MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA"

Transcript

1 PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įskymu Nr. V-97 MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS. Mtemtikos brndos egzmino progrmos (toliu Progrm) pskirtis pibrėžti mtemtikos brndos egzmino (toliu egzmins) tikslus, struktūrą ir turinį. Egzmins yr vlstybinis.. Progrm prengt remintis tnujint Vidurinio ugdymo bendrosiomis progrmomis, ptvirtintomis Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. vsrio d. įskymu Nr. V-69 (Žin., 0, Nr. 6-8).. Progrmos struktūr:.. egzmino tiksls;.. mokinių gebėjimų grupės;.. egzmino mtric;.4. egzmino užduoties pobūdis;.5. egzmino vertinims;.6. mtemtikos brndos egzmino reiklvimi ( prieds);.7. mtemtikos brndos egzmino pgrindinės formulės ( prieds). II. EGZAMINO TIKSLAS 4. Egzmino tiksls ptikrinti ir įvertinti mokinio mokymosi pgl vidurinio ugdymo mtemtikos bendrąją progrmą psiekimus, pršytus egzmino reiklvimuose. III. MOKINIŲ GEBĖJIMŲ GRUPĖS 5. Mokydmiesi mtemtikos mokinii plėtoj mtemtinę kompetenciją ir įgyj žinių, gebėjimų ir nuosttų. Nuosttos egzmine nevertinmos. 6. Egzmino metu tikrinmi mokinių gebėjimi skirstomi į šis grupes: žinios ir suprtims (žemesnio lygio gebėjimi), mtemtikos tikyms, problemų sprendims. Toliu pteikims pibendrints gebėjimų grupių piškinims: 6.. Žinis ir suprtimą mokinii prodo pprstose stndrtinėse (relus ir mtemtinio turinio) situcijose: 6... tpžindmi ir teisingi vrtodmi (reprodukuodmi) mtemtines sąvoks, žymenis, objektus, modelius; 6... siedmi (tpžindmi ir suprsdmi, skitydmi, rsdmi, pprsčiusiis tvejis trnsformuodmi į kitą pvidlą) įviriis būdis (mtemtiniis žymenimis, schemomis, lentelėmis, grfikis, digrmomis, tekstu ir t.t.) pteiktą mtemtinę informciją; 6... tiesiogii tikydmi formules, svybes, sąryšius; tlikdmi stndrtines procedūrs; nudodmiesi formulių rinkiniu, skičiuotuvu. 6.. Mtemtikos tikymo gebėjimus mokinii prodo nesudėtingose stndrtinėse (relus ir mtemtinio turinio) situcijose: 6... modeliuodmi įviriose lentelėse, schemose, grfikuose pteiktą informciją; 6... tikydmi ir derindmi kelis stndrtines procedūrs; 6... tikydmi žinomus mtemtinius metodus ir modelius įviriems uždvinims spręsti; iškii užršydmi kelių žingsnių uždvinio sprendimą. 6.. Problemų sprendimo gebėjimus mokinii prodo nujose, nestndrtinėse situcijose, kurios gli būti pršomos mtemtiniis modeliis:

2 6... performuluodmi uždvinį mtemtiniis terminis, žymenimis, pveikslis/brėžiniis ir pn., tskleidžint problemos suvokimą; 6... nubrižydmi r tinkmi ppildydmi pveikslą/brėžinį; 6... suskidydmi uždvinį į tskirs dlis, nuoseklii rgumentuojnt kiekvienos dlies sprendimą; įžvelgdmi/psirinkdmi tinkmą mtemtinį modelį ir jį pritikydmi; nesudėtingis tvejis tikydmi nuoseklus glimybių perrinkimo strtegiją; įrodydmi pprstus teiginius tiknt tiesioginio įrodymo metodą (einnt nuo žinomo link įrodomo), nlizės metodą (einnt nuo norimo link žinomo), sprendimo nuo glo strtegiją; įrodydmi pprstus teiginius tiknt prieštros metodą; tikydmi bendresnio r dlinio tvejo ngrinėjimo strtegiją; pvyzdžių ir kontrpvyzdžių pteikimo strtegiją; tlikdmi nesudėtingą tyrimą; įžvelgdmi sąryšį trp ngrinėjmų dydžių, pršydmi dėsningumą, pgl kurį sudrom objektų (jų elementų) sek; 6... įžvelgdmi ir prodydmi visus problemos ngrinėtinus tvejus, formuluodmi išvds ir tskymus į klusimus, į kuriuos nėr vienintelio teisingo tskymo. 7. Gebėjimus iliustruojnčių uždvinių pvyzdžii pteikimi metodinėje medžigoje, esnčioje Ugdymo plėtotės centro ir Ncionlinio egzminų centro interneto svetinėse. 8. Reiklvimi mokinių žinių ir suprtimo, mtemtikos tikymo ir problemų sprendimo gebėjimms prikluso nuo psiekimų, pršytų bendrojo r išplėstinio kurso progrmose ir skirisi išsmumu ir sudėtingumu. Egzmino reiklvimi pteikti priede, kurime nurodom pgl tskirs sritis, ką reiki gebėti, žinoti ir suprsti norint sėkmingi išlikyti egzminą. IV. EGZAMINO MATRICA 9. Egzmino mtricos pskirtis užtikrinti proporcingą egzmino užduoties tškų pskirstymą pgl dlyko veiklos sritis, gebėjimų grupes ir dlyko kursus. Egzmino mtric pteikt lentelėje. 9.. Egzmino užduotyje 40 proc. užduoties tškų titink bendrąjį kursą, 60 proc. išplėstinį kursą. 9.. Egzmino mtricoje nurodyt, kiek užduoties tškų procentis tenk kiekvieni veiklos sričii ir gebėjimų grupei, išskirint tškų procentis dlį pgl bendrojo kurso progrmą. Pvyzdžiui, pie 5 proc. užduoties tškų bus iš veiklos srities Geometrij, iš kurių pie 8 proc. tškų pgl bendrojo kurso progrmą. Lentelėje nurodyt, kiek procentų užduoties tškų skirim tskiroms gebėjimų grupėms vertinti. Pvyzdžiui, pie 40 proc. užduoties tškų bus skirt gebėjimms Žinios ir suprtims vertinti. Šis tškų sntykis pgl glimybę turėtų būti tikoms ne tik visi užduočii, bet ir kiekvieni veiklos sričii. 9.. Konkrečiose užduotyse glimi tm tikri nukrypimi nuo lentelėse pršytų skičių, tčiu jie neturėtų būti didesni kip 4 proc. lentelė. Egzmino mtric Veiklos sritys Žinios ir suprtims Gebėjimų grupės Mtemtik os tikyms Problemų sprendims Užduoties tški, proc. Iš jų iš Iš viso bendrojo kurso. Skičii, skičivimi, reiškinii. Lygtys, nelygybės ir jų sistemos 0 5. Geometrij 5 8. Funkcijos ir nlizės prdmenys Kombintorik, tikimybės ir sttistik 5 7 Iš viso, proc

3 V. EGZAMINO UŽDUOTIES POBŪDIS 0. Egzmino užduotis pteikim kip tskirs vientiss uždvinių rinkinys. Vertinimui teikims tik sprendimų ir tskymų lps.. Egzmino užduoties tškų sum turėtų būti ne mžesnė nei 60.. Orientcinę egzmino užduotį sudro ne mžiu 0 uždvinių:.. uždvinii su psirenkmisiis tskymis ( 0 uždvinių vertinmi po tšką);.. trumpojo tskymo (vertinms tik tskyms) (0 4 uždvinių vertinmi po tškus);.. tvirojo tskymo (struktūruoti rb nestruktūruoti) (5 9 uždvinii vertinmi ne mžiu kip tškis).. Glutinė egzmino užduoties struktūr (jei ji skirisi nuo orientcinės) pteikim Egzmino specifikcijoje ne vėliu kip iki einmųjų metų susio 5 d. 4. Orientcinė egzmino trukmė vl. Egzmino dt, priemonės, kuriomis glim nudotis egzmino metu, sprendimų ir tskymų lpo pildymo reiklvimi pteikimi Egzminų orgnizvimo ir vykdymo tvrkos prše ne vėliu kip iki einmųjų metų susio 5 d. 5. Mtemtinių formulių rinkinys prie egzmino užduoties pteikims priede. VI. EGZAMINO VERTINIMAS 6. Egzmino vertinims yr kriterinis. Egzminą likiusių mokinių drbi koduojmi ir vertinmi tškis centrlizuoti vdovujntis vertinimo instrukcijomis. Kiekvieną drbą vertin ne mžiu kip du vertintoji. Jei jų įvertinims skirisi, glutinį sprendimą dėl įvertinimo priim trečisis vyresnysis vertintojs. 7. Minimlią egzmino išlikymo tškų ribą nustto ir tvirtin brndos egzminų vertinimo komitets. Mokinii, psiekę egzmino išlikymo tškų ribą, likomi egzminą išlikiusiis. Preliminri egzmino išlikymo tškų rib sudro 40 proc. egzmino užduoties bendrojo kurso klusimų ir uždvinių tškų sumos.

4 MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO REIKALAVIMAI Mtemtikos brndos egzmino progrmos prieds. Mtemtikos brndos egzmino (toliu egzmins) reiklvimi mokinių vertinmiems psiekimms pteikimi pgl tokis veiklos sritis:.. skičii, skičivimi, lgebr. Lygtys, nelygybės ir jų sistemos;.. geometrij;.. funkcijos ir nlizės prdmenys;.4. kombintorik, tikimybių teorij, sttistik.. Egzmino reiklvimi mokinims, kurie mokėsi pgl bendrojo kurso progrmą, pim minimlius reiklvimus. Reiklvimi mokinims, kurie mokėsi pgl išplėstinio kurso progrmą, pim reiklvimus mokinims, kurie mokėsi pgl bendrojo kurso progrmą. Prdinio ir pgrindinio ugdymo mtemtikos bendrojoje progrmoje pršyti mokinių gebėjimi nekrtojmi.. Progrmoje vrtojmi tokie uždvinio sudėtingumą nuskntys termini:.. pprsčiusiis vdinmi uždvinii, kuriuos sprendžint reiki tlikti vieną stndrtinę operciją r žinoti lgoritmą ir mokėti jį tikyti... pprstis vdinmi uždvinii, kuriuos sprendžint reiki suderinti ir tlikti dvi stndrtines opercijs r lgoritmus... nesudėtingis vdinmi uždvinii, kuriuos sprendžint reiki suderinti ir tlikti r 4 stndrtines opercijs r lgoritmus. MINIMALŪS REIKALAVIMAI.. Pprsčiusiis tvejis pstebėti dėsningumą, pgl kurį sudryt pteikt sek, ir užršyti keletą jos kitų nrių... Pprstis tvejis ptikrinti, r duotoji sek yr ritmetinė/geometrinė progresij. Pprstis tvejis pskičiuoti ritmetinės progresijos skirtumą, geometrinės progresijos vrdiklį, pirmųjų n nrių sumą. Spręsti pprstus prktinio turinio uždvinius.. Skičii, skičivimi, lgebr. Lygtys, nelygybės ir jų sistemos.. Pprsčiusiis tvejis užršyti sekos n-tojo nrio formulę... Ptikrinti, r duotoji sek yr ritmetinė/geometrinė progresij. Pprstis tvejis tikyti ritmetinės/geometrinės progresijos n-tojo nrio ir pirmųjų n nrių sumos formules. lentelė. Egzmino reiklvimi.. Plyginti reliuosius skičius... Pprstis tvejis užršyti sekos n-tojo nrio formulę. Atkurti seką pgl rekurentinę formulę...tikyti ritmetinės/geometrinės progresijos n- tojo nrio ir pirmųjų n nrių sumos formules. Remtis šių formulių įrodymo idėjomis sprendžint probleminius uždvinius..4. Pprstis tvejis tikyti be glo mžėjnčios geometrinės progresijos nrių sumos formulę. Pkeisti dešimtinę periodinę trupmeną pprstąj, ir tvirkščii.

5 MINIMALŪS REIKALAVIMAI.5. Pprstis tvejis tikyti pprstųjų ir sudėtinių procentų formules prktinio turinio uždvinims spręsti..7. Pprstis tvejis nusttyti rcionliojo reiškinio pibrėžimo sritį..8. Pertvrkyti pprstus rcionliuosius reiškinius..9. Pprsčiusiis tvejis pertvrkyti ircionliuosius reiškinius..0. Apskičiuoti skitinių reiškinių su moduliu reikšmes... Pprsts prktines situcijs pršyti duginriis (ne ukštesnio kip trečiojo lipsnio)... Pprsčiusiis tvejis tikyti lipsnio su rcionliuoju rodikliu pibrėžimą ir svybes... Spręsti pprstus prktinio turinio uždvinius su stndrtinės išriškos skičiis..4. Pprstis tvejis tikyti logritmo pibrėžimą ir svybes pertvrknt skitinius reiškinius..5. Pprstis tvejis pskičiuoti logritminių reiškinių skitines reikšmes..6. Spręsti f(x) / g(x) = 0, f(x) = pvidlo lygtis ( f(x), g(x) pirmojo r ntrojo lipsnio.5. Nesudėtingis tvejis tikyti pprstųjų ir sudėtinių procentų formules prktinio turinio uždvinims spręsti..6. Spręsti dydžio procentinio didėjimo ir/rb mžėjimo uždvinius..7. Nesudėtingis tvejis nusttyti rcionliojo, pprstis tvejis ircionliojo reiškinio pibrėžimo sritį..8. Pertvrkyti nesudėtingus rcionliuosius reiškinius..9. Pprstis tvejis pertvrkyti ircionliuosius reiškinius... Pprstą prktinę situciją pršyti trupmeniniis reiškiniis (pvz., drbo, judėjimo uždvinii)... Pprstis tvejis tikyti lipsnio su rcionliuoju rodikliu pibrėžimą ir svybes... Spręsti uždvinius su stndrtinės išriškos skičiis..4. Nesudėtingis tvejis tikyti logritmo pibrėžimą ir svybes pertvrknt reiškinius..5. Nesudėtingis tvejis pskičiuoti logritminių reiškinių skitines reikšmes..6. Spręsti f(x) / g(x) = 0, f(x) =, f(x) = pvidlo lygtis ( f(x), g(x) pirmojo r ntrojo lipsnio duginrii) bei lygtis, suvedms į šį.5. Sieti progresijs su pprstųjų ir sudėtinių plūknų skičivimu..7. Nusttyti reiškinio pibrėžimo sritį..8. Pertvrkyti rcionliuosius reiškinius, kuriuose reiki remtis formulėmis ( ± b) = ± b+ b ± b, ± b =( ± b)( b +b )..9. Nesudėtingis tvejis pertvrkyti ircionliuosius reiškinius..0. Tikyti modulio sąvoką sprendžint įvirius uždvinius... Nesudėtings situcijs pršyti trupmeniniis reiškiniis... Tikyti lipsnio su reliuoju rodikliu pibrėžimą ir svybes..4. Tikyti logritmo (tip pt ir ntūrliojo) pibrėžimą ir svybes..5. Apskičiuoti logritminių (tip pt ir ntūrliisiis logritmis ) reiškinių skitines reikšmes..6. Spręsti f(x) = g(x), g(x) f(x) = 0 pvidlo lygtis; či f(x) ir g(x) yr ne ukštesnio kip ntrojo lipsnio duginrii.

6 MINIMALŪS REIKALAVIMAI duginrii). pvidlą. Spręsti f(x) = g(x) pvidlo lygtis, či f(x) yr ne ukštesnio kip ntrojo lipsnio duginris, o g(x) pirmojo lipsnio duginris. Spręsti f(x) + h(x) = g(x) pvidlo lygtis, či f(x), g(x) ir h(x) pirmojo lipsnio duginrii..7. Spręsti ukštesnio lipsnio lygtis pertvrknt js į Bendrosiose progrmose pršytus pvidlus..8. Nusttyti, r lygtys yr ekvivlenčios..9. Tikyti Vieto teoremą sprendžint.0. Tikyti kvdrtinio trinrio skidymą dugikliis sprendžint pprstus uždvinius... Spręsti kvdrtines ir pprsčiusis rcionliąsis nelygybes..0. Pprstis tvejis iš kvdrtinio trinrio išskirti dvinrio kvdrtą... Spręsti lygtis f(x) = probleminius uždvinius ir įrodinėjnt teiginius..0. Iš kvdrtinio trinrio išskirti dvinrio kvdrtą, kvdrtinį trinrį išskidyti dugikliis, tikyti šis žinis sprendžint probleminius uždvinius ir įrodinėjnt teiginius... Spręsti lygtis f(x) =, či f(x) pirmojo ; či f(x) ne lipsnio duginris, o relusis skičius. ukštesnio kip ntrojo lipsnio duginris, o relusis skičius... Spręsti pprsts rcionliąsis nelygybes... Spręsti nesudėtings rcionliąsis nelygybes..4. Pprsts situcijs pršyti lygčių su dviem nežinomisiis sistemomis, ki vien lygtis yr pirmojo lipsnio, o kit ne ukštesnio kip ntrojo lipsnio, ir sudryts sistems išspręsti..5. Spręsti pirmojo lipsnio su vienu nežinomuoju nelygybių sistems... Spręsti nelygybes su moduliu f ( x) ; či f(x) ne ukštesnio kip ntrojo lipsnio duginris, pkeiči nelygybės ženklus <, >,,..4. Įviris situcijs pršyti lygčių su dviem nežinomisiis sistemomis, kurių vien lygtis pirmojo lipsnio, o kit ntrojo lipsnio rb rcionlioji, ir sudryts sistems išspręsti..5. Spręsti ntrojo lipsnio su vienu nežinomuoju nelygybių sistems.

7 4 MINIMALŪS REIKALAVIMAI.6. Spręsti pprsts rodiklines lygtis ir pprsčiusis rodiklines nelygybes..7. Spręsti pprsts logritmines lygtis ir pprsčiusis logritmines nelygybes..9. Pprstis tvejis tikyti trigonometrinio vieneto tptybę..0. Apskičiuoti skičiuotuvu bet kokio kmpo trigonometrinių funkcijų reikšmes... Spręsti f(x)= b pvidlo lygtį, ki f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tgx... Spręsti f ' (x) = pvidlo lygtis, či f(x) ne ukštesnio kip trečiojo lipsnio duginris... Pprsts situcijs pršyti lygtimis ir jų sistemomis... Pprsčiusiis tvejis tikyti centrinio ir įbrėžtinio kmpo sąryšį, įbrėžtinių kmpų, kurie remisi į tą ptį lnką, svybę... Pprstis tvejis tikyti pnšumo sąvoką, sprendžint prktinio turinio uždvinius (pnšiųjų figūrų ilgių, plotų, tūrių pskičivimui)..6. Spręsti pprsts rodiklines nelygybes..6. Spręsti nesudėtings rodiklines lygtis ir nelygybes..7. Spręsti pprsts logritmines nelygybes..7. Spręsti nesudėtings logritmines lygtis ir nelygybes..8. Išreikšti kmpo didumą rdinis, rdinus keisti lipsniis, ir tvirkščii..9. Pprstis tvejis pertvrkyti trigonometrinius reiškinius..0. Apskičiuoti trigonometrinių funkcijų reikšmes tiknt redukcijos formules, ki kmpo didums yr ne didesnis kip Spręsti f(x)= b pvidlo lygtį, ki f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tgx, išrinkti sprendinius, priklusnčius nurodytm intervlui... Spręsti lygtis f ' (x) = ; či f(x) duginris... Nesudėtings situcijs pršyti lygtimis ir jų sistemomis.. Geometrij.. Pprstis tvejis tikyti centrinio ir įbrėžtinio kmpo sąryšį, įbrėžtinių kmpų, kurie remisi į tą ptį lnką, svybę... Pprstis tvejis pgrįsti trikmpių lygumą ir pnšumą..9. Nesudėtingis tvejis pertvrkyti trigonometrinius reiškinius..0. Tikyti smiliojo kmpo kotngento pibrėžimą, redukcijos formules, dviejų kmpų sumos ir skirtumo sinuso, kosinuso ir tngento formules pskičiuojnt trigonometrinių funkcijų reikšmes, pertvrknt nesudėtingus reiškinius... Spręsti nesudėtings trigonometrines lygtis. Spręsti f ( x) pvidlo nelygybes, či pkeiči nelygybės ženklus <, >,,, o f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tgx... Įviris situcijs pršyti lygtimis, nelygybėmis, sistemomis... Nesudėtingis tvejis tikyti liestinės svybę, įbrėžtinio ir pibrėžtinio trikmpio / tisyklingojo dugikmpio svybes... Pgrįsti figūrų lygumą ir pnšumą. Tikyti pnšumo sąvoką sprendžit įvirius nesudėtingus uždvinius, pgrindžint r įrodnt nesudėtingus teiginius... Remtis Tlio teoremos įrodymo idėjomis sprendžint įvirius nesudėtingus uždvinius, pgrindžint r įrodnt nesudėtingus teiginius.

8 MINIMALŪS REIKALAVIMAI.4. Pprstis tvejis tikyti trikmpio ploto formulę S = bsinγ, kosinusų teoremą, sinusų teoremą..5. Pprstis tvejis pskičiuoti tisyklingosios pirmidės pvizduoto kmpo trp šoninės briunos ir pgrindo plokštumos, dvisienio kmpo prie pgrindo didumą..7. Pprstis tvejis pskičiuoti Bendrosiose progrmose pibrėžtų erdvinių figūrų elementų dydžius, pviršius plotą ir tūrį, lygigrečių / šinių pjūvių, pvizduotų brėžinyje, plotus Pprstis tvejis nusttyti/pskičiuoti tisyklingosios pirmidės kmpo trp šoninės briunos ir pgrindo plokštumos, dvisienio kmpo prie pgrindo didumą..7. Pprstis tvejis tikyti Bendrosiose progrmose pibrėžtų erdvinių figūrų pviršius ploto ir tūrio pskičivimo formules..4. Įrodyti kosinusų teoremą, sinusų teoremą, trikmpio ploto formulę S = bsinγ. Remtis šių teoremų įrodymo idėjomis sprendžit įvirius nesudėtingus uždvinius, pgrindžint r įrodnt nesudėtingus teiginius..5. Pprstis tvejis nusttyti/pskičiuoti erdvinėje figūroje kmpo trp tiesės ir plokštumos, kmpo trp dviejų plokštumų, didumą. Tikyti trijų sttmenų teoremą pgrindžint teiginius pie dvisienius kmpus ir remtis šios teoremos įrodymo idėjomis sprendžint įvirius nesudėtingus uždvinius..6. Pprstis tvejis pvizduotose erdvinėse figūrose nusttyti/pskičiuoti tstumą trp prsilenkinčių tiesių, kmpo trp prsilenkinčių tiesių didumą, tstumą trp tiesės ir ji lygigrečios plokštumos, tstumą trp lygigrečių plokštumų..7. Apskičiuoti Bendrosiose progrmose pibrėžtų erdvinių figūrų lygigrečių/šinių pjūvių plotus. Tikyti nupjutinės pirmidės, nupjutinio kūgio pviršius ploto ir tūrio formules..8. Pprstis tvejis tikyti trikmpio/lygigretinio tisykles vektorių sudėčii, vektorių kolinerumo sąlygą (dugybą iš nelygus nuliui skičius) sprendžint įvirius uždvinius..9. Plokštumos ir erdvės vektorių išreikšti koordintėmis, pskičiuoti vektorius ilgį. Atlikti veiksmus: pduginti vektorių iš skičius, sudėti vektorius, pskičiuoti ir tikyti vektorių sklirinę sndugą. Tikyti vektorių kolinerumo

9 MINIMALŪS REIKALAVIMAI 6. Funkcijos ir nlizės prdmenys k x Funkcijos y, y x, y x, y, y log x, y sin x, y cos x, y = tgx. x.. Rsti dviejų skičių ibių sąjungą, snkirtą, ibės poibį... Tikyti bet kokio kmpo sinuso, kosinuso pibrėžimą remintis vienetiniu pskritimu sprendžint pprsčiusius uždvinius... Tikyti bet kokio kmpo sinuso, kosinuso pibrėžimą remintis vienetiniu pskritimu sprendžint pprstus uždvinius. ir sttmenumo sąlygs, vektorių veiksmų svybes sprendžint uždvinius. n Funkcijos y x, (n ntūrlusis skičius), y x x, y e, y ln x, y = ctgx.... Rsti ibių sąjungą, snkirtą, skirtumą, ibės poibį... Sudryti tiesės lygtį x +by+c = 0, ki žinomi du tiesės tški. Ptikrinti, r duoti plokštumos tški (du, trys ir dugiu) yr vienoje tiesėje... Tikyti bet kokio kmpo sinuso, kosinuso pibrėžimą remintis vienetiniu pskritimu sprendžint nesudėtingus uždvinius..4. Atpžinti funkcijų formules ir grfikus (eskizus)..5. Iš grfiko (eskizo) nusttyti funkcijos pibrėžimo / reikšmių sritį, funkcijos reikšmių didėjimo ir mžėjimo intervlus, ekstremumo tškus, funkcijos ekstremumus ir funkcijos didžiusis / mžiusis reikšmes nurodytme intervle..6. Atpžinti ir pprstis tvejis remtis funkcijų trnsformcijomis y = f(x) ± b, y = f(x ± b)..7. Remintis funkcijų y f(x), y g(x) grfikų eskizis nusttyti lygčių f(x) = 0 ir f(x) = g(x) sprendinių skičių. Nurodyti sprendinius, ki duoti grfikų eskizų susikirtimo tški..5. Iš grfiko (eskizo) rb pteiktos formulės nusttyti, su kuriomis rgumento reikšmėmis funkcij įgyj: nurodytą reikšmę, teigims, neigims reikšmes r nulį, didesnes r mžesnes už nurodytą skičių reikšmes..4. Atpžinti funkcijų formules ir grfikus (eskizus)..5. Nusttyti formule išreikštos funkcijos lyginumą..6. Nesudėtingis tvejis remtis funkcijų trnsformcijomis y = f(x) ± b, y = f(x ± b), y = f(x)..7. Atpžinti ir pprstis tvejis remtis g( x), ki x, funkcijos y h( x), ki x, grfiko eskizu, ki y = g(x), y = h(x) progrmoje pibrėžtos funkcijos.

10 MINIMALŪS REIKALAVIMAI.8. Pprstis tvejis remtis funkcijų svybėmis sprendžint prktinio ir mtemtinio turinio uždvinius..0. Apskičiuoti funkcijų, išreikštų duginriis (rb reiškiniis, kurie tpčii pertvrkomi į duginrius), išvestines... Apskičiuoti funkcijos išvestinės reikšmę duotme tške. Pprstis tvejis tikyti funkcijų sumos (skirtumo), sndugos iš reliojo dugiklio išvestinių skičivimo tisykles... Tikyti funkcijos (išreikštos ntrojo r trečiojo lipsnio duginriu) išvestinę funkcijos kritinims tškms, didėjimo / mžėjimo intervlms, ekstremumo (minimumo, mksimumo) tškms nusttyti... Pprstis tvejis pskičiuoti funkcijos didžiusią / mžiusią reikšmę uždrjme intervle Nesudėtingis tvejis remtis funkcijos svybėmis sprendžint prktinio ir mtemtinio turinio uždvinius... Tirti funkcijs, išreikšts ne ukštesnio kip trečiojo lipsnio duginriis. Iš pteiktų grfikų eskizų trinkti duotosios (tirimosios) funkcijos grfiko eskizą... Nesudėtingis tvejis pskičiuoti funkcijos didžiusią / mžiusią reikšmę uždrme intervle..6. Pprstis tvejis tikyti funkcijos išvestinę judėjimo uždvinims spręsti..8. Remtis funkcijos svybėmis sprendžint prktinio ir mtemtinio turinio uždvinius..9. Apskičiuoti tolydžiosios funkcijos reikšmių pokytį duotme tške, ki žinoms rgumento pokytis..0. Tikyti funkcijų y = x n (n - relusis), y = sin x, y = cos x, y = tgx, y = ctgx, y = x, y = e x ir y = log x, y = lnx išvestinių skičivimo formules... Tikyti funkcijų sndugos, dlmens, sudėtinės funkcijos išvestinių skičivimo tisykles... Tirti funkcijs, išreikšts ne ukštesnio kip ketvirtojo lipsnio duginriis. Iš pteiktų grfikų eskizų trinkti duotosios (tirimosios) funkcijos grfiko eskizą. Sieti funkcijos grfiką (eskizą) su jos išvestinės grfiku... Apskičiuoti funkcijos didžiusią / mžiusią reikšmę uždrme intervle..4. Sieti funkcijos išvestinės reikšmę duotme tške su funkcijos grfiko liestinės lygties krypties koeficientu (y = kx + b, k =f'(x) = tgα, či α kmpo trp liestinės ir x šies didums) ir užršyti funkcijos grfiko liestinės duotme tške lygtį..5. Tikyti žinis pie lygigrečis ir sttmens tieses sprendžint uždvinius, susijusius su funkcijos grfiko liestinės lygtimi..6. Spręsti nesudėtingus judėjimo uždvinius remintis tuo, kd kelio funkcijos išvestinė yr

11 MINIMALŪS REIKALAVIMAI.7. Pprstis tvejis tikyti funkcijos išvestinę prktinio turinio optimizvimo uždvinims spręsti. 4.. Pprstis tvejis sudryti bndymo bigčių (elementriųjų įvykių) ibę. Rsti nurodytm įvykiui plnkių bigčių skičių. 4.. Pprstis tvejis tpžinti situcijs, kurioms glim tikyti klsikinį tikimybės pibrėžimą ir pskičiuoti įvykio ir/r jm priešingo įvykio tikimybes Pprstis tvejis sudryti džnių ir sntykinių (procentinių) džnių lenteles pteiktiems duomenims, vizduoti duomenis 8 4. Kombintorik, tikimybių teorij, sttistik 4.4. Nesudėtingis tvejis grupuoti duomenis į vienodo ilgio intervlus, vizduoti duomenis digrmomis. momentinio greičio funkcij, o momentinio greičio funkcijos išvestinė yr momentinio pgreičio funkcij..7. Modeliuoti funkcij nesudėtingą prktinę ir mtemtinę situciją bei remintis šios funkcijos išvestine pskičiuoti šios funkcijos didžiusią / mžiusią reikšmę..8. Tikyti funkcijų, išreikštų duginriis, pirmykščių funkcijų rdimo tisykles..9. Tikyti Niutono-Leibnico formulę pibrėžtinim integrlui pskičiuoti, mtemtinio bei prktinio turinio problemoms spręsti..0. Tikyti pibrėžtinius integrlus nesudėtingų kreivinių figūrų plotms pskičiuoti, mtemtinio bei prktinio turinio problemoms spręsti. 4.. Tikyti gretinių bei derinių formules. 4.. Tikyti tikimybių formules P(A) = P( A ); P( A B ) = P(A) + P(B), ki A, B nesutikomi įvykii; P( A B ) = P( A B ), ki A, B nepriklusomi įvykii. 4.. Sudryti nesudėtingų tsitiktinių dydžių skirstinius (skirstinio lenteles) remintis klsikiniu tikimybės pibrėžimu, įvykių nepriklusomumu. Apskičiuoti tsitiktinių dydžių vidurkį (mtemtinę viltį), dispersiją.

12 MINIMALŪS REIKALAVIMAI digrmomis Apskičiuoti imties skitines chrkteristiks (vidurkį, dispersiją, stndrtinį nuokrypį, mediną, modą) iš nesugrupuotų duomenų džnių ir sntykinių džnių lentelių Pprstis tvejis pskičiuoti imties skitines chrkteristiks (vidurkį, dispersiją, stndrtinį nuokrypį, mediną, modą) ir piškinti, kokią informciją imties skitinės chrkteristikos suteiki pie populiciją Nesudėtingis tvejis pskičiuoti imties skitines chrkteristiks (vidurkį, dispersiją, stndrtinį nuokrypį, mediną, modą) ir remintis jomis dryti išvds pie populiciją.

13 Mtemtikos brndos egzmino progrmos prieds MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PAGRINDINĖS FORMULĖS Prie egzmino užduoties pteikims mtemtinių formulių rinkinys: Greitosios dugybos formulės: ( ± b) = ± b+ b ± b, ± b =( ± b)( b +b ) n Aritmetinės progresijos pirmųjų n nrių sum: Sn n n n b qbn b ( q ) Geometrinė progresij: b n b q ; S n q q Nykstmosios geometrinės progresijos nrių sum: n b S q p Sudėtinių procentų formulė: Sn S ; či S prdinis dydis, p plūknų norm, n 00 likotrpių skičius. b c Trikmpis: b c bccos A, R, sin A sin B sin C bc S bsin C p( p )( p b)( p c) rp, 4R či, b, c trikmpio krštinės, A, B, C prieš js esntys kmpi, p pusperimetris, r ir R įbrėžtinio ir pibrėžtinio pskritimų spindulii, S plots. R R Skritulio išpjov: S, l ; či centrinio kmpo didums lipsniis, S išpjovos plots, l išpjovos lnko ilgis, R pskritimo spindulys. Kūgis: Sšon. pv. Rl, V R H Rutulys: S 4R, 4 V R Nupjutinis kūgis: S šon. pv. ( R r) l, V= H( R Rr r ), či R ir r kūgio pgrindų spindulii, V tūris, H ukštinė, l sudromoji. Nupjutinės pirmidės tūris: V H( S SS S ), či S, S pgrindų ploti, H ukštinė. Rutulio nuopjov: S RH, V H (R H), či R rutulio spindulys, H nuopjovos ukštinė. Erdvės vektorius ilgis: x y z Vektorių sklirinė sndug: b xx y y zz b cos, či kmps trp vektorių x ; y; z ir b x ; y; z. Trigonometrinių funkcijų sąryšii: tg, ctg, cos sin sin cos, cos cos, sin( ) sin cos cossin, cos( ) coscos sin sin, tg tg tg tg tg

14 Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelė 0 sin 0 cos tg 0 Trigonometrinės lygtys: sin x, k x ( ) rcsin k; či k Z, ; cos x, x rccos k ; či k Z, ; tgx, x rctg k; či k Z, R. Išvestinių skičivimo tisyklės: ( cu) cu; ( u v) u v ; ( uv) uv uv; či u ir v diferencijuojmosios funkcijos, c konstnt. Funkcijų išvestinės: ( x ) = x ln, log x x ln 0 u v uv uv ; v Sudėtinės funkcijos h(x) = g(f(x)) išvestinė: h (x) g (f (x))f (x). Funkcijos grfiko liestinės tške x, f ( )) lygtis: y f x ) f ( x )( x ) ( 0 x0 ( 0 0 x0 x Pgrindinės logritmų svybės: log ( xy) log x log y, log log x log y, y k logc b log x k log x, log b. logc k nk n! Derinių skičius: Cn Cn k!( n k)! n! Gretinių skičius: A k n ( n k)! Tikimybių teorij: Atsitiktinio dydžio X mtemtinė viltis yr EX x p x p... x n p n, dispersij DX= ( x EX ) p ( x EX ) p... ( x EX p. n ) n

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS: MATEMATIKA

VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS: MATEMATIKA Vidurinio ugdymo bendrųjų progrmų 3 prieds VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS: MATEMATIKA I. BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Ugdymo srities pskirtis 1.1. Mtemtik psulio pžinimo instruments leidžintis ugdyti

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įsakymu Nr. V-97 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 04 m. gruodžio 9 d. įsakymo Nr. V- 7 redakcija) MATEMATIKOS

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos 5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė

Διαβάστε περισσότερα

Matematika PIRMOJI KNYGA. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei

Matematika PIRMOJI KNYGA. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei Mtemtik Išplėstinis kurss Vdovėlis gimnzijos IV klsei PIRMOJI KNYGA Turinys Trigonometrinės funkcijos 5 Rdininis kmpo mts Posūkio kmpi 5 Bet kokio kmpo sinuss, kosinuss, tngents ir kotngents 9 Funkcijos

Διαβάστε περισσότερα

Matematiniai modeliai ir jų korektiškumas

Matematiniai modeliai ir jų korektiškumas 1 skyrius Mtemtinii modelii ir jų korektiškums 1.1. Mtemtinių uždvinių klsifikcij Mtemtinis modelivims yr svrbus nujs žinių gvimo būds, kuris vis džniu nudojms sprendžint technologinius uždvinius, tirint

Διαβάστε περισσότερα

2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS

2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS 6 IŠVESTINĖ DIFERENCIJAVIMAS 61 Išvestiės sąvok Fukcijos išvestiės sąvok yr mtemtikos istrumets kurio reikšmę suku įvertiti Glbūt ti glim plygiti su vidus degimo vriklio sukūrimu Diferecijuoti pprsčiusis

Διαβάστε περισσότερα

Labai svarbi tiesiniu operatoriu šeima kompaktiškieji operatoriai. Jiems skirtas paskutinysis?? skyrelis.

Labai svarbi tiesiniu operatoriu šeima kompaktiškieji operatoriai. Jiems skirtas paskutinysis?? skyrelis. 13 pskit 13.1 Tiesinii opertorii Šime skyriuje ngrinėjmos normuotu ju erdviu tiesinės funkcijos tiesinii opertorii. Bigtinės dimensijos erdvėms, kip mtysime, jie pršomi mtricomis. Tigi tiesiniu opertoriu

Διαβάστε περισσότερα

Plokštumų nusakymas kristale

Plokštumų nusakymas kristale Kristlų struktūrinės nlizės metodi Plokštumų nuskyms kristle Kristlų nizotropij dro didelę įtką puslidininkinių prietisų prmetrms. Nuo puslidininkinių plokštelių kristlogrfinės orientcijos prikluso tokie

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

2.7. VIDURINIŲ REIKŠMIŲ TEOREMOS, JŲ TAIKYMAI

2.7. VIDURINIŲ REIKŠMIŲ TEOREMOS, JŲ TAIKYMAI .7. VIDURINIŲ REIKŠMIŲ TEOREMOS, JŲ TAIKYMAI 7.. Ferm teorem. (Pierre de Fermt, 6-665, http://www-history.mcs.std.c.uk/~history/mthemticis/fermt.html). Jei fukcij, pibrėžt itervle I vidiime jo tške turi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas Vi du ri nio ug dy mo ben drų jų pro gra mų 3 prie das Matematika Redakcinė grupė: Alvyda Ambraškienė, Regina Rudalevičienė, Marytė Skakauskienė, dr. Eugenijus

Διαβάστε περισσότερα

Matematikos brandos egzamino mokinių pasiekimų lygių aprašas su pavyzdžiais

Matematikos brandos egzamino mokinių pasiekimų lygių aprašas su pavyzdžiais Matematikos brandos egzamino mokinių pasiekimų lygių aprašas su pavyzdžiais Patenkinamas pasiekimų lygis Paprastose standartinėse situacijose atpažįsta ir teisingai vartoja (reprodukuodamas) pagrindines

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

Kengura Tarptautinio matematikos konkurso užduotys ir sprendimai. Junioras

Kengura Tarptautinio matematikos konkurso užduotys ir sprendimai. Junioras Kengur 013 Trptutinio mtemtikos konkurso užduotys ir sprendimi Juniors KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 013 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudrytojs

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA 006 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis Pagrindinë sesija 006 m. geguþës 17 d. Trukmë 3 val. Nacionalinis

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 6 tem. SĄLYGINĖS TAPATYBĖS IR NELYGYBĖS 009 0 Teorinę medžigą prengė ei šeštąją užduotį sudrė Vilnius pedgoginio universiteto doents Juos Šinkūns Įrodmo uždvinii r vieni

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS su MAPLE. Aleksandras KRYLOVAS

NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS su MAPLE. Aleksandras KRYLOVAS NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS su MAPLE Aleksndrs KRYLOVAS TURINYS. PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS 6.. PIRMYKŠTĖS FUNKCIJOS APIBRĖŽIMAS 6.. NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVOKA 7.. NEAPIBRĖŽTINIO

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 004 m. gegužės 7 d. įsakymu Nr. ISAK-75 MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija P R O J E K T A S VP--ŠMM-0-V-0-00 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS -9 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS

Διαβάστε περισσότερα

1 SKYRIUS. Laplaso transformacija 2 SKYRIUS. Integralinės lygtys

1 SKYRIUS. Laplaso transformacija 2 SKYRIUS. Integralinės lygtys 1 SKYRIUS. Lplo trnformcij 3 1. Integrlinė trnformcijo..................... 3 2. Lplo trnformcij........................ 3 2.1. Lplo trnformcijo vybė.............. 4 2.2. Lplo trnformcijo tikym prendžint

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

P. Kasparaitis. Vaizdų ir signalų apdorojimas. Filtrai

P. Kasparaitis. Vaizdų ir signalų apdorojimas. Filtrai P Ksritis Vidų ir signlų dorojims Filtri 8 Filtri Sitmeninii filtri Aibrėžims Sitmeninis filtrs ti mtemtiši ibrėžt sistem, sirt sitmeninim signlui modifiuoti Sitmeninio signlo [ tvidvimą į žymėime ti:

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

Diržinė perdava. , mm;

Diržinė perdava. , mm; 6.. Diržinė erdv Šime oskyryje diržinės erdvos greiteigio skriemlio (mžojo) geometrinii ir jėginii rmetri žymimi tini indeks, o lėteigio (didžiojo) tini indeks. Šime oskyryje teikt trecinių diržinių erdvų

Διαβάστε περισσότερα

Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3

Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 1. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο μοναδιαίος κύκλος: Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου ή το όνομα του άξονα: 1. (ε 1) είναι ο άξονας 11.

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO (PUPP) IR BRANDOS EGZAMINŲ (BE) UŽDUOČIŲ RENGĖJŲ MOKYMO PRAKTINĖ METODINĖ MEDŽIAGA

MATEMATIKA PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO (PUPP) IR BRANDOS EGZAMINŲ (BE) UŽDUOČIŲ RENGĖJŲ MOKYMO PRAKTINĖ METODINĖ MEDŽIAGA MATEMATIKA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS Nacionalinis egzaminų centras Projektas Pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo ir brandos egzaminų sistemos tobulinimas (SFMIS VP1-21-ŠMM-01-V-01-002) PAGRINDINIO

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

Lituoti plokšteliniai šilumokaičiai XB

Lituoti plokšteliniai šilumokaičiai XB Apršyms XB yr vriu lituoti plokštelinii šilumokičii, skirti nudoti centrlizuoto šildymo ir vėsinimo sistemose, pvyzdžiui, uitinio kršto vndens ruošimo sistemoje, šilumos punkte tskirti šilumos tinklus

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

K F = F 2 /F 1 = l 1 /l 2. (1)

K F = F 2 /F 1 = l 1 /l 2. (1) Stiprinims 1. Mechninės jėgos F stiprinims 1.1. Archimedo sverts. O l 2 F 2 T l 1 m P = m g F 1 1 pv. K F = F 2 /F 1 = l 1 /l 2. (1) či: P sunkio jėg; T įtempimo (tmprumo) jėg; F 1, 2 titinkmi poveikio

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 791. I. Bendrosios nuostatos. II. Tikslas, uždaviniai, struktūra. 5 6 klasės. 7 8 klasės klasės

Matematika 791. I. Bendrosios nuostatos. II. Tikslas, uždaviniai, struktūra. 5 6 klasės. 7 8 klasės klasės I. Bendrosios nuostatos 1. Ugdymo srities paskirtis Matematika yra reikšminga pasaulio mokslo, technologijų ir žmogaus kultūros dalis. Ji yra svarbus abstrakčiojo dedukcinio ir indukcinio, empirinio-patyriminio,

Διαβάστε περισσότερα

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip: PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

Sprendinio kompleksinis pavidalas: z = a exp(iϕ) = a (cos ϕ + i sin ϕ). Plokščiosios bangos lygtis:

Sprendinio kompleksinis pavidalas: z = a exp(iϕ) = a (cos ϕ + i sin ϕ). Plokščiosios bangos lygtis: ĮVADAS Į BANGINĘ ŠVISOS TORIJĄ 7 ĮVADAS Į BANGINĘ ŠVISOS TORIJĄ 1.1. HARMONINIAI VIRPSIAI. MONOCHROMATINĖS BANGOS Hrmoninii virpesii r periodinii fizikinio ddžio kitimi like, nuskomi sinuso (rb kosinuso)

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

taip: Q m : m Z, n N, t.y. aibę sudaro trupmenos n

taip: Q m : m Z, n N, t.y. aibę sudaro trupmenos n SKYRIUS AIBĖS IR FUNKCIJOS Aibės ir jų veiksmi Kiekvieme gmtos moksle esm tiek tiesos, kiek esm mtemtikos IKts Aibės sąvok mtemtikoje likom pirmie, es legvi suvokim ir eturi pibrėţimo Ji vrtojm ir ksdieiime

Διαβάστε περισσότερα

..,..,.. ! " # $ % #! & %

..,..,.. !  # $ % #! & % ..,..,.. - -, - 2008 378.146(075.8) -481.28 73 69 69.. - : /..,..,... : - -, 2008. 204. ISBN 5-98298-269-5. - -,, -.,,, -., -. - «- -»,. 378.146(075.8) -481.28 73 -,..,.. ISBN 5-98298-269-5..,..,.., 2008,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

% APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$

% APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$ Name Section APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$ Page Score December13,2016 ATTHETOPOFTHEPAGEpleasewriteyournameandyoursectionnumber.The followingitemsarenotpermittedtobeusedduringthisexam:textbooks,class

Διαβάστε περισσότερα

2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ

2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S 018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 018 m. birželio 9 d. įvyko matematikos valstybinis brandos egzaminas.

Διαβάστε περισσότερα

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1. Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas į laboratorinius darbus

Įvadas į laboratorinius darbus M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2013 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis

klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2013 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS (miestas / rajonas, mokykla) klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 013 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo

Διαβάστε περισσότερα

x3 + 1 (sin x)/x d dx (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). d dx (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x 2 ). 3x 2 cos(x 3 )dx = sin(x 3 ) + C. d e (t2 +1) = e (t2 +1)

x3 + 1 (sin x)/x d dx (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). d dx (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x 2 ). 3x 2 cos(x 3 )dx = sin(x 3 ) + C. d e (t2 +1) = e (t2 +1) x sin x cosx e x lnx x3 + (sin x)/x e x {}}{ (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). }{{}}{{} f(g(x)) 3x cos(x 3 ). 3x cos(x 3 ) x 3 3x sin(x 3 ) (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x ). 3x cos(x 3 ) = sin(x 3 ) + C. e ( +).

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Review-2 and Practice problems. sin 2 (x) cos 2 (x)(sin(x)dx) (1 cos 2 (x)) cos 2 (x)(sin(x)dx) let u = cos(x), du = sin(x)dx. = (1 u 2 )u 2 ( du)

Review-2 and Practice problems. sin 2 (x) cos 2 (x)(sin(x)dx) (1 cos 2 (x)) cos 2 (x)(sin(x)dx) let u = cos(x), du = sin(x)dx. = (1 u 2 )u 2 ( du) . Trigonometric Integrls. ( sin m (x cos n (x Cse-: m is odd let u cos(x Exmple: sin 3 (x cos (x Review- nd Prctice problems sin 3 (x cos (x Cse-: n is odd let u sin(x Exmple: cos 5 (x cos 5 (x sin (x

Διαβάστε περισσότερα

a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0

a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0 Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

MÉTHODES ET EXERCICES

MÉTHODES ET EXERCICES J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 2019

ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 2019 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 09 ΘΕΜΑ Α Α. α) ορισμός σελ.5 β)i) για να έχει μια συνάρτηση αντίστροφη πρέπει να είναι -. ii) ορισμός σελ.35 Α. ορισμός σελ.4 Α3. απόδειξη σελ.35 Α4. α)λ

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

Ολοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Ολοκλήρωση Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Το ζητούμενο Είδαμε μεθόδους υπολογισμού για το πώς μεταβάλλονται οι συναρτήσεις στιγμιαία. Αν αθροίσουμε αυτές τις στιγμιαίες μεταβολές θα έχουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ : Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης ( Χωρίς δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2013 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2013 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVS RESPUBLIKS ŠVIETIM IR MKSL MINISTERIJ NINLINIS EGZMINŲ ENTRS 03 METŲ MTEMTIKS VLSTYBINI BRNS EGZMIN REZULTTŲ STTISTINĖ NLIZĖ 03 m. birželio 5 d. matematikos valstbinį brandos egzaminą leista laikti

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. i) ============================================================== Πρέπει αρχικά να είναι συνεχής στο x = 1: lim. lim. 2 x + x 2.

Άσκηση 1. i) ============================================================== Πρέπει αρχικά να είναι συνεχής στο x = 1: lim. lim. 2 x + x 2. http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 008-009: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε

Διαβάστε περισσότερα

FIZIKOS PASIRENKAMŲJŲ MODULIŲ PROGRAMŲ (III IV GIMNAZIJOS) KLASĖMS ĮGYVENDINIMO MOKYKLOSE METODINES REKOMENDACIJOS SU PAVYZDŽIAIS

FIZIKOS PASIRENKAMŲJŲ MODULIŲ PROGRAMŲ (III IV GIMNAZIJOS) KLASĖMS ĮGYVENDINIMO MOKYKLOSE METODINES REKOMENDACIJOS SU PAVYZDŽIAIS P R O J E K T A S VP1-2.2-ŠMM-04-V-01-001 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS 14-19 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDI- VIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ 2000-2010 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Programą rengė D. Dobravolskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Programą rengė D. Dobravolskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Prgramą rengė D. Dbravlskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė 1. ĮVADAS Brands egzaminus laik mksleiviai, kurie mkėsi pagal Bendrąsias prgramas ir išsilavinim

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorinis darbas Nr. 2

Laboratorinis darbas Nr. 2 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

11 klasei Pirmas skyrius MATEMATIKA. tempus. Bendrasis ir išplėstinis kursas

11 klasei Pirmas skyrius MATEMATIKA. tempus. Bendrasis ir išplėstinis kursas 11 klasei Pirmas skyrius MATEMATIKA tempus Bendrasis ir išplėstinis kursas MATEMATIKA tempus Bendrasis ir išplėstinis kursas 11 klasei Pirmas skyrius UDK 51(075.3) Ma615 Autoriai: VILIJA DABRIŠIENĖ, MILDA

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα