Δ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, B ΜΕΡΟΣ ( )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, B ΜΕΡΟΣ ( 2.8-2.10)"

Transcript

1 ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, B ΜΕΡΟΣ (.8 -.0) Δημήτρης I. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Ηράκλειο, 9 Iανουαρίου 0 Συνάδελφοι, Το διδακτικό αυτό υλικό είναι συνέχεια των τριών προηγουµένων-βελτιωµένωναρχείων στα Μαθηµατικά κατεύθυνσης, που σας έχω ήδη στείλει, και αναφέρεται στο Β µέρος του διαφορικού λογισµού (ενότητες.8 -.0). Ελπίζω και στις σηµειώσεις αυτές να βρείτε κάτι χρήσιµο στην διδασκαλία και στην επιµόρφωσή σας. Υπενθυµίζω ότι οι σηµειώσεις αυτές δεν απευθύνονται στους µαθητές, αλλά στους καθηγητές και προπάντων σε όσους διδάσκουν το µάθηµα. Ευπρόσδεκτες είναι και δικές σας σχετικές παρατηρήσεις και σχόλια που θα µπορούσαν να εµπλουτίσουν τις σηµειώσεις αυτές. Ένα αντίγραφο του αρχείου αυτού να µείνει όπως πάντα στο σχετικό φάκελο (υλικό και ηλεκτρονικό) του σχολείου. Καλή δύναµη

2 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β Συµπληρώσεις, Παρατηρήσεις, Επισηµάνσεις και Ασκήσεις στο δεύτερο µέρος του ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (.8,.9,.0) A..8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. Σύµφωνα µε τις οδηγίες του Π. Ι., στην ενότητα αυτή «η µελέτη των κυρτών, κοίλων και σηµείων καµπής να περιοριστεί σε συνεχείς συναρτήσεις που είναι δυο τουλάχιστον φορές παραγωγίσιµες σε κάθε εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού τους» (ας την ονοµάσουµε «υπόθεση -έλτα»). Προτείνω η θεωρία να διδαχθεί κατ αρχάς όπως την έχει το βιβλίο (που δεν λαµβάνει υπόψη την υπόθεση ) και µετά να αναφερόµαστε διακριτά, στις συνέπειες της υπόθεσης στα διάφορα θεωρήµατα κλπ, ώστε να µην µπερδεύονται οι µαθητές.. Κίνητρο για την κυρτότητα: η ανάγκη να διακρίνουµε τις γν. µονότονες συναρτήσεις µε το ίδιο είδος µονοτονίας : σε αυτές που «κοιτούν πάνω» και αυτές που «κοιτούν κάτω», αλλά και να διακρίνουµε τα µεγέθη που έχουν αυξανόµενο ή ελαττωµένο ρυθµό µεταβολής. Ποιος θα µας αποκαλύψει το µυστικό τους; Ποιος θα µπει στα άδυτα της γεωµετρικής εποπτείας; εν διαθέτει και πολλά µέσα ο άνθρωπος: µόνο το ιαφορικό Λογισµό! 3. Ορισµός κυρτότητας σελ α.Το «αν» στον ορισµό αυτό, όπως και σε άλλους ορισµούς του βιβλίου, ή το «όταν», έχει, µάλλον καταχρηστικά, την έννοια του «αν και µόνο αν». Αυτό καλό είναι να επισηµαίνεται κατά καιρούς προς αποφυγήν πιθανών παρεξηγήσεων από τους µαθητές. 3β. Εκτός από την γεωµετρική ερµηνεία της κυρτότητας, µέσω της εφαπτοµένης που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο, υπάρχει και η φυσική ερµηνεία της κυρτής (αντίστοιχα κοίλης) συνάρτησης : ο ρυθµός µεταβολής αυξάνεται-η εφαπτοµένη στρέφεται κατά την θετική φορά (αντίστοιχα ελαττώνεται- η εφαπτοµένη στρέφεται κατά την αρνητική φορά) και αυτό µπορεί συµβαίνει µε την συνάρτηση γν. αύξουσα είτε γν. φθίνουσα. 3γ. Η f ενώ είναι γν. µονότονη στο εσωτερικό του, δεν είναι πάντα γν. µονότονη στο (όταν αυτό δεν είναι ανοικτό και είναι παραγωγίσιµη στα άκρα). Αυτό θα συµβαίνει αν π.χ. η f είναι συνεχής στα (πραγµατικά) άκρα του. 3δ. Με δεδοµένο ότι µια συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη σε ένα διάστηµα, εξ ορισµού, είναι συνεχής σ αυτό και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Εποµένως, αν το είναι ανοικτό διάστηµα, τότε είναι παραγωγίσιµη σ αυτό. Αυτό ξεχνιέται συχνά από πολλούς µαθητές και πρέπει να τονιστεί ιδιαίτερα. 3ε.Να αναφερθούµε στην κυρτότητα γνωστών και βασικών συναρτήσεων (y = α, y = 3, h = α, 0< α <, λ = e, = lnt, y = ηµφ, z = συνφ, φ [0, π]) που παραλείπει το βιβλίο.

3 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β 3 4. Σχόλιο σελ. 74 Ειδική επισήµανση και υπογράµµιση του πρώτου σχολίου της σελ. 74, το οποίο είναι χρησιµότατο: βοηθά στην απόδειξη ανισοταυτοτήτων και στον υπολογισµό εµβαδών. Να τονιστεί στους µαθητές ότι µπορούν να το χρησιµοποιούν στις ασκήσεις, χωρίς απόδειξη. Η απόδειξή του καλό είναι να δοθεί ως άσκηση: Αν T() κυρτή στο (α, β) και ξ (α, β) τότε T() T(ξ) + ( - ξ)t (ξ), (α, β) Αν L() κοίλη στο (α, β) και ξ (α, β) τότε L() L(ξ) +( ξ)l (ξ)), (α, β), µε ισότητες µόνο για = ξ. Άλλο γεωµετρικό χαρακτηριστικό µιας κυρτής (κοίλης ) συνάρτησης: µια οποιαδήποτε χορδή της ΑΒ βρίσκεται πάνω (κάτω) από την γ. π. µε άκρα τα Α, Β. (βλ. άσκηση 3(β)) 5. Στο θεώρηµα της σελ. 74. Το αντίστροφό του δεν ισχύει, όπως αναφέρεται και στο σχόλιο του βιβλίου. Είναι εντελώς όµοιο µε το θεώρηµα µονοτονίας. Αυτό που ισχύει και εδώ είναι ότι: αν f κυρτή στο διάστηµα (α, β) και διπλά παραγωγίσιµη, τότε f () 0 για κάθε (α, β). To συχνό λάθος των µαθητών, «για να είναι η f κυρτή πρέπει f ()>0...» είναι καλό ευθύς εξ αρχής να το επισηµάνουµε. Επ ευκαιρία πρέπει να έχουµε υπόψη ότι, µε το «πρέπει να ισχύει» εκφράζεται µια αναγκαία συνθήκη (και όχι ικανή). Να τονιστεί η σηµασία του αυτή και σε άλλες περιπτώσεις στα Μαθηµατικά, ώστε να χρησιµοποιείται όσο το δυνατόν λιγότερο και σωστά. 6. i) Στον ορισµό του σηµείου καµπής, σελίδα 75. Ο ορισµός του βιβλίου διατυπώνεται για να καλύψει και την περίπτωση της κατακόρυφης εφαπτοµένης που υπάρχει στο βιβλίο. Εφόσον όµως έχει παραλειφθεί από την εξεταστέα ύλη η κατακόρυφη εφαπτοµένη και πολύ περισσότερο εφόσον ισχύει η «υπόθεση», η εφαπτοµένη στο σηµείο Α( 0, f( 0 )) είναι µόνο πλάγια (ή οριζόντια), δηλαδή η f είναι παραγωγίσιµη στο 0. Έτσι δεν πρέπει να λάβουµε υπόψη την εξαίρεση της παραγωγισιµότητας της f στο σηµείο 0, δηλαδή ο ορισµός πρέπει να διατυπωθεί τελικά µε την f παραγωγίσιµη στο (α, β). ii) Επισηµαίνουµε τέλος ότι τα σηµεία καµπής είναι µόνο σε εσωτερικά σηµεία των διαστηµάτων του πεδίου ορισµού, ενώ τα τοπικά ακρότατα µπορεί να είναι και σε άκρα. iii) Με δεδοµένο ότι ένα σηµείο (κ, f(κ)) είναι σηµείο καµπής µιας συνάρτησης, εξυπακούεται (από τον ορισµό) ότι η f παραγωγίζεται σε ένα ανοικτό διάστηµα που περιέχει το κ και η f διατηρεί διαφορετικό είδος µονοτονίας εκατέρωθεν του κ στο διάστηµα αυτό. Κάτι ανάλογο δεν συµβαίνει στην περίπτωση ακρότατου σε θέση ξ: δεν διατηρείται η µονοτονία της f εκατέρωθεν του ξ, όπως έχουµε ήδη επισηµάνει στις παρατηρήσεις του Α µέρους. iv) Να επισηµάνουµε και την συχνή χρήση στη καθηµερινή ζωή εκφράσεων που περιέχουν τις λέξεις «σηµείο καµπής», π.χ. λέει κάποιος: «ο γάµος µου ήταν ένα σηµείο καµπής για την ζωή µου» κλπ.

4 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β 4 v) Η µοναδικότητα του σηµείου καµπής µιας συνάρτησης σ ένα διάστηµα, συχνά εξασφαλίζεται από την (γνήσια) µονοτονία της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης στο διάστηµα αυτό. Μια ειδική περίπτωση έχουµε στη περίπτωση πολυωνυµικής συνάρτησης που αρκεί η τρίτη παράγωγός της να µην µηδενίζεται στο διάστηµα αυτό (;). 7. Σχετικά µε το θεώρηµα της σελ. 75. α) Υποθέτει την συνάρτηση διπλά παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (α, β) που περιέχει το 0, αλλά αρκεί να είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) και διπλά παραγωγίσιµη (µόνο) στο 0. Το θεώρηµα εκφράζει µια αναγκαία (µόνο) συνθήκη για να είναι το σηµείο ( 0, f( 0 )) σηµείο καµπής. Ουσιαστικά είναι ένα πόρισµα του θ. Fermat, αφού στην περίπτωση αυτή η f είναι συνεχής στο 0 και αλλάζει µονοτονία, οπότε έχει ακρότατο στη θέση 0 κλπ. β) Το αντίστροφο του θεωρήµατος δεν ισχύει: κάθε ρίζα της δεύτερης παραγώγου δεν είναι θέση σηµείου καµπής, κατ αναλογία µε το ότι κάθε ρίζα της πρώτης παραγώγου δεν είναι θέση τοπ. ακρότατου. Απαιτείται και η αλλαγή της µονοτονίας της f εκατέρωθεν του 0 (θεώρηµα της σελ. 76). Έτσι οι ρίζες της δεύτερης παραγώγου είναι οι µόνες πιθανές θέσεις σηµείων καµπής, λαµβάνοντας υπόψη και την «υπόθεση» (διαφορετικά έχοµε και τα σηµεία που δεν υπάρχει η δεύτερη παράγωγος ως πιθανά σηµεία καµπής). 8. Σχετικά µε το θεώρηµα της σελ. 76. i) Μας δίνει µια ικανή συνθήκη σηµείου καµπής. Το αντίστροφό του δεν ισχύει, ακόµη και µε την f διπλά παραγωγίσιµη στο (α, β). Αυτό συµβαίνει γιατί αν η f είναι π.χ. γν. αύξουσα αριστερά κοντά του 0, δεν συνεπάγεται ότι η f είναι θετική, µπορεί ως γνωστό και να µηδενίζεται. ii) Στη θέση 0 η συνάρτηση για µας παραγωγίζεται, όπως έχουµε επισηµάνει και στον ορισµό του σηµείο καµπής. Βέβαια γενικά η συνάρτηση θα µπορούσε να µην έχει πρώτη παράγωγο στο 0, αλλά να έχει κατακόρυφη εφαπτοµένη (άπειρο παράγωγο). iii) Το θεώρηµα αυτό συνδυάζεται στην πράξη µε το προηγούµενο: εντοπίζονται πρώτα οι ρίζες της δεύτερης παραγώγου (πιθανά σ. κ.) και στην συνέχεια το πρόσηµο της f εκατέρωθεν κάθε µιας. iv) H υπόθεση στο θεώρηµα, να υπάρχει εφαπτοµένη στο Α( 0, f( 0 )), είναι απαραίτητη, έστω και αν είναι συνεχής και αλλάζει κυρτότητα εκατέρωθεν του 0 : Η συνάρτηση Σ() =,, < 0 0 είναι συνεχής στο διάστηµα (-, + ) και έχει Σ () =, / 4 < 0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0. Αλλάζει κυρτότητα, > 0 εκατέρωθεν του 0, αλλά δεν έχει εφαπτοµένη στη θέση 0. Έτσι δεν έχει σηµείο καµπής στη θέση Ισχυρισµός: ένα σηµείο καµπής (κ, f(κ)) της f είναι πάντα ακρότατο για την f. Αυτό ισχύει µε την προϋπόθεση ότι η f είναι συνεχής στο σηµείο κ. Άρα δεδοµένης της «υπόθεσης» αυτό είναι αληθές.

5 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β 5 0. Ισχυρισµός: Ένα τοπικό ακρότατο δεν µπορεί να είναι και σηµείο καµπής. Εποπτικά φαίνεται αληθής. Ας δούµε αν είναι πραγµατικά αληθής. Αν το ακρότατο είναι σε άκρο διαστήµατος, τότε προφανώς δεν µπορεί να είναι σηµείο καµπής. Έστω τώρα ότι η θέση του τοπικού ακροτάτου είναι σε εσωτερικό σηµείο ξ (α, β) και συγχρόνως είναι θέση σηµείου καµπής. Ας πάρουµε και την φ διπλά παραγωγίσιµη στο (α, β). Λόγω ακροτάτου έχοµε φ (ξ) = 0. Έστω στο (κ, ξ) κυρτή και στο (ξ, λ) κοίλη, α < κ < ξ < λ < β. Τότε επειδή φ συνεχής στο ξ, η φ είναι γν. αύξουσα στο (κ, ξ], οπότε φ (χ) < φ (ξ) = 0 για χ (κ, ξ), ενώ φ (χ) < φ (ξ) = 0 για χ (ξ, λ). Άρα η φ διατηρεί πρόσηµο στο (κ, ξ) (ξ, λ) οπότε η φ δεν έχει ακρότατο στη θέση ξ, άτοπο. Παρατηρείστε ότι από την υπόθεση «φ διπλά παραγωγίσιµη στο (α, β)», χρησιµοποιήθηκε µόνο η συνέχεια της φ στο ξ..ερώτηση συναδέλφου: Στην άσκηση 5, σελ.79, αναφέρεται ως διάστηµα ορισµού της f το (-, ), το οποίο όµως δεν χρησιµοποιείται στην απόδειξη. Ποιος είναι ο ρόλος του εκεί; Η y = f() από την δοσµένη σχέση δίνεται ως λύση της εξίσωσης y -y+ -3 = 0. Έτσι για να υπάρχουν y R πρέπει και αρκεί η διακρίνουσα να είναι µη αρνητική, ισοδύναµα [-, ]. Αν = -, τότε y=, ενώ αν (-, ) υπάρχουν y R (και είναι συνάρτηση του ). Αυτή η άσκηση µπορεί να συµπληρωθεί µε ένα ενδιαφέρον ερώτηµα: να βρεθούν οι (συνεχείς τουλάχιστον) συναρτήσεις f(), (-, ) (ή [-, ]) που έχουν αυτή τη ιδιότητα (υπ. (f() - ) = 4 -, διατήρηση προσήµου κλπ) Β..9 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL Ιστορικά στοιχεία: Ο Γάλλος Μαθηµατικός De L Hospital (66-704) ήταν µαθητής του Johann Βernoulli και έχει εκφραστεί η υποψία ότι µάλλον σ αυτόν να οφείλονται οι κανόνες αυτοί. Πάντως οι κανόνες διατυπώθηκαν πρώτα γεωµετρικά και όχι αυστηρά, ενώ η αυστηρή διατύπωση και απόδειξή τους έγινε πολύ αργότερα, τον 9 ο αιώνα.. Οι κανόνες De L Hospital (D - L) είναι προτιµότερο να διδαχθούν πριν τις ασύµπτωτες, ώστε να υπάρχει µεγαλύτερη ευχέρεια στην αντιµετώπιση δύσκολων ορίων. 3. Α. Στα θεωρήµατα και είναι επιβεβληµένο να επισηµάνουµε την αυστηρή τήρηση όλων των υποθέσεων των θεωρηµάτων, ειδάλλως µπορεί να οδηγηθούµε σε λάθη και παράδοξα. Βέβαια, πριν απ όλα πρέπει να ελέγχουµε αν τα όρια που θέλουµε να βρούµε έχουν έννοια. Στα θεωρήµατα αυτά υποτίθεται ότι οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες κοντά στο 0 µε g () 0, αλλά στο 0 (όταν 0 R) µπορεί και να µην παραγωγίζονται ή να µην ορίζονται καν. Β. Ιδιαίτερα επισηµαίνουµε το συµπέρασµα των κανόνων D - L : αν υπάρχει το όριο lim f () / g (), τότε υπάρχει και το όριο lim f () / g() (και είναι ίσα) και όχι το ξ αντίστροφο. Αν δεν υπάρχει το όριο lim f () / g (), ο κανόνας δεν λέει τίποτα: το όριο lim f () / g() ξ µπορεί να υπάρχει ή όχι, εξαρτάται από τις συγκεκριµένες συναρτήσεις. Για τον υπολογισµό του χρησιµοποιούµε άλλες γνωστές µεθόδους ή το κριτήριο παρεµβολής. Για παράδειγµα : ξ ξ

6 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β 6 Αν f() = ηµ για 0 και g() =, R, τότε (µε Κ. Π.) lim f () = lim g() = f () Το όριο lim = lim ηµ συν δεν υπάρχει (ο µειωτέος έχει όριο 0 -µε Κ. Π.-, 0 g () 0 ενώ ο αφαιρετός οδηγεί στο όριο του συν στο + ή -, που όπως έχουµε αναφέρει στις συµπληρώσεις των ορίων-συνέχειας δεν υπάρχει). f () Το όριο όµως lim = lim ηµ = 0, δηλαδή υπάρχει. a 0 g() 0 Άρα το αντίστροφο του κανόνα D-L δεν ισχύει: δηλ. αν lim f () = lim g() = 0 υπάρχει το f () lim, δεν συνεπάγεται ότι υπάρχει το a 0 g() 0 f () lim 0 g () 0 και f () f () Αν το όριο lim δεν υπάρχει, θα µπορούσε το όριο lim και να µην υπάρχει: 0 g () a 0 g() π.χ. αν f() =, g() = 3, τότε lim f () lim g() = 0 και το όριο f () lim = lim 0 g () 0 3 = lim 0 3 εν υπάρχει όµως και το όριο 0 = 0 δεν υπάρχει. lim a0 f () g() = lim = lim ( βλ. και ασκήσεις 9, 7.Β). a0 3 a0 Γ. Να επισηµάνουµε (για αποφυγή λαθών) ότι δεν ισχύει (πάντα) f () f () lim = lim, π.χ. αν f() =, g() =, 0 = δεν ισχύει. a g 0 () a 0 g(). Οι κανόνες D - L µπορούν να χρησιµοποιηθούν πολλές φορές διαδοχικά σε ένα όριο, αν βέβαια οδηγούν σε απλούστερα όρια, και µε την προϋπόθεση ότι ισχύουν όλες οι υποθέσεις των θεωρηµάτων και προπάντων ότι το τελευταίο όριο υπάρχει (πεπερασµένο ή άπειρο). Στην διαδικασία αυτή, συνήθως, είναι συχνά δυο λάθη: i) Να µην προσεχθεί ότι έχουµε απροσδιόριστη µορφή (0/0 ή ± /± ) και όµως να εφαρµοστεί κανόνας D-L π.χ. lim = lim = lim = (σωστό όριο -3/) Το λάθος αυτό µπορούµε να το αποφύγουµε αν κάθε φορά που εφαρµόζουµε κανόνα D L γράφοµε το είδος της απροσδιόριστης µορφής πάνω από το ίσον. ii) Nα έχουµε οδηγηθεί µε τις παραγωγίσεις σε πολύπλοκο κλάσµα που µας απογοητεύει και να µην προσέξουµε ότι ένας µέρος (παράγοντας ή κλάσµα) έχει «αθώο» όριο, δηλαδή όριο που προσδιορίζεται χωρίς κανόνες D-L. Έτσι ασχολούµαστε µε το άλλο µέρος που είναι η καθαυτό (ανηγµένη) απροσδιόριστη µορφή. 0 e e ln( ) 0 + e ( ) συν π.χ. lim lim = = lim (µε 0< <) 0 εφ 0 0 ηµ συν

7 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β 7 αποµονώνοντας το δεύτερο κλάσµα (συν /(-)) βλέποµε άµεσα ότι έχει όριο, οπότε µένει το άλλο κλάσµα ασφαλώς απλούστερο, για να χρησιµοποιηθεί κανόνας D - L (τελικό όριο -/). 4. Για να πάρουν οι µαθητές µια ιδέα για την απόδειξη των κανόνων D - L µπορούµε να δώσουµε τη εξής απλή περίπτωση του κανόνα ως άσκηση: Αν f, g παραγωγίσιµες στο διάστηµα (α, β), g() 0 κοντά στο ξ (α, β) και f () f (ξ) f(ξ) = g(ξ) = 0 µε g (ξ) 0 τότε ισχύει lim =. a ξ g() g (ξ) 5. Ειδική επισήµανση των σχολίων της σελίδας 83, για τις άλλες απροσδιόριστες µορφές και την ισχύ των κανόνων και για τα πλευρικά όρια. Επίσης να σηµειώσουµε ότι πολλές άλλες απροσδιόριστες µορφές π.χ. 0(± ), + -, 0 0, 0, 0 ±, µπορούν να οδηγηθούν στις µορφές ή και να αντιµετωπιστούν µε τα 0 ± θεωρήµατα,. Αυτό γίνεται συνήθως µέσω στοιχειωδών αλγεβρικών πράξεων ή ιδιοτήτων, π.χ. g() g() f()g() =, f() - g() = f() g() g()ln f (), f () = e κ.ά. / f () f () (µε τους κατάλληλους περιορισµούς) π.χ. αν lim + a+ + + ( + )ln +, τότε έχουµε την απροσδιόριστη µορφή αλλά λόγω + = e οδηγούµαστε στην απροσδιόριστη µορφή (+ )0, αλλά : ln + lim ( + ) ln lim + = δηλαδή τελικά στην µορφή 0/0 και µε εφαρµογή a+ a+ + του ου κανόνα βρίσκουµε όριο ίσο µε και τελικά 6. Το όριο ηµ lim a0 lim + a+ + = e. δεν νοµιµοποιείται να υπολογιστεί µε την βοήθεια του κανόνα D- L αφού για την εφαρµογή του απαιτείται η παραγωγισιµότητα της συνάρτησης ηµ, η οποία αποδείχθηκε µε την βοήθεια του ορίου αυτού (βλ. σελ. 5) (κυκλικός συλλογισµός). Αν όµως η παραγωγισιµότητα της ηµ δεν στηριχθεί στο όριο αυτό, τότε αυτό είναι Μαθηµατικά νόµιµα και αυτό γίνεται σε µερικά βιβλία ανώτερων Μαθηµατικών, όπου το ηµ δεν ορίζεται µε τον γνωστό στοιχειώδη τρόπο. 7. Να επισηµανθεί τέλος ότι τους κανόνες De L Hospital τους χρησιµοποιούµε µόνο σε όρια µε απροσδιόριστες µορφές 0/0 ή ± /± και αφού προηγουµένως έχουµε δοκιµάσει γνωστές ιδιότητες ορίων ή αλγεβρικά τεχνάσµατα που δεν απαιτούν παραγωγίσεις και βέβαια αν οδηγούν σε απλούστερα όρια. Τέλος ότι δεν πρέπει να ξεχνάµε το κριτήριο παρεµβολής, ιδίως σε δύσκολα όρια, όταν µάλιστα περιέχουν ηµίτονο ή συνηµίτονο.

8 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β 8 8. Tι εξυπηρετούν οι ασύµπτωτες; Γ..9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ Α. Χρησιµεύουν στην χάραξη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης, αφού αυτή «περιχαρακώνεται» µεταξύ αυτών. Β. Με τις πλάγιες ή οριζόντιες ασύµπτωτες µπορούµε να βρούµε κατά προσέγγιση την τιµή µιας συνάρτησης, όταν µάλιστα ο απ ευθείας υπολογισµός της είναι δύσκολος ή επίπονος. Έτσι π.χ. αν µια συνάρτηση έχει ασύµπτωτη στο + την ευθεία y = 3-, τότε για µεγάλες τιµές του µπορούµε να πάρουµε f() Στον ορισµό της ασύµπτωτης που έχει συντελεστή διεύθυνσης (µη κατακόρυφης): πριν δοθεί ο ορισµός, ας παρατηρηθεί ότι η διαφορά f() - (λ + β) (ή (λ + β)- f())) εκφράζει την κατακόρυφη απόσταση στη θέση των συναρτήσεων f(), y = λ + β. Ο οριακός µηδενισµός της, συνεπάγεται και τον µηδενισµό της αντίστοιχης (κάθετης) απόστασης της γ. π, από την ευθεία που εκφράζει την γεωµετρική εικόνα ότι η ευθεία «πλησιάζει όσο θέλουµε κοντά» την γ. π. της συνάρτησης. 0. Η οριζόντια ασύµπτωτη είναι ειδική περίπτωση (λ = 0) της ασύµπτωτης ψ = λχ + β την οποία το βιβλίο λέει πλάγια αν λ 0. Ας σηµειωθεί ότι, αν η ευθεία ψ = λχ + β είναι ασύµπτωτη της συνάρτησης φ στο +, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης «την συνοδεύει» στο άπειρο, δηλαδή lim φ(χ) = + αν λ > 0 και αν λ < 0 και ανάλογα για ασύµπτωτη στο -. χ + (φ(χ) = (φ(χ)/χ)χ κλπ). Αν λ = 0 τότε lim φ(χ) = β. χ + ηλαδή, αναγκαία συνθήκη για να υπάρχει πλάγια ασύµπτωτη στο + ( ) για µια συνάρτηση είναι το όριό της στο + (αντίστοιχα ) να είναι άπειρο. εν είναι ικανή η συνθήκη: π.χ. η συνάρτηση f() = e έχει όριο +, στο +, αλλά δεν έχει πλάγια ασύµπτωτη στο + (ενώ π.χ. η f() = + /, έχει και άπειρο όριο και πλάγια ασύµπτωτη). Ανάλογη συνθήκη ισχύει και για την περίπτωση της κατακόρυφης ασύµπτωτης (εξ ορισµού). Εν τέλει, αν το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης είναι διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων µε άκρα πραγµατικούς αριθµούς τότε η συνάρτηση δεν έχει ασύµπτωτες.. Σχετικά µε το θεώρηµα της σελ. 80. Α. Μια καλή άσκηση στα όρια είναι να δειχθεί το πρώτο µέρος του θεωρήµατος (το f () β = lim (f () λ), προφανές, ενώ λ= ( f () λ) κλπ ) + Β. Να τονιστεί ότι και τα δυο όρια πρέπει να υπάρχουν και να είναι πραγµατικοί αριθµοί. (υπάρχει το όριο, κατά το σχ. βιβλίο, σηµαίνει ότι είναι πραγµατικός αριθµός ή άπειρο) f () Υπάρχει περίπτωση lim R και η συνάρτηση να µην έχει πλάγια ασύµπτωτη + στο + : f () π.χ. η συνάρτηση f() = +συν έχει lim = = λ (χρησ. Το Κ.Π.) +

9 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β 9 Αλλά lim (f () λ) = + + lim συν, το οποίο δεν υπάρχει ( : διαισθητικά από την γ. π. και αυστηρά βλ. σελ. 9, Β αρχείου, «Συναρτήσεις όρια, συνέχεια», αλλά θεωρώντας και τις ακολουθίες α ν =νπ, β ν =νπ+π/, ν N*, που δίνουν διαφορετικά όρια στο συν). Γ. Από το θεώρηµα αυτό προκύπτει και η µοναδικότητα µιας µη κατακόρυφης ασύµπτωτης (στο + ή στο - ) µιας συνάρτησης, που οφείλεται στην µοναδικότητα των ορίων λ, β.. Σχετικά µε τους τύπους του θεωρήµατος για τα λ, β: ας επισηµανθεί ότι, αν ένα τουλάχιστον από τα όρια δεν είναι πραγµατικός ή δεν υπάρχει, τότε η συνάρτηση δεν έχει ασύµπτωτη (στο +, αντίστοιχα στο - ) που να τέµνει τον y- άξονα. Ε. Επίσης µια άλλη αξιοσηµείωτη παρατήρηση είναι: Αν µια συνάρτηση έχει οριζόντια ασύµπτωτη (π.χ. στο + ) τότε αυτή είναι και η µοναδική της πλάγια ασύµπτωτη στο + (αφήνεται ως άσκηση: Υπ. κατ ανάγκη λ = 0).. Για την εύρεση των πλάγιων ή οριζόντιων ασύµπτωτων είναι πολλές φορές προτιµότερο να µην εφαρµόζουµε αµέσως τους γνωστούς τύπους για το λ και το β: ίσως µια «προσεκτική µατιά» µας αποκαλύψει την ασύµπτωτη, σύµφωνα µε τον ορισµό. Αν π.χ. έχουµε την συνάρτηση f () = 3 e, τότε εύκολα διαπιστώνουµε ότι + 3ln η f έχει ασύµπτωτη στο +, το ορατό γραµµικό µέρος της f, δηλαδή την ευθεία y = 3 -. Αυτό µπορεί να γίνει και σε ρητές συναρτήσεις (µε διαφορά βαθµών αριθµητή και παρανοµαστή ), όπου το πηλίκο δίνει την ασύµπτωτη, π.χ. αν Σ() =, τότε εκτελώντας την διαίρεση βρίσκουµε πηλίκο - και εύκολα προκύπτει ως ασύµπτωτη η y = Σχετικά µε το σχόλιο της σελίδας 8: ας δοθεί και µε την µορφή )και ως άσκηση): H µοναδική πολυωνυµική συνάρτηση που έχει πλάγια ή οριζόντια ασύµπτωτη είναι η πρωτοβάθµια-ευθεία, της οποίας ασύµπτωτη είναι η ίδια. Οι µοναδικές ρητές συναρτήσεις που έχουν πλάγιες ή οριζόντιες ασύµπτωτες είναι όσες έχουν βαθµό αριθµητή µικρότερο ή ίσο του βαθµού του παρανοµαστή αυξηµένου κατά (που αντιστοιχεί στο πηλίκο της διαίρεσης). Όταν ισχύει η ισότητα έχουµε πλάγια, ενώ στις άλλες περιπτώσεις οριζόντια ασύµπτωτη. Επί πλέον οι ρίζες του παρανοµαστή µιας ρητής συνάρτησης, αν υπάρχουν, δίνουν τις κατακόρυφες ασύµπτωτες (µε την προϋπόθεση ότι δεν είναι και ρίζες του αριθµητή). 4. Για µια συνάρτηση (ορισµένη σε διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων): Κατακόρυφες ασύµπτωτες αναζητούµε: Στα άκρα των διαστηµάτων του πεδίου ορισµού της στα οποία η συνάρτηση δεν ορίζεται, Στα σηµεία του πεδίου ορισµού όπου η συνάρτηση δεν είναι συνεχής. Στα σηµεία συνέχειας προφανώς το όριο είναι πραγµατικός και όχι άπειρο και δεν δίνουν

10 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β 0 κατακόρυφες ασύµπτωτες. Έτσι οι συνεχείς συναρτήσεις σε κλειστό διάστηµα ή στο R δεν έχουν κατακόρυφες ασύµπτωτες. Mη κατακόρυφες, δηλαδή πλάγιες ή οριζόντιες ασύµπτωτες, έχει έννοια να αναζητούµε µόνο όταν η συνάρτηση είναι ορισµένη κοντά στο + ή στο -, δηλαδή σε διαστήµατα της µορφής (α, + ), (-, β) αντίστοιχα. Ας σηµειωθεί ότι µια συνάρτηση µπορεί να έχει πολλές κατακόρυφες ασύµπτωτες, αλλά µη κατακόρυφες το πολύ δυο (στο + ή στο - ). 5. Με την βοήθεια της θεωρίας των ασύµπτωτων µπορούµε να αντιµετωπίσουµε ευκολότερα µια ορισµένη κατηγορία προβληµάτων στα όρια. Για παράδειγµα : Να βρεθούν οι λ, µ R ώστε lim λ µ = 0. Ουσιαστικά ζητούµε + την µη κατακόρυφη ασύµπτωτη y = λ + µ της συνάρτησης φ()= + κλπ (Aπ. λ=, µ=/) στο 6. Ισχυρισµός: Η ασύµπτωτη της γ. π. µιας συνάρτησης µπορεί να έχει κοινά σηµεία µε αυτήν. Αυτό είναι αληθές, όπως και για την εφαπτοµένη (βλέπε Α µέρος), έστω και αν µας παραξενεύει, συνηθισµένοι στις απλές αλγεβρικές καµπύλες. Έτσι π.χ. η συνάρτηση φ() = e - ηµ, έχει ασύµπτωτη στο + τον - άξονα ο οποίος έχει άπειρα κοινά σηµεία µε την γ. π. (ηµ = 0). ηµχ Ένα άλλο παράδειγµα είναι η Σ(χ) = χ +, αν χ 0 και Σ(0) = 0, η οποία είναι συνεχής χ και έχει την ψ = χ ασύµπτωτη στο + και -, η οποία όµως έχει άπειρα κοινά σηµεία µε αυτήν. Όµοια, µια κατακόρυφη ασύµπτωτη µπορεί να έχει (το πολύ ένα) κοινό σηµείο µε την γ. π. της συνάρτησης, π.χ. η συνάρτηση φ(χ) = χ για χ 0 και φ(χ) =/χ για χ > 0, έχει ασύµπτωτη την χ = 0. Αν όµως µια συνεχής συνάρτηση έχει πεπερασµένο πλήθος κοινών σηµείων µε µια πλάγια ή οριζόντια ασύµπτωτή της (στο + ή στο - ), τότε «τελικά» δεν έχουν κοινά σηµεία και µάλιστα η ασύµπτωτη βρίσκεται «τελικά» εξ ολοκλήρου «πάνω» ή «κάτω» από την γ. π. της συνάρτησης. Βλέπε σχετικά την άσκηση 30 στο τέλος...0 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7. Ο κύριος σκοπός του ιαφορικού Λογισµού είναι η µελέτη των συναρτήσεων µέσω των παραγώγων και η χάραξη καθώς και η ερµηνεία των γραφικών τους παραστάσεων. Τον σπουδαίο αυτό σκοπό δεν πρέπει χάριν των εξετάσεων να τον αγνοήσουµε. Γι αυτό ανεξάρτητα αν θα τίθενται σχετικά θέµατα στις εξετάσεις, πρέπει να γίνει µε επιµέλεια πλήρης µελέτη και σχεδίαση των γραφικών παραστάσεων τουλάχιστον συναρτήσεων µέσα στην τάξη (και µετά, αν είναι δυνατόν, να χρησιµοποιηθεί και κάποιο πρόγραµµα Η.Υ. για την καλύτερη εµφάνισή της). Ιδιαίτερα επισηµαίνουµε σχετικά τις ασκήσεις του βιβλίου: 4 σελ.77, 5 σελ. 78 και την άσκηση σελίδα Οι ερωτήσεις κατανόησης (σελ ) παρουσιάζουν αρκετό ενδιαφέρον και δεν πρέπει να λησµονηθούν. Επίσης να έχουµε υπόψη ότι προτεραιότητα πρέπει να έχουν οι ασκήσεις του βιβλίου και µετά οι δικές µας. Μετά την ολοκλήρωση του κεφαλαίου και

11 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β την σχετική επανάληψή του, που πρέπει να ακολουθήσει, κρίνεται επιβεβληµένη η διεξαγωγή επαναληπτικού δίωρου ή τρίωρου διαγωνίσµατος. Ε. ΑΛΛΑ ΘΕΜΑΤΑ 9. Ερώτηση συναδέλφου: "Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να δοθεί η άσκηση, σελίδα 98 της κατεύθυνσης Γ Λυκείου καθώς και η άσκηση 4, σελίδα 53 της Γενικής παιδείας στους µαθητές, ώστε να γίνει κατανοητή από αυτούς η εύρεση της παραγώγου;" Απάντηση Α. Άσκηση, σελίδα 98 της κατεύθυνσης. Η απάντηση στις ερωτήσεις αυτές (και στις αντίστροφες τους, δηλ. από την παράγωγο στην συνάρτηση) γίνεται συνήθως µε συνδυασµό των παρακάτω 4 κριτηρίων.. Εφαπτοµένη. Βλέπουµε αν µπορούµε να φέρουµε εφαπτοµένη σε ένα σηµείο της γραφικής παράστασης (γ. π.) της φ που σηµαίνει ότι η φ ορίζεται στο σηµείο αυτό. Έτσι βλέπουµε ότι µόνο στην γ. π. της (β) στο 0 δεν µπορούµε να φέρουµε (µοναδική) εφαπτοµένη, άρα η (β) δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0, δηλ. δεν ορίζεται η φ (0). Αν η εφαπτοµένη σε ένα σηµείο ξ είναι οριζόντια (παράλληλη στον χ-άξονα) τότε η φ µηδενίζεται στο ξ, δηλαδή η φ τέµνει τον χ-άξονα στο ξ. Ακόµη καλό είναι να έχουµε υπόψη ότι στο διάστηµα στα σηµεία του οποίου η εφαπτοµένη σχηµατίζει οξεία γωνία µε τον χ-άξονα, η φ είναι γν. αύξουσα, ενώ αν σχηµατίζει αµβλεία γωνία είναι γν. φθίνουσα.. Μονοτονία και πρόσηµο παραγώγου. Αν η φ είναι γν. αύξουσα (και παραγωγίσιµη: κριτήριο ) τότε φ 0 (αυτό δεν το έχει το βιβλίο - αποδεικνύεται πάντως εύκολα µε βάση τον ορισµό της παραγώγου και το θεώρηµα της διάταξης στα όρια- και είναι καλό να το ξέρουν οι µαθητές- και το εξάγουµε διαισθητικά, µάλιστα σε τέτοιου είδους ασκήσεις συνηθέστερα ισχύει το φ >0 (σε κάποιο διάστηµα πάντα)). Ανάλογα αν φ είναι γν. φθίνουσα, φ <0. 3. Ευθεία. Αν ένα τµήµα της φ είναι ευθεία (σε ένα διάστηµα) δηλ. φ(χ) = αχ + β τότε φ = α. Αυτό συµβαίνει στις γ. π. (β), (δ). Γενικά αν η φ είναι πολυωνυµική ν βαθµού, η παράγωγος είναι ν- βαθµού. 4. Κυρτότητα και µονοτονία παραγώγου. Αν φ είναι κυρτή (κοίλη) τότε η φ είναι γν. αύξουσα (φθίνουσα) και «αντίστροφα». Με βάση τα παραπάνω έχουµε: (α) Παρατηρούµε ότι η φ στο 0 έχει οριζόντια εφαπτοµένη, άρα η φ µηδενίζεται στο 0, άρα τέµνει τον χ-άξονα στο Ο. Λόγω της µονοτονίας της φ, αριστερά του 0 η φ θα είναι αρνητική και δεξιά του 0 θετική (στην χειρότερη περίπτωση θα µηδενίζεται και κάπου αλλού). Από αυτά βγαίνει φανερά η απάντηση (Ε) και όχι η (Ζ). (επικουρικά: η φ είναι κυρτή, άρα η φ γν. αύξουσα για να αποκλεισθεί η (Ζ))

12 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β (β) στο 0 δεν ορίζεται η παράγωγος, ενώ δεξιά του η φ είναι σταθερή και θετική (κλίση α>0) και αριστερά του 0 είναι σταθερός αρνητικός αριθµός (κριτήριο, 3). Φανερή απάντηση η (Α). (γ) Για το (γ) (η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση): Η φ είναι µονότονη σε 4 διαστήµατα, έστω (-, α], [α, 0], [0, θ], [θ, + ), (α<0, θ>0) ενώ στις θέσεις α, 0, θ έχει τ. ακρότατα) άρα φ (α) = φ (0)= φ (θ)=0, δηλ. η φ τέµνει τον χ- άξονα σε 3 σηµεία (και απαντάται αµέσως (Β) αλλά ας πούµε ότι υπήρχε και άλλη µε 3 σηµεία τοµής). Παρατηρούµε εδώ ότι στα διαστήµατα [α, 0], [0, θ] αλλάζει και κυρτότητα που σηµαίνει (χονδρικά) ότι αλλάζει µονοτονία η φ. Έτσι έχουµε: Στο διάστηµα (-, α) η φ είναι γν. φθίνουσα άρα η φ αρνητική µέχρι που µηδενίζεται στο α. Στο διάστηµα (α, 0) η φ είναι γν. αύξουσα άρα η φ θετική ενώ λόγω αλλαγής κυρτότητας (από κυρτή, κοίλη) η φ αυξάνει και µετά φθίνει (οπότε η φ έχει µέγιστο µεταξύ α, 0), παραµένουσα θετική, µέχρι να µηδενιστεί το 0. Στο διάστηµα [0, θ) η φ είναι γν. φθίνουσα άρα η φ αρνητική, ενώ λόγω αλλαγής κυρτότητας (από κοίλη σε κυρτή κοίλη) η φ φθίνει και µετά αυξάνει (οπότε η φ έχει ελάχιστο µεταξύ 0, θ), παραµένουσα αρνητική, µέχρι να µηδενιστεί το θ. Στο διάστηµα [θ, + ) η φ είναι γν. αύξουσα άρα η φ είναι θετική. Φανερή ήδη απάντηση η (Β). (δ) Προφανώς (κριτήριο 3) η φ είναι σταθερή (και θετική αφού έχει θετική κλίση) ( ). Για καλύτερη άσκηση σε τέτοια θέµατα µπορούµε να µην κοιτάξουµε τις (Α),(Β), (Γ), ( ), (Ε) αλλά να προσπαθήσουµε να χαράξουµε πρώτα τις γ. π. των παραγώγων των (α),(β),(γ), (δ) και µετά να ελέγξουµε. Επίσης καλή σχετική άσκηση είναι από την γ. π. της φ να χαράξουµε την γ. π. της φ (βλ. άσκηση 4, σελ. 77). Β. Άσκηση 4, σελίδα 53 Γενικής Παιδείας. Εδώ µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µόνο τα παραπάνω κριτήρια,, 3. () Η φ έχει δυο οριζόντιες εφαπτόµενες, άρα η φ τέµνει τον χ-άξονα σε δυο σηµεία. Από αυτό και µόνο βγαίνει ως απάντηση η (β). Αν υπήρχε και άλλη µε δυο κοινά σηµεία θα εξετάζαµε το κριτήριο της µονοτονίας κλπ. () Σε δυο σηµεία (γωνιακά σηµεία) δεν υπάρχει εφαπτοµένη, άρα σε δυο σηµεία δεν ορίζεται η φ. Άρα φανερή απάντηση η (δ). (3) Στο 0 υπάρχει οριζόντια εφαπτοµένη, άρα η φ τέµνει τον χ-άξονα στο σηµείο Ο. Επί πλέον η φ αριστερά του 0 είναι φθίνουσα και δεξιά αύξουσα, άρα η φ είναι αριστερά του 0 αρνητική και δεξιά θετική. Άρα απάντηση (α). (4) εν προκύπτει µόνο εξ ανάγκης η απάντηση (γ), αλλά και από το ότι η φ έχει 3 οριζόντιες εφαπτόµενες, άρα η φ τέµνει σε 3 σηµεία τον χ-άξονα.

13 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β Άσκηση ιδακτικής (ΑΣΕΠ 009) Έστω ότι διδάσκετε Μαθηµατικά κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου. Μετά την απόδειξη της πρότασης «κάθε παραγωγίσιµη συνάρτηση στο 0 είναι συνεχής στο 0» γίνεται στην τάξη ο παρακάτω διάλογος: Καθηγητής: Ισχύει το αντίστροφο; ηλαδή, αν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σηµείο, είναι και παραγωγίσιµη σε αυτό το σηµείο; Μαθητής Α: Όχι. Καθηγητής: Γιατί; Μαθητής Α: Γιατί, αν η συνάρτηση είναι συνεχής, το όριο της f () όταν το τείνει στο 0 f () f ( 0 ) είναι f ( 0 ) και άρα το όριο lim είναι απροσδιόριστη µορφή. Εποµένως δεν 0 0 υπάρχει αυτό το όριο. Καθηγητής (απευθυνόµενος στην υπόλοιπη τάξη): Συµφωνείτε; f () f ( 0 ) Μαθητής Β: Επειδή το όριο lim είναι απροσδιόριστη µορφή, για άλλες 0 0 συναρτήσεις µπορεί να υπάρχει και για άλλες όχι. Γι αυτό µια συνεχής συνάρτηση δεν είναι πάντοτε παραγωγίσιµη. Μετά τη συζήτηση των µαθητών µε τον καθηγητή η τάξη διχάστηκε. Άλλοι µαθητές συµφώνησαν µε το µαθητή Α και άλλοι µε το µαθητή Β. α) Εντοπίστε τις δύο πιο σηµαντικές παρανοήσεις που φαίνεται να έχουν δηµιουργηθεί στην τάξη και αναφέρετε πώς αναδύονται αυτές από το διάλογο. β) Πώς θα αντιµετωπίζατε διδακτικά το πρόβληµα που δηµιουργήθηκε ώστε να βοηθήσετε τους µαθητές να ξεπεράσουν τις παρανοήσεις τους;

14 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : ιαφορικός Λογισµός Β 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠAΝΑΛΗΨΗΣ ΙΑΦ. ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Β MEΡΟΣ) Kυρτότητα - Ασύµπτωτες - de L Hospital. I. Aν µια συνάρτηση είναι κυρτή στο R, τότε πάντοτε δεν έχει τοπ. ακρότατα Σ - Λ II. Αν µια συνάρτηση είναι γν. αύξουσα σ ένα διάστηµα, τότε πάντοτε δεν έχει σηµεία καµπής Σ - Λ III. Ένα κρίσιµο σηµείο µιας συνάρτησης µπορεί να είναι θέση σηµείου καµπής Σ - Λ IV. Αν µια συνάρτηση είναι κυρτή στο R τότε έχει πάντα αντίστροφη Σ Λ V.Τα σηµεία καµπής βρίσκονται πάντα σε θέσεις εσωτερικών σηµείων διαστηµάτων, ενώ τα ακρότατα µπορεί να είναι και σε άκρα. Σ Λ VI. Αν Σ (χ) = χ(χ - ) (χ - ) 3 (χ - 3) 4, τότε η συνάρτηση Σ έχει σηµεία καµπής στις θέσεις Α.0, Β.0,, Γ.0,,, 3.0,,, 3 Ε. 0, VII. Αν η συνάρτηση Σ είναι διπλά παραγωγίσιµη και κυρτή στο R τότε ισχύει πάντα Α. Σ (χ) > 0 για κάθε χ R Β. Σ (χ) 0 για κάθε χ R Γ. άγνωστο το πρόσηµο της Σ. VIIΙ. Η εφαπτοµένη σ ένα σηµείο της γ.π. µιας κοίλης συνάρτησης στο R µπορεί να έχει δυο κοινά σηµεία µε αυτήν Σ Λ. Ι. Το όριο lim : χ + ηµ Α. δεν υπάρχει Β. δεν έχει έννοια Γ. είναι ίσο 0. είναι ίσο µε +. II. Αν lim Σ() = + τότε η Σ δεν έχει πλάγιες ασύµπτωτες Σ Λ a+ IΙΙ. Αν η συνάρτηση Σ() είναι συνεχής στο (0, + ) και lim Σ() = µ R τότε η Σ έχει a+ πάντα µοναδική µη κατακόρυφη ασύµπτωτη. Σ Λ ΙV. Μια συνεχής συνάρτηση στο R δεν έχει κατακόρυφες ασύµπτωτες. Σ Λ V. Αν µια συνάρτηση έχει ελάχιστο και µέγιστο, τότε δεν έχει ασύµπτωτες Σ Λ χ αχ+ 4 VΙ. Αν η συνάρτηση φ(χ) = έχει µοναδική κατακόρυφη ασύµπτωτη την χ 4 ευθεία χ = τότε Α. α = Β. α = - Γ. α = 4. α = -4. VII. O βαθµός του αριθµητή µιας ρητής συνάρτησης είναι ν, ενώ του παρανοµαστή µ (ν, µ Ν*). Αν η συνάρτηση έχει πλάγια (όχι οριζόντια) ασύµπτωτη, τότε ισχύει Α. ν = µ Β. ν µ = Γ. ν µ =. ν < µ + VIΙΙ. Ένας µαθητής έγραψε στο πίνακα : Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ξ 0 f () f (ξ) 0 f () τότε ισχύει lim = lim = f (ξ). ξ ξ ξ i) Eίναι σωστό αυτό ή λάθος;

Συµπληρώσεις, Παρατηρήσεις, Επισηµάνσεις και Ασκήσεις στο δεύτερο µέρος του 2 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης ( 2.8, 2.9, 2.10)

Συµπληρώσεις, Παρατηρήσεις, Επισηµάνσεις και Ασκήσεις στο δεύτερο µέρος του 2 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης ( 2.8, 2.9, 2.10) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 (i) Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 141 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. To πεδίο ορισμού της f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Στο Σημείωμα αυτό διατυπώνουμε μια σειρά μαθηματικών προτάσεων, καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός

Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός Σελίδα από 0 ΘΕΜΑ ο Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος - 009 Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής και πότε παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3)

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα