NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA. Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA

Transcript

1 NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA U prethodnim radovima [2] i [3] opisana je teorija linearnog programiranja. U ovom radu prikaza emo jednu od osnovnih metoda za rexavanje problema linearnog programiranja simpleks metodu. Iako je od njenog otkri a proxlo vixe od pola veka (Dancig [1]), u naxoj sredini se jox uvek na tu metodu gleda kao na veoma specijalno i sloжeno matematiqko znanje. U nastavi se nalazi iskljuqivo na fakultetima matematiqkog i ekonomskog profila, qesto nejasno, komplikovano ili nekorektno izloжena. Cilj ovoga rada je da se na minimalnom broju strana prikaжu i,,pedagoxke i,,kompjuterske varijante simpleks metode i da tako ona postane dostupna svima koji imaju osnovno univerzitetsko matematiqko obrazovanje. Problem koji se rexava simpleks metodom je nalaжenje minimuma (ili maksimuma) linearne funkcije f(x) =cx (c je poznata vrsta, x =(x 1,x 2,...,x n ) je kolona sa n nepoznatih) pri ograniqenjima (1) Ax = b (A je poznata m n matrica, b je poznata kolona) i (2) x 0. Drugim reqima, traжi se minimum linearne funkcije od n nepoznatih na skupu nenegativnih rexenja sistema (1) linearnih jednaqina. Oblik (1)-(2) problema linearnog programiranja zove se kanonski. Svaki problem linearnog programiranja moжe se svesti na kanonski oblik, pri qemu se moжe pretpostaviti da je b 0. Zaista, ako problem ima nejednaqinu oblika ax β, ona se moжe zameniti sa ax + y = β, y 0, a nejednaqina oblika ax β sa ax y = β, y 0, pri qemu je y nova nenegativna promenljiva, koja se zove izravnavaju a za posmatrano ograniqenje. Ako u problemu nedostaje uslov nenegativnosti neke promenljive, ona se moжe zameniti razlikom dve nove nenegativne promenljive, jer je svaki broj razlika dva nenegativna broja. Glavna prednost kanonskog oblika nad ostalim oblicima je u uniformnom i uprox enom zapisu ograniqenja tipa nejednakosti, kao i u mogu nox u rexavanja sistema (1) linearnih jednaqina, xto se u simpleks metodi efikasno koristi.

2 28. Dugoxija Sistem (1) moжe se posmatrati kao problem da se kolona b izrazi kao linearna kombinacija kolona matrice A sa teжinama x j, j =1, 2,...,n: n (1) b = x j k j j=1 Iz linearne algebre je poznato da sve linearne kombinacije kolona matrice grade vektorski prostor. Maksimalni podskupovi linearno nezavisnih kolona matrice su baze tog prostora. Sve baze imaju isti broj elemenata jednak rangu r matrice A. Sistem (1) ima rexenja ako b pripada prostoru kolona. Tada se b kao i nebazisne kolone matrice mogu na jedinstven naqin izraziti kao linearne kombinacije kolona izabrane baze (bazisnih kolona). Sva rexenja sistema (1) dobijaju se kad se slobodno izaberu nepoznate uz nebazisne kolone i preostali sistem rexi po nepoznatim uz bazisne kolone, xto je na jedinstven naqin mogu e. Podmatrixu matrice sastavljenu od kolona neke baze prostora kolona zva emo baza matrice, a promenljive koje odgovaraju tim kolonama zva emo bazisne promenljive. Kolonu sastavljenu od bazisnih promenljivih obeleжava emo sa x B. Sa N emo obeleжiti podmatricu sastavljenu od nebazisnih kolona, a sa x N kolonu od nebazisnih promenljivih. Sistem (1) moжe se tada napisati u obliku (1) Bx B + Nx N = b i, ako ima rexenja, sva njegova rexenja imaju komponente x B i x N pri qemu se x N moжe slobodno izabrati dok se bazisne promenljive za bilo koji izbor x N mogu izraqunati na slede i naqin. Kako B ne mora biti kvadratna matrica, pomnoжimo obe strane u (1) najpre sa B,azatimsa(B B) 1 (xto postoji, jer su kolone u B linearno nezavisne). Dobijamo: x B =(B B) 1 [B b B Nx N ]. Rexenje koje odgovara izboru x N =0zove se bazisno rexenje za bazu B. Bazu za koju je pripadno bazisno rexenje nenegativno (dakle dopustiva taqka problema) zva emo dopustiva baza. I funkciju cilja moжemo izraziti iskljuqivo preko nebazisnih promenljivih zamenom izraqunatog x B u izraz za f: (3) f = c B x b + c N x N = c B (B B) 1 [B b B Nx N ]+c N x N = f 0 + r N x N, gde je f 0 = c B (B B) 1 B b i r N = c N c B (B B) 1 B N. U sluqaju da je matrica B invertibilna, prethodne formule se uprox- avaju, jer je (B B) 1 B = B 1. Iz (3) sledi jednostavan Dovoljan uslov optimalnosti. Ako je bazisno rexenje x za bazu B dopustivo, a svi koeficijenti r N uz nebazisne promenljive nenegativni, ono je optimalno rexenje polaznog problema.

3 Simpleks metoda 29 Zaista, iz (3) sledi f(x) f 0 = f(x) za sva dopustiva rexenja x problema. Ako x nije proxlo test optimalnosti, r N ima bar jednu negativnu koordinatu r j. Popravljanje rexenja Moжemo potraжiti bolje rexenje kao funkciju nenegativnog parametra x j = t, zadrжavaju i ostale slobodne promenljive iz x N na vrednosti nula. Za takav izbor slobodnih promenljivih imamo (4) x B (t) =x B (B B) 1 B k j t i (5) f(t) =f 0 + r j t. Iz poslednje veze vidi se da sa rastenjem parametra t dolazi do opadanja vrednosti funkcije cilja. Najvixe emo sniziti funkciju cilja ako biramo najve e nenegativno t za koga dobijemo dopustive taqke tj. za koga je (6) x B (t) 0. Primetimo da je (6) sistem linearnih nejednaqina sa jednom nepoznatom i da se moжe napisati u obliku (6 ) x B yt, pri qemu je y stubac koeficijenata kojima se izraжava kolona k j ubazib, tj. takav da je k j = By (xto, rexeno po y, daje y =(B B) 1 B k j ). Ako je y 0, (6) je zadovoljeno za sve t 0. Rexenje x(t) sa koordinatama x B = x B (B B) 1 B k j t, x j = t i ostalim koordinatama jednakim nuli je dopustivo za sve t 0 i f(t) kad t. Time je problem linearnog programiranja u ovom sluqaju rexen. Ako y ima bar jednu pozitivnu koordinatu, sistem (6) ima rexenje { xs gde je ˆt = min y s 0 t ˆt, } y s > 0, k s B. Neka je x i (ˆt) =x i ˆty i =0bilo koja koordinata vektora x B (ˆt) koja se anulira i za koju vaжi y i > 0. Skup kolona B 1 =(B \{k i }) {k j } ponovo qini bazu prostora kolona, jer se k j ubazib izraжava sa koeficijentom y i uz k i razliqitim od nule (pozitivnim). Bazisno rexenje koje odgovara bazi B 1 je upravo ˆx = x(ˆt), kojezbogf(ˆx) =f(x)+r jˆt f(x) nije loxije od x.

4 30. Dugoxija Algoritam simpleks metode Korak 0. Polazimo od neke baze qije je pripadno bazisno rexenje dopustivo. Korak 1. Proverimo optimalnost tog rexenja pomo u navedenog dovoljnog uslova. Ako rexenje zadovoljava uslov optimalnosti, problem je rexen. U sluqaju da rexenje ne zadovoljava dovoljan uslov, idemo na Korak 2. Traжimo bolje rexenje na opisani naqin. Ako nađemo zrak duж koga funkcija cilja neograniqeno opada, problem je rexen. U suprotnom nalazimo drugu dopustivu bazu koja se od prve razlikuje u jednoj koloni i qije pripadno bazisno rexenje po vrednosti funkcije cilja nije loxije od prethodnog i idemo ponovo na korak 1. Vode i raquna ( ) da se baze ne ponove, postupak e biti konaqan, jer je broj n baza najvixe. Ponavljanje baza (cikliranje) se moжe izbe i posebnim procedurama biranja ulaжenja i izlaжenja kolona iz baza. Jedna od najprostijih r takvih procedura je Blendovo pravilo minimalnog indeksa ([4]): U svakoj iteraciji za izlaz iz baze i za ulaz u bazu izabrati kandidata sa najmanjim indeksom. Dokaz je sloжen pa ga izostavljamo (vidi na primer [6] ili [7]). Bez primene procedure protiv cikliranja, ponavljanje baza je mogu e, ali je u praksi vrlo retko. Dokazano je da je verovatno a pojave cikliranja pri sluqajno izabranim koeficijentima problema jednaka nuli, te ve ina raqunarskih imlementacija simpleks metode ne vodi o tom raquna. Primer 1. Rexiti simpleks metodom problem min f = x y p.o. x + y 3, 2x + y 4, y 0. Problem prvo transformixemo u kanonski oblik uvode i izravnavaju e promenljive a i b i zamenjuju i x sa razlikom dve nenegativne promenljive x i x : min f = x x y p.o. x x + y + a =3, 2x 2x + y b =4, x,x,y,a,b 0. Matrica sistema je ( ) A = Jednu ( dopustivu ) bazu prostora kolona qine prva ( i poslednja ) kolona. Zaista za B = nebazisna podmatrica je N =, a pripadno bazisno rexenje, dobijeno izborom x = y = a =0i rexavanjem sistema po x i b, je

5 Simpleks metoda 31 (x,x,y,a,b) =(3, 0, 0, 0, 2) (00000).Kakoje ( B 1 = B, B N = r N = c N c B B 1 N =( 1 10) (1 0) ), ( ) =(0 2 1), kandidati za ulaz u bazu su tre a (uz y) i qetvrta (uz a) kolona matrice A. Saglasno Blendovom pravilu, izabra emo tre u kolonu za ulaz u bazu. Odredimo reprezentaciju tre e kolone u bazi B rexavanjem sistema ( 1 1 ) = By. ( ) ( ) 1 1 Dobijamo y = B 1 =. Odredimo sada najve e t za koje je x 1 1 B yt = ( ) ( ) ( ) t. To je ˆt = min{ , 2 1 } =2. Pri izboru t = ˆt anulira se druga od ovih nejednaqina (koja odgovara promenljivoj b), te je xesta kolona ( (uz) b) 1 1 (jedini) kandidat za izlaz iz baze. Nova dopustiva baza je zato B =, 2 1 a pripadno ( bazisno ) rexenje je ˆx =(3 ˆt, 0, ˆt, 0, 0) ( =(1, 0, )( 2, 0, 0). Dalje ) je B 1 =, r 2 1 N =( 1 00) (1 1) = (032) (000), pa je ˆx, prema dovoljnom uslovu optimalnosti, optimalno rexenje problema. Varijante simpleks metode Izloжeni algoritam simpleks metode je,,sirov jer u svakoj iteraciji metode treba vrxiti invertovanje matrica, xto nije lak posao ni ruqno ni raqunarski. Invertovanje je trivijalno ako je baza jediniqna matrica. Osim toga reprezentacija nebazisnih kolona preko jediniqnih bazisnih je neposredno qitljiva, a izraжavanje funkcije cilja preko nebazisnih promenljivih vrlo lako. U tu svrhu dovoljno je od funkcije cilja oduzeti pogodnu linearnu kombinaciju jednaqina sistema (1), biraju i za teжine brojeve suprotne koeficijentima uz bazisne promenljive. To daje ideju da se algoritam izmeni tako da se u svakom koraku pojavljuju jediniqne matrice kao baze. Pretpostavimo da je polazna dopustiva baza jediniqna. Primetimo da su koordinate pripadnog bazisnog rexenja u tom sluqaju bax koordinate vektora b (eventualno permutovane), te je dakle b 0. Neka prema algoritmu u bazu treba da uđe kolona k j =(a 1j a 2j a mj ) koja ima bar jedan pozitivan element. Po algoritmu, iz baze treba da izađe jediniqna bazisna kolona sa jedinicom u i-toj vrsti matrice A, pri qemu je i određeno sa (7) b i a ij = min { bs a sj a sj > 0 }.

6 32. Dugoxija Da bi nova baza postala jediniqna dovoljno je elementarnim transformacijama (koje ne menjaju skup dopustivih rexenja) pretvoriti kolonu k j u jediniqnu sa jedinicom na polju (i, j). Element a ij zva emo pivot. Da bismo ga pretvorili u jedinicu podelimo obe strane i-te jednaqine sa a ij, xto je korektno, jer je a ij 0. Da bismo anulirali ostale elemente j-te kolone, od s-te jednaqine oduzmemo (po stranama) umnoжak i-te jednaqine sa a sj. Slobodan qlan s-te a sj jednaqine postaje b s b i i, zbog (7), ostaje nenegativan za sve s i. Zato a ij je bazisno rexenje koje odgovara novoj jediniqnoj bazi nenegativno, pa se algoritam moжe nastaviti qix enjem funkcije cilja od nove bazisne promenljive x j. Ovo je mogu e uraditi odbijaju i od izraza za f umnoжak i-te jednaqine sistema sa koefijentom uz x j. Kako se polazni problem moжe zapisati matriqno (tabliqno) i algoritam predstaviti nizom transformacija matrica, izloжena varijanta simpleks metode zove se tabliqna simpleks metoda: Tabliqna simpleks metoda Problemu min f = cx + f 0, p.o, Ax = b, x 0 pridruжimo tablicu x f f 0 = c. b = A Iz pedagoxkih razloga (radi lakog dexifrovanja) zadrжali smo u tablici zapis funkcije f, promenljivih x iznakove= iako se oni obiqno ne zapisuju. Tablica se zove simpleks tablica, ako u matrici A postoji bazisna jediniqna podmatrica qiji je format jednak broju vrsta u A, akojeb 0 i ako su koeficijenti koji odgovaraju bazisnim kolonama u prvoj vrsti (izrazu za funkciju cilja) jednaki nuli. Tabliqna varijanta metode polazi od jedne simpleks tablice. Ako su elementi prve vrste sa izuzetkom prvog elementa nenegativni, pripadno bazisno rexenje je optimalno. U suprotnom izabere se kolona uz jedan od tih negativnih koeficijenata za ulaz u bazu. Ako ta kolona nema pozitivnih elemenata funkcija cilja je neograniqena odozdo. Ako kolona ima pozitivnih elemenata, među njima se odredi pivot kao jedan od pozitivnih elemenata za koga se dostiжe minimum u (7). Matrica se transformixe po slede em mnemotehniqkom pravilu: (i) vrsta pivota deli se pivotom; (ii) ostali elementi matrice menjaju se tako, xto se od stare vrednosti oduzme prozvod projekcija tog elementa na vrstu i kolonu pivota razdeljen pivotom. Time se ponovo dobija simpleks tablica i algoritam ponavlja. Ako se baze ne ponove, xto se moжe osigurati Blendovim pravilom, postupak je konaqan. Mana tabliqne simpleks metoda je mogu nost nagomilavanja grexaka prilikom iteracija. Zato ve ina komercijalnih programa radi tzv. revidiranom

7 Simpleks metoda 33 simpleks metodom koja se od algoritma koji smo prvobitno izloжili razlikuje samo u nekoliko finesa: Revidirana simpleks metoda Revidirana simpleks metoda polazi od neke dopustive baze B. Da bi se funkcija cilja izrazila preko nebazisnih promenljivih, od izraza za funkciju cilja oduzima se linearna kombinacija jednaqina sistema sa teжinama u = (u 1 u 2 u m ) takvim da je (8) c B = ub. Ovaj sistem je mogu e rexiti, jer njegova matrica sistema (B ) ima linearno nezavisne vrste. Izraz za funkciju cilja dobija oblik (9) f ub = r N x N, r N = c N un. U sluqaju da kolona k j treba da uđe u bazu, da bi se utvrdilo koja kolona treba da izađe iz nje, treba odrediti reprezentaciju kolone k j ustarojbazib, tj. rexiti sistem (10) k j = By. Dalje algoritam ide po ve opisanim pravilima (rexavanjem sistema (6 ) itd). Usko grlo revidirane simpleks metode je rexavanje sistema (8) i (10) bez invertovanja matrica. Na sre u oni se mogu svesti na rexavanje niza prostijih sistema, ako se iskoristi fakt da se nova baza dobija iz stare zamenom jedne kolone j-te po redu nekom drugom kolonom k. Zato se nova baza dobija kao proizvod stare baze i matrice kojoj je j-ta jediniqna kolona zamenjena kolonom k. Matrice koje se od jediniqne matrice razlikuju u jednoj koloni zovu se eta matrice. Ako je poqetna baza bila jediniqna matrica, p-ta baza ima oblik proizvoda eta matrica E 1 E 2 E p,paseup-toj iteraciji algoritma sistemi (8) i (10) mogu rexavati kao niz sistema, svaki sa jednom eta matricom: (8) (10) c B =( ((ue 1 )E 2 ) )E p. k j = E p (E p 1 ( (E 1 y) )). Kako pam enje eta matrice zahteva mnogo manje memorije nego pam enje pune matrice, ovom modifikacijom dobija se mogu nost obrade na raqunaru problema sa desetinama hiljada promenljivih i/ili ograniqenja, xto brojni komercijalni programi (na primer LINDO, BLP, GAMS i dr.) koriste. Kako startovati? Da bi se startovala simpleks metoda u svim varijantama potrebna je prva dopustiva baza. U sluqaju da ona nije odmah vidljiva, postoji vixe naqina da se nađe. Algoritmi koji to rade uglavnom koriste samu simpleks metodu

8 34. Dugoxija primenjenu na neki pomo ni problem. Izloжi emo veliko M-metodu Charnes-a ([5]). Za druge metode pogledati na primer [6] ili [8]. Metoda veliko M Ako u problemu (1), koji je u kanonskom obliku sa b 0, poqetna dopustiva baza nije vidljiva, moжemo posmatrati pridruжen problem min f = cx +(MM M)y p.o. Ax + y = b, x, y 0, gde je y kolona vextaqkih nenegativnih promenljivih i M veoma veliki nenegativan parametar (ve i od svakog konaqnog broja s kojim se u toku algoritma upoređuje). Primetimo da matrica pridruжenog problema ima jediniqnu dopustivu bazu (bazisne promenljive su y, a nebazisne x), a pripadno bazisno dopustivo rexenje je x =0, y = b. Stoga se pridruжeni problem moжe rexavati simpleks metodom. Analizirajmo mogu e zavrxetke simpleks metode uz pretpostavku da nema cikliranja: a) Neka je simpleks metoda zavrxila naxavxi optimalno rexenje sa komponentama ˆx i ŷ. Tada: (i) ako je ŷ =0,ondajeˆx optimalno rexenje polaznog problema. Zaista, prema jakoj teoremi dualnosti problem dualan pridruжenom max ub p.o. ua c, u (MM M) ima optimalno rexenje û i ûb = cˆx. Taqka û je dopustiva za dual max ub p.o. ua c polaznog problema, a ˆx je dopustivo rexenje polaznog problema. Zbog ûb = cˆx, ˆx je optimalno rexenje polaznog problema. (ii) ako je ŷ 0, polazni problem nema nijedno dopustivo rexenje. U suprotnom, za dovoljno veliko M, dobijena minimalna vrednost funkcije cilja pridruжenog problema bila bi ve a od vrednosti njegove funkcije cilja u dopustivoj taqki qije su komponente x (dopustiva taqka za polazni problem) i y =0, xto je kontradikcija. b) Ako je simpleks metoda zavrxila naxavxi dopustivi zrak (x 0,y 0 )+t(ˆx, ŷ), t 0 duж kojeg funkcija cilja neograniqeno opada kad t, tada je Ax 0 + y 0 = b, Aˆx +ŷ =0

9 Simpleks metoda 35 i, za dovoljno veliko M, mora biti ŷ =0i cˆx <0, pajex 0 + tˆx za t 0 zrak dopustivih taqaka za polazni problem duж kojeg funkcija cilja neograniqeno opada. Primer 2. Reximo tabliqnom simpleks metodom problem iz primera 1. Problemu odgovara tablica x x y a b f 0 = = = Kako matrica sistema nema jediniqnu dopustivu bazu (ima samo jednu jediniqnu kolonu uz izravnavaju u promenljivu a), dovoljno je da uvedemo jednu nenegativnu vextaqku promenljivu c uz koju u funkciji cilja stoji koeficijent M, au matrici ograniqenja nedostaju a jediniqna kolona. Proxirenom problemu tada odgovara tablica x x y a b c f 0 = M 3 = = Oqistimo funkciju cilja od bazisne promenljive c, mnoжe i poslednju vrstu sa M i dodaju i je prvoj vrsti matrice. Dobijamo tablicu x x y a b c f 4M = 1 2M 1+2M 1 M 0 M 0 3 = = Kako je parametar M jako veliki, bi e 1 2M <0 i 1 M <0, pa su kandidati za bazisne promenljive x i y. Prema Blendovom pravilu izabra emo x. Kolona koja odgovara ovoj promenljivoj ima dva pozitivna elementa među kojima traжimo pivot. Kako je 3 1 > 4, pivot je 2. Transformacijom tablice po navedenom 2 mnemotehniqkom pravilu dobijamo novu simpleks tablicu x x y a b c f 2 = 0 0 3/2 0 1/2 1/2+M 1 = 0 0 1/2 1 1/2 1/2 2 = 1 1 1/2 0 1/2 1/2 Koeficijent uz y u funkciji cilja je negativan, te pivot traжimo u koloni ispod y. Kakoje 1 1/2 < 2,pivotje1/2utre oj vrsti. Transformisana tablica 1/2 je x x y a b c 1 = M 1 2 = = Odavde qitamo optimalno rexenje: f min = 1 za (x,x,y,a,b,c)=(1, 0, 2, 0, 0, 0).

10 36. Dugoxija Komentar Algoritam simpleks metode ima i popularnu (ali retko gde koretno formulisanu) geometrijsku interpretaciju (vidi [6]). Dopustivi skup je konveksan poliedarski skup, a bazisno dopustivo rexenje (problema u kanonskom obliku) je njegova ekstremna taqka (vrh), tj. taqka bez koje je ostatak dopustivog skupa i dalje konveksan. Dve ekstremne taqke zovu se susedne, ako uklanjanjem duжi koje one određuju, od dopustivog skupa ostaje konveksan skup. U svakoj iteraciji simpleks metoda polazi iz jednog vrha dopustivog skupa i, ako pređe u drugu dopustivu taqku (a ne mora), ta taqka je njemu susedni vrh u kome funkcija cilja nije ve a nego u prethodnom. Cikliranje odgovara vra anju u neki vrh. Ako se primenjuje neko anticikling pravilo, postupak se zavrxava u vrhu koji je optimalno rexenje ili se dobija ekstremna ivica (zrak) dopustivog skupa duж koje funkcija cilja neograniqeno opada. Po brzini rada simpleks metoda spada u takozvane nepolinomijalne algoritme. Konstruisani su primeri sa n promenljivih koje simpleks metoda rexava u 2 n iteracija. Zato se moжe oqekivati da e sa porastom dimenzije problema (broja nepoznatih i ograniqenja) do i do problema u radu. Praksa pak pokazuje da se to retko događa. Razlog leжi u tome xto su ekstremno texki sluqajevi retki. Teorijski je pokazano da je simpleks algoritam,,u srednjem polinomijalan. Ipak, traganje za efikasnim polinomijalnim algoritmom za rexenje problema linearnog programiranja bilo je glavni problem u poslednje dve dekade. On je uspexno okonqan otkrivanjem Karmakarove i srodnih,,unutraxnjih metoda (vidi [8]). I pored toga, simpleks metoda ostaje jedna od glavnih metoda za rexavanje problema linearnog programiranja. LITERATURA [1] Danzig, G., Linear Programming and Extensions, Princeton [2] Dugoxija,., Furije-Mockinov metod eliminacije, Nastava matematike XLV 2000, sv.1-2, [3] Dugoxija,, Teorija linearnog programiranja, Nastava matematike XLV 2000, sv.3-4, [4] Bland, R.G., New finite pivoting rule for the simplex method, Mathematics of Operations Researq 2, 1977, [5] Charnes, A., Optimality and degeneracy in linear programming, Ekonometrica 20, 1952, [6] Dugoxija,., Linearno programiranje (skripta), Matematiqki fakultet, Beograd, [7] Chvatal, V., Linear Programming, Freeman and Company, [8] Cvetkovi, D., Qangalovi, M., Dugoxija,., Kovaqevi -Vujqi, V., Simi, S., Vuleta, J., Kombinatorna optimizacija, Dopis, Beograd 1996.