8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος"

Transcript

1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

2 8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας Η έννοια του Διανύσματος

3 ο Κεφάλαιο. Η έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Βασικοί Συμβολισμοί Μηδενικό Διάνυσμα Μέτρο Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζουμε κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Δηλαδή κάθε ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος. Έστω το διάνυσμα ΑΒ Το Α είναι η αρχή του διανύσματος. Το Β είναι το τέλος του διανύσματος. Αρκετές φορές για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου π.χ. α, β ή u, v. Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα καλείται μηδενικό διάνυσμα. Έτσι λοιπόν το διάνυσμα ΑΑ που η αρχή συμπίπτει με το τέλος του είναι μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0. Δηλαδή ΑΑ 0. Μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος ΑΒ λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ δηλαδή η απόσταση των σημείων Α και Β. Το μέτρο του ΑΒ συμβολίζεται με ΑΒ Αν ΑΒ το ΑΒ λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα α 0, δηλαδή το μέτρο είναι μη αρνητικός αριθμός 0 0 ΑΒ Α (πέρας) Β (πέρας) α 0 α 0, δηλαδή το μοναδικό διάνυσμα με μηδενικό μέτρο είναι το μηδενικό διάνυσμα. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

4 Η έννοια του Διανύσματος Η ευθεία (ε) πάνω στην οποία κινείται ένα μη μηδενικό διάνυσμα είναι ο φορέας του διανύσματος. Α Β (ε) Φορέας Διανύσματος Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ΑΑ 0 θεωρούμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α ΑΑ Α Η ε και κάθε άλλη ευθεία ε / / ε διανύσματος. είναι η διεύθυνση του Παράλληλα ή Συγγραμμικά Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά αν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς. Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση. Αν τα ΑΒ, ΓΔ είναι συγγραμμικά ή παράλληλα το συμβολίζουμε ΑΒ / /ΓΔ Α Α Β Γ ή Δ Β Δ Γ Ομόρροπα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα που είναι συγγραμμικά (ίδια διεύθυνση) και έχουν την ίδια φορά λέγονται ομόρροπα. Αν τα ΑΒ, ΓΔ είναι ομόρροπα το συμβολίζουμε ΑΒ ΓΔ Α Β Γ ή Α Γ Β Δ Δ Αντίρροπα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα που είναι Β Δ συγγραμμικά (ίδια διεύθυνση) και έχουν Α αντίθετη φορά λέγονται αντίρροπα. ή Α Αν τα ΑΒ, ΓΔ είναι αντίρροπα το Δ συμβολίζουμε ΑΒ ΓΔ Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό, ομόρροπο, αντίρροπο με κάθε διάνυσμα. Β Γ Γ 0 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας

5 ο Κεφάλαιο Ίσα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: είναι ομόρροπα ίσα έχουν ίσα μέτρα Συμβολισμός ΑΒ=ΓΔ Αν ΑΒ=ΓΔ και έχουν διαφορετικό φορέα τότε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο Από το διπλανό σχήμα εύκολα γίνεται Β αντιληπτό ότι Α ΑΓ ΒΔ Δ ΑΒ ΓΔ ΔΒ ΓΑ Γ ΒΑ ΔΓ Α Μ Β Μ μέσο του ΑΒ ΑΜ ΜΒ Α Α Γ Β Β Δ Γ ή Δ Αντίθετα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα λέμε ότι είναι αντίθετα όταν: είναι αντίρροπα αντίθετα έχουν ίσα μέτρα Συμβολισμός ΑΒ ΓΔ ή ΓΔ ΑΒ Προφανώς ΑΒ ΒΑ Α Δ Α Α Α Β Β Γ Δ Γ Β Β Γωνία δύο διανυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α, β. Με αρχή ένα τυχαίο σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ α, ΟΒ β. Ονομάζουμε γωνία των α και β την κυρτή γωνία ΑΟΒ και τη συμβολίζουμε με α,β ή β,α ή αν δεν προκαλείται σύγχυση με κάποιο μικρό γράμμα. Ισχύει ότι 0 θ π θ α,β με Η γωνία δύο διανυσμάτων είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο. α Α α Ο θ β β Β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

6 Γωνία δύο διανυσμάτων α β α,β 0 α β α,β π Η έννοια του Διανύσματος Δύο διανύσματα α, β είναι κάθετα ή π ορθογώνια αν α,β β Συμβολισμός α β α Αν ένα από τα α, β είναι το μηδενικό διάνυσμα τότε ως γωνία των α, β θεωρούμε οποιαδήποτε γωνία θ με 0 θ π. Γι αυτό και το μηδενικό διάνυσμα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι ομόρροπο, αντίρροπο, κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα. β α α β Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας

7 ο Κεφάλαιο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε ώστε ΒΔ=ΓΑ αποδείξετε ότι το Α είναι μέσον του ΔΕ. και ΓΕ=ΒΑ. Να Αρκεί να δείξουμε ότι ΔΑ ΑΕ Λύση Έχουμε: ΒΔ ΓΑ οπότε ΑΓΒΔ παρ/μο άρα ΔΑ ΒΓ ΓΕ ΒΑ οπότε ΑΕΓΒ παρ/μο άρα ΑΕ ΒΓ έχουμε ότι: ΔΑ ΑΕ Από τις και Αν ΑΒ ΓΔ τότε Ε Α Γ ΑΓ ΒΔ ΔΒ ΓΑ Β Δ Παράδειγμα Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ και ΓΔ που έχουν διαφορετικούς φορείς. Να αποδείξετε ότι ΑΒ ΓΔ αν και μόνο αν τα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο. Λύση Αν ΑΒ ΓΔ, τότε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα και παράλληλα. Έτσι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα, τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο, τότε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε ΑΒ ΓΔ Παράδειγμα 3 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το παραλληλόγραμμο ΑΕΓΖ, να δείξετε ότι: α) ΔΖ=ΕΒ β) ΔΕ=ΖΒ Λύση α) Αφού ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο θα ισχύει ότι: ΑΒ ΔΓ ΑΓ και ΒΔ κοινό μέσο Α Γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3 Ο Ε Β Δ

8 Η έννοια του Διανύσματος Αφού ΑΕΓΖ παραλληλόγραμμο θα ισχύει ότι: ΑΕ ΓΖ ΑΓ και ΖΕ κοινό μέσο Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα ΚΛ και ΜΝ είναι ίσα αρκεί να δείξουμε ότι τα τμήματα ΚΝ και ΛΜ έχουν κοινό μέσο. β) Από τις και συμπεραίνουμε ότι οι ΒΔ και ΖΕ έχουν κοινό μέσο άρα ΔΖ ΕΒ οπότε θα είναι και ΔΕ ΖΒ Α Δ Ζ Ε Β Γ Παράδειγμα 4 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές των Δ και Β αντίστοιχα στη διαγώνιο ΑΓ, να αποδειχθεί ότι τα διανύσματα ΔΖ και ΒΕ είναι αντίθετα. Λύση Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΖΓ είναι ίσα γιατί α) είναι ορθογώνια β) ΑΔ ΒΓ και γ) Δ Α Ε Β Γ Ζ (ως εντός εναλλάξ) Από την ισότητα των τριγώνων έχουμε ότι ΔΕ ΒΖ. Άρα ΔΕ// ΒΖ απ όπου προκύπτει ότι το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. Τελικά λοιπόν ΔΖ ΒΕ Α Δ Ε Ζ Β Γ 4 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας

9 ο Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ) Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β και Γ. Αν Δ και Ε είναι σημεία που ορίζονται από τις ισότητες ΑΔ ΒΓ και ΒΕ ΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) ΔΓ ΓΕ β) Το Γ είναι μέσο του ΔΕ ) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε. Αν ισχύουν οι ισότητες ΒΔ ΓΕ και ΑΓ ΕΒ, να αποδείξετε ότι το σημείο Ε είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΔΑ. 3) Στα παρακάτω σχήματα να σημειώσετε τη γωνία των διανυσμάτων α και β α β β β α α 4) Το διπλανό σχήμα είναι ισοσκελές τραπέζιο. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). α) ΑΒ ΓΔ β) ΑΔ ΓΒ γ) ΑΔ ΓΒ δ) ΑΔ ΒΓ Δ Α Β Γ 5) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Να βρείτε τις γωνίες: ΒΑ,ΒΓ ΑΒ,ΓΑ ΒΓ,ΔΑ ΒΑ,ΑΔ α) β) γ) δ) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5

10 6 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας Η έννοια του Διανύσματος

11 ο Κεφάλαιο. Πρόσθεση Αφαίρεση Διανυσμάτων Πρόσθεση Διανυσμάτων Έστω δύο διανύσματα α, β. Με αρχή ένα τυχαίο σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ α και στη συνέχεια με αρχή το σημείο Α παίρνουμε διάνυσμα ΑΒ β. Το διάνυσμα ΟΒ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων α και β Ο και συμβολίζεται με α β. Άρα έχουμε ότι ΟΑ ΑΒ ΟΒ α) Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα λοιπόν πρέπει να τα καταστήσουμε διαδοχικά. β) Αν προσθέσουμε δύο διανύσματα τότε προκύπτει ένα διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και πέρας το πέρας του δεύτερου διανύσματος. γ) Με το ίδιο τρόπο που προσθέτουμε δύο Α Β διανύσματα μπορούμε να προσθέσουμε και περισσότερα. Ο Ζ Γ ΟΑ ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΖ ΟΒ ΒΔ ΔΖ ΟΖ ΟΒ ΒΔ Δ δ) Το άθροισμα α β είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο α α Α α β β β Β Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων. α β β α α β γ α β γ 3. α 0 α α α (Αντιμεταθετική Ιδιότητα) (Προσεταιριστική Ιδιότητα) ( 0 το ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση) (α, α είναι αντίθετα διανύσματα) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 7

12 Πρόσθεση Αφαίρεση Διανυσμάτων Αφαίρεση Διανυσμάτων Ορίζουμε ως διαφορά του β από το α και το συμβολίζουμε με α β το άθροισμα των διανυσμάτων α και β. Για να αφαιρέσουμε λοιπόν δύο διανύσματα, ουσιαστικά α β προσθέτουμε στο ένα το αντίθετο του άλλου. Δηλαδή α β α β α Η εξίσωση β x α έχει μοναδική λύση το διάνυσμα x α β Δηλαδή β x α x α β Από το παραλληλόγραμμο του διπλανού σχήματος και θεωρώντας ότι ΑΒ α, ΑΔ β είναι φανερό ότι ΑΓ α β καθώς και ΒΔ α β Α β α β - β Δ α α Β - β β Γ Διάνυσμα Θέσεως Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του επιπέδου. Τότε για κάθε σημείο Μ το διάνυσμα ΟΜ καλείται διάνυσμα θέσεως ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ. Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτινών καλείται σημείο αναφοράς. Κάθε διάνυσμα ισούται με την διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής. Απόδειξη Θεωρούμε Ο σημείο αναφοράς του επιπέδου καθώς και ένα τυχαίο διάνυσμα ΑΒ Α Από το διπλανό σχήμα είναι φανερό ότι ΑΒ ΑΟ ΟΒ ΑΒ ΟΑ ΟΒ Ο Β ΑΒ ΟΒ ΟΑ Δηλαδή ΑΒ ΟΒ ΟΑ Χρήσιμοι Κανόνες Προσθέτουμε διανύσματα αν αυτά είναι διαδοχικά σύμφωνα με τη σχέση: ΟΑ ΑΒ ΟΒ Αφαιρούμε διανύσματα αν αυτά έχουν κοινή αρχή σύμφωνα με τη σχέση: ΟΒ ΟΑ ΑΒ 8 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

13 ο Κεφάλαιο Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων Έστω δύο τυχαία διανύσματα α, β και το άθροισμά τους α β. Εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισότητα στο διπλανό τρίγωνο προκύπτει ότι α β α β α β Θα ισχύει ότι α β α β α β α β α β α β α α β β α β β α β α β α Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

14 Πρόσθεση Αφαίρεση Διανυσμάτων ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα Στα παρακάτω σχήματα να εκφράσετε το διάνυσμα x σαν συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται: α) γ δ β) α β ε x α x γ β Λύση α) Αρχικά ονομάζουμε τις κορυφές του σχήματος για να δουλέψουμε πιο άνετα Έτσι λοιπόν έχουμε: x OX, α ΧΑ, β ΒΑ, γ ΒΓ, δ ΔΓ, ε ΔΧ Οπότε: x OX OΔ ΔΓ ΓΒ ΒΑ ΑΧ -ε δ - γ β-α Β α β Χ Α γ x δ Γ ε Δ Ο β) Όπως λειτουργήσαμε στο α) ερώτημα έχουμε: x OX, α ΑΟ, β ΑΒ, γ ΧΒ Οπότε: x OX OΑ ΑΒ ΒΧ -α β- γ x Χ γ Β Ο β α Α Παράδειγμα Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Αν ΑΒ α και ΒΓ β να εκφράσετε το διάνυσμα ΓΔ ως συνάρτηση των α, β Λύση Σε ένα κανονικό εξάγωνο το μήκος της πλευράς του ισούται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Οπότε τα ΑΒΓΟ, ΒΓΔΟ είναι ρόμβοι δηλαδή ΑΟ ΟΔ β και έχουμε: ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΑΔ α+β+x=β+β x=β-α Α Β α Ζ β Γ x Ε Δ 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

15 ο Κεφάλαιο Απόδειξη Μετασχηματισμός ισότητας με διανύσματα ος τρόπος Προσπαθούμε να εντοπίσουμε στη δοθείσα ισότητα διανύσματα που είναι διαδοχικά και αντικαθιστούμε το άθροισμά τους με βάση την ισότητα ΑΒ ΒΓ ΑΓ Προσπαθούμε να εντοπίσουμε στη δοθείσα ισότητα διανύσματα που έχουν κοινή αρχή και αντικαθιστούμε τη διαφορά τους με βάση την ισότητα ΑΒ ΑΓ ΓΒ ος τρόπος Θεωρούμε σημείο αναφοράς κάποιο από τα άκρα των διανυσμάτων που υπάρχουν στη δοθείσα ισότητα (συνήθως αυτό που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές) ή κάποιο άλλο τυχαίο σημείο και εκφράζουμε κάθε διάνυσμα της ισότητας με αρχή το σημείο αναφοράς βάση της ισότητας: ΑΒ ΛΒ ΛΑ (σημείο αναφοράς το Λ) Παράδειγμα 3 Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Κ, Λ, Μ. Να αποδείξετε ότι: ΑΚ+ΒΛ+ΓΜ ΑΜ+ΒΚ+ΓΛ Λύση ος τρόπος Θεωρούμε ότι η δοθείσα διανυσματική ισότητα ισχύει ΑΚ ΒΛ ΓΜ ΑΜΒΚ ΓΛ ΑΚ ΒΛ ΓΜ ΑΜΒΚ ΓΛ 0 ΑΚ ΑΜΒΛ ΒΚ ΓΜΓΛ 0 ΜΚ ΚΛ ΛΜ 0 ΜΜ Προφανώς ισχύει Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

16 ος τρόπος Έστω σημείο αναφοράς το Α. Πρόσθεση Αφαίρεση Διανυσμάτων Θεωρούμε επίσης ότι η δοθείσα διανυσματική σχέση και γράφουμε όλα τα διανύσματα με αρχή το σημείο αναφοράς Α Έτσι λοιπόν έχουμε: ΑΚ ΒΛ ΓΜ ΑΜ ΒΚ ΓΛ ΑΚ ΑΛ ΑΒ ΑΜ ΑΓ 0 0 Προφανώς ισχύει ΑΜ ΑΚ ΑΒ ΑΛ ΑΓ Παράδειγμα 4 Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Μ για τα οποία ισχύει ότι ΜΓ+ΒΔ+ΓΕ+ΔΖ+ΕΑ+ΖΒ 0 Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Α Λύση ος τρόπος ΜΓ ΒΔ ΓΕ ΔΖ ΕΑ ΖΒ 0 ΜΓ ΓΕ ΒΔ ΔΖ ΕΑ ΖΒ 0 ΜΕ ΒΖ ΕΑ ΖΒ 0 ΜΕ ΕΑ ΒΖ ΒΖ 0 ΜΑ 0 και αποδείχτηκε το ζητούμενο Για να δείξουμε ότι δύο σημεία Α και Β ταυτίζονται αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ 0 ος τρόπος Έστω σημείο αναφοράς το Α ΜΓ ΒΔ ΓΕ ΔΖ ΕΑ ΖΒ 0 ΑΓ ΑΜ ΑΔ ΑΒ ΑΕ ΑΓ ΑΖ ΑΜ 0 ΜΑ 0 και αποδείχτηκε το ζητούμενο ΑΔ ΑΕ ΑΒ ΑΖ 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

17 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 5 Δίνονται τα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία Α, Β, Γ και Δ, τα οποία δεν είναι συνευθειακά. Αν ΟΑ+ΟΓ=ΟΒ+ΟΔ, όπου Ο τυχαίο σημείο του επιπέδου, να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Λύση Για να δείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ// ΓΔ ή αλλιώς αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ ΔΓ. Ξεκινάμε από τη δοθείσα διανυσματική σχέση όπου παρατηρούμε ότι όλα τα διανύσματα που υπάρχουν έχουν κοινή αρχή άρα μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. Για αυτό το λόγο αλλάζουμε με κατάλληλο τρόπο μέρος στα διανύσματα. Έτσι λοιπόν έχουμε: ΟΑ ΟΓ ΟΒ ΟΔ ΟΓ ΟΔ ΟΒ ΟΑ ΔΓ ΑΒ και αποδείχτηκε το ζητούμενο Παράδειγμα 6 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ ισχύει ότι α β γ 0 και β γ α να αποδείξετε ότι α) α β β) β γ 3 Λύση α κ β γ * Έστω α κ β κ με κ 3 γ 3κ α)ισχύει ότι α β γ 0 α β γ α β γ α β γ α β 3κ () Όμως α β κ+κ α β 3κ α β α β α β β)ισχύει ότι α β γ 0 β γ α β γ α β γ α β γ κ () Όμως β γ κ-3κ β γ κ β γ β γ β γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3

18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Πρόσθεση Αφαίρεση Διανυσμάτων ) Στις παρακάτω περιπτώσεις να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση των διανυσμάτων που σημειώνονται στα σχήματα: β α α β x x γ α β δ γ δ x ε ) Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α) ΑΒ ΑΔ... β) ΑΒ ΑΔ... γ) ΑΒ ΓΔ... δ) ΟΑ ΟΓ... ε) ΔΟ... ΔΓ Α Β Ο Δ Γ στ) ΑΒ... ΔΒ 3) Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε. Να αποδείξετε ότι: ΑΕ ΒΑ ΒΓ ΕΔ ΔΓ 4) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ζ του χώρου, για τα οποία ισχύει ότι ΑΓ ΔΕ ΔΓ ΒΕ. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α και Β συμπίπτουν. 5) Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο Ο για το οποίο ισχύει ΑΓ ΒΟ ΒΔ ΓΔ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ο, Α συμπίπτουν. 6) Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσον του ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: ΜΓ ΜΔ ΑΓ ΔΒ 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

19 ο Κεφάλαιο 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ. Ορίζουμε το σημείο Μ από τη σχέση ΡΜ ΑΡ ΡΒ ΡΓ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο. 8) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα f Ρ ΡΑ 5ΡΒ 3ΡΓ είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου Ρ, δηλαδή σταθερό. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5

20 6 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Πρόσθεση Αφαίρεση Διανυσμάτων

21 ο Κεφάλαιο.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ 0 και α ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το α και το συμβολίζουμε με λ α ή λα ένα διάνυσμα το οποίο: Είναι ομόρροπο του α, αν ντίρροπο του α, αν λ 0. Έχει μέτρο λα λ α λ 0 και α- Σημείωση Αν λ 0 ή α 0 τότε ορίζουμε λα 0 α Όταν γράφουμε λ εννοούμε α λ α α α Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα β λα λβ λ μ α λα μα με λ,μr λμ α λ μα λα Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε τις παρακάτω ιδιότητες: λα 0 λ 0 ή α 0 λα λα λα λα β λα λβ με λ,μr λ μα λα μα Αν λα λβ και λ 0 τότε α β Αν λα μα και α 0 τότε λ μ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 7

22 Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Αν α, β δύο διανύσματα, ορίζουμε ως γραμμικό συνδυασμό τους, κάθε διάνυσμα u της μορφής u κα λβ όπου κ, λ. Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσότερων διανυσμάτων. Για παράδειγμα το διάνυσμα u 5α 3β είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α, β ενώ το διάνυσμα v α β 3γ είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α, β, γ. Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Αν α, β είναι δύο διανύσματα με β 0 τότε ισχύει α / /β α λ β, λ R Απόδειξη Ορθό Έστω α λβ και β 0 Από τον ορισμό του γινομένου πραγματικού αριθμού με διάνυσμα έχουμε α / /β. Αντίστροφο Έστω α / /β α και β 0. Θέτουμε κ β, οπότε α κ β Συνεπώς Αν α β, τότε α κβ (είναι: λ κ ) Αν α β, τότε α κβ (είναι: λ κ ) Αν α 0, τότε α 0β (είναι: λ 0 Σε κάθε περίπτωση υπάρχει λ και μάλιστα μοναδικός τέτοιος ώστε α λβ Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Αν ΑΒ τυχαίο διάνυσμα και Ο ένα σημείο αναφοράς ισχύει ότι: ΟΑ ΟΒ Μ μέσο του ΑΒ ΟΜ Απόδειξη Μ μέσο του ΑΒ ΑΜ ΜΒ Α ΟΜ ΟΑ ΟΒ ΟΜ Μ ΟΜ ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ ΟΜ Ο Β 8 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

23 ο Κεφάλαιο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα α) Να δείξετε ότι ΑΜ 3ΒΝ ΑΝ 5ΝΜ 3ΒΜ β) Να δείξετε ότι 3ΑΜ ΒΝ ΓΝ 3ΑΝ ΒΜ ΓΜ Λύση α) ΑΜ 3ΒΝ ΑΝ 5ΝΜ 3ΒΜ ΑΜ 3ΒΝ ΑΝ 5ΝΜ 3ΒΜ 0 ΑΜΑΝ 3 ΒΜΒΝ 5ΝΜ 0 ΝΜ 3ΝΜ 5ΝΜ 0 5ΝΜ 5ΝΜ Διανυσματικές Σχέσεις Για να αποδείξουμε μια διανυσματική ισότητα είτε μεταφέρουμε όλα τα διανύσματα στο ένα μέλος και κάνουμε τις προσθέσεις και τις α- φαιρέσεις, είτε θεωρούμε ένα σημείο ως σημείο αναφοράς. β) Ας είναι Α σημείο αναφοράς 3ΑΜ ΒΝ ΓΝ 3ΑΝΒΜ ΓΜ 3ΑΜ ΑΝ ΑΒ ΑΝ ΑΓ 3ΑΝ ΑΜ ΑΒ ΑΜ ΑΓ 3ΑΜ ΑΝ ΑΒ ΑΝ ΑΓ 3ΑΝ ΑΜ ΑΒ ΑΜ ΑΓ 3ΑΜ 3ΑΝ ΑΒ ΑΓ 3ΑΝ 3ΑΜ ΑΒ ΑΓ 0 0 Παράδειγμα Αν 5ΑΒ 6ΒΓ να δείξετε ότι ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ Λύση ος τρόπος Είναι ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ 6ΜΒ 5ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ 6ΜΒ 6ΜΓ 5ΜΑ 5ΜΒ 6 ΜΒ ΜΓ 5 ΜΑ ΜΒ 6ΓΒ 5ΒΑ 6ΒΓ 5ΑΒ 6ΒΓ 5ΑΒ που ισχύει από υπόθεση Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

24 ος τρόπος Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Ξεκινάμε από τη σχέση που ισχύει θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το Μ γιατί στη σχέση που θέλουμε να καταλήξουμε υπάρχει το Μ. Έτσι λοιπόν έχουμε: 5ΑΒ 6ΒΓ 5 ΜΒ ΜΑ 6 ΜΓ ΜΒ 5ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ 6ΜΒ 5ΜΒ 6ΜΒ 6ΜΓ 5ΜΑ ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ Παράδειγμα 3 Αν ΔB ΓΕ ΔΓ ΑΕ να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. Λύση ος τρόπος Ας είναι Α σημείο αναφοράς ΔB ΓΕ ΔΓ ΑΕ ΑB ΑΔ ΑΕ ΑΓ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΑB ΑΔ ΑΕ ΑΓ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΑB 0 άρα Α Β Σημεία που ταυτίζονται Για να δείξουμε ότι δύο σημεία Α και Β ταυτίζονται αρκεί να δείξουμε ότι: α) ΑB 0 ή β) ΟΑ ΟΒ με Ο σημείο αναφοράς ος τρόπος ΔB ΓΕ ΔΓ ΑΕ ΔB ΔΓ ΓΕ ΑΕ ΓB ΓΕ ΕΑ ΓB ΓΑ άρα Α Β Παράδειγμα 4 Δίνονται τα μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και ένα τυχαίο σημείο Μ. Να δείξετε ότι το διάνυσμα u ΜA+3ΜB 5ΜΓ είναι σταθερό. Λύση 30 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

25 ο Κεφάλαιο ος τρόπος Ας είναι Α σημείο αναφοράς u ΜA+3ΜB 5ΜΓ AΜ+3 ΑB ΑΜ 5 ΑΓ ΑΜ AΜ+3ΑB 3ΑΜ 5ΑΓ 5ΑΜ 3ΑB 5ΑΓ άρα u σταθερό ος τρόπος u ΜA+3ΜB 5ΜΓ ΜA+3ΜB 3ΜΓ ΜΓ ΜA ΜΓ +3 ΜB ΜΓ ΓA 3ΓB άρα u σταθερό Σταθερό Διάνυσμα Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι ένα διάνυσμα u που είναι εκφρασμένο συναρτήσει διανυσμάτων που το ένα άκρο τους είναι μεταβλητό τότε αρκεί να δείξουμε ότι η δοσμένη σχέση είναι ανεξάρτητη του μεταβλητού σημείου. Αυτό το επιτυγχάνουμε: α) Θεωρώντας σημείο αναφοράς ένα από τα σταθερά σημεία και κατόπιν με προφανείς πράξεις απαλλασσόμαστε από το μεταβλητό σημείο β) Είτε κάνοντας εξαρχής προφανείς διανυσματικές πράξεις στη δοσμένη διανυσματική ισότητα. u Α Β Γ Μπορεί να φανεί περίεργο ότι καταλήξαμε σε «διαφορετικά» διανύσματα. Ουσιαστικά όμως καταλήξαμε στο ίδιο διανύσμα αλλά σε διαφορετικές μορφές αυτού. Αν θέλετε δείξτε ότι 3ΑB 5ΑΓ ΓΑ 3ΓΒ Παράδειγμα 5 Δίνονται τα σημεία Ο, Μ, Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει ότι ΟA+3ΜΑ ΜΟ ΜΓ 3ΟΒ α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά β) Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ. Λύση Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3

26 α) Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ / /ΑΓ Ας είναι Α σημείο αναφοράς οπότε από τη δοθείσα διανυσματική σχέση έχουμε: ΟA 3ΜΑ ΜΟ ΜΓ 3ΟΒ ΑΟ 3ΑΜ ΑΟ ΑΜ ΑΓ ΑΜ 3 ΑΒ ΑΟ ΑΟ 3ΑΜ ΑΟ ΑΜ ΑΓ ΑΜ 3ΑΒ 3ΑΟ ΑΟ 3ΑΜ ΑΟ 3ΑΜ ΑΓ 3ΑΒ 0 ΑΓ 3ΑΒ ΑΓ 3ΑΒ άρα ΑΒ / /ΑΓ β) Αφού ΑΓ 3ΑΒ συμπεραίνουμε ότι τα διανύσματα ΑΓ και ΑΒ είναι αντίρροπα άρα τα σημεία Β, Γ είναι Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Συνευθειακά Σημεία Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι δύο από τα διανύσματα ΑB, ΑΓ, ΒΓ είναι συνευθειακά. Δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι ΑB / /ΑΓ δηλ. ΑB λαγ ΑB / /ΒΓ δηλ. ΑB λβγ ΑΓ / /ΒΓ δηλ. ΑΓ λβγ Για να δείξουμε μια από τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σημείο αναφοράς. εκατέρωθεν του σημείου Α όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα Γ Α Β Παράδειγμα 6 Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε: ΜΑ ΜΒ ΑΓ 0 Λύση Ας είναι Α σημείο αναφοράς ΜΑ ΜΒ ΑΓ 0 ΑΜ ΑΒ ΑΜ ΑΓ 0 ΑΜ ΑΒ ΑΓ 0 Γ Μ ΑΜ ΑΒ ΑΓ ΑΜ ΑΒ ΑΓ Α Β Άρα το σημείο Μ προσδιορίζεται ΑΒ Εύρεση Σημείου Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου που ικανοποιεί μια διανυσματική ισότητα προσπαθούμε να εκφράσουμε ένα διάνυσμα με αρχή γνωστό σημείο ως γραμμικό συνδυασμό γνωστών διανυσμάτων. 3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

27 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 7 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Μ ένα σημείο που ανήκει στην ΑΒ και Ν ένα σημείο που ανήκει στην ΑΓ τέτοια ώστε να ισχύουν ΑΜ ΑΒ και ΑΝ ΑΓ 6 7 Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Μ, Ν είναι συνευθειακά Δ Α Ν Μ Λύση Βασικά Διανύσματα Σχήματος Όταν έχουμε ένα σχήμα τότε ονομάζουμε τα διανύσματα ΑB α και ΑΓ β και εκφράζουμε οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα του σχήματος ως γραμμικό συνδυασμό των β. α, Ας είναι ΑΒ α και ΒΓ β ΑΔ Αρκεί να δείξουμε ότι ΜΝ/ /ΜΔ Είναι ΑΜ ΑΒ ΑΜ α () 6 6 Ακόμη ΑΝ ΑΓ ΑΝ ΑΒ ΒΓ ΑΝ α β ΑΝ α β () ΜΝ ΑΝ ΑΜ α β α α β Με πράξεις προσπαθούμε να δημιουργή- ΜΔ ΑΔ ΑΜ ΒΓ α β α ΑΔ=ΒΓ 6 6 σουμε τα ίδια δεύτερα μέλη. Έτσι λοιπόν έχουμε ΜΝ α β 4 7 4ΜΝ α 6β 4ΜΝ 6ΜΔ ΜΔ 7ΜΝ ΜΔ α β 6ΜΔ α 6β 6 Άρα ΜΔ / /ΜΝ (και μάλιστα ΜΔ ΜΝ) Γ Β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 33

28 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Παράδειγμα 8 Με βάσεις τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά τα παραλληλόγραμμα ΒΓΔΕ, ΓΑΖΗ και ΑΒΘΙ. Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΙΖ, ΕΘ και ΗΔ σχηματίζουν τρίγωνο. Λύση Ι Ζ Θ Α Β Ε Η Γ Δ Διανύσματα ορίζουν τρίγωνο Για να δείξουμε ότι τρία διανύσματα ορίζουν τρίγωνο αρκεί να δείξουμε ότι το άθροισμά τους είναι το μηδενικό διάνυσμα. Είναι ΙΖ ΙΑ ΑΖ ΕΘ ΕΒ ΒΘΙΖ ΕΘ ΗΔ ΙΑ ΑΖ ΕΒ ΒΘ ΗΓ ΓΔ ΗΔ ΗΓ ΓΔ () Όμως από το σχήμα έχουμε ΙΑ ΒΘ () και ΑΖ ΓΗ (3) και ΕΒ ΔΓ (4) Έτσι λοιπόν η () με τη βοήθεια των (), (3), (4) γίνεται: ΙΖ ΕΘ ΗΔ ΘΒ ΓΗ ΔΓ ΒΘ ΗΓ ΓΔ ΙΖ ΕΘ ΗΔ ΘΘ ΓΓ ΔΔ ΙΖ ΕΘ ΗΔ 0 άρα τα ΙΖ, ΕΘ, ΗΔ σχηματίζουν τρίγωνο Παράδειγμα 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της πλευράς ΒΓ. Γράφουμε τα διανύσματα ΜΔ ΒΑ και ΜΕ ΑΓ. Να δείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ΔΕ. Λύση Αφού Μ μέσο ΒΓ είναι ΒΓ ΒΜ ΜΓ Α Δ Άρα ΒΓ ΒΑ ΑΓ ΜΓ ΒΑ ΑΓ ΜΓ ΜΔ ΜΕ Β ΜΔ ΜΕ Μ Γ ΜΓ Άρα Γ μέσο του ΔΕ με Μ σημείο αναφοράς Ε 34 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

29 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 0 Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ να δείξετε ότι ΜΝ ΑΒ ΔΓ Λύση Υπολογίζουμε το διάνυσμα ΜΝ με δύο τρόπους Από πάνω: ΜΝ ΜΑ ΑΒ ΒΝ () Από κάτω: ΜΝ ΜΔ ΔΓ ΓΝ () Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε: ΜΝ ΜΑ ΑΒ ΒΝΜΔ ΔΓ ΓΝ Μ μέσο ΑΔΑΜΜΔ ΜΝ ΜΑ ΑΒ ΝΓ ΑΜ ΔΓ ΓΝ Ν μέσο ΒΓΒΝΝΓ ΜΝ ΑΜ ΑΒ ΓΝ ΑΜ ΔΓ ΓΝ ΜΝ ΑΜ ΑΒ ΓΝ ΑΜ ΔΓ ΓΝ ΜΝ ΑΒ ΔΓ ΑΒ ΔΓ ΜΝ Παράδειγμα Δίνονται τα διανύσματα α, x, β, y για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις α x 6β 3y και 6y 7x α 66β Να δείξετε ότι τα διανύσματα x, y είναι ομόρροπα Μ Δ Α Β Ν Γ Λύση Λύνουμε το σύστημα και εκφράζουμε τα διανύσματα x, y ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α, β. α x 6β 3y x 3y 6β α x 6y β α () 6y 7x α 66β 7x 6y 66β α 7x 6y 66β α 9x 9α 54β x α 6β () Τότε η 3 α α 6β 6β 3y α β 3y α 6β y (3) 3 Από () και (3) έχουμε ότι x y άρα x y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 35

30 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Παράδειγμα Αν α, β και r είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β και Μ αντιστοίχως και MA κ, να αποδείξετε ότι MB λ λα κβ α) Αν Μ εσωτερικό του ΑΒ τότε r λ κ λα κβ β) Αν Μ εξωτερικό του ΑΒ τότε r λ κ Λύση α) Ας είναι Ο σημείο αναφοράς. Τότε ΟΑ α, ΟΒ β, ΟΜ r Είναι ΑΜ ΜΒ Ακόμη ΜΑ κ κ ΜΑ ΜΒ ΑΜ κ ΜΒ ΜΒ λ λ λ Ο κ Άρα ΑΜ ΜΒ λαμ κμβ λ α β r λομ ΟΑ κοβ ΟΜ Α Μ λομ λοα κοβ κομ λr λα κβ κr λα κβ λr κr λα κβ λ κr λα κβ r λ κ β) Ας είναι Ο σημείο αναφοράς. Τότε ΟΑ α, ΟΒ β, ΟΜ r Είναι ΑΜ ΜΒ Ακόμη ΜΑ κ κ ΜΑ ΜΒ ΑΜ κ ΜΒ Ο ΜΒ λ λ λ κ Άρα ΑΜ ΜΒ λαμ κbm α β r λ λομ ΟΑ κομ ΟΒ Α Β Μ λομ λοα κομκοβ λr λα κr κβ λα κβ λr κr λα κβ λ κr λα κβ r λ κ Β 36 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

31 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 3 Δίνονται τα μη συγγραμμικά και μη μηδενικά διανύσματα α, β για τα ο- ποία ισχύει ότι κα λβ 0 με κ, λ R. Να δείξετε ότι κ λ 0 Βασική Πρόταση Έστω κ 0 Άρα κ 0 Λύση τότε έχουμε ότι κα λβ 0 κα λβ λ α β α / /β κ και β0 κα λβ 0 λβ 0λ 0 οπότε κ λ 0 Άτοπο Παράδειγμα 4 Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν β / / α γ και γ / / α β α / / γ β Να δείξετε ότι Λύση λ β / / α γ α γ λβ α λβ γ α β γ () γ / / α β α β κγ α κγ β () Είναι Από () και () προκύπτει: λ κγ β β γ κγ β λβ γ κγ β λβ γ 0 κ γ β λ 0 Αφού β, γ μη συγγραμμικά έχουμε ότι: Για λ λ λ 0 λ κ 0 κ κ α β γ α β γ γ β α γ β / /α η () Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 37

32 Λύση Αφού Α, Β, Γ συνευθειακά έχουμε ΑΒ / /ΑΓ ΑΒ καγ () Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Παράδειγμα 5 Δίνονται τα μη συγγραμμικά διανύσματα α, β 0. Αν για τα ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ λ ισχύουν ΟΑ α β λ λ, ΟΒ 4α β, ΟΓ α β να υπολογισθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθει ακά. Θεωρώντας Ο σημείο αναφοράς έχουμε: λ λ λ λ ΑΒ ΟΒ ΟΑ 4α β α β 4α β α β λ λ α 4 3β 3 3 λ λ λ λ ΑΓ ΟΓ ΟΑ α β α β α β α β λ λ α 4β 3 3 λ λ λ λ Τότε η () α 4 3β κ α 4β λ λ κλ κλ α 4 3β ακ 4κ β λ λ κλ κλ α 4 3β ακ 4κ β λ κλ λ κλ Δες παράδειγμα α 4 κ 3 4κ β 0 3 στη σελίδα λ κλ 4 κ 0 λ 6κ κλ κ 9 κ 0 λ κλ λ 9 κλ κ 0 3 4κ 0 () κ 0 6κ 3 κ λ () λ λ 8 λ 0 3λ 30 λ 0 38 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

33 ο Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Διανυσματικές Ισότητες Παράλληλα Διανύσματα Συνευθειακά Σημεία ) Να αποδειχτούν οι παρακάτω διανυσματικές ισότητες α) ΑΒ 3ΓΑ ΜΒ 3ΜΓ ΜΑ β) 3ΑΜ 5ΒΜ 8ΓΜ 6ΟΜ 3ΑΟ 5ΒΟ 8ΓΟ γ) 7ΑΓ ΒΔ 5ΔΑ ΑΒ 7ΔΓ δ) ΓΒ 3ΑΔ 5ΒΔ 3ΒΑ ΔΓ ) Αν ΒΜ ΜΓ και ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ να δείξετε ότι θα είναι και ΔΜ ΜΕ 3) Αν 3ΑΓ ΒΓ να δείξετε ότι ΑΓ ΒΑ να δείξετε ότι 5ΔΓ 3ΑΓ ΒΓ 4) Αν 3ΑΔ ΒΔ 5) Αν ΔΑ ΓΒ και ΣΓ 3ΒΣ να δείξετε ότι ΣΑ 3ΓΔ ΒΣ ΔΣ f K AB 3KΓ αν το σημείο Κ συμπέσει με το Α γίνεται f Α AB 3ΑΓ ΟΚ και αν συμπέσει με το Β γίνεται f Β AB 3ΒΓ ΟΛ. Να δείξετε ότι ισχύει η διανυσματική ισότητα ΚΛ 3ΑΒ 0. 6) Το διάνυσμα 7) Να σχεδιάσετε τα διανύσματα έτσι ώστε να ισχύουν οι ισότητες α) ΑΓ ΓΒ ΑΓ β) ΑΒ ΚΛ γ) ΑΒ ΒΓ 3ΑΔ δ) α β γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 39

34 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 8) Για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι γνωστό ότι ΒΓ ΑΕ ΑΔ ΒΕ. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ και Γ ταυτίζονται. 9) Για τα σημεία Ρ, Κ, Μ, Ν, Σ είναι γνωστό ότι ΒΜΡΑ ΣΒ ΓΝΡΓ ΣΑ. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται 0) Αν ισχύει ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ ΝΑ ΝΒ 3ΝΓ να δείξετε ότι τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται. ) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ένα μεταβλητό σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα u ΜΑ 4ΜΒ ΜΓ 3ΜΔ είναι σταθερό. ) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, ένα μεταβλητό σημείο Μ και οι πραγματικοί u κ λ ΑΜ λ κ ΒΜ είναι αριθμοί κ, λ, μ. Να δείξετε ότι το διάνυσμα σταθερό. να δείξετε ότι ΚΛ ΜΛ 3) Αν ΑΛ 3ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜΒΚ 4) Να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Ρ είναι συνευθειακά όταν ισχύει ΑΜ 3ΜΒ ΑΝ 3ΡΒ 5) Να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Ρ είναι συνευθειακά όταν ισχύει 3ΒΜ 7ΑΝ 5ΑΜ ΒΡ ΑΒ 6) Δίνονται τα σημεία Π, Α, Ο, Κ ώστε 40 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3ΠΑ ΠΟ 4ΠΚ 0 α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Ο, Κ είναι συνευθειακά β) Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Ο, Κ

35 ο Κεφάλαιο 7) Δίνονται τα σημεία Ο, Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει ότι: 3OA 4OB 7OΓ α) Να γράψετε τη σχέση χρησιμοποιώντας ως σημείο αναφοράς το Α β) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά γ) Να δείξετε ότι το Γ είναι μεταξύ των Α και Β 8) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε ΜΑ ΜΒ AΓ 0 9) Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρεθεί σημείο Μ τέτοιο ώστε ΜΑ 3ΜΒ ΜΓ ΜΔ 0 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου 0) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν αντίστοιχα τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ να δείξετε ότι: α) ΜΝ ΑΒ ΒΓ β) 4ΜΝ ΑΔ ΑΒ ΓΔ ΓΒ ) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Κ το κέντρο του, Μ το μέσο του ΚΓ. Να δείξετε ότι: και ΑΒ. Αν Μ και Μ είναι μέσα των ΑΒ και ΑΒ αντίστοιχα να δείξετε ότι ΑΑ ΒΒ ΜΜ. ) Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 4

36 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 3) Στην πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία Κ, Μ, Λ τέτοια ώστε ΒΚ ΚΜ ΜΛ ΛΓ. Να αποδειχτεί η ισότητα: ΑΒ ΑΚ ΑΛ ΑΓ 5ΑΜ 4) Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται στο σημείο Σ. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες: α) ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ ΟΣ β) ΣΑ ΣΒ ΣΓ ΣΔ ΣΟ 5) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Μ και Ν των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. Ορίζουμε διανύσματα ΑΣ ΜΝ. Να δείξετε ότι: α) ΜΝ ΑΓ ΒΔ β) ΒΝ ΒΣ Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων 6) Έστω Ο, Α, Β, Γ, Δ σημεία τέτοια ώστε ΟΑ α, ΟΒ β, ΟΓ α β και ΟΔ α β. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΓ, ΒΔ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β. 7) Να δείξετε ότι τα διανύσματα συγγραμμικά v α β γ και u α β γ είναι 3 4 8) Δίνονται τα διανύσματα u, v, w και τα σημεία Ο, Α, Β, Γ τέτοια ώστε ΟΑ u v w, ΟB u v w και ΟΓ u 5v w Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

37 ο Κεφάλαιο 9) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ με διανύσματα θέσης ως προς σημείο αναφοράς το Ο τα ΟΑ α, ΟΒ β, ΟΓ 3α β όπου α, β μη συγγραμμικά διανύσματα. α) Να γράψετε τα διανύσματα ΑΒ, ΑΓ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β. β) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 30) Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ένα εσωτερικό του σημείο Δ τέτοιο ώ- στε ΑΔ ΔΒ. Αν τα διανύσματα θέσης των Α και Β είναι ΟΑ α και 5 5α β ΟΒ β να δείξετε ότι ΑΔ β α και ΟΔ. 7 7, ΟΓ γ και ένα σημείο Δ βρίσκεται στην πλευρά ΑΒ έτσι ώστε ΔΒ ΑΔ. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΓΒ, ΒΓ, ΑΔ, ΟΔ, ΑΓ ως γραμμικό συνδυασμό των α, γ. 3) Σε ένα παραλληλόγραμμο ΟΑΒΓ είναι ΟΑ α, ΟΓ γ και ΓΒ ΟΑ. Αν Δ, Ε είναι μέσα των ΑΒ και ΓΒ αντίστοιχα, τότε: α) Να γράψετε τα διανύσματα ΓΑ, ΑΒ, ΕΔ ως γραμμικό συνδυασμό των α, γ β) Να δείξετε ότι ΓΑ ΕΔ 3) Δίνεται ένα τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ α 33) Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ της ΑΓ ώστε ΑΕ ΖΓ ΑΓ. Αν ΑΒ α, ΒΓ β τότε: 4 α) Να εκφράσετε τα ΔΕ και ΕΖ ως γραμμικό συνδυασμό των α, β β) Να αποδείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 43

38 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 34) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ ώστε 3ΑΔ ΑΒ, ΓΕ ΒΓ και 5ΑΖ 3ΑΓ Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ δεν είναι συνευθειακά. 35) Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Α και Β έχουν διανύσματα θέσης ως προς Ο τα 6α και 6β αντίστοιχα. Το Μ είναι μέσο του ΟΑ και ΑΔ ΔΒ. Αν Ε εί- ναι το μέσο της ΟΔ: α) Να εκφράσετε ως γραμμικό συνδυασμό των α και β τα διανύσματα ΑΒ, ΟΔ και ΜΕ. α Ο β Μ Ε Α Δ Β β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΑΔΕ είναι τραπέζιο. και ΑΓ β. Αν Δ, Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ, ΒΖ και ΓΔ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΕ, ΒΖ και ΓΔ σχηματίζουν τρίγωνο. 36) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ α 37) Δίνεται το τραπέζιο στο διπλανό σχήμα. Αν ΓΔ 3ΑΒ, ΕΓ 3ΕΑ, ΑΒ α και ΒΓ β α) Να εκφράσετε συναρτήσει των α και β τα διανύσματα ΑΓ, ΑΕ, ΒΕ και ΒΔ β) Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά. Δ Α α Ε Β β Γ 38) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΔ καβ λαγ και ΑΕ λαβ καγ με κ, λ πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι ΔΕ / /ΒΓ. 44 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

39 ο Κεφάλαιο 39) Δίνονται τα σημεία Ο, Α, Β, Γ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: 4κΟΑ 4κ ΟΒ 3ΟΓ ΟΒ Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού κ. 40) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ ώστε: ΑΔ καβ λαγ με κ λ Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Β, Γ είναι συνευθειακά. 4) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε τα σημεία Α, Β, Γ που λ λ ΟΑ λ λ ΟΒ λ ΟΓ 0 να είναι ικανοποιούν τη σχέση συνευθειακά. 4) Να βρεθεί η τιμή του x ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά όταν ισχύει η διανυσματική ισότητα x 3x ΟΑ x 5x 3 ΟΒ x 3x 3 ΟΓ 43) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει ΟΑ 3α 5β, ΟΒ λα β και ΟΓ 4α κβ όπου Ο τυχαίο σημείο αναφοράς και κ, λ πραγματικοί αριθμοί με κ λ -3 Αν Α, Β, Γ είναι συνευθειακά σημεία να βρεθούν τα κ και λ. 44) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Μ και Ν ώστε να είναι: ΑΜ καδ και ΑΝ λαβ με κ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδέν. Αν είναι κ λ κλ να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Γ είναι συνευθειακά. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 45

40 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 45) Έστω ότι α 0 σχύει:. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ ι- λ 5λ+0 α α 3α 46) Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν: α β / /γ α 6γ / /β Να δείξετε ότι α β 6γ και 47) Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν: α γ / /3β 6β α / /4γ Να δείξετε ότι α / / γ β και 48) Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν: α / / β γ β / / γ α Να δείξετε ότι β 4α γ και 49) Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν: α / / β γ β / / γ α Να δείξετε ότι α β γ 0 και 46 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

41 ο Κεφάλαιο 3u 4v α 50) Αν ισχύει να εκφράσετε τα διανύσματα u, v ως γραμμικό 4u 3v β συνδυασμό των α, β. u v α 5) Αν ισχύει να εκφράσετε τα διανύσματα u, v ως γραμμικό u v β συνδυασμό των α, β. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 47

42 48 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

43 ο Κεφάλαιο.4 Συντεταγμένες Διανύσματος Άξονας Άξονας λέγεται κάθε ευθεία x x πάνω στην ο- ποία έχουμε επιλέξει δύο σημεία Ο και Α, έτσι ώστε ΟΑ i να έχει μέτρο (μοναδιαίο διάνυ- x Ο i Α x σμα). Το Ο λέγεται αρχή του άξονα. Έστω Μ τυχαίο σημείο ενός άξονα x x. Επειδή Τετμημένη σημείου πάνω σε Άξονα ΟM / / i αποδεικνύεται ότι υπάρχει ακριβώς ένα xr ώστε ΟM x i και αντίστροφα σε κάθε xr αντιστοιχεί μοναδικό σημείο Μ του άξονα x x. x Ο i Α Μ x Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ Σύστημα Συντεταγμένων Σύστημα συντεταγμένων (ορθοκανονικό) ή καρτεσιανό επίπεδο, λέγεται ένα σύστημα από δύο κάθετους μεταξύ τους άξονες x x και y y με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα i, j. Συμβολίζεται με Οxy x y j Ο y i x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 49

44 Συντεταγμένες Διανύσματος Συντεταγμένες Σημείου Έστω Μ τυχαίο σημείο πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy. Ας είναι M η προβολή του Μ στον άξονα x x και Μ η προβολή του Μ στον άξονα y y. Ονομάζουμε: Τετμημένη του Μ την τετμημένη x του Μ, ως προς τον άξονα x x. Τεταγμένη του Μ την τεταγμένη y του Μ, ως προς τον άξονα y y Η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου Μ λέγονται συντεταγμένες του Μ Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων. Αλλά και αντίστροφα, σε κάθε ζεύγος (x,y) πραγματικών αριθμών αντιστοιχεί μοναδικό σημείο Μ του επιπέδου που βρίσκεται με την παρακάτω διαδικασία: Πάνω στους άξονες x x και y y παίρνουμε τα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα. Από το Μ φέρνουμε κάθετη στον x x και από το Μ κάθετη στον y y που τέμνονται στο Μ. Αυτό είναι το ζητούμενο σημείο. Αν x η τετμημένη και y η τεταγμένη του σημείου Μ συμβολίζουμε Μ(x,y) y M j Ο i M(x,y) M x Κάθε διάνυσμα α του καρτεσιανού επιπέδου Οxy γράφεται κατά Συντεταγμένες Διανύσματος μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων i, j. Δηλαδή, υπάρχουν μοναδικά x, y R ώστε: α xi y j Απόδειξη Έστω OA α και Α, Α οι προβολές του Α στους άξονες x x και y y αντίστοιχα. 50 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

45 ο Κεφάλαιο Έχουμε OA OA OA () Αν x, y οι συντεταγμένες του Α, τότε ισχύει OA x i και Επομένως η () γράφεται Μοναδικότητα OA y j OA x i y j α x i y j () Θα δείξουμε ότι x, y είναι μοναδικοί. A j Ο α i α A A Έστω ότι υπάρχουν x, y ώστε α x i y j (3) με x x Από τις σχέσεις () και (3) έχουμε x i y j x i y j x x i y y j (4) Συντεταγμένες Διανύσματος y y i j x x Δηλαδή i / / j που είναι άτοπο Άρα x x και από (4) για x x προκύπτει y y Παρατηρήσεις. Οι αριθμοί x και y λέγονται συντεταγμένες του α x Συγκεκριμένα y. Τα διανύσματα x i και y τετμημένη του α τεταγμένη του α διεύθυνση των i και j αντίστοιχα. j λέγονται συνιστώσες του α κατά τη 3. Για να δηλώσουμε ότι ένα διάνυσμα α έχει τετμημένη x και τε- α x,y ταγμένη y, γράφουμε Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5

46 4. Ένα διάνυσμα α x, y Συντεταγμένες Διανύσματος είναι το μηδενικό διάνυσμα αν και μόνο αν καθεμία από τις συντεταγμένες είναι μηδέν. Συντεταγμένες Διανύσματος x 0 Δηλαδή: α 0 και y 0 5. Δύο διανύσματα α x, y και β x, y είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες. Δηλαδή: x x α β και y y Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Αν α,y και β x, y x. α β x x, y y. λα λ x,λy λα μβ λx x 3. μ, λy μy τότε έχουμε: Απόδειξη β x,y x i y j Είναι α x,y x i y j και Έχουμε α β x iy j x iy j x x i y y j. x x,y y. λα λx iy j λx iλy j λx,λy 3. λα μβ λx,λy μx,μy λx μx,λy μy 5 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

47 ο Κεφάλαιο Αν Α(x Α,y Α ) και Β(x Β,y Β ) τότε ισχύει: Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος Είναι OA x,y A A Μ(x Μ,y Μ ) μέσο του ΑΒ Απόδειξη x y, OB x,y και OM x,y B B M M x και A y A Όμως όπως είναι γνωστό OA OB OM x M,yM x A,yA x B,yB x B y B y Ο A(x A,y A ) Μ(x Μ,y Μ ) B(x B,y B ) x A B A B x,y x x,y y x,y, M M A B A B A B A B Άρα xm και ym M M x x y y x x y y Αν Α(x Α,y Α ) και Β(x Β,y Β ) τότε ισχύει ΑΒ x x,y y B A B A Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα Ας είναι ΑΒ x,y Είναι OA x,y, OB x,y A A B Απόδειξη Όμως ΑΒ OB OA x,y x,y x,y B B B A A x,y x x,y y Άρα x xb xa και y yb ya B A B A y Ο A(x A,y A ) B(x B,y B ) x Οπότε ΑΒ x x,y y B A B A Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 53

48 Συντεταγμένες Διανύσματος Συνοπτικά Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΑΒ ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΑΒ Παρατηρήσεις. Αν το διάνυσμα α x,y τότε y 0. Αν το διάνυσμα α x,y τότε x 0 = = ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ Β ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ Β - - ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ Α ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ Α είναι παράλληλο στον άξονα x x είναι παράλληλο στον άξονα y y Αν α x,y τότε το μέτρο του είναι α +y x Απόδειξη Έστω το σημείο Α με διανυσματική ακτίνα OA α οπότε οι συντεταγμένες του Α είναι (x,y) Av Α, Α οι προβολές του Α στους άξονες x x και y y αντίστοιχα τότε: OA x και OA y y A Ο α A(x,y) A α x Μέτρο Διανύσματος Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΑ προκύπτει: OA OA A A α OA OA α x y α x y α x y B A B A Αν Α(x Α,y Α ) και Β(x Β,y Β ) τότε ισχύει ΑΒ x x y y Είναι ΑΒ x x,y y B A B A B A B A Άρα ΑΒ x x y y Απόδειξη 54 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

49 ο Κεφάλαιο Μέτρο Διανύσματος Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Παρατηρήσεις. Κάθε σημείο απέχει από τον άξονα x x απόσταση ίση με την d Α,xx y απόλυτη τιμή της τεταγμένης του. Δηλαδή A. Κάθε σημείο απέχει από τον άξονα y y απόσταση ίση με την d Α,yy x απόλυτη τιμή της τετμημένης του. Δηλαδή A Αν α x,y και β x,y όπου detα,β οποία ισχύει: det α,β τότε ισχύει: α / / β det α,β 0 είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α και β για την x y t α,β x y x y x y de Παρατήρηση α / / β det α,β 0 Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Γωνία μη Μηδενικού Διανύσματος με το άξονα x x Ας είναι α x,y ένα μη μηδενικό διάνυσμα και Α σημείο τέτοιο ώστε OA α Ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α με τον άξονα x x τη γωνία φ που διαγράφει ο x x αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα) μέχρι να συμπέσει με το φορέα του OA. Ισχύει ότι 0 φ π Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος α x,y x 0 τον αριθμό και συμβολίζεται με λ ή με λ α y λ, x 0 x y Ο α φ A α + x με Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 55

50 Συντεταγμένες Διανύσματος Αν α, β διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης λ, λ ισχύει ότι: α β α / / β λ λ α Απόδειξη Ας είναι α x,y και β x,y y y Τότε λ και λ α β x x x y α / / β det α,β 0 0 x y Οπότε β Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Παρατηρήσεις y y x y x y λ λ α β x x. Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύ- α x,y δεν ορίζεται αν x 0 σματος δηλαδή δεν ορίζεται αν το διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα y y (ή κάθετο στον x x). συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσμα- α x,y είναι ίσος με το 0 αν το διά- τος νυσμα είναι παράλληλο στον άξονα x x. Δηλαδή α / /xx λ 0 α 3. Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος α x,y είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας φ που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x. Δηλαδή λ εφφ α Ο Ο Β Α x A=x B y A=y B Α Β 56 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

51 ο Κεφάλαιο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συντεταγμένες Σημείου και Διανύσματος Παράδειγμα Δίνεται το σημείο Α λ 5λ 6,λ λ 6 με λ R Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε α) Το Α να είναι σημείο του x x β) To A να είναι σημείο μόνο του y y γ) To A να μην ανήκει σε κανένα άξονα δ) Το Α να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο Λύση α) Το Α είναι σημείο του x x αν και μόνο αν λ λ 6 0 λ 3 λ 0 λ 3 ή λ Ας είναι Α(α,β) Α ανήκει στον x x β 0 Α ανήκει στον y y α 0 Α ανήκει μόνο στον x x β) Το Α είναι σημείο μόνο του y y αν και μόνο αν λ 5λ 6 0 λ 3 λ 0 λ 3 ή λ γ) Το Α δεν ανήκει σε κανένα άξονα αν και μόνο αν λ 5λ 6 0 λ 3 λ 0 λ λ 6 0 λ 3 λ 0 λ 3 και λ λ 3 και λ β 0 και α 0 Α ανήκει μόνο στον y y α 0 και β 0 Α ανήκει στο ο τεταρτημόριο α 0 και β 0 Α ανήκει στο ο τεταρτημόριο α 0 και β 0 Α ανήκει στο 3 ο τεταρτημόριο α 0 και β 0 Α ανήκει στο 4 ο τεταρτημόριο α 0 και β 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 57

52 Συντεταγμένες Διανύσματος Τελικά λοιπόν πρέπει λr,,3 δ) Το Α βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο αν και μόνο αν λ λ 6 0 και λ 5λ 6 0 λ - 3 λ λ Άρα λ, 3, λ 3 λ λ Άρα λ,3, - 3 Τελικά λοιπόν λ, 3, Παράδειγμα Να βρεθεί η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων Μ(x,y) για τα ο- ποία ισχύει: α) x β) y 3 γ) x δ) y ε) y και x Λύση α) Τα σημεία Μ(x,y) που έχουν τετμημένη ανήκουν στη διπλανή κατακόρυφη ευθεία. Ο β) Αρχικά έχουμε y 3 y 3 ή y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

53 ο Κεφάλαιο Τα σημεία Μ(x,y) που έχουν τεταγμένη 3 ή -3 ανήκουν στις οριζόντιες ευθείες ε, ε του διπλανού σχήματος. Ο 3 γ) Αρχικά έχουμε x x Τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία είναι x ανήκουν στο χωρίο που βρίσκεται με των κατακόρυφων ευθειών ε, ε (με τα σημεία των ευθειών) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. - Ο δ) Αρχικά έχουμε y y Τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία είναι y ανήκουν στο χωρίο που βρίσκεται με των οριζόντιων ευθειών ε, ε (χωρίς τα σημεία των ευθειών) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο - ε) Τα σημεία Μ(x,y) που έχουν τεταγμένη και τετμημένη x με x ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του διπλανού σχήματος χωρίς το άκρο Β. Α Β - Ο Παράδειγμα 3 Να βρεθούν οι συντεταγμένες των παρακάτω διανυσμάτων: α) α 3i 4j β) β 3j i γ) γ 0i δ 3i 900j 3 i 60j δ) Λύση α) α 3i 4j 3,4 β) β 3j i i 3j,3 Αν α xi yj τότε α x,y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 59

54 γ) γ 0i 0i 0j 0,0 δ 3i 900j 3 i 60j 6i 800j6i 80j 980j 0,980 δ) Λύση Διαδοχικά έχουμε α β λ λ 3,λ λ λ,λ λ λ λ λ 3 λ λ λ λ 0 λ λ 3 λ λ 0 λ Λύνοντας την () έχουμε λ λ 3λ 0 λ λ 0 Συντεταγμένες Διανύσματος Παράδειγμα 4 Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε τα διανύσματα α λ λ 3,λ β λ λ, λ να είναι ίσα. και Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι α x,y ίσες. Δηλαδή αν και β x,y λ ενώ λύνοντας την () έχουμε λ τότε: x x α β και y y Η ζητούμενη τιμή του λ λ. είναι η κοινή λύση των εξισώσεων () και () δηλαδή Παράδειγμα 5 Έστω το διάνυσμα α λ λ 3,λ 7λ 6 Να βρείτε την τιμή του λ ώστε α) α 0 β) α 0 και α / /xx με λ R Λύση α) Είναι α 0 λ λ 3 0 () και λ 7λ 6 0 () 5 Για την () έχουμε Δ 5 άρα λ, Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Ας είναι α x,y α 0 x 0 και y 0 α 0 x 0 ή y 0 α / /xx y 0 α / /yy x 0

55 ο Κεφάλαιο 7 Για την () έχουμε Δ άρα λ, Άρα λ β) Είναι α 0 λ λ 3 0 ή λ 7λ 6 0 και α / /xx λ λ 3 0 Έτσι λοιπόν πρέπει και λ λ 3 0 λ 3 και Άρα είναι λ λ 7λ 6 0 λ ή 3 λ 3 λ Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Παράδειγμα 6 Δίνονται τα διανύσματα α 3,, β, και γ, 5. Να γράψετε το διάνυσμα γ ως γραμμικό συνδυασμό των α, β. Λύση Αρκεί να βρούμε λ, μr τέτοια ώστε γ λα μβ Έτσι λοιπόν έχουμε: γ λα μβ, 5 λ 3, μ,, 5 3λ, λ μ,μ, 5 3λ μ, λ μ 3λ μ 3λ μ λ μ 5 3λ 3μ 5 μ 3μ 5 μ 3 Α) Αν α x,y και β x,y και λ, μ R τότε: α β x x,y y λα λx,λy Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 6 λα μβ λx μx,λy μy Β) Για να γράψουμε ένα διάνυσμα u ως γραμμικός συνδυασμό των α και β αρκεί να βρούμε κ, λ έτσι ώστε u κα λβ (). Έτσι λοιπόν, θεωρούμε τη σχέση () και από την ισότητα των διανυσμάτων βρίσκουμε τα κ, λ.

56 Συντεταγμένες Διανύσματος Για μ 3 η 3λ 3 3λ 6 3λ 6 λ Παράδειγμα 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,), Β(-3,-4), Γ(4,-) Να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ β) Τις συντεταγμένες του Ρ αν ΑΡ ΒΓ γ) Τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου ΑΡΓΒ Λύση α) Αφού Μ μέσο του ΒΓ είναι Ρ x M xβ xγ y y xm y 3 Β Γ ym M άρα M, 3 Β Α Γ ΑΜ xm x A, ym ya, 3, 5 Οπότε β) Ας είναι Ρ(x P,y P ) ΑΡ ΒΓ x x, y y x x, y y Ρ A Ρ A Γ Β Γ Β xρ 7 xρ 8 xρ,yρ 7, yρ yρ 4 άρα Ρ(8,4) γ) Το παραλληλόγραμμο ΑΡΓΒ έχει διαγώνιο την ΑΓ 6 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

57 ο Κεφάλαιο Άρα το κέντρο του Κ είναι το μέσο της ΑΓ xa xγ ya yγ 5 Δηλαδή Κ, ή Κ,0 Παράδειγμα 8 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(,), Β(-3,4) και Γ(,-5). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ β) Να δείξετε ότι οι διαγώνιές του διχοτομούνται Λύση α) Αφού ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο έχουμε ότι ΑB ΔΓ 4, x, 5 y Δ Δ Β Α xδ 4 xδ 6 5 yδ yδ 7 άρα Δ(6,-7) Γ Δ β) Για να δείξουμε ότι οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου διχοτομούνται αρκεί να δείξουμε ότι έχουν κοινό μέσο. Το μέσο της ΒΔ έχει συντεταγμένες x x y y, Β Δ Β Δ ή 3 3, Το μέσο της ΑΓ έχει συντεταγμένες xα xγ yα yγ, ή 3 3, Άρα πράγματι η ΒΔ και η ΑΓ έχουν κοινό μέσο οπότε και διχοτομούνται. Παράδειγμα 9 Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης ρίζες της εξίσωσης x λ 5λ 4 x 7 0 () ενώ οι τεταγμένες είναι y λ 3λ yσίσκας 5 0Χρήστος (). - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 63 Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει συντεταγμένες (4,6)

58 Συντεταγμένες Διανύσματος Λύση Αφού x A, x B είναι ρίζες της εξίσωσης () από τους τύπους του Vieta προκύπτει ότι: λ 5λ 4 xα xβ x Α xβ λ 5λ 4 (3) Αφού y A, y B είναι ρίζες της εξίσωσης () από τους τύπου του Vieta προκύπτει ότι: λ 3λ yα yβ y Α yβ λ 3λ (4) Αλλά Μ μέσο του ΑΒ οπότε Όμως Μ(4,6) άρα είναι x x y y M, A B A B λ 5λ 4 λ 3λ ή M, λ 5λ 4 4 λ 5λ 4 8 λ 5λ 6 0 και και και λ 3λ λ 3λ λ 3λ λ 3 λ 0 λ 3 ή λ και και λ λ 5λ 0 λ 5 ή λ Τελικά λοιπόν λ Παράλληλα Διανύσματα Συνευθειακά Σημεία Παράδειγμα 0 Δίνονται τα διανύσματα α x y,x, β 3x y,y, v, 64 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας και u 3, με x, yr Να βρεθούν οι τιμές των x, yr ώστε τα διανύσματα γ α β και δ α β να είναι παράλληλα αντίστοιχα προς τα διανύσματα v και u.

59 ο Κεφάλαιο Λύση Αρχικά βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων γ και δ γ α β x y,x 3x y,y 5x 3y,x y δ α β x y,x 3x y,y x y,x y 3 5x 3y x y γ / / v det γ,v 0 0 Έχουμε Ακόμη 60x 36y x y 0 60x 36y x y 0 58x 38y 0 9x 9y 0 () x y x y 3 δ / / v det δ,v Αν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά τότε η ορίζουσα αυτών είναι ίση με το μηδέν. Η παραπάνω συνθήκη είναι ικανή και αναγκαία. Έτσι λοιπόν στις ασκήσεις για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά αρκεί να δείξουμε ότι η ορίζουσά τους είναι ίση με το μηδέν. Και, αντιστρόφως αν γνωρίζουμε ότι δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά τότε η ορίζουσά της είναι ίση με μηδέν. Έχουμε λοιπόν το σύστημα Για x y 3x 3y 9 0 9x 9y 9 0 x y 0 () 9x 9y 0 9x 9y 0 x y 0 9x 9y 9 0 y 3 η () x 3 0 x 0 x 9-0y y 30 y 3 Παράδειγμα Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 65

60 Συντεταγμένες Διανύσματος Δίνονται τα διανύσματα v 3κ,κ 4 και u,κ με κ R Να βρεθεί η τιμή του κ R ώστε τα διανύσματα v και u να είναι ομόρροπα. Αφού v u v / /u οπότε 3κ κ 4 detv,u κ Για Λύση 3κ κ 3 κ 4 0 3κ 6κ κ κ 4 0 κ 5κ 6 0 κ 6 κ 0 κ 6 ή κ κ 6 είναι v 9,76 και u, 4 v 9,76 9, 4 9u Δηλαδή Άρα v u οπότε η τιμή κ=6 απορρίπτεται Για κ είναι v,6 και u,3 v,6,3 u άρα v u Δηλαδή Τελικά λοιπόν κ Παράδειγμα Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ x,x Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. Λύση 66 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας, ΟB x,x και ΟΓ,3

61 ο Κεφάλαιο Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά δηλαδή AB / / AΓ Έχουμε AB ΟΒ ΟΑ x,x x,x x, και AΓ ΟΓ ΟΑ,3 x,x x,3 x x,3 x x x 3 x Οπότε detαβ,αγ x 3 x x 3x x 6 x x x 4x 8 Δ άρα x 4x 8 0 detαβ,αγ 0 οπότε AB / / AΓ Μέτρο Διανύσματος Παράδειγμα 3 Δίνεται το διάνυσμα α 3i 4j α) Να βρείτε το α β) Να βρείτε διάνυσμα β αντίρροπο του α και με διπλάσιο μέτρο α) Είναι α 3, 4 άρα β) Είναι β α άρα β λ α με λ 0 Οπότε β λ3,4 3λ,4λ Αλλά β α 9λ 6λ 0 Λύση α λ0 5 λ 0 5λ 0 λ Άρα β -α 3, 4 6,8 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 67

62 Συντεταγμένες Διανύσματος Παράδειγμα 4 Να βρεθεί σημείο Κ που να ισαπέχει από τα σημεία Α(,), Β(0,4) και να ισαπέχει επίσης από τα σημεία Γ(,-4), Δ(-,3). Λύση Ας είναι Κ(x,y) με ΚΑ ΚΒ ΚΑ ΚΒ και Όμως ΚΑ x, y άρα ΚΑ x y ΚΓ ΚΔ ΚΓ ΚΔ ΚΒ x,4 y άρα ΚΒ x 4 y ΚΓ x, 4 y άρα ΚΓ x 4 y Δ Α Β ΚΔ x,3 y άρα ΚΔ x 3 y Οπότε ΚΑ ΚΒ x y x 4 y Κ Γ 4 4x x 4 4y y x 6 8y y 4y 4x 8 y x () Ακόμη ΚΓ ΚΔ x 4 y x 3 y x x 4 y x 9 6y y x x 6 8y y 4 4x x 9 6y y 3 4y 6x 4 y x 7 7 () 68 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

63 ο Κεφάλαιο () 3 x x 7x 4 3x 4x 6 x Έτσι λοιπόν () y y 7 7 Παράδειγμα 5 Άρα Κ(-4,-) Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Δίνονται τα σημεία Α(,3), Β(6,7), Γ(3,0), Δ(0, 3 ) α) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των ΑΒ και ΓΔ β) Να βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει το ΑΒ με τον x x γ) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους τα ΑΒ και ΓΔ Λύση 4 AΒ 4,4 άρα λ AΒ 4 α) Είναι ΓΔ 3, 3 άρα λ και ΓΔ 3 3 β) Έχουμε λ εφφ άρα φ π AΒ 4 Β Α 3 3 γ) Έχουμε λ εφω ΓΔ 3 3 άρα 5π φ 6 Δ Γ 5π π 7π Έτσι λοιπόν AΒ,ΓΔ φ ω 6 4 Αν έχουμε θεωρητική άσκηση που δεν παρουσιάζονται συντεταγμένες μπορούμε μόνοι μας να βάλουμε συντεταγμένες. Συνήθως τοποθετούμε το σχήμα μας έτσι ώστε μια κορυφή (ή άλλο χαρακτηριστικό του σημείο) να βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και μια πλευρά του (ή άλλη χαρακτηριστική ευθεία του σχήματος) να βρίσκεται σε έναν άξονα. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνουμε να έχουμε λιγότερους αγνώστους άρα ευκολότερες πράξεις. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 69

64 Συντεταγμένες Διανύσματος Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό αυτής. Λύση Ας είναι το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΒΓ ΒΓ Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΔ Παράδειγμα 6 Χωρίς περιορισμό της γενικότητας θεωρούμε Α(0,0) Τότε είναι Γ(0,γ) και Β(β,0) xb xγ yb yγ Επίσης Δ μέσο ΒΓ άρα Δ, ή β γ Δ, Β Α Δ Γ β γ Άρα ΑΔ, οπότε καθώς και ΒΓ β, γ οπότε β γ β γ β γ β γ ΑΔ ΒΓ β γ β γ ΒΓ Από τις σχέσεις () και () εύκολα προκύπτει ότι ΑΔ () () Παράδειγμα 7 Δίνεται κύκλος (O,R) και χορδές του ΑΒ, ΓΔ κάθετες στο Σ. Να δείξετε ότι: α) ΟΣ ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ β) Αν Κ, Λ μέσα των ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα τότε το ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. Λύση α) Ας είναι Σ(0,0), Α(α,0), Β(β,0), Γ(0,γ), Δ(0,δ) α β γ δ Το κέντρο του κύκλου έχει συντεταγμένες Ο, 70 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

65 ο Κεφάλαιο Έτσι λοιπόν έχουμε ΟΣ ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ α β γ δ α β γ δ α β γ δ, α, β, α β γ δ α β γ δ,γ,δ α α β γ δ β α β γ δ α β, γ δ,, α β γ δ β α γ δ α β, γ δ,, α β γ γ δ α β δ γ δ,, α β γ δ α β δ γ,, α β β α α β α β γ δ γ δ γ δ δ γ α β, γ δ, α β γ δ α β, γ δ, α β, γ δ α β, γ δ που ισχύει α δ β) Κ μέσο ΑΔ άρα Κ, και Λ μέσο ΒΓ άρα β γ Λ, Έτσι λοιπόν έχουμε Γ Λ Β β γ α α β δ γ δ β γ β γ ΛΣ ΟΚ 0,0,,, Α Ε Ο Κ Σ Ζ Δ που ισχύει Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 7

66 Συντεταγμένες Διανύσματος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Συντεταγμένες Σημείου Συντεταγμένες Διανύσματος ) Δίνεται το σημείο Αλ 4λ 3,λ λ 6 με λr Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε: α) Το σημείο Α να ανήκει στον άξονα x x β) Το σημείο Α να ανήκει μόνο στον άξονα y y γ) Το σημείο Α να μην ανήκει σε κανένα άξονα δ) Το σημείο Α να είναι η αρχή των αξόνων ) Δίνεται το σημείο Α λ,λ με λr Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε α) Το σημείο Α να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο β) Το σημείο Α να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο γ) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο δ) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο 3) Δίνονται τα σημεία M(x,y). Να βρεθεί η θέση των σημείων Μ στο καρτεσιανό επίπεδο για το οποία ισχύει ότι: α) x 3 β) y 4 γ) x 3 7 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

67 ο Κεφάλαιο δ) y ε) x και y στ) y 4 και x 4) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των παρακάτω διανυσμάτων α) α 7i 6j β) β 5j 4i γ) γ 3i δ) δ 4j ε) u 5i 4j 93i j 5) Να βρείτε τα κ, λr ώστε τα σημεία Ακ,, Βλ,λ να είναι συμμετρικά ως προς α) Την αρχή των αξόνων β) Τον άξονα x x γ) Την διχοτόμο της ης και 3 ης γωνίας των αξόνων λ 6) Δίνονται τα διανύσματα α, 3, λ λ R, 3 β,λ 4λ με Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα διανύσματα α, β να είναι ίσα. 7) Δίνονται τα διανύσματα α κ, λ και β λ,κ. Να βρείτε τα κ, λ ώστε: α) Το α να είναι το μηδενικό διάνυσμα β) Τα α, β να είναι ίσα γ) Τα α, β να είναι αντίθετα 8) Δίνεται το διάνυσμα u κ 3λ,κ λ με κ, λr Να βρείτε τα κ, λr ώστε το u να είναι το μηδενικό διάνυσμα. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 73

68 Συντεταγμένες Διανύσματος 9) Δίνονται τα διανύσματα α 4λ λ,5λ λ και β λ λ,3λ λ με λr Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε τα α, β να είναι αντίθετα 0) Δίνονται τα διανύσματα α κ 4μ,ρ 3 και β μ κ 4,ρ με κ, μ, ρr. Να βρείτε τους κ, μ, ρ ώστε να είναι α β. ) Δίνεται το διάνυσμα α λ 5λ 6,λ 9 Να βρείτε τις τιμές του λr ώστε α) α 0 β) α / /xx και α 0 με λr. γ) α / /yy και α 0 ) Δίνεται το σημείο Α(,3) Να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες του διανύσματος AB όταν Β(3,) AΓ,4 β) Τις συντεταγμένες του Γ όταν γ) Τις συντεταγμένες του Δ όταν AΔ 3ΔΕ και Ε(5,4) 3) Δίνονται τα σημεία Α(x,4), B(5,y) και Μ(,3) με x, y R. Nα βρείτε τις τιμές των x, y ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 4) Δίνονται τα σημεία Α(-,-), Β(4,0) και Γ(6,) α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου του Α ως προς το Β 74 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

69 ο Κεφάλαιο β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου του Γ ως προς το μέσο του ΑΒ 5) Δίνεται το σημείο Α(-,3) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β όταν τα Α, Β είναι συμμετρικά ως προς το Κ(0,) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β όταν τα Α, Β είναι αντιδιαμετρικά σημεία κύκλου με κέντρο το Κ(-,0). 6) Δίνονται τα σημεία Α(-3,-4), Β(,3), Γ(4,5), Δ(-,-) α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ 7) Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(-3,5), Β(,7) και Μ(,) κέντρο του παραλληλογράμμου. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών του. Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων 8) Δίνονται τα διανύσματα α,3, β 5, και γ 3, 4 Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α) u 3α β β) v α β 3γ 9) Δίνονται τα διανύσματα α,4 u x,y ώστε να είναι και β 3,. Να βρεθεί διάνυσμα Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 75

70 α) u α β β) u α β Συντεταγμένες Διανύσματος γ) u κα, κr δ) u κα λβ, κ, λ R 0) Δίνονται τα διανύσματα α,3, β,7. Να γράψετε το u ως γραμμικό συνδυασμό των α, β. ) Δίνονται τα διανύσματα α,, β, και u 0, 3 και u 3,4. Να γράψετε το u ως γραμμικό συνδυασμό των α, β. ) Δίνονται τα σημεία Α(5,7), Β(-,4) και Γ(3,-5) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α) ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ β) u ΑΒ 3BΓ 3) Δίνονται τα σημεία Α 6,4x Γ y 8,x 3x, By 5y,x x και με x, y R. Να βρείτε τους x, y ώστε ΑΒ ΑΓ. 4) Α) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(-,-3), Β(4,), Γ(,) και Δ(-,0). Να εκφραστεί το ΑΓ ως γραμμικός συνδυασμός των ΑΒ, ΑΔ Β) Αν είναι ΒΑ ΑΓ και ΔΚ ΚΑ α) Να εκφραστεί εφόσον είναι δυνατόν το ΑΔ ως γραμμικός συνδυασμός των ΑΒ, ΓΔ. β) Να εκφραστεί το ΚΔ ως γραμμικός συνδυασμός των ΑΒ, ΓΔ. 76 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

71 ο Κεφάλαιο 5) Δίνονται τα σημεία Α(3,0), Β(-6,0), Γ(-8,0). Αν Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα και Κ, Λ τα μέσα των ΑΓ και ΜΝ αντίστοιχα να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες των σημείων Μ και Ν β) Τις συντεταγμένες των σημείων Κ και Λ γ) Τις συντεταγμένες του σημείου Ρ για το οποίο ισχύει ΡΑ ΡΒ ΡΓ 0 6) Δίνονται τα σημεία Κ(4,0), Λ(6,) και Μ(3,5) τα οποία είναι μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου. α β, 8 7) Δίνονται τα διανύσματα α, β για τα οποία ισχύει ότι 3α β 3,9 Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α, β 8) Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης x λ 3λ x 99 0 με λ R Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με 3 9) Έστω ότι οι συντεταγμένες ενός σημείου Α είναι ρίζες της εξίσωσης x λ 3λ x λ 0 και οι συντεταγμένες ενός σημείου Β είναι ρίζες της x λ x 3 λ 0 με λ R Μ(x M,y M ) ισχύει ΑΜ λμβ και xm ym 5 να βρείτε το λ.. Αν για το σημείο Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 77

72 Παράλληλα Διανύσματα Συνευθειακά Σημεία Συντεταγμένες Διανύσματος 30) Δίνονται τα διανύσματα α x y, 3 οι x, y R ώστε α//β και β y 3,. Να βρεθούν 3) Δίνονται τα διανύσματα α x y,y y x βρεθούν οι x, y R ώστε α//β και β,x y. Να 3) Δίνονται τα σημεία Α λ,5λ 4 και Βλ λ,λ βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το διάνυσμα ΑΒ να είναι: α) Παράλληλο στον y y β) Παράλληλο στον x x με λ R. Να 33) Δίνονται τα σημεία Αλ λ,λ λ και Βλ λ,λ με λ R. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το διάνυσμα ΑΒ να είναι παράλληλο στο u λ 5,λ 4. διάνυσμα 34) Να βρείτε τα α, β R ώστε α 3iβj / /y y και α i βj / / i j 35) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(-6,), Β(-,3) και Γ(-0,-) είναι συνευθειακά. 78 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

73 ο Κεφάλαιο 36) Να βρείτε τις τιμές του μr ώστε τα σημεία Α(,0), Βμ,3 και Γ 5μ,9 να είναι συνευθειακά. 37) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(,-), Β(,) και Γ(-,5) είναι κορυφές τριγώνου. 38) Να βρείτε τις τιμές του λr ώστε τα σημεία Α(-3,), Β(μ,3) και Γ 5, μ να είναι κορυφές τριγώνου. 39) Δίνονται τα διανύσματα α,, β,5 και γ 0,. α) Να δείξετε ότι τα διανύσματα α, β δεν είναι παράλληλα β) Να αναλύσετε το διάνυσμα γ σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα α και β 40) Δίνονται τα διανύσματα α x, και β 9,x τιμές του x ώστε τα α, β να είναι αντίρροπα. με xr. Να βρείτε τις Μέτρο Διανύσματος 4) Δίνονται τα διανύσματα α,5, β 3,4 και γ, α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των u α 3β και v α β γ β) Να βρείτε τα μέτρα των α, β, γ, u, v. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 79

74 4) Δίνονται τα διανύσματα α,3, β, και γ,3 Να υπολογίσετε τα α) α β γ β) α β β γ α γ Συντεταγμένες Διανύσματος. 43) Αν α λ,λ με λr. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε 3α 5 44) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α για τα οποία ισχύει ότι α α 4,8 45) Αν u,, v,0 και α u α v να βρείτε το α 46) Δίνονται οι κορυφές Α(,9), Β(3,4), Γ(5,7) του τριγώνου ΑΒΓ και το διάνυ- x κ,λ 5 με κ, λ R. σμα α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ. β) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών κ, λ για τις οποίες ισχύει x BΓ ΑΒ γ) Να υπολογίσετε το x. δ) Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ. ε) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Γ. και ΑΓ i 5j όπου i, j γνωστά μοναδιαία διανύσματα, κάθετα μεταξύ τους. α) Να εκφραστεί το ΒΓ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων i, j και να υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. 47) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ 3i 4j 80 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

75 ο Κεφάλαιο β) Να εκφραστεί η διάμεσος ΑΜ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων i, j και να υπολογίσετε το μήκος της. 48) Να βρείτε διάνυσμα β αντίρροπο του διανύσματος α 6,8 τριπλάσιο από το α με μέτρο 49) Δίνεται το διάνυσμα v i j. Να βρείτε διάνυσμα που να έχει μέτρο διπλάσιο του v και να είναι ομόρροπο του v. 50) Να βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο είναι ομόρροπο με το διάνυσμα α i j 5) Δίνονται τα σημεία Α(-,), Β(-5,). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x x ώ- στε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Γ. 5) Δίνονται τα σημεία Α(-,-5) και Β(3,-4). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ. Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος 53) Δίνονται τα διανύσματα α, δ, 3, β 0,, γ,0 και α) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης καθενός από τα διανύσματα α, β, γ, δ αν ορίζονται. β) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει καθένα από τα διανύσματα α, β, γ, δ με τον άξονα x x. 54) Nα βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει με τον x x το διάνυσμα ΑΒ όταν Α(,4) και Β(4,). Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 8

76 55) Δίνονται τα διανύσματα α, και β 3, Συντεταγμένες Διανύσματος. Αν φ και ω οι γωνίες που σχηματίζουν τα διανύσματα α, β αντίστοιχα με τον x x, να δείξετε ότι π φ ω 4 56) Δίνονται τα διανύσματα α x, και β x,x με xr α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α, β δεν είναι συγγραμμικά για κάθε xr β) Αν x 3 να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το α με τον x x γ) Aν x να γράψετε το διάνυσμα γ 3i ως γραμμικό συνδυασμό των α και β δ) Αν x να βρείτε ένα διάνυσμα αντίρροπο του α που να έχει μέτρο 0 57) Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνεται το σημείο Ax y,3y και το διάνυσμα OB x y,x y με x, y R. Να βρείτε τα x, y ώστε το OA να σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 35 ο και AB 4. 58) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v αν είναι γνωστό ότι σχηματίζει μη κυρτή γωνία με τον ημιάξονα Οx, έχει v 0 και είναι παράλληλο u 3, 4 προς το διάνυσμα Γεωμετρικά Θέματα 59) Να δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών κυρτού τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του, διχοτομούνται. 60) Να δείξετε ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται. 8 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

77 ο Κεφάλαιο 6) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ, Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε να ισχύουν 5 AΔ AB, ΒΕ 5ΒΓ, AΖ AΓ. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι 3 7 συνευθειακά 6) Με βάση την πλευρά ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε στο εσωτερικό του ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ. Στη συνέχεια με βάση την πλευρά του ΒΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΖ. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 83

78 ο Κεφάλαιο.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Εσωτερικό Γινόμενο Ιδιότητες Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β το συμβολίζουμε με αβ τον πραγματικό αριθμό: αβ α β συνφ Όπου φ α,β η γωνία των διανυσμάτων α, β Αν ένα τουλάχιστον από τα α, β είναι το 0 τότε ορίζουμε αβ 0 Άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού είναι οι εξής: ) αβ βα (Αντιμεταθετική ιδιότητα) ) α β α β 0 3) α β αβ α β 4) α β αβ α β 5) α α (Απόδειξη: α αα α α συν0= α ) 6) i j ji 0 αφού i j ( όπου i, j τα μοναδιαία διανύσματα) 7) i i καθώς και j j Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β x, y είναι αβ x x y y Απόδειξη Έστω το διπλανό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Με αρχή το σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA α και OB β B(x,y ) β β φ x y και Ο α α Α(x,y ) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 83

79 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Ιδιότητες Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε ότι: ΑΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑΟΒσυνΑΟΒ () η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά. Όμως είναι ΑΒ ΑΒ x x y y x x y y OA OA x y x y OB OB x y x y Από τη σχέση () λοιπόν διαδοχικά έχουμε: x x y y x y x y ΟΑ ΟΒ συναοβ x xx x y yy y x y x y ΟΑ ΟΒ xx yy ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ xx yy αβ x x y y Δηλαδή: Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους. Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου των διανυσμάτων προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες: λα β α λβ λ αβ ) Έστω α x, y και β x, y Απόδειξη λαβ λ x,λ y x, y λxx λyy λ x x yy λαβ αλβ x, y λ x, y λxx λyy λ x x y y λαβ Άρα λαβ αλβ λαβ α β γ αβ α γ (Επιμεριστική Ιδιότητα) ) Απόδειξη γ x3, y3 αβ γ x, y x, y x3, y3 x, y x x3, y y3 Έστω α x, y, β x, y και 84 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

80 ο Κεφάλαιο x x y y x x y y x x x3 y y y3 xx xx3 yy yy3 3 3 αβ αγ 3) α β λ λ εφόσον α,β / / y'y α Έστω α x, y και β x, y β Απόδειξη α β αβ 0 x x y y 0 y y x x y y y y α β x x x x Ιδιότητες ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Παρακάτω θα αναφέρουμε μερικές βασικές ιδιότητες που δεν ισχύουν, για αποφυγή λαθών ) Δεν ισχύει γενικά η προσεταιριστική ιδιότητα δηλαδή είναι α β γ α β γ γιατί το α μέλος είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το γ ενώ το β μέλος είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το α. Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει μόνο στις παρακάτω περιπτώσεις: Αν ένα από τα α, β, γ είναι το 0 Αν α β και β γ Αν α / /γ ) Δεν ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής Δηλαδή αγ βγ δεν συνεπάγεται ότι α β. Ισχύει όμως το αντίστροφο, δηλαδή α β αγ βγ Επίσης αποδεικνύεται ότι ο νόμος της διαγραφής ισχύει μόνο αν τα α, β, γ είναι συγγραμμικά και γ 0 3) Δεν ισχύει η σχέση αβ α β δηλαδή αβ α β Η ισότητα ισχύει μόνο στις περιπτώσεις όπου α 0 ή β 0 α / /β αβ α β αβ α β 4) Δεν ισχύει η σχέση δηλαδή Η ισότητα ισχύει μόνο στις περιπτώσεις όπου α 0 ή β 0 α / /β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 85

81 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ταυτότητες Ισχύουν οι παρακάτω ταυτότητες: ) α β α α β β α α β β ) α β α α β β α α β β 3) α βα β α β α β 4) α β γ α β γ α β α γ γβ Δεν ορίζονται οι δυνάμεις διανυσμάτων με περιττούς εκθέτες Συνημίτονο Γωνίας δύο Διανυσμάτων Αν επιπλέον είναι Από το ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων προκύπτει ότι αβ συνφ όπου φ α,β α β α x, y β x, y τότε από τον παραπάνω τύπο προκύπτει ότι συνφ x x y y x y x y και όπου φ α,β Για τον υπολογισμό του εσωτερικού γινομένου χρήσιμος είναι ο παρακάτω πίνακας: φ 0 ο 30 ο 45 ο 60 ο 90 ο 0 ο 35 ο 50 ο 80 ο 0 π 6 π 4 π 3 π π 3 3π 4 5π 6 π συνφ Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Έστω α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με α 0. Με αρχή ένα σημείο Ο θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ α και ΟΒ β. Από το σημείο Β φέρνουμε ΒΒ κάθετη στη διεύθυνση του α. Το διάνυσμα ΟΒ λέγεται προβολή του β στο α και συμβολίζεται με ΟΒ προββ α. β Ο β α Β Β α Α 86 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

82 ο Κεφάλαιο Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Ισχύει ότι αβ α προβ β α Απόδειξη Διαδοχικά έχουμε αββ αβ α ΟΒ Β Β αοβ αβ Β απροβ β Αποδεικνύεται ότι η σημείου Ο. αβ α Β0 προβ β α είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 87

83 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Αν γνωρίζουμε τα μέτρα δύο διανυσμάτων α, β και τη γωνία τους α,β τότε μπορούμε να υπολογίσουμε: Το αβ Το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος v λα μβ υπολογίζοντας το v v λα μβ λα μβ λαμβ λ α μ β λμα β λ α μ β λμα β και κατόπιν το v Τη γωνία δύο διανυσμάτων της μορφής v λα μβ και v λα μβ από τη σχέση v v συν v, v με v, v 0 v v Τη προβολή οποιουδήποτε διανύσματος που είναι γραμμικός συνδυασμός των α, β πάνω σε ένα μη μηδενικό διάνυσμα που είναι επίσης γραμμικός συνδυασμός των α και β Έστω α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με α Παράδειγμα, β π α, β. Να υπολογισθούν τα εσωτερικά γινόμενα: 3 α) αβ α β α β γ) α β α β α β β) δ) και α) Λύση αβ α β συν α,β α β α β α β α β 4 3 β) 88 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

84 ο Κεφάλαιο α β α α β β α β 4 3 γ) α β α β α 4αβ αβ β α 5αβ β δ) Παράδειγμα Αν α, β και α, β π 3 να υπολογισθεί το 5α - 4β Λύση Αρχικά υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β αβ α β συνα,β 5συν Έτσι λοιπόν είναι: 5α 4β 5α 4β 5α 5α 4β 4β 5α 40αβ 6β 5 α 40αβ 6 β Άρα 5α 4β Για να βρούμε το μέτρο ενός διανύσματος θεωρούμε το τετράγωνο του μέτρου. Παράδειγμα 3 Αν α, β 4 και α, β 3 4 α) Να υπολογισθεί το εσωτερικό γινόμενο αβ β) Να εκφράσετε ως γραμμικό συνδυασμό των α, β το διάνυσμα x για το οποίο ισχύει ότι xα 4 και xβ 5 Λύση 3π αβ α β συνα,β 4συν Για να εκφράσουμε το διάνυσμα x ως γραμμικό συνδυασμό των α, β αρκεί να βρούμε κ, λr τέτοια ώστε x κα λβ () Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 89

85 Επιπλέον από τα δεδομένα έχουμε ότι xα 4 κα λβ α 4 κα λαβ 4 κ α λαβ 4 κ λ8 4 8κ 8λ 4 κ λ () Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων xβ 5 κα λβ β 5 καβ λβ 5 καβ λ β 5 κ8 λ4 5 8κ+6λ 5 (3) Λύνοντας το σύστημα των () και (3) έχουμε: 8κ+6λ 5 8κ+6λ 5 λ κ λ 4 8κ 8λ 4 8 Από τη σχέση () προκύπτει ότι 3 3 κ κ κ Άρα 3 x α β 8 8 Παράδειγμα 4 Δίνονται τα διανύσματα α, β για τα οποία ισχύουν π α, β 3 και α, β 3 α) Να υπολογισθεί το α β β) Να υπολογισθεί το συνα, α β Λύση α) Αρχικά υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β π αβ α β συνα,β 3συν Έτσι λοιπόν είναι: α β α β α αβ β α 4αβ 4β α 4αβ 4 β Άρα α β 5 3 Μέτρο διανύσματος άρα θεωρούμε το τετράγωνο του μέτρου. 90 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

86 ο Κεφάλαιο β) Έχουμε συνα,α β Επιπλέον α α β () α α β α α β α αβ α Ισχύει ότι: α β συνα,β α β Άρα από τη σχέση () προκύπτει ότι συνα,α β Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α, β τότε για να υπολογίσουμε το εσωτερικό τους γινόμενο χρησιμοποιούμε τον τύπο: αβ x x y y α x,y β x,y με και Παράδειγμα 5 Αν α,3 και β,5 Λύση αβ,3, α) i) α 3β 6α β ii) iii) α β 3α β,3,5 3,3,5 3, 3,9,5 3,, uβ 0 κ,λ,5 0 κ 5λ 0 κ 5λ κ λ β) τότε: α) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα i) αβ α 3β ii) iii) α β3α β β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό γινό- u κ,λ και β να είναι ίσο με το μηδέν. Ποια μενο των διανυσμάτων η σχέση όλων των διανυσμάτων u στην περίπτωση αυτή; Όλα τα διανύσματα u είναι κάθετα στο β αφού όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία μας α β α β 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

87 Παράδειγμα 6 Για δύο διανύσματα α, β ισχύει ότι α, β 6 Να δείξετε ότι α β και 4α β 3α 4β Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Λύση 4α β 3α 4β 4α β 3α 4β 0 Αφού α 6αβ 6αβ 8β 0 α 0αβ 8 β 0 0αβ αβ αβ 0 αβ 0 Παράδειγμα 7 Για δύο διανύσματα α, β ισχύει ότι α β α β α β α β Να βρείτε το συνα,β Λύση Έχουμε α β α β α β α β 0 α αβ αβ β 0 α αβ β 0 () α β α β α β α β 0 και α αβ 4αβ β 0 α 3αβ β 0 () Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι κάθετα αρκεί να δείξουμε ότι έ- χουν εσωτερικό γινόμενο μηδέν. Κάθετα διανύσματα άρα ε- σωτερικό γινόμενο μηδέν. Έχουμε λοιπόν το παρακάτω σύστημα α αβ β 0 3 6α 3αβ 3β 0 5 8α 5β 0 α β α 3αβ β 0 α 3αβ β 0 8 (3) 9 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

88 ο Κεφάλαιο β αβ β 0 αβ β β αβ β Επιπλέον Άρα συνα,β α β α β α β β β αβ α β β β β 8 8 α β συνα,β α β Παράδειγμα 8 Αν τα διανύσματα α xy, y x με x,yr * + είναι κάθετα, να βρείτε τα x, y. Λύση α β αβ 0 xy, y x x 6, 0 xy x 6 y x 0 διαιρούμε x y 6xy y 4x 0 με xy0 x y 6xy y 4x και β x 6, 0 xy xy xy xy x y x y () x y x y Κάθετα διανύσματα άρα ε- σωτερικό γινόμενο μηδέν και α- φού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες θα δουλέψουμε με την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου. Άρα 3 3 Όμως x y x y x y x y 3 x y x y Ισχύει ότι αν α +β +γ 3αβγ τότε α+β+γ 0 ή α=β=γ Οπότε 3 3 x y x y ή x x y x y y x y xy 4 xy 4 x y y 3 x x 8 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 93

89 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Παράδειγμα 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(,), Β(-,-) και Γ(-3,4). Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ. Ισχύει ότι συναμ,αγ ΑΜΑΓ ΑΜ ΑΓ Λύση Α(,) Αφού το Μ μέσο της ΒΓ έχουμε ότι Β(-,-) Μ Γ(-3,4) xb xγ 3 xm xm xm άρα Μ(-,) yb yγ 4 ym ym y M ΑΜ 3, ΑΜ 3 0 Έτσι λοιπόν με ΑΓ 4 0 Καθώς και ΑΓ 4, με ΑΜΑΓ 4, 3, Τέλος, 0 0 Έτσι λοιπόν συναμ,αγ συναμ,αγ Οπότε ΑΜ,ΑΓ π 4 0 ΑΜ,ΑΓ π γιατί ως γνωστόν Προβολή Διανύσματος Η προβ v u είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το v 0. Για να υπολογίσουμε την προβολή του διανύσματος u πάνω στο v Θέτουμε προβ u = λv v Αντικαθιστούμε στη σχέση uv vπροβ v u uv v λv uv λv uv λ v λ uv άρα προβu = v v v 94 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας, οπότε uv v v u προβ u v v

90 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 0 Να βρείτε την προβολή του διανύσματος α,3 β 3, 4. πάνω στο διάνυσμα Λύση Με βάση την παραπάνω μεθοδολογία ισχύει ότι Πολλαπλασιάζοντας την () με το διάνυσμα β έχουμε βπροβ αβα β βπροβ α = λβ βα = λ β β προβ α = λβ () λ λ λ προβ α 3, 4 προβ α =, β β Άρα από την () έχουμε Παράδειγμα Δίνονται τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύει α αβ. Να δείξετε ότι: α) Τα α, β δεν είναι παράλληλα β) Να υπολογίσετε τα κ, λ R ώστε Λύση α) Διαδοχικά έχουμε αβ π συνα,β συνα,β συνα,β α,β α β 4 β, β προβ κα κ β = 4κα λβ α και Άρα α, β δεν είναι παράλληλα προβ α κα κ β είναι παράλληλη στο α οπότε θα είναι -λ=0 λ=0 Έτσι λοιπόν προβ κα κ β 4κα α κα κ β προβ κα κ β 4κα κα κ β α β) Η κα κ β α 4κα κα κ β κα κ α β 4κ α 4κ κ α β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 95

91 κ α κ 4κ α 4κ κ κ κ 4κ 4κ κ κ 4 κ 8κ 4 6κ κ 4 6κ 8κ Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ανάλυση Διανύσματος σε Κάθετες Συνιστώσες Α) Όταν θέλουμε να αναλύσουμε το διάνυσμα γ σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες όπου η μία έχει τη διεύθυνση γνωστού διανύσματος v, ισχύει: γ γ γ () γ //v οπότε γ λv () γ v οπότε γ v 0 Αντικαθιστούμε την () στη σχέση () και γίνεται γ λv γ Πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά με το διάνυσμα v οπότε γv λv γ v γv λ v και υπολογίζουμε το λ Από την () βρίσκουμε το γ και στην συνέχεια από την () βρίσκουμε το γ v γ γ γ Β) Όταν θέλουμε να αναλύσουμε ένα διάνυσμα γ σε δύο άλλες συνιστώσες παράλληλες ή κάθετες γνωστών διανυσμάτων, τότε γράφουμε το γ ως γραμμικό συνδυασμό των παραλλήλων διανυσμάτων προς τις συνιστώσες και με αντικατάσταση των συντεταγμένων των διανυσμάτων δημιουργούμε σύστημα για να βρούμε τις συνιστώσες. Παράδειγμα Δίνονται τα διανύσματα α, και β 3,. Να αναλύσετε το διάνυσμα α σε δύο συνιστώσες, κάθετες μεταξύ τους, που η μία να έχει τη διεύθυνση του β 96 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

92 ο Κεφάλαιο Λύση Έστω γ, γ οι ζητούμενες συνιστώσες του α Έχουμε ότι α γ γ () με γ γ () Θεωρούμε ότι το γ έχει τη διεύθυνση του β δηλαδή γ λβ (3) Διαδοχικά λοιπόν έχουμε από τη σχέση () α λβ γ γ α λγ β γ γ λαβ λ ββ λαβ λ β λαβ λ β 0 λ 0 λ λ 9 0 λ 0λ 0 λ 0λ 0 ή λ 0 Για γ 0 γ 0,0 το οποίο λ 0 από τη σχέση (3) προκύπτει ότι απορρίπτεται. Για λ από τη σχέση (3) προκύπτει ότι 0 3 γ - β γ - 3, γ, ενώ από τη σχέση () προκύπτει ότι 3 7 γ α γ γ,, γ, Έστω ότι για τα α, β, γ γνωρίζουμε τα μέτρα τους και ότι ισχύει η σχέση α+κβ+μγ 0 () Αν θέλουμε να υπολογίσουμε Τα αβ, βγ, γα Π.χ. το αβ τότε μετασχηματίζουμε την () ώστε στο ένα μέλος να είναι τα α, β και παίρνουμε την ισότητα των τετραγώνων. Δηλαδή: α+κβ=-μγ οπότε α+κβ = -μγ... Το αβ βγ γα και είναι κ μ τότε από τη σχέση: έχουμε α+β+γ 0 α+β+γ 0... Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 97

93 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Παράδειγμα 3 Αν για τα διανύσματα α, β, γ έχουμε ότι α α-β+3γ 0 να βρεθεί το αβ+β γ+γα, β 3, γ και Λύση Είναι α-β+3γ 0 β 3γ α () Οπότε Α αβ βγ γα αα 3γ α 3γγ γα α 3αγ αγ 3γ αγ α 6αγ 3 γ 6αγ () Επίσης β 3γ α άρα β 3γ α β 9γ αγ 4α β 9γ αγ 4α 9 9 αγ 6 αγ 6 6 αγ αγ Από τη σχέση () έχουμε Α Αν έχουμε μια σχέση των α, β, γ 0 και μια σχέση των μέτρων τους π.χ. α β γ α+κβ+μγ 0 () και () και θέλουμε να δείξουμε π.χ. λ λ λ3 α β ή α β τότε θέτουμε τους λόγους της () ίσον με το λ και εκφράζουμε τα α, β, γ συναρτήσει του λ. α β γ Δηλαδή λ οπότε α λ λ, β λ λ, γ λ λ3 λ λ λ3 Αρκεί να δείξουμε Για α β ότι αβ α β Για α β ότι αβ α β 98 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

94 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 4 Αν για τα διανύσματα α, β, γ έχουμε ότι α α+β+γ 0 να αποδείξετε ότι α β και γ β, β, γ 3 και Λύση Για να δείξουμε ότι α β αρκεί να δείξουμε ότι α β α β Από την υπόθεση έχουμε ότι α β () Επιπλέον α β γ 0 α β γ () Υψώνοντας την σχέση () στο τετράγωνο έχουμε α β γ 4α 4α β β γ 4 α 4α β β γ 6 4αβ 9 4αβ 8 αβ (3) Από () και (3) προκύπτει ότι αβ α β άρα α β Για να δείξουμε ότι γ β αρκεί να δείξουμε ότι βγ β γ Από την υπόθεση έχουμε ότι β γ 3 (4) Επιπλέον α β γ 0 β γ α (5) Υψώνοντας την σχέση (5) στο τετράγωνο έχουμε β γ α β β γ γ 4α β β γ γ 4 α β γ 9 6 β γ 6 βγ 3 (6) Από () και (3) προκύπτει ότι βγ β γ άρα γ β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 99

95 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Σε θεωρητικές ασκήσεις εφαρμόζουμε τις ιδιότητες που ισχύουν για τα διανύσματα. Αν έχουμε μέτρα, υψώνουμε στο τετράγωνο για να φύγουν τα μέτρα. Όταν πρόκειται να δείξουμε μια ισότητα είτε ξεκινάμε από κάποιο μέλος για να καταλήξουμε στο άλλο ή κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη για να καταλήξουμε σε κάτι που ισχύει. Παράδειγμα 5 Αν για τα διανύσματα α, β είναι 5α 3β 5α 3β να δείξετε ότι αβ 0 Λύση Έχουμε 5α-3β 5α+3β 5α-3β 5α+3β 5α-3β 5α+3β 5α -30αβ+9β 5α +30αβ+9β -30αβ 30αβ 60αβ 0 αβ 0 Παράδειγμα 6 Αν α β α β να αποδείξετε ότι: 3α β α 3 Ισότητα με μέτρα διανυσμάτων οπότε υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο. Λύση Έχουμε να αποδείξουμε μια σχέση υπό συνθήκη οπότε αρχικά μετασχηματίζουμε τη συνθήκη. - - α β α α β = α α- β = α α -4α β+4β α -4αβ 4β 0 4β 4αβ β αβ () α β α β α 4β () Έτσι λοιπόν έχουμε: 3 α+β α 3 3α β 3 α 3α β 3α 9α α β 4β 3α 00 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 94β β 4β 34β 5β 5β, που ισχύει

96 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 7 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β του επιπέδου. Να αποδειχθεί ότι: α) α β α β α β β) α β α β α β Λύση Έστω θ η γωνία των α, β. Τότε έχουμε: αβ 0 α) α β α β α β α β α β 0 α α β α α β β α β β α α β β α β συν α,β α β συνθ= συνθ=συν0 θ=0 α β α β α α β β β) α β α β α β α β Παράδειγμα 8 Αν α = β = α α β β α α β β α β συν α,β α β συνθ - συνθ συνπ θ π α β, και α,β π να βρεθεί η γωνία 3 Λύση Με βάση τον τύπο του εσωτερικού γινομένου έχουμε ότι: α+β α α+β α συνα+β,α συν α+β,α = α+β, α. α+β α () α+β α Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 0

97 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Υπολογίζουμε αριθμητή και παρονομαστή χωριστά. Για τον αριθμητή έχουμε: α+β α 4α +αβ 4 α α β α,β π π 4 συν 4 συν π- 3 3 π 4 συν Για τον παρονομαστή έχουμε: α+β α+β 4α +4αβ+β συνα+β,α 4 α 4 α β συν α,β β () π π 4 4συν 5 4συν π- 3 3 π 5 4συν α+β α 3 α 3 3 (3) συνα+β,α συν α+β,α 6 6 Παράδειγμα 9 Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(,), Β(3,4), Γ(5,4) και Δ(3,-). Στην προέκταση της ΒΓ προς το Γ, παίρνουμε τμήμα ΓΕ, έτσι ώστε ΒΓ=ΓΕ. Αν Κ, Λ, Ν είναι τα μέσα των ΑΒ, ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΚΛ ΝΕ. Αρκεί να δείξουμε ότι ΚΛ ΝΕ 0 Λύση Θα βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΚΛ, ΝΕ, ώστε να χρησιμοποιήσουμε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου Κ μέσο ΑΒ Κ, άρα Κ(,3) Β Κ Α Ν Δ Λ Γ Ε 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

98 ο Κεφάλαιο Λ μέσο ΓΔ Λ, άρα Λ(4,) Ν μέσο ΑΔ Ν, άρα Ν(,0) ΒΓ=ΓΕ ΒΓ ΓΕ 5-3,4-4 x -5,y -4,0 x -0,y -8 Ε Ε Ε Ε x Ε-0= x Ε= x Ε=6 Ε6,4 y Ε-8=0 y Ε=8 y Ε=4 ΚΛ= 4-,-3 =,- και ΝΕ= 6-,4-0 = 4,4 ΚΛ ΝΕ 4,4, δηλαδή ΚΛ ΝΕ Οπότε Άρα Εύρεση Γεωμετρικού Τόπου ενός σημείου Μ Αν το σημείο Μ επαληθεύει μια διανυσματική σχέση γραμμικού συνδυασμού, τότε δίνουμε στη σχέση τη μορφή ΑΜ λ α, όπου Α σταθερό σημείο και α γνωστό διάνυσμα. Τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ευθεία ή τμήμα ευθεία που περνά από το σημείο Α και έχει τη διεύθυνση του διανύσματος α. Α α Μ (ε) Αν το σημείο Μ επαληθεύει μια σχέση με μέτρα διανυσμάτων, τότε καταλήγουμε σε μια από τις παρακάτω σχέσεις o ΜΑ κ όπου Α σταθερό σημείο και κ > 0, ο- Μ πότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος κέντρου Α και ακτίνας κ. κ o ΜΑ ΜΒ, όπου Α, Β σταθερά σημεία, οπότε Μ ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Α Β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 03

99 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων o ΜΑΜΒ κ όπου Α, Β σταθερά σημεία και Τότε παίρνουμε το μέσον Ο του ΑΒ και έχουμε: ΜΑ ΜΒ κ ΟΑ ΟΜΟΒ ΟΜ κ ΟΑ ΟΜ ΟΑ ΟΜ κ ΟΑ ΟΜ κ ΟΜ κ ΟΑ 4κ ΑΒ 0 Οπότε ο γ.τ. είναι κύκλος με κέντρο το Ο και ακτίνα: ρ= 4κ ΟΑ Α Μ Ο Β ΑΒ Αν το σημείο Μ επαληθεύει μια σχέση εσωτερικού γινομένου, τότε: o Όταν ΟΜΑΒ 0, όπου Ο, Α, Β σταθερά σημεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κάθετη ευθεία από το Ο στο ΑΒ. o Όταν ΜΑ ΜΒ 0 όπου Α, Β σταθερά σημεία τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ. o Όταν προβ ΑΜ c, όπου Α, Β σταθερά σημεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ, που απέχει από το Α απόσταση c. Γενική Μέθοδος Αν για το σημείο Μ δίνεται ότι ισχύει μια από τις σχέσεις ΜΑ ΜΒ λ ή ΜΑ ΜΒ λ ή ΜΑ ΜΒ λ με λ, τότε θεωρούμε το μέσο Ο του ΑΒ και εκφράζουμε τα διανύσματα ΜΑ ΜΟ ΟΑ και ΜΒ ΜΟ ΟΒ για να καταλήξουμε σε μια από τις παραπάνω σχέσεις. Α Α Μ Ο Μ Ο Β Β 04 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

100 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 0 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει ΑΒ ΑΜ ΑΓ ΑΜ 0. Λύση Ας είναι Κ το μέσο του ΒΓ τότε θα είναι ΑΒ+ΑΓ ΑΚ ΑΒ+ΑΓ ΑΚ () ΑΒ ΑΜ+ΑΓ ΑΜ 0 ΑΜΑΒ+ΑΓ 0 ΑΜΑΚ 0 ΑΜ ΑΚ 0 ΑΜ ΑΚ Μ Α Β Κ Γ Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι ευθεία κάθετη στο ΑΚ που διέρχεται από το σημείο Α. Παράδειγμα Δίνονται τα σταθερά σημεία Α και Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει ΜΑ ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ. Λύση Διαδοχικά έχουμε: ΜΑ ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ ΜΑ ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ ΜΑ ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ ΜΑ 4ΜΑ ΜΒ 4ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ 4ΜΑ ΜΒ 0 ΜΑΜΒ 0 ΜΑ ΜΒ Α Μ Β Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 05

101 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ α β α β συν α,β Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: 5π α) Αν α, β 3 και α, β 6 0 β) Αν α, β και α, β 30 γ) Αν α 3, β 0 και α, β 35 ) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα α β συνα,β αβ ) Αν το διάνυσμα α είναι μοναδιαίο, τις παρακάτω παραστάσεις: α) π β και α, β 3 α β β) α β α β γ) α 3β να υπολογίσετε 4) Έστω δύο διανύσματα α, β του επιπέδου με α 3, β 4 Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α) αβ β) α και α β α β α β δ) β γ) ε) 3α β α β στ) α β και α, β ζ) α β π. 06 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

102 ο Κεφάλαιο 5) Έστω δύο διανύσματα α, β του επιπέδου με α αβ 4. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: β α α) α 3 δ) α βα β β) 3α βα 5β α β ε) α, β 3 β γ) και α, β u α β β α 3β 6) Αν β α και π να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος 5π, β και α, β 6 α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο αβ β) Να βρείτε το διάνυσμα u, τέτοιο ώστε uα και uβ 3 7) Δίνονται τα διανύσματα α και β με α 3 5 8) Αν β α, β α, 0 α) Το v β) Τις γωνίες α,ν και v α β, να υπολογίσετε:, v,β π 9) Αν α, β, α, β να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων 4 α β, 6 3 β. Δίνεται ότι = 0,6 και συν5 ο =0,6. 7 π, β, α, β να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων 6 7 α β, α β. Δίνεται ότι 7 = 0,75 και συν4ο =0,75. 0) Αν α 3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 07

103 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ) Αν α 3 α) α β, β 5 και α, β π να υπολογιστούν τα 3 β) α β γ) α β ) Αν α 3, β και α β v α β να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος 3) Αν α β, α 3β 3 των διανυσμάτων α, β και α+ β,α-3β π 3 να βρεθούν τα μέτρα 4) Έστω ότι για τα διανύσματα α, β ισχύει α, β 3 και αβ 5 α) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των α, β β) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u α+3β και v α-β γ) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων u, v δ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u, v α 3, β γ και α β 4γ 0 τότε: α) Να βρείτε το αβ β) Να υπολογίσετε την α,β γ) Να δείξετε ότι α 3β 5) Αν 6)Έστω τα διανύσματα α, β με α, β, α, β 60 και το τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ α β, ΒΓ 3α β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ. 08 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

104 ο Κεφάλαιο π 7) Έστω τα διανύσματα α, β, γ με α, β, γ 3 και α, β, 3 π β, γ. Να γραφτεί το διάνυσμα β ως γραμμικός συνδυασμός των 6 α, γ. Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου αβ x x y y α x, y β x, y για και 8 8) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο αβ α) α,4 και β,3 γ) α 3,3 και β, 3 στις ακόλουθες περιπτώσεις β) α, και β 3,4 9) Αν α, και β,3 α) αβ β) αβ να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: γ) α β α β α δ) 0) Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων α, β στις ακόλουθες περιπτώσεις: α 3, 3 β 3,- α, 3 β - 3,3 α) και γ) α,3 και β,5 β) δ) α -,4 και 3 και β 3-6,- - 3 ) Αν α 3, 4 και β i j να βρείτε τη γωνία των α, β 7 ) Αν α,, β, α) Τα διανύσματα v, u και v+u α να βρείτε:, v+u β β) Το συν v, u Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 09

105 3) Έστω τα διανύσματα α,4, β -3, Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων. Για το διάνυσμα γ ισχύει αγ 8 και βγ 8. Να βρεθεί το διάνυσμα γ. Για το διάνυσμα γ ισχύει αγ 8 και βγ 6. Να βρεθεί το διάνυσμα γ α,3 β -, γ,. Να υπολογίσετε τις 4) Έστω τα διανύσματα α 3,4, β -5, 5) Έστω τα διανύσματα,, παρακάτω παραστάσεις α) αβ βγ γα γ) α β γ α β γ αβ γ βγ α γα β β) 6) Δίνονται τα διανύσματα α, ΑΓ α β να υπολογίσετε το ΒΓ. και β 0,. Αν ΑΒ α β και 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,-), Β(,3), Γ(0,). Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) ΑΒ ΑΓ β) ΑΒ ΑΔ όπου για το σημείο Δ ισχύει: ΒΔ ΔΓ ΑΜΒΓ ΑΓ όπου Μ μέσον του ΒΓ γ) Καθετότητα Διανυσμάτων 8) Να βρείτε για ποια τιμή του λ τα διανύσματα α, β είναι κάθετα στις παρακάτω περιπτώσεις λ α) α λ, και β λ-3, β) α,λ και β 3λ+,-3λ λ+ α λ, β 4λ, γ) 9) Αν α 3 και και β 6 να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v 3α+λβ και u 3α-λβ να είναι κάθετα. 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

106 ο Κεφάλαιο 30) Αν για τα διανύσματα α, β, γ. ότι: α α 6β ισχύει α+3β γ 0 και γ 3 β να δείξετε 3) Να βρείτε το διάνυσμα που είναι κάθετο στο v, και έχει μέτρο 5. και η γωνία των διανυ- α β ισχύουν: α σμάτων α β, α είναι 0 45, να αποδείξετε ότι: α) α β β) α β 3) Αν για τα διανύσματα α, β 33) Έστω τα διανύσματα α,3, β 3, και γ,0 διάνυσμα v λα+μβ ώστε να είναι v 0 και v γ. Να βρείτε το του επιπέδου με α β και τα διανύσματα u 3α-β, v α+β. Αν u v να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α, β. 34) Δίνονται τα διανύσματα α, β 35) Δίνονται δύο κάθετα διανύσματα u 4 Α) Να υπολογίσετε τα v u α) και v 5 β) u 3vu 4v Β) Να βρείτε το xr αν xu v 34 α) xu v xu v 3 β) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

107 36) Δίνονται τα διανύσματα Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων αβ u αβ γ- αγ β και v α -β. α Να δείξετε ότι u α και v α για τα οποία ισχύουν α β αβ β α β. Να αποδείξετε ότι τα α, β είναι ίσα ή αντίθετα. 37) Δίνονται τα διανύσματα α, β και 38) Αν για τα διανύσματα α, β και α β να βρείτε τα α, β. ισχύουν: α β, α β α 3β 39) Έστω τα διανύσματα α, β και γ ώστε α β, γ και α β γ α) Να δείξετε ότι α β β) Να υπολογίσετε τη γωνία α,γ 40) Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα α, β π 6 α α 3β. Να αποδείξετε ότι α, β με 4 α 3 3 β και Προβολή Διανύσματος 4) α) Να αποδείξετε ότι προβ α = β) Αν α,3 και β,4 β αβ β β να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

108 ο Κεφάλαιο 4) Να βρείτε την προβολή του διανύσματος α, β 3, 4 στο διάνυσμα 0, β και α, β 60 να βρείτε την προβολή του διανύσματος v α β πάνω στο διάνυσμα α. 43) Αν α 44) Αν α,, β 4,3 v αβ α 3β να βρείτε την προβ v α και 45) Αν α, β και α, β π να βρείτε το λ ώστε: 3 προβ λα β α α 46) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ 3, Να υπολογίσετε την προβ ΑΜ. ΑΓ ΑΓ 4, ΒΑΓ 0 0 και ΑΜ διάμεσος. Ανάλυση Διανύσματος σε Συνιστώσες 47) Δίνονται τα διανύσματα α,7 και β, 3. Να αναλύσετε το διάνυσμα α σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο β και η άλλη κάθετη στο β.. Να αναλύσετε το διάνυσμα α σε δύο συνιστώσες γ και δ ώστε να είναι: δ / /β και γ α 48) Δίνονται τα διανύσματα α, και β,3 49) Έστω τα διανύσματα α 3, 4 και β 5,0. Να αναλύσετε το διάνυσμα β σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3

109 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 50) Να αναλυθεί το διάνυσμα u 8, οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α, 3 σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις. 5) Δίνονται τα διανύσματα u 3,, β,3, γ 4, διάνυσμα u σε δύο συνιστώσες παράλληλες προς το β και γ.. Να αναλυθεί το σε δύο συνιστώσες κάθετες των δι- 5) Να αναλυθεί το διάνυσμα u 5, 5 ανυσμάτων α, και β 3, 4 53) Δίνονται τα διανύσματα α, και β 3,4. Να βρείτε τα διανύσματα p και q ώστε να είναι: α p q, p / /α, q β 54) Δίνονται τα διανύσματα α 3,4 και β, α) Να υπολογίσετε το διάνυσμα προβ β α β) Να αναλύσετε το β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη και η άλλη κάθετη στο α ***** και α β 3γ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α αβ βγ γα 55) Αν α β 4 γ 4 56) Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α β γ 0 και α 3, β 5, γ 7 Να υπολογίσετε: α) Τη γωνία α,β β) Την παράσταση Α αβ β γ 3γα 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

110 ο Κεφάλαιο είναι μοναδιαία και ισχύει α β γ 0 να υπολογίσετε την παράσταση: Α αβ βγ γα 57) Αν τα διανύσματα α, β, γ 58) Αν για τα διανύσματα α, β, γ ισχύουν α, β 3, γ α β 3γ 0 να υπολογιστεί ο αριθμός αβ βγ γα και 59) Αν το διάνυσμα α είναι μοναδιαίο και ισχύει: β γ αβ α πολογίσετε την παράσταση Α αβ βγ, να υ- είναι μοναδιαία και ισχύει αβ βγ αποδείξετε ότι: α β γ. 60) Αν τα διανύσματα α, β, γ 6) Αν α και β α, 60, β α) Το γ β) Το αγ βγ και α β γ 0, να υπολογίσετε: να 6) Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α γ α β γ 0 και β 4 Να αποδείξετε ότι α) α β β) α β 0 63) Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ ισχύει β γ α β γ 0 και α 3 Να αποδείξετε ότι: α) β α β) β γ να αποδείξετε ότι: α β 64) Αν α 5βα 5β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5

111 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 65) Έστω τα διανύσματα α, β με α = β α) Να αποδείξετε ότι α-3β 0 α, β 0 και 0 β) Να βρείτε διάνυσμα x ώστε: x / / α-3β και α β-x. Να βρείτε τα διανύσματα x, y ώστε να είναι α x 3y και x y και y / /β 66) Δίνονται τα διανύσματα α 3,4 και β, 3 και α v u με v / /β και u β, να αποδείξετε ότι: αβ v β β αβ v β και u v α να αποδείξετε ότι: β α) v u β) Αν α / /β τότε v α 67) Αν β 0 68) Αν 69) Δίνονται τα διανύσματα α,, β, διάνυσμα x ώστε να είναι xαβ x γ και γ 3,5. Να βρείτε το x xα β γ με αβ 0, να αποδείξετε ότι: αγ αγ α) xα β) x γ β αβ αβ 70) Αν 7) Δίνονται τα διανύσματα α 3,4 και β 4,3. Βρείτε μοναδιαίο διάνυσμα, που να βρίσκεται στη διχοτόμο τους. 6 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

112 ο Κεφάλαιο β. Να δείξετε ότι το διάνυσμα x α β β α είναι συγγραμμικό με τη διχοτόμο της γωνίας των α, β 7) Δίνονται τα διανύσματα α, 73) Έστω τα διανύσματα α, β και γ. Να δείξετε ότι α) αβ α β α γ β β γ-α γ α-β β) 74) Έστω τα διανύσματα α, β. α) Να δείξετε ότι α β α β α β β) Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω πρότασης; Γεωμετρικές 75) Στο ισοσκελές τρίγωνο δείξτε ότι η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή του είναι και ύψος. 76) Στο ισοσκελές τρίγωνο δείξετε ότι η διάμεσος που άγεται από την κορυφή του είναι και ύψος. 77) Να δείξετε ότι οι διαγώνιες ενός ρόμβου τέμνονται κάθετα. 78) Δείξτε ότι κάθε γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. 79) Δείξτε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό αυτής. 80) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα τμήματα ΑΔ =ΑΒ και ΑΕ =ΑΓ του τριγώνου. Αν Μ το μέσο του ΕΔ, να δειχτεί ότι ΑΜ ΒΓ εκτός Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 7

113 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Γεωμετρικοί Τόποι 8) Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα με (ΑΒ)=α και ένα μεταβλητό σημείο Μ του επιπέδου. Αν Ο είναι το μέσο του ΑΒ, τότε α) Να αποδείξετε ότι ΜΑ ΜΒ ΟΜ α β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑΜΒ κ όπου κ σταθερός αριθμός. 8) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του ΑΜ ΑΒ ΑΓ ΑΜ ΑΒΑΓ 0. επιπέδου για τα οποία ισχύει: 83) Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, τα οποία έχουν την ιδιότητα ΜΑ ΜΒ α όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός. 84) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΜΑ ΜΒ ΜΓ 3ΜΓ ΜΑ ΜΒ. 85) Έστω Α, Β δύο σταθερά σημεία με ΑΒ 8. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑΜΒ 9 8 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

114 ο Κεφάλαιο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά β) Ισχύει ότι ΑΒ ΟΑ ΟΒ γ) Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ 0 δ) Αν ΑΒ ΒΓ ΓΔ 0 τότε ΑΔ 0 ΑΒ ΑΓ ε) Αν ΑΜ διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ τότε ΑΜ στ) Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ ) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Αν α β τότε αναγκαστικά α β β) Αν α λ β με λr τότε αναγκαστικά α / /β γ) Αν α β α β τότε τα α και β είναι πάντα συγγραμμικά Σ Σ Σ Λ Λ Λ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

115 Ερωτήσεις Κατανόησης δ) Για τα ομόρροπα διανύσματα α και β ισχύει α β α β Σ Λ ε) Για οποιαδήποτε διανύσματα α και β ισχύει α β α β α β Σ Λ 3) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα Σ Λ β) Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετους συντελεστές διεύθυνσης τότε γ) Αν α β α,β β,α π δ) Όταν οι συντελεστές διεύθυνσης δύο διανυσμάτων είναι αντίθετοι αριθμοί τότε τα διανύσματα είναι κάθετα ε) Αν το α β είναι συγγραμμικό του α, τότε το α β είναι συγγραμμικό και με το β Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ 4) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Είναι j,0 Σ Λ 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

116 ο Κεφάλαιο det i, j 0 β) Είναι det α, α γ) Είναι Σ Σ Λ Λ δ) Αν φ η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α με τον άξονα x x τότε είναι 0 φ π ε) Αν Α(x,y ), B(x,y ) και Μ το μέσο του ΑΒ είναι x x y y Μ, Σ Σ Λ Λ 5) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Αν αβ 0 τότε α,β είναι οξεία Σ Λ β) Το αβ γ) Το λα γ παριστάνει διάνυσμα β με λ R παριστάνει διάνυσμα δ) Ισχύει ότι α βγ αβγ ε) Αν αβ αγ τότε είναι β γ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

117 Ερωτήσεις Κατανόησης 6) Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα που βρίσκεται στην αριστερή στήλη Α με το κάθετό του στη δεξιά στήλη Β Στήλη Α Διάνυσμα. α κ,. β κ, 3. γ κ,κ 4. δ 0, κ Στήλη Β Κάθετο Διάνυσμα e 0,κ α) β) u, κ γ) v, κ δ) t 9,0 ε) w, κ στ) r κ, κ ζ) m κ, ) Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα που βρίσκεται στην αριστερή στήλη Α με το μέτρο του στη δεξιά στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Διάνυσμα Μέτρο α). α,. β ημθ,συνθ 3. γ, β) 0 γ) δ) 3 3 ε) 3 4. δ, στ) 3 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

118 ο Κεφάλαιο 8) Δίνεται ότι α β γ και α,β π 6, α,γ π. Να αντιστοιχίσετε κάθε εσωτερικό γινόμενο που βρίσκεται στη στήλη Α με την τιμή του που βρίσκεται στη στήλη Β.. αβ. αγ 3. γβ Στήλη Α Διάνυσμα α) - β) 0 γ) 3 δ) 3 Στήλη Β Μέτρο 3 ε) 9) Κάθε διάνυσμα της στήλης Α έχει μέτρο ένα αριθμό που βρίσκεται στη στήλη Β. Να κάνετε τη σωστή αντιστοίχιση. Στήλη Α Διάνυσμα Στήλη Β Μέτρο α). 8 i j β) ημθ συνθ. xi y j γ) 3 3. ημθi συνθ j δ) x y x y i xy j ε) ημθ συνθ 4. στ) 3 4 ζ) x y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3

119 Ερωτήσεις Κατανόησης 0) Να συμπληρωθούν οι στήλες στον παρακάτω πίνακα Διανύσματα Γωνία που α β σχηματίζει το α με τον x x (,0) (0,-3) (,) (-3,3) (,) (3,3) (0,) (-,0) Γωνία που σχηματίζει το β με τον x x Γωνία που σχηματίζoυν τα β και α μεταξύ τους ) Να συμπληρωθούν οι στήλες στον παρακάτω πίνακα α Διανύσματα β Γωνία α,β Μέτρο α Μέτρο β Εσωτερικό Γινόμενο αβ (-,4) (,-3) π 3 (3,) (-, ) π 6 (, 3 ) (,) π 4 6, 3, 3 3 5π 6 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

120 ο Κεφάλαιο ) Σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση i. Αν α, β ομόρροπα διανύσματα και κ, λr * διάφοροι του και κα λβ 0, τότε: Α. κ, λ θετικοί Β. κ, λ αρνητικοί Γ. κ, λ αντίστροφοι Δ. κ, λ ετερόσημοι Ε. κανένα από τα προηγούμενα ii. Αν ισχύει κα λβ 0 με κ, λ R * τότε: Α. Τα α, β έχουν την ίδια φορά Β. Τα α, β είναι κάθετα Γ. Τα α, β είναι αντίρροπα Δ. Τα α, β έχουν το ίδιο μέτρο Ε. Τα α, β έχουν την ίδια διεύθυνση iii. Το διάνυσμα α ημθ,συνθ είναι το μηδενικό με: Α. θ κπ Β. π θ κπ Γ. 4 π θ κπ Δ. θ κπ π Ε. καμία τιμή του θ iv. Αν Α(,) και Ο η αρχή του ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων, το ΟΑ ισούται με: Α. i j Β. i j Γ. ij Δ. i j Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5

121 Ερωτήσεις Κατανόησης v. Ο συντελεστής διεύθυνσης του μοναδιαίου διανύσματος j είναι Α. λ Β. λ 0 Γ. δεν ορίζεται Δ. λ vi. Τα διανύσματα α λ,λ με λr είναι συγγραμμικά για: και β, Α. λ Β. λ 0 Γ. λ Δ. καμία τιμή του λr vii. Αν α β 0 τότε Α. α 0 Β. β 0 Γ. α β Δ. α β Δ. α β viii. Είναι αβ 0. Από τις παρακάτω σχέσεις δεν μπορεί να ισχύει: Α. α 0 Β. α β και α,β Γ. α β π Δ. α,β π 4 Ε. α β και α,β π 6 ix. Αν α είναι μη μηδενικό διάνυσμα και β ένα οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα, τότε : Α. αβ α προβ α β Δ. αβ α προβ β α Β. αβ απροβ β α Ε. αβ β προβ α β Γ. αβ βπροβ β α 6 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

122 ο Κεφάλαιο ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α ) Να ορίσετε τα παρακάτω : α) Ίσα διανύσματα β) Αντίθετα διανύσματα, γ) Ομόρροπα διανύσματα δ) Αντίρροπα διανύσματα Α ) Να αποδείξετε ότι αν Μ μέσο ενός τμήματος ΑΒ, να αποδείξετε ότι : ΟΑ ΟΒ ΟΜ Α 3 ) Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις :. Αν α ομόρροπο του β τότε ισχύει πάντα λ λ α β. Το (α β) γ παριστάνει αριθμό 3. Αν αβ αγ τότε β γ 4. Αν αβ 0 τότε α β 5. Αν αβ 0 τότε α 0 ή β 0 6. Το (α β) γ παριστάνει διάνυσμα 7. Αν αβ α β τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία 8. Αν λ α μ β και α,β μη παράλληλα διανύσματα τότε λ μ 0 9. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ότι AB ΓΔ 0. Το διάνυσμα β (, 3) έχει ίδιο μέτρο με το α (,3) ΘΕΜΑ Β Β ) Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ 0 Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Β ) Δίνονται τα διανύσματα κ (3, ), v (,), u (, 5) α) Αποδείξτε ότι τα παραπάνω διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά β) Να γράψετε το u ως γραμμικό συνδυασμό των κ, v Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 7

123 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Γ Δίνονται διανύσματα α και β με α 3 Γ ) Να βρείτε το εσωτερικό τους γινόμενο Γ ) Να υπολογίσετε το α β και β 4 α,β 60 και 0 Γ 3 ) Να εξετάσετε αν τα διανύσματα v α β και u β α έχουν ίδιο μέτρο και αν είναι κάθετα μεταξύ τους. ΘΕΜΑ Δ Δ. Να αναλύσετε το διάνυσμα v (8,) σε δυο κάθετες συνιστώσες από τις ο- ποίες η μια είναι παράλληλη στο διάνυσμα u (,3) α, β x, γ,,όπου xz. Αν Δ. Δίνονται τα διανύσματα, και γνωρίζετε ότι για την γωνία θ των διανυσμάτων α και β ισχύει συνθ να βρείτε : α) την τιμή του xz β) την γωνία φ των διανυσμάτων β και γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

124 ο Κεφάλαιο ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α ) α) Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων α και β β) Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος α με ένα διάνυσμα v είναι ίσο με το εσωτερικό γινόμενο του α με την προβολή του v πάνω στο α. Α ) Έστω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με AB 6, γωνία 0 BAΓ 30 Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. και Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση α) Το AB AΓ ισούται με i) 8 ii) 3 iii) 6 3 iv) 8 3 v) 36 β) Το ΒΑΟΒ ισούται με i) 8 ii) - iii) iv) 36 v) - γ) Το ΔΓ ΑΒ ισούται με i) 36 ii) -8 iii) -36 iv) 6 3 v) - δ) Το ΔΑ ΔΟ ισούται με i) 36 ii) -6 iii) -36 iv) 6 v) 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

125 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Β Β ) α) Να αποδείξετε ότι αβ α β. Πότε ισχύει η ισότητα; β) Να αποδείξετε ότι αν α β α β τότε α β Β ) Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύει Να αποδείξετε ότι: α) α β α β γ α β γ 0 και 3 5 β)β γ Β 3 ) Αν ΑΗ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει η ισότητα αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. AB ΒΓ ΒΗ να ΘΕΜΑ Γ Γ ) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται στο Σ. Να αποδείξετε ότι: α) ΟΣ ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ β) Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντιστοίχως να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. Γ ) Να αποδείξετε ότι όταν ισχύει καθεμία από τις παρακάτω ισότητες, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. α) 3ΑΚ ΛΓ ΛΑ 3ΒΚ ΛΑ β) 004ΟΑ 8ΒΟ 83ΓΟ 0 30 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

126 ο Κεφάλαιο ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε στο επίπεδο τα σημεία Α(-,3), Β(,) και Γ(-4,0) Δ ) Να βρείτε σημείο Θ του επιπέδου τέτοιο ώστε να ισχύει 4ΘΑ 3ΘΒ 5ΘΓ 0 Δ ) Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχούμε τον πραγματικό αριθμό f M από την ισότητα α) Να αποδείξετε ότι f f M ΜΑ ΜΒ ΜΒ ΜΓ 3ΜΓ ΜΑ Γ 8 β) Να αποδείξετε ότι f M 6ΜΘ f Θ γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ όταν ισχύει f M f Γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3

127 3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Διαγωνίσματα

128 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ.0 ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ.3 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

129 34 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Εξίσωση Γραμμής

130 ο Κεφάλαιο.0 Εξίσωση Γραμμής Ονομάζουμε εξίσωση της γραμμής (c), f x,y 0 για κάθε εξίσωση της μορφής την οποία ισχύουν: f x,y =0 Εξίσωση Γραμμής Κάθε σημείο Μx,y την επαληθεύει της γραμμής f x,y =0 Μ f x,y =0 Μ: f x,y =0 f x,y =0 Κάθε σημείο Μx 0,y0 που την επαληθεύει ανήκει στη γραμμή (c). 0 0 Μ x,y =0 0 0 f x,y =0 Σκοπός μας είναι να δώσουμε αλγεβρική μορφή στα γεωμετρικά σχήματα δηλαδή να μεταμορφώσουμε Στόχοι Την ευθεία σε εξίσωση Τον κύκλο σε εξίσωση Την έλλειψη σε εξίσωση Την παραβολή σε εξίσωση Την υπερβολή σε εξίσωση Γεωμετρική Μορφή Αλγεβρική Μορφή f x,y =0 Και αντί να δουλεύουμε τα γεωμετρικά σχήματα, θα δουλεύουμε την εξίσωσή τους. Δηλαδή τα γεωμετρικά θέματα θα τα μετατρέψουμε σε αλγεβρικά. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 35

131 Θέτουμε fx,y ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ x +y -3x+y και έχουμε Λύση άρα ΑC f, =0 άρα Β C f -, = Θέτουμε fx,y άρα ΓC f 0, =0 x-3y+4 Λύση Αφού Αλ+,λ C έχουμε Θέτουμε fx,y x +y -x+κ - Εξίσωση Γραμμής Για να δείξουμε ότι ένα σημείο x 0,y0 ανήκει σε μια γραμμή αρκεί οι συντεταγμένες του σημείου να επαληθεύουν την εξίσωση της γραμμής δηλαδή αρκεί fx,y Παράδειγμα Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(,), Β(-,3), Γ(0,0) ανήκουν ή όχι στη γραμμή με εξίσωση x y 3x y 0. Παράδειγμα Να βρείτε το λ R ώστε το σημείο Α(λ+,λ) να ανήκει στη γραμμή (c) με εξίσωση x - 3y 4 0 f λ+,λ 0 λ+-3λ+4=0 -λ+5=0 λ=5 Παράδειγμα 3 π Να βρείτε τα κ,θ με 0<θ< ώστε η γραμμή (c) με εξίσωση x y x κ 0 να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(ημθ,συνθ). Λύση Αφού Ο0,0C έχουμε Αφού Αημθ,συνθ C έχουμε f 0,0 0 κ - 0 κ κ f ημθ,συνθ 0 ημ θ+συν θ-ημθ 0 π -ημθ 0 ημθ ημθ θ 6 36 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

132 ο Κεφάλαιο ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Συμμετρικό Σημείου Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες x,y Το συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα x x έχει συντεταγμένες x,-y Το συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα y y έχει συντεταγμένες -x,y Το συμμετρικό του Μ3 ως προς την αρχή Ο(0,0) έχει συντεταγμένες -x,-y Το συμμετρικό του Μ4 ως προς τη διχοτόμο της xοy έχει συντεταγμένες y,x τότε: x M (-x,y) M 3(-x,-y) y M 4(y,x) M(x,y) x Ο(0,0) M (x,-y) y Συμμετρική Γραμμής Ας θεωρήσουμε τη γραμμή με εξίσωση fx,y 0 Αν fx,y fx,-y για κάθε x,y τότε η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x x. Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της fx,y 0 ως προς τον xx βρίσκουμε το fx,-y 0 αντικαθιστώντας στην εξίσωση f x,y 0 το y με το -y. Αν fx,y f-x,y για κάθε x,y τότε η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y. Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της fx,y 0 ως προς τον yy βρίσκουμε το f-x,y 0 αντικαθιστώντας στην εξίσωση f x,y 0 το x με το -x. f x,-y =0 x f x,y =0 x f x,y =0 y x y y f -x,y =0 x y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 37

133 Εξίσωση Γραμμής Αν fx,y f-x,-y για κάθε x,y τότε η γραφική παράσταση της f προς την αρχή Ο(0,0). είναι συμμετρική ως Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της fx,y 0 ως προς την αρχή Ο(0,0) βρίσκουμε το f-x,-y 0 αντικαθιστώντας στην εξίσωση f x,y 0 τα x, y με τα -x, -y αντίστοιχα. Αν fx,y fy,x για κάθε x,y τότε η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τη διχοτόμο της xοy Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της fx,y ως προς τη διχοτόμο της xοy βρίσκουμε το f y,x αντικαθιστώντας στην εξίσωση f x,y 0 τα x, y με τα y, x αντίστοιχα. f x,y =0 x f x,y =0 x y y y x y x f -x,-y =0 f y,x =0 Παράδειγμα 4 Δίνεται η γραμμή με εξίσωση x y 3x 5 0 Να εξετάσετε αν είναι συμμετρική ως προς τους άξονες x x, y y και την αρχή των αξόνων. Ας είναι fx,y x y 3x 5 Έτσι λοιπόν έχουμε: Λύση f x,-y x y 3x 5 x y 3x 5 fx,-y fx,y Άρα η γραμμή είναι συμμετρική ως προς τον x x f-x,y x y 3x 5 x y 3x 5 f-x,y fx,y Άρα η γραμμή δεν είναι συμμετρική ως προς τον y y f-x,-y x y 3x 5 x y 3x 5 f-x,y fx,y Άρα η γραμμή δεν είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων 38 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

134 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 5 Δίνονται οι γραμμές με εξισώσεις: c : 3x-4y+5 0 c : x +y -x+3y 0 Λύση α) Για τη συμμετρική της c ως προς τον x x θέτουμε στην εξίσωσή της όπου y το y και έχουμε: 3x-4-y x+4y+5 0 β) Για τη συμμετρική της c ως προς τον y y θέτουμε στην εξίσωσή της όπου x το x και έχουμε: -x +y --x +3y 0 x +y +x+3y 0 γ) Για τη συμμετρική της c 3 ως προς την αρχή των αξόνων θέτουμε στην εξίσωσή της όπου x το x, y το y και έχουμε: ίδια.,, Βρείτε τη: α) συμμετρική της c ως προς τον x x β) συμμετρική της c ως προς τον y y γ) συμμετρική της c 3 ως προς την αρχή των αξόνων c : x +y 9 3 -x + -y 9 x +y 9 που είναι η ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΓΡΑΜΜΩΝ Για να βρούμε τα κοινά σημεία δύο γραμμών αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο γραμμών. Αν το σύστημα έχει μόνο μια λύση τότε οι δύο γραμμές έχουν ένα κοινό σημείο. Αν το σύστημα έχει δύο λύσεις διαφορετικές οι γραμμές έχουν δύο κοινά σημεία. Αν το σύστημα έχει μια διπλή πραγματική λύση τότε οι γραμμές εφάπτονται. Αν το σύστημα είναι αδύνατο τότε οι γραμμές δεν έχουν κοινά σημεία. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 39

135 Εξίσωση Γραμμής ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές διέρχονται από την αρχή των αξόνων: α) 00x-y 0 β) 4x +4y -0x+8y 0 γ) x -y -x+ 0 ) Να βρείτε ποια από τα σημεία Α(0,), Β(,) και Γ(-,3) ανήκουν στις παρακάτω γραμμές: α) x +y -5x+y-3 0 β) y =-9x γ) x-y 3) Να βρείτε το λ ώστε οι γραμμές που έχουν τις παρακάτω εξισώσεις να διέρχονται από την αρχή των αξόνων: α) 3x-λy+λ- 0 β) x- +y -λ - 0 γ) δ) λx λy 0 λx + y ) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές έχουν άξονα συμμετρίας των x x, τον y y και ποιες κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. α) c : x+y - 0 β) c : x +y ) Δίνεται η γραμμή c : x +y -3x+y-0 0 Να βρείτε τη συμμετρική (c ) της (c) ως προς α) Τον άξονα x x β) Τον άξονα y y γ) Την αρχή των αξόνων δ) Τη διχοτόμο της γωνίας xοy 6) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραμμών α) c : 4x-3y- 0 και β) c : 4x-3y- 0 και γ) c : x +y -3x+4y-3 0 και c : 5x+y 6 c : x +y +3x-4y-9 0 c : x +y +x+y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

136 ο Κεφάλαιο. Εξίσωση Ευθείας. Γενική Εξίσωση Ευθείας Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής (c) όταν οι συντεταγμένες των σημείων της (c), και μόνο αυτές, την επαληθεύουν. Γωνία που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x x Ας είναι Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και (ε) μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Α. Τη γωνία ω που σχηματίζει ο άξονας x x ό- ταν στραφεί γύρω από το σημείο Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία (ε) τη λέμε γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x x. Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τον άξονα x x τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτόν γωνία ω=0 y Ο ω Α y Ο (ε) + (ε) x x Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει ότι 0 ω π Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας (ε) Συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x x και τον συμβολίζουμε συνήθως με λ ε. Δηλαδή λ ε εφω Αν η γωνία ω είναι οξεία ( ω 90 ) τότε λε 0 Αν η γωνία ω είναι αμβλεία ( ω 90 ) τότε λε 0 Αν η γωνία ω είναι μηδέν τότε λε 0 Αν η γωνία ω είναι ορθή τότε λε δεν ορίζεται Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 4

137 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Σχέση Συντελεστών Διεύθυνσης Διανύσματος και Ευθείας που είναι παράλληλα Έστω ένα διάνυσμα δ παράλληλο σε μια ευθεία (ε). Αν φ και ω είναι οι γωνίες που σχηματίζουν το δ και η (ε) με τον x x αντιστοίχως, τότε θα ισχύει ότι φ=ω ή φ=π+ω Σε κάθε περίπτωση είναι: y φ δ ω Προσοχή!!! εφφ εφω λ λ Η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει στην περίπτωση που το διάνυσμα δ και η ευθεία (ε) είναι κάθετα στον άξονα τον x x γιατί τότε δεν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης τους. (ε) x δ δ y φ ε ω y δ (ε) x (ε) x Υπολογισμός Συντελεστή Διεύθυνσης Ευθείας Συνθήκη Παραλληλίας Ευθειών Ο συντελεστής διεύθυνσης λε μιας ευθείας που διέρχεται από τα y - y σημεία Α x,y και Βx,y με x x είναι λε x - x Απόδειξη Αφού x x η ευθεία δεν είναι κατακόρυφη. y Επειδή ο φορέας του ΑΒ είναι η ευθεία ΑΒ, το ΑΒ είναι παράλληλο στην ευθεία ΑΒ. Άρα λε λ y y Όμως ΑΒ x x,y y και λ x x y y Επομένως λε x x Αν δύο ευθείες ε, ε είναι παράλληλες τότε Απόδειξη λ λ ε ε τέτοια ώστε Θεωρούμε τα διανύσματα δ, δ δ / / ε Τότε λ λ δ ε και λ λ δ ε Έχουμε ε / /ε δ / /δ λ λ λ λ δ δ ε ε B(x,y ) και δ / / ε Α(x,y ) x 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

138 ο Κεφάλαιο Συνθήκη Καθετότητας Ευθειών Αν δύο ευθείες ε, ε είναι κάθετες τότε Απόδειξη Θεωρούμε τα διανύσματα δ, δ Τότε λ λ δ ε και λ λ δ ε Έχουμε λ λ ε ε τέτοια ώστε δ / / ε ε ε δ δ λ λ λ λ δ δ ε ε και δ / / ε Εξίσωση Ευθείας (Γνωστό σημείο και συντ. διευθ.) Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y - y 0 = λ(x - x 0 ) Απόδειξη Έστω ότι το Μ(x,y) είναι διαφορετικό του Α y Έχουμε: λλ Α(x y y 0,y 0) 0 Μ ε ΑΜ/ / ε λ λε λ x ΑΜ x x y y λ x x () 0 0 Επιπλέον, αφού η () επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του ση- A x,y συμπεραίνουμε ότι αυτή είναι η εξίσωση της (ε). μείου Εξίσωση Ευθείας (Γνωστά δύο σημεία από τα οποία διέρχεται) Η ευθεία (ε) που διέρχεται από τα σημεία A x,y και Bx,y έχει εξίσωση: Αν x x τότε y y y y = x x x x y y x λ ε= x Απόδειξη Επειδή η (ε) διέρχεται από το Ax,y και έχει συντελεστή διεύθυνσης η εξίσωσή της είναι: λ λ ε, y y y y = x x x x ή x x Αν x x, τότε η (ε) είναι κατακόρυφη. Οπότε κάθε σημείο της έ- χει τετμημένη x Άρα η εξίσωση της (ε) είναι x x y B(x,y ) Α(x,y ) x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 43

139 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα yy και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y λx β Απόδειξη Αφού η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο Α(0,β) η εξίσωσή της είναι: y y λ x x y β λx y λx β Α Α στο σημείο Α(0,β) y x Α(0,β) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y λx Απόδειξη Αφού η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο Ο(0,0) η εξίσωσή της είναι: y y λ x x y λx 0 0 y x Ειδικές Περιπτώσεις Εξισώσεις Ευθειών Πιο συγκεκριμένα Η διχοτόμος της γωνίας xοy ( ης και 3 ης γωνίας των αξόνων) έχει εξίσωση: y x Η διχοτόμος της γωνίας yοx ( ης και 4 ης γωνίας των αξόνων) έχει εξίσωση: y=-x y y=x x y x Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,y 0 ) και είναι παράλληλη στον άξονα x x είναι: y y0 Απόδειξη y Ας είναι δ / / ε τότε λ λ Α(x δ ε 0,y 0) Αφού ε / / x x δ / / x x λ 0 λ 0 δ ε Άρα η εξίσωσή της θα είναι: 44 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας y y λ x x y y 0 y y Ο άξονας y y έχει εξίσωση x 0 Ο άξονας x x έχει εξίσωση y 0 x

140 ο Κεφάλαιο Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Αx By Γ 0 με Α 0 ή Β 0 και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της παραπάνω μορφής παριστάνει ευθεία. Απόδειξη Ευθύ Θα δείξουμε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έ- y χει εξίσωση της μορφής (ε) Αx By Γ 0 με Α 0 ή Β 0 Έστω (ε) μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Έστω ότι η (ε) δεν είναι κατακόρυφη. Έτσι η (ε) τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Σ(0,β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ τότε θα έχει εξίσωση y λx β λx - y β 0 λ x y β 0 η οποία έχει τη μορφή Αx By Γ 0 με Α λ, Β - 0 και Γ β Αν η (ε) είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο Ρ(x 0,y 0 ), τότε θα έχει εξίσωση x x x x 0 x y x η οποία έχει τη μορφή Αx By Γ 0 με Α 0, Β 0 και Γ -x0 Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση της ευθεία παίρνει τη μορφή Αx By Γ 0 με Α 0 ή Β 0 Ο Α(0,β) x Αντίστροφο Θα δείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής παριστάνει ευθεία Αx By Γ 0 με Α 0 ή Β 0 () Διακρίνουμε περιπτώσεις Αν Β 0 Α Γ τότε η () By -Αx -Γ y - x - B B που είναι εξίσωση ευθείας. Αν Β 0 τότε από την () έχουμε Α 0 και Γ Αx Γ 0 Αx Γ x Α Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 45

141 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία Άρα σε κάθε περίπτωση η () παριστάνει ευθεία. Η ευθεία με εξίσωση Αx By Γ 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ B, - Α Απόδειξη Έστω η ευθεία (ε) με εξίσωση Αx By Γ 0 Διακρίνουμε περιπτώσεις Αν Β 0 Άρα λ ε Αν Β 0 Α Γ τότε Αx By Γ 0 By -Αx -Γ y - x - B B Α Α - και λ - οπότε λ λ B δ B δ ε άρα ε / /δ και δ / /yy τότε ε / /yy Επομένως σε κάθε περίπτωση ε / /δ οπότε ε / /δ Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και το διάνυσμα δ Β,Α είναι παράλληλο στην (ε). Η ευθεία με εξίσωση Αx By Γ 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα η Α,Β Απόδειξη Από προηγούμενη απόδειξη το διάνυσμα δ Β,-Α στην ευθεία (ε) με εξίσωση Αx By Γ 0 Επίσης παρατηρούμε ότι δη Β,-ΑΑ,Β ΒΑ - ΑΒ 0 Είναι λοιπόν δ η ε / /η και αφού ε / /δ θα είναι είναι παράλληλο Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και το διάνυσμα ε Α, Β είναι κάθετο στην (ε). 46 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

142 ο Κεφάλαιο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Εύρεση Συντελεστή Διεύθυνσης Ευθείας Για να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας αρκεί να γνωρίζουμε κάτι από τα παρακάτω: Τις συντεταγμένες δύο σημείων Α, Β από τα οποία διέρχεται η ευθεία (ε). Τότε θα είναι: yβ yα λ x x Β Α Τα σημεία Α, Β δεν πρέπει να έχουν την ίδια τετμημένη!!! Τη γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x x. Τότε θα είναι: λ εφω Η γωνία ω δεν πρέπει να είναι ορθή!!! Την εξίσωση μιας ευθείας (ε ) ή τις συντεταγμένες ενός διανύσματος δ στα οποία η (ε) είναι παράλληλη. Τότε θα είναι: λ λ ή λ λ αντίστοιχα Η ευθεία (ε ) ή το διάνυσμα δ δεν πρέπει να είναι κάθετα στον άξονα x x!!! Την εξίσωση μια ευθείας (ε ) ή τις συντεταγμένες ενός διανύσματος δ στα οποία η (ε) είναι κάθετη. Τότε θα είναι: λ λ - ή λ λ - αντίστοιχα Η ευθεία (ε ) ή το διάνυσμα δ δεν πρέπει να είναι παράλληλα στον άξονα x x!!! Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 47

143 Παράδειγμα Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνση της ευθείας που: α) Διέρχεται από τα σημεία Α(3,-5) και Β(6,-4) δ,40 η 00, β) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα γ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας δ) Σχηματίζει γωνία 3π 4 με τον άξονα x x α) Ισχύει ότι λ λ ΑΒ ΑΒ 6 3, 4 5 3, Όμως Άρα β) Αφού Λύση λ οπότε και λ ΑΒ ε 3 3 ε / / δ και δ / / y y έχουμε ότι λ 40 Όμως λ 0 δ οπότε λ 0 δ και δ / / x x έχουμε ότι λ λ () γ) Αφού ε Όμως λ δ 00. Από τη σχέση () έχουμε: δ) Ισχύει ότι: δ λ δ λ λ λ π π π λ εφ λ εφ π - λ εφ λ Παράδειγμα Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x, η ευθεία ε, που α) Διέρχεται από τα σημεία Α(,3) και Β(4,) β) Διέρχεται από τα σημεία Α(,6) και Ρ(,) γ) Διέρχεται από τα σημεία Η(,3) και Σ(4,3) δ) Έχει εξίσωση 3x 3y 9 0 ε) Είναι κάθετη στην ευθεία η : 5x 5y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

144 ο Κεφάλαιο Λύση α) Έχουμε ΑΒ 4, 3, Άρα λ ΑΒ Όμως λ λ λ εφω=- Οπότε ΑΒ 3π ω 4 β) Έχουμε ΑΡ, 6 0, 5 Άρα λ ΑΡ δεν ορίζεται Δηλαδή ΑΡ x x οπότε και ε x x άρα π ω Αν λα δεν ορίζεται τότε α x x α 0,y με Αν y 0 τότε α x x Αν λ 0 τότε α α / /x x α x,0 με Αν x 0 τότε α / /x x γ) Έχουμε ΗΣ 4,3 3,0 0 Άρα λ ΗΣ 0 Όμως λ λ λ 0 εφω=0 άρα ω 0 ΗΣ Δηλαδή ε / /x x δ) Έχουμε ε : 3x 3y Οπότε λ λ εφω ε) Αφού η : 5x 5y 0 άρα π ω= 6 5 είναι λη λη 5 Όμως ε η λε λη λε εφω= άρα 3π ω= 4 Αν η εξίσωση μιας ευθείας (ε) είναι της μορφής Αx By Γ 0 τότε λ με Β 0 ε Α Β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 49

145 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας (ε) πρέπει να γνωρίζουμε: Τις συντεταγμένες ενός σημείου της Α x 0,y0 διεύθυνσής της λ ή ένα άλλο σημείο της. και το συντελεστή Πιο συγκεκριμένα αν ζητείται να βρεθεί η εξίσωση μιας ευθείας Α x,y τότε ακολουθούμε τα (ε) που διέρχεται από το σημείο 0 0 εξής βήματα: Γράφουμε την εξίσωσή της η οποία είναι ε : y y λx x 0 0 () ή x x0 () Ελέγχουμε αν η ευθεία x x0 είναι λύση του προβλήματος Με ένα άλλο δεδομένο βρίσκουμε το λ, όποτε και την εξίσωση της (ε). Αν ζητείται να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται Β x,y τότε χρησιμοποιούμε από δύο σημεία τον τύπο: A x,y και y y y y = x x x x Ενώ αν x x τότε (ε): x x αν x x Ειδική Περίπτωση Αν η ευθεία (ε) διέρχεται από το Αx 0,y0 και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο, τότε έχουμε τους περιορισμούς ότι η (ε) δεν είναι παράλληλη στους άξονες και επιπλέον δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Οπότε η εξίσωσή της είναι: Χρήσιμη Παρατήρηση y0 0 0 με λ 0 και λ x ε : y y λx x Αν ένα σημείο Ax,y ανήκει στην ευθεία ε : y λx β τότε 0 50 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

146 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 3 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(,-) και α) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ 5,5 δ 7, β) Είναι κάθετη στο διάνυσμα γ) Είναι παράλληλη στην ευθεία ζ : y 3x+ δ) Είναι κάθετη στην ευθεία η : y 4x Λύση Σε κάθε ένα από τα ερωτήματα θα θεωρήσουμε ότι η ζητούμενη ευθεία είναι η (ε) ώστε να μην επαναλαμβανόμαστε. Αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Α από το οποίο διέρχεται αρκεί να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσής. 5 α) Είναι λ λ - δ δ -5 ε / /δ λ λ λ - Αφού ε δ ε Άρα ε : y - y λ x - x y x - y -x y -x A ε A β) Είναι λ δ 7 Αφού ε δ λε λ - λ δ ε - λε -7 7 ε : y - y λ x - x y x - y -7x 4 y -7x 3 Άρα γ) Είναι λζ 3 A ε A Αφού ε / / ζ λε λζ λε 3 Άρα δ) ε : y - y λ x - x y x - y 3x - 6 y 3x - 7 A ε A η : y 4x y -4x y -x άρα λη - ε η λε λη - λε - - λε ε : y - ya λε x - xa y - - x - y x - y x - Αφού Άρα Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5

147 Παράδειγμα 4 Λύση Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-3,) και α) Σχηματίζει γωνία 35 ο με τον άξονα x x β) Είναι παράλληλη στον άξονα x x γ) Είναι κάθετη στον άξονα x x δ) Έχει κλίση ίση με 00 Σε κάθε ένα από τα ερωτήματα θα θεωρήσουμε ότι η ζητούμενη ευθεία είναι η (ε) ώστε να μην επαναλαμβανόμαστε. α) Είναι λ εφ35 λ εφ λ -εφ 45 λ - ε ε ε ε Άρα ε : y - y λ x - x y - - x 3 y - -x - 3 y -x - A ε A β) Αφού ε / /xx είναι A γ) Αφού ε xx είναι A ε : y y y ε : x x x 3 δ) Αφού η κλίση της (ε) είναι 00 έχουμε ότι λε 00 Άρα ε : y - y λ x - x y - 00x 3 Παράδειγμα 5 A ε A Δίνονται τα σημεία Α(4,5) και Β(,-) y - 00x 6030 y 00x 603 α) Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχει εξίσωση Λύση α) Αρχικά βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της (ε) Είναι λε λ () ΑΒ ε : x - y Αν η ευθεία (ε) διέρχεται από το Α(x 0,y 0 ) και ε ε β) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της (ε) με τους άξονες. x x x x 0 y y y y 0 τότε τότε Όμως ΑΒ 4, 5, 6 άρα λ ΑΒ 6 5 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

148 ο Κεφάλαιο Από την () προκύπτει ότι λε Επιπλέον η (ε) διέρχεται από το σημείο Α οπότε για την εξίσωσή της έχουμε: ε : y - y λ x - x y - 5 x -4 A ε A x y y B A x β) y - 5 x - 7 y x - () Για x 0 από τη σχέση () έχουμε y - Άρα η (ε) τέμνει τον y y στο Γ(0,-) Στην ίδια εξίσωση θα καταλήγαμε αν θεωρούσαμε ότι η (ε) διέρχεται από το σημείο Β. Δοκιμάστε το!!! Για y 0 από τη σχέση () έχουμε 0 x - x x 4 Άρα η (ε) τέμνει τον x x στο Δ(4,0) Παράδειγμα 6 Δίνονται τα σημεία Α(3,), Β(0,) και Γ(,0) α) Να αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές γ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΓΕ του τριγώνου ΑΒΓ δ) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ ε) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της ΑΓ στ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής του ύψους ΓΕ με τη διάμεσο ΑΔ α) Διαδοχικά έχουμε ΑΒ 0 3, 3, Λύση και ΑΓ 3,0, 3 detαβ,αγ Άρα ΑΒ / / ΑΓ οπότε Α, Β, Γ μη συνευθειακά δηλαδή Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 53

149 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας ΑΓ 5 y B Ε ΒΓ 0,0, άρα Λ Α Δ ΒΓ 5 x Κ Γ y (ε) ΒΓ ΑΓ ΒΓ ΑΓ έχουμε ότι ΑΒΓ ι- x β) Είναι Επιπλέον Αφού σοσκελές ΑΓ ΒΓ 0 άρα ΑΓ ΒΓ Ακόμη Οπότε ΑΒΓ και ορθογώνιο με ορθή γωνία τη Γ ΓΕ ΑΒ λ λ - λ - - λ 3 3 γ) ΓΕ ΑΒ ΓΕ ΓΕ Άρα για την εξίσωση του ΓΕ έχουμε: ΓΕ : y - y λ x - x y 3 x - y 3x - 3 Γ ΓΕ Γ xβ xγ 0 xδ δ) Δ μέσο ΒΓ άρα Δ yβ yγ 0, yδ 5 0 Οπότε ΑΔ 3,,0 άρα λ 0 ΑΔ 5 Έτσι λοιπόν η ΑΔ είναι παράλληλη στον άξονα x x και η εξίσωσή της θα είναι: ΑΔ : y yα y ε) Ας είναι (ε) η μεσοκάθετος της ΑΓ με Κ μέσο του ΑΓ xa xγ 3 xk Κ μέσο ΑΓ ya yγ 0 yk άρα K, ε ΑΓ λ λ λ λ Επιπλέον ε ΑΓ ε ε Άρα για την εξίσωση της (ε) έχουμε: 54 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

150 ο Κεφάλαιο ε : y - yκ λε x - xκ y - - x - y - -x 4 9 y -x 4 y -x στ) Από προηγούμενα ερωτήματα έχουμε: ΓΕ : y 3x - 3 Λύνουμε το σύστημα των () και () () και ΑΔ : y () 4 3x x x 3 4 Άρα το σημείο τομής των ΓΕ και ΑΔ είναι το Λ, 3 Παράδειγμα 7 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών ε : x y και ε : 3x y - 0 και είναι κάθετη στην Έστω (ζ) η ζητούμενη ευθεία. Λύση Αρχικά βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των (ε ) και (ε ) x y 5 x y x y - 0 3x y -x - y -0 3x y Για x ευθεία ε : 3x 5y x η y y y 4 άρα Α(,4) το σημείο τομής των Για το συντελεστή διεύθυνσης της (ζ) έχουμε: ζ ε λζ λε λζ λζ (ε ) και (ε ) Έτσι λοιπόν η εξίσωση της (ζ) είναι: ζ : y - ya λζ x - xa y - 4 x - y x - 4 y x (ε) x Για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. y y (ζ) Αν (ε): Αx+Βy+Γ=0 με Α 0 τότε Α λ Β x (ε ) (ε ) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 55

151 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,4) και έστω x y, y 6, οι εξισώσεις ενός ύψους και μιας διαμέσου αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. Λύση Αρχικά παρατηρούμε αν το Α ανήκει στο ύψος ε : x y ε : y 6 () () ή στη διάμεσο Για x και y 4 η () 5 που δεν ισχύει Άρα το Α δεν ανήκει στην (ε ) Προφανώς το Α δεν ανήκει στην διάμεσο (ε ) αφού η τεταγμένη του δεν είναι 6. Ας θεωρήσουμε λοιπόν ότι το ύψος (ε ) διέρχεται Β x,y και η διάμεσος (ε ) διέρχεται από την κορυφή από την κορυφή B B Γx,y. Διαδοχικά έχουμε: Γ Γ Γε y 6 οπότε Γx,6 Γ Επιπλέον ε ΑΓ λ λ - (3) ε ΑΓ yγ - yα 6-4 Όμως λ και ΑΓ x - x x - x - Γ Α Γ Γ Γ λε - (3) - - xγ - 3 xγ άρα Γ(3,6) x - x - Γ Γ Βε x y y - x οπότε Βx, - x Β Β Β Β Θεωρούμε Μ μέσο ΑΒ και έχουμε: xα xb xb xμ y y 4 - x 5- x yμ Όμως B Α B B B xb 5- xb άρα Μ, 5- x Μ ε 6 5- xb xb -7 άρα Β(-7,8) B B x (ε ) Β (ε ) Γ Βοηθητικό Σχήμα Α Μ y Α y Μ Γ (ε ) (ε ) Β x 56 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

152 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 9 Δίνεται παραλληλόγραμμο του οποίου οι δύο πλευρές έχουν εξίσωση x y και x - y - 0 και το κέντρο του έχει συντεταγμένες (-4,). Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών. Λύση Παρατηρούμε ότι οι δύο εξισώσεις των πλευρών δεν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης άρα δεν είναι παράλληλες. Ας είναι ΑΒΓΔ το παραλληλόγραμμο με κέντρο Κ(-4,) ΑΒ : x y () ΒΓ : x - y - 0 () Για να βρούμε τις εξισώσεις των ΑΔ, ΔΓ αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής. Δ Βοηθητικό Σχήμα Α Κ(-4,) Γ Β Λύνουμε το σύστημα των () και () για να βρούμε το Β x y x y 4 3x 6 x x - y - 0 x - y Για x η () y y y 0 άρα Β(,0) Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Δ xβ xδ xδ xκ -4-8 xδ xδ -0 Κ μέσο του ΒΔ yβ yδ 0 yδ 4 yδ yδ 4 yκ Για την εξίσωση της ΑΔ έχουμε ΑΔ / / ΒΓ λ ΑΔ λβγ λ ΑΔ Άρα ΑΔ : y - y λ x - x Δ ΑΔ Δ Για την εξίσωση τη ΔΓ έχουμε y - 4 x 0 y x 4 ΔΓ / / ΑΒ λδγ λ ΑΒ λδγ - Άρα ΔΓ : y - y λ x - x y - 4 -x 0 Δ ΔΓ Δ y - 4 -x - 0 y -x -6 Δ x Α Κ Γ y y άρα Δ(-0,4) Β x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 57

153 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 0 Να βρείτε την ευθεία (ε) που διέρχεται από το σημείο Μ(,), τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. Λύση Η ευθεία x δεν αποτελεί λύση γιατί προφανώς δεν τέμνει τους άξονες x x, y y. Έτσι λοιπόν η ζητούμενη ευθεία (ε) θα έχει εξίσωση της μορφής ε : y - y λ x - x y - λ x - y λx - λ () με λ 0 (γιατί;) M M Βρίσκουμε το σημείο τομής της (ε) με τον y y Για x 0 η () y -λ Άρα η (ε) τέμνει τον y y στο Α0,-λ Βρίσκουμε το σημείο τομής της (ε) με τον x x Για y 0 η x y Α y Μ Β x () λ - 0 λx-λ λx λ - x λ λ - Άρα η (ε) τέμνει τον x x στο Β,0 λ M μέσο του ΑB λ - xα x Β x Μ λ yα yβ y -λ Μ λ - 4λ λ - λ - λ λ - λ - λ - -λ Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι: () y - x - - y - x 58 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

154 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Μ(,4) και τέμνει τις ευθείες ε : x y και ε : x - y 3 0 στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ Λύση Αρχικά ελέγχουμε αν η κατακόρυφη ευθεία ε : x αποτελεί λύση του προβλήματος. Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε ) x y y y 3 x x x άρα Α(,3) y Β Μ Α Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε ) x - y y 3 0 y 5 x x x x (ε ) y (ε) x (ε ) άρα Β(,5) 3 5 ε : x Το μέσο του ΑΒ είναι το σημείο, ή,4 Μ άρα η μια ευθεία είναι η που είναι το σημείο Έστω τώρα ότι η (ε) δεν είναι κατακόρυφη. Τότε: ε : y - y λ x - x y - 4 λ x - y λx - λ 4 () Μ Μ Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε ): x y () λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους. λ () x λx λ λ x λ x λ λ λ λ 3λ 4 Για x η () y y 4 - y λ λ λ λ λ 3λ 4 άρα Α, λ λ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 59

155 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε ): x - y 3 0 (3) (3) x - λx - λ x - λx λ Για λ - λx λ x - λ - λ - λ - λ x η (3) - y y λ - λ - λ - λ 8-5λ - λ 8-5λ y 3 y άρα Β, - λ - λ - λ - λ xα xβ xμ 4 Όμως Μ μέσο ΑΒ yα yβ yμ 5 x x λ - λ λ - λ Α Β 4 xα xβ λ - λ λ - λ - λ λ λ - λ - λ 4λ 4 - λ - λ λ λ 4 4 Αδύνατη Τελικά η μοναδική ευθεία είναι η ε : x Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας με Γνωστό Συντελεστή Διεύθυνσης Αν μας δίνεται ότι η ευθεία (ε) έχει γνωστή διεύθυνση η οποία καθορίζεται από το συντελεστή διεύθυνσής της λ, τότε θα θεωρούμε ότι η εξίσωσή της είναι: y λx β και το β θα βρίσκεται από άλλο δεδομένο. Το λ θα μας δίνεται έμμεσα αν γνωρίζουμε Τη γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x x Tην εξίσωση μιας ευθείας (η) ή τις συντεταγμένες ενός διανύσματος δ που είναι παράλληλα στην (ε) αλλά όχι στον y y Την εξίσωση μιας ευθείας (η) ή τις συντεταγμένες ενός διανύσματος δ που είναι κάθετα στην (ε) αλλά όχι στον x x 60 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

156 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες στην ευθεία η : y 4x και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 8 τετραγωνικές μονάδες. Ας είναι ε : y λx β Επειδή (ε) // (η) είναι λε λη λε -4 Άρα ε : y -4x β () Λύση Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (ε) με x x και y y Για x 0 σημείο Β(0,β) Για y 0 β Α,0 4 Επιπλέον: η y β άρα τέμνει τον y y στο η β 0-4x β 4x β x άρα τέμνει τον x x στο σημείο 4 Ε 8 ΟΑΟΒ 8 ΟΑΟΒ 6 β β 8 β 6 β 64 β 64 4 β 8 Οπότε οι ζητούμενες ευθείες είναι οι ε : y -4x 8 και ε : y -4x - 8 Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές, με εμβαδόν ίσο με τετραγωνικές μονάδες. (ε ) x y Ο y Β Α Για Κ(x,y) είναι: dk,xx dk,yy (η) y x (ε ) x Λύση Ας είναι ε : y λx β () με λ 0 αφού ε / / y y Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (ε) με τους ημιάξονες Για x 0 η y β x y Β Ο Α x Άρα τέμνει τον Οy στο σημείο Α(0,β) με β 0 y (ε) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 6

157 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Για y 0 η β 0 λx β λx -β x - λ β Άρα τέμνει τον Οx στο σημείο Α -,0 λ με - β 0 λ Αφού το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές έχουμε ότι: Επιπλέον: β>0 β β ΟΑ ΟΒ β - β - - λ - λ λ λ β - 0 λ Ε ΟΑΟΒ ΟΑΟΒ 4 β β β - 4 β 4 λ β Απορρίπτεται γιατί β 0 Η ζητούμενη ευθεία λοιπόν είναι η ε : y -x Συμμετρίες Για να βρούμε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Μ ενός σημείου Μ ως προς μια ευθεία (ε) ακολουθούμε τα εξής βήματα: Βρίσκουμε την εξίσωση της κάθετης ευθείας (η) από το σημείο Μ προς την ευθεία ε. Με επίλυση του συστήματος των εξισώσεων των (ε) και (η) βρίσκουμε τις συντεταγμένες της προβολής Κ του Μ πάνω στην ευθεία (ε). Από τις συντεταγμένες του μέσου Κ του τμήματος ΜΜ βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Μ. x y y Μ Κ Μ (η) (ε) x Παράδειγμα 4 5 Δίνεται η ευθεία ε : y x και το σημείο Μ(3,-) α) Να δείξετε ότι το σημείο Μ δεν ανήκει στην ευθεία (ε) β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Μ στην ευθεία (ε) γ) Να βρείτε το συμμετρικό σημείο του Μ ως προς την ευθεία (ε) 6 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

158 ο Κεφάλαιο α) Για x 3 και y - η Λύση 5 ε : y - x () δίνει: που δεν ισχύει β) Άρα το σημείο Μ δεν ανήκει στην ευθεία (ε) Φέρνουμε ΜΚ ε Το Κ είναι η προβολή του σημείου Μ στην (ε) Άρα θέλουμε να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ Βρίσκουμε την εξίσωση της ΜΚ Ισχύει ότι 5 y ΜΚ ε λμκ λε - λμκ - - λμκ 5 6 Οπότε: ΜΚ : y - yμ λμκ x - xμ y x - 3 y x Από () και () έχουμε: 6 6 y x - - y x - () x x - -5x 0 4x - 3-9x -5 x Για x η () y γ) Προεκτείνουμε τη ΜΚ κατά τμήμα ΚΛ=ΜΚ Το συμμετρικό του Μ ως προς την (ε) είναι το Λx,y Λ Λ 5 7 Άρα Κ,- 9 9 xμ xλ 5 3 xλ xκ xΛ Κ μέσο ΜΛ yμ yλ 7 - yλ y Λ yκ x Λ -9x Λ άρα Λ,- -9y Λ y Λ - 9 x Για να δείξουμε ότι ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία αρκεί να δείξουμε ότι οι συντεταγμένες του, επαληθεύουν την εξίσωσή της (ε) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 63 Ο y Λ Κ Μ x

159 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 5 Ένα γήπεδο ποδοσφαίρου είναι τοποθετημένο στο επίπεδο (ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων) έτσι ώστε η μεσαία γραμμή να είναι τμήμα 4 0 της ευθείας ε : y x. Αν το σημείο του πέναλτι στη μία περιοχή 3 3 έχει συντεταγμένες (0,-0), να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες του σημείου που γίνεται η έναρξη του αγώνα β) Τις συντεταγμένες του σημείου του πέναλτι στην άλλη περιοχή Λύση α) Έστω ότι το σημείο του πέναλτι είναι το Α(0,-0) Έστω Κ το σημείο έναρξης του αγώνα. Φέρνουμε από το Α κάθετη στην (ε) Το Κ είναι το σημείο τομής της ΑΚ με την (ε) ΑΚ ε ΑΚ ε λ λ - Έτσι λοιπόν είναι: 4 3 λ ΑΚ - λ ΑΚ ΑΚ : y - yα λ ΑΚ x - xα y 0 x y 0 - x 5 y - x - 5 () Λύνοντας το σύστημα των () και ε : y x () έχουμε: x - x - 5 6x 40-9x x -00 x Για x -4 η () y 3-5 y - ά ρα Κ(-4,-) β) Το σημείο Β του πέναλτι στην άλλη περιοχή είναι συμμετρικό του Α ως προς το Κ άρα έχουμε: xα xβ 0 xβ xκ xβ xβ -8 Κ μέσο ΜΛ yα yβ -0 yβ -4-0 yβ yβ 6 yκ - Α Κ Β (ε) Οπότε Β(-8,6) 64 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

160 ο Κεφάλαιο Μεσοπαράλληλος Ευθειών Για να βρούμε τη μεσοπαράλληλο δύο παράλληλων ευθειών ε : y λx β ε : y λx β και ακολουθούμε τα εξής βήματα: Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής Α, Β με τον y y των (ε ) και (ε ) αντίστοιχα Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ Βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της μεσοπαραλλήλου (η) των (ε ) και (ε ) εκμεταλλευόμενοι ότι (η) // (ε ) Βρίσκουμε την εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των (ε ) και (ε ) αφού γνωρίζουμε ένα σημείο από το οποίο αυτή διέρχεται (το Μ) καθώς και το συντελεστή διεύθυνση της. Στην περίπτωση που οι δύο ευθείες (ε ) και (ε ) είναι παράλληλες στον y y τότε η μεσοπαράλληλος αυτών θα είναι κάθετη στον x x και η εξίσωσή της θα είναι της μορφής x xμ όπου Μ το μέσο του ΑΒ. x y Μ Β y Α (ε ) (η) x (ε ) Παράδειγμα 6 Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών ε : x y 3 0 και ε : x 4y 5 0 Βρίσκουμε το σημείο τομής της Λύση ε : x y 3 0 () με y y 3 Για x 0 η () -y 3 0 -y -3 y 3 άρα η (ε ) τέμνει τον y y στο σημείο A 0, Βρίσκουμε το σημείο τομής της ε : x 4y 5 0 () με y y x y Α Β y Μ (ε ) (η) (ε ) x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 65

161 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας 5 Για x 0 η () -4y 5 0-4y -5 y άρα η (ε ) τέμνει τον y y στο 4 5 σημείο B 0, 4 xa xb xm 0 xm xm 0 Έστω Μ μέσο ΑΒ 3 5 άρα ya yb 4 ym M 0, y M y M 8 8 Ας είναι (η) η μεσοπαράλληλη των (ε ), (ε ) η / / ε λη λε λη Έχουμε: η : y - yμ λη x - xμ y - x y x 8 8 Έτσι λοιπόν είναι: Πότε μια εξίσωση της μορφής Ax By Γ 0 παριστάνει ευθεία Αν μας δίνεται μια εξίσωση της μορφής Ax By Γ 0 όπου τα Α, Β, Γ εκφράζονται με τη βοήθεια μιας παραμέτρου και μας ζητείται να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου για οποίες είναι ευθεία τότε θα θεωρούμε το σύστημα Α 0 Β 0 Για τις τιμές της παραμέτρου που θα προκύψουν η εξίσωση δεν είναι ευθεία. Οπότε είναι ευθεία για όλες τις υπόλοιπες τιμές. Λύση Για να παριστάνει η () ευθεία ΔΕΝ πρέπει να μηδενίζονται ταυτόχρονα το Έστω Παράδειγμα 7 Δίνεται η εξίσωση λ - 0 (3) λ +λ - 0 () λ +λ - x λ - y 3 0 () Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση () να παριστάνει ευθεία λ +λ - και το λ - 66 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

162 ο Κεφάλαιο - 3, λ, - Για την () έχουμε : Δ Για την (3) έχουμε: λ - 0 λ Άρα οι () και (3) μηδενίζουν ταυτόχρονα για λ Οπότε πρέπει λ δηλαδή λr Παράδειγμα 8 ε : λx λ 4 y 0 είναι παράλλη- Για ποια τιμή του λ R η ευθεία λη στην ευθεία η : x - 3y 00 0 Λύση Έχουμε ότι λ - λ - ε καθώς και λ λ 4 η -3 3 λ Όμως ε / / η λε λη - -6λ λ 8-8λ 8 λ - λ 4 3 Μονοπαραμετρική Οικογένεια Ευθείών Αν μας δίνεται μια παραμετρική εξίσωση ευθείας και θέλουμε να αποδείξουμε ότι όλες οι ευθείες που σχηματίζονται, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου, διέρχονται από το ίδιο (ή από σταθερό σημείο) τότε ακολουθούμε τα εξής βήματα: Δίνουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο και βρίσκουμε δύο ευθείες που ανήκουν στην αρχική οικογένεια ευθειών. Δηλαδή βρίσκουμε δύο «εκπροσώπους» της αρχικής οικογένειας. Βρίσκουμε το σημείο τομής των «εκπροσώπων» Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου τομής των «εκπροσώπων» επαληθεύουν την αρχική εξίσωση. Αν την επαληθεύουν, τότε όλες οι ευθείες που ανήκουν στην αρχική οικογένεια διέρχονται από το σημείο αυτό. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 67

163 Παράδειγμα 9 Δίνεται η εξίσωση λ Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας ε : 3λ λ x λ λ y λ 0 με λ R α) Να δείξετε ότι η ελ παραμέτρου λ β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες ελ παριστάνει εξίσωση ευθείας, για κάθε τιμή της διέρχονται από σταθερό σημείο. Λύση α) Για να δείξουμε ότι (ε λ ) παριστάνει εξίσωση ευθείας αρκεί να δείξουμε ότι δεν υπάρχει λr ώστε ταυτόχρονα να είναι 3λ λ 0 και λ λ 0 Έτσι λοιπόν έχουμε: Άρα 3λ λ 0 για κάθε λr 3λ λ 0 με Δ Οπότε (ε λ ) παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε λr β) Βρίσκουμε δύο «εκπροσώπους» της αρχικής οικογένειας θέτοντας δύο τυχαίες αλλά βολικές τιμές στο λ Για λ 0 Για λ έχουμε έχουμε ε : x y 0 y x () 0 ε : 6x 4y 0 () Βρίσκουμε το σημείο τομής των παραπάνω «εκπροσώπων» λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους () 6x - 4x - 0 6x - 8x 4 0 -x -4 x Για x η () y 3 Άρα οι 0 ε, ε διέρχονται από το Μ(,3) Παρατηρούμε αν οι συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο «εκπροσώπων» επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας των ευθειών Για x και y 3 η αρχική οικογένεια των ευθειών δίνει: 3λ λ λ λ 3 λ 0 6λ λ 4 6λ 3λ 3 λ ισχύει για κάθε λ Οπότε όλες οι ευθείες (ε λ ) διέρχονται από το σημείο Μ(,3) x y y (ε 0) (ε ) x 68 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

164 ο Κεφάλαιο Σχετική θέση ευθειών Για να βρούμε τη σχετική θέση δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των ε- ξισώσεών τους. Πιο συγκεκριμένα: Αν το σύστημα έχει μια λύση τότε οι ευθείες τέμνονται δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο Αν το σύστημα είναι αδύνατο τότε οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο δηλαδή είναι παράλληλες Αν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τότε οι ευθείες έχουν άπειρα κοινά σημεία δηλαδή ταυτίζονται. Στην περίπτωση που οι εξισώσεις των ευθειών περιέχουν παράμετρο, τότε μας συμφέρει να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων με τη μέθοδο των οριζουσών και στη συνέχεια να κάνουμε διερεύνηση. Παράδειγμα 0 Δίνονται οι ευθείες ε : λ - 4 x 3y λ και Να βρεθεί το λ ώστε α) οι ε και ε β) οι ε και ε γ) οι ε και ε δ) οι ε και ε να τέμνονται να είναι παράλληλες να ταυτίζονται να είναι κάθετες ε : 3x λ 4 y λ 8, λ Λύση Έχουμε το σύστημα λ - 4 x 3y λ 3x λ 4y λ 8 (Σ) Αρχικά βρίσκουμε D, D x, Dy λ D λ 4 λ λ -6-9 λ - 5 λ - 5 λ 5 3 λ 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 69

165 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας λ 3 Dx λ λ 4-3 λ 8 λ λ 4-6 λ 4 λ 4 λ - 5 λ 8 λ 4 λ - 4 λ 4 Dy λ - 4λ 8-3λ λ - 4λ 4-3λ λ 8 λ - 3-3λ - 3 λ - 3λ - 35 α) Για να τέμνονται οι (ε ) και (ε ) αρκεί το (Σ) να έχει μοναδική λύση. λ λ 5 Δηλαδή D 0 λ - 5λ 5 0 και και λ 5 0 λ 5 β) Για να είναι παράλληλες οι (ε ) και (ε ) αρκεί το (Σ) να είναι αδύνατο. Δηλαδή D 0 και ( Dx 0 ή Dy 0 ) D 0 λ 5 ή λ 5 λ 4 0 λ 4 Έστω Dx 0 λ 4λ ή ή λ λ 5 Άρα πρέπει λ 4 και λ 5 Έστω D 0 λ - 3λ y, Δ Οπότε λ, ή άρα πρέπει λ και λ γ) Τελικά λοιπόν (ε ) και (ε ) παράλληλες για λ=-5 Για να ταυτίζονται οι (ε ) και (ε ) αρκεί το (Σ) να είναι αόριστο δηλαδή D D D 0 Όμως 7 D 0 λ 5 ή λ 5, Dx 0 λ 4 ή λ 5, D 0 λ y ή λ 5 δ) Για να είναι (ε ) (ε ) πρέπει: λ 4 3 λ 4 λ λ - 3 λ 4 λ 4 λ 4 λ 4 λ 0 λ 0 για λ 4 Αν λ 4 τότε ε : 8x 3y 3 και x y ε : 3x 0 που δεν είναι κάθετες. 70 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

166 ο Κεφάλαιο Οξεία γωνία ευθείων Για να βρούμε την οξεία γωνία δύο ευθειών (ε ) και (ε ) ακολουθούμε τα εξής βήματα: Βρίσκουμε τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων δ, δ που είναι παράλληλα στις ευθείες (ε ) και (ε ) αντίστοιχα. Βρίσκουμε το συν δ,δ οπότε και τη γωνία των δύο διανυσμάτων άρα και τη γωνία των ευθειών. o Στην περίπτωση που το συν δ,δ είναι θετικός αριθμός τότε έχουμε βρει την οξεία γωνία των ευθειών (ε ) και (ε ). o Στην περίπτωση όμως που το συν δ,δ είναι αρνητικός α- ριθμός τότε έχουμε βρει την αμβλεία γωνία των ευθειών (ε ) και (ε ) οπότε η ζητούμενη οξεία γωνία θα είναι η παραπληρωματική της. x y y (ε ) δ δ (ε ) x Παράδειγμα Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες: ε : x 5y 7 0 και ε : 3x y Ας είναι δ 5, και δ,3 Τότε συνδ,δ Άρα δ,δ Λύση με δ / / ε δ δ 5 3 δ δ 5 3 και δ / / ε π οπότε η οξεία γωνία των (ε ) και (ε ) είναι 4 3π π π 4 4 Αν (ε): Αx+Βy+Γ=0 τότε δ Β, Α παράλληλο στην (ε) δ Α,Β κάθε- το στην (ε) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 7

167 Παράδειγμα Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες: ε : y μ x και Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας ε : μ x μ y με μ R Λύση Φέρνουμε τις εξισώσεις των δύο ευθειών στην γενική τους μορφή Οπότε είναι ε : μx y 0 () καθώς και ε : +μx -μy 0 () Ας είναι δ, μ και δ μ, μ με δ / / ε και δ / / ε δ δ μ - + -μ-μ- Τότε συνδ,δ δ δ - + -μ μ - + -μ - Άρα δ,δ 7 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας μ++μ +μ μ + +μ μ - μ++μ μ+ +μ μ + μ + μ + μ + μ + μ + π οπότε η οξεία γωνία των (ε ) και (ε ) είναι η π 4 4 Η εξίσωση Παράδειγμα 3 Α x Β y Γ x y Δ x Ε y Ζ 0 () Αν μια εξίσωση είναι της μορφής () τότε θα παριστά δύο ευθείες των ο- ποίων τις εξισώσεις θα βρίσκουμε σχηματίζοντας τριώνυμο ως προς y και βρίσκοντας τη διακρίνουσα Δ, η οποία θα βγαίνει πάντα τέλειο τετράγωνο. Εναλλακτικά μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε το ο μέλος της σχέσης. Δίνεται η εξίσωση : x y 3xy 5y 0 () α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει δύο ευθείες β) Να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών Λύση Θεωρώντας την () τριώνυμο ως προς y έχουμε: -y +y 3x+5 +x 0 Δ 3x x 9x +30x+5+6x - 6 5x +30x+9 5x +35x+3 5x+3

168 ο Κεφάλαιο Οπότε είναι -3x - 5 5x+3 x - y y - 3x+5 5x+3 y x - 5-5x - 3-8x - 8 y y y x+ : ε -4-4 y - x : ε Για να βρούμε τη σχετική θέση των ευθειών (ε ) και (ε ) λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. Έτσι λοιπόν έχουμε: Για 3 x - 5 η y - x+ 3 -x+ 4x+4-5x 3 x - 5 y x y Άρα οι ευθείες (ε ) και (ε ) τέμνονται στο σημείο Α -, 5 5 Εύρεση γεωμετρικού τόπου σημείων Αν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ f λ,g λ, λr όπου fλ, gλ παραστάσεις με λ, τότε: x f λ Θεωρούμε ότι Μx,y οπότε είναι y g λ Μετά κάνουμε απαλοιφή του λ, λαμβάνουμε υπόψη τυχόν αρχικούς περιορισμούς για τα x, y, βρίσκουμε τη σχέση που συνδέει τα x με τα y οπότε και το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ. Αν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ α+βημθ,γ+δσυνθ, θr τότε Θεωρούμε ότι Μx,y x α+βημθ () οπότε είναι y γ+δσυνθ () Μετά λύνουμε τις () και () ως προς ημθ και συνθ αντίστοιχα και αντικαθιστώντας αυτά στην τριγωνομετρική ταυτότητα ημ θ+συν θ= βρίσκουμε τη σχέση που συνδέει τα x με τα y οπότε και το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ. Αρκετές φορές χρήσιμη είναι και η ταυτότητα εφ θ συν θ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 73

169 Παράδειγμα 4 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στις παρακάτω περιπτώσεις α) Μ3λ 4,5 λ, λ R β) Μ,6 λ, λ R 00 γ) Μ λ +3,, λ R γ) Μσυνλ-3,0, λ R α) Έστω Μx,y. Τότε είναι: Λύση x 3λ - 4 x 3λ - 4 άρα x 3 5- y - 4 y 5- λ λ 5- y x 5-3y - 4 3y -x+ y - x+ 3 3 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία x y (ε) y ε : y - x+ 3 3 x β) Έστω Μx,y. Τότε είναι: x y 6 - λ Από τις παραπάνω σχέσεις αντιλαμβανόμαστε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η κατακόρυφη ευθεία x x y x y γ) Έστω Μx,y. Τότε είναι: Η σχέση y y 00 x λ +3 παριστάνει οριζόντια ευθεία y Όμως επιπλέον έχουμε 00 x λ +3 x 3 Άρα τελικά ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ημιευθεία του διπλανού σχήματος x y x 74 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

170 ο Κεφάλαιο δ) Έστω Μx,y. Τότε είναι: Η σχέση y 0 Όμως επιπλέον είναι x συνλ - 3 y 0 παριστάνει τον x x - συνλ -4 συνλ x - Άρα τελικά ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με άκρα τα σημεία Α(-4,0) και Β(-,0) Παράδειγμα 5 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Έστω Μx,y. Τότε είναι: Λύση x - συν θ x +3συν θ x - 3συν θ 3 y +3ημ θ y - 3ημ θ y - ημ θ Όμως είναι: y - x - ημ θ+συν θ + y - +x y+x y -x+7 3 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία Παράδειγμα 6 Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(5,-) και Γ(λ-5,3λ-) όπου λ R α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου του ΑΓ Μ 3συν θ, 3ημ θ, θ R ε : y -x+7 β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής Μ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΜ x x y Α y Β y (ε) x x Λύση α) Έστω Λx,y το μέσο του ΑΓ. Τότε είναι: xa xb λ-5 λ - 4 xλ x x x λ - λ x ya yb 3λ- 3λ y 3λ y 3λ yλ y y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 75

171 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας 3 7 y 3x y 3x 6 y 3x 7 y x 3 7 ε : y x Μ x,y. Αφού ΑΒΓΜ είναι παραλληλόγραμμο έχουμε: ΑΜ ΒΓ x -,y - λ - 5-5,3λ-+ Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Λ είναι η ευθεία β) Έστω x -,y - λ -0,3λ x - λ -0 x 9 λ y - 3λ y 3λ x 9 λ x 9 y 3 y 3λ 3x y y x Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία Παράδειγμα 7 Δίνονται οι ευθείες ε : λ x 3y και 3 3 ε : y x Λύση Βρίσκουμε το σημείο τομής τους λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους με τη μέθοδο των οριζουσών. λ -3-3 D λ 6λ - 3 8λ - 3, Dx 4 6, λ - 4 λ Dy 4λ 4λ λ- 4 ε : λ x y 4 με λ R Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής τους. Βοηθητικό Σχήμα D Τα σημεία τομής τους είναι τα x D Α, y 6 D D ή Α, 8λ-3 8λ-3 με λ x 8λ-3 8λ-3 Ας είναι Αx,y τότε: x y y x 6 8 y y 8λ-3 8λ-3 x ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων χωρίς όμως την αρχή των αξόνων διότι από (), () έχουμε ότι x 0 και y 0. Μ Α Γ Β 76 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

172 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 8 Δίνεται η ευθεία Λύση Έστω Μ(x,y) και Α(κ,λ) 5 Αε άρα 3κ - 5λ+ 0 3κ 5λ- κ λ Οπότε Α λ -,λ xρ x Α λ - x 5 5 Μ x 3 3 x λ Όμως Μ μέσο ΡΑ 3 3 yρ yα y - λ y λ - Μ y 6x 5 5λ 6x 5 5y 6x 5 0y 5 y λ 3 6x 0y 0 0y 6x 0 y x ευθεία 5 3 ε : y x 5 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία Θεωρώντας Μ(x,y) έχουμε: ΜΑ - x,- y ε : 3 x 5y 0 και το σημείο Ρ(,-) εκτός αυτής. Σημείο Α κινείται στην (ε). Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΡΑ. Παράδειγμα 9 Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(-3,) και Γ(0,0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: ΜΑ ΜΒ ΜΒ ΜΓ Λύση και ΜΒ -3- x, - y και ΜΓ -x,-y Έτσι λοιπόν είναι ΜΑ ΜΒ - x, - y -3- x,- y ΜΑ ΜΒ - -x,3-y ΜΒ ΜΓ -3- x, - y -x,-y ΜΒ ΜΓ -3- x, - y Οπότε: ΜΑ ΜΒ ΜΒ ΜΓ -- x 3- y -3- x - y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 77

173 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας x 3- y 3 x - y 4 8x 4x 9 -y 4y 9 x 4x 4 8x -y x - 4y -y 4y x - 8x 4-8y 4x 3 3 y - x 8-4y 4y 78 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

174 ο Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Εύρεση Συντελεστή Διεύθυνσης ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που: α) Διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(3,) β) Διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,3) γ) Διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(3,) ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που : α) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ,3 β) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα v 0, u,0 γ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα 3) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που α) Είναι κάθετη στο διάνυσμα u, β) Είναι κάθετη στο διάνυσμα v 0, δ,0 γ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα 4) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που σχηματίζει γωνία με τον άξονα x x α) π 4 β) 3π 4 γ) 0 δ) π 5) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης κάθε μιας από τις παρακάτω ευθείες: ε : y 8x+7 β) ε : x 8y+7 α) γ) ε 3 : y δ) ε 4 : x+ 0 ε) ε 5 : x+3y+7=0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 79

175 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας 6) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που ε : y 5x α) Είναι παράλληλη στην β) Είναι κάθετη στην ε : x+y+3 0 γ) Είναι παράλληλη στην ε 3 : y - x 0 δ) Είναι παράλληλη στην ε 4 : 0y ε) Είναι κάθετη στην ε 5 : 7x ) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον x x αν έχει συντελεστή διεύθυνσης α) β) 3 γ) - δ) 3 3 ε) 0 8) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον x x αν α) Διέρχεται από τα σημεία Α(3,4) και Β(4,5) β) Διέρχεται από τα σημεία Α(3, 3 ) και Β(-,-3 3 ) γ) Διέρχεται από τα σημεία Α(,4) και Β(,4) δ) Διέρχεται από τα σημεία Α(,3) και Β(,) 9) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον x x αν ε : y x+5 α) Είναι παράλληλη στην ευθεία β) Είναι κάθετη στην ευθεία ε : 3y - 3x 0 δ 7,-7 η -, v 0, u 0, γ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα ε) Είναι κάθετη στο διάνυσμα στ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα 0) Δίνονται οι ευθείες ε : y 3x και ε : y x α) Να βρείτε τις γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες (ε ) και (ε ) με τον άξονα x x 80 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

176 ο Κεφάλαιο β) Να σχεδιάσετε τις ευθείες γ) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι (ε ) και (ε ) ) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,), Β(3,0), Γ(5,-4) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης α) Των πλευρών του β) Των υψών του γ) Των διαμέσων του δ) Των μεσοκαθέτων των πλευρών του ) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(,), Β(-3,4), Γ(,-). Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών και των διαγωνίων του. 3) Δίνονται τα διακεκριμένα σημεία Α(-,3), Β,λ, Γ(μ-,4) α) Να βρεθεί το λ ώστε η ευθεία ΑΒ να σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 50 ο β) Να βρεθούν τα λ, μ ώστε η ευθεία ΒΓ να είναι κατακόρυφη γ) Να βρεθούν τα λ, μ ώστε η ευθεία ΒΓ να είναι παράλληλη στον άξονα x x Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας με Γνωστό Σημείο 4) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(,-3) και α) Έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 ε : y 5x+3 β) Είναι παράλληλη στην ευθεία γ) Είναι κάθετη στην ευθεία ε : y -x - 3 δ) Είναι παράλληλη στην ευθεία ε 3 : 3x - 4y+ 0 ε) Είναι κάθετη στην ευθεία 4 στ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα v,0 ζ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα u 0, ε : 4x - 5y 3 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 8

177 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας 5) α) Να βρεθεί η εξίσωση την ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Δ(,3) και Γ(-3,4) β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (η) που διέρχεται από τα σημεία Α(,34) και Β(3,33) γ) Να βρεθεί το σημείο τομής των (ε) και (η) 6) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Α(,5) και Β(4,3) Να βρείτε α) Την εξίσωση της ευθείας ΑΒ β) Το σημείο τομής της ΑΒ με τους άξονες γ) Τη γωνία που σχηματίζει η ΑΒ με τον x x 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3,), Β(,-) και Γ(4,-) α) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΔ β) Του ύψους ΒΕ γ) Της μεσοκάθετης της πλευράς ΑΒ 8) Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(,), Β(-,3) και Γ(,-4) α) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου από την κορυφή Α β) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου του τριγώνου από την κορυφή Β γ) Το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών 9) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ε : y x 3 στο σημείο όπου αυτή τέμνει τον y y. 0) Nα βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ε : y x. Ποιας χαρακτηριστικής ευθείας βρήκατε την εξίσωση; ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(5,3) και είναι παράλληλη α) Στη διχοτόμο της xοy β) Στη διχοτόμο της xοy 8 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

178 ο Κεφάλαιο ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(8,) 3) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(,) και από το σημείο τομής των ευθειών ε : y 6x 3 και ε : y x 7 4) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής ε : x - y+3 0, ε : x+y και είναι κάθετη στην ευθεία των η : 3x+y Κατόπιν να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της (ε) από την αρχή των αξόνων. 5) Η ευθεία ε : 3x - y - 0 περνά από το σημείο Α(α,β) και η ευθεία δ : x+y περνά από το σημείο Β(β,α). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθεία ΑΒ. 6) Έστω τα διανύσματα,3 α και β 4 j Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(-,3) και είναι κάθετη στο διάνυσμα v 3α - β και μετά το πλησιέστερο σημείο της (ε) από το Ο. 7) Οι συντεταγμένες των κορυφών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι Α(,), Β(-,) και Γ(3,5). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή Α και είναι κάθετη στη διάμεσο ΒΛ του τριγώνου. 8) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(,) Τα ύψη ΒΔ και ΓΕ έχουν αντίστοιχα εξισώσεις x - y+3 0 και x+y+ 0 Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 83

179 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας 9) Δίνονται τα σημεία Μ(-3,4), Ν(,-4) και Κ(7,) μέσα των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου και οι συντεταγμένες των κορυφών του. 30) Δίνεται η κορυφή Α(,) ενός τριγώνου ΑΒΓ και έστω ότι οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις 3x+y - 0 και x - y 3 0. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ. 3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,3) και έστω x - y 0 και y οι εξισώσεις δύο διαμέσων του. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου. 3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Α(,5), Η(-0,4) το ορθόκεντρο του τριγώνου και η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ είναι ε : x 4y 6 0 να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. 33) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α4,6 και οι ευθείες ε : x y 4 0 και ε : x 3y 3 0 πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο εσωτερικοί διχοτόμοι του. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. 34) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,) και Β(-,0) Αν η εξίσωση της διχοτόμου ΑΔ είναι y=x να βρείτε α) Το συμμετρικό σημείο του Β ως προς την ευθεία ΑΔ β) Την εξίσωση της πλευράς ΑΓ 84 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

180 ο Κεφάλαιο 35) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Η πλευρά ΑΒ ανήκει στην ευθεία με ε- ξίσωση y 7x 4 και η πλευρά ΑΔ στην ευθεία με εξίσωση y 3 x 9. Οι διαγώνιοί του ΑΓ, ΒΔ τέμνονται στο σημείο Κ(4,3). 5 5 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Γ β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΒΓ γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η διαγώνιος ΒΔ 36) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του οποίου δύο πλευρές έχουν εξισώσεις y x, y 8 x και μια διαγώνιός του έχει εξίσωση 3 3 y 3 x 3. Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών καθώς και τις συντεταγμένες των κορυφών του. 37) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του οποίου δύο πλευρές έχουν εξισώσεις y x και y x 3 και το κέντρο του Κ έχει συντεταγμένες (,). Να βρείτε: α) Τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του β) Τις συντεταγμένες των κορυφών του 38) Δίνονται οι εξισώσεις x - 3y 5 0, 3x y 7 0 δύο πλευρών παραλληλογράμμου και η κορυφή Α(,-3). Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του. 39) Δίνονται τα σημεία Α(3,3), Β(,-4), Γ(-5,-5), Δ(-4,) α) Να δείξετε ότι ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο β) Να δείξετε ότι ΑΒΓΔ είναι ρόμβος γ Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του ΑΒΓΔ δ) Να βρείτε το κέντρο του ΑΒΓΔ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 85

181 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας 40) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(-,-) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 4) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(,) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 4) Να βρείτε τις εξίσώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(,-4) και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν τ.μ. 43) Δίνεται η ευθεία ε : 4x - 3y 0 και τα σημεία Μ(-,) και Ν(-,3). Δύο παράλληλες ευθείες ε και ε διέρχονται από τα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα και τέμνουν την ευθεία (ε) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι ώστε να είναι ΑΒ 5. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ε και ε. 44) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Μ(,) και δ : y x+ και δ : y x στα Α, Β αντίστοιχα τέμνει τις ευθείες ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 45) Δίνονται οι ευθείες ε : x - 3y 0 0 και ε : x y 8 0 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Μ(0,) και τέμνει τις (ε ), (ε ) στα σημεία Α, Β αντίστοιχα ώστε το σημείο Μ(0,) να είναι μέσο του ΑΒ. 46) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(,0) και τέ- δ : y x και δ : y x στα Β, Γ αντίστοιχα ώστε μνει τις ευθείες το μήκος του ΒΓ να είναι. 86 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

182 ο Κεφάλαιο 5 47) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ, 3 και τέμνει τις ευθείες ε : x y 0, ε : 3x y 7 0 στα Α και Β αντιστοίχως ώστε ΑΜ ΜΒ Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας με Γνωστό Συντελεστή Διεύθυνσης 48) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι παράλληλη στην ευθεία η : y x και τέμνει τους άξονες x x, y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα ώστε x y 5 3. Α Β 49) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία δ : y x+ και τέμνει τους άξονες x x, y y στα σημεία Α και Β αντί- στοιχα ώστε το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β να είναι ίσο με 3. 50) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι παράλληλη στην ευθεία δ : y x - 8 και σχηματίζει με τον άξονα x x και την ευθεία ε : y x 3 τρίγωνο με εμβαδόν 5 τετραγωνικές μονάδες. 5) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που σχηματίζουν με τον άξονα x x γωνία 30 ο και επιπλέον, το τρίγωνο που σχηματίζουν με άξονες να έχει εμβαδόν 3 Συμμετρίες 5) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,), Β(,-3) και Γ(3,) Να βρεθεί το συμμετρικό του Γ ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία ΑΒ 53) Δίνεται η ευθεία ε : y x - και το σημείο Α(,3) Να βρεθούν α) Η προβολή Κ του Α πάνω στην (ε) β) Σημείο Β που είναι συμμετρικό του Α ως προς την (ε) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 87

183 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας 54) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι συμμετρική της ε : y x ως προς τη δ : y x 55) Δίνεται η ευθεία ε : 5x - 6y+ 0 Να βρείτε τη συμμετρική της (ε) ως προς α) Τον άξονα x x β) Τον άξονα y y γ) Την αρχή των αξόνων δ) Το φορέα της διχοτόμου της γωνία xοy 56) Δίνεται το σημείο Α(,5) και οι ευθείες: ε : 4x-3y-8=0 και ε : x-6y+=0 α) Να βρείτε το συμμετρικό σημείο Β του Α ως προς την ευθεία (ε ) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην (ε ) και διέρχεται από το Β. 57) Να βρείτε την προβολή του σημείου Μ(,-) στην ευθεία x 3y 58) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-,-) και χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Τ(,3), Σ(-,) σε δύο τμήματα ΤΚ, ΣΚ έτσι ώστε ΤΚ 3 ΣΚ Μεσοπαράλληλος Ευθειών 59) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών ε : x - 3y 4 0 και ε : x 3y ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών ε : y -x και ε : y -x 5 88 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

184 ο Κεφάλαιο 6) Αν η ευθεία η : x - y 0 είναι μεσοπαράλληλος των ευθειών ε : x - y α 0 και ε : x 4y α 0 να βρείτε το α. 6) Δίνονται οι ευθείες ε : y x και (ε )//(ε ) και να βρεθεί η dε,ε ε : x - y Να δείξετε ότι ε : μx y λ 0. Να βρε- 63) Δίνονται οι ευθείες ε : x y 0 και θούν τα ζεύγη τιμών των λ,μr ώστε (ε )//(ε ) και dε,ε Πότε μια εξίσωση Αx+By+Γ=0 παριστάνει Ευθεία 64) Δίνεται η εξίσωση λ - 3x λ -y λ 0 () όπου λr Α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ Β) Να βρεθεί το λ ώστε α) Η παραπάνω ευθεία να είναι παράλληλη στον x x β) H παραπάνω ευθεία να είναι παράλληλη στον y y γ) H παραπάνω ευθεία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 65) Να βρεθούν οι τιμές του κr ώστε η κ - 4 x κ - 3κ y κ να είναι εξίσωση ευθείας γραμμής. Κατόπιν, να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε κανένα σημείο της ευθείας να μην ανήκει στο 4 ο τεταρτημόριο. 66) Δίνονται οι εξισώσεις : κ - κ - 3x 3κ - y+ 0 () και 3κ -κ 6 x κ - y () Να εξεταστεί αν είναι εξισώσεις ευθειών και αν ναι, να βρεθεί ο κr ώστε οι παραπάνω ευθείες να είναι κάθετες μεταξύ τους. 67) Δίνεται η εξίσωση κ κ - x κ - 4 y+κ 4 0 α) Να βρεθούν οι τιμές του κr ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει ευθεία β) Να βρεθούν οι τιμές του κr για τις οποίες οι ευθείες αυτές να διέρχονται από το σημείο Α(,). Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 89

185 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας 68) Να βρεθούν οι τιμές των α, βr ώστε η 3α -βx α 3β y 5α β να είναι εξίσωση ευθείας. Κατόπιν να βρεθεί εκείνη η ευθεία της παραπάνω εξίσωσης που περνά από το σημείο Α(,). 69) Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις ε : κ+x+y κ -3x - 4y κ 0 και α) Να δείξετε ότι η ε β) Να βρεθεί ο κ ώστε ε ε παριστάνει ευθεία για κάθε κr Μονοπαραμετρική Οικογένεια Ευθειών 70) Δίνεται η εξίσωση α) Να δείξετε ότι η εκ παραμέτρου κ. ε : κ x κ y κ 3 0 β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες εκ κ ε : x - y 3 0 παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιμή της διέρχονται από σταθερό σημείο. γ) Να βρεθεί ο μr ώστε η απόσταση του κοινού σημείου των παραπάνω ευθειών από το Α(μ,0) να ισούται με 7) Δίνεται η εξίσωση λ α) Να δείξετε ότι η ελ λr β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες ελ ε : λ λ x λ 3λ 3 y - λ λ 0 παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιμή του διέρχονται από σταθερό σημείο. 7) Δίνονται οι ευθείες ε : 3κ x 3 κ y 3κ 4 0 κ ε : λ x λ y λ 0 με κ, λ πραγματικοί αριθμοί. λ α) Να δείξετε ότι κάθε μια από τις παραπάνω οικογένειες ευθειών διέρχονται από σταθερό σημείο. β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από αυτά τα σημεία 90 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

186 ο Κεφάλαιο 73) Δίνεται η εξίσωση κx κ y 3κ 0 () όπου κ ένας πραγματικός αριθμός. α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την () διέρχονται από σταθερό σημείο. γ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ ώστε μια ευθεία που ανήκει στην παραπάνω οικογένεια να περνά από το μέσο του ΑΒ με Α(,5) και Β(5,-) 74) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που εκφράζονται από την εξίσωση κ μ - 3 x κ 4μ - y μ -κ 5 0 όπου κ, μ πραγματικοί αριθμοί, δε που είναι κάθετες στην ευθεία διέρχονται από σταθερό σημείο. Κατόπιν να βρεθούν εκείνες οι ευθείες ε : x - y - 0 και περνούν από το σημείο Κ(0,). 75) Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση λ x λy λ 3λ 0 όπου λ ένας πραγ- ματικός αριθμός. 76) Δίνεται η εξίσωση λx λ y λ λ 3 0 () όπου λr α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει ευθεία για κάθε λr β) Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την () Σχετική Θέση Ευθειών 77) Δίνονται οι ευθείες ε : λx - λ y - 0 και Να βρεθεί το λ ώστε: α) Οι (ε ) και (ε ) να τέμνονται β) Οι (ε ) και (ε ) να είναι παράλληλες γ) Οι (ε ) και (ε ) να ταυτίζονται δ) Οι (ε ) και (ε ) να είναι μεταξύ τους κάθετες ε : x - y λ - 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

187 Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας 78) Δίνονται οι ευθείες ε : κ - x κy 3 0 και Να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε: α) Οι (ε ) και (ε ) να τέμνονται β) Οι (ε ) και (ε ) να είναι παράλληλες γ) Οι (ε ) και (ε ) να ταυτίζονται δ) Οι (ε ) και (ε ) να είναι μεταξύ τους κάθετες ε : κ - x κ y 3κ 0 79) Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών (ε ), (ε ) και (ε 3 ) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) ε : x y - β) ε : x y 5 ε : x y ε : x 5y ε 3 : 3x y 5 3 ε : x 3y 5 γ) ε : x y 0 δ) ε : 3x y ε : 4x y 3 ε : x 3y 0 ε 3 : x y 3 ε : x 6y 5 80) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού κ ώστε οι ευθείες ε :κx y 0, ε : x κy κ 0, ε : x y κ 0 να συντρέχουν. Οξεία Γωνία Ευθειών 3 8) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών: ε : x 7y 0 και ε : 3x 4y 0 8) Δίνονται οι ευθείες ε : λx y και ε : λ - x λ y 0 όπου λ ένας πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών (ε ) και (ε ). 9 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

188 ο Κεφάλαιο 83) Αν οι ευθείες ε : y λx+β και ε : y λ x+γ σχηματίζουν οξεία γωνία θ να δείξετε ότι ημθ λ - λ +λ +λ Η εξίσωση Αx +By +Γxy+Δx+Ey+Z = 0. 84) Να δείξετε ότι η εξίσωση x y 3xy x 3y 0 παριστάνει ευθείες. 85) Να δείξετε ότι η εξίσωση x y 3xy 6x 7y 4 0 παριστάνει ευθείες κάθετες μεταξύ τους. 86) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3x 3y 8xy 9x 3y 30 0 παριστάνει ευθείες των οποίων να βρεθεί η γωνία. 87) Να δείξετε ότι η εξίσωση 9x xy 4y 4 0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες. Να βρεθεί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει κορυφές τα σημεία τομής των παραπάνω ευθειών με τους άξονες x x και y y. 88) Δίνεται η εξίσωση y 3x 0 () α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει δύο ευθείες (ε ) και (ε ). β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x κάθε μια από τις (ε ) και (ε ). γ) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζει η ευθεία η : x y 0 με την (ε ) και την (ε ). Γεωμετρικοί Τόποι 89) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ στις παρακάτω περιπτώσεις: Μ λ, λ 3, λr β) Μ λ, α) λ, λr 3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 93

189 γ) Μ3, λ, λr δ) Μ4, λ, λr ε) Μλ 3,, λr στ) Μλ,, λr ζ) Μημλ,, λr η) Μ θ) Μ ημ θ, συν θ 3, Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας συνλ, 3, λr Μ ημ θ, συν θ 3, θr θ R ι) 90) Δίνονται οι ευθείες ε : λ+x λ-y λ - 0 και ε : x y 4 όπου λr - α) Να δείξετε ότι οι (ε ) και (ε ) τέμνονται. β) Έστω Μ το κοινό σημείο των (ε ) και (ε ). Να δείξετε ότι το σημείο Μ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 9) Δίνονται τα σημεία Α(-,), Β(,-5) και Γ(3,0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΜΑ ΜΒ - 3ΜΓ 0 9) Αν το σημείο Α(κ,λ) κινείται στην ευθεία ε : 4x 5y 9 0 να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(κ+,5λ-3) όπου κ, λ πραγματικοί α- ριθμοί. 93) Δίνονται τα σημεία Α(3,0) και Β(0,6) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: ΜΑ ΜΒ 8 Γεωμετρικά Θέματα 94) Έστω Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΒ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην προέκταση της ΓΑ προς το Α θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε Α- Ε=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ 95) Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΓΔ ισχύει ΑΓ ΒΔ ΑΔ ΒΓ ΑΒΓΔ 94 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

190 ο Κεφάλαιο 96) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των διαμέσων του ΒΔ και ΓΕ παίρνουμε σημεία Κ και Λ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΔΚ=ΒΔ και ΕΛ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Δ και Λ είναι συνευθειακά και ότι ΑΚ=ΑΛ. 97) Να αποδείξετε ότι κάθε γωνία εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 95

191 96 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Εξίσωση Ευθείας Γενική Εξίσωση Ευθείας

192 ο Κεφάλαιο.3 Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω (ε) μια ευθεία με εξίσωση Αx By Γ 0 και Μx 0,y0 ένα σημείο εκτός αυτής. Η απόσταση dm,ε του σημείου Μ από την ευθεία (ε) είναι: Αx0 By0 Γ dm,ε Α Β Ειδικότερα Αν (ε ): x=α, τότε dm,ε x0 α x=α y Ο (ε) d(m,ε) Μ(x 0,y 0) x y Μ(x 0,y 0) Αν (ε ): y=β, τότε dm,ε y0 β Ο y=β x Εμβαδόν Τριγώνου Έστω Αx,y, Βx,y και Γx 3,y3 επιπέδου. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι: x x y y x x y y ΑΒΓ detab,aγ 3 3 τρία σημεία του καρτεσιανού y Α(x,y ) Ο Γ(x 3,y 3) Β(x,y ) x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 97

193 ) α) da,ε 98 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Παράδειγμα Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Α(,) από τις ευθείες: ε : 3x 4y 0 ε : x 5 α) γ) ε 3 : y 7 Λύση 3x A 4yA d A,ε x β) γ) A d A,ε y A δ) Φέρνουμε την (ε 4 ) στην γενική της μορφή ε : x y 0 4 d A,ε 4 Παράδειγμα xa ya Λύση Το σημείο (,-) εύκολα διαπιστώνουμε ότι δεν αληθεύει καμία από τις (ε ) και (ε ) οπότε αναγκαστικά η θα είναι Γ(,-). AΒΓΔ ΓΒ ΓΔ d Γ,ε d Γ,ε Ισχύει ότι Αλλά dγ,ε και dγ,ε β) δ) ε : y - x 0 4 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Η πλευρά ΑΒ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε : 3x 4y 0 και η πλευρά του ΑΔ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε : 4x 3y 5 0 και μια κορυφή του έχει συντεταγμένες (,-). Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ άρα AΒΓΔ τ.μ x ε 4 y Ο y Α ε ε Βοηθητικό Σχήμα Α Β Δ ε d(γ,ε) d(γ,ε) ε 3 ε Γ(,-) x

194 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 3 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : y λx β α) Να δείξετε ότι dε,ε β β λ και β) Να βρεθεί η απόσταση των παράλληλων ευθειών και ε : 6x 8y 5 0. ε : y λx β. ε : 3x 4y - 0 Λύση α) Αρχικά φέρνουμε τις εξισώσεις και των δύο ευθειών στη γενική τους μορφή. Έτσι λοιπόν είναι: ε : λx y β 0 () και Επιλέγουμε ένα σημείο της (ε ) ε : λx y β 0 () Για x 0 η () y β άρα είναι Α(0,β ) Οπότε ισχύει ότι: d ε,ε d Α,ε λ 0 β β β β λ λ x Η έννοια της απόστασης δύο ευθειών έχει νόημα στην περίπτωση που αυτές είναι παράλληλες. y y Α(0,β ) ε x ε 3 β) Είναι λε λ ε άρα οι ευθείες (ε ) και (ε ) είναι παράλληλες. 4 Για x=0 η (ε ) δίνει ότι y άρα Α 0, 4 4 ένα σημείο της (ε ) Οπότε dε,ε dα,ε Παράδειγμα 4 Δίνονται οι ευθείες ε : x - y 0 και ε : 3x 4y - 0. Να βρείτε τα σημεία της (ε ) που απέχουν από την (ε ) απόσταση ίση με. Λύση Ας είναι Α x,y. A Αφού A Α ε x y 0 x y () A A A A Όταν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 99

195 Επιπλέον είναι: Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου 3xA 4 ya dα,ε 3x A 4yA y 4y 5 0y 5 A A A 0y 5 0y 6 0y A 5 0y A ya άρα x A ya άρα xa 5 5 A A 6 3 Οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα Α, 5 5 και 4 Α, 5 5 Παράδειγμα 5 Δίνονται οι ευθείες ε : 3x y 0, ε : x 3y 5 0 και ε : x y 0. Να βρείτε τα σημεία της (ε 3 ) που ισαπέχουν από τις (ε ) και (ε ). x ε 3 y y Α Α ε x Ας είναι A A Αφού Α x,y. 3 A A A A Λύση Α ε x y 0 y x () 3xA ya xa 3yA 5 dα,ε dα,ε 3 3 3xA xa xa 3xA 5 ε ε ε 3 y x 5 x A A xa 5 xa xa 5 xa x 4 5 Αδύνατη A A x άρα ya x y Α x Οπότε το μοναδικό σημείο είναι το Α(,-) 00 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

196 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 6 Βρείτε την ευθεία που περνά από το σημείο Α(3,) και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 3. Είναι Α Λύση ε : y - λ x - 3 y - λx - 3λ λx - y - 3λ 0 () λ 0 0 3λ Επιπλέον do,εα 3 3 λ 3λ 3 3λ 3 λ λ 3λ 9 λ 3λ 9 λ 6λ 9λ 9λ 9 6λ 8 λ Οπότε ε Α : - x - y y - x 5 καθώς και η x=3 αποτελεί λύση Παράδειγμα 7 4 Να βρείτε τις ευθείες που απέχουν από την ευθεία ε : 3x 4y 0 απόσταση ίση με μονάδες. Λύση Ας είναι δ : y λ x β η ζητούμενη ευθεία Αφού μας δίνεται ένα σημείο απ το οποίο διέρχεται η ευθεία θεωρούμε ότι η ε- ξίσωσή της είναι της μορφής: Για να ορίζεται η απόσταση των (ε) και (δ) πρέπει οι ευθείες να ο συντελεστής διεύθυνσης της 3 ευθείας και δε είναι παράλληλες. Οπότε έχουμε ε / / δ λε λδ λ μπορούμε να 4 βρούμε ένα σημείο από το ο- 3 Άρα δ : y x β () ποίο διέρχεται 4 θεωρούμε ότι έ- χει εξίσωση της Για x 0 η () y β δηλαδή Α(0,β) ένα σημείο της (δ) μορφής Όμως y λx β 30-4β - dδ,ε dα,ε -4β β 4β 0 4β 9 δ : y x 4β β 0 4β 3 9 β ζ : y x y - y λ x - x 0 0 Στο τέλος θα ε- λέγξουμε αν και η κατακόρυφη ευθεία αποτελεί λύση του προβλήματος Αφού μας δίνεται Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 0

197 Παράδειγμα 8 Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου Η ευθεία η : x y 3 0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών που απέχουν d 5. Να βρείτε τις εξισώσεις αυτών. Λύση Οι ζητούμενες ευθείες θα είναι παράλληλες στην (η) οπότε για το συντελεστή διεύθυνσής τους έχουμε: λ λη λ Η εξίσωσή τους θα είναι της μορφής: (ε): y λ x β y x β () y Κάθε μια από τις ζητούμενες ευθείες θα απέχει από την (η) απόσταση ίση με d 5 Για x 0 η () y β δηλαδή Α(0,β) ένα σημείο της (ε) 0 β - 3 dε,η 5 dα,η 5 5 β β β 8 β 4 β β β ε : y x 4 Οπότε οι ζητούμενες ευθείες είναι οι x και ζ η y ζ : y x ε x Εμβαδόν Τριγώνου Παράδειγμα 9 Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(,), Β(3,0), Γ(5,4). Είναι ΑΒ, και ΑΓ 4, Οπότε Λύση ΑΒΓ det AB,ΑΓ τ.μ. 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

198 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 0 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(,3) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν τ.μ. Λύση Έστω ε : y - y λ x - x y - 3 λx - Α Α Α y - 3 λx - λ y λx - λ 3 () Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (ε Α ) με τους άξονες Για x=0 η () y 3- λ άρα Β(0,3-λ) λ - 3 λ - 3 Για y=0 η () 0 λx - λ 3 x άρα Γ,0 λ λ λ - 3 ΟΒ 0,-λ+3 και ΟΓ,0 λ Οπότε είναι 0 -λ+3 λ λ ΟΒΓ det ΟΒ,OΓ λ λ λ 3λ - λ - 9+3λ 4λ -λ +6λ - 9 4λ -λ +6λ - 9 4λ -λ +λ λ +6λ - 9-4λ -λ +0λ Για την () έχουμε Δ αδύνατη Για την (3) έχουμε Δ Οπότε λ, 9 Άρα από τη σχέση () οι ζητούμενες ευθείες είναι οι: ε : y x και ζ : y 9x 6 x ε y y ζ Α(,3) x Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που περνά από την αρχή των αξόνων ε : x y 3 και τον y y τρίγωνο εμβαδού 9 τ.μ. και σχηματίζει με την ευθεία Λύση Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 03

199 Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου Έστω (δ) η ζητούμενη ευθεία. Αφού η (δ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων η εξίσωσή της θα είναι της μορφής λx δ : y Βρίσκουμε το σημείο τομής της (ε) με τον y y Για x=0 η (ε) δίνει y=3 άρα Α(0,3) Από το διπλανό βοηθητικό σχήμα γίνεται αντιληπτό ότι για να εκμεταλλευτούμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από το Ο(0,0) τον y y και τις ευθείες απαιτείται να βρούμε το σημείο τομής τους Γ. y λx Διαδοχικά έχουμε: x+y και από x+λx+3 0 +λ x -3 x - λ+ x Βοηθητικό Σχήμα y y Α(0,3) Ο 3λ y - λ+ Γ x 3 3λ Άρα Γ -,- λ+ λ+ οπότε είναι ΟΑ 0,-3 3 3λ και ΟΓ -,- λ+ λ+ 0-3 ΟΑΓ 9 det ΟΑ,OΓ λ 8 λ+ λ+ y 9 8 8λ+8 9 λ+ λ 8λ+8 9 8λ 9 8λ+8 9 8λ 7 3 λ δ : y x Έτσι λοιπόν οι ζητούμενες ευθείες είναι οι x και y 3 ζ : y x η ε ζ x Γεωμετρικοί Τόποι Παράδειγμα 3 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : 4x 6y 5 0 και ε : x 3y 0. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από τις παράλληλες. (Εξίσωση Μεσοπαραλλήλου) 04 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

200 ο Κεφάλαιο Λύση Έστω Μ(x,y) τα σημεία των οποίων το γεωμετρικό τόπο ζητάμε. Είναι 4x 6y 5 x 3y 4x 6y 5 x 3y dμ,ε d Μ,ε 4x 6y 5 x 3y 4x 6y 5 x 3y 3 3 4x 6y 5 4x 6y 4x 6y 5 4x 6y 4x 6y 5 4x 6y y x y x y 8x Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y x 3 Παράδειγμα 4 Δίνονται οι ευθείες ε : 3x y 4 0 και ε : x 3y 5 0. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τις (ε ) και (ε ) είναι ίση με 3 Λύση Έστω Μ(x,y) τα σημεία των οποίων το γεωμετρικό τόπο ζητάμε. Είναι 3x y 4 dμ,ε 9 3x y 4 dμ,ε 3 x 3y 5 3 x 3y x 3y x 6y 0 9x 3y x 6y 0 9x 3y x 6y 0 7 y x 3y 7x 3 3 9y x y x 9 9 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι οι δύο παραπάνω ευθείες. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 05

201 Παράδειγμα 5 Δίνονται τα σημεία Α(3,) και Β(-,-) Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΜ είναι 8 τ.μ. Λύση Έστω Μ(x,y) τα σημεία των οποίων το γεωμετρικό τόπο ζητάμε. ΑΜ x 3,y ΑΒ 4, 3 Είναι Οπότε έχουμε: και x - 3 y - ΑΒΜ 8 det ΑΒ,ΑΜ x+9+4y x+4y y x+ -3x+4y+5 6 4y 3x+ 4 4 ή ή ή -3x+4y+5 6 4y 3x - 3 4y x Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι οι δύο παραπάνω ευθείες. Παράδειγμα 6 Δίνονται οι ευθείες ε : 4x 3y 5 0 Λύση Ας είναι Μ(x,y) τα σημεία του επίπεδου που ανήκουν στις διχοτόμους των ευθειών (ε ) και (ε ). Τότε έχουμε: 4x 3y 5 6x 8y 5 4x 3y 5 6x 8y dμ,ε d Μ,ε και ε : 6x 8y 5 0 Να βρείτε τις εξίσωσεις των διχοτόμων τους. (εξίσωση διχοτόμου) 5 4x 3y 5 3x 4y 4x 3y 5 6x 8y 5 5 4x 3y 5 3x 4y 8x 6y 0 6x 8y 5 x y 5 0 8x 6y 0 6x 8y 5 4x 4y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

202 ο Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Απόσταση Σημείου από Ευθεία ) Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(4,) από τις ευθείες ε : x y 5 0 β) ε : y x α) γ) ε 3 : x δ) 4 ε : y ) Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(-,) από τις ευθείες ε : 3x 4y 0 β) ε : y x α) γ) ε 3 : x 0 δ) 4 ε : y 00 3) Να βρεθεί η απόσταση των ευθειών ε : 3x 4y 0 και ε : 3x 4y 7 0. α) β) ε : 6x 8y 0 και ε : 6x 8y ) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας ε : x y 0 που απέχουν από την ευθεία ζ : 3x 4y 0 απόσταση ίση με. 5) Δίνονται οι ευθείες ε : 5x y 0 0 και ζ : 5x y 0 0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (η) που είναι παράλληλη προς την (ε) και η απόσταση των (η) και (ε) είναι διπλάσια από την απόσταση των (η) και (ζ). 6) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην ευθεία ε : x y 0 και απέχουν από το σημείο Α(3,0) απόσταση 5 μονάδες. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 07

203 Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου 7) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κοινό σημείο των ευθειών ε : x 3y 0, ε : x 5y 9 0 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με μονάδες. 8) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-,0) και απέχουν από το σημείο Β(5,-3) απόσταση ίση με 3 μονάδες. 9) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχουν από τα σημεία Α(-,3) και Β(4,). 0) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(3,5) και ισαπέχει από τα σημεία Β(-7,3) και Γ(,-5). ) Η ευθεία ε : 6x 8y 9 0 είναι μεσοπαράλληλη των παράλληλων ευθειών (ε ) και (ε ) που έχουν απόσταση μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των (ε ) και (ε ). ) Η ευθεία ε : x y 0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών (ε ) και (ε ) που απέχουν των ευθειών αυτών. 5 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις 3) Δίνονται οι ευθείες ε : 3x y 0 0 και ε : x 3y 6 0. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που ορίζουν οι (ε ) και (ε ). 4) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε : 3x y 4 0 και ε : x 3y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

204 ο Κεφάλαιο 5) Δίνονται οι ευθείες ε :μx y 0 και ε : x μy 3λ 0. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών λ, μ ώστε οι (ε ) και (ε ) να είναι παράλληλες και η απόστασή τους να είναι ίση με. 6) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(5,6), Β(,-) και Γ(3,3). Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΔ του τριγώνου. 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,-7). ε : x y 7 0 () είναι οι εξισώσεις ε- Αν ε : 3x y 0 () και νός ύψους και μιας διαμέσου αντίστοιχα που φέρονται από διαφορετική κορυφή να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ β) Τα μήκη του ύψους και της διαμέσου που δίνονται από τις εξισώσεις () και () αντίστοιχα. 8) Δίνεται η ευθεία ε : x y 0. Να βρεθεί ποιο σημείο της (ε) απέχει από την αρχή των αξόνων την ελάχιστη απόσταση καθώς και η απόσταση αυτή. 9) Δίνεται η εξίσωση αριθμός. ε : x y 4 λ x y 3 0 όπου λ πραγματικός λ α) Να δείξετε ότι η (ε λ ) παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο. β) Να βρείτε την ευθεία (ε λ ) ώστε η απόσταση του Δ(,-3) από αυτήν να ισούται με 0. γ) Να βρείτε το λ ώστε τα σημεία Α(-,) και Β(,0) να ισαπέχουν από την ευθεία (ε λ ). Εμβαδόν Τριγώνου 0) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ στις παρακάτω περιπτώσεις α) Α(-5,3), Β(,0), Γ(-,-3) β) Α(7,-4), Β(,6), Γ(4,4) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 09

205 Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-,4) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν τετραγωνική μονάδα. ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(,) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 4 τετραγωνικές μονάδες. 3) Δίνονται οι ευθείες ε : x y 0 και ε : 3x y 5 0. Να βρείτε τις ευθείες που είναι παράλληλες στο διάνυσμα u i j και σχηματίζουν με τις ευθείες (ε ) και (ε ) τρίγωνο με εμβαδόν τετραγωνικές μονάδες. 4) Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(5,5) και η ευθεία ε : x y 0. Να βρείτε σημείο Γ της (ε) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι ίσο με 4 τετραγωνικές μονάδες. 5) Δίνονται τα διανύσματα θέσης α,, β 3, και γ 0, σημείων Α, Β, Γ αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. β) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. των γ) Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο να βρεθεί το εμβαδόν του. στην ευθεία 6) Ισοσκελές τρίγωνο έχει κορυφή το σημείο Α(,). Η βάση του βρίσκεται ε : x y 0 0 και το εμβαδόν είναι 5 τετραγωνικές μονάδες. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων δύο κορυφών του. 7) Δίνονται τα σημεία Α(λ,), Β(λ-,λ+) και Γ(λ+5,λ+3) όπου λ πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. β) Να βρείτε το λ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι ίσο με. 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

206 ο Κεφάλαιο 8) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι τετραγωνικές μονάδες και Α(-,3), Β(-,4). Να βρείτε συντεταγμένες των δύο άλλων κορυφών του αν οι διαγώνιοί του τέμνονται στον άξονα x x. 9) Nα δειχθεί ότι η εξίσωση 9x xy 4y 4 0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες. Να βρεθεί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει κορυφές τα σημεία τομής των παραπάνω ευθειών με τους άξονες x x και y y. Γεωμετρικοί Τόποι 30) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τα οποία ισαπέχουν από τις ευθείες ε : 3x y 4 0 και ε : 3x y ) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(6,6), Β(-3,0) και Γ(3λ-,λ+3) όπου λr α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Γ. β) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 3) Δίνονται τα σημεία Α(-,), Β(3,5) και Γ(,4) α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ΜΒΓ 3ΑΒΓ 33) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου έτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ με Α(-,-), Β(3,) να είναι σταθερό και ίσο με τετραγωνικές μονάδες. 34) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων ε : x y 0 και ο λόγος των αποστάσεων από τις ευθείες ε : x y 0 ισούται με. 35) Δίνονται οι ευθείες ε : x y - 0 και ε : x - y Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ του επιπέδου των ευθειών των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τις ευθείες (ε ) και (ε ) είναι ίσος με. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

207 36) Δίνονται οι ευθείες ε : x y 3 0 και Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου ε : x y 0. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει 37) Δίνονται οι μεταβλητές ευθείες ε : y λx 3 5 d M,ε d M,ε. και ε : y λ+5 x+ Να δείξετε ότι το κοινό σημείο των (ε ) και (ε ) κινείται σε μια ευθεία (ε). Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

208 ο Κεφάλαιο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x x β) Mια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x x έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 0 γ) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(α,β) και Β(α,γ) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν. δ) Μια ευθεία κάθετη προς τον άξονα x x έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε) Οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων x x και y y είναι ευθείες κάθετες. στ) Οι ευθείες y λ και y λx είναι παράλληλες Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ ) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Οι ευθείες y κx και αν και μόνο αν λ κ λ y x είναι παράλληλες Σ Λ β) Οι ευθείες y x 5 και x y 0 0 είναι παράλληλες Σ Λ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3

209 Ερωτήσεις Κατανόησης γ) Οι ευθείες x 3y 0 και 3x y 0 είναι κάθετες δ) Οι ευθείες x y 7 0 και 4x y 9 0 τέμνονται ε) Τα σημεία Α(3,5), Β(-,5), Γ(0,5) είναι συνευθειακά Σ Σ Σ Λ Λ Λ 3) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Η εξίσωση Αx Βy Γ 0 με Α 0 είναι εξίσωση ευθείας. β) Η εξίσωση Αx Βy Γ 0 με Α Β παριστάνει ευθεία. γ) Η ευθεία Αx Βy Γ 0 είναι παράλληλη στο διάνυ- α Β,Α σμα δ) Αν d είναι η απόσταση του σημείου Μ(x 0,y 0 ) από την ευθεία 0 0 ε : Αx Βy Γ 0, τότε ισχύει Αx Βy Γ d A B ε) Η ευθεία 3x 5y 0 είναι παράλληλη στο διά- δ 5,3 νυσμα Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ 4) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Η εξίσωση y 5 λx με λr παριστάνει για τις διάφορες τιμές του λr όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(-,5). Σ Λ 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

210 ο Κεφάλαιο β) Η ευθεία y 3 είναι παράλληλη με τον άξονα x x γ) H εξίσωση α x α 3α y 3 0 με αr παριστάνει πάντοτε ευθεία. δ) Η ευθεία x y 3 0 διέρχεται από το σημείο Α(,-) ε) Η ευθεία x 3y 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα δ,3 στ) Είναι dm,ε 0 στην ευθεία (ε). αν και μόνο αν το σημείο Μ ανήκει Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ 5) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται y y από τα σημεία Α(x,y ) και Β(x,y ) είναι λ για x x κάθε x και x. β) Η ευθεία x 3y 5 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα α 3i j Σ Σ Λ Λ γ) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(,) έχουν τύπο y λx Σ Λ δ) Η ευθεία y 3x α i 3j είναι παράλληλη στο διάνυσμα Σ Λ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5

211 ε) Αν α μ,ν, β x,y με α 0 η σχέση αβ 5 παριστάνει ευθεία. Ερωτήσεις Κατανόησης Σ Λ 6) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Αν α x,y, β x,y με xx yy 0 και δύο ευθείες ε και ε με ε / /α και ε β, τότε είναι ε / /ε Σ Λ β) Η εξίσωση x y παριστάνει δύο ευθείες Σ Λ γ) Αν α / /ε και β / /ε τότε α,β ε,ε Σ Λ δ) Η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία x 4 0 είναι ίση με ε) Η απόσταση του σημείου Α(α,-α) από την ευθεία x y α 0 είναι ίση με α Σ Σ Λ Λ 7) Δίνεται η εξίσωση λ x λ 4λ 3 y 5 0. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ β) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία κάθετη στον x x, για λ=3 γ) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία κάθετη στον y y, για λ=- δ) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων για λ= Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ 6 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

212 ο Κεφάλαιο 8) Να αντιστοιχίσετε καθεμία από τις προτάσεις της πρώτης στήλης στην κατάλληλη από τις προτάσεις της δεύτερης στήλης. Στήλη Α Στήλη Β. ε : y αx 0, α 0 α) Η ευθεία είναι κάθετη. ε : y α 0, α ε : α x y α 0, α 0 στον x x β) Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων 4. ε 4 : y αx 0, α 0 5. ε 5 : y α, α 6. ε 6 : x α 0, α 0 γ) Η ευθεία τέμνει του ά- ξονες σε σημεία διαφορετικά από το 0 δ) Η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα y y ) Να αντιστοιχίσετε καθεμία από τις ευθείες της πρώτης στήλης στο παράλληλο προς αυτή διάνυσμα της δεύτερης στήλης.. x 3. y 4 0 Στήλη Α Ευθεία 3. y x 5 4. y x x y 0 Στήλη Β Παράλληλο Διάνυσμα α) α i j β) β 0,3 γ) γ i δ) δ 3i 6j ε) ε, η, στ) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 7

213 Ερωτήσεις Κατανόησης 0) Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης στη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x. Στήλη Α Ευθεία. 3x 3y 0. x y y 3x 4. y x Στήλη Β Γωνία με x x α) 0 o β) 45 o γ) 35 o δ) 90 o ε) 30 o στ) 0 o ) Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης στον συντελεστή διεύθυνσής της, που βρίσκεται στη δεύτερη στήλη. Στήλη Α Ευθεία. x 3 0. y x 3y x y x y 3 α) β Στήλη Β Συντελεστής Διεύθυνσης 3 3 γ) 0 δ) δεν ορίζεται ε) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

214 ο Κεφάλαιο ) Σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση i. Αν το διάνυσμα δ 3, είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι: Α. 3 Β. Γ. 3 3 Δ. 3 ii. Αν η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Γ(,x) και Δ(4,7) είναι παράλληλη στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Α(,3) και Β(,5) τότε το x είναι: Α. -3 Β. 3 Γ. 5 Δ. iii. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(,-3) και είναι παράλληλη στην ευθεία y x έχει εξίσωση: Α. y x Β. y x 3 Γ. y x 7 Δ. y x iv. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(,) και είναι κάθετη στην ευθεία x y 5 0 έχει εξίσωση: Α. y x 4 Β. Γ. y x y x Δ. y x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

215 Ερωτήσεις Κατανόησης v. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-,3) και είναι δ,4 είναι: παράλληλη στο διάνυσμα Β. y x Α. y 3 x Γ. y x Δ. y x 0 vi. Η μεσοκάθετος του τμήματος που ορίζεται από τα σημεία Α(-,3) και Β(,5) έχει εξίσωση: Α. 6x 4y 9 0 Β. Γ. 4x 6y 9 0 Δ. y 4 x y x 4 vii. Αν οι ευθείες ε : x 3y 5 0 ε : αx y 7 0 είναι παράλληλες τότε το α είναι:. και Α. Β. 3 Γ. Δ. 3 3 viii. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ3λ,λ 3 με λr είναι η ευθεία με εξίσωση: Α. y x 3 Β. x 3y Γ. x 3y 7 0 Δ. y x 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

216 ο Κεφάλαιο 3) Σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση i. Η ευθεία x 3y 0 σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία : Α. 30 ο Β. 60 ο Γ. 90 ο Δ. 80 ο ii. Αν η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(α,γ) είναι κάθετη στον άξονα x x είναι: Α. α Β. α Γ. α 0 Δ. α 3 iii. Η εξίσωση αx βy γ 0 παριστάνει ευθεία όταν: Α. α β Β. α β 0 Γ. α 0 Δ. Το διάνυσμα μ α,β είναι μηδενικό. iv. Η ευθεία που σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα x x είναι η: Α. y λ x 4 με λ 0 Β. x 3y 6 0 Γ. λ x 3 0 με λ 0 Δ. y λ v. Το τρίγωνο που σχηματίζουν οι ευθείες ε : y x, 3 ε : x έχει εμβαδό: ε : y x και Α. Β. Γ. Δ. 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

217 vi. Αν μια ευθεία είναι παράλληλη στην ευθεία αυτήν απόσταση ίση με τότε μπορεί να έχει εξίσωση: Ερωτήσεις Κατανόησης 3 y x και απέχει από 4 4 Α. 3 7 y x Β y x 4 Γ. 3x 4y 0 Δ. 4x 3y 0 vii. Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(3,4) έχουν τύπο: Α. x 3 Γ. x 3 Β. y 4 λx 3 ή y 4 λx 3, λr Δ. y 4, λr viii. Η απόσταση του σημείου Α(,) από την ευθεία x y 0 είναι: Α. 3 Β. 3 Γ. 3 Δ. 3 ix. Η ευθεία που είναι παράλληλη στο διάνυσμα α 0,3 από το σημείο Α(,) είναι η: Α. y x Β. y x Γ. y Δ. x και διέρχεται Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

218 ο Κεφάλαιο 3 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α ) Έστω ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οxy και ένα σημείο Α(x 0,y 0 ). Να α- ποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y y λ x x 0 0 Α ) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις : α) Αν Α 0 ή Β 0 η εξίσωση Ax By Γ 0 παριστάνει ευθεία β) Η εξίσωση y x παριστάνει τις διχοτόμους των αξόνων γ) Η ευθεία Ax By Γ 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα δ A,B δ) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ΘΕΜΑ Β y y Α(x,y ) και Β(x,y ) με x x είναι λ x x Σε ορθοκανονικό σύστημα Οxy θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,) και τις ευθείες ε : 3x y 0, ύψη του τριγώνου. ε : x y 3 0 πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο από τα Β ) Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ Β ) Τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3

219 Διαγωνίσματα Β 3 ) Την εξίσωση της ευθείας ΒΓ Β 4 ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Β 5 ) Τις συντεταγμένες του ορθόκεντρου του τριγώνου ΑΒΓ ΘΕΜΑ Γ Γ ) Έστω η εξίσωση: α α 3 x α 3α y α 8α 0 () με αr α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση () παριστάνει ευθεία. β) Να δειχθεί ότι όλες οι ευθείες της μορφής () διέρχονται από σταθερό σημείο του οποίου να βρεθούν οι συντεταγμένες. γ) Να βρεθεί ο αr ώστε η παραπάνω εξίσωση () να σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ίση με π 4. Γ ) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση ε : 3 x y 0 και x y 8x 6 0 () 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ε : x 3 y 4 0 Δ ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει δύο ευθείες (ε ) και (ε ) Δ ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες (ε ) και (ε ) είναι κάθετες Δ 3 ) Να βρείτε σημείο Κ(α,β), με α 0 και β 0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα δ 4,α να είναι παράλληλο σε μια από τις δύο ευθείες (ε ) και (ε ) και το διάνυσμα δ 8,β να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία

220 ο Κεφάλαιο 4 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Ax By Γ 0 με Α 0 ή Β 0 Α ) Έστω μια ευθεία (ε) με εξίσωση Ax By Γ 0 και Μ 0 (x 0,y 0 ) ένα σημείο εκτός αυτής. Να γράψετε τον τύπο που δίνει την απόσταση του σημείου Μ 0 από την ευθεία. Α 3 ) Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Α 4 ) Στη στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις ευθειών και στη Στήλη Β τα κάθετα σε αυτές διανύσματα. Να κάνετε τη σωστή αντιστοίχιση Στήλη Α Ευθεία. y 3x 5. y 7 3. x Στήλη Β Παράλληλο Διάνυσμα α) (-,7) β) (3,-) γ) (,3) δ) (4,0) ε) (0,-3) 3 ΘΕΜΑ Β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,), Β(-,3) και Γ(,-4) Β ) Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους ΑΔ Β ) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ Β 3 ) Να βρεθεί το κοινό σημείο των παραπάνω ευθειών Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5

221 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι ευθείες ε : λ x λy 3λ 0 και ε : λ x λy 5 0 με λr 0 Γ ) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ευθείες (ε ) και (ε ) να είναι παράλληλες. Γ ) Για λ 3 α) Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθείων (ε ) και (ε ) β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών (ε ) και (ε ) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(3,6). Η πλευρά ΒΓ του τριγώνου έχει εξίσωση 4x 3y 9 0 Επιπλέον το σημείο Μ(3,) είναι το μέσο της ΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 45 τετραγωνικές μονάδες. Δ ) Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου Α από τη ΒΓ Δ ) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ Δ 3 ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ 6 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

222 ο Κεφάλαιο 5 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΥΘΕΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α ) Να αποδείξετε ότι α α Α ) Αν α x,y και β x,y να αποδείξετε ότι α β γ α β α γ Α 3 ) Αν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β να αποδείξτε ότι α β λ λ α. β Α 4 ) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις στο τετράδιό σας.. Η γωνία ω που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τον άξονα x x είναι 0 ω π.. Αν α β τότε αβ. 3. Η ευθεία με εξίσωση Αx Βy Γ 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα η B,A. 4. Αν η ευθεία ε : y y0 είναι κάθετη στην ευθεία ε τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ε δεν ορίζεται. 5. Για δύο διανύσματα α, β που έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ λ λ det α,β 0 αντίστοιχα ισχύει ότι: Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 7

223 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Β Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(-,), Β(,3) και Γ(3,-). Β ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΑΔ. Β ) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΒΕ. Β 3 ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής Κ των ευθειών ΑΔ και ΒΕ και είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ. ΘΕΜΑ Γ Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α, β, και π α,β. Έστω τα 4 διανύσματα u α 3β και v α β. Να υπολογίσετε : Γ ) Τα μέτρα u, v των διανυσμάτων u και v. Γ ) Το εσωτερικό γινόμενο uv. Γ 3 ) Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων u και v είναι αμβλεία. Γ 4 ) Να αναλύσετε το γ,3 τις οποίες η μια να έχει τη διεύθυνση του β. σε δυο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από ΘΕΜΑ Δ Δ ) Έστω η εξίσωση: α α x α α y α 0 () όπου αr. α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε αr 8 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

224 ο Κεφάλαιο β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής () διέρχονται από σταθερό σημείο του οποίου να βρεθούν οι συντεταγμένες. Δ ) Δίνεται η εξίσωση x y 4λy λx 3λ 0 () όπου λr α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει δύο κάθετες ευθείες και να βρείτε το σημείο τομής τους Κ. β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο στον οποίο ανήκει το Κ και να ορίσετε την αρνητική τιμή του α για την οποία η ευθεία () είναι κάθετη στον γεωμετρικό τόπο. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

225 30 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Διαγωνίσματα

226 3ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ 3.4 ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

227 3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Κύκλος

228 3 ο Κεφάλαιο 3. Κύκλος Εξίσωση Κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων Θεώρημα Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: x y ρ Απόδειξη Έστω C o κύκλος και έστω Μ(x,y) ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου που ανήκει στον κύκλο. Ως γνωστό κάθε σημείο ενός κύκλου απέχει πάντα σταθερή απόσταση από το κέντρο αυτού ίση με την ακτίνα του. Έτσι λοιπόν έχουμε: M(x,y) C OM ρ x y ρ x y ρ x y ρ και αποδείχτηκε το ζητούμενο. x y Ο(0,0) y ρ Μ(x,y) x Ειδική περίπτωση: Ο κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x y Εξίσωση Εφαπτομένης Κύκλου με κέντρο Ο(0,0) Θεώρημα Η εφαπτομένη ε του κύκλου c : x y ρ σε ένα σημείο A x, y, έχει εξίσωση xx yy ρ Απόδειξη Α x,y Αφού το σημείο ανήκει στον κύκλο συμπεραίνουμε ότι οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου (c). Έτσι λοιπόν είναι: x y ρ () x y Ο y ε Α(x,y ) ρ Μ(x,y) x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 33

229 Κύκλος Εξίσωση Εφαπτομένης Κύκλου με κέντρο Ο(0,0) Επιπλέον Μ x,y ε ΟΑ ΑΜ ΟΑΑΜ 0 x,y x x,y y 0 x x x y y y 0 x x x y y y 0 x x y y x y xx yy ρ Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι: xx yy ρ Εξίσωση Κύκλου με κέντρο τυχαίο σημείο Θεώρημα 3 Ο κύκλος με κέντρο Κx 0, y0 ακτίνα ρ έχει εξίσωση: 0 0 c : x x y y ρ Απόδειξη Έστω κύκλος (c) με κέντρο K x, y και ακτίνα ρ. Έχουμε: 0 0 και M(x,y) C KM ρ KM ρ 0 0 x - x y - y ρ 0 0 x - x y - y ρ x y y ρ Κ(x 0,y 0 ) Μ(x,y) x Γενική Εξίσωση Κύκλου Θεώρημα 4 Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής: c : x y Ax By Γ 0, με A B 4Γ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής () παριστάνει κύκλο Απόδειξη Ορθό Θα αποδείξουμε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής () Όπως δείξαμε παραπάνω κάθε κύκλος με κέντρο ένα τυχαίο σημείο K x, y του επιπέδου έχει εξίσωση: x - x y - y ρ x - xx +x +y - yy +y ρ x +y + -x0 x+ -y0 y+x 0 +y0 - ρ 0 x +y +Αx+Βy+Γ 0 A B Γ Άρα ο κύκλος (c) έχει εξίσωση της μορφής () 34 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

230 3 ο Κεφάλαιο Γενική Εξίσωση Κύκλου Αντίστροφο Θα αποδείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής () παριστάνει κύκλο. Έχουμε: x +y +Αx+Βy+Γ 0 x +y +Αx+Βy -Γ Α Α Β Β Α Β x + x+ +y + y+ + -Γ Α Β Α +Β - 4Γ x+ + y+ () 4 Η εξίσωση () λόγω της () και επειδή Α +Β - 4Γ>0 παριστάνει κύκλο Α Β με κέντρο Κ -,- και ακτίνα Α +Β - 4Γ ρ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 35

231 Κύκλος ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Εύρεση Εξίσωσης Κύκλου Γενική Μέθοδος Για να βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα του. η περίπτωση Αν γνωρίζουμε το κέντρο Kx 0,y0 του κύκλου είναι και την ακτίνα του ρ τότε η εξίσωση 0 0 c : x - x y - y ρ Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(-,3) και ακτίνα ρ= Λύση Αφού γνωρίζουμε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η εξίσωσή του θα είναι η Κ Κ c : x - x y - y ρ x y η περίπτωση και ότι ο κύ- Αν γνωρίζουμε το κέντρο Kx 0,y0 κλος διέρχεται από ένα σημείο Αx Α,yΑ ναι ρ ΚΑ τότε εί-. Άρα βρίσκουμε και την ακτίνα του. y O K(x 0,y 0) A(x A,y A) x Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(3,4) Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Ο(0,0) η εξίσωσή του θα είναι: c : x y ρ () 36 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

232 3 ο Κεφάλαιο Επιπλέον : ρ ΟΑ Άρα () x y 5 Αν Α(x A,y A) και Β(x B,y B) τότε η απόστασή τους είναι: ΑΒ x -x + y -y Β A B A 3 η περίπτωση Αν γνωρίζουμε το κέντρο Kx 0,y0 και ότι ο κύκλος εφάπτεται σε γνωστή ευθεία (ε) τότε είναι ρ d Κ,ε Αν ο κύκλος εφάπτεται στον x x τότε ρ y0 Αν ο κύκλος εφάπτεται στον y y τότε ρ x0 Αν ο κύκλος εφάπτεται και στους δύο άξονες τότε ρ x0 y0 Σε κάθε περίπτωση λοιπόν βρίσκουμε την ακτίνα του. y y 0 O x 0 ε ρ K(x 0,y 0) x Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(-3,) και εφάπτεται της ευθείας ε : 3x 4y 0 Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Κ(-3,) η εξίσωσή του θα είναι: Επιπλέον είναι ρ dκ,ε c : x 3 y - ρ () Απόσταση σημείου Α(x A,y A) από ευθεία (ε): Αx+By+Γ=0: Α Α d Α,ε Αx Βy Γ Α B 36 Άρα () x 3 y - 5 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 37

233 Κύκλος Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(,3) και εφάπτεται στον άξονα x x. Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Κ(,3) η εξίσωσή του θα είναι: y c : x y - 3 ρ () Επιπλέον επειδή ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x x έχουμε: ρ y 3 3 Κ Άρα () x y x y K(,3) ρ x 4 η περίπτωση Αν γνωρίζουμε το κέντρο Kx 0,y0 και ότι ο κύκλος εφάπτεται σε έναν άλλο κύκλο (c ) με γνω- Λ x,y και ακτίνα ρ τότε: στό κέντρο 0 0 Αν οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά είναι ΚΛ =ρ+ρ Αν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά είναι ΚΛ = ρ-ρ K(x 0,y 0) Λ(x 0,y 0 ) K(x 0,y 0) Λ(x 0,y 0 ) Παράδειγμα 5 Δίνεται ο κύκλος c : x y x y 0 και το σημείο του Α(,). Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται του (c) εξωτερικά και έχει α- κτίνα διπλάσια της ακτίνας του (c). Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ(,) Λύση και ακτίνα ρ Ας είναι (c ) ο κύκλος του οποίου θέλουμε να βρούμε την εξίσωση. Αν ο κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x +y +Αx+By+Γ=0 Α Β τότε είναι Κ -,- και ρ Α +Β - 4Γ 38 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

234 3 ο Κεφάλαιο Για την ακτίνα του έχουμε: ρ ρ Μένει λοιπόν να βρούμε το κέντρο Κ του ζητούμενου κύκλου Θεωρούμε ότι Κ (x 0,y 0 ) Αφού οι (c) και (c ) εφάπτονται εξωτερικά συμπεραίνουμε ότι το κέντρο Κ του (c ) θα ανήκει στην ευθεία ΚΑ. Για την εξίσωση του ΚΑ έχουμε ΚΑ,0 οπότε ΚΑ : y Έτσι λοιπόν είναι y0 οπότε Κ (x 0,) Επιπλέον είναι: 0 ΚΚ =ρ+ρ x x 3 x 3 x0 3 x0 4 x0 3 x0 Άρα είναι Κ (4,) ή Κ (-,) οπότε οι ζητούμενοι κύκλοι είναι οι: c και : x 4 y - 4 Κ c : x y - 4 Κ ρ ρ Α Κ 5 η περίπτωση Αν γνωρίζουμε ότι ο κύκλος εφάπτεται σε ευθείες (ε ) και (ε ) τότε: (ε ) Αν οι (ε ) και (ε ) τέμνονται, το κέντρο του κύκλου ανήκει στη διχοτόμο των (ε ) και (ε ) Α K (δ) Αν οι (ε ) και (ε ) είναι παράλληλες, το κέντρο του κύκλου ανήκει στη μεσοπαράλληλή τους. (ε ) (ε ) Και για τις περιπτώσεις ισχύει ότι ρ d Κ,ε d Κ,ε απ όπου και υπολογίζουμε την ακτίνα του κύκλου. K (δ) (ε ) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 39

235 Κύκλος Παράδειγμα 6 Δίνονται οι ευθείες ε : x y 3 0 και ε : x y 0. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των (ε ), (ε ) και έχει το κέντρο του στην ευθεία x=. Λύση Ας είναι Κ(x 0,y 0 ) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου Παρατηρούμε ότι ε / / ε Αφού Κ ε με ε : x έχουμε ότι x0 άρα Κ(,y 0 ) y 3 5 y () Είναι ρ dκ,ε y 3 y () Επιπλέον ρ dκ,ε Από () και () έχουμε 5 y0 3 y0 5 y 0 3 y Αδύνατο 5 y y 0 3 y0 0 4 K (ε ) (ε) (ε ) Άρα Κ(,4) και από () ρ άρα c : x y Παράδειγμα 7 Δίνονται οι ευθείες ε : x y 0 και Λύση Ας είναι Κ(x 0,y 0 ) το κέντρο και ρ η ακτίνα του κύκλου. Αρχικά παρατηρούμε ότι ε ε αφού λ λ ε ε Βρίσκουμε το σημείο τομής των (ε ) και (ε ) ε : x y 4 0. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των (ε ), (ε ) και διέρχεται από το σημείο Α(4,). x y 0 x y 4 0 x 0 x 6 και από () 8 y 0 y 8 40 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

236 3 ο Κεφάλαιο Έτσι λοιπόν οι (ε ) και (ε ) τέμνονται στο σημείο Β(6,8) x y () 0 0 Ισχύει ότι ρ dκ,ε x y 4 () 0 0 Επιπλέον ρ dκ,ε Από () και () έχουμε: x0 y0 x0 y0 4 x0 y0 x0 y0 4 x0 y0 x0 y0 4 y0 6 y0 8 ή ή ή x0 y0 x0 y0 4 x0 x0 6 Όπως παρατηρούμε στο διπλανό σχήμα η ΒΚ είναι διχοτόμος της ΘΒΛ τρίγωνο ΒΘΚ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Από πυθαγόρειο θεώρημα στο ΒΘΚ έχουμε: ΒΘ ΘΚ ΒΚ ρ ρ x 6 y ρ x0 6 y0 8 (3) Επιπλέον ρ ΑΚ ρ x 4 y ρ x 4 y 3 ρ x0 4 y0 x 6 y 8 x 4 y οπότε το x x 36 y 6y 64 x 6x 3 y 8y 8 x y 4x 8y 60 0 (4) Για y0 8 η (4) x 64 4x x 4x Δ άρα η εξίσωση είναι αδύνατη Για x0 6 η (4) Δ άρα 36 y 4 8y 60 0 y 8y y Κ 6,4 Κ 6, Β (ε ) Λ ρ K ρ ρ Α Θ (ε ) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 4

237 Κύκλος Για Κ6,4 από (3) ρ ρ 6 ρ 8 Για Κ6, (3) Άρα από c : x 6 y ρ ρ 400 ρ 00 6 η περίπτωση Άρα c : x 6 y 00 Αx,y, Βx,y, Α Α Β Β Αν ο κύκλος διέρχεται από τρία γνωστά σημεία Γ x,y (δηλαδή είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ) τότε: Α τρόπος Γ Γ Θεωρούμε ότι η εξίσωσή του είναι της μορφής x y Ax By Γ 0 και επειδή τα σημεία Α, Β, Γ ανήκουν στον κύκλο, οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την εξίσωσή του. Έτσι δημιουργούμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους (τους Α, Β, Γ) το οποίο και επιλύουμε. Β τρόπος Βρίσκουμε το κέντρο Κ του κύκλου παρατηρώντας ότι είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των χορδών ΑΒ και ΑΓ ενώ για την ακτίνα ρ ΚΑ ρ ΚΒ ρ ΚΓ του έχουμε ότι ή ή K Γ Α Β Παράδειγμα 8 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Μ(0,0), Κ(,0) και Λ(3,). Α τρόπος Λύση Θεωρούμε ότι ο κύκλος έχει εξίσωση της μορφής: c : x y Ax By Γ 0 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

238 3 ο Κεφάλαιο Μc Γ 0 Γ0 Κ c : 4 A Γ 04 A 0 A Γ0 Λ c : 9 3A Β Γ Β 0 Β 4 Α Άρα η εξίσωση του είναι: c : x y x 4y 0 (*) Β τρόπος Ας είναι Ν το κέντρο του κύκλου και ρ η ακτίνα του. Το Ν θα είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των χορδών (ΚΜ), (ΚΛ). Άρα πρέπει να βρούμε τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων των χορδών (ΚΜ), (ΚΛ) και κατόπιν επιλύοντας το Λ σύστημα των εξισώσεών τους να βρούμε τις συντεταγμένες του κέντρου Ν του κύκλου μας. Εύρεση εξίσωσης μεσοκαθέτου της ΚΜ Μ Ν Η Θ Κ xk xm yk ym Έστω Η το μέσο της ΚΜ με Η, δηλαδή Η(,0) Παρατηρούμε ότι ΚΜ,0 άρα λ 0 ΚΜ / /x x οπότε ΝΞ ΚΜ Άρα για την εξίσωσή της έχουμε ΝΞ : x () Εύρεση εξίσωσης μεσοκαθέτου της ΚΜ x x xk xλ yk yλ Έστω Θ το μέσο της ΚΛ με Θ, δηλαδή 5 Θ, Παρατηρούμε ότι ΚΛ, άρα λ. Όμως ΝΘ ΚΛ άρα λ ΚΜ ΝΘ Έτσι λοιπόν για την εξίσωσή της έχουμε 5 ΝΘ : y - yθ λνθ x xθ y - - x y -x 3 () Από () και () έχουμε y Άρα η εξίσωση του είναι: άρα Ν(,) οπότε c : x - y - 5 (**) ρ ΝΜ 5 Προφανώς οι (*) και (**) είναι ισοδύναμες εξισώσεις Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 43

239 Κύκλος Παράδειγμα 9 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε):x+y+=0 και διέρχεται από τα σημεία Α(-,) και Β(3,-). Λύση Θεωρούμε Κ(x 0,y 0 ) το κέντρο του κύκλου. Αφού το Κ ανήκει στην ευθεία (ε) έχουμε ότι: x0 y0 0 y0 x0 () Άρα είναι Kx, x 0 0 Επιπλέον το κέντρο παρατηρούμε ότι ανήκει στη μεσοκάθετο της χορδής ΑΒ. Βρίσκουμε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της χορδής ΑΒ Αφού μας δίνονται δύο σημεία από τα οποία διέρχεται ο κύκλος εκμεταλλευόμαστε ότι το κέντρο του κύκλου ανήκει στη μεσοκάθετο της χορδής που ορίζουν τα σημεία αυτά. xα xβ yα yβ Έστω Θ το μέσο της ΑΒ με Θ, δηλαδή Θ, Παρατηρούμε ότι ΑΒ 4, 3 Έτσι λοιπόν για την εξίσωσή της έχουμε 4 3 ΚΘ : y - y λ x x y - x Θ ΚΘ Θ 3 4 άρα λ. Όμως ΚΘ ΑΒ άρα λ ΑΒ ΚΘ y x y x Κ ΚΘ -x - x -x - 6 8x Αφού x0 x () y0 y0 άρα είναι K -, Για την ακτίνα του κύκλου έχουμε ότι Άρα ο κύκλος έχει εξίσωση: 9 49 ρ ΚΑ c : x y (ε) Κ Α Θ Β 44 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

240 3 ο Κεφάλαιο 7 η περίπτωση Αν ο κύκλος εφάπτεται σε τρεις γνωστές ευθείες ε, ε, ε 3 (δηλαδή είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που ορίζουν οι ευθείες αυτές) τότε βρίσκουμε το κέντρο του παρατηρώντας ότι είναι το σημείο που ισαπέχει από αυτές. Για την ακτίνα του έχουμε ότι ρ dκ,ε ή ρ d Κ,ε Προσοχή ρ d Κ,ε 3 Σε 3 ευθείες ε, ε, ε 3 έχουμε γενικά 4 κύκλους που εφάπτονται σε αυτές. Έναν τον εγγεγραμμένο στο τρίγωνο που αυτές ορίζουν και τρεις παρεγγεγραμμένους. Θέλει λοιπόν προσοχή στο να αποφανθούμε ποιος από όλους είναι ο εγγεγραμμένος. ή (ε 3) (ε ) (ε ) Α Β Γ Παράδειγμα 0 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών ε : 3x y 0 ε : x 3y 5 0 ε : x 3y 0, Λύση Ας είναι Κ(x 0,y 0 ) το κέντρο του ζητούμενου κύκλου και ρ η ακτίνα του. 3x y () Ισχύει ότι: ρ dκ,ε, 3 ρ dκ,ε () και ρ dκ,ε x 3y 5 3 x 3y 3 (3) 3 Από () και () έχουμε: 3x0 y0 x0 3y0 5 3x0 y0 x0 3y x0 y0 x0 3y0 5 x0 5y0 6 (4) 3x0 y0 x0 3y0 5 y0 5x0 4 (5) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 45

241 Κύκλος Από () και (3) έχουμε: x0 3y0 5 x0 3y0 x0 3y0 5 x0 3y0 3 3 y 0 (6) x0 3y0 5 x0 3y0 6y0 4 3 x0 3y0 5 x0 3y0 4x0 6 3 x 0 (7) Έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις λοιπόν 8 8 Αν y0 τότε (4) x0 5 6 x0 άρα το κέντρο του είναι Κ, ενώ η ακτίνα του είναι ρ dκ,ε Η εξίσωσή του είναι c : x - y Αν y0 τότε (5) 5x0 4 x0 άρα το κέντρο του είναι Κ -, ενώ η ακτίνα του είναι ρ dκ,ε Η εξίσωσή του είναι c : x y Αν x0 τότε (4) - -5y0 6 y0 άρα το κέντρο του είναι Κ, ενώ η ακτίνα του είναι ρ dκ,ε Η εξίσωσή του είναι c 3 : x y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

242 3 ο Κεφάλαιο Αν x0 - τότε (5) y0 5-4 y0 - άρα το κέντρο του είναι 3 7 Κ -,- ενώ η ακτίνα του είναι ρ dκ,ε Η εξίσωσή του είναι c 3 : x y 3 8 η περίπτωση Αν μας δίνεται ότι ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ με γνωστά άκρα τότε το K x,y είναι το μέσο του ΑΒ οπότε είναι κέντρο του 0 0 x y 0 0 xa xb ya yb ΑΒ Για την ακτίνα του έχουμε ότι ρ ΚΑ ΚΒ Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ΑΒ με Α(-,) και Β(4,3). Λύση Αφού ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ το κέντρο του Κ(x 0,y 0 ) θα είναι το μέσο του ΑΒ. Έτσι λοιπόν είναι: xa xb - 4 x0 x0 x0 ya yb 3 y0 y0 y 0 άρα Κ(,) ΑΒ Επιπλέον είναι ρ 0 Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: c : x y 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 47

243 Λύση Γνωρίζουμε το κέντρο του κύκλου άρα αρκεί να βρούμε την ακτίνα του. Φέρνουμε το απόστημα ΚΜ της χορδής ΑΒ. Το Μ είναι μέσο του ΑΒ άρα ΒΜ 4 Επιπλέον είναι ΚΜ ΑΒ Αρχικά υπολογίζουμε το μήκος του ΚΜ (ΚΜ) dκ,ε Κύκλος Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(3,-) και απο- ε : 3x 4y 0 χορδή με μήκος 8. κόπτει από την ευθεία Έπειτα παρατηρούμε ότι το τρίγωνο ΚΜΒ είναι ορθογώνιο οπότε από πυθαγόρειο θεώρημα σε αυτό προκύπτει ότι: ΚΜ ΒΜ ΒΚ 4 3 ρ ρ 5 Η εξίσωση λοιπόν του κύκλου είναι c : x 3 y 5 Α Μ Κ Β Εύρεση Εξίσωσης Εφαπτομένης Κύκλου με Γνωστό το Σημείο Επαφής Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν ο κύκλος έχει εξίσωση x y ρ η εφαπτομένη του στο σημείο Αx,y έχει τύπο xx yy ρ Αν ο κύκλος έχει κέντρο Kx 0,y0 δηλαδή η εξίσωσή του είναι της μορφής 0 0 x - x y - y ρ για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του Αx,y θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(x,y) O (ε) της εα και έχουμε: ΚΑ ΑΜ ΚΑΑΜ 0 και προχωράμε με προφανείς πράξεις y K(x 0,y 0) Α(x,y ) Μ(x,y) x 48 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

244 3 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 3 x y 5 στο Α(-3,4) και στο αντι- Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου διαμετρικό του. Λύση Για την εφαπτομένη στο Α(-3,4) έχουμε: 3 5 ε Α : xxα yyα ρ 3x 4y 5 4y 3x 5 y x 4 4 Το αντιδιαμετρικό του σημείου Α είναι το συμμετρικό του σημείο ως προς την αρχή των αξόνων. Ως γνωστό δύο σημεία που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Ο Έτσι λοιπόν αν ονομάσουμε Α το συμμετρικό του Α τότε Α ε Α θα είναι Α (3,-4) και η εφαπτομένη του κύκλου στο Α θα έχει εξίσωση: 3 5 ε Α' : xxα yyα ρ 3x 4y 5 4y 3x 5 y x 4 4 Α ε Α Παράδειγμα 4 Λύση Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου x y - 5 στο Α(,) Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο Κ(-,) και η ακτίνα του είναι ρ 5 Φέρνουμε την εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο Α αυτού Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(x,y) που ανήκει στην (ε Α ) Διαδοχικά έχουμε: ΑΜ x-,y- και ΑΚ,- ΑΜ ΑΚ 0 x- y- 0 x y 0 x y 0 y x Κ Α ε Α Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 49

245 Κύκλος Εύρεση Εξίσωσης Εφαπτομένης Κύκλου με Άγνωστο το Σημείο Επαφής μορφής 0 0 Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου και δε γνωρίζουμε το σημείο επαφής αλλά γνωρίζουμε ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) από το οποίο διέρχεται θεωρούμε ότι έχει εξίσωση της y - y λ x - x και βρίσκουμε το λ από κατάλληλο δεδομένο. Πάντα στο τέλος ελέγχουμε αν η κατακόρυφη ευθεία αποτελεί λύση του προβλήματος. Επίσης αν η εφαπτομένη Είναι παράλληλη σε γνωστή ευθεία (ε ) Είναι κάθετη σε γνωστή ευθεία (ε ) Σχηματίζει γνωστή γωνία ω με τον x x τότε θεωρούμε ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση της μορφής y λx β Ο συντελεστής διεύθυνσης βρίσκεται με ένα από τα παραπάνω δεδομένα Το β βρίσκεται Είτε απαιτώντας d K,ε ρ Είτε απαιτώντας το σύστημα των εξισώσεων της εφαπτομένης και του κύκλου να έχει μοναδική λύση (δηλαδή Δ=0). Παράδειγμα 5 Δίνεται ο κύκλος c : x y 9 και το σημείο Β(5,3). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου (c) που διέρχεται από το σημείο Β. Λύση Αρχικά παρατηρούμε ότι το σημείο Β(5,3) δεν ανήκει στον κύκλο άρα το Β δεν είναι το σημείο επαφής. Ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο Κ(0,0) και ακτίνα ρ 3 Κ ρ Β Αφού η εφαπτομένη του κύκλου διέρχεται από το σημείο Β(5,3) η εξίσωση της θα είναι της μορφής: ε Β 50 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

246 3 ο Κεφάλαιο ε : y - y λ x - x y - 3 λ x - 5 y - 3 λx - 5λ λx - y - 5λ 3=0 Β Β Β Ισχύει ότι: 5λ 3 ρ d Κ,ε 3 3 5λ 3 λ 3 5λ 3 λ Β λ Έτσι λοιπόν έχουμε: 3 5λ 9λ λ+5λ 9λ 9 6λ 30λ 0 λ 0 λ 0 λ 0 λ8λ λ 5 0 8λ 5 λ 8 Για λ 0 η () -y 3=0 y 3 5 Για λ η () 8 άρα ε : y x - y - 3=0 y x άρα Β 5 ε Β : y x Τέλος ελέγχουμε αν η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το σημείο Β αποτελεί λύση του προβλήματος παρατηρώντας αν η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου ισούται με την ακτίνα του κύκλου. Η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το Β είναι η ε : x 5 Είναι dκ,ε 5 ρ άρα η (ε) δεν αποτελεί εφαπτομένη του κύκλου. Παράδειγμα 6 Δίνεται ο κύκλος c : x y x 4y 0 και η ευθεία Λύση ε : x y 3 0. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου που είναι κάθετη στην (ε). Α Β Ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο Κ, ή Κ, και ακτίνα Α +Β - 4Γ ρ 5 Η δοθείσα ευθεία ε : x - y+3 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λε Αφού η εφαπτομένη του κύκλου είναι κάθετη στην ευθεία (ε) ο συντελεστής διεύθυνσής της λ θα είναι αντιθετοαντίστροφος του λε άρα λ - Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5

247 Κύκλος Έστω ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση ε : y λx+β y -x+β x+y -β 0 Ισχύει ότι: β β ρ dκ,ε ε ε ρ Κ ε β 5 β 5 β -5 Άρα ε : y -x+5 ή ε : y -x-5 Σχετικές Θέσεις Σχετική θέση σημείου Α ως προς κύκλο (c) Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και ένα σημείο Αx A,yA Αν ΚΑ ρ τότε το Αc Αν ΚΑ ρ τότε το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου ΚΑ ρ τότε το Α είναι εξωτερικό Αν σημείο του κύκλου Σε κάθε περίπτωση λοιπόν για να βρούμε τη σχετική θέση ενός σημείου και ενός κύκλου βρίσκουμε την απόσταση του σημείου από το κέντρο του κύκλου και τη συγκρίνουμε με την ακτίνα. Σχετική θέση ευθείας (ε) ως προς κύκλο (c) Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και ευθεία (ε) d Κ,ε ρ τότε η (ε) εφάπτεται στον Αν κύκλο d Κ,ε Αν ρ τότε η (ε) δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο d Κ,ε ρ τότε η (ε) τέμνει τον κύκλο Αν σε δύο σημεία Σε κάθε περίπτωση λοιπόν για να βρούμε τη σχετική θέση μιας ευθείας με έναν κύκλο βρίσκουμε την απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία και τη συγκρίνουμε την ακτίνα του κύκλου. Α Α K Α Α 3 Α 3 K ε Α ε ε 3 5 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

248 3 ο Κεφάλαιο Σχετική θέση δύο κύκλων (c ) και (c ) Έστω κύκλος (c ) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και κύκλος (c ) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ με ρ ρ Αν ΚΚ ρ ρ τότε οι κύκλοι εφάπτονται ρ ρ εξωτερικά δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο. K K Αν ΚΚ ρ ρ τότε οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο. Αν ΚΚ ρ ρ τότε ο (c ) εξωτερικός του (c ) δηλαδή δεν έχουν κοινά σημεία. K ρ-ρ K K ρ ρ K Αν ΚΚ ρ ρ τότε ο (c ) εσωτερικός του (c ) δηλαδή δεν έχουν κοινά σημεία. Αν ρ ρ Κ Κ ρ ρ τότε (c ) και (c ) τέμνονται δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία. K K Α K K Συνοπτικά για τη σχετική θέση των δύο κύκλων έχουμε τον παρακάτω πίνακα Κ Κ 0 ρ ρ ρ ρ Σχ. Θέσεις (c ) και (c ) (c ) εντός (c ) ο (c) εφ. εσ. τέμνονται (c ) εκτός (c ) του (c) εφάπτονται εξωτερικά ρ > ρ Παράδειγμα 7 Δίνεται ο κύκλος ε : x y 6 0, ε : x y 0, κάθε ευθείας σχετικά με τον κύκλο. c : x y 8x 0 και οι ευθείες ε : x 3y 0. Να βρεθεί η θέση 3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 53

249 Κύκλος Λύση Ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο Κ(4,0) και ακτίνα Α +Β - 4Γ ρ ε ε 3 ε Έτσι λοιπόν έχουμε: K d Κ,ε = = = ρ 5 5 άρα η (ε ) τέμνει τον κύκλο d Κ,ε ρ άρα η (ε ) δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο 4 4 d Κ,ε3 ρ άρα η (ε 3 ) εφάπτεται του κύκλου 3 Παράδειγμα 8 Δίνονται οι κύκλοι c : x y και c : x - 3 y α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. β) Να βρεθεί το κοινό τους σημείο γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών τους εφαπτομένων. Λύση α) Ο κύκλος (c ) έχει κέντρο το σημείο Κ (0,0) και ακτίνα ρ = Ο κύκλος (c ) έχει κέντρο το σημείο Κ (3,4) και ακτίνα ρ =4 Κ Κ ρ ρ Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. Για να δείξουμε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά αρκεί να δείξουμε ότι η διάκεντρος ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους β) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο κύκλων λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους. x +y x y x - 6x+9+y - 8y+6 6 x +y - 6x - 8y -9 Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: x +y x +y 54 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

250 3 ο Κεφάλαιο 3 5 6x 8y 0 8y -6x 0 y - x () 4 4 Από την () με τη βοήθεια της () έχουμε: x + - x x + x x 6x +9x 30x x 30x 9 0 5x 3 0 5x 3 0 x Για x η () y - y - y y Άρα A, το κοινό σημείο των δύο κύκλων 5 5 γ) Αφού οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά θα έχουν μια κοινή εσωτερική εφαπτομένη και δύο κοινές εξωτερικές εφαπτομένες. Αρχικά αναζητούμε την κοινή εσωτερική εφαπτομένη Η εφαπτομένη του (c ) στο σημείο Α έχει εξίσωση: 3 4 ε A : xx A yy A ρ x y 3x 4y y -3x 5 y - x 4 4 Κατόπιν αναζητούμε τις κοινές εξωτερικές εφαπτομένες Αν δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά τότε έχουν τρεις κοινές εφαπτομένες Αν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά τότε έχουν μια κοινή εφαπτομένη. Αν δύο κύκλοι τέμνονται τότε έχουν δύο κοινές εφαπτομένες. Αν ένας κύκλος είναι εξωτερικός ενός άλλου τότε οι κύκλοι έ- χουν τέσσερις κοινές εφαπτομένες. Αν ένας κύκλος είναι εσωτερικός ενός άλλου τότε δεν έχουν κοινές εφαπτομένες. Ας είναι ε : y αx β αx - y β 0 η εξίσωση της μιας κοινής εξωτερικής εφαπτομένης των δύο κύκλων β Είναι dκ,ε ρ β α + (3) α + 3 3α-4+β 3α-4+β Επιπλέον dκ,ε ρ 4 4 3α-4+β 4 β α β 4 β α- 3α-4+β 4β 3α-4 3β 3 3α-4+β 4β 3α-4-5β 3α 4 β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 55

251 Κύκλος 4 Για β α- η 3 4 3α-4 (3) α- α + α + 3α-4 3 α α-4 9α +9 9α -4α 6 9α α -7 α Οπότε β - β - β Άρα ε : y x 4 4 3α 4 Για β - + η 5 5 3α 4-3α+4 (3) - + α + α + 3α-4 5 α α-4 5α +5 9α -4α 6 5α +5 6α +4α+9 0 4α+3 0 4α+3 0 α Οπότε β β + β β Άρα ε Α : y x την οποία είχαμε βρει και παραπάνω. 4 4 Η τρίτη κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων θα είναι η κατακόρυφη ευθεία ε : x 3 56 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

252 3 ο Κεφάλαιο Μέγιστες και Ελάχιστες Αποστάσεις Σημείο και Κύκλος Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και Α ένα σημείο που δεν α- νήκει στον κύκλο Α d Η ελάχιστη απόσταση που απέχει το σημείο Α από ένα σημείο του (c) είναι: Μ ρ c K min d AM AK MK AK ρ Η μέγιστη απόσταση που απέχει το σημείο Α από ένα σημείο του (c) είναι: d AΝ AK KΝ AK ρ max Ευθεία και Κύκλος Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και (ε) μια ευθεία που δεν τέμνει τον κύκλο. Η ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα Α d σημείο του (c) από την (ε) είναι: min d MA AK KM d K,ε ρ Η μέγιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο του (c) από την (ε) είναι: d NA NK KA d K,ε ρ max Δύο κύκλοι Έστω κύκλος (c ) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και κύκλος (c ) με κέντρο Λ, ακτίνα ρ, οι οποίοι ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου. Η ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο του (c ) από ένα σημείο του (c ) είναι: Α ρ Κ d BΓ ΚΛ KΒ ΛΓ ρ min ΚΛ ρ ρ Η μέγιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο του C από την (ε) είναι: d ΑΔ ΚΛ ΚΑ ΛΔ max ΚΛ ρ ρ Δύο σημεία του ίδιου κύκλου Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. Η μέγιστη απόσταση που απέχουν δύο σημεία d ΑΒ ρ του (c) είναι: max Α d M N ρ d ρ Α K ρ ρ ρ ρ K Δ d Κ Β Γ ρ Λ ρ ρ Ν c N M Β ε Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 57

253 Λύση Κύκλος Παράδειγμα 9 Να βρείτε το μικρότερη απόσταση του κύκλου 6x 6y 48x 8y 43 0 από την ευθεία ε : 8x 4y x 6y 48x - 8y x y 3x - y Άρα ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο 3 K -, 4 και ακτίνα ρ 5 Φέρνουμε την ευθεία (ζ) κάθετη από το κέντρο του κύκλου στην ευθεία (ε). Από το διπλανό σχήμα γίνεται κατανοητό ότι: Α Θ Α d min dk,ε ζ Κ ε Κοινή Χορδή δύο Τεμνόμενων Κύκλων Έστω c : x y A x B y Γ 0 και c : x y A x B y Γ 0 δύο τεμνόμενοι κύκλοι. Για να βρούμε την εξίσωση της κοινής χορδής τους ακολουθούμε την εξής μέθοδο. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των c c βρίσκοντας τα κοινά τους σημεία Α και Β. και Τότε εύκολα βρίσκουμε την εξίσωση της ΑΒ αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες δύο σημείων από τα οποία αυτή διέρχεται. Β Α 58 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

254 3 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 0 Δίνονται οι κύκλοι c : x -κ y και c : x - y 4 με κ R -. Να βρεθεί για ποιες τιμές του κ οι κύκλοι τέμνονται και να βρεθεί η εξίσωση της κοινής χορδής τους. Λύση Για να τέμνονται οι κύκλοι πρέπει η διάκεντρος να είναι μικρότερη από το άθροισμα των ακτινών τους και μεγαλύτερη τιμή από τη διαφορά των ακτινών τους. O κύκλος (c ) έχει κέντρο το Κ (κ,0) και ακτίνα ρ = ενώ ο κύκλος (c ) έχει κέντρο το Κ (,0) και ακτίνα ρ =. Είναι Κ Κ κ κ Πρέπει ρ ρ Κ Κ ρ ρ κ 3 κ κ ή κ κ 3 3 κ 3 y Α K O Β K x κ ή κ 0 κ -,0,4 κ 4 Επιπλέον αφού θέλουμε ο κ να είναι ακέραιος αρνητικός αριθμός, εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η μοναδική τιμή του κ που γίνεται δεκτή είναι η κ = -. Για να βρούμε την εξίσωση της κοινής χορδής των δύο κύκλων αρχικά βρίσκουμε τα κοινά τους σημεία. x y 4 x y x x 3 x - x x x 3 3 4x 3 x 4 Από την σχέση () έχουμε y 4 y 4 y y 5 49 y 64 y 5 y 5 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 59

255 Κύκλος Τα σημεία τομής λοιπόν των δύο κύκλων είναι τα 3 Α, 5 4 και 3 Β, 5 4 ΑΒ 0, 5 άρα η χορδή ΑΒ είναι κατακόρυφη οπότε η Παρατηρούμε ότι 3 εξίσωσή της θα είναι η x 4 Παράδειγμα Δίνεται κύκλος c : x y ρ και το σημείο Α x,y Λύση εκτός του κύκλου. Από το Α φέρνουμε τις εφαπτομένες ΑΒ και ΑΓ στον κύκλο. Να δειχθεί ότι η εξίσωση της χορδής ΒΓ είναι xx yy ρ. ***Η χορδή ΒΓ ονομάζεται πολική του κύκλου Ας είναι Β(x,y ) και Γ(x 3,y 3 ) τα σημεία επαφής Οι εφαπτόμενες του (c) στα σημεία Β και Γ έχουν εξισώσεις: και 3 3 ε : xx yy ρ ε : xx yy ρ αντίστοιχα. Γ Ο Β Α Οι ευθείες (ε ) και (ε ) διέρχονται από το σημείο Α(x,y ) αν και μόνο αν x y ρ x y και x3 3 x y y ρ Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της ευθείας xx yy ρ επαληθεύεται από τα σημεία Β και Γ άρα αυτή θα είναι και η εξίσωση της χορδής ΒΓ. Παραμετρική Εξίσωση Κύκλου Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια παραμετρική εξίσωση (c λ ) παριστάνει κύκλο ακολουθούμε τα εξής βήματα: Τη φέρνουμε στη μορφή x y Ax By Γ 0 Δείχνουμε ότι A B 4Γ 0 για κάθε λr 60 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

256 3 ο Κεφάλαιο Οικογένεια Κύκλων από Σταθερό Σημείο Αν μας δίνεται μια παραμετρική εξίσωση κύκλου και θέλουμε να αποδείξουμε ότι όλοι οι κύκλοι που σχηματίζονται, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου, διέρχονται από το ίδιο (ή από σταθερό σημείο) τότε ακολουθούμε τα εξής βήματα: Δίνουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο και βρίσκουμε δύο κύκλους που ανήκουν στην αρχική οικογένεια κύκλων. Δηλαδή Βρίσκουμε δύο «εκπροσώπους» της αρχικής οικογένειας. Βρίσκουμε τα σημεία τομής των «εκπροσώπων» Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες των σημείων τομής των «εκπροσώπων» επαληθεύουν την αρχική εξίσωση. Αν την επαληθεύουν, τότε όλες οι ευθείες που ανήκουν στην αρχική οικογένεια διέρχονται από το σημείο αυτό. Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση Λύση α) Αρχικά μετασχηματίζουμε τη δοθείσα εξίσωση ώστε να τη φέρουμε στη μορφή: x y Ax By Γ 0 Έτσι λοιπόν έχουμε: c : x y x κ x y 0 x y x κx κy 0 κ Είναι c : x y x κ x y 0 (), κ R κ α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού κ. β) Δείξτε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την () διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. γ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής όλων των κύκλων που ορίζονται από την (). x y κ x κy 0 Α +Β -4Γ κ κ 4 κ κ κ 4 κ κ 5 Δ άρα κ κ 5 0 Α Β Γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 6

257 Κύκλος β) Θέτουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο κ και βρίσκουμε δύο κύκλους της οικογένειας. Για κ = 0 () x y x 0 () Για κ = () x y x x y 0 x y x y 0 (3) Αφαιρώντας κατά μέλη τις () και (3) προκύπτει: x x y 0 x y 0 y x (4) 4 () x x x 0 x x 0 3 Δ άρα x, 4 Είναι Για x από τη σχέση (4) έχουμε y άρα Α(-,-) Για x από τη σχέση (4) έχουμε y άρα B, Οι δύο κύκλοι λοιπόν της οικογένειας τέμνονται στα σημεία Β Α Α(-,-) και B, Κατόπιν, εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας. Έτσι λοιπόν έχουμε: Για x και y κ η () Για x και y η () κ Οπότε ότι όλοι οι κύκλοι διέρχονται από τα σημεία Α και Β. γ) Η κοινή χορδή των κύκλων είναι η ΑΒ 3 3 AB, άρα λ AB οπότε 6 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας AB : y x y x

258 3 ο Κεφάλαιο Παράδειγμα 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ3 συνα, - -ημα Έστω ότι Μ(x,y) Λύση Είναι: x 3 συνα x 3 συνα x 3 συνα y ημα y ημα y ημα Ως γνωστό από την τριγωνομετρία ισχύει ότι: ημ α+συν α x 3 y x 3 y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι κύκλος με κέντρο Κ(3,-) και ακτίνα ρ =. Παράδειγμα 4 Δίνεται ο κύκλος x y 5 και το σημείο του Α(3,4). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α. y Κ x Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ(0,0) και ακτίνα ρ=5. Ας είναι Μ(x,y) τα μέσα όλων των χορδών που διέρχονται από το σημείο Α. Ενώνουμε το κέντρο του κύκλου με το Μ Έχουμε ΚΜ x,y και AΜ x-3,y-4 Είναι ΚΜ ΑΜ x x - 3 y y Λύση Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 63

259 Κύκλος x - 3x y - 4y 0 x y - 3x - 4y 0 Α +Β -4Γ= Άρα η () παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο 3 Λ, και ακτίνα 5 5 ρ= Παράδειγμα 5 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής των ευθειών ε : λx λ y 3λ και ε : 3λ x λ y 6λ με λ R Λύση Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο ευθειών. λ - λ D λ λ - 3λ λ 3λ λ λ - λ 3λ 3λ λ 5λ λ Ισχύει ότι Δ άρα D 0 για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ. Οπότε οι ευθείες μας τέμνονται. 3λ - λ Dx 3λ -λ - 6λ λ 6λ λ 3λ -λ - 3λ λ 3λ -3λ λ 3λ Dy λ6λ - 3λ 3λ 3λ 6λ 4λ3λ - 3λ 3λ 3λ λ Έτσι λοιπόν είναι: D x 3λ -3λ x D 5λ λ και D 3λ - λ y y D 5λ λ Άρα τα σημεία τομής των ευθειών έχουν συντεταγμένες της μορφής 3λ -3λ 3λ - λ M, 5λ λ 5λ λ 64 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

260 3 ο Κεφάλαιο Έστω Μ(x,y). Είναι 3λ - 3λ x 3λ - x 5λ λ 3λ 5λ λ x y 3λ - λ y 3λ - 3λ λ y 5λ λ λ 5λ λ xλ 3λ y λx x 3λy y λx 3λy x y x y λx 3y x y λ με x 3y x 3y Έτσι λοιπόν η σχέση () γράφεται: x y x y 3-3 x 3y x 3y x x y x y 5 x 3y x 3y x y x y 3x 3y - x 3y 3x 3y x 3y 5x x x x 3y x 3y x 3y x 3y x y x xy x 6y 4x 5x x x 3y x 3y x 3y x 3y x x 3y x 3y x 3y 5x x y x xy 8x 4xy 5x x y x 3y x xy x 3y x 8x 4xy 3 5x x xy y x x y 6x y 6xy x 6xy 9y x 8x 4xy x 0x y 5xy x x y 6x y 6xy x 6x y 9y x 8x 4xy 3 8x 8xy 4xy - 8x 0 x 0 7 8x x y y - x x y y - x 0 4 Από την σχέση x 0 έχουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας x x χωρίς όμως την αρχή των αξόνων (μη ξεχνάτε ότι πρέπει x 3y ) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 65

261 Κύκλος 7 Από την σχέση x y y - x 0 και επειδή Α +Β -4Γ έ χουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το σημείο 7 K, 8 και ακτίνα ρ χωρίς τα σημεία Ο(0,0) και Α, Παράδειγμα 6 α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,3), Β(0,4) και Γ(-,). Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του τριγώνου που είναι τέτοια ώστε να ισχύει: ΜΑ ΜΒ ΜΓ 7 είναι κύκλος. β) Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η ευθεία ε : 3λ x+ λ y 3 6λ 0 να εφάπτεται στον προηγούμενο κύκλο. Λύση α) Ας είναι Μ(x,y) οι συντεταγμένες του σημείου Μ. Είναι ΜΑ ΜΒ ΜΓ 7 ΜΑ ΜΒ ΜΓ 7 x y 3 x y 4 x y 7 x x y 6y 9 x y 8y 6 x 4x 4 y y 7 x x y 9 x y 9 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι κύκλος με κέντρο το Κ(-,0) και ακτίνα ρ=3 β) Η ευθεία εφάπτεται στον παραπάνω κύκλο αν και μόνο αν 3λ λ 0 3 6λ dk,ε ρ 3 3λ λ 9λ 3 9λ 3 3λ λ 3λ λ 9λ 9 3λ λ 8λ 8λ 36 8λ 08λ 36λ 36λ 9 8λ 45λ 0 66 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

262 3 ο Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Εύρεση Εξίσωσης Κύκλου ) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που: α) Έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) Έχει κέντρο το σημείο Α(3,-) και ακτίνα 5 ) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που α) Έχει κέντρο το σημείο τομής των ευθειών ε : y - 0x 0, ε : 0y x 0 και έχει ακτίνα. β) Είναι ομόκεντρος με τον μοναδιαίο κύκλο και έχει ακτίνα 5 γ) Έχει κέντρο το σημείο Κ(-,3) και ακτίνα ίση με το μέτρο του διανύσματος u 3i 4 j δ) Έχει κέντρο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α(-3,7) και Β(5,-9) και ακτίνα ίση με το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης x 0x 7 0 3) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(8,-6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 4) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-,) και διέρχεται από το σημείο Α(-,3). 5) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση: α) x +y 5 β) x 5 y γ) x - + y - 9 δ) ε) x +y - x - 6y 0 στ) ζ) xx - + y - 3y+ 0 η) x+3 + y - x +y - 4x+y - 0 x +y - 4x+ 0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 67

263 Κύκλος ******** 6) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ε : 3x+y 0 εφάπτεται της ευθείας 7) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-3,), εφάπτε&t