Τ.Ε.Ι. Λαμίας Τμήμα Ηλεκτρονικής

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. Λαμίας Τμήμα Ηλεκτρονικής Σχεδίαση Φίλτρων IIR ( Infinite Impulse Response Filters ) Μπαρμπάκος Δημήτριος Τζούτζης Έλτον-Αντώνιος

2 Τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης ( Infinite Duration Impulse Response IIR ) Περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών : M y(n) = b(k) x(n-k) - a(k) y(n-k) k=0 k=1 N Τα φίλτρα IIR έχουν ως χαρακτηριστικό την άπειρη κρουστική απόκριση.το πιο απλό παράδειγμα αναλογικού φίλτρου IIR είναι ένα RC φίλτρο το οποίο αποτελείται από μια αντίσταση και έναν πυκνωτή. Ο σχεδιασμός των φίλτρων είναι διαφορετικός για αναλογικά και ψηφιακά.συνήθως σχεδιάζουμε ένα αναλογικό φίλτρο και με τις υπάρχουσες πηγές και πληροφορίες που υπάρχουν σε πληθώρα το μετατρέπουμε σε ψηφιακό με διάφορες τεχνικές όπως ο διγραμμικός μετασχηματισμός (Bilinear transform) και γενικά με μετασχηματισμό απο το πεδίο του χρόνου σε πεδίο διακριτών τιμών.

3 Ένα αναλογικό σύστημα περιγράφεται από: 1) Την εξίσωση συστήματος. 2) Μια γραμμική διαφορική εξίσωση σταθερών συντελεστών., Η διαδικασία μετατροπής ενός αναλογικού φίλτρο σε ψηφιακό, θα πρέπει να ικανοποιεί τα παρακάτω κριτήρια: - Μόνο το αριστερό ημιεπίπεδο του πεδίου s θα πρέπει να απεικονίζεται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου. - Ο jω άξονας του πεδίου s θα πρέπει να απεικονίζεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο.

4 Ιδιότητες Αναλογικών Φίλτρων Prototype Order N Stopband attenuation Batterworth 6 15 Chebychev 4 25 Elliptic 3 27

5 ΠΡΟΤΥΠΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ - Φίλτρα Butterworth - Φίλτρα Chebychev - Ελλειπτικά Φίλτρα 1)Πρότυπα αναλογικών φίλτρων Butterworth Τα βαθυπερατά φίλτρα Butterworth έχουν μόνο πόλους και δίνονται από την σχέση : 1 H(s)H(-s) = 1+ s 2N jωc Οι πόλοι της H(s)H(-s) δίνονται απο τη λύση της εξίσωσης : s jωc 2N = -1

6 Για την σχεδίαση Low Pass Filter με χρήση Butterworth χρησιμοποιούμε τις συναρτήσεις Buttord και Butter ( MATLAB ). - Buttord : Υπολογίζει την μικρότερη τάξη Ν μίας αναλογικής συνάρτησης μεταφοράς Butterworth που ικανοποιεί τις προδιαγραφές του φίλτρου. - Butter : Σχεδιασμός μίας συνάρτησης μεταφοράς τάξης N με προδιαγεγραμμένη μή-μηδενική συχνότητα αποκοπής σε rad/sec.

7 2)Πρότυπα αναλογικών φίλτρων Chebychev Η απόκριση πλάτους στην περίπτωση αυτή ορίζεται από τη σχέση : H(jΩ) 2 1 = ε2τ 2 L ( Ω ) Ωc όπου το πολυώνυμο TL(x) είναι το πολυώνυμο Chebyshev 1ου τύπου τάξης L το οποίο ορίζεται για πραγματικό x : T k (x) = cos(k cos 1 (x)) για x 1 cosh(k cosh 1 (x)) για x > 1 Ολες οι ρίζες του πολυωνύμου βρίσκονται στο διάστημα [ 1, 1]. Για τιμές του x εκτός του διαστήματος [ 1, 1],το πολυώνυμο έχει μονότονη συμπεριφορά και παίρνει μεγάλες τιμές.συμπεραίνουμε επομένως ότι το Τ 2 k (x) για x [ 1, 1] εμφανίζει κυματισμούς με τιμές στο διάστημα [0, 1], ενώ για x εκτός του [ 1, 1] εμφανίζει μονότονη συμπεριφορά παίρνοντας μεγάλες τιμές καθώς το x > 1.

8 3)Πρότυπα αναλογικά φίλτρα - Ελλειπτικά Τα ελλειπτικά φίλτρα ή φίλτρα Cauer παρουσιάζουν ομοιόμορφη κυμάτωση τόσο στη ζώνη διέλευσης όσο και στη ζώνη αποκοπής.τα φίλτρα αυτά έχουν και πόλους και μηδενικά. Τα ελλειπτικά φίλτρα είναι καλύτερα των φίλτρων Butterworth και Chebychev ως προς το γεγονός ότι απαιτούνται φίλτρα μικρότερης τάξης,δηλαδή λιγότεροι συντελεστές,για να ικανοποιήσουν τις ίδιες προδιαγραφές.με άλλα λόγια,για δεδομένη τάξη του φίλτρου και δεδομένες προδιαγραφές,ένα ελλειπτικό φίλτρο θα παρουσιάζει την στενότερη ζώνη μετάβασης. Η απόκριση όμως των ελλειπτικών φίλτρων παρουσιάζει περισσότερες μηγραμμικότητες στη ζώνη διέλευσης σε σχέση με τα αντίστοιχα φίλτρα Butterworth ή Chebychev.

9 Σχεδίαση IIR φίλτρων από αναλογικά φίλτρα - Κρουστική Αμεταβλητότητα. Δειγματοληψία στην κρουστική απόκριση ενός αναλογικού φίλτρου με περίοδο δειγματοληψίας Τ s : h(n) = h a (n Τ s ) + H(e jω ) = 1/ Τ s H α (jω/τ s + j 2πk/Τ s ) κ=- - Διγραμμικός Μετασχηματισμός Απεικόνιση(Μετασχηματισμός) επίπεδο s στο επίπεδο z : s=(2/t s )(1-z -1 /1+z -1 ) H(z)=H a (s) - Ελάχιστα Τετράγωνα Μέθοδος Prony για την ελαχιστοποίηση σφάλματος ελάχιστων τετραγώνων : L E= h d (n) h(n) 2 n=0

10 1)Σχέδιασμος φίλτρων ΙΙR με βάση την αμεταβλητότητα της κρούστικης απόκρισης(impulse invariance) -Όταν το σήμα έχει πεπερασμένο φάσμα(band limited) έχουμε κρουστική απόκριση από ψηφιοποίηση της συνεχούς κρουστικής απόκρισης -Πρέπει να αποφεύγεται αλλοίωση του φίλτροου από αναδίπλωση (aliasing) - Συνήθως σχεδιάζουμε φίλτρο συνεχούς χρόνου με αυστηρότερες προδιαγραφές από ότι χρειάζεται -Δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για φίλτρα μη-πεπερασμένου (non-bandlimited) φάσματος

11 2) Σχεδίαση ΙIR φίλτρων με χρήση του διγραμμικού μετασχηματισμού Η μέθοδος στηρίζεται στην προσέγγιση των ολοκληρωμάτων,που περιγράφουν την συμπεριφορά του αναλογικού φίλτρου, με την βοήθεια του κανόνα του τραπεζίου. Η απεικόνιση μεταξύ των πεδίων s και z δίνεται από τη σχέση που ονομάζεται διγραμμικός (bilinear) μετασχηματισμός : s = 2 T 1 z 1 1+z 1 Το απεικονίζεται στο z=-1. Θέτοντας s=σ+jω, z=re jω στην παραπάνω σχέση : σ= 2 T Ω= 2 Τ r r 2 +2rcosω 2rsinω 1+r 2 +2rcosω Με τον τρόπο αυτό καταλήγουμε σε ένα ευσταθές φίλτρο εφόσον το αναλογικό είναι ευσταθές.

12 3)Σχεδίαση IIR φίλτρων από αναλογικά φίλτρα με τη μέθοδο prony Ελαχιστοποίηση σφάλματος ελαχίστων τετραγώνων : Παρακάτω δίνεται παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου prony για την υλοποίηση ενός IIR LPF φίλτρου με τη βοήθεια του MATLAB : d=fdesign.lowpass('nb,na,f3db',4,4,0.2); Hd=design(d,'butter'); impulse_resp=filter(hd,[1 zeros(1,31)]); denom_order=4; num_order=4; [Num,Den]=prony(impulse_resp,num_order,denom_order); subplot(211); stem(impz(num,den,length(impulse_resp))); title('impulse Response with Prony Design'); subplot(212); stem(impulse_resp); title('input Impulse Response');

13

14 h d (n) προσεγγίζεται με h(n) Η(z)= Προσέγγιση Pade

15 Υπολογισμοί Προσέγγισης Pade Υπολογισμός α κ,k=1,...,p από p τελευταίες εξισώσεις Υπολογισμός b κ, k=0,1.,q από q +1 πρώτες εξισώσεις : Όταν n=0,1,.,p+q,τότε h(n)=h d (n) Όταν n>p+q,τότε h(n) δεν είναι καλή προσέγγιση της h d (n)

16 Παράδειγμα Προσέγγισης Pade n h ( n) 3( ) u( n) d 1 2 b b z H z q p ( ), 1, az 1 h (1) a h (2) 3 a 3( ) a d d hd(0) a1hd( 1) b0 3 a10 b0 b0 3 3 hd(1) a1hd(0) b1 2 a13 b1 b1 0 H( z) 3 1 z 1 2 1

17 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ : Σήματα,συστήματα και ψηφιακή επεξεργασία σημάτων, Δρ. Ασημάκης Νίκος Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων, Γεώργιος Β. Μουστακίδης,Πανεπιστήμιο Πάτρας "Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων, Δρ. Ανδρέας Σπανιάς, Θεμιστοκλής Χαραλάμπους, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ, Μεταπτυχιακό Ηλεκτρονικής Φυσικής, Κ. Ψυχαλίνος, Σ. Νικολαϊδης, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Τμήμα Φυσικής