόο πόλη, πό τη Α στη Γ υπάρχου τρόποι AΔ Γ, ΑΒΓ, πό τη Α στη Δ υπάρχει ές τρόπος ΑΕΔ, πό τη Α στη Ε υπάρχει τρόπος ΑΔΕ κτλ Ε A Δ B Γ

15 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Έτσι το οδικό δίκτυο μπορεί πρστθεί με το πίκ διπλής εισόδου ΣΤΗΝ ΑΠΟ Α Β Γ Δ Ε Α Β Γ Δ Ε ή πλά με το 5 5 πίκ Ν εξετστεί υπάρχου τιμές τω, γι τις οποίες ισχύου: 5 i ii ΛΥΣΗ i H ισότητ ισχύει, κι μόο συληθεύου οι ισότητες Η τρίτη ισότητ ληθεύει γι πρπάω Η τιμή υτή του επληθεύει κι τις άλλες δύο ισότητες Επομέως, οι ισότητες συληθεύου γι ii Η ισότητ ισχύει, κι μόο συληθεύου οι Η δεύτερη κι τρίτη ισότητ γράφοτι κι προφώς δε συληθεύου γι κμί τιμή τω κι υπάρχου τιμές τω ισότητες Επομέως, δε, γι τις οποίες οι πίκες υτοί είι ίσοι

16 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ο διπλός πίκς δείχει ΟΜΑΔΕΣ γι τρεις ομάδες ποδοσφίρου τους γώες Α, τις ίκες Ν, τις ΝΙΚΗ ήττες Η, τις ισοπλίες Ι, τ ΘΥΕΛΛΑ τέρμτ Ε που πέτυχε η ομάδ, τ τέρμτ Δ που δέχτηκε ΔΑΦΝΗ η ομάδ κι τους βθμούς Β που έχει Α A ] είι ο πίκς υτός, τότε βρείτε: [ ij i Ποιος είι ο τύπος του πίκ ii Ποιες πληροφορίες μς δίου τ στοιχεί, κι A N 6 7 H I 5 E 5, 7 Δ 6 B 5 7 Δίετι συτομογρφικά ο πίκς A ] όπου Ν πρστήσετε το πίκ υτό, φού βρείτε τ στοιχεί του [ ij i j ij Ν βρείτε τ, γι τ οποί ισχύει: i ii Γι ποι τιμή του θετικού ριθμού ο πίκς είι διγώιος ln ln ln 5 Ν βρεθού οι τιμές τω [,π γι τις οποίες ισχύει: ημ εφ ημ συ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑ Πρόσθεση πιάκω Μί ετιρεί πουλάει τηλεοράσεις, ψυγεί, κουζίες κι πλυτήρι σε Αθή, Θεσσλοίκη κι Πάτρ Οι πωλήσεις τους μήες Σεπτέμβριο κι Οκτώβριο προυσίσ τη εξής κίηση:

17 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 Σεπτέμβριος Οκτώβριος Aθή Θεσ/κη Πάτρ Aθή Θεσ/κη Πάτρ Τηλεοράσεις Ψυγεί 9 5 Κουζίες 9 8 Πλυτήρι Επομέως, τους δυο υτούς μήες οι συολικές πωλήσεις της ετιρείς ήτ οι εξής: Τηλεοράσεις Ψυγεί Κουζίες Πλυτήρι Αθή Θεσ/ίκη Πάτρ Α τώρ θεωρήσουμε τους πίκες τω πρπάω πωλήσεω έχουμε: Γι το Σεπτέμβριο: 8 A Γι το Οκτώβριο: 5 B κι γι τις συολικές πωλήσεις: Γ O πίκς Γ λέγετι άθροισμ τω πιάκω Α κι Β κι συμβολίζετι με δηλδή Γ A B Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: A B, ΟΡΙΣΜΟΣ Άθροισμ δυο μ πιάκω A [ ] κι B β ] λέγετι ο μ πίκς ij του οποίου κάθε στοιχείο είι το άθρο ισμ τω τίστοιχω στοιχείω τω Α κι Β Ο πίκς υτό ς συμβολίζετι με A B Δηλδή, A B ij β [ ij ] [ ij

18 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δε ορίζουμε άθροισμ πιάκω διφορετικού τύπου 9 7 Γι πράδειγμ, οι πίκες A 8 5 κι B 9 6 που είι του ίδιου τύπου, με βάση το πρπάω ορισμό, μπορού προστεθού κι το άθροισμά τους είι A B , εώ οι πίκες Γ κι Δ που δε είι του ίδιου τύπου δε μπορού προστεθού 5, Η πράξη με τη οποί βρίσκουμε το άθροισμ δύο πιάκω λέγετι π ρ ό σ θ ε σ η π ι ά κ ω Ιδιότητες της πρόσθεσης τω πιάκω Η πρόσθεση τω πιάκω έχει ιδιότητες άλογες με τη πρόσθεση τω πργμτικώ ριθμώ Συγκεκριμέ: Α A, B, Γ είι μ πίκες, τότε A B B A τιμετθετική A B Γ A B Γ προσετιριστική Α είι ο μ πίκς που όλ τ στοιχεί του είι μηδέ, τότε γι κάθε μ πίκ Α ισχύει A A A Ο πίκς λέγετι μηδεικός πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες, είι μηδεικοί Α με A συμβολίσουμε το πίκ του οποίου όλ τ στοιχεί είι τίθετ τω τίστοιχω στοιχείω εός πίκ Α, τότε ισχύει A A A A Ο πίκς A λέγετι τίθετος του πίκ Α

19 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 6 Γι πράδειγμ, ο τίθετος του πίκ είι ο πίκς Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει γράφουμε A B Γ γι κθέ πό τ ίσ θροίσμτ A B Γ, A B Γ Ομοίως, A, B, Γ,Δ είι πίκες του ίδιου τύπου, τότε έχουμε: [ A B Γ ] Δ A B Γ Δ [ A B Γ] Δ A [ B Γ Δ] A [ B Γ Δ] [ B A Γ] Δ κτλ κι επομέως, μπορούμε γράφουμε A B Γ Δ γι κθέ πό τ θροίσμτ υτά Γεικά, επειδή ισχύει η τιμετθετική κι η προσετιριστική ιδιότητ, μπορεί ποδειχθεί ότι το άθροισμ τριώ ή περισσοτέρω πιάκω A, A,, A είι το ίδιο κτά οποιοδήποτε τρόπο κι εκτελεστεί η πρόσθε- ση κι συμβολίζετι με A A A Αφίρεση πιάκω Όπως κι στη περίπτωση τω πργμτικώ ριθμώ, έτσι κι στους πίκες η φίρεση ορίζετι με τη βοήθει της πρόσθεσης Συγκεκριμέ, A, B είι δύο μ πίκες, τότε η διφορά A B ορίζετι ως εξής: A B A B Γι πράδειγμ, A κι 6 B, τότε A B Δηλδή, ο πίκς A B προκύπτει με φίρεση τω στοιχείω του Β πό τ τίστοιχ στοιχεί του Α Από τους πρπάω ορισμούς της πρόσθεσης κι της φίρεσης προκύπτει ότι: Πράγμτι: X B A X A B Α X B A, τότε X B B A B, οπότε X A B, εώ Α X A B, τότε X B A B B, οπότε X B A Πολλπλσισμός ριθμού με πίκ Ο πρκάτω πίκς Α περιγράφει τις τιμές πώλησης σε δρχμές τριώ ηλε- ειδώ μις βιομηχίς σε δύο υποκτστήμτ: κτρικώ

20 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Tηλεοράσεις Βίτεο Στερεοφωικά 6 8 A 5 7 ο υποκτάστημ ο υποκτάστημ Α κτά τη περίοδο τω εκπτώσεω, ο βιομήχος προτίθετι κάει έκπτωση % στ προϊότ του, τότε πρέπει διμορφώσει τις έες τιμές στο 8% τω προηγουμέω Οι έες τιμές πώλησης θ προκύψου πολλπλσιάσουμε τις πλιές τιμές με,8, όπως φίετι στο πρκάτω πίκ:,8 6,8, B,8 5,8, Ο πίκς Β λέγετι γιόμεο του ριθμού,8 με το πίκ Α κι συμβολίζετι με,8 A, δηλδή είι B, 8A Γεικά, έχουμε το κόλουθο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Γιόμεο εός πργμτικού ριθμού λ με έ πίκ A [ ij ], λέγετι ο πίκς που προκύπτει πολλπλσιάσουμε κάθε στοιχείο του Α με λ Ο πίκς υτός συμβολίζετι με λ A ή λa Δηλδή, λ A Η πράξη με τη οποί βρίσκουμε το γιόμεο ριθμού με πίκ λέγετι π ο λ- λ π λ σ ι σ μ ό ς ρ ι θ μ ο ύ μ ε π ί κ Γι πράδειγμ, το γιόμεο του ριθμού λ με το πίκ A 5 είι ο πίκς: [ λij A 6 ] Iδιότητες του πολλπλσισμού ριθμού με πίκ Α A, B είι μ πίκες κι κ, λ πργμτικοί ριθμοί, τότε ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες, που είι άμεση συέπει του ορισμού: Επιπλέο, ισχύει η ισοδυμί: κ λ A κα λα λ A B λ λ κ λα κλ A A A λa λ ή A

21 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓH βρεθεί ο πίκς Χ γι το οποίο ισχύει: ε π ί κ ε ς ΛΥΣΗ Έχουμε N X Mι τέτοι ισότητ είι μι ε ξ ί σ ω σ η μ X 5 X X X X X ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Σε κθεμιά πό τις πρ ις, βρείτε το άθροισμ κάτω περιπτώσε B A A B κι τη διφορά, εφόσο φυσικά ορίζοτι: i 5 A, 5 6 B ii A, B

22 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ iii ] 6 5 [ A, ] 6 5 [ B 6 5 A, 5 B iv v Α είι κι είτε μ λ κ ω γ β A, μ λ κ ω γ β B A, το άθροισ 5 A, A A A 5 6 A A, A βρ μ βρείτε τ ω,, Ν γι τ οποί ισχύει η ισότητ: πράξ i ii ω Ν κάετε τις εις: iii 5 Α κι βρείτε τους πίκες: λ λ λ λ λ λ λ A 8 B, 6 iv B A A ii iii A A B 5 i 6 Ν λύσετε ισώσεις: τις εξ i ii 7 Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ X X

23 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ συ συ ημ είι ές διγώιος πίκς ημ ημ συ ημ συ συ ημ β β 8 Α X κι Y βρείτε τις τιμές τω γ δ γ,,β,γ,δ δ ώστε ισχύει: 8 X 5Y B ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ, γι τ οποί ισχύει: i ii N βρείτε τους πίκες X, Y γι τους οποίους ισχύει: X Y κι 5X Y Α A κι 5 B, λύσετε τη εξίσωση X B X A 5B Μι βιομηχί που κτσκευάζει τηλεοράσεις, βίτεο κι κάμερες έχει δύο εργοστάσι πργωγής Π κι Π Το κόστος πργωγής ά συσκευή δίετι σε χιλιάδες δρχ στους πρκάτω πίκες: Τηλ Βιτ Κμ Τηλ Βιτ Κμ 8 Υλικά 8 Υλικά Π 5 6 Π Εργσί 8 8 Εργσί Ν βρείτε το πίκ Π Π κι εξηγήσετε τι εκφράζει 5 Μι βιομηχί έχει τέσσερ εργοστάσι πργωγής Π, Π, Π κι Π, κθέ πό τ οποί πράγει δύο προϊότ E κι E Το ημεεπίπεδο πργωγής σε μοάδες προϊότω δίετι στο επόμε- ο ρήσιο πίκ:

24 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Π Π Π Π 8 6 E A 8 E i N βρείτε το ημερήσιο επίπεδο πργωγής, υτή υξηθεί κτά % ii Ν βρείτε το σύολο της πργωγής ά προϊό σε 5 μήες, υποτ εθεί ότι τ εργοστάσι δούλ εψ μήες με το προηγούμεο επίπεδο κι μήες με το έο επίπεδο πργωγής μής = μέρες ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός του γιομέου δύο πιάκω Ας υποθέσουμε ότι γι τη κτσκευή δύο ειδώ γλυκισμάτω Γ κι Γ χρειζόμστε τ υλικά σε kg που φίοτι στο πρκάτω πίκ: Αλεύρι Ζάχρη Βούτυρο,,6, Γ A Γ,,8, γλύκισμ γλύκισμ Έστω επίσης ότι το κόστος σε δρχ τω υλικώ υτώ ά κιλό, γι τ έτη 99 κι 99, είι όπως δείχει ο πρκάτω πίκς: λεύρι B 7 ζάχρη 9 βούτυρο Γι βρούμε το κόστος σε δρχμές τω υλικώ του γλυκίσμτος, πολλ- πλσιάζο υμε τις ποσότητες τω υλικώ με τις τίστοιχες τιμές κι προσθέτουμε τ γιόμε υτά Δηλδή το κόστος του Γ το 99 ήτ, 6,6 7, 9 56 Η πρπάω διδικσί περιγράφετι με τη βοήθει τω πιάκω ως εξής: Γ

25 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 6 [,,6,] 7 [, 6,6 7, 9] [56] 9 O πίκς [56] λέγετι γιόμεο της πρώτης γρμμής του Α επί τη πρώτη στήλη του Β Αλόγως, το κόστος του Γ το 99 ήτ, 8,6, 696 Δηλδή πριστάετι με το γιόμεο της πρώτης γρμμής του Α επί τη δεύτερη στήλη του Β 8 [,,6,] [696] Ομοίως, το κόστος του Γ το 99 ήτ:, 6,8 7, 9 7 ή 6 [,,8,] 7 [7], 9 εώ το 99 ήτ: Ο πίκς 56 Γ 7, 8,8, 89 ή 8 [,,8,] [89] δείχει το κόστος τω δύο γλυκισμάτω κτά τ έτη 99 κι 99 Ο πίκς Γ που προκύπτει με το πιο πάω τρόπο λέγετι γιόμεο του πίκ Α με το πίκ Β κι συμβολίζετι με A B ή AB, δηλδή 6 8,,6, Γ 7,,8, Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ

26 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6 Α είι ές ] [ ik A μ πίκς κι ] [ kj β B είι ές ρ πίκς, τότε ορίζουμε ως γιόμεο του πίκ Α με το πίκ Β κι το συμβολίζουμε με B A ή με ΑΒ το ρ μ πίκ, του οποίου κάθε στοιχείο είι το ά- γ ij θροισμ τω γιομέω τω στοιχείω της -γρμμής του Α με τ τίστοιi χ στοιχεί της -στήλης του Β Δηλδή, j j i j i j i ij β β β γ Σχημτικά -στήλη j μρ μj μ μ iρ ij i i ρ j ρ j ρ j ρ j ρ j μ μ μ i i i γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ β β β β β β β β β β β β i γρμμή Γι πράδειγμ, το γιόμεο βρίσκετι ως εξής: 5, γ γ κι γ γ Επομέως, Τοίζετι ότι το γιόμεο ΑΒ ορίζετι ότ ο ριθμός τω στηλώ του πίκ Α είι ίσος με το ριθμό τω γρμμώ του πίκ Β Σχημτικά: ρ μ ρ μ AB Β A, Γι πράδειγμ,, κι, τότε, σύμφω με το πρπάω ορισμό, ορίζοτι τ γιόμε κι είι A B 5 Γ AΓ BA AB,,

27 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7, 8 7 AB κι BA, AΓ εώ δε ορίζοτι τ γιόμε κι ΓΒ BΓ, ΓΑ Ιδιότητες του πολλπλσισμού τω πιάκω Α είι πργμτικοί ριθμοί κι είι πίκες, τότε ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες με τη προϋπόθεση οτι ορίζοτι οι πράξεις που σημειώοτι μ λ, B A, Γ AB BΓ A προσετιριστική κι ΑΓ AB Γ Β Α ΓΑ BA A Γ Β επιμεριστική AB λμ μb λa Α με συμβολίσουμε το I διγώιο πίκ του οποίου κάθε στοιχείο της κυρίς διγωίου είι ίσο με, τότε γι κάθε τετργωικό πίκ Α ισχύει: A A I AI O πίκς υτός λέγετι μοδιίος πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες, είι μοδιίοι I I Το πίκ θ το συμβολίζουμε πλούστερ με Ι, ότ είι προφής ο τύπος του I Α τώρ Α είι ές μ πίκς, τότε ισχύου ΑΙ A κι I μ A A Γι πράδειγμ

28 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ κι 5 6 Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει γράφουμε ABΓ γι κθέ πό τ ίσ γιόμε ABΓ, AB Γ Ομοίως, Α,Β,Γ,Δ είι πίκες τέτοιοι, ώστε ορίζοτι τ γιόμε ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ τότε έχουμε 5 6 [ AB Γ] Δ AB ΓΔ A[ B ΓΔ] A[ ΒΓ Δ] [ A BΓ] Δ κι μπορούμε γράφουμε ΑΒΓΔ γι κθέ πό τ γιόμε υτά Γεικά, επειδή ισχύει η προσετιριστική ιδιότητ, μπορεί ποδειχτεί ότι ότ πολλπλσιάζουμε έ ριθμό πιάκω A, A,, A το γιόμεο θ είι το ίδιο κτά οποιοδήποτε τρόπο κι εκτελεστεί ο πολλπλσισμός, χωρίς ό- μως λλάξει η σειρά τω πργότω κι συμβολίζετι με A A Α ο Α είι ές τετργωικός πίκς, τότε ορίζοτι τ γιόμε ΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΑΑ, κτλ κι τ συμβολίζουμε με μορφή δυάμεω ως εξής: A, A, A,, - τιστοίχως Ορίζουμε επίσης A A Α p, q είι θετικοί κέριοι, κι κ πργμτικός ριθμός, ποδεικύετι ότι: ΣΧΟΛΙΟ A p q pq p q pq p p p A A, A A κι κa κ A Γωρίζουμε ότι γι το πολλπλσισμό τω πργμτικώ ριθμώ ισχύει, επιπλέο, κι η τιμετθετική ιδιότητ Δηλδή, ισχύει β β γι οποιουσδήποτε,β Η ιδιότητ, όμως, υτή δε ισχύει γι το πολλπλσισμό τω πιάκω, φού υπάρχου πίκες A 5 κι B, τότε A, B με AB BA Γι πράδειγμ, AB BA, φού: 9 8 AB, εώ BA Επειδή, λοιπό, δε ισχύει η τιμετθετική ιδιότητ οι ισότητες: A B A B A AB, A B A A B AB B, B A B A B, A B A B A AB B κτλ A AB BA οι πρπάω ισότη- δε ισχύου πάτοτε Στη περίπτωση, όμως, που τες ισχύου

29 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 ΕΦΑΡΜΟΓH Δίοτι οι πίκες κι Ν ποδειχτεί ότι: A B i I A, I B κι A B ii I BA AB iii AB B A B A ΛΥΣΗ i Είι I A B I Άρ B A ii Είι AB BA Άρ I BA AB iii Είι I BA AB I B BA AB A B A B A B A I BA AB λόγω της ii λόγω της ii AB AB B A Άρ, AB B A B A Ατιστρέψιμοι πίκες Γωρίζουμε ότι γι κάθε πργμτικό ριθμό με υπάρχει ο τίστροφός του, που συμβολίζετι με ή, γι το οποίο ισχύει

30 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Είι λογικό τώρ ρωτήσουμε: Α δοθεί ές πίκς Α μπορούμε βρούμε έ πίκ Β τέτοιο ώστε ισχύει AB BA I ; Σύμφω με το πολλπλσισμό που ορίσμε μι τέτοι ερώτηση έχει όημ μόο ο Α είι ές τετργωικός πίκς Οδηγούμστε έτσι στο εξής ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ές τετργωικός πίκς τύπου Α υπάρχει τετργωικός πίκς Β τύπου, τέτοιος ώστε ισχύει AB BA I, τότε ο Α λέγετι - τιστρέψιμος πίκς κι ο Β τίστροφος του Α Α ές πίκς Α έχει τίστροφο, τότε ποδεικύετι ότι υτός είι μοδικός κι συμβολίζετι με A Έτσι έχουμε: Γι πράδειγμ, τότε έχουμε: AB AA A A I A κι B, I Άρ, ο Β είι ο τίστροφος του Α κι BA I Σύμφω με το πρπάω ορισμό, ο πίκς Β είι τίστροφος του Α, ότ AB I κι BA I Αποδεικύετι, όμως, ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Α γι δυο πίκες A, B ισχύει μι πό τις ισότητες τότε θ ισχύει κι η άλλη AB I κι BA I, Με βάση υτό το θεώρημ, γι ποδείξουμε ότι ές πίκς Β είι τίστροφος εός πίκ Α, ρκεί ποδείξουμε μί μόο πό τις ισότητες AB I κι BA I Τέλος, ές πίκς Α είι τιστρέψιμος, τότε ισχύου οι ισοδυμίες: i ii AX B X A XA B X BA B Πράγμτι, γι τη i έχουμε: Α AX B, τότε A AX A B, οπότε X A B

31 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α X A B, τότε AX AA B, οπότε AX B Ομοίως ποδεικύετι κι η ii ΣΧΟΛΙΟ Γωρίζουμε ότι γι το πολλπλσισμό τω πργμτικώ ριθμώ ισχύει επιπλέο κι η ιδιότητ: β, τότε ή β Η ιδιότητ, όμως, υτή δε ισχύει γι το πολλπλσισμό τω πιάκω, φού πχ γι τους πίκες A κι B ισχύει χωρίς, ωστόσο, AB είι A O ή B O Δηλδή: Μπορεί έ γιόμεο πιάκω ισούτι με το μηδεικό πίκ, χωρίς κές είι μηδεικός Στη περίπτωση όμως που ισχύει AB κι ο ές πό τους πίκες είι - τιστρέψιμος, τότε ο άλλος είι μηδεικός Πράγμτι, ο Α είι τιστρέψιμος, τότε έχουμε διδοχικά: AB Aτίστροφος εός A πίκ AB A IB B β Έστω A ές πίκς Θ εξετάσουμε πότε υτός τιστρέφετι γ δ κι θ βρούμε το τίστροφό του Γι τιστρέφετι ο Α, πρέπει κι ρκεί υπάρχει πίκς X τέτοιος, ώστε ισχύει AX I ή, z ω ισοδύμ, γ β δ z ω βz γ δz βω γ δω βz γ δz βω Σ κι Σ γ δω Αρκεί, επομέως, τ συστήμτ Σ κι Σ έχου λύση Τ συστήμτ υτά έχου

32 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ κι D Επομέως: β D δ βγ γ δ β β δ, D z γ, D β, D ω δ γ δ γ A D, τότε τ συστήμτ Σ κι Σ έχου μοδική λύση, οπότε ο πίκς Α τιστρέφετι Η λύση του Σ είι το ζεύγος, z με D δ κι D D εώ η λύση του Σ είι το ζεύγος, ω D β κι D D Dz γ z, D D με D ω ω D D Άρ X δ D γ D β D, οπότε ο τίστροφος του Α είι ο πίκς D A δ D γ β Α D, τότε έ τουλάχιστο πό τ συστήμτ Σ κι Σ είι δύτο, οπότε ο πίκς Α δε τιστρέφετι Πράγμτι Α D ή D ή D ή D, τότε έ τουλάχιστο πό τ συστήμτ Σ κι Σ θ είι δύτο z β Α D D D D, τότε β γ δ, οπότε κι πάλι τ δύο συστήμτ θ είι δύτ Αποδείξμε λοιπό ότι: z ω ω O πίκς β β A είι τιστρέψιμος, κι μόο γ δ γ δ β Ο τίστροφος εός πίκ A, υπάρχει, δίετι πό το τύπο γ δ δ β β A, όπου D D γ γ δ Γι πράδειγμ:

33 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ο πίκς A τιστρέφετι, γιτί κι ο τίστροφός του είι ο A β Ο πίκς A δε τιστρέφετι, γιτί ΕΦΑΡΜΟΓH Δίοτι οι πίκες A κι B i N βρεθεί ο τίστροφος του πίκ Α ii Ν λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ AX B i Γι το πίκ Α έχουμε D Άρ ii Επειδή ο πίκς Α είι τιστρέψιμος, έχουμε: AX B X A A B X 6 X ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε τ γιόμε AB κι BA σε όποιες πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζοτι:

34 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i, ii, ] A [ B A B iii, 5 A 5 B iv, A 7 B Α, κι A B Γ Ν βρείτε τους πίκες: i AB ii Γ AB iii ABΓ T στοιχεί γι τις μοιβές κι το ριθμό τω εργτώ σε δύο οικοδομικές ετιρείες Α κι Β έχου με μορφή πιάκω ως εξής: Aριθμός εργτώ Εβδομδιίες ποδοχές Ειδικευμέοι Αειδίκευτοι σε χιλ δρχμές B A Αειδίκευτοι Ειδικευμέοι 5 Ν εκφράσετε με τη βοήθει του πολλπλσισμού τω πιάκω το σύολο τω μοιβώ τω εργτώ στις δύο ετιρείες Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ποδείξετε ότι ο πίκς Β είι τίστροφος του Α i, ii, A B 5 A B 5 Ν βρείτε το τίστροφο, εφόσο υπάρχει, κθεός πό τους πρκάτω πίκες: A, κι B θ θ θ θ Γ συ ημ ημ συ 6 i Ν βρείτε το τίστροφο του πίκ ημ συ συ ημ

35 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 ημ συ συ ημ ii Ν λύσετε τη εξίσωση: X συ ημ ημ συ Α A, τότε: B ΟΜΑΔΑΣ i Ν βρείτε τις τιμές τω, γι τις οποίες ισχύει A A I ii Ν υπολογίσετε τους πίκες A κι A A A, βρείτε το πργμτικό ριθμό, ώστε ισχύει A A I Ν βρείτε τους πίκες X, β X I,β γι τους οποίους ισχύει Α A, B, ποδείξετε ότι: i A I, B I iii A B A B A B ii A B, A B I 5 A A, ποδείξετε ότι: i Ο πίκς Α τιστρέφετι κι βρείτε το ii A A I, * A συ - ημ ημ συ 6 A A, B, τότε: ημ συ συ ημ i Ν ποδείξετε ότι A A, B A ii Ν ποδείξετε ότι A B iii Ν λύσετε τη εξίσωση A B I 7 Mι βιομηχί επίπλω κουζίς έχει δύο εργοστάσι E κι E Οι πίκες Μ κι Ν δίου τις ώρες εργσίς που πιτούτι γι τη κτσκευή κάθε επίπλου κι τις ωριίες μοιβές του προσωπικού σε δρχμές τιστοίχως

36 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κτσκευή Βάψιμο Συσκευσί E E,6,6, Πάγκος 5 55 M,9, Κρέκλ, N 6 7,5,, Τρπέζι 5 i Ν βρείτε το πίκ ΜΝ κι εξηγήσετε τι εκφράζει Κτσκευή Βάψιμο Συσκευσί ii Ποιο είι το κόστος εργσίς γι τη πργωγή μις κρέκλς στο εργοστάσιο κι εός πάγκου στο εργοστάσιο E ; E 8 Α A 5 6 κι B, ποδείξετε ότι: i A κι γεικά A, I άρτιος θετικός ii B I, B B κι γεικά B B περιττός θετικός ημ π 9 Δίετι ο πίκς A, συ ημ, π i Ν ποδείξετε ότι A A ii Ν λύσετε τη εξίσωση A I Α A, i Ν ποδείξετε ότι A A A ii Ν βρείτε τη σχέση μετξύ τω, ώστε ο πίκς A είι τίστροφος του A iii N βρείτε το τίστροφο του πίκ M λ λ Α A, λ λ λ, τότε: i Ν ποδείξετε ότι A I I, άρτιος A A, περιττός, A A κι γεικά ότι

37 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 ii Α λ, βρείτε το πίκ Χ γι το οποίο ισχύει 99 A X iii Ν υπολογίσετε το άθροισμ I A A A Δίετι ο πίκς A i Ν βρείτε το τίστροφο του πίκ Α ii Ν βρείτε το πίκ Χ σε κάθε μι πό τις πρκάτω περιπτώσεις: AX β AXA γ AX A A Α A, τότε: i Ν ποδείξετε ότι A I κι γεικά ότι Ι, άρτιος A I, περιττός ii Ν βρείτε τις πργμτικές τιμές του γι τις οποίες ισχύει A A ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Η Έοι του Γεωμετρικού Μετσχημτισμού Γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ότι συάρτηση πό έ σύολο Α σε έ σύολο Β είι μι διδικσί με τη οποί κάθε στοιχείο του Α τιστοιχίζετι σε έ κι μοδικό στοιχείο του Β Στη πράγρφο υτή θ σχοληθούμε με συρτήσεις γι τις οποίες τ Α κι Β συμπίπτου με το σύολο E τω σημείω εός κρτεσιού επιπέδου O Οι συρτήσεις υτές λέγοτι γεωμετρικοί μετσχημτισμοί στο επίπεδο ή, πλά, γεωμετρικοί μετσχημτισμοί Δηλδή, γεωμετρικός μετσχημτισμός είι οποιδήποτε συάρτηση Τ M, T :E E M, O

38 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ως προς τη συάρτηση υτή η εικό, T M, του σημείου M, θ συμβολίζετι με M, Έ πράδειγμ γεωμετρικού μετσχημτισμού είι η συάρτηση T :E E M, M,, η οποί τιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στο συμμετρικό του M ως προς το άξο C C M, O M, Στη συέχει θ σχοληθούμε μόο με τους γεωμετρικούς μετσχημτισμούς που πεικοίζου τ σημεί M, στ M, τω οποίω οι συτετγμέες δίοτι πό έ σύστημ της μορφής β μ γ δ ή, ισοδύμ, πό μι εξίσωση της μορφής β μ γ δ όπου,β,γ,δ,μ, πργμτικοί ριθμοί Α μ κι, τότε η εξίσωση πίρει τη μορφή β γ δ Στη περίπτωση υτή ο γεωμετρικός μετσχημτισμός λέγετι γρμμικός μετσχημτισμός κι ο πίκς λέγετι πίκς του γρμμικού μετ- β γ δ σχημτισμού Γι πράδειγμ, ο γεωμετρικός μετσχημτισμός που ορίζετι πό το σύστημ 7 7 ή, ισοδύμ, πό τη εξίσωση είι ές γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ το Με υτό το μετσχημτισμό 7 το σημείο A, πεικοίζετι στο A, 6, εώ το σημείο B, στο B,, δηλδή στο ευτό του Ας θεωρήσουμε τώρ το γρμμικό μετσχημτισμό

39 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 T : β γ δ κι τ μοδιί διύσμτ i, κι j, Τότε, η εικό A του πέρτος A, του διύσμτος i έχει συτετγμέες, γ, φού β, γ δ γ Β β,δ Β, j Α,γ O i Α, εώ η εικό B του πέρτος B, του διύσμτος j έχει συτετγμέες β, δ, φού γ β β δ δ Πρτηρούμε, δηλδή, ότι: Oι συτετγμέες της εικός του πέρτος, A,, του διύσμτος i, είι η πρώτη στήλη, εώ οι συτετγμέες της εικός του πέρτος, Β,, του διύσμτος j είι η δεύτερη στήλη του πίκ του γρμμικού μετσχημτισμού Γι πράδειγμ, ο γρμμικός μετσχημτισμός, που πεικοίζει τ πέρτ A, κι B, τω διυσμάτω i, κι j, στ σημεί A, κι B, τιστοίχως, έχει πίκ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός T : i Ν βρεθού οι εικόες A, κι B, τω σημείω A, κι B, τιστοίχως ii Ν ποδειχτεί ότι A B AB

40 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΣΗ i Έχουμε Επομέως, οι εικόες τω κι είι τ σημεί κι τιστοίχως, A, B, A, B ii Είι AB B A Πρτηρούμε ότι ο μετσχημτισμός υτός διτηρεί τις ποστάσεις Οι γρμμικοί μετσχημτισμοί που διτηρού τις ποστάσεις λέγοτι ισομετρίες Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : N βρεθεί: i Το πρότυπο του σημείου, A, δηλδή το σημείο που πεικοίζετι στο, Α A, ii Η εικό της ευθείς : ε ΛΥΣΗ i Ισχύει Επειδή ο πίκς είι τιστρέψιμος, πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το τίστροφό του, που είι ο πίκς κι έχουμε διδοχικά:

41 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άρ το σημείο Α έχει συτετγμέες, ii Αρκεί βρούμε τη εξίσωση η οποί επληθεύετι πό τις συτετγμέες τω εικόω τω σημείω της ευθείς ε κι μόο π υτές Πράγμτι, έχουμε: Eπομέως, το σημείο ήκει στη ε, τότε θ ισχύει:, M O ε ε 5 6 Άρ, το σημείο ήκει στη ευθεί, M : ε Αλλά κι τιστρόφως, το σημείο, M ήκει στη ευθεί : ε, τότε το ήκει στη ευθεί, M : ε Συεπώς, η εικό της ευθείς : ε είι η ευθεί : ε ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι κάθε γρμμικός μετσχημτισμός, του οποίου ο πίκς - τιστρέφετι, πεικοίζει: ευθείες σε ευθείες ευθύγρμμ τμήμτ σε ευθύγρμμ τμήμτ με άκρ τις εικόες τω άκρω πολύγω σε πολύγω με κορυφές τις εικόες τω κορυφώ Γι πράδειγμ, με το μετσχημτισμό

42 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ T : το τρίγωο ΑΒΓ με κορυφές A,, B, κι Γ, πεικοίζετι στο τρίγωο A BΓ που έχει ως κορυφές τις εικόες A,, B, κι Γ, τω κορυφώ του τριγώου ΑΒΓ Είι βολικό, πολλές φορές, έ πολύγωο A A A το πριστάουμε με το πίκ, που έχει ως στήλες τις συτετγμέες τω κορυφώ του Το πίκ υτό θ το λέμε πίκ του πολυγώου Έτσι, ο πίκς του ΑΒΓ είι ο, εώ του A BΓ ο Eίι φερό ότι 6 Β Γ A B Γ Α Β Γ Β Άρ ο πίκς του τριγώου A BΓ προκύπτει πολλπλσιάσουμε το πίκ του γρμμικού μετσχημτισμού με το πίκ του τριγώου ΑΒΓ Αυτό ισχύει κι γι οποιοδήποτε πολύγωο Βσικοί γεωμετρικοί μετσχημτισμοί Συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω Κλούμε συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο M, του κρτεσιού επιπέδου πεικοίζετι στο συμμετρικό του M, ως προς τη ρχή τω ξόω Όπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει C Μ -,- Γ O Α Α 7 Μ, C O Άρ, η συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω είι γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ I

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα