Bayesian Biostatistics Using BUGS

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Bayesian Biostatistics Using BUGS"

Transcript

1 Bayesian Biostatistics Using BUGS Βιο-Στατιστική κατά Bayes µε τη χρήση του Λογισµικού BUGS ΜΑΘΗΜΑ 4: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑ BAYES ΜΕ ΤΟ WINBUGS I. Ntzoufras Department of Statistics, Athens University of Economics & Business 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων Ξαναγυρίζουµε στο Παράδειγµα της Εστριόλης Green & Touchston (1963, Am.Jour. Of Obsterics & Gynecology) Μελέτη σχέσης Y : Βάρος γέννησης (birthweight) ενός παιδιού X : Επίπεδο εστριόλης (estriol) των εγκύων γυναικών Υ i ~ Normal(µ i, σ 2 ) µ i =η i =α+βχ i Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.1

2 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων Ξαναγυρίζουµε στο Παράδειγµα της Εστριόλης Μας ενδιαφέρει να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : β=0 vs. H 1 β 0 Το οποίο ειναι ισοδύναµο µε τη σύγκριση των µοντέλων m 0 : Y~N( α, σ 2 ) m 1 : Y~N( α+βχ, σ 2 ) 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων Εκ-των-Υστέρων Λόγος Πιθανοτήτων (Posterior Model Odds) του µοντέλου m 0 έναντι του µοντέλου m 1 : f ( m0 y) f ( y m0 ) PO 01 = = f ( m y) f ( y m ) Β 01 : Bayes Factor (Παράγοντας Bayes) 1 Prior Model Odds (Εκ-των-Προτέρων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων) 1 f ( m f ( m 0 1 ) ) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.2

3 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων f(m): Εκ-των-Προτέρων Πιθανότητα του µοντέλου m (Prior model probability) f(m y): Εκ-των-Υστέρων Πιθανότητα του µοντέλου m (Posterior model probability) f(y m): Περιθωριακή Πιθανοφάνεια των εδοµένων στο µοντέλο m (marginal likelihood of model m) 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.1. Εισαγωγή: Εκ-των-Υστερων Λόγος Πιθανοτήτων των Μοντέλων B f ( m f ( m 01 = 0 1 ) ) PO = 01 f ( y m f ( y m f ( m f ( m ) ) y) y) : Εκ-των-προτέρων λόγος πιθανοτήτων του µοντέλου m 0 έναντι του µοντέλου m 1 (Prior model odds of m 0 vs. m 1 ) : Παράγοντας Bayes του µοντέλου m 0 έναντι του µοντέλου m 1 (Bayes Factor of model m 0 vs. m 1 ) : Εκ-των-υστέρων λόγος πιθανοτήτων του µοντέλου m 0 έναντι του µοντέλου m 1 (Posterior model odds of m 0 vs. m 1 ) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.3

4 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Στο BUGS µπορούµε να εκτιµήσουµε τη εκ-τωνυστερων πιθανότητα f(m y) εισάγωντας την λανθάνουσα (latent) δίτιµη µεταβλητή γ: Y~Normal( α + βχ,σ 2 ). 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Στο BUGS µπορούµε να εκτιµήσουµε τη εκ-τωνυστερων πιθανότητα f(m y) εισάγωντας την λανθάνουσα (latent) δίτιµη µεταβλητή γ: Y~Normal( α + γ βχ,σ 2 ). Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.4

5 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Για λεπτοµέρειες παραπέµπουµε στα ακόλουθα Katsis, A. and Ntzoufras, I. (2003). Testing Hypotheses for the Distribution of Insurance Claim Counts Using the Gibbs Sampler. Ntzoufras, I. (2002). Gibbs Variable Selection Using BUGS. Journal of Statistical Software, Volume 7, Issue 7, Dellaportas, Forster and Ntzoufras (2002). On Bayesian Model and Variable Selection Using MCMC. Statistics and Computing, 12, Dellaportas, Forster and Ntzoufras (2000). On Bayesian Model and Variable Selection Using MCMC. In Generalized Linear Models: A Bayesian Perspective, MY BUGS TUTORIAL PAGE: Ntzoufras (2002). Tutorial on Bayesian Model Selection (Msc Hand outs) 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Η κατανοµή f(β γ=0) ονοµάζεται και ψευδο-prior (pseudoprior) ή or κατανοµή πρότασης (proposal distribution). εν επηρεάζει την εκ-των-υστέρων κατανοµη δηλ. την f(α, β, γ y)=f(α, β γ, y) f(γ y). Επηρεάζει την σύγκλιση της αλυσίδας Για να δουλέψει αποτελεσµατικά πρέπει να είναι κοντά στην εκ-των-υστέρων κατανοµή: f(β y, γ=1). Για λόγους απλούστευσης υποθέτουµε f(β γ=0)= f(β γ=1) [ ουλεύει καλά στο συγκεκριµένο παράδειγµα] Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.5

6 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS (1) Birth i ~ Normal(µ i, σ 2 ) (2) η i = α + β Estriol i (3) µ i =η i =α+β Estriol i for i=1,...,31 PRIORS f (α)=normal ( 0, 10 4 ) f (β)=normal ( 0, 10 4 ) f (τ 2 )=Gamma(10-4,10-4 ) σ 2 =1/ τ for (i in 1:n) { Birth[i]~dnorm(mu[i],tau) x[i]<-estriol[i]-mean(estriol[]) mu[i] <-a+ b*x[i] } a~dnorm(0.0,1.0e-04) b~dnorm(0.0,1.0e-04) tau~dgamma(1.0e-04,1.0e-04) s2<-1/tau 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS (1) Birth i ~ Normal(µ i, σ 2 ) (2) η i = α + γ β Estriol i (3) µ i =η i =α+β Estriol i for i=1,...,31 PRIORS f (α)=normal ( 0, 10 4 ) f (β)=normal ( 0, 10 4 ) f (τ 2 )=Gamma(10-4,10-4 ) σ 2 =1/ τ γ ~ Bernoulli (0.5) for (i in 1:n) { Birth[i]~dnorm(mu[i],tau) x[i]<-estriol[i]-mean(estriol[]) mu[i] <-a+ gamma*b*x[i] } a~dnorm(0.0,1.0e-04) b~dnorm(0.0,1.0e-04) tau~dgamma(1.0e-04,1.0e-04) s2<-1/tau gamma~dbern(0.5) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.6

7 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS (1) Birth i ~ Normal(µ i, σ 2 ) (2) η i = α + γ β Estriol i (3) µ i =η i =α+β Estriol i for i=1,...,31 PRIORS f (α)=normal ( 0, 10 4 ) f (β)=normal ( 0, 10 4 ) f (τ 2 )=Gamma(10-4,10-4 ) σ 2 =1/ τ γ ~ Bernoulli (0.5) for (i in 1:n) { Birth[i]~dnorm(mu[i],tau) x[i]<-estriol[i]-mean(estriol[]) mu[i] <-a+ gamma*b*x[i] } a~dnorm(0.0,1.0e-04) b~dnorm(0.0,1.0e-04) tau~dgamma(1.0e-04,1.0e-04) s2<-1/tau gamma~dbern(0.5) 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Μετά από Burn-in 1000 επαναλήψεων και 20,000 επαναλήψεις ως δείγµα f(γ=1 y)= PO 10 =BF 10 = Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.7

8 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS εν συζητήσαµε για τις εκ-των-προτέρων κατανοµές των µοντέλων όταν κάνουµε επιλογή/σύγκριση µοντέλων [το θέµα είναι πολύ µεγάλο και σύνθετο για αυτό το µάθηµα]. Μεγάλες τιµές της εκ-των-προτερων διακύµανσης του β θα ενεργοποιήσει το παράδοξο των Bartlett - Lindley => f(γ=1 y) 0.0 Μία λύση: Η εκ-των-προτέρων (ΕτΠ) κατανοµή της µοναδιαίας πληροφορίας (Unit information prior, BIC): ΕτΠ ιακύµανση του β = Μέγεθος είγµατος X ΕτΥ ιακύµανση του β που παίρνουµε όταν χρησιµοποιούµε επίπεδη ΕτΠ κατανοµή 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Ας Ξανατρέξουµε το παράδειγµα µε την ΕτΠ µοναδιαίας πληροφορίας. Τρέχουµε το παράδειγµα µε µεγάλη ΕτΠ διακύµανση και βρίσκουµε ΕτΥ ιακύµανση= (0.1431) 2 Παίρνουµε τώρα στη σύγκριση των 2 µοντέλων µε ΕτΠ ιακύµανση του β = 31 Χ (0.1431) 2 = ΕτΠ Ακρίβεια του β = 1/ = Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.8

9 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Μετά από Burn-in 1000 επαναλήψεων και 20,000 προσοµοιώµενες τιµές έχουµε ως αποτέλεσµα f(γ=1 y)= PO 10 =BF 10 = ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.2. Εκ-των-Υστερων Πιθανοτήτες των Μοντέλων στο BUGS Αυτό το Παράδειγµα είναι µόνο για Επίδειξη Μην προσπαθήσετε να τρέξετε σύγκριση µοντέλων στο BUGS αν δεν έχετε πρώτα κατανοήσει πολύ καλά την προσοµοίωση των απλών µοντέλων και το τρόπο λειτουργίας των µεθόδων σύγκρισης µοντέλων. Να είστε πολυ προσεκτικοί όταν επιλέγετε ΕτΠ (prior) και ψευδο-ετπ (pseudo-prior) κατανοµές Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.9

10 6 ΑΠΛΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6.3. Άλλοι Τρόποι Υπολογισµού του Παράγοντα Bayes MCMC για Σύγκριση Μοντέλων Reversible Jump MCMC (RJMCMC, Green, 1995) [ εν µπορεί να εφαρµοστεί στο WINBUGS ακόµα] ειγµατολήπτης των Carlin και Chib (1995). Παράδειγµα 13 (Pines dataset) στο Bugs 0.5 Examples vol.2, σελ Τρόποι Υπολογισµού της Περιθωριακής Πιθανοφάνειας Εκτιµητής του Αρµονικού µέσου της Πιθανοφάνειας Ο Εκτιµητής των Newton και Raftery (1994). Ο Εκτιµητής των Gelfand και Dey (1994). Ο Εκτιµητής του Chib (1995, JASA). Ο Eκτιµητής Laplace-Metropolis (Lewis και Raftery, 1997) κ.α. Για Λεπτοµέρειες προτείνω να δείτε το καλό review του Lopes (2002). 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.1. Κριτήρια Πληροφορίας (Information Criteria) Τα κριτήρια πληροφορίας γενικά ορίζονται ώς την µέγιστη πιθανοφάνεια στη οποία επιβάλλεται µια ποινή για κάθε επιπλέον παράµετρο που εκτιµούµε Deviance = -2 max{ log - likelihood } IC = -2 max{ log - likelihood } + parameters penalty AIC= -2 max{ log - likelihood } + parameters 2 BIC= -2 max{ log - likelihood } + parameters log(n) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.10

11 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.1. Κριτήρια Πληροφορίας (Information Criteria) Μπορούµε να ορίσουµε τις Bayesian versions των AIC/BIC και να βρούµε τις posterior και να τις συγκρίνουµε (Brooks 2002) B.Deviance(m) = -2 log{f(y θ,m)} = -2 log - likelihood B.AIC(m) = -2 log{f(y θ, m)} + parameters 2 B.BIC(m) = -2 log{f(y θ, m)} + parameters log(n) 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΤΡΕΞΟΥΜΕ ΚΑΙ ΤΑ ΥΟ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ WINBUGS Ορίζουµε το λογάριθµο της Πιθανοφάνειας για κάθε παρατήρηση (µέσα στο for). 2 Υπολογίζουµε τη συνολική λογαριθµο - Πιθανοφάνεια 3 Υπολογίζουµε τo AIC/BIC για κάθε µοντέλο 4 Υπολογίζουµε διαφορές των AIC/BIC που µας ενδιαφέρουν.(µονο σε παράλληλη δειγµατοληψία) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.11

12 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΟΝΤΕΛΟ 1: BIRTHWEIGHT=α+β ESTRIOL (1) model estriol_aic_bic; { pi<-3.14 for (i in 1:n) { birth[i]~dnorm( mu[i], tau ); mu[i]<-a.star+b*(estriol[i]-mean(estriol[])); (1) loglike1[i]<- -0.5*log(2*pi)+0.5*log(tau) -0.5*pow( birth[i]-mu[i],2 )*tau } 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΟΝΤΕΛΟ 1: BIRTHWEIGHT=α+β ESTRIOL # prior distributions for model m1 a.star~dnorm( 0, 1.0E-04 ) b~dnorm( 0, 1.0E-04 ); # normal prior for b tau~dgamma( 1.0E-04, 1.0E-04 ); s2<-1/tau; a<-a.star-b*mean(estriol[]); # Bayesian versions of LogLikelihood L1<-sum( loglike1[] ) # Bayesian versions of BIC BIC1<- -2*L1 + 3*log(n) # Bayesian versions of AIC AIC1<- -2*L1 + 3*2 } (2) (3) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.12

13 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΟΝΤΕΛΟ 0: BIRTHWEIGHT=α model estriol_aic_bic{ pi<-3.14 for (i in 1:n) { # definition of model m1 # # definition of model m0 birth0[i]<-birth[i] birth0[i]~dnorm( mu0[i], tau0 ); mu0[i]<-a0; (1) loglike0[i]<- -0.5*log(2*pi)+0.5*log(tau0) -0.5*pow( birth0[i]-mu0[i],2)*tau0 } 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΜΟΝΤΕΛΟ 0: BIRTHWEIGHT=α # prior distributions for model m1 # # prior distributions for model m0 a0~dnorm( 0, 1.0E-04 ); tau0~dgamma( 1.0E-04, 1.0E-04 ); # Bayesian versions of LogLikelihood L1<-sum( loglike1[] ) L0<-sum( loglike0[] ) # Bayesian versions of BIC BIC1<- -2*L1 + 3*log(n) (2) (3) BIC0<- -2*L0 + 2*log(n) (4) DBIC10<- BIC0-BIC1 # Bayesian versions of AIC AIC1<- -2*L1 + 3*2 (3) AIC0<- -2*L0 + 2*2 (4) DAIC10<- AIC0-AIC1 } Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.13

14 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.2. Bayesian AIC/BIC στο WINBUGS (Estriol Example) Αποτελέσµατα node mean sd MC error 2.5% median 97.5% start sample AIC AIC BIC BIC DAIC DBIC Υποστηρίζεται το µοντέλο µε β 0 και µε το AIC και µε το BIC 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) To DIC είναι Γενίκευση του AIC Spiegelhalter et al. (2002, RSSB) DIC(m)= D(θ,m)+ p D (m) D(θ,m) = posterior mean of deviance for model m p D (m) = effective number of parameters of model m DIC(m)=2D(θ,m)-D(θ,m) D(θ,m): Deviance evaluated at the posterior mean of θ (ή άλλου εκτιµητή) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.14

15 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 1) Γενίκευση του AIC. Για τα µή ιεραρχικά µοντέλα p D είναι περίπου ίσο µε τον πραγµατικό αριθµό των παραµέτρων. 2) Μικρές αλλαγές της εκτίµησης του θ (που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του p D ) µπορεί να οδηγήσει σε άλλο DIC (άρα επηρεάζεται και από prior, την παραµετροποίηση του µοντέλου και από την ασυµµετρία της posterior του θ). 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 3) Στο WINBUGS δεν δίδεται το Μόντε Κάρλο σφάλµα (MC error). Το σφάλµα του Deviance µπορούµε να το βρούµε εύκολα επιβλέποντας (monitor) την posterior του Deviance (οριζουµε D1<- -2L1 και D0<- -2L0 στο παραδειγµα της Εστριόλης). Αυτό το σφάλµα γενικά είναι µικρό. Ανησυχία υπάρχει για το p D (και D(θ,m) ) και γενικά θα πρέπει να κοιτάζουµε τη σταθερότητα αυτών των ποσοτήτων µετά από αρκετές επαναλήψεις. Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.15

16 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 4) Αν η λογαριθµο - πιθανοφάνεια είναι κοίλη ως πρός τις παραµέτρους της (στοχαστικούς κόµβους) τότε DIC>0. Παρόλα αυτά µπορούµε να πάρουµε αρνητικό DIC στις ακόλουθες περιπτώσεις i) µε µη κοίλες λογαριθµο-πιθανοφάνειας (π.χ. Student-t κατανοµή) όπου υπάρχει µεγάλη διαφορά µεταξύ prior και δεδοµένων. ii) όταν η posterior µίας παραµέτρου είναι συµετρική και δικόρυφη και γενικά όταν ο εκ-των-υστέρων µέσος είναι φτωχός περιγραφικός δείκτης µε µεγάλη εκ-των-υστέρων διακύµανση. 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 5) Το ελάχιστο DIC εκτιµάει ποιό µοντελο θα δώσει τις καλύτερες σύντοµες (short-term) προβλέψεις στην ίδια λογική µε το AIC. Παρόλα αυτά άν η διαφορά των DIC είναι µικρότερη από 5 για µοντέλα που δίνουν τελείως διαφορετικά συµπεράσµατα τότε είναι λάθος απλά να αναφέρουµε το µοντέλο µε το µικρότερο DIC. 6) Το DIC (όπως και τα AIC/BIC) είναι συγκρίσιµα για µοντέλα µε τα ίδια δεδοµένα. Τα µοντέλα δε χρειάζεται να είναι «φωλιασµένα» το ένα µέσα στο άλλο (nested). Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.16

17 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.3. Πληροφοριακό Κριτήριo Απόκλισης (Deviance Information Criterion) ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ DIC 7) To DIC διαφέρει σε στόχους και µορφή από το BIC και τον Παράγοντα Bayes. 8) Θα πρέπει να χρησιµοποιείτε µε προσοχή το DIC µέχρι να υπάρξου πιο πολλά ερευνητικά αποτελέσµατα. Σε µερικά µοντέλα το WINBUGS δεν µπορεί να υπολογιστεί το DIC. Για λεπτοµέρειες παραπέµπουµε στην Ιστο-σελίδα του WINBUGS 9) Ο υπολογισµός των Bayesian BIC/AIC είναι πιο εύκολος και άµεσος (και µπορούµε να έχουµε και MC error). 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.4. Υπολογισµός του DIC στο WINBUGS (Estriol Example) εν χρειάζεται να ορισουµε κάτι επιπλέον στο µοντέλο του WINBUGS. Μπορούµε νατρέξουµε παράλληλα όλα τα µοντέλα που θέλουµε να συγκρίνουµε µαζί. Αφού προσοµοιώσουµε τις πρώτες παρατηρήσεις στην περίοδο Burn-in επιλέγουµε INFERENCE>DIC Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.17

18 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.4. Υπολογισµός του DIC στο WINBUGS (Estriol Example) Επιλέγουµε το κουτί SET. Προσοµοιώνουµε το δείγµα από την posterior κατανοµή (MODEL>UPDATE, συµπληρώνουµε στοupdates τον αριθµό των επαναλήψεων). Επιλέγουµε το DIC TOOL (INFERENCE>DIC) και το κουτί DIC. 7 ΑΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 7.4. Υπολογισµός του DIC στο WINBUGS (Estriol Example) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Dbar = post.mean of -2logL; Dhat = -2LogL at post.mean of stochastic nodes Dbar Dhat pd DIC birth birth total ιαφορά = Μοντέλο 1 πάλι καλύτερο p D είναι περίπου ίσο µε 3 και 2 (αριθµός παραµέτρων στα δύο µοντέλα). Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.18

19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ [BUGS manual: page 40] Κατάλοιπα (Residuals) Εκ-των-υστέρων Επίπεδο Σηµαντικότητας (Posterior P-values) Προβλεπτικά Μέτρα Σύγκρισης Μοντέλων (Predictive Model Comparison Measures) Προβλεπτικά Μέτρα Πάραλληλης ειγµατολειψίας (Parallel Sampling Predictive Measures) ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (LINE.BUG) model{ # Likelihood for( i in 1 : N ) { y[i] ~ dnorm(mu[i],tau) mu[i]<- alpha+ beta*( x[i]-mean(x[]) ) } # Prior distributions tau ~ dgamma(0.001,0.001) sigma <- 1 / sqrt(tau) alpha ~ dnorm(0.0,1.0e-6) beta ~ dnorm(0.0,1.0e-6) } Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.19

20 ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (LINE.BUG) Data (ΧΩΡΙΣ OUTLIER): list(x = c(1, 2, 3, 4, 5), y= c(1, 3, 3, 3, 5), N = 5) Data(2) (ME OUTLIER): list(x = c(1, 2, 3, 4, 5), y= c(1, 7, 3, 3, 5), N = 5) Inits: list(alpha = 0, beta = 0, tau = 1) 8.1. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ Εξετάζουµε την εκ-των-υστέρων κατανοµή των καταλοίπων (y i =data) Κατάλοιπα (Residual): r i = y i -E(y i ) resid[i]<-y[i]-mu[i] Τυποποιηµένα Κατάλοιπα (Standardized Residual): sr i = r i / V(y i )= {y i -E(y i )}/ V(y i ) sresid[i]<-r[i]*sqrt(tau) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.20

21 8.1. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (DATA ΧΩΡΙΣ OUTLIER) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% resid[1] resid[2] resid[3] resid[4] resid[5] node mean sd MC error 2.5% median 97.5% sresid[1] sresid[2] sresid[3] sresid[4] sresid[5] ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (DATA ΜΕ OUTLIER) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% resid[1] resid[2] resid[3] resid[4] resid[5] node mean sd MC error 2.5% median 97.5% sresid[1] sresid[2] sresid[3] sresid[4] sresid[5] Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.21

22 8.2. ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ Εξετάζουµε τις τιµές που αναµένουµε (προβλέπουµε) µε βάση το µοντέλο (y pred i ) y.pred[i]~dnorm( mu[i], tau) Επίσης εξετάζουµε και τις αποστάσεις των προβλεπόµενων τιµών από τις παρατηρηρούµενες Τυποποιηµένα Κατάλοιπα (Predicted Standardized Residual): sr pred i = (y i -y pred) i / V(y i ) sr.pred[i]<-(y[i]-y.pred[i])*sqrt(tau) 8.2. ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (DATA ΧΩΡΙΣ OUTLIER) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% y.pred[1] y.pred[2] y.pred[3] y.pred[4] y.pred[5] node mean sd MC error 2.5% median 97.5% sr.pred[1] sr.pred[2] sr.pred[3] sr.pred[4] sr.pred[5] Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.22

23 8.2. ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (DATA ΜΕ OUTLIER) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% y.pred[1] y.pred[2] y.pred[3] y.pred[4] y.pred[5] node mean sd MC error 2.5% median 97.5% sr.pred[1] sr.pred[2] sr.pred[3] sr.pred[4] sr.pred[5] ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ α) Πιθανότητα πιο ακραίας παρατήρησής (Chance of more extreme observation): min{p(y i <y i ), P(Y i >y i )} Y.rep[i]<-dnorm(mu[i],tau) p.smaller[i]<-step(y[i]-y.rep[i]) Υπολογίζουµε τον εκ-των-υστερων µέσο του p.smaller {Ε(p.smaller y)} και µετα παίρνουµε το PMEO= min { Ε(p.smaller y), 1-Ε(p.smaller y) }. Αν αυτό είναι µικρό τότε σηµαίνει ότι τα δεδοµένα είναι συστηµατικά µακριά από τις προβλεπόµενες τιµές του µοντέλου. Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.23

24 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ α) Πιθανότητα πιο ακραίας παρατήρησής ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ DATA ΧΩΡΙΣ OUTLIER DATA ΜΕ OUTLIER node mean PMEO mean PMEO p.smaller[1] p.smaller[2] p.smaller[3] p.smaller[4] p.smaller[5] ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ β) Εκ-των-υστέρων Επίπεδα Σηµαντικότητας (Posterior p-values) Η λογική είναι η εξής: Φτιάχνουµε µια συνάρτηση των δεδοµένων Τ(y) που ελέγχει µια υπόθεση. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να βρούµε και την κατανοµή του T(y) αν ισχύει το µοντέλο µας (δηλαδή να βασιστεί στις προβλεπόµενες τιµές y pred ). Η σύγκριση των Τ(y) και Τ(y pred ) µας δίνει τα posterior p- values δηλαδή Posterior P-value = P( Τ(y) < Τ(y pred ) ) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.24

25 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ β) Εκ-των-υστέρων Επίπεδα Σηµαντικότητας (Posterior p-values) Οι συναρτήσεις ελέγχου µπόρουν να γενικευτούν και να περιλαµβάνουν και παραµέτρους δηλαδή Posterior P-value = P( Τ(y, θ) < Τ(y pred, θ) ) 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ β) Εκ-των-υστέρων Επίπεδα Σηµαντικότητας (Posterior p-values) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Τ(y, θ) = Σ(y i -µ i ) 3 sresid.pred[i]<-(y.pred[i]-mu[i])*sqrt(tau) sresid3[i]<-pow( sresid[i], 3 ) sresid3.pred[i]<-pow( sresid.pred[i], 3 ) skew.obs<-mean(sresid3[]) skew.pred<-mean(sresid3.pred[]) pval.pred<-step(skew.pred-skew.obs) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.25

26 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ β) Εκ-των-υστέρων Επίπεδα Σηµαντικότητας (Posterior p-values) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Y 2 =2 Y 2 =7 node mean sd MC error 2.5% median 97.5% pval.pred skew.obs skew.pred node mean sd MC error 2.5% median 97.5% pval.pred skew.obs skew.pred Y 2 =10000 node mean sd MC error 2.5% median 97.5% pval.pred skew.obs skew.pred ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ estriol.dat node Mean PMOE Mean p.smaller st.res. p.smaller[31] p.smaller[29] p.smaller[27] p.smaller[22] p.smaller[28] p.smaller[13] p.smaller[6] p.smaller[18] p.smaller[7] p.smaller[14] Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.26

27 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ BIRTHWEIGHT g/ ESTRIOL mg/24hr 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ BIRTHWEIGHT g/ ESTRIOL mg/24hr Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.27

28 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ estriol.dat node mean sd MC error 2.5% median 97.5% pval.pred skew.obs skew.pred ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ γ) ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΤΩΝ IBRAHIM + LAUD L m2 =Σ (y pred i -y i ) 2 M m = f(y pred y,θ) εκ-των-υστέρων πιθάνότητα εµφάνισης των y pred Ε(Μ m y) = Posterior Bayes Factor (Aitkin, 1991) M -1/n m = µετριέται σε ίδιες µονάδες µε τα y MEIONEKTHMATA M m δεν µπορεί να υπολογιστεί εύκολα λόγω µεγάλων ή µικρών τιµών εν λαµβάνει υπόψη του τον αριθµό των παραµέτρων του κάθε µοντέλου. Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.28

29 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ γ) ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΤΩΝ IBRAHIM + LAUD # model 1 birth.pred[i]~dnorm( mu[i], tau ) loglike1.pred[i]<- -0.5*log(2*pi)+0.5*log(tau)- 0.5*pow( birth.pred[i]-mu[i],2 )*tau like1[i]<- exp( loglike1[i] ) # model 0 birth0.pred[i]~dnorm( mu0[i], tau0 ) loglike0.pred[i]<- -0.5*log(2*pi)+0.5*log(tau0)- 0.5*pow( birth0.pred[i]-mu0[i],2 )*tau0 like0[i]<- exp( loglike0[i] ) # Lm criterion Lm1<- sum( ss1[] ); Lm0<- sum( ss0[] ) # # Mm criterion # Mm1<-exp( Lm1 ); Mm0<-exp( Lm0 ) # Mm1.star<-exp( -Lm1/n ); Mm0.star<-exp( -Lm0/n ) 8.3. ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ(estriol.dat) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% Lm Lm Mm E E E E E-36 Mm0.star Mm E E E E E E-33 Mm1.star Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.29

30 8.4. Προβλεπτικά Μέτρα Πάραλληλης ειγµατολειψίας (Parallel Sampling Predictive Measures) Στα παραπάνω µέτρα τρέχουµε τη αλυσίδα του κάθε µοντέλου και συγκρίνουµε στο τέλους τους µέσους των µέτρων τους (AIC m, BIC m, L m, M m ) Στη σύγκριση µε παράλληλες αλυσίδες τρέχουµε όλα τα µοντέλα µαζί και συγρκίνουµε τα µέτρα µε διαφορές (π.χ. AIC=AIC 1 -AIC 0 ) και πιθανότητες επικράτησης (π.χ. P(AIC 1 >AIC 0 )) Προβλεπτικά Μέτρα Πάραλληλης ειγµατολειψίας (Parallel Sampling Predictive Measures) # parallel differences DBIC10<- BIC0-BIC1 DAIC10<- AIC0-AIC1 diff[1]<-daic10 diff[2]<-dbic10 diff[3]<- Lm0-Lm1 diff[4]<-mm1-mm0 diff[5]<-mm0.star-mm1.star PBF<-Mm1/Mm0 PBFn<-Mm0.star/Mm1.star # parallel probabilities for (i in 1:5){ prob[i]<-step(diff[i]) } Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.30

31 8.4. Προβλεπτικά Μέτρα Πάραλληλης ειγµατολειψίας (Parallel Sampling Predictive Measures) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (estriol.dat) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% s PBF Post.BF 1.067E E E E E+9 PBFn diff[1] AIC diff[2] BIC diff[3] Lm diff[4] Mm 1.184E E E E E E-33 diff[5] Mm.star prob[1] AIC E prob[2] BIC prob[3] Lm prob[4] Mm prob[5] Mm.star ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ εδοµένα από το βιβλίο του Healy (1988). Μεταβλητή A = Κατάσταση Ασθενή (περισσότερο ή λιγότερο σοβαρή), Μεταβλητή B = Θεραπεία Αντιτοξίνης (Ναι/Όχι) Μεταβλητή C (µεταβλητή απόκρισης) = Επιβίωση Ασθενή (Ναι/Όχι). Χρησιµοποιούµε Λογιστική Παλινδρόµιση Λεπτοµέρειες µπορείτε να βρείτε στις δηµοσιεύσεις Dellaportas et al. (2000, BGLM). Επιπλέον παραδείγµατα µε επιλογή µεταβλητών στο BUGS µπορείτε να βρείτε στη δηµοσίευση Ntzoufras (2002, JSS). Για ένα απλό έλεγχο υποθέσεων και σύγκριση κατανοµών µπορείτε να δείτε τη δηµοσίευση Katsis and Ntzoufras (2004, TR). Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.31

32 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΕΠΙΒΙΩΣΗ(C) Κατάσταση (Α) Αντιτοξίνη(B) Όχι Ναι Σοβαρή Ναι 15 6 Όχι 22 4 Λιγ.Σοβαρή Ναι 5 15 Όχι ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Μεταβλητή Απόκρισης: C = Επιβίωση Ανεξάρτητες Μεταβλητές Μεταβλητή A = Κατάσταση Ασθενή Μεταβλητή B = Θεραπεία Αντιτοξίνη Αλληλεπίδραση AB (interaction term)= Condition*Antitoxin Μοντέλα ύπο διερεύνηση Μοντέλο 1: AB = 1+A+B+AB Μοντέλο 2: A+B = 1+A+B Μοντέλο 3: A = 1+A Μοντέλο 4: B = 1+B Μοντέλο 5: µηδενικό ή σταθερό (null/ constant)= 1 Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.32

33 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Εκ-των-Προτέρων Κατανοµές Εκ-των-προτέρων διακύµανση= 4 Χ 2 Εκ-των-προτέρων πιθανότητα κάθε µοντέλου f( γ A, γ B, γ AB )=1/5: f(γ A, γ B, γ AB )= f(γ AB ) f(γ A γ AB ) f(γ Β γ AB ) 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Εκ-των-Προτέρων Κατανοµές f(γ A, γ B, γ AB )= f(γ AB ) f(γ A γ AB ) f(γ Β γ AB ) γ AB ~ Bernoulli(1/5) γ A γ AB ~ Bernoulli(p A ) p A =0.5(1- γ AB ) + γ AB δηλαδή p A =1 αν γ AB =1 και p A =0.5 αν γ AB =0 Όµοια για την f(γ B γ AB ) γ B γ AB ~ Bernoulli(p B ) p B =0.5(1- γ AB ) + γ AB Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.33

34 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ DATA IN WINBUGS r[] n[] x[,1] x[,2] x[,3] x[,4] ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Κώδικα WINBUGS για την Επιλογή Μεταβλητών µε τον ειγµατολείπτη Gibbs (Gibbs Variable Selection - GVS) Το µοντέλο for (i in 1:N) { r[i]~dbin(p[i],n[i]); logit(p[i])<-b[1] + x[i,2]* g[2]* b[2] + x[i,3]* g[3]* b[3] + x[i,4]* g[4]* b[4]; } Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.34

35 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Η εκ-των-προτέρων κατανοµές b[1]~dnorm(0.0,0.0001); } for (i in 2:N) { tau[i]<-g[i]/8+(1-g[i])/(se[i]*se[i]); bpriorm[i]<-mean[i]*(1-g[i]); b[i]~dnorm(bpriorm[i],tau[i]); } PROPOSAL/ PSEUDOPRIOR PRIOR g[i]=0 g[i]=1 bpriorm[i] mean[i] 0.0 tau[i] 1/se[i] 2 1/8 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Η εκ-των-προτέρων κατανοµές PROPOSAL/ PSEUDOPRIOR PRIOR g[i]=0 g[i]=1 bpriorm[i] mean[i] 0.0 tau[i] 1/se[i] 2 1/8 mean[i] και se[i] υπολογίζονται από την posterior του πλήρες µοντέλου AB. Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.35

36 9 ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Ηεκ-των-προτέρων πιθανότητες των µοντέλων g[]: διάνυσµα µε 4 στοιχεία (όσα και οι παράµετροι/όροι του µοντέλου ΚΩ ΙΚΑΣ for (i in 1:4){ g[i]~dbern(pi[i]) } pi[1]<- 1.0 pi[2]<- 0.5*(1-g[4])+g[4] pi[3]<- 0.5*(1-g[4])+g[4] pi[4]< ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ WINBUGS 9.1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕ 2X2X2 ΠΙΝΑΚA ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Εκτίµηση των εκ-των-υστέρων πιθανοτήτων των µοντέλων στο WINBUGS # defining model code # 0 for constant, 1 for [A], 2 for [B], 3 for [A][B], # 6 for [AB] # mdl<-g[2]+2*g[3]+3*g[4]; pmdl[1]<-equals(mdl,0) pmdl[2]<-equals(mdl,1) pmdl[3]<-equals(mdl,2) pmdl[4]<-equals(mdl,3) pmdl[5]<-equals(mdl,6) Bayesian Biostatistics Using BUGS (4) 4.36

Bayesian Biostatistics Using BUGS

Bayesian Biostatistics Using BUGS Bayesian Biostatistics Using BUGS Βιο-Στατιστική κατά Bayes µε τη χρήση του Λογισµικού BUGS ΜΑΘΗΜΑ 2: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ WINBUGS I. Ntzoufras E-mail: ntzoufras@aueb.gr Department of Statistics, Athens University

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

Bayesian Biostatistics Using BUGS 1

Bayesian Biostatistics Using BUGS 1 Bayesian BioStatistics Using BUGS Βιοστατιστική κατά Bayes με τη χρήση του Λογισμικού BUGS Ioannis Ntzoufras E-mail: ntzoufras@aegean.gr Department of Business Administration, University of the Aegean

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΜΠΣ ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΤΑ BAYES

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΜΠΣ ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΤΑ BAYES ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΠΣ ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ι Π Λ Ω Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α ΛΥΚΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F Άσκηση 0, σελ. 9 από το βιβλίο «Μοντέλα Αξιοπιστίας και Επιβίωσης» της Χ. Καρώνη (i) Αρχικά, εισάγουμε τα δεδομένα στο minitab δημιουργώντας δύο μεταβλητές: τη x για τον άτυπο όγκο και την y για τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Στις χρονοσειρές σημαντικό ρόλο παίζει η αυτοσυσχέτιση: η αυτοσυσχέτιση. (lag k) ισούται με όπου γ

Παράδειγμα. Στις χρονοσειρές σημαντικό ρόλο παίζει η αυτοσυσχέτιση: η αυτοσυσχέτιση. (lag k) ισούται με όπου γ MCMC Η Monte Carlo μεθοδολογία για την δημιουργία αριθμητικών προσεγγίσεων διαφόρων τιμών της εκ των υστέρων κατανομής, όπως του μέσου και της τυπικής απόκλισης, στηρίζεται στους Ασθενείς Νόμους των Μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Newton-Raphson

Μέθοδος Newton-Raphson Κεφάλαιο 14 Μέθοδος Newton-Raphson Θα συζητήσουµε υπολογισµό της εκτιµήτριας µεγίστης πιθανοφάνειας µε τη µέ- ϑοδο Newton-Raphson. Αν και υπάρχουν περιπτώσεις για τις οποίες η λύση µπορεί να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΕΜΦΕ 14-15 i. Έστω yi ο αριθμός των προσπαθειών κάθε μαθητή μέχρι να πετύχει τρίποντο. Ο αριθμός των προσπαθειών πριν ο μαθητής να πετύχει τρίποντο θα είναι xi = yi - 1, i = 1,,18. 2 2 3 2 1

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Βιογραφικό Σημείωμα. Πατησίων 76, 10434, Αθήνα. Αριθμός Τηλεφώνου Γραφείου ++30 0210 8203968 Ηλεκτρονικό Ταχυδρομείο

Βιογραφικό Σημείωμα. Πατησίων 76, 10434, Αθήνα. Αριθμός Τηλεφώνου Γραφείου ++30 0210 8203968 Ηλεκτρονικό Ταχυδρομείο Βιογραφικό Σημείωμα Προσωπικές Πληροφορίες Όνομα Ιωάννης Ντζούφρας Ημερομηνία γέννησης 14 Φεβρουαρίου 1973 Εθνικότητα Ελληνική Διεύθυνση Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Πατησίων 76,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 7 8 Μπεϋζιανή εκτίμηση συνέχεια Μη παραμετρικές μέθοδοι εκτίμησης πυκνότητας Εκτίμηση ML για την κανονική κατανομή Μπεϋζιανή εκτίμηση για την κανονική κατανομή Γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ SPSS Το SPSS είναι ένα στατιστικό πρόγραμμα γενικής στατιστικής ανάλυσης αρκετά εύκολο στη λειτουργία του. Για να πραγματοποιηθεί ανάλυση χρονοσειρών με τη βοήθεια του SPSS θα πρέπει απαραίτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων ΠΣΕ, Τµήµα Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Η/Υ Εργαστήριο ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ( ηµιουργία συστήµατος µε ροint-tο-ροint σύνδεση) ρ Θεοδώρου Παύλος Χανιά 2003 Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...2 2 ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ PΟINT-TΟ-PΟINT...2

Διαβάστε περισσότερα

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι Άσκηση 1 i) Σε κάθε παρατήρηση περιλαμβάνεται ένας έλεγχος (ο τελευταίος) κατά τον οποίο εμφανίστηκε το πρώτο ελαττωματικό της παραγωγικής διαδικασίας. Επομένως, ο αριθμός ελέγχων που έγιναν πριν εμφανιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Βιογραφικό Σημείωμα. Πατησίων 76, 10434, Αθήνα. Αριθμός Τηλεφώνου Γραφείου ++30 0210 8203968 Ηλεκτρονικό Ταχυδρομείο

Βιογραφικό Σημείωμα. Πατησίων 76, 10434, Αθήνα. Αριθμός Τηλεφώνου Γραφείου ++30 0210 8203968 Ηλεκτρονικό Ταχυδρομείο Βιογραφικό Σημείωμα Προσωπικές Πληροφορίες Όνομα Ιωάννης Ντζούφρας Ημερομηνία γέννησης 14 Φεβρουαρίου 1973 Εθνικότητα Ελληνική Διεύθυνση Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Πατησίων 76,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Τζανάκης Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Κρήτης Web Site: www.pepagnh.gr/users/epidemiology

Νίκος Τζανάκης Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Κρήτης Web Site: www.pepagnh.gr/users/epidemiology Νίκος Τζανάκης Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Κρήτης Web Site: www.pepagnh.gr/users/epidemiology Μεταβλητές (Variables) Μεταβλητή: Κάθε ποιοτικό ή ποσοτικό χαρακτηριστικό που μπορεί να μετρηθεί Οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος ΜΑΘΗΜΑ 2ο Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος 1. Κατανόηση του προβλήματος με τη σχετική επιστήμη (όπως οικονομία, διοίκηση, γενικές επιστήμες) π.χ το πρόβλημα της κατανάλωσης κάποιας περιοχής σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

22 Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας

22 Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας Χρήστος Κατσάνος και Νικόλαος Αβούρης Πανεπιστήµιο Πατρών Σκοπός Το παρόν κεφάλαιο, συµπληρωµατικό του κυρίως υλικού του βιβλίου, περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i =

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i = Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ο 10.1 Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση 10.2 Η εφαρµογή της Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης 10.3 Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΓΟΝΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ: ΑΡΩΓΟΣ Ή ΤΡΟΧΟΠΕ Η;

ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΓΟΝΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ: ΑΡΩΓΟΣ Ή ΤΡΟΧΟΠΕ Η; Στάσεις για τα Μαθηµατικά ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΓΟΝΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ: ΑΡΩΓΟΣ Ή ΤΡΟΧΟΠΕ Η; π. Χρίστος Βούργιας, Σωτηρούλα Χρυσοστόµου-Βούργια Eκπαιδευτικοί-Λευκωσία ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Βασίλης Βασδέκης - Στέλιος Ψαράκης Αθήνα 005 Πείραµα Είναι µια δοκιµή ή ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i ) Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Ασύρµατες και κινητές επικοινωνίες Χειµερινό Εξάµηνο 2010. - Wifi Calculator -

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Ασύρµατες και κινητές επικοινωνίες Χειµερινό Εξάµηνο 2010. - Wifi Calculator - ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ασύρµατες και κινητές επικοινωνίες Χειµερινό Εξάµηνο 2010 - Wifi Calculator - Στάµος Κατσιγιάννης, ΑΜ: ΕΥ0924 Γεώργιος Αλέξανδρος Κουλιέρης, ΑΜ: ΕΥ0920

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα