ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;"

Transcript

1 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγµένα Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσµατος Το διάνυσµα µε αρχή το και πέρας το συµολίζεται µε AB και παριστάνεται µε ένα έλος που ξεκινάει από το και καταλήγει στο ν η αρχή και το πέρας ενός διανύσµατος συµπίπτουν, τότε το διάνυσµα λέγεται µηδενικό διάνυσµα Έτσι, για παράδειγµα, το φορές τα µικρά γράµµατα του ελληνικού AB ή του λατινικού B (πέρας) διάνυσµα AA είναι µηδενικό διάνυσµα Για το συµολισµό των διανυσµάτων χρησιµοποιούµε πολλές αλφάητου επιγραµµισµένα µε έλος για παράδειγµα, A (αρχή) α,,, u, v, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; AB =() 0 ηλαδή το µέτρο ενός διανύσµατος είναι θετικός αριθµός ή µηδέν Η απόσταση των άκρων ενός διανύσµατος AB, δηλαδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος, λέγεται µέτρο ή µήκος του --- διανύσµατος AB και συµολίζεται µε AB ν το διάνυσµα AB έχει µέτρο, τότε λέγεται µοναδιαίο διάνυσµα Τι γνωρίζετε για τον φορέα διανύσµατος;

2 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Η ευθεία πάνω στην οποία ρίσκεται ένα µη µηδενικό διάνυσµα AB λέγεται φορέας του AB ν ο φορέας ενός διανύσµατος AB είναι παράλληλος ή A B ε συµπίπτει µε µια ευθεία ζ, τότε λέµε ότι το AB είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουµε AB// ζ Ως φορέα ενός µηδενικού διανύσµατος AA µπορούµε να θεωρούµε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το AA Ποια διανύσµατα ονοµάζονται παράλληλα ή συγγραµµικά; ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραµµικά διανύσµατα Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα AB και Γ έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουµε AB // Γ Γ Γ Ποια διανύσµατα ονοµάζονται οµόρροπα ή αντίρροπα; Τα συγγραµµικά διανύσµατα διακρίνονται σε οµόρροπα και αντίρροπα Συγκεκριµένα: ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ λέγονται οµόρροπα: α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και ρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο ως προς την ευθεία Γ που ενώνει τις αρχές τους ή ) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και µία από τις ηµιευθείες και Γ Γ Γ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα AB και Γ έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουµε AB Γ

3 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Γ Γ ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραµµικά και δεν είναι οµόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα διανύσµατα AB και Γ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουµε AB Γ Ποια διανύσµατα ονοµάζονται ίσα; Για να είναι δύο διανύσµατα ίσα πρέπει να είναι οµόρροπα και να έχουν ίσα µέτρα ύο µη µηδενικά διανύσµατα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα µέτρα Για να δηλώσουµε ότι δύο διανύσµατα AB και Γ είναι ίσα, γράφουµε AB = Γ Τα µηδενικά διανύσµατα θεωρούνται ίσα µεταξύ τους και συµολίζονται µε 0 Παρατηρήσεις : ν Μ είναι το µέσον του, τότε AM= MB και αντιστρόφως Μ ν AB = Γ, τότε: i) A Γ = (εναλλαγή µέσων γραµµάτων) Γ ii) iii) B = Γ (εναλλαγή άκρων γραµµάτων) B = Γ --- Ποια διανύσµατα ονοµάζονται αντίθετα; 3

4 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ ύο διανύσµατα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα µέτρα Για να δηλώσουµε ότι δύο διανύσµατα AB και Γ είναι αντίθετα, γράφουµε: AB Γ = ή Γ = Είναι φανερό ότι: AB = Γ AB = Γ Ειδικότερα, έχουµε = ναφερθείτε στην γωνία µεταξύ δύο διανυσµάτων Για να είναι δύο διανύσµατα αντίθετα πρέπει να είναι αντίρροπα και να έχουν ίσα µέτρα Το αντίθετο του διανύσµατος είναι το AB Έστω δύο µη µηδενικά διανύσµατα α και Με αρχή ένα σηµείο παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OB = θ Την κυρτή γωνία AOB, που ορίζουν οι ηµιευθείες και, την ονοµάζουµε γωνία των διανυσµάτων α και και τη συµολίζουµε µε ( α, ) ή (, α ) ή ακόµα, αν δεν προκαλείται σύγχυση, µε ένα µικρό γράµµα, για παράδειγµα θ Εύκολα αποδεικνύεται ότι η γωνία των α και είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σηµείου 0 0 Είναι φανερό επίσης ότι 0 θ 80 ή σε ακτίνια 0 θ π και ειδικότερα: ν θ =0τότε α ν θ=πτότε α θ =0, αν α θ = π, αν α 4

5 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ π ν θ =, τότε λέµε ότι τα διανύσµατα ορθογώνια ή κάθετα και γράφουµε α α και είναι Παρατηρήσεις : ν ένα από τα διανύσµατα α, είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε ως γωνία των α και µπορούµε να θεωρήσουµε οποιαδήποτε γωνία θ µε 0 θ π Έτσι, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµα, 0, είναι οµόρροπο ή αντίρροπο ή ακόµη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσµα Πρόσθεση διανυσµάτων κάνοντας τα διαδοχικά (α τρόπος) B (πέρας) Έστω δύο διανύσµατα και Με αρχή ένα σηµείο παίρνουµε διάνυσµα OA = α και στη συνέχεια µε αρχή το παίρνουµε A (αρχή) διάνυσµα AM = Το διάνυσµα OM λέγεται άθροισµα ή συνισταµένη των διανυσµάτων α και και συµολίζεται µε α + AB Μ M + O + ΘΕΩΡΗΜ: το άθροισµα των διανυσµάτων ανεξάρτητο της επιλογής του σηµείου --- Π ΕΙΞΗ α και είναι Θεωρούµε O ένα άλλο σηµείο και παίρνουµε τα διανύσµατα O A = α και A M = Όµως OA = O A = α οπότε παρ/µο άρα O O = AA () και AM = A M = οπότε ΜΜ παρ/µο άρα A A = M M () 5

6 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Εποµένως από τις (),() προκύπτει ότι M M O O = M, οπότε ΜΜ παρ/µο άρα OM = O πότε αποδείχθηκε ότι το άθροισµα των διανυσµάτων είναι ανεξάρτητο της επιλογής του Πρόσθεση διανυσµάτων µε τον κανόνα του παρ/µου ( τρόπος) Το άθροισµα δύο διανυσµάτων ρίσκεται και µε το λεγόµενο κανόνα του παραλληλόγραµµου ηλαδή, αν µε αρχή ένα σηµείο πάρουµε τα διανύσµατα OA = α και OB =, τότε το άθροισµα α + ορίζεται από τη διαγώνιο OΜ του παραλληλόγραµµου που έχει προσκείµενες πλευρές τις O και Μ + ιατυπώστε τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσµάτων Για την πρόσθεση των διανυσµάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πραγµατικών αριθµών ηλαδή, αν α,, γ είναι τρία διανύσµατα, τότε: () + = + α (ντιµεταθετική ιδιότητα) () ( α+ ) + γ= α+ ( + γ) (Προσεταιριστική ιδιότητα) (3) α + 0 = α (4) α + ( α) = 0 Παρατηρήσεις : Η προσεταιριστική ιδιότητα µας επιτρέπει να συµολίζουµε καθένα από τα ίσα αθροίσµατα ( α+ ) + γ και α+ ( + γ ) µε α+ + γ, το οποίο θα λέµε άθροισµα των τριών διανυσµάτων α, και γ Το άθροισµα περισσότερων διανυσµάτων α α α,, 3,, α ν, ν 3 ορίζεται επαγωγικά ως εξής: 6

7 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ α + α + α + + α = ( α + α + α + + α ) + α 3 ν 3 ν ν Για παράδειγµα, διπλανό σχήµα) α + α + α + α = ( α + α + α ) + α (κοίτα ηλαδή, για να προσθέσουµε ν διανύσµατα α, α, α3,, αν, τα καθιστούµε διαδοχικά, οπότε το άθροισµά τους θα είναι το διάνυσµα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και ως πέρας το πέρας του τελευταίου Επειδή µάλιστα ισχύουν η αντιµεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, το άθροισµα δε µεταάλλεται αν αλλάξει η σειρά των προσθετέων ή αν µερικοί από αυτούς αντικατασταθούν µε το άθροισµά τους ΘΕΩΡΗΜ: αποδείξτε τις ιδιότητες της πρόσθεσης B (πέρας) διανυσµάτων Μ + Π ΕΙΞΗ AB A (αρχή) πό το διπλανό σχήµα έχουµε: α + = OA+ AM= OM και + α= OB+ BM= OM Εποµένως, α + = + α + + γ γ πό το διπλανό σχήµα έχουµε: ( α + ) + γ= ( OA+ AB) + BΓ = OB+ BΓ = OΓ και --- α + ( + γ) = OA+ ( AB+ BΓ ) = OA+ AΓ = OΓ Εποµένως, ( α + ) + γ = + ( + γ ) + + γ Γ ι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς 7

8 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ ναφερθείτε στην αφαίρεση διανυσµάτων Η διαφορά α του διανύσµατος από το διάνυσµα α ορίζεται ως άθροισµα των διανυσµάτων α και ηλαδή α = α+ ( ) + Σε µια ισότητα διανυσµάτων µπορούµε να µεταφέρουµε ένα διάνυσµα από το ένα µέλος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσηµό του Έτσι αν α+ = γ τότε α = γ Σύµφωνα µε τα παραπάνω, αν έχουµε δύο διανύσµατα α και, τότε υπάρχει µοναδικό διάνυσµα, τέτοιο, ώστε + = α Πράγµατι: + = α ( ) + ( + ) = ( ) + α 0+ = α+ ( ) = α Τι ονοµάζουµε διάνυσµα θέσεως; Έστω ένα σταθερό σηµείο του χώρου Τότε για κάθε σηµείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσµα Μ, το οποίο λέγεται διάνυσµα θέσεως του Μ ή διανυσµατική ακτίνα του Μ Το σηµείο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών ακτίνων των σηµείων του χώρου, λέγεται σηµείο αναφοράς στο χώρο ν είναι ένα σηµείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσµα έχουµε OA + AB = OB και εποµένως O 8

9 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ AB OB OA = ηλαδή: Κάθε διάνυσµα στο χώρο είναι ίσο µε τη διανυσµατική ακτίνα του πέρατος µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής ναφερθείτε στο µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων (τριγωνική ανισότητα) + Στο διπλανό σχήµα λέπουµε το άθροισµα των διανυσµάτων α και πό την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουµε όµως ότι: ( OA ) ( AB) ( OB) ( OA) + ( AB) και εποµένως: α α + α + Παρατηρήσεις : Η ισότητα α+ = α + ισχύει µόνο όταν α Η ισότητα α = α+ ισχύει µόνο όταν α Τι ονοµάζουµε --- πολλαπλασιασµό αριθµού µε διάνυσµα; Έστω λ ένας πραγµατικός αριθµός µε λ 0 και α ένα µη µηδενικό διάνυσµα νοµάζουµε γινόµενο του λ µε το α και το συµολίζουµε µε λ α ή λ α ένα διάνυσµα το οποίο: 9

10 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ είναι οµόρροπο του α, αν λ > 0 και αντίρροπο του α, αν λ < 0 και έχει µέτρο λ α ν είναι λ = 0 ή 0 α =, τότε ορίζουµε ως λ α το µηδενικό διάνυσµα 0 Το γινόµενο α το συµολίζουµε και µε λ α λ Ιδιότητες πολλαπλασιασµού αριθµού µε διάνυσµα; Για το γινόµενο πραγµατικού αριθµού µε διάνυσµα ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: Για παράδειγµα, αν το διάνυσµα α του παρακάτω σχήµατος έχει µέτρο, τότε το διάνυσµα 3 α είναι οµόρροπο µε το α και έχει µέτρο 3 α = = 3 α = 3 α =3 =6 ενώ το διάνυσµα 3 α είναι αντίρροπο µε το α, αλλά έχει και αυτό µέτρο ίσο µε 3α = 3 α =3 =6 () λ( α+ ) = λα+ λ () ( λ+ µ ) α = λα+ µ α (3) λ( µα) = ( λµ ) α 3 3 πόδειξη () : Υποθέτουµε ότι τα διανύσµατα α και είναι µη µηδενικά και ότι λ 0 Παίρνουµε ένα σηµείο και σχεδιάζουµε τα διανύσµατα OA = α, AB = Τότε είναι OB = α + Σχεδιάζουµε επιπλέον τα διανύσµατα A = λα O και OB = λ( α + ) λ>0 λ + λ( + ) 0

11 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Η ιδιότητα ισχύει προφανώς και όταν ένα τουλάχιστον από τα διανύσµατα α και είναι το µηδενικό ή όταν ο αριθµός λ είναι µηδέν ( ) ( ) Επειδή = = λ, ( ) ( ) τα τρίγωνα και είναι όµοια και εποµένως η πλευρά ( ) είναι παράλληλη µε την και ισχύει = λ ( ) υτό σηµαίνει ότι A B = λ AB = λ Εποµένως, επειδή O B = OA + A B, έχουµε λ( α+ ) = λα+ λ λ<0 λ( + ) + λ Παρατηρήσεις : Ως συνέπεια του ορισµού του γινοµένου αριθµού µε διάνυσµα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουµε: (i) λα= 0 λ= 0 ή α 0 = (ii) ( λα) = λ( α) = ( λα) --- (iii) λ( α )= λα λ (iv) ( λ µ ) α= λα µ α (v) ν λα = λ και λ 0, τότε α = (vi) ν λα = µ α και α 0, τότε λ= µ

12 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Τι ονοµάζουµε γραµµικό συνδυασµό διανυσµάτων; ς θεωρήσουµε δύο διανύσµατα α και πό τα διανύσµατα αυτά παράγονται, για παράδειγµα, τα διανύσµατα γ= 3 α+5, δ= α+3 κτλ Καθένα από τα διανύσµατα αυτά λέγεται γραµµικός συνδυασµός των α και Γενικά, ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός δύο διανυσµάτων α και κάθε διάνυσµα της µορφής v= κα+ λ, όπου κ, λ R ναφερθείτε στην συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων νάλογα ορίζεται και ο γραµµικός συνδυασµός τριών ή περισσότερων διανυσµάτων Έτσι, για παράδειγµα, το διάνυσµα v= 3 α + 5γ είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των α, και γ Όπως είδαµε, αν δύο διανύσµατα α και, όπου 0, συνδέονται µε τη σχέση α = λ, τότε τα διανύσµατα αυτά είναι παράλληλα Ισχύει όµως και το αντίστροφο ηλαδή, αν τα διανύσµατα α και είναι παράλληλα και 0, τότε υπάρχει µοναδικός αριθµός λ τέτοιος ώστε α = λ Πράγµατι, αν α θέσουµε κ =, τότε α = κ Συνεπώς: α ν α, τότε α = κ δηλαδή α = α ν α, τότε α= κ δηλαδή α = ν 0 α =, τότε α = 0 ν = 0 τότε για οποιοδήποτε µη µηδενικό διάνυσµα αδεν υπάρχει λ ώστε α = λ Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει λ και µάλιστα µοναδικός (ιδιότητα iv), τέτοιος, ώστε α = λ Εποµένως: ΘΕΩΡΗΜ ν α, είναι δύο διανύσµατα, µε 0, τότε α // α = λ, λ R

13 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Υπολογίστε την διανυσµατική ακτίνα µέσου τµήµατος Μ ς πάρουµε ένα διάνυσµα AB και ένα σηµείο αναφοράς Για τη διανυσµατική ακτίνα έχουµε: OM του µέσου Μ του OM = OA+ AM και OM = OB+ BM τµήµατος Εποµένως, Άρα OA AM OB BM OA OB OM = = + OA+ OB OM= Τι εννοούµε µε την έννοια άξονας; B (πέρας) Πάνω σε µια ευθεία AB A (αρχή) επιλέγουµε δύο σηµεία και Ι, έτσι ώστε το διάνυσµα OI να έχει µέτρο και να ρίσκεται στην ηµιευθεία O Λέµε τότε ότι έχουµε έναν άξονα µε αρχή το και µοναδιαίο διάνυσµα το OI = i και τον συµολίζουµε µε Η ηµιευθεία O λέγεται θετικός ηµιάξονας O, ενώ η O λέγεται αρνητικός ηµιάξονας O Ι Μ() --- ν, τώρα, πάνω στον άξονα i OM OM πάρουµε ένα σηµείο Μ, επειδή //, θα υπάρχει µόνο ένας πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε ι = Τον αριθµό τον ονοµάζουµε τετµηµένη του Μ λλά και αντιστρόφως, από την ισότητα OM= ι προκύπτει ότι σε κάθε πραγµατικό αριθµό αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο Μ του άξονα µε τετµηµένη Το σηµείο αυτό συµολίζεται µε Μ () 3

14 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ ναφερθείτε στο καρτεσιανό επίπεδο Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουµε δύο κάθετους άξονες και µε κοινή αρχή και µοναδιαία διανύσµατα τα i και j Λέµε τότε ότι έχουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο ή ακόµα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συµολίζουµε µε O Τι ονοµάζουµε συντεταγµένες ενός σηµείου; Το σύστηµα O λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό ρθογώνιο είναι, γιατί οι άξονες και είναι κάθετοι, και κανονικό, γιατί τα διανύσµατα i και j είναι ισοµήκη Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο O παίρνουµε ένα σηµείο Μ πό το Μ φέρνουµε την παράλληλη στον, που τέµνει τον στο M, και την παράλληλη στον, που τέµνει τον στο M ν είναι η τετµηµένη του M ως προς τον άξονα και η τετµηµένη του M ως προς τον άξονα, τότε ο λέγεται τετµηµένη του Μ και ο τεταγµένη του Μ Η τετµηµένη και η τεταγµένη λέγονται συντεταγµένες του Μ Έτσι σε κάθε σηµείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγµένων λλά και αντιστρόφως σε κάθε ζεύγος (, ) πραγµατικών αριθµών αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο του επιπέδου, το οποίο ρίσκεται ως εξής: Πάνω στον άξονα παίρνουµε το σηµείο M ( ) και στον το σηµείο M ( ) πό τα M και M φέρνουµε παράλληλες στους άξονες και αντιστοίχως, που τέµνονται στο Μ Το σηµείο Μ είναι το ζητούµενο Ένα σηµείο Μ µε τετµηµένη και τεταγµένη συµολίζεται και µε M(, ) ή απλά µε (, ) Μ j i Μ(,) Μ Θεώρηµα 3: Κάθε διάνυσµα α του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή α= i+ j 4

15 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ j i A A Ύπαρξη : Έστω O ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσµα του επιπέδου Με αρχή το σχεδιάζουµε το διάνυσµα OA = α ν A και A είναι οι προολές του στους άξονες και αντιστοίχως, έχουµε: OA = OA + OA () ν, είναι οι συντεταγµένες του A, τότε ισχύει OA = ι και OA = j Εποµένως η ισότητα () γράφεται α = i + j ποδείξαµε δηλαδή ότι το α είναι γραµµικός συνδυασµός των i και j B (πέρας) Μοναδικότητα: Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθµοί και είναι µοναδικοί AB Θα αποδείξουµε τώρα ότι και η έκφραση του α ως γραµµικού συνδυασµού των i και j είναι µοναδική A (αρχή) Πράγµατι, έστω ότι ισχύει και α = i + j Τότε θα έχουµε i + j = i + j ή ( ) i = ( ) j ν υποθέσουµε ότι, δηλαδή ότι 0, τότε θα ισχύει i = j Η σχέση αυτή, όµως, δηλώνει ότι i / / j, που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραµµικά Εποµένως =, που συνεπάγεται ότι και = Ώστε: --- Κάθε διάνυσµα α του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή α= i+ j Τα διανύσµατα i και j λέγονται συνιστώσες του διανύσµατος α κατά τη διεύθυνση των i και j αντιστοίχως, ενώ οι αριθµοί, λέγονται συντεταγµένες του α στο σύστηµα O 5

16 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Πιο συγκεκριµένα, ο λέγεται τετµηµένη του α και ο λέγεται τεταγµένη του α Το α θα το συµολίζουµε µε το διατεταγµένο ζεύγος (, ) ναφερθείτε στις συντεταγµένες γραµµικού συνδυασµού διανυσµάτων ύο διανύσµατα είναι ίσα αν και µόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγµένες τους είναι ίσες ν γνωρίζουµε τις συντεταγµένες δύο διανυσµάτων α και του καρτεσιανού επιπέδου, τότε µπορούµε να ρούµε τις συντεταγµένες του αθροίσµατος α +, του γινοµένου λα, λ R και γενικά κάθε γραµµικού συνδυασµού των α και Πράγµατι, αν α =, ) και =, ), τότε έχουµε: ( ( α + = ( i + j ) + ( i + j) = ( + ) i + ( + ) j λ α = λ( i + j) = ( λ) i + ( λ) j Εποµένως α + = ( +, + ) και λα = ( λ, λ ) ή ισοδύναµα (, ) + (, ) = ( +, + ) Για παράδειγµα, αν α = (, ) και = (, ), τότε: α+ = (, ) + (,) = = (,), α = (, ) = (, ), α = (, ) (,) = = (, ) + (, ) = (0, 3) λ (, ) = ( λ, λ) Γενικότερα, για το γραµµικό συνδυασµό λα + µ έχουµε: λ α+ µ = λ, λ ) + ( µ, µ ) = ( λ + µ, λ + µ ) ( Υπολογίστε τις συντεταγµένες του µέσου ενός τµήµατος ς θεωρήσουµε δύο σηµεία (, ) (, ) καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουµε ότι (, ) είναι οι συντεταγµένες του µέσου Μ του 6

17 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ B(, ) Μ(,) Επειδή OM = ( OA+ OB ) και OM= (, ), OA=, ), OB=, ) ( + + έχουµε: (, ) = [(, ) + (, )] =, Εποµένως ισχύει ( A(, ) + = και + = Υπολογίστε τις συντεταγµένες διανύσµατος µε γνωστά άκρα ς θεωρήσουµε δύο σηµεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουµε ότι (, ) είναι οι συντεταγµένες του διανύσµατος AB A(, ) B(, ) Επειδή: AB= OB OA, AB= (, ), OB= (, ) και OA= (, ) έχουµε:, ) = (, ) (, ) = (, ) Εποµένως: ( ι συντεταγµένες (, ) του διανύσµατος µε άκρα τα σηµεία A, ) και, ) δίνονται από τις σχέσεις ( ( = και = ηλαδή: --- τετµηµένη του AB = τετµηµένη του - τετµηµένη του τεταγµένη του AB = τεταγµένη του - τεταγµένη του Για παράδειγµα, το διάνυσµα AB µε αρχή το (, ) και πέρας το (3,7) έχει συντεταγµένες = 3 = και = 7 = 5, δηλαδή είναι ίσο µε το α = (,5) 7

18 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Υπολογίστε το µέτρο ενός διανύσµατος αν γνωρίζετε τις συντεταγµένες του Έστω α = (, ) ένα διάνυσµα του καρτεσιανού επιπέδου και το σηµείο µε διανυσµατική ακτίνα OA = α ν και είναι οι προολές του στους άξονες και αντιστοίχως, επειδή το σηµείο έχει τετµηµένη και τεταγµένη, θα ισχύει ( ) = και ( ) = Έτσι θα έχουµε: α = ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = + = + Εποµένως: A A(,) ν α= (, ), τότε α = + Για παράδειγµα, αν α = (5, ), τότε α = 5 + = 3 Υπολογίστε την απόσταση µεταξύ δύο σηµείων αν γνωρίζετε τις συντεταγµένες τους B(, ) ς θεωρήσουµε τώρα δύο σηµεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση () των σηµείων και είναι ίση µε το µέτρο του διανύσµατος AB = (, ), σύµφωνα µε τον τύπο α = + θα ισχύει: A(, ) ) + ( ) ( ) = ( Εποµένως: Η απόσταση των σηµείων (, ) και, ) είναι ίση µε ( ) + ( ) ( ) = ( 8

19 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Γωνία διανύσµατος α µε τον άξονα A(,) φ Έστω α = (, ) ένα µη µηδενικό διάνυσµα και A το σηµείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει OA = Τη γωνία φ, που διαγράφει ο ηµιάξονας O αν στραφεί γύρω από το κατά τη θετική φορά µέχρι να συµπέσει µε την ηµιευθεία, την ονοµάζουµε γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον άξονα Είναι φανερό ότι: 0 φ< π Τι είναι ο συντελεστής διεύθυνσης; Θεωρούµε διάνυσµα α, αν το α δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα και γωνία φη γωνία τουα µε τον άξονα, ισχύει εφ φ= Το πηλίκο της τεταγµένης προς την τετµηµένη του διανύσµατος α = (, ), µε 0, το λέµε συντελεστή διεύθυνσης του α και τον συµολίζουµε µε λ α ή απλώς µε λ Εποµένως: --- λ= = εφφ Είναι φανερό ότι ν = 0, δηλαδή αν α //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α είναι ο λ = 0 ν =0, δηλαδή αν α //, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α 9

20 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων µε χρήση συντεταγµένων Έστω α = (, ) και = (, ) καρτεσιανού επιπέδου Ισχύει ότι: Την ορίζουσα α = συντεταγµένες του διανύσµατος συντεταγµένες του διανύσµατος // 0 δύο διανύσµατα του, που έχει ως η τη γραµµή τις α και ως η γραµµή τις, τη λέµε ορίζουσα των διανυσµάτων α και (µε τη σειρά που δίνονται) και θα τη συµολίζουµε µε det( α, ) Έτσι, η παραπάνω ισοδυναµία διατυπώνεται ως εξής: α // det(, ) = 0 Τα διανύσµατα α = ( 3, ) και = ( 3, 3 ) είναι παράλληλα, αφού 3 det( α, ) = = 3 3 = 3+ 3= 0, ενώ Τα διανύσµατα α = (, 3 ), = (, ) δεν είναι παράλληλα, αφού 3 det( α, ) = = = 7 0 ς θεωρήσουµε τώρα δύο διανύσµατα α = (, ) και = (, ) µε συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντιστοίχως Τότε έχουµε τις ισοδυναµίες: α // = 0 = = λ = λ Εποµένως, η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσµατα α και µε συντελεστές διεύθυνσης λ και λ διατυπώνεται ως εξής: α // λ = λ 0

21 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Να αποδειχθεί η σχέση // α = 0 Π ΕΙΞΗ Για µια ορίζουσα Χ ισχύει: = det(, ) = Έστω α = (, ) και = (, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου ν τα διανύσµατα είναι παράλληλα και υποθέσουµε ότι 0, τότε θα υπάρχει λ R, τέτοιος, ώστε α = λ Εποµένως, θα έχουµε (, ) = λ(, ) ή ισοδύναµα: = λ και = λ, οπότε θα ισχύει = λ λ = ή ισοδύναµα = 0 0 ν = 0, τότε θα ισχύει = = είξαµε δηλαδή ότι αν τα διανύσµατα α και είναι παράλληλα, τότε: = 0 ντιστρόφως, αν = 0, τότε τα διανύσµατα α και θα είναι παράλληλα Πράγµατι, επειδή = 0, έχουµε = Εποµένως, ν 0, τότε =, οπότε, αν θέσουµε = λ, θα έχουµε: = λ και = λ Άρα, α = λ και συνεπώς α // --- ν = 0, τότε = 0, οπότε αν = 0, τα διανύσµατα α και θα είναι παράλληλα προς τον άξονα των τεταγµένων, άρα και µεταξύ τους παράλληλα, ενώ, αν = 0, τότε το θα είναι το µηδενικό διάνυσµα και άρα, παράλληλο προς το α

22 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο; νοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτων α και και το συµολίζουµε µε α τον πραγµατικό αριθµό α = α συν φ, φ F A όπου φ η γωνία των διανυσµάτων α και ν α = 0 ή = 0, τότε ορίζουµε α = 0 Παρατηρήσεις : Άµεσες συνέπειες του παραπάνω ορισµού είναι οι εξής: α = α (ντιµεταθετική ιδιότητα) ν α τότε α = 0 και αντιστρόφως ν α, τότε α = α και αντιστρόφως ν α, τότε α = α και αντιστρόφως Το εσωτερικό γινόµενο α α συµολίζεται µε α και λέγεται τετράγωνο του α Έχουµε: α = α α συν0= α Εποµένως α = α Ειδικότερα, για τα µοναδιαία διανύσµατα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: i j= j i = 0 και i = j = ναλυτική έκφραση εσωτερικού γινοµένου Έστω δύο διανυσµάτων α = (, ) και = (, ) Τότε ισχύει: α = + Για παράδειγµα, το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α και µε α = 3, π = 8 και φ= είναι 3 π α = 3 8 συν = 3 8 = 3 Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινο- µένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους

23 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Να αποδειχθεί η σχέση α = + Π ΕΙΞΗ Θεωρούµε διανύσµατα α = (, ) και = (, ) Με αρχή το παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OB = πό το νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο έχουµε την ισότητα (, ) ( ) = ( ) + ( ) ( )( ) συν, θ (, ) η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σηµεία,, είναι συνευθειακά Όµως είναι: ( ) = ( ) + ( ), ( ) Εποµένως, έχουµε διαδοχικά: = + και ( ) = + ( ) + ( ) = ( )( ) συν = ( )( ) συν και επειδή α ( )( ) συν=, έχουµε τελικά: α = + Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: () λα = α ( λ ) = λ ( α ), λ R () α ( + γ ) = α + α γ (3) α λλ = Π ΕΙΞΗ Πράγµατι, αν --- α = (, ), = (, ) και γ = ( 3, 3 ), τότε: () ( λα) = ( λ, λ )(, ) = ( λ ) + ( λ ) = λ( + ) = = λ( α ) και α ( λ ) = (, )( λ, λ ) = ( λ) + ( λ ) = λ( + ) = = λ( α ) Άρα: ( λα) = α ( λ) = λ( α ) 3

24 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ () α ( + γ ) = (, )( +, + ) = ( + ) + ( + ) = ( + 3) + ( + 3) = ( + ) + ( 3 + 3) = α + α γ α α = + = = = λλ = (3) 0 0 Συνηµίτονο γωνίας δύο διανυσµάτων ν α = (, ) και = (, ) είναι δύο µη µηδενικά διανύσµατα του επιπέδου που σχηµατίζουν γωνία θ, τότε α α = α συνθ και εποµένως, συνθ= α Όµως, α = +, α = + και = + Εποµένως: συνθ= ν θ είναι η γωνία των διανυσµάτων α = (, ) και = ( 3, ), τότε: 3+ συνθ = = = = = 5 0 π οπότε θ = 4 ναφερθείτε στην προολή διανύσµατος Έστω α, v µε 0 α Με αρχή ένα σηµείο παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OM = ν πό το Μ φέρνουµε κάθετο στη διεύθυνση του OA και έστω M το ίχνος της καθέτου Το διάνυσµα OM λέγεται προολή του ν στο α και συµολίζεται µε προ α ν ηλαδή: OM = προ α ν Για το εσωτερικό γινόµενο των α και ν έχουµε: α v= α ( OM = α προ α ν Εποµένως: + M M ) = α OM + α M M= α OM α ν = α προ α ν ποδεικνύεται ότι η προολή του ν πάνω στο α είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σηµείου v θ M M A 4

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

5. Να γράψετε την τριγωνική ανισότητα για το µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων.

5. Να γράψετε την τριγωνική ανισότητα για το µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων. Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο :" ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ"..:Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ώστε τον ορισµό του διανύσµατος i) Ποιο διάνυσµα ονοµάζουµε µηδενικό; ii) Τι ονοµάζουµε µέτρο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος & πρόσθεση αφαίρεση διανυσμάτων

Η έννοια του διανύσματος & πρόσθεση αφαίρεση διανυσμάτων Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ & The D s tht mke chmpion: Devotion, Desire, Discipline Η έννοια του διανύσματος & πρόσθεση αφαίρεση διανυσμάτων Τα διανύσµατα έχουν σηµασία όχι µόνο για τα µαθηµατικά αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΗΝΑ 009 1. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα