Požiadavky k štátnej skúške pre magisterský študijný program

Transcript

1 z predmetu: Matematická analýza 1. Číselné postupnosti a ich základné vlastnosti. 2. Funkcia jednej reálnej premennej, základné vlastnosti funkcií. 3. Derivácia funkcie jednej reálnej premennej, jej vlastnosti a použitie. 4. Riemannova definícia určitého integrálu, použitie určitých integrálov. 5. Nekonečný číselný rad a jeho základné vlastnosti, mocninové rady a ich použitie. 6. Reálna funkcia dvoch reálnych premenných a jej základné vlastnosti, parciálne derivácie a úplný diferenciál. 7. Definícia dvojného a trojného integrálu, výpočet a použitie. 8. Fourierov rad funkcie a jeho použitie. 9. Definície krivkových integrálov, ich výpočet a použitie. 10. Definície plošných integrálov, ich výpočet a použitie. 11. Existencia a jednoznačnosť riešenia začiatočnej úlohy. 12. Elementárne metódy riešenia diferenciálnych rovníc 1. rádu. 13. Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu, znižovanie rádu lineárnej diferenciálnej rovnice. 14. Nehomogénna lineárna diferenciálna rovnica. 15. Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi prípad jednoduchých koreňov charakteristickej rovnice. 16. Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi prípad viacnásobných koreňov charakteristickej rovnice a Weyrova teória.

2 z predmetu: Algebra a geometria 1. Relácie v množine a binárne operácie na množine. Základné vlastnosti. 2. Algebrické štruktúry s jednou binárnou operáciou. 3. Algebrické štruktúry s dvoma binárnymi operáciami. 4. Vektorové priestory nad poľom. Dimenzia vektorových priestorov. 5. Matice nad okruhom. Operácie s maticami, druhy matíc. 6. Determinanty. Výpočet determinantov. 7. Metódy určenia inverznej matice. 8. Riešiteľnosť nehomogénnych sústav lineárnych rovníc. Základné metódy riešenia. 9. Relácie deliteľnosti a asociovanosti celých čísel. Najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok. Euklidov algoritmus postupného delenia. 10. Komplexné čísla. Odmocňovanie komplexných čísel. 11. Algebrické rovnice, pojem algebrického riešenia. Binomické a kvadratické rovnice. 12. Súradnice vektora vzhľadom na bázu M. Matica prechodu od bázy M k M. 13. Vektorová algebra, súčiny vektorov. Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces. 14. Rovnice priamky v priestore. Vzájomný poloha dvoch priamok. 15. Vlastné čísla a vlastné vektory matíc. 16. Rovnice roviny v priestore a vzájomná poloha troch rovín.

3 z predmetu: Modelovanie ekonomických procesov 1. Analýza trhu s 1 typom výrobku v konkurenčnom prostredí (funkcia dopytu, funkcia ponuky, rovnováha trhu). 2. Analýza trhu s n typmi výrobkov v konkurenčnom prostredí (funkcie dopytu, funkcie ponuky, rovnováha trhu). 3. Funkcie celkových nákladov a celkových príjmov, funkcie marginálnych nákladov a marginálnych príjmov a ich vzájomný vzťah. 4. Elasticita funkcie. Elasticita funkcie dopytu a ponuky. Vplyv elasticity funkcie dopytu na celkové príjmy. 5. Spotrebiteľský a podnikateľský prebytok. 6. Dynamický model trhu s 1 typom výrobku v konkurenčnom prostredí. Rovnovážny stav a jeho stabilita. 7. Dynamický model trhu s n typmi výrobkov v konkurenčnom prostredí. Rovnovážny stav a jeho stabilita. 8. Statický IS-LM model. 9. Dynamický IS-LM model. 10. Optimalizačné úlohy v ekonómii (maximalizácia zisku, maximalizácia funkcie užitočnosti, využitie hladinových kriviek).

4 z predmetu: Pravdepodobnosť a matematická štatistika 1. Pravdepodobnosť prieniku náhodných javov. Nezávislosť náhodných javov. Úplný systém javov. Úplná pravdepodobnosť. Bayesov vzorec. 2. Bernoulliov vzorec. Diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Distribučná funkcia, vlastnosti. Hustota rozdelenia, vlastnosti. 3. Stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny. Všeobecné a centrálne momenty. Vzťah 2 medzi D ( X ), m 2 a m Charakteristická funkcia náhodnej veličiny. Výpočet všeobecných momentov pomocou charakteristickej funkcie. 5. Binomické rozdelenie. Charakteristická funkcia, stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny s binomickým rozdelením. Poissonovo rozdelenie. Charakteristická funkcia, stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny s poissonovým rozdelením. 6. Rovnomerné rozdelenie. Distribučná funkcia, charakteristická funkcia, stredná hodnota náhodnej veličiny s rovnomerným rozdelením Normálne rozdelenie N ( a,σ ) Normované normálne rozdelenie N ( 0,1).. Distribučná funkcia, stredná hodnota a rozptyl. 8. Základný súbor. Náhodný výber. Číselné charakteristiky náhodného výberu. 9. Odhad parametrov základného súboru. Bodový odhad. 10. Intervalový odhad parametrov základného súboru. Kritické hodnoty rozdelenia ( 0,1) Studentovho rozdelenia, chí-kvadrát rozdelenia a Fisherovho rozdelenia. 11. Testovanie štatistických hypotéz. Štatistická hypotéza. Štatistický test hypotézy. N, 12. Základy regresnej analýzy a korelácie. Regresná priamka. Pearsonov korelačný koeficient.

5 z predmetu: Numerická analýza 1. Interpolácia funkcií: Lagrangeov a Newtonov interpolačný polynóm; odhad chyby; Rungeho paradox; interpolácia na nerovnomerných uzloch. 2. Aproximácia funkcií: Odvodenie metódy najmenších štvorcov všeobecný prípad; diskrétna a spojitá aproximácia; použitie algebraických a goniometrických polynómov. 3. Splajny: splajny všeobecne, lineárna splajnová interpolácia; C1 a C2 kubická splajnová interpolácia, podmienky konvergencie. 4. Riešenie systémov lineárnych rovníc priame metódy: Gaussova eliminačná metóda, GEM s čiastočným a úplným výberom hlavného prvku; LU rozklad, Choleského rozklad, výpočet determinantu, Thomasov algoritmus. 5. Riešenie systémov lineárnych rovníc iteračné metódy: Jacobiho a Gauss-Seidelova metóda, podmienky konvergencie, gradientná metóda; metóda konjugovaných gradientov, metóda prepodmienených konjugovaných gradientov, podmienky konvergencie. 6. Riešenie maticového problému vlastných čísel: Vlastné čísla všeobecne, QR algoritmus, mocninová metóda. 7. Riešenie nelineárnych rovníc a systémov: Metóda bisekcie, pevného bodu a Newtonova metóda, prípad viacnásobného koreňa, metód Newton-Raphsonova a jej variatny pre nelineárne systémy. 8. Numerická kvadratúra: Newton-Cotesove formule (elementárne a zložené, otvorené a uzavreté lichobežníkové a Simpsonove pravidlo), Gaussova kvadratúra, singulárne integrály. 9. Začiatočné Cauchyho úlohy: Formulácia problému a základné pojmy, metódy Runge- Kutta, viackrokové metódy, riešenie systémov začiatočných úloh a rovníc druhého rádu. 10. Okrajové úlohy: Formulácia problému a základné pojmy, metóda streľby, metóda konečných diferencií, Galerkinova, Ritzova, kolokačná metóda, metóda najmenších štvorcov, výber bázových funkcií. 11. Parciálne diferenciálne rovnice. Riešenie PDR metódou konečných diferencií.

6 z predmetu: Fyzika 1. Vysvetlite základné pojmy kinematiky! Rýchlosť, hybnosť, zrýchlenie. Pohyb priamočiary rovnomerný a rovnomerne zrýchlený. 2. Vysvetlite základné pojmy dynamiky! Zákon zachovania hybnosti v uzavretej sústave častíc. Newtonove zákony dynamiky. Prvá a druhá veta impulzová. 3. Vysvetlite pojmy ťažisko sústavy častíc a ťažisko telesa! Vyslovte vety o ťažisku a napíšte pohybové rovnice pre teleso! 4. Vyslovte Newtonov zákon všeobecnej gravitácie a Coulombov zákon! Diskutujte o elektro mechanickej analógii a uveďte základné pojmy a vety z teórie konzervatívneho poľa! 5. Napíšte pohybovú rovnicu pre vynútené kmity harmonického oscilátora, riešte ju a interpretujte toto riešenie! Diskutujte o rezonancii! 6. Charakterizujte vlnenie, uveďte vlnovú rovnicu a jej riešenie. Pojednajte o interferencii vĺn! 7. Uveďte základné rovnice hydrostatiky a hydrodynamiky! Formulujte Bernoulliho rovnicu a jej dôsledky! 8. Formulujte základné vety termodynamiky! Práca a zmena vnútornej energie sústavy pri jednotlivých stavových zmenách. 9. Vyslovte Ohmov zákon a Kirchoffove zákony! Práca, výkon elektrického prúdu a účinnosť. 10. Vyslovte základné zákony pre magnetické pole! Vysvetlite vznik striedavého elektrického prúdu a uveďte vzťah pre jeho výkon! 11. Pojednajte o javoch, ktoré viedli k formulácii vlnovo časticového dualizmu! Uveďte a vysvetlite de Broglieho vyťahy! 12. Vysvetlite Heisenbergove relácie neurčitosti, zaveďte pojem vlnová funkcia a diskutujte o Schrödingerovej rovnici! 13. Uveďte Bohrov model atómu a kvantovomechanický model atómu! 14. Charakterizujte kvantové čísla elektrónu, uveďte Pauliho princíp a diskutujte o Mendelejevovej sústave prvkov! 15. Pojednajte o rádioaktivite a sformulujte zákon prirodzeného rozpadu prvkov! Diskutujte o využití nukleárnej energie!