ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρούµε να εξάγουµε τις συνιστώσες της µαθητικής επίδοσης, χρησιµοποιώντας παραγοντική ανάλυση των βαθµολογιών των τεσσάρων µαθηµάτων Γενικής Αξιολόγησης των υποψηφίων. 6.1 Χρήση της παραγοντικής ανάλυσης Η παραγοντική ανάλυση (factor analysis) χρησιµοποιείται κυρίως από τους ερευνητές των κοινωνικών επιστηµών και της ανθρώπινης συµπεριφοράς, σε προβλήµατα όπου σηµαντικές µεταβλητές δεν µπορούν να µετρηθούν απευθείας. Παραδείγµατα τέτοιων µεταβλητών είναι η εξυπνάδα, η πολιτική τοποθέτηση και η κοινωνικοοικονοµική κατάσταση 8. Παρόλο που χρησιµοποιούµε τις παραπάνω έννοιες σαν να επρόκειτο για συνηθισµένες µεταβλητές, αυτές είναι διαφορετικές διότι δεν παρατηρούνται. Με την παραγοντική ανάλυση προσπαθούµε να συνδέσουµε τις µη παρατηρούµενες µεταβλητές (παράγοντες ή συνιστώσες), µε µεταβλητές που παρατηρούµε και για τις οποίες έχουµε µετρήσεις, επιτυγχάνοντας κατ αυτόν τον τρόπο και µια οµαδοποίηση των παρατηρούµενων µεταβλητών σε κοινές συνιστώσες. Η παραγοντική ανάλυση µπορεί να είναι διερευνητική (exploratory) δηλαδή να µας βοηθάει να ανακαλύψουµε και να ταυτοποιήσουµε µη 8 Βλ. Bartholomew κ.α. (2002), κεφ.6., Μαγδαληνός (1987), κεφ. 3, Πανάρετος, Ξεκαλάκη (1995), κεφ.7, Σιάρδος (2002), κεφ

2 παρατηρούµενους παράγοντες, ή επιβεβαιωτική (confirmatory) όπου ελέγχουµε αν ένα σύνολο µεταβλητών που χρησιµοποιούµε για να µετρήσουµε µη παρατηρούµενους παράγοντες είναι ικανοποιητικό. Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιούµε τη διερευνητική παραγοντική ανάλυση. Από τις βαθµολογίες των µαθητών προσπαθούµε να εξάγουµε παράγοντες µαθητικής επίδοσης/ικανότητας. Η παραγοντική ανάλυση έχει εφαρµογή, εκτός των κοινωνιολογικών και ψυχολογικών ερευνών, όπου υπάρχει ανάγκη συµπερασµάτων άµεσης πρακτικής σηµασίας λαµβάνοντας υπόψη τον τρόπο δόµησης των διερευνώµενων µεταβλητών. 6.2 Το υπόδειγµα της παραγοντικής ανάλυσης Η στατιστική τεχνική της παραγοντικής ανάλυσης βασίζεται στην αλληλοσυσχέτιση των µεταβλητών. Με τη χρήση του πίνακα R των συντελεστών συσχέτισης καταλήγουµε στον πίνακα F των παραγόντων. Ο πίνακας R έχει τον ίδιο αριθµό σειρών και στηλών µε τον αριθµό των µεταβλητών, ενώ ο πίνακας των παραγόντων F έχει αριθµό σειρών όσες και οι µεταβλητές, αλλά στήλες τόσες όσοι είναι οι παράγοντες. Ο κάθε παράγοντας περιλαµβάνει οµάδα µεταβλητών µε κοινά χαρακτηριστικά (συσχετιζόµενες µεταβλητές). Οι παράγοντες είναι διανύσµατα nx1. Οι συντελεστές συσχέτισης των µεταβλητών µε τους αντίστοιχους παράγοντες καλούνται επιβαρύνσεις, οι οποίες µπορεί να είναι στατιστικά σηµαντικές ή όχι βάσει συγκεκριµένου επιπέδου σηµαντικότητας. Υπάρχουν διάφορα κριτήρια ως προς την σηµαντικότητα των επιβαρύνσεων, όπως των Child, Philip και Guilford 9. Συνήθως σηµαντικό θεωρείται το παραγοντικό φορτίο που έχει τιµή ίση ή µεγαλύτερη του συν ή πλην 0,30-0,40. 9 Βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 58

3 Για την απόκτηση εκτιµητών των κυρίων παραγόντων υπάρχουν διάφορες µέθοδοι όπως η ανάλυση σε κύριες συνιστώσες, η παραγοντοποίηση σε κύριους άξονες, η άλφα παραγοντοποίηση, η παραγοντοποίηση των απεικονισµένων µεταβλητών, η παραγοντοποίηση των µη σταθµισµένων ελαχίστων τετραγώνων, η παραγοντοποίηση των γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων και η µέθοδος της µεγίστης πιθανοφάνειας. Οι πλέον διαδεδοµένες µέθοδοι για την εξαγωγή παραγόντων είναι η ανάλυση σε κύριες συνιστώσες και η µέθοδος µέγιστης πιθανοφάνειας. Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιούµε την ανάλυση σε κύριες συνιστώσες γιατί, όπως θα γίνει φανερό, έχουµε τη δυνατότητα επιλογής όσο αφορά των αριθµό των παραγόντων. Αντίθετα, µε τη µέθοδο της µέγιστης πιθανοφάνειας απαιτούνται περισσότερες των τεσσάρων µεταβλητών για να έχουµε περισσότερους του ενός παράγοντα, κι εµείς έχουµε στη διάθεση µας µόνο τέσσερα µαθήµατα. Το γενικό παραγοντικό υπόδειγµα για p µεταβλητές και m παράγοντες έχει ως εξής: p F i = Σ W ij Χ j = W i1 Χ 1 + W i2 Χ W ip Χ P, i = 1,,m (6.2.1) j=1 όπου: F i = οι κοινοί µη παρατηρούµενοι παράγοντες, W ij = οι συντελεστές των παραγοντικών βαθµών, p m = αριθµός των παρατηρούµενων µεταβλητών που χρησιµοποιούνται, = αριθµός των παραγόντων που εξάγονται. Καθεµιά από τις παρατηρούµενες µεταβλητές µπορεί να αποδοθεί ως γραµµικός συνδυασµός των κοινών παραγόντων ως εξής: Χ j = α j1 F 1 + α j2 F α jm F m + U j, j = 1,,p (6.2.2) όπου: 59

4 F i = οι κοινοί µη παρατηρούµενοι παράγοντες, U j = ο χαρακτηριστικός για την συγκεκριµένη µεταβλητή παράγοντας, α jm = οι ειδικοί συντελεστές επιβαρύνσεις των παραγόντων. Οι χαρακτηριστικοί παράγοντες των µεταβλητών υποτίθεται ότι είναι ασυσχέτιστοι µεταξύ τους αλλά και µε τους κοινούς παράγοντες. 6.3 Μέθοδος κύριων συνιστωσών Η µέθοδος αυτή λαµβάνει υπόψη τη συνολική διακύµανση των µεταβλητών κατά φθίνουσα ακολουθία. ηλαδή, η πρώτη κύρια συνιστώσα είναι ο γραµµικός συνδυασµός των αρχικών µεταβλητών που εξηγεί στο µέγιστο την ολική διακύµανση τους. Η δεύτερη κύρια συνιστώσα, η οποία είναι ασυσχέτιστη µε την πρώτη, εξηγεί στο µέγιστο την υπόλοιπη διακύµανση, κ.τ.λ. Κατά µέγιστο µπορούν να εξαχθούν τόσες κύριες συνιστώσες όσες και οι αρχικές µεταβλητές, και το άθροισµα των διακυµάνσεων τους είναι το άθροισµα των διακυµάνσεων των αρχικών µεταβλητών. Στην πράξη επιλέγονται λιγότερες κύριες συνιστώσες από τις αρχικές µεταβλητές, µε κριτήρια που θα εξετάσουµε παρακάτω. Όλες οι µεταβλητές µετρώνται µε τυπικές µονάδες έτσι ώστε η διακύµανση των τιµών µιας µεταβλητής να είναι µονάδα. Το άθροισµα των τετραγώνων των επιβαρύνσεων µιας κύριας συνιστώσας δηλώνει τη συµµετοχή της συνιστώσας στην ολική διακύµανση των µεταβλητών. Η τιµή του αθροίσµατος για κάθε κύρια συνιστώσα ονοµάζεται χαρακτηριστική τιµή. Το µέγεθος των χαρακτηριστικών τιµών, που εµφανίζονται κατά φθίνουσα σειρά µεγέθους, βοηθούν στην πράξη να αποκλειστούν οι κύριες συνιστώσες που δεν συµµετέχουν σηµαντικά στην εξήγηση της ολικής διακύµανσης και να διατηρηθούν αυτές που εξηγούν αθροιστικά το υψηλότερο ποσοστό αυτής. 6.4 Κριτήρια επιλογής κύριων συνιστωσών 60

5 i) Επιλέγουµε τόσες συνιστώσες όσες εξηγούν ένα µεγάλο ποσοστό από τη συνολική διακύµανση, περίπου 70-80%. ii) Οι Guttman και Kaiser 10 πρότειναν η επιλογή του αριθµού των συνιστωσών να γίνεται σύµφωνα µε το αν οι χαρακτηριστικές τιµές τους είναι ίσες ή µεγαλύτερες της µονάδας. Ο Jollife 11 πρότεινε να επιλέγονται όσες συνιστώσες έχουν χαρακτηριστικές τιµές µεγαλύτερες ή ίσες µε το 0,70. iii) Το τρίτο κριτήριο επιλογής, σύµφωνα µε τον Cattell 12 συνίσταται στον έλεγχο της οµαλής µεταβολής της κλίσης, σύµφωνα µε τον οποίο ο αριθµός των απαιτούµενων κύριων συνιστωσών είναι αυτός µετά τον οποίο υπάρχει τάση ευθυγράµµισης της γραµµής που ενώνει τις τιµές των χαρακτηριστικών τιµών του αρχικού πίνακα των κύριων συνιστωσών. iv) Εξαρτάται από το κατά πόσο και ποιες από τις κύριες συνιστώσεςπαράγοντες έχουν λογική και χρήσιµη ερµηνεία. 6.5 Έλεγχοι καταλληλότητας εφαρµογής της παραγοντικής ανάλυσης - Οι συντελεστές συσχέτισης µεταξύ των µεταβλητών θα πρέπει να είναι υψηλοί. Εάν οι συσχετίσεις είναι χαµηλές είναι σχεδόν αδύνατο οι µεταβλητές να µοιράζονται κοινούς παράγοντες. Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιείται ο έλεγχος σφαιρικότητας του Bartlett 13 για τον έλεγχο ότι ο πίνακας συσχετίσεων δεν είναι ταυτοτικός, δηλαδή ότι τα διαγώνια στοιχεία της δεν είναι µονάδες και τα εκτός της διαγωνίου µηδενικά. 10 βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 11 βλ Bartholomew κ.α. (2002), κεφ.5 12 βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 13 βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 61

6 - Οι συντελεστές µερικής συσχέτισης µεταξύ των ζευγών µεταβλητών πρέπει να είναι χαµηλοί. O συντελεστής µερικής συσχέτισης µεταξύ δυο µεταβλητών µετρά τη συσχέτιση τους µετά την αφαίρεση της επίδρασης των υπόλοιπων µεταβλητών. Εδώ οι συντελεστές µερικής συσχέτισης είναι εκτιµητές των συσχετίσεων µεταξύ των παραγόντων και αναµένεται να προσεγγίζουν το µηδέν, δεδοµένων των προϋποθέσεων της παραγοντικής ανάλυσης ότι οι χαρακτηριστικοί παράγοντες των µεταβλητών είναι ασυσχέτιστοι µεταξύ τους αλλά και µε τους κοινούς παράγοντες - είκτης Kaiser-Meyer-Olkin 14 (KMO), που συγκρίνει τα µεγέθη των παρατηρούµενων συντελεστών συσχέτισης προς τους συντελεστές µερικής συσχέτισης. Μικρές τιµές του δείκτη δηλώνουν ότι η παραγοντική ανάλυση δεν είναι κατάλληλη τεχνική για τα δεδοµένα. 6.6 Στάδια ανάλυσης σε κύριες συνιστώσες 1. Υπολογίζεται ο πίνακας των συντελεστών συσχέτισης R των µεταβλητών και αξιολογείται η καταλληλότητα του υποδείγµατος βάσει των προηγουµένων ελέγχων. 2. ίνεται πίνακας µε τις χαρακτηριστικές τιµές αλλά και το ερµηνευόµενο ποσοστό διακύµανσης από την κάθε κύρια συνιστώσα σε φθίνουσα διάταξη, καθώς και το γράφηµα που αναπαριστά τις χαρακτηριστικές τιµές. Βάσει αυτών επιλέγεται ο αριθµός των κυρίων συνιστωσών-παραγόντων τα οποία θα εκπροσωπούν τις αρχικές µεταβλητές. 3. Αναπαράγεται ο πίνακας συσχετίσεων των µεταβλητών βάσει των εκτιµώµενων κύριων συνιστωσών. Η διαφορά µεταξύ του εκτιµώµενου και του αρχικού συντελεστή συσχέτισης ονοµάζεται κατάλοιπο. 14 βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 62

7 Χαµηλές τιµές των καταλοίπων δηλώνουν την αποτελεσµατικότητα του υποδείγµατος να αναπαραγάγει τα δεδοµένα. 4. Γίνεται η εξαγωγή των κύριων συνιστωσών που είναι ικανοί για την εκπροσώπηση των δεδοµένων µας. Ο πίνακας µε τον περιορισµένο αριθµό των συνιστωσών ονοµάζεται πίνακας κυρίων συνιστωσών. Η κάθε γραµµή αυτού του πίνακα εκφράζει την σχέση της µεταβλητής ως προς τις συνιστώσες. Οι συντελεστές αυτοί καλούνται επιβαρύνσεις και δηλώνουν πόσο κάθε συνιστώσα εξηγεί µια µεταβλητή. 5. Μερικές φορές οι µεταβλητές και οι συνιστώσες-παράγοντες δεν φαίνονται να συσχετίζονται κατά τρόπο εύκολα ερµηνεύσιµο. Σε αυτήν την περίπτωση ακολουθείται η περιστροφή των κυρίων συνιστωσών (δηλ. των ορθογώνιων αξόνων) έτσι ώστε να γίνει ευκολότερη η ερµηνεία τους. Μετά την περιστροφή η καθεµιά από τις µεταβλητές θα έχει µη µηδενικές επιβαρύνεις σε όσο το δυνατό λιγότερους παράγοντες, ή ακόµη και σε έναν µόνο παράγοντα. Το γεγονός αυτό βοηθάει στην ερµηνεία του παράγοντα. 6. Αν χρειάζεται να προχωρήσουµε σε παραγοντικές αναλύσεις δεύτερου ή υψηλότερου βαθµού, υπολογίζονται οι παραγοντικοί βαθµοί για κάθε περίπτωση και για κάθε κύρια συνιστώσα-παράγοντα. 6.7 Παραγοντική ανάλυση βαθµολογιών των υποψηφίων ανά δέσµη Το 1993 είχαµε υποψήφιους, οι οποίοι ήταν ταξινοµηµένοι ανά δέσµη. Στην κάθε δέσµη ο υποψήφιος εξεταζόταν πανελλαδικά σε τέσσερα µαθήµατα. Τα µαθήµατα αυτά θα αποτελέσουν τις µεταβλητές στην παρακάτω ανάλυση µας. Χρησιµοποιώντας την παραγοντική ανάλυση θα επιχειρήσουµε να εξαγάγουµε τους παράγοντες της µαθητικής απόδοσης από τις µεταβλητές- µαθήµατα. 63

8 Ο πρώτος πίνακας περιλαµβάνει τους αριθµητικούς µέσους όρους και τις τυπικές αποκλίσεις για καθεµιά από τις µεταβλητές-µαθήµατα και για κάθε µια από τις τέσσερις δέσµες. ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ 1ù ãõí ù ΤυπικÞ ΜÝσοò απüκλιση N 94, , ,34 41, , , , , ù ãõí ù ΤυπικÞ ΜÝσοò Απüκλιση N 110,29 29, ΦΥΣΙΚΗ 63, ΧΗΜΕΙΑ 96 52, ΒΙΟΛΟΓΙΑ , ù ãõí ù 4ù ãõí ù ΜÝσοò ΤυπικÞ Απüκλιση N 104,29 26, ΑΡΧΑΙΑ 98,41 41, ,75 49, ΛΑΤΙΝΙΚΑ122, ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙ ΟΛΟΓΙΑ ΤυπικÞ ΜÝσοò Απüκλιση N 79,49 34, , , ,70 58, Πίνακας Μέσοι όροι και τυπικές αποκλίσεις βαθµολογιών Το πρώτο βήµα στην παραγοντική ανάλυση, είναι να βρεθούν οι συσχετίσεις µεταξύ των µεταβλητών. Όπως προαναφέρθηκε στην θεωρία περί της παραγοντικής ανάλυσης, αν δεν υπάρχουν στατιστικά σηµαντικές συσχετίσεις µεταξύ των µεταβλητών, είναι σχεδόν αδύνατο αυτές οι µεταβλητές να µοιράζονται κοινούς παράγοντες. Ο παρακάτω πίνακας των συσχετίσεων ανά δέσµη δίνει αρκετά µεγάλες συσχετίσεις µεταξύ των βαθµολογιών των µαθηµάτων/µεταβλητών σε όλες τις δέσµες. Επίσης το παρατηρούµενο επίπεδο σηµαντικότητας/p-value για τον έλεγχο της µηδενικής υπόθεσης ότι η τιµή του συντελεστή συσχέτισης είναι µηδέν έναντι της εναλλακτικής ότι είναι διάφορη του µηδενός, βρέθηκε σε όλες τις συγκρίσεις ίση µε το µηδέν. 64

9 èø Œ í «ø «Ÿ 1ùí ãõí ùí ΣυντελεστÝò συσχýτισηò p-τιìþ ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ ΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚ ΧΗΜΕΑ 00,479,418 22,479 00,699,786,418,699 00,742 22,786, èø Œ í «ø «Ÿ 2ùí ãõí ùí ΣυντελεστÝò συσχýτισηò p-τιìþ ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ 00 05,610, ,787,693,610,787 00,826,644,693, èø Œ í «ø «Ÿ 3ùí ãõí ùí ΣυντελεστÝò συσχýτισηò p-τιìþ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ 00, ,614 00,753,790 49,753 00,753 55,790, èø Œ í «ø «Ÿ 4ùí ãõí ùí ΣυντελεστÝò συσχýτισηò p-τιìþ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ 00 50, ,701,697,617,701 00,828 99,697, Πίνακας Συντελεστές συσχέτισης βαθµολογιών 65

10 Συνεπώς οι συσχετίσεις µεταξύ των βαθµολογιών των µαθηµάτων/ µεταβλητών για όλες τις δέσµες είναι στατιστικά σηµαντικές. Το δεύτερο βήµα είναι να διαπιστωθεί, βάσει των ελέγχων, η χρήση της παραγοντικής ανάλυσης ως αποδεκτής στατιστικής µεθόδου για την ανάλυση των δεδοµένων µας. Μεγάλες τιµές του δείκτη Kaiser-Meyer-Olkin (άνω του 00), ως δείκτη σύγκρισης των µεγεθών των παρατηρούµενων συντελεστών συσχέτισης προς τους συντελεστές µερικής συσχέτισης, δηλώνουν ότι η µέθοδος της παραγοντικής ανάλυσης των µεταβλητών είναι αποδεκτή ως τεχνική για την ανάλυση των δεδοµένων. Όπως διαπιστώνουµε από τον παρακάτω πίνακα, οι τιµές του δείκτη ΚΜΟ είναι αρκετά υψηλές για όλες τις δέσµες και κυµαίνονται από 0,800-0,826. Ένας άλλος έλεγχος καταλληλότητας της παραγοντικής ανάλυσης αποτελεί ο έλεγχος σφαιρικότητας του Bartlett. Ο έλεγχος αυτός ελέγχει, χρησιµοποιώντας το στατιστικό χ 2, την υπόθεση ότι ο πίνακας συσχετίσεων δεν είναι ταυτοτικός και, συνεπώς, ότι το υπόδειγµα της παραγοντικής ανάλυσης είναι κατάλληλο. Όπως διαπιστώνουµε και για τις τέσσερις δέσµες έχουµε µεγάλες τιµές του χ 2, συνεπώς και απόρριψη της υπόθεσης ότι ο πίνακας συσχετίσεων είναι ταυτοτικός. KMO and Bartlett's Test 1ùí ãõí ùí KMO and Bartlett's Test 2ùí ãõí ùí Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.,800 Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.,801 Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square df Sig ,424 6,000 Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square df Sig ,414 6,000 KMO and Bartlett's Test 3ùí ãõí ùí KMO and Bartlett's Test 4ùí ãí ùí Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.,826 Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.,818 Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square df Sig ,977 6,000 Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square df Sig ,000 Πίνακας Έλεγχοι καταλληλότητας της παραγοντικής ανάλυσης 66

11 Κατόπιν αυτών των ελέγχων η παραγοντική ανάλυση κρίνεται αποδεκτή ως τεχνική ανάλυσης των δεδοµένων που εξετάζουµε. Συγκεκριµένα θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος της παραγοντικής ανάλυσης σε κύριες συνιστώσες. Σε αυτή την επιλογή οδηγηθήκαµε, όπως προαναφέρθηκε, από το γεγονός ότι στις άλλες µεθόδους της παραγοντικής ανάλυσης χρειάζονται περισσότερες των τεσσάρων µεταβλητών για την εξαγωγή περισσότερων του ενός παράγοντα όπου και αν χρειάζονταν. 6.8 Ανάλυση σε κύριες συνιστώσες Η ανάλυση σε κύριες συνιστώσες αποδίδει ισάριθµες κύριες συνιστώσες µε τις µεταβλητές, δηλαδή τέσσερις συνιστώσες για κάθε δέσµη. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το ποσοστό της ερµηνευόµενης διακύµανσης από την κάθε κύρια συνιστώσα. è «À ««À à Œ À à Œ ëà «1À ãω À è «À ««À à Œ À à Œ ëà «2À ãω À ΧαρακτηριστικÝò τιìýò % Σýνολο Äιακýìανσηò Σωρευτικü % 2,849 71,235 71,235,644 16,111 87,346, ,897,204 5, ΧαρακτηριστικÝò τιìýò % Σýνολο Äιακýìανσηò Σωρευτικü % 3,045 76,133 76, ,129 89,262,278 6,959 96,221,151 3, è «À ««À à Œ À à Œ ëà «3À ãω À è «À ««À à Œ À à Œ ëà «4À ãω À ΧαρακτηριστικÝò τιìýò % Σýνολο Äιακýìανσηò Σωρευτικü % 3,018 75,459 75, ,966 88,425,258 6,451 94,877,205 5, ΧαρακτηριστικÞ τιìþ % Σýνολο Äιακýìανσηò Σωρευτικü % 3,005 75,137 75,137,483 12,074 87,212, ,721,171 4, Πίνακας Ερµηνευόµενη διακύµανση από τις κύριες συνιστώσες 67

12 Όσο αφορά την 1 η δέσµη η διακύµανση που εξηγείται από την πρώτη κύρια συνιστώσα (χαρακτηριστική τιµή) είναι 2,849 (ποσοστό 71,23%), από την δεύτερη κύρια συνιστώσα 0,644 (ποσοστό 16,11%), ενώ το υπόλοιπο 002 (ποσοστό 12,654%) της διακύµανσης εξηγείται από τις υπόλοιπες δυο κύριες συνιστώσες. Για την 2 η δέσµη η διακύµανση που εξηγείται από την πρώτη κύρια συνιστώσα (χαρακτηριστική τιµή) είναι 3,045 (ποσοστό 76,133%), από την δεύτερη κύρια συνιστώσα 025 (ποσοστό 13,129%), ενώ το υπόλοιπο 0,429 (ποσοστό 10,738%) της διακύµανσης εξηγείται από τις υπόλοιπες δυο κύριες συνιστώσες. Για την 3 η δέσµη η διακύµανση που εξηγείται από την πρώτη κύρια συνιστώσα (χαρακτηριστική τιµή) είναι 3,018 (ποσοστό 75,45%), από την δεύτερη κύρια συνιστώσα 019 (ποσοστό 12,96%), ενώ το υπόλοιπο 0,463(ποσοστό 117%) της διακύµανσης εξηγείται από τις υπόλοιπες δυο κύριες συνιστώσες. Τέλος, για την 4 η δέσµη η διακύµανση που εξηγείται από την πρώτη κύρια συνιστώσα (χαρακτηριστική τιµή) είναι 3,005 (ποσοστό 75,137%), από την δεύτερη κύρια συνιστώσα 0,483 (ποσοστό 12,074%), ενώ το υπόλοιπο 011 (ποσοστό 12,788%) της διακύµανσης εξηγείται από τις υπόλοιπες δυο κύριες συνιστώσες. Επιπλέον των παραπάνω, σχετικά µε τον προσδιορισµό του αριθµού των συνιστωσών, ο Cattell συνιστά τη χρησιµοποίηση του ελέγχου της οµαλής µεταβολής της κλίσης, σύµφωνα µε το οποίο ο αριθµός των εξαγόµενων συνιστωσών θα είναι αυτός µετά τον οποίο παρατηρείται τάση ευθυγράµµισης της γραµµής που ενώνει τις τιµές των χαρακτηριστικών ριζών του αρχικού πίνακα των κυρίων συνιστωσών. Παρατηρώντας τα παρακάτω γραφήµατα χαρακτηριστικών ριζών για τις τέσσερις δέσµες, εντοπίζεται τάση ευθυγράµµισης µετά τη δεύτερη κύρια συνιστώσα σε όλες τις περιπτώσεις. 68

13 3,0 1η ÄÝσìη 3 2η ÄÝσìη 2 3,0 2, ,0 ΧαρακτηριστικÞ τιìþ ΧαρακτηριστικÞ τιìþ Αριθ. Κýριαò ò Αριθ. Κýριαò ò 3 3η ÄÝσìη 3 4η ÄÝσìη 3,0 3, ,0 2,0 ΧαρακτηριστικÞ τιìþ ΧαρακτηριστικÞ τιìþ Αριθ. Κýριαò ò Αριθ. Κýριαò ò ιάγραµµα Χαρακτηριστικές τιµές κύριων συνιστωσών σε κάθε δέσµη Οι χαρακτηριστικές τιµές της δεύτερης συνιστώσας σε όλες τις δέσµες είναι µικρότερες της µονάδας. Τα υπόλοιπα, όµως, κριτήρια συντείνουν στην εφαρµογή δύο κύριων συνιστωσών, µε σηµαντικότερο την χρησιµότητα ενός δεύτερου παράγοντα στην επεξήγηση των δεδοµένων. Έχοντας λοιπόν υπόψη το µεγάλο ποσοστό διακύµανσης που εξηγείται από τις δύο κύριες συνιστώσες, αλλά και από την τάση ευθυγράµµισης που υπάρχει µετά από αυτές, καταλήγουµε στην χρήση δύο κύριων συνιστωσώνπαραγόντων. 69

14 Στο επόµενο βήµα γίνεται η αναπαραγωγή του πίνακα συσχετίσεων βάσει των εκτιµώµενων δύο κύριων συνιστωσών για όλες τις δέσµες. Ο αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων περιλαµβάνει τους εκτιµώµενους συντελεστές συσχέτισης των µεταβλητών βάσει των συνιστωσών, καθώς και τα κατάλοιπα που αποτελούν τις διαφορές µεταξύ των εκτιµώµενων συντελεστών συσχέτισης και των αρχικών συντελεστών συσχέτισης. Στους αναπαραγόµενους πίνακες συσχετίσεων των δεσµών παρατηρούµε χαµηλές τιµές καταλοίπων. Αυτό δηλώνει την αποτελεσµατικότητα του υποδείγµατος της ανάλυσης σε δύο κύριες συνιστώσες να αναπαραγάγει µε τη µεγαλύτερη ακρίβεια τον αρχικό πίνακα συσχετίσεων. 1À ãω À Αναπαραγüìενοι συντελεστýò συσχýτισηò ΚατÜλοιπα ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙ ΚΘΕΣΗ ΚΑ ΦΥΣΙΚ ΧΗΜΕΑ,995,492,387 42,492,824,814,839,387,814,818,823 42,839,823,857-1,321E-02 3,040E-02-1,971E-02-1,321E-02 -,115-5,343E-02 3,040E-02 -,115-8,114E-02-1,971E-02-5,343E-02-8,114E-02 Πίνακας Αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων 1 ης δέσµης 70

15 Αναπαραγüìενοι συντελεστýò συσχýτισηò ΚατÜλοιπα ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ 2À ãω À ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ,971,449,626,706,449,872,860,787,626,860,894,851,706,787,851,833 5,630E E-02-6,155E-02 5,630E-02-7,297E-02-9,405E E-02-7,297E E-02-6,155E-02-9,405E E-02 Πίνακας Αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων 2 ης δέσµης 3À ãω À Αναπαραγüìενοι συντελεστýò συσχýτισηò ΚατÜλοιπο ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ,996, ,637,848,833,846 36,833,834,846 47,846,846,858-2,334E-02 1,287E-02 8,025E-03-2,334E-02-8,000E E-02 1,287E-02-8,000E-02-9,323E-02 8,025E E-02-9,323E-02 Πίνακας Αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων 3 ης δέσµης 4À ãω À Αναπαραγüìενοι συντελεστýò συσχýτισηò ΚατÜλοιπο ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟ ΤΙΚΑ ΛΟΓΙΑ,996 22,635,610 22,782,812,814,635,812,856,854,610,814,854,854 2,823E-02-1,826E-02-1,138E-02 2,823E-02 -,111 -,117-1,826E-02 -,111-2,602E-02-1,138E-02 -,117-2,602E-02 Πίνακας Αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων 4 ης δέσµης 71

16 Παρακάτω δίνονται οι πίνακες των κυρίων συνιστωσών µε τις αντίστοιχες παραγοντικές επιβαρύνσεις τους. Το τετράγωνο της παραγοντικής επιβάρυνσης εκφράζει το ποσοστό της συµµετοχής της κύριας συνιστώσας στην εξήγηση της διακύµανσης της µεταβλητής. Συνεπώς, το άθροισµα των τετραγώνων των παραγοντικών επιβαρύνσεων της µεταβλητής για τις αντίστοιχες συνιστώσες, είναι το ποσοστό της διακύµανσης της µεταβλητής που εξηγείται από αυτές. Το υπόλοιπο ποσοστό της διακύµανσης που δεν εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες σαν κοινή παραγοντική διακύµανση, οφείλεται στην µοναδικότητα της κάθε µεταβλητής. ü ëí à «1À ãω À ü ëí à «2À ãω À ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ 1 2,685,725,893 -,164,861 -,279,918 -,120 ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 2,778,605,860 -,364,932 -,163,913-6,760E-03 ü ëí à «3À ãω À ü ëí à «4À ãω À ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ 1 2,766,640,916 -,101,885 -,223,899 -,223 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ 1 2,786,615,851 -,240,915 -,137,909 -,169 Πίνακας Επιλεγµένες κύριες συνιστώσες κάθε δέσµης Αναλυτικά, για την 1 η δέσµη, η πρώτη συνιστώσα εξηγεί το 46,9% (= 0,685 2 ) της διακύµανσης της βαθµολογίας στην Έκθεση. Το ποσοστό της κοινής παραγοντικής διακύµανσης που εξηγείται από τις δυο κύριες συνιστώσες είναι 99,48% (0, ,725 2 ) για την Έκθεση, 82,43% για τα Μαθηµατικά, 81,19% για τη Φυσική και 85,71% για τη Χηµεία. Η διακύµανση που δεν 72

17 εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες είναι µικρή και κυµαινόµενη από 02% για την Έκθεση έως 18,81% για την Φυσική. Στη 2 η δέσµη η πρώτη κύρια συνιστώσα εξηγεί το 60% (= 0,778 2 ) της διακύµανσης της βαθµολογίας στην Έκθεση. Η κοινή παραγοντική διακύµανση που εξηγείται από τις δυο κύριες συνιστώσες είναι 97,13% (0, ,605 2 ) για την Έκθεση, 87,2% για τη Φυσική, 89% για τη Χηµεία και 83,3% για τη Βιολογία. Η διακύµανση που δεν εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες είναι από 2,7% για την Έκθεση έως 16,6% για την Βιολογία. Στην 3 η δέσµη η πρώτη συνιστώσα εξηγεί το 58,6% (= 0,766 2 ) της διακύµανσης της βαθµολογίας στην Έκθεση. Η κοινή παραγοντική διακύµανση που εξηγείται από τις δυο κύριες συνιστώσες είναι 99,63% για την Έκθεση, 84,92% για τα Αρχαία Ελληνικά, 83,29% για την Ιστορία και 85,79% για τα Λατινικά. Η διακύµανση που δεν εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες είναι κυµαινόµενη από 0,37% για την Έκθεση έως 16,71% για την Ιστορία. Τέλος, µε τον ίδιο τρόπο, στην 4 η δέσµη η πρώτη συνιστώσα εξηγεί το 61,17% της διακύµανσης της βαθµολογίας στην Έκθεση. Η κοινή παραγοντική διακύµανση που εξηγείται από τις δυο κύριες συνιστώσες είναι 98,99% για την Έκθεση, 78,1% για τα Μαθηµατικά, 85% για την Ιστορία και 85,45% για την Κοινωνιολογία. Η διακύµανση που δεν εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες είναι κυµαινόµενη από 1% για την Έκθεση έως 21,9% για τα Μαθηµατικά. Από τα παραπάνω διαπιστώνουµε ότι µε την χρήση των δύο κύριων συνιστωσών εξηγείται το µεγαλύτερο ποσοστό διακύµανσης του µαθήµατος- µεταβλητής για κάθε δέσµη, ενώ το ανερµήνευτο κοµµάτι διακύµανσης της κάθε µεταβλητής παραµένει σχετικά χαµηλό. Σαν αποτέλεσµα αυτού, µπορεί να γίνει η αντιπροσώπευση των τεσσάρων µεταβλητών-µαθηµάτων από τις δύο κύριες συνιστώσες. 73

18 Με βασικό σκοπό την καλύτερη ερµηνεία των συνιστωσών, γίνεται περιστροφή των κυρίων συνιστωσών µε την τεχνική της ορθογωνικής περιστροφής µέγιστης διακύµανσης. Με αυτήν επιχειρείται να µεγιστοποιηθεί η διακύµανση των τετραγώνων των επιβαρύνσεων και να ελαχιστοποιηθεί ο αριθµός των µεταβλητών µε υψηλές επιβαρύνσεις σε κάθε παράγοντα, που θα βοηθήσει, έτσι, στην ερµηνεία των παραγόντων. Ακολουθώντας τη τεχνική της ορθογωνικής περιστροφής µέγιστης διακύµανσης ο παρακάτω πίνακας περιέχει τις επιβαρύνσεις των παραγόντων µετά την περιστροφή. Από εκεί µπορεί κανείς να εκφράσει κάθε µια µεταβλητή µε την χρήση των δύο συνιστωσών. ÿ Ÿ ÃŒæ è«ã»æ 1À ãω À ÿ Ÿ ÃŒæ è«ã»æ 2À ãω À ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ 1 2,262,962,865,277,890,161,866,328 ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 2,293,941,914,193,858,399, ÿ Ÿ ÃŒæ è«ã»æ 3À ãω À ÿ Ÿ ÃŒæ è«ã»æ 4À ãω À ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ 1 2,323,945,835,389,873,269,884,276 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ 1 2,339,939,849,249,847,371,860,340 Πίνακας Επιλεγµένες κύριες συνιστώσες κάθε δέσµης µετά την ορθογωνική περιστροφή Έχουµε λοιπόν, την αντιπροσώπευση των τεσσάρων µεταβλητών της κάθε δέσµης από δύο κύριες συνιστώσες. Παρατηρούµε ότι µετά την εφαρµογή της τεχνικής της ορθογωνικής περιστροφής της µέγιστης διακύµανσης, η δεύτερη 74

19 κύρια συνιστώσα, ή αλλιώς ο δεύτερος παράγοντας, έχει υψηλές τιµές για την πρώτη µεταβλητή σε όλες τις δέσµες. Η πρώτη κύρια συνιστώσα έχει υψηλές τιµές παραγοντικών επιβαρύνσεων στις υπόλοιπες µεταβλητές. Η πρώτη µεταβλητή σε όλες τις δέσµες αποτελεί το µάθηµα της Έκθεσης, το οποίο αποτελεί και το µόνο κοινό µάθηµα σε όλες τις δέσµες. Έτσι λοιπόν, η Έκθεση µπορεί να ταυτοποιήσει την δεύτερη κύρια συνιστώσα, αφού οι παραγοντικές επιβαρύνσεις των άλλων µεταβλητών δείχνουν σαφώς µικρότερη συµµετοχή. Θα µπορούσαµε να ονοµάσουµε την δεύτερη κύρια συνιστώσα «Αναλυτικοσυνθετική Ικανότητα». Οι τρεις επόµενες µεταβλητές για κάθε δέσµη αποτελούν τα υπόλοιπα βασικά µαθήµατα που εξετάζονται οι υποψήφιοι και είναι διαφορετικά για κάθε δέσµη. ιαπιστώνουµε ότι σε όλες τις δέσµες το σύνολο των τριών µαθηµάτων-µεταβλητών, πλην της Έκθεσης, ταυτοποιεί την πρώτη κύρια συνιστώσα στην ανάλυση µας. Το κοινό µάθηµα της Έκθεσης δεν έχει έντονη παρουσία στην δηµιουργία αυτής της συνιστώσας, την οποία ονοµάζουµε «Ικανότητα Εκµάθησης- Αποστήθισης». Παρακάτω δίνονται τα διαγράµµατα διάταξης των µεταβλητών χρησιµοποιώντας τις δύο κύριες συνιστώσες. Είναι εµφανής και γραφικά η διαφορά της απόστασης της πρώτης µεταβλητής-µάθηµα από τις υπόλοιπες και για τις τέσσερις δέσµες. 75

20 Äιαγραììα κýριων συνιστωσþν ÄιÜγραììα κýριων συνιστωσþν 1ηò δýσìηò 2ηò δýσìηò Ýκθεση Ýκθεση κýρια συνιστþσα ìαθηìατ χηìεßα φυσικþ κýρια συνιστþσα βιολογßα χηìεßα φυσικþ κýρια συνιστþσα 1 κýρια συνιστþσα 1 ÄιÜγραìα κýριων συνιστωσþν 3ηò δýσìηò ÄιÜγραììα κýριων συνιστωσþν 4ηò δýσìηò Ýκθεση Ýκθεση κýρια συνιστþσα αρχαßα λατινικü ιστορßα κýρια συνιστþσα κοινωνιο ιστορßα ìαθηìατι κýρια συνιστþσα 1 κýρια συνιστþσα 1 ιάγραµµα ιαγράµµατα διάταξης µεταβλητών 6.9 Συµπεράσµατα Μετά την ανάλυση των δεδοµένων σε κύριες συνιστώσες καταλήξαµε στην αντιπροσώπευση των τεσσάρων µεταβλητών-µαθηµάτων της κάθε δέσµης από δύο κύριες συνιστώσες. Η πρώτη κύρια συνιστώσα, την οποία ονοµάσαµε «Ικανότητα Εκµάθησης- Αποστήθισης» αντιπροσωπεύει µια γενικότερη ικανότητα των µαθητών ως προς το διάβασµα, την αποστήθιση κειµένων καθώς και τεχνικών επίλυσης προβληµάτων. εν θα µπορούσε να χαρακτηριστεί τυχαίο το γεγονός ότι το µάθηµα της Έκθεσης έχει το µικρότερο παραγοντικό φορτίο στη παρουσίαση 76

21 αυτής της συνιστώσας. Αντίθετα, τα υπόλοιπα µαθήµατα τα οποία έχουν προδιαγεγραµµένη εξεταστική ύλη, απαιτούν αποστήθιση σε µεγάλο βαθµό και χρησιµοποιούν περισσότερο µεθόδους επίλυσης προβληµάτων, αποτελούν τον κύριο κορµό αυτής της συνιστώσας. Την δεύτερη κύρια συνιστώσα, την ονοµάσαµε «Αναλυτικοσυνθετική Ικανότητα». Σε αυτήν ξεφεύγουµε από τα πλαίσια της γενικότερης ικανότητας όπως αναφέραµε στην πρώτη κύρια συνιστώσα και παρουσιάζουµε την ικανότητα ανάλυσης και σύνθεσης των µαθητών σε ανοιχτά και µη δοµηµένα κατ ανάγκη προβλήµατα, όπως η διαπραγµάτευση ενός θέµατος Έκθεσης. Παρατηρώντας τους πίνακες των κύριων συνιστωσών επισηµαίνουµε τις µεγάλες παραγοντικές επιβαρύνσεις που υπάρχουν στο µάθηµα της Έκθεσης, σε αντίθεση µε τις παραγοντικές επιβαρύνσεις των άλλων µαθηµάτων στην αντιπροσώπευση της δεύτερης κύριας συνιστώσας. 77

22 78

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΣΜΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΣΜΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΣΜΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε µε περιγραφικά στατιστικά µέτρα τις βαθµολογικές επιδόσεις των αποφοίτων της Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4 υπολογίζονται τα κυριότερα στατιστικά µέτρα θέσης και µεταβλητότητας, κατασκευάζονται ιστογράµµατα συχνοτήτων και θηκογράµµατα για

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ: Ανάλυση Πολυδιάστατων (Πολυμεταβλητών) Δεδομένων και Συστήματα Εξόρυξης Δεδομένων (Multivariate Data

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 3 υπολογίζονται και συγκρίνονται οι µέσες τιµές όλων των αριθµητικών µεταβλητών που είναι ο γραπτός µέσος όρος όλων των µαθηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το σύστηµα των Γενικών Εξετάσεων για την εισαγωγή στην τριτοβάθµια εκπαίδευση το οποίο ίσχυσε την περίοδο 1983-1999 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 5.1 Γενικές παρατηρήσεις Παρατηρείται αύξηση του αριθµού των µαθητών κατά 7,37% κατά το σχολικό έτος 2001-02 σε σχέση µε το σχολικό έτος 2000-01. Σχόλιο:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Σύνολο νοµού Αργολίδας.. Γενικές παρατηρήσεις Γίνεται φανερό από την ανάλυση, που προηγήθηκε, πως η επίδοση των υποψηφίων του νοµού Αργολίδας, αλλά και η κατανοµή της βαθµολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS

Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS 1. Εισαγωγή Άγγελος Μάρκος Αλεξανδρούπολη, 04.04.2013 Η μέτρηση στις επιστήμες της συμπεριφοράς συχνά στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών Κεφάλαιο 8 Ο είκτης Συσχέτισης 1 Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών ηλαδή, µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ναταλία Δ. Μαύρου

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ναταλία Δ. Μαύρου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ναταλία Δ. Μαύρου ΑΘΗΝΑ,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΟ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ποια μαθήματα διδάσκονται οι μαθητές της Α Λυκείου; Ποια από τα μαθήματα ανήκουν στους ίδιους κλάδους μαθημάτων; Ο παρακάτω πίνακας περιέχει όλους τους κλάδους των μαθημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Σύμφωνα με το πρόσφατο νομοσχέδιο του Υπουργείου Παιδείας θα πραγματοποιηθούν σημαντικές αλλαγές στο Λύκειο και στον τρόπο εισαγωγής στα Τμήματα των Πανεπιστημίων και

Διαβάστε περισσότερα

Στην Γ' Λυκείου τα µαθήµατα γενικής παιδείας µειώνονται σε 5 και οι µαθητές παράλληλα µε αυτά παρακολουθούν µία εκ των τριών οµάδων προσανατολισµού:

Στην Γ' Λυκείου τα µαθήµατα γενικής παιδείας µειώνονται σε 5 και οι µαθητές παράλληλα µε αυτά παρακολουθούν µία εκ των τριών οµάδων προσανατολισµού: Στην Γ' Λυκείου τα µαθήµατα γενικής παιδείας µειώνονται σε 5 και οι µαθητές παράλληλα µε αυτά παρακολουθούν µία εκ των τριών οµάδων προσανατολισµού: Ανθρωπιστικές Σπουδές Θετικές- Τεχνολογικές Σπουδές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Μαθήματα Κλάδοι Ώρες Εξεταζόμενο Γενική Παιδεία Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία 5 ΝΑΙ Ελληνική Γλώσσα

Α Τάξη Μαθήματα Κλάδοι Ώρες Εξεταζόμενο Γενική Παιδεία Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία 5 ΝΑΙ Ελληνική Γλώσσα Α Τάξη Μαθήματα Κλάδοι Ώρες Εξεταζόμενο Γενική Παιδεία Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία 5 ΝΑΙ Ελληνική Γλώσσα Νέα Ελληνική Γλώσσα 2 ΝΑΙ Λογοτεχνία 2 ΝΑΙ Μαθηματικά Άλγεβρα 3 ΝΑΙ Γεωμετρία 2 ΝΑΙ Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

ειγµατοληπτική έρευνα: Υποκλοπή προσωπικών δεδοµένων στο ιαδίκτυο

ειγµατοληπτική έρευνα: Υποκλοπή προσωπικών δεδοµένων στο ιαδίκτυο ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΤΕΥΧΟΣ 15 (σσ. 54-65) DATA ANALYSIS BULLETIN, ISSUE 15 (pp. 54-65) ειγµατοληπτική έρευνα: Υποκλοπή προσωπικών δεδοµένων στο ιαδίκτυο Νικόλαος Φαρµάκης και Ιωάννα Παπατσούµα

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση:Αν οι συντελεστές είναι 0,9 και 0,4 αντικαθιστουν τους 1,4 και 0,7.

Σημείωση:Αν οι συντελεστές είναι 0,9 και 0,4 αντικαθιστουν τους 1,4 και 0,7. Ο τρόπος υπολογισμού των μορίων 1. Ο υπολογισμός του συνολικού αριθμού μορίων κάθε υποψηφίου για εισαγωγή στις Σχολές, τα Τμήματα και τις Εισαγωγικές Κατευθύνσεις Τμημάτων που είναι ενταγμένα σε Επιστημονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13. 6o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΚΗ ΕΜΟΝΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ. ιευθυντής: Αντώνιος Παλόγος. 6ο ΓΕΛ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13. 6o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΚΗ ΕΜΟΝΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ. ιευθυντής: Αντώνιος Παλόγος. 6ο ΓΕΛ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13 6o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΓΟΝΕΩΝ ΚΑΙ ΚΗ ΕΜΟΝΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ιευθυντής: Αντώνιος Παλόγος ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Περίοδοι του διδακτικού έτους: Το Α τετράµηνοδιαρκεί από την 11 η Σεπτεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Όπως έχει αποδειχθεί (βλέπε π.χ. Ε. Ξεκαλάκη και Ι. Πανάρετο 993) οι αναµενόµενες τιµές E( ) και E( m ) παρέχουν σηµαντικές πληροφορίες σχετικά µε την κατανοµή µιας πραγµατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2014

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2014 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 014 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ωρολόγιο Πρόγραμμα Α' Α ΓΕΝΙΚΟΥ Γενικού Λυκείου ΛΥΚΕΙΟΥ 013-14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Παραδείγματα στο Amos Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Ανάλυση Δεδομένων (Εργαστήριο) Διαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΤΗ 2000-2001 ΚΑΙ 2001-2002

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΤΗ 2000-2001 ΚΑΙ 2001-2002 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΤΗ ΚΑΙ Σε όλους τους πίνακες που ακολουθούν θα αναφέρονται τέσσερα ποσοστά: 1. Ποσοστό ς 2. Ποσοστό µη ς 3. Ποσοστό ς 4. Ποσοστό µαθητών που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Το Νέο Λύκειο. Οι αλλαγές στο Γενικό Λύκειο Μαθήματα Προαγωγικές & Απολυτήριες Εξετάσεις Πανελλαδικές Εξετάσεις Βαθμολογία

Το Νέο Λύκειο. Οι αλλαγές στο Γενικό Λύκειο Μαθήματα Προαγωγικές & Απολυτήριες Εξετάσεις Πανελλαδικές Εξετάσεις Βαθμολογία Το Νέο Λύκειο Οι αλλαγές στο Γενικό Λύκειο Μαθήματα Προαγωγικές & Απολυτήριες Εξετάσεις Πανελλαδικές Εξετάσεις Βαθμολογία Α' Λυκείου Μαθήματα Γενικής Παιδείας Ελληνική Γλώσσα (Αρχαία, Νέα, Λογοτεχνία)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Από την Α Λυκείου µέχρι το Πανεπιστήµιο

Από την Α Λυκείου µέχρι το Πανεπιστήµιο Από την Α Λυκείου µέχρι το Πανεπιστήµιο Α ΛΥΚΕΙΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 η οµάδα προσανατολισµού ανθρωπιστικών σπουδών η οµάδα προσανατολισµού θετικών σπουδών 1 η οµάδα προσανατολισµού ανθρωπιστικών σπουδών 3 η οµάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Βοήθεια στην Ερµηνεία των Αποτελεσµάτων της Παραγοντικής Ανάλυσης των Αντιστοιχιών & Αλγόριθµοι Κατασκευής και Ανάλυσης Ειδικών Πινάκων Εισόδου Η

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΟΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΟΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΟΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ (αφορά στους μαθητές που ενεγράφησαν ή θα εγγραφούν στην Α τάξη του Γενικού

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ. Σπύρος Φερεντίνος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Β Αθήνας

ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ. Σπύρος Φερεντίνος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Β Αθήνας ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Σπύρος Φερεντίνος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Β Αθήνας ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Α' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις της µορφής σωστό-λάθος Σηµειώστε αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑλλΑγες ςτο λυκειο ςεπτεμβριος 2013

ΑλλΑγες ςτο λυκειο ςεπτεμβριος 2013 ΑλλΑγες ςτο λυκειο ςεπτεμβριος 2013 Σύμφωνα με το πρόσφατο νομοσχέδιο του Υπουργείου Παιδείας θα πραγματοποιηθούν σημαντικές αλλαγές στο Λύκειο και στον τρόπο εισαγωγής στα Τμήματα των Πανεπιστημίων και

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ 2014 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΈΤΟΣ: 2013 2014)

ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ 2014 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΈΤΟΣ: 2013 2014) ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ 2014 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΈΤΟΣ: 2013 2014) Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η Α' τάξη Ημερησίου Γενικού Λυκείου αποτελεί τάξη γενικής παιδείας 35 συνολικά ωρών εβδομαδιαίως και 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ. Πηγή δεδομένων:

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ. Πηγή δεδομένων: Πηγή δεδομένων: ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΕΠΘ 24, 25 και 26 Έργο : ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Πηγή : Διεύθυνση Οργάνωσης και Διεξαγωγής Εξετάσεων Υπουργείο

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Εισαγωγή στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση, Σχολικό Έτος 2015-2016 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΓΙΑ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΤΗ 2015-2016 και 2016-2017 ΝΟΜΟΣ: 4327/2015 (ΦΕΚ 50/Α, 14/05/2015), τροποποίηση του Ν.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο & 2 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΓΟΝΕΩΝ

1 ο & 2 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΓΟΝΕΩΝ 1 ο & 2 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΓΟΝΕΩΝ Αλλαγές στην Α Λυκείου Δομή διδακτικού έτους Μαθήματα Κλάδοι Μαθημάτων Τρόπος γραπτής εξέτασης μαθημάτων Τελικός βαθμός μαθήματος Προϋποθέσεις προαγωγής Μαθήματα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Διαπιστώσεις και Συμπεράσματα για το σχολικό έτος 2001-2002

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Διαπιστώσεις και Συμπεράσματα για το σχολικό έτος 2001-2002 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Διαπιστώσεις και Συμπεράσματα για το σχολικό έτος 2001-2002 3.1 Ως προς τα ποιοτικά χαρακτηριστικά των δεδομένων Ο αριθμός των κοριτσιών ήταν μεγαλύτερος. Στο σύνολο, το 56,4% ήταν κορίτσια

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα