Bayesian Biostatistics Using BUGS

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Bayesian Biostatistics Using BUGS"

Transcript

1 Bayesian Biostatistics Using BUGS Βιο-Στατιστική κατά Bayes µε τη χρήση του Λογισµικού BUGS ΜΑΘΗΜΑ 4: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑ BAYES ΜΕ ΤΟ WINBUGS I. Ntzoufras Department of Statistics, Athens University of Economics & Business 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων Ξαναγυρίζουµε στο Παράδειγµα της Εστριόλης Green & Touchston (1963, Am.Jour. Of Obsterics & Gynecology) Μελέτη σχέσης Y : Βάρος γέννησης (birthweight) ενός παιδιού X : Επίπεδο εστριόλης (estriol) των εγκύων γυναικών Υ i ~ Normal(µ i, σ 2 ) µ i =η i =α+βχ i Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.1

2 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων Ξαναγυρίζουµε στο Παράδειγµα της Εστριόλης Μας ενδιαφέρει να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : β=0 vs. H 1 β 0 Το οποίο ειναι ισοδύναµο µε τη σύγκριση των µοντέλων m 0 : Y~N( α, σ 2 ) m 1 : Y~N( α+βχ, σ 2 ) 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων Εκ-των-Υστέρων Λόγος Πιθανοτήτων (Posterior Model Odds) του µοντέλου m 0 έναντι του µοντέλου m 1 : f ( m0 y) f ( y m0 ) PO 01 = = f ( m y) f ( y m ) Β 01 : Bayes Factor (Παράγοντας Bayes) 1 Prior Model Odds (Εκ-των-Προτέρων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων) 1 f ( m f ( m 0 1 ) ) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.2

3 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων f(m): Εκ-των-Προτέρων Πιθανότητα του µοντέλου m (Prior model probability) f(m y): Εκ-των-Υστέρων Πιθανότητα του µοντέλου m (Posterior model probability) f(y m): Περιθωριακή Πιθανοφάνεια των εδοµένων στο µοντέλο m (marginal likelihood of model m) 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων B f ( m f ( m 01 = 0 1 ) ) PO = 01 f ( y m f ( y m f ( m f ( m ) ) y) y) : Εκ-των-προτέρων λόγος πιθανοτήτων του µοντέλου m 0 έναντι του µοντέλου m 1 (Prior model odds of m 0 vs. m 1 ) : Παράγοντας Bayes του µοντέλου m 0 έναντι του µοντέλου m 1 (Bayes Factor of model m 0 vs. m 1 ) : Εκ-των-υστέρων λόγος πιθανοτήτων του µοντέλου m 0 έναντι του µοντέλου m 1 (Posterior model odds of m 0 vs. m 1 ) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.3

4 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Στο BUGS µπορούµε να εκτιµήσουµε τη εκ-τωνυστερων πιθανότητα f(m y) εισάγωντας την λανθάνουσα (latent) δίτιµη µεταβλητή γ: Y~Normal( α + βχ,σ 2 ). 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Στο BUGS µπορούµε να εκτιµήσουµε τη εκ-τωνυστερων πιθανότητα f(m y) εισάγωντας την λανθάνουσα (latent) δίτιµη µεταβλητή γ: Y~Normal( α + γ βχ,σ 2 ). Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.4

5 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Για λεπτοµέρειες παραπέµπουµε στα ακόλουθα Katsis, A. and Ntzoufras, I. (2003). Testing Hypotheses for the Distribution of Insurance Claim Counts Using the Gibbs Sampler. Ntzoufras, I. (2002). Gibbs Variable Selection Using BUGS. Journal of Statistical Software, Volume 7, Issue 7, Dellaportas, Forster and Ntzoufras (2002). On Bayesian Model and Variable Selection Using MCMC. Statistics and Computing, 12, Dellaportas, Forster and Ntzoufras (2000). On Bayesian Model and Variable Selection Using MCMC. In Generalized Linear Models: A Bayesian Perspective, MY BUGS TUTORIAL PAGE: Ntzoufras (2002). Tutorial on Bayesian Model Selection (Msc Hand outs) 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Η κατανοµή f(β γ=0) ονοµάζεται και ψευδο-prior (pseudoprior) ή or κατανοµή πρότασης (proposal distribution). εν επηρεάζει την εκ-των-υστέρων κατανοµη δηλ. την f(α, β, γ y)=f(α, β γ, y) f(γ y). Επηρεάζει την σύγκλιση της αλυσίδας Για να δουλέψει αποτελεσµατικά πρέπει να είναι κοντά στην εκ-των-υστέρων κατανοµή: f(β y, γ=1). Για λόγους απλούστευσης υποθέτουµε f(β γ=0)= f(β γ=1) [ ουλεύει καλά στο συγκεκριµένο παράδειγµα] Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.5

6 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS (1) Birth i ~ Normal(µ i, σ 2 ) (2) η i = α + β Estriol i (3) µ i =η i =α+β Estriol i for i=1,...,31 PRIORS f (α)=normal ( 0, 10 4 ) f (β)=normal ( 0, 10 4 ) f (τ 2 )=Gamma(10-4,10-4 ) σ 2 =1/ τ for (i in 1:n) { Birth[i]~dnorm(mu[i],tau) x[i]<-estriol[i]-mean(estriol[]) mu[i] <-a+ b*x[i] } a~dnorm(0.0,1.0e-04) b~dnorm(0.0,1.0e-04) tau~dgamma(1.0e-04,1.0e-04) s2<-1/tau 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS (1) Birth i ~ Normal(µ i, σ 2 ) (2) η i = α + γ β Estriol i (3) µ i =η i =α+β Estriol i for i=1,...,31 PRIORS f (α)=normal ( 0, 10 4 ) f (β)=normal ( 0, 10 4 ) f (τ 2 )=Gamma(10-4,10-4 ) σ 2 =1/ τ γ ~ Bernoulli (0.5) for (i in 1:n) { Birth[i]~dnorm(mu[i],tau) x[i]<-estriol[i]-mean(estriol[]) mu[i] <-a+ gamma*b*x[i] } a~dnorm(0.0,1.0e-04) b~dnorm(0.0,1.0e-04) tau~dgamma(1.0e-04,1.0e-04) s2<-1/tau gamma~dbern(0.5) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.6

7 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS (1) Birth i ~ Normal(µ i, σ 2 ) (2) η i = α + γ β Estriol i (3) µ i =η i =α+β Estriol i for i=1,...,31 PRIORS f (α)=normal ( 0, 10 4 ) f (β)=normal ( 0, 10 4 ) f (τ 2 )=Gamma(10-4,10-4 ) σ 2 =1/ τ γ ~ Bernoulli (0.5) for (i in 1:n) { Birth[i]~dnorm(mu[i],tau) x[i]<-estriol[i]-mean(estriol[]) mu[i] <-a+ gamma*b*x[i] } a~dnorm(0.0,1.0e-04) b~dnorm(0.0,1.0e-04) tau~dgamma(1.0e-04,1.0e-04) s2<-1/tau gamma~dbern(0.5) 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Μετά από Burn-in 1000 επαναλήψεων και 20,000 επαναλήψεις ως δείγµα f(γ=1 y)= PO 10 =BF 10 = Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.7

8 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS εν συζητήσαµε για τις εκ-των-προτέρων κατανοµές των µοντέλων όταν κάνουµε επιλογή/σύγκριση µοντέλων [το θέµα είναι πολύ µεγάλο και σύνθετο για αυτό το µάθηµα]. Μεγάλες τιµές της εκ-των-προτερων διακύµανσης του β θα ενεργοποιήσει το παράδοξο των Bartlett - Lindley => f(γ=1 y) 0.0 Μία λύση: Η εκ-των-προτέρων (ΕτΠ) κατανοµή της µοναδιαίας πληροφορίας (Unit information prior, BIC): ΕτΠ ιακύµανση του β = Μέγεθος είγµατος X ΕτΥ ιακύµανση του β που παίρνουµε όταν χρησιµοποιούµε επίπεδη ΕτΠ κατανοµή 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Ας Ξανατρέξουµε το παράδειγµα µε την ΕτΠ µοναδιαίας πληροφορίας. Τρέχουµε το παράδειγµα µε µεγάλη ΕτΠ διακύµανση και βρίσκουµε ΕτΥ ιακύµανση= (0.1431) 2 Παίρνουµε τώρα στη σύγκριση των 2 µοντέλων µε ΕτΠ ιακύµανση του β = 31 Χ (0.1431) 2 = ΕτΠ Ακρίβεια του β = 1/ = Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.8

9 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Μετά από Burn-in 1000 επαναλήψεων και 20,000 προσοµοιώµενες τιµές έχουµε ως αποτέλεσµα f(γ=1 y)= PO 10 =BF 10 = ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Αυτό το Παράδειγµα είναι µόνο για Επίδειξη Μην προσπαθήσετε να τρέξετε σύγκριση µοντέλων στο BUGS αν δεν έχετε πρώτα κατανοήσει πολύ καλά την προσοµοίωση των απλών µοντέλων και το τρόπο λειτουργίας των µεθόδων σύγκρισης µοντέλων. Να είστε πολυ προσεκτικοί όταν επιλέγετε ΕτΠ (prior) και ψευδο-ετπ (pseudo-prior) κατανοµές Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.9

10 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.3. Άλλοι Τρόποι Υπολογισµού του Παράγοντα Bayes MCMC για Σύγκριση Μοντέλων Reversible Jump MCMC (RJMCMC, Green, 1995) [ εν µπορεί να εφαρµοστεί στο WINBUGS ακόµα] ειγµατολήπτης των Carlin και Chib (1995). Παράδειγµα 13 (Pines dataset) στο Bugs 0.5 Examples vol.2, σελ Τρόποι Υπολογισµού της Περιθωριακής Πιθανοφάνειας Εκτιµητής του Αρµονικού µέσου της Πιθανοφάνειας Ο Εκτιµητής των Newton και Raftery (1994). Ο Εκτιµητής των Gelfand και Dey (1994). Ο Εκτιµητής του Chib (1995, JASA). Ο Eκτιµητής Laplace-Metropolis (Lewis και Raftery, 1997) κ.α. Για Λεπτοµέρειες προτείνω να δείτε το καλό review του Lopes (2002). 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.1. Κριτήρια Πληροφορίας (Information Criteria) Τα κριτήρια πληροφορίας γενικά ορίζονται ώς την µέγιστη πιθανοφάνεια στη οποία επιβάλλεται µια ποινή για κάθε επιπλέον παράµετρο που εκτιµούµε Deviance = -2 max{ log - likelihood } IC = -2 max{ log - likelihood } + parameters penalty AIC= -2 max{ log - likelihood } + parameters 2 BIC= -2 max{ log - likelihood } + parameters log(n) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.10

11 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.1. Κριτήρια Πληροφορίας (Information Criteria) Μπορούµε να ορίσουµε τις Bayesian versions των AIC/BIC και να βρούµε τις posterior και να τις συγκρίνουµε (Brooks 2002) B.Deviance(m) = -2 log{f(y θ,m)} = -2 log - likelihood B.AIC(m) = -2 log{f(y θ, m)} + parameters 2 B.BIC(m) = -2 log{f(y θ, m)} + parameters log(n) 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΤΡΕΞΟΥΜΕ ΚΑΙ ΤΑ ΥΟ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ WINBUGS Ορίζουµε το λογάριθµο της Πιθανοφάνειας για κάθε παρατήρηση (µέσα στο for). 2 Υπολογίζουµε τη συνολική λογαριθµο - Πιθανοφάνεια 3 Υπολογίζουµε τo AIC/BIC για κάθε µοντέλο 4 Υπολογίζουµε διαφορές των AIC/BIC που µας ενδιαφέρουν.(µονο σε παράλληλη δειγµατοληψία) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.11

12 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΟΝΤΕΛΟ 1: BIRTHWEIGHT=α+β ESTRIOL (1) model estriol_aic_bic; { pi<-3.14 for (i in 1:n) { birth[i]~dnorm( mu[i], tau ); mu[i]<-a.star+b*(estriol[i]-mean(estriol[])); (1) loglike1[i]<- -0.5*log(2*pi)+0.5*log(tau) -0.5*pow( birth[i]-mu[i],2 )*tau } 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΟΝΤΕΛΟ 1: BIRTHWEIGHT=α+β ESTRIOL # prior distributions for model m1 a.star~dnorm( 0, 1.0E-04 ) b~dnorm( 0, 1.0E-04 ); # normal prior for b tau~dgamma( 1.0E-04, 1.0E-04 ); s2<-1/tau; a<-a.star-b*mean(estriol[]); # Bayesian versions of LogLikelihood L1<-sum( loglike1[] ) # Bayesian versions of BIC BIC1<- -2*L1 + 3*log(n) # Bayesian versions of AIC AIC1<- -2*L1 + 3*2 } (2) (3) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.12

13 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΟΝΤΕΛΟ 0: BIRTHWEIGHT=α model estriol_aic_bic{ pi<-3.14 for (i in 1:n) { # definition of model m1 # # definition of model m0 birth0[i]<-birth[i] birth0[i]~dnorm( mu0[i], tau0 ); mu0[i]<-a0; (1) loglike0[i]<- -0.5*log(2*pi)+0.5*log(tau0) -0.5*pow( birth0[i]-mu0[i],2)*tau0 } 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΟΝΤΕΛΟ 0: BIRTHWEIGHT=α # prior distributions for model m1 # # prior distributions for model m0 a0~dnorm( 0, 1.0E-04 ); tau0~dgamma( 1.0E-04, 1.0E-04 ); # Bayesian versions of LogLikelihood L1<-sum( loglike1[] ) L0<-sum( loglike0[] ) # Bayesian versions of BIC BIC1<- -2*L1 + 3*log(n) (2) (3) BIC0<- -2*L0 + 2*log(n) (4) DBIC10<- BIC0-BIC1 # Bayesian versions of AIC AIC1<- -2*L1 + 3*2 (3) AIC0<- -2*L0 + 2*2 (4) DAIC10<- AIC0-AIC1 } Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.13

14 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) Αποτελέσµατα node mean sd MC error 2.5% median 97.5% start sample AIC AIC BIC BIC DAIC DBIC Υποστηρίζεται το µοντέλο µε β 0 και µε το AIC και µε το BIC 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) To DIC είναι Γενίκευση του AIC Spiegelhalter et al. (2002, RSSB) DIC(m)= D(θ,m)+ p D (m) D(θ,m) = posterior mean of deviance for model m p D (m) = effective number of parameters of model m DIC(m)=2D(θ,m)-D(θ,m) D(θ,m): Deviance evaluated at the posterior mean of θ (ή άλλου εκτιµητή) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.14

15 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 1) Γενίκευση του AIC. Για τα µή ιεραρχικά µοντέλα p D είναι περίπου ίσο µε τον πραγµατικό αριθµό των παραµέτρων. 2) Μικρές αλλαγές της εκτίµησης του θ (που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του p D ) µπορεί να οδηγήσει σε άλλο DIC (άρα επηρεάζεται και από prior, την παραµετροποίηση του µοντέλου και από την ασυµµετρία της posterior του θ). 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 3) Στο WINBUGS δεν δίδεται το Μόντε Κάρλο σφάλµα (MC error). Το σφάλµα του Deviance µπορούµε να το βρούµε εύκολα επιβλέποντας (monitor) την posterior του Deviance (οριζουµε D1<- -2L1 και D0<- -2L0 στο παραδειγµα της Εστριόλης). Αυτό το σφάλµα γενικά είναι µικρό. Ανησυχία υπάρχει για το p D (και D(θ,m) ) και γενικά θα πρέπει να κοιτάζουµε τη σταθερότητα αυτών των ποσοτήτων µετά από αρκετές επαναλήψεις. Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.15

16 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 4) Αν η λογαριθµο - πιθανοφάνεια είναι κοίλη ως πρός τις παραµέτρους της (στοχαστικούς κόµβους) τότε DIC>0. Παρόλα αυτά µπορούµε να πάρουµε αρνητικό DIC στις ακόλουθες περιπτώσεις i) µε µη κοίλες λογαριθµο-πιθανοφάνειας (π.χ. Student-t κατανοµή) όπου υπάρχει µεγάλη διαφορά µεταξύ prior και δεδοµένων. ii) όταν η posterior µίας παραµέτρου είναι συµετρική και δικόρυφη και γενικά όταν ο εκ-των-υστέρων µέσος είναι φτωχός περιγραφικός δείκτης µε µεγάλη εκ-των-υστέρων διακύµανση. 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 5) Το ελάχιστο DIC εκτιµάει ποιό µοντελο θα δώσει τις καλύτερες σύντοµες (short-term) προβλέψεις στην ίδια λογική µε το AIC. Παρόλα αυτά άν η διαφορά των DIC είναι µικρότερη από 5 για µοντέλα που δίνουν τελείως διαφορετικά συµπεράσµατα τότε είναι λάθος απλά να αναφέρουµε το µοντέλο µε το µικρότερο DIC. 6) Το DIC (όπως και τα AIC/BIC) είναι συγκρίσιµα για µοντέλα µε τα ίδια δεδοµένα. Τα µοντέλα δε χρειάζεται να είναι «φωλιασµένα» το ένα µέσα στο άλλο (nested). Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.16

17 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 7) To DIC διαφέρει σε στόχους και µορφή από το BIC και τον Παράγοντα Bayes. 8) Θα πρέπει να χρησιµοποιείτε µε προσοχή το DIC µέχρι να υπάρξου πιο πολλά ερευνητικά αποτελέσµατα. Σε µερικά µοντέλα το WINBUGS δεν µπορεί να υπολογιστεί το DIC. Για λεπτοµέρειες παραπέµπουµε στην Ιστο-σελίδα του WINBUGS 9) Ο υπολογισµός των Bayesian BIC/AIC είναι πιο εύκολος και άµεσος (και µπορούµε να έχουµε και MC error). 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.4. Υπολογισµός του DIC στο WINBUGS (Estriol Example) εν χρειάζεται να ορισουµε κάτι επιπλέον στο µοντέλο του WINBUGS. Μπορούµε νατρέξουµε παράλληλα όλα τα µοντέλα που θέλουµε να συγκρίνουµε µαζί. Αφού προσοµοιώσουµε τις πρώτες παρατηρήσεις στην περίοδο Burn-in επιλέγουµε INFERENCE>DIC Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.17

18 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.4. Υπολογισµός του DIC στο WINBUGS (Estriol Example) Επιλέγουµε το κουτί SET. Προσοµοιώνουµε το δείγµα από την posterior κατανοµή (MODEL>UPDATE, συµπληρώνουµε στοupdates τον αριθµό των επαναλήψεων). Επιλέγουµε το DIC TOOL (INFERENCE>DIC) και το κουτί DIC. 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.4. Υπολογισµός του DIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Dbar = post.mean of -2logL; Dhat = -2LogL at post.mean of stochastic nodes Dbar Dhat pd DIC birth birth total ιαφορά = Μοντέλο 1 πάλι καλύτερο p D είναι περίπου ίσο µε 3 και 2 (αριθµός παραµέτρων στα δύο µοντέλα). Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.18

19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ [BUGS manual: page 40] Κατάλοιπα (Residuals) Εκ-των-υστέρων Επίπεδο Σηµαντικότητας (Posterior P-values) Προβλεπτικά Μέτρα Σύγκρισης Μοντέλων (Predictive Model Comparison Measures) Προβλεπτικά Μέτρα Πάραλληλης ειγµατολειψίας (Parallel Sampling Predictive Measures) ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (LINE.BUG) model{ # Likelihood for( i in 1 : N ) { y[i] ~ dnorm(mu[i],tau) mu[i]<- alpha+ beta*( x[i]-mean(x[]) ) } # Prior distributions tau ~ dgamma(0.001,0.001) sigma <- 1 / sqrt(tau) alpha ~ dnorm(0.0,1.0e-6) beta ~ dnorm(0.0,1.0e-6) } Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.19

20 ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (LINE.BUG) Data (ΧΩΡΙΣ OUTLIER): list(x = c(1, 2, 3, 4, 5), y= c(1, 3, 3, 3, 5), N = 5) Data(2) (ME OUTLIER): list(x = c(1, 2, 3, 4, 5), y= c(1, 7, 3, 3, 5), N = 5) Inits: list(alpha = 0, beta = 0, tau = 1) 8.1. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ Εξετάζουµε την εκ-των-υστέρων κατανοµή των καταλοίπων (y i =data) Κατάλοιπα (Residual): r i = y i -E(y i ) resid[i]<-y[i]-mu[i] Τυποποιηµένα Κατάλοιπα (Standardized Residual): sr i = r i / V(y i )= {y i -E(y i )}/ V(y i ) sresid[i]<-r[i]*sqrt(tau) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.20

21 8.1. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (DATA ΧΩΡΙΣ OUTLIER) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% resid[1] resid[2] resid[3] resid[4] resid[5] node mean sd MC error 2.5% median 97.5% sresid[1] sresid[2] sresid[3] sresid[4] sresid[5] ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (DATA ΜΕ OUTLIER) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% resid[1] resid[2] resid[3] resid[4] resid[5] node mean sd MC error 2.5% median 97.5% sresid[1] sresid[2] sresid[3] sresid[4] sresid[5] Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.21

22 8.2. ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ Εξετάζουµε τις τιµές που αναµένουµε (προβλέπουµε) µε βάση το µοντέλο (y pred i ) y.pred[i]~dnorm( mu[i], tau) Επίσης εξετάζουµε και τις αποστάσεις των προβλεπόµενων τιµών από τις παρατηρηρούµενες Τυποποιηµένα Κατάλοιπα (Predicted Standardized Residual): sr pred i = (y i -y pred) i / V(y i ) sr.pred[i]<-(y[i]-y.pred[i])*sqrt(tau) 8.2. ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (DATA ΧΩΡΙΣ OUTLIER) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% y.pred[1] y.pred[2] y.pred[3] y.pred[4] y.pred[5] node mean sd MC error 2.5% median 97.5% sr.pred[1] sr.pred[2] sr.pred[3] sr.pred[4] sr.pred[5] Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.22

23 8.2. ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (DATA ΜΕ OUTLIER) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% y.pred[1] y.pred[2] y.pred[3] y.pred[4] y.pred[5] node mean sd MC error 2.5% median 97.5% sr.pred[1] sr.pred[2] sr.pred[3] sr.pred[4] sr.pred[5] ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ α) Πιθανότητα πιο ακραίας παρατήρησής (Chance of more extreme observation): min{p(y i <y i ), P(Y i >y i )} Y.rep[i]<-dnorm(mu[i],tau) p.smaller[i]<-step(y[i]-y.rep[i]) Υπολογίζουµε τον εκ-των-υστερων µέσο του p.smaller {Ε(p.smaller y)} και µετα παίρνουµε το PMEO= min { Ε(p.smaller y), 1-Ε(p.smaller y) }. Αν αυτό είναι µικρό τότε σηµαίνει ότι τα δεδοµένα είναι συστηµατικά µακριά από τις προβλεπόµενες τιµές του µοντέλου. Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.23

24 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ α) Πιθανότητα πιο ακραίας παρατήρησής ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ DATA ΧΩΡΙΣ OUTLIER DATA ΜΕ OUTLIER node mean PMEO mean PMEO p.smaller[1] p.smaller[2] p.smaller[3] p.smaller[4] p.smaller[5] ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ β) Εκ-των-υστέρων Επίπεδα Σηµαντικότητας (Posterior p-values) Η λογική είναι η εξής: Φτιάχνουµε µια συνάρτηση των δεδοµένων Τ(y) που ελέγχει µια υπόθεση. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να βρούµε και την κατανοµή του T(y) αν ισχύει το µοντέλο µας (δηλαδή να βασιστεί στις προβλεπόµενες τιµές y pred ). Η σύγκριση των Τ(y) και Τ(y pred ) µας δίνει τα posterior p- values δηλαδή Posterior P-value = P( Τ(y) < Τ(y pred ) ) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.24

25 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ β) Εκ-των-υστέρων Επίπεδα Σηµαντικότητας (Posterior p-values) Οι συναρτήσεις ελέγχου µπόρουν να γενικευτούν και να περιλαµβάνουν και παραµέτρους δηλαδή Posterior P-value = P( Τ(y, θ) < Τ(y pred, θ) ) 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ β) Εκ-των-υστέρων Επίπεδα Σηµαντικότητας (Posterior p-values) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Τ(y, θ) = Σ(y i -µ i ) 3 sresid.pred[i]<-(y.pred[i]-mu[i])*sqrt(tau) sresid3[i]<-pow( sresid[i], 3 ) sresid3.pred[i]<-pow( sresid.pred[i], 3 ) skew.obs<-mean(sresid3[]) skew.pred<-mean(sresid3.pred[]) pval.pred<-step(skew.pred-skew.obs) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.25

26 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ β) Εκ-των-υστέρων Επίπεδα Σηµαντικότητας (Posterior p-values) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Y 2 =2 Y 2 =7 node mean sd MC error 2.5% median 97.5% pval.pred skew.obs skew.pred node mean sd MC error 2.5% median 97.5% pval.pred skew.obs skew.pred Y 2 =10000 node mean sd MC error 2.5% median 97.5% pval.pred skew.obs skew.pred ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ estriol.dat node Mean PMOE Mean p.smaller st.res. p.smaller[31] p.smaller[29] p.smaller[27] p.smaller[22] p.smaller[28] p.smaller[13] p.smaller[6] p.smaller[18] p.smaller[7] p.smaller[14] Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.26

27 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ BIRTHWEIGHT g/ ESTRIOL mg/24hr 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ BIRTHWEIGHT g/ ESTRIOL mg/24hr Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.27

28 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ estriol.dat node mean sd MC error 2.5% median 97.5% pval.pred skew.obs skew.pred ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ γ) ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΤΩΝ IBRAHIM + LAUD L m2 =Σ (y pred i -y i ) 2 M m = f(y pred y,θ) εκ-των-υστέρων πιθάνότητα εµφάνισης των y pred Ε(Μ m y) = Posterior Bayes Factor (Aitkin, 1991) M -1/n m = µετριέται σε ίδιες µονάδες µε τα y MEIONEKTHMATA M m δεν µπορεί να υπολογιστεί εύκολα λόγω µεγάλων ή µικρών τιµών εν λαµβάνει υπόψη του τον αριθµό των παραµέτρων του κάθε µοντέλου. Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.28

29 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ γ) ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΤΩΝ IBRAHIM + LAUD # model 1 birth.pred[i]~dnorm( mu[i], tau ) loglike1.pred[i]<- -0.5*log(2*pi)+0.5*log(tau)- 0.5*pow( birth.pred[i]-mu[i],2 )*tau like1[i]<- exp( loglike1[i] ) # model 0 birth0.pred[i]~dnorm( mu0[i], tau0 ) loglike0.pred[i]<- -0.5*log(2*pi)+0.5*log(tau0)- 0.5*pow( birth0.pred[i]-mu0[i],2 )*tau0 like0[i]<- exp( loglike0[i] ) # Lm criterion Lm1<- sum( ss1[] ); Lm0<- sum( ss0[] ) # # Mm criterion # Mm1<-exp( Lm1 ); Mm0<-exp( Lm0 ) # Mm1.star<-exp( -Lm1/n ); Mm0.star<-exp( -Lm0/n ) 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ(estriol.dat) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% Lm Lm Mm E E E E E-36 Mm0.star Mm E E E E E E-33 Mm1.star Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.29

30 8.4. Προβλεπτικά Μέτρα Πάραλληλης ειγµατολειψίας (Parallel Sampling Predictive Measures) Στα παραπάνω µέτρα τρέχουµε τη αλυσίδα του κάθε µοντέλου και συγκρίνουµε στο τέλους τους µέσους των µέτρων τους (AIC m, BIC m, L m, M m ) Στη σύγκριση µε παράλληλες αλυσίδες τρέχουµε όλα τα µοντέλα µαζί και συγρκίνουµε τα µέτρα µε διαφορές (π.χ. AIC=AIC 1 -AIC 0 ) και πιθανότητες επικράτησης (π.χ. P(AIC 1 >AIC 0 )) Προβλεπτικά Μέτρα Πάραλληλης ειγµατολειψίας (Parallel Sampling Predictive Measures) # parallel differences DBIC10<- BIC0-BIC1 DAIC10<- AIC0-AIC1 diff[1]<-daic10 diff[2]<-dbic10 diff[3]<- Lm0-Lm1 diff[4]<-mm1-mm0 diff[5]<-mm0.star-mm1.star PBF<-Mm1/Mm0 PBFn<-Mm0.star/Mm1.star # parallel probabilities for (i in 1:5){ prob[i]<-step(diff[i]) } Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.30

31 8.4. Προβλεπτικά Μέτρα Πάραλληλης ειγµατολειψίας (Parallel Sampling Predictive Measures) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (estriol.dat) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% s PBF Post.BF 1.067E E E E E+9 PBFn diff[1] AIC diff[2] BIC diff[3] Lm diff[4] Mm 1.184E E E E E E-33 diff[5] Mm.star prob[1] AIC E prob[2] BIC prob[3] Lm prob[4] Mm prob[5] Mm.star ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ εδοµένα από το βιβλίο του Healy (1988). Μεταβλητή A = Κατάσταση Ασθενή (περισσότερο ή λιγότερο σοβαρή), Μεταβλητή B = Θεραπεία Αντιτοξίνης (Ναι/Όχι) Μεταβλητή C (µεταβλητή απόκρισης) = Επιβίωση Ασθενή (Ναι/Όχι). Χρησιµοποιούµε Λογιστική Παλινδρόµιση Λεπτοµέρειες µπορείτε να βρείτε στις δηµοσιεύσεις Dellaportas et al. (2000, BGLM). Επιπλέον παραδείγµατα µε επιλογή µεταβλητών στο BUGS µπορείτε να βρείτε στη δηµοσίευση Ntzoufras (2002, JSS). Για ένα απλό έλεγχο υποθέσεων και σύγκριση κατανοµών µπορείτε να δείτε τη δηµοσίευση Katsis and Ntzoufras (2004, TR). Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.31

32 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΕΠΙΒΙΩΣΗ(C) Κατάσταση (Α) Αντιτοξίνη(B) Όχι Ναι Σοβαρή Ναι 15 6 Όχι 22 4 Λιγ.Σοβαρή Ναι 5 15 Όχι ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Μεταβλητή Απόκρισης: C = Επιβίωση Ανεξάρτητες Μεταβλητές Μεταβλητή A = Κατάσταση Ασθενή Μεταβλητή B = Θεραπεία Αντιτοξίνη Αλληλεπίδραση AB (interaction term)= Condition*Antitoxin Μοντέλα ύπο διερεύνηση Μοντέλο 1: AB = 1+A+B+AB Μοντέλο 2: A+B = 1+A+B Μοντέλο 3: A = 1+A Μοντέλο 4: B = 1+B Μοντέλο 5: µηδενικό ή σταθερό (null/ constant)= 1 Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.32

33 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Εκ-των-Προτέρων Κατανοµές Εκ-των-προτέρων διακύµανση= 4 Χ 2 Εκ-των-προτέρων πιθανότητα κάθε µοντέλου f( γ A, γ B, γ AB )=1/5: f(γ A, γ B, γ AB )= f(γ AB ) f(γ A γ AB ) f(γ Β γ AB ) 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Εκ-των-Προτέρων Κατανοµές f(γ A, γ B, γ AB )= f(γ AB ) f(γ A γ AB ) f(γ Β γ AB ) γ AB ~ Bernoulli(1/5) γ A γ AB ~ Bernoulli(p A ) p A =0.5(1- γ AB ) + γ AB δηλαδή p A =1 αν γ AB =1 και p A =0.5 αν γ AB =0 Όµοια για την f(γ B γ AB ) γ B γ AB ~ Bernoulli(p B ) p B =0.5(1- γ AB ) + γ AB Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.33

34 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ DATA IN WINBUGS r[] n[] x[,1] x[,2] x[,3] x[,4] ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Κώδικα WINBUGS για την Επιλογή Μεταβλητών µε τον ειγµατολείπτη Gibbs (Gibbs Variable Selection - GVS) Το µοντέλο for (i in 1:N) { r[i]~dbin(p[i],n[i]); logit(p[i])<-b[1] + x[i,2]* g[2]* b[2] + x[i,3]* g[3]* b[3] + x[i,4]* g[4]* b[4]; } Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.34

35 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Η εκ-των-προτέρων κατανοµές b[1]~dnorm(0.0,0.0001); } for (i in 2:N) { tau[i]<-g[i]/8+(1-g[i])/(se[i]*se[i]); bpriorm[i]<-mean[i]*(1-g[i]); b[i]~dnorm(bpriorm[i],tau[i]); } PROPOSAL/ PSEUDOPRIOR PRIOR g[i]=0 g[i]=1 bpriorm[i] mean[i] 0.0 tau[i] 1/se[i] 2 1/8 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Η εκ-των-προτέρων κατανοµές PROPOSAL/ PSEUDOPRIOR PRIOR g[i]=0 g[i]=1 bpriorm[i] mean[i] 0.0 tau[i] 1/se[i] 2 1/8 mean[i] και se[i] υπολογίζονται από την posterior του πλήρες µοντέλου AB. Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.35

36 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Ηεκ-των-προτέρων πιθανότητες των µοντέλων g[]: διάνυσµα µε 4 στοιχεία (όσα και οι παράµετροι/όροι του µοντέλου ΚΩ ΙΚΑΣ for (i in 1:4){ g[i]~dbern(pi[i]) } pi[1]<- 1.0 pi[2]<- 0.5*(1-g[4])+g[4] pi[3]<- 0.5*(1-g[4])+g[4] pi[4]< ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Εκτίµηση των εκ-των-υστέρων πιθανοτήτων των µοντέλων στο WINBUGS # defining model code # 0 for constant, 1 for [A], 2 for [B], 3 for [A][B], # 6 for [AB] # mdl<-g[2]+2*g[3]+3*g[4]; pmdl[1]<-equals(mdl,0) pmdl[2]<-equals(mdl,1) pmdl[3]<-equals(mdl,2) pmdl[4]<-equals(mdl,3) pmdl[5]<-equals(mdl,6) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.36

Bayesian Biostatistics Using BUGS

Bayesian Biostatistics Using BUGS Bayesian Biostatistics Using BUGS Βιο-Στατιστική κατά Bayes µε τη χρήση του Λογισµικού BUGS ΜΑΘΗΜΑ 2: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ WINBUGS I. Ntzoufras E-mail: ntzoufras@aueb.gr Department of Statistics, Athens University

Διαβάστε περισσότερα

WinBUGS. Το BUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) είναι ένα ελεύθερο λογισµικό στο διαδίκτυο (http://www.mrcbsu.cam.ac.uk/bugs/welcome.

WinBUGS. Το BUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) είναι ένα ελεύθερο λογισµικό στο διαδίκτυο (http://www.mrcbsu.cam.ac.uk/bugs/welcome. WinBUGS Το BUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) είναι ένα ελεύθερο λογισµικό στο διαδίκτυο (http://www.mrcbsu.cam.ac.uk/bugs/welcome.shtml) το οποίο χρησιµοποιεί MCMC µεθόδους για την επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Bayesian Biostatistics Using BUGS 1

Bayesian Biostatistics Using BUGS 1 Bayesian BioStatistics Using BUGS Βιοστατιστική κατά Bayes με τη χρήση του Λογισμικού BUGS Ioannis Ntzoufras E-mail: ntzoufras@aegean.gr Department of Business Administration, University of the Aegean

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Τομέας Μαθηματικών, Τηλέφωνο: (210) 772-1702, Φαξ: (210) 772-1775.

Διαβάστε περισσότερα

MCMC στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

MCMC στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα MCMC στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Response Variable (Y): Εξαρτημένη Μεταβλητή. Explanatory Variables (X j ): Επεξηγηματικές Μεταβλητές. Random Component (Τυχαία Συνιστώσα). Y (X 1,,X p )~ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΜΠΣ ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΤΑ BAYES

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΜΠΣ ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΤΑ BAYES ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΠΣ ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ι Π Λ Ω Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α ΛΥΚΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F Άσκηση 0, σελ. 9 από το βιβλίο «Μοντέλα Αξιοπιστίας και Επιβίωσης» της Χ. Καρώνη (i) Αρχικά, εισάγουμε τα δεδομένα στο minitab δημιουργώντας δύο μεταβλητές: τη x για τον άτυπο όγκο και την y για τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. StatXact. ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ StatXact

StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. StatXact. ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ StatXact ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 11-12 Γραμμική παλινδρόμηση συνέχεια Γραμμική παλινδρόμηση συνέχεια Γραμμικές διαχωριστικές συναρτήσεις Γραμμική παλινδρόμηση (Linear regression) y = w + wx + + w

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ειγµατοληπτική κατανοµή

ειγµατοληπτική κατανοµή Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 ειγµατοληπτική κατανοµή 1. Εισαγωγή Με την ενότητα αυτή, µπαίνουµε στις έννοιες της επαγωγικής

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Παλινδρόµηση

Λογιστική Παλινδρόµηση Κεφάλαιο 10 Λογιστική Παλινδρόµηση Στο κεφάλαιο αυτό ϑα δούµε την µέθοδο της λογιστικής παλινδρόµησης η οποία χρησιµεύει στο να αναπτύξουµε σχέση µίας δίτιµης ανεξάρτητης τυχαίας µετα- ϐλητής και συνεχών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ-ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ- ΠΟΛΛΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Σηµειώσεις: Θωµόπουλος Γιώργος Ρογκάκος Γιώργος Καθηγητής: Κουνετάς

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή

Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή Επιστηµονική Επιµέλεια ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας, Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Εισαγωγή Ανάλυση Παλινδρόµησης και Συσχέτιση Απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11 ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ 4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED RANDOM SAMPLING) Στην τυχαία δειγµατοληψία κατά στρώµατα ο πληθυσµός των Ν µονάδων (πρόκειται για τον στατιστικό πληθυσµό και τις στατιστικές µονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ Μάθηµα: Εφαρµοσµένη Οικονοµετρία (Aκαδηµαϊκό έτος: 2008-2009) Σπύρος Σκούρας Ονοµατεπώνυµο: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ 2009

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Στις χρονοσειρές σημαντικό ρόλο παίζει η αυτοσυσχέτιση: η αυτοσυσχέτιση. (lag k) ισούται με όπου γ

Παράδειγμα. Στις χρονοσειρές σημαντικό ρόλο παίζει η αυτοσυσχέτιση: η αυτοσυσχέτιση. (lag k) ισούται με όπου γ MCMC Η Monte Carlo μεθοδολογία για την δημιουργία αριθμητικών προσεγγίσεων διαφόρων τιμών της εκ των υστέρων κατανομής, όπως του μέσου και της τυπικής απόκλισης, στηρίζεται στους Ασθενείς Νόμους των Μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ένας άλλος τρόπος που χρησιμοποιείται ευρύτατα στην ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή των εργαλείων ρουτινών του στατιστικού

Περιγραφή των εργαλείων ρουτινών του στατιστικού Κεφάλαιο 5 ο Περιγραφή των εργαλείων ρουτινών του στατιστικού πακέτου SPSS που χρησιµοποιήθηκαν. 5.1 Γενικά Το στατιστικό πακέτο SPSS είναι ένα λογισµικό που χρησιµοποιείται ευρέως ανά τον κόσµο από επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική

Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική Λογαριθμιστική παλινδρόμηση Διδάσκοντες: Ευάγγελος Ευαγγέλου, Kωνσταντίνος Τσιλίδης, Ιωάννης Δημολιάτης, Ευαγγελία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΕΜΦΕ 14-15 i. Έστω yi ο αριθμός των προσπαθειών κάθε μαθητή μέχρι να πετύχει τρίποντο. Ο αριθμός των προσπαθειών πριν ο μαθητής να πετύχει τρίποντο θα είναι xi = yi - 1, i = 1,,18. 2 2 3 2 1

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος Υ (σε κιλά) από το delicatessen μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος (σε ευρώ ανά κιλό) για μια ορισμένη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Για τα ΝΒ10 δεδομένα έχουμε το μοντέλο:

Παράδειγμα. Για τα ΝΒ10 δεδομένα έχουμε το μοντέλο: Παράδειγμα Για τα ΝΒ10 δεδομένα έχουμε το μοντέλο: or N(μ ο, ~σ 2 ) } Ερωτήματα Εκ των προτέρων κατανομή για το μ. Δεν γνωρίζω τίποτα για το πραγματικό βάρος του NB10, άρα πρέπει να χρησιμοποιήσω μια διακεχυμένη

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Newton-Raphson

Μέθοδος Newton-Raphson Κεφάλαιο 14 Μέθοδος Newton-Raphson Θα συζητήσουµε υπολογισµό της εκτιµήτριας µεγίστης πιθανοφάνειας µε τη µέ- ϑοδο Newton-Raphson. Αν και υπάρχουν περιπτώσεις για τις οποίες η λύση µπορεί να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

διαγνωστικούς ελέγχους MCMC diagnostics CODA

διαγνωστικούς ελέγχους MCMC diagnostics CODA MCMC DIAGNOSTICS Πόσο πρέπει να περιμένουμε για να επιτευχθεί η στασιμότητα; Πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το m (μετά την στασιμότητα για πόσο πρέπει να τρέξεις την αλυσίδα σου); Από που να ξεκινήσεις; Για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού

Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Viola adorata Σκηνή Πρώτη Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους (µέρος Ι). Ο µέσος όρος

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος της σταθερότητας των συντελεστών της παλινδρόµησης (πρώτος έλεγχος του Chow) (Testing for stability of the regression coefficients ) (Chow s

Έλεγχος της σταθερότητας των συντελεστών της παλινδρόµησης (πρώτος έλεγχος του Chow) (Testing for stability of the regression coefficients ) (Chow s Έλεγχος της σταθερότητας των συντελεστών της παλινδρόµησης (πρώτος έλεγχος του Chow) (Testing for stability of the regression coefficients ) (Chow s first test) Σε πολλές περιπτώσεις µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES. Daily calorie intake

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES. Daily calorie intake ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES 5000 Daily calorie

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας Β. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β

Παράγοντας Β. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β Παραγοντικά Πειράµατα Fctoril Design Τα παραγοντικά πειράµατα αναλύουν την επίδραση δύο ή περισσοτέρων παραγόντων στην εξαρτηµένη µεταβλητή. Τα πλεονεκτήµατα που παρουσιάζουν έναντι των άλλων µεθόδών που

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευµένα Γραµµικά Μοντέλα

Γενικευµένα Γραµµικά Μοντέλα Σηµειώσεις για το εργαστήριο υπολογιστών για το µάθηµα Γενικευµένα Γραµµικά Μοντέλα. Μέρος δεύτερο: Γενικευµένα Γραµµικά Μοντέλα στην SPLUS Οι σηµειώσεις γράφτηκαν από το Γιώργο Τζουγά, υποψήφιο διδάκτορα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς

Διαβάστε περισσότερα

Βιογραφικό Σημείωμα. Πατησίων 76, 10434, Αθήνα. Αριθμός Τηλεφώνου Γραφείου ++30 0210 8203968 Ηλεκτρονικό Ταχυδρομείο

Βιογραφικό Σημείωμα. Πατησίων 76, 10434, Αθήνα. Αριθμός Τηλεφώνου Γραφείου ++30 0210 8203968 Ηλεκτρονικό Ταχυδρομείο Βιογραφικό Σημείωμα Προσωπικές Πληροφορίες Όνομα Ιωάννης Ντζούφρας Ημερομηνία γέννησης 14 Φεβρουαρίου 1973 Εθνικότητα Ελληνική Διεύθυνση Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Πατησίων 76,

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί

Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί από τον αριθµό µητρώου του. Συγκεκριµένα υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Κλινική ή ερευνητική παρατήρηση Πόσο αληθινή είναι; Τι θα συζητηθεί σε αυτό το µάθηµα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Κλινική ή ερευνητική παρατήρηση Πόσο αληθινή είναι; Τι θα συζητηθεί σε αυτό το µάθηµα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΗΝ ΚΛΙΝΙΚΗ ΙΑΤΡΙΚΗ Κλινική ή ερευνητική παρατήρηση Πόσο αληθινή είναι; VS. Chance Bias Τι θα συζητηθεί σε αυτό το µάθηµα Η θεωρία των πιθανοτήτων Σφάλµατα προκατάληψης (biases)

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 15 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3ο Κίβδηλες παλινδρομήσεις Μια από τις υποθέσεις που χρησιμοποιούμε στην ανάλυση της παλινδρόμησης είναι ότι οι χρονικές σειρές που χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α Κάθε µια από τις παρακάτω φράσεις (1α, 1β, 1γ, 2α κτλ) µπορεί να είναι σωστή ή λανθασµένη. Ποιες είναι σωστές και ποιες όχι;

ΜΕΡΟΣ Α Κάθε µια από τις παρακάτω φράσεις (1α, 1β, 1γ, 2α κτλ) µπορεί να είναι σωστή ή λανθασµένη. Ποιες είναι σωστές και ποιες όχι; 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. ΣΚΟΠΟΣ στο τέλος της ενότητας είναι να γνωρίζετε - Τι είναι η «δειγµατοληπτική κατανοµή» π.χ. της µέσης τιµής - τι είναι και σε τι χρησιµεύει το «τυπικό σφάλµα της µέσης

Διαβάστε περισσότερα

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 0 Ηλεκτρικά κυκλώµατα Ηλεκτρικό κύκλωµα ονοµάζουµε ένα σύνολο στοιχείων που συνδέονται κατάλληλα έτσι ώστε να επιτελέσουν ένα συγκεκριµένο σκοπό. Για παράδειγµα το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα