ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KAI ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ ΧΡΗΣΤΟΣ ΧΡΗΣΤΙ ΗΣ Α.Μ Επιβλέπων Καθηγητή ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΡΑΠΤΗΣ ΑΘΗΝΑ 010

2 Η παρούσα ιπλωµατική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης που απονέµει το ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την από εξεταστική Επιτροπή αποτελούµενη από τους: Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογραφή 1) Ευάγγελος Ράπτης (επιβλέπων Καθηγητής) Αν. Καθηγητής ) Ευστάθιος Γιαννακούλιας Καθηγητής. 3) ηµήτριος Βάρσος Αν. Καθηγητής 1

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ όλους τους καθηγητές του µεταπτυχιακού προγράµµατος οι οποίοι µε τις γνώσεις τους µε βοήθησαν να στοχαστώ και να προβληµατιστώ πάνω στη διδακτική και τα µαθηµατικά, να διευρύνω τις γνώσεις µου αλλά και τον τρόπο σκέψης µου. Ευχαριστώ επίσης θερµά τους καθηγητές κ. Ευστάθιο Γιαννακούλια και κ. ηµήτριο Βάρσο για τις πολύτιµες συµβουλές τους. Ιδιαίτερα όµως ευχαριστώ τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Ευάγγελο Ράπτη για τη συνεχή του καθοδήγηση και αµέριστη συµπαράστασή του σε όλα τα στάδια εκπόνησης αυτής της εργασίας. Την εργασία αυτή την αφιερώνω στους δικούς µου ανθρώπους, οικογένεια και φίλους, για την υποµονή τους, τη συµπαράστασή τους και την πίστη που µου έδειξαν κατά τη διάρκεια των σπουδών µου.

4 ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ Χρηστίδης Χρήστος Υποβλήθηκε στο Πανεπιστήµιο Αθηνών στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης στη ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών που απονέµει το Τµήµα Μαθηµατικών Αθήνα 010 3

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή..5 ΚΕΦ. 1: Οµάδες Υποοµάδες 8 ΚΕΦ. : ακτύλιοι Σώµατα...17 ΚΕΦ. 3: ιανυσµατικοί Χώροι. ΚΕΦ. 4: Ανάγωγα Πολυώνυµα.4 ΚΕΦ. 5: Επεκτάσεις Σωµάτων..9 ΚΕΦ. 6: Στοιχεία Θεωρίας Galois ΚΕΦ. 7: Γεωµετρικές κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη...4 ΚΕΦ. 8: Κατασκευασιµότητα κανονικών πολυγώνων..55 ΚΕΦ. 9: Η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου µε κανόνα και διαβήτη Α.Η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου από τον Ευκλείδη..63 Β.Η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου στο σχολικό βιβλίο 70 Γ.Μία διδακτική πρόταση κατασκευής του κανονικού δεκαγώνου µε την αναλυτικο-συνθετική µέθοδο Βιβλιογραφία.79 4

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν δείξει ενδιαφέρον για το ποια είδη γεωµετρικών σχηµάτων µπορούν να κατασκευαστούν µόνο µε τη χρήση κανόνα και διαβήτη. Ένα από τα δυσκολότερα προβλήµατα αυτής της κατηγορίας αφορούσε τα κανονικά πολύγωνα. Το ερώτηµα είναι: Για ποιες τιµές του n µπορεί να κατασκευαστεί κανονικό πολύγωνο µε n πλευρές (µε κανόνα και διαβήτη); Τονίζουµε τη διαφορά µεταξύ της έκφρασης ότι το κανονικό n-γωνο υπάρχει και της έκφρασης ότι αυτό µπορεί να κατασκευαστεί. Τέτοια πολύγωνα υπάρχουν για όλες τις τιµές του n απλά σχηµατίζοντας σε έναν κύκλο επίκεντρες γωνίες 360 / n. Αυτό όµως απαιτεί κάτι παραπάνω από έναν κανόνα και έναν διαβήτη απαιτεί ένα απείρως ακριβές µοιρογνωµόνιο. Για παράδειγµα, υπάρχουν κανονικά 7-γωνα αλλά όπως θα δούµε δεν κατασκευάζονται µε κανόνα και διαβήτη. O Carl Friedrich Gauss ( ) αποτελεί µαζί µε τον Αρχιµήδη και τον Νεύτωνα έναν από τους τρεις µεγαλύτερους µαθηµατικούς όλων των εποχών. Ο Gauss καλείτο Mathematicorum princeps, (Πρίγκιπας των Μαθηµατικών), και η εκτίµηση στο άτοµο του θα µπορούσε σίγουρα να ήταν µεγαλύτερη, αν είχε γνωστοποιήσει το περιεχόµενο του ηµερολογίου του που παρέµενε µυστικό µέχρι το 1898, σαράντα τρία χρόνια µετά τον θάνατο του. Σε αυτό υπήρχαν αποτελέσµατα τα οποία προέβλεπαν πολλές από τις ανακαλύψεις στα Μαθηµατικά του δεύτερου µισού του δέκατου ένατου αιώνα. Ο Gauss για λόγους τελειοµανίας και αποφυγής προστριβών δεν δηµοσίευε όλα του τα αποτελέσµατα (Davis, 005). Λέγεται ότι ο Gauss ήταν σε θέση να κάνει αριθµητικές πράξεις, πριν καν µιλήσει, ενώ από µικρή ηλικία βοηθούσε τον πατέρα του να υπολογίζει την πληρωµή για τα έργα που αναλάµβανε. Έχει µείνει µάλιστα γνωστό ένα «κατόρθωµά» του που αναφέρει ότι µόλις 8 χρονών µπόρεσε, προς µεγάλη έκπληξη του δάσκαλου, να υπολογίσει αµέσως το άθροισµα των 100 πρώτων φυσικών ακεραίων ενώ στους συµµαθητές του πήρε παραπάνω από µία ώρα! 5

7 Εξ αιτίας όλων αυτών των «περίεργων φαινοµένων» και ταλέντων που παρουσίαζε ο νεαρός Gauss ανάγκασε ουσιαστικά τον πατέρα του να του επιτρέψει να πάει στο Γυµνάσιο αντί να σταµατήσει και να βοηθήσει την οικογένειά του στα πιο πρακτικά επαγγέλµατα. Εκεί ήταν που ξεδιπλώθηκε ραγδαία όλο το ταλέντο του προς τις θετικές επιστήµες. Μετά το Γυµνάσιο συνέχισε τις σπουδές του στα Μαθηµατικά στο κολλέγιο Carolinum όπου πέρασε τρία πολύ δηµιουργικά χρόνια. Παρ όλα αυτά τα µαθηµατικά δεν είχαν ακόµα κερδίσει το 100% της καρδιάς του γιατί ταυτόχρονα είχε µεγάλη έφεση και στις γλώσσες. Κάποιοι πιστεύουν πως την τελική απόφαση, να σπουδάσει Μαθηµατικά στο Πανεπιστήµιο του Gottingen, την πήρε αφού ανακάλυψε ότι µπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα κανονικό 17-γωνο µόνο µε κανόνα και διαβήτη. Ο Gauss ήταν πολύ περήφανος για αυτή του την ανακάλυψη και εξέφρασε την επιθυµία η επιτάφια πλάκα του να έχει χαραγµένο το κανονικό 17-γωνο. Η επιθυµία του δεν πραγµατοποιήθηκε, αφού ο γλύπτης το αρνήθηκε λέγοντας ότι θα µοιάζει περισσότερο µε κύκλο. Το κοντινότερο στην επιθυµία του ήταν το 17-κόρυφο αστέρι που κοσµεί ένα άγαλµα που ανεγέρθηκε προς τιµήν του. Σηµαντικότερος από την αναλυτική κατασκευή του κανονικού 17-γώνου υπήρξε ο κανόνας του Gauss για το ποια ακριβώς κανονικά n-γωνα είναι κατασκευάσιµα. Ο Gauss απέδειξε ότι το κανονικό n-γωνο είναι κατασκευάσιµο µε κανόνα και διαβήτη όταν n= r p1... p s, όπου οι p i να είναι διαφορετικοί πρώτοι της µορφής n 1 +. Ο Gauss ήταν βέβαιος για την ισχύ του αντιστρόφου, δεν κατάφερε όµως να το αποδείξει. Την απόδειξη έδωσε ο Pierre Wantzel ( ) το Στην παρούσα διπλωµατική εργασία δίνεται µια αναλυτική απόδειξη του παραπάνω κανόνα (ευθύ και αντίστροφο), αφού πρώτα αναφερθούν αναλυτικά όλα τα στοιχεία από την Άλγεβρα και τη Θεωρία Galois που είναι απαραίτητα για την θεµελίωσή της. Το τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας αναφέρεται στην κατασκευή του κανονικού πενταγώνου µε κανόνα και διαβήτη. 6

8 Παρουσιάζεται η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου µε κανόνα και διαβήτη από τον Ευκλείδη όπως αυτή παρουσιάζεται στα Στοιχεία, καθώς και η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο της Β Λυκείου. Επίσης παρουσιάζεται και µια διδακτική προσέγγιση κατασκευής του κανονικού δεκαγώνου (άρα και του κανονικού πενταγώνου) από τους µαθητές της Β Λυκείου, µε την αναλυτικο-συνθετική µέθοδο. 7

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΟΜΑ ΕΣ ΥΠΟΟΜΑ ΕΣ Ορισµός 1.1. Οµάδα λέγεται ένα µη κενό σύνολο G εφοδιασµένο µε µια πράξη * η οποία σε κάθε ζεύγος αντιστοιχεί ένα τρίτο στοιχείο που ικανοποιεί τα εξής αξιώµατα : (1) Υπάρχει () Ισχύει (3) Για κάθε υπάρχει Το e λέγεται µοναδιαίο στοιχείο ή απλά µονάδα. Το λέγεται αντίστροφο του x και συµβολίζεται µε. Η οµάδα λέγεται µεταθετική ή αβελιανή όταν επιπλέον ικανοποιεί το αξίωµα Ορισµός 1.. Αν η οµάδα είναι πεπερασµένη τότε ο ακέραιος λέγεται τάξη της οµάδας. Ορισµός 1.3. Αν p πρώτος, τότε µια πεπερασµένη οµάδα G θα λέγεται p-οµάδα αν η τάξη της είναι δύναµη του p. Ορισµός 1.4. Αν G οµάδα, τότε τάξη ενός στοιχείου ονοµάζεται, αν υπάρχει, ο ελάχιστος θετικός ακέραιος m για τον οποίο x m =e (διαφορετικά το άπειρο). 8

10 Παράδειγµα. Το σύνολο, των n-οστών µιγαδικών ριζών της µονάδος είναι οµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιασµό µιγαδικών αριθµών. Το αποτελείται από τις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου µε κέντρο το µηδέν και µία κορυφή στο (1,0), συνεπώς εγγεγραµµένου στον µοναδιαίο κύκλο του µιγαδικού επιπέδου. Ορισµός 1.5. Μια απεικόνιση µεταξύ δύο οµάδων λέγεται οµοµορφισµός οµάδων όταν ικανοποιεί την σχέση: Ορισµός 1.6. Ένας οµοµορφισµός µεταξύ δύο οµάδων λέγεται µονοµορφισµός οµάδων όταν είναι 1-1. ηλ. Ο οµοµορφισµός λέγεται επιµορφισµός οµάδων όταν είναι επί. ηλ. Τέλος λέγεται ισοµορφισµός όταν είναι ταυτόχρονα 1-1 και επί. 9

11 Παρατηρήσεις: (1) ύο οµάδες λέγονται ισόµορφες, όταν υπάρχει κάποιος ισοµορφισµός που απεικονίζει την µία στην άλλη. () ύο ισόµορφες οµάδες έχουν τα ίδια δοµικά χαρακτηριστικά και θεωρούνται κατά κάποιο τρόπο ταυτόσηµες. Ένα από τα βασικά προβλήµατα της θεωρίας οµάδων είναι η ταξινόµηση των οµάδων, δηλαδή η ανεύρεση όλων των δυνατών µη-ισοµόρφων µεταξύ τους οµάδων. Ορισµός 1.7. Υποοµάδα µιας οµάδας G λέγεται ένα µη κενό σύνολο Η κλειστό ως προς τη πράξη * της G δηλαδή, ένα µη-κενό υποσύνολο που ικανοποιεί τα αξιώµατα : (1) () Παρατηρήσεις: Από τα ίδια τα αξιώµατα προκύπτουν ορισµένες άµεσες συνέπειες. (1) Κάθε υποοµάδα Η της G περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο, το µοναδιαίο e. Πράγµατι για κάθε η () συνεπάγεται ότι και το θα περιέχεται στην G. Άρα κατά την (1) και το θα περιέχεται στο Η. () Όλες οι υποοµάδες της G έχουν κοινό µε την H το µοναδιαίο e. Το µονοσύνολο {e} ικανοποιεί κατά τετριµµένο τρόπο τα αξιώµατα άρα είναι υποοµάδα της G. Αυτή ονοµάζεται τετριµµένη υποοµάδα της G και συµβολίζεται Ι. (3) Από τις πιο σηµαντικές υποοµάδες µιας οµάδας είναι οι παραγόµενες από ένα στοιχείο x της οµάδας: < x > = {x n : n Z}. Ορισµός 1.8. Μία οµάδα G λέγεται κυκλική, όταν υπάρχει στοιχείο της x G τέτοιο ώστε G = < x >. Το στοιχείο x λέµε ότι παράγει την G και λέγεται γεννήτορας της G. 10

12 Παράδειγµα.Οι n-οστές µιγαδικές ρίζες της µονάδος µε πράξη τον πολλαπλασιασµό µιγαδικών αριθµών αποτελούν µια κυκλική οµάδα τάξεως n.. Έστω ζ µια n-οστή ρίζα της µονάδας ώστε G = < ζ > = {1, ζ, ζ,,ζ n-1 }, δηλαδή το ζ παράγει όλη την κυκλική οµάδα G. Μια τέτοια ρίζα λέγεται αρχική ρίζα της µονάδας. Μία άλλη ρίζα ζ κ είναι αρχική αν έχει τάξη n και τούτο συµβαίνει όταν το κ είναι πρώτο προς το n. Άρα υπάρχουν φ(n) αρχικές ρίζες της µονάδας, όπου φ είναι η συνάρτηση του Euler. Η συνάρτηση φ(n) του Euler δίνει το πλήθος των µικρότερων του n ακεραίων θετικών, που είναι πρώτοι προς το n. Για τη συνάρτηση φ του Euler ισχύει η επόµενη: Πρόταση 1.9. Για κάθε πρώτο θετικό ακέραιο p και φυσικό ισχύει Απόδειξη: Πράγµατι, αφού ο p είναι πρώτος, οι µόνοι µη-πρώτοι προς το, ανάµεσα στους αριθµούς {1,,, }, είναι τα πολλαπλάσια του p, που είναι δηλαδή το πλήθος. Ορισµός Έστω Η G µία υποοµάδα της οµάδας G. Ορίζεται µια σχέση ισοδυναµίας που διαµερίζει το G µε την βοήθεια του Η. Η σχέση ορίζεται ως εξής: x y y -1 x H. Εύκολα βλέπουµε ότι η σχέση αυτή είναι πράγµατι σχέση ισοδυναµίας, δηλαδή ισχύουν: (1) x x, x G (αυτοπαθής) () x y y x (συµµετρική) (3) x y, y z x z (µεταβατική) Τούτο σηµαίνει ότι το σύνολο G διαµερίζεται σε ξένα µεταξύ τους υποσύνολα, τις κλάσεις ισοδυναµίας της σχέσης. Τις κλάσεις αυτές τις ονοµάζουµε σύµπλοκα της υποοµάδας. 11

13 Πρόταση Κάθε σύµπλοκο της οµάδας G ως προς την υποοµάδα Η γράφεται µε τη µορφή xη = {xh: h H}. Για δύο σύµπλοκα ισχύει xη = yη ή xη yη=. Απόδειξη: Αν xη yη, έστω z xη yη. Τότε το z γράφεται µε δύο τρόπους: z = xh 1 = yh άρα x = yh h -1 1 yη. Τότε όµως και xη yη. Ανάλογα δείχνουµε και την yη xη. Παρατήρηση. Το σύνολο των συµπλόκων της οµάδας G ως προς την υποοµάδα Η συµβολίζεται µε G/Η. Το πλήθος των συµπλόκων ονοµάζεται δείκτης της Η στην G και συµβολίζεται µε [G : Η]. Τούτο µπορεί να είναι άπειρο ή πεπερασµένο. Η απεικόνιση p : G G/Η που σε κάθε x G αντιστοιχεί το σύµπλοκο p(x)= xη, ονοµάζεται κανονική προβολή της οµάδας G στο σύνολο πηλίκο G/Η. Ορισµός 1.1. Μία υποοµάδα της οµάδας G λέγεται κανονική και συµβολίζουµε H G, όταν ισχύει δηλαδή τα δύο σύνολα ταυτίζονται. Πρόταση Οι επόµενες προτάσεις είναι ισοδύναµες : (1) Η υποοµάδα είναι κανονική. () (3) Απόδειξη: (1) () Αν τότε άρα θα υπάρχει, που δείχνει ότι () (3) διότι για κάθε συνεπάγεται και την. Άρα και (3) (1) είναι τετριµµένη. 1

14 Παρατηρήσεις: (1) Κάθε υποοµάδα µιας αβελιανής οµάδας είναι κανονική. Άρα αν οι κανονικές υποοµάδες έχουν κάποιο ενδιαφέρον αυτό θα φανεί στις µη αβελιανές οµάδες. () Κατ αναλογίαν προς τα σύµπλοκα, ορίζεται µέσω µιας υποοµάδας Η µια δεύτερη σχέση ισοδυναµίας, παρόµοια µε την της προηγούµενης παραγράφου : σχέση είναι τα σύνολα Οι κλάσεις ισοδυναµίας ως προς αυτήν την και το σύνολο των κλάσεων συµβολίζεται µε G\H. Η υποοµάδα είναι κανονική τότε ακριβώς όταν δηλαδή οι δύο σχέσεις ισοδυναµίας έχουν τις ίδιες κλάσεις ισοδυναµίας. (3) Η οµάδα G λέγεται απλή όταν δεν έχει γνήσιες (δηλαδή διάφορες του εαυτού της και της τετριµµένης {e}) κανονικές υποοµάδες. Ορισµός Το σύνολο Ζ(G) των στοιχείων α της G, τα οποία αντιµετατίθενται µε όλα τα στοιχεία x της G, καλείται κέντρο της οµάδας G. Είναι λοιπόν: Ζ(G) = { α G: αx= xα, x G }. Πρόταση Το κέντρο Ζ(G) µιας οµάδας G είναι κανονική υποοµάδα της G. Απόδειξη: Πρώτα θα δείξουµε ότι το Ζ(G) είναι υποοµάδα της G. Αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο αυτό είναι κλειστό ως προς την πράξη της οµάδας και ότι α Ζ(G), το α -1 Ζ(G). Έστω α, β Ζ(G). Είναι τότε: x α β = α x β = α β x, x G, οπότε α β Ζ(G). Για κάθε x G, και α Ζ(G) είναι x = x α α -1 = α x α -1. Άρα α -1 x = α -1 α x α -1 = x α -1, δηλαδή α -1 Ζ(G). Επίσης, εξ ορισµού, τα στοιχεία α του Ζ(G) αντιµετατίθενται και µεταξύ τους. Άρα το Ζ(G) είναι αβελιανή υποοµάδα της G. 13

15 Στη συνέχεια θα δείξουµε ότι Ζ(G) G. Έστω α Ζ(G) και x G, αρκεί x α x -1 Ζ(G). Είναι x α x -1 = α x x -1 = α Ζ(G). Παρατήρηση: Το κέντρο Ζ(G) µιας οµάδας G µπορεί να είναι τετριµµένο (π.χ. Ζ(D 3 ) = I). Θα δείξουµε παρακάτω ότι αν G = p n, όπου p πρώτος θετικός ακέραιος, τότε το κέντρο Ζ(G) είναι µη τετριµµένο. Ορισµός Το σύνολο των στοιχείων x της G, τα οποία αντιµετατίθενται µε το στοιχείο α της G, καλείται κανονικοποιούσα Ν(α) του στοιχείου α. Είναι λοιπόν: Ν(α) = { x G: xα =αx}. Πρόταση Η Ν(α) είναι υποοµάδα της G. Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο αυτό είναι κλειστό ως προς την πράξη της οµάδας και ότι n Ν(α), n -1 Ν(α). Έστω n, m Ν(α). Είναι τότε: n m α = n α m = α n m, οπότε n m Ν(α). Για κάθε n Ν(α) είναι n -1 G, και αφού n Ν(α) n -1 α = n -1 α n n -1 = n -1 n α n -1. Άρα n -1 α = α n -1,δηλαδή n -1 Ν(α). Πρόταση Κάθε πεπερασµένη οµάδα G τάξης όπου p πρώτος αριθµός, έχει µη τετριµµένο κέντρο Z(G). Απόδειξη: Έστω G = {e,a,a,...,a }. 1 n p 1 Θεωρούµε g G και geg,ga g,ga g,...,ga g n p 1 Ορίζεται έτσι µια σχέση ισοδυναµίας (συζυγία) : a b g G: gag -1 = b. [Έστω G οµάδα, τα στοιχεία θα λέγονται συζυγή αν υπάρχει τέτοιο ώστε. Είναι εύκολο να δούµε ότι η συζυγία είναι σχέση ισοδυναµίας. Η οµάδα G χωρίζεται λοιπόν σε ξένα µεταξύ τους υποσύνολα, τις κλάσεις ισοδυναµίας που λέγονται κλάσεις συζυγίας.] 14

16 Ισχυρισµός: Μία κλάση ισοδυναµίας είναι µονοσύνολο {z} αν και µόνο αν z Z(G). Πράγµατι, αν µια κλάση ισοδυναµίας είναι µονοσύνολο τότε 1 C z {gzg,g G} {z}, = = οπότε 1 gzg = z, για κάθε gz = zg, για κάθε z Z(G). Επίσης αν z Z(G) τότε 1 1 gzg zgg z, = = οπότε 1 C z {gzg,g G} {z} = = µονοσύνολο. Αφού οι συζυγείς κλάσεις αποτελούν διαµέριση της G θα έχουµε ότι : (1), (ισότητα κλάσεων της G), όπου C,,C r, οι κλάσεις ισοδυναµίας µε περισσότερα από ένα στοιχεία. Έστω µία κλάση ισοδυναµίας C a µε C a 1. Τότε C {eae 1,a aa 1,a aa 1,...,a aa 1 = }. n n a 1 1 p 1 p 1 Κάποια στοιχεία µπορεί να είναι ίσα µεταξύ τους. Ελέγχω πότε δύο στοιχεία είναι ίσα: a aa = a aa 1 1 i i j j (a a )a(a a ) = a 1 1 j i i j (a a )a(a a ) = a j i j i (a a )a= a(a a ) 1 1 j i j i (a a ) N(a) i 1 j i a N(a) = a N(a) δηλαδή τα a i,a j ανήκουν στο ίδιο σύµπλοκο της N(a) στη G, όπου N(a) η κανονικοποιούσα υποοµάδα του στοιχείου a στη G. j 15

17 Εποµένως η C a ισούται µε το πλήθος των συµπλόκων που είναι ο δείκτης της N(a) στη G. Άρα από το Θεώρηµα Lagrange έχουµε ότι C a / G, οπότε η C a είναι δύναµη του p (µε C a 1= p 0 ). Από τη σχέση (1) έχουµε: p n n nr = Z(G) + p p, όπου n,,n r 0, οπότε p / Z(G) και επειδή Z(G) 1 (αφού περιέχει το e), άρα τελικά είναι Z(G) p. Λήµµα Αν G πεπερασµένη p-οµάδα, τάξης p η, τότε η G έχει µια σειρά από κανονικές υποοµάδες: Ι = G 0 G 1 G n = G, όπου G i = p i, για κάθε i = 0,...,n. Απόδειξη: Θα κάνουµε επαγωγή ως προς n. Αν n = 0 τότε είµαστε εντάξει. Αν n > 0, τότε από την Πρόταση 1.15 είναι Z(G) Ι. Αφού η Z(G) είναι αβελιανή υποοµάδα της G, η τάξη της θα διαιρεί την G = p n οπότε Z(G) = p m και εποµένως έχει κάποιο στοιχείο τάξης p. Η κυκλική υποοµάδα Κ που παράγεται από αυτό το στοιχείο, έχει τάξη p και είναι κανονική, αφού Κ υποοµάδα της Z(G). [Έστω u Κ Z(G) τότε για κάθε g G είναι: g u g -1 = u g g -1 = u Κ, άρα Κ G] Η G/K είναι µια p-οµάδα µε τάξη p n -1. [Αφού Κ G G/K οµάδα και G/K = G / K = n p p n 1 = p ]. Άρα από την επαγωγική υπόθεση, η G/K θα έχει µία σειρά κανονικών υποοµάδων: G 0 /K = G 1 /K G n /K, όπου G i /K = p i-1. Αλλά τότε G i = p i και G i G, θέτουµε G 0 =I και έχουµε το αποτέλεσµα. 16

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ - ΣΩΜΑΤΑ Ορισµός.1. ακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο διµελείς πράξεις: - Την πρόσθεση: (a, b) a + b και - Τον πολλαπλασιασµό: (a, b) a b έτσι ώστε: (1) Το σύνολο R να είναι µεταθετική (αβελιανή) οµάδα ως προς την πρόσθεση () Ο πολλαπλασιασµός να είναι προσεταιριστικός (3) Να ισχύει η επιµεριστική ιδιότητα: (a + b) c = a c + b c ή c (a + b) = c a + c b για κάθε a, b, c R - Αν σε ένα δακτύλιο (R, +, ) ισχύει επιπλέον a b = b a, για κάθε a, b R τότε λέγεται µεταθετικός δακτύλιος. - Αν σε ένα δακτύλιο (R, +, ) υπάρχει ένα στοιχείο 1 R µε 1 0 (όπου 0 το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης στο R) ώστε 1 a = a 1 = a τότε το 1 λέγεται µονάδα του δακτυλίου και ο δακτύλιος ονοµάζεται δακτύλιος µε µονάδα. - Ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα 1 0 λέγεται σώµα αν κάθε στοιχείο του a 0 έχει αντίστροφο µέσα στο R. Σηµείωση: Στο εξής θα χρησιµοποιούµε τον όρο δακτύλιος αντί του όρου µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Παραδείγµατα. 1) Οι πιο γνωστοί δακτύλιοι είναι οι: Z (ακέραιοι αριθµοί), Q (ρητοί αριθµοί), R (πραγµατικοί αριθµοί), C (µιγαδικοί αριθµοί),καθένας από τους οποίους θεωρείται ότι είναι εφοδιασµένος µε τις συνήθεις πράξεις της 17

19 πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού. Οι δακτύλιοι ( Q, +, ), ( R, +, ), ( C, +, ) είναι σώµατα ενώ ο δακτύλιος ( Z, +, ) δεν είναι σώµα. ) Αν R είναι ένας δακτύλιος, τότε ένα πολυώνυµο f(x) µε συντελεστές στον R (συντοµότερα ένα πολυώνυµο επί του R), είναι µια ακολουθία f (x) = (c 0, c 1,..., c n, 0, 0,...), όπου ci R για όλα τα i= 1,,..., n και ci = 0 για όλα τα i> n. Αν g(x) = (d 0, d 1,...) είναι ακόµη ένα πολυώνυµο υπεράνω του R, τότε έπεται ότι f (x) = g(x) αν και µόνο αν ci = di για όλα τα i. Το σύνολο των πολυωνύµων συµβολίζεται µε R[x]. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασµός του R[x] ορίζονται ως εξής: (c 0, c 1,...) + (d 0, d 1,...) = (c0+ d 0, c1+ d 1,...) (c 0, c 1,...) (d 0, d 1,...) = (e 0, e 1,...) µε e0 = c0 d 0, e1 = c0 d1 + c1 d0 και γενικώς ek = ci d j, όπου η πρόσθεση εκτελείται υπεράνω όλων των δεικτών i, j µε i+ j= k. Το µηδενικό πολυώνυµο ορίζεται ως η ακολουθία (0, 0,...) και παρίσταται µε 0. Παρόµοια το πολυώνυµο (1, 0, 0,...) συµβολίζεται µε 1 (έτσι τώρα υπάρχουν δύο διαφορετικές έννοιες για το ίδιο σύµβολο). Είναι στερεότυπη αλλά µακροσκελής η επιβεβαίωση ότι ο R[x] είναι ένας δακτύλιος. Αυτός ονοµάζεται πολυωνυµικός δακτύλιος επί του R. Ποια είναι όµως η σηµασία του γράµµατος x στο συµβολισµό f(x); Ας ονοµάσουµε µε x το εξής ιδιάζον στοιχείο του R[x]: Εύκολα αποδεικνύεται ότι x = (0, 1, 0, 0,...) x = (0, 0, 1, 0, 0, 0,...) και επαγωγικά ότι το συµπίπτει µε την ακολουθία που έχει το 0 παντού, εκτός της i-οστής θέσης, στην οποία υπάρχει το στοιχείο 1. Έτσι επανακάµπτει ο γνώριµος συµβολισµός: f (x) = (c, c,..., c, 0, 0,...) 0 1 n = (c, 0, 0,...) + (0, c, 0, 0,...) + (0, 0, c, 0, 0,...) = c (1, 0, 0,...) + c (0, 1, 0, 0,...) + c (0, 0, 1, 0, 0,...) = c + c x c x = 0 1 n c x i i n i x 18

20 Εδώ βέβαια έχουµε γράψει c0= c01, αφού ταυτίσαµε πρώτα το c 0 του R µε το (c 0, 0, 0,...) του R[x]. Σηµειώστε ότι το x είναι ένα αληθινό στοιχείο του δακτυλίου και δεν πρόκειται για µια µεταβλητή. Ο ρόλος του ως µεταβλητή θα του αποδοθεί αργότερα, όταν γίνει η συζήτηση που αφορά τις πολυωνυµικές συναρτήσεις. πολυώνυµο Υπενθυµίζουµε στον αναγνώστη το γνωστό λεξιλόγιο που συνοδεύει κάθε n = n. Αν το πολυώνυµο f(x) δεν είναι µηδενικό, f (x) c c x... c x τότε ο µεγιστοβάθµιος συντελεστής του ορίζεται να είναι ο c n, όπου n είναι ο µεγαλύτερος δείκτης µε cn 0. Ο δείκτης n ονοµάζεται βαθµός του πολυωνύµου και συµβολίζεται µε degf(x) (δηλαδή n είναι ο µεγαλύτερος εκθέτης του x που εµφανίζεται στο f(x)). Ένα πολυώνυµο ονοµάζεται µονικό, όταν ο µεγιστοβάθµιος συντελεστής του είναι το 1. Το µηδενικό πολυώνυµο 0 = (0, 0,...) δεν διαθέτει βαθµό, αφού δεν έχει µεγιστοβάθµιο συντελεστή. Ο σταθερός όρος του f(x) είναι ο c 0. Κάθε σταθερό πολυώνυµο είναι ή το µηδενικό πολυώνυµο ή ένα πολυώνυµο µηδενικού βαθµού. Ο βαθµός έχει τις εξής ιδιότητες: Έστω f(x), g(x) µη µηδενικά στοιχεία του R[x]. Ισχύει οτι: i) Αν f (x) g(x) 0 ii) Αν f (x) g(x) 0 τότε deg( f (x) g(x) ) deg( f (x)) + deg( g(x) ) { } + τότε deg( f (x) + g(x) ) max deg( f (x)), deg( g(x) ) Παρατήρηση. Ο δακτύλιος R[x] δεν είναι σώµα. Παράδειγµα: 1 R[x] x. Παρατήρηση. Ένας δακτύλιος R είναι µια ακέραια περιοχή, αν το γινόµενο δύο µη µηδενικών στοιχείων του R είναι και πάλι ένα µη µηδενικό στοιχείο.. Αν R είναι µια ακέραια περιοχή τότε η i) γίνεται: Αν f (x) g(x) 0 τότε deg( f (x) g(x) ) = deg( f (x)) + deg( g(x) ) 19

21 Ορισµός.. Έστω f (x) i = cix ένα πολυώνυµο επί ενός δακτυλίου R. Ρίζα του πολυωνύµου f(x) στον R, ονοµάζεται κάθε στοιχείο a R, τέτοιο ώστε n f (a) = 0 δηλαδή c + c a c a = n Σχόλιο. Το πολυώνυµο f (x) = x είναι ένα πολυώνυµο επί του Q και λέµε ότι το είναι ρίζα του f(x), παρόλο που το είναι άρρητος αριθµός. Παρακάτω, θα διαφοροποιήσουµε τον ορισµό των ριζών ενός πολυωνύµου επί του R, έτσι ώστε αυτές να ανήκουν και σε κάποιο δακτύλιο µεγαλύτερο του R. ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ - ΥΠΟΣΩΜΑΤΑ Ορισµός.3. Έστω (R, +, ) ένας δακτύλιος και S ένα µη κενό υποσύνολο του R τέτοιο ώστε οι περιορισµοί + : S S S και : S S S των δύο πράξεων του R στο S S, να είναι πράξεις στο S. Αν το S µε τις πράξεις αυτές είναι δακτύλιος, θα λέµε ότι το S είναι υποδακτύλιος του R. Πρόταση.4. Έστω (R, +, ) ένας δακτύλιος και S ένα µη κενό υποσύνολο του R. Το (S, +, ) είναι υποδακτύλιος του (R, +, ) αν ισχύουν: - a b S για κάθε a, b S - a b S για κάθε a, b S Ορισµός.5. Έστω (K, +, ) ένα σώµα και F K. Το F ονοµάζεται υποσώµα του Κ αν: - Το (F, + ) είναι υποοµάδα της (K, + ) και - Το * (F, ) είναι υποοµάδα της * (K, ) όπου * K = K {0} και * F = F {0}. Από τον ορισµό προκύπτει ότι ένα υπόσωµα F ενός σώµατος Κ είναι επίσης σώµα ως προς τις ίδιες πράξεις. 0

22 Πρόταση.6. Έστω (K, +, ) ένα σώµα και F K.Το F είναι υπόσωµα του Κ αν ισχύουν: - 0, 1 F όπου 0 το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και 1 το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού στο Κ - a b F, a b F για κάθε a, b F - Για κάθε a F µε a 0 και το a 1 F Παράδειγµα. Τα ( Q, +, ), ( R, +, ) είναι υποσώµατα του ( C, +, ) Ορισµός.7. Έστω R, S δύο δακτύλιοι. Μια απεικόνιση φ : R S λέγεται οµοµορφισµός δακτυλίων αν για κάθε a, b R ισχύουν: φ(a + b) = φ(a) + φ(b) φ(a b) = φ(a) φ(b) φ(1) = 1 Αν επιπλέον η φ είναι επί λέγεται επιµορφισµός. Αν επιπλέον η φ είναι 1-1 λέγεται µονορφισµός. Αν επιπλέον η φ είναι 1-1 και επί λέγεται ισοµορφισµός και οι δακτύλιοι R, S είναι ισόµορφοι. Τότε γράφουµε R S. Παράδειγµα. Αν R είναι ένας δακτύλιος, τότε το R = {(r,0,0,...) : r R} είναι υποδακτύλιος του R[x] και η απεικόνιση φ : R R που ορίζεται ως φ : r (r,0,0,...) είναι ένας ισοµορφισµός από τον R στον R. 1

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Ορισµός 3.1. Έστω F ένα σώµα. Ένας διανυσµατικός χώρος επί του F (ή διανυσµατικός χώρος F) αποτελείται από µία αβελιανή οµάδα V µε πράξη την πρόσθεση, µαζί µε µια πράξη βαθµωτού πολλαπλασιασµού των στοιχείων του V µε τα στοιχεία του F από τ' αριστερά, τέτοια, ώστε για κάθε a, b F και α, β V να ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες: (1) aα V. () a(bα) = (ab)α. (3) (a + b)α = (aα) + (bα) (4) a(α +β) = (aα) + (aβ). (5) 1α = α. Τα στοιχεία του V λέγονται διανύσµατα και τα στοιχεία του F βαθµωτά. Όταν ασχολούµαστε µε ένα µόνο σώµα F, παύουµε να αναφερόµαστε στο F και µιλάµε για έναν διανυσµατικό χώρο. Σηµειώστε ότι, ο πολλαπλασιασµός σε ένα διανυσµατικό χώρο δεν είναι µια διµελής πράξη ορισµένη πάνω σε ένα σύνολο. Είναι ένας κανόνας που επισυνάπτει ένα στοιχείο aα του V σε κάθε διατεταγµένο ζεύγος (a, α), που αποτελείται από ένα στοιχείο a του F και ένα στοιχείο α του V. Μπορούµε λοιπόν να τον δούµε ως µια συνάρτηση µε την οποία απεικονίζεται το F x V στο V.

24 Ορισµός 3.. Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Τα διανύσµατα ενός υποσυνόλου S = {α i / i I} του V παράγουν (ή γεννούν) το V αν για κάθε β V, έχουµε β = a 1 α i1 + a α i + + a n α in για κάποια a j F και α ij S, j = 1,,,n, Κάθε διάνυσµα n aα j ij λέγεται γραµµικός συνδυασµός των α ij. j= 1 Ορισµός 3.3. Ένας διανυσµατικός χώρος V επί ενός σώµατος F λέγεται πεπερασµένης διάστασης αν υπάρχει ένα πεπερασµένο υποσύνολο του V, τα διανύσµατα του οποίου σχηµατίζουν µια βάση του V επί του F. Ορισµός 3.4. Τα διανύσµατα ενός υποσυνόλου S = {α i / i I} ενός διανυσµατικού χώρου V επί ενός σώµατος F λέγονται γραµµικώς ανεξάρτητα επί του F αν από τη σχέση n aα j ij = 0 έπεται ότι a j =0 για κάθε j = 1,..., n. j= 1 Αν τα διανύσµατα δεν είναι γραµµικώς ανεξάρτητα επί του F, τότε λέγονται γραµµικώς εξαρτηµένα επί του F. Έτσι, τα διανύσµατα του {α i / i I} είναι γραµµικώς ανεξάρτητα επί του F αν ο µόνος τρόπος µε τον οποίο το διάνυσµα 0 µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων α i είναι η εξίσωση όλων των βαθµωτών συντελεστών µε το 0. Αν τα διανύσµατα είναι γραµµικώς εξαρτηµένα επί του F, τότε υπάρχουν a j F µε j = 1,..., n τέτοια, ώστε n aα j ij = 0, όπου δεν είναι όλα τα a j =0. j= 1 Ορισµός 3.5. Αν V είναι ένας διανυσµατικός χώρος επί ενός σώµατος F, λέµε ότι τα διανύσµατα ενός υποσυνόλου Β = { β i / i I } του V σχηµατίζουν µία βάση του V επί του F, αν αυτά παράγουν τον V και είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. Ορισµός 3.6. Αν V είναι ένας πεπερασµένης διάστασης διανυσµατικός χώρος επί ενός σώµατος F, τότε το πλήθος των στοιχείων µιας βάσης του (που είναι ανεξάρτητο από την επιλογή της βάσης) λέγεται διάσταση του V επί του F, και συµβολίζεται dim F V. 3

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΓΩΓΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ορισµός 4.1. Έστω F ένα σώµα. Ένα µη µηδενικό πολυώνυµο f (x) F[x] µε deg f (x) 1 καλείται ανάγωγο επί του F αν από κάθε ανάλυση του f(x) της µορφής f (x) = g(x) h(x) µε g(x), h(x) F[x] προκύπτει ότι g(x) σταθερό ή h(x) σταθερό πολυώνυµο. Σηµείωση. Το κατά πόσον ένα πολυώνυµο είναι ανάγωγο ή όχι εξαρτάται από το σώµα των συντελεστών. Για παράδειγµα, το δεν είναι επί του C. Επίσης, το του R. x + 1 είναι ανάγωγο επί του R, αλλά x είναι ανάγωγο επί του Q αλλά δεν είναι επί Προφανώς τα γραµµικά πολυώνυµα (1 ου βαθµού) είναι πάντα ανάγωγα, όποιο και αν είναι το σώµα F. Παρακάτω θα διερευνήσουµε την αναγωγιµότητα των πολυωνύµων ου βαθµού και πάνω επί των σωµάτων C, R και Q. Ανάγωγα Πολυώνυµα επί του C Αν f (x) = a x a x+ a µε deg f (x) = n> 1 τότε n n 1 0 f (x) = a n (x z 1)(x z )... (x z n ) όπου z 1,z,...,z C n. Άρα το f(x) δεν είναι ανάγωγο. Άρα τα µόνα ανάγωγα πολυώνυµα στο C είναι αυτά του 1 ου βαθµού. Ανάγωγα Πολυώνυµα επί του R ου Βαθµού: Τα πολυώνυµα επί του R ου βαθµού θα είναι της µορφής f (x) = ax + bx+ c µε a, b,c R,και a 0 Εδώ διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: 4

26 α) Αν = b 4ac> 0 τότε f (x) = a(x ρ 1)(x ρ ) όπου ρ 1,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης β) Αν γ) Αν εξίσωσης ax + bx+ c= 0. Άρα το f(x) δεν θα είναι ανάγωγο. = b 4ac= 0 τότε f (x) = a(x ρ)(x ρ) όπου ρ είναι η ρίζα της b ax + bx+ c= 0. Άρα το f(x) δεν θα είναι ανάγωγο. = 4ac<0, τότε το πολυώνυµο δεν παραγοντοποιείται στο R άρα θα είναι ανάγωγο. 3 ου Βαθµού: Τα πολυώνυµα επί του R 3 ου βαθµού θα είναι της µορφής 3 f (x) = ax + bx + cx + d µε a, b,c,d R, και a 0. Τότε υπάρχει ρ R : (x ρ) / f (x). ηλαδή f (x) = (x ρ)(a 'x + b'x+ c') άρα το f(x) δεν θα είναι ανάγωγο στο R. Οµοίως, ισχύει ότι κάθε πολυώνυµο περιττού βαθµού δηλαδή αν f (x) = a x a x+ a µε deg f (x) = κ+ 1, κ N δεν θα είναι ανάγωγο στο R. n n ου Βαθµού: Τα πολυώνυµα επί του R 4 ου βαθµού θα είναι της µορφής 4 3 f (x) = ax + bx + cx + dx+ e µε a, b,c,d,e R, a 0.Οι ρίζες αυτού του πολυωνύµου θα είναι πραγµατικές ή µιγαδικές. Αν υπάρχει έστω και µία πραγµατική ρίζα ρ τότε το πολυώνυµο θα γράφεται f (x) = (x ρ)(a x + a x + a x+ a ) και άρα το f(x) δεν θα είναι ανάγωγο στο R Μένει, λοιπόν, η περίπτωση όπου όλες οι ρίζες θα είναι µιγαδικές. Αυτές τότε θα είναι της µορφής ρ1= α1+ iβ1, ρ= α1 iβ1, ρ3= α+ iβ και ρ4= α iβ, δηλαδή θα είναι ανά δύο συζυγής και το f(x) θα γράφεται: f (x) = a(x ρ )(x ρ )(x ρ )(x ρ ) = a x (ρ1 + ρ ) x + ρ1ρ x (ρ3 + ρ 4) x + ρ3ρ 4 ( )( ) = a x α x + α + β x α x + α + β άρα το f(x) δεν είναι ανάγωγο. Οµοίως, ισχύει κάθε πολυώνυµο άρτιου βαθµού, δηλαδή αν ανάγωγο στο R. f (x) = a x a x+ a µε deg f (x) = n, n N, n> 1 δεν θα είναι n n 1 0 Άρα τα µόνα ανάγωγα πολυώνυµα στο R είναι αυτά του 1 ου βαθµού από του ου βαθµού εκείνα που έχουν < 0. 5

27 Ανάγωγα Πολυώνυµα επί του Q Λήµµα 4.. (Gauss). Αν ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές είναι δυνατόν να γραφεί ως γινόµενο δύο πολυωνύµων, µικρότερου βαθµού, µε ρητούς συντελεστές, τότε γράφεται και ως γινόµενο δύο πολυωνύµων, µικρότερου βαθµού, µε ακέραιους συντελεστές. Απόδειξη. Έστω f = gh όπου το πολυώνυµο f έχει ακέραιους συντελεστές, ενώ τα πολυώνυµα g και h ρητούς. Υποθέτουµε ότι έχουµε διαιρέσει µε το µέγιστο κοινό διαιρέτη των συντελεστών των g και h αντίστοιχα, τους συντελεστές των g και h. Γράφουµε, λοιπόν: α α α g(x) x x... β β β n n n 1 n 1 0 = και n n 1 0 γ γ γ h(x) = x + x δ δ δ m m m 1 m 1 0 m m 1 0 όπου όλοι οι συντελεστές είναι ανάγωγα κλάσµατα. Αν Β και είναι το γινόµενο όλων των παρανοµαστών β και δ αντίστοιχα, τότε το Βg(x) και το h(x) έχουν ακέραιους συντελεστές. Αν Α ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των β και Γ ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των δ, έχουµε τελικά τα πολυώνυµα: Β g(x) A n n 1 n x A n 1 x = A 0 και Α h(x) = Γ x + Γ x Γ Γ m m 1 m m 1 0 Η σχέση f Θέτουµε, λοιπόν, = gh τώρα γίνεται: Β Β f = ΑΓ g h. Παρατηρούµε ότι ΑΓ Β. Α Γ Β Ε = Z και γράφουµε: ΑΓ n n 1 m m 1 ( n n 1 0)( m m 1 0) E f (x) = A x + A x A Γ x + Γ x Γ (1) Το Λήµµα θα έχει αποδειχθεί αν δείξουµε ότι E=± 1. Αν E ± 1 τότε το Ε θα έχει κάποιον πρώτο παράγοντα p. Ο p δεν διαιρεί όµως όλους τους συντελεστές Α, ούτε όλους τους συντελεστές Γ. Έστω, λοιπόν, A i και Γ j οι µικρότεροι συντελεστές από τους Α και Γ αντίστοιχα, που ο p δεν διαιρεί. Ας δούµε τώρα τον συντελεστή του i j x +. Στο πολυώνυµο f(x), στην (1), ο συντελεστής του όρου αυτού, διαιρείται από τον Ε και συνεπώς από τον p. Αν κάνουµε τον πολλαπλασιασµό που σηµειώνεται 6

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα