H ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "H ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ"

Transcript

1 1 H ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ας ξεκινήσουμε την μελέτη μας από την ετυμολογία της λέξεως ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Με την πρώτη ματιά και χωρίς ιδιαίτερες γνώσεις γλωσσολογίας διακρίνουμε ότι είναι σύνθετη και σημαίνει «γης μέτρηση». Βέβαια στην εποχή μας δεν είναι μόνο αυτό το αντικείμενό της. Όπως συμβαίνει και στις άλλες επιστήμες, καθώς ο ανθρώπινος νους εξελίσσεται αποκαλύπτοντας σταδιακά τις δυνατότητές του, τα αρχικά «γήινα» ερεθίσματα, γίνονται οι σπινθήρες που προωθούν την διάνοιά μας σε εξερεύνηση όλο και λεπτοτέρων δομών και λειτουργιών του Σύμπαντος. ΟΙ ΑΙΓΥΠΤΙΟΙ Ανατρέχοντας προς το παρελθόν και αναζητώντας τις απαρχές αυτής της επιστήμης οδηγούμαστε που αλλού Ανατολικά και συγκεκριμένα στην Αίγυπτο. Ο Ηρόδοτος μας Τα αριθμητικά σύμβολα των Αιγυπτίων πληροφορεί ότι οι κάτοικοι της χώρας αυτής εξαναγκάζονταν ύστερα από τις πλημμύρες του Νείλου να ψάχνουν για τα όρια των κτημάτων τους, αφού η λάσπη που εναπέθετε ο ποταμός τα κάλυπτε. Αυτή η ανάγκη έγινε και η αιτία να εμφανιστούν οι ειδικοί με τις απαραίτητες γνώσεις για τέτοιου είδους μετρήσεις. Οι Έλληνες, που είχαν πάντοτε σχέσεις με τους Αιγυπτίους, τους ονόμασαν «αρπεδονάπτες», από το όργανο που χρησιμοποιούσαν για τις μετρήσεις τους, ένα σχοινί με κόμβους σε καθορισμένες θέσεις. Έχουν σωθεί πάπυροι που αναφέρουν τέτοιους υπολογισμούς και χρονολογούνται από το

2 π.χ που σημαίνει ότι αυτές οι γνώσεις υπήρχαν από παλαιότερα. Ας δούμε μερικούς από αυτούς: Ο περίφημος πάπυρος Rhind (1650 π.χ), ένα καλό παράδειγμα των αιγυπτιακών μαθηματικών. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ Ένας στρογγυλός αγρός έχει διάμετρο 9 σετ 1. Πόσο είναι το εμβαδόν του; Λύση Πάρε το 1/9 της διαμέτρου. έχεις 1 και υπόλοιπο 8. Πολλαπλασίασε το 8 με το 8. Αυτό κάνει 64. άρα το έδαφος του αγρού είναι 64 σέτατ 2. 1 Μονάδα μήκους των Αιγυπτίων 2 Μονάδα εμβαδού των Αιγυπτίων.

3 3 Εφάρμοζαν εδώ ουσιαστικά τον τύπο: Ε= (δ- 1 9 δ)2 όπου δ η διάμετρος του κύκλου και στην συγκεκριμένη περίπτωση δ=9. Με τον σημερινό τύπο Ε=πρ 2 βρίσκουμε Ε=63,585 που σημαίνει ότι οι Αιγύπτιοι δεν έπεφταν και πολύ έξω στους υπολογισμούς τους. ΟΓΚΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ Εδώ χρησιμοποιούσαν μία μέθοδο που είναι στην πραγματικότητα εφαρμογή του γνωστού τύπου V= 1 (εμβαδόν βάσεως) (ύψος) 3 Με την ίδια ακρίβεια υπολόγιζαν και τον όγκο της κόλουρης πυραμίδας. Τα προβλήματα αυτά και άλλα παρόμοια αναφέρονταν σε πρακτικές ανάγκες και σαν τέτοια έχουν καταγραφεί, π.χ να υπολογιστεί η χωρητικότητα μιας σιταποθήκης, ή ο αριθμός των πλίνθων για την κατασκευή ενός συγκεκριμένου κτίσματος, ή πόσο σιτάρι χρειάζεται για την παρασκευή μίας συγκεκριμένης ποσότητας άρτου. ΟΙ ΒΑΒΥΛΩΝΙΟΙ Ο άλλος μεγάλος πολιτισμός της Μέσης Ανατολής είναι αυτός που αναπτύχθηκε στην Μεσοποταμία. Και εδώ συναντάμε παρόμοια πρακτικά προβλήματα όπως: Έχω σχεδιάσει το περίγραμμα μίας πόλης. Δεν γνωρίζω πόσο μήκος έχει. Ξεκίνησα από τον πρώτο κύκλο, περπάτησα 5 πέρα απ αυτόν (απομακρυνόμενος από το κέντρο) κατά όλες τις διευθύνσεις και σχεδίασα ένα δεύτερο περίγραμμα. Το ενδιάμεσο εμβαδόν είναι 6,15. Να υπολογίσεις τις διαμέτρους της νέας και της παλαιάς πόλης. Να και η λύση: «Πολλαπλασίασε την αύξηση 5 με 3. Θα βρεις 15. Πάρε το αντίστροφο του 15 και πολλαπλασίασέ το με 6,15που είναι το ενδιάμεσο εμβαδόν. Θα βρεις 25. Γράψε το 25 δύο φορές. Πρόσθεσε σ αυτό το 5, που περπάτησες, και ύστερα αφαίρεσε το 5 από το ίδιο. Θα βρεις 30 για την νέα πόλη και 20 για την παλιά.»

4 4 Η πινακίδα Plimpton 322 ( π.χ). Περιέχει παραδείγματα πυθαγορείων τριάδων. Οι Βαβυλώνιοι διετύπωναν προβλήματα στα οποία το ζητούμενο ήταν μήκη ή εμβαδά. Από τον τρόπο που εκτελούσαν τους υπολογισμούς τους όμως, προκύπτει ότι γνώριζαν διάφορα θεωρήματα όπως το θεώρημα που σήμερα ονομάζουμε Πυθαγόρειο. Εκτός από την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων είχαν αναπτύξει και μεθόδους επιλύσεως αλγεβρικών, όπως α. η επίλυση συστημάτων εξισώσεων από τις οποίες μόνο η μία είναι γραμμική β. Επίλυση δευτεροβαθμίων εξισώσεων π. χ χ2+6χ=16. γ. Εύρεση τετραγωνικών ριζών. Είναι γνωστή άλλωστε η πινακίδα πού χρονολογείται από το π.χ από την οποία φαίνεται ότι ήσαν γνώστες των Πυθαγορείων τριάδων.3 3 Πυθαγόρειες τριάδες είναι τριάδες ακεραίων αριθμών (α,β,γ) για τους οποίους ισχύει η σχέση α 2 +β 2 =γ 2 όπως (3,4,5) ή (5,12,13) και αντιστοιχούν σε μήκη πλευρών ορθογωνίων τριγώνων.

5 5 Βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα. Τετράγωνο και διαγώνιος. Διαφαίνεται μάλιστα ότι είχαν προσεγγίσει αρκετά στην γνώση του δεσμού της Άλγεβρας με την Γεωμετρία και χρησιμοποιούσαν τα σχήματα της δεύτερης για να δώσουν υπόσταση στους αριθμούς. Σε αντίθεση με τους Αιγυπτίους όμως στα Βαβυλωνιακά μαθηματικά δεν εμφανίζονται μόνο προβλήματα εφαρμογών. Το πρόβλημα του υπολογισμού της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου, που βρέθηκε χαραγμένο σε μια πινακίδα, δεν εμφανίζεται στην καθημερινή ζωή. Η ανυπαρξία όμως κατάλληλου συμβολισμού δεν τους επέτρεπε να διατυπώσουν γενικές μεθόδους. Γι αυτό το μόνο πού μπορούσαν να κάνουν ήταν να δίνουν έναν μεγάλο αριθμό προβλημάτων που είχαν λυθεί με τον ίδιο τρόπο και στο τέλος των λύσεων αυτών να αναφέρουν σχεδόν πάντα ότι: «Αυτή είναι η μέθοδος» Σε κανένα από τα μέχρι τώρα ανακαλυφθέντα γραπτά τους δεν υπάρχει πρόταση που να τέθηκε σαν θεώρημα και να αποδείχθηκε. Ένα άλλο χαρακτηριστικό των βαβυλωνιακών μαθηματικών ήταν η ανάμιξη των διαστάσεων. Συγκεκριμένα πρόσθεταν ή αφαιρούσαν μήκος από εμβαδόν. Η διάκριση των διαστάσεων και η αφαιρετική διαδικασία έκαναν την εμφάνισή τους αργότερα όταν στον ορίζοντα ανέτειλε το πνεύμα μίας άλλης φυλής, για την οποία θα μιλήσουμε αμέσως μετά και η οποία έμελλε να καθοδηγήσει την ανθρωπότητα μέχρι τις μέρες μας και ποιος γνωρίζει μέχρι πότε;

6 6 ΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ Με τα προβλήματα που αναφέραμε προηγουμένως, αλλά και σε όσα έχουν ανακαλυφθεί από τις αρχαιολογικές έρευνες, γνωρίζουμε πώς εκτελούσαν οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι τους λογαριασμούς τους. Γιατί όμως εφάρμοζαν την συγκεκριμένη μέθοδο και όχι μιαν άλλη; Σε ποιές γενικές αρχές στηρίζονταν; Τελικά πώς μας πείθουν ότι η μέθοδός τους αυτή δίνει σωστά αποτελέσματα πάντοτε; Λέγεται ότι ο τρόπος της σκέψεώς τους ήταν απόρροια του απολυταρχικού καθεστώτος διοικήσεώς τους, πού δεν άφηνε περιθώρια για κριτική σκέψη. Ότι επεβάλλετο από την εξουσία ως αλήθεια γινόταν δεκτό χωρίς αμφισβήτηση. Από την άλλη όμως το ερώτημα ως προς την πηγή, των κατά τα άλλα αρκετά ορθών μεθόδων τους, παραμένει. Ίσως να τα είχαν βρει από κάποιους άλλους. Ποιοι ήσαν αυτοί οι άλλοι όμως; Οι πρόγονοί τους ή είναι ό,τι διασώθηκε από κάποιον προγενέστερο πολιτισμό ή... Μέχρι να γίνει αυτή η ανακάλυψη οι Έλληνες θα θεωρούνται οι θεμελιωτές των επιστημών όπως τις αντιλαμβανόμαστε σήμερα. Αποδέσμευσαν την σκέψη τους από τα προβλήματα της καθημερινότητας και ανύψωσαν την διανοητική τους προσπάθεια στην αναζήτηση της αρχής των όντων, το πως και το γιατί. Ο ΘΑΛΗΣ Ο πρώτος γνωστός έλληνας μαθηματικός είναι ο Θαλής(600 π.χ). Είναι ο πρώτος πού διετύπωσε γενικές προτάσεις πού αφορούν τις ιδιότητες των σχημάτων. Κάποιες από αυτές είναι: 1. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες της βάσεως είναι ίσες. 2. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 3. Αν σε δύο τρίγωνα η μία πλευρά του ενός είναι ίση με μία πλευρά του άλλου και οι γωνίες που πρόσκεινται στην πρώτη πλευρά είναι ίσες με τις γωνίες που πρόσκεινται στην άλλη, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

7 7 Θαλής ο Μιλήσιος 4. Κάθε διάμετρος κύκλου τον χωρίζει σε δύο ίσα μέρη. 5. Κάθε γωνία πού εγγράφεται σε ημικύκλιο είναι ορθή. Δεν έχει σωθεί κάποιο κείμενο πού να μας διαφωτίζει για τον τρόπο που απέδειξε ο Θαλής τις προτάσεις αυτές. Προσπάθησε όμως με κάποια λογικά επιχειρήματα να δικαιολογήσει τις ιδιότητες που έχουν τα γεωμετρικά σχήματα. Αργότερα θα δούμε την τελική μορφή πού πήρε αυτή η επιχειρηματολογία. ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ Με την πάροδο του χρόνου όλο και περισσότερες προτάσεις ανακαλύπτονταν, και σε κάθε νέα δινόταν απόδειξη πού στηρίζονταν στις ήδη γνωστές. Προς το τέλος του 6ου αιώνα π.χ ο Πυθαγόρας ιδρύει στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας την περίφημη Σχολή του. Ήταν ήδη ενήμερος των γνώσεων των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων αφού για μία εικοσαετία είχε σπουδάσει στις μυστηριακές σχολές των χωρών αυτών. Το ήδη υπάρχον σύστημα γνώσεων επιτρέπει στους Πυθαγόρειους να αποδείξουν το θεώρημα που έμεινε γνωστό στην ιστορία με το όνομά τους. Μέσω του θεωρήματος αυτού ανακαλύπτουν τους άρρητους αριθμούς. Απέδειξαν προτάσεις σχετικές με τις παράλληλες ευθείες και βρήκαν μεθόδους υπολογισμού εμβαδών. Στους πυθαγόρειους αποδίδεται η γνώση ότι τα τετράγωνα, τα ισόπλευρα τρίγωνα και τα κανονικά εξάγωνα

8 8 είναι τα μόνα κανονικά σχήματα με τα οποία μπορούμε να καλύψουμε πλήρως μία επίπεδη επιφάνεια.. Πυθαγόρας ο Σάμιος Το σύμβολο αναγνωρίσεως των μελών της σχολής ήταν τα πεντάλφα που σχηματίζεται από τις διαγώνιους ενός κανονικού πενταγώνου. Τις ιδιότητες του σχήματος αυτού γνώριζαν πολύ καλά καθώς και την κατασκευή του η οποία απαιτεί την διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, την «χρυσή τομή» όπως ονομάστηκε αργότερα. Κατά τον Πρόκλο η λύση αυτού του προβλήματος είναι ένα από τα εξοχότερα επιτεύγματα των Πυθαγορείων. Εκτός όμως των επί μέρους ανακαλύψεων η επιστήμη στην μορφή που εξελίχθηκε μέχρι τώρα οφείλει στον Πυθαγόρα δύο πράγματα α) την μεθοδική κατάταξη της σπουδαζομένης ύλης και β) την ανάγκη υπάρξεως ενός συνόλου ορισμών όλων των εξεταζομένων εννοιών. Αυτό άλλωστε διαπιστώνεται και από τον σύγχρονο μαθηματικό και φιλόσοφο σερ Μ. Ράσελ ο οποίος ομολογεί ότι ο τρόπος αναπτύξεως του συνόλου των κλάδων της επιστήμης ακολουθεί τις αρχές πού διετυπώθησαν για πρώτη φορά στην Σχολή του Κρότωνα. Είναι γνωστή άλλωστε η διαίρεση των μαθηματικών, από τον Πυθαγόρα, σε τέσσερις κλάδους: Αριθμητική, Μουσική, Γεωμετρία, Αστρονομία, (τετραόδιον) η οποία θεωρήθηκε τόσο επιτυχής ώστε να διδάσκεται στα σχολεία έως την εποχή της Αναγεννήσεως.

9 9 Βέβαια ο σκοπός τη σχολής δεν ήταν μόνο η ανακάλυψη νέων γνώσεων αλλά η δημιουργία ενός συστήματος ιδεών για την ερμηνεία του κόσμου και την γνώση του εαυτού μας. Το «γνώθι σαυτόν» πού είχε εγχαραχθεί σε μία προμετωπίδα του μαντείου των Δελφών έδινε το στίγμα για τον εστιασμό των προσπαθειών των προγόνων μας. Συμβαίνει πολλές φορές οι νεότεροι να παίρνουν ένα τμήμα μίας διδασκαλίας και να το εξελίσσουν αγνοώντας το υπόλοιπο οικοδόμημα. Έτσι συνέβη και με τον Πυθαγόρα. Επειδή ένα τμήμα της διδασκαλίας του ήταν καλυμμένο με το πέπλο του μυστικισμού, με αποτέλεσμα να μην είναι κατανοητό από τους αμύητους, θεωρήθηκε ως ανάξιο λόγου για επί πλέον μελέτη και ενασχόληση. Έφθασαν μάλιστα μερικοί να κάνουν και την ανόητη υπόθεση ότι οι Πυθαγόρειοι έπνιξαν έναν συνάδελφό τους ο οποίος έκανε γνωστή στον έξω κόσμο την ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών. Ποιοι, αυτοί πού από σεβασμό στην ζωή είχαν απαλείψει από το διαιτολόγιό τους το κρέας! Ο ΠΛΑΤΩΝ Βασική ιδέα του φιλοσοφικού συστήματός του, το οποίο αναπτύσσεται υπό μορφή διαλόγων του δασκάλου του Σωκράτη με άλλους, είναι ότι ασυναίσθητα τα γνωρίζουμε Πλάτων και Σωκράτης από μία εικόνα του μεσαίωνα. όλα και δεν μένει παρά να ερωτηθούμε κατάλληλα για να φθάσουμε στην αλήθεια.

10 10 Η σπουδαιότητα πού αποδίδει ο Πλάτων στην Γεωμετρία εκφράζεται με το απόφθεγμα «Μηδείς αγεωμέτρητος εισήτω» που υπήρχε στην είσοδο της σχολής του την Ακαδημία. Ρωμαϊκό μωσαϊκό που παριστάνει την ακαδημία του Πλάτωνα Το αντικείμενο της Γεωμετρίας, το σχήμα, παύει να έχει εξάρτηση από την φυσική ύλη. Το ευθύγραμμο τμήμα δεν είναι το σχεδίασμα που ζωγραφίζουμε στο χαρτί, επειδή ένα ευθύγραμμο τμήμα δεν έχει πλάτος. Ο κύκλος που σχεδιάζουμε με τον διαβήτη δεν είναι ο πραγματικός κύκλος γιατί όσο προσεκτικά και αν τον σχεδιάσουμε θα έχει ατέλειες. Τελικά οτιδήποτε σχήμα και αν σχεδιάσουμε δεν είναι παρά η ατελής εικόνα των αφηρημένων μαθηματικών εννοιών. Μ αυτό τον τρόπο φθάνουμε στο συμπέρασμα ότι οι ιδιότητες πού πιθανόν ανακαλύψαμε σε ένα σχεδίασμα δεν είναι βέβαιο πώς είναι και πραγματικές ιδιότητες του σχήματος. Άλλωστε όλες οι μετρήσεις που κάνουμε δεν είναι απολύτως ακριβείς επειδή δεν υπάρχει όργανο που να μετράει με απόλυτη ακρίβεια. Ποιο όργανο μας απομένει επομένως για να μελετήσουμε τις ιδιότητες των

11 11 σχημάτων; Δεν είναι άλλο από την διάνοιά μας. Αιώνες αργότερα ο Καρτέσιος έκανε την διαπίστωση «σκέπτομαι άρα υπάρχω». Δεν έχουμε παρά να στηριχτούμε σε λογικά επιχειρήματα για να εξάγουμε συμπεράσματα. Όσο για τα σχεδιάσματα δεν έχουν παρά μόνο υποβοηθητική αξία. Εδώ έγκειται η μεγαλειώδης προσφορά των Ελλήνων, στην εξελικτική πορεία του ανθρωπίνου γένους. Προσφέρουν στην ανθρωπότητα την χρήση της λογικής όπως ο πρόγονός μας ο Προμηθέας προσέφερε την φωτιά. Πλάτωνας και Αριστοτέλης Για τον Πλάτωνα τα μαθηματικά δεν είναι αυτοσκοπός αλλά βοηθούν τον φιλόσοφο να απελευθερωθεί από τις ατέλειες του φυσικού κόσμου και να προχωρήσει στην αναζήτηση απολύτων ιδεών. Ο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ Ενώ ο Πλάτων εστίαζε την προσοχή του στην φύση των μαθηματικών αντικειμένων Αριστοτέλης ενδιεφέρετο περισσότερο για την μέθοδο. Δικαίως λοιπόν θεωρείται ως ο θεμελιωτής της Λογικής της οποίας ένα σημαντικό τμήμα είναι η Μαθηματική Λογική.

12 12 Για τον Αριστοτέλη σε κάθε επιστήμη ανευρίσκονται τρία βασικά συστατικά: οι αποφάνσεις, οι έννοιες και οι σχέσεις. Ας δούμε από ένα παράδειγμα σε κάθε περίπτωση: Απόφανση: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα δύο ορθών γωνιών. Έννοιες: «Άθροισμα γωνιών», «τρίγωνο» Σχέση: «είναι ίσο με» Κάθε μαθηματική απόφανση πού μπορεί να αποδειχθεί ονομάζεται θεώρημα. Στα μαθηματικά δεν δεχόμαστε ότι αληθεύει μία απόφανση αν δεν αποδείξουμε την ορθότητά της. Κάθε θεώρημα, λοιπόν, αποδεικνύεται αν στηριχθούμε σε κάποια άλλα ήδη γνωστά. Πρέπει όμως και αυτά να έχουν αποδειχθεί κ.ο.κ. Είναι φανερό ότι αυτό δεν μπορεί να συνεχίζεται χωρίς τέλος. Κάπου πρέπει να υπάρχει μία αρχή, η οποία σηματοδοτεί και τα όρια της λογικής. Οι αποφάνσεις που τις δεχόμαστε αληθείς χωρίς να έχει στηριχτεί σε απόδειξη η αλήθειά τους ονομάζονται αξιώματα ή αιτήματα. Μία επιστήμη η οποία στηρίζεται σε ένα τέτοιο σύστημα θεωρημάτων ονομάζεται παραγωγική Να δύο αποφάνσεις που μπορούμε να τις δεχθούμε σαν αξιώματα: 1. Αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, τα υπόλοιπα είναι ίσα. 2. Το μέρος είναι μικρότερο του όλου. Ας προχωρήσουμε τώρα στις έννοιες με ένα παράδειγμα: Έχουμε ονομάσει ισοσκελές το τρίγωνο που έχει δύο όσες πλευρές. Επομένως για να γνωρίζουμε τι είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο πρέπει να γνωρίζουμε τι είναι τρίγωνο: Τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο με τρεις πλευρές. Τι είναι πολύγωνο όμως; Πηγαίνοντας μ αυτό τον τρόπο προς τα πίσω προχωρούμε χωρίς τελειωμό. Αναγκαζόμαστε λοιπόν να πάρουμε ως αφετηρία κάποιες έννοιες θεμελιώδεις χωρίς να τις ορίσουμε. Τέτοιες είναι οι έννοιες «σημείο» «ευθεία», «επίπεδο». Συμφώνως με τον Αριστοτέλη πάντα, δεν ορίζουμε τις θεμελιώδεις έννοιες, αλλά πρέπει να αποσαφηνίζουμε το νόημά τους, κάτι που δεν ισχύει σήμερα. Με άλλα λόγια κάθε έννοια πρέπει να ακολουθείται από μία απόφανση που να εκφράζει τις ουσιώδεις ιδιότητές της. π.χ η έννοια «σημείο» ακολουθείται από την απόφανση «το σημείο δεν έχει διαστάσεις»

13 13 Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Την «ηρωική» εποχή της αναζητήσεως και των ανακαλύψεων διαδέχεται η εποχή της ταξινομήσεως των γνώσεων και της δημιουργίας ενός ολοκληρωμένου μαθηματικού συστήματος. Ο Ευκλείδης Από διάφορες αναφορές συγγραφέων μαθαίνουμε ότι από το 400 π.χ περίπου είχε παρουσιαστεί από τον Ιπποκράτη τον Χίο μία συλλογή Στοιχείων. Στοιχεία ονόμαζαν οι πρόγονοί μας ένα σύστημα μαθηματικών προτάσεων βασισμένο σε αξιώματα. Τα παλαιότερα Στοιχεία που διεσώθησαν είναι αυτά του Ευκλείδη. Ο λόγος που διαφυλάχτηκαν τα έργα του είναι όχι τόσο η ανακάλυψη νέων εξαγόμενων αλλά η εξαιρετική διδασκαλική του ικανότητα η οποία φαίνεται και μέσα από τα έργα του. Δεν είναι τυχαίο άλλωστε ότι τα Στοιχεία του διδάσκονταν αυτούσια στα σχολεία μέχρι τις αρχές του αιώνα μας. Η όλη εργασία του στηρίζεται στις απόψεις του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη και αυτό φαίνεται από την αρχή του έργου του όπου υπάρχει ένας κατάλογος με 23 ορισμούς όπως: Σημείο είναι ότι δεν έχει μέρος. Γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος.

14 14 Οι ορισμοί αυτοί εκφράζουν το νόημα των Θεμελιωδών εννοιών : σημείο, γραμμή, ευθεία γραμμή, επιφάνεια, επίπεδο. Κατόπιν διατυπώνει τις κοινές έννοιες ή αξιώματα: Αυτά που είναι ίσα προς το ίδιο είναι και μεταξύ τους ίσα. Αν σε ίσα προστεθούν ίσα, οι ολότητες είναι ίσες. Το εξώφυλλο λατινικής μετάφρασης των στοιχείων του Ευκλείδη από αραβικό χειρόγραφο ( ) Τα Στοιχεία στηρίζονται σε πέντε αιτήματα τα οποία αρχίζουν με το «Ζητείται να γίνει παραδεκτό» όπως: Ζητείται να γίνει παραδεκτό ότι από οποιαδήποτε σημείο στο οποιαδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή. Βέβαια το πιο δημοφιλές το οποίο απασχόλησε για πολλούς αιώνες τους μαθηματικούς και έγινε η αιτία για την κατασκευή νέων γεωμετριών, είναι αυτό που, μία ισοδύναμη έκφρασή του αναφέρει ότι: από σημείο εκτός ευθείας άγεται μόνο μία παράλληλη προς αυτήν. Με υλικό τις ανακαλύψεις των παλαιοτέρων και με γνώμονα τις θέσεις του Αριστοτέλη και του Πλάτωνα δημιουργούνται από τον Ευκλείδη τα «Στοιχεία» που γίνονται η βάση στην οποία οικοδομείται η Γεωμετρία και γενικότερα τα Μαθηματικά τους επόμενους

15 15 αιώνες. Ο Αρχιμήδης, ο Ερατοσθένης, ο Ήρων, ο Διόφαντος, ο Πτολεμαίος, ο Πάππος είναι οι επιφανέστεροι αντιπρόσωποι αυτής της εποχής. Την εποχή αυτή ρίφθηκαν και οι πρώτοι σπόροι της δημιουργίας νέων κλάδων της Μαθηματικής επιστήμης όπως του Ολοκληρωτικού Λογισμού και της Άλγεβρας. Η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ. Δεν είναι τυχαίο ότι ο πνευματικός Μεσαίωνας άρχισε από την εποχή που καταστράφηκαν οι φιλοσοφικές σχολές και τα ιερά των Ελλήνων. Ούτε τυχαίο είναι επίσης ότι η Αναγέννηση άρχισε όταν στην Ευρώπη ανακαλύπτονται οι γνώσεις των αρχαίων. Κανείς δεν μπορεί να προβλέψει την ανάπτυξη που θα είχαν οι επιστήμες αν συνεχιζόταν αυτή η μεγαλειώδης πορεία των Μαθηματικών και φιλοσόφων της αρχαίας Ελλάδος. Ποια θα ήταν η πορεία της ανθρωπότητος αν είχαν διασωθεί όλα τα έργα τους; Μετά το 600μ.Χ περίπου τα συγγράμματα των Ελλήνων γίνονται γνωστά και στους λαούς που έχουν ασπασθεί τον Μωαμεθανισμό. Οι Άραβες και οι Πέρσες γίνονται φύλακες αυτών των έργων, κάνουν μεταφράσεις τους και από αυτές τις μεταφράσεις οι Ευρωπαίοι ανακαλύπτουν τους αρχαίους Έλληνες. Την ίδια εποχή που η Ανατολική Ρωμαϊκή αυτοκρατορία κατέστρεφε ότι θύμιζε Ελλάδα, οι Έλληνες, χριστιανοί ιερείς και μοναχοί πλέον, διατηρούσαν άσβεστη την δάδα των προγόνων τους αντιγράφοντας και μελετώντας τους στα μοναστήρια. Έτσι όταν με την Άλωση αναγκάζονται να καταφύγουν στην Δύση μεταφέρουν μαζί τους και την όσα από την πνευματική αυτή κληρονομιά κατόρθωσαν να διαφυλάξουν. Φθάσαμε πλέον στην εποχή πού η Δύση ξαναανακάλυψε τον τροχό. Οι Δυτικοί είναι τόσο πολύ εντυπωσιασμένοι από το πνεύμα των Ελλήνων ώστε να θεωρείται από την Ρωμαιοκαθολική εκκλησία θανάσιμο αμάρτημα ικανό να στείλει κάποιον στην πυρά, η διατύπωση γνώμης αντίθετης προς τις θεωρίες του Αριστοτέλη (προσαρμοσμένες πάντα στις δοξασίες της εκκλησίας). Τα μαθηματικά γίνονται πλέον της μόδας και ασχολούνται με αυτά ένα μεγάλο πλήθος ανθρώπων διαφόρων επαγγελμάτων. Ιδιαιτέρως το 6ο αίτημα του Ευκλείδη γίνεται αντικείμενο έντονου προβληματισμού. Κάποιοι προσπαθούν να το αποδείξουν ανεπιτυχώς όμως. Αργότερα άλλοι υποστηρίζουν ότι δεν ισχύει κι κατασκευάζουν νέα γεωμετρικά οικοδομήματα.

16 16 David Hilbert ( ) Είχε παρατηρηθεί, ίσως και από τον ίδιο τον Ευκλείδη, ότι στα στοιχεία υπήρχαν κάποιες ατέλειες. Δεν συμφωνούσαν ακριβώς στην δομή μίας επιστήμης όπως την εννοούσε ο Αριστοτέλης. Για παράδειγμα δέχεται ότι ισχύουν κάποιες αποφάνσεις εντελώς διαισθητικά χωρίς να στηρίζεται σε προηγούμενες. Τις ελλείψεις αυτές ήρθε να διορθώσει ο Hilbert( ) και παρουσίασε την βελτιωμένη μορφή της Ευκλείδειας Γεωμετρίας με το έργο του «Τα Θεμέλια της Γεωμετρίας». Ο Hilbert ξεκίνησε από έναν αριθμό βασικών ιδιοτήτων που τις ονόμασε αξιώματα. Αυτά ομοιάζουν με τα Ευκλείδεια αιτήματα. Όλες οι άλλες γεωμετρικές ιδιότητες προκύπτουν από τα αξιώματα. Ο επόμενος κρίκος της αλυσίδας είναι οι βασικές ή αρχικές έννοιες που αντιστοιχούν στις θεμελιώδεις έννοιες του Ευκλείδη: σημείο ευθεία επίπεδο. Θα υπέθετε κάποιος ότι εδώ δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ Ευκλείδη και του Hilbert. Και όμως! Υπάρχει και είναι ουσιώδης. Είδαμε ότι κατά τον Αριστοτέλη και κατ επέκταση τον Ευκλείδη, κάθε θεμελιώδης έννοια πρέπει να συνοδεύεται από τον ορισμό της που

17 17 εκφράζει το νόημά της. Με τις νέες απόψεις αποδεσμευόμαστε από την ανάγκη να ερμηνεύουμε το νόημα των αρχικών εννοιών. Βεβαίως όταν αποδεικνύουμε θεωρήματα ή λύνουμε ασκήσεις η διάνοιά μας δημιουργεί τις αντίστοιχες εικόνες των αρχικών εννοιών. Αυτά όμως δεν είναι παρά εικόνες που βοηθούν στην διαδικασία των συλλογισμών μας και τίποτε παραπάνω. Το γεωμετρικό οικοδόμημα δεν στηρίζεται πλέον στις διαισθητικές εικόνες των αρχικών εννοιών. Ο τρίτος κρίκος είναι η βασική σχέση. Μία απ αυτές είναι η «περνάει από» π.χ «η ευθεία ε περνάει από το σημείο Α. Με τις βασικές έννοιες και τις σχέσεις μπορούμε να ορίσουμε τις υπόλοιπες έννοιες και σχέσεις που εμφανίζονται στο σύστημα, π.χ «Η ευθεία ε είναι παράλληλη με την ευθεία δ όταν δεν υπάρχει σημείο από το οποίο να περνάνε η ε και η δ» Εδώ με τις αρχικές έννοιες «σημείο», «ευθεία» και την βασική σχέση «περνάνε» ορίζεται η παράγωγη σχέση «παράλληλη» Ολόκληρο το οικοδόμημα της γεωμετρίας έχει στηριχθεί πλέον στις «αρχικές έννοιες». τα «αξιώματα» και τις «σχέσεις» και συμπληρώνεται μέσω θεωρημάτων καθαρά συμπερασματικά. Καθώς η ανθρωπότητα εξελίσσεται οι νέες εμπειρίες ζητούν εξήγηση. Η Ευκλείδεια γεωμετρία είτε στην παλαιά είτε στην σύγχρονη μορφή της λύνει προβλήματα που συνδέονται με την αντίληψη ενός κόσμου με ευθείες, κύκλους,...το σύμπαν όμως απεκάλυψε ότι στην δομή του δεν υπάρχουν ευθείες, όπως τουλάχιστον διαισθητικά τις αντιλαμβανόταν ο Ευκλείδης. Καμπύλες και μόνο υπάρχουν (αν και αυτό αρχίζει να αμφισβητείται πάλι). Πώς θα εξετάσουμε και πως θα ανακαλύψουμε τις ιδιότητες των σχημάτων μέσα σε έναν χώρο που έχει την δομή του σύμπαντος μας; Μας αρκεί η Ευκλείδεια γεωμετρία; Προφανώς όχι. Υπάρχει επιτακτικά ανάγκη να δημιουργηθεί μία νέα που να παίρνει υπ όψιν της την δομή του σύμπαντος. Δεν άργησαν να κάνουν την εμφάνισή τους τέτοιες γεωμετρίες. Όταν ο Αϊνστάιν διέβλεψε την δομή του σύμπαντος δεν χρειάστηκε νά κατασκευάσει κάποια νέα γιατί ήταν ήδη έτοιμη από τους Minkowski, Riemann, κ.ά. Συνέβη και εδώ κάτι το παράδοξο που κάνει την εμφάνισή του συχνά στην ιστορία των επιστημών. Η διανοητική σύλληψη να προηγείται της εμπειρίας. Μήπως είχε δίκιο ο Πλάτων που έδινε πρωτεύουσα θέση στις ιδέες και κατόπιν στην φυσική πραγματικότητα;

18 18 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. «Ιστορία των Μαθηματικών» G. Loria Εκδόσεις Ε.Μ.Ε 2. «Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών Μαθηματικών» I. Bunt, Ph. Jones, J Bedient «Επιστημονικές και Τεχνικές Εκδόσεις». 3. «Ιστορία της Δυτικής Φιλοσοφίας» Μ. Russel 4. «Φιλοσοφία από την Μαθηματικήν» Δ. Δημαρά. Βιβλιοπωλείο «Δωδώνη» Ιούνιος 1995 Επαμεινώνδας Ε. Χατζηχρόνης

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα:

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Μαθηματικά Ο σκοπός της έρευνας είναι η αναζήτηση για

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Διαγωνισμός Μαθηματικών ικανοτήτων ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α και Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ο Από τους αριθμούς 12, 13, 14, 15, 17 αυτός που έχει τους περισσότερους

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 28.03.12 Χ. Χαραλάμπους Τι είναι αριθμητική? Τι είναι Άλγεβρα? Είναι Άλγεβρα η «Γεωμετρική Άλγεβρα»? Έκανε ο Διόφαντος Άλγεβρα? Ασχολήθηκαν με Άλγεβρα οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι? Πολυωνυμικές

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Μαθητικό Συνέδριο Έρευνας και Επιστήμης Μάρτιος 2017

1 ο Μαθητικό Συνέδριο Έρευνας και Επιστήμης Μάρτιος 2017 1 ο Μαθητικό Συνέδριο Έρευνας και Επιστήμης Μάρτιος 2017 Αναγνώστου Σαραφιανός, Γαβρίδης Δημήτριος, Μαραντίδου Χριστίνα Επιβλέπων καθηγητής: Νίκος Τερψιάδης Πειραματικό Λύκειο Πανεπιστημίου Μακεδονίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 18.03.14 Χ. Χαραλάμπους Πως ορίζονται αξιωματικά από το σύστημα των ρητών αριθμών οι πραγματικοί αριθμοί? Τομές του Dedekind (1831-1916) στους ρητούς: δημιουργία των άρρητων (αξιωματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια Οι ρίζες του Πυθαγορείου Θεωρήματος βρίσκονται στη Γεωμετρία. Το θεώρημα διαδραματίζει κεντρικό ρόλο σε πολυάριθμους επιστημονικούς κλάδους,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1 ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1. Αναγνωρίζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 6.03.14 Χ. Χαραλάμπους 1(και 60) 8 10 30 11 79883= (22*60 2 )+(11*60)+23 70 Δεν έχουν βρεθεί πίνακες για πρόσθεση. Έχουν βρεθεί πολλοί πίνακες για τον πολλαπλασιασμό: Έτσι ένας πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 29.02.12 Χ. Χαραλάμπους Ο πάπυρος του Rhind---Ahmes 81 από αυτά τα προβλήματα έχουν λύσεις που αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους Μεσοποταμία Αίγυπτος 3000 1000 π.χ. Αίγυπτος: ο πάπυρος του Rhind ~1650 π.χ. Αγοράσθηκε από τον Σκωτσέζο Rhind το 1858 Αίγυπτος: ο πάπυρος της Μόσχας ~ 1600

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΗΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ

ΗΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΗΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΙΣΗ Η αστρονομία εμφανίστηκε την 4η χιλιετηρίδα με την ανάπτυξη των αρχαίων πολιτισμών στη Μεσσοποταμία, την Αίγυπτο,την Ινδία, την Κίνα και είναι απο τις αρχαιότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ. Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ. Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος 0 λεπτά Βαθμολογία Το διαγώνισμα είναι βαθμολογημένο με άριστα

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Ντρίζος Μαθηματικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος Μέλος της Σ.Ε του Ευκλείδη Γ της Ε.Μ.Ε

Δημήτρης Ντρίζος Μαθηματικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος Μέλος της Σ.Ε του Ευκλείδη Γ της Ε.Μ.Ε 2018 Έτος Μαθηματικών 100 χρόνια Ε.Μ.Ε Οι απαρχές της μαθηματικής σκέψης στην αρχαία Ελλάδα: από τον Θαλή και τον Πυθαγόρα στον Ευκλείδη Δημήτρης Ντρίζος Μαθηματικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος Μέλος της Σ.Ε

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 8.03.12 Χ. Χαραλάμπους Θαλής ο Μιλήσιος ( 630-550π.Χ.) Πυθαγόρας o Σάμιος (570-490) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( 490-430) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c. 460-370) Πλάτων (427-347 π.χ.) Ιστορικές

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα