ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρούµε να εξάγουµε τις συνιστώσες της µαθητικής επίδοσης, χρησιµοποιώντας παραγοντική ανάλυση των βαθµολογιών των τεσσάρων µαθηµάτων Γενικής Αξιολόγησης των υποψηφίων. 6.1 Χρήση της παραγοντικής ανάλυσης Η παραγοντική ανάλυση (factor analysis) χρησιµοποιείται κυρίως από τους ερευνητές των κοινωνικών επιστηµών και της ανθρώπινης συµπεριφοράς, σε προβλήµατα όπου σηµαντικές µεταβλητές δεν µπορούν να µετρηθούν απευθείας. Παραδείγµατα τέτοιων µεταβλητών είναι η εξυπνάδα, η πολιτική τοποθέτηση και η κοινωνικοοικονοµική κατάσταση 8. Παρόλο που χρησιµοποιούµε τις παραπάνω έννοιες σαν να επρόκειτο για συνηθισµένες µεταβλητές, αυτές είναι διαφορετικές διότι δεν παρατηρούνται. Με την παραγοντική ανάλυση προσπαθούµε να συνδέσουµε τις µη παρατηρούµενες µεταβλητές (παράγοντες ή συνιστώσες), µε µεταβλητές που παρατηρούµε και για τις οποίες έχουµε µετρήσεις, επιτυγχάνοντας κατ αυτόν τον τρόπο και µια οµαδοποίηση των παρατηρούµενων µεταβλητών σε κοινές συνιστώσες. Η παραγοντική ανάλυση µπορεί να είναι διερευνητική (exploratory) δηλαδή να µας βοηθάει να ανακαλύψουµε και να ταυτοποιήσουµε µη 8 Βλ. Bartholomew κ.α. (2002), κεφ.6., Μαγδαληνός (1987), κεφ. 3, Πανάρετος, Ξεκαλάκη (1995), κεφ.7, Σιάρδος (2002), κεφ

2 παρατηρούµενους παράγοντες, ή επιβεβαιωτική (confirmatory) όπου ελέγχουµε αν ένα σύνολο µεταβλητών που χρησιµοποιούµε για να µετρήσουµε µη παρατηρούµενους παράγοντες είναι ικανοποιητικό. Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιούµε τη διερευνητική παραγοντική ανάλυση. Από τις βαθµολογίες των µαθητών προσπαθούµε να εξάγουµε παράγοντες µαθητικής επίδοσης/ικανότητας. Η παραγοντική ανάλυση έχει εφαρµογή, εκτός των κοινωνιολογικών και ψυχολογικών ερευνών, όπου υπάρχει ανάγκη συµπερασµάτων άµεσης πρακτικής σηµασίας λαµβάνοντας υπόψη τον τρόπο δόµησης των διερευνώµενων µεταβλητών. 6.2 Το υπόδειγµα της παραγοντικής ανάλυσης Η στατιστική τεχνική της παραγοντικής ανάλυσης βασίζεται στην αλληλοσυσχέτιση των µεταβλητών. Με τη χρήση του πίνακα R των συντελεστών συσχέτισης καταλήγουµε στον πίνακα F των παραγόντων. Ο πίνακας R έχει τον ίδιο αριθµό σειρών και στηλών µε τον αριθµό των µεταβλητών, ενώ ο πίνακας των παραγόντων F έχει αριθµό σειρών όσες και οι µεταβλητές, αλλά στήλες τόσες όσοι είναι οι παράγοντες. Ο κάθε παράγοντας περιλαµβάνει οµάδα µεταβλητών µε κοινά χαρακτηριστικά (συσχετιζόµενες µεταβλητές). Οι παράγοντες είναι διανύσµατα nx1. Οι συντελεστές συσχέτισης των µεταβλητών µε τους αντίστοιχους παράγοντες καλούνται επιβαρύνσεις, οι οποίες µπορεί να είναι στατιστικά σηµαντικές ή όχι βάσει συγκεκριµένου επιπέδου σηµαντικότητας. Υπάρχουν διάφορα κριτήρια ως προς την σηµαντικότητα των επιβαρύνσεων, όπως των Child, Philip και Guilford 9. Συνήθως σηµαντικό θεωρείται το παραγοντικό φορτίο που έχει τιµή ίση ή µεγαλύτερη του συν ή πλην 0,30-0,40. 9 Βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 58

3 Για την απόκτηση εκτιµητών των κυρίων παραγόντων υπάρχουν διάφορες µέθοδοι όπως η ανάλυση σε κύριες συνιστώσες, η παραγοντοποίηση σε κύριους άξονες, η άλφα παραγοντοποίηση, η παραγοντοποίηση των απεικονισµένων µεταβλητών, η παραγοντοποίηση των µη σταθµισµένων ελαχίστων τετραγώνων, η παραγοντοποίηση των γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων και η µέθοδος της µεγίστης πιθανοφάνειας. Οι πλέον διαδεδοµένες µέθοδοι για την εξαγωγή παραγόντων είναι η ανάλυση σε κύριες συνιστώσες και η µέθοδος µέγιστης πιθανοφάνειας. Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιούµε την ανάλυση σε κύριες συνιστώσες γιατί, όπως θα γίνει φανερό, έχουµε τη δυνατότητα επιλογής όσο αφορά των αριθµό των παραγόντων. Αντίθετα, µε τη µέθοδο της µέγιστης πιθανοφάνειας απαιτούνται περισσότερες των τεσσάρων µεταβλητών για να έχουµε περισσότερους του ενός παράγοντα, κι εµείς έχουµε στη διάθεση µας µόνο τέσσερα µαθήµατα. Το γενικό παραγοντικό υπόδειγµα για p µεταβλητές και m παράγοντες έχει ως εξής: p F i = Σ W ij Χ j = W i1 Χ 1 + W i2 Χ W ip Χ P, i = 1,,m (6.2.1) j=1 όπου: F i = οι κοινοί µη παρατηρούµενοι παράγοντες, W ij = οι συντελεστές των παραγοντικών βαθµών, p m = αριθµός των παρατηρούµενων µεταβλητών που χρησιµοποιούνται, = αριθµός των παραγόντων που εξάγονται. Καθεµιά από τις παρατηρούµενες µεταβλητές µπορεί να αποδοθεί ως γραµµικός συνδυασµός των κοινών παραγόντων ως εξής: Χ j = α j1 F 1 + α j2 F α jm F m + U j, j = 1,,p (6.2.2) όπου: 59

4 F i = οι κοινοί µη παρατηρούµενοι παράγοντες, U j = ο χαρακτηριστικός για την συγκεκριµένη µεταβλητή παράγοντας, α jm = οι ειδικοί συντελεστές επιβαρύνσεις των παραγόντων. Οι χαρακτηριστικοί παράγοντες των µεταβλητών υποτίθεται ότι είναι ασυσχέτιστοι µεταξύ τους αλλά και µε τους κοινούς παράγοντες. 6.3 Μέθοδος κύριων συνιστωσών Η µέθοδος αυτή λαµβάνει υπόψη τη συνολική διακύµανση των µεταβλητών κατά φθίνουσα ακολουθία. ηλαδή, η πρώτη κύρια συνιστώσα είναι ο γραµµικός συνδυασµός των αρχικών µεταβλητών που εξηγεί στο µέγιστο την ολική διακύµανση τους. Η δεύτερη κύρια συνιστώσα, η οποία είναι ασυσχέτιστη µε την πρώτη, εξηγεί στο µέγιστο την υπόλοιπη διακύµανση, κ.τ.λ. Κατά µέγιστο µπορούν να εξαχθούν τόσες κύριες συνιστώσες όσες και οι αρχικές µεταβλητές, και το άθροισµα των διακυµάνσεων τους είναι το άθροισµα των διακυµάνσεων των αρχικών µεταβλητών. Στην πράξη επιλέγονται λιγότερες κύριες συνιστώσες από τις αρχικές µεταβλητές, µε κριτήρια που θα εξετάσουµε παρακάτω. Όλες οι µεταβλητές µετρώνται µε τυπικές µονάδες έτσι ώστε η διακύµανση των τιµών µιας µεταβλητής να είναι µονάδα. Το άθροισµα των τετραγώνων των επιβαρύνσεων µιας κύριας συνιστώσας δηλώνει τη συµµετοχή της συνιστώσας στην ολική διακύµανση των µεταβλητών. Η τιµή του αθροίσµατος για κάθε κύρια συνιστώσα ονοµάζεται χαρακτηριστική τιµή. Το µέγεθος των χαρακτηριστικών τιµών, που εµφανίζονται κατά φθίνουσα σειρά µεγέθους, βοηθούν στην πράξη να αποκλειστούν οι κύριες συνιστώσες που δεν συµµετέχουν σηµαντικά στην εξήγηση της ολικής διακύµανσης και να διατηρηθούν αυτές που εξηγούν αθροιστικά το υψηλότερο ποσοστό αυτής. 6.4 Κριτήρια επιλογής κύριων συνιστωσών 60

5 i) Επιλέγουµε τόσες συνιστώσες όσες εξηγούν ένα µεγάλο ποσοστό από τη συνολική διακύµανση, περίπου 70-80%. ii) Οι Guttman και Kaiser 10 πρότειναν η επιλογή του αριθµού των συνιστωσών να γίνεται σύµφωνα µε το αν οι χαρακτηριστικές τιµές τους είναι ίσες ή µεγαλύτερες της µονάδας. Ο Jollife 11 πρότεινε να επιλέγονται όσες συνιστώσες έχουν χαρακτηριστικές τιµές µεγαλύτερες ή ίσες µε το 0,70. iii) Το τρίτο κριτήριο επιλογής, σύµφωνα µε τον Cattell 12 συνίσταται στον έλεγχο της οµαλής µεταβολής της κλίσης, σύµφωνα µε τον οποίο ο αριθµός των απαιτούµενων κύριων συνιστωσών είναι αυτός µετά τον οποίο υπάρχει τάση ευθυγράµµισης της γραµµής που ενώνει τις τιµές των χαρακτηριστικών τιµών του αρχικού πίνακα των κύριων συνιστωσών. iv) Εξαρτάται από το κατά πόσο και ποιες από τις κύριες συνιστώσεςπαράγοντες έχουν λογική και χρήσιµη ερµηνεία. 6.5 Έλεγχοι καταλληλότητας εφαρµογής της παραγοντικής ανάλυσης - Οι συντελεστές συσχέτισης µεταξύ των µεταβλητών θα πρέπει να είναι υψηλοί. Εάν οι συσχετίσεις είναι χαµηλές είναι σχεδόν αδύνατο οι µεταβλητές να µοιράζονται κοινούς παράγοντες. Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιείται ο έλεγχος σφαιρικότητας του Bartlett 13 για τον έλεγχο ότι ο πίνακας συσχετίσεων δεν είναι ταυτοτικός, δηλαδή ότι τα διαγώνια στοιχεία της δεν είναι µονάδες και τα εκτός της διαγωνίου µηδενικά. 10 βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 11 βλ Bartholomew κ.α. (2002), κεφ.5 12 βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 13 βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 61

6 - Οι συντελεστές µερικής συσχέτισης µεταξύ των ζευγών µεταβλητών πρέπει να είναι χαµηλοί. O συντελεστής µερικής συσχέτισης µεταξύ δυο µεταβλητών µετρά τη συσχέτιση τους µετά την αφαίρεση της επίδρασης των υπόλοιπων µεταβλητών. Εδώ οι συντελεστές µερικής συσχέτισης είναι εκτιµητές των συσχετίσεων µεταξύ των παραγόντων και αναµένεται να προσεγγίζουν το µηδέν, δεδοµένων των προϋποθέσεων της παραγοντικής ανάλυσης ότι οι χαρακτηριστικοί παράγοντες των µεταβλητών είναι ασυσχέτιστοι µεταξύ τους αλλά και µε τους κοινούς παράγοντες - είκτης Kaiser-Meyer-Olkin 14 (KMO), που συγκρίνει τα µεγέθη των παρατηρούµενων συντελεστών συσχέτισης προς τους συντελεστές µερικής συσχέτισης. Μικρές τιµές του δείκτη δηλώνουν ότι η παραγοντική ανάλυση δεν είναι κατάλληλη τεχνική για τα δεδοµένα. 6.6 Στάδια ανάλυσης σε κύριες συνιστώσες 1. Υπολογίζεται ο πίνακας των συντελεστών συσχέτισης R των µεταβλητών και αξιολογείται η καταλληλότητα του υποδείγµατος βάσει των προηγουµένων ελέγχων. 2. ίνεται πίνακας µε τις χαρακτηριστικές τιµές αλλά και το ερµηνευόµενο ποσοστό διακύµανσης από την κάθε κύρια συνιστώσα σε φθίνουσα διάταξη, καθώς και το γράφηµα που αναπαριστά τις χαρακτηριστικές τιµές. Βάσει αυτών επιλέγεται ο αριθµός των κυρίων συνιστωσών-παραγόντων τα οποία θα εκπροσωπούν τις αρχικές µεταβλητές. 3. Αναπαράγεται ο πίνακας συσχετίσεων των µεταβλητών βάσει των εκτιµώµενων κύριων συνιστωσών. Η διαφορά µεταξύ του εκτιµώµενου και του αρχικού συντελεστή συσχέτισης ονοµάζεται κατάλοιπο. 14 βλ Σιάρδος (2002) κεφ.2 62

7 Χαµηλές τιµές των καταλοίπων δηλώνουν την αποτελεσµατικότητα του υποδείγµατος να αναπαραγάγει τα δεδοµένα. 4. Γίνεται η εξαγωγή των κύριων συνιστωσών που είναι ικανοί για την εκπροσώπηση των δεδοµένων µας. Ο πίνακας µε τον περιορισµένο αριθµό των συνιστωσών ονοµάζεται πίνακας κυρίων συνιστωσών. Η κάθε γραµµή αυτού του πίνακα εκφράζει την σχέση της µεταβλητής ως προς τις συνιστώσες. Οι συντελεστές αυτοί καλούνται επιβαρύνσεις και δηλώνουν πόσο κάθε συνιστώσα εξηγεί µια µεταβλητή. 5. Μερικές φορές οι µεταβλητές και οι συνιστώσες-παράγοντες δεν φαίνονται να συσχετίζονται κατά τρόπο εύκολα ερµηνεύσιµο. Σε αυτήν την περίπτωση ακολουθείται η περιστροφή των κυρίων συνιστωσών (δηλ. των ορθογώνιων αξόνων) έτσι ώστε να γίνει ευκολότερη η ερµηνεία τους. Μετά την περιστροφή η καθεµιά από τις µεταβλητές θα έχει µη µηδενικές επιβαρύνεις σε όσο το δυνατό λιγότερους παράγοντες, ή ακόµη και σε έναν µόνο παράγοντα. Το γεγονός αυτό βοηθάει στην ερµηνεία του παράγοντα. 6. Αν χρειάζεται να προχωρήσουµε σε παραγοντικές αναλύσεις δεύτερου ή υψηλότερου βαθµού, υπολογίζονται οι παραγοντικοί βαθµοί για κάθε περίπτωση και για κάθε κύρια συνιστώσα-παράγοντα. 6.7 Παραγοντική ανάλυση βαθµολογιών των υποψηφίων ανά δέσµη Το 1993 είχαµε υποψήφιους, οι οποίοι ήταν ταξινοµηµένοι ανά δέσµη. Στην κάθε δέσµη ο υποψήφιος εξεταζόταν πανελλαδικά σε τέσσερα µαθήµατα. Τα µαθήµατα αυτά θα αποτελέσουν τις µεταβλητές στην παρακάτω ανάλυση µας. Χρησιµοποιώντας την παραγοντική ανάλυση θα επιχειρήσουµε να εξαγάγουµε τους παράγοντες της µαθητικής απόδοσης από τις µεταβλητές- µαθήµατα. 63

8 Ο πρώτος πίνακας περιλαµβάνει τους αριθµητικούς µέσους όρους και τις τυπικές αποκλίσεις για καθεµιά από τις µεταβλητές-µαθήµατα και για κάθε µια από τις τέσσερις δέσµες. ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ 1ù ãõí ù ΤυπικÞ ΜÝσοò απüκλιση N 94, , ,34 41, , , , , ù ãõí ù ΤυπικÞ ΜÝσοò Απüκλιση N 110,29 29, ΦΥΣΙΚΗ 63, ΧΗΜΕΙΑ 96 52, ΒΙΟΛΟΓΙΑ , ù ãõí ù 4ù ãõí ù ΜÝσοò ΤυπικÞ Απüκλιση N 104,29 26, ΑΡΧΑΙΑ 98,41 41, ,75 49, ΛΑΤΙΝΙΚΑ122, ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙ ΟΛΟΓΙΑ ΤυπικÞ ΜÝσοò Απüκλιση N 79,49 34, , , ,70 58, Πίνακας Μέσοι όροι και τυπικές αποκλίσεις βαθµολογιών Το πρώτο βήµα στην παραγοντική ανάλυση, είναι να βρεθούν οι συσχετίσεις µεταξύ των µεταβλητών. Όπως προαναφέρθηκε στην θεωρία περί της παραγοντικής ανάλυσης, αν δεν υπάρχουν στατιστικά σηµαντικές συσχετίσεις µεταξύ των µεταβλητών, είναι σχεδόν αδύνατο αυτές οι µεταβλητές να µοιράζονται κοινούς παράγοντες. Ο παρακάτω πίνακας των συσχετίσεων ανά δέσµη δίνει αρκετά µεγάλες συσχετίσεις µεταξύ των βαθµολογιών των µαθηµάτων/µεταβλητών σε όλες τις δέσµες. Επίσης το παρατηρούµενο επίπεδο σηµαντικότητας/p-value για τον έλεγχο της µηδενικής υπόθεσης ότι η τιµή του συντελεστή συσχέτισης είναι µηδέν έναντι της εναλλακτικής ότι είναι διάφορη του µηδενός, βρέθηκε σε όλες τις συγκρίσεις ίση µε το µηδέν. 64

9 èø Œ í «ø «Ÿ 1ùí ãõí ùí ΣυντελεστÝò συσχýτισηò p-τιìþ ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ ΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚ ΧΗΜΕΑ 00,479,418 22,479 00,699,786,418,699 00,742 22,786, èø Œ í «ø «Ÿ 2ùí ãõí ùí ΣυντελεστÝò συσχýτισηò p-τιìþ ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ 00 05,610, ,787,693,610,787 00,826,644,693, èø Œ í «ø «Ÿ 3ùí ãõí ùí ΣυντελεστÝò συσχýτισηò p-τιìþ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ 00, ,614 00,753,790 49,753 00,753 55,790, èø Œ í «ø «Ÿ 4ùí ãõí ùí ΣυντελεστÝò συσχýτισηò p-τιìþ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ 00 50, ,701,697,617,701 00,828 99,697, Πίνακας Συντελεστές συσχέτισης βαθµολογιών 65

10 Συνεπώς οι συσχετίσεις µεταξύ των βαθµολογιών των µαθηµάτων/ µεταβλητών για όλες τις δέσµες είναι στατιστικά σηµαντικές. Το δεύτερο βήµα είναι να διαπιστωθεί, βάσει των ελέγχων, η χρήση της παραγοντικής ανάλυσης ως αποδεκτής στατιστικής µεθόδου για την ανάλυση των δεδοµένων µας. Μεγάλες τιµές του δείκτη Kaiser-Meyer-Olkin (άνω του 00), ως δείκτη σύγκρισης των µεγεθών των παρατηρούµενων συντελεστών συσχέτισης προς τους συντελεστές µερικής συσχέτισης, δηλώνουν ότι η µέθοδος της παραγοντικής ανάλυσης των µεταβλητών είναι αποδεκτή ως τεχνική για την ανάλυση των δεδοµένων. Όπως διαπιστώνουµε από τον παρακάτω πίνακα, οι τιµές του δείκτη ΚΜΟ είναι αρκετά υψηλές για όλες τις δέσµες και κυµαίνονται από 0,800-0,826. Ένας άλλος έλεγχος καταλληλότητας της παραγοντικής ανάλυσης αποτελεί ο έλεγχος σφαιρικότητας του Bartlett. Ο έλεγχος αυτός ελέγχει, χρησιµοποιώντας το στατιστικό χ 2, την υπόθεση ότι ο πίνακας συσχετίσεων δεν είναι ταυτοτικός και, συνεπώς, ότι το υπόδειγµα της παραγοντικής ανάλυσης είναι κατάλληλο. Όπως διαπιστώνουµε και για τις τέσσερις δέσµες έχουµε µεγάλες τιµές του χ 2, συνεπώς και απόρριψη της υπόθεσης ότι ο πίνακας συσχετίσεων είναι ταυτοτικός. KMO and Bartlett's Test 1ùí ãõí ùí KMO and Bartlett's Test 2ùí ãõí ùí Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.,800 Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.,801 Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square df Sig ,424 6,000 Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square df Sig ,414 6,000 KMO and Bartlett's Test 3ùí ãõí ùí KMO and Bartlett's Test 4ùí ãí ùí Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.,826 Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.,818 Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square df Sig ,977 6,000 Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square df Sig ,000 Πίνακας Έλεγχοι καταλληλότητας της παραγοντικής ανάλυσης 66

11 Κατόπιν αυτών των ελέγχων η παραγοντική ανάλυση κρίνεται αποδεκτή ως τεχνική ανάλυσης των δεδοµένων που εξετάζουµε. Συγκεκριµένα θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος της παραγοντικής ανάλυσης σε κύριες συνιστώσες. Σε αυτή την επιλογή οδηγηθήκαµε, όπως προαναφέρθηκε, από το γεγονός ότι στις άλλες µεθόδους της παραγοντικής ανάλυσης χρειάζονται περισσότερες των τεσσάρων µεταβλητών για την εξαγωγή περισσότερων του ενός παράγοντα όπου και αν χρειάζονταν. 6.8 Ανάλυση σε κύριες συνιστώσες Η ανάλυση σε κύριες συνιστώσες αποδίδει ισάριθµες κύριες συνιστώσες µε τις µεταβλητές, δηλαδή τέσσερις συνιστώσες για κάθε δέσµη. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το ποσοστό της ερµηνευόµενης διακύµανσης από την κάθε κύρια συνιστώσα. è «À ««À à Œ À à Œ ëà «1À ãω À è «À ««À à Œ À à Œ ëà «2À ãω À ΧαρακτηριστικÝò τιìýò % Σýνολο Äιακýìανσηò Σωρευτικü % 2,849 71,235 71,235,644 16,111 87,346, ,897,204 5, ΧαρακτηριστικÝò τιìýò % Σýνολο Äιακýìανσηò Σωρευτικü % 3,045 76,133 76, ,129 89,262,278 6,959 96,221,151 3, è «À ««À à Œ À à Œ ëà «3À ãω À è «À ««À à Œ À à Œ ëà «4À ãω À ΧαρακτηριστικÝò τιìýò % Σýνολο Äιακýìανσηò Σωρευτικü % 3,018 75,459 75, ,966 88,425,258 6,451 94,877,205 5, ΧαρακτηριστικÞ τιìþ % Σýνολο Äιακýìανσηò Σωρευτικü % 3,005 75,137 75,137,483 12,074 87,212, ,721,171 4, Πίνακας Ερµηνευόµενη διακύµανση από τις κύριες συνιστώσες 67

12 Όσο αφορά την 1 η δέσµη η διακύµανση που εξηγείται από την πρώτη κύρια συνιστώσα (χαρακτηριστική τιµή) είναι 2,849 (ποσοστό 71,23%), από την δεύτερη κύρια συνιστώσα 0,644 (ποσοστό 16,11%), ενώ το υπόλοιπο 002 (ποσοστό 12,654%) της διακύµανσης εξηγείται από τις υπόλοιπες δυο κύριες συνιστώσες. Για την 2 η δέσµη η διακύµανση που εξηγείται από την πρώτη κύρια συνιστώσα (χαρακτηριστική τιµή) είναι 3,045 (ποσοστό 76,133%), από την δεύτερη κύρια συνιστώσα 025 (ποσοστό 13,129%), ενώ το υπόλοιπο 0,429 (ποσοστό 10,738%) της διακύµανσης εξηγείται από τις υπόλοιπες δυο κύριες συνιστώσες. Για την 3 η δέσµη η διακύµανση που εξηγείται από την πρώτη κύρια συνιστώσα (χαρακτηριστική τιµή) είναι 3,018 (ποσοστό 75,45%), από την δεύτερη κύρια συνιστώσα 019 (ποσοστό 12,96%), ενώ το υπόλοιπο 0,463(ποσοστό 117%) της διακύµανσης εξηγείται από τις υπόλοιπες δυο κύριες συνιστώσες. Τέλος, για την 4 η δέσµη η διακύµανση που εξηγείται από την πρώτη κύρια συνιστώσα (χαρακτηριστική τιµή) είναι 3,005 (ποσοστό 75,137%), από την δεύτερη κύρια συνιστώσα 0,483 (ποσοστό 12,074%), ενώ το υπόλοιπο 011 (ποσοστό 12,788%) της διακύµανσης εξηγείται από τις υπόλοιπες δυο κύριες συνιστώσες. Επιπλέον των παραπάνω, σχετικά µε τον προσδιορισµό του αριθµού των συνιστωσών, ο Cattell συνιστά τη χρησιµοποίηση του ελέγχου της οµαλής µεταβολής της κλίσης, σύµφωνα µε το οποίο ο αριθµός των εξαγόµενων συνιστωσών θα είναι αυτός µετά τον οποίο παρατηρείται τάση ευθυγράµµισης της γραµµής που ενώνει τις τιµές των χαρακτηριστικών ριζών του αρχικού πίνακα των κυρίων συνιστωσών. Παρατηρώντας τα παρακάτω γραφήµατα χαρακτηριστικών ριζών για τις τέσσερις δέσµες, εντοπίζεται τάση ευθυγράµµισης µετά τη δεύτερη κύρια συνιστώσα σε όλες τις περιπτώσεις. 68

13 3,0 1η ÄÝσìη 3 2η ÄÝσìη 2 3,0 2, ,0 ΧαρακτηριστικÞ τιìþ ΧαρακτηριστικÞ τιìþ Αριθ. Κýριαò ò Αριθ. Κýριαò ò 3 3η ÄÝσìη 3 4η ÄÝσìη 3,0 3, ,0 2,0 ΧαρακτηριστικÞ τιìþ ΧαρακτηριστικÞ τιìþ Αριθ. Κýριαò ò Αριθ. Κýριαò ò ιάγραµµα Χαρακτηριστικές τιµές κύριων συνιστωσών σε κάθε δέσµη Οι χαρακτηριστικές τιµές της δεύτερης συνιστώσας σε όλες τις δέσµες είναι µικρότερες της µονάδας. Τα υπόλοιπα, όµως, κριτήρια συντείνουν στην εφαρµογή δύο κύριων συνιστωσών, µε σηµαντικότερο την χρησιµότητα ενός δεύτερου παράγοντα στην επεξήγηση των δεδοµένων. Έχοντας λοιπόν υπόψη το µεγάλο ποσοστό διακύµανσης που εξηγείται από τις δύο κύριες συνιστώσες, αλλά και από την τάση ευθυγράµµισης που υπάρχει µετά από αυτές, καταλήγουµε στην χρήση δύο κύριων συνιστωσώνπαραγόντων. 69

14 Στο επόµενο βήµα γίνεται η αναπαραγωγή του πίνακα συσχετίσεων βάσει των εκτιµώµενων δύο κύριων συνιστωσών για όλες τις δέσµες. Ο αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων περιλαµβάνει τους εκτιµώµενους συντελεστές συσχέτισης των µεταβλητών βάσει των συνιστωσών, καθώς και τα κατάλοιπα που αποτελούν τις διαφορές µεταξύ των εκτιµώµενων συντελεστών συσχέτισης και των αρχικών συντελεστών συσχέτισης. Στους αναπαραγόµενους πίνακες συσχετίσεων των δεσµών παρατηρούµε χαµηλές τιµές καταλοίπων. Αυτό δηλώνει την αποτελεσµατικότητα του υποδείγµατος της ανάλυσης σε δύο κύριες συνιστώσες να αναπαραγάγει µε τη µεγαλύτερη ακρίβεια τον αρχικό πίνακα συσχετίσεων. 1À ãω À Αναπαραγüìενοι συντελεστýò συσχýτισηò ΚατÜλοιπα ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙ ΚΘΕΣΗ ΚΑ ΦΥΣΙΚ ΧΗΜΕΑ,995,492,387 42,492,824,814,839,387,814,818,823 42,839,823,857-1,321E-02 3,040E-02-1,971E-02-1,321E-02 -,115-5,343E-02 3,040E-02 -,115-8,114E-02-1,971E-02-5,343E-02-8,114E-02 Πίνακας Αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων 1 ης δέσµης 70

15 Αναπαραγüìενοι συντελεστýò συσχýτισηò ΚατÜλοιπα ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ 2À ãω À ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ,971,449,626,706,449,872,860,787,626,860,894,851,706,787,851,833 5,630E E-02-6,155E-02 5,630E-02-7,297E-02-9,405E E-02-7,297E E-02-6,155E-02-9,405E E-02 Πίνακας Αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων 2 ης δέσµης 3À ãω À Αναπαραγüìενοι συντελεστýò συσχýτισηò ΚατÜλοιπο ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ,996, ,637,848,833,846 36,833,834,846 47,846,846,858-2,334E-02 1,287E-02 8,025E-03-2,334E-02-8,000E E-02 1,287E-02-8,000E-02-9,323E-02 8,025E E-02-9,323E-02 Πίνακας Αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων 3 ης δέσµης 4À ãω À Αναπαραγüìενοι συντελεστýò συσχýτισηò ΚατÜλοιπο ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟ ΤΙΚΑ ΛΟΓΙΑ,996 22,635,610 22,782,812,814,635,812,856,854,610,814,854,854 2,823E-02-1,826E-02-1,138E-02 2,823E-02 -,111 -,117-1,826E-02 -,111-2,602E-02-1,138E-02 -,117-2,602E-02 Πίνακας Αναπαραγόµενος πίνακας συσχετίσεων 4 ης δέσµης 71

16 Παρακάτω δίνονται οι πίνακες των κυρίων συνιστωσών µε τις αντίστοιχες παραγοντικές επιβαρύνσεις τους. Το τετράγωνο της παραγοντικής επιβάρυνσης εκφράζει το ποσοστό της συµµετοχής της κύριας συνιστώσας στην εξήγηση της διακύµανσης της µεταβλητής. Συνεπώς, το άθροισµα των τετραγώνων των παραγοντικών επιβαρύνσεων της µεταβλητής για τις αντίστοιχες συνιστώσες, είναι το ποσοστό της διακύµανσης της µεταβλητής που εξηγείται από αυτές. Το υπόλοιπο ποσοστό της διακύµανσης που δεν εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες σαν κοινή παραγοντική διακύµανση, οφείλεται στην µοναδικότητα της κάθε µεταβλητής. ü ëí à «1À ãω À ü ëí à «2À ãω À ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ 1 2,685,725,893 -,164,861 -,279,918 -,120 ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 2,778,605,860 -,364,932 -,163,913-6,760E-03 ü ëí à «3À ãω À ü ëí à «4À ãω À ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ 1 2,766,640,916 -,101,885 -,223,899 -,223 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ 1 2,786,615,851 -,240,915 -,137,909 -,169 Πίνακας Επιλεγµένες κύριες συνιστώσες κάθε δέσµης Αναλυτικά, για την 1 η δέσµη, η πρώτη συνιστώσα εξηγεί το 46,9% (= 0,685 2 ) της διακύµανσης της βαθµολογίας στην Έκθεση. Το ποσοστό της κοινής παραγοντικής διακύµανσης που εξηγείται από τις δυο κύριες συνιστώσες είναι 99,48% (0, ,725 2 ) για την Έκθεση, 82,43% για τα Μαθηµατικά, 81,19% για τη Φυσική και 85,71% για τη Χηµεία. Η διακύµανση που δεν 72

17 εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες είναι µικρή και κυµαινόµενη από 02% για την Έκθεση έως 18,81% για την Φυσική. Στη 2 η δέσµη η πρώτη κύρια συνιστώσα εξηγεί το 60% (= 0,778 2 ) της διακύµανσης της βαθµολογίας στην Έκθεση. Η κοινή παραγοντική διακύµανση που εξηγείται από τις δυο κύριες συνιστώσες είναι 97,13% (0, ,605 2 ) για την Έκθεση, 87,2% για τη Φυσική, 89% για τη Χηµεία και 83,3% για τη Βιολογία. Η διακύµανση που δεν εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες είναι από 2,7% για την Έκθεση έως 16,6% για την Βιολογία. Στην 3 η δέσµη η πρώτη συνιστώσα εξηγεί το 58,6% (= 0,766 2 ) της διακύµανσης της βαθµολογίας στην Έκθεση. Η κοινή παραγοντική διακύµανση που εξηγείται από τις δυο κύριες συνιστώσες είναι 99,63% για την Έκθεση, 84,92% για τα Αρχαία Ελληνικά, 83,29% για την Ιστορία και 85,79% για τα Λατινικά. Η διακύµανση που δεν εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες είναι κυµαινόµενη από 0,37% για την Έκθεση έως 16,71% για την Ιστορία. Τέλος, µε τον ίδιο τρόπο, στην 4 η δέσµη η πρώτη συνιστώσα εξηγεί το 61,17% της διακύµανσης της βαθµολογίας στην Έκθεση. Η κοινή παραγοντική διακύµανση που εξηγείται από τις δυο κύριες συνιστώσες είναι 98,99% για την Έκθεση, 78,1% για τα Μαθηµατικά, 85% για την Ιστορία και 85,45% για την Κοινωνιολογία. Η διακύµανση που δεν εξηγείται από τις κύριες συνιστώσες είναι κυµαινόµενη από 1% για την Έκθεση έως 21,9% για τα Μαθηµατικά. Από τα παραπάνω διαπιστώνουµε ότι µε την χρήση των δύο κύριων συνιστωσών εξηγείται το µεγαλύτερο ποσοστό διακύµανσης του µαθήµατος- µεταβλητής για κάθε δέσµη, ενώ το ανερµήνευτο κοµµάτι διακύµανσης της κάθε µεταβλητής παραµένει σχετικά χαµηλό. Σαν αποτέλεσµα αυτού, µπορεί να γίνει η αντιπροσώπευση των τεσσάρων µεταβλητών-µαθηµάτων από τις δύο κύριες συνιστώσες. 73

18 Με βασικό σκοπό την καλύτερη ερµηνεία των συνιστωσών, γίνεται περιστροφή των κυρίων συνιστωσών µε την τεχνική της ορθογωνικής περιστροφής µέγιστης διακύµανσης. Με αυτήν επιχειρείται να µεγιστοποιηθεί η διακύµανση των τετραγώνων των επιβαρύνσεων και να ελαχιστοποιηθεί ο αριθµός των µεταβλητών µε υψηλές επιβαρύνσεις σε κάθε παράγοντα, που θα βοηθήσει, έτσι, στην ερµηνεία των παραγόντων. Ακολουθώντας τη τεχνική της ορθογωνικής περιστροφής µέγιστης διακύµανσης ο παρακάτω πίνακας περιέχει τις επιβαρύνσεις των παραγόντων µετά την περιστροφή. Από εκεί µπορεί κανείς να εκφράσει κάθε µια µεταβλητή µε την χρήση των δύο συνιστωσών. ÿ Ÿ ÃŒæ è«ã»æ 1À ãω À ÿ Ÿ ÃŒæ è«ã»æ 2À ãω À ΈΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΉ ΧΗΜΕΊΑ 1 2,262,962,865,277,890,161,866,328 ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 2,293,941,914,193,858,399, ÿ Ÿ ÃŒæ è«ã»æ 3À ãω À ÿ Ÿ ÃŒæ è«ã»æ 4À ãω À ΑΡΧΑΙΑ ΛΑΤΙΝΙΚΑ 1 2,323,945,835,389,873,269,884,276 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝÙΝΙΟΛΟΓΙΑ 1 2,339,939,849,249,847,371,860,340 Πίνακας Επιλεγµένες κύριες συνιστώσες κάθε δέσµης µετά την ορθογωνική περιστροφή Έχουµε λοιπόν, την αντιπροσώπευση των τεσσάρων µεταβλητών της κάθε δέσµης από δύο κύριες συνιστώσες. Παρατηρούµε ότι µετά την εφαρµογή της τεχνικής της ορθογωνικής περιστροφής της µέγιστης διακύµανσης, η δεύτερη 74

19 κύρια συνιστώσα, ή αλλιώς ο δεύτερος παράγοντας, έχει υψηλές τιµές για την πρώτη µεταβλητή σε όλες τις δέσµες. Η πρώτη κύρια συνιστώσα έχει υψηλές τιµές παραγοντικών επιβαρύνσεων στις υπόλοιπες µεταβλητές. Η πρώτη µεταβλητή σε όλες τις δέσµες αποτελεί το µάθηµα της Έκθεσης, το οποίο αποτελεί και το µόνο κοινό µάθηµα σε όλες τις δέσµες. Έτσι λοιπόν, η Έκθεση µπορεί να ταυτοποιήσει την δεύτερη κύρια συνιστώσα, αφού οι παραγοντικές επιβαρύνσεις των άλλων µεταβλητών δείχνουν σαφώς µικρότερη συµµετοχή. Θα µπορούσαµε να ονοµάσουµε την δεύτερη κύρια συνιστώσα «Αναλυτικοσυνθετική Ικανότητα». Οι τρεις επόµενες µεταβλητές για κάθε δέσµη αποτελούν τα υπόλοιπα βασικά µαθήµατα που εξετάζονται οι υποψήφιοι και είναι διαφορετικά για κάθε δέσµη. ιαπιστώνουµε ότι σε όλες τις δέσµες το σύνολο των τριών µαθηµάτων-µεταβλητών, πλην της Έκθεσης, ταυτοποιεί την πρώτη κύρια συνιστώσα στην ανάλυση µας. Το κοινό µάθηµα της Έκθεσης δεν έχει έντονη παρουσία στην δηµιουργία αυτής της συνιστώσας, την οποία ονοµάζουµε «Ικανότητα Εκµάθησης- Αποστήθισης». Παρακάτω δίνονται τα διαγράµµατα διάταξης των µεταβλητών χρησιµοποιώντας τις δύο κύριες συνιστώσες. Είναι εµφανής και γραφικά η διαφορά της απόστασης της πρώτης µεταβλητής-µάθηµα από τις υπόλοιπες και για τις τέσσερις δέσµες. 75

20 Äιαγραììα κýριων συνιστωσþν ÄιÜγραììα κýριων συνιστωσþν 1ηò δýσìηò 2ηò δýσìηò Ýκθεση Ýκθεση κýρια συνιστþσα ìαθηìατ χηìεßα φυσικþ κýρια συνιστþσα βιολογßα χηìεßα φυσικþ κýρια συνιστþσα 1 κýρια συνιστþσα 1 ÄιÜγραìα κýριων συνιστωσþν 3ηò δýσìηò ÄιÜγραììα κýριων συνιστωσþν 4ηò δýσìηò Ýκθεση Ýκθεση κýρια συνιστþσα αρχαßα λατινικü ιστορßα κýρια συνιστþσα κοινωνιο ιστορßα ìαθηìατι κýρια συνιστþσα 1 κýρια συνιστþσα 1 ιάγραµµα ιαγράµµατα διάταξης µεταβλητών 6.9 Συµπεράσµατα Μετά την ανάλυση των δεδοµένων σε κύριες συνιστώσες καταλήξαµε στην αντιπροσώπευση των τεσσάρων µεταβλητών-µαθηµάτων της κάθε δέσµης από δύο κύριες συνιστώσες. Η πρώτη κύρια συνιστώσα, την οποία ονοµάσαµε «Ικανότητα Εκµάθησης- Αποστήθισης» αντιπροσωπεύει µια γενικότερη ικανότητα των µαθητών ως προς το διάβασµα, την αποστήθιση κειµένων καθώς και τεχνικών επίλυσης προβληµάτων. εν θα µπορούσε να χαρακτηριστεί τυχαίο το γεγονός ότι το µάθηµα της Έκθεσης έχει το µικρότερο παραγοντικό φορτίο στη παρουσίαση 76

21 αυτής της συνιστώσας. Αντίθετα, τα υπόλοιπα µαθήµατα τα οποία έχουν προδιαγεγραµµένη εξεταστική ύλη, απαιτούν αποστήθιση σε µεγάλο βαθµό και χρησιµοποιούν περισσότερο µεθόδους επίλυσης προβληµάτων, αποτελούν τον κύριο κορµό αυτής της συνιστώσας. Την δεύτερη κύρια συνιστώσα, την ονοµάσαµε «Αναλυτικοσυνθετική Ικανότητα». Σε αυτήν ξεφεύγουµε από τα πλαίσια της γενικότερης ικανότητας όπως αναφέραµε στην πρώτη κύρια συνιστώσα και παρουσιάζουµε την ικανότητα ανάλυσης και σύνθεσης των µαθητών σε ανοιχτά και µη δοµηµένα κατ ανάγκη προβλήµατα, όπως η διαπραγµάτευση ενός θέµατος Έκθεσης. Παρατηρώντας τους πίνακες των κύριων συνιστωσών επισηµαίνουµε τις µεγάλες παραγοντικές επιβαρύνσεις που υπάρχουν στο µάθηµα της Έκθεσης, σε αντίθεση µε τις παραγοντικές επιβαρύνσεις των άλλων µαθηµάτων στην αντιπροσώπευση της δεύτερης κύριας συνιστώσας. 77

22 78

Ιωάννης Τσαούσης, Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Ψυχολογίας

Ιωάννης Τσαούσης, Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Ψυχολογίας Η Ανάλυση Παραγόντων (Factor Analysis) Τι είναι η ανάλυση παραγόντων Σκοπός της ανάλυσης παραγόντων (ΑΠ) είναι να συνοψίσει τις σχέσεις ανάμεσα σε ένα μεγάλο αριθμό μεταβλητών με έναν περιεκτικό και ακριβή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΣΜΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΣΜΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΣΜΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε µε περιγραφικά στατιστικά µέτρα τις βαθµολογικές επιδόσεις των αποφοίτων της Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό διερευνούµε αν το να είναι κανείς υποψήφιος παλαιοτέρων ετών, που έχει δώσει τουλάχιστον µια φορά εξετάσεις, του προσδίδει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Συσχέτιση. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Συσχέτιση Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Οι επιδόσεις δέκα µαθητών σε τέσσερα µαθήµατα Μαθητής Άλγεβρα Φυσική Νέα Ελληνικά Μουσική Α 65 63 35 61 Β

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΥΡΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Α.Κ.Σ.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΥΡΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Α.Κ.Σ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΥΡΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Α.Κ.Σ. Μ-Ν ΝΤΥΚΕΝ Ορισμός Σκοπός της Α.Κ.Σ. Η Α.Κ.Σ. εντάσσεται στις μεθόδους διερευνητικής ανάλυσης (exploratory) συνθετικών φαινόμενων (Παραγοντικές μεθόδοι).

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4 υπολογίζονται τα κυριότερα στατιστικά µέτρα θέσης και µεταβλητότητας, κατασκευάζονται ιστογράµµατα συχνοτήτων και θηκογράµµατα για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11 ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ Εισαγωγή Όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1 υπάρχουν 154 υποψήφιοι που έχουν συµµετάσχει στις εξετάσεις των ετών 01 και 02. Για αυτούς γίνεται στο Κεφάλαιο 6 ξεχωριστή συγκριτική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ: Ανάλυση Πολυδιάστατων (Πολυμεταβλητών) Δεδομένων και Συστήματα Εξόρυξης Δεδομένων (Multivariate Data

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 3 υπολογίζονται και συγκρίνονται οι µέσες τιµές όλων των αριθµητικών µεταβλητών που είναι ο γραπτός µέσος όρος όλων των µαθηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Συσχέτιση

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Συσχέτιση Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Συσχέτιση Οι επιδόσεις δέκα μαθητών σε τέσσερα μαθήματα Μαθητής Άλγεβρα Φυσική Νέα Ελληνικά Μουσική Α 65 63 35 61 Β 60 58 38 35 Γ 60 60 40 46

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15. Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης. Παραγοντική

Κεφάλαιο 15. Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης. Παραγοντική Κεφάλαιο 15 Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης 1 Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη των επιδράσεων περισσότερων από µια ανεξάρτητων µεταβλητών στην εξαρτηµένη καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 5.1 Γενικές παρατηρήσεις Παρατηρείται αύξηση του αριθµού των µαθητών κατά 7,37% κατά το σχολικό έτος 2001-02 σε σχέση µε το σχολικό έτος 2000-01. Σχόλιο:

Διαβάστε περισσότερα

1. Στατιστική Στοιχεία

1. Στατιστική Στοιχεία Στην παρούσα ενότητα γίνεται µια ανάλυση-σύγκριση των στοιχείων που προέκυψαν από την ανά τµήµα ανάλυση, ώστε να εξαχθεί µια σφαιρική εικόνα, σε σχέση µε τις οµοιότητες και διαφορές που διαπιστώνονται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Σύνολο νοµού Αργολίδας.. Γενικές παρατηρήσεις Γίνεται φανερό από την ανάλυση, που προηγήθηκε, πως η επίδοση των υποψηφίων του νοµού Αργολίδας, αλλά και η κατανοµή της βαθµολογίας

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το σύστηµα των Γενικών Εξετάσεων για την εισαγωγή στην τριτοβάθµια εκπαίδευση το οποίο ίσχυσε την περίοδο 1983-1999 και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 14 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 1 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Λογική παρόµοια

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα Καλλιγερόπουλος 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Η εξωτερική συµπεριφορά ενός συστήµατος ορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΑ Η συλλογή των στατιστικών δεδοµένων αποτελεί σηµαντικό στάδιο κάθε Στατιστικής έρευνας. Απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή, διότι,

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS

Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS 1. Εισαγωγή Άγγελος Μάρκος Αλεξανδρούπολη, 04.04.2013 Η μέτρηση στις επιστήμες της συμπεριφοράς συχνά στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

Το Νέο Λύκειο. Α Λυκείου

Το Νέο Λύκειο. Α Λυκείου ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΓΝΩΣΗ» Το Νέο Λύκειο Στους µαθητές που θα φοιτήσουν φέτος (2013-2014) στην Α Λυκείου θα αρχίσει να εφαρµόζεται η νέα δοµή του Λυκείου. Για την εισαγωγή στην τριτοβάθµια εκπαίδευση θα µετράει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΥΠΟΠΙΝΑΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΛΗΣΙΕΣΤΕΡΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΕΣΩ ΤΗΣ AFC ΣΤΟ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΑ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΥΠΟΠΙΝΑΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΛΗΣΙΕΣΤΕΡΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΕΣΩ ΤΗΣ AFC ΣΤΟ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΑ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2005) σελ.247-256 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΥΠΟΠΙΝΑΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΛΗΣΙΕΣΤΕΡΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΕΣΩ ΤΗΣ AFC ΣΤΟ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΜΠΤΩΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών Κεφάλαιο 8 Ο είκτης Συσχέτισης 1 Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών ηλαδή, µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Βιομηχανικής Διοίκησης και Επιχειρησιακής Έρευνας

Τομέας Βιομηχανικής Διοίκησης και Επιχειρησιακής Έρευνας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Βιομηχανικής Διοίκησης και Επιχειρησιακής Έρευνας Έρευνα Αγοράς Μέρος 2 ο - Έλεγχοι Συσχέτισης και Πολυμεταβλητή Στατιστική 1 Περιεχόμενα 1. Έλεγχοι Συσχετίσεων Δύο Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Συσχέτιση. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη,

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Συσχέτιση. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Συσχέτιση Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Οι επιδόσεις δέκα μαθητών σε τέσσερα μαθήματα Μαθητής Άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Χρήσιμες Οδηγίες Με την βοήθεια του λογισμικού E-views να απαντήσετε στα ερωτήματα των επόμενων σελίδων, (οι απαντήσεις πρέπει να περαστούν

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 8ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 8ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 8ο Επιλογή του αριθμού των χρονικών υστερήσεων Στις περισσότερες οικονομικές χρονικές σειρές υπάρχει υψηλή συσχέτιση μεταξύ της τρέχουσας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF)

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) ΜΑΘΗΜΑ 5ο Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) Στον έλεγχο των Dickey Fuller (DF) και στα τρία υποδείγματα που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως κάνουμε την υπόθεση ότι ο διαταρακτικός όρος e είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ναταλία Δ. Μαύρου

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ναταλία Δ. Μαύρου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ναταλία Δ. Μαύρου ΑΘΗΝΑ,

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στην Γ' Λυκείου τα µαθήµατα γενικής παιδείας µειώνονται σε 5 και οι µαθητές παράλληλα µε αυτά παρακολουθούν µία εκ των τριών οµάδων προσανατολισµού:

Στην Γ' Λυκείου τα µαθήµατα γενικής παιδείας µειώνονται σε 5 και οι µαθητές παράλληλα µε αυτά παρακολουθούν µία εκ των τριών οµάδων προσανατολισµού: Στην Γ' Λυκείου τα µαθήµατα γενικής παιδείας µειώνονται σε 5 και οι µαθητές παράλληλα µε αυτά παρακολουθούν µία εκ των τριών οµάδων προσανατολισµού: Ανθρωπιστικές Σπουδές Θετικές- Τεχνολογικές Σπουδές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα Προσαρµοστικής. Μαθητών Ε' & ΣΤ' ηµοτικού (ενότητα: Λογιστικά Φύλλα) Παρταλάς Σωκράτης M27/11

Σύστηµα Προσαρµοστικής. Μαθητών Ε' & ΣΤ' ηµοτικού (ενότητα: Λογιστικά Φύλλα) Παρταλάς Σωκράτης M27/11 ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σύστηµα Προσαρµοστικής Μάθησης για την Αξιολόγηση Μαθητών Ε' & ΣΤ' ηµοτικού (ενότητα: Λογιστικά Φύλλα) Παρταλάς Σωκράτης M27/11 Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Όπως έχει αποδειχθεί (βλέπε π.χ. Ε. Ξεκαλάκη και Ι. Πανάρετο 993) οι αναµενόµενες τιµές E( ) και E( m ) παρέχουν σηµαντικές πληροφορίες σχετικά µε την κατανοµή µιας πραγµατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Ανάλυση Δεδομένων (Εργαστήριο) Διαφάνεια 2

Διαβάστε περισσότερα

ειγµατοληπτική έρευνα: Υποκλοπή προσωπικών δεδοµένων στο ιαδίκτυο

ειγµατοληπτική έρευνα: Υποκλοπή προσωπικών δεδοµένων στο ιαδίκτυο ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΤΕΥΧΟΣ 15 (σσ. 54-65) DATA ANALYSIS BULLETIN, ISSUE 15 (pp. 54-65) ειγµατοληπτική έρευνα: Υποκλοπή προσωπικών δεδοµένων στο ιαδίκτυο Νικόλαος Φαρµάκης και Ιωάννα Παπατσούµα

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων Βασίλης Αγγελής Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα