Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.:"

Transcript

1 vektorji ) OSNOVNE DEFINIIJE Krjišči dljie, npr, st enkovredni. Tudi, če i zpisli i vedeli, d govorio o isti dljii. Če p krjišče do rzlični vlogi, eneu reio zčetek, drugeu p kone, doio nov geoetrijski ojekt, vektor. S tei ojekti se oo ukvrjli n nslednjih strneh. Definiij Vektor = je userjen (orientirn) dlji. Točko ienujeo zčetek, točko p kone vektorj. Preio, ki vseuje dljio, ienujeo nosilk vektorj. = nosilk Vektor nič ( 0) Vektor, ki i zčetek in kone v isti točki, je vektor nič. 0 =. Nsprotni vektor ( ) Z dni vektor = ienujeo vektor = nsprotni vektor in to oznčio: Dolžin vektorj ( ) =. Dolžin (= velikost, = solutn vrednost, = nor) vektorj je dolžin dljie, ki predstvlj vektor, t.j.: =. Kolinernost = vzporednost Vektorj in st kolinern li vzporedn, če st njuni nosilki vzporedni preii. Istosiseln vektorj Kolinern vektorj in D it isti sisel ( D)ntnko tedj, ko ostj rvnin Π, d velj: Π je prvokotn n nosilki vektorjev in D, poltrk (;) in (;D) ležit n isti strni rvnine Π. Če tk rvnin Π ne ostj, st kolinern vektorj nsprotno siseln ( D). 1

2 D E N sliki st in D istosiseln, in EF p nsprotno siseln. Π F Enkost Vektorj in st enk ntnko tedj, ko: 1. =, t.j.: vektorj st enko dolg, 2. it isto ser, t.j. njuni nosilki st vzporedni preii, 3. it isti sisel ( ). Povzeio: Vektor je ntnko določen z: dolžino, serjo, sislo. 1 E D N desni sliki so v prvilne šestkotniku prikzni štirje enki vektorji (, FS, S, ED). F S ) RČUNSKE OPERIJE Oznčio nožio vseh vektorjev z V, nožio relnih števil R p ienujo noži sklrjev. Z eleenti nožie vektorjev in nožie sklrjev definiro nslednje rčunske operije: 1. Seštevnje: + Rezultt seštevnj (vsot) je vektor. Če si vektor predstvljo kot pot, ki jo zčneo v in končo v, kot pot iz v, je seštevek (rezultt) + oeh poti pot iz v, t.j. vektor. Vsoto lhko pridelo n dv nčin: Trikotniško prvilo V kone vektorj postvio zčetek vektorj. Vsot je vektor, ki i zčetek v zčetku vektorj, kone p v konu vektorj. + 1 Tko definirn enkost vse vektorje v prostoru rzdeli n nožio rzredov; učeno ji prvio ekvivlenčni rzredi. V vske rzredu je rez števil enkih vektorjev. Tudi pri ulokih so postopli podono. V nožii vseh urejenih prov elih števil (, ) = Z Z\{0} 1 so enkost definirli: (, ) = (, d) d =. Enke uloke, npr. 2, 2 4, 3,..., združio v rzrede, 6 rzred p ienujeo rionlno število. 2

3 Prlelogrsko prvilo Zčetk oeh vektorjev in postvio v skupen zčetek. Vsot je digonl prlelogr, ki g tvorit vektorj = in = D. Seštevnje v oeh prierih dá isti rezultt. trikotniško v. D + V prlelogrske prvilu ugledo Tudi kouttivnost vsote + = + preereo iz prlelogrskeg prvil; enkrt seštevo v spodnje trikotniku, drugič p v zgornje D. soitivnost vsote, t.j.: ( + ) + = + ( + ) pokže slik n desni Vektor 0 i vlogo nevtrlneg eleent z seštevnje, sj + 0 = + = =. Vektor i vlogo nsprotneg eleent z seštevnje, sj + ( ) = + = = Odštevnje: Odštevnje, tko kot pri številih, definiro kot prištevnje nsprotneg eleent: = + ( ). Krjevni in prosti vektorji - (-)+=- Izerio v prostoru točko O. Glede n O rzdelio vse vektorje v prostoru n: 2 V strktnih vektorskih prostorih se kouttivnost in soitivnost seštevnj, ostoj nevtrlneg eleent in nsprotneg eleent privzejo kot ksioi. 3

4 krjevne; to so tisti, kterih zčetek je v O, kone p v točki, ki jo pokžejo (zto krjevni), proste; to je tiste, kterih zčetek ni v O. N sliki st in krjevn, in d p prost vektorj. d Vsk prosti vektor, npr., lhko zpišeo s krjevni vektorje kon in zčetk: O = O O. O 3. Množenje vektorj s število (sklrje): Nj V in R. Rezultt noženj vektorj s število je vektor, z ktereg velj: () = (dolžin se poveč li znjš z fktor ), () (vektor i isto ser (je vzporeden) vektorju ), (), če je > 0 in, če je < 0. N spodnji sliki st z dni vektor prikzn vektorj 2 in (5/3) 2 Lstnosti noženj vektorj s število 1. distriutivnost v seštevnju vektorjev: ( + ) = +, 2. distriutivnost v seštevnju sklrjev: ( + n) = + n, 3. hoogenost: (n ) = (n), 4. 1 =. Lstnost 1 privzeo kot ksio, ostle p dokžeo. Npr. lstnost 2: Oznčio levo strn L, desno p D. Dokzujeo L = D. Preverjo: ser. L in D it o ser vektorj, zto it isto ser; sisel. Če je > 0 in n > 0, je L D (podono pokžeo ostle ožnosti: < 0, n < 0; > 0, n < 0 in + n > 0; > 0, n < 0 in + n < 0, 4

5 dolžin. Vzeio spet > 0 in n > 0. Tedj: L = ( + n) = + n = ( + n ) = + n = D. Ostle ožnosti pri lstnosti 2 pokžeo podono, prv tko tudi ostli lstnosti 3 in 4. ) PREPROSTE POSLEDIE Enotski vektor Nj o poljuen neničelen vektor in njegov dolžin. Vektor 0 = 1 ienujeo enotski vektor vektorj. Vektor 0 i isto ser in sisel kot, njegov dolžin p je 1. Zto je : = 0. Kolinerni (vzporedni) vektorji Vzeio snop vzporednih prei. Nj v snopu ležit neničeln vektorj in. o Njun enotsk vektorj 0 in 0 se rzlikujet kvečjeu v sislu. Zto je odisi 0 = 0, odisi 0 = 0. Vzeio prvo ožnost. Tedj 0 = 0 1 = 1 =. Povzeio: Če st neničeln vektorj vzporedn, lhko eneg izrzio z drugi, t.j.: ostj R, d velj : =. 3 o Koplnrni (li koplnrni) vektorji Nj o Π rvnin. V njej izerio nekolinern vektorj in. O Π 3 Število je ntnko določeno, sj, če i ostjlo še eno število, npr tko, d je =, i odkrili:( ) = 0, kr p pri neničelne vektorju gre le, če je =. 5

6 Vzeio še tretji vektor, ki leži v rvnini Π. Vektorje, in postvio v skupno zčetno točko O. V konu vektorj postvio dve vzporednii, eno vzporedno vektorju in drugo vzporedno vektorju. Vzporednii sekt nosilki vektorjev in v točkh in (gornj slik). Vektor je pote enk vsoti vektorjev O in O. Tod vektorj O in O st kolinern z vektorje in, zto ostjt števili in n, d je O = in O = n. Števili in n st ntnko določeni. To pokžeo tkole: Nj o = + n in = + n. Pote je + n = + n ( ) = (n n). Ker st in nekolinern, zdnj enč velj le, če je = in n = n. Pokzli so: Če so vektorji, in koplnrni in, nekolinern, ostjt ntnko določeni relni števili in n, d je: Vektorji v prostoru V prostoru iejo tri nekoplnrne vektorje, reio, in. Nj o d vektor teg prostor. Vektorje postvio v skupen zčetek O. = + n. V konu T vektorj d postvio vzporednio k nosilki vektorj. T nj preode rvnino Π vektorjev in v točki P. Postvio v konu d še eno vzporednio; tokrt nj o vzporedn vektorju OP. T sek nosilko vektorj v točki R. Pote je: d = OP + PT. Vektor OP leži v rvnini vektorjev in, vektor PT p je vzporeden vektorju. Zto ostjjo ntnko določen števil, n in p, d je: d = + n + p. Povzeio: Če so, in trije nekoplnrni vektorji in d poljuen vektor v prostoru, ostjjo ntnko določen reln števil, n in p, d velj: O d = + n + p. R d P T Π D) LINERN KOMINIJ IN LINERN ODVISNOST VEKTORJEV Poglejo ugotovitve o kolinernih, koplnrnih in nekoplnrnih vektorjih še lgerjsko. Zčnio z definiji: Definiij 1 : Nj odo x 1, x 2,..., x n vektorji prostor V, 1, 2,..., n p reln števil iz prostor sklrjev. Vektor: 1 x x n x n ienujeo linern koinij vektorjev x 1, x 2,..., x n s koefiienti 1, 2,..., n. Vektor je linern koinij vektorjev,, s koefiienti 1 3, 1, 3, vektor 2 p je linern koinij vektorjev,, s koefiienti 2, 0, 1. 6

7 Definiij 2 : Če je 1 x x n x n = 0, ienujeo linerno koinijo 1 x x n x n ničeln linern koinij. Če izereo v linerni koiniji vse koefiiente enke 0, postne koinij ničeln. Ostjjo p ničelne linerne koinije, ki nijo vseh koefiientov enkih 0. N desni sliki je = +, zto je + = 0 ničeln koinij, ki ni vseh koefiientov enkih 0. Definiij 3 : Ničelno linerno koinijo, ktere vsi koefiienti so enki 0, ienujeo triviln ničeln koinij. Definiij 4 : Vektorji x 1, x 2,..., x n so linerno neodvisni ntnko tkrt, ko je le njihov triviln koinij ničeln, t.j.: 1 x x n x n = 0 1 = 2 = n = 0. Če vektorji x 1, x 2,..., x n niso linerno neodvisni, so linerno odvisni. Ndljujo z nekj trditvi. Trditev 1 : Neničeln vektorj st kolinern ntnko tedj, ko st linerno odvisn. Dokz: ( ) Nj ost in kolinern. Pote ostj število λ, d je = λ. Tedj: = λ λ = 0. Zdnj koinij je ničeln, njen koefiient p ne o enk 0. Zto st in odvisn. ( ) Nj ost in linerno odvisn. Pote ostj njun netriviln ničeln koinij, npr. λ + µ = 0. Vzeio λ 0. Tedj: = µ λ, zto je vzporeden (kolineren) vektorju. Podono pokžeo: Trditev 2 : Trije neničelni vektorji so koplnrni ntnko tedj, ko so linerno odvisni. Nslednj trditev je znčiln z prostor nših vektorjev. 4 Trditev 3 : Štirje neničelni vektorji so linerno odvisni. Res, z štiri vektorje,, in d v prostoru so pokzli, d eneg lhko izrzio z ostlii trei, npr. d = + n + p, zto je d n p = 0 netriviln ničeln koinij, torej so,, in d linerno odvisni. S trditvijo 3 so v resnii pokzli še več: Trditev 4 : Če je n > 4, so neničelni vektorji x 1, x 2,..., x n linerno odvisni. 4 nš vektor je userjen dlji 7

8 Res, izereo poljune štiri, ki so po trditvi odvisni, npr. x 1, x 2, x 3, x 4. Zto 1 x x x x 4 = 0 in vsj eno od števil 1, 2, 3, 4 ni enko 0. Pote p je 1 x x x x x x n = 0 netriviln ničeln koinij vektorjev x 1, x 2,..., x n, zto so odvisni. Povzeio: V prostoru nših vektorjev V velj z podnožio { x 1, x 2,..., x n } neničelnih vektorjev x i : Če je n = 2, st vektorj x 1, x 2 linerno neodvisn ntnko tedj, ko nist kolinern, če je n = 3, so vektorji x 1, x 2, x 3 linerno neodvisni ntnko tedj, ko niso koplnrni, če je n 4, so vektorji x 1, x 2,..., x n linerno odvisni. Končjo poglvje z opiso ze: Množi vektorjev { e 1, e 2,..., e n } je z, če: so vektorji e 1, e 2,..., e n linerno neodvisni in poljuen vektor x lhko zpišeo z linerno koinijo vektorjev e 1, e 2,..., e n. Prieri z: Nj o P noži vseh vektorjev, ki so vzporedni dni preii p. nožie P neničelen vektor iz te nožie. Pote je z Če je R noži vseh vektorjev v dni rvnini Π, zo te nožie sestvljt dv nekolinern vektorj rvnine Π. Oičjno z zn vektorj izereo ortonorirn vektorj, t.j. edseoj prvokotn enotsk vektorj, ki ju oznčio z i in j. Še prostor si oglejo. Nučili so se, d v prostoru vsk vektor lhko izrzio s trei izrnii nekoplnrnii vektorji. Trije nekoplnrni vektorji so linerno neodvisni, zto z njii lhko sestvio zo prostor. Oičjno izereo tri, edseoj prvokotne, enotske vektorje i, j in k. E) PRIMERI UPORE Uporo si oglejo n nekj prierih. 1. N nosilki vektorj = leži tk točk T, d je: T : T = : n. Izrzi vektor T z vektorje. T n Ker je T kolineren z, ostj relno število λ, d je T = λ. dolžin vektorjev T in, kr ugledo v: Število λ je rzerje T = λ = λ λ = T. Dolžin eri + n (li: ( + n) x) enot, dolžin T eri (li x) enot, zto je λ = +n in: T = +n. 8

9 2. V trikotniku leži n strnii točk D, ki deli strnio v rzerju: D : D = : n. Izrzi vektor D z vektorje = in =. n D V rezulttu prejšne nloge ugledo: D = D = + D = + = + + n +n. Tedj: + n ( + ) = n + n + + n. Pokzli so: D = n +n + +n. Če je D težiščni, je = n = 1 in D = Pokži, d se težiščnie trikotnik: () sekjo v skupni točki (težišču), npr. T, in d () točk T rzdeli poljuno težiščnio v rzerju 2 : 1 z del od oglišč do težišč. Pokžio njprej drugi del. Uporili oo dejstvo, d lhko vsk vektor rvnine n en s nčin zpišeo z dve nekolinerni vektorje te rvnine. To poeni, če je = + n in = + n, je = in n = n, če st le in nekolinern. Z nekolinern vektorj oo izrli vektorj = in =. Uporili oo tudi rezultt prejšne nloge z težiščnie, t.j.: D = in E = 1 2 ( )+1 2 ( ) = 1 2. E T D - Vektor T oo n dv nčin izrzili z in : 1. nčin: T = D = ( ) = 2 + 2, 2. nčin: T = + T = + n E = + n( 1 2 ) = (1 n) + n 2. Ustrezni števili pri in ort iti enki, zto: 2 = 1 n in 2 = n 2 in = n = 2 3. Odtod: 9

10 T = 2 D T = D T : TD = 2 : 1 in T = 2 E T = E T : TE = 2 : 1. Pokžio še prvi del. Nj prei (,T) sek strnio v točki F. Pokzti oro, d je F težiščni, t.j., d točk F rzpolvlj dljio. Izrzio F n dv nčin z in. E T D - 1. nčin: F = x = x + 0, F 2. nčin: F = T+ TF = 2 3 ( )+y F = y(x ) = ( xy) + ( 1 3 y). Zpišeo ustrezni siste enč: x = xy, 0 = 1 3 y, ki i rešitev x = 1 2 in y = 1 3. Zto je: F = 1 in TF = 1 F, 2 3 kr je ilo tre dokzti. D 4. Pokži, d se digonli prlelogr rzpolvljt. T Z osnovn (zn) vektorj postvio = in = D. N dv nčin izrzio vektor T, kjer je T presečišče digonl. 1. nčin: T = x = x + x, 2. nčin: T = + y D = + y( ) = (1 y) + y. Ustrezni siste enč (x = 1 y, x = y) i rešitev x = y = 1 2, kr je ilo tre pokzti. 10

11 NDLOGE 1. Vektorj in st linerno neodvisn. Izrčunj število tko, d ost vektorj 2 + in ( ) 1 2 vzporedn. [R: = 3 ] 2. Izrzi vektor = 8 + z vektorje e = 2 3 in f = [R: = e + 2 f ] 3. V nslednjih nlogh je D prlelogr in = in =. V nlogh izrzi vektor UV z vektorje in. () U : = 1 : 2, V : V D = 2 : 1, UV =? () U : U = 3 : 2, V : V D = 1 : 4, UV =? () U : U = 2 : 1, V : V D = 1 : 4, UV =? 4. V nslednjih nlogh je DEF prvilni šestkotnik in = in = F. V nlogh izrzi vektor UV z vektorje in. () EU : UF = 2 : 1, EV : V D = 2 : 1, UV =? () U : U = 3 : 2, V : V D = 1 : 4, UV =? 5. V nslednjih nlogh je trikotnik in = in =. V nlogh izrzi vektor UV z vektorje in. () U : U = 2 : 3, V : = 4 : 5, UV =? () D je težiščni, U : UD = 1 : 3, V : V = 1 : 4, UV =? 6. V nslednjih nlogh je DEF GH kok(e je nd ) in =, = D in = E. V nlogh izrzi vektor UV z vektorji, in. () U je sredin ploskve EF GH, V je sredin ro G, UV =? () GU : UE = 2 : 1, V : V G = 1 : 2, UV =? 7. Izrčunj rzerji T : T E in T : T D n sliki. T E D D : D = 2 : 3 E : = 1 : 4 11

12 8. V prlelogru D leži n n digonlid točk U, d velj U : UD = 1 : 3, točk V p je presečišče preie (, U) in preie (, ). V kolike rzerju deli točk V strnio? [Nig: Iskno rzerje je V : V = 2 : 1. Če je =, D =, je npr.: V = in V = nu + 1 D = ( n + 1) + ( 3n 1).] V tristrni piridi D z osnovno ploskvijo je E težišče ploskve D, točk F p rzpolovišče strnie. Točk X leži n dljii F D tko, d se dljii X in E sekt. V kkšne rzerju deli točk X dljio F D? [R: DX : XF = 2 : 1 ] 10. Kok DEF GH (E je nd ) i središče ploskve GF v točki T. V kkšne rzerju odreže prlelogr F HD dljio T? [R: 2 : 1 ] 12

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje 1 Ponovitev mtemtike z kemijske inženirje 1.1 Vektorji Vektor v 3-rzsežnem prostoru lhko npišemo kot trojico števil: = 1,, 3. Števil 1,, 3 po vrsti oznčujejo komponente vektorj v, y in z smeri krtezičneg

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA 2. Zapiski predavanj. Milan Hladnik

ANALIZA 2. Zapiski predavanj. Milan Hladnik ANALIZA 2 Zpiski predvnj Miln Hldnik Fkultet z mtemtiko in fiziko Ljubljn 22 KAZALO I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ 3. Nedoločeni integrl 3 2. Določeni integrl 9 3. Uporb določeneg integrl v geometriji 26 4. Posplošeni

Διαβάστε περισσότερα

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Jože Berk Jn Drksler Mrjn RobiË Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Avtorji: Jože Berk, Jn Drksler in Mrjn RobiË

Διαβάστε περισσότερα

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ. Nedoločeni integrl Poleg odvjnj funkij je z uporbo pomembno, d jih znmo tudi integrirti. Z integrlom rčunmo dolžine krivulj, površine krivočrtnih likov, prostornine teles omejenih

Διαβάστε περισσότερα

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x FKKT Mtemtik Integrlni rčun Nedoločeni integrl Definicij. Nj bo dn funkcij f : D R R. Funkcij F, z ktero v vski točki iz x D velj F (x) = f(x) se imenuje nedoločeni integrl funkcije f. f(x). Izrek. Če

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads.

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Η μυκηναϊκή Γραμμική Β γραφή ονομάστηκε έτσι από τον

Διαβάστε περισσότερα

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Dobson číst si Dobsona 9. až 12. lekci od 13. lekce už nečíst (minulý čas probírán na stažených slovesech velmi matoucí) Bartoň pořídit si

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΕΠΩΝΥΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΜΕΣΟ ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 7 OO ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΖΩΙΤΣΑ

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο

Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Ο γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση της ετήσιας αύξησης του οικονομικά ενεργού πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

PREKLOPNE STRUKTURE IN SISTEMI

PREKLOPNE STRUKTURE IN SISTEMI PREKLOPNE STRUKTURE IN SISTEMI N. Zimic N. Zimic - Asistenti in lornt mg. Iztok Ler Bjec Andrej Jzec dr. Uroš Lotrič Lornt Vito Čehovin N. Zimic - Študijsko grdivo Učenik: prof. J. Virnt: Logične osnove

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΥΦΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΛΑΣΜΑ ΧΑΜΗΛΗΣ ΚΑΙ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ

ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΥΦΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΛΑΣΜΑ ΧΑΜΗΛΗΣ ΚΑΙ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΥΦΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΛΑΣΜΑ ΧΑΜΗΛΗΣ ΚΑΙ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Υποβληθείσα στο Τμήμα χημικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Πατρών Υπό ΚΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών Ν. Καδιανάκη Αν. Καθηγητή Ε.Μ.Π. Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών ΑΘΗΝΑ Απαγορεύεται η ανατύπωση, αναδημοσίευση, αντιγραφή όλου ή μέρους του παρόντος βιβλίου, η αποθήκευση σε ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil?

6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil? USTNA VPRAŠANJA IZ MATEMATIKE šolsko leto 2005/2006 I. NARAVNA IN CELA ŠTEVILA 1. Naštejte lastnosti operacij v množici naravnih števil. Primer: Izračunajte na dva načina vrednosti izrazov 2. Opišite vrstni

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Π ρ ο µ ο ί ω Μ η χ α ν ο ί Ε λ έ γ χ ο υ τ ο υ Χ ρ ό ν ο υ Φάσεις σο ση ς ισµ ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Φάσεις τ η ς π ρ ο σο µ ο ί ω ση ς i. Κατασκευή το υ µ ο ν τέ λ ο υ π ρ ο

Διαβάστε περισσότερα

Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο

Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή/και προσωρινή απασχόληση

Διαβάστε περισσότερα

Kunci, jabolka in zlatnina

Kunci, jabolka in zlatnina Kunci, jabolka in zlatnina Marko Razpet, PeF UL Kunci Matematik Fibonacci ali Leonardo iz Pise (r okoli 70, u okoli 240) je znan po svojih delih Liber Abaci, Practica Geometriae, Flos in Liber Quadratorum

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΘΕΡΜΩΝ ΝΙΓΡΙΤΑΣ (Ν. ΣΕΡΡΩΝ)

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΘΕΡΜΩΝ ΝΙΓΡΙΤΑΣ (Ν. ΣΕΡΡΩΝ) ελτίο της Ελληνικής Γεωλογικής Εταιρίας τοµ. XXXVI, 2004 Πρακτικά 10 ου ιεθνούς Συνεδρίου, Θεσ/νίκη Απρίλιος 2004 Bulletin of the Geological Society of Greece vol. XXXVI, 2004 Proceedings of the 10 th

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre

Algoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tinkara Toš Algoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM

Διαβάστε περισσότερα

VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE

VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE ŠTEVILSKE MNOŽICE NARAVNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v N. Osnovne računske operacije so seštevanje in množenje (+, *): a) ZAKON O

Διαβάστε περισσότερα

DARJA POTOƒAR, FMF

DARJA POTOƒAR, FMF 7. ²olska ura Tema: Ponovitev Oblika: vaje B 1 Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku: A V α A 1 B 1 sin α = AA 1 V A = BB 1 V B cos α = V B 1 V B = V A 1 V A tan α = sin α cos α cos α cot α = sin α =

Διαβάστε περισσότερα

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska ulica 19 1000 Ljubljana Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev v elektronski

Διαβάστε περισσότερα

Predmet : MATEMATIKA EPF MARIBOR Učno gradivo 2008/09 Miklavž Mastinšek

Predmet : MATEMATIKA EPF MARIBOR Učno gradivo 2008/09 Miklavž Mastinšek Predmet : MATEMATIKA EPF MARIBOR Učo grdivo 2008/09 Miklvž Mstišek Grdivo je povzetek vsebi učbeikov : Mtemtik z ekoomiste. i 2.del, EPF Mribor Podi so temelji pojmi i primeri log. Popol vsebi i rešei

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Γενικά για το χημικό δεσμό - Παράγοντες που καθορίζουν τη χημική συμπεριφορά του ατόμου.

2.3 Γενικά για το χημικό δεσμό - Παράγοντες που καθορίζουν τη χημική συμπεριφορά του ατόμου. 2.3 Γενικά για το χημικό δεσμό - Παράγοντες που καθορίζουν τη χημική συμπεριφορά του ατόμου. 10.1. Ερώτηση: Τι ονομάζουμε χημικό δεσμό; Ο χημικός δεσμός είναι η δύναμη που συγκρατεί τα άτομα ή άλλες δομικές

Διαβάστε περισσότερα

Tadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010

Tadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010 Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci 3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije

Διαβάστε περισσότερα

{3k + a : k N a = 1,2}.

{3k + a : k N a = 1,2}. P P 1èt s t rð P Ôst ì t è t Ð Ð t èr è ❼ ❼s t t s s Ð s Ð sô t r s Ð t s Ô ❼r rì ì èq Ð ì r t t èr Ôt r t r trðt rìq r r❼2t r rqðs 1èt s t r t ì s s ❼ ì s èq Ð r❼2t st r t ì st Ôt r ì st trðt ì P t r

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 1. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 ŠTEVILA... 1 1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 1 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΑΘΗΜΑ ΚΟΡΜΟΥ «ΥΔΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΥΔΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 9ο. Τα πολυηλεκτρονιακά άτομα: Θωράκιση και Διείσδυση Το δραστικό φορτίο του πυρήνα Ο Περιοδικός Πίνακας και ο Νόμος της Περιοδικότητας

Μάθημα 9ο. Τα πολυηλεκτρονιακά άτομα: Θωράκιση και Διείσδυση Το δραστικό φορτίο του πυρήνα Ο Περιοδικός Πίνακας και ο Νόμος της Περιοδικότητας Μάθημα 9ο Τα πολυηλεκτρονιακά άτομα: Θωράκιση και Διείσδυση Το δραστικό φορτίο του πυρήνα Ο Περιοδικός Πίνακας και ο Νόμος της Περιοδικότητας Πολύ-ηλεκτρονιακά άτομα Θωράκιση- διείσδυση μεταβάλλει την

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΑΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΟΜΕΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Κ. Π. ΧΑΛΒΑ ΑΚΗΣ ΜΥΤΙΛΗΝΗ 2004. Καθηγητής Περ.

Υ ΑΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΟΜΕΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Κ. Π. ΧΑΛΒΑ ΑΚΗΣ ΜΥΤΙΛΗΝΗ 2004. Καθηγητής Περ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΟΜΕΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Υ ΑΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΥΤΙΛΗΝΗ 2004 Κ. Π. ΧΑΛΒΑ ΑΚΗΣ Καθηγητής Περ. Μηχανικής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...1 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...3

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Χηµεία Θετικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2001

Χηµεία Θετικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2001 Χηµεία Θετικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1.1 έως 1.4, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.1.

Διαβάστε περισσότερα

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών

Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γε ν ι κ ή Δ ι ε ύ θ υ ν σ η Γε ω ρ γ ί α ς κ α ι Αγ ρ ο τ ι κ ή ς Α ν ά π τ υ ξ η ς Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γεωργία και αγροτική ανάπτυξη Για περισσότερες πληροφορίες 200 Rue de la Loi,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΒΑΡΟΜΕΤΡΟ 72 ΚΟΙΝΗ ΓΝΩΜΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ

ΕΥΡΩΒΑΡΟΜΕΤΡΟ 72 ΚΟΙΝΗ ΓΝΩΜΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ Standard Eurobarometer European Commission ΕΥΡΩΒΑΡΟΜΕΤΡΟ 72 ΚΟΙΝΗ ΓΝΩΜΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΦΘΙΝΟΠΩΡΟ 2009 Standard Eurobarometer 72 / Φθινόπωρο 2009 TNS Opinion & Social ΕΘΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ GREECE Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

χ (1) χ (3) χ (1) χ (3) L x, L y, L z ( ) ħ2 2 2m x + 2 2 y + 2 ψ (x, y, z) = E 2 z 2 x,y,z ψ (x, y, z) E x,y,z E x E y E z ħ2 2m 2 x 2ψ (x) = E xψ (x) ħ2 2m 2 y 2ψ (y) = E yψ (y) ħ2 2m 2 z 2ψ (z)

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 4: Περιοδικό σύστημα των στοιχείων

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 4: Περιοδικό σύστημα των στοιχείων Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 4: Περιοδικό σύστημα των στοιχείων Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ ΤΩΝ ΕΜΠΟΡΩΝ ΤΟΥ BMWFORUM.GR ΓΙΑ ΤΑ PREMIUM & GOLDEN ΜΕΛΗ

ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ ΤΩΝ ΕΜΠΟΡΩΝ ΤΟΥ BMWFORUM.GR ΓΙΑ ΤΑ PREMIUM & GOLDEN ΜΕΛΗ Εκδοση 4-01-12 ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ ΤΩΝ ΕΜΠΟΡΩΝ ΤΟΥ BMWFORUM.GR ΓΙΑ ΤΑ PREMIUM & GOLDEN ΜΕΛΗ CHIPTRONIC (ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΕΙΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ) Μοντελο Οχηματος /Ιπποδυναμη Ιπποδυναμη Chiptronic Ροπη Nm Ροπη Nm Chiptronic Τιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΝΟΜΟΣ (INTRASOFT INTERNATIONAL)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΝΟΜΟΣ (INTRASOFT INTERNATIONAL) ΤΡΑΠΕΖΑ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΝΟΜΟΣ (INTRASOFT INTERNATIONAL) ΟΔΓ_ΕΟΚ 0029/2001: Δικαιώµατα δηµιουργών & συγγενικών δικαιωµάτων στην κοινωνία της πληροφορίας (314324) Αρθρο :0 STDM-EL-20100805-20100901 ΑΡΙΘΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΗΜΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΗΜΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΗΜΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 1.1. ΤΡΟΧΙΑΚΑ ΚΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1. Ποιες είναι οι πιθανές τιµές : α) του l για : i) n = 1, ii) n = 3, β) του m l για : i) n = 2, ii) l = 2. 1.2. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Χθμικόσ Δεςμόσ (Ομοιοπολικόσ-Ιοντικόσ Δεςμόσ) Οριςμοί, αναπαράςταςη κατά Lewis, ηλεκτραρνητικότητα, εξαιρζςεισ του κανόνα τησ οκτάδασ, ενζργεια δεςμοφ

Χθμικόσ Δεςμόσ (Ομοιοπολικόσ-Ιοντικόσ Δεςμόσ) Οριςμοί, αναπαράςταςη κατά Lewis, ηλεκτραρνητικότητα, εξαιρζςεισ του κανόνα τησ οκτάδασ, ενζργεια δεςμοφ Χθμικόσ Δεςμόσ (Ομοιοπολικόσ-Ιοντικόσ Δεςμόσ) Οριςμοί, αναπαράςταςη κατά Lewis, ηλεκτραρνητικότητα, εξαιρζςεισ του κανόνα τησ οκτάδασ, ενζργεια δεςμοφ Τβριδιςμόσ Υβριδικά τροχιακά και γεωμετρίεσ Γηαίξεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΕΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ)

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΕΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΕΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ) ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

A A i j, i i. Ta kiểm chứng lại rằng giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyền tính những hàm ñặc trưng. =, = j A B.

A A i j, i i. Ta kiểm chứng lại rằng giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyền tính những hàm ñặc trưng. =, = j A B. Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN LEESGUE 2.. ðịh ghĩa tích phâ Lebesgue 2... Tích phâ cho hàm ñơ gả hôg âm

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ΕΤΗΣΙΟ ΕΝΤΥΠΟ 2008/2009. Κρουαζιέρες στη Μεσόγειο και τη Βόρεια Ευρώπη

ΕΤΗΣΙΟ ΕΝΤΥΠΟ 2008/2009. Κρουαζιέρες στη Μεσόγειο και τη Βόρεια Ευρώπη ΕΤΗΣΙΟ ΕΝΤΥΠΟ 2008/2009 Κρουαζιέρες στη Μεσόγειο και τη Βόρεια Ευρώπη 1η Η ανοικτή θάλασσα. Η MSC Cruises προσφέρει σε όλους τους επιβάτες της τη μοναδική ευκαιρία να βιώσουν την ανεπανάληπτη εμπειρία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1. Στοιχειακοί ηµιαγωγοί

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1. Στοιχειακοί ηµιαγωγοί Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1 Στοιχειακοί ηµιαγωγοί Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική Οµοιοπολικοί δεσµοί στο πυρίτιο Κρυσταλλική δοµή Πυριτίου ιάσταση κύβου για το Si: 0.543 nm Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΚΑΤΑΝΕΜΟΝΤΑΙ ΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΥΡΗΝΑ. Ένα πρόβληµα στέγασης

ΠΩΣ ΚΑΤΑΝΕΜΟΝΤΑΙ ΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΥΡΗΝΑ. Ένα πρόβληµα στέγασης 7 ΠΩΣ ΚΑΤΑΝΕΜΟΝΤΑΙ ΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΥΡΗΝΑ Σιγά παιδιά µη στριµώχνεστε, θα τοποθετηθείτε βάση των κανόνων. Ένα πρόβληµα στέγασης Τα ηλεκτρόνια τα οποία περιβάλλουν τον πυρήνα ενός ατόµου, δεν

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ Βρυξέλλες, 5.9.2005 COM(2005) 405 τελικό ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΉΣ στο Συµβούλιο, το Ευρωπαϊκό Κοινοβούλιο, την Ευρωπαϊκή Οικονοµική και Κοινωνική Επιτροπή και την Επιτροπή

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές κουκίδες. Φραγή Coulomb. Μεταλλικές κουκίδες. Ημιαγώγιμες κουκίδες. Εφαρμογές. Μνήμες. Τρανζίστορ ενός ηλεκτρονίου

Κβαντικές κουκίδες. Φραγή Coulomb. Μεταλλικές κουκίδες. Ημιαγώγιμες κουκίδες. Εφαρμογές. Μνήμες. Τρανζίστορ ενός ηλεκτρονίου Κβαντικές κουκίδες Φραγή Coulomb Μεταλλικές κουκίδες Ημιαγώγιμες κουκίδες Εφαρμογές Μνήμες Τρανζίστορ ενός ηλεκτρονίου V() r R Ηλεκτρονικές καταστάσεις σφαιρικού πηγαδιού r 1 d ll ( + 1) ( φlmn() ) φ ()

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Μάθημα 12ο O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Γενική και Ανόργανη Χημεία 201-17 2 Η χημεία ΠΠΠ (= προ περιοδικού πίνακα) μαύρο χάλι από αταξία της πληροφορίας!!! Καμμία οργάνωση των στοιχείων.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 0, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat

Διαβάστε περισσότερα

jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó

jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó L09 cloj=klk=tsvjmosopa jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó 4 16 27 38 49 60 71 82 93 P Éå Ñê ÇÉ áí dbq=ql=hklt=vlro=^mmif^k`b mo pbkq^qflk=ab=slqob=^mm^obfi ibokbk=pfb=feo=dboûq=hbkkbk

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικές και Χημικές Ιδιότητες των Στοιχείων. Εισαγωγική Χημεία

Φυσικές και Χημικές Ιδιότητες των Στοιχείων. Εισαγωγική Χημεία Φυσικές και Χημικές Ιδιότητες των Στοιχείων Εισαγωγική Χημεία 2013-14 1 Αντιδράσεις μετάλλων αλκαλικών γαιών Εισαγωγική Χημεία Βόριο (B), Aλουμίνιο (Al), Γάλλιο (Ga), Ίνδιο (In), και Θάλιο (Tl). Ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

AD8114/AD8115* AD8114/AD8115 SER/PAR D0 D1 D2 D3 D4 A0 A1 A2 A3 CLK DATA OUT DATA IN UPDATE RESET 16 OUTPUT G = +1, G = +2

AD8114/AD8115* AD8114/AD8115 SER/PAR D0 D1 D2 D3 D4 A0 A1 A2 A3 CLK DATA OUT DATA IN UPDATE RESET 16 OUTPUT G = +1, G = +2 AD4/AD5* DATA IN UPDATE CE RESET SER/PAR AD4/AD5 D D D2 D3 D4 256 OUTPUT G = +, G = +2 A A A2 A3 DATA OUT AD4/AD5 AD4/AD5 t t 3 t 2 t 4 DATA IN OUT7 (D4) OUT7 (D3) OUT (D) t 5 t 6 = UPDATE = t 7 DATA OUT

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Γράψτε την τετράδα των κβαντικών αριθμών που χαρακτηρίζει τα ακόλουθα ηλεκτρόνια: (α) Το εξώτατο ηλεκτρόνιο του ατόμου Rb. (β) Το ηλεκτρόνιο που κερδίζει το ιόν S

Διαβάστε περισσότερα

(α) Στη στήλη «Θέσεις 1993» ο αριθμός «36» αντικαθίσταται. (β) Στη στήλη των επεξηγήσεων αναγράφεται η ακόλουθη

(α) Στη στήλη «Θέσεις 1993» ο αριθμός «36» αντικαθίσταται. (β) Στη στήλη των επεξηγήσεων αναγράφεται η ακόλουθη E.E. Παρ. Ι(Π) 1197 Ν. 63(11)/93 Αρ. 2842,10.12.93 Ο περί Πρϋπλγισμύ (Τρππιητικός) (Αρ. 6) Νόμς τυ 1993 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΥΕΘΡΘΔΘΟ ΥΡΗΗ ΘΕΡΜΑΣΡΑ ΥΑΛΑΖΘΑ UHQ-822

ΕΓΥΕΘΡΘΔΘΟ ΥΡΗΗ ΘΕΡΜΑΣΡΑ ΥΑΛΑΖΘΑ UHQ-822 ΕΓΥΕΘΡΘΔΘΟ ΥΡΗΗ ΘΕΡΜΑΣΡΑ ΥΑΛΑΖΘΑ UHQ-822 ΠΔΡΙΓΡΑΦΗ Σάζε: 230V πρλόηεηα:50hz 2 ξπζκίζεηο ηζρύνο:1100w/2200w Θεξκαληηθό ζηνηρείν ραιαδία Με ζεξκνζηάηε Με δηαθόπηε πξνζηαζίαο πνπ δηαθόπηεη απηόκαηα ηελ ιεηηνπξγία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑ Φ ΝΕΙ Ε ΕΣ Ε ΧΗΜΕ Μ Ι Ε ΑΣ ΓΥΜΝ Μ ΑΣΙΟΥ H

ΙΑΦΑ Φ ΝΕΙ Ε ΕΣ Ε ΧΗΜΕ Μ Ι Ε ΑΣ ΓΥΜΝ Μ ΑΣΙΟΥ H Hταξινόµηση των στοιχείων τάξη Γ γυµνασίου Αναγκαιότητα ταξινόµησης των στοιχείων Μέχρι το 1700 µ.χ. ο άνθρωπος είχε ανακαλύψει µόνο 15 στοιχείακαι το 1860 µ.χ. περίπου 60στοιχεία. Σηµαντικοί Χηµικοί της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΛΟΙΟΥ ΤΗΣ ΓΗΣ.

ΣΥΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΛΟΙΟΥ ΤΗΣ ΓΗΣ. ΣΥΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΛΟΙΟΥ ΤΗΣ ΓΗΣ. Η σύσταση του φλοιού ουσιαστικά καθορίζεται από τα πυριγενή πετρώματα μια που τα ιζήματα και τα μεταμορφωμένα είναι σε ασήμαντες ποσότητες συγκριτικά. Η δημιουργία των βασαλτικών-γαββρικών

Διαβάστε περισσότερα

panagiotisathanasopoulos.gr

panagiotisathanasopoulos.gr . Παναγιώτης Αθανασόπουλος Χηµικός ιδάκτωρ Παν. Πατρών. Οξειδοαναγωγή Παναγιώτης Αθανασόπουλος Χημικός, Διδάκτωρ Πανεπιστημίου Πατρών 95 Χηµικός ιδάκτωρ Παν. Πατρών 96 Χηµικός ιδάκτωρ Παν. Πατρών. Τι ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΖΩΓΡΑΦΙΖΩ ΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ. Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης

ΖΩΓΡΑΦΙΖΩ ΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ. Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης ΖΩΓΡΑΦΙΖΩ ΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης 2013 Η παρούσα έκδοση εκπονήθηκε από τη Γενική Γραμματεία του Συμβουλίου, παρέχεται δε αποκλειστικά και μόνο προς ενημέρωση. Τα θεσμικά όργανα της ΕΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ. Παρουσίαση του σχεδίου αναφοράς της καθοδηγητικής επιτροπής WG1. Βιομάζα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ. Παρουσίαση του σχεδίου αναφοράς της καθοδηγητικής επιτροπής WG1. Βιομάζα ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Παρουσίαση του σχεδίου αναφοράς της καθοδηγητικής επιτροπής WG1 Βιομάζα Πρόεδρος Γεώργιος Ζανάκης (Pioneer Hellas) Αντιπρόεδρος καθ. Νικόλαος Δαναλάτος (ΠΘ)

Διαβάστε περισσότερα