ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. Σηµειώσεις µαθήµατος. Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου. Σεπτέµβριος 2002

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. Σηµειώσεις µαθήµατος. Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου. Σεπτέµβριος 2002"

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Σηµειώσεις µαθήµατος Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου Σεπτέµβριος 2002

2 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΛΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ YBΡΙ ΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ MONTE CARLO ΓENNHTΡΙΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ OMOIOMOΡΦΗΣ (0,) ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ: U(0,) Γραµµικές γεννήτριες υπολοίπων Γεννήτριες TAUSWORTHE Έλεγχοι τυχαιότητας ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΑΛΛΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Αντίστροφος µετασχηµατισµός Σύνθεση συναρτήσεων - Συνέλιξη συναρτήσεων Μέθοδος αποδοχής-απορρίψεως Kανονική κατανοµή Ν(0,) - Ευρετικές µέθοδοι Κατανοµή Γάµµα, gamma(α,β) Χρονικά µεταβαλλόµενες διαδικασίες - Αφίξεις Poisson ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙTΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Περιγραφή Mοντέλο διακριτών γεγονότων ΣΕΙΡΙΑΚΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΛΙΣΤΩΝ ΙΚΤΥΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ (Queueing Networks) Περιγραφή Μοντέλο διακριτών γεγονότων...45

3 Μέτρα απόδοσης δικτύων αναµονής ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕ ΠΟΛΛΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ ΠΕΛΑΤΩΝ Περιγραφή Μοντέλο διακριτών γεγονότων ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV Θεωρητικά Μοντέλο διακριτών γεγονότων ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Oριακά θεωρήµατα Εκτίµηση µέσου, διασποράς και συσχετίσεων ιαστήµατα εµπιστοσύνης και έλεγχοι υποθέσεων για τον µέσο Σύγκριση συστηµάτων Στατιστικός προσδιορισµός του πλήθους προσοµοιώσεων Εκτίµηση µόνιµης κατάστασης - Εξάλειψη µεταβατικών φαινοµένων ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΕΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Τεχνική κοινών τυχαίων αριθµών (common random numbers) Αντιθετικές µεταβλητές (antithetic variates) Μεταβλητές ελέγχου (control variates) ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΣΕ ΑΝΑΜΟΝΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΡΥΘΜΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ Οι θεµελιώδεις εξισώσεις Ο αλγόριθµος ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ ΡΟΪΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Περιγραφή αλγόριθµου προσοµοίωσης Ενηµέρωση µεταβλητών κατάστασης

4 Προσαρµογή µεταβλητών Ακαριαίες µεταβολές καταστάσεων χωρίς εκτέλεση νέου γεγονότος Προγραµµατισµός επόµενων γεγονότων Aνάλυση διαταραχών Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΩΡΟΛΟΓΙΟΥ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ρυθµοί εξυπηρέτησης Χωρητικότητες χώρων αναµονής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ SIMSCRIPT II H MEΘΟ ΟΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑΣ ΟΜΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SIMSCRIPT II ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ιαδικασία (PROCESS) Πόρος (RESOURCE) Αντικείµενα (ENTITIES) Γεννήτριες τυχαίων αριθµών Υπολογισµοί µέσων τιµών των µεταβλητών Άλλες εντολές ελέγχου ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Μ Μ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΝΟΣ ΝΑΥΣΤΑΘΜΟΥ Περιγραφή Συµβολισµοί Πρόγραµµα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Sun ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ Εργαστήριο Εργαστήριο Εργαστήριο Εργαστήριο EΡΓΑΣΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ Ε 2 Ε 2 (Κ+2)

5 7.2. ΣΥΣΤΗΜΑ Ε 2 Ε 2 Ν διαφορετικοί εξυπηρετούντες ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ AΛΥΣΙ Α MARKOV ΣΕΙΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ - Α ΣΕΙΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ - Β ΡΟΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΟ ΜΗΧΑΝΩΝ ΑΣΤΙΚΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΣΕ ΕΝΑ ΑΕΡΟ ΡΟΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΤΑ ΠΑΡΤΙ ΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΥΟ ΤΥΠΟΥΣ ΠΕΛΑΤΩΝ Υ ΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΣ ΣΤΑΘΜΟΣ ΙΚΤΥΟ JACKSON ΙΚΤΥΟ JACKSON ΓΕΝΕΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΝΑΥΣΤΑΘΜΟΣ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤHΡΙΟ ΣYΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓHΣ YΟ ΠΡΟΪOΝΤΩΝ, ΜΕ ΠΡΟΤΕΡΑΙOΤΗΤΕΣ ΕΚΤEΛΕΣΗ EΡΓΟΥ (PROJECT) ΤΡAΠΕΖΑ Β Ι Β Λ Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Ανασκόπηση Θεωρίας Ουρών ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

6 . ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΛΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Προσοµοίωση (simulation) είναι η µίµηση της λειτουργίας συστηµάτων ή της εξέλιξης διαδικασιών µέσα στο χρόνο µε τη βοήθεια υπολογιστή. ιαδικασία ή σύστηµα ονοµάζεται ένα σύνολο στοιχείων τα οποία εξελίσσονται και αλληλεπιδρούν σύµφωνα µε κάποιους κανόνες. Οι κανόνες αυτοί εκφράζονται µε µαθηµατικές ή λογικές σχέσεις, και αποτελούν το µοντέλο του συστήµατος. Κατάσταση είναι το σύνολο των µεταβλητών οι οποίες δίνουν την απαραίτητη πληροφορία για την περιγραφή του συστήµατος. Παράδειγµα.. Η κίνηση υλικού σηµείου µάζας m επάνω σε µία ευθεία υπό την επίδραση σταθερής δύναµης F, περιγράφεται από το διάνυσµα s(t) υ(t) = θέση τη χρονική στιγµή t ταχύτητα τη χρονική στιγµή t το οποίο είναι το διάνυσµα καταστάσεως. Το µοντέλο του συστήµατος "υλικό σηµείο υπό την επίδραση δύναµης" δίδεται από τις σχέσεις υ(0) = υ 0 0, υ () t s(0) = s, s(t) = s 0 F = υ0 + t m F + υ0t+ t 2 m Στις εκφράσεις αυτές, οι s 0, υ 0 είναι οι τιµές της µετατόπισης και ταχύτητας τη χρονική στιγµή 0 και m είναι η µάζα του υλικού σηµείου. 2 Αν οι σχέσεις που περιγράφουν την εξέλιξη του συστήµατος είναι απλές, όπως αυτές του παραδείγµατος, τότε είναι δυνατή η εύρεση λύσεων κλειστής µορφής, οπότε λέµε ότι το µοντέλο επιλύεται αναλυτικά. Ωστόσο τα περισσότερα συστήµατα έχουν διάνυσµα κατάστασης µεγάλων διαστάσεων και περιγράφονται από πολύπλοκα µοντέλα των οποίων η αναλυτική επίλυση είναι αδύνατη. Για τη µελέτη τους εφαρµόζονται οι λεγόµενες αριθµητικές µέθοδοι. Τέτοιες είναι η αριθµητική ανάλυση και η προσοµοίωση. Η προσοµοίωση συνίσταται στην ανάπτυξη ενός µοντέλου του υπό εξέταση συστήµατος µε τη µορφή προγράµµατος σε υπολογιστή και στην εκτέλεση ενός (ή περισσοτέρων) πειράµατος το οποίο καταγράφει την κατάσταση του συστήµατος σε διαδοχικές χρονικές στιγµές αποτυπώνοντας ένα πιθανό σενάριο εξέλιξης του συστήµατος στο χρόνο. Η προσοµοίωση ευρίσκει εφαρµογές στην ανάλυση και σχεδίαση συστηµάτων παραγωγής (βιοµηχανία) στον έλεγχο αποθεµάτων (βιοµηχανία, εµπορικές επιχειρήσεις) στη µελέτη κυκλοφοριακών συστηµάτων (οδικό δίκτυο, αεροδρόµια) 5

7 στη µελέτη συστηµάτων εξυπηρετήσεως πελατών (τράπεζες, νοσοκοµεία, τηλεπικοινωνίες) στην αξιολόγηση αποφάσεων υπό αβεβαιότητα (χρηµατιστήριο, επενδύσεις, marketing). Με την προσοµοίωση µπορεί κανείς να αξιολογήσει την αποτελεσµατικότητα ή απόδοση ενός συστήµατος πριν αυτό κατασκευασθεί µε σκοπό τη βέλτιστη σχεδίασή του. Παράδειγµα.2. Μία µηχανή παράγει ένα κοµµάτι την ώρα. Στο τέλος κάθε ώρας γίνεται επιθεώρηση του κοµµατιού που εξέρχεται από τη µηχανή. Με πιθανότητα µ, το κοµµάτι περνά µε επιτυχία από τον έλεγχο, διαφορετικά επιστρέφει στη µηχανή γιά επανεπεξεργασία µίας ακόµη ώρας. Ζητάµε το µέσο ρυθµό παραγωγής της R όταν λειτουργήσει Τ ώρες συνολικά. Γιά την εκτέλεση του αλγορίθµου προσοµοίωσης στον υπολογιστή αναπτύσσεται ένα βοηθητικό πρόγραµµα το οποίο όταν καλείται δίδει το αποτέλεσµα Ε της επιθεώρησης ενός κοµµατιού (ελαττωµατικό: Ε = 0 µε πιθανότητα µ, αποδεκτό: Ε = µε πιθανότητα µ). Τέτοια προγράµµατα ονοµάζονται γεννήτριες τυχαίων αριθµών (random number generators) και θα εξετασθούν σε επόµενο κεφάλαιο. Ο αλγόριθµος είναι ο εξής: (στα προγράµµατα, η εντολή τ = τ + x σηµαίνει ότι η τιµή της τ αυξάνεται κατά x). ΑΡΧΗ t = 0...(χρόνος) Ν = 0...(παραγωγή) 2. ΕΠΟΜΕΝΟ ΓΕΓΟΝΟΣ = ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΚΟΜΜΑΤΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ t = t +...(συµπλήρωση µίας ακόµη ώρας) ΑΝ t > Τ, ΤΟΤΕ πήγαινε στο (3) και περάτωσε την προσοµοίωση Ε = Γεννήτρια Τυχαίων Αριθµών...(αποτέλεσµα επιθεώρησης: 0 ή ) Ν = Ν + Ε...(ίδιο µε την εντολή ΑΝ Ε =, ΤΟΤΕ Ν = Ν + ) Επανάλαβε το βήµα (2) 3. ΤΕΛΟΣ R = N/Τ Το παράδειγµα αυτό δείχνει µία εφαρµογή της προσοµοίωσης στην ανάλυση συστήµατος παραγωγής. Σχεδίαση είναι το πρόβληµα του καθορισµού των παραµέτρων από ένα σύνολο εναλλακτικών επιλογών ώστε η λειτουργία του συστήµατος να είναι η βέλτιστη δυνατή. Στην περίπτωση του παραδείγµατος, το πρόβληµα της σχεδίασης ανακύπτει όταν υπάρχει ένα σύνολο εναλλακτικών µηχανών κάθε µία από τις οποίες έχει διαφορετική διάρκεια κύκλου κατεργασίας, πιθανότητα παραγωγής ελαττωµατικού, αλλά και διαφορετικό κόστος αγοράς, λειτουργίας και συντήρησης. Τότε απαιτείται µία προσοµοίωση γιά κάθε µηχανή, ώστε να υπολογισθούν οι µέσοι ρυθµοί παραγωγής των, 6

8 να γίνει ανάλυση κόστους-αποτελέσµατος και να ευρεθεί η βέλτιστη επιλογή. Σηµειώστε ότι το παράδειγµα αυτό επιλύεται αναλυτικά: όταν T, τότε R = µ..2. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ανάλογα µε το αν παρουσιάζουν διαχρονική εξέλιξη, τα συστήµατα διακρίνονται σε δυναµικά και στατικά (dynamic/static). υναµικό είναι το σύστηµα του οποίου η κατάσταση είναι συνάρτηση του χρόνου. Τα συστήµατα των παραδειγµάτων. και.2 είναι δυναµικά. Στατικό, αντίθετα, είναι το σύστηµα το οποίο δεν εµφανίζει εξέλιξη (δεν µεταβάλλεται) µε την πάροδο του χρόνου. 'Ενα εκκρεµές στη θέση ισορροπίας, το αποτέλεσµα της ρίψης ενός νοµίσµατος, ένα σύστηµα εξισώσεων, είναι στατικά συστήµατα. Τα δυναµικά συστήµατα διακρίνονται σε συστήµατα διακριτού χρόνου (discretetime systems), συστήµατα συνεχούς χρόνου (continuous-time systems) και υβριδικά συστήµατα (hybrid systems). Στα συστήµατα διακριτού χρόνου η κατάσταση µεταβάλλεται βηµατικά (απότοµα) σε διακριτές χρονικές στιγµές t, t 2, t 3,..., ενώ παραµένει σταθερή στα διαστήµατα [t,t 2 ), [t 2, t 3 ),... ΣΥΣΤΗΜΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: t k+ = t k + F S [x(t k ), t k ] x(t k+ ) = F D [x(t k ), t k+ ] όπου F D, F S είναι κατάλληλες συναρτήσεις Συνεχές είναι το σύστηµα του οποίου η κατάσταση είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου. Η διαχρονική συµπεριφορά συνεχών συστηµάτων περιγράφεται συνήθως από διαφορικές εξισώσεις. ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ: dx(t) dt όπου F C είναι κατάλληλη συνάρτηση = F C [x(t),t] Στην πράξη σπάνια συναντάµε αµιγώς διακριτά ή αµιγώς συνεχή συστήµατα. Στα συνήθη συστήµατα η κατάσταση είναι κατά διαστήµατα συνεχής συνάρτηση του χρόνου και κάποιες χρονικές στιγµές παρουσιάζει βηµατικές (απότοµες) µεταβολές. Τα συστήµατα αυτά ονοµάζονται υβριδικά. Στα υβριδικά συστήµατα η κατάσταση µεταβάλλεται βηµατικά (απότοµα) σε διακριτές χρονικές στιγµές t, t 2, t 3,..., και συνεχώς στα διαστήµατα [t, t 2 ), [t 2, t 3 ),... ΥΒΡΙ ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ: t k+ = t k + F S [x(t k ), t k ] 7

9 dx(t) = F C [x(t), t], για κάθε t [t k, t k+ ) dt x(t k+ ) = F D [x(t k+), t k+ ] Αν τη στιγµή t 0 = 0 η κατάσταση x(t 0 ) είναι γνωστή, τότε η πρώτη εξίσωση µας δίνει το χρόνο t, από τη δεύτερη υπολογίζουµε την x(t ) και από την τρίτη την x(t ). Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία για όλες τις χρονικές στιγµές t, t 2, µέχρι το τέλος της προσοµοίωσης. Τα συστήµατα διακρίνονται επίσης σε στοχαστικά και αιτιοκρατικά (stochastic/deterministic). Αν το µοντέλο του συστήµατος είναι συνάρτηση γνωστών παραµέτρων ξ τότε το σύστηµα είναι αιτιοκρατικό. Για παράδειγµα, το ξ µπορεί να συµβολίζει το ρυθµό παραγωγής µίας µηχανής, ή το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ διαδοχικών αφίξεων πελατών σε ένα σύστηµα εξυπηρέτησης. Τα προηγούµενα µοντέλα ήταν όλα αιτιοκρατικά, ωστόσο οι παράµετροι ξ παρελείφθησαν για λόγους απλούστευσης. Αν οι παράµετροι ξ εµφανίζουν τυχαίες µεταβολές τότε είναι στοχαστικό. Έχουµε λοιπόν για το ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: t k+ = t k + F S [x(t k ), ν k, t k ] x(t k+ ) = F D [x(t k ), ξ k+, t k+ ] όπου ν k και ξ k είναι ακολουθίες τυχαίων µεταβλητών (στοχαστικές διαδικασίες). Για παράδειγµα, αν x(t) συµβολίζει τη συνολική παραγωγή µίας µηχανής µέχρι τη στιγµή t, t k είναι ο χρόνος στον οποίο συµβαίνει η k-οστή βλάβη, ν k είναι το διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ της k-οστής βλάβης και της (k + )-οστής και ξ k+ είναι η συνολική παραγωγή της µηχανής στο διάστηµα αυτό, τότε t k+ = t k + ν k x(t k+ ) = x(t k ) + ξ k+ Αντίστοιχα µπορούµε να ορίσουµε ένα ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ: dx(t) = F C [x(t), w(t), t] dt όπου w(t) είναι στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου. Τέλος έχουµε για το ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΥΒΡΙ ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ: dx(t) = F C [x(t), w(t), t] για κάθε t [t k, t k+ ) dt t k+ = t k + F S [x(t k ), ν k, t k ] 8

10 x(t k+ ) = F D [x(t k+), ξ k+, t k+ ] Το σύστηµα του Παραδείγµατος. είναι δυναµικό, συνεχές και αιτιοκρατικό, ενώ εκείνο του Παραδείγµατος.2 είναι δυναµικό, διακριτό και στοχαστικό. Το επόµενο σχήµα δείχνει τους τρόπους µε τους οποίους µπορεί κανείς να µελετήσει τη λειτουργία ενός συστήµατος. ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΦΥΣΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (π.χ. αεροµοντελισµός) ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Αναλυτική Επίλυση. Προσοµοίωση 2. Αριθµητική Ανάλυση.3. YBΡΙ ΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ Θα δούµε τώρα πώς αναπτύσσεται ένας αλγόριθµος υβριδικών συστηµάτων. Παράδειγµα.3 Μία χηµική βιοµηχανία παράγει υγρό καύσιµο µε ονοµαστικό ρυθµό παραγωγής R. 'Εστω x (t) η ποσότητα καυσίµου που έχει παραχθεί µέχρι τη στιγµή t και x 2 (t) ο ρυθµός παραγωγής καυσίµου. H κατάσταση του συστήµατος περιγράφεται από το ζεύγος [x (t), x 2 (t)]. Οταν το εργοστάσιο λειτουργεί κανονικά τότε x 2 =R (γνωστός σταθερός ρυθµός), ενώ όταν σηµειωθεί κάποια βλάβη η παραγωγή διακόπτεται και x 2 =0. Γιά την x (t) η εξίσωση καταστάσεως είναι t x (t) = x 2 (τ) dτ (.) 0 Τα υβριδικά συστήµατα αποτελούν ειδική κατηγορία των δυναµικών συστηµάτων διακριτών γεγονότων (discrete-event dynamic systems, DEDS). Τα συστήµατα αυτά λειτουργούν ως εξής. Στα διαστήµατα [t k,t k+ ) η κατάσταση µεταβάλλεται µε συνεχή τρόπο. Κάθε στιγµή υπάρχει ένα πλήθος διαφορετικών γεγονότων e, e 2,... τα οποία "συναγωνίζονται" για το ποιό θα συµβεί ενωρίτερα (στα υβριδικά συστήµατα υπάρχει ένα µόνο επικείµενο γεγονός χωρίς συναγωνισµό). Τη στιγµή t k λαµβάνει χώρα ένα γεγονός, έστω το e(t k ). Τότε η κατάσταση του συστήµατος µεταβάλλεται βηµατικά. Λόγω της µεταβολής αυτής, 9

11 καθένα από τα γεγονότα που ευρίσκονται σε ανταγωνισµό εκείνη τη στιγµή επαναπροσδιορίζει τον µελλοντικό χρόνο εµφάνισής του. Έτσι, το γεγονός e i τη στιγµή t k θα "αποκτήσει" ένα νέο χρόνο εµφάνισης Τ i, ο οποίος είναι µία συνάρτηση του t k, της κατάστασης του συστήµατος τη στιγµή εκείνη, του γεγονότος e(t k ) που συνέβη τότε, και άλλων, ενδεχοµένως, παραµέτρων του συστήµατος. Το επόµενο γεγονός του συστήµατος είναι εκείνο που θα συµβεί στο συντοµότερο χρόνο, δηλ. t k+ =mint i. H διαδικασία επαναλαµβάνεται γιά τη στιγµή t k+. Στο παράδειγµα που εξετάσαµε τα γεγονότα είναι οι βλάβες και οι επισκευές του συστήµατος γιατί τότε εµφανίζονται απότοµες µεταβολές στο διάνυσµα κατάστασης πχ. Παραγωγή x (t): Ρυθµός x 2 (t): R t : βλάβη t 2 : επισκευή Χρόνος t Παρατηρήστε ότι άν και έχουµε δύο τύπους γεγονότων, εν τούτοις κάθε στιγµή υπάρχει µόνο ένα επικείµενο γεγονός. Γιά την µελέτη τέτοιων συστηµάτων η προσοµοίωση είναι σήµερα το πλέον αποτελεσµατικό εργαλείο. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ως προσοµοίωση διακριτών γεγονότων (discrete-event simulation). Ενα πρόγραµµα προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων περιέχει τις ακόλουθες µεταβλητές (σε παρένθεση αναφέρονται οι µεταβλητές του παραδείγµατος): Ρολόϊ προσοµοίωσης: Μία µεταβλητή που δίνει τον τρέχοντα χρόνο t (=ΤΩΡΑ). Κατάσταση του συστήµατος: Συλλογή µεταβλητών γιά την περιγραφή του συστήµατος (µεταβλητές: x i (t)). Εξισώσεις καταστάσεως: ίδουν τη µεταβολή των µεταβλητών καταστάσεως µε την πάροδο του χρόνου (Εξ. (.)). Χρόνος προηγούµενου γεγονότος: Η αµέσως προηγούµενη στιγµή κατά την οποία σηµειώθηκε βηµατική µεταβολή στο διάνυσµα κατάστασης. Αυτή η µεταβλητή είναι απαραίτητη γιά την "ενηµέρωση" των µεταβλητών κατάστασης, όπως θα δούµε στο επόµενο παράδειγµα. Λίστα επόµενων γεγονότων: Αν το σύστηµα αποτελείται από πολλές συνιστώσες (πχ. 0

12 πολλές µηχανές) τότε σε κάθε µία απ' αυτές µπορεί να συµβεί µία βηµατική µεταβολή στο µέλλον (π.χ. το γεγονός "βλάβη" ή "επισκευή" συνεπάγεται βηµατική µεταβολή του ρυθµού στις τιµές 0 ή R αντίστοιχα). Κάθε στοιχείο της λίστας αναφέρεται σε µία συνιστώσα του συστήµατος. Είναι ένα ζευγάρι που αποτελείται από το είδος και το χρόνο του επόµενου γεγονότος που πρόκειται να συµβεί στη συγκεκριµένη συνιστώσα πχ. (βλάβη, στιγµή που θα συµβεί βλάβη) (επισκευή, χρόνος που θα τελειώσει η επισκευή). Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο αλγόριθµος προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων.. ΑΝΑΓΝΩΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Γιά το παράδειγµα: R, παράµετροι κατανοµής χρόνων ζωής και επισκευής, χρόνος περάτωσης της προσοµοίωσης TSIM 2. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΝΑΡΞΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ρολόϊ t=0 (τώρα) Χρόνος προηγούµενου γεγονότος ΤΠ=0 Καταστάσεις x =0 (στην αρχή δεν υπάρχει παραγωγή), x 2 =R (το σύστηµα λειτουργεί). Το σύστηµα είναι υβριδικό και στη λίστα επόµενων γεγονότων υπάρχει µόνο ένα ζεύγος: (βλάβη, χρόνος T β ), όπου: βλάβη = είδος επόµενου γεγονότος, και Τ β = η χρoνική στιγµή που θα σηµειωθεί η βλάβη = t + (χρόνος ζωής της µηχανής ο οποίος παράγεται από γεννήτρια τυχαίων αριθµών). 3. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΕΠΟΜΕΝΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΟΣ ΤΠ=t Βρές τον µικρότερο από τους χρόνους της λίστας και το αντίστοιχο γεγονός. Αυτό είναι το επόµενο γεγονός γιά όλο το σύστηµα. Θέσε t=χρόνος που θα συµβεί αυτό το γεγονός. [Στο παράδειγµα.3 η λίστα περιέχει µόνο ένα γεγονός και έναν χρόνο τ, άρα: t=τ β ]. Αν t > TSIM, τότε περάτωσε την προσοµοίωση µε το βήµα (6), αλλιώς, κάλεσε την κατάλληλη υπορουτίνα εκτέλεσης γεγονότος (4) ή (5). 4. ΒΛΑΒΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ενηµέρωση µεταβλητών καταστάσεως x x + x 2 (t ΤΠ). Προσαρµογή µεταβλητών καταστάσεως x 2 = 0.

13 Προγραµµατισµός επόµενων γεγονότων στη λίστα Λίστα επόµενων γεγονότων: Επισκευή, Τ ε = t + E, όπου Ε = διάρκεια επισκευής που δίνεται από την γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Επίστρεψε στο βήµα (3) 5. ΕΠΙΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ενηµέρωση µεταβλητών καταστάσεως εν χρειάζεται να υπολογίσουµε την x γιατί κατά την διάρκεια της επισκευής, δηλ. στο διάστηµα [ΤΠ,t), το σύστηµα δεν παράγει. Προσαρµογή µεταβλητών καταστάσεως x 2 = R. Προγραµµατισµός επόµενων γεγονότων στη λίστα Λίστα επόµενων γεγονότων: Bλάβη, Τ β = t k + ΧΖ, όπου ΧΖ = χρόνος ζωής του συστήµατος µέχρι την επόµενη βλάβη, που δίνεται από γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Επίστρεψε στο βήµα (3) 6. ΤΕΛΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ενηµέρωση µεταβλητών καταστάσεως x x + x 2 (TSIM ΤΠ) Mέσος ρυθµός παραγωγής = x / TSIM. Σηµειώστε ότι σε ένα πρόγραµµα προσοµοίωσης οι µεταβλητές καταστάσεως (πχ. x i (t)) αποθηκεύονται ως σταθερές (δηλ. x i ), χωρίς να γίνεται αναφορά στη χρονική τους εξάρτηση..4. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ MONTE CARLO Με τον όρο Monte Carlo χαρακτηρίζεται κάθε αλγόριθµος προσοµοίωσης που χρησιµοποιεί γεννήτριες τυχαίων αριθµών. Ως τέτοια γεννήτρια µπορεί να θεωρηθεί και η ρουλέττα του καζίνο από το οποίο προέρχεται και το όνοµα της µεθόδου. Η προσοµοίωση Monte Carlo εφαρµόσθηκε κατά το δεύτερο παγκόσµιο πόλεµο γιά την ανάπτυξη της ατοµικής βόµβας. Θα αναφέρουµε µία εφαρµογή της, τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος β C = h(x)dx, (.2) α όπου h(x) µία συνάρτηση της οποίας το ολοκλήρωµα δεν µπορεί να υπολογισθεί 2

14 αναλυτικά. Αυτό το πρόβληµα προφανώς είναι αιτιοκρατικό. Θα το λύσουµε µε εργαλεία από τη θεωρία πιθανοτήτων. Εστω Χ µία οµοιόµορφη τ.µ. στο διάστηµα (α, β) (συµβολικά γράφουµε X U(α, β)), και Υ µιά άλλη τ.µ. που δίνεται από τον τύπο Υ = (β α) h(χ). (.3) H Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) = (β α) γιά x (α, β). Η αναµενόµενη τιµή της Υ είναι Ε{Υ} = Ε{(β α)h(x)} = (β α) Ε{h(X)}= β = (β α) h (x) dx (β α) α β = α β ( β α) h(x)f α X (x) dx h (x)dx = C. (.4) Γιά τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος C παράγουµε µία ακολουθία n ανεξάρτητων τυχαίων αριθµών x,..., x n U(α,β). Εφαρµόζοντας την Εξ. (.3) για X = x i, ευρίσκουµε την ακολουθία y,..., y n. Αποδεικνύεται ότι η δειγµατική µέση τιµή Y(n) των y i είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της C, δηλ. Ε{Υ(n)} = C. Πράγµατι, ορίζουµε οπότε Y(n) = n n y i i= n Ε[Υ(n)] = E y i = E(y i ) = C n n n i= n i= n i= = nc n Βλέπουµε ότι η µέση τιµή της Y(n) είναι ίση µε την ποσότητα που ζητάµε. Αλλά όµως και η µέση τιµή ενός µόνον αποτελέσµατος y i ισούται µε την ίδια ποσότητα, C. Τότε γιατί προτιµάµε το µέσο όρο Y(n) αντί µίας µόνο δειγµατικής τιµής y i που έχει λιγότερο υπολογιστικό βάρος; Οι διασπορά µίας εκτιµήτριας Υ(n) ή y i είναι το µέτρο της απόστασής της από τη µέση τιµή C. Παρατηρούµε ότι Var(y i ) = Var(Y) = E[(Y C) 2 ] ενώ, λόγω του ότι οι x i είναι ανεξάρτητες τ.µ., οι y i είναι επίσης ανεξάρτητες οπότε n Var[Y(n)] = Var y i = Var(y i ) = nvar(y) = n n 2 n 2 i= n i= = C. Var(Y) n Συνεπώς για n, η διασπορά της Y(n) τείνει στο 0, οπότε Y(n) C κατά µέσο τετράγωνο. Μπορούµε εποµένως να προσεγγίσουµε το C µε µεγάλη ακρίβεια επιλέγοντας µεγάλο n. Θα εξετάσουµε το πρόβληµα αυτό στο Κεφάλαιο 4. 3

15 2.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2. ΓENNHTΡΙΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Είδαµε ότι για την προσοµοίωση στοχαστικών συστηµάτων απαιτείται η "παραγωγή" τυχαίων αριθµών που ακολουθούν συγκεκριµένες κατανοµές. Το επόµενο παράδειγµα δείχνει πόσο δύσκολο είναι αυτό. Παράδειγµα 2. Επιθυµούµε να παράγουµε µία ακολουθία 0 τυχαίων αριθµών X i που ακολουθούν την κατανοµή Bernoulli: Χ i =, ìε πιθανüτητα 0.5 0, ìε πιθανüτητα 0.5 Ας συγκρίνουµε τις ακολουθίες α) β) γ) ως προς την τυχαιότητα που εµφανίζουν. Στις δύο πρώτες, τα ψηφία εµφανίζονται µε την ίδια συχνότητα µε τα ψηφία 0 και αυτό συµφωνεί µε τις πιθανότητες: Ρ(Χ i =)=5/0=0.5. Η τρίτη ακολουθία έχει µόνο τέσσερα ψηφία ίσα µε. Εν τούτοις κάποιος θα θεωρούσε την ακολουθία (γ) "περισσότερο τυχαία" από την (β) η οποία εµφανίζει κάποια κανονικότητα. Παρατηρήστε ότι και οι τρεις ακολουθίες έχουν την ίδια πιθανότητα να εµφανισθούν: Ρ(α)=Ρ(β)=Ρ(γ)= = 0 3. Η τυχαιότητα είναι ο βαθµός του πόσο ασυνήθιστη ή απίθανη είναι µία ακολουθία. Σε επόµενη παράγραφο θα συζητήσουµε γιά τους στατιστικούς ελέγχους µε τους οποίους µετράµε το βαθµό τυχαιότητας που παρουσιάζουν ακολουθίες αριθµών. Οι γεννήτριες τυχαίων αριθµών (random number generators) είναι µή γραµµικά µοντέλα της µορφής X k = f(x k ), όπου Χ,..., Χ k, Χ k,..., είναι οι διαδοχικοί τυχαίοι αριθµοί. Η συνάρτηση f ειναι τόσο πολύπλοκη ώστε η παρατήρηση και µόνον του αριθµού Χ k δεν αποκαλύπτει την εξάρτησή του από τον X k, δηλ. δεν προδίδει την f(.). Τέτοια µοντέλα ονοµάζονται και χαοτικά. Παραδείγµατα χαοτικών συστηµάτων είναι το κλίµα της γής, η τυρβώδης ροή θερµού υγρού µέσα σε ψυχρό, η κίνηση µιας µύγας στο χώρο κλπ. Τα χαοτικά συστήµατα είναι αιτιοκρατικά, όµως λόγω του ότι η f(.) είναι πολύπλοκη και όχι ακριβώς γνωστή εµφανίζουν ανεξήγητη ή τυχαία συµπεριφορά ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η αναµενόµενη τιµή ή µέσος µίας τ.µ. Χ συµβολίζεται µ Χ ή Ε{Χ} και ορίζεται από την σχέση 4

16 µ Χ = i= Ιδιότητες: Ε{αΧ} = α Ε{Χ}, α R, x i P(X = xi ), αν η Χ είναι διακριτή τ.µ. xf X (x)dx, αν η Χ είναι συνεχής τ.µ. n n E α i X i = α i E{ X i}, όπου α i R και οι Χ i είναι τ.µ. i= i= 2 Η διασπορά της Χ συµβολίζεται σ Χ ή Var{Χ} και ορίζεται από την σχέση σ 2 Χ =Ε{ (Χ µ Χ ) 2 } = Ε{ Χ 2 } (µ Χ ) 2. Η σ Χ ονοµάζεται τυπική απόκλιση της Χ. Ιδιότητες: Var{X) 0, Var{αΧ+β}=α 2 Var{Χ}, α,β R, n n 2 Var α 0 α ix + i = α i Var{ X i }, όπου α i R και οι Χ i είναι i= i= ανεξάρτητες ή έστω ασυσχέτιστες τ.µ. Η συµµεταβλητότητα δύο τ.µ. Χ, Υ είναι ο βαθµός της γραµµικής τους εξάρτησης ή συσχέτισης, συµβολίζεται Cov{X,Y} ή C XY και ορίζεται από τη σχέση C ΧY =Ε{ (Χ µ Χ )(Y µ Υ ) } = Ε{ΧΥ} (µ Χ µ Υ ). Ιδιότητες: Var{αΧ+βΥ}=α 2 Var{Χ}+ β 2 Var{Υ} + 2 α β C XY, α,β R, Αν C ΧY =0, τότε οι Χ και Υ είναι ασυσχέτιστες. Κατανοµές συνεχών τ.µ. (α) Οµοιόµορφη, U(α,β) Χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την µέγιστη τιµή β, και την ελάχιστη τιµή α µίας τ.µ., x [α, β] f(x) = β α 0, αλλού (β) Εκθετική, expo(β) x α F(x)= β α µ=(α+β)/2 σ 2 =(β α) 2 /2 Χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την αναµενόµενη τιµή β, µίας τ.µ. η οποία λαµβάνει τιµές στο (0, ). 5

17 e x / β, x [0, ) β f (x) = 0, αλλού F(x)= e x/β µ=β σ 2 =β 2 (γ) Γάµµα, gamma(α,β) Αποτελεί γενίκευση της εκθετικής. Χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την αναµενόµενη τιµή και τη διασπορά µίας τ.µ. η οποία λαµβάνει τιµές στο (0, ). fx ( ) = β α α e x / β x Γ(α) 0, αλλοý, x [0, ) και F(x)= α e x/ β j= 0 ( x/ β ) j! µ=αβ σ 2 =α β 2 j (εφόσον το α είναι φυσικός), Το Γ(α)= tα e tdt είναι η συνάρτηση Γάµµα του θετικού αριθµού α, µε Γ(α+)=αΓ(α) 0 (αν το α είναι θετικός πραγµατικός), και Γ(α+)=α! (αν το α είναι φυσικός αριθµός). Ιδιότητες: (α) gamma(,β) = expo(β) (β) Αν Υ gamma(α,), τότε η βυ gamma(α,β). (γ) Αν X,..., X n ανεξάρτητες expo(β) τότε το άθροισµά τους (Χ X n ) ακολουθεί την κατανοµή gamma(n,β) η οποία λέγεται κατανοµή n- Erlang(β). (δ) Weibull (α,β,γ) Όπως και η Γάµµα, αποτελεί γενίκευση της εκθετικής και χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την αναµενόµενη τιµή και τη διασπορά µίας τ.µ. η οποία λαµβάνει τιµές στο (γ, ). Ιδιότητες: α x γ αβ α( x γ) α exp, αν x γ α fx ( ) = β x γ, F(x)= exp, β 0, αλλοý µ=γ+ β α Γ α Weibull(,β,0) = expo(β) Aν Χ α expo(β) Χ Weibull(α,β,0) σ 2 = β Γ Γ α α α α Αν γ=0 τότε η κατανοµή γράφεται Weibull(α,β). 6

18 (ε) Κανονική, Ν(µ,σ 2 ) Ιδιότητες: x fx ( ) = exp ( ì ) 2 2πσ2 2σ2 µ=µ σ 2 = σ 2 Αν Χ,Υ ασυσχέτιστες (Cοv(X,Y)=0) και κανονικές τότε είναι και ανεξάρτητες. Αν X i N(µ i,σ 2 i ) τότε η τ.µ. (α Χ +...+α n X n +β) ακολουθεί την κανονική n n n κατανοµή N β+ αiìi, αα i jcov(xi,x j). i= i= j= 2 (στ) Χί Τετράγωνο, χ n Αν X i N(0,) είναι ανεξάρτητες τότε η τ.µ. Χ 2 =Χ Χ 2 n ακολουθεί την κατανοµή Χι-Τετράγωνο µε n βαθµούς ελευθερίας (πίνακας της κατανοµής δίδεται στο παράρτηµα). (ζ) Ταύ, κατανοµή του Student, t n Αν X N(0,) και Υ χ 2 n είναι ανεξάρτητες τότε η τ.µ. Χ/( Υ/ n ) ακολουθεί την κατανοµή Ταυ µε n βαθµούς ελευθερίας (πίνακας της κατανοµής δίδεται στο παράρτηµα). Κατανοµές διακριτών τ.µ. (α) Bernoulli p, αν x = 0 P(X=x)= = p x ( p) x, x {0,}, µ=p, σ 2 =p( p) p, αν x = Παράδειγµα p= πιθανότητα ένα κοµµάτι να ευρεθεί ελαττωµατικό (β) υωνυµική, bin(n,p) Προκύπτει από άθροισµα n ανεξάρτητων πειραµάτων Bernoulli P(X=k)= n k pk ( p) n k, k=0,,...n, µ=np, σ 2 =np( p) Παράδειγµα p= πιθανότητα ένα κοµµάτι να ευρεθεί ελαττωµατικό, Χ = πλήθος ελαττωµατικών σε δείγµα µεγέθους n. (γ) Γεωµετρική, geom(p) Eίναι το τυχαίο πλήθος ανεξάρτητων πειραµάτων Bernoulli µέχρις ότου προκύψει. P(X=k µηδενικά και µετα µία µονάδα)=p ( p) k, k=0,,..., µ=( p)/p, σ 2 =( p)/p 2 Παράδειγµα p= πιθανότητα µηχανή να υποστεί βλάβη κατα την διάρκεια της κατεργασίας ενός κοµµατιού, Χ = πλήθος κοµµατιών που θα παραχθούν µέχρις ότου 7

19 συµβεί η πρώτη βλάβη. (δ) Poisson (λ) Ενδιαφερόµαστε για το πλήθος γεγονότων τα οποία λαµβάνουν χώρα σε ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα, π.χ. (0,t), όταν δύο διαδοχικά γεγονότα απέχουν µεταξύ τους τυχαίο χρόνο µε εκθετική κατανοµή και µέση τιµή β (δηλ. κατανοµή expo(β)). εκθετική τ.µ 0 t t 2 t t k t t k+ Το πλήθος γεγονότων ακολουθεί την κατανοµή Poisson: P(X=k)= λ k e λ, k=0,,..., µ=λ σ 2 =λ, όπου λ=t/β k! Παράδειγµα Χ= πλήθος πελατών που θα φθάσουν στο διάστηµα (0,t) σε µία τράπεζα. Aν ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων εκθετικός µε µέση τιµή β, τότε σε χρόνο t θα φθάσουν t/β πελάτες κατα µέσον όρο ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ OMOIOMOΡΦΗΣ (0,) ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ: U(0,) Η οµοιόµορφη είναι η απλούστερη συνεχής κατανοµή. Εν τούτοις είναι πολύ χρήσιµη γιατί από αυτήν µε κατάλληλους µετασχηµατισµούς µπορούµε να παράγουµε αριθµούς που ακολουθούν άλλες κατανοµές. Μιά παλιά τεχνική παραγωγής U(0,) τ.µ. είναι η µέθοδος κέντρου-τετραγώνου των von Neumann και Metropolis: α. Ξεκινάµε µε έναν 4-ψήφιο φυσικό αριθµό Ζ 0. Θέτουµε i = 0. β. Υψώνουµε τον Ζ i στο τετράγωνο και προκύπτει ένας 8-ψήφιος. Αν τα ψηφία του είναι λιγότερα από 8 συµπληρώνουµε µηδενικά στην αρχή του. Θέτουµε i i+. γ. Αποκόπτουµε τα δύο πρώτα και τα δύο τελευταία ψηφία, και προκύπτει ένας νέος 4- ψήφιος ακέραιος, ο Ζ i. Ο αριθµός U i = Ζ i /0000 είναι ο i-οστός τυχαίος αριθµός. Προφανώς U i [0,]. Επαναλαµβάνουµε το βήµα (β) γιά την παραγωγή του επόµενου αριθµού. Το πρόβληµα της µεθόδου αυτής είναι ότι από κάποιες επαναλήψεις και µετά οι Ζ i συγκλίνουν προς το 0. 8

20 2.3.. Γραµµικές γεννήτριες υπολοίπων (linear congruential generators) Ο τύπος τους είναι U i = Z i / n Z i = (αz i +γ) mod n, (2.) όπου x mod n συµβολίζει το υπόλοιπο της διαιρέσεως του x διά n, ο Z o είναι ακέραιος < n που λέγεται σπόρος (seed), και U i U(0,). Οι αριθµοί Z i είναι ακέραιοι < n. Οι υπόλοιποι αριθµοί είναι ακέραιοι και ικανοποιούν τις σχέσεις n > 0, α < n, και γ < n. Αποδεικνύεται ότι η ακολουθία {Z i } είναι περιοδική µε περίοδο p n. Οταν p=n η γεννήτρια έχει πλήρη περίοδο και στην περίπτωση αυτή έχει µεγάλη ποικιλία διαφορετικών αριθµών Z i. Το ακόλουθο θεώρηµα καθορίζει τη συνθήκη πλήρους περιόδου. Θεώρηµα 2. Η γεννήτρια (2.) έχει πλήρη περίοδο αν και µόνο εάν ισχύουν οι συνθήκες: α. Ο µόνος φυσικός αριθµός που διαιρεί τα n και γ είναι ο. β. Αν q είναι κάποιος πρώτος αριθµός που διαιρεί το n, τότε διαιρεί και το α. γ. Αν το 4 διαιρεί το n, τότε διαιρεί και το α. ύο γεννήτριες µε ικανοποιητική συµπεριφορά είναι οι ακόλουθες: Z i = (5 5 Z i + ) mod 2 35, Z i = ( Z i ) mod 2 3. Οταν γ=0 έχουµε την περίπτωση των πολλαπλασιαστικών γεννητριών οι οποίες δεν είναι πλήρους περιόδου. Ωστόσο χρησιµοποιούνται γιατί απαιτούν µία πρόσθεση λιγότερη και επί πλέον µπορεί να έχουν ασφαλώς µεγάλη περίοδο αν ικανοποιούν το ακόλουθο. Θεώρηµα 2.2 Η γεννήτρια (2.) µε γ=0 έχει περίοδο p=n αν ισχύουν: α. Το n είναι πρώτος αριθµός. β. Ο µικρότερος ακέραιος k γιά τον οποίον το α k διαιρείται από το n, είναι ο k=n. Γεννήτριες περιόδου n είναι οι Z i = (7 5 Z i ) mod (2 3 ), Z i = ( Z i ) mod (2 3 ). Για τη δεύτερη γεννήτρια ο αλγόριθµος σε κώδικα FORTRAN παρουσιάζεται στη 9

21 συνέχεια (το C δηλώνει σχόλιο) FUNCTION RAND(Z) C******************************************************* C THIS FUNCTION GENERATES UNIFORM (0,) RANDOM NUMBERS * C******************************************************* INTEGER*4 Z,A,A2,P,B5,B6,XHI,XALO,LEFTLO,FHI,K DATA B5/32768/,B6/65536/,P/ / DATA A/242/,A2/2643/ XHI=Z/B6 XALO=(Z-XHI*B6)*A LEFTLO=XALO/B6 FHI=XHI*A+LEFTLO K=FHI/B5 Z=(((XALO-LEFTLO*B6)-P)+(FHI-K*B5)*B6)+K IF(Z.LT.0)Z=Z+P XHI=Z/B6 XALO=(Z-XHI*B6)*A2 LEFTLO=XALO/B6 FHI=XHI*A2+LEFTLO K=FHI/B5 Z=(((XALO-LEFTLO*B6)-P)+(FHI-K*B5)*B6)+K IF(Z.LT.0)Z=Z+P RAND=(2*(Z/256)+)/ RETURN END Η γεννήτρια καλείται όπως οι συναρτήσεις ( πχ. U=COS(Z) ). Απαιτείται µόνον ο καθορισµός του αρχικού σπόρου Z (= Ζ i ) πριν από την πρώτη κλήση της. Σε κάθε επόµενη κλήση η ενηµέρωση των νέων τιµών Ζ (= Z i ) γίνεται αυτόµατα µέσα στην συνάρτηση. Το πρόγραµµα είναι µεγάλο διότι εκτελεί µε ακρίβεια αριθµητικές πράξεις µε αριθµούς που απαιτούν περισσότερα από 32 bits σε επεξεργαστές των 32 bits (το ο bit χρησιµοποιείται ως πρόσηµο και γιά τον µέγιστο θετικό ακέραιο =

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

Προσομοίωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Προσομοίωση 7.1 Συστήματα και πρότυπα συστημάτων 7.2 Η διαδικασία της προσομοίωσης 7.3 Ανάπτυξη προτύπων διακριτών γεγονότων 7.4 Τυχαίοι αριθμοί 7.5 Δείγματα από τυχαίες μεταβλητές 7.6 Προσομοίωση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τι ορίζεται ως απόθεμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ 7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ Για να αναπτυχθούν οι βασικές έννοιες της δυναμικής του εργοστασίου εισάγουμε εδώ ορισμένους όρους πέραν αυτών που έχουν ήδη αναφερθεί σε προηγούμενα Κεφάλαια π.χ. είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου

ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου Συγκέντρωση/Οµαδοποίηση Πόρων Τα συστήµατα απευθύνονται σε µεγάλο πλήθος χρηστών Η συγκέντρωση (trunking) ή αλλιώς οµαδοποίηση των διαθέσιµων καναλιών επιτρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα