Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων"

Transcript

1 Δραστηριότητα 13 Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων Ηλικιακή Ομάδα Απαιτούμενες Ικανότητες Χρόνος Μέγεθος ομάδας Aπό τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού και πάνω. Χρωματισμός. 30 λεπτά ή και περισσότερο. Κατάλληλη για μεμονωμένα άτομα μέχρι και για μια ολόκληρη τάξη. Εστίαση Επίλυση προβλημάτων. Λογική συλλογιστική. Αλγοριθμικές διαδικασίες και πολυπλοκότητα. Περιγραφή διαισθητικών αντιλήψεων. Περίληψη Πολλά προβλήματα βελτιστοποίησης αφορούν καταστάσεις στις οποίες ορισμένα γεγονότα δεν μπορούν να συμβούν την ίδια στιγμή ή ορισμένα μέλη ενός συνόλου αντικειμένων δεν μπορούν να είναι γειτονικά. Για παράδειγμα, όποιος έχει προσπαθήσει να φτιάξει ένα πρόγραμμα μαθημάτων ή συναντήσεων θα έχει αντιμετωπίσει το πρόβλημα ικανοποίησης των περιορισμών που θέτουν οι εμπλεκόμενοι. Πολλές από αυτές τις δυσκολίες αποκρυσταλλώνονται στο πρόβλημα χρωματισμού γράφων, στο οποίο πρέπει να επιλεχθούν χρώματα για τις χώρες ενός χάρτη με τέτοιον τρόπο ώστε γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικά χρώματα. Αυτή η δραστηριότητα αφορά το συγκεκριμένο πρόβλημα. Τεχνικοί Όροι Υλικά Χρωματισμός γράφων. Αλγόριθμοι εκθετικού χρόνου. Ευριστικές μέθοδοι. Για κάθε παιδί θα χρειαστείτε: ένα αντίγραφο των ασπρόμαυρων πρωτοτύπων από τις σελ. 138 έως 141, μικροί μετακινούμενοι χρωματιστοί δείκτες (π.χ. μάρκες, πούλια, πιόνια) και τέσσερις κηρομπογιές διαφορετικού χρώματος (ή ξυλομπογιές, μαρκαδόρους, κλπ.) Θα χρειαστείτε επίσης: έναν πίνακα ή παρόμοια επιφάνεια γραφής. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

2 Τι να κάνετε Σχήμα 13.1: Δείγμα ενός χάρτη προς χρωματισμό. Αυτή η δραστηριότητα περιστρέφεται γύρω από μια ιστορία, στην οποία έχει ζητηθεί από τα παιδιά να βοηθήσουν έναν χαρτογράφο που χρωματίζει τις χώρες σε έναν χάρτη. Δεν έχει σημασία τι χρώμα έχει η κάθε χώρα, αρκεί να είναι διαφορετικό από εκείνο στις γειτονικές χώρες. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 13.1 φαίνονται τέσσερις χώρες. Αν χρωματίσουμε τη Βορειοχώρα κόκκινη, τότε η Δυτικοχώρα και η Ανατολικοχώρα δεν μπορούν να είναι κόκκινες, γιατί έτσι θα ήταν δύσκολο να διακρίνουμε τα σύνορά τους με την Βορειοχώρα. Θα μπορούσαμε να χρωματίσουμε την Δυτικοχώρα πράσινη και είναι επίσης αποδεκτό να χρωματίσουμε και την Ανατολικοχώρα πράσινη, αφού δεν έχει κοινά σύνορα με την Δυτικοχώρα. (Αν δύο χώρες έχουν μόνο ένα κοινό σημείο τότε δε θεωρείται οτι συνορεύουν, επομένως μπορούν να χρωματιστούν με το ίδιο χρώμα.) Η Νοτιοχώρα μπορεί να χρωματιστεί κόκκινη και καταλήγουμε να χρειαζόμαστε μόνο δύο χρώματα για το χάρτη. Στην ιστορία μας, ο χαρτογράφος είναι φτωχός και δεν έχει χρήματα για πολλά χρώματα, οπότε η ιδέα είναι να χρησιμοποιηθούν όσο λιγότερα χρώματα γίνεται. 1. Περιγράψτε το πρόβλημα πάνω στο οποίο θα δουλέψουν τα παιδιά, επιδεικνύοντας τη διαδικασία χρωματισμού στον πίνακα. 2. Μοιράστε το ασπρόμαυρο πρωτότυπο της σελ Αυτός ο χάρτης μπορεί να χρωματιστεί σωστά χρησιμοποιώντας μόνο δύο χρώματα. Αν και ο περιορισμός του πλήθους των χρωμάτων σε δύο μπορεί να ακούγεται ως μεγάλη πρόκληση, το πρόβλημα είναι αρκετά απλό σε σύγκριση με χάρτες που απαιτούν περισσότερα χρώματα επειδή υπάρχουν πολύ λίγες επιλογές χρωμάτων για κάθε χώρα. Βάλτε τα παιδιά να δοκιμάσουν να χρωματίσουν το χάρτη χρησιμοποιώντας μόνο δύο χρώματα. Στην πορεία ίσως ανακαλύψουν τον κανόνα του πρέπει-να-είναι : όταν μια χώρα χρωματιστεί, τότε κάθε γειτονική χώρα πρέπει να έχει το αντίθετο 130

3 χρώμα. Αυτός ο κανόνας εφαρμόζεται επαναληπτικά μέχρι όλες οι χώρες να έχουν χρωματιστεί. Είναι προτιμότερο τα παιδιά να ανακαλύψουν μόνα τους αυτόν τον κανόνα, αντί να τους τον πουν, καθώς θα τους δώσει καλύτερη διαισθητική κατανόηση της διαδικασίας. Το Σχήμα 13.2 δείχνει την μοναδική δυνατή λύση για τον χάρτη της σελ. 138 (φυσικά, η επιλογή χρωμάτων εξαρτάται από το παιδί, αλλά χρειάζονται μόνο δύο διαφορετικά). Σχήμα 13.2: Λύση για το χρωματισμό του χάρτη στη σελ. 138, χρησιμοποιώντας μόνο δύο χρώματα. Τα παιδιά επίσης ίσως ανακαλύψουν οτι είναι καλύτερο να χρησιμοποιούν κάποιου είδους μετακινούμενους δείκτες, όπως χρωματιστές μάρκες ή πούλια, αντί να χρωματίζουν αμέσως τις χώρες, αφού έτσι είναι ευκολότερο να αλλάξουν γνώμη. 3. Καθώς τα παιδιά ολοκληρώνουν κάθε άσκηση, τους δίνεται η επόμενη. Ο χάρτης στο πάνω μέρος της σελ. 139 μπορεί να χρωματιστεί σωστά χρησιμοποιώντας τρία χρώματα, ενώ εκείνος στο κάτω μέρος απαιτεί τέσσερα. Πιθανές λύσεις φαίνονται στο Σχήμα Ο χάρτης στη σελ. 140 είναι ένας απλούστερος χάρτης τριών χρωμάτων, με μια πιθανή λύση να φαίνεται στο Σχήμα

4 Σχήμα 13.3: Λύσεις για τον χρωματισμό των χαρτών στη σελ. 139, χρησιμοποιώντας αντίστοιχα μόνο τρία και τέσσερα χρώματα. Αν πρόκειται για μεγαλύτερα παιδιά, ζητήστε τους να εξηγήσουν πως γνωρίζουν οτι έχουν βρει τον ελάχιστο δυνατό αριθμό χρωμάτων. Για παράδειγμα, απαιτούνται τουλάχιστον τρία χρώματα για τον χάρτη επειδή ο χάρτης περιλαμβάνει μια ομάδα τριών χωρών, κάθε μια από τις οποίες συνορεύει με τις άλλες δύο. 4. Αν κάποιο παιδί ολοκληρώσει νωρίς τις εργασίες, ζητήστε του να προσπαθήσει να κατασκευάσει έναν χάρτη που απαιτεί πέντε διαφορετικά χρώματα. Έχει αποδειχθεί οτι οποιοσδήποτε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί μόνο με τέσσερα χρώματα, οπότε αυτό το πρόβλημα θα πρέπει να το κρατήσει απασχολημένο για αρκετή ώρα! Από την εμπειρία μας, τα παιδιά θα βρουν γρήγορα χάρτες που πιστεύουν οτι χρειάζονται πέντε χρώματα, αλλά φυσικά είναι πάντα εφικτό να βρεθεί για τους χάρτες τους μια λύση με τέσσερα χρώματα. 132

5 Σχήμα 13.4: Λύση για τον χρωματισμό του χάρτη στη σελ. 140, χρησιμοποιώντας μόνο τρία χρώματα. Παραλλαγές και Επεκτάσεις Υπάρχει ένας απλός τρόπος να κατασκευαστούν χάρτες που απαιτούν μόνο δύο χρώματα, όπως εκείνος στη σελ. 141 (λύση στο Σχήμα 13.5). Αυτός ο χάρτης κατασκευάστηκε επιθέτοντας κλειστά σχήματα (γραμμές των οποίων η αρχή συμπίπτει με το τέλος). Μπορείτε να σχεδιάσετε οποιοδήποτε πλήθος από τέτοια σχήματα, το ένα πάνω στο άλλο, και θα καταλήξετε πάντα με ένα χάρτη που μπορεί να χρωματιστεί με δύο χρώματα. Τα παιδιά μπορούν να πειραματιστούν με τη δημιουργία ενός τέτοιου χάρτη. Τέσσερα χρώματα είναι πάντα αρκετά για να χρωματιστεί ένας χάρτης σχεδιασμένος σε μια κόλλα χαρτί ή σε μια σφαίρα (όπως η υδρόγειος). Μπορεί κανείς να αναρωτηθεί (όπως οι επιστήμονες που πληρώνονται για να το κάνουν) πόσα χρώματα χρειάζονται για χάρτες που είναι σχεδιασμένοι σε πιο παράξενες επιφάνειες, όπως ένας δακτύλιος. Σε αυτήν την περίπτωση, θα μπορούσε κάποιος να χρειαστεί πέντε χρώματα και πέντε είναι πάντα αρκετά. Ίσως τα παιδιά θα ήθελαν να πειραματιστούν με κάτι τέτοιο. Υπάρχουν πολλές άλλες διασκεδαστικές παραλλαγές του προβλήματος χρωματισμού χαρτών, που οδηγούν σε κατευθύνσεις όπου πολλά πράγματα είναι προς το παρόν άγνωστα. 133

6 Σχήμα 13.5: Λύση για τον χρωματισμό του χάρτη στη σελ. 141, χρησιμοποιώντας μόνο δύο χρώματα. Τα χρώματα αναπαριστώνται ως σκιασμένο και λευκό. Για παράδειγμα, όταν χρωματίζω μόνος μου έναν χάρτη σε ένα φύλλο χαρτί, τότε γνωρίζω πως αν εργαστώ έξυπνα επαρκούν τέσσερα χρώματα. Αλλά υποθέστε πως αντί να δουλεύω μόνος μου, δουλεύω με έναν ανίκανο (ή ίσως και αντίπαλο) συνεργάτη. Υποθέστε οτι εργάζομαι έξυπνα, ενώ ο συνεργάτης μου λειτουργεί απλά νόμιμα, καθώς χρωματίζουμε τις χώρες του χάρτη εναλλάξ. Πόσα χρώματα χρειάζεται να διαθέτουμε ώστε η εξυπνάδα μου να αναπληρώσει τις νόμιμες αλλά όχι και τόσο έξυπνες (ή ίσως και ανατρεπτικές) κινήσεις του συνεργάτη μου; Προς το παρόν γνωρίζουμε οτι 33 χρώματα θα είναι πάντα αρκετά, αλλά δε γνωρίζουμε αν απαιτούνται πάντα τόσα πολλά χρώματα. (Οι ειδικοί εικάζουν οτι λιγότερα από 10 χρώματα είναι επαρκή.) Στα παιδιά ίσως αρέσει να υποδυθούν αυτή την κατάσταση, που μοιάζει περισσότερο με παιχνίδι δύο παικτών. Σε μια παραλλαγή γνωστή ως αυτοκρατορικός χρωματισμός, ξεκινάμε με δύο διαφορετικούς χάρτες σε δύο ξεχωριστά φύλλα χαρτί, με το ίδιο πλήθος χωρών. Κάθε χώρα σε έναν από τους χάρτες (ας πούμε, στη Γη) είναι ζευγαρωμένη με ακριβώς μια χώρα στον άλλο χάρτη (που θα μπορούσε να είναι αποικίες στη Σελήνη). Επιπροσθέτως με τη συνήθη απαίτηση να έχουν διαφορετικό χρώμα οι χώρες που γειτνιάζουν (και για τους δύο χάρτες) προσθέτουμε την απαίτηση οτι κάθε χώρα στη Γη πρέπει να έχει το ίδιο χρώμα με την αποικία της στη Σελήνη. Πόσα χρώματα χρειαζόμαστε για αυτό το πρόβλημα; Η απάντηση είναι προς το παρόν άγνωστη. 134

7 Σχήμα 13.6: Παράδειγμα γράφου. Περί τίνος πρόκειται Σχήμα 13.7: Ένας άλλος γράφος. Το πρόβλημα χρωματισμού χαρτών που διερευνήσαμε σε αυτήν τη δραστηριότητα είναι ουσιαστικά η εύρεση του ελάχιστου αριθμού χρωμάτων (δύο, τρία ή τέσσερα) που είναι απαραίτητα για να χρωματίσει κανείς έναν δεδομένο χάρτη. Η εικασία οτι οποιοσδήποτε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί χρησιμοποιώντας μόνο τέσσερα χρώματα διατυπώθηκε το 1852, αλλά δεν αποδείχθηκε μέχρι το Η Πληροφορική είναι γεμάτη ανοιχτά προβλήματα και γνωρίζοντας οτι το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων αποδείχθηκε αφού είχε λάβει την προσοχή των ερευνητών για περισσότερα από 120 χρόνια είναι μια ενθάρρυνση για όσους εργάζονται σε άλλα προβλήματα των οποίων η λύση τους διαφεύγει για δεκαετίες. Ο χρωματισμός χαρτών ανήκει σε μια γενική κατηγορία προβλημάτων γνωστή ως χρωματισμός γράφων. Στην Πληροφορική, ο γράφος είναι μια αφαιρετική αναπαράσταση σχέσεων [σ.σ. μεταξύ οντοτήτων]. Ένα παράδειγμα απεικονίζεται στο Σχήμα [...] Στην πληροφορική, οι γράφοι σχεδιάζονται χρησιμοποιώντας κύκλους ή μεγάλες τελείες, που αποκαλούνται κόμβοι και αναπαριστούν αντικείμενα, με γραμμές ανάμεσά τους που υποδεικνύουν κάποιου είδους σχέση ανάμεσα στα αντικείμενα. Ο 135

8 γράφος στο Σχήμα 13.6 τυχαίνει να αναπαριστά το χάρτη του Σχήματος Οι κόμβοι αναπαριστούν τις χώρες και μια γραμμή ανάμεσα σε δύο κόμβους υποδεικνύει οτι αυτές οι δύο χώρες μοιράζονται κοινά σύνορα. Στο γράφο, ο κανόνας χρωματισμού είναι οτι δύο συνδεδεμένοι κόμβοι δεν επιτρέπεται να έχουν το ίδιο χρώμα. Σε αντίθεση με έναν χάρτη, δεν υπάρχει όριο στο πλήθος των χρωμάτων που θα μπορούσαν να απαιτούνται για τον χρωματισμό ενός γενικού γράφου, επειδή πολλοί περιορισμοί μπορούν να σχεδιαστούν ως συνδέουσες γραμμές, ενώ η δισδιάστατη φύση των χαρτών περιορίζει τους πιθανούς τρόπους διευθέτησης. Το πρόβλημα χρωματισμού γράφων είναι να βρει κανείς τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων που απαιτείται για το χρωματισμό ενός συγκεκριμένου χάρτη. Το Σχήμα 13.7 δείχνει έναν άλλο γράφο. Εδώ οι κόμβοι αντιστοιχούν σε σχολικά μαθήματα. Μια γραμμή ανάμεσα σε δύο μαθήματα δείχνει οτι τουλάχιστον ένας μαθητής παρακολουθεί και τα δύο μαθήματα, οπότε δεν επιτρέπεται να διεξαχθούν την ίδια διδακτική ώρα. Χρησιμοποιώντας αυτήν την αναπαράσταση, το πρόβλημα της εύρεσης ενός εφικτού προγράμματος χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο αριθμό διδακτικών ωρών είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα του χρωματισμού, όπου τα διαφορετικά χρώματα αντιστοιχούν σε διαφορετικές διδακτικές ώρες. Οι αλγόριθμοι χρωματισμού γράφων έχουν μεγάλο ενδιαφέρον στην πληροφορική και χρησιμοποιούνται σε πολλά προβλήματα του πραγματικού κόσμου, αν και πιθανότατα δε χρησιμοποιούνται ποτέ για να χρωματίσουν χάρτες! Ο φτωχός μας χαρτογράφος είναι επινοημένος. Υπάρχουν κυριολεκτικά χιλιάδες άλλα προβλήματα βασισμένα σε γράφους. Κάποια περιγράφονται αλλού σε αυτό το βιβλίο, όπως τα ελάχιστο δέντρο κάλυψης (minimal spanning tree) της Δραστηριότητας 9 και τα κυρίαρχα σύνολα (dominating sets) της Δραστηριότητας 14. Οι γράφοι είναι ένας πολύ γενικός τρόπος αναπαράστασης δεδομένων και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν διαφόρων ειδών καταστάσεις, όπως οι διαθέσιμες διαδρομές για να ταξιδέψει κανείς μεταξύ πόλεων, διασυνδέσεις μεταξύ των ατόμων ενός μορίου, διαδρομές που μπορούν να ακολουθήσουν τα μηνύματα σε ένα δίκτυο υπολογιστών, διασυνδέσεις μεταξύ των εξαρτημάτων μιας πλακέτας και σχέσεις ανάμεσα στις εργασίες που απαιτούνται για τη διεκπεραίωση ενός μεγάλου έργου. Για το λόγο αυτό, τα προβλήματα που περιλαμβάνουν αναπαραστάσεις με γράφους συναρπάζουν εδώ και καιρό τους επιστήμονες της πληροφορικής. Πολλά από τα προβλήματα αυτά είναι πολύ δύσκολα όχι δύσκολα εννοιολογικά, αλλά δύσκολα επειδή χρειάζονται πολύ χρόνο για να επιλυθούν. Για παράδειγμα, ο καθορισμός της αποδοτικότερης λύσης για ένα πρόβλημα χρωματισμού γράφου μεσαίου μεγέθους όπως η εύρεση του καλύτερου προγράμματος για ένα σχολείο με τριάντα καθηγητές και 800 μαθητές θα έπαιρνε χρόνια, ίσως και αιώνες, με έναν υπολογιστή που θα χρησιμοποιούσε τον καλύτερο γνωστό αλγόριθμο. Μέχρι να βρεθεί η λύση το πρόβλημα δε θα είχε πια σημασία και μάλιστα υποθέτοντας οτι ο υπολογιστής δε θα χαλάσει η φθαρεί μέχρι να τελειώσει! Τέτοια προβλήματα λύνονται στην πράξη απλά επειδή ικανοποιούμαστε με υπο-βέλτιστες, αλλά και πάλι πολύ καλές, λύσεις. Αν επιμέναμε να εγγυηθούμε οτι η ευρισκόμενη λύση ήταν η καλύτερη δυνατή, το πρόβλημα δε θα ήταν διαχειρίσιμο. Ο χρόνος που χρειάζεται ένας υπολογιστής για να λύσει προβλήματα χρωματισμού αυξάνεται εκθετικά με το μέγεθος του γράφου. Σκεφτείτε το πρόβλημα χρωματισμού 136

9 χαρτών. Μπορεί να λυθεί δοκιμάζοντας όλους τους πιθανούς τρόπους χρωματισμού του χάρτη. Γνωρίζουμε οτι απαιτούνται το πολύ τέσσερα χρώματα, οπότε χρειάζεται να αξιολογήσουμε κάθε συνδυασμό αναθέσεων των τεσσάρων χρωμάτων στις χώρες. Αν οι χώρες είναι n, υπάρχουν 4 n συνδυασμοί. Αυτός ο αριθμός μεγαλώνει ραγδαία: για κάθε χώρα που προστίθεται το πλήθος των συνδυασμών πολλαπλασιάζεται επί τέσσερα, άρα τετραπλασιάζεται και ο χρόνος λύσης. Ακόμα κι αν κατασκευάζονταν ένας υπολογιστής που θα μπορούσε να λύσει το πρόβλημα για, π.χ., πενήντα χώρες σε μια ώρα, η προσθήκη μιας χώρας θα απαιτούσε τέσσερις ώρες και θα χρειαζόνταν να προσθέσουμε μόνο δέκα χώρες για να κάνουμε τον υπολογιστή να χρειαστεί περισσότερο από έναν χρόνο για να βρει τη λύση. Αυτού του είδους το πρόβλημα δεν πρόκειται να εξαφανιστεί όσο κι αν εξακολουθούμε να κατασκευάζουμε ολοένα ταχύτερους υπολογιστές! Ο χρωματισμός γράφων είναι ένα καλό παράδειγμα προβλήματος του οποίου ο χρόνος επίλυσης αυξάνεται εκθετικά. Για πολύ απλά στιγμιότυπα του προβλήματος, όπως οι μικροί χάρτες αυτής της δραστηριότητας, είναι αρκετά εύκολο να βρεθεί η βέλτιστη λύση, αλλά καθώς το πλήθος των χωρών αυξάνεται πέρα από τις δέκα, η χειρωνακτική επίλυση του προβλήματος γίνεται πολύ δύσκολη και με περισσότερες από εκατό χώρες ακόμα και ένας υπολογιστής θα χρειαζόνταν πολλά χρόνια για να δοκιμάσει όλους τους δυνατούς τρόπους χρωματισμού του χάρτη, ώστε να διαλέξει τον βέλτιστο. Πολλά προβλήματα του πραγματικού κόσμου είναι έτσι, αλλά πρέπει να λυθούν ούτως ή άλλως. Οι επιστήμονες της Πληροφορικής χρησιμοποιούν μεθόδους που δίνουν καλά, αλλά όχι τέλεια, αποτελέσματα. Αυτές οι ευριστικές τεχνικές είναι συχνά πολύ κοντά στο βέλτιστο, πολύ γρήγορες στον υπολογισμό και παρέχουν επαρκείς και πρακτικές λύσεις. Τα σχολεία μπορούν να ανεχτούν τη χρήση μιας επιπλέον τάξης που δε θα ήταν απαραίτητη αν το ωρολόγιο πρόγραμμα ήταν τέλειο και ίσως ο φτωχός χαρτογράφος μπορεί να έχει αρκετά χρήματα για ένα επιπλέον χρώμα, ακόμα κι αν δεν είναι απολύτως απαραίτητο. Κανείς δεν έχει αποδείξει οτι δεν υπάρχει ένας αποδοτικός τρόπος επίλυσης αυτών των προβλημάτων σε συμβατικούς υπολογιστές, αλλά επίσης κανείς δεν έχει αποδείξει οτι υπάρχει, και οι επιστήμονες της πληροφορικής είναι επιφυλακτικοί αν θα βρεθεί ποτέ μια αποδοτική μέθοδος. Θα μάθουμε περισσότερα για τέτοιου είδους προβλήματα στις επόμενες δύο δραστηριότητες. Περισσότερες πληροφορίες Ο Harel πραγματεύεται το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, συμπεριλαμβανομένης και της ιστορίας του, στο βιβλίο Algorithmics. Περισσότερες πτυχές του προβλήματος χρωματισμού χαρτών συζητούνται στο This is MEGA-Mathematics! από τους Casey και Fellows. Περισσότερες πληροφορίες για τον χρωματισμό γράφων μπορουν να βρεθούν στο βιβλίο των Beineke και Wilson Selected Topics in Graph Theory και στο βιβλίο των Garey και Johnson Computers and Intractability. Μεταφράστηκε στα ελληνικά από τον Γιώργο Μπουκέα, το Φεβρουάριο του Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

10 Οδηγίες: Χρωματίστε τις χώρες σε αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα χρώματα, αλλά βεβαιωθείτε οτι όλες οι γειτονικές χώρες έχουν διαφορετικό χρώμα. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

11 Οδηγίες: Χρωματίστε τις χώρες σε αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα χρώματα, αλλά βεβαιωθείτε οτι όλες οι γειτονικές χώρες έχουν διαφορετικό χρώμα. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

12 Οδηγίες: Χρωματίστε τις χώρες σε αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα χρώματα, αλλά βεβαιωθείτε οτι όλες οι γειτονικές χώρες έχουν διαφορετικό χρώμα. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

13 Οδηγίες: Χρωματίστε τις χώρες σε αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα χρώματα, αλλά βεβαιωθείτε οτι όλες οι γειτονικές χώρες έχουν διαφορετικό χρώμα. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

Ορολογία Αλγόριθμος, υπολογιστική σκέψη, αλγοριθμική σκέψη, αποδοτικότητα, δοκιμή.

Ορολογία Αλγόριθμος, υπολογιστική σκέψη, αλγοριθμική σκέψη, αποδοτικότητα, δοκιμή. Το παζλ ανταλλαγής Ηλικίες: 7 ενήλικες Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Καμία Χρόνος: 50-60 λεπτά Μέγεθος ομάδας: 8 με 30 Εστίαση Τι είναι αλγόριθμος; Δοκιμή Αποδοτικότητα αλγορίθμων Υπολογιστική και αλγοριθμική

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα: Εγκλεισμός

Δραστηριότητα: Εγκλεισμός Δραστηριότητα: Εγκλεισμός Ηλικίες στις οποίες έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία: Προαπαιτούμενες Ικανότητες: Χρόνος: Εστίαση Μέγεθος Ομάδας 11 - ενήλικες Καμία Τι είναι αλγόριθμος Αλγόριθμοι αναζήτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου. Πανηγύρι Τεχνολογίας

Πανεπιστήμιο Κύπρου. Πανηγύρι Τεχνολογίας Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Επιστημών της Αγωγής Προγραμματισμός για το μάθημα ΕΠΑ 238: Σχεδιασμός και τεχνολογία Πανηγύρι Τεχνολογίας Προγραμματισμός εργασίας: Συνάντηση 1 η : Στάδιο 1: Κατάσταση πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

TRIDIO 190016 TRIDIO 1

TRIDIO 190016 TRIDIO 1 TRIDIO 190016 1 Τι είναι το Tridio; Το Tridio είναι μια ανεξάρτητη μέθοδος εργασίας με σκοπό να υποστηρίξει τις τρέχουσες μεθόδους διδασκαλίας μαθηματικών στους τομείς της ανάπτυξης της χωρικής ικανότητας,

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική δραστηριότητα: Το πρόβλημα της λασπωμένης πόλης (σελ. 80) Πλακάκια ή τετράγωνα κομματάκια από χαρτόνι (περίπου 40 για κάθε παιδί)

Πρακτική δραστηριότητα: Το πρόβλημα της λασπωμένης πόλης (σελ. 80) Πλακάκια ή τετράγωνα κομματάκια από χαρτόνι (περίπου 40 για κάθε παιδί) 9η Δραστηριότητα Η λασπωμένη πόλη - Minimal Spanning Trees* (*είδος γραφημάτων) Περίληψη Η κοινωνία μας συνδέεται με πολλά δίκτυα: το τηλεφωνικό δίκτυο, το ενεργειακό δίκτυο, το οδικό δίκτυο. Για ένα ιδιαίτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου)

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ηλικίες: Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Χρόνος: Μέγεθος ομάδας: 8 ενήλικες Καμία 15 λεπτά για τη βασική δραστηριότητα, περισσότερο για τις επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων

Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων 2η Δραστηριότητα Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων Περίληψη Οι υπολογιστές απομνημονεύουν τα σχέδια, τις φωτογραφίες και άλλα σχήματα, χρησιμοποιώντας μόνον αριθμούς. Με την επόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ Ομάδα ανάπτυξης Μαρία Τσικαλοπούλου, Μαθηματικός Σ Κ Υ Δ Ρ Α / 2 0 1 5 Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα μαθηματικά της

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών

Διδακτική των Μαθηματικών Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο : Μαμτζέλλη Χρυσούλα Τάξη : Γ Δημοτικού Κεφάλαιο 43 : Η συμμετρία Πρόκειται για ένα εισαγωγικό μάθημα στην αξονική συμμετρία. Οι μαθητές θα μάθουν πότε δύο σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός»)

Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός») Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός») Ηλικίες: Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Χρόνος: Μέγεθος ομάδας: 8 ενήλικες Καμία 50-60 λεπτά από 1 άτομο και πάνω Εστίαση Γράφοι, Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ Δημοτικό σχολείο Σκύδρας ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα

Διαβάστε περισσότερα

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr»

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Επεξήγηση web site με λογικό διάγραμμα «Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Web : www.e-base.gr E-mail : support@e-base.gr Facebook : Like Twitter : @ebasegr Πολλοί άνθρωποι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Γώγουλος Γ., Κοτσιφάκης Γ., Κυριακάκη Γ., Παπαγιάννης Α., Φραγκονικολάκης Μ., Χίνου Π. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Στο τρίτο άρθρο αυτής της σειράς, η οποία αποτελεί μια πρώτη, μικρή απάντηση στις ανάγκες των εκπαιδευτών του σεμιναρίου της 12 ης & 13 ης Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ» Κείμενα

ΘΕΜΑ: «ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ» Κείμενα ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας.

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. ΕΝΟΤΗΤΑ Ακολουθίες Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. Να αναπαριστούμε τις ακολουθίες με διάφορους τρόπους. Να βρίσκουμε τον επόμενο όρο ή τον

Διαβάστε περισσότερα

4 Εαν προσπαθούσα να ξεφύγω από κάτι, τότε τα επιχειρήματα μου θα ήταν: Α με συνέπεια Β με μοναδικότητα C με λεπτομέρεια D με εξειδικευμένες γνώσεις

4 Εαν προσπαθούσα να ξεφύγω από κάτι, τότε τα επιχειρήματα μου θα ήταν: Α με συνέπεια Β με μοναδικότητα C με λεπτομέρεια D με εξειδικευμένες γνώσεις Kolbe A Test Απάντησε ρωτώντας τον εαυτό σου: Αν ήμουν ελεύθερος να δράσω όντας ο εαυτός μου και κάνοντας αυτό που μπορώ να κάνω καλύτερα, τότε θα έκανα... (επέλεξε μία από τις 4 επιλογές, καθώς και μία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and

Διαβάστε περισσότερα

Και τώρα τι κάνω; Σημαντικότερο απ όλα είναι να διαβάσεις και να ευχαριστηθείς την ιστορία και τις πληροφορίες για τον κόσμο των χρωμάτων

Και τώρα τι κάνω; Σημαντικότερο απ όλα είναι να διαβάσεις και να ευχαριστηθείς την ιστορία και τις πληροφορίες για τον κόσμο των χρωμάτων Και τώρα τι κάνω; Σημαντικότερο απ όλα είναι να διαβάσεις και να ευχαριστηθείς την ιστορία και τις πληροφορίες για τον κόσμο των χρωμάτων Να ποια είναι τα υλικά που θα χρειαστείς: γκρι χαρτόνι (100 γραμμαρίων)

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ: «Αριθμοί στην καθημερινή ζωή»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ: «Αριθμοί στην καθημερινή ζωή» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ ΘΕΜΑ: «Αριθμοί στην καθημερινή ζωή» Βόκα Δέσποινα & Δούρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Β Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Ο μαθητής σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών: Δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Ταυτότητα Σεναρίου Τίτλος: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Γνωστικό Αντικείμενο: Πληροφορική Διδακτική Ενότητα: Ελέγχω-Προγραμματίζω τον Υπολογιστή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ"

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ" ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης Σπυρίδων Ακαδημαικό Έτος:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών»

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» μια Νίκος Δαπόντες Φυσικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Το περιβάλλον Microworlds

Διαβάστε περισσότερα

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά 6η Δραστηριότητα Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης Περίληψη Συχνά ζητάμε από τους υπολογιστές να ψάξουν πληροφορίες στο εσωτερικό μεγάλων αρχείων δεδομένων. Για να το καταφέρουν, απαιτούνται ταχείες και αποτελεσματικές

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήρι 1: Γιατί Χρειαζόμαστε τους Κανόνες; Ας Παίξουμε!

Εργαστήρι 1: Γιατί Χρειαζόμαστε τους Κανόνες; Ας Παίξουμε! Εργαστήρι 1: Γιατί Χρειαζόμαστε τους Κανόνες; Ας Παίξουμε! Το εργαστήρι αυτό βασίζεται σε ένα απλό και οικείο επιτραπέζιο παιχνίδι. Σκοπός του είναι να κεντρίσει το ενδιαφέρον των μαθητών, αξιοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Πώς και γιατί μετακινούμαστε;

Πώς και γιατί μετακινούμαστε; Πώς και γιατί μετακινούμαστε; Διδακτική πρόταση 1: Συνοπτικό πλαίσιο μετακίνησης και εγκατάστασης Ερωτήματα-κλειδιά Γιατί και πώς μετακινούμαστε από τα πολύ παλιά χρόνια μέχρι σήμερα; Πού μένουμε από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την 1 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την παλαιότερη γνώση τους, σημειώνουν λεπτομέρειες, παρακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού)

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) . Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) Η πετυχημένη διοίκηση των μεγάλων έργων χρειάζεται προσεχτικό προγραμματισμό, σχεδιασμό και συντονισμό αλληλοσυνδεόμενων δραστηριοτήτων (εργσιών).

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Εμπέδωση. Πρακτικές Εισηγήσεις για την Δ τάξη. Από την εκπαιδευτικό Ρόδω Κίτσου

Εμπέδωση. Πρακτικές Εισηγήσεις για την Δ τάξη. Από την εκπαιδευτικό Ρόδω Κίτσου Εμπέδωση Πρακτικές Εισηγήσεις για την Δ τάξη Από την εκπαιδευτικό Ρόδω Κίτσου Εμπέδωση; Γιατί ; Απόκτηση πυρηνικής γνώσης Μείωση του χρόνου ελέγχου και διόρθωσης γενικών επαναληπτικών φυλλαδίων «Δικλείδα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΠΗΓΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΠΡΑΣΙΝΗ ΠΟΛΗ Green. Ανακαλύψτε την σημασία των Εναλλακτικών πηγών ενέργειας

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΠΗΓΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΠΡΑΣΙΝΗ ΠΟΛΗ Green. Ανακαλύψτε την σημασία των Εναλλακτικών πηγών ενέργειας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΠΗΓΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΠΡΑΣΙΝΗ ΠΟΛΗ Green City Ανακαλύψτε την σημασία των Εναλλακτικών πηγών ενέργειας Κατασκευάστε μια σύγχρονη πόλη, ο οποία δεν θα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Scratch Δημοτικό 5: Οι μεταβλητές σαν ιδιότητες αντικειμένων στη γλώσσα προγραμματισμού Scratch

Scratch Δημοτικό 5: Οι μεταβλητές σαν ιδιότητες αντικειμένων στη γλώσσα προγραμματισμού Scratch Scratch Δημοτικό 5: Οι μεταβλητές σαν ιδιότητες αντικειμένων στη γλώσσα προγραμματισμού Scratch Εκτιμώμενη διάρκεια: Μία διδακτική ώρα Ένταξη στο πρόγραμμα σπουδών Στο Πρόγραμμα Σπουδών του Ολοήμερου Δημοτικού

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ) !"Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων.

ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ) !Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων. ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ)!"Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων.!"σύντομη περιγραφή διερεύνησης: Στη διερεύνησή μας μετρήθηκε ο χρόνος που χρειάστηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές)

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Ενδεικτικές τεχνικές διδασκαλίας: 1. Εισήγηση ή διάλεξη ή Μονολογική Παρουσίαση 2. Συζήτηση ή διάλογος 3. Ερωταποκρίσεις 4. Χιονοστιβάδα 5. Καταιγισμός Ιδεών 6. Επίδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα στις Εικαστικές Τέχνες Σκιαγραφώντας το σχολείο / τη γειτονιά μου

Ενότητα στις Εικαστικές Τέχνες Σκιαγραφώντας το σχολείο / τη γειτονιά μου Ενότητα στις Εικαστικές Τέχνες Σκιαγραφώντας το σχολείο / τη γειτονιά μου Ομάδα Εικαστικής Αγωγής 2014 Σκιαγραφώντας το σχολείο/τη γειτονιά μου Τάξεις: Γ Στ Περιγραφή ενότητας: Οι μαθητές/τριες καταγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 11: Παρεμβάσεις του ανθρώπου στο περιβάλλον του

Σενάριο 11: Παρεμβάσεις του ανθρώπου στο περιβάλλον του Σενάριο 11: Παρεμβάσεις του ανθρώπου στο περιβάλλον του Φύλλο Εργασίας Τίτλος: Παρεμβάσεις του Ανθρώπου στο Περιβάλλον Γνωστικό Αντικείμενο: Βιολογία Διδακτική Ενότητα: Παρεμβάσεις του ανθρώπου στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Ε Δ Δ Δ Ο Δ B Τ Π. Το παιχνίδι αυτό είναι επέκταση και απαιτεί τη χρήση των παρακάτω κομματιών μιας από τις βασικές εκδόσεις του Ticket to Ride:

Ε Δ Δ Δ Ο Δ B Τ Π. Το παιχνίδι αυτό είναι επέκταση και απαιτεί τη χρήση των παρακάτω κομματιών μιας από τις βασικές εκδόσεις του Ticket to Ride: Το Εγχειρίδιο αυτό περιγράφει τις αλλαγές στο παιχνίδι, σχετικά με το ομαδικό παιχνίδι του χάρτη της Μυθικής Ασίας (Legendary Asia), υποθέτοντας ότι είστε εξοικειωμένοι με τους κανόνες του βασικού Ticket

Διαβάστε περισσότερα

Και τα τέσσερα κτίρια της Εποχής 1 της επέκτασης μπορούν να ανακαινιστούν. Η ιδιότητα

Και τα τέσσερα κτίρια της Εποχής 1 της επέκτασης μπορούν να ανακαινιστούν. Η ιδιότητα Η επέκταση αυτή εισάγει κάποια νέα στοιχεία ώστε να εμπλουτίσει το βασικό παιχνίδι. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν ξεχωριστά ή σε οποιονδήποτε συνδυασμό. Πεμπτοσ Παικτησ Προφητειεσ Ξύλινα κομμάτια για πέμπτο

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Πληροφορική Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Πληροφορική Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 2/30 1. Εισαγωγή 3. Ανάπτυξη αλγορίθµου 4. οµηµένος

Διαβάστε περισσότερα

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό.

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό. 1 η περίοδος Ενότητα 2η: Πρόσθεση και ανάλυση αριθμών μέχρι το 5 Στόχοι της ενότητας: Μετά το τέλος της ενότητας οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί να: Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Προβλημάτων

Περιγραφή Προβλημάτων Τεχνητή Νοημοσύνη 02 Περιγραφή Προβλημάτων Φώτης Κόκκορας Τμ.Τεχν/γίας Πληροφορικής & Τηλ/νιών - ΤΕΙ Λάρισας Παραδείγματα Προβλημάτων κύβοι (blocks) Τρεις κύβοι βρίσκονται σε τυχαία διάταξη πάνω στο τραπέζι

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

Παίζοντας με τα νομίσματα (Ευρώ) 2. Παρουσίαση των εφαρμογών του λογισμικού

Παίζοντας με τα νομίσματα (Ευρώ) 2. Παρουσίαση των εφαρμογών του λογισμικού 1. Εισαγωγή Παίζοντας με τα νομίσματα (Ευρώ) Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Παίζοντας με τα νομίσματα (Ευρώ)» είναι κυρίως κατάλληλο για τις μικρές τάξεις του δημοτικού σχολείου και ενισχύει τη διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δρ. Κόννης Γιώργος Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του Υπολογιστικού Προβλήματος και του Προγράμματος/Αλγορίθμου

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα εργασίας. MicroWorlds Pro. Πολυμεσικές Εφαρμογές με την χρήση της γλώσσας LOGO Στο Γυμνάσιο. Β. Χ. Χρυσοχοΐδης

Φύλλα εργασίας. MicroWorlds Pro. Πολυμεσικές Εφαρμογές με την χρήση της γλώσσας LOGO Στο Γυμνάσιο. Β. Χ. Χρυσοχοΐδης Φύλλα εργασίας MicroWorlds Pro Πολυμεσικές Εφαρμογές με την χρήση της γλώσσας LOGO Στο Γυμνάσιο Β. Χ. Χρυσοχοΐδης Πρόεδρος Συλλόγου Εκπαιδευτικών Πληροφορικής Φλώρινας 2 «Σχεδίαση και ανάπτυξη δραστηριοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Πώς περνάμε τη μέρα μας;

Πώς περνάμε τη μέρα μας; Πώς περνάμε τη μέρα μας; Διδακτική πρόταση 2: Συνοπτικό πλαίσιο καθημερινής ζωής Ερώτημα-κλειδί Πώς περνούμε τη μέρα μας από τα πολύ παλιά χρόνια μέχρι σήμερα; Σύνδεση με το προηγούμενο μάθημα Στο προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Παραδειγματικό σενάριο στο μάθημα της Νεοελληνικής Γλώσσας. «Βιβλία-βιβλιοθήκες»

Παραδειγματικό σενάριο στο μάθημα της Νεοελληνικής Γλώσσας. «Βιβλία-βιβλιοθήκες» Π.3.1.4 Ολοκληρωμένα παραδείγματα εκπαιδευτικών σεναρίων ανά γνωστικό αντικείμενο με εφαρμογή των αρχών σχεδίασης Παραδειγματικό σενάριο στο μάθημα της Νεοελληνικής Γλώσσας «Βιβλία-βιβλιοθήκες» ΣΩΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ - ΕΤΙΚΕΤΑ»

ΘΕΜΑ: «ΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ - ΕΤΙΚΕΤΑ» ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 31 ΜΑΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ 1 ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ Κώστας Κύρος ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Ανοίξτε το λογισμικό Google Earth και προσπαθήστε να εντοπίσετε τη θέση της Ευρώπης στη Γη. Κατόπιν για να

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη: Ε Δημοτικού ΠΟΣΟΣΤΑ ENOTHTA 4: Έννοια του ποσοστού

Τάξη: Ε Δημοτικού ΠΟΣΟΣΤΑ ENOTHTA 4: Έννοια του ποσοστού Τάξη: Ε Δημοτικού ΠΟΣΟΣΤΑ ENOTHTA 4: Έννοια του ποσοστού Στάδιο 1- Επιθυμητά Αποτελέσματα Στόχοι μαθήματος(οι μαθητές θα είναι ικανοί): 1. Να κατανοήσουν την έννοια του ποσοστού καθώς και να τα χρησιμοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του νέου βιβλίου «Γεωλογία Γεωγραφία» για την Α Γυμνασίου Γκαραγκούνη Αναστασία

Παρουσίαση του νέου βιβλίου «Γεωλογία Γεωγραφία» για την Α Γυμνασίου Γκαραγκούνη Αναστασία Παρουσίαση του νέου βιβλίου «Γεωλογία Γεωγραφία» για την Α Γυμνασίου Γκαραγκούνη Αναστασία Ομάδα εργασίας: Δημητρίου Δώρα, Μυρωνάκη Άννα, Γκαραγκούνη Αναστασία Δομή της Παρουσίασης Ενδεικτικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική πρόταση 1: 1 Πώς οργανώνονταν οι άνθρωποι της. Γεωμετρικής Εποχής»

Διδακτική πρόταση 1: 1 Πώς οργανώνονταν οι άνθρωποι της. Γεωμετρικής Εποχής» Διδακτική πρόταση 1: 1 Πώς οργανώνονταν οι άνθρωποι της Γεωμετρική ς Εποχής; Ερωτήματα - κλειδιά: 2 Πόσο μεγάλες ήταν οι ομάδες των ανθρώπων της Γεωμετρικής Εποχής; Υπήρχαν αρχηγοί στις ομάδες των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επανάληψη

Εισαγωγή στην επανάληψη Εισαγωγή στην επανάληψη Στο κεφάλαιο αυτό ήρθε η ώρα να μελετήσουμε την επανάληψη στον προγραμματισμό λίγο πιο διεξοδικά! Έχετε ήδη χρησιμοποιήσει, χωρίς πολλές επεξηγήσεις, σε προηγούμενα κεφάλαια τις

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας Πρόγραμμα Περιβαλλοντικής Αγωγής. «Ένας περίπατος στο ηλιακό μας σύστημα»

Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας Πρόγραμμα Περιβαλλοντικής Αγωγής. «Ένας περίπατος στο ηλιακό μας σύστημα» Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας Πρόγραμμα Περιβαλλοντικής Αγωγής «Ένας περίπατος στο ηλιακό μας σύστημα» Εκπαιδευτικός: Μπλούχου Στεφανία Τάξη: Β Σχολικό έτος: 2012-13 ΣΧΕΔΙΟ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες 1 Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων 1. Η αγαπημένη γεύση παγωτού των παιδιών Γεύση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Και όπως και στη ζωή, έτσι κι εδώ δεν υπάρχει δεύτερος...

Και όπως και στη ζωή, έτσι κι εδώ δεν υπάρχει δεύτερος... ΚΑΝΟΝΕΣ Σ το παιχνίδι αυτό παίρνετε το ρόλο ενός εξερευνητή των πόλων, διαγωνιζόμενοι για το ποιός θα φτάσει πρώτος στο Νότιο Πόλο. Σε κάθε γύρο, επιλέγετε ένα σετ ζαριών με τα οποία θα προσπαθήσετε να

Διαβάστε περισσότερα