ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. Σηµειώσεις µαθήµατος. Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου. Σεπτέµβριος 2002

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. Σηµειώσεις µαθήµατος. Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου. Σεπτέµβριος 2002"

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Σηµειώσεις µαθήµατος Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου Σεπτέµβριος 2002

2 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΛΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ YBΡΙ ΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ MONTE CARLO ΓENNHTΡΙΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ OMOIOMOΡΦΗΣ (0,) ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ: U(0,) Γραµµικές γεννήτριες υπολοίπων Γεννήτριες TAUSWORTHE Έλεγχοι τυχαιότητας ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΑΛΛΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Αντίστροφος µετασχηµατισµός Σύνθεση συναρτήσεων - Συνέλιξη συναρτήσεων Μέθοδος αποδοχής-απορρίψεως Kανονική κατανοµή Ν(0,) - Ευρετικές µέθοδοι Κατανοµή Γάµµα, gamma(α,β) Χρονικά µεταβαλλόµενες διαδικασίες - Αφίξεις Poisson ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙTΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Περιγραφή Mοντέλο διακριτών γεγονότων ΣΕΙΡΙΑΚΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΛΙΣΤΩΝ ΙΚΤΥΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ (Queueing Networks) Περιγραφή Μοντέλο διακριτών γεγονότων...45

3 Μέτρα απόδοσης δικτύων αναµονής ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕ ΠΟΛΛΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ ΠΕΛΑΤΩΝ Περιγραφή Μοντέλο διακριτών γεγονότων ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV Θεωρητικά Μοντέλο διακριτών γεγονότων ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Oριακά θεωρήµατα Εκτίµηση µέσου, διασποράς και συσχετίσεων ιαστήµατα εµπιστοσύνης και έλεγχοι υποθέσεων για τον µέσο Σύγκριση συστηµάτων Στατιστικός προσδιορισµός του πλήθους προσοµοιώσεων Εκτίµηση µόνιµης κατάστασης - Εξάλειψη µεταβατικών φαινοµένων ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΕΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Τεχνική κοινών τυχαίων αριθµών (common random numbers) Αντιθετικές µεταβλητές (antithetic variates) Μεταβλητές ελέγχου (control variates) ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΣΕ ΑΝΑΜΟΝΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΡΥΘΜΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ Οι θεµελιώδεις εξισώσεις Ο αλγόριθµος ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ ΡΟΪΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Περιγραφή αλγόριθµου προσοµοίωσης Ενηµέρωση µεταβλητών κατάστασης

4 Προσαρµογή µεταβλητών Ακαριαίες µεταβολές καταστάσεων χωρίς εκτέλεση νέου γεγονότος Προγραµµατισµός επόµενων γεγονότων Aνάλυση διαταραχών Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΩΡΟΛΟΓΙΟΥ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ρυθµοί εξυπηρέτησης Χωρητικότητες χώρων αναµονής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ SIMSCRIPT II H MEΘΟ ΟΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑΣ ΟΜΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SIMSCRIPT II ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ιαδικασία (PROCESS) Πόρος (RESOURCE) Αντικείµενα (ENTITIES) Γεννήτριες τυχαίων αριθµών Υπολογισµοί µέσων τιµών των µεταβλητών Άλλες εντολές ελέγχου ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Μ Μ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΝΟΣ ΝΑΥΣΤΑΘΜΟΥ Περιγραφή Συµβολισµοί Πρόγραµµα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Sun ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ Εργαστήριο Εργαστήριο Εργαστήριο Εργαστήριο EΡΓΑΣΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ Ε 2 Ε 2 (Κ+2)

5 7.2. ΣΥΣΤΗΜΑ Ε 2 Ε 2 Ν διαφορετικοί εξυπηρετούντες ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ AΛΥΣΙ Α MARKOV ΣΕΙΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ - Α ΣΕΙΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ - Β ΡΟΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΟ ΜΗΧΑΝΩΝ ΑΣΤΙΚΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΣΕ ΕΝΑ ΑΕΡΟ ΡΟΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΤΑ ΠΑΡΤΙ ΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΥΟ ΤΥΠΟΥΣ ΠΕΛΑΤΩΝ Υ ΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΣ ΣΤΑΘΜΟΣ ΙΚΤΥΟ JACKSON ΙΚΤΥΟ JACKSON ΓΕΝΕΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΝΑΥΣΤΑΘΜΟΣ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤHΡΙΟ ΣYΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓHΣ YΟ ΠΡΟΪOΝΤΩΝ, ΜΕ ΠΡΟΤΕΡΑΙOΤΗΤΕΣ ΕΚΤEΛΕΣΗ EΡΓΟΥ (PROJECT) ΤΡAΠΕΖΑ Β Ι Β Λ Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Ανασκόπηση Θεωρίας Ουρών ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

6 . ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΛΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Προσοµοίωση (simulation) είναι η µίµηση της λειτουργίας συστηµάτων ή της εξέλιξης διαδικασιών µέσα στο χρόνο µε τη βοήθεια υπολογιστή. ιαδικασία ή σύστηµα ονοµάζεται ένα σύνολο στοιχείων τα οποία εξελίσσονται και αλληλεπιδρούν σύµφωνα µε κάποιους κανόνες. Οι κανόνες αυτοί εκφράζονται µε µαθηµατικές ή λογικές σχέσεις, και αποτελούν το µοντέλο του συστήµατος. Κατάσταση είναι το σύνολο των µεταβλητών οι οποίες δίνουν την απαραίτητη πληροφορία για την περιγραφή του συστήµατος. Παράδειγµα.. Η κίνηση υλικού σηµείου µάζας m επάνω σε µία ευθεία υπό την επίδραση σταθερής δύναµης F, περιγράφεται από το διάνυσµα s(t) υ(t) = θέση τη χρονική στιγµή t ταχύτητα τη χρονική στιγµή t το οποίο είναι το διάνυσµα καταστάσεως. Το µοντέλο του συστήµατος "υλικό σηµείο υπό την επίδραση δύναµης" δίδεται από τις σχέσεις υ(0) = υ 0 0, υ () t s(0) = s, s(t) = s 0 F = υ0 + t m F + υ0t+ t 2 m Στις εκφράσεις αυτές, οι s 0, υ 0 είναι οι τιµές της µετατόπισης και ταχύτητας τη χρονική στιγµή 0 και m είναι η µάζα του υλικού σηµείου. 2 Αν οι σχέσεις που περιγράφουν την εξέλιξη του συστήµατος είναι απλές, όπως αυτές του παραδείγµατος, τότε είναι δυνατή η εύρεση λύσεων κλειστής µορφής, οπότε λέµε ότι το µοντέλο επιλύεται αναλυτικά. Ωστόσο τα περισσότερα συστήµατα έχουν διάνυσµα κατάστασης µεγάλων διαστάσεων και περιγράφονται από πολύπλοκα µοντέλα των οποίων η αναλυτική επίλυση είναι αδύνατη. Για τη µελέτη τους εφαρµόζονται οι λεγόµενες αριθµητικές µέθοδοι. Τέτοιες είναι η αριθµητική ανάλυση και η προσοµοίωση. Η προσοµοίωση συνίσταται στην ανάπτυξη ενός µοντέλου του υπό εξέταση συστήµατος µε τη µορφή προγράµµατος σε υπολογιστή και στην εκτέλεση ενός (ή περισσοτέρων) πειράµατος το οποίο καταγράφει την κατάσταση του συστήµατος σε διαδοχικές χρονικές στιγµές αποτυπώνοντας ένα πιθανό σενάριο εξέλιξης του συστήµατος στο χρόνο. Η προσοµοίωση ευρίσκει εφαρµογές στην ανάλυση και σχεδίαση συστηµάτων παραγωγής (βιοµηχανία) στον έλεγχο αποθεµάτων (βιοµηχανία, εµπορικές επιχειρήσεις) στη µελέτη κυκλοφοριακών συστηµάτων (οδικό δίκτυο, αεροδρόµια) 5

7 στη µελέτη συστηµάτων εξυπηρετήσεως πελατών (τράπεζες, νοσοκοµεία, τηλεπικοινωνίες) στην αξιολόγηση αποφάσεων υπό αβεβαιότητα (χρηµατιστήριο, επενδύσεις, marketing). Με την προσοµοίωση µπορεί κανείς να αξιολογήσει την αποτελεσµατικότητα ή απόδοση ενός συστήµατος πριν αυτό κατασκευασθεί µε σκοπό τη βέλτιστη σχεδίασή του. Παράδειγµα.2. Μία µηχανή παράγει ένα κοµµάτι την ώρα. Στο τέλος κάθε ώρας γίνεται επιθεώρηση του κοµµατιού που εξέρχεται από τη µηχανή. Με πιθανότητα µ, το κοµµάτι περνά µε επιτυχία από τον έλεγχο, διαφορετικά επιστρέφει στη µηχανή γιά επανεπεξεργασία µίας ακόµη ώρας. Ζητάµε το µέσο ρυθµό παραγωγής της R όταν λειτουργήσει Τ ώρες συνολικά. Γιά την εκτέλεση του αλγορίθµου προσοµοίωσης στον υπολογιστή αναπτύσσεται ένα βοηθητικό πρόγραµµα το οποίο όταν καλείται δίδει το αποτέλεσµα Ε της επιθεώρησης ενός κοµµατιού (ελαττωµατικό: Ε = 0 µε πιθανότητα µ, αποδεκτό: Ε = µε πιθανότητα µ). Τέτοια προγράµµατα ονοµάζονται γεννήτριες τυχαίων αριθµών (random number generators) και θα εξετασθούν σε επόµενο κεφάλαιο. Ο αλγόριθµος είναι ο εξής: (στα προγράµµατα, η εντολή τ = τ + x σηµαίνει ότι η τιµή της τ αυξάνεται κατά x). ΑΡΧΗ t = 0...(χρόνος) Ν = 0...(παραγωγή) 2. ΕΠΟΜΕΝΟ ΓΕΓΟΝΟΣ = ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΚΟΜΜΑΤΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ t = t +...(συµπλήρωση µίας ακόµη ώρας) ΑΝ t > Τ, ΤΟΤΕ πήγαινε στο (3) και περάτωσε την προσοµοίωση Ε = Γεννήτρια Τυχαίων Αριθµών...(αποτέλεσµα επιθεώρησης: 0 ή ) Ν = Ν + Ε...(ίδιο µε την εντολή ΑΝ Ε =, ΤΟΤΕ Ν = Ν + ) Επανάλαβε το βήµα (2) 3. ΤΕΛΟΣ R = N/Τ Το παράδειγµα αυτό δείχνει µία εφαρµογή της προσοµοίωσης στην ανάλυση συστήµατος παραγωγής. Σχεδίαση είναι το πρόβληµα του καθορισµού των παραµέτρων από ένα σύνολο εναλλακτικών επιλογών ώστε η λειτουργία του συστήµατος να είναι η βέλτιστη δυνατή. Στην περίπτωση του παραδείγµατος, το πρόβληµα της σχεδίασης ανακύπτει όταν υπάρχει ένα σύνολο εναλλακτικών µηχανών κάθε µία από τις οποίες έχει διαφορετική διάρκεια κύκλου κατεργασίας, πιθανότητα παραγωγής ελαττωµατικού, αλλά και διαφορετικό κόστος αγοράς, λειτουργίας και συντήρησης. Τότε απαιτείται µία προσοµοίωση γιά κάθε µηχανή, ώστε να υπολογισθούν οι µέσοι ρυθµοί παραγωγής των, 6

8 να γίνει ανάλυση κόστους-αποτελέσµατος και να ευρεθεί η βέλτιστη επιλογή. Σηµειώστε ότι το παράδειγµα αυτό επιλύεται αναλυτικά: όταν T, τότε R = µ..2. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ανάλογα µε το αν παρουσιάζουν διαχρονική εξέλιξη, τα συστήµατα διακρίνονται σε δυναµικά και στατικά (dynamic/static). υναµικό είναι το σύστηµα του οποίου η κατάσταση είναι συνάρτηση του χρόνου. Τα συστήµατα των παραδειγµάτων. και.2 είναι δυναµικά. Στατικό, αντίθετα, είναι το σύστηµα το οποίο δεν εµφανίζει εξέλιξη (δεν µεταβάλλεται) µε την πάροδο του χρόνου. 'Ενα εκκρεµές στη θέση ισορροπίας, το αποτέλεσµα της ρίψης ενός νοµίσµατος, ένα σύστηµα εξισώσεων, είναι στατικά συστήµατα. Τα δυναµικά συστήµατα διακρίνονται σε συστήµατα διακριτού χρόνου (discretetime systems), συστήµατα συνεχούς χρόνου (continuous-time systems) και υβριδικά συστήµατα (hybrid systems). Στα συστήµατα διακριτού χρόνου η κατάσταση µεταβάλλεται βηµατικά (απότοµα) σε διακριτές χρονικές στιγµές t, t 2, t 3,..., ενώ παραµένει σταθερή στα διαστήµατα [t,t 2 ), [t 2, t 3 ),... ΣΥΣΤΗΜΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: t k+ = t k + F S [x(t k ), t k ] x(t k+ ) = F D [x(t k ), t k+ ] όπου F D, F S είναι κατάλληλες συναρτήσεις Συνεχές είναι το σύστηµα του οποίου η κατάσταση είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου. Η διαχρονική συµπεριφορά συνεχών συστηµάτων περιγράφεται συνήθως από διαφορικές εξισώσεις. ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ: dx(t) dt όπου F C είναι κατάλληλη συνάρτηση = F C [x(t),t] Στην πράξη σπάνια συναντάµε αµιγώς διακριτά ή αµιγώς συνεχή συστήµατα. Στα συνήθη συστήµατα η κατάσταση είναι κατά διαστήµατα συνεχής συνάρτηση του χρόνου και κάποιες χρονικές στιγµές παρουσιάζει βηµατικές (απότοµες) µεταβολές. Τα συστήµατα αυτά ονοµάζονται υβριδικά. Στα υβριδικά συστήµατα η κατάσταση µεταβάλλεται βηµατικά (απότοµα) σε διακριτές χρονικές στιγµές t, t 2, t 3,..., και συνεχώς στα διαστήµατα [t, t 2 ), [t 2, t 3 ),... ΥΒΡΙ ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ: t k+ = t k + F S [x(t k ), t k ] 7

9 dx(t) = F C [x(t), t], για κάθε t [t k, t k+ ) dt x(t k+ ) = F D [x(t k+), t k+ ] Αν τη στιγµή t 0 = 0 η κατάσταση x(t 0 ) είναι γνωστή, τότε η πρώτη εξίσωση µας δίνει το χρόνο t, από τη δεύτερη υπολογίζουµε την x(t ) και από την τρίτη την x(t ). Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία για όλες τις χρονικές στιγµές t, t 2, µέχρι το τέλος της προσοµοίωσης. Τα συστήµατα διακρίνονται επίσης σε στοχαστικά και αιτιοκρατικά (stochastic/deterministic). Αν το µοντέλο του συστήµατος είναι συνάρτηση γνωστών παραµέτρων ξ τότε το σύστηµα είναι αιτιοκρατικό. Για παράδειγµα, το ξ µπορεί να συµβολίζει το ρυθµό παραγωγής µίας µηχανής, ή το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ διαδοχικών αφίξεων πελατών σε ένα σύστηµα εξυπηρέτησης. Τα προηγούµενα µοντέλα ήταν όλα αιτιοκρατικά, ωστόσο οι παράµετροι ξ παρελείφθησαν για λόγους απλούστευσης. Αν οι παράµετροι ξ εµφανίζουν τυχαίες µεταβολές τότε είναι στοχαστικό. Έχουµε λοιπόν για το ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: t k+ = t k + F S [x(t k ), ν k, t k ] x(t k+ ) = F D [x(t k ), ξ k+, t k+ ] όπου ν k και ξ k είναι ακολουθίες τυχαίων µεταβλητών (στοχαστικές διαδικασίες). Για παράδειγµα, αν x(t) συµβολίζει τη συνολική παραγωγή µίας µηχανής µέχρι τη στιγµή t, t k είναι ο χρόνος στον οποίο συµβαίνει η k-οστή βλάβη, ν k είναι το διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ της k-οστής βλάβης και της (k + )-οστής και ξ k+ είναι η συνολική παραγωγή της µηχανής στο διάστηµα αυτό, τότε t k+ = t k + ν k x(t k+ ) = x(t k ) + ξ k+ Αντίστοιχα µπορούµε να ορίσουµε ένα ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ: dx(t) = F C [x(t), w(t), t] dt όπου w(t) είναι στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου. Τέλος έχουµε για το ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΥΒΡΙ ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ: dx(t) = F C [x(t), w(t), t] για κάθε t [t k, t k+ ) dt t k+ = t k + F S [x(t k ), ν k, t k ] 8

10 x(t k+ ) = F D [x(t k+), ξ k+, t k+ ] Το σύστηµα του Παραδείγµατος. είναι δυναµικό, συνεχές και αιτιοκρατικό, ενώ εκείνο του Παραδείγµατος.2 είναι δυναµικό, διακριτό και στοχαστικό. Το επόµενο σχήµα δείχνει τους τρόπους µε τους οποίους µπορεί κανείς να µελετήσει τη λειτουργία ενός συστήµατος. ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΦΥΣΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (π.χ. αεροµοντελισµός) ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Αναλυτική Επίλυση. Προσοµοίωση 2. Αριθµητική Ανάλυση.3. YBΡΙ ΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ Θα δούµε τώρα πώς αναπτύσσεται ένας αλγόριθµος υβριδικών συστηµάτων. Παράδειγµα.3 Μία χηµική βιοµηχανία παράγει υγρό καύσιµο µε ονοµαστικό ρυθµό παραγωγής R. 'Εστω x (t) η ποσότητα καυσίµου που έχει παραχθεί µέχρι τη στιγµή t και x 2 (t) ο ρυθµός παραγωγής καυσίµου. H κατάσταση του συστήµατος περιγράφεται από το ζεύγος [x (t), x 2 (t)]. Οταν το εργοστάσιο λειτουργεί κανονικά τότε x 2 =R (γνωστός σταθερός ρυθµός), ενώ όταν σηµειωθεί κάποια βλάβη η παραγωγή διακόπτεται και x 2 =0. Γιά την x (t) η εξίσωση καταστάσεως είναι t x (t) = x 2 (τ) dτ (.) 0 Τα υβριδικά συστήµατα αποτελούν ειδική κατηγορία των δυναµικών συστηµάτων διακριτών γεγονότων (discrete-event dynamic systems, DEDS). Τα συστήµατα αυτά λειτουργούν ως εξής. Στα διαστήµατα [t k,t k+ ) η κατάσταση µεταβάλλεται µε συνεχή τρόπο. Κάθε στιγµή υπάρχει ένα πλήθος διαφορετικών γεγονότων e, e 2,... τα οποία "συναγωνίζονται" για το ποιό θα συµβεί ενωρίτερα (στα υβριδικά συστήµατα υπάρχει ένα µόνο επικείµενο γεγονός χωρίς συναγωνισµό). Τη στιγµή t k λαµβάνει χώρα ένα γεγονός, έστω το e(t k ). Τότε η κατάσταση του συστήµατος µεταβάλλεται βηµατικά. Λόγω της µεταβολής αυτής, 9

11 καθένα από τα γεγονότα που ευρίσκονται σε ανταγωνισµό εκείνη τη στιγµή επαναπροσδιορίζει τον µελλοντικό χρόνο εµφάνισής του. Έτσι, το γεγονός e i τη στιγµή t k θα "αποκτήσει" ένα νέο χρόνο εµφάνισης Τ i, ο οποίος είναι µία συνάρτηση του t k, της κατάστασης του συστήµατος τη στιγµή εκείνη, του γεγονότος e(t k ) που συνέβη τότε, και άλλων, ενδεχοµένως, παραµέτρων του συστήµατος. Το επόµενο γεγονός του συστήµατος είναι εκείνο που θα συµβεί στο συντοµότερο χρόνο, δηλ. t k+ =mint i. H διαδικασία επαναλαµβάνεται γιά τη στιγµή t k+. Στο παράδειγµα που εξετάσαµε τα γεγονότα είναι οι βλάβες και οι επισκευές του συστήµατος γιατί τότε εµφανίζονται απότοµες µεταβολές στο διάνυσµα κατάστασης πχ. Παραγωγή x (t): Ρυθµός x 2 (t): R t : βλάβη t 2 : επισκευή Χρόνος t Παρατηρήστε ότι άν και έχουµε δύο τύπους γεγονότων, εν τούτοις κάθε στιγµή υπάρχει µόνο ένα επικείµενο γεγονός. Γιά την µελέτη τέτοιων συστηµάτων η προσοµοίωση είναι σήµερα το πλέον αποτελεσµατικό εργαλείο. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ως προσοµοίωση διακριτών γεγονότων (discrete-event simulation). Ενα πρόγραµµα προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων περιέχει τις ακόλουθες µεταβλητές (σε παρένθεση αναφέρονται οι µεταβλητές του παραδείγµατος): Ρολόϊ προσοµοίωσης: Μία µεταβλητή που δίνει τον τρέχοντα χρόνο t (=ΤΩΡΑ). Κατάσταση του συστήµατος: Συλλογή µεταβλητών γιά την περιγραφή του συστήµατος (µεταβλητές: x i (t)). Εξισώσεις καταστάσεως: ίδουν τη µεταβολή των µεταβλητών καταστάσεως µε την πάροδο του χρόνου (Εξ. (.)). Χρόνος προηγούµενου γεγονότος: Η αµέσως προηγούµενη στιγµή κατά την οποία σηµειώθηκε βηµατική µεταβολή στο διάνυσµα κατάστασης. Αυτή η µεταβλητή είναι απαραίτητη γιά την "ενηµέρωση" των µεταβλητών κατάστασης, όπως θα δούµε στο επόµενο παράδειγµα. Λίστα επόµενων γεγονότων: Αν το σύστηµα αποτελείται από πολλές συνιστώσες (πχ. 0

12 πολλές µηχανές) τότε σε κάθε µία απ' αυτές µπορεί να συµβεί µία βηµατική µεταβολή στο µέλλον (π.χ. το γεγονός "βλάβη" ή "επισκευή" συνεπάγεται βηµατική µεταβολή του ρυθµού στις τιµές 0 ή R αντίστοιχα). Κάθε στοιχείο της λίστας αναφέρεται σε µία συνιστώσα του συστήµατος. Είναι ένα ζευγάρι που αποτελείται από το είδος και το χρόνο του επόµενου γεγονότος που πρόκειται να συµβεί στη συγκεκριµένη συνιστώσα πχ. (βλάβη, στιγµή που θα συµβεί βλάβη) (επισκευή, χρόνος που θα τελειώσει η επισκευή). Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο αλγόριθµος προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων.. ΑΝΑΓΝΩΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Γιά το παράδειγµα: R, παράµετροι κατανοµής χρόνων ζωής και επισκευής, χρόνος περάτωσης της προσοµοίωσης TSIM 2. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΝΑΡΞΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ρολόϊ t=0 (τώρα) Χρόνος προηγούµενου γεγονότος ΤΠ=0 Καταστάσεις x =0 (στην αρχή δεν υπάρχει παραγωγή), x 2 =R (το σύστηµα λειτουργεί). Το σύστηµα είναι υβριδικό και στη λίστα επόµενων γεγονότων υπάρχει µόνο ένα ζεύγος: (βλάβη, χρόνος T β ), όπου: βλάβη = είδος επόµενου γεγονότος, και Τ β = η χρoνική στιγµή που θα σηµειωθεί η βλάβη = t + (χρόνος ζωής της µηχανής ο οποίος παράγεται από γεννήτρια τυχαίων αριθµών). 3. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΕΠΟΜΕΝΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΟΣ ΤΠ=t Βρές τον µικρότερο από τους χρόνους της λίστας και το αντίστοιχο γεγονός. Αυτό είναι το επόµενο γεγονός γιά όλο το σύστηµα. Θέσε t=χρόνος που θα συµβεί αυτό το γεγονός. [Στο παράδειγµα.3 η λίστα περιέχει µόνο ένα γεγονός και έναν χρόνο τ, άρα: t=τ β ]. Αν t > TSIM, τότε περάτωσε την προσοµοίωση µε το βήµα (6), αλλιώς, κάλεσε την κατάλληλη υπορουτίνα εκτέλεσης γεγονότος (4) ή (5). 4. ΒΛΑΒΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ενηµέρωση µεταβλητών καταστάσεως x x + x 2 (t ΤΠ). Προσαρµογή µεταβλητών καταστάσεως x 2 = 0.

13 Προγραµµατισµός επόµενων γεγονότων στη λίστα Λίστα επόµενων γεγονότων: Επισκευή, Τ ε = t + E, όπου Ε = διάρκεια επισκευής που δίνεται από την γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Επίστρεψε στο βήµα (3) 5. ΕΠΙΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ενηµέρωση µεταβλητών καταστάσεως εν χρειάζεται να υπολογίσουµε την x γιατί κατά την διάρκεια της επισκευής, δηλ. στο διάστηµα [ΤΠ,t), το σύστηµα δεν παράγει. Προσαρµογή µεταβλητών καταστάσεως x 2 = R. Προγραµµατισµός επόµενων γεγονότων στη λίστα Λίστα επόµενων γεγονότων: Bλάβη, Τ β = t k + ΧΖ, όπου ΧΖ = χρόνος ζωής του συστήµατος µέχρι την επόµενη βλάβη, που δίνεται από γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Επίστρεψε στο βήµα (3) 6. ΤΕΛΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ενηµέρωση µεταβλητών καταστάσεως x x + x 2 (TSIM ΤΠ) Mέσος ρυθµός παραγωγής = x / TSIM. Σηµειώστε ότι σε ένα πρόγραµµα προσοµοίωσης οι µεταβλητές καταστάσεως (πχ. x i (t)) αποθηκεύονται ως σταθερές (δηλ. x i ), χωρίς να γίνεται αναφορά στη χρονική τους εξάρτηση..4. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ MONTE CARLO Με τον όρο Monte Carlo χαρακτηρίζεται κάθε αλγόριθµος προσοµοίωσης που χρησιµοποιεί γεννήτριες τυχαίων αριθµών. Ως τέτοια γεννήτρια µπορεί να θεωρηθεί και η ρουλέττα του καζίνο από το οποίο προέρχεται και το όνοµα της µεθόδου. Η προσοµοίωση Monte Carlo εφαρµόσθηκε κατά το δεύτερο παγκόσµιο πόλεµο γιά την ανάπτυξη της ατοµικής βόµβας. Θα αναφέρουµε µία εφαρµογή της, τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος β C = h(x)dx, (.2) α όπου h(x) µία συνάρτηση της οποίας το ολοκλήρωµα δεν µπορεί να υπολογισθεί 2

14 αναλυτικά. Αυτό το πρόβληµα προφανώς είναι αιτιοκρατικό. Θα το λύσουµε µε εργαλεία από τη θεωρία πιθανοτήτων. Εστω Χ µία οµοιόµορφη τ.µ. στο διάστηµα (α, β) (συµβολικά γράφουµε X U(α, β)), και Υ µιά άλλη τ.µ. που δίνεται από τον τύπο Υ = (β α) h(χ). (.3) H Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) = (β α) γιά x (α, β). Η αναµενόµενη τιµή της Υ είναι Ε{Υ} = Ε{(β α)h(x)} = (β α) Ε{h(X)}= β = (β α) h (x) dx (β α) α β = α β ( β α) h(x)f α X (x) dx h (x)dx = C. (.4) Γιά τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος C παράγουµε µία ακολουθία n ανεξάρτητων τυχαίων αριθµών x,..., x n U(α,β). Εφαρµόζοντας την Εξ. (.3) για X = x i, ευρίσκουµε την ακολουθία y,..., y n. Αποδεικνύεται ότι η δειγµατική µέση τιµή Y(n) των y i είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της C, δηλ. Ε{Υ(n)} = C. Πράγµατι, ορίζουµε οπότε Y(n) = n n y i i= n Ε[Υ(n)] = E y i = E(y i ) = C n n n i= n i= n i= = nc n Βλέπουµε ότι η µέση τιµή της Y(n) είναι ίση µε την ποσότητα που ζητάµε. Αλλά όµως και η µέση τιµή ενός µόνον αποτελέσµατος y i ισούται µε την ίδια ποσότητα, C. Τότε γιατί προτιµάµε το µέσο όρο Y(n) αντί µίας µόνο δειγµατικής τιµής y i που έχει λιγότερο υπολογιστικό βάρος; Οι διασπορά µίας εκτιµήτριας Υ(n) ή y i είναι το µέτρο της απόστασής της από τη µέση τιµή C. Παρατηρούµε ότι Var(y i ) = Var(Y) = E[(Y C) 2 ] ενώ, λόγω του ότι οι x i είναι ανεξάρτητες τ.µ., οι y i είναι επίσης ανεξάρτητες οπότε n Var[Y(n)] = Var y i = Var(y i ) = nvar(y) = n n 2 n 2 i= n i= = C. Var(Y) n Συνεπώς για n, η διασπορά της Y(n) τείνει στο 0, οπότε Y(n) C κατά µέσο τετράγωνο. Μπορούµε εποµένως να προσεγγίσουµε το C µε µεγάλη ακρίβεια επιλέγοντας µεγάλο n. Θα εξετάσουµε το πρόβληµα αυτό στο Κεφάλαιο 4. 3

15 2.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2. ΓENNHTΡΙΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Είδαµε ότι για την προσοµοίωση στοχαστικών συστηµάτων απαιτείται η "παραγωγή" τυχαίων αριθµών που ακολουθούν συγκεκριµένες κατανοµές. Το επόµενο παράδειγµα δείχνει πόσο δύσκολο είναι αυτό. Παράδειγµα 2. Επιθυµούµε να παράγουµε µία ακολουθία 0 τυχαίων αριθµών X i που ακολουθούν την κατανοµή Bernoulli: Χ i =, ìε πιθανüτητα 0.5 0, ìε πιθανüτητα 0.5 Ας συγκρίνουµε τις ακολουθίες α) β) γ) ως προς την τυχαιότητα που εµφανίζουν. Στις δύο πρώτες, τα ψηφία εµφανίζονται µε την ίδια συχνότητα µε τα ψηφία 0 και αυτό συµφωνεί µε τις πιθανότητες: Ρ(Χ i =)=5/0=0.5. Η τρίτη ακολουθία έχει µόνο τέσσερα ψηφία ίσα µε. Εν τούτοις κάποιος θα θεωρούσε την ακολουθία (γ) "περισσότερο τυχαία" από την (β) η οποία εµφανίζει κάποια κανονικότητα. Παρατηρήστε ότι και οι τρεις ακολουθίες έχουν την ίδια πιθανότητα να εµφανισθούν: Ρ(α)=Ρ(β)=Ρ(γ)= = 0 3. Η τυχαιότητα είναι ο βαθµός του πόσο ασυνήθιστη ή απίθανη είναι µία ακολουθία. Σε επόµενη παράγραφο θα συζητήσουµε γιά τους στατιστικούς ελέγχους µε τους οποίους µετράµε το βαθµό τυχαιότητας που παρουσιάζουν ακολουθίες αριθµών. Οι γεννήτριες τυχαίων αριθµών (random number generators) είναι µή γραµµικά µοντέλα της µορφής X k = f(x k ), όπου Χ,..., Χ k, Χ k,..., είναι οι διαδοχικοί τυχαίοι αριθµοί. Η συνάρτηση f ειναι τόσο πολύπλοκη ώστε η παρατήρηση και µόνον του αριθµού Χ k δεν αποκαλύπτει την εξάρτησή του από τον X k, δηλ. δεν προδίδει την f(.). Τέτοια µοντέλα ονοµάζονται και χαοτικά. Παραδείγµατα χαοτικών συστηµάτων είναι το κλίµα της γής, η τυρβώδης ροή θερµού υγρού µέσα σε ψυχρό, η κίνηση µιας µύγας στο χώρο κλπ. Τα χαοτικά συστήµατα είναι αιτιοκρατικά, όµως λόγω του ότι η f(.) είναι πολύπλοκη και όχι ακριβώς γνωστή εµφανίζουν ανεξήγητη ή τυχαία συµπεριφορά ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η αναµενόµενη τιµή ή µέσος µίας τ.µ. Χ συµβολίζεται µ Χ ή Ε{Χ} και ορίζεται από την σχέση 4

16 µ Χ = i= Ιδιότητες: Ε{αΧ} = α Ε{Χ}, α R, x i P(X = xi ), αν η Χ είναι διακριτή τ.µ. xf X (x)dx, αν η Χ είναι συνεχής τ.µ. n n E α i X i = α i E{ X i}, όπου α i R και οι Χ i είναι τ.µ. i= i= 2 Η διασπορά της Χ συµβολίζεται σ Χ ή Var{Χ} και ορίζεται από την σχέση σ 2 Χ =Ε{ (Χ µ Χ ) 2 } = Ε{ Χ 2 } (µ Χ ) 2. Η σ Χ ονοµάζεται τυπική απόκλιση της Χ. Ιδιότητες: Var{X) 0, Var{αΧ+β}=α 2 Var{Χ}, α,β R, n n 2 Var α 0 α ix + i = α i Var{ X i }, όπου α i R και οι Χ i είναι i= i= ανεξάρτητες ή έστω ασυσχέτιστες τ.µ. Η συµµεταβλητότητα δύο τ.µ. Χ, Υ είναι ο βαθµός της γραµµικής τους εξάρτησης ή συσχέτισης, συµβολίζεται Cov{X,Y} ή C XY και ορίζεται από τη σχέση C ΧY =Ε{ (Χ µ Χ )(Y µ Υ ) } = Ε{ΧΥ} (µ Χ µ Υ ). Ιδιότητες: Var{αΧ+βΥ}=α 2 Var{Χ}+ β 2 Var{Υ} + 2 α β C XY, α,β R, Αν C ΧY =0, τότε οι Χ και Υ είναι ασυσχέτιστες. Κατανοµές συνεχών τ.µ. (α) Οµοιόµορφη, U(α,β) Χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την µέγιστη τιµή β, και την ελάχιστη τιµή α µίας τ.µ., x [α, β] f(x) = β α 0, αλλού (β) Εκθετική, expo(β) x α F(x)= β α µ=(α+β)/2 σ 2 =(β α) 2 /2 Χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την αναµενόµενη τιµή β, µίας τ.µ. η οποία λαµβάνει τιµές στο (0, ). 5

17 e x / β, x [0, ) β f (x) = 0, αλλού F(x)= e x/β µ=β σ 2 =β 2 (γ) Γάµµα, gamma(α,β) Αποτελεί γενίκευση της εκθετικής. Χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την αναµενόµενη τιµή και τη διασπορά µίας τ.µ. η οποία λαµβάνει τιµές στο (0, ). fx ( ) = β α α e x / β x Γ(α) 0, αλλοý, x [0, ) και F(x)= α e x/ β j= 0 ( x/ β ) j! µ=αβ σ 2 =α β 2 j (εφόσον το α είναι φυσικός), Το Γ(α)= tα e tdt είναι η συνάρτηση Γάµµα του θετικού αριθµού α, µε Γ(α+)=αΓ(α) 0 (αν το α είναι θετικός πραγµατικός), και Γ(α+)=α! (αν το α είναι φυσικός αριθµός). Ιδιότητες: (α) gamma(,β) = expo(β) (β) Αν Υ gamma(α,), τότε η βυ gamma(α,β). (γ) Αν X,..., X n ανεξάρτητες expo(β) τότε το άθροισµά τους (Χ X n ) ακολουθεί την κατανοµή gamma(n,β) η οποία λέγεται κατανοµή n- Erlang(β). (δ) Weibull (α,β,γ) Όπως και η Γάµµα, αποτελεί γενίκευση της εκθετικής και χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την αναµενόµενη τιµή και τη διασπορά µίας τ.µ. η οποία λαµβάνει τιµές στο (γ, ). Ιδιότητες: α x γ αβ α( x γ) α exp, αν x γ α fx ( ) = β x γ, F(x)= exp, β 0, αλλοý µ=γ+ β α Γ α Weibull(,β,0) = expo(β) Aν Χ α expo(β) Χ Weibull(α,β,0) σ 2 = β Γ Γ α α α α Αν γ=0 τότε η κατανοµή γράφεται Weibull(α,β). 6

18 (ε) Κανονική, Ν(µ,σ 2 ) Ιδιότητες: x fx ( ) = exp ( ì ) 2 2πσ2 2σ2 µ=µ σ 2 = σ 2 Αν Χ,Υ ασυσχέτιστες (Cοv(X,Y)=0) και κανονικές τότε είναι και ανεξάρτητες. Αν X i N(µ i,σ 2 i ) τότε η τ.µ. (α Χ +...+α n X n +β) ακολουθεί την κανονική n n n κατανοµή N β+ αiìi, αα i jcov(xi,x j). i= i= j= 2 (στ) Χί Τετράγωνο, χ n Αν X i N(0,) είναι ανεξάρτητες τότε η τ.µ. Χ 2 =Χ Χ 2 n ακολουθεί την κατανοµή Χι-Τετράγωνο µε n βαθµούς ελευθερίας (πίνακας της κατανοµής δίδεται στο παράρτηµα). (ζ) Ταύ, κατανοµή του Student, t n Αν X N(0,) και Υ χ 2 n είναι ανεξάρτητες τότε η τ.µ. Χ/( Υ/ n ) ακολουθεί την κατανοµή Ταυ µε n βαθµούς ελευθερίας (πίνακας της κατανοµής δίδεται στο παράρτηµα). Κατανοµές διακριτών τ.µ. (α) Bernoulli p, αν x = 0 P(X=x)= = p x ( p) x, x {0,}, µ=p, σ 2 =p( p) p, αν x = Παράδειγµα p= πιθανότητα ένα κοµµάτι να ευρεθεί ελαττωµατικό (β) υωνυµική, bin(n,p) Προκύπτει από άθροισµα n ανεξάρτητων πειραµάτων Bernoulli P(X=k)= n k pk ( p) n k, k=0,,...n, µ=np, σ 2 =np( p) Παράδειγµα p= πιθανότητα ένα κοµµάτι να ευρεθεί ελαττωµατικό, Χ = πλήθος ελαττωµατικών σε δείγµα µεγέθους n. (γ) Γεωµετρική, geom(p) Eίναι το τυχαίο πλήθος ανεξάρτητων πειραµάτων Bernoulli µέχρις ότου προκύψει. P(X=k µηδενικά και µετα µία µονάδα)=p ( p) k, k=0,,..., µ=( p)/p, σ 2 =( p)/p 2 Παράδειγµα p= πιθανότητα µηχανή να υποστεί βλάβη κατα την διάρκεια της κατεργασίας ενός κοµµατιού, Χ = πλήθος κοµµατιών που θα παραχθούν µέχρις ότου 7

19 συµβεί η πρώτη βλάβη. (δ) Poisson (λ) Ενδιαφερόµαστε για το πλήθος γεγονότων τα οποία λαµβάνουν χώρα σε ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα, π.χ. (0,t), όταν δύο διαδοχικά γεγονότα απέχουν µεταξύ τους τυχαίο χρόνο µε εκθετική κατανοµή και µέση τιµή β (δηλ. κατανοµή expo(β)). εκθετική τ.µ 0 t t 2 t t k t t k+ Το πλήθος γεγονότων ακολουθεί την κατανοµή Poisson: P(X=k)= λ k e λ, k=0,,..., µ=λ σ 2 =λ, όπου λ=t/β k! Παράδειγµα Χ= πλήθος πελατών που θα φθάσουν στο διάστηµα (0,t) σε µία τράπεζα. Aν ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων εκθετικός µε µέση τιµή β, τότε σε χρόνο t θα φθάσουν t/β πελάτες κατα µέσον όρο ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ OMOIOMOΡΦΗΣ (0,) ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ: U(0,) Η οµοιόµορφη είναι η απλούστερη συνεχής κατανοµή. Εν τούτοις είναι πολύ χρήσιµη γιατί από αυτήν µε κατάλληλους µετασχηµατισµούς µπορούµε να παράγουµε αριθµούς που ακολουθούν άλλες κατανοµές. Μιά παλιά τεχνική παραγωγής U(0,) τ.µ. είναι η µέθοδος κέντρου-τετραγώνου των von Neumann και Metropolis: α. Ξεκινάµε µε έναν 4-ψήφιο φυσικό αριθµό Ζ 0. Θέτουµε i = 0. β. Υψώνουµε τον Ζ i στο τετράγωνο και προκύπτει ένας 8-ψήφιος. Αν τα ψηφία του είναι λιγότερα από 8 συµπληρώνουµε µηδενικά στην αρχή του. Θέτουµε i i+. γ. Αποκόπτουµε τα δύο πρώτα και τα δύο τελευταία ψηφία, και προκύπτει ένας νέος 4- ψήφιος ακέραιος, ο Ζ i. Ο αριθµός U i = Ζ i /0000 είναι ο i-οστός τυχαίος αριθµός. Προφανώς U i [0,]. Επαναλαµβάνουµε το βήµα (β) γιά την παραγωγή του επόµενου αριθµού. Το πρόβληµα της µεθόδου αυτής είναι ότι από κάποιες επαναλήψεις και µετά οι Ζ i συγκλίνουν προς το 0. 8

20 2.3.. Γραµµικές γεννήτριες υπολοίπων (linear congruential generators) Ο τύπος τους είναι U i = Z i / n Z i = (αz i +γ) mod n, (2.) όπου x mod n συµβολίζει το υπόλοιπο της διαιρέσεως του x διά n, ο Z o είναι ακέραιος < n που λέγεται σπόρος (seed), και U i U(0,). Οι αριθµοί Z i είναι ακέραιοι < n. Οι υπόλοιποι αριθµοί είναι ακέραιοι και ικανοποιούν τις σχέσεις n > 0, α < n, και γ < n. Αποδεικνύεται ότι η ακολουθία {Z i } είναι περιοδική µε περίοδο p n. Οταν p=n η γεννήτρια έχει πλήρη περίοδο και στην περίπτωση αυτή έχει µεγάλη ποικιλία διαφορετικών αριθµών Z i. Το ακόλουθο θεώρηµα καθορίζει τη συνθήκη πλήρους περιόδου. Θεώρηµα 2. Η γεννήτρια (2.) έχει πλήρη περίοδο αν και µόνο εάν ισχύουν οι συνθήκες: α. Ο µόνος φυσικός αριθµός που διαιρεί τα n και γ είναι ο. β. Αν q είναι κάποιος πρώτος αριθµός που διαιρεί το n, τότε διαιρεί και το α. γ. Αν το 4 διαιρεί το n, τότε διαιρεί και το α. ύο γεννήτριες µε ικανοποιητική συµπεριφορά είναι οι ακόλουθες: Z i = (5 5 Z i + ) mod 2 35, Z i = ( Z i ) mod 2 3. Οταν γ=0 έχουµε την περίπτωση των πολλαπλασιαστικών γεννητριών οι οποίες δεν είναι πλήρους περιόδου. Ωστόσο χρησιµοποιούνται γιατί απαιτούν µία πρόσθεση λιγότερη και επί πλέον µπορεί να έχουν ασφαλώς µεγάλη περίοδο αν ικανοποιούν το ακόλουθο. Θεώρηµα 2.2 Η γεννήτρια (2.) µε γ=0 έχει περίοδο p=n αν ισχύουν: α. Το n είναι πρώτος αριθµός. β. Ο µικρότερος ακέραιος k γιά τον οποίον το α k διαιρείται από το n, είναι ο k=n. Γεννήτριες περιόδου n είναι οι Z i = (7 5 Z i ) mod (2 3 ), Z i = ( Z i ) mod (2 3 ). Για τη δεύτερη γεννήτρια ο αλγόριθµος σε κώδικα FORTRAN παρουσιάζεται στη 9

21 συνέχεια (το C δηλώνει σχόλιο) FUNCTION RAND(Z) C******************************************************* C THIS FUNCTION GENERATES UNIFORM (0,) RANDOM NUMBERS * C******************************************************* INTEGER*4 Z,A,A2,P,B5,B6,XHI,XALO,LEFTLO,FHI,K DATA B5/32768/,B6/65536/,P/ / DATA A/242/,A2/2643/ XHI=Z/B6 XALO=(Z-XHI*B6)*A LEFTLO=XALO/B6 FHI=XHI*A+LEFTLO K=FHI/B5 Z=(((XALO-LEFTLO*B6)-P)+(FHI-K*B5)*B6)+K IF(Z.LT.0)Z=Z+P XHI=Z/B6 XALO=(Z-XHI*B6)*A2 LEFTLO=XALO/B6 FHI=XHI*A2+LEFTLO K=FHI/B5 Z=(((XALO-LEFTLO*B6)-P)+(FHI-K*B5)*B6)+K IF(Z.LT.0)Z=Z+P RAND=(2*(Z/256)+)/ RETURN END Η γεννήτρια καλείται όπως οι συναρτήσεις ( πχ. U=COS(Z) ). Απαιτείται µόνον ο καθορισµός του αρχικού σπόρου Z (= Ζ i ) πριν από την πρώτη κλήση της. Σε κάθε επόµενη κλήση η ενηµέρωση των νέων τιµών Ζ (= Z i ) γίνεται αυτόµατα µέσα στην συνάρτηση. Το πρόγραµµα είναι µεγάλο διότι εκτελεί µε ακρίβεια αριθµητικές πράξεις µε αριθµούς που απαιτούν περισσότερα από 32 bits σε επεξεργαστές των 32 bits (το ο bit χρησιµοποιείται ως πρόσηµο και γιά τον µέγιστο θετικό ακέραιο =

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012 ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι αποφάσεις σχετικά µε την διαχείριση ή «πολιτική» των αποθεµάτων που πρέπει να πάρει κάποιος, ασχολείται µε το «πόσο» πρέπει να παραγγείλει (ή να παράγει) και «πότε» να παραγγείλει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Εισαγωγή στις έννοιες Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα, Οργάνωση Δεδοµένων και Δοµές Δεδοµένων Χρήσιµοι µαθηµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015

EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 13 Δ. Τουμπακάρης 30 Μαΐου 2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια Παράδοση:

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαροφαλάκης Αν. Καθηγητής ιατύπωση του προβλήματος (1) Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας.

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 21 Μαίου 2009 Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. Επίσης γράψετε το password σας. Στο τέλος της εξέτασης θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν.

Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν. ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα