Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.:"

Transcript

1 vektorji ) OSNOVNE DEFINIIJE Krjišči dljie, npr, st enkovredni. Tudi, če i zpisli i vedeli, d govorio o isti dljii. Če p krjišče do rzlični vlogi, eneu reio zčetek, drugeu p kone, doio nov geoetrijski ojekt, vektor. S tei ojekti se oo ukvrjli n nslednjih strneh. Definiij Vektor = je userjen (orientirn) dlji. Točko ienujeo zčetek, točko p kone vektorj. Preio, ki vseuje dljio, ienujeo nosilk vektorj. = nosilk Vektor nič ( 0) Vektor, ki i zčetek in kone v isti točki, je vektor nič. 0 =. Nsprotni vektor ( ) Z dni vektor = ienujeo vektor = nsprotni vektor in to oznčio: Dolžin vektorj ( ) =. Dolžin (= velikost, = solutn vrednost, = nor) vektorj je dolžin dljie, ki predstvlj vektor, t.j.: =. Kolinernost = vzporednost Vektorj in st kolinern li vzporedn, če st njuni nosilki vzporedni preii. Istosiseln vektorj Kolinern vektorj in D it isti sisel ( D)ntnko tedj, ko ostj rvnin Π, d velj: Π je prvokotn n nosilki vektorjev in D, poltrk (;) in (;D) ležit n isti strni rvnine Π. Če tk rvnin Π ne ostj, st kolinern vektorj nsprotno siseln ( D). 1

2 D E N sliki st in D istosiseln, in EF p nsprotno siseln. Π F Enkost Vektorj in st enk ntnko tedj, ko: 1. =, t.j.: vektorj st enko dolg, 2. it isto ser, t.j. njuni nosilki st vzporedni preii, 3. it isti sisel ( ). Povzeio: Vektor je ntnko določen z: dolžino, serjo, sislo. 1 E D N desni sliki so v prvilne šestkotniku prikzni štirje enki vektorji (, FS, S, ED). F S ) RČUNSKE OPERIJE Oznčio nožio vseh vektorjev z V, nožio relnih števil R p ienujo noži sklrjev. Z eleenti nožie vektorjev in nožie sklrjev definiro nslednje rčunske operije: 1. Seštevnje: + Rezultt seštevnj (vsot) je vektor. Če si vektor predstvljo kot pot, ki jo zčneo v in končo v, kot pot iz v, je seštevek (rezultt) + oeh poti pot iz v, t.j. vektor. Vsoto lhko pridelo n dv nčin: Trikotniško prvilo V kone vektorj postvio zčetek vektorj. Vsot je vektor, ki i zčetek v zčetku vektorj, kone p v konu vektorj. + 1 Tko definirn enkost vse vektorje v prostoru rzdeli n nožio rzredov; učeno ji prvio ekvivlenčni rzredi. V vske rzredu je rez števil enkih vektorjev. Tudi pri ulokih so postopli podono. V nožii vseh urejenih prov elih števil (, ) = Z Z\{0} 1 so enkost definirli: (, ) = (, d) d =. Enke uloke, npr. 2, 2 4, 3,..., združio v rzrede, 6 rzred p ienujeo rionlno število. 2

3 Prlelogrsko prvilo Zčetk oeh vektorjev in postvio v skupen zčetek. Vsot je digonl prlelogr, ki g tvorit vektorj = in = D. Seštevnje v oeh prierih dá isti rezultt. trikotniško v. D + V prlelogrske prvilu ugledo Tudi kouttivnost vsote + = + preereo iz prlelogrskeg prvil; enkrt seštevo v spodnje trikotniku, drugič p v zgornje D. soitivnost vsote, t.j.: ( + ) + = + ( + ) pokže slik n desni Vektor 0 i vlogo nevtrlneg eleent z seštevnje, sj + 0 = + = =. Vektor i vlogo nsprotneg eleent z seštevnje, sj + ( ) = + = = Odštevnje: Odštevnje, tko kot pri številih, definiro kot prištevnje nsprotneg eleent: = + ( ). Krjevni in prosti vektorji - (-)+=- Izerio v prostoru točko O. Glede n O rzdelio vse vektorje v prostoru n: 2 V strktnih vektorskih prostorih se kouttivnost in soitivnost seštevnj, ostoj nevtrlneg eleent in nsprotneg eleent privzejo kot ksioi. 3

4 krjevne; to so tisti, kterih zčetek je v O, kone p v točki, ki jo pokžejo (zto krjevni), proste; to je tiste, kterih zčetek ni v O. N sliki st in krjevn, in d p prost vektorj. d Vsk prosti vektor, npr., lhko zpišeo s krjevni vektorje kon in zčetk: O = O O. O 3. Množenje vektorj s število (sklrje): Nj V in R. Rezultt noženj vektorj s število je vektor, z ktereg velj: () = (dolžin se poveč li znjš z fktor ), () (vektor i isto ser (je vzporeden) vektorju ), (), če je > 0 in, če je < 0. N spodnji sliki st z dni vektor prikzn vektorj 2 in (5/3) 2 Lstnosti noženj vektorj s število 1. distriutivnost v seštevnju vektorjev: ( + ) = +, 2. distriutivnost v seštevnju sklrjev: ( + n) = + n, 3. hoogenost: (n ) = (n), 4. 1 =. Lstnost 1 privzeo kot ksio, ostle p dokžeo. Npr. lstnost 2: Oznčio levo strn L, desno p D. Dokzujeo L = D. Preverjo: ser. L in D it o ser vektorj, zto it isto ser; sisel. Če je > 0 in n > 0, je L D (podono pokžeo ostle ožnosti: < 0, n < 0; > 0, n < 0 in + n > 0; > 0, n < 0 in + n < 0, 4

5 dolžin. Vzeio spet > 0 in n > 0. Tedj: L = ( + n) = + n = ( + n ) = + n = D. Ostle ožnosti pri lstnosti 2 pokžeo podono, prv tko tudi ostli lstnosti 3 in 4. ) PREPROSTE POSLEDIE Enotski vektor Nj o poljuen neničelen vektor in njegov dolžin. Vektor 0 = 1 ienujeo enotski vektor vektorj. Vektor 0 i isto ser in sisel kot, njegov dolžin p je 1. Zto je : = 0. Kolinerni (vzporedni) vektorji Vzeio snop vzporednih prei. Nj v snopu ležit neničeln vektorj in. o Njun enotsk vektorj 0 in 0 se rzlikujet kvečjeu v sislu. Zto je odisi 0 = 0, odisi 0 = 0. Vzeio prvo ožnost. Tedj 0 = 0 1 = 1 =. Povzeio: Če st neničeln vektorj vzporedn, lhko eneg izrzio z drugi, t.j.: ostj R, d velj : =. 3 o Koplnrni (li koplnrni) vektorji Nj o Π rvnin. V njej izerio nekolinern vektorj in. O Π 3 Število je ntnko določeno, sj, če i ostjlo še eno število, npr tko, d je =, i odkrili:( ) = 0, kr p pri neničelne vektorju gre le, če je =. 5

6 Vzeio še tretji vektor, ki leži v rvnini Π. Vektorje, in postvio v skupno zčetno točko O. V konu vektorj postvio dve vzporednii, eno vzporedno vektorju in drugo vzporedno vektorju. Vzporednii sekt nosilki vektorjev in v točkh in (gornj slik). Vektor je pote enk vsoti vektorjev O in O. Tod vektorj O in O st kolinern z vektorje in, zto ostjt števili in n, d je O = in O = n. Števili in n st ntnko določeni. To pokžeo tkole: Nj o = + n in = + n. Pote je + n = + n ( ) = (n n). Ker st in nekolinern, zdnj enč velj le, če je = in n = n. Pokzli so: Če so vektorji, in koplnrni in, nekolinern, ostjt ntnko določeni relni števili in n, d je: Vektorji v prostoru V prostoru iejo tri nekoplnrne vektorje, reio, in. Nj o d vektor teg prostor. Vektorje postvio v skupen zčetek O. = + n. V konu T vektorj d postvio vzporednio k nosilki vektorj. T nj preode rvnino Π vektorjev in v točki P. Postvio v konu d še eno vzporednio; tokrt nj o vzporedn vektorju OP. T sek nosilko vektorj v točki R. Pote je: d = OP + PT. Vektor OP leži v rvnini vektorjev in, vektor PT p je vzporeden vektorju. Zto ostjjo ntnko določen števil, n in p, d je: d = + n + p. Povzeio: Če so, in trije nekoplnrni vektorji in d poljuen vektor v prostoru, ostjjo ntnko določen reln števil, n in p, d velj: O d = + n + p. R d P T Π D) LINERN KOMINIJ IN LINERN ODVISNOST VEKTORJEV Poglejo ugotovitve o kolinernih, koplnrnih in nekoplnrnih vektorjih še lgerjsko. Zčnio z definiji: Definiij 1 : Nj odo x 1, x 2,..., x n vektorji prostor V, 1, 2,..., n p reln števil iz prostor sklrjev. Vektor: 1 x x n x n ienujeo linern koinij vektorjev x 1, x 2,..., x n s koefiienti 1, 2,..., n. Vektor je linern koinij vektorjev,, s koefiienti 1 3, 1, 3, vektor 2 p je linern koinij vektorjev,, s koefiienti 2, 0, 1. 6

7 Definiij 2 : Če je 1 x x n x n = 0, ienujeo linerno koinijo 1 x x n x n ničeln linern koinij. Če izereo v linerni koiniji vse koefiiente enke 0, postne koinij ničeln. Ostjjo p ničelne linerne koinije, ki nijo vseh koefiientov enkih 0. N desni sliki je = +, zto je + = 0 ničeln koinij, ki ni vseh koefiientov enkih 0. Definiij 3 : Ničelno linerno koinijo, ktere vsi koefiienti so enki 0, ienujeo triviln ničeln koinij. Definiij 4 : Vektorji x 1, x 2,..., x n so linerno neodvisni ntnko tkrt, ko je le njihov triviln koinij ničeln, t.j.: 1 x x n x n = 0 1 = 2 = n = 0. Če vektorji x 1, x 2,..., x n niso linerno neodvisni, so linerno odvisni. Ndljujo z nekj trditvi. Trditev 1 : Neničeln vektorj st kolinern ntnko tedj, ko st linerno odvisn. Dokz: ( ) Nj ost in kolinern. Pote ostj število λ, d je = λ. Tedj: = λ λ = 0. Zdnj koinij je ničeln, njen koefiient p ne o enk 0. Zto st in odvisn. ( ) Nj ost in linerno odvisn. Pote ostj njun netriviln ničeln koinij, npr. λ + µ = 0. Vzeio λ 0. Tedj: = µ λ, zto je vzporeden (kolineren) vektorju. Podono pokžeo: Trditev 2 : Trije neničelni vektorji so koplnrni ntnko tedj, ko so linerno odvisni. Nslednj trditev je znčiln z prostor nših vektorjev. 4 Trditev 3 : Štirje neničelni vektorji so linerno odvisni. Res, z štiri vektorje,, in d v prostoru so pokzli, d eneg lhko izrzio z ostlii trei, npr. d = + n + p, zto je d n p = 0 netriviln ničeln koinij, torej so,, in d linerno odvisni. S trditvijo 3 so v resnii pokzli še več: Trditev 4 : Če je n > 4, so neničelni vektorji x 1, x 2,..., x n linerno odvisni. 4 nš vektor je userjen dlji 7

8 Res, izereo poljune štiri, ki so po trditvi odvisni, npr. x 1, x 2, x 3, x 4. Zto 1 x x x x 4 = 0 in vsj eno od števil 1, 2, 3, 4 ni enko 0. Pote p je 1 x x x x x x n = 0 netriviln ničeln koinij vektorjev x 1, x 2,..., x n, zto so odvisni. Povzeio: V prostoru nših vektorjev V velj z podnožio { x 1, x 2,..., x n } neničelnih vektorjev x i : Če je n = 2, st vektorj x 1, x 2 linerno neodvisn ntnko tedj, ko nist kolinern, če je n = 3, so vektorji x 1, x 2, x 3 linerno neodvisni ntnko tedj, ko niso koplnrni, če je n 4, so vektorji x 1, x 2,..., x n linerno odvisni. Končjo poglvje z opiso ze: Množi vektorjev { e 1, e 2,..., e n } je z, če: so vektorji e 1, e 2,..., e n linerno neodvisni in poljuen vektor x lhko zpišeo z linerno koinijo vektorjev e 1, e 2,..., e n. Prieri z: Nj o P noži vseh vektorjev, ki so vzporedni dni preii p. nožie P neničelen vektor iz te nožie. Pote je z Če je R noži vseh vektorjev v dni rvnini Π, zo te nožie sestvljt dv nekolinern vektorj rvnine Π. Oičjno z zn vektorj izereo ortonorirn vektorj, t.j. edseoj prvokotn enotsk vektorj, ki ju oznčio z i in j. Še prostor si oglejo. Nučili so se, d v prostoru vsk vektor lhko izrzio s trei izrnii nekoplnrnii vektorji. Trije nekoplnrni vektorji so linerno neodvisni, zto z njii lhko sestvio zo prostor. Oičjno izereo tri, edseoj prvokotne, enotske vektorje i, j in k. E) PRIMERI UPORE Uporo si oglejo n nekj prierih. 1. N nosilki vektorj = leži tk točk T, d je: T : T = : n. Izrzi vektor T z vektorje. T n Ker je T kolineren z, ostj relno število λ, d je T = λ. dolžin vektorjev T in, kr ugledo v: Število λ je rzerje T = λ = λ λ = T. Dolžin eri + n (li: ( + n) x) enot, dolžin T eri (li x) enot, zto je λ = +n in: T = +n. 8

9 2. V trikotniku leži n strnii točk D, ki deli strnio v rzerju: D : D = : n. Izrzi vektor D z vektorje = in =. n D V rezulttu prejšne nloge ugledo: D = D = + D = + = + + n +n. Tedj: + n ( + ) = n + n + + n. Pokzli so: D = n +n + +n. Če je D težiščni, je = n = 1 in D = Pokži, d se težiščnie trikotnik: () sekjo v skupni točki (težišču), npr. T, in d () točk T rzdeli poljuno težiščnio v rzerju 2 : 1 z del od oglišč do težišč. Pokžio njprej drugi del. Uporili oo dejstvo, d lhko vsk vektor rvnine n en s nčin zpišeo z dve nekolinerni vektorje te rvnine. To poeni, če je = + n in = + n, je = in n = n, če st le in nekolinern. Z nekolinern vektorj oo izrli vektorj = in =. Uporili oo tudi rezultt prejšne nloge z težiščnie, t.j.: D = in E = 1 2 ( )+1 2 ( ) = 1 2. E T D - Vektor T oo n dv nčin izrzili z in : 1. nčin: T = D = ( ) = 2 + 2, 2. nčin: T = + T = + n E = + n( 1 2 ) = (1 n) + n 2. Ustrezni števili pri in ort iti enki, zto: 2 = 1 n in 2 = n 2 in = n = 2 3. Odtod: 9

10 T = 2 D T = D T : TD = 2 : 1 in T = 2 E T = E T : TE = 2 : 1. Pokžio še prvi del. Nj prei (,T) sek strnio v točki F. Pokzti oro, d je F težiščni, t.j., d točk F rzpolvlj dljio. Izrzio F n dv nčin z in. E T D - 1. nčin: F = x = x + 0, F 2. nčin: F = T+ TF = 2 3 ( )+y F = y(x ) = ( xy) + ( 1 3 y). Zpišeo ustrezni siste enč: x = xy, 0 = 1 3 y, ki i rešitev x = 1 2 in y = 1 3. Zto je: F = 1 in TF = 1 F, 2 3 kr je ilo tre dokzti. D 4. Pokži, d se digonli prlelogr rzpolvljt. T Z osnovn (zn) vektorj postvio = in = D. N dv nčin izrzio vektor T, kjer je T presečišče digonl. 1. nčin: T = x = x + x, 2. nčin: T = + y D = + y( ) = (1 y) + y. Ustrezni siste enč (x = 1 y, x = y) i rešitev x = y = 1 2, kr je ilo tre pokzti. 10

11 NDLOGE 1. Vektorj in st linerno neodvisn. Izrčunj število tko, d ost vektorj 2 + in ( ) 1 2 vzporedn. [R: = 3 ] 2. Izrzi vektor = 8 + z vektorje e = 2 3 in f = [R: = e + 2 f ] 3. V nslednjih nlogh je D prlelogr in = in =. V nlogh izrzi vektor UV z vektorje in. () U : = 1 : 2, V : V D = 2 : 1, UV =? () U : U = 3 : 2, V : V D = 1 : 4, UV =? () U : U = 2 : 1, V : V D = 1 : 4, UV =? 4. V nslednjih nlogh je DEF prvilni šestkotnik in = in = F. V nlogh izrzi vektor UV z vektorje in. () EU : UF = 2 : 1, EV : V D = 2 : 1, UV =? () U : U = 3 : 2, V : V D = 1 : 4, UV =? 5. V nslednjih nlogh je trikotnik in = in =. V nlogh izrzi vektor UV z vektorje in. () U : U = 2 : 3, V : = 4 : 5, UV =? () D je težiščni, U : UD = 1 : 3, V : V = 1 : 4, UV =? 6. V nslednjih nlogh je DEF GH kok(e je nd ) in =, = D in = E. V nlogh izrzi vektor UV z vektorji, in. () U je sredin ploskve EF GH, V je sredin ro G, UV =? () GU : UE = 2 : 1, V : V G = 1 : 2, UV =? 7. Izrčunj rzerji T : T E in T : T D n sliki. T E D D : D = 2 : 3 E : = 1 : 4 11

12 8. V prlelogru D leži n n digonlid točk U, d velj U : UD = 1 : 3, točk V p je presečišče preie (, U) in preie (, ). V kolike rzerju deli točk V strnio? [Nig: Iskno rzerje je V : V = 2 : 1. Če je =, D =, je npr.: V = in V = nu + 1 D = ( n + 1) + ( 3n 1).] V tristrni piridi D z osnovno ploskvijo je E težišče ploskve D, točk F p rzpolovišče strnie. Točk X leži n dljii F D tko, d se dljii X in E sekt. V kkšne rzerju deli točk X dljio F D? [R: DX : XF = 2 : 1 ] 10. Kok DEF GH (E je nd ) i središče ploskve GF v točki T. V kkšne rzerju odreže prlelogr F HD dljio T? [R: 2 : 1 ] 12

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka B) VEKTORSKI PRODUKT 1 1) Prvilo desneg vijk Vsi smo že videli vijk, nekteri kkšneg privili, tisti, ki teg še niste storili, p prosite kog, ki se n vijke spozn, d vm pokže privijnje vijk. Večin vijkov

Διαβάστε περισσότερα

Dani vektor lahko ponazorimo z usmerjeno daljico, ki se začne v poljubni točki - pravimo tudi, da vektor vzporedno premaknemo v dano začetno točko.

Dani vektor lahko ponazorimo z usmerjeno daljico, ki se začne v poljubni točki - pravimo tudi, da vektor vzporedno premaknemo v dano začetno točko. Vektoji Usejen dlji ozio oientin dlji je dlji ki ji piedio useitev oientijo. To nedio tko d se odločio kteo od kjišč je zčetn točk in kteo končn točk te dljie. Usejeno dljio z zčetno točko A in končno

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje 1 Ponovitev mtemtike z kemijske inženirje 1.1 Vektorji Vektor v 3-rzsežnem prostoru lhko npišemo kot trojico števil: = 1,, 3. Števil 1,, 3 po vrsti oznčujejo komponente vektorj v, y in z smeri krtezičneg

Διαβάστε περισσότερα

Olga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2

Olga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2 Olg rnuš Mirjm on Klnjšček ojn voržk rjo Feld Sonj Frnce Mtej Škrlec MTEMTIK Z i r k n l o g z g i m n z i j e Zirko nlog so npisli Olg rnuš, prof., mg. Mirjm on Klnjšček, ojn voržk, prof., mg. rjo Feld,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07 Mtemtik I Mtjž Željko NTF Nčrtovnje tekstilij in oblčil Zpiski ob predvnjih v šolskem letu 006/07 Izpis: mrec 009 Kzlo Množice in števil 4 Množice 4 Reln števil 8 3 Podmnožice relnih števil 0 4 Kompleksn

Διαβάστε περισσότερα

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov Ruolf Klnik: Fizik z srenješolce Set elektrono in too Električno olje (11), gibnje elce električne olju Strn 55, nlog 1 Kolikšno netost or releteti elektron, se njego kinetičn energij oeč z 1 kev? Δ W

Διαβάστε περισσότερα

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan Anliz I Josip Globevnik Mih Brojn 27. pril 2012 2 Predgovor Pred vmi je prv verzij skript z predmet Anliz 1, nmenjenih študentom univerzitetneg študij mtemtike n Univerzi v Ljubljni. Upv, d bodo skript

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE. Številske vrste Poleg zporedij relnih števil lhko o konvergenci govorimo tudi pri t.i. številskih vrsth. Formlno gledno je številsk vrst neskončn vsot relnih števil;

Διαβάστε περισσότερα

REŠITVE 1 IZRAZI 1.1 PONOVITEV RA»UNANJA Z ALGEBRSKIMI IZRAZI 1.2 KVADRAT DVO»LENIKA 1.3 PRODUKT VSOTE IN RAZLIKE DVEH ENAKIH»LENOV

REŠITVE 1 IZRAZI 1.1 PONOVITEV RA»UNANJA Z ALGEBRSKIMI IZRAZI 1.2 KVADRAT DVO»LENIKA 1.3 PRODUKT VSOTE IN RAZLIKE DVEH ENAKIH»LENOV RŠIV IZRZI. PONOVIV R»UNNJ Z LGRSKIMI IZRZI enočlenik b d koeficient ) 0b b) d c) č) 0 b d) fg e), f) 0 b 6 ) b( c) b) ( + b) c) 6( ) č) ( ) d) b( + b ) ( ) = ) b) c) m n + č) 6 + b d) e) v + t f) c d

Διαβάστε περισσότερα

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010 M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 009/00 NARAVNA ŠTEVILA. Kter števil imenujemo nrvn števil? Nštejte osnovne rčunske opercije, ki so definirne v množici nrvnih števil in

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Mtemtik Gbrijel Tomšič Bojn Orel Než Mrmor Kost. pril 008 50 Poglvje 5 Integrl 5. Nedoločeni in določeni integrl Nedoločeni integrl V poglvju o odvjnju funkcij smo se nučili dni funkciji f poiskti njen

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvjnje funkcij ene spremenljivke Odvjnje je en njpomembnejši opercij n funkcij. Z uporbo odvod, kdr le-t obstj, lko veliko bolje spoznmo vedenje funkcje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo

Διαβάστε περισσότερα

Skrivnosti πtevil in oblik 8 PriroËnik. za 8. razred osnovne πole

Skrivnosti πtevil in oblik 8 PriroËnik. za 8. razred osnovne πole Skrivnosti πtevil in olik 8 PriroËnik z 8. rzred osnovne πole Jože erk Jn Drksler Mrjn RoiË Skrivnosti πtevil in olik 8 PriroËnik z 8. rzred osnovne πole vtorji: Jože erk, Jn Drksler in Mrjn RoiË Ilustrcije:

Διαβάστε περισσότερα

Izbrana poglavja iz matematike

Izbrana poglavja iz matematike Izbrn poglvj iz mtemtike BF Biologij Mtjž Željko Zpiski ob predvnjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 jnur 00 KAZALO Kzlo Števil 5 Nrvn števil 5 Cel števil 6 3 Rcionln števil 6 4 Reln števil 7 5 Urejenost

Διαβάστε περισσότερα

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Jože Berk Jn Drksler Mrjn RobiË Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Avtorji: Jože Berk, Jn Drksler in Mrjn RobiË

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

1 3D-prostor; ravnina in premica

1 3D-prostor; ravnina in premica 1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x FKKT Mtemtik Integrlni rčun Nedoločeni integrl Definicij. Nj bo dn funkcij f : D R R. Funkcij F, z ktero v vski točki iz x D velj F (x) = f(x) se imenuje nedoločeni integrl funkcije f. f(x). Izrek. Če

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

DOMAČA NALOGA pri predmetu Statika in Kinematika

DOMAČA NALOGA pri predmetu Statika in Kinematika kultet z strojništvo Univerz v Ljubljni STTIK I KIETIK DOČ LOG ri redmetu Sttik in Kinemtik Domč nlog zjem vje iz odročij: osnove vektorskeg rčun, obremenitve, rekcije in odore konstrukcij Študent: Boštjn

Διαβάστε περισσότερα

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ. Nedoločeni integrl Poleg odvjnj funkij je z uporbo pomembno, d jih znmo tudi integrirti. Z integrlom rčunmo dolžine krivulj, površine krivočrtnih likov, prostornine teles omejenih

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA III Zapiski za ustni izpit

MATEMATIKA III Zapiski za ustni izpit MATEMATIKA III Zpiski z ustni izpit 2 UNI Šolsko leto 2011/2012 Izvjlec Gregor olinr Avtor dokument Jernej Podlipnik mjn Sirnik UREJANJE OKUMENTA VERZIJA 01.01 ATUM 12.02.2012 OPOMBE Priprv n ustni izpit

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA 2. Zapiski predavanj. Milan Hladnik

ANALIZA 2. Zapiski predavanj. Milan Hladnik ANALIZA 2 Zpiski predvnj Miln Hldnik Fkultet z mtemtiko in fiziko Ljubljn 22 KAZALO I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ 3. Nedoločeni integrl 3 2. Določeni integrl 9 3. Uporb določeneg integrl v geometriji 26 4. Posplošeni

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Lastne vrednosti in lastni vektorji

Lastne vrednosti in lastni vektorji Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVJE 7. Nedoločeni integral. 1. Definicija, enoličnost, obstoj

POGLAVJE 7. Nedoločeni integral. 1. Definicija, enoličnost, obstoj Del 3 Integrli POGLAVJE 7 Nedoločeni integrl. Definicij, enoličnost, obstoj Prvimo, d je funkcij F (x) nedoločeni integrl funkcije f(x) (in pišemo F (x) = f(x) dx), če velj F (x) = f(x) z vsk x D(f).

Διαβάστε περισσότερα

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori s skalarnim produktom

Vektorski prostori s skalarnim produktom Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

vsota je komutativna, asociativna,skalarno množenje pa distributivno če obstaja tak skalar,da velja a = cb in b = ca, ter če velja da so n

vsota je komutativna, asociativna,skalarno množenje pa distributivno če obstaja tak skalar,da velja a = cb in b = ca, ter če velja da so n . Determt poddetermt dvovrste determte srečmo pr reševju sstemov dve ler eč z dvem ezkm; spodj zrz meujemo determt sstem D. Lstost determte če m mtrk A v stolpc zpse vrstce mtrke A potem velj deta deta

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4 Zapiski s predavanj prof. Petra Legiše

Matematika 4 Zapiski s predavanj prof. Petra Legiše Mtemtik 4 Zpiski s predvnj prof. Petr Legiše Mih Čnčul 9. julij Kzlo Vricijski rčun 3. Osnovni vricijski problem............................. 3. Prmetričn rešitev................................. 6.3 Višji

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

INŽENIRSKA MATEMATIKA I INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa, Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1 Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]

Διαβάστε περισσότερα

F(x) = f(x) dx. Nedoločenega integrala velikokrat ne moremo zapisati kot kombinacijo elementarnih funkcij, kot na primer integrale sin x

F(x) = f(x) dx. Nedoločenega integrala velikokrat ne moremo zapisati kot kombinacijo elementarnih funkcij, kot na primer integrale sin x Poglvje 5 Numeričn integrcij 5.1 Uvod Pojm odvod in določeneg integrl smo že srečli pri mtemtiki. Vemo, d je odvjnje rzmerom enostvn opercij in d lko vski funkciji, ki jo lko zpišemo kot kombincijo elementrni

Διαβάστε περισσότερα

NEKAJ TEORETIČNIH OSNOV IN PRAKTIČNIH PRIMEROV ZA UPORABO RAVNOTEŽNIH POGOJEV ZA RAČUN PREVRNITVE TELES, REAKCIJ IN NOTRANJIH SIL.

NEKAJ TEORETIČNIH OSNOV IN PRAKTIČNIH PRIMEROV ZA UPORABO RAVNOTEŽNIH POGOJEV ZA RAČUN PREVRNITVE TELES, REAKCIJ IN NOTRANJIH SIL. Prof. Dr. Vojko Kir kdemij z ikovno umetnost Oddeek z industrijsko oikovnje Univerz v Ljujni NEKJ TEORETIČNIH OSNOV IN PRKTIČNIH PRIMEROV Z UPORO RVNOTEŽNIH POGOJEV Z RČUN PREVRNITVE TELES, REKCIJ IN NOTRNJIH

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο ο φ. II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΕΠΩΝΥΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΜΕΣΟ ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 7 OO ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΖΩΙΤΣΑ

Διαβάστε περισσότερα

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint)

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint) Wedesday, May 5, 3 Erraa (Icludes criical correcios oly for he s & d repri) Advaced Egieerig Mahemaics, 7e Peer V O eil ISB: 978474 Page # Descripio 38 ie 4: chage "w v a v " "w v a v " 46 ie : chage "y

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Dobson číst si Dobsona 9. až 12. lekci od 13. lekce už nečíst (minulý čas probírán na stažených slovesech velmi matoucí) Bartoň pořídit si

Διαβάστε περισσότερα

AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( (((

AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( ((( ? / / / o/ / / / o/ / / / 1 1 1., D 1 1 1 D 1, E F 1 D 1. = a, D = b, 1 = c. a, b, c : #$ #$ #$ 1) 1 ; : 1)!" ) D 1 ; ) F ; = D, )!" D 1 = D + DD 1, % ) F = D + DD 1 + D 1 F, % 4) EF. 1 = 1, 1 = a + b

Διαβάστε περισσότερα

Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič. Skrivnosti števil in oblik. Rešitve učbenika v 7. razredu osnovne šole

Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič. Skrivnosti števil in oblik. Rešitve učbenika v 7. razredu osnovne šole Jož rk, Jn rkslr in Mrjn Roič Skrivnosti štvil in olik Ršitv učnik v. rzrdu osnovn šol REŠIE NRN EIL. ELJIOS ŠEIL ),,,,, + k ; k o. Prdhodnmu štvilu prištjmo. ),,,,, : k ; k. Prdhodno štvilo dlimo s.,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads.

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Η μυκηναϊκή Γραμμική Β γραφή ονομάστηκε έτσι από τον

Διαβάστε περισσότερα