Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων"

Transcript

1 Δραστηριότητα 13 Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων Ηλικιακή Ομάδα Απαιτούμενες Ικανότητες Χρόνος Μέγεθος ομάδας Aπό τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού και πάνω. Χρωματισμός. 30 λεπτά ή και περισσότερο. Κατάλληλη για μεμονωμένα άτομα μέχρι και για μια ολόκληρη τάξη. Εστίαση Επίλυση προβλημάτων. Λογική συλλογιστική. Αλγοριθμικές διαδικασίες και πολυπλοκότητα. Περιγραφή διαισθητικών αντιλήψεων. Περίληψη Πολλά προβλήματα βελτιστοποίησης αφορούν καταστάσεις στις οποίες ορισμένα γεγονότα δεν μπορούν να συμβούν την ίδια στιγμή ή ορισμένα μέλη ενός συνόλου αντικειμένων δεν μπορούν να είναι γειτονικά. Για παράδειγμα, όποιος έχει προσπαθήσει να φτιάξει ένα πρόγραμμα μαθημάτων ή συναντήσεων θα έχει αντιμετωπίσει το πρόβλημα ικανοποίησης των περιορισμών που θέτουν οι εμπλεκόμενοι. Πολλές από αυτές τις δυσκολίες αποκρυσταλλώνονται στο πρόβλημα χρωματισμού γράφων, στο οποίο πρέπει να επιλεχθούν χρώματα για τις χώρες ενός χάρτη με τέτοιον τρόπο ώστε γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικά χρώματα. Αυτή η δραστηριότητα αφορά το συγκεκριμένο πρόβλημα. Τεχνικοί Όροι Υλικά Χρωματισμός γράφων. Αλγόριθμοι εκθετικού χρόνου. Ευριστικές μέθοδοι. Για κάθε παιδί θα χρειαστείτε: ένα αντίγραφο των ασπρόμαυρων πρωτοτύπων από τις σελ. 138 έως 141, μικροί μετακινούμενοι χρωματιστοί δείκτες (π.χ. μάρκες, πούλια, πιόνια) και τέσσερις κηρομπογιές διαφορετικού χρώματος (ή ξυλομπογιές, μαρκαδόρους, κλπ.) Θα χρειαστείτε επίσης: έναν πίνακα ή παρόμοια επιφάνεια γραφής. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

2 Τι να κάνετε Σχήμα 13.1: Δείγμα ενός χάρτη προς χρωματισμό. Αυτή η δραστηριότητα περιστρέφεται γύρω από μια ιστορία, στην οποία έχει ζητηθεί από τα παιδιά να βοηθήσουν έναν χαρτογράφο που χρωματίζει τις χώρες σε έναν χάρτη. Δεν έχει σημασία τι χρώμα έχει η κάθε χώρα, αρκεί να είναι διαφορετικό από εκείνο στις γειτονικές χώρες. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 13.1 φαίνονται τέσσερις χώρες. Αν χρωματίσουμε τη Βορειοχώρα κόκκινη, τότε η Δυτικοχώρα και η Ανατολικοχώρα δεν μπορούν να είναι κόκκινες, γιατί έτσι θα ήταν δύσκολο να διακρίνουμε τα σύνορά τους με την Βορειοχώρα. Θα μπορούσαμε να χρωματίσουμε την Δυτικοχώρα πράσινη και είναι επίσης αποδεκτό να χρωματίσουμε και την Ανατολικοχώρα πράσινη, αφού δεν έχει κοινά σύνορα με την Δυτικοχώρα. (Αν δύο χώρες έχουν μόνο ένα κοινό σημείο τότε δε θεωρείται οτι συνορεύουν, επομένως μπορούν να χρωματιστούν με το ίδιο χρώμα.) Η Νοτιοχώρα μπορεί να χρωματιστεί κόκκινη και καταλήγουμε να χρειαζόμαστε μόνο δύο χρώματα για το χάρτη. Στην ιστορία μας, ο χαρτογράφος είναι φτωχός και δεν έχει χρήματα για πολλά χρώματα, οπότε η ιδέα είναι να χρησιμοποιηθούν όσο λιγότερα χρώματα γίνεται. 1. Περιγράψτε το πρόβλημα πάνω στο οποίο θα δουλέψουν τα παιδιά, επιδεικνύοντας τη διαδικασία χρωματισμού στον πίνακα. 2. Μοιράστε το ασπρόμαυρο πρωτότυπο της σελ Αυτός ο χάρτης μπορεί να χρωματιστεί σωστά χρησιμοποιώντας μόνο δύο χρώματα. Αν και ο περιορισμός του πλήθους των χρωμάτων σε δύο μπορεί να ακούγεται ως μεγάλη πρόκληση, το πρόβλημα είναι αρκετά απλό σε σύγκριση με χάρτες που απαιτούν περισσότερα χρώματα επειδή υπάρχουν πολύ λίγες επιλογές χρωμάτων για κάθε χώρα. Βάλτε τα παιδιά να δοκιμάσουν να χρωματίσουν το χάρτη χρησιμοποιώντας μόνο δύο χρώματα. Στην πορεία ίσως ανακαλύψουν τον κανόνα του πρέπει-να-είναι : όταν μια χώρα χρωματιστεί, τότε κάθε γειτονική χώρα πρέπει να έχει το αντίθετο 130

3 χρώμα. Αυτός ο κανόνας εφαρμόζεται επαναληπτικά μέχρι όλες οι χώρες να έχουν χρωματιστεί. Είναι προτιμότερο τα παιδιά να ανακαλύψουν μόνα τους αυτόν τον κανόνα, αντί να τους τον πουν, καθώς θα τους δώσει καλύτερη διαισθητική κατανόηση της διαδικασίας. Το Σχήμα 13.2 δείχνει την μοναδική δυνατή λύση για τον χάρτη της σελ. 138 (φυσικά, η επιλογή χρωμάτων εξαρτάται από το παιδί, αλλά χρειάζονται μόνο δύο διαφορετικά). Σχήμα 13.2: Λύση για το χρωματισμό του χάρτη στη σελ. 138, χρησιμοποιώντας μόνο δύο χρώματα. Τα παιδιά επίσης ίσως ανακαλύψουν οτι είναι καλύτερο να χρησιμοποιούν κάποιου είδους μετακινούμενους δείκτες, όπως χρωματιστές μάρκες ή πούλια, αντί να χρωματίζουν αμέσως τις χώρες, αφού έτσι είναι ευκολότερο να αλλάξουν γνώμη. 3. Καθώς τα παιδιά ολοκληρώνουν κάθε άσκηση, τους δίνεται η επόμενη. Ο χάρτης στο πάνω μέρος της σελ. 139 μπορεί να χρωματιστεί σωστά χρησιμοποιώντας τρία χρώματα, ενώ εκείνος στο κάτω μέρος απαιτεί τέσσερα. Πιθανές λύσεις φαίνονται στο Σχήμα Ο χάρτης στη σελ. 140 είναι ένας απλούστερος χάρτης τριών χρωμάτων, με μια πιθανή λύση να φαίνεται στο Σχήμα

4 Σχήμα 13.3: Λύσεις για τον χρωματισμό των χαρτών στη σελ. 139, χρησιμοποιώντας αντίστοιχα μόνο τρία και τέσσερα χρώματα. Αν πρόκειται για μεγαλύτερα παιδιά, ζητήστε τους να εξηγήσουν πως γνωρίζουν οτι έχουν βρει τον ελάχιστο δυνατό αριθμό χρωμάτων. Για παράδειγμα, απαιτούνται τουλάχιστον τρία χρώματα για τον χάρτη επειδή ο χάρτης περιλαμβάνει μια ομάδα τριών χωρών, κάθε μια από τις οποίες συνορεύει με τις άλλες δύο. 4. Αν κάποιο παιδί ολοκληρώσει νωρίς τις εργασίες, ζητήστε του να προσπαθήσει να κατασκευάσει έναν χάρτη που απαιτεί πέντε διαφορετικά χρώματα. Έχει αποδειχθεί οτι οποιοσδήποτε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί μόνο με τέσσερα χρώματα, οπότε αυτό το πρόβλημα θα πρέπει να το κρατήσει απασχολημένο για αρκετή ώρα! Από την εμπειρία μας, τα παιδιά θα βρουν γρήγορα χάρτες που πιστεύουν οτι χρειάζονται πέντε χρώματα, αλλά φυσικά είναι πάντα εφικτό να βρεθεί για τους χάρτες τους μια λύση με τέσσερα χρώματα. 132

5 Σχήμα 13.4: Λύση για τον χρωματισμό του χάρτη στη σελ. 140, χρησιμοποιώντας μόνο τρία χρώματα. Παραλλαγές και Επεκτάσεις Υπάρχει ένας απλός τρόπος να κατασκευαστούν χάρτες που απαιτούν μόνο δύο χρώματα, όπως εκείνος στη σελ. 141 (λύση στο Σχήμα 13.5). Αυτός ο χάρτης κατασκευάστηκε επιθέτοντας κλειστά σχήματα (γραμμές των οποίων η αρχή συμπίπτει με το τέλος). Μπορείτε να σχεδιάσετε οποιοδήποτε πλήθος από τέτοια σχήματα, το ένα πάνω στο άλλο, και θα καταλήξετε πάντα με ένα χάρτη που μπορεί να χρωματιστεί με δύο χρώματα. Τα παιδιά μπορούν να πειραματιστούν με τη δημιουργία ενός τέτοιου χάρτη. Τέσσερα χρώματα είναι πάντα αρκετά για να χρωματιστεί ένας χάρτης σχεδιασμένος σε μια κόλλα χαρτί ή σε μια σφαίρα (όπως η υδρόγειος). Μπορεί κανείς να αναρωτηθεί (όπως οι επιστήμονες που πληρώνονται για να το κάνουν) πόσα χρώματα χρειάζονται για χάρτες που είναι σχεδιασμένοι σε πιο παράξενες επιφάνειες, όπως ένας δακτύλιος. Σε αυτήν την περίπτωση, θα μπορούσε κάποιος να χρειαστεί πέντε χρώματα και πέντε είναι πάντα αρκετά. Ίσως τα παιδιά θα ήθελαν να πειραματιστούν με κάτι τέτοιο. Υπάρχουν πολλές άλλες διασκεδαστικές παραλλαγές του προβλήματος χρωματισμού χαρτών, που οδηγούν σε κατευθύνσεις όπου πολλά πράγματα είναι προς το παρόν άγνωστα. 133

6 Σχήμα 13.5: Λύση για τον χρωματισμό του χάρτη στη σελ. 141, χρησιμοποιώντας μόνο δύο χρώματα. Τα χρώματα αναπαριστώνται ως σκιασμένο και λευκό. Για παράδειγμα, όταν χρωματίζω μόνος μου έναν χάρτη σε ένα φύλλο χαρτί, τότε γνωρίζω πως αν εργαστώ έξυπνα επαρκούν τέσσερα χρώματα. Αλλά υποθέστε πως αντί να δουλεύω μόνος μου, δουλεύω με έναν ανίκανο (ή ίσως και αντίπαλο) συνεργάτη. Υποθέστε οτι εργάζομαι έξυπνα, ενώ ο συνεργάτης μου λειτουργεί απλά νόμιμα, καθώς χρωματίζουμε τις χώρες του χάρτη εναλλάξ. Πόσα χρώματα χρειάζεται να διαθέτουμε ώστε η εξυπνάδα μου να αναπληρώσει τις νόμιμες αλλά όχι και τόσο έξυπνες (ή ίσως και ανατρεπτικές) κινήσεις του συνεργάτη μου; Προς το παρόν γνωρίζουμε οτι 33 χρώματα θα είναι πάντα αρκετά, αλλά δε γνωρίζουμε αν απαιτούνται πάντα τόσα πολλά χρώματα. (Οι ειδικοί εικάζουν οτι λιγότερα από 10 χρώματα είναι επαρκή.) Στα παιδιά ίσως αρέσει να υποδυθούν αυτή την κατάσταση, που μοιάζει περισσότερο με παιχνίδι δύο παικτών. Σε μια παραλλαγή γνωστή ως αυτοκρατορικός χρωματισμός, ξεκινάμε με δύο διαφορετικούς χάρτες σε δύο ξεχωριστά φύλλα χαρτί, με το ίδιο πλήθος χωρών. Κάθε χώρα σε έναν από τους χάρτες (ας πούμε, στη Γη) είναι ζευγαρωμένη με ακριβώς μια χώρα στον άλλο χάρτη (που θα μπορούσε να είναι αποικίες στη Σελήνη). Επιπροσθέτως με τη συνήθη απαίτηση να έχουν διαφορετικό χρώμα οι χώρες που γειτνιάζουν (και για τους δύο χάρτες) προσθέτουμε την απαίτηση οτι κάθε χώρα στη Γη πρέπει να έχει το ίδιο χρώμα με την αποικία της στη Σελήνη. Πόσα χρώματα χρειαζόμαστε για αυτό το πρόβλημα; Η απάντηση είναι προς το παρόν άγνωστη. 134

7 Σχήμα 13.6: Παράδειγμα γράφου. Περί τίνος πρόκειται Σχήμα 13.7: Ένας άλλος γράφος. Το πρόβλημα χρωματισμού χαρτών που διερευνήσαμε σε αυτήν τη δραστηριότητα είναι ουσιαστικά η εύρεση του ελάχιστου αριθμού χρωμάτων (δύο, τρία ή τέσσερα) που είναι απαραίτητα για να χρωματίσει κανείς έναν δεδομένο χάρτη. Η εικασία οτι οποιοσδήποτε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί χρησιμοποιώντας μόνο τέσσερα χρώματα διατυπώθηκε το 1852, αλλά δεν αποδείχθηκε μέχρι το Η Πληροφορική είναι γεμάτη ανοιχτά προβλήματα και γνωρίζοντας οτι το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων αποδείχθηκε αφού είχε λάβει την προσοχή των ερευνητών για περισσότερα από 120 χρόνια είναι μια ενθάρρυνση για όσους εργάζονται σε άλλα προβλήματα των οποίων η λύση τους διαφεύγει για δεκαετίες. Ο χρωματισμός χαρτών ανήκει σε μια γενική κατηγορία προβλημάτων γνωστή ως χρωματισμός γράφων. Στην Πληροφορική, ο γράφος είναι μια αφαιρετική αναπαράσταση σχέσεων [σ.σ. μεταξύ οντοτήτων]. Ένα παράδειγμα απεικονίζεται στο Σχήμα [...] Στην πληροφορική, οι γράφοι σχεδιάζονται χρησιμοποιώντας κύκλους ή μεγάλες τελείες, που αποκαλούνται κόμβοι και αναπαριστούν αντικείμενα, με γραμμές ανάμεσά τους που υποδεικνύουν κάποιου είδους σχέση ανάμεσα στα αντικείμενα. Ο 135

8 γράφος στο Σχήμα 13.6 τυχαίνει να αναπαριστά το χάρτη του Σχήματος Οι κόμβοι αναπαριστούν τις χώρες και μια γραμμή ανάμεσα σε δύο κόμβους υποδεικνύει οτι αυτές οι δύο χώρες μοιράζονται κοινά σύνορα. Στο γράφο, ο κανόνας χρωματισμού είναι οτι δύο συνδεδεμένοι κόμβοι δεν επιτρέπεται να έχουν το ίδιο χρώμα. Σε αντίθεση με έναν χάρτη, δεν υπάρχει όριο στο πλήθος των χρωμάτων που θα μπορούσαν να απαιτούνται για τον χρωματισμό ενός γενικού γράφου, επειδή πολλοί περιορισμοί μπορούν να σχεδιαστούν ως συνδέουσες γραμμές, ενώ η δισδιάστατη φύση των χαρτών περιορίζει τους πιθανούς τρόπους διευθέτησης. Το πρόβλημα χρωματισμού γράφων είναι να βρει κανείς τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων που απαιτείται για το χρωματισμό ενός συγκεκριμένου χάρτη. Το Σχήμα 13.7 δείχνει έναν άλλο γράφο. Εδώ οι κόμβοι αντιστοιχούν σε σχολικά μαθήματα. Μια γραμμή ανάμεσα σε δύο μαθήματα δείχνει οτι τουλάχιστον ένας μαθητής παρακολουθεί και τα δύο μαθήματα, οπότε δεν επιτρέπεται να διεξαχθούν την ίδια διδακτική ώρα. Χρησιμοποιώντας αυτήν την αναπαράσταση, το πρόβλημα της εύρεσης ενός εφικτού προγράμματος χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο αριθμό διδακτικών ωρών είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα του χρωματισμού, όπου τα διαφορετικά χρώματα αντιστοιχούν σε διαφορετικές διδακτικές ώρες. Οι αλγόριθμοι χρωματισμού γράφων έχουν μεγάλο ενδιαφέρον στην πληροφορική και χρησιμοποιούνται σε πολλά προβλήματα του πραγματικού κόσμου, αν και πιθανότατα δε χρησιμοποιούνται ποτέ για να χρωματίσουν χάρτες! Ο φτωχός μας χαρτογράφος είναι επινοημένος. Υπάρχουν κυριολεκτικά χιλιάδες άλλα προβλήματα βασισμένα σε γράφους. Κάποια περιγράφονται αλλού σε αυτό το βιβλίο, όπως τα ελάχιστο δέντρο κάλυψης (minimal spanning tree) της Δραστηριότητας 9 και τα κυρίαρχα σύνολα (dominating sets) της Δραστηριότητας 14. Οι γράφοι είναι ένας πολύ γενικός τρόπος αναπαράστασης δεδομένων και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν διαφόρων ειδών καταστάσεις, όπως οι διαθέσιμες διαδρομές για να ταξιδέψει κανείς μεταξύ πόλεων, διασυνδέσεις μεταξύ των ατόμων ενός μορίου, διαδρομές που μπορούν να ακολουθήσουν τα μηνύματα σε ένα δίκτυο υπολογιστών, διασυνδέσεις μεταξύ των εξαρτημάτων μιας πλακέτας και σχέσεις ανάμεσα στις εργασίες που απαιτούνται για τη διεκπεραίωση ενός μεγάλου έργου. Για το λόγο αυτό, τα προβλήματα που περιλαμβάνουν αναπαραστάσεις με γράφους συναρπάζουν εδώ και καιρό τους επιστήμονες της πληροφορικής. Πολλά από τα προβλήματα αυτά είναι πολύ δύσκολα όχι δύσκολα εννοιολογικά, αλλά δύσκολα επειδή χρειάζονται πολύ χρόνο για να επιλυθούν. Για παράδειγμα, ο καθορισμός της αποδοτικότερης λύσης για ένα πρόβλημα χρωματισμού γράφου μεσαίου μεγέθους όπως η εύρεση του καλύτερου προγράμματος για ένα σχολείο με τριάντα καθηγητές και 800 μαθητές θα έπαιρνε χρόνια, ίσως και αιώνες, με έναν υπολογιστή που θα χρησιμοποιούσε τον καλύτερο γνωστό αλγόριθμο. Μέχρι να βρεθεί η λύση το πρόβλημα δε θα είχε πια σημασία και μάλιστα υποθέτοντας οτι ο υπολογιστής δε θα χαλάσει η φθαρεί μέχρι να τελειώσει! Τέτοια προβλήματα λύνονται στην πράξη απλά επειδή ικανοποιούμαστε με υπο-βέλτιστες, αλλά και πάλι πολύ καλές, λύσεις. Αν επιμέναμε να εγγυηθούμε οτι η ευρισκόμενη λύση ήταν η καλύτερη δυνατή, το πρόβλημα δε θα ήταν διαχειρίσιμο. Ο χρόνος που χρειάζεται ένας υπολογιστής για να λύσει προβλήματα χρωματισμού αυξάνεται εκθετικά με το μέγεθος του γράφου. Σκεφτείτε το πρόβλημα χρωματισμού 136

9 χαρτών. Μπορεί να λυθεί δοκιμάζοντας όλους τους πιθανούς τρόπους χρωματισμού του χάρτη. Γνωρίζουμε οτι απαιτούνται το πολύ τέσσερα χρώματα, οπότε χρειάζεται να αξιολογήσουμε κάθε συνδυασμό αναθέσεων των τεσσάρων χρωμάτων στις χώρες. Αν οι χώρες είναι n, υπάρχουν 4 n συνδυασμοί. Αυτός ο αριθμός μεγαλώνει ραγδαία: για κάθε χώρα που προστίθεται το πλήθος των συνδυασμών πολλαπλασιάζεται επί τέσσερα, άρα τετραπλασιάζεται και ο χρόνος λύσης. Ακόμα κι αν κατασκευάζονταν ένας υπολογιστής που θα μπορούσε να λύσει το πρόβλημα για, π.χ., πενήντα χώρες σε μια ώρα, η προσθήκη μιας χώρας θα απαιτούσε τέσσερις ώρες και θα χρειαζόνταν να προσθέσουμε μόνο δέκα χώρες για να κάνουμε τον υπολογιστή να χρειαστεί περισσότερο από έναν χρόνο για να βρει τη λύση. Αυτού του είδους το πρόβλημα δεν πρόκειται να εξαφανιστεί όσο κι αν εξακολουθούμε να κατασκευάζουμε ολοένα ταχύτερους υπολογιστές! Ο χρωματισμός γράφων είναι ένα καλό παράδειγμα προβλήματος του οποίου ο χρόνος επίλυσης αυξάνεται εκθετικά. Για πολύ απλά στιγμιότυπα του προβλήματος, όπως οι μικροί χάρτες αυτής της δραστηριότητας, είναι αρκετά εύκολο να βρεθεί η βέλτιστη λύση, αλλά καθώς το πλήθος των χωρών αυξάνεται πέρα από τις δέκα, η χειρωνακτική επίλυση του προβλήματος γίνεται πολύ δύσκολη και με περισσότερες από εκατό χώρες ακόμα και ένας υπολογιστής θα χρειαζόνταν πολλά χρόνια για να δοκιμάσει όλους τους δυνατούς τρόπους χρωματισμού του χάρτη, ώστε να διαλέξει τον βέλτιστο. Πολλά προβλήματα του πραγματικού κόσμου είναι έτσι, αλλά πρέπει να λυθούν ούτως ή άλλως. Οι επιστήμονες της Πληροφορικής χρησιμοποιούν μεθόδους που δίνουν καλά, αλλά όχι τέλεια, αποτελέσματα. Αυτές οι ευριστικές τεχνικές είναι συχνά πολύ κοντά στο βέλτιστο, πολύ γρήγορες στον υπολογισμό και παρέχουν επαρκείς και πρακτικές λύσεις. Τα σχολεία μπορούν να ανεχτούν τη χρήση μιας επιπλέον τάξης που δε θα ήταν απαραίτητη αν το ωρολόγιο πρόγραμμα ήταν τέλειο και ίσως ο φτωχός χαρτογράφος μπορεί να έχει αρκετά χρήματα για ένα επιπλέον χρώμα, ακόμα κι αν δεν είναι απολύτως απαραίτητο. Κανείς δεν έχει αποδείξει οτι δεν υπάρχει ένας αποδοτικός τρόπος επίλυσης αυτών των προβλημάτων σε συμβατικούς υπολογιστές, αλλά επίσης κανείς δεν έχει αποδείξει οτι υπάρχει, και οι επιστήμονες της πληροφορικής είναι επιφυλακτικοί αν θα βρεθεί ποτέ μια αποδοτική μέθοδος. Θα μάθουμε περισσότερα για τέτοιου είδους προβλήματα στις επόμενες δύο δραστηριότητες. Περισσότερες πληροφορίες Ο Harel πραγματεύεται το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, συμπεριλαμβανομένης και της ιστορίας του, στο βιβλίο Algorithmics. Περισσότερες πτυχές του προβλήματος χρωματισμού χαρτών συζητούνται στο This is MEGA-Mathematics! από τους Casey και Fellows. Περισσότερες πληροφορίες για τον χρωματισμό γράφων μπορουν να βρεθούν στο βιβλίο των Beineke και Wilson Selected Topics in Graph Theory και στο βιβλίο των Garey και Johnson Computers and Intractability. Μεταφράστηκε στα ελληνικά από τον Γιώργο Μπουκέα, το Φεβρουάριο του Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

10 Οδηγίες: Χρωματίστε τις χώρες σε αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα χρώματα, αλλά βεβαιωθείτε οτι όλες οι γειτονικές χώρες έχουν διαφορετικό χρώμα. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

11 Οδηγίες: Χρωματίστε τις χώρες σε αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα χρώματα, αλλά βεβαιωθείτε οτι όλες οι γειτονικές χώρες έχουν διαφορετικό χρώμα. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

12 Οδηγίες: Χρωματίστε τις χώρες σε αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα χρώματα, αλλά βεβαιωθείτε οτι όλες οι γειτονικές χώρες έχουν διαφορετικό χρώμα. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

13 Οδηγίες: Χρωματίστε τις χώρες σε αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα χρώματα, αλλά βεβαιωθείτε οτι όλες οι γειτονικές χώρες έχουν διαφορετικό χρώμα. Από το Computer Science Unplugged (http://csunplugged.org/) Bell, Witten και Fellows,

Ορολογία Αλγόριθμος, υπολογιστική σκέψη, αλγοριθμική σκέψη, αποδοτικότητα, δοκιμή.

Ορολογία Αλγόριθμος, υπολογιστική σκέψη, αλγοριθμική σκέψη, αποδοτικότητα, δοκιμή. Το παζλ ανταλλαγής Ηλικίες: 7 ενήλικες Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Καμία Χρόνος: 50-60 λεπτά Μέγεθος ομάδας: 8 με 30 Εστίαση Τι είναι αλγόριθμος; Δοκιμή Αποδοτικότητα αλγορίθμων Υπολογιστική και αλγοριθμική

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα: Εγκλεισμός

Δραστηριότητα: Εγκλεισμός Δραστηριότητα: Εγκλεισμός Ηλικίες στις οποίες έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία: Προαπαιτούμενες Ικανότητες: Χρόνος: Εστίαση Μέγεθος Ομάδας 11 - ενήλικες Καμία Τι είναι αλγόριθμος Αλγόριθμοι αναζήτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβλητες: Q, NSW, V, T, SA, WA, NT. Πεδίο Ορισμού: Για κάθε μεταβλητη το ίδιο. D i ={R, G, B} όπου i= Q, NSW,., NT.

Μεταβλητες: Q, NSW, V, T, SA, WA, NT. Πεδίο Ορισμού: Για κάθε μεταβλητη το ίδιο. D i ={R, G, B} όπου i= Q, NSW,., NT. 1. Στην άσκηση μας, μας έχει δωθεί ένας γράφος, ο οποίος αντιπροσωπεύει ένα χάρτη και μάλιστα αυτόν της Αυστραλίας. Στον γράφο αυτό υπάρχουν και κόμβοι, οι οποίοι αφορούν με τη σειρά τους τις διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου. Πανηγύρι Τεχνολογίας

Πανεπιστήμιο Κύπρου. Πανηγύρι Τεχνολογίας Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Επιστημών της Αγωγής Προγραμματισμός για το μάθημα ΕΠΑ 238: Σχεδιασμός και τεχνολογία Πανηγύρι Τεχνολογίας Προγραμματισμός εργασίας: Συνάντηση 1 η : Στάδιο 1: Κατάσταση πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Διατύπωση Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε

Διαβάστε περισσότερα

TRIDIO 190016 TRIDIO 1

TRIDIO 190016 TRIDIO 1 TRIDIO 190016 1 Τι είναι το Tridio; Το Tridio είναι μια ανεξάρτητη μέθοδος εργασίας με σκοπό να υποστηρίξει τις τρέχουσες μεθόδους διδασκαλίας μαθηματικών στους τομείς της ανάπτυξης της χωρικής ικανότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στο έντυπο το οποίο θα συμπληρώσετε για τον προγραμματισμό της εργασίας σας πρέπει να φαίνονται οι συναντήσεις που θα κάνετε με τα παιδιά, καθώς και ποια στάδια του σχεδιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya Ι 1 / 21 Οι έξι όψεις ενός κύβου θα χρωματιστούν με 6 διαφορετικά χρώματα, κάθε όψη με ένα διαφορετικό χρώμα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη Χειμερινό Εξάμηνο

ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη Χειμερινό Εξάμηνο ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Πρώτη Σειρά Ασκήσεων (Υποχρεωτική, 25% του συνολικού βαθμού στο μάθημα) Ημερομηνία Ανακοίνωσης: 22/10/2014 Ημερομηνία Παράδοσης: Μέχρι 14/11/2014 23:59

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Σημειώσεις μαθήματος Μ2324 Γεωμετρική Τοπολογία Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2011 Εισαγωγή Η Γεωμετρική Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα ολικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση

Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση Αναζήτηση σημαίνει την εύρεση μιας λύσης (τελικής κατάστασης) ενός προβλήματος διά της συνεχούς δημιουργίας (νέων) καταστάσεων με την εφαρμογή των διαθέσιμων ενεργειών

Διαβάστε περισσότερα

Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων

Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων 2η Δραστηριότητα Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων Περίληψη Οι υπολογιστές απομνημονεύουν τα σχέδια, τις φωτογραφίες και άλλα σχήματα, χρησιμοποιώντας μόνον αριθμούς. Με την επόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Άσκηση 1 Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Υπάρχουν τρία μαύρα τετραγωνάκια (b), τρία άσπρα (w) και ένα κενό (e). Η σπαζοκεφαλιά έχει τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών

Διδακτική των Μαθηματικών Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο : Μαμτζέλλη Χρυσούλα Τάξη : Γ Δημοτικού Κεφάλαιο 43 : Η συμμετρία Πρόκειται για ένα εισαγωγικό μάθημα στην αξονική συμμετρία. Οι μαθητές θα μάθουν πότε δύο σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική δραστηριότητα: Το πρόβλημα της λασπωμένης πόλης (σελ. 80) Πλακάκια ή τετράγωνα κομματάκια από χαρτόνι (περίπου 40 για κάθε παιδί)

Πρακτική δραστηριότητα: Το πρόβλημα της λασπωμένης πόλης (σελ. 80) Πλακάκια ή τετράγωνα κομματάκια από χαρτόνι (περίπου 40 για κάθε παιδί) 9η Δραστηριότητα Η λασπωμένη πόλη - Minimal Spanning Trees* (*είδος γραφημάτων) Περίληψη Η κοινωνία μας συνδέεται με πολλά δίκτυα: το τηλεφωνικό δίκτυο, το ενεργειακό δίκτυο, το οδικό δίκτυο. Για ένα ιδιαίτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου)

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ηλικίες: Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Χρόνος: Μέγεθος ομάδας: 8 ενήλικες Καμία 15 λεπτά για τη βασική δραστηριότητα, περισσότερο για τις επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η πιθανότητα να είναι ένα νεογέννητο αγόρι είναι ½. Αν ένα αντρόγυνο κάνει δύο παιδιά, ποια η πιθανότητα να κάνει α πρώτα ένα αγόρι και μετά ένα κορίτσι, β ένα αγόρι και ένα κορίτσι

Διαβάστε περισσότερα

Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός»)

Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός») Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός») Ηλικίες: Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Χρόνος: Μέγεθος ομάδας: 8 ενήλικες Καμία 50-60 λεπτά από 1 άτομο και πάνω Εστίαση Γράφοι, Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ Ομάδα ανάπτυξης Μαρία Τσικαλοπούλου, Μαθηματικός Σ Κ Υ Δ Ρ Α / 2 0 1 5 Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα μαθηματικά της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητα εκπαιδευτικού σεναρίου

Ταυτότητα εκπαιδευτικού σεναρίου Ταυτότητα εκπαιδευτικού σεναρίου Τίτλος: Συμβάντα και ενέργειες - Το πολύχρωμο σκαθάρι Σύντομη περιγραφή: Ένα εκπαιδευτικό σενάριο για την διδασκαλία των συμβάντων και ενεργειών στον προγραμματισμό, με

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2: Λαβύρινθοι και ρομπότ Α. (Σχεδιασμός χώρου καταστάσεων) Ενδεικτική επίλυση

Άσκηση 2: Λαβύρινθοι και ρομπότ Α. (Σχεδιασμός χώρου καταστάσεων) Ενδεικτική επίλυση Άσκηση 2: Λαβύρινθοι και ρομπότ Η εταιρία «Ρομπότ» παρουσιάζει το νέο της μοντέλο, τον πλοηγό πάρκων Ρ-310. Το Ρ-310 είναι δημοφιλές γιατί όπου και αν είσαι μέσα στο πάρκο σου λέει πώς πρέπει να κινηθείς

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Προσομοίωσης

Εφαρμογές Προσομοίωσης Εφαρμογές Προσομοίωσης H προσομοίωση (simulation) ως τεχνική μίμησης της συμπεριφοράς ενός συστήματος από ένα άλλο σύστημα, καταλαμβάνει περίοπτη θέση στα πλαίσια των εκπαιδευτικών εφαρμογών των ΤΠΕ. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Και τώρα τι κάνω; Σημαντικότερο απ όλα είναι να διαβάσεις και να ευχαριστηθείς την ιστορία και τις πληροφορίες για τον κόσμο των χρωμάτων

Και τώρα τι κάνω; Σημαντικότερο απ όλα είναι να διαβάσεις και να ευχαριστηθείς την ιστορία και τις πληροφορίες για τον κόσμο των χρωμάτων Και τώρα τι κάνω; Σημαντικότερο απ όλα είναι να διαβάσεις και να ευχαριστηθείς την ιστορία και τις πληροφορίες για τον κόσμο των χρωμάτων Να ποια είναι τα υλικά που θα χρειαστείς: γκρι χαρτόνι (100 γραμμαρίων)

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI

Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI Εργασία 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑΣ: Τσελίγκα Αρετή, 1312009161, Στ εξάμηνο, κατεύθυνση: Εκπαιδευτική Τεχνολογία και Διαπολιτισμική Επικοινωνία Το γνωστικό αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα σχεδιασμού διδακτικής ενότητας: ο σχεδιασμός της διδακτικής ενότητας «Stayman»

Παράδειγμα σχεδιασμού διδακτικής ενότητας: ο σχεδιασμός της διδακτικής ενότητας «Stayman» Παράδειγμα σχεδιασμού διδακτικής ενότητας: ο σχεδιασμός της διδακτικής ενότητας «Stayman» Στο προηγούμενο άρθρο μου παρουσίασα το διδακτικό πλαίσιο της διδασκαλίας του Μπριτζ στην Ελλάδα, ξεκινώντας από

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Βάσεων Δεδομένων

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Βάσεων Δεδομένων Βάσεις Δεδομένων Επαγγελματικού Λυκείου Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Βάσεων Δεδομένων Εισηγητής Δελησταύρου Κωνσταντίνος Καθηγητής Πληροφορικής ΠΕ20 Μηχανικός Πληροφορικής Τ.Ε. M.Sc. στα Συστήματα Υπολογιστών Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ» Κείμενα

ΘΕΜΑ: «ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ» Κείμενα ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ Δημοτικό σχολείο Σκύδρας ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr»

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Επεξήγηση web site με λογικό διάγραμμα «Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Web : www.e-base.gr E-mail : support@e-base.gr Facebook : Like Twitter : @ebasegr Πολλοί άνθρωποι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα

Διαβάστε περισσότερα

4 Εαν προσπαθούσα να ξεφύγω από κάτι, τότε τα επιχειρήματα μου θα ήταν: Α με συνέπεια Β με μοναδικότητα C με λεπτομέρεια D με εξειδικευμένες γνώσεις

4 Εαν προσπαθούσα να ξεφύγω από κάτι, τότε τα επιχειρήματα μου θα ήταν: Α με συνέπεια Β με μοναδικότητα C με λεπτομέρεια D με εξειδικευμένες γνώσεις Kolbe A Test Απάντησε ρωτώντας τον εαυτό σου: Αν ήμουν ελεύθερος να δράσω όντας ο εαυτός μου και κάνοντας αυτό που μπορώ να κάνω καλύτερα, τότε θα έκανα... (επέλεξε μία από τις 4 επιλογές, καθώς και μία

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και

Διαβάστε περισσότερα

Η εισήγηση Η τεχνική του καταιγισμού ιδεών (Brainstorming). Η μελέτη περίπτωσης. Παίξιμο ρόλων-τα παιχνίδια προσομοίωσης, ρόλων,

Η εισήγηση Η τεχνική του καταιγισμού ιδεών (Brainstorming). Η μελέτη περίπτωσης. Παίξιμο ρόλων-τα παιχνίδια προσομοίωσης, ρόλων, Η εισήγηση Η τεχνική του καταιγισμού ιδεών (Brainstorming). Η μελέτη περίπτωσης. Παίξιμο ρόλων-τα παιχνίδια προσομοίωσης, ρόλων, αντιπαράθεσης απόψεων. Εννοιολογική χαρτογράφηση -Ο χάρτης εννοιών (concept

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ. ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Othello-TD Learning. Βόλτσης Βαγγέλης Α.Μ

ΑΥΤΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ. ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Othello-TD Learning. Βόλτσης Βαγγέλης Α.Μ ΑΥΤΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Othello-TD Learning Βόλτσης Βαγγέλης Α.Μ. 2011030017 Η παρούσα εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του μαθήματος Αυτόνομοι Πράκτορες και σχετίζεται με λήψη αποφάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Γώγουλος Γ., Κοτσιφάκης Γ., Κυριακάκη Γ., Παπαγιάννης Α., Φραγκονικολάκης Μ., Χίνου Π. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά Καργιωτάκης Γιώργος, Μπελίτσου Νατάσσα Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά στις τάξεις Β, Δ και Ε (μιας διδακτικής ώρας). ΣΤΟΧΟΣ ΒΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟ- ΧΡΟΝΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Αρχική αξιολόγηση επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Ικανοποίηση Περιορισμών Κατηγορία προβλημάτων στα οποία είναι γνωστές μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΙΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΤΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

ΠΑΝΕΠΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΙΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΤΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΠΑΝΕΠΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΙΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΤΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ: Δραστηριότητες Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο

Διαβάστε περισσότερα

1 κεντρικό ταμπλό. 1 εγχειρίδιο οδηγιών. Κύβοι μεταναστών. 25 Ιρλανδοί 25 Άγγλοι 25 Γερμανοί 25 Ιταλοί. Δείκτες πολιτικής εύνοιας

1 κεντρικό ταμπλό. 1 εγχειρίδιο οδηγιών. Κύβοι μεταναστών. 25 Ιρλανδοί 25 Άγγλοι 25 Γερμανοί 25 Ιταλοί. Δείκτες πολιτικής εύνοιας Tammany Hall ήταν η πολιτική οργάνωση που κυριαρχούσε στην πολιτική της Νέας Υόρκης, οργανώνοντας τους μεταναστευτικούς πληθυσμούς. Καθώς η επιρροή της οργάνωσης εκτείνονταν από την ίδρυσή της το 1790

Διαβάστε περισσότερα

ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ) !"Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων.

ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ) !Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων. ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ)!"Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων.!"σύντομη περιγραφή διερεύνησης: Στη διερεύνησή μας μετρήθηκε ο χρόνος που χρειάστηκαν

Διαβάστε περισσότερα

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 8. Χελωνόκοσμος (απαιτεί να είναι εγκατεστημένο το Αβάκιο) (6 ώρες) Τίτλος: Ιδιότητες παραλληλογράμμων Δημιουργός: Μιχάλης Αργύρης ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η Τζούλι και η μαμά της έχουν βγει για να αγοράσουν ένα τζιν για το σχολείο. Παρατηρούν έναν πάγκο με την εξής ταμπέλα πάνω: 40% έκπτωση των τιμών στις ετικέτες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή Επαναληπτικές Ασκήσεις Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Άσκηση 1 Τι πραγματεύεται το θεώρημα Euler; Απάντηση Ψευδογραφήματα που περιέχουν ένα κύκλωμα στο ψευδογραφήματα, των οποίων ο βαθμός κάθε κορυφής

Διαβάστε περισσότερα

Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασία του πρωτότυπου κειμένου του Α. Κάστωρ για την επίλυση των παραδειγμάτων κρίσιμης αλυσίδας που

Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασία του πρωτότυπου κειμένου του Α. Κάστωρ για την επίλυση των παραδειγμάτων κρίσιμης αλυσίδας που Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασία του πρωτότυπου κειμένου του Α. Κάστωρ για την επίλυση των παραδειγμάτων κρίσιμης αλυσίδας που παρουσιάστηκαν στις 19/11/2015 και 3/12/2015 στις διαλέξεις του

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας.

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. ΕΝΟΤΗΤΑ Ακολουθίες Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. Να αναπαριστούμε τις ακολουθίες με διάφορους τρόπους. Να βρίσκουμε τον επόμενο όρο ή τον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: ΣΤ Η γάτα και το ποντίκι 1. Ένα ποντίκι βρίσκεται πάνω σε έναν τοίχο ύψους 2 μέτρων και κάτω στο έδαφος, περιμένοντας το, βρίσκεται μια γάτα. Κατά τη διάρκεια της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Στο τρίτο άρθρο αυτής της σειράς, η οποία αποτελεί μια πρώτη, μικρή απάντηση στις ανάγκες των εκπαιδευτών του σεμιναρίου της 12 ης & 13 ης Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΨΗΦΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΜΑ Α Α Αριθµητική Λογική Μονάδα των 8-bit 1. Εισαγωγή Γενικά µια αριθµητική λογική µονάδα (ALU, Arithmetic Logic Unit)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and

Διαβάστε περισσότερα

Εμπέδωση. Πρακτικές Εισηγήσεις για την Δ τάξη. Από την εκπαιδευτικό Ρόδω Κίτσου

Εμπέδωση. Πρακτικές Εισηγήσεις για την Δ τάξη. Από την εκπαιδευτικό Ρόδω Κίτσου Εμπέδωση Πρακτικές Εισηγήσεις για την Δ τάξη Από την εκπαιδευτικό Ρόδω Κίτσου Εμπέδωση; Γιατί ; Απόκτηση πυρηνικής γνώσης Μείωση του χρόνου ελέγχου και διόρθωσης γενικών επαναληπτικών φυλλαδίων «Δικλείδα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Προβληματισμοί: Η σωστή διατροφή είναι ένα κοινωνικό θέμα που σχετίζεται με τον σύγχρονο τρόπο ζωής. Η παιδική παχυσαρκία έχει γίνει κοινωνική μάστιγα

Προβληματισμοί: Η σωστή διατροφή είναι ένα κοινωνικό θέμα που σχετίζεται με τον σύγχρονο τρόπο ζωής. Η παιδική παχυσαρκία έχει γίνει κοινωνική μάστιγα Προβληματισμοί: Η σωστή διατροφή είναι ένα κοινωνικό θέμα που σχετίζεται με τον σύγχρονο τρόπο ζωής Η παιδική παχυσαρκία έχει γίνει κοινωνική μάστιγα Στόχοι προγράμματος: Να εντάξουν οι μαθητές στην καθημερινότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 Η ενότητα 7 περιλαμβάνει την ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών μέχρι το 10, στρατηγικές πρόσθεσης/αφαίρεσης και επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. ΔΕΙΚΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά Καργιωτάκης Γιώργος, Μπελίτσου Νατάσσα Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά στις τάξεις Β, Δ και Ε (μιας διδακτικής ώρας). ΣΤΟΧΟΣ ΒΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟ- ΧΡΟΝΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Αρχική αξιολόγηση επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ"

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ" ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης Σπυρίδων Ακαδημαικό Έτος:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος ΙΙ)

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος ΙΙ) Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙΙ) Ανάθεση συχνοτήτων Ο αλγόριθμος σταθερών αναθέσεων FA (Fixed Allocation) Ο άπληστος (Greedy) αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ή ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ

1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ή ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ή ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 «Μαθαίνω στη γάτα να σχεδιάζει» Δραστηριότητα 1 Παρατηρήστε τις εντολές στους παρακάτω πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Ένα παιχνίδι για 2-4 εξερευνητές, ηλικίας 8 και άνω. Διάρκεια παιχνιδιού περίπου 60 λεπτά

Ένα παιχνίδι για 2-4 εξερευνητές, ηλικίας 8 και άνω. Διάρκεια παιχνιδιού περίπου 60 λεπτά Ένα παιχνίδι για 2-4 εξερευνητές, ηλικίας 8 και άνω Διάρκεια παιχνιδιού περίπου 60 λεπτά ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ταμπλό με τον χάρτη της Αφρικής Βιβλίο 2 βιβλία Κάρτες Περιπέτειας 30 κάρτες περιπέτειας (15 με λευκό

Διαβάστε περισσότερα

Πώς και γιατί μετακινούμαστε;

Πώς και γιατί μετακινούμαστε; Πώς και γιατί μετακινούμαστε; Διδακτική πρόταση 1: Συνοπτικό πλαίσιο μετακίνησης και εγκατάστασης Ερωτήματα-κλειδιά Γιατί και πώς μετακινούμαστε από τα πολύ παλιά χρόνια μέχρι σήμερα; Πού μένουμε από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα στις Εικαστικές Τέχνες Σκιαγραφώντας το σχολείο / τη γειτονιά μου

Ενότητα στις Εικαστικές Τέχνες Σκιαγραφώντας το σχολείο / τη γειτονιά μου Ενότητα στις Εικαστικές Τέχνες Σκιαγραφώντας το σχολείο / τη γειτονιά μου Ομάδα Εικαστικής Αγωγής 2014 Σκιαγραφώντας το σχολείο/τη γειτονιά μου Τάξεις: Γ Στ Περιγραφή ενότητας: Οι μαθητές/τριες καταγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές

Αλγοριθμικές Τεχνικές Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Αλγοριθμικές Τεχνικές 1 Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Ταυτότητα Σεναρίου Τίτλος: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Γνωστικό Αντικείμενο: Πληροφορική Διδακτική Ενότητα: Ελέγχω-Προγραμματίζω τον Υπολογιστή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό.

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό. 1 η περίοδος Ενότητα 2η: Πρόσθεση και ανάλυση αριθμών μέχρι το 5 Στόχοι της ενότητας: Μετά το τέλος της ενότητας οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί να: Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα