«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Αναστασία Δ. Λύρη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Αναστασία Δ. Λύρη"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΟΛΗ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αναστασία Δ. Λύρη ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Τάσος Πατρώνης Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ Φεβρουάριος 2014

2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αναστασία Δ. Λύρη ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Τάσος Πατρώνης Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 25η Φεβρουαρίου Τ. Πατρώνης Επ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Π. Καραζέρης Επ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Κ. Ζαχάρος Αν. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ Φεβρουάριος 2014

4 - 2 - Στην μνήμη του πατέρα μου

5 .. Αναστασία Δ. Λύρη Πτυχιούχος Μαθηματικός Πανεπιστημίου Πατρών Copyright Αναστασία Δ. Λύρη, Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία έχει ως θέμα τη μαθηματική απόδειξη και την διαδικασία επίλυσης προβλήματος. Στόχος της είναι αρχικά, να παρουσιάσει το θεωρητικό υπόβαθρο που διέπει αυτά τα δύο θέματα και να κάνει μια σύγκριση ώστε να αναδειχθούν οι διαφορές τους και οι ομοιότητες τους. Στην συνέχεια, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση των Αναλυτικών Προγραμμάτων και των διδακτικών εγχειριδίων των Μαθηματικών του Λυκείου για το χρονικό διάστημα από τα τέλη της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα έχοντας ως κύριο άξονα, την απόδειξη και την επίλυση προβλήματος. Κατόπιν, με την βοήθεια μιας δραστηριότητας κατάλληλα διαμορφωμένης εξετάζετε ο ρόλος των παραπάνω στους μαθητές και τέλος, γίνετε μια σύντομη ανάλυση της Γραμμικής και Δομικής μορφής της απόδειξης, όπως αυτή είχε προταθεί από τον Uri Leron και μια συγκριτική παρουσίαση των αποδείξεων κάποιων θεωρημάτων του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας της Α Λυκείου (Αργυρόπουλος Η.) και με τις δύο μορφές. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Μαθηματική Απόδειξη, Επίλυση προβλήματος - 4 -

7 ABSTRACT The objective of this Master Thesis is the presentation of the Mathematical Proof and Problem Solving. Its aim is initially to present the theoretical background behind these two issues and a comparison between the Mathematical Proof and Problem Solving with respect to their similarities and differences takes place. Then a brief presentation of the curriculum programs as well as the school books of mathematics is given. This presentation is about the time period from the late decade of 1980 up to date, mostly concerning the Mathematical Proof and Problem Solving. Moreover, using a suitably formulated activity, the role of the above over the students is studied. Finally, a concise analysis of Linear and Structural style of proof as it suggested by Uri Leron is given. The thesis is completed with the presentation of three theorems along with their proofs (Linear style) as they are stated in the section of "Inequality Relationships" of Geometry school book of A Lyceum class (Αργυρόπουλος Η. 2008), while for each proof its Structural style is also given. Mathematical Proof, Problem Solving KEY WORDS - 5 -

8 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ θερμά Τον επιβλέποντα Επίκουρο Καθηγητή κ. Τάσο Πατρώνη, για τη βοήθεια, την καθοδήγηση, τη συνεργασία και τις συμβουλές που μου έδωσε κατά την διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής μου εργασίας. Τους συνεπιβλέποντες: Επίκουρο καθηγητή κ. Παναγή Καραζέρη και Αναπληρωτή καθηγητή κ. Κώστα Ζαχάρο που με τίμησαν με την συμμετοχή τους στην τριμελή εξεταστική επιτροπή. Την Καθηγήτρια κ. Ιωάννα Μαμωνά-Downs, για την στήριξη και την βοήθεια που μου παρείχε. Τους διδάσκοντες και συμφοιτητές μου, του Π.Μ.Σ. Διδακτική των Μαθηματικών. Τους μαθητές που πρόθυμα συμμετείχαν στην παρούσα διερευνητική διαδικασία. Τον συνάδελφο και προϊστάμενο μου, κ. Μιχάλη Θεοχαρόπουλο που με την στήριξη και την κατανόηση του μπόρεσα να ολοκληρώσω αυτό το μεταπτυχιακό πρόγραμμα. Τους φίλους για την υπομονή που έδειξαν. Την οικογένεια μου για την στήριξη που πάντα μου προσέφερε. Αναστασία Δ. Λύρη 25 Φεβρουαρίου

9 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Περίληψη.. 4 Abstract Eυχαριστίες... 6 Περιεχόμενα. 7 Πρόλογος 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εισαγωγή-Ιστορική Αναδρομή Η έννοια της απόδειξης Απόδειξη Είδη αποδείξεων Τύποι Παραγωγικών Αποδείξεων Ο ρόλος και οι λειτουργίες της απόδειξης Προ-τυπικές» και «τυπικές» Αποδείξεις Μαθηματική Αιτιολόγηση Πότε ένα επιχείρημα αποτελεί απόδειξη; Δυσκολίες των Μαθητών στο να «κάνουν» απόδειξη..20 Συμπεράσματα..22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή Τι είναι πρόβλημα Επίλυση Μαθηματικού Προβλήματος Ευρετική (Heuristic) και Ευρετικός Συμπερασμός Επαγωγή και Αναλογία Κανόνες Ανακάλυψης Μοντέλο Επίλυσης Προβλήματος Μεταγνώση Μεταγνώση και Επίλυση Προβλήματος Στρατηγικές για την ανάπτυξη μεταγνωστικών συμπεριφορών Η επίλυση προβλημάτων στη διδασκαλία των μαθηματικών.. 38 Συμπεράσματα 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΠΟΔΕΙΞΗ VIS- A -VIS ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή Σχέση Απόδειξης και Επίλυσης Προβλήματος Σχέση επιχειρηματολογίας, συλλογισμού και απόδειξης Οι ευκαιρίες μάθησης Μεταγνώση 45 Συμπεράσματα 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Εισαγωγή Η απόδειξη στο Λύκειο τα τελευταία 25 χρόνια Ένα πείραμα επίλυσης προβλήματος στη Γεωμετρία Ο σχεδιασμός του πειράματος Η υλοποίηση του πειράματος.. 55 Συμπεράσματα

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΜΙΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Εισαγωγή Σύντομη περιγραφή Γραμμικής και Δομικής Μεθόδου Εφαρμογή στα θεωρήματα Ανισοτικών Σχέσεων.. 65 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. 76 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Τα φύλλα εργασίας των μαθητών

11 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο την παρουσίαση της μαθηματικής απόδειξης και της επίλυσης προβλήματος. Tο πρώτο κεφάλαιο αφορά την απόδειξη. Γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή, παρουσιάζονται στην συνέχεια τα είδη της μαθηματικής απόδειξης και αναλύεται ο ρόλος της. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην Επίλυση προβλήματος. Γίνεται η παρουσίαση του θέματος, όπως έχει αναπτυχθεί, από την σχετική βιβλιογραφία (Polya, Schoenfeld), στα πλαίσια της διδακτικής των Μαθηματικών και τέλος συζητείται η σημασία του ρόλου της επίλυσης προβλήματος σε σχέση με την μαθηματική γνώση και μεταγνώση. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μια σύγκριση ανάμεσα στις ομοιότητες και στις διαφορές, που υπάρχουν ανάμεσα στις δύο διαδικασίες, της Απόδειξης και της Επίλυσης προβλήματος. Στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση των Αναλυτικών Προγραμμάτων και των διδακτικών εγχειριδίων για τα Μαθηματικά, στην Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση και ειδικότερα στο Λύκειο. Η παρουσίαση, αυτή αφορά το χρονικό διάστημα από τα τέλη της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα και έχει ως κύριο άξονα, την απόδειξη και την επίλυση προβλήματος. Κατόπιν, με την βοήθεια μιας δραστηριότητας κατάλληλα διαμορφωμένης εξετάζεται ο ρόλος των παραπάνω στους μαθητές. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο, γίνεται μια σύνοπτικη ανάλυση της Γραμμικής και Δομικής μορφής της απόδειξης, όπως αυτή είχε προταθεί από τον Uri Leron. Η εργασία αυτή ολοκληρώνετε με την παρουσίαση τριών θεωρημάτων με τις αποδείξεις τους (γραμμικής μορφής), όπως υπάρχουν στην ενότητα «Ανισοτικές σχέσεις» του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας της Α Λυκείου (Αργυρόπουλος Η., 2008) και για κάθε μια από αυτές δίνεται η δομική μορφή της

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Η λογική απόδειξη πρωτοεμφανίστηκε και αναπτύχθηκε σε μια εποχή δημιουργίας, ανάπτυξης και θεμελίωσης των Μαθηματικών ως θεωρητική επιστήμη. Είναι η περίοδος των Ελληνικών Μαθηματικών που ξεκινάει από τον Θαλή (640 π.χ., περίπου) και συνεχίζεται μέχρι το Διόφαντο (γύρω στο 250 μ.χ.) Μέχρι τότε και για 3000 χρόνια περίπου οι αρχαίοι λαοί που ζούσαν γύρω από τα ποτάμια της Ανατολής (Αιγύπτιοι, Ινδοί κ.λ.π), είχαν καλλιεργήσει αξιόλογα Μαθηματικά και οι μαθηματικές τους γνώσεις ήταν αρκετά προχωρημένες. Τις γνώσεις τους όμως αυτές τις χρησιμοποιούσαν αποκλειστικά για να εξυπηρετούν τις πρακτικές ανάγκες της γεωργίας, του εμπορίου κ.λ.π. και όχι για να αποκαταστήσουν αλήθειες θεωρητικού χαρακτήρα. Για τη λύση προβλημάτων χρησιμοποιούσαν εμπειρικές μεθόδους και κανόνες. Εκείνο που τους απασχολούσε ήταν πως θα λύσουν το πρόβλημα και η εμπειρία ήταν επαρκής για να δώσει απάντηση σ αυτό το πώς. Όπως φαίνεται, η δεν τους απασχολούσε το γιατί λύνεται με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο ένα πρόβλημα ή δεν μπορούσαν να δικαιολογήσουν τη διαδικασία της λύσης και έτσι δεν επινόησαν μαθηματική απόδειξη, που απαιτεί παραγωγικό κι επαγωγικό συλλογισμό Ο πρώτος λαός που εισήγαγε κι ανέπτυξε την αποδεικτική διαδικασία.ήταν οι Αρχαίοι Έλληνες. Ο Θαλής ήταν εκείνος που πρώτος αισθάνθηκε την ανάγκη να δικαιολογήσει τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων. Πρώτος επινόησε και εισήγαγε την απόδειξη και χρησιμοποίησε πλήρη αποδεικτική διαδικασία για να δείξει την αλήθεια πολλών γεωμετρικών προτάσεων. Στη συνέχεια ο Πυθαγόρας και η σχολή των Πυθαγορείων, καθώς και όλη εκείνη η στρατιά των μεγάλων μαθηματικών που ακολούθησαν μέχρι το 300 π.χ. χρησιμοποίησαν και βελτίωσαν την αποδεικτική διαδικασία που εισήγαγε ο Θαλής. Τα τυπικά χαρακτηριστικά αυστηρότητας των αποδείξεων τους, είναι σχεδόν ίδια με αυτά των «Στοιχείων» του Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης στο έργο του, το οποίο συγκεντρώνει τα αποτελέσματα πολλών μαθηματικών της αρχαιότητας, όπως π.χ. του Θεαίτητου και του Εύδοξου, βάζει τα θεμέλια της αξιωματικής μεθόδου ανάπτυξης τους μαθηματικού κλάδου, προσδιορίζει τα μεθοδολογικά στάνταρ των μαθηματικών αποδείξεων των Ελληνιστικών χρόνων και αποτελεί το πρότυπο κατασκευής αποδείξεων σχεδόν μέχρι το τέλος του 19 ου αιώνα (Τουμάσης, 1999β). Σ αυτό το σημείο ωστόσο, πρέπει να διευκρινίσουμε ότι οι αρχαίοι Έλληνες δεν παράβλεψαν ούτε υποτίμησαν την αξία της εμπειρίας. Απλώς δεν περιορίζονταν μόνο σ αυτή, αλλά αισθάνονταν την ανάγκη να δικαιολογήσουν τη διαδικασία που ακολουθούσαν στη λύση ενός προβλήματος. Πίστευαν ότι μια μαθηματική πρόταση η οποία ήταν αποτέλεσμα της εμπειρίας ή προέκυψε από κάποιο πείραμα, για να αποτελέσει γενική αρχή πλήρως παραδεκτή πρέπει να αποδειχτεί. Από την εποχή των αρχαίων Ελληνικών χρόνων (400 π.χ.) και με διαφορετική ένταση κάθε φορά, η απόδειξη θεωρείτε ένα μέσο πειθαρχίας και συγκρότησης της σκέψης του ανθρώπου, ένα πρώτης τάξεως εργαλείο της κριτικής του ικανότητας και ένα είδος αγωγής προς την υπευθυνότητα και την κριτική λήψη αποφάσεων. (Τουμάσης, 1999α) Τα κριτήρια της μαθηματικής αυστηρότητας παρήκμασαν μετά τους ελληνιστικούς χρόνους, ενώ κατά την διάρκεια της Αναγέννησης υπήρξε μια μεγάλη αναζωπύρωση της πρωτότυπης μαθηματικής έρευνας. Αυτή η έρευνα πήρε την μορφή των μαθηματικών ανακαλύψεων, οι οποίες δεν συνοδεύονταν συνήθως από αυστηρές αποδείξεις

13 Στις αρχές του 20 ου αιώνα πολλοί μαθηματικοί και φιλόσοφοι, οι οποίοι έδειξαν ενδιαφέρον για τη λογική και τα θεμέλια των μαθηματικών, σχημάτισαν τρεις σχολές, τους Λογικιστές, τους Φορμαλιστές και τους Ιντουσιονιστές. Αν και οι απόψεις των σχολών αυτών διαφέρουν σε μεγάλο βαθμό και οι τρεις έδιναν έμφαση στην ακρίβεια των ορισμών, στην προσεκτική χρήση της γλώσσας και στην σημασία της τυπική απόδειξης. Ο κεντρικός ισχυρισμός των λογικιστών είναι ότι τα μαθηματικά είναι μέρος της λογικής. Κατά συνέπεια, ο στόχος τους ήταν να παράγουν το σώμα των μαθηματικών χωρίς να εισάγουν έννοιες απροσδιόριστες σε λογικούς όρους ή θεωρήματα τα οποία δεν μπορούν να αποδειχθούν, χρησιμοποιώντας καλά-καθορισμένους κανόνες απόδειξης. Έτσι η τυπική απόδειξη διαδραμάτισε κεντρικό ρόλο στην ατζέντα τους. Μεταγενέστεροι μαθηματικοί και παιδαγωγοί αμφισβήτησαν το δόγμα ότι η πιο σημαντική πτυχή των μαθηματικών είναι ο παραγωγικός συλλογισμός με αποκορύφωμα τις τυπικές αποδείξεις. Πιστεύουν ότι οι αποδείξεις μπορούν να έχουν διαφορετικούς βαθμούς τυπικής ισχύος και να εξακολουθούν να κερδίζουν τον ίδιο βαθμό αποδοχής (Hanna, 1991). Η θέση της φορμαλιστικής σχολής ήταν, ότι η ισχύς κάθε μαθηματικής πρότασης εξαρτάται από τη δυνατότητα να αποδειχθεί η αλήθεια της μέσω μιας αυστηρής απόδειξης, εντός ενός κατάλληλου τυπικού συστήματος. Οι Ιντουσιονιστές, διαφέρουν ως προς τις άλλες δύο σχολές, στις απόψεις για τα είδη της απόδειξης που πρέπει να γίνονται δεκτά ως έγκυρα. Πίστευαν ότι τα μαθηματικά και η μαθηματική γλώσσα είναι δύο ξεχωριστές οντότητες. Μαθηματική δραστηριότητα συνιστούν οι «εσωστρεφείς κατασκευές» και όχι τα αξιώματα και τα θεωρήματα. Αλλά για τους ιντουσιονιστές, ο ισχυρισμός μιας μαθηματικής πρότασης ήταν ισοδύναμος με τον ισχυρισμό ότι υπάρχει μια κατασκευή πεπερασμένου χαρακτήρα που παράγει τη πρόταση - και μια τέτοια κατασκευή έπρεπε να υπακούει σε κανόνες αυστηρότητας. Η ανασκόπηση της ιστορίας κατατάσσει και προσδιορίζει την απόδειξη ως «ψυχολογική προσέγγιση» (psychological approach) (πλατωνισμός, αισθησιαρχία), ως «δομική προσέγγιση» (structural approach) (λογικισμικός, φορμαλισμός, ιντουσιονισμός) και ως «κοινωνική προσέγγιση» (social approach) (οντολογία, αξιωματικά συστήματα) ( Lee, 2002). Η απόδειξη αναπτύχθηκε μέσα στο ρεύμα της φιλοσοφίας του πλατωνισμού. Τα αντικείμενα μέσα στο πλατωνικό σύμπαν είναι αφηρημένες μαθηματικές οντότητες, όπου υπάρχουν ανεξάρτητα από κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα, και καθένα από αυτά έχει μία αμετάβλητη φύση, ως ουσία (Popper, 1950 στο Lee, 2002). 1.1 Η έννοια της απόδειξης Σε γενικές γραμμές, η απόδειξη είναι η συλλογιστική διαδικασία, η οποία ξεκινά από ένα σύνολο υποθέσεων και μέσω μιας σειράς διαδοχικών συμπερασμάτων καταλήγει σ ένα τελικό συμπέρασμα, με τέτοιο τρόπο ώστε οποιαδήποτε αμφιβολία γύρω από το τελικό συμπέρασμα θα πρέπει να αναζητηθεί πίσω στις υποθέσεις μάλλον, παρά στην λογική αναγκαιότητα των διαδοχικών συμπερασμάτων. (Τουμάσης, 1999α) Η απόδειξη ως μια ακολουθία προτάσεων που προκύπτουν με παραγωγικό συλλογισμό (deductive reasoning) από ένα αποδεκτό σύνολο αρχικών προτάσεωναξιωμάτων-ήταν, μια σύλληψη του αρχαίου Ελληνικού πνεύματος. Η αξιωματική μέθοδος είναι, χωρίς αμφιβολία, η πιο σημαντική συνεισφορά της αρχαίας Ελλάδας στα μαθηματικά και στην ανάπτυξη των επιστημών γενικότερα (Wilder, 1967)

14 Η έννοια της απόδειξης, έχει άμεση σχέση με την αξιωματική θεμελίωση και το Μαθηματικό σύστημα μέσα στο οποίο εφαρμόζεται. Ένα σύστημα αρχίζει με ένα σύνολο αξιωμάτων που είναι και διαισθητικά ερμηνεύσιμο και αναγνωρίζεται ως αληθές, και κάθε απόδειξη προσθέτει σε αυτά ένα θεώρημα που είναι επίσης τόσο διαισθητικά ερμηνεύσιμο και αληθινό (Hanna & Jahnke, 1993). Εμπειρική αξιωματική θεωρία Τα θεμέλια της αξιωματικής θεμελίωσης της γεωμετρίας, τα έθεσε ο Ευκλείδης στο έργο του τα «Στοιχεία». Το Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα, αποτελείτο, από ένα σύνολο: Αρχικών εννοιών (έννοιες που δεν ορίζονται) Ορισμών (έννοιες που ορίζονται) Αξιωμάτων (προτάσεις αληθείς με την κοινή λογική, αλλά δεν μπορούσαν να αποδειχθούν επαγωγικά) Αιτημάτων (προτάσεις αληθείς, αλλά ήλπιζαν να τις αποδείξουν) Θεωρημάτων (Προτάσεων) Η αξιωματική Θεμελίωση της γεωμετρίας από τον Ευκλείδη παρουσίαζε κάποια ελαττώματα, τα σημαντικότερα εκ των οποίων είναι (Τουμάσης, 1999β); α) Δεν αναφέρονται πουθενά κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων. Τα μοντέρνα τυπικά συστήματα περιέχουν ένα σύνολο κανόνων βάσει των οποίων είναι δυνατό το πέρασμα από μια πρόταση σε μια άλλη. β) Χρησιμοποιούνται σιωπηρά στις αποδείξεις πολλές υποθέσεις οι οποίες δεν αναφέρονται πουθενά πριν. Η αξιωματική αυτή θεωρία που δημιούργησε ο Ευκλείδης η οποία είναι γνωστή ως εμπειρική αξιωματική θεωρία, οδήγησε τους μεταγενέστερους μαθηματικούς στη βαθύτερη μελέτη της αξιωματική μεθόδου. Με τις εργασίες των μαθηματικών του 19 ου και 20 ου αιώνα η εμπειρική αξιωματική θεωρία εξελίχτηκε στην Τυπική αξιωματική θεωρία (Εξαρχάκος, 1995) Η Τυπική αξιωματική θεωρία Μια μαθηματική θεωρία αξιωματικά θεμελιωμένη όπου, οι αρχικές έννοιες είναι μεταβλητές ποσότητες, τα αξιώματα είναι προτασιακοί τύποι των αρχικών εννοιών και τα θεωρήματα είναι και αυτά προτασιακοί τύποι, δηλαδή μια τυπική αξιωματική θεωρία ορίζεται ως εξής: (α) Δίνεται αρχικά ένα σύνολο όρων (στοιχεία, ιδιότητες των στοιχείων, σχέσεις μεταξύ των στοιχείων), οι οποίοι δεν ορίζονται από άλλους όρους της θεωρίας. Αυτοί ονομάζονται, αρχικοί όροι. Επειδή οι αρχικοί όροι δεν έχουν οριστεί, μπορούν να αποτελέσουν μεταβλητές ποσότητες της θεωρίας. (β) Κάθε άλλος όρος της θεωρίας ορίζεται με τη βοήθεια των αρχικών όρων ή ενδεχομένως με όρους που έχουν προηγηθεί. Κάθε τέτοιος όρος λέγεται ορισμός. Οι αρχικοί όροι και οι ορισμοί αποτελούν τη γλώσσα της θεωρίας. (γ) Η θεωρία περιέχει ένα σύνολο τύπων (προτασιακοί τύποι). (δ) Υπάρχει ένα σύνολο τύπων των αρχικών όρων, οι οποίοι είναι αναπόδεικτοι και τέτοιοι, ώστε οποτεδήποτε οι αρχικοί όροι της θεωρίας αντικατασταθούν με συγκεκριμένα στοιχεία καθορισμένης σημασίας, αυτοί γίνονται αληθείς προτάσεις της θεωρίας. Οι τύποι αυτοί ονομάζονται, αξιώματα. Οι αρχικοί όροι, οι ορισμοί και τα αξιώματα αποτελούν τα βασικά στοιχεία της θεωρίας

15 (ε) Υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο κανόνων (σχέσεων) μεταξύ των τύπων της θεωρίας που ονομάζονται, αποδεικτικοί κανόνες. Με τη βοήθεια των αποδεικτικών κανόνων μπορούμε να διαπιστώσουμε με βεβαιότητα αν κάποιος τύπος p της θεωρίας προκύπτει από άλλους τύπους που έχουν δοθεί πρωτύτερα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι ο τύπος p είναι συνέπεια ή ότι ο τύπος p καθορίζεται πλήρως από τους τύπους που είχαν δοθεί. (στ) Κάθε τύπος της θεωρίας που προκύπτει από τα αξιώματα ή από άλλους τύπους οι οποίοι έχουν προηγουμένως θεμελιωθεί με τη βοήθεια των αποδεικτικών κανόνων ονομάζεται, θεώρημα. 1.2 Απόδειξη Η διαδικασία κατά την οποία μια πρόταση Q παράγεται μέσα σ ένα Μαθηματικό Σύστημα Α από τα αξιώματα του Συστήματος ή από προηγούμενες προτάσεις του Α, των οποίων η ισχύς είναι γνωστή, ονομάζεται απόδειξη της Q. Δηλαδή, απόδειξη μιας πρότασης Q μέσα σε ένα μαθηματικό σύστημα, είναι η διαδικασία παραγωγής της ισχύος της Q με τη βοήθεια πεπερασμένου πλήθους προτάσεων του μαθηματικού συστήματος, των οποίων η ισχύς είτε είναι δεδομένη είτε προκύπτει από άλλες γνωστές προτάσεις του συστήματος. Σε κάθε απόδειξη διακρίνουμε: (i) Την υπόθεση που είναι τα δεδομένα του προβλήματος. Δηλαδή οι προτάσεις των οποίων η ισχύς είναι δεδομένη στο συγκεκριμένο πρόβλημα. (ii) Το συμπέρασμα που είναι τα ζητούμενα του προβλήματος. Δηλαδή η πρόταση ή οι προτάσεις του προβλήματος των οποίων θέλουμε να δείξουμε την ισχύ. (iii)τα αποδεικτικά στοιχεία, που είναι οι αρχικές έννοιες, οι ορισμοί, τα αξιώματα και άλλες προτάσεις του Μαθηματικού Συστήματος, των οποίων γνωρίζουμε την ισχύ. (iv) Τους αποδεικτικούς κανόνες, που είναι οι νόμοι ή οι αρχές που ισχύουν μέσα στο Σύστημα και μας εξασφαλίζουν τη σωστή πορεία από την αφετηρία μέχρι το τέρμα της διαδικασίας (όπως θα δούμε παρακάτω, αφετηρία της απόδειξης δεν είναι πάντοτε η υπόθεση). Έτσι όταν λέμε ότι θα αποδείξουμε την ισχύ της πρότασης Q μέσα σε ένα μαθηματικό σύστημα, γνωρίζοντας ότι οι προτάσεις P 1, P 2, Pn ισχύουν στο μαθηματικό σύστημα, εννοούμε ότι: - Έχουμε δεδομένη την ισχύ των προτάσεων P 1, P 2, Pn στο μαθηματικό σύστημα (υπόθεση) και - Θέλουμε να δείξουμε την ισχύ της πρότασης Q σε αυτό το σύστημα (συμπέρασμα). - Για να το επιτύχουμε αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις προτάσεις P 1, P 2, Pn καθώς και κάθε άλλη πρόταση του συστήματος, η οποία θα μας χρειαστεί και της οποίας η ισχύ είναι γνωστή. Έτσι δημιουργούμε μια διαδοχή προτάσεων Q 1, Q 2, Q 3,, Q μ = Q τέτοιων ώστε κάθε μια από τις προτάσεις Q 1, Q 2, Q 3,, Q μ είτε ισχύει από μόνη της, είτε η ισχύς της προκύπτει από την υπόθεση, ή από προτάσεις που ισχύουν στο σύστημα ή από προηγούμενες προτάσεις της ακολουθίας ή από συνδυασμό των παραπάνω Είδη αποδείξεων

16 Οι κύριοι τύποι απόδειξης, μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε δύο είδη: Την επαγωγική απόδειξη και την παραγωγική απόδειξη. Με τον όρο επαγωγική απόδειξη (inductive proof), ορίζεται η απόδειξη, όταν κάνει χρήση μιας κανονικότητας. Κατά την επαγωγική απόδειξη, βρίσκουμε μια κοινή ιδιότητα μεταξύ πολλών διαφορετικών παραδειγμάτων, περιπτώσεων, ή μοτίβων που επαναλαμβάνονται, και αυτή η ιδιότητα αποτελεί μια βάση για γενίκευση ή εξαγωγή συμπερασμάτων. Ο όρος επαγωγική απόδειξη, βέβαια, δεν έχει τίποτα να κάνει με την (τελεία) μαθηματική επαγωγή. Η παραγωγική απόδειξη (deductive proof), που συνήθως φαίνεται να φοβίζει πολλούς, στην πραγματικότητα, είναι απλά η διαδικασία της εξαγωγής συμπεράσματος, που αναγκαστικά ακολουθεί προηγούμενες γνώσεις και στηρίζεται σε αυτές. Και οι δύο τύποι αποδείξεων, παίζουν σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη και την εφαρμογή των Μαθηματικών. Η μαθηματική έρευνα συχνά ξεκινά με ένα συμπέρασμα βασισμένο στην διαίσθηση, ή σε μια εικασία. Άλλες φορές, πάλι, χρειάζεται να εξετάσει συγκεκριμένες περιπτώσεις, προκειμένου να κάνει μια γενίκευση. Η παραγωγική απόδειξη στην συνέχεια, είναι το μέσο για να ελεγχθούν οι εικασίες που έχουν προηγηθεί. Μια επιτυχημένη, επομένως, διδασκαλία θα πρέπει να περιλαμβάνει και τους τρεις τύπους αποδείξεων Τύποι Παραγωγικών Αποδείξεων Ι. Απόδειξη Συνεπαγωγής Για να αποδείξουμε προτάσεις της μορφής «αν P τότε Q» (ή P Q), έχουμε τους εξής τρόπους: Ευθεία απόδειξη:( ή Άμεση απόδειξη ) Αρχίζοντας από μια αληθή πρόταση P και μέσω μιας αλυσίδας συλλογισμών της μορφής «εάν.τότε.», φθάνουμε στην πρόταση Q, οπότε η πρόταση «αν P τότε Q» είναι αληθής και επειδή η P είναι αληθής και η Q είναι αληθής. Απόδειξη με την χρήση του αντιθετοαντίστροφου: Δείχνοντας ότι η άρνηση της πρότασης Q συνεπάγεται την άρνηση της πρότασης P, είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι η P συνεπάγεται την Q. Απόδειξη με την εις «άτοπο απαγωγή»: Υποθέτουμε ότι η P δεν συνεπάγεται την Q, καταλήγουμε συνήθως σε κάτι άτοπο, οπότε είμαστε αναγκασμένοι να δεχθούμε ότι η P συνεπάγεται την Q ΙΙ. Απόδειξη Ισοδυναμίας Για να αποδείξουμε προτάσεις της μορφής «Ρ αν και μόνο αν Q» (ή P Q ) έχουμε τους εξής τρόπους: 1 ος τρόπος: Να αποδείξουμε με κάποιο από τους προηγούμενους τρόπους ότι «αν P τότε Q» (ή P Q) και «αν Q τότε P» (ή QP). 2 ος τρόπος: Να κατασκευάσουμε μια σειρά αληθών ισοδυναμιών της μορφής: P R T UQ ή QU.TRP

17 3 ος τρόπος: Να αποδείξουμε ότι P R και R Q ΙΙΙ. Απόδειξη με απαρίθμηση: Σε κάποιες περιπτώσεις είναι δυνατό να αποδείξουμε μια πρόταση απαριθμώντας (ελέγχοντας) όλες τις περιπτώσεις που εμπεριέχει. IV. Απόδειξη ύπαρξης (Existence proof): Οι αποδείξεις ύπαρξης διακρίνονται σε κατασκευαστικές και μη κατασκευαστικές. Κάποιες προτάσεις ισχυρίζονται την ύπαρξη ενός μαθηματικού φαινομένου ή κατάστασης κάτω από ορισμένες συνθήκες. Η απόδειξη αυτή τότε εμπεριέχει την κατασκευή αυτού του φαινομένου ή της κατάστασης. Αυτή είναι η κατασκευαστική απόδειξη ύπαρξης, ενώ ή μη κατασκευαστική δείχνει μόνο ότι το μαθηματικό φαινόμενο ή κατάσταση πρέπει να υπάρχει. V. Δύο μέθοδοι διάψευσης: Διάψευση μέσω αντίφασης: Για να δείξουμε ότι, κάτω από κάποιες υποθέσεις, μια πρόταση δεν είναι σωστή, συχνά είναι δυνατό να δείξουμε ότι η αλήθεια της πρότασης θα οδηγούσε σε λογική αντίφαση με μία ή περισσότερες απ αυτές τις υποθέσεις. Διάψευση με αντιπαράδειγμα: Για να διαψεύσουμε τον ισχυρισμό μιας πρότασης, αρκεί να βρούμε ένα παράδειγμα το οποίο ικανοποιεί τις συνθήκες της πρότασης, αλλά όχι το συμπέρασμα της. Το παράδειγμα αυτό ονομάζεται αντιπαράδειγμα. VI. Ανάλυση και σύνθεση Στην μέθοδο αυτή ξεκινάμε από το ζητούμενο. Θεωρούμε ότι το συμπέρασμα Q είναι πρόταση αληθής και προσπαθούμε να κατασκευάσουμε προτάσεις Q 1, Q 2, τέτοιες ώστε οι προτάσεις Q Q 1, Q 1 Q 2,.,. Q n-1 Qn να είναι αληθείς. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να φτάσουμε σε μια πρόταση Q n, η οποία να είναι αληθής είτε γιατί είναι πρόταση γνωστή, είτε γιατί έχει προηγουμένως αποδειχτεί. Όμως από την αλήθεια της Q n δεν προκύπτει υποχρεωτικά η αλήθεια της Q. Γι αυτό ακολουθούμε και την αντίστροφη πορεία. Δηλαδή με αφετηρία την Qn αποδεικνύουμε ότι οι προτάσεις QnQ n-1,. Q 2 Q 1, Q 1 Q είναι αληθείς. Τότε η Q είναι αληθής και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. Η πορεία από την Q στην Q n, δηλαδή η απόδειξη της αλήθειας των προτάσεων Q Q 1, Q 1 Q 2,.,. Q n-1 Qn λέγεται Ανάλυση. Ενώ η αντίθετη πορεία από την Q n στην Q λέγεται Σύνθεση. Και οι δύο αυτές πορείες είναι χρήσιμες. Η Ανάλυση μας δείχνει από πού μπορούμε να ξεκινήσουμε και ποια πορεία πρέπει να ακολουθήσουμε, ενώ η Σύνθεση ελέγχει την ακρίβεια αυτής της πορείας. Η ανάλυση από μόνη της δεν είναι αρκετή για την απόδειξη. Αντίθετα, η σύνθεση αποτελεί πλήρη απόδειξη. VII. Απόδειξη με μαθηματική επαγωγή Η τέλεια επαγωγή ή η αρχή της μαθηματικής επαγωγής είναι μία μέθοδος απόδειξης με τις περισσότερες εφαρμογές. Αποτελείται από τρία βήματα: Αν p(v) είναι ένας προτασιακός τύπος με ν ΙΝ, τέτοιος ώστε: (i) Η p(0) είναι αληθής πρόταση (ii) Δεχόμαστε την αλήθεια της p(κ+1) με κ ΙΝ και (iii) Θα αποδείξουμε την αλήθεια της p(κ)

18 1. 3 Ο ρόλος και οι λειτουργίες της απόδειξης Παραδοσιακά, η απόδειξη χρησιμοποιείται ως ένα μέσο σιγουριάς, για την εγκυρότητα των εμπειρικών παρατηρήσεων. Η κύρια λειτουργίας της είναι αυτή της επαλήθευσης και επικύρωσης της ακρίβειας των μαθηματικών προτάσεων. Ωστόσο, η απόδειξη έχει πολλές άλλες σημαντικές λειτουργίες μέσα στα μαθηματικά, οι οποίες σε ορισμένες περιπτώσεις έχουν πολύ μεγαλύτερη σημασία για τους μαθηματικούς από εκείνη της απλής επαλήθευσης. Οι λειτουργίες της απόδειξης αναφέρονται στο σύνολο των δραστηριοτήτων της απόδειξης που συνδέονται με τη σημασία, τη χρησιμότητα και το σκοπό της, μέσω των οποίων επιτυγχάνεται ο κύριος σκοπός της που είναι η καθιέρωση της εγκυρότητας ή μη μιας πρότασης και η διασάφηση των λόγων αποδοχής ή απόρριψής της. Μερικές από αυτές είναι (de Villiers 1999, 2002): Επαλήθευση αιτιολόγηση (verification - justification), Επεξήγηση (explanation), Συστηματοποίηση (systemization), Ανακάλυψη (discovery), Επικοινωνία (communication), Νοητική πρόκληση (intellectual challenge). Τον προηγούμενο κατάλογο συμπληρώνει η Hanna (2000) με τις λειτουργίες: Διερεύνηση (exploration) της έννοιας ενός ορισμού ή των συνεπειών μιας υπόθεσης. Κατασκευή (construction) μιας εμπειρικής θεωρίας. Ενσωμάτωση (incorporation) γνώσης σε ένα νέο πλαίσιο και την εξέτασή της από μια νέα προοπτική. Οι λειτουργίες της απόδειξης για τους μαθηματικούς δεν είναι όλες στον ίδιο βαθμό συναφείς με την εκμάθηση των μαθηματικών, και κατά συνέπεια δεν προσδίδουν σε αυτές την ίδια βαρύτητα στη διδασκαλία (Hanna, 2000). Η απόδειξη ως μέσο επαλήθευσης Ο όρος επαλήθευση αναφέρεται στη λειτουργία της απόδειξης που έχει ως στόχο την εξακρίβωση ή την επιβεβαίωση με έλεγχο της αλήθειας ή μη μιας πρότασης και την ενίσχυση της βεβαιότητας για την αλήθειά της ή την επιβεβαίωση της αλήθειας της με ανακατασκευασμένες ή νέες αποδείξεις. Κατά κύριο λόγο, επικρατεί η άποψη ότι η απόδειξη, ως επαλήθευση, χρησιμοποιείται κυρίως για να εξαλειφθεί η αμφιβολία και η αβεβαιότητα για την αλήθεια των μαθηματικών, όταν γίνεται προσπάθεια να αποδειχθεί κάτι που δεν είναι προφανές (de Villiers, 1999, 2002) και αρμόζει σε καταστάσεις όπου αναζητείται ένα πειστικό επιχείρημα αναγκαίο για την επικύρωση μιας μαθηματικής πρότασης. Η απόδειξη ως μέσο εξήγησης Αν και είναι δυνατόν να επιτευχθεί ένα αρκετά υψηλό επίπεδο εμπιστοσύνης για την εγκυρότητα μιας εικασίας μέσω της εμπειρικής επαλήθευσης (για παράδειγμα, ακριβείς κατασκευές και μέτρηση, αριθμητική αντικατάσταση, και ούτω καθεξής), αυτό γενικά δεν παρέχει ικανοποιητική εξήγηση γιατί η εικασία μπορεί να μην είναι αληθινή. Ακόμα κι αν εξετάζοντας όλο και περισσότερα παραδείγματα αυξηθεί η εμπιστοσύνη στην αλήθεια της εικασίας, ωστόσο δε παρέχεται καμία ικανοποιητική αίσθηση υποστήριξης της βεβαιότητας, καμία διορατικότητα ή κατανόηση του πώς ή του γιατί η εικασία είναι συνέπεια άλλων γνωστών αποτελεσμάτων. Η αναζήτηση του πώς και του γιατί συνδέεται και με την ενδεχόμενη κατασκευή παραγωγικών

19 αποδείξεων ως νοητική πρόκληση (μπορώ να το αποδείξω;) και την ικανοποίηση μιας βαθύτερης ανάγκης για την καθιέρωση της αλήθειάς τους. Μερικές αποδείξεις είναι από τη φύση τους πιο επεξηγηματικές από άλλες και αυτό που τις διακρίνει είναι η δυνατότητά τους να παραπέμπουν σε μια χαρακτηριστική ιδιότητα μιας οντότητας ή μιας δομής που αναφέρεται στο υπό εξέταση θεώρημα, έτσι ώστε από την απόδειξη να είναι φανερό ότι τα αποτελέσματα εξαρτώνται από την ιδιότητα (Steiner,1978 αναφορά στο Hanna, 2000). Παρόλα αυτά δεν είναι πάντα δυνατή η εύρεση μιας επεξηγηματικής απόδειξης για κάθε θεώρημα, αφού στα μαθηματικά μερικά θεωρήματα πρέπει να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας την εις άτοπο απαγωγή, την μαθηματική επαγωγή ή κάποια άλλη μη επεξηγηματική μέθοδο (Hanna, 2000). Η λειτουργία της απόδειξης ως εξήγηση εμφανίζεται να έχει μεγαλύτερη ισχύ όταν η αρχική εικασία δεν είναι προφανής ή ακόμα και όταν η διατύπωση του θεωρήματος είναι δυσνόητη από τους περισσότερους μαθητές. Η απόδειξη ως μέσο ανακάλυψης Η απόδειξη αποτελεί ένα μέσο για εξερεύνηση, ανάλυση και ανακάλυψη νέων αποτελεσμάτων, και δεν είναι μόνο ένα μέσο επαλήθευσης αποτελεσμάτων που το άτομο γνωρίζει ότι ισχύουν (de Villiers, 1999). Συχνά διατυπώνεται η άποψη ότι τα θεωρήματα αρχικά ανακαλύπτονται με τη βοήθεια της διαίσθησης ή/και των σχεδόν-εμπειρικών μεθόδων, προτού να ελεγχθούν μέσα από την διαδικασία παραγωγής των αποδείξεων. Παρόλα αυτά, υπάρχουν παραδείγματα στην ιστορία των μαθηματικών όπου τα νέα αποτελέσματα ανακαλύφθηκαν ή εφευρέθηκαν κατά τρόπο καθαρά παραγωγικό. Μέσα από τη διαδικασία μίας παραγωγικής απόδειξης της πρότασης γεννιούνται και οι προκλήσεις να αναζητηθούν και να ανακαλυφθούν και σε ποιες άλλες περιπτώσεις μπορεί να ισχύει αυτή η πρόταση. Τότε η διαδικασία της απόδειξης μετατρέπεται σε ερευνητική διαδικασία εξερεύνησης νέων μαθηματικών αποτελεσμάτων. Επομένως, μέσα σε αυτές της συνθήκες η αποδεικτική διαδικασία δεν είναι μόνο η εξήγηση, αλλά και το μέσο εκείνο, όπου μέσα από την κατανόηση της λογικής αλληλουχίας των αναπτυσσόμενων επιχειρημάτων θα δοθεί το έναυσμα για νέες ανακαλύψεις. Η απόδειξη ως μέσο συστηματοποίησης Η λειτουργία της απόδειξης ως συστηματοποίηση αναφέρεται στην οργάνωση διάφορων αποτελεσμάτων σε ένα παραγωγικό σύστημα αξιωμάτων, ορισμών και θεωρημάτων. Η απόδειξη ως συστηματοποίηση, είναι ένα αναγκαίο εργαλείο, αφού αποκαλύπτει τις υφιστάμενες σχέσεις μεταξύ των προτάσεων με τρόπους που η εμπειρική δοκιμή και η καθαρή διαίσθηση δεν μπορεί. Μερικές από τις πιο σημαντικές λειτουργίες μιας παραγωγικής συστηματοποίησης γνωστών αποτελεσμάτων είναι (de Villiers, 1999): Βοηθά στην αναγνώριση αντιφάσεων μεταξύ φανερών και μη σαφώς διατυπωμένων υποθέσεων. Ενώνει και απλοποιεί τις μαθηματικές θεωρίες με την ενσωμάτωση ανεξάρτητων προτάσεων, θεωρημάτων και εννοιών, πετυχαίνοντας με αυτόν τον τρόπο μια οικονομική παρουσίαση αποτελεσμάτων. Παρέχει μια χρήσιμη σφαιρική προοπτική ενός θέματος με την έκθεση της βασικής αξιωματικής δομής εκείνου του θέματος από το οποίο όλες οι άλλες ιδιότητες μπορούν να προκύψουν

20 Είναι χρήσιμη για εφαρμογές τόσο μέσα όσο και έξω από τα μαθηματικά δεδομένου ότι καθιστά δυνατό τον έλεγχο της εφαρμογής μιας σύνθετης δομής ή θεωρίας με την αξιολόγηση της καταλληλότητας των αξιωμάτων και Οδηγεί συχνά σε εναλλακτικά παραγωγικά συστήματα που παρέχουν νέες προοπτικές ή είναι πιο οικονομικά και ισχυρά από τα ήδη υπάρχοντα. Η απόδειξη ως μέσο νοητικής πρόκλησης Η απόδειξη ως μέσο νοητικής πρόκλησης, είναι συνώνυμη με την αυτοπραγμάτωση, την εσωτερική ικανοποίηση που προέρχεται από την κατασκευή μιας απόδειξης. Η προσπάθεια υπερπήδησης των εμποδίων που παρουσιάζονται κατά την διαδικασία της απόδειξης, αποτελεί μία εποικοδομητική διαδικασία καλλιέργειας της κριτικής σκέψης. Πολλοί είναι οι εκπαιδευτικοί που πιστεύουν ότι η αποδεικτική διαδικασία κατέχει εξέχοντα ρόλο στην διδασκαλία, διότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την καλλιέργεια της κριτικής σκέψης των μαθητών και του παραγωγικού συλλογισμού. Έτσι, αποτελεί μία διανοητική πρόκληση για κάθε εκπαιδευτικό η προσπάθεια να αξιοποιήσει τις τεχνικές των αποδείξεων, προκειμένου να στηρίξει τη βεβαιότητα, να εισάγει νέες έννοιες και ταυτόχρονα να παρέχει όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις στους μαθητές. Η απόδειξη ως μέσο επικοινωνίας Η απόδειξη ως μέσο επικοινωνίας, αναφέρεται στη λειτουργία της μεταβίβασης ή της ανταλλαγής της μαθηματικής γνώσης μεταξύ των μελών μιας μαθηματικής κοινότητας, επιστημονικής ή σχολικής τάξης των μαθηματικών. Είναι ένας τρόπος μετάδοσης και κοινοποίησης των μαθηματικών αποτελεσμάτων. Η απόδειξη από την ίδια της τη φύση είναι μια μορφή επικοινωνίας, αφού χρησιμοποιεί το λόγο, γραπτό ή προφορικό, για την ανακοίνωση ενός μαθηματικού επιχειρήματος. Μια από τις πραγματικές αξίες της απόδειξης είναι ότι δημιουργεί ένα πλαίσιο για κριτική συζήτηση. Η απόδειξη ως μια μορφή κοινωνικής αλληλεπίδρασης, περιλαμβάνει την κριτική εξέταση ενός επιχειρήματος ως απόδειξη από το κοινωνικό πλαίσιο συμβάλλει στην τελειοποίηση της και τον εντοπισμό των σφαλμάτων, καθώς και μερικές φορές στην απόρριψή του από την ανακάλυψη ενός αντί-παραδείγματος. ( Davis, 1976 στο de Villiers, 1999) Προ-τυπικές» και «τυπικές» Αποδείξεις Ο Lakatos (1996) κάνει διάκριση των μαθηματικών αποδείξεων σε «προ-τυπικές» και «τυπικές». Οι προ-τυπικές αποδείξεις, εμφανίζονται σε σημειώσεις εργασιών και συνομιλίες και μπορεί να περιέχουν κρυφές υποθέσεις, αναλογίες, ανεπίσημη γλώσσα και συμβολισμούς. Τον ίδιο όρο «Προ-τυπική» απόδειξη, χρησιμοποιούν και οι Blum & Kirsch (1991) για να περιγράψουν αποδείξεις που παράγονται από μαθητές που χρησιμοποιούν «διαισθήσεις» ως κρυφές υποθέσεις. Οι τυπικές αποδείξεις είναι κατάλληλες για δημοσίευση. Ο Reid (2001), επεκτείνει ελαφρώς την ταξινόμηση του Lakatos και διακρίνει τις «τυπικές» αποδείξεις, σε «ημι-τυπικές» και πλήρως τυπικές αποδείξεις. Θεωρεί ως ημι-τυπική απόδειξη, την απόδειξη που αφήνει κενά στην επιχειρηματολογία και η οποία κάνει χρήση κοινών παραδοχών, χωρίς να τις σχολιάσει. Ενώ, πλήρως τυπικές αποδείξεις, είναι αυτές όπου κάθε βήμα και παραδοχή διευκρινίζονται. Οι πιο πολλές δημοσιευμένες αποδείξεις είναι ημι-τυπικές, απλά και μόνο γιατί χωρίς αυτές, οι αποδείξεις θα γίνουν απαγορευτικά μεγάλες. Η πλήρωση των κενών, αποτελεί μέρος των δεξιοτήτων του αναγνώστη μιας απόδειξης, μια ικανότητα που μπορεί να είναι προαπαιτούμενο για τη σύνταξη ημι

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις.

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. ΠΙΤΣΑΣ ΚΩΣΤΑΣ 4 ο ΓΕΛ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Αθήνα 2017 ΘΕΩΡΗΜΑ MORLEY Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΛΛΑΖΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα # 1.2: Η προοπτική των βασικών αρχών της φύσης των Φυσικών Επιστημών στην επιμόρφωση των εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού 4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού χωρίς την απόδειξή του. Στόχοι της δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) Πέτρος Ρούσσος ΔΙΑΛΕΞΗ 5 Έννοιες και Κλασική Θεωρία Εννοιών Έννοιες : Θεμελιώδη στοιχεία από τα οποία αποτελείται το γνωστικό σύστημα Κλασική θεωρία [ή θεωρία καθοριστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης)

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Πανεπιστήµιο Αιγαίου Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης Μιχάλης Σκουµιός Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Παρατήρηση ιδασκαλίας και Μοντέλο Συγγραφής Έκθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Επιμέλεια Καραβλίδης Αλέξανδρος. Πίνακας περιεχομένων

Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Επιμέλεια Καραβλίδης Αλέξανδρος. Πίνακας περιεχομένων Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Πίνακας περιεχομένων Τίτλος της έρευνας (title)... 2 Περιγραφή του προβλήματος (Statement of the problem)... 2 Περιγραφή του σκοπού της έρευνας (statement

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την 1 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την παλαιότερη γνώση τους, σημειώνουν λεπτομέρειες, παρακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Αναλύοντας κείμενα και εικόνες για την έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία

Αναλύοντας κείμενα και εικόνες για την έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία Αναλύοντας κείμενα και εικόνες για την έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία Βασιλική Σπηλιωτοπούλου Παιδαγωγικό Τμήμα ΑΣΠΑΙΤΕ Μεταδιδάκτωρ ερευνήτρια: Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Οι άνθρωποι από πολύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Β Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Ο μαθητής σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών: Δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Προγραμματισμού. Χαρίκλεια Τσαλαπάτα 20/2/2012

Διδακτική Προγραμματισμού. Χαρίκλεια Τσαλαπάτα 20/2/2012 Διδακτική Προγραμματισμού Χαρίκλεια Τσαλαπάτα 20/2/2012 Διδακτική προγραμματισμού Παλαιότερα, η διδασκαλία του προγραμματισμού ταυτιζόταν με τη διδακτική της πληροφορικής Πλέον Η διδακτική της πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας. Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού. Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας

Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας. Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού. Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας Διαδικασία η γνώση ως ανάπτυξη υψηλών νοητικών λειτουργιών (

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΑ Ε & Στ ΣΤΕΛΙΟΣ ΚΡΑΣΣΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ

ΦΥΣΙΚΑ Ε & Στ ΣΤΕΛΙΟΣ ΚΡΑΣΣΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΦΥΣΙΚΑ Ε & Στ ΣΤΕΛΙΟΣ ΚΡΑΣΣΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ Φυσικές Επιστήμες Θεματικό εύρος το οποίο δεν είναι δυνατόν να αντιμετωπιστεί στο πλαίσιο του σχολικού μαθήματος. Έμφαση στην ποιότητα, στη συστηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Το ανοργάνωτο Parking

Το ανοργάνωτο Parking Δημοτικό Υπαίθριο Parking Περίληψη: Σε κάθε πόλη είναι σημαντικό η δημιουργία όσο το δυνατόν περισσότερων θέσεων parking, ειδικά στο κέντρο της, ώστε να διευκολύνονται οι πολίτες και η εμπορική αγορά.

Διαβάστε περισσότερα

Η βελτίωση της διδασκαλίας στηρίζεται στο σύστημα της αξιολόγησης της διδασκαλίας Η αξιολόγηση προσφέρει πληροφορίες για τα δυνατά σημεία και τις

Η βελτίωση της διδασκαλίας στηρίζεται στο σύστημα της αξιολόγησης της διδασκαλίας Η αξιολόγηση προσφέρει πληροφορίες για τα δυνατά σημεία και τις Η βελτίωση της διδασκαλίας στηρίζεται στο σύστημα της αξιολόγησης της διδασκαλίας Η αξιολόγηση προσφέρει πληροφορίες για τα δυνατά σημεία και τις αδυναμίες του εκπ/κού Η βελτίωση των εκπαιδευτικών επηρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΦΩΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ. Το άρθρο αυτό έχει ως σκοπό την παράθεση των αποτελεσμάτων πάνω σε μια έρευνα με τίτλο, οι ιδέες των παιδιών σχετικά με το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ Οι Δ/τές ως προωθητές αλλαγών με κέντρο τη μάθηση Χαράσσουν τις κατευθύνσεις Σχεδιάσουν την εφαρμογή στη σχολική πραγματικότητα Αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργώντας μια Συστηματική Θεολογία

Δημιουργώντας μια Συστηματική Θεολογία Ερωτήσεις Επανάληψης 1 Οι Θεολογικές Δηλώσεις στην Συστηματική Θεολογία Διάλεξη Τρίτη από την σειρά Δημιουργώντας μια Συστηματική Θεολογία Οδηγός Μελέτης Περιεχόμενα Περίγραμμα Ένα περίγραμμα του μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Διδακτική της Πληροφορικής. Περιγραφή μαθήματος. Διδάσκων: Παλαιγεωργίου Γ. Διαλέξεις: Παρασκευή 17:00-20:00

Μάθημα: Διδακτική της Πληροφορικής. Περιγραφή μαθήματος. Διδάσκων: Παλαιγεωργίου Γ. Διαλέξεις: Παρασκευή 17:00-20:00 Μάθημα: Διδακτική της Πληροφορικής Διδάσκων: Παλαιγεωργίου Γ. Διαλέξεις: Παρασκευή 17:00-20:00 email: gpalegeo@gmail.com Περιγραφή μαθήματος Με τον όρο "Διδακτική της Πληροφορικής" εννοούμε τη μελέτη,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Γ Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Γ Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση της προϋπάρχουσας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Σκοπός του Μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 12

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 12 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12: Αξιολόγηση εκπαιδευτικών προγραμμάτων Αφροδίτη Παπαδάκη-Κλαυδιανού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές)

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Ενδεικτικές τεχνικές διδασκαλίας: 1. Εισήγηση ή διάλεξη ή Μονολογική Παρουσίαση 2. Συζήτηση ή διάλογος 3. Ερωταποκρίσεις 4. Χιονοστιβάδα 5. Καταιγισμός Ιδεών 6. Επίδειξη

Διαβάστε περισσότερα

12 Ο ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ΧΟΡΟΣ στην εκπαιδευση

12 Ο ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ΧΟΡΟΣ στην εκπαιδευση προλογοσ Το βιβλίο αυτό αποτελεί καρπό πολύχρονης ενασχόλησης με τη θεωρητική μελέτη και την πρακτική εφαρμογή του παραδοσιακού χορού και γράφτηκε με την προσδοκία να καλύψει ένα κενό όσον αφορά το αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης kliapis@sch.gr 1 Ο Ρόλος του εκπαιδευτικού Αξιολογεί την αρχική μαθηματική κατάσταση κάθε παιδιού, ομαδοποιεί τα παιδιά σύμφωνα με

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ - ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ

ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ - ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ - ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Το μάθημα συνδυάζει τη διδασκαλία δύο κειμένων διαφορετικής εποχής που διδάσκονται στη Γ Γυμνασίου. (Αυτοβιογραφία, Ελισάβετ Μουτζάν- Μαρτινέγκου, Η μεταμφίεση, Ρέα Γαλανάκη)

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών MA in Education (Education Sciences) ΑΣΠΑΙΤΕ-Roehampton ΠΜΣ MA in Education (Education Sciences) Το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στην Εκπαίδευση (Επιστήμες της Αγωγής),

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου κάποια ερωτήματα τι είναι η άλγεβρα; τι περιλαμβάνει η άλγεβρα; ποια η σχέση της με την αριθμητική; γιατί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα εκπαίδευσης και κατάρτισης για τις δεξιότητες ηγεσίας. Αξιολόγηση Ικανοτήτων

Ενότητα εκπαίδευσης και κατάρτισης για τις δεξιότητες ηγεσίας. Αξιολόγηση Ικανοτήτων 3 Ενότητα εκπαίδευσης και κατάρτισης για τις δεξιότητες ηγεσίας Αξιολόγηση Ικανοτήτων Αξιολόγηση Ικανοτήτων Γενική Περιγραφή της Ενότητας: Αυτή η ενότητα στοχεύει στην αξιολόγηση των ηγετικών ικανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ «ΒΕΡΓΙΝΑ» ΛΑΡΝΑΚΑΣ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ «ΒΕΡΓΙΝΑ» ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ «ΒΕΡΓΙΝΑ» ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗ ΓΟΝΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ Α, Β και Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΤΑΡΤΗ 28/11/2012 ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΣΤΗΝ Α, Β και Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Παπαφιλίππου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΕΙΜΕΝΟΥ. (40 Μονάδες) ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΕΙΜΕΝΟΥ. (40 Μονάδες) ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΕΙΜΕΝΟΥ (40 Μονάδες) ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Το πρώτο πράγμα που πρέπει να προσέξει ο διορθωτής με την προσεκτική ανάγνωση του γραπτού δοκιμίου είναι αν ο μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη και την επιστημονική μέθοδο

Εισαγωγή στην επιστήμη και την επιστημονική μέθοδο Εισαγωγή στην επιστήμη και την επιστημονική μέθοδο I. Τι είναι η επιστήμη; A. Ο στόχος της επιστήμης είναι να διερευνήσει και να κατανοήσει τον φυσικό κόσμο, για να εξηγήσει τα γεγονότα στο φυσικό κόσμο,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 12 ο. Διδακτικά σενάρια

Μάθημα 12 ο. Διδακτικά σενάρια Μάθημα 12 ο Διδακτικά σενάρια 1 Τι είναι το διδακτικό σενάριο; 2 Διδακτικό σενάριο είναι η δομημένη, πλήρης και λεπτομερειακή περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθείται σε μια διδασκαλία η οποία: εστιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan)

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) On-the-fly feedback, Upper Secondary Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) Τάξη: Β Λυκείου Διάρκεια ενότητας Μάθημα: Φυσική Θέμα: Ταλαντώσεις (αριθμός Χ διάρκεια μαθήματος): 6X90

Διαβάστε περισσότερα

στη διδασκαλία και τη μάθηση

στη διδασκαλία και τη μάθηση ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ «Θ. ΚΑΣΤΑΝΟΣ» «Νέες Τεχνολογίες στην Εκπαίδευση» Ενσωμάτωση εκπαιδευτικού λογισμικού στη διδασκαλία και τη μάθηση Αλεξανδρούπολη 2010 Εκπαιδευτικό Λογισμικό Λογισμικό ειδικά σχεδιασμένο για

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα