1-6: ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ.

Transcript

1 64 of 3 1-6: ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. Α. Μηχανικές ταλαντώσεις Β. Ηλεκτρικές ταλάντωσεις Όλες οι εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις αυτού του κεφαλαίου, αναφέρονται σε σύστημα ελατηρίου- σώματος. Υπάρχει πλήρης αντιστοίχιση τους με τις εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. 64 of 3

2 65 of 3 Α. Μηχανικές ταλαντώσεις. Ερ.68. Δίνεται σώμα μάζας m το οποίο είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατήριου σταθεράς Κ. Το άλλο άκρο του ελατήριου είναι κρεμασμένο από σημείο Ο. Τραβάμε το σώμα προς τα κάτω κατά Α και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί χωρίς τριβές. Πώς ονομάζεται η κίνηση που θα εκτελέσει; Πώς λέγονται χαρακτηριστικά, η συχνότητα και η περίοδος της κίνησης που θα εκτελέσει; Να γράψετε τους αντίστοιχους τύπους. Από τι εξαρτάται η τιμή της συχνότητας και της περιόδου; Αν το σφαιρίδιο του σχήματος εκτραπεί κατά χ=α από τη θέση ισορροπίας του και αφεθεί ελεύθερο θα εκτελέσει κατακόρυφη ταλάντωση. Αν δεν υπάρχουν αντιστάσεις 1 D 1 K 1 η ταλάντωση θα είναι αμείωτη, με συχνότητα f= = = π m π m T Μια τέτοια ταλάντωση λέγεται ελεύθερη αμείωτη ταλάντωση και η συχνότητα με την οποία πραγματοποιείται λέγεται ιδιοσυχνότητα (f o ) (ή φυσική συχνότητα) της ταλάντωσης. Η δε περίοδος ονομάζεται Iδιοπερίοδος T του συστήματος. Ορισμοί : Ελεύθερη ταλάντωση λέγεται ταλάντωση που εκτελεί ένα σύστημα, όταν αρχικά απορροφά ορισμένη ποσότητα ενέργειας και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Ιδιοσυχνότητα (fo) (ή φυσική συχνότητα) ενός συστήματος ονομάζεται η συχνότητα της ελεύθερης ταλάντωσης του συστήματος, όταν η απόσβεση είναι μηδενική. Η ιδιοσυχνότητα (fo) και η Iδιοπερίοδος T ενός συστήματος το οποίο εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση εξαρτώνται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος. Ισχύει: 4π D=Κ=m ω =m 4π f =m T Στην πραγματικότητα μια τέτοια ταλάντωση, λόγω των αντιστάσεων δεν μπορεί να είναι αμείωτη αλλά θα είναι φθίνουσα. Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία της φθίνουσας ταλάντωσης το πλάτος της θα μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, η περίοδος της θα είναι λίγο μεγαλύτερη από την Iδιοπερίοδο T και επομένως η συχνότητα της θα είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητά της f. 65 of 3

3 66 of 3 Ερ.69. Αν στο παραπάνω σύστημα κατά τη διάρκεια της κίνησής του αναπτυχθούν δυνάμεις αντίστασης με μέτρο ανάλογο με την ταχύτητα του σώματος κάθε χρονική στιγμή, τι κίνηση θα εκτελέσει το σώμα; Θα μειωθεί η θα αυξηθεί η συχνότητα σε σχέση με την κίνηση της προηγούμενης ερώτησης; Αν στο παραπάνω σύστημα αναπτυχθούν δυνάμεις αντίστασης των οποίων το μέτρο είναι ανάλογο με την ταχύτητα του σώματος (F'=-bυ,) κάθε χρονική στιγμή τότε το σύστημα, λόγω των αντιστάσεων θα εκτελέσει ελεύθερη φθίνουσα ταλάντωση. 1 -Λt Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία της φθίνουσας ταλάντωσης η ενέργεια ( E κ = D Aκ = E o e με t= kt -Λt και k =,1,,..) και το πλάτος της θα μειώνονται εκθετικά με το χρόνο ( Α Κ= A e με t=kt και k=,1,,..), η περίοδος της θα είναι λίγο μεγαλύτερη από την Iδιοπερίοδο T και επομένως η συχνότητα της θα είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητά της f. Ερ.7. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση, στη διάρκεια μιας περιόδου ένα μέρος της ολικής ενέργειας ταλάντωσης ( 1 DA ) μετατρέπεται σε ενέργεια άλλης μορφής κυρίως σε θερμική. Από τι εξαρτάται ο ρυθμός με τον οποίο η ενέργεια της ταλάντωσης γίνεται θερμότητα; Τι πρέπει να κάνουμε αν θέλουμε να διατηρήσουμε σταθερή ( Πώς επιτυγχάνεται αυτό; 1 DA ) την ενέργεια της ταλάντωσης; Ο ρυθμός με τον οποίο η ενέργεια της ταλάντωσης 1 DA γίνεται θερμότητα εξαρτάται από τις δυνάμεις απόσβεσης που επιδρούν στο σύστημα. Όπως γνωρίζουμε σε μια φθίνουσα ταλάντωση όσο αυξάνεται σταθερά απόσβεσης b τόσο αυξάνεται ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια και το πλάτος της ταλάντωσης άρα αυξάνεται ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια γίνεται θερμική. Αν θέλουμε σε μια φθίνουσα ταλάντωση η ενέργεια και το πλάτος της να διατηρείται σταθερό, πρέπει στο σύστημα να προσφέρουμε συνεχώς ενέργεια με ρυθμό ίδιο με τον ρυθμό που η μηχανική του ενέργεια γίνεται θερμική. Για να γίνει αυτό πρέπει να ασκούμε στο σύστημα μια επιπλέον εξωτερική περιοδική δύναμη. Αυτή την πρόσθετη δύναμη την ονομάζουμε διεγείρουσα δύναμη. Ο μηχανισμός μέσω του οποίου ασκείται αυτή η δύναμη ονομάζεται διεγέρτης. Το σύστημα πλέον δεν εκτελεί ελεύθερη φθίνουσα ταλάντωση αλλά μια νέα ταλάντωση η οποία λέγεται εξαναγκασμένη ταλάντωση. 66 of 3

4 67 of 3 Ερ.71. Να σχεδιάσετε κατάλληλο σύστημα στο οποίο το σώμα να εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Να ορίσετε τον διεγέρτη και τον ταλαντωτή του συστήματος. Αν f δ είναι η συχνότητα περιστροφής του τροχού Τ ποια θα είναι η συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται το σώμα που είναι δεμένο στο ελατήριο; Στη διάταξη του σχήματος το ελατήριο είναι δεμένο με σχοινί, το άλλο άκρο του οποίου προσδένεται στον τροχό Τ ο οποίος, με κατάλληλη διάταξη, μπορεί να περιστρέφεται. Η περιστροφή του τροχού αναγκάζει το σφαιρίδιο να εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση. Η συχνότητα της ταλάντωσης συμπίπτει με τη συχνότητα περιστροφής του τροχού. Η κίνηση του σφαιριδίου ονομάζεται εξαναγκασμένη ταλάντωση και το σώμα που προκαλεί την ταλάντωση με την περιοδική δύναμη που ασκεί (διεγείρουσα δύναμη) -στο παράδειγμα μας ο τροχός- διεγέρτης. Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σφαιρίδιο Σ είναι fδ και όχι fo.στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ο διεγέρτης. επιβάλλει στην ταλάντωση τη συχνότητα του. Ορισμός : Εξαναγκασμένη ταλάντωση λέγεται ταλάντωση που εκτελεί ένα σύστημα, όταν σε αυτό ασκείται περιοδική εξωτερική δύναμη, με αποτέλεσμα το πλάτος της να παραμένει σταθερό. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του συστήματος είναι πάντα ίση με τη συχνότητα της εξωτερικής περιοδικής δύναμης δηλαδή του διεγέρτη. f=f δ Ερ.7. Το σύστημα που αναφέραμε εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Από τι εξαρτάται το πλάτος Α μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης; Πως μεταβάλλεται το πλάτος όταν μεταβάλλεται η συχνότητα του διεγέρτη για ορισμένη σταθερά b; Περιγράψετε την μεταβολή. Να περιγράψετε αναλυτικά τι συμβαίνει με το πλάτος της εξαναγκασμένη ταλάντωσης όταν η συχνότητα ταλάντωσης του διεγέρτη αυξάνεται. Σχολιάστε τις τιμές του πλάτους όταν: f δ =, f δ = f, f δ σε δύο περιπτώσεις: b=ο και. b. Τι συμβαίνει όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με τη συχνότητα της ελεύθερης αμείωτης ταλάντωσης του συστήματος; Να κάνετε το διάγραμμα μεταβολής του πλάτους μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης σε συνάρτηση με την συχνότητα του διεγέρτη σε δύο περιπτώσεις: 1. b=ο Και. b. 67 of 3

5 68 of 3 1. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται: Από τη συχνότητα f δ του διεγέρτη και Από τη σταθερά απόσβεσης b του συστήματος.. Για ορισμένη σταθερά απόσβεσης b του συστήματος, όταν μεταβάλλεται η συχνότητα του διεγέρτη μεταβάλλεται και το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης. Συγκεκριμένα: Όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι πάρα πολύ μικρή ( τείνει στο μηδέν) δηλαδή η περίοδος του είναι θεωρητικά άπειρη, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης της παραπάνω πειραματικής διάταξης είναι ίσο με την ακτίνα του περιστρεφόμενου τροχού Τ. Όταν η συχνότητα του διεγέρτη αυξάνεται μέχρι την τιμή της ιδιοσυχνότητας του συστήματος το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης αυξάνεται. Όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος τότε παρατηρούμε μεγιστοποίηση του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης. Τότε λέμε ότι έχουμε συντονισμό. Στην ιδανική περίπτωση που η ταλάντωση δεν έχει απώλειες ενέργειας (πρακτικά αυτό είναι αδύνατο), όταν fδ=f, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται άπειρο. Περαιτέρω αύξηση στη συχνότητα του διεγέρτη δεν οδηγεί σε αύξηση του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης αλλά σε μείωση του και συγκεκριμένα όταν η συχνότητα του διεγέρτη τείνει στο άπειρο το πλάτος τείνει στο μηδέν. Αυτό συμβαίνει επειδή το σύστημα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση δεν προλαβαίνει να «παρακολούθησει» την κίνηση του διεγέρτη και λόγω αδράνειας παραμένει ακίνητο. b= Α b Α=R Α=R Tα διαγράμματα του πλάτους μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης, σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη. (α) Ταλάντωση χωρίς απόσβεση, (β) Ταλάντωση με απόσβεση. 68 of 3

6 69 of 3 Ερ.73. συντονισμού; Να ορίσετε το φαινόμενο του συντονισμού στην εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση ; Ποια η συνθήκη Συντονισμός ονομάζεται το φαινόμενο κατά το οποίο, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης ενός συστήματος γίνεται μέγιστο για μια ορισμένη συχνότητα του διεγέρτη. Στην ιδανική περίπτωση στην οποία μια εξαναγκασμένη ταλάντωση γίνεται χωρίς απόσβεση (b=), μεγιστοποίηση του πλάτους έχουμε όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. fδ = f Θεωρητικά αποδεικνύεται ότι σε αυτή την περίπτωση το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται άπειρο όπως φαίνεται το παρακάτω διάγραμμα (α). Στην πράξη, αυτό προφανώς είναι αδύνατο γιατί πάντα υπάρχει απόσβεση. Στην περίπτωση που έχουμε απόσβεση(b ), ο συντονισμός συμβαίνει όταν η συχνότητα του διεγέρτη δεν είναι ακριβώς ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, αλλά λίγο μικρότερη από αυτή. Πρακτικά δεχόμαστε και πάλι ότι μεγιστοποίηση του πλάτους συμβαίνει όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. fδ = f Σε αυτή την περίπτωση το πλάτος της ταλάντωσης στο συντονισμό δεν γίνεται άπειρο, αλλά παίρνει μια μέγιστη τιμή που εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b. Η αύξηση της σταθεράς απόσβεσης, συνεπάγεται μείωση του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης και, ταυτόχρονα, μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού σε μικρότερες τιμές. Η μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού προς μικρότερες τιμές επιβεβαιώνει την παρατήρηση ότι με την αύξηση του b η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή μικραίνει. b= Α b Α=R Α=R 69 of 3

7 7 of 3 Ερ.74. Καμπύλες συντονισμού : Να περιγράψετε διάταξη με την οποία μπορούμε πειραματικά να παρατηρήσουμε το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη, για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης. Να κάνετε τα διαγράμματα του πλάτους μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης. (b 1 <b <b 3 ). Με τη διάταξη του σχήματος μπορούμε να παρατηρήσουμε το πλάτος της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη, για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης. Στο δεύτερο σχήμα παριστάνεται το πλάτος της ταλάντωσης για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης, Το πλάτος της ταλάντωσης κατά το συντονισμό εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης. Η αύξηση της σταθεράς απόσβεσης, συνεπάγεται μείωση του μέγιστου πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης και ταυτόχρονα, μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού σε μικρότερες b1< b< b3 τιμές. Η μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού προς μικρότερες τιμές επιβεβαιώνει την παρατήρηση ότι με την αύξηση του b η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή μικραίνει. Α=R Για σχετικά μικρές τιμές της σταθερής απόσβεσης, δεχόμαστε ότι f μεγιστοποίηση του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης έχουμε όταν η συχνότητα το διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του 1 D 1 Κ συστήματος. f= = (Τρίτο σχήμα ) π m π m Α=R b1< b Το σημείο οπό το οποίο ξεκινούν όλες οι καμπύλες στο διάγραμμα, απέχει από την αρχή των αξόνων όσο απέχει το σημείο πρόσδεσης του σχοινιού από το κέντρο του τροχού Τ. 7 of 3

8 71 of 3 Ερ.75. Ολική ενέργεια σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση: Η εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι αμείωτη, γιατί η εξωτερική δύναμη υπερνικά τις δυνάμεις απόσβεσης και προσφέρει στο σύστημα που κάνει ταλάντωση την απαιτούμενη ενέργεια, ώστε το πλάτος της ταλάντωσης του να παραμένει σταθερό. Να γράψετε την σχέση που δίνει την ολική ενέργεια ενός σώματος που κάνει εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η ενέργεια ενός συστήματος που κάνει εξαναγκασμένη ταλάντωση εξαρτάται από τη συχνότητα της εξωτερικής περιοδικής δύναμης; Εξηγήστε. Για ποια τιμή της συχνότητας της εξωτερικής περιοδικής δύναμης έχουμε μεγιστοποίηση της ολικής ενέργειας του συστήματος. Γράψτε την σχέση που δίνει την ολική ενέργεια του συστήματος τότε. Στην ελεύθερη ταλάντωση κατά τη διέγερση του συστήματος δίνεται σε αυτό κάποια αρχική μηχανική ενέργεια, η οποία διατηρείται σταθερή, αν η ταλάντωση είναι αμείωτη ή μετατρέπεται σταδιακά σε θερμότητα αν είναι φθίνουσα. Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, προσφέρεται στο σύστημα συνεχώς μηχανική ενέργεια μέσω της διεγείρουσας δύναμης με συχνότητα fδ. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης για τη συγκεκριμένη συχνότητα fδ, διατηρείται σταθερό. Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα, μέσω της εξωτερικής δύναμης αντισταθμίζει τις απώλειες ενέργειας. Α. Η ενέργεια του συστήματος που κάνει εξαναγκασμένη ταλάντωση δίνεται από την σχέση από τη συχνότητα της εξωτερικής περιοδικής δύναμης. 1 E= DA και εξαρτάται Εξήγηση : Επειδή το πλάτος Α της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη και η ενέργειά της θα εξαρτάται από τη συχνότητα αυτή. Α Α=R b Όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται μέγιστο, επομένως και η ενέργεια της κατά το συντονισμό θα είναι η μέγιστη δυνατή. 71 of 3

9 7 of 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Δηλαδή: Όταν fδ = f έχουμε Α=Α και 1 E = DA με 4π D=Κ=m ω =m 4π f =m T Ο τρόπος με τον οποίο το ταλαντευόμενο σύστημα αποδέχεται την ενέργεια από τον διεγέρτη είναι εκλεκτικός και έχει να κάνει με τη συχνότητα υπό την οποία προσφέρεται. Κατά το συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά το βέλτιστο τρόπο, γι αυτό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο. Λέγοντας βέλτιστο τρόπο, εννοούμε ότι κατά το συντονισμό η κατεύθυνση της εξωτερικής περιοδικής δύναμης ταυτίζεται με την κατεύθυνση της ταχύτητας του ταλαντευμένου σώματος στο μεγαλύτερο μέρος της περιόδου της ταλάντωσης. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, η ισχύς της εξωτερικής δύναμης P εξ. =F εξ..υ να είναι θετική στο μεγαλύτερο μέρος της περιόδου της ταλάντωσης και ταυτόχρονα μεταφέρεται η μέγιστη ενέργεια από τον διεγέρτη στο σύστημα, σε κάθε περίοδο. Έτσι το σύστημα κατά το συντονισμό απορροφά περισσότερη ενέργεια από τον διεγέρτη, με αποτέλεσμα την μεγιστοποίηση του πλάτους της ταλάντωσης. Σημαντικές παρατηρήσεις : 1. Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής για να εκτελέσει ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση, πρέπει η συνισταμένη δύναμη που δέχεται να είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας. Δηλαδή να ισχύει σχέση: ΣF = -m ω χ =- K χ Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση στο σώμα εκτός από τη δύναμη επαναφοράς ασκούνται επιπλέον : 1. Η δύναμη της αντίστασης : F = - b υ. Η εξωτερική περίεργη δύναμη που συνήθως είναι της μορφής: F εξ=f ημωδt Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση η συνισταμένη δύναμη που αναγκάζει το σώμα να κινείται είναι: ΣF =- K χ-b υ + Fεξ - K χ Επομένως η κίνηση δεν είναι απλή αρμονική ταλάντωση. 7 of 3

10 73 of 3 Στο συντονισμό και μόνο τότε ισχύει : F =- F -b υ=-f ημω t b υ= F ημω t, δ δ Α εξ με αποτέλεσμα η συνισταμένη δύναμη να είναι: η απλή αρμονική ταλάντωση. ΣF =- K χ-b υ + Fεξ = - K χ και το σώμα να εκτελεί Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι η εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι αρμονική ταλάντωση αλλά όχι απλή αρμονική.. Ο ρυθμός με τον οποίο το σύστημα χάνει ενέργεια εξαιτίας της δύναμης αντίστασης είναι: P απωλ. de dw -F dχ -b υ υ dt -b υ dt = = = = = = -b υ dt dt dt dt dt FA Α Ο ρυθμός με τον οποίο η εξωτερική δύναμη προσφέρει ενέργεια το σύστημα είναι: de dw F dχ dt dt dt Fεξ εξ Pπροσφ = = = = Fεξ υ Όταν f δ f έχουμε F - F και P απωλ. P προσφ. Α εξ Μόνο στην κατάσταση συντονισμού που f = δ f έχουμε F = - F και Α εξ P = P = b υ απωλ. προσφ. Ερ.76. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση ενός σώματος μάζας m, η συχνότητα του διεγέρτη είναι f δ =f o. Το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης είναι Α και η σταθερά απόσβεσης είναι b. Θεωρώντας ότι το σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς αρχική φάση, να γράψετε τις εξισώσεις απομάκρυνσης - χρόνου και ταχύτητας - χρόνου. Ποια είναι η σταθερά D της ταλάντωσης ; Ποια η εξίσωση της δύναμης απόσβεσης; Ποια η εξίσωση της εξωτερικής περιοδικής δύναμης που διεγείρει το σύστημα; (Για να κάνει το σύστημα εξαναγκασμένη ταλάντωση, θα πρέπει η εξωτερική περιοδική δύναμη να είναι κάθε στιγμή αντίθετη της δύναμης που αντιστέκεται στην κίνηση). Α. Εφόσον το σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση και βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Οι ζητούμενες εξισώσεις είναι οι παρακάτω: 73 of 3

11 74 of 3 Η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας κάθε χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση: χ=a ημωt=a ημπf t. Η ταχύτητα του σώματος κάθε χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση: υ=υσυνωt =υσυνπft, υ =ωα. Όπου υ =ω Α είναι η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το σώμα διάρκεια της κίνησης του και συμβαίνει στη θέση x=. Το σώμα στις ακραίες θέσεις στιγμιαία σταματά, οπότε ταχύτητα του σe αυτές τις θέσεις μηδενίζεται. B. Η σταθερά της ταλαντώσεως είναι : D=Κ=m ω = f και όχι m 4π D=Κ=m ω = f η οποία είναι λάθος. δ m 4π δ Γ. Εφόσον το σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση και βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού, θα πρέπει η εξωτερική περιοδική δύναμη να είναι κάθε χρονική στιγμή αντίθετη της δύναμης απόσβεσης η οποία αντιστέκεται στην κίνηση του σώματος δηλαδή: F =-F =-(-bυ)= bυ =b ω Α συνπf t = b π f Α συνπf t. εξ. αντ. Εφόσον η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα είναι μέγιστο. Ερ.77. Ένα σύστημα ελατηρίου σώματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Έστω f o η ιδιοσυχνότητα του συστήματος, f δ η συχνότητα του διεγέρτη, U,K η μέγιστη δυναμική και η μέγιστη κινητική ενέργεια της ταλάντωσης αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: 1. Αν fδ < fo τότε U > K. Αν fδ = fo τότε U = K 3. Αν fδ > fo τότε U < K 74 of 3

12 75 of 3 Έστω Α το πλάτος της εξαναγκασμένης της ταλάντωσης όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι f δ. 1 Τότε η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι : U = K A με D=Κ=m ω = f m 4π Η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος είναι: K = m υ = m (ω δα ) = m ω δ Α Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε: 1 U K A m ω ω K m ω m ω ω Κ f = = = = = ( ) 1 m ω δ δ δ f δ δ Α 1. Αν fδ < fo τότε : U > K. Αν fδ = fo τότε : U = K 3. Αν fδ > fo τότε : U < K Α b Α=R 75 of 3

13 76 of 3 Β. Εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση. Ερ.78. Δίνεται ένα ιδανικό κύκλωμα L-C. Να γράψετε την σχέση που δίνει την ιδιοσυχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης του. Να σχεδιάσετε ένα κύκλωμα R- L-C στο οποίο να συμβαίνει φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση. Τι πρέπει να κάνουμε ώστε το παραπάνω κύκλωμα να εκτελεί εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση; Το ρεύμα που διαρρέει τώρα το κύκλωμα είναι συνεχές ή εναλλασσόμενο; Ποια η συχνότητα του; Τι θα συμβεί αν η συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του. Αμοιβαία επαγωγή ταλαντωτής f τ =f δ Διεγέρτης f δ Στο κύκλωμα LC δημιουργείται εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση. Ένα κύκλωμα LC αν διεγερθεί (π.χ. με στιγμιαία επαφή των οπλισμών του πυκνωτή με τους πόλους πηγής συνεχούς τάσης) εκτελεί ελεύθερη ηλεκτρική ταλάντωση. Αν το κύκλωμα είναι ιδανικό (δεν έχει αντίσταση) η ιδιοσυχνότητα (η συχνότητα της ελεύθερης ταλάντωσης) είναι: f 1 = π L C. Tα κυκλώματα LC που χρησιμοποιούνται στην πράξη έχουν ωμική αντίσταση που δεν μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Αν λοιπόν η αντίσταση του κυκλώματος δεν είναι μηδενική η συχνότητα της ταλάντωσης θα είναι 1 ελαφρώς μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος ( f=f = ) και το σύστημα θα κάνει π L C φθίνουσα ταλάντωση. Όπως συμβαίνει και στις μηχανικές ταλαντώσεις, ένα τέτοιο κύκλωμα μπορεί να κάνει εξαναγκασμένη ταλάντωση. Ως διεγέρτης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα πηνίο Π ' συζευγμένο με το πηνίο Π. Αν στο πηνίο Π εφαρμόσουμε εναλλασσόμενη τάση U=V ημωδt, θα διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα i' και στο πηνίο Π εμφανίζεται ηλεκτρεγερτική δύναμη από αμοιβαία επαγωγή με αποτέλεσμα το κύκλωμα LC να διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα i=ι ημωδt, που έχει την ίδια συχνότητα με το ρεύμα i. 76 of 3

14 77 of 3 Έτσι στο κύκλωμα LC δημιουργείται εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση. Μεταβάλλοντας τη συχνότητα fδ της εναλλασσόμενης τάσης, μεταβάλλεται το πλάτος της έντασης i=ι ημωδt και γίνεται μέγιστο όταν fδ = fo. Τότε λέμε ότι το κύκλωμα LC βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού. I R fo Το διάγραμμα του πλάτους της έντασης του ρεύματος Ι σε ένα κύκλωμα LC που εκτελεί εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη για διάφορες τιμές της ωμικής αντίστασης. Η μέγιστη τιμή του πλάτους του ρεύματος κατά τον συντονισμό καθορίζεται από την τιμή της ωμικής αντίστασης R. Όσο μεγαλύτερη είναι η αντίσταση τόσο μικρότερη τιμή έχει αυτό το μέγιστο ρεύμα. Όταν η αντίσταση τείνει στο μηδέν, τότε το πλάτος της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος τείνει προς το άπειρο. Σε ένα κύκλωμα R-L-C η μέγιστη τιμή του πλάτους του ρεύματος δίνεται από τη σχέση: Ι = V R Όπου V είναι το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης η οποία εφαρμόζεται στο πηνίο Π. Σημαντική παρατήρηση : Από το δεύτερο σχήμα στο οποίο παριστάνεται το πλάτος της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη, για διάφορες τιμές της ωμικής αντίστασης, παρατηρούμε ότι οι καμπύλες συντονισμού είναι αντίστοιχες με αυτές των εξαναγκασμένων μηχανικών ταλαντώσεων. Αυτό, όμως, που πρέπει να προσέξουμε είναι ότι: Καθώς η ωμική αντίσταση του κυκλώματος αυξάνεται, το πλάτος Ι της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα μειώνεται, αλλά η συχνότητα για την οποία συμβαίνει η μεγιστοποίηση του πλάτους της έντασης του ρεύματος δεν μετατοπίζεται σε μικρότερες τιμές, αλλά παραμένει πάντοτε ίση με την ίδια συχνότητα f κυκλώματος. Επίσης οι καμπύλες ξεκινούν από το (,) 77 of 3

15 78 of 3 Ερ.79. Εφαρμογές του συντονισμού: Βασισμένοι στη θεωρία του συντονισμού να εξηγήσετε: Τη συμπεριφορά των κτιρίων στη διάρκεια ενός σεισμού. Τη συμπεριφορά μιας γέφυρας όταν πάνω σ' αυτή κινείται ομάδα ανθρώπων με σταθερό βηματισμό. Να εξηγήσετε πώς γίνεται η επιλογή ενός ραδιοφωνικού σταθμού από το ραδιόφωνο μας. Σχεδιάστε το κατάλληλο κύκλωμα που υπάρχει στο ραδιόφωνο και το οποίο αναγκάζεται σε ηλεκτρική ταλάντωση από την κεραία του. Α. Η συμπεριφορά των κτιρίων στη διάρκεια ενός σεισμού. Το ΑΒ είναι ένα μεταλλικό έλασμα, στερεωμένο στο κάτω άκρο του Β σε ακλόνητο δάπεδο (σχ.α). Αν τραβήξουμε το άκρο Α του ελάσματος και το αφήσουμε ελεύθερο, θα εκτελέσει ταλάντωση, με συχνότητα ίση με την ιδιοσυχνότητα του (σχ.β). Θεωρητικά ένα κτίριο (σχ.γ), αν διεγερθεί, έχει τη δυνατότητα να εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση, παρόμοια με αυτή του ελάσματος με ιδιοσυχνότητα fo. Στη διάρκεια ενός σεισμού, το έδαφος πάλλεται με συχνότητα f (σχ.δ) και τα κτίρια εξαναγκάζονται να εκτελέσουν ταλάντωση. Αν η συχνότητα f με την οποία πάλλεται το έδαφος (διεγέρτης) είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα fo του κτιρίου, το πλάτος της ταλάντωσης του κτιρίου θα γίνει μεγάλο λόγω συντονισμού, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει στην κατάρρευση του. Το κτίριο συμπεριφέρεται όπως το μεταλλικό έλασμα. Όταν ταλαντώνεται το έδαφος (σεισμός) το κτίριο κάνει εξαναγκασμένη ταλάντωση. Β. Η συμπεριφορά μιας γέφυρας όταν πάνω σ' αυτή κινείται ομάδα ανθρώπων με σταθερό βηματισμό. Η χορδή του παρακάτω σχήματος έχει στερεωμένα τα άκρα της σε ακλόνητα σημεία. Αν την τραβήξουμε από το μέσον της Μ και την αφήσουμε ελεύθερη, θα εκτελέσει ταλάντωση με τη φυσική της συχνότητα (ιδιοσυχνότητα). Παρόμοια κίνηση μπορεί να εκτελέσει και η γέφυρα του διπλανού σχήματος αν διεγερθεί. Αν μια ομάδα ανθρώπων κινηθεί με βηματισμό πάνω στη γέφυρα, η γέφυρα διεγείρεται και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν η συχνότητα βηματισμού είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της γέφυρας, έχουμε συντονισμό, η γέφυρα ταλαντώνεται με μεγάλο πλάτος και υπάρχει κίνδυνος κατάρρευσης. 78 of 3

16 79 of 3 Ένα τέτοιο ατύχημα συνέβη στη Γαλλία το 185. Μια γέφυρα κατέρρευσε και 6 στρατιώτες σκοτώθηκαν. Από τότε, όταν ένα τμήμα στρατού περνάει πάνω από γέφυρα, οι στρατιώτες προχωρούν με ελεύθερο βηματισμό. Γ. Η επιλογή ενός ραδιοφωνικού σταθμού από το ραδιόφωνο μας. Το ραδιόφωνο είναι ένας δέκτης που διαθέτει ένα κύκλωμα LC στο οποίο πυκνωτής είναι μεταβλητός. Όταν γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των σταθμών, μεταβάλλουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή επομένως μεταβάλλουμε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος σύμφωνα με τη σχέση f 1 = π L C. Κάθε ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει σε ορισμένη συχνότητα. Στην κεραία ενός ραδιοφώνου κάθε στιγμή φτάνουν πολλά ηλεκτρομαγνητικά κύματα, με διαφορετικές συχνότητες. Η επιλογή ενός σταθμού στο ραδιόφωνο στηρίζεται στο φαινόμενο του συντονισμού. Όπως αναφέραμε παραπάνω όταν γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των σταθμών μεταβάλλουμε τη χωρητικότητα ενός μεταβλητού πυκνωτή. Ο πυκνωτής αυτός είναι μέρος ενός κυκλώματος LC, το οποίο βρίσκεται σε επαγωγική σύζευξη με την κεραία του ραδιοφώνου. Στην κεραία τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που φτάνουν αναγκάζουν τα ηλεκτρόνια της να εκτελέσουν ταλάντωση. Η κίνηση των ηλεκτρονίων στην κεραία δημιουργεί σ' αυτή ένα πολύ ασθενές μεταβαλλόμενο ρεύμα. Εξαιτίας της επαγωγικής σύζευξης το κύκλωμα LC εξαναγκάζεται να εκτελέσει ηλεκτρική ταλάντωση. Το πλάτος της ηλεκτρικής ταλάντωσης (πλάτος του ρεύματος) είναι ασήμαντο εκτός εάν έχουμε συντονισμό. Μεταβάλλοντας όμως τη χωρητικότητα του πυκνωτή στο κύκλωμα LC, μεταβάλλουμε την ιδιοσυχνότητα του. Όταν η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος συμπέσει με κάποια από τις συχνότητες με τις οποίες ταλαντώνονται τα ηλεκτρόνια της κεραίας (δηλαδή με κάποια από τις συχνότητες των κυμάτων τα οποία φτάνουν στην κεραία), το κύκλωμα συντονίζεται και διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα μέγιστου πλάτους. Αυτό το σχετικά μεγάλο ρεύμα, περιέχει το ηλεκτρικό σήμα, το οποίο, ενισχυμένο, οδηγείται στο μεγάφωνο του ραδιοφώνου και το διεγείρει. 79 of 3