«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Αναστασία Δ. Λύρη

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΟΛΗ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αναστασία Δ. Λύρη ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Τάσος Πατρώνης Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ Φεβρουάριος 2014

2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αναστασία Δ. Λύρη ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Τάσος Πατρώνης Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 25η Φεβρουαρίου Τ. Πατρώνης Επ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Π. Καραζέρης Επ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Κ. Ζαχάρος Αν. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ Φεβρουάριος 2014

4 - 2 - Στην μνήμη του πατέρα μου

5 .. Αναστασία Δ. Λύρη Πτυχιούχος Μαθηματικός Πανεπιστημίου Πατρών Copyright Αναστασία Δ. Λύρη, Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία έχει ως θέμα τη μαθηματική απόδειξη και την διαδικασία επίλυσης προβλήματος. Στόχος της είναι αρχικά, να παρουσιάσει το θεωρητικό υπόβαθρο που διέπει αυτά τα δύο θέματα και να κάνει μια σύγκριση ώστε να αναδειχθούν οι διαφορές τους και οι ομοιότητες τους. Στην συνέχεια, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση των Αναλυτικών Προγραμμάτων και των διδακτικών εγχειριδίων των Μαθηματικών του Λυκείου για το χρονικό διάστημα από τα τέλη της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα έχοντας ως κύριο άξονα, την απόδειξη και την επίλυση προβλήματος. Κατόπιν, με την βοήθεια μιας δραστηριότητας κατάλληλα διαμορφωμένης εξετάζετε ο ρόλος των παραπάνω στους μαθητές και τέλος, γίνετε μια σύντομη ανάλυση της Γραμμικής και Δομικής μορφής της απόδειξης, όπως αυτή είχε προταθεί από τον Uri Leron και μια συγκριτική παρουσίαση των αποδείξεων κάποιων θεωρημάτων του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας της Α Λυκείου (Αργυρόπουλος Η.) και με τις δύο μορφές. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Μαθηματική Απόδειξη, Επίλυση προβλήματος - 4 -

7 ABSTRACT The objective of this Master Thesis is the presentation of the Mathematical Proof and Problem Solving. Its aim is initially to present the theoretical background behind these two issues and a comparison between the Mathematical Proof and Problem Solving with respect to their similarities and differences takes place. Then a brief presentation of the curriculum programs as well as the school books of mathematics is given. This presentation is about the time period from the late decade of 1980 up to date, mostly concerning the Mathematical Proof and Problem Solving. Moreover, using a suitably formulated activity, the role of the above over the students is studied. Finally, a concise analysis of Linear and Structural style of proof as it suggested by Uri Leron is given. The thesis is completed with the presentation of three theorems along with their proofs (Linear style) as they are stated in the section of "Inequality Relationships" of Geometry school book of A Lyceum class (Αργυρόπουλος Η. 2008), while for each proof its Structural style is also given. Mathematical Proof, Problem Solving KEY WORDS - 5 -

8 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ θερμά Τον επιβλέποντα Επίκουρο Καθηγητή κ. Τάσο Πατρώνη, για τη βοήθεια, την καθοδήγηση, τη συνεργασία και τις συμβουλές που μου έδωσε κατά την διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής μου εργασίας. Τους συνεπιβλέποντες: Επίκουρο καθηγητή κ. Παναγή Καραζέρη και Αναπληρωτή καθηγητή κ. Κώστα Ζαχάρο που με τίμησαν με την συμμετοχή τους στην τριμελή εξεταστική επιτροπή. Την Καθηγήτρια κ. Ιωάννα Μαμωνά-Downs, για την στήριξη και την βοήθεια που μου παρείχε. Τους διδάσκοντες και συμφοιτητές μου, του Π.Μ.Σ. Διδακτική των Μαθηματικών. Τους μαθητές που πρόθυμα συμμετείχαν στην παρούσα διερευνητική διαδικασία. Τον συνάδελφο και προϊστάμενο μου, κ. Μιχάλη Θεοχαρόπουλο που με την στήριξη και την κατανόηση του μπόρεσα να ολοκληρώσω αυτό το μεταπτυχιακό πρόγραμμα. Τους φίλους για την υπομονή που έδειξαν. Την οικογένεια μου για την στήριξη που πάντα μου προσέφερε. Αναστασία Δ. Λύρη 25 Φεβρουαρίου

9 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Περίληψη.. 4 Abstract Eυχαριστίες... 6 Περιεχόμενα. 7 Πρόλογος 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εισαγωγή-Ιστορική Αναδρομή Η έννοια της απόδειξης Απόδειξη Είδη αποδείξεων Τύποι Παραγωγικών Αποδείξεων Ο ρόλος και οι λειτουργίες της απόδειξης Προ-τυπικές» και «τυπικές» Αποδείξεις Μαθηματική Αιτιολόγηση Πότε ένα επιχείρημα αποτελεί απόδειξη; Δυσκολίες των Μαθητών στο να «κάνουν» απόδειξη..20 Συμπεράσματα..22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή Τι είναι πρόβλημα Επίλυση Μαθηματικού Προβλήματος Ευρετική (Heuristic) και Ευρετικός Συμπερασμός Επαγωγή και Αναλογία Κανόνες Ανακάλυψης Μοντέλο Επίλυσης Προβλήματος Μεταγνώση Μεταγνώση και Επίλυση Προβλήματος Στρατηγικές για την ανάπτυξη μεταγνωστικών συμπεριφορών Η επίλυση προβλημάτων στη διδασκαλία των μαθηματικών.. 38 Συμπεράσματα 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΠΟΔΕΙΞΗ VIS- A -VIS ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή Σχέση Απόδειξης και Επίλυσης Προβλήματος Σχέση επιχειρηματολογίας, συλλογισμού και απόδειξης Οι ευκαιρίες μάθησης Μεταγνώση 45 Συμπεράσματα 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Εισαγωγή Η απόδειξη στο Λύκειο τα τελευταία 25 χρόνια Ένα πείραμα επίλυσης προβλήματος στη Γεωμετρία Ο σχεδιασμός του πειράματος Η υλοποίηση του πειράματος.. 55 Συμπεράσματα

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΜΙΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Εισαγωγή Σύντομη περιγραφή Γραμμικής και Δομικής Μεθόδου Εφαρμογή στα θεωρήματα Ανισοτικών Σχέσεων.. 65 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. 76 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Τα φύλλα εργασίας των μαθητών

11 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο την παρουσίαση της μαθηματικής απόδειξης και της επίλυσης προβλήματος. Tο πρώτο κεφάλαιο αφορά την απόδειξη. Γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή, παρουσιάζονται στην συνέχεια τα είδη της μαθηματικής απόδειξης και αναλύεται ο ρόλος της. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην Επίλυση προβλήματος. Γίνεται η παρουσίαση του θέματος, όπως έχει αναπτυχθεί, από την σχετική βιβλιογραφία (Polya, Schoenfeld), στα πλαίσια της διδακτικής των Μαθηματικών και τέλος συζητείται η σημασία του ρόλου της επίλυσης προβλήματος σε σχέση με την μαθηματική γνώση και μεταγνώση. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μια σύγκριση ανάμεσα στις ομοιότητες και στις διαφορές, που υπάρχουν ανάμεσα στις δύο διαδικασίες, της Απόδειξης και της Επίλυσης προβλήματος. Στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση των Αναλυτικών Προγραμμάτων και των διδακτικών εγχειριδίων για τα Μαθηματικά, στην Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση και ειδικότερα στο Λύκειο. Η παρουσίαση, αυτή αφορά το χρονικό διάστημα από τα τέλη της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα και έχει ως κύριο άξονα, την απόδειξη και την επίλυση προβλήματος. Κατόπιν, με την βοήθεια μιας δραστηριότητας κατάλληλα διαμορφωμένης εξετάζεται ο ρόλος των παραπάνω στους μαθητές. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο, γίνεται μια σύνοπτικη ανάλυση της Γραμμικής και Δομικής μορφής της απόδειξης, όπως αυτή είχε προταθεί από τον Uri Leron. Η εργασία αυτή ολοκληρώνετε με την παρουσίαση τριών θεωρημάτων με τις αποδείξεις τους (γραμμικής μορφής), όπως υπάρχουν στην ενότητα «Ανισοτικές σχέσεις» του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας της Α Λυκείου (Αργυρόπουλος Η., 2008) και για κάθε μια από αυτές δίνεται η δομική μορφή της

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Η λογική απόδειξη πρωτοεμφανίστηκε και αναπτύχθηκε σε μια εποχή δημιουργίας, ανάπτυξης και θεμελίωσης των Μαθηματικών ως θεωρητική επιστήμη. Είναι η περίοδος των Ελληνικών Μαθηματικών που ξεκινάει από τον Θαλή (640 π.χ., περίπου) και συνεχίζεται μέχρι το Διόφαντο (γύρω στο 250 μ.χ.) Μέχρι τότε και για 3000 χρόνια περίπου οι αρχαίοι λαοί που ζούσαν γύρω από τα ποτάμια της Ανατολής (Αιγύπτιοι, Ινδοί κ.λ.π), είχαν καλλιεργήσει αξιόλογα Μαθηματικά και οι μαθηματικές τους γνώσεις ήταν αρκετά προχωρημένες. Τις γνώσεις τους όμως αυτές τις χρησιμοποιούσαν αποκλειστικά για να εξυπηρετούν τις πρακτικές ανάγκες της γεωργίας, του εμπορίου κ.λ.π. και όχι για να αποκαταστήσουν αλήθειες θεωρητικού χαρακτήρα. Για τη λύση προβλημάτων χρησιμοποιούσαν εμπειρικές μεθόδους και κανόνες. Εκείνο που τους απασχολούσε ήταν πως θα λύσουν το πρόβλημα και η εμπειρία ήταν επαρκής για να δώσει απάντηση σ αυτό το πώς. Όπως φαίνεται, η δεν τους απασχολούσε το γιατί λύνεται με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο ένα πρόβλημα ή δεν μπορούσαν να δικαιολογήσουν τη διαδικασία της λύσης και έτσι δεν επινόησαν μαθηματική απόδειξη, που απαιτεί παραγωγικό κι επαγωγικό συλλογισμό Ο πρώτος λαός που εισήγαγε κι ανέπτυξε την αποδεικτική διαδικασία.ήταν οι Αρχαίοι Έλληνες. Ο Θαλής ήταν εκείνος που πρώτος αισθάνθηκε την ανάγκη να δικαιολογήσει τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων. Πρώτος επινόησε και εισήγαγε την απόδειξη και χρησιμοποίησε πλήρη αποδεικτική διαδικασία για να δείξει την αλήθεια πολλών γεωμετρικών προτάσεων. Στη συνέχεια ο Πυθαγόρας και η σχολή των Πυθαγορείων, καθώς και όλη εκείνη η στρατιά των μεγάλων μαθηματικών που ακολούθησαν μέχρι το 300 π.χ. χρησιμοποίησαν και βελτίωσαν την αποδεικτική διαδικασία που εισήγαγε ο Θαλής. Τα τυπικά χαρακτηριστικά αυστηρότητας των αποδείξεων τους, είναι σχεδόν ίδια με αυτά των «Στοιχείων» του Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης στο έργο του, το οποίο συγκεντρώνει τα αποτελέσματα πολλών μαθηματικών της αρχαιότητας, όπως π.χ. του Θεαίτητου και του Εύδοξου, βάζει τα θεμέλια της αξιωματικής μεθόδου ανάπτυξης τους μαθηματικού κλάδου, προσδιορίζει τα μεθοδολογικά στάνταρ των μαθηματικών αποδείξεων των Ελληνιστικών χρόνων και αποτελεί το πρότυπο κατασκευής αποδείξεων σχεδόν μέχρι το τέλος του 19 ου αιώνα (Τουμάσης, 1999β). Σ αυτό το σημείο ωστόσο, πρέπει να διευκρινίσουμε ότι οι αρχαίοι Έλληνες δεν παράβλεψαν ούτε υποτίμησαν την αξία της εμπειρίας. Απλώς δεν περιορίζονταν μόνο σ αυτή, αλλά αισθάνονταν την ανάγκη να δικαιολογήσουν τη διαδικασία που ακολουθούσαν στη λύση ενός προβλήματος. Πίστευαν ότι μια μαθηματική πρόταση η οποία ήταν αποτέλεσμα της εμπειρίας ή προέκυψε από κάποιο πείραμα, για να αποτελέσει γενική αρχή πλήρως παραδεκτή πρέπει να αποδειχτεί. Από την εποχή των αρχαίων Ελληνικών χρόνων (400 π.χ.) και με διαφορετική ένταση κάθε φορά, η απόδειξη θεωρείτε ένα μέσο πειθαρχίας και συγκρότησης της σκέψης του ανθρώπου, ένα πρώτης τάξεως εργαλείο της κριτικής του ικανότητας και ένα είδος αγωγής προς την υπευθυνότητα και την κριτική λήψη αποφάσεων. (Τουμάσης, 1999α) Τα κριτήρια της μαθηματικής αυστηρότητας παρήκμασαν μετά τους ελληνιστικούς χρόνους, ενώ κατά την διάρκεια της Αναγέννησης υπήρξε μια μεγάλη αναζωπύρωση της πρωτότυπης μαθηματικής έρευνας. Αυτή η έρευνα πήρε την μορφή των μαθηματικών ανακαλύψεων, οι οποίες δεν συνοδεύονταν συνήθως από αυστηρές αποδείξεις

13 Στις αρχές του 20 ου αιώνα πολλοί μαθηματικοί και φιλόσοφοι, οι οποίοι έδειξαν ενδιαφέρον για τη λογική και τα θεμέλια των μαθηματικών, σχημάτισαν τρεις σχολές, τους Λογικιστές, τους Φορμαλιστές και τους Ιντουσιονιστές. Αν και οι απόψεις των σχολών αυτών διαφέρουν σε μεγάλο βαθμό και οι τρεις έδιναν έμφαση στην ακρίβεια των ορισμών, στην προσεκτική χρήση της γλώσσας και στην σημασία της τυπική απόδειξης. Ο κεντρικός ισχυρισμός των λογικιστών είναι ότι τα μαθηματικά είναι μέρος της λογικής. Κατά συνέπεια, ο στόχος τους ήταν να παράγουν το σώμα των μαθηματικών χωρίς να εισάγουν έννοιες απροσδιόριστες σε λογικούς όρους ή θεωρήματα τα οποία δεν μπορούν να αποδειχθούν, χρησιμοποιώντας καλά-καθορισμένους κανόνες απόδειξης. Έτσι η τυπική απόδειξη διαδραμάτισε κεντρικό ρόλο στην ατζέντα τους. Μεταγενέστεροι μαθηματικοί και παιδαγωγοί αμφισβήτησαν το δόγμα ότι η πιο σημαντική πτυχή των μαθηματικών είναι ο παραγωγικός συλλογισμός με αποκορύφωμα τις τυπικές αποδείξεις. Πιστεύουν ότι οι αποδείξεις μπορούν να έχουν διαφορετικούς βαθμούς τυπικής ισχύος και να εξακολουθούν να κερδίζουν τον ίδιο βαθμό αποδοχής (Hanna, 1991). Η θέση της φορμαλιστικής σχολής ήταν, ότι η ισχύς κάθε μαθηματικής πρότασης εξαρτάται από τη δυνατότητα να αποδειχθεί η αλήθεια της μέσω μιας αυστηρής απόδειξης, εντός ενός κατάλληλου τυπικού συστήματος. Οι Ιντουσιονιστές, διαφέρουν ως προς τις άλλες δύο σχολές, στις απόψεις για τα είδη της απόδειξης που πρέπει να γίνονται δεκτά ως έγκυρα. Πίστευαν ότι τα μαθηματικά και η μαθηματική γλώσσα είναι δύο ξεχωριστές οντότητες. Μαθηματική δραστηριότητα συνιστούν οι «εσωστρεφείς κατασκευές» και όχι τα αξιώματα και τα θεωρήματα. Αλλά για τους ιντουσιονιστές, ο ισχυρισμός μιας μαθηματικής πρότασης ήταν ισοδύναμος με τον ισχυρισμό ότι υπάρχει μια κατασκευή πεπερασμένου χαρακτήρα που παράγει τη πρόταση - και μια τέτοια κατασκευή έπρεπε να υπακούει σε κανόνες αυστηρότητας. Η ανασκόπηση της ιστορίας κατατάσσει και προσδιορίζει την απόδειξη ως «ψυχολογική προσέγγιση» (psychological approach) (πλατωνισμός, αισθησιαρχία), ως «δομική προσέγγιση» (structural approach) (λογικισμικός, φορμαλισμός, ιντουσιονισμός) και ως «κοινωνική προσέγγιση» (social approach) (οντολογία, αξιωματικά συστήματα) ( Lee, 2002). Η απόδειξη αναπτύχθηκε μέσα στο ρεύμα της φιλοσοφίας του πλατωνισμού. Τα αντικείμενα μέσα στο πλατωνικό σύμπαν είναι αφηρημένες μαθηματικές οντότητες, όπου υπάρχουν ανεξάρτητα από κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα, και καθένα από αυτά έχει μία αμετάβλητη φύση, ως ουσία (Popper, 1950 στο Lee, 2002). 1.1 Η έννοια της απόδειξης Σε γενικές γραμμές, η απόδειξη είναι η συλλογιστική διαδικασία, η οποία ξεκινά από ένα σύνολο υποθέσεων και μέσω μιας σειράς διαδοχικών συμπερασμάτων καταλήγει σ ένα τελικό συμπέρασμα, με τέτοιο τρόπο ώστε οποιαδήποτε αμφιβολία γύρω από το τελικό συμπέρασμα θα πρέπει να αναζητηθεί πίσω στις υποθέσεις μάλλον, παρά στην λογική αναγκαιότητα των διαδοχικών συμπερασμάτων. (Τουμάσης, 1999α) Η απόδειξη ως μια ακολουθία προτάσεων που προκύπτουν με παραγωγικό συλλογισμό (deductive reasoning) από ένα αποδεκτό σύνολο αρχικών προτάσεωναξιωμάτων-ήταν, μια σύλληψη του αρχαίου Ελληνικού πνεύματος. Η αξιωματική μέθοδος είναι, χωρίς αμφιβολία, η πιο σημαντική συνεισφορά της αρχαίας Ελλάδας στα μαθηματικά και στην ανάπτυξη των επιστημών γενικότερα (Wilder, 1967)

14 Η έννοια της απόδειξης, έχει άμεση σχέση με την αξιωματική θεμελίωση και το Μαθηματικό σύστημα μέσα στο οποίο εφαρμόζεται. Ένα σύστημα αρχίζει με ένα σύνολο αξιωμάτων που είναι και διαισθητικά ερμηνεύσιμο και αναγνωρίζεται ως αληθές, και κάθε απόδειξη προσθέτει σε αυτά ένα θεώρημα που είναι επίσης τόσο διαισθητικά ερμηνεύσιμο και αληθινό (Hanna & Jahnke, 1993). Εμπειρική αξιωματική θεωρία Τα θεμέλια της αξιωματικής θεμελίωσης της γεωμετρίας, τα έθεσε ο Ευκλείδης στο έργο του τα «Στοιχεία». Το Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα, αποτελείτο, από ένα σύνολο: Αρχικών εννοιών (έννοιες που δεν ορίζονται) Ορισμών (έννοιες που ορίζονται) Αξιωμάτων (προτάσεις αληθείς με την κοινή λογική, αλλά δεν μπορούσαν να αποδειχθούν επαγωγικά) Αιτημάτων (προτάσεις αληθείς, αλλά ήλπιζαν να τις αποδείξουν) Θεωρημάτων (Προτάσεων) Η αξιωματική Θεμελίωση της γεωμετρίας από τον Ευκλείδη παρουσίαζε κάποια ελαττώματα, τα σημαντικότερα εκ των οποίων είναι (Τουμάσης, 1999β); α) Δεν αναφέρονται πουθενά κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων. Τα μοντέρνα τυπικά συστήματα περιέχουν ένα σύνολο κανόνων βάσει των οποίων είναι δυνατό το πέρασμα από μια πρόταση σε μια άλλη. β) Χρησιμοποιούνται σιωπηρά στις αποδείξεις πολλές υποθέσεις οι οποίες δεν αναφέρονται πουθενά πριν. Η αξιωματική αυτή θεωρία που δημιούργησε ο Ευκλείδης η οποία είναι γνωστή ως εμπειρική αξιωματική θεωρία, οδήγησε τους μεταγενέστερους μαθηματικούς στη βαθύτερη μελέτη της αξιωματική μεθόδου. Με τις εργασίες των μαθηματικών του 19 ου και 20 ου αιώνα η εμπειρική αξιωματική θεωρία εξελίχτηκε στην Τυπική αξιωματική θεωρία (Εξαρχάκος, 1995) Η Τυπική αξιωματική θεωρία Μια μαθηματική θεωρία αξιωματικά θεμελιωμένη όπου, οι αρχικές έννοιες είναι μεταβλητές ποσότητες, τα αξιώματα είναι προτασιακοί τύποι των αρχικών εννοιών και τα θεωρήματα είναι και αυτά προτασιακοί τύποι, δηλαδή μια τυπική αξιωματική θεωρία ορίζεται ως εξής: (α) Δίνεται αρχικά ένα σύνολο όρων (στοιχεία, ιδιότητες των στοιχείων, σχέσεις μεταξύ των στοιχείων), οι οποίοι δεν ορίζονται από άλλους όρους της θεωρίας. Αυτοί ονομάζονται, αρχικοί όροι. Επειδή οι αρχικοί όροι δεν έχουν οριστεί, μπορούν να αποτελέσουν μεταβλητές ποσότητες της θεωρίας. (β) Κάθε άλλος όρος της θεωρίας ορίζεται με τη βοήθεια των αρχικών όρων ή ενδεχομένως με όρους που έχουν προηγηθεί. Κάθε τέτοιος όρος λέγεται ορισμός. Οι αρχικοί όροι και οι ορισμοί αποτελούν τη γλώσσα της θεωρίας. (γ) Η θεωρία περιέχει ένα σύνολο τύπων (προτασιακοί τύποι). (δ) Υπάρχει ένα σύνολο τύπων των αρχικών όρων, οι οποίοι είναι αναπόδεικτοι και τέτοιοι, ώστε οποτεδήποτε οι αρχικοί όροι της θεωρίας αντικατασταθούν με συγκεκριμένα στοιχεία καθορισμένης σημασίας, αυτοί γίνονται αληθείς προτάσεις της θεωρίας. Οι τύποι αυτοί ονομάζονται, αξιώματα. Οι αρχικοί όροι, οι ορισμοί και τα αξιώματα αποτελούν τα βασικά στοιχεία της θεωρίας

15 (ε) Υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο κανόνων (σχέσεων) μεταξύ των τύπων της θεωρίας που ονομάζονται, αποδεικτικοί κανόνες. Με τη βοήθεια των αποδεικτικών κανόνων μπορούμε να διαπιστώσουμε με βεβαιότητα αν κάποιος τύπος p της θεωρίας προκύπτει από άλλους τύπους που έχουν δοθεί πρωτύτερα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι ο τύπος p είναι συνέπεια ή ότι ο τύπος p καθορίζεται πλήρως από τους τύπους που είχαν δοθεί. (στ) Κάθε τύπος της θεωρίας που προκύπτει από τα αξιώματα ή από άλλους τύπους οι οποίοι έχουν προηγουμένως θεμελιωθεί με τη βοήθεια των αποδεικτικών κανόνων ονομάζεται, θεώρημα. 1.2 Απόδειξη Η διαδικασία κατά την οποία μια πρόταση Q παράγεται μέσα σ ένα Μαθηματικό Σύστημα Α από τα αξιώματα του Συστήματος ή από προηγούμενες προτάσεις του Α, των οποίων η ισχύς είναι γνωστή, ονομάζεται απόδειξη της Q. Δηλαδή, απόδειξη μιας πρότασης Q μέσα σε ένα μαθηματικό σύστημα, είναι η διαδικασία παραγωγής της ισχύος της Q με τη βοήθεια πεπερασμένου πλήθους προτάσεων του μαθηματικού συστήματος, των οποίων η ισχύς είτε είναι δεδομένη είτε προκύπτει από άλλες γνωστές προτάσεις του συστήματος. Σε κάθε απόδειξη διακρίνουμε: (i) Την υπόθεση που είναι τα δεδομένα του προβλήματος. Δηλαδή οι προτάσεις των οποίων η ισχύς είναι δεδομένη στο συγκεκριμένο πρόβλημα. (ii) Το συμπέρασμα που είναι τα ζητούμενα του προβλήματος. Δηλαδή η πρόταση ή οι προτάσεις του προβλήματος των οποίων θέλουμε να δείξουμε την ισχύ. (iii)τα αποδεικτικά στοιχεία, που είναι οι αρχικές έννοιες, οι ορισμοί, τα αξιώματα και άλλες προτάσεις του Μαθηματικού Συστήματος, των οποίων γνωρίζουμε την ισχύ. (iv) Τους αποδεικτικούς κανόνες, που είναι οι νόμοι ή οι αρχές που ισχύουν μέσα στο Σύστημα και μας εξασφαλίζουν τη σωστή πορεία από την αφετηρία μέχρι το τέρμα της διαδικασίας (όπως θα δούμε παρακάτω, αφετηρία της απόδειξης δεν είναι πάντοτε η υπόθεση). Έτσι όταν λέμε ότι θα αποδείξουμε την ισχύ της πρότασης Q μέσα σε ένα μαθηματικό σύστημα, γνωρίζοντας ότι οι προτάσεις P 1, P 2, Pn ισχύουν στο μαθηματικό σύστημα, εννοούμε ότι: - Έχουμε δεδομένη την ισχύ των προτάσεων P 1, P 2, Pn στο μαθηματικό σύστημα (υπόθεση) και - Θέλουμε να δείξουμε την ισχύ της πρότασης Q σε αυτό το σύστημα (συμπέρασμα). - Για να το επιτύχουμε αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις προτάσεις P 1, P 2, Pn καθώς και κάθε άλλη πρόταση του συστήματος, η οποία θα μας χρειαστεί και της οποίας η ισχύ είναι γνωστή. Έτσι δημιουργούμε μια διαδοχή προτάσεων Q 1, Q 2, Q 3,, Q μ = Q τέτοιων ώστε κάθε μια από τις προτάσεις Q 1, Q 2, Q 3,, Q μ είτε ισχύει από μόνη της, είτε η ισχύς της προκύπτει από την υπόθεση, ή από προτάσεις που ισχύουν στο σύστημα ή από προηγούμενες προτάσεις της ακολουθίας ή από συνδυασμό των παραπάνω Είδη αποδείξεων

16 Οι κύριοι τύποι απόδειξης, μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε δύο είδη: Την επαγωγική απόδειξη και την παραγωγική απόδειξη. Με τον όρο επαγωγική απόδειξη (inductive proof), ορίζεται η απόδειξη, όταν κάνει χρήση μιας κανονικότητας. Κατά την επαγωγική απόδειξη, βρίσκουμε μια κοινή ιδιότητα μεταξύ πολλών διαφορετικών παραδειγμάτων, περιπτώσεων, ή μοτίβων που επαναλαμβάνονται, και αυτή η ιδιότητα αποτελεί μια βάση για γενίκευση ή εξαγωγή συμπερασμάτων. Ο όρος επαγωγική απόδειξη, βέβαια, δεν έχει τίποτα να κάνει με την (τελεία) μαθηματική επαγωγή. Η παραγωγική απόδειξη (deductive proof), που συνήθως φαίνεται να φοβίζει πολλούς, στην πραγματικότητα, είναι απλά η διαδικασία της εξαγωγής συμπεράσματος, που αναγκαστικά ακολουθεί προηγούμενες γνώσεις και στηρίζεται σε αυτές. Και οι δύο τύποι αποδείξεων, παίζουν σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη και την εφαρμογή των Μαθηματικών. Η μαθηματική έρευνα συχνά ξεκινά με ένα συμπέρασμα βασισμένο στην διαίσθηση, ή σε μια εικασία. Άλλες φορές, πάλι, χρειάζεται να εξετάσει συγκεκριμένες περιπτώσεις, προκειμένου να κάνει μια γενίκευση. Η παραγωγική απόδειξη στην συνέχεια, είναι το μέσο για να ελεγχθούν οι εικασίες που έχουν προηγηθεί. Μια επιτυχημένη, επομένως, διδασκαλία θα πρέπει να περιλαμβάνει και τους τρεις τύπους αποδείξεων Τύποι Παραγωγικών Αποδείξεων Ι. Απόδειξη Συνεπαγωγής Για να αποδείξουμε προτάσεις της μορφής «αν P τότε Q» (ή P Q), έχουμε τους εξής τρόπους: Ευθεία απόδειξη:( ή Άμεση απόδειξη ) Αρχίζοντας από μια αληθή πρόταση P και μέσω μιας αλυσίδας συλλογισμών της μορφής «εάν.τότε.», φθάνουμε στην πρόταση Q, οπότε η πρόταση «αν P τότε Q» είναι αληθής και επειδή η P είναι αληθής και η Q είναι αληθής. Απόδειξη με την χρήση του αντιθετοαντίστροφου: Δείχνοντας ότι η άρνηση της πρότασης Q συνεπάγεται την άρνηση της πρότασης P, είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι η P συνεπάγεται την Q. Απόδειξη με την εις «άτοπο απαγωγή»: Υποθέτουμε ότι η P δεν συνεπάγεται την Q, καταλήγουμε συνήθως σε κάτι άτοπο, οπότε είμαστε αναγκασμένοι να δεχθούμε ότι η P συνεπάγεται την Q ΙΙ. Απόδειξη Ισοδυναμίας Για να αποδείξουμε προτάσεις της μορφής «Ρ αν και μόνο αν Q» (ή P Q ) έχουμε τους εξής τρόπους: 1 ος τρόπος: Να αποδείξουμε με κάποιο από τους προηγούμενους τρόπους ότι «αν P τότε Q» (ή P Q) και «αν Q τότε P» (ή QP). 2 ος τρόπος: Να κατασκευάσουμε μια σειρά αληθών ισοδυναμιών της μορφής: P R T UQ ή QU.TRP

17 3 ος τρόπος: Να αποδείξουμε ότι P R και R Q ΙΙΙ. Απόδειξη με απαρίθμηση: Σε κάποιες περιπτώσεις είναι δυνατό να αποδείξουμε μια πρόταση απαριθμώντας (ελέγχοντας) όλες τις περιπτώσεις που εμπεριέχει. IV. Απόδειξη ύπαρξης (Existence proof): Οι αποδείξεις ύπαρξης διακρίνονται σε κατασκευαστικές και μη κατασκευαστικές. Κάποιες προτάσεις ισχυρίζονται την ύπαρξη ενός μαθηματικού φαινομένου ή κατάστασης κάτω από ορισμένες συνθήκες. Η απόδειξη αυτή τότε εμπεριέχει την κατασκευή αυτού του φαινομένου ή της κατάστασης. Αυτή είναι η κατασκευαστική απόδειξη ύπαρξης, ενώ ή μη κατασκευαστική δείχνει μόνο ότι το μαθηματικό φαινόμενο ή κατάσταση πρέπει να υπάρχει. V. Δύο μέθοδοι διάψευσης: Διάψευση μέσω αντίφασης: Για να δείξουμε ότι, κάτω από κάποιες υποθέσεις, μια πρόταση δεν είναι σωστή, συχνά είναι δυνατό να δείξουμε ότι η αλήθεια της πρότασης θα οδηγούσε σε λογική αντίφαση με μία ή περισσότερες απ αυτές τις υποθέσεις. Διάψευση με αντιπαράδειγμα: Για να διαψεύσουμε τον ισχυρισμό μιας πρότασης, αρκεί να βρούμε ένα παράδειγμα το οποίο ικανοποιεί τις συνθήκες της πρότασης, αλλά όχι το συμπέρασμα της. Το παράδειγμα αυτό ονομάζεται αντιπαράδειγμα. VI. Ανάλυση και σύνθεση Στην μέθοδο αυτή ξεκινάμε από το ζητούμενο. Θεωρούμε ότι το συμπέρασμα Q είναι πρόταση αληθής και προσπαθούμε να κατασκευάσουμε προτάσεις Q 1, Q 2, τέτοιες ώστε οι προτάσεις Q Q 1, Q 1 Q 2,.,. Q n-1 Qn να είναι αληθείς. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να φτάσουμε σε μια πρόταση Q n, η οποία να είναι αληθής είτε γιατί είναι πρόταση γνωστή, είτε γιατί έχει προηγουμένως αποδειχτεί. Όμως από την αλήθεια της Q n δεν προκύπτει υποχρεωτικά η αλήθεια της Q. Γι αυτό ακολουθούμε και την αντίστροφη πορεία. Δηλαδή με αφετηρία την Qn αποδεικνύουμε ότι οι προτάσεις QnQ n-1,. Q 2 Q 1, Q 1 Q είναι αληθείς. Τότε η Q είναι αληθής και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. Η πορεία από την Q στην Q n, δηλαδή η απόδειξη της αλήθειας των προτάσεων Q Q 1, Q 1 Q 2,.,. Q n-1 Qn λέγεται Ανάλυση. Ενώ η αντίθετη πορεία από την Q n στην Q λέγεται Σύνθεση. Και οι δύο αυτές πορείες είναι χρήσιμες. Η Ανάλυση μας δείχνει από πού μπορούμε να ξεκινήσουμε και ποια πορεία πρέπει να ακολουθήσουμε, ενώ η Σύνθεση ελέγχει την ακρίβεια αυτής της πορείας. Η ανάλυση από μόνη της δεν είναι αρκετή για την απόδειξη. Αντίθετα, η σύνθεση αποτελεί πλήρη απόδειξη. VII. Απόδειξη με μαθηματική επαγωγή Η τέλεια επαγωγή ή η αρχή της μαθηματικής επαγωγής είναι μία μέθοδος απόδειξης με τις περισσότερες εφαρμογές. Αποτελείται από τρία βήματα: Αν p(v) είναι ένας προτασιακός τύπος με ν ΙΝ, τέτοιος ώστε: (i) Η p(0) είναι αληθής πρόταση (ii) Δεχόμαστε την αλήθεια της p(κ+1) με κ ΙΝ και (iii) Θα αποδείξουμε την αλήθεια της p(κ)

18 1. 3 Ο ρόλος και οι λειτουργίες της απόδειξης Παραδοσιακά, η απόδειξη χρησιμοποιείται ως ένα μέσο σιγουριάς, για την εγκυρότητα των εμπειρικών παρατηρήσεων. Η κύρια λειτουργίας της είναι αυτή της επαλήθευσης και επικύρωσης της ακρίβειας των μαθηματικών προτάσεων. Ωστόσο, η απόδειξη έχει πολλές άλλες σημαντικές λειτουργίες μέσα στα μαθηματικά, οι οποίες σε ορισμένες περιπτώσεις έχουν πολύ μεγαλύτερη σημασία για τους μαθηματικούς από εκείνη της απλής επαλήθευσης. Οι λειτουργίες της απόδειξης αναφέρονται στο σύνολο των δραστηριοτήτων της απόδειξης που συνδέονται με τη σημασία, τη χρησιμότητα και το σκοπό της, μέσω των οποίων επιτυγχάνεται ο κύριος σκοπός της που είναι η καθιέρωση της εγκυρότητας ή μη μιας πρότασης και η διασάφηση των λόγων αποδοχής ή απόρριψής της. Μερικές από αυτές είναι (de Villiers 1999, 2002): Επαλήθευση αιτιολόγηση (verification - justification), Επεξήγηση (explanation), Συστηματοποίηση (systemization), Ανακάλυψη (discovery), Επικοινωνία (communication), Νοητική πρόκληση (intellectual challenge). Τον προηγούμενο κατάλογο συμπληρώνει η Hanna (2000) με τις λειτουργίες: Διερεύνηση (exploration) της έννοιας ενός ορισμού ή των συνεπειών μιας υπόθεσης. Κατασκευή (construction) μιας εμπειρικής θεωρίας. Ενσωμάτωση (incorporation) γνώσης σε ένα νέο πλαίσιο και την εξέτασή της από μια νέα προοπτική. Οι λειτουργίες της απόδειξης για τους μαθηματικούς δεν είναι όλες στον ίδιο βαθμό συναφείς με την εκμάθηση των μαθηματικών, και κατά συνέπεια δεν προσδίδουν σε αυτές την ίδια βαρύτητα στη διδασκαλία (Hanna, 2000). Η απόδειξη ως μέσο επαλήθευσης Ο όρος επαλήθευση αναφέρεται στη λειτουργία της απόδειξης που έχει ως στόχο την εξακρίβωση ή την επιβεβαίωση με έλεγχο της αλήθειας ή μη μιας πρότασης και την ενίσχυση της βεβαιότητας για την αλήθειά της ή την επιβεβαίωση της αλήθειας της με ανακατασκευασμένες ή νέες αποδείξεις. Κατά κύριο λόγο, επικρατεί η άποψη ότι η απόδειξη, ως επαλήθευση, χρησιμοποιείται κυρίως για να εξαλειφθεί η αμφιβολία και η αβεβαιότητα για την αλήθεια των μαθηματικών, όταν γίνεται προσπάθεια να αποδειχθεί κάτι που δεν είναι προφανές (de Villiers, 1999, 2002) και αρμόζει σε καταστάσεις όπου αναζητείται ένα πειστικό επιχείρημα αναγκαίο για την επικύρωση μιας μαθηματικής πρότασης. Η απόδειξη ως μέσο εξήγησης Αν και είναι δυνατόν να επιτευχθεί ένα αρκετά υψηλό επίπεδο εμπιστοσύνης για την εγκυρότητα μιας εικασίας μέσω της εμπειρικής επαλήθευσης (για παράδειγμα, ακριβείς κατασκευές και μέτρηση, αριθμητική αντικατάσταση, και ούτω καθεξής), αυτό γενικά δεν παρέχει ικανοποιητική εξήγηση γιατί η εικασία μπορεί να μην είναι αληθινή. Ακόμα κι αν εξετάζοντας όλο και περισσότερα παραδείγματα αυξηθεί η εμπιστοσύνη στην αλήθεια της εικασίας, ωστόσο δε παρέχεται καμία ικανοποιητική αίσθηση υποστήριξης της βεβαιότητας, καμία διορατικότητα ή κατανόηση του πώς ή του γιατί η εικασία είναι συνέπεια άλλων γνωστών αποτελεσμάτων. Η αναζήτηση του πώς και του γιατί συνδέεται και με την ενδεχόμενη κατασκευή παραγωγικών

19 αποδείξεων ως νοητική πρόκληση (μπορώ να το αποδείξω;) και την ικανοποίηση μιας βαθύτερης ανάγκης για την καθιέρωση της αλήθειάς τους. Μερικές αποδείξεις είναι από τη φύση τους πιο επεξηγηματικές από άλλες και αυτό που τις διακρίνει είναι η δυνατότητά τους να παραπέμπουν σε μια χαρακτηριστική ιδιότητα μιας οντότητας ή μιας δομής που αναφέρεται στο υπό εξέταση θεώρημα, έτσι ώστε από την απόδειξη να είναι φανερό ότι τα αποτελέσματα εξαρτώνται από την ιδιότητα (Steiner,1978 αναφορά στο Hanna, 2000). Παρόλα αυτά δεν είναι πάντα δυνατή η εύρεση μιας επεξηγηματικής απόδειξης για κάθε θεώρημα, αφού στα μαθηματικά μερικά θεωρήματα πρέπει να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας την εις άτοπο απαγωγή, την μαθηματική επαγωγή ή κάποια άλλη μη επεξηγηματική μέθοδο (Hanna, 2000). Η λειτουργία της απόδειξης ως εξήγηση εμφανίζεται να έχει μεγαλύτερη ισχύ όταν η αρχική εικασία δεν είναι προφανής ή ακόμα και όταν η διατύπωση του θεωρήματος είναι δυσνόητη από τους περισσότερους μαθητές. Η απόδειξη ως μέσο ανακάλυψης Η απόδειξη αποτελεί ένα μέσο για εξερεύνηση, ανάλυση και ανακάλυψη νέων αποτελεσμάτων, και δεν είναι μόνο ένα μέσο επαλήθευσης αποτελεσμάτων που το άτομο γνωρίζει ότι ισχύουν (de Villiers, 1999). Συχνά διατυπώνεται η άποψη ότι τα θεωρήματα αρχικά ανακαλύπτονται με τη βοήθεια της διαίσθησης ή/και των σχεδόν-εμπειρικών μεθόδων, προτού να ελεγχθούν μέσα από την διαδικασία παραγωγής των αποδείξεων. Παρόλα αυτά, υπάρχουν παραδείγματα στην ιστορία των μαθηματικών όπου τα νέα αποτελέσματα ανακαλύφθηκαν ή εφευρέθηκαν κατά τρόπο καθαρά παραγωγικό. Μέσα από τη διαδικασία μίας παραγωγικής απόδειξης της πρότασης γεννιούνται και οι προκλήσεις να αναζητηθούν και να ανακαλυφθούν και σε ποιες άλλες περιπτώσεις μπορεί να ισχύει αυτή η πρόταση. Τότε η διαδικασία της απόδειξης μετατρέπεται σε ερευνητική διαδικασία εξερεύνησης νέων μαθηματικών αποτελεσμάτων. Επομένως, μέσα σε αυτές της συνθήκες η αποδεικτική διαδικασία δεν είναι μόνο η εξήγηση, αλλά και το μέσο εκείνο, όπου μέσα από την κατανόηση της λογικής αλληλουχίας των αναπτυσσόμενων επιχειρημάτων θα δοθεί το έναυσμα για νέες ανακαλύψεις. Η απόδειξη ως μέσο συστηματοποίησης Η λειτουργία της απόδειξης ως συστηματοποίηση αναφέρεται στην οργάνωση διάφορων αποτελεσμάτων σε ένα παραγωγικό σύστημα αξιωμάτων, ορισμών και θεωρημάτων. Η απόδειξη ως συστηματοποίηση, είναι ένα αναγκαίο εργαλείο, αφού αποκαλύπτει τις υφιστάμενες σχέσεις μεταξύ των προτάσεων με τρόπους που η εμπειρική δοκιμή και η καθαρή διαίσθηση δεν μπορεί. Μερικές από τις πιο σημαντικές λειτουργίες μιας παραγωγικής συστηματοποίησης γνωστών αποτελεσμάτων είναι (de Villiers, 1999): Βοηθά στην αναγνώριση αντιφάσεων μεταξύ φανερών και μη σαφώς διατυπωμένων υποθέσεων. Ενώνει και απλοποιεί τις μαθηματικές θεωρίες με την ενσωμάτωση ανεξάρτητων προτάσεων, θεωρημάτων και εννοιών, πετυχαίνοντας με αυτόν τον τρόπο μια οικονομική παρουσίαση αποτελεσμάτων. Παρέχει μια χρήσιμη σφαιρική προοπτική ενός θέματος με την έκθεση της βασικής αξιωματικής δομής εκείνου του θέματος από το οποίο όλες οι άλλες ιδιότητες μπορούν να προκύψουν

20 Είναι χρήσιμη για εφαρμογές τόσο μέσα όσο και έξω από τα μαθηματικά δεδομένου ότι καθιστά δυνατό τον έλεγχο της εφαρμογής μιας σύνθετης δομής ή θεωρίας με την αξιολόγηση της καταλληλότητας των αξιωμάτων και Οδηγεί συχνά σε εναλλακτικά παραγωγικά συστήματα που παρέχουν νέες προοπτικές ή είναι πιο οικονομικά και ισχυρά από τα ήδη υπάρχοντα. Η απόδειξη ως μέσο νοητικής πρόκλησης Η απόδειξη ως μέσο νοητικής πρόκλησης, είναι συνώνυμη με την αυτοπραγμάτωση, την εσωτερική ικανοποίηση που προέρχεται από την κατασκευή μιας απόδειξης. Η προσπάθεια υπερπήδησης των εμποδίων που παρουσιάζονται κατά την διαδικασία της απόδειξης, αποτελεί μία εποικοδομητική διαδικασία καλλιέργειας της κριτικής σκέψης. Πολλοί είναι οι εκπαιδευτικοί που πιστεύουν ότι η αποδεικτική διαδικασία κατέχει εξέχοντα ρόλο στην διδασκαλία, διότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την καλλιέργεια της κριτικής σκέψης των μαθητών και του παραγωγικού συλλογισμού. Έτσι, αποτελεί μία διανοητική πρόκληση για κάθε εκπαιδευτικό η προσπάθεια να αξιοποιήσει τις τεχνικές των αποδείξεων, προκειμένου να στηρίξει τη βεβαιότητα, να εισάγει νέες έννοιες και ταυτόχρονα να παρέχει όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις στους μαθητές. Η απόδειξη ως μέσο επικοινωνίας Η απόδειξη ως μέσο επικοινωνίας, αναφέρεται στη λειτουργία της μεταβίβασης ή της ανταλλαγής της μαθηματικής γνώσης μεταξύ των μελών μιας μαθηματικής κοινότητας, επιστημονικής ή σχολικής τάξης των μαθηματικών. Είναι ένας τρόπος μετάδοσης και κοινοποίησης των μαθηματικών αποτελεσμάτων. Η απόδειξη από την ίδια της τη φύση είναι μια μορφή επικοινωνίας, αφού χρησιμοποιεί το λόγο, γραπτό ή προφορικό, για την ανακοίνωση ενός μαθηματικού επιχειρήματος. Μια από τις πραγματικές αξίες της απόδειξης είναι ότι δημιουργεί ένα πλαίσιο για κριτική συζήτηση. Η απόδειξη ως μια μορφή κοινωνικής αλληλεπίδρασης, περιλαμβάνει την κριτική εξέταση ενός επιχειρήματος ως απόδειξη από το κοινωνικό πλαίσιο συμβάλλει στην τελειοποίηση της και τον εντοπισμό των σφαλμάτων, καθώς και μερικές φορές στην απόρριψή του από την ανακάλυψη ενός αντί-παραδείγματος. ( Davis, 1976 στο de Villiers, 1999) Προ-τυπικές» και «τυπικές» Αποδείξεις Ο Lakatos (1996) κάνει διάκριση των μαθηματικών αποδείξεων σε «προ-τυπικές» και «τυπικές». Οι προ-τυπικές αποδείξεις, εμφανίζονται σε σημειώσεις εργασιών και συνομιλίες και μπορεί να περιέχουν κρυφές υποθέσεις, αναλογίες, ανεπίσημη γλώσσα και συμβολισμούς. Τον ίδιο όρο «Προ-τυπική» απόδειξη, χρησιμοποιούν και οι Blum & Kirsch (1991) για να περιγράψουν αποδείξεις που παράγονται από μαθητές που χρησιμοποιούν «διαισθήσεις» ως κρυφές υποθέσεις. Οι τυπικές αποδείξεις είναι κατάλληλες για δημοσίευση. Ο Reid (2001), επεκτείνει ελαφρώς την ταξινόμηση του Lakatos και διακρίνει τις «τυπικές» αποδείξεις, σε «ημι-τυπικές» και πλήρως τυπικές αποδείξεις. Θεωρεί ως ημι-τυπική απόδειξη, την απόδειξη που αφήνει κενά στην επιχειρηματολογία και η οποία κάνει χρήση κοινών παραδοχών, χωρίς να τις σχολιάσει. Ενώ, πλήρως τυπικές αποδείξεις, είναι αυτές όπου κάθε βήμα και παραδοχή διευκρινίζονται. Οι πιο πολλές δημοσιευμένες αποδείξεις είναι ημι-τυπικές, απλά και μόνο γιατί χωρίς αυτές, οι αποδείξεις θα γίνουν απαγορευτικά μεγάλες. Η πλήρωση των κενών, αποτελεί μέρος των δεξιοτήτων του αναγνώστη μιας απόδειξης, μια ικανότητα που μπορεί να είναι προαπαιτούμενο για τη σύνταξη ημι