Matematika test M-1, 2. časť

Transcript

1 M O N I T O R 001 pilotné testovanie maturantov MONITOR 001 Matematika test M-1,. časť forma A Kód školy: Číslo žiaka A B C F H I K L M O P S Kód A B C F H I triedy: slov. maď. iný Ch D Vyučovací jazyk: Pohlavie: Známka: Úloha 1 3a 3b Čitateľný podpis Hodnotenie: Kontrola: Hodnotil: Kontroloval: Odborný garant projektu: Realizácia projektu: Štátny pedagogický ústav, Bratislava EXAM, Bratislava (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

2 1 MONITOR Andrej vyslovil takéto matematické tvrdenie: Ak m je ľubovoľné nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi a n je ľubovoľné nepárne prirodzené číslo deliteľné deviatimi, tak číslo m + njeurčite deliteľné šiestimi. Braňo vyslovil takéto matematické tvrdenie: Ak m je ľubovoľné nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi a n je ľubovoľné nepárne prirodzené číslo deliteľné deviatimi, tak číslo m + njeurčite deliteľné deviatimi. a) Čo najpresnejšie zdôvodnite, prečo je Andrejovo tvrdenie pravdivé. b) Čo najpresnejšie zdôvodnite, prečo je Braňovo tvrdenie nepravdivé. Sem napíšte celé riešenie aj s postupom: (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

3 Matematika testm-1.časť forma A Pokračovanie riešenia: (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

4 3 MONITOR 001 Na obrázku je časť paraboly, ktorá je grafom istej kvadratickej funkcie. Táto parabola má vrchol v bode V a pretína os v dvoch bodoch X 1, X. Už Archimedes dokázal, že v takomto prípade sa obsah trojuholníka X 1 VX rovná trom štvrtinám obsahu oblasti ohraničenej osou a parabolou (na obr. je vyšrafovaná). y Využite toto pozoruhodné Archimedovo zistenie a určte s jeho pomocou obsah oblasti ohraničenej osou a grafom funkcie f danej predpisom f : y = X 1 V X Sem napíšte celé riešenie aj s postupom: (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

5 Matematika testm-1.časť forma A 4 Pokračovanie riešenia: (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

6 5 MONITOR 001 Z dvojice úloh 3a, 3b riešte iba jednu podľa vlastného výberu! 3a V rovine sú dané dva body A, B, pričom AB = 8 cm. Označme M množinu všetkých takých bodov C v rovine, pre ktoré má trojuholník ABC obsah1cm a niektorý z jeho vnútorných uhlov má veľkosť 60. a) Načrtnite obrázok, v ktorom zreteľne vyznačíte všetky body roviny patriace do množiny M. Určte ich počet. b) Napíšte postup konštrukcie bodov množiny M. Ak ste si vybrali túto úlohu, sem napíšte celé jej riešenie aj s postupom: (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

7 Matematika testm-1.časť forma A 6 Pokračovanie riešenia: (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

8 7 MONITOR 001 Z dvojice úloh 3a, 3b riešte iba jednu podľa vlastného výberu! 3b Kocka ABCDEFGH má hranu dĺžky 3 cm. Bod K je taký bod pol- H G priamky AE,že AK = 4 cm. Bod L je taký bod polpriamky DC, že DL = 4 cm. Priamka KL pretína povrch kocky v bodoch X, Y. E F Určte dĺžku úsečky XY. D C A B Ak ste si vybrali túto úlohu, sem napíšte celé jej riešenie aj s postupom: (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

9 Matematika testm-1.časť forma A 8 Pokračovanie riešenia: (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

10 9 MONITOR 001 Miesto na pomocné výpočty (obsah tejto strany nebude pri hodnotení zohľadnený) (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM

11 Matematika testm-1.časť forma A 10 Mocniny: y + y a y y. y a. a = a ; = a ; ( a ) a y a Goniometrické funkcie: sin + cos = 1 tg. cotg = 1, k sin = 1 cos tg = cotg, cotg = tg, Prehľad vzorcov = ; ( b) a b a. =. ; 1+ cos cos = sin = cos k ( k + 1) ( ± y ) = sin.cos y cos. sin y ( ± y) = cos.cos y m sin. sin y sin ± cos a b (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM a = b ; a 1 = ; a y a = sin =.sin. cos cos = cos sin Trigonometria: Sínusová veta: a b c = = = r sin α sinβ sin γ Kosínusová veta: c Logaritmus: log z ( y ) = logz + logz y ; logz = logz logz y ; y k logz log z = k. logz ; log y = log y n 1 1 n = 1 a n n n 1 q 1 a n = a1 q ; sn = a1, q 1 q 1 Aritmetická postupnosť: a n = a + ( n ). d ; s ( a + ) Geometrická postupnosť: z cos = sin = a + b ab. cos γ n! n n! Kombinatorika: P(n) =n!; V( k, n) = ; C( k, n) = = ( n k )! k k!( n k)! n! P (n 1,n,,n k )= ; V (k,n) =n k n + k 1 ; C (k,n) = n1!. n!... nk! k Analytická geometria: Parametrické vyjadrenie priamky: X = A + tu r, t R Všeobecná rovnica priamky: a + by + c =0; [ a, b] [ 0,0] Smernicový tvar rovnice priamky: y = a + b ; Parametrické vyjadrenie roviny: X = A + tu r + sv r, t, s R Všeobecná rovnica roviny: a + by + cz + d =0; [ a, b, c] [ 0,0,0] Stredový tvar rovnice kružnice: ( m) +(y n) = r Objemy a povrchy telies: 0 sin 0 cos kváder valec ihlan kužeľ guľa objem abc r v povrch (ab+ac+bc) r ( r + v) S p +Q r ( r + s) S p v y a 1 4 r v r r

12 11 MONITOR 001 MONITOR 001 M O N I T O R 001 pilotné testovanie maturantov na gymnáziách a vybraných SOŠ V rámci projektu MONITOR 001 píšu v tejto chvíli rovnaký test tisíce maturantov na stovkách stredných škôl. Máte jedinečnú možnosť objektívne porovnať vlastné vedomosti s rovesníkmi na celom Slovensku. Pracujte sústredene a snažte sa podať čo najlepší výkon. Svojím dobrým výsledkom môžete prispieť k pozitívnemu hodnoteniu Vašej školy v celoslovenskom meradle. Informácie a pokyny pre žiakov Test obsahuje štyri úlohy, z ktorých však budete riešiť ibatri.úlohy1asúpovinnépre všetkých žiakov. Spomedzi úloh 3a, 3b si každý žiak vyberie jednu úlohu, ktorú bude riešiť. Úlohy 3a, 3b sú z hľadiska hodnotenia rovnocenné. Odporúčame Vám, aby ste sa podľa zadania rozhodli pre jednu z oboch úloh a venovali sa iba jej. Aj v prípade, že sa pokúsite riešiť obe úlohy, do výsledkov sa Vám započíta iba jedna z nich (pozri ďalší bod). Aby hodnotitelia vedeli, ktorú z úloh 3a, 3b Vám majú započítať do hodnotenia, zakrúžkujte označenie vybranej úlohy na titulnej strane testu v rubrike Úloha. V prípade, že zakrúžkujete obe úlohy alebo ani jednu, započítajú sa Vám automaticky body za úlohu 3a, čo môžebyť pre Vás nevýhodné. Vo vlastnom záujme preto vyznačte jednu úlohu. Na vypracovanie testu (t. j. troch vybraných úloh) budete mať 60 minút čistého času. Pri práci smiete používať písacie a rysovacie potreby a kalkulačku. Môžete tiež používať prehľad vzorcov, ktorý nájdete na predposlednej strane testu. Nesmiete používať tabuľky, učebnice ani zošity. Riešenia úloh píšte tak, aby hodnotitelia mohli sledovať jednotlivé kroky riešenia. Pripojte aj komentár, vysvetlenie a zdôvodnenie jednotlivých krokov. Uveďte aj všetky výpočty, ktoré tvoria súčasť riešenia. Ak sa Vám riešenie nezmestí do vyhradeného miesta pod zadaním úlohy, pokračujte na vedľajšej strane. Nepoužívajte žiadny pomocný papier, všetky úvahy a výpočty robte priamo do testu. Strana 9 na konci testu je vyhradená na prípadné pomocné výpočty. Na jej obsah sa pri hodnotení nebude prihliadať. Píšte čiernym alebo modrým perom. Nesmiete písať červeným perom ani obyčajnou ceruzkou (okrem rysovania). Nezačínajte pracovať, kým nedostanete pokyn! (001) Štátny pedagogický ústav a EXAM