ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;"

Transcript

1 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγµένα Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσµατος Το διάνυσµα µε αρχή το και πέρας το συµολίζεται µε AB και παριστάνεται µε ένα έλος που ξεκινάει από το και καταλήγει στο ν η αρχή και το πέρας ενός διανύσµατος συµπίπτουν, τότε το διάνυσµα λέγεται µηδενικό διάνυσµα Έτσι, για παράδειγµα, το φορές τα µικρά γράµµατα του ελληνικού AB ή του λατινικού B (πέρας) διάνυσµα AA είναι µηδενικό διάνυσµα Για το συµολισµό των διανυσµάτων χρησιµοποιούµε πολλές αλφάητου επιγραµµισµένα µε έλος για παράδειγµα, A (αρχή) α,,, u, v, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; AB =() 0 ηλαδή το µέτρο ενός διανύσµατος είναι θετικός αριθµός ή µηδέν Η απόσταση των άκρων ενός διανύσµατος AB, δηλαδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος, λέγεται µέτρο ή µήκος του --- διανύσµατος AB και συµολίζεται µε AB ν το διάνυσµα AB έχει µέτρο, τότε λέγεται µοναδιαίο διάνυσµα Τι γνωρίζετε για τον φορέα διανύσµατος;

2 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Η ευθεία πάνω στην οποία ρίσκεται ένα µη µηδενικό διάνυσµα AB λέγεται φορέας του AB ν ο φορέας ενός διανύσµατος AB είναι παράλληλος ή A B ε συµπίπτει µε µια ευθεία ζ, τότε λέµε ότι το AB είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουµε AB// ζ Ως φορέα ενός µηδενικού διανύσµατος AA µπορούµε να θεωρούµε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το AA Ποια διανύσµατα ονοµάζονται παράλληλα ή συγγραµµικά; ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραµµικά διανύσµατα Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα AB και Γ έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουµε AB // Γ Γ Γ Ποια διανύσµατα ονοµάζονται οµόρροπα ή αντίρροπα; Τα συγγραµµικά διανύσµατα διακρίνονται σε οµόρροπα και αντίρροπα Συγκεκριµένα: ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ λέγονται οµόρροπα: α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και ρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο ως προς την ευθεία Γ που ενώνει τις αρχές τους ή ) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και µία από τις ηµιευθείες και Γ Γ Γ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα AB και Γ έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουµε AB Γ

3 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Γ Γ ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραµµικά και δεν είναι οµόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα διανύσµατα AB και Γ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουµε AB Γ Ποια διανύσµατα ονοµάζονται ίσα; Για να είναι δύο διανύσµατα ίσα πρέπει να είναι οµόρροπα και να έχουν ίσα µέτρα ύο µη µηδενικά διανύσµατα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα µέτρα Για να δηλώσουµε ότι δύο διανύσµατα AB και Γ είναι ίσα, γράφουµε AB = Γ Τα µηδενικά διανύσµατα θεωρούνται ίσα µεταξύ τους και συµολίζονται µε 0 Παρατηρήσεις : ν Μ είναι το µέσον του, τότε AM= MB και αντιστρόφως Μ ν AB = Γ, τότε: i) A Γ = (εναλλαγή µέσων γραµµάτων) Γ ii) iii) B = Γ (εναλλαγή άκρων γραµµάτων) B = Γ --- Ποια διανύσµατα ονοµάζονται αντίθετα; 3

4 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ ύο διανύσµατα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα µέτρα Για να δηλώσουµε ότι δύο διανύσµατα AB και Γ είναι αντίθετα, γράφουµε: AB Γ = ή Γ = Είναι φανερό ότι: AB = Γ AB = Γ Ειδικότερα, έχουµε = ναφερθείτε στην γωνία µεταξύ δύο διανυσµάτων Για να είναι δύο διανύσµατα αντίθετα πρέπει να είναι αντίρροπα και να έχουν ίσα µέτρα Το αντίθετο του διανύσµατος είναι το AB Έστω δύο µη µηδενικά διανύσµατα α και Με αρχή ένα σηµείο παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OB = θ Την κυρτή γωνία AOB, που ορίζουν οι ηµιευθείες και, την ονοµάζουµε γωνία των διανυσµάτων α και και τη συµολίζουµε µε ( α, ) ή (, α ) ή ακόµα, αν δεν προκαλείται σύγχυση, µε ένα µικρό γράµµα, για παράδειγµα θ Εύκολα αποδεικνύεται ότι η γωνία των α και είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σηµείου 0 0 Είναι φανερό επίσης ότι 0 θ 80 ή σε ακτίνια 0 θ π και ειδικότερα: ν θ =0τότε α ν θ=πτότε α θ =0, αν α θ = π, αν α 4

5 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ π ν θ =, τότε λέµε ότι τα διανύσµατα ορθογώνια ή κάθετα και γράφουµε α α και είναι Παρατηρήσεις : ν ένα από τα διανύσµατα α, είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε ως γωνία των α και µπορούµε να θεωρήσουµε οποιαδήποτε γωνία θ µε 0 θ π Έτσι, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµα, 0, είναι οµόρροπο ή αντίρροπο ή ακόµη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσµα Πρόσθεση διανυσµάτων κάνοντας τα διαδοχικά (α τρόπος) B (πέρας) Έστω δύο διανύσµατα και Με αρχή ένα σηµείο παίρνουµε διάνυσµα OA = α και στη συνέχεια µε αρχή το παίρνουµε A (αρχή) διάνυσµα AM = Το διάνυσµα OM λέγεται άθροισµα ή συνισταµένη των διανυσµάτων α και και συµολίζεται µε α + AB Μ M + O + ΘΕΩΡΗΜ: το άθροισµα των διανυσµάτων ανεξάρτητο της επιλογής του σηµείου --- Π ΕΙΞΗ α και είναι Θεωρούµε O ένα άλλο σηµείο και παίρνουµε τα διανύσµατα O A = α και A M = Όµως OA = O A = α οπότε παρ/µο άρα O O = AA () και AM = A M = οπότε ΜΜ παρ/µο άρα A A = M M () 5

6 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Εποµένως από τις (),() προκύπτει ότι M M O O = M, οπότε ΜΜ παρ/µο άρα OM = O πότε αποδείχθηκε ότι το άθροισµα των διανυσµάτων είναι ανεξάρτητο της επιλογής του Πρόσθεση διανυσµάτων µε τον κανόνα του παρ/µου ( τρόπος) Το άθροισµα δύο διανυσµάτων ρίσκεται και µε το λεγόµενο κανόνα του παραλληλόγραµµου ηλαδή, αν µε αρχή ένα σηµείο πάρουµε τα διανύσµατα OA = α και OB =, τότε το άθροισµα α + ορίζεται από τη διαγώνιο OΜ του παραλληλόγραµµου που έχει προσκείµενες πλευρές τις O και Μ + ιατυπώστε τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσµάτων Για την πρόσθεση των διανυσµάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πραγµατικών αριθµών ηλαδή, αν α,, γ είναι τρία διανύσµατα, τότε: () + = + α (ντιµεταθετική ιδιότητα) () ( α+ ) + γ= α+ ( + γ) (Προσεταιριστική ιδιότητα) (3) α + 0 = α (4) α + ( α) = 0 Παρατηρήσεις : Η προσεταιριστική ιδιότητα µας επιτρέπει να συµολίζουµε καθένα από τα ίσα αθροίσµατα ( α+ ) + γ και α+ ( + γ ) µε α+ + γ, το οποίο θα λέµε άθροισµα των τριών διανυσµάτων α, και γ Το άθροισµα περισσότερων διανυσµάτων α α α,, 3,, α ν, ν 3 ορίζεται επαγωγικά ως εξής: 6

7 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ α + α + α + + α = ( α + α + α + + α ) + α 3 ν 3 ν ν Για παράδειγµα, διπλανό σχήµα) α + α + α + α = ( α + α + α ) + α (κοίτα ηλαδή, για να προσθέσουµε ν διανύσµατα α, α, α3,, αν, τα καθιστούµε διαδοχικά, οπότε το άθροισµά τους θα είναι το διάνυσµα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και ως πέρας το πέρας του τελευταίου Επειδή µάλιστα ισχύουν η αντιµεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, το άθροισµα δε µεταάλλεται αν αλλάξει η σειρά των προσθετέων ή αν µερικοί από αυτούς αντικατασταθούν µε το άθροισµά τους ΘΕΩΡΗΜ: αποδείξτε τις ιδιότητες της πρόσθεσης B (πέρας) διανυσµάτων Μ + Π ΕΙΞΗ AB A (αρχή) πό το διπλανό σχήµα έχουµε: α + = OA+ AM= OM και + α= OB+ BM= OM Εποµένως, α + = + α + + γ γ πό το διπλανό σχήµα έχουµε: ( α + ) + γ= ( OA+ AB) + BΓ = OB+ BΓ = OΓ και --- α + ( + γ) = OA+ ( AB+ BΓ ) = OA+ AΓ = OΓ Εποµένως, ( α + ) + γ = + ( + γ ) + + γ Γ ι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς 7

8 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ ναφερθείτε στην αφαίρεση διανυσµάτων Η διαφορά α του διανύσµατος από το διάνυσµα α ορίζεται ως άθροισµα των διανυσµάτων α και ηλαδή α = α+ ( ) + Σε µια ισότητα διανυσµάτων µπορούµε να µεταφέρουµε ένα διάνυσµα από το ένα µέλος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσηµό του Έτσι αν α+ = γ τότε α = γ Σύµφωνα µε τα παραπάνω, αν έχουµε δύο διανύσµατα α και, τότε υπάρχει µοναδικό διάνυσµα, τέτοιο, ώστε + = α Πράγµατι: + = α ( ) + ( + ) = ( ) + α 0+ = α+ ( ) = α Τι ονοµάζουµε διάνυσµα θέσεως; Έστω ένα σταθερό σηµείο του χώρου Τότε για κάθε σηµείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσµα Μ, το οποίο λέγεται διάνυσµα θέσεως του Μ ή διανυσµατική ακτίνα του Μ Το σηµείο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών ακτίνων των σηµείων του χώρου, λέγεται σηµείο αναφοράς στο χώρο ν είναι ένα σηµείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσµα έχουµε OA + AB = OB και εποµένως O 8

9 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ AB OB OA = ηλαδή: Κάθε διάνυσµα στο χώρο είναι ίσο µε τη διανυσµατική ακτίνα του πέρατος µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής ναφερθείτε στο µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων (τριγωνική ανισότητα) + Στο διπλανό σχήµα λέπουµε το άθροισµα των διανυσµάτων α και πό την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουµε όµως ότι: ( OA ) ( AB) ( OB) ( OA) + ( AB) και εποµένως: α α + α + Παρατηρήσεις : Η ισότητα α+ = α + ισχύει µόνο όταν α Η ισότητα α = α+ ισχύει µόνο όταν α Τι ονοµάζουµε --- πολλαπλασιασµό αριθµού µε διάνυσµα; Έστω λ ένας πραγµατικός αριθµός µε λ 0 και α ένα µη µηδενικό διάνυσµα νοµάζουµε γινόµενο του λ µε το α και το συµολίζουµε µε λ α ή λ α ένα διάνυσµα το οποίο: 9

10 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ είναι οµόρροπο του α, αν λ > 0 και αντίρροπο του α, αν λ < 0 και έχει µέτρο λ α ν είναι λ = 0 ή 0 α =, τότε ορίζουµε ως λ α το µηδενικό διάνυσµα 0 Το γινόµενο α το συµολίζουµε και µε λ α λ Ιδιότητες πολλαπλασιασµού αριθµού µε διάνυσµα; Για το γινόµενο πραγµατικού αριθµού µε διάνυσµα ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: Για παράδειγµα, αν το διάνυσµα α του παρακάτω σχήµατος έχει µέτρο, τότε το διάνυσµα 3 α είναι οµόρροπο µε το α και έχει µέτρο 3 α = = 3 α = 3 α =3 =6 ενώ το διάνυσµα 3 α είναι αντίρροπο µε το α, αλλά έχει και αυτό µέτρο ίσο µε 3α = 3 α =3 =6 () λ( α+ ) = λα+ λ () ( λ+ µ ) α = λα+ µ α (3) λ( µα) = ( λµ ) α 3 3 πόδειξη () : Υποθέτουµε ότι τα διανύσµατα α και είναι µη µηδενικά και ότι λ 0 Παίρνουµε ένα σηµείο και σχεδιάζουµε τα διανύσµατα OA = α, AB = Τότε είναι OB = α + Σχεδιάζουµε επιπλέον τα διανύσµατα A = λα O και OB = λ( α + ) λ>0 λ + λ( + ) 0

11 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Η ιδιότητα ισχύει προφανώς και όταν ένα τουλάχιστον από τα διανύσµατα α και είναι το µηδενικό ή όταν ο αριθµός λ είναι µηδέν ( ) ( ) Επειδή = = λ, ( ) ( ) τα τρίγωνα και είναι όµοια και εποµένως η πλευρά ( ) είναι παράλληλη µε την και ισχύει = λ ( ) υτό σηµαίνει ότι A B = λ AB = λ Εποµένως, επειδή O B = OA + A B, έχουµε λ( α+ ) = λα+ λ λ<0 λ( + ) + λ Παρατηρήσεις : Ως συνέπεια του ορισµού του γινοµένου αριθµού µε διάνυσµα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουµε: (i) λα= 0 λ= 0 ή α 0 = (ii) ( λα) = λ( α) = ( λα) --- (iii) λ( α )= λα λ (iv) ( λ µ ) α= λα µ α (v) ν λα = λ και λ 0, τότε α = (vi) ν λα = µ α και α 0, τότε λ= µ

12 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Τι ονοµάζουµε γραµµικό συνδυασµό διανυσµάτων; ς θεωρήσουµε δύο διανύσµατα α και πό τα διανύσµατα αυτά παράγονται, για παράδειγµα, τα διανύσµατα γ= 3 α+5, δ= α+3 κτλ Καθένα από τα διανύσµατα αυτά λέγεται γραµµικός συνδυασµός των α και Γενικά, ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός δύο διανυσµάτων α και κάθε διάνυσµα της µορφής v= κα+ λ, όπου κ, λ R ναφερθείτε στην συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων νάλογα ορίζεται και ο γραµµικός συνδυασµός τριών ή περισσότερων διανυσµάτων Έτσι, για παράδειγµα, το διάνυσµα v= 3 α + 5γ είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των α, και γ Όπως είδαµε, αν δύο διανύσµατα α και, όπου 0, συνδέονται µε τη σχέση α = λ, τότε τα διανύσµατα αυτά είναι παράλληλα Ισχύει όµως και το αντίστροφο ηλαδή, αν τα διανύσµατα α και είναι παράλληλα και 0, τότε υπάρχει µοναδικός αριθµός λ τέτοιος ώστε α = λ Πράγµατι, αν α θέσουµε κ =, τότε α = κ Συνεπώς: α ν α, τότε α = κ δηλαδή α = α ν α, τότε α= κ δηλαδή α = ν 0 α =, τότε α = 0 ν = 0 τότε για οποιοδήποτε µη µηδενικό διάνυσµα αδεν υπάρχει λ ώστε α = λ Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει λ και µάλιστα µοναδικός (ιδιότητα iv), τέτοιος, ώστε α = λ Εποµένως: ΘΕΩΡΗΜ ν α, είναι δύο διανύσµατα, µε 0, τότε α // α = λ, λ R

13 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Υπολογίστε την διανυσµατική ακτίνα µέσου τµήµατος Μ ς πάρουµε ένα διάνυσµα AB και ένα σηµείο αναφοράς Για τη διανυσµατική ακτίνα έχουµε: OM του µέσου Μ του OM = OA+ AM και OM = OB+ BM τµήµατος Εποµένως, Άρα OA AM OB BM OA OB OM = = + OA+ OB OM= Τι εννοούµε µε την έννοια άξονας; B (πέρας) Πάνω σε µια ευθεία AB A (αρχή) επιλέγουµε δύο σηµεία και Ι, έτσι ώστε το διάνυσµα OI να έχει µέτρο και να ρίσκεται στην ηµιευθεία O Λέµε τότε ότι έχουµε έναν άξονα µε αρχή το και µοναδιαίο διάνυσµα το OI = i και τον συµολίζουµε µε Η ηµιευθεία O λέγεται θετικός ηµιάξονας O, ενώ η O λέγεται αρνητικός ηµιάξονας O Ι Μ() --- ν, τώρα, πάνω στον άξονα i OM OM πάρουµε ένα σηµείο Μ, επειδή //, θα υπάρχει µόνο ένας πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε ι = Τον αριθµό τον ονοµάζουµε τετµηµένη του Μ λλά και αντιστρόφως, από την ισότητα OM= ι προκύπτει ότι σε κάθε πραγµατικό αριθµό αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο Μ του άξονα µε τετµηµένη Το σηµείο αυτό συµολίζεται µε Μ () 3

14 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ ναφερθείτε στο καρτεσιανό επίπεδο Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουµε δύο κάθετους άξονες και µε κοινή αρχή και µοναδιαία διανύσµατα τα i και j Λέµε τότε ότι έχουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο ή ακόµα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συµολίζουµε µε O Τι ονοµάζουµε συντεταγµένες ενός σηµείου; Το σύστηµα O λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό ρθογώνιο είναι, γιατί οι άξονες και είναι κάθετοι, και κανονικό, γιατί τα διανύσµατα i και j είναι ισοµήκη Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο O παίρνουµε ένα σηµείο Μ πό το Μ φέρνουµε την παράλληλη στον, που τέµνει τον στο M, και την παράλληλη στον, που τέµνει τον στο M ν είναι η τετµηµένη του M ως προς τον άξονα και η τετµηµένη του M ως προς τον άξονα, τότε ο λέγεται τετµηµένη του Μ και ο τεταγµένη του Μ Η τετµηµένη και η τεταγµένη λέγονται συντεταγµένες του Μ Έτσι σε κάθε σηµείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγµένων λλά και αντιστρόφως σε κάθε ζεύγος (, ) πραγµατικών αριθµών αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο του επιπέδου, το οποίο ρίσκεται ως εξής: Πάνω στον άξονα παίρνουµε το σηµείο M ( ) και στον το σηµείο M ( ) πό τα M και M φέρνουµε παράλληλες στους άξονες και αντιστοίχως, που τέµνονται στο Μ Το σηµείο Μ είναι το ζητούµενο Ένα σηµείο Μ µε τετµηµένη και τεταγµένη συµολίζεται και µε M(, ) ή απλά µε (, ) Μ j i Μ(,) Μ Θεώρηµα 3: Κάθε διάνυσµα α του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή α= i+ j 4

15 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ j i A A Ύπαρξη : Έστω O ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσµα του επιπέδου Με αρχή το σχεδιάζουµε το διάνυσµα OA = α ν A και A είναι οι προολές του στους άξονες και αντιστοίχως, έχουµε: OA = OA + OA () ν, είναι οι συντεταγµένες του A, τότε ισχύει OA = ι και OA = j Εποµένως η ισότητα () γράφεται α = i + j ποδείξαµε δηλαδή ότι το α είναι γραµµικός συνδυασµός των i και j B (πέρας) Μοναδικότητα: Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθµοί και είναι µοναδικοί AB Θα αποδείξουµε τώρα ότι και η έκφραση του α ως γραµµικού συνδυασµού των i και j είναι µοναδική A (αρχή) Πράγµατι, έστω ότι ισχύει και α = i + j Τότε θα έχουµε i + j = i + j ή ( ) i = ( ) j ν υποθέσουµε ότι, δηλαδή ότι 0, τότε θα ισχύει i = j Η σχέση αυτή, όµως, δηλώνει ότι i / / j, που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραµµικά Εποµένως =, που συνεπάγεται ότι και = Ώστε: --- Κάθε διάνυσµα α του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή α= i+ j Τα διανύσµατα i και j λέγονται συνιστώσες του διανύσµατος α κατά τη διεύθυνση των i και j αντιστοίχως, ενώ οι αριθµοί, λέγονται συντεταγµένες του α στο σύστηµα O 5

16 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Πιο συγκεκριµένα, ο λέγεται τετµηµένη του α και ο λέγεται τεταγµένη του α Το α θα το συµολίζουµε µε το διατεταγµένο ζεύγος (, ) ναφερθείτε στις συντεταγµένες γραµµικού συνδυασµού διανυσµάτων ύο διανύσµατα είναι ίσα αν και µόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγµένες τους είναι ίσες ν γνωρίζουµε τις συντεταγµένες δύο διανυσµάτων α και του καρτεσιανού επιπέδου, τότε µπορούµε να ρούµε τις συντεταγµένες του αθροίσµατος α +, του γινοµένου λα, λ R και γενικά κάθε γραµµικού συνδυασµού των α και Πράγµατι, αν α =, ) και =, ), τότε έχουµε: ( ( α + = ( i + j ) + ( i + j) = ( + ) i + ( + ) j λ α = λ( i + j) = ( λ) i + ( λ) j Εποµένως α + = ( +, + ) και λα = ( λ, λ ) ή ισοδύναµα (, ) + (, ) = ( +, + ) Για παράδειγµα, αν α = (, ) και = (, ), τότε: α+ = (, ) + (,) = = (,), α = (, ) = (, ), α = (, ) (,) = = (, ) + (, ) = (0, 3) λ (, ) = ( λ, λ) Γενικότερα, για το γραµµικό συνδυασµό λα + µ έχουµε: λ α+ µ = λ, λ ) + ( µ, µ ) = ( λ + µ, λ + µ ) ( Υπολογίστε τις συντεταγµένες του µέσου ενός τµήµατος ς θεωρήσουµε δύο σηµεία (, ) (, ) καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουµε ότι (, ) είναι οι συντεταγµένες του µέσου Μ του 6

17 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ B(, ) Μ(,) Επειδή OM = ( OA+ OB ) και OM= (, ), OA=, ), OB=, ) ( + + έχουµε: (, ) = [(, ) + (, )] =, Εποµένως ισχύει ( A(, ) + = και + = Υπολογίστε τις συντεταγµένες διανύσµατος µε γνωστά άκρα ς θεωρήσουµε δύο σηµεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουµε ότι (, ) είναι οι συντεταγµένες του διανύσµατος AB A(, ) B(, ) Επειδή: AB= OB OA, AB= (, ), OB= (, ) και OA= (, ) έχουµε:, ) = (, ) (, ) = (, ) Εποµένως: ( ι συντεταγµένες (, ) του διανύσµατος µε άκρα τα σηµεία A, ) και, ) δίνονται από τις σχέσεις ( ( = και = ηλαδή: --- τετµηµένη του AB = τετµηµένη του - τετµηµένη του τεταγµένη του AB = τεταγµένη του - τεταγµένη του Για παράδειγµα, το διάνυσµα AB µε αρχή το (, ) και πέρας το (3,7) έχει συντεταγµένες = 3 = και = 7 = 5, δηλαδή είναι ίσο µε το α = (,5) 7

18 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Υπολογίστε το µέτρο ενός διανύσµατος αν γνωρίζετε τις συντεταγµένες του Έστω α = (, ) ένα διάνυσµα του καρτεσιανού επιπέδου και το σηµείο µε διανυσµατική ακτίνα OA = α ν και είναι οι προολές του στους άξονες και αντιστοίχως, επειδή το σηµείο έχει τετµηµένη και τεταγµένη, θα ισχύει ( ) = και ( ) = Έτσι θα έχουµε: α = ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = + = + Εποµένως: A A(,) ν α= (, ), τότε α = + Για παράδειγµα, αν α = (5, ), τότε α = 5 + = 3 Υπολογίστε την απόσταση µεταξύ δύο σηµείων αν γνωρίζετε τις συντεταγµένες τους B(, ) ς θεωρήσουµε τώρα δύο σηµεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση () των σηµείων και είναι ίση µε το µέτρο του διανύσµατος AB = (, ), σύµφωνα µε τον τύπο α = + θα ισχύει: A(, ) ) + ( ) ( ) = ( Εποµένως: Η απόσταση των σηµείων (, ) και, ) είναι ίση µε ( ) + ( ) ( ) = ( 8

19 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Γωνία διανύσµατος α µε τον άξονα A(,) φ Έστω α = (, ) ένα µη µηδενικό διάνυσµα και A το σηµείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει OA = Τη γωνία φ, που διαγράφει ο ηµιάξονας O αν στραφεί γύρω από το κατά τη θετική φορά µέχρι να συµπέσει µε την ηµιευθεία, την ονοµάζουµε γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον άξονα Είναι φανερό ότι: 0 φ< π Τι είναι ο συντελεστής διεύθυνσης; Θεωρούµε διάνυσµα α, αν το α δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα και γωνία φη γωνία τουα µε τον άξονα, ισχύει εφ φ= Το πηλίκο της τεταγµένης προς την τετµηµένη του διανύσµατος α = (, ), µε 0, το λέµε συντελεστή διεύθυνσης του α και τον συµολίζουµε µε λ α ή απλώς µε λ Εποµένως: --- λ= = εφφ Είναι φανερό ότι ν = 0, δηλαδή αν α //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α είναι ο λ = 0 ν =0, δηλαδή αν α //, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α 9

20 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων µε χρήση συντεταγµένων Έστω α = (, ) και = (, ) καρτεσιανού επιπέδου Ισχύει ότι: Την ορίζουσα α = συντεταγµένες του διανύσµατος συντεταγµένες του διανύσµατος // 0 δύο διανύσµατα του, που έχει ως η τη γραµµή τις α και ως η γραµµή τις, τη λέµε ορίζουσα των διανυσµάτων α και (µε τη σειρά που δίνονται) και θα τη συµολίζουµε µε det( α, ) Έτσι, η παραπάνω ισοδυναµία διατυπώνεται ως εξής: α // det(, ) = 0 Τα διανύσµατα α = ( 3, ) και = ( 3, 3 ) είναι παράλληλα, αφού 3 det( α, ) = = 3 3 = 3+ 3= 0, ενώ Τα διανύσµατα α = (, 3 ), = (, ) δεν είναι παράλληλα, αφού 3 det( α, ) = = = 7 0 ς θεωρήσουµε τώρα δύο διανύσµατα α = (, ) και = (, ) µε συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντιστοίχως Τότε έχουµε τις ισοδυναµίες: α // = 0 = = λ = λ Εποµένως, η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσµατα α και µε συντελεστές διεύθυνσης λ και λ διατυπώνεται ως εξής: α // λ = λ 0

21 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Να αποδειχθεί η σχέση // α = 0 Π ΕΙΞΗ Για µια ορίζουσα Χ ισχύει: = det(, ) = Έστω α = (, ) και = (, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου ν τα διανύσµατα είναι παράλληλα και υποθέσουµε ότι 0, τότε θα υπάρχει λ R, τέτοιος, ώστε α = λ Εποµένως, θα έχουµε (, ) = λ(, ) ή ισοδύναµα: = λ και = λ, οπότε θα ισχύει = λ λ = ή ισοδύναµα = 0 0 ν = 0, τότε θα ισχύει = = είξαµε δηλαδή ότι αν τα διανύσµατα α και είναι παράλληλα, τότε: = 0 ντιστρόφως, αν = 0, τότε τα διανύσµατα α και θα είναι παράλληλα Πράγµατι, επειδή = 0, έχουµε = Εποµένως, ν 0, τότε =, οπότε, αν θέσουµε = λ, θα έχουµε: = λ και = λ Άρα, α = λ και συνεπώς α // --- ν = 0, τότε = 0, οπότε αν = 0, τα διανύσµατα α και θα είναι παράλληλα προς τον άξονα των τεταγµένων, άρα και µεταξύ τους παράλληλα, ενώ, αν = 0, τότε το θα είναι το µηδενικό διάνυσµα και άρα, παράλληλο προς το α

22 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο; νοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτων α και και το συµολίζουµε µε α τον πραγµατικό αριθµό α = α συν φ, φ F A όπου φ η γωνία των διανυσµάτων α και ν α = 0 ή = 0, τότε ορίζουµε α = 0 Παρατηρήσεις : Άµεσες συνέπειες του παραπάνω ορισµού είναι οι εξής: α = α (ντιµεταθετική ιδιότητα) ν α τότε α = 0 και αντιστρόφως ν α, τότε α = α και αντιστρόφως ν α, τότε α = α και αντιστρόφως Το εσωτερικό γινόµενο α α συµολίζεται µε α και λέγεται τετράγωνο του α Έχουµε: α = α α συν0= α Εποµένως α = α Ειδικότερα, για τα µοναδιαία διανύσµατα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: i j= j i = 0 και i = j = ναλυτική έκφραση εσωτερικού γινοµένου Έστω δύο διανυσµάτων α = (, ) και = (, ) Τότε ισχύει: α = + Για παράδειγµα, το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α και µε α = 3, π = 8 και φ= είναι 3 π α = 3 8 συν = 3 8 = 3 Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινο- µένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους

23 ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Να αποδειχθεί η σχέση α = + Π ΕΙΞΗ Θεωρούµε διανύσµατα α = (, ) και = (, ) Με αρχή το παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OB = πό το νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο έχουµε την ισότητα (, ) ( ) = ( ) + ( ) ( )( ) συν, θ (, ) η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σηµεία,, είναι συνευθειακά Όµως είναι: ( ) = ( ) + ( ), ( ) Εποµένως, έχουµε διαδοχικά: = + και ( ) = + ( ) + ( ) = ( )( ) συν = ( )( ) συν και επειδή α ( )( ) συν=, έχουµε τελικά: α = + Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: () λα = α ( λ ) = λ ( α ), λ R () α ( + γ ) = α + α γ (3) α λλ = Π ΕΙΞΗ Πράγµατι, αν --- α = (, ), = (, ) και γ = ( 3, 3 ), τότε: () ( λα) = ( λ, λ )(, ) = ( λ ) + ( λ ) = λ( + ) = = λ( α ) και α ( λ ) = (, )( λ, λ ) = ( λ) + ( λ ) = λ( + ) = = λ( α ) Άρα: ( λα) = α ( λ) = λ( α ) 3

24 MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ () α ( + γ ) = (, )( +, + ) = ( + ) + ( + ) = ( + 3) + ( + 3) = ( + ) + ( 3 + 3) = α + α γ α α = + = = = λλ = (3) 0 0 Συνηµίτονο γωνίας δύο διανυσµάτων ν α = (, ) και = (, ) είναι δύο µη µηδενικά διανύσµατα του επιπέδου που σχηµατίζουν γωνία θ, τότε α α = α συνθ και εποµένως, συνθ= α Όµως, α = +, α = + και = + Εποµένως: συνθ= ν θ είναι η γωνία των διανυσµάτων α = (, ) και = ( 3, ), τότε: 3+ συνθ = = = = = 5 0 π οπότε θ = 4 ναφερθείτε στην προολή διανύσµατος Έστω α, v µε 0 α Με αρχή ένα σηµείο παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OM = ν πό το Μ φέρνουµε κάθετο στη διεύθυνση του OA και έστω M το ίχνος της καθέτου Το διάνυσµα OM λέγεται προολή του ν στο α και συµολίζεται µε προ α ν ηλαδή: OM = προ α ν Για το εσωτερικό γινόµενο των α και ν έχουµε: α v= α ( OM = α προ α ν Εποµένως: + M M ) = α OM + α M M= α OM α ν = α προ α ν ποδεικνύεται ότι η προολή του ν πάνω στο α είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σηµείου v θ M M A 4

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Περιεχόμενα Η Εννοια του διανύσματος Ομόρροπα-Αντίρροπα Διανύσματα Ισα Αντίθετα διανύσματα Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων Διάνυσμα θέσεως Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ . ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε διάνυσµα α 0 λέγεται νέο διάνυσµα λα, που έχει µέτρο λα = λ α και είναι οµόρροπο του α όταν λ > 0 αντίρροπο του α όταν

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο . ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΘΕΩΡΙΑ. Άξονας (Ο, i ) λέγεται κάθε ευθεία εφοδιασµένη µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i.. Τετµηµένη σηµείου Μ που ανήκει σε άξονα (Ο, i ) λέγεται ο αριθµός, για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 5 ΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΩΡΙ αθµωτά ή µονόµετρα µεγέθη : ίναι τα µεγέθη τα οποία προσδιορίζονται πλήρως αν δοθεί µόνο το µέτρο τους και η µονάδα µέτρησης πχ η θερµοκρασία, η µάζα, το µήκος κλπ ιανυσµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Βισκαδουράκης Βασίλειος Γαβαλάς Δημήτριος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα

Παρατήρηση. 1. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο από το σημείο. 2. Το άθροισμα των διανυσμάτων και μπορεί να βρεθεί να βρεθεί και με

Παρατήρηση. 1. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο από το σημείο. 2. Το άθροισμα των διανυσμάτων και μπορεί να βρεθεί να βρεθεί και με 2. Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων Έστω και δυο μη μηδενικά διανύσματα. Για να τα προσθέσουμε κάνουμε τα εξής: Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο του χώρου και γράφουμε το διάνυσμα συνέχεια με αρχή το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( ) .5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Βισκαδουράκης Βασίλειος Γαβαλάς Δημήτριος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

2.6 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ 293 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ Άθροισμα διανυσμάτων Το άθροισμα διανυσμάτων ρίσκεται με δύο τρόπους. Η μέθοδος του πολυγώνου Μεταφέρουμε τα διανύσµατα που χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

A F B A F B. α. Τα σώµατα Α και Β έλκονται β. Τα σώµατα Α και Β απωθούνται. Σχήµα 1. Η δύναµη ασκείται πάντα µεταξύ δύο σωµάτων

A F B A F B. α. Τα σώµατα Α και Β έλκονται β. Τα σώµατα Α και Β απωθούνται. Σχήµα 1. Η δύναµη ασκείται πάντα µεταξύ δύο σωµάτων 1. ύναµη 1.1. Ορισµοί ύναµη είναι το αίτιο που προκαλεί µεταβολή στην κινητική κατάσταση ενός σώµατος ή την παραµόρφωσή του. Σύµφωνα µε τη θεωρία του Νεύτωνα (αξίωµα δράσης αντίδρασης) για να εµφανιστεί

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου ΚΦΩΝΗΣΙΣ Ζήτηµα ο Α. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, ισούται µε το γινόµενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή:

για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή: α.. Πρόσθεση διιανυσμάτων Αν έχουμε δύο διανύσματα α, β για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: 1 0ς τρόπος!! Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε διάνυσμα Α = α!!!!!" και στη συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα