ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KAI ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ ΧΡΗΣΤΟΣ ΧΡΗΣΤΙ ΗΣ Α.Μ Επιβλέπων Καθηγητή ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΡΑΠΤΗΣ ΑΘΗΝΑ 010

2 Η παρούσα ιπλωµατική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης που απονέµει το ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την από εξεταστική Επιτροπή αποτελούµενη από τους: Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογραφή 1) Ευάγγελος Ράπτης (επιβλέπων Καθηγητής) Αν. Καθηγητής ) Ευστάθιος Γιαννακούλιας Καθηγητής. 3) ηµήτριος Βάρσος Αν. Καθηγητής 1

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ όλους τους καθηγητές του µεταπτυχιακού προγράµµατος οι οποίοι µε τις γνώσεις τους µε βοήθησαν να στοχαστώ και να προβληµατιστώ πάνω στη διδακτική και τα µαθηµατικά, να διευρύνω τις γνώσεις µου αλλά και τον τρόπο σκέψης µου. Ευχαριστώ επίσης θερµά τους καθηγητές κ. Ευστάθιο Γιαννακούλια και κ. ηµήτριο Βάρσο για τις πολύτιµες συµβουλές τους. Ιδιαίτερα όµως ευχαριστώ τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Ευάγγελο Ράπτη για τη συνεχή του καθοδήγηση και αµέριστη συµπαράστασή του σε όλα τα στάδια εκπόνησης αυτής της εργασίας. Την εργασία αυτή την αφιερώνω στους δικούς µου ανθρώπους, οικογένεια και φίλους, για την υποµονή τους, τη συµπαράστασή τους και την πίστη που µου έδειξαν κατά τη διάρκεια των σπουδών µου.

4 ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ Χρηστίδης Χρήστος Υποβλήθηκε στο Πανεπιστήµιο Αθηνών στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης στη ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών που απονέµει το Τµήµα Μαθηµατικών Αθήνα 010 3

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή..5 ΚΕΦ. 1: Οµάδες Υποοµάδες 8 ΚΕΦ. : ακτύλιοι Σώµατα...17 ΚΕΦ. 3: ιανυσµατικοί Χώροι. ΚΕΦ. 4: Ανάγωγα Πολυώνυµα.4 ΚΕΦ. 5: Επεκτάσεις Σωµάτων..9 ΚΕΦ. 6: Στοιχεία Θεωρίας Galois ΚΕΦ. 7: Γεωµετρικές κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη...4 ΚΕΦ. 8: Κατασκευασιµότητα κανονικών πολυγώνων..55 ΚΕΦ. 9: Η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου µε κανόνα και διαβήτη Α.Η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου από τον Ευκλείδη..63 Β.Η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου στο σχολικό βιβλίο 70 Γ.Μία διδακτική πρόταση κατασκευής του κανονικού δεκαγώνου µε την αναλυτικο-συνθετική µέθοδο Βιβλιογραφία.79 4

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν δείξει ενδιαφέρον για το ποια είδη γεωµετρικών σχηµάτων µπορούν να κατασκευαστούν µόνο µε τη χρήση κανόνα και διαβήτη. Ένα από τα δυσκολότερα προβλήµατα αυτής της κατηγορίας αφορούσε τα κανονικά πολύγωνα. Το ερώτηµα είναι: Για ποιες τιµές του n µπορεί να κατασκευαστεί κανονικό πολύγωνο µε n πλευρές (µε κανόνα και διαβήτη); Τονίζουµε τη διαφορά µεταξύ της έκφρασης ότι το κανονικό n-γωνο υπάρχει και της έκφρασης ότι αυτό µπορεί να κατασκευαστεί. Τέτοια πολύγωνα υπάρχουν για όλες τις τιµές του n απλά σχηµατίζοντας σε έναν κύκλο επίκεντρες γωνίες 360 / n. Αυτό όµως απαιτεί κάτι παραπάνω από έναν κανόνα και έναν διαβήτη απαιτεί ένα απείρως ακριβές µοιρογνωµόνιο. Για παράδειγµα, υπάρχουν κανονικά 7-γωνα αλλά όπως θα δούµε δεν κατασκευάζονται µε κανόνα και διαβήτη. O Carl Friedrich Gauss ( ) αποτελεί µαζί µε τον Αρχιµήδη και τον Νεύτωνα έναν από τους τρεις µεγαλύτερους µαθηµατικούς όλων των εποχών. Ο Gauss καλείτο Mathematicorum princeps, (Πρίγκιπας των Μαθηµατικών), και η εκτίµηση στο άτοµο του θα µπορούσε σίγουρα να ήταν µεγαλύτερη, αν είχε γνωστοποιήσει το περιεχόµενο του ηµερολογίου του που παρέµενε µυστικό µέχρι το 1898, σαράντα τρία χρόνια µετά τον θάνατο του. Σε αυτό υπήρχαν αποτελέσµατα τα οποία προέβλεπαν πολλές από τις ανακαλύψεις στα Μαθηµατικά του δεύτερου µισού του δέκατου ένατου αιώνα. Ο Gauss για λόγους τελειοµανίας και αποφυγής προστριβών δεν δηµοσίευε όλα του τα αποτελέσµατα (Davis, 005). Λέγεται ότι ο Gauss ήταν σε θέση να κάνει αριθµητικές πράξεις, πριν καν µιλήσει, ενώ από µικρή ηλικία βοηθούσε τον πατέρα του να υπολογίζει την πληρωµή για τα έργα που αναλάµβανε. Έχει µείνει µάλιστα γνωστό ένα «κατόρθωµά» του που αναφέρει ότι µόλις 8 χρονών µπόρεσε, προς µεγάλη έκπληξη του δάσκαλου, να υπολογίσει αµέσως το άθροισµα των 100 πρώτων φυσικών ακεραίων ενώ στους συµµαθητές του πήρε παραπάνω από µία ώρα! 5

7 Εξ αιτίας όλων αυτών των «περίεργων φαινοµένων» και ταλέντων που παρουσίαζε ο νεαρός Gauss ανάγκασε ουσιαστικά τον πατέρα του να του επιτρέψει να πάει στο Γυµνάσιο αντί να σταµατήσει και να βοηθήσει την οικογένειά του στα πιο πρακτικά επαγγέλµατα. Εκεί ήταν που ξεδιπλώθηκε ραγδαία όλο το ταλέντο του προς τις θετικές επιστήµες. Μετά το Γυµνάσιο συνέχισε τις σπουδές του στα Μαθηµατικά στο κολλέγιο Carolinum όπου πέρασε τρία πολύ δηµιουργικά χρόνια. Παρ όλα αυτά τα µαθηµατικά δεν είχαν ακόµα κερδίσει το 100% της καρδιάς του γιατί ταυτόχρονα είχε µεγάλη έφεση και στις γλώσσες. Κάποιοι πιστεύουν πως την τελική απόφαση, να σπουδάσει Μαθηµατικά στο Πανεπιστήµιο του Gottingen, την πήρε αφού ανακάλυψε ότι µπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα κανονικό 17-γωνο µόνο µε κανόνα και διαβήτη. Ο Gauss ήταν πολύ περήφανος για αυτή του την ανακάλυψη και εξέφρασε την επιθυµία η επιτάφια πλάκα του να έχει χαραγµένο το κανονικό 17-γωνο. Η επιθυµία του δεν πραγµατοποιήθηκε, αφού ο γλύπτης το αρνήθηκε λέγοντας ότι θα µοιάζει περισσότερο µε κύκλο. Το κοντινότερο στην επιθυµία του ήταν το 17-κόρυφο αστέρι που κοσµεί ένα άγαλµα που ανεγέρθηκε προς τιµήν του. Σηµαντικότερος από την αναλυτική κατασκευή του κανονικού 17-γώνου υπήρξε ο κανόνας του Gauss για το ποια ακριβώς κανονικά n-γωνα είναι κατασκευάσιµα. Ο Gauss απέδειξε ότι το κανονικό n-γωνο είναι κατασκευάσιµο µε κανόνα και διαβήτη όταν n= r p1... p s, όπου οι p i να είναι διαφορετικοί πρώτοι της µορφής n 1 +. Ο Gauss ήταν βέβαιος για την ισχύ του αντιστρόφου, δεν κατάφερε όµως να το αποδείξει. Την απόδειξη έδωσε ο Pierre Wantzel ( ) το Στην παρούσα διπλωµατική εργασία δίνεται µια αναλυτική απόδειξη του παραπάνω κανόνα (ευθύ και αντίστροφο), αφού πρώτα αναφερθούν αναλυτικά όλα τα στοιχεία από την Άλγεβρα και τη Θεωρία Galois που είναι απαραίτητα για την θεµελίωσή της. Το τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας αναφέρεται στην κατασκευή του κανονικού πενταγώνου µε κανόνα και διαβήτη. 6

8 Παρουσιάζεται η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου µε κανόνα και διαβήτη από τον Ευκλείδη όπως αυτή παρουσιάζεται στα Στοιχεία, καθώς και η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο της Β Λυκείου. Επίσης παρουσιάζεται και µια διδακτική προσέγγιση κατασκευής του κανονικού δεκαγώνου (άρα και του κανονικού πενταγώνου) από τους µαθητές της Β Λυκείου, µε την αναλυτικο-συνθετική µέθοδο. 7

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΟΜΑ ΕΣ ΥΠΟΟΜΑ ΕΣ Ορισµός 1.1. Οµάδα λέγεται ένα µη κενό σύνολο G εφοδιασµένο µε µια πράξη * η οποία σε κάθε ζεύγος αντιστοιχεί ένα τρίτο στοιχείο που ικανοποιεί τα εξής αξιώµατα : (1) Υπάρχει () Ισχύει (3) Για κάθε υπάρχει Το e λέγεται µοναδιαίο στοιχείο ή απλά µονάδα. Το λέγεται αντίστροφο του x και συµβολίζεται µε. Η οµάδα λέγεται µεταθετική ή αβελιανή όταν επιπλέον ικανοποιεί το αξίωµα Ορισµός 1.. Αν η οµάδα είναι πεπερασµένη τότε ο ακέραιος λέγεται τάξη της οµάδας. Ορισµός 1.3. Αν p πρώτος, τότε µια πεπερασµένη οµάδα G θα λέγεται p-οµάδα αν η τάξη της είναι δύναµη του p. Ορισµός 1.4. Αν G οµάδα, τότε τάξη ενός στοιχείου ονοµάζεται, αν υπάρχει, ο ελάχιστος θετικός ακέραιος m για τον οποίο x m =e (διαφορετικά το άπειρο). 8

10 Παράδειγµα. Το σύνολο, των n-οστών µιγαδικών ριζών της µονάδος είναι οµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιασµό µιγαδικών αριθµών. Το αποτελείται από τις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου µε κέντρο το µηδέν και µία κορυφή στο (1,0), συνεπώς εγγεγραµµένου στον µοναδιαίο κύκλο του µιγαδικού επιπέδου. Ορισµός 1.5. Μια απεικόνιση µεταξύ δύο οµάδων λέγεται οµοµορφισµός οµάδων όταν ικανοποιεί την σχέση: Ορισµός 1.6. Ένας οµοµορφισµός µεταξύ δύο οµάδων λέγεται µονοµορφισµός οµάδων όταν είναι 1-1. ηλ. Ο οµοµορφισµός λέγεται επιµορφισµός οµάδων όταν είναι επί. ηλ. Τέλος λέγεται ισοµορφισµός όταν είναι ταυτόχρονα 1-1 και επί. 9

11 Παρατηρήσεις: (1) ύο οµάδες λέγονται ισόµορφες, όταν υπάρχει κάποιος ισοµορφισµός που απεικονίζει την µία στην άλλη. () ύο ισόµορφες οµάδες έχουν τα ίδια δοµικά χαρακτηριστικά και θεωρούνται κατά κάποιο τρόπο ταυτόσηµες. Ένα από τα βασικά προβλήµατα της θεωρίας οµάδων είναι η ταξινόµηση των οµάδων, δηλαδή η ανεύρεση όλων των δυνατών µη-ισοµόρφων µεταξύ τους οµάδων. Ορισµός 1.7. Υποοµάδα µιας οµάδας G λέγεται ένα µη κενό σύνολο Η κλειστό ως προς τη πράξη * της G δηλαδή, ένα µη-κενό υποσύνολο που ικανοποιεί τα αξιώµατα : (1) () Παρατηρήσεις: Από τα ίδια τα αξιώµατα προκύπτουν ορισµένες άµεσες συνέπειες. (1) Κάθε υποοµάδα Η της G περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο, το µοναδιαίο e. Πράγµατι για κάθε η () συνεπάγεται ότι και το θα περιέχεται στην G. Άρα κατά την (1) και το θα περιέχεται στο Η. () Όλες οι υποοµάδες της G έχουν κοινό µε την H το µοναδιαίο e. Το µονοσύνολο {e} ικανοποιεί κατά τετριµµένο τρόπο τα αξιώµατα άρα είναι υποοµάδα της G. Αυτή ονοµάζεται τετριµµένη υποοµάδα της G και συµβολίζεται Ι. (3) Από τις πιο σηµαντικές υποοµάδες µιας οµάδας είναι οι παραγόµενες από ένα στοιχείο x της οµάδας: < x > = {x n : n Z}. Ορισµός 1.8. Μία οµάδα G λέγεται κυκλική, όταν υπάρχει στοιχείο της x G τέτοιο ώστε G = < x >. Το στοιχείο x λέµε ότι παράγει την G και λέγεται γεννήτορας της G. 10

12 Παράδειγµα.Οι n-οστές µιγαδικές ρίζες της µονάδος µε πράξη τον πολλαπλασιασµό µιγαδικών αριθµών αποτελούν µια κυκλική οµάδα τάξεως n.. Έστω ζ µια n-οστή ρίζα της µονάδας ώστε G = < ζ > = {1, ζ, ζ,,ζ n-1 }, δηλαδή το ζ παράγει όλη την κυκλική οµάδα G. Μια τέτοια ρίζα λέγεται αρχική ρίζα της µονάδας. Μία άλλη ρίζα ζ κ είναι αρχική αν έχει τάξη n και τούτο συµβαίνει όταν το κ είναι πρώτο προς το n. Άρα υπάρχουν φ(n) αρχικές ρίζες της µονάδας, όπου φ είναι η συνάρτηση του Euler. Η συνάρτηση φ(n) του Euler δίνει το πλήθος των µικρότερων του n ακεραίων θετικών, που είναι πρώτοι προς το n. Για τη συνάρτηση φ του Euler ισχύει η επόµενη: Πρόταση 1.9. Για κάθε πρώτο θετικό ακέραιο p και φυσικό ισχύει Απόδειξη: Πράγµατι, αφού ο p είναι πρώτος, οι µόνοι µη-πρώτοι προς το, ανάµεσα στους αριθµούς {1,,, }, είναι τα πολλαπλάσια του p, που είναι δηλαδή το πλήθος. Ορισµός Έστω Η G µία υποοµάδα της οµάδας G. Ορίζεται µια σχέση ισοδυναµίας που διαµερίζει το G µε την βοήθεια του Η. Η σχέση ορίζεται ως εξής: x y y -1 x H. Εύκολα βλέπουµε ότι η σχέση αυτή είναι πράγµατι σχέση ισοδυναµίας, δηλαδή ισχύουν: (1) x x, x G (αυτοπαθής) () x y y x (συµµετρική) (3) x y, y z x z (µεταβατική) Τούτο σηµαίνει ότι το σύνολο G διαµερίζεται σε ξένα µεταξύ τους υποσύνολα, τις κλάσεις ισοδυναµίας της σχέσης. Τις κλάσεις αυτές τις ονοµάζουµε σύµπλοκα της υποοµάδας. 11

13 Πρόταση Κάθε σύµπλοκο της οµάδας G ως προς την υποοµάδα Η γράφεται µε τη µορφή xη = {xh: h H}. Για δύο σύµπλοκα ισχύει xη = yη ή xη yη=. Απόδειξη: Αν xη yη, έστω z xη yη. Τότε το z γράφεται µε δύο τρόπους: z = xh 1 = yh άρα x = yh h -1 1 yη. Τότε όµως και xη yη. Ανάλογα δείχνουµε και την yη xη. Παρατήρηση. Το σύνολο των συµπλόκων της οµάδας G ως προς την υποοµάδα Η συµβολίζεται µε G/Η. Το πλήθος των συµπλόκων ονοµάζεται δείκτης της Η στην G και συµβολίζεται µε [G : Η]. Τούτο µπορεί να είναι άπειρο ή πεπερασµένο. Η απεικόνιση p : G G/Η που σε κάθε x G αντιστοιχεί το σύµπλοκο p(x)= xη, ονοµάζεται κανονική προβολή της οµάδας G στο σύνολο πηλίκο G/Η. Ορισµός 1.1. Μία υποοµάδα της οµάδας G λέγεται κανονική και συµβολίζουµε H G, όταν ισχύει δηλαδή τα δύο σύνολα ταυτίζονται. Πρόταση Οι επόµενες προτάσεις είναι ισοδύναµες : (1) Η υποοµάδα είναι κανονική. () (3) Απόδειξη: (1) () Αν τότε άρα θα υπάρχει, που δείχνει ότι () (3) διότι για κάθε συνεπάγεται και την. Άρα και (3) (1) είναι τετριµµένη. 1

14 Παρατηρήσεις: (1) Κάθε υποοµάδα µιας αβελιανής οµάδας είναι κανονική. Άρα αν οι κανονικές υποοµάδες έχουν κάποιο ενδιαφέρον αυτό θα φανεί στις µη αβελιανές οµάδες. () Κατ αναλογίαν προς τα σύµπλοκα, ορίζεται µέσω µιας υποοµάδας Η µια δεύτερη σχέση ισοδυναµίας, παρόµοια µε την της προηγούµενης παραγράφου : σχέση είναι τα σύνολα Οι κλάσεις ισοδυναµίας ως προς αυτήν την και το σύνολο των κλάσεων συµβολίζεται µε G\H. Η υποοµάδα είναι κανονική τότε ακριβώς όταν δηλαδή οι δύο σχέσεις ισοδυναµίας έχουν τις ίδιες κλάσεις ισοδυναµίας. (3) Η οµάδα G λέγεται απλή όταν δεν έχει γνήσιες (δηλαδή διάφορες του εαυτού της και της τετριµµένης {e}) κανονικές υποοµάδες. Ορισµός Το σύνολο Ζ(G) των στοιχείων α της G, τα οποία αντιµετατίθενται µε όλα τα στοιχεία x της G, καλείται κέντρο της οµάδας G. Είναι λοιπόν: Ζ(G) = { α G: αx= xα, x G }. Πρόταση Το κέντρο Ζ(G) µιας οµάδας G είναι κανονική υποοµάδα της G. Απόδειξη: Πρώτα θα δείξουµε ότι το Ζ(G) είναι υποοµάδα της G. Αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο αυτό είναι κλειστό ως προς την πράξη της οµάδας και ότι α Ζ(G), το α -1 Ζ(G). Έστω α, β Ζ(G). Είναι τότε: x α β = α x β = α β x, x G, οπότε α β Ζ(G). Για κάθε x G, και α Ζ(G) είναι x = x α α -1 = α x α -1. Άρα α -1 x = α -1 α x α -1 = x α -1, δηλαδή α -1 Ζ(G). Επίσης, εξ ορισµού, τα στοιχεία α του Ζ(G) αντιµετατίθενται και µεταξύ τους. Άρα το Ζ(G) είναι αβελιανή υποοµάδα της G. 13

15 Στη συνέχεια θα δείξουµε ότι Ζ(G) G. Έστω α Ζ(G) και x G, αρκεί x α x -1 Ζ(G). Είναι x α x -1 = α x x -1 = α Ζ(G). Παρατήρηση: Το κέντρο Ζ(G) µιας οµάδας G µπορεί να είναι τετριµµένο (π.χ. Ζ(D 3 ) = I). Θα δείξουµε παρακάτω ότι αν G = p n, όπου p πρώτος θετικός ακέραιος, τότε το κέντρο Ζ(G) είναι µη τετριµµένο. Ορισµός Το σύνολο των στοιχείων x της G, τα οποία αντιµετατίθενται µε το στοιχείο α της G, καλείται κανονικοποιούσα Ν(α) του στοιχείου α. Είναι λοιπόν: Ν(α) = { x G: xα =αx}. Πρόταση Η Ν(α) είναι υποοµάδα της G. Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο αυτό είναι κλειστό ως προς την πράξη της οµάδας και ότι n Ν(α), n -1 Ν(α). Έστω n, m Ν(α). Είναι τότε: n m α = n α m = α n m, οπότε n m Ν(α). Για κάθε n Ν(α) είναι n -1 G, και αφού n Ν(α) n -1 α = n -1 α n n -1 = n -1 n α n -1. Άρα n -1 α = α n -1,δηλαδή n -1 Ν(α). Πρόταση Κάθε πεπερασµένη οµάδα G τάξης όπου p πρώτος αριθµός, έχει µη τετριµµένο κέντρο Z(G). Απόδειξη: Έστω G = {e,a,a,...,a }. 1 n p 1 Θεωρούµε g G και geg,ga g,ga g,...,ga g n p 1 Ορίζεται έτσι µια σχέση ισοδυναµίας (συζυγία) : a b g G: gag -1 = b. [Έστω G οµάδα, τα στοιχεία θα λέγονται συζυγή αν υπάρχει τέτοιο ώστε. Είναι εύκολο να δούµε ότι η συζυγία είναι σχέση ισοδυναµίας. Η οµάδα G χωρίζεται λοιπόν σε ξένα µεταξύ τους υποσύνολα, τις κλάσεις ισοδυναµίας που λέγονται κλάσεις συζυγίας.] 14

16 Ισχυρισµός: Μία κλάση ισοδυναµίας είναι µονοσύνολο {z} αν και µόνο αν z Z(G). Πράγµατι, αν µια κλάση ισοδυναµίας είναι µονοσύνολο τότε 1 C z {gzg,g G} {z}, = = οπότε 1 gzg = z, για κάθε gz = zg, για κάθε z Z(G). Επίσης αν z Z(G) τότε 1 1 gzg zgg z, = = οπότε 1 C z {gzg,g G} {z} = = µονοσύνολο. Αφού οι συζυγείς κλάσεις αποτελούν διαµέριση της G θα έχουµε ότι : (1), (ισότητα κλάσεων της G), όπου C,,C r, οι κλάσεις ισοδυναµίας µε περισσότερα από ένα στοιχεία. Έστω µία κλάση ισοδυναµίας C a µε C a 1. Τότε C {eae 1,a aa 1,a aa 1,...,a aa 1 = }. n n a 1 1 p 1 p 1 Κάποια στοιχεία µπορεί να είναι ίσα µεταξύ τους. Ελέγχω πότε δύο στοιχεία είναι ίσα: a aa = a aa 1 1 i i j j (a a )a(a a ) = a 1 1 j i i j (a a )a(a a ) = a j i j i (a a )a= a(a a ) 1 1 j i j i (a a ) N(a) i 1 j i a N(a) = a N(a) δηλαδή τα a i,a j ανήκουν στο ίδιο σύµπλοκο της N(a) στη G, όπου N(a) η κανονικοποιούσα υποοµάδα του στοιχείου a στη G. j 15

17 Εποµένως η C a ισούται µε το πλήθος των συµπλόκων που είναι ο δείκτης της N(a) στη G. Άρα από το Θεώρηµα Lagrange έχουµε ότι C a / G, οπότε η C a είναι δύναµη του p (µε C a 1= p 0 ). Από τη σχέση (1) έχουµε: p n n nr = Z(G) + p p, όπου n,,n r 0, οπότε p / Z(G) και επειδή Z(G) 1 (αφού περιέχει το e), άρα τελικά είναι Z(G) p. Λήµµα Αν G πεπερασµένη p-οµάδα, τάξης p η, τότε η G έχει µια σειρά από κανονικές υποοµάδες: Ι = G 0 G 1 G n = G, όπου G i = p i, για κάθε i = 0,...,n. Απόδειξη: Θα κάνουµε επαγωγή ως προς n. Αν n = 0 τότε είµαστε εντάξει. Αν n > 0, τότε από την Πρόταση 1.15 είναι Z(G) Ι. Αφού η Z(G) είναι αβελιανή υποοµάδα της G, η τάξη της θα διαιρεί την G = p n οπότε Z(G) = p m και εποµένως έχει κάποιο στοιχείο τάξης p. Η κυκλική υποοµάδα Κ που παράγεται από αυτό το στοιχείο, έχει τάξη p και είναι κανονική, αφού Κ υποοµάδα της Z(G). [Έστω u Κ Z(G) τότε για κάθε g G είναι: g u g -1 = u g g -1 = u Κ, άρα Κ G] Η G/K είναι µια p-οµάδα µε τάξη p n -1. [Αφού Κ G G/K οµάδα και G/K = G / K = n p p n 1 = p ]. Άρα από την επαγωγική υπόθεση, η G/K θα έχει µία σειρά κανονικών υποοµάδων: G 0 /K = G 1 /K G n /K, όπου G i /K = p i-1. Αλλά τότε G i = p i και G i G, θέτουµε G 0 =I και έχουµε το αποτέλεσµα. 16

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ - ΣΩΜΑΤΑ Ορισµός.1. ακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο διµελείς πράξεις: - Την πρόσθεση: (a, b) a + b και - Τον πολλαπλασιασµό: (a, b) a b έτσι ώστε: (1) Το σύνολο R να είναι µεταθετική (αβελιανή) οµάδα ως προς την πρόσθεση () Ο πολλαπλασιασµός να είναι προσεταιριστικός (3) Να ισχύει η επιµεριστική ιδιότητα: (a + b) c = a c + b c ή c (a + b) = c a + c b για κάθε a, b, c R - Αν σε ένα δακτύλιο (R, +, ) ισχύει επιπλέον a b = b a, για κάθε a, b R τότε λέγεται µεταθετικός δακτύλιος. - Αν σε ένα δακτύλιο (R, +, ) υπάρχει ένα στοιχείο 1 R µε 1 0 (όπου 0 το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης στο R) ώστε 1 a = a 1 = a τότε το 1 λέγεται µονάδα του δακτυλίου και ο δακτύλιος ονοµάζεται δακτύλιος µε µονάδα. - Ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα 1 0 λέγεται σώµα αν κάθε στοιχείο του a 0 έχει αντίστροφο µέσα στο R. Σηµείωση: Στο εξής θα χρησιµοποιούµε τον όρο δακτύλιος αντί του όρου µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Παραδείγµατα. 1) Οι πιο γνωστοί δακτύλιοι είναι οι: Z (ακέραιοι αριθµοί), Q (ρητοί αριθµοί), R (πραγµατικοί αριθµοί), C (µιγαδικοί αριθµοί),καθένας από τους οποίους θεωρείται ότι είναι εφοδιασµένος µε τις συνήθεις πράξεις της 17

19 πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού. Οι δακτύλιοι ( Q, +, ), ( R, +, ), ( C, +, ) είναι σώµατα ενώ ο δακτύλιος ( Z, +, ) δεν είναι σώµα. ) Αν R είναι ένας δακτύλιος, τότε ένα πολυώνυµο f(x) µε συντελεστές στον R (συντοµότερα ένα πολυώνυµο επί του R), είναι µια ακολουθία f (x) = (c 0, c 1,..., c n, 0, 0,...), όπου ci R για όλα τα i= 1,,..., n και ci = 0 για όλα τα i> n. Αν g(x) = (d 0, d 1,...) είναι ακόµη ένα πολυώνυµο υπεράνω του R, τότε έπεται ότι f (x) = g(x) αν και µόνο αν ci = di για όλα τα i. Το σύνολο των πολυωνύµων συµβολίζεται µε R[x]. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασµός του R[x] ορίζονται ως εξής: (c 0, c 1,...) + (d 0, d 1,...) = (c0+ d 0, c1+ d 1,...) (c 0, c 1,...) (d 0, d 1,...) = (e 0, e 1,...) µε e0 = c0 d 0, e1 = c0 d1 + c1 d0 και γενικώς ek = ci d j, όπου η πρόσθεση εκτελείται υπεράνω όλων των δεικτών i, j µε i+ j= k. Το µηδενικό πολυώνυµο ορίζεται ως η ακολουθία (0, 0,...) και παρίσταται µε 0. Παρόµοια το πολυώνυµο (1, 0, 0,...) συµβολίζεται µε 1 (έτσι τώρα υπάρχουν δύο διαφορετικές έννοιες για το ίδιο σύµβολο). Είναι στερεότυπη αλλά µακροσκελής η επιβεβαίωση ότι ο R[x] είναι ένας δακτύλιος. Αυτός ονοµάζεται πολυωνυµικός δακτύλιος επί του R. Ποια είναι όµως η σηµασία του γράµµατος x στο συµβολισµό f(x); Ας ονοµάσουµε µε x το εξής ιδιάζον στοιχείο του R[x]: Εύκολα αποδεικνύεται ότι x = (0, 1, 0, 0,...) x = (0, 0, 1, 0, 0, 0,...) και επαγωγικά ότι το συµπίπτει µε την ακολουθία που έχει το 0 παντού, εκτός της i-οστής θέσης, στην οποία υπάρχει το στοιχείο 1. Έτσι επανακάµπτει ο γνώριµος συµβολισµός: f (x) = (c, c,..., c, 0, 0,...) 0 1 n = (c, 0, 0,...) + (0, c, 0, 0,...) + (0, 0, c, 0, 0,...) = c (1, 0, 0,...) + c (0, 1, 0, 0,...) + c (0, 0, 1, 0, 0,...) = c + c x c x = 0 1 n c x i i n i x 18

20 Εδώ βέβαια έχουµε γράψει c0= c01, αφού ταυτίσαµε πρώτα το c 0 του R µε το (c 0, 0, 0,...) του R[x]. Σηµειώστε ότι το x είναι ένα αληθινό στοιχείο του δακτυλίου και δεν πρόκειται για µια µεταβλητή. Ο ρόλος του ως µεταβλητή θα του αποδοθεί αργότερα, όταν γίνει η συζήτηση που αφορά τις πολυωνυµικές συναρτήσεις. πολυώνυµο Υπενθυµίζουµε στον αναγνώστη το γνωστό λεξιλόγιο που συνοδεύει κάθε n = n. Αν το πολυώνυµο f(x) δεν είναι µηδενικό, f (x) c c x... c x τότε ο µεγιστοβάθµιος συντελεστής του ορίζεται να είναι ο c n, όπου n είναι ο µεγαλύτερος δείκτης µε cn 0. Ο δείκτης n ονοµάζεται βαθµός του πολυωνύµου και συµβολίζεται µε degf(x) (δηλαδή n είναι ο µεγαλύτερος εκθέτης του x που εµφανίζεται στο f(x)). Ένα πολυώνυµο ονοµάζεται µονικό, όταν ο µεγιστοβάθµιος συντελεστής του είναι το 1. Το µηδενικό πολυώνυµο 0 = (0, 0,...) δεν διαθέτει βαθµό, αφού δεν έχει µεγιστοβάθµιο συντελεστή. Ο σταθερός όρος του f(x) είναι ο c 0. Κάθε σταθερό πολυώνυµο είναι ή το µηδενικό πολυώνυµο ή ένα πολυώνυµο µηδενικού βαθµού. Ο βαθµός έχει τις εξής ιδιότητες: Έστω f(x), g(x) µη µηδενικά στοιχεία του R[x]. Ισχύει οτι: i) Αν f (x) g(x) 0 ii) Αν f (x) g(x) 0 τότε deg( f (x) g(x) ) deg( f (x)) + deg( g(x) ) { } + τότε deg( f (x) + g(x) ) max deg( f (x)), deg( g(x) ) Παρατήρηση. Ο δακτύλιος R[x] δεν είναι σώµα. Παράδειγµα: 1 R[x] x. Παρατήρηση. Ένας δακτύλιος R είναι µια ακέραια περιοχή, αν το γινόµενο δύο µη µηδενικών στοιχείων του R είναι και πάλι ένα µη µηδενικό στοιχείο.. Αν R είναι µια ακέραια περιοχή τότε η i) γίνεται: Αν f (x) g(x) 0 τότε deg( f (x) g(x) ) = deg( f (x)) + deg( g(x) ) 19

21 Ορισµός.. Έστω f (x) i = cix ένα πολυώνυµο επί ενός δακτυλίου R. Ρίζα του πολυωνύµου f(x) στον R, ονοµάζεται κάθε στοιχείο a R, τέτοιο ώστε n f (a) = 0 δηλαδή c + c a c a = n Σχόλιο. Το πολυώνυµο f (x) = x είναι ένα πολυώνυµο επί του Q και λέµε ότι το είναι ρίζα του f(x), παρόλο που το είναι άρρητος αριθµός. Παρακάτω, θα διαφοροποιήσουµε τον ορισµό των ριζών ενός πολυωνύµου επί του R, έτσι ώστε αυτές να ανήκουν και σε κάποιο δακτύλιο µεγαλύτερο του R. ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ - ΥΠΟΣΩΜΑΤΑ Ορισµός.3. Έστω (R, +, ) ένας δακτύλιος και S ένα µη κενό υποσύνολο του R τέτοιο ώστε οι περιορισµοί + : S S S και : S S S των δύο πράξεων του R στο S S, να είναι πράξεις στο S. Αν το S µε τις πράξεις αυτές είναι δακτύλιος, θα λέµε ότι το S είναι υποδακτύλιος του R. Πρόταση.4. Έστω (R, +, ) ένας δακτύλιος και S ένα µη κενό υποσύνολο του R. Το (S, +, ) είναι υποδακτύλιος του (R, +, ) αν ισχύουν: - a b S για κάθε a, b S - a b S για κάθε a, b S Ορισµός.5. Έστω (K, +, ) ένα σώµα και F K. Το F ονοµάζεται υποσώµα του Κ αν: - Το (F, + ) είναι υποοµάδα της (K, + ) και - Το * (F, ) είναι υποοµάδα της * (K, ) όπου * K = K {0} και * F = F {0}. Από τον ορισµό προκύπτει ότι ένα υπόσωµα F ενός σώµατος Κ είναι επίσης σώµα ως προς τις ίδιες πράξεις. 0

22 Πρόταση.6. Έστω (K, +, ) ένα σώµα και F K.Το F είναι υπόσωµα του Κ αν ισχύουν: - 0, 1 F όπου 0 το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και 1 το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού στο Κ - a b F, a b F για κάθε a, b F - Για κάθε a F µε a 0 και το a 1 F Παράδειγµα. Τα ( Q, +, ), ( R, +, ) είναι υποσώµατα του ( C, +, ) Ορισµός.7. Έστω R, S δύο δακτύλιοι. Μια απεικόνιση φ : R S λέγεται οµοµορφισµός δακτυλίων αν για κάθε a, b R ισχύουν: φ(a + b) = φ(a) + φ(b) φ(a b) = φ(a) φ(b) φ(1) = 1 Αν επιπλέον η φ είναι επί λέγεται επιµορφισµός. Αν επιπλέον η φ είναι 1-1 λέγεται µονορφισµός. Αν επιπλέον η φ είναι 1-1 και επί λέγεται ισοµορφισµός και οι δακτύλιοι R, S είναι ισόµορφοι. Τότε γράφουµε R S. Παράδειγµα. Αν R είναι ένας δακτύλιος, τότε το R = {(r,0,0,...) : r R} είναι υποδακτύλιος του R[x] και η απεικόνιση φ : R R που ορίζεται ως φ : r (r,0,0,...) είναι ένας ισοµορφισµός από τον R στον R. 1

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Ορισµός 3.1. Έστω F ένα σώµα. Ένας διανυσµατικός χώρος επί του F (ή διανυσµατικός χώρος F) αποτελείται από µία αβελιανή οµάδα V µε πράξη την πρόσθεση, µαζί µε µια πράξη βαθµωτού πολλαπλασιασµού των στοιχείων του V µε τα στοιχεία του F από τ' αριστερά, τέτοια, ώστε για κάθε a, b F και α, β V να ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες: (1) aα V. () a(bα) = (ab)α. (3) (a + b)α = (aα) + (bα) (4) a(α +β) = (aα) + (aβ). (5) 1α = α. Τα στοιχεία του V λέγονται διανύσµατα και τα στοιχεία του F βαθµωτά. Όταν ασχολούµαστε µε ένα µόνο σώµα F, παύουµε να αναφερόµαστε στο F και µιλάµε για έναν διανυσµατικό χώρο. Σηµειώστε ότι, ο πολλαπλασιασµός σε ένα διανυσµατικό χώρο δεν είναι µια διµελής πράξη ορισµένη πάνω σε ένα σύνολο. Είναι ένας κανόνας που επισυνάπτει ένα στοιχείο aα του V σε κάθε διατεταγµένο ζεύγος (a, α), που αποτελείται από ένα στοιχείο a του F και ένα στοιχείο α του V. Μπορούµε λοιπόν να τον δούµε ως µια συνάρτηση µε την οποία απεικονίζεται το F x V στο V.

24 Ορισµός 3.. Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Τα διανύσµατα ενός υποσυνόλου S = {α i / i I} του V παράγουν (ή γεννούν) το V αν για κάθε β V, έχουµε β = a 1 α i1 + a α i + + a n α in για κάποια a j F και α ij S, j = 1,,,n, Κάθε διάνυσµα n aα j ij λέγεται γραµµικός συνδυασµός των α ij. j= 1 Ορισµός 3.3. Ένας διανυσµατικός χώρος V επί ενός σώµατος F λέγεται πεπερασµένης διάστασης αν υπάρχει ένα πεπερασµένο υποσύνολο του V, τα διανύσµατα του οποίου σχηµατίζουν µια βάση του V επί του F. Ορισµός 3.4. Τα διανύσµατα ενός υποσυνόλου S = {α i / i I} ενός διανυσµατικού χώρου V επί ενός σώµατος F λέγονται γραµµικώς ανεξάρτητα επί του F αν από τη σχέση n aα j ij = 0 έπεται ότι a j =0 για κάθε j = 1,..., n. j= 1 Αν τα διανύσµατα δεν είναι γραµµικώς ανεξάρτητα επί του F, τότε λέγονται γραµµικώς εξαρτηµένα επί του F. Έτσι, τα διανύσµατα του {α i / i I} είναι γραµµικώς ανεξάρτητα επί του F αν ο µόνος τρόπος µε τον οποίο το διάνυσµα 0 µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων α i είναι η εξίσωση όλων των βαθµωτών συντελεστών µε το 0. Αν τα διανύσµατα είναι γραµµικώς εξαρτηµένα επί του F, τότε υπάρχουν a j F µε j = 1,..., n τέτοια, ώστε n aα j ij = 0, όπου δεν είναι όλα τα a j =0. j= 1 Ορισµός 3.5. Αν V είναι ένας διανυσµατικός χώρος επί ενός σώµατος F, λέµε ότι τα διανύσµατα ενός υποσυνόλου Β = { β i / i I } του V σχηµατίζουν µία βάση του V επί του F, αν αυτά παράγουν τον V και είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. Ορισµός 3.6. Αν V είναι ένας πεπερασµένης διάστασης διανυσµατικός χώρος επί ενός σώµατος F, τότε το πλήθος των στοιχείων µιας βάσης του (που είναι ανεξάρτητο από την επιλογή της βάσης) λέγεται διάσταση του V επί του F, και συµβολίζεται dim F V. 3

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΓΩΓΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ορισµός 4.1. Έστω F ένα σώµα. Ένα µη µηδενικό πολυώνυµο f (x) F[x] µε deg f (x) 1 καλείται ανάγωγο επί του F αν από κάθε ανάλυση του f(x) της µορφής f (x) = g(x) h(x) µε g(x), h(x) F[x] προκύπτει ότι g(x) σταθερό ή h(x) σταθερό πολυώνυµο. Σηµείωση. Το κατά πόσον ένα πολυώνυµο είναι ανάγωγο ή όχι εξαρτάται από το σώµα των συντελεστών. Για παράδειγµα, το δεν είναι επί του C. Επίσης, το του R. x + 1 είναι ανάγωγο επί του R, αλλά x είναι ανάγωγο επί του Q αλλά δεν είναι επί Προφανώς τα γραµµικά πολυώνυµα (1 ου βαθµού) είναι πάντα ανάγωγα, όποιο και αν είναι το σώµα F. Παρακάτω θα διερευνήσουµε την αναγωγιµότητα των πολυωνύµων ου βαθµού και πάνω επί των σωµάτων C, R και Q. Ανάγωγα Πολυώνυµα επί του C Αν f (x) = a x a x+ a µε deg f (x) = n> 1 τότε n n 1 0 f (x) = a n (x z 1)(x z )... (x z n ) όπου z 1,z,...,z C n. Άρα το f(x) δεν είναι ανάγωγο. Άρα τα µόνα ανάγωγα πολυώνυµα στο C είναι αυτά του 1 ου βαθµού. Ανάγωγα Πολυώνυµα επί του R ου Βαθµού: Τα πολυώνυµα επί του R ου βαθµού θα είναι της µορφής f (x) = ax + bx+ c µε a, b,c R,και a 0 Εδώ διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: 4

26 α) Αν = b 4ac> 0 τότε f (x) = a(x ρ 1)(x ρ ) όπου ρ 1,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης β) Αν γ) Αν εξίσωσης ax + bx+ c= 0. Άρα το f(x) δεν θα είναι ανάγωγο. = b 4ac= 0 τότε f (x) = a(x ρ)(x ρ) όπου ρ είναι η ρίζα της b ax + bx+ c= 0. Άρα το f(x) δεν θα είναι ανάγωγο. = 4ac<0, τότε το πολυώνυµο δεν παραγοντοποιείται στο R άρα θα είναι ανάγωγο. 3 ου Βαθµού: Τα πολυώνυµα επί του R 3 ου βαθµού θα είναι της µορφής 3 f (x) = ax + bx + cx + d µε a, b,c,d R, και a 0. Τότε υπάρχει ρ R : (x ρ) / f (x). ηλαδή f (x) = (x ρ)(a 'x + b'x+ c') άρα το f(x) δεν θα είναι ανάγωγο στο R. Οµοίως, ισχύει ότι κάθε πολυώνυµο περιττού βαθµού δηλαδή αν f (x) = a x a x+ a µε deg f (x) = κ+ 1, κ N δεν θα είναι ανάγωγο στο R. n n ου Βαθµού: Τα πολυώνυµα επί του R 4 ου βαθµού θα είναι της µορφής 4 3 f (x) = ax + bx + cx + dx+ e µε a, b,c,d,e R, a 0.Οι ρίζες αυτού του πολυωνύµου θα είναι πραγµατικές ή µιγαδικές. Αν υπάρχει έστω και µία πραγµατική ρίζα ρ τότε το πολυώνυµο θα γράφεται f (x) = (x ρ)(a x + a x + a x+ a ) και άρα το f(x) δεν θα είναι ανάγωγο στο R Μένει, λοιπόν, η περίπτωση όπου όλες οι ρίζες θα είναι µιγαδικές. Αυτές τότε θα είναι της µορφής ρ1= α1+ iβ1, ρ= α1 iβ1, ρ3= α+ iβ και ρ4= α iβ, δηλαδή θα είναι ανά δύο συζυγής και το f(x) θα γράφεται: f (x) = a(x ρ )(x ρ )(x ρ )(x ρ ) = a x (ρ1 + ρ ) x + ρ1ρ x (ρ3 + ρ 4) x + ρ3ρ 4 ( )( ) = a x α x + α + β x α x + α + β άρα το f(x) δεν είναι ανάγωγο. Οµοίως, ισχύει κάθε πολυώνυµο άρτιου βαθµού, δηλαδή αν ανάγωγο στο R. f (x) = a x a x+ a µε deg f (x) = n, n N, n> 1 δεν θα είναι n n 1 0 Άρα τα µόνα ανάγωγα πολυώνυµα στο R είναι αυτά του 1 ου βαθµού από του ου βαθµού εκείνα που έχουν < 0. 5

27 Ανάγωγα Πολυώνυµα επί του Q Λήµµα 4.. (Gauss). Αν ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές είναι δυνατόν να γραφεί ως γινόµενο δύο πολυωνύµων, µικρότερου βαθµού, µε ρητούς συντελεστές, τότε γράφεται και ως γινόµενο δύο πολυωνύµων, µικρότερου βαθµού, µε ακέραιους συντελεστές. Απόδειξη. Έστω f = gh όπου το πολυώνυµο f έχει ακέραιους συντελεστές, ενώ τα πολυώνυµα g και h ρητούς. Υποθέτουµε ότι έχουµε διαιρέσει µε το µέγιστο κοινό διαιρέτη των συντελεστών των g και h αντίστοιχα, τους συντελεστές των g και h. Γράφουµε, λοιπόν: α α α g(x) x x... β β β n n n 1 n 1 0 = και n n 1 0 γ γ γ h(x) = x + x δ δ δ m m m 1 m 1 0 m m 1 0 όπου όλοι οι συντελεστές είναι ανάγωγα κλάσµατα. Αν Β και είναι το γινόµενο όλων των παρανοµαστών β και δ αντίστοιχα, τότε το Βg(x) και το h(x) έχουν ακέραιους συντελεστές. Αν Α ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των β και Γ ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των δ, έχουµε τελικά τα πολυώνυµα: Β g(x) A n n 1 n x A n 1 x = A 0 και Α h(x) = Γ x + Γ x Γ Γ m m 1 m m 1 0 Η σχέση f Θέτουµε, λοιπόν, = gh τώρα γίνεται: Β Β f = ΑΓ g h. Παρατηρούµε ότι ΑΓ Β. Α Γ Β Ε = Z και γράφουµε: ΑΓ n n 1 m m 1 ( n n 1 0)( m m 1 0) E f (x) = A x + A x A Γ x + Γ x Γ (1) Το Λήµµα θα έχει αποδειχθεί αν δείξουµε ότι E=± 1. Αν E ± 1 τότε το Ε θα έχει κάποιον πρώτο παράγοντα p. Ο p δεν διαιρεί όµως όλους τους συντελεστές Α, ούτε όλους τους συντελεστές Γ. Έστω, λοιπόν, A i και Γ j οι µικρότεροι συντελεστές από τους Α και Γ αντίστοιχα, που ο p δεν διαιρεί. Ας δούµε τώρα τον συντελεστή του i j x +. Στο πολυώνυµο f(x), στην (1), ο συντελεστής του όρου αυτού, διαιρείται από τον Ε και συνεπώς από τον p. Αν κάνουµε τον πολλαπλασιασµό που σηµειώνεται 6

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2 Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 11 Νοεμβρίου 2014 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία 1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Herman Weyl

Εισαγωγή. Herman Weyl Εισαγωγή Όσο σηµαντικές και αν είναι οι γενικές έννοιες και προτάσεις που απορρέουν από το σύγχρονο πάθος για αξιωµατική θεµελίωση και γενίκευση, είµαι όµως πεπεισµένος ότι τα ειδικά προβλήµατα µε όλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα