Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,..."

Αφροδίσιος Ηλιόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia matematického modelu (zjednodušenia) 3. numerické riešenie 4. reprezentácia výsledkov - p. 1/19

2 Príklad 1 Vypočítajte objem Zeme. - p. 2/19

3 Príklad 2 Vyrovnávanie teploty V nádobe je tekutina, ktorá v čase t 0 má teplotu y 0. Nech okolité prostredie má teplotu ȳ, nech y i je teplota tekutiny v čase t i = t 0 +iτ,τ > 0 (τ je časový interval). Aká je teplota tekutiny y i+1 v čase t i+1? y i+1 = y i +cτ(ȳ y i ), c-je konštanta úmernosti a vyjadruje vlastnosti materiálu, z ktorého je nádoba zostrojená (súčinitel tepelnej vodivosti, merné teplo,...). - p. 3/19

4 Príklad 2 Vyrovnávanie teploty V nádobe je tekutina, ktorá v čase t 0 má teplotu y 0. Nech okolité prostredie má teplotu ȳ, nech y i je teplota tekutiny v čase t i = t 0 +iτ,τ > 0 (τ je časový interval). Aká je teplota tekutiny y i+1 v čase t i+1? y i+1 = y i +cτ(ȳ y i ), c-je konštanta úmernosti a vyjadruje vlastnosti materiálu, z ktorého je nádoba zostrojená (súčinitel tepelnej vodivosti, merné teplo,...). Riešenie: y i+1 = cτȳ +(1 cτ)y i = cτȳ +(1 cτ)(cτȳ +(1 cτ)y i 1 ) = = cτȳ(1+(1 cτ))+(1 cτ) 2 y i 1 =... = = cτȳ(1+(1 cτ)+(1 cτ) (1 cτ) i )+(1 cτ) i+1 y 0 = = cτȳ 1 (1 cτ)i+1 1 (1 cτ) +(1 cτ) i+1 y 0 Ako vyzerá riešenie pre i? Fyzikálny význam? - p. 4/19

5 Ak 1 cτ < 1 = y i ȳ DÚ: Vyskúšajte vyriešit rovnicu y i+1 = y i +cτ(ȳ y i+1 ), - p. 5/19

6 Poznámka: Newtonov zákon ochladzovania. Podl a Newtonovho zákona ochladzovania rýchlost ochladzovania (rýchlost zmeny teploty y(t), tj. derivácia dy(t) dt, t je čas) je úmerná rozdielu teplôt vonkajšieho prostredia a telesa. Môžeme to vyjadrit rovnicou dy(t) (1) = c(ȳ y(t)). dt Ide o obyčajnú diferenciálnu rovnicu s počiatočnou podmienkou (2) y(t 0 ) = y 0. Budeme sa snažit vypočítat vývoj teploty tekutiny bez toho, aby sme vedeli niečo o riešení diferenciálnych rovníc. - p. 6/19

7 Budeme sledovat vývoj teploty v časoch t 1,t 2,t 3,... Táto teplota bude y(t 1 ),y(t 2 ),y(t 3 ),... Pre jednoduchost nech t i = t 0 +iτ, τ > 0, t i budú časové rezy, τ je časový krok. Prepíšeme rovnicu (1) v čase t = t i : dy(t) dt = c(ȳ y(t i )). t=ti Je známe, že derivácia dy(t) dt je smernica dotyčnice funkcie y(t) v bode t. Nahrad me túto dotyčnicu sečnicou (vid obrázok) a teda od presného riešenia prejdeme k aproximácii. Aproximáciu presného riešenia v bode t i budeme označovat y i. - p. 7/19

8 y spätná sečnica dotyčnica dopredná sečnica y(t) t i 1 t i t i+1 t Aproximácia derivácie - p. 8/19

9 Nahradenie derivácie: dy(t) dt t=ti y i+1 y i τ y i y i 1 τ dopredná diferencia spätná diferencia takže pre prípad doprednej diferencie dostaneme rovnicu y i+1 y i = cτ(ȳ y i ) y i+1 = (1 cτ)y i +cτȳ a pre prípad spätnej diferencie dostaneme rovnicu y i y i 1 = cτ(ȳ y i ) y i = 1 1+cτ (y i 1 +cτȳ) Tieto rovnice sú lineárne a vieme ich riešit ked že poznáme y 0. Pre takýto jednoduchý problém poznáme aj presné riešenie y(t) = ȳ +(y 0 ȳ)e c(t 0 t). (Numerické riešenie - aplikácia v MATLABe). - p. 9/19

10 Čo z numeriky (by) sme použili? numerickú deriváciu ak by bola pravá strana zložitejšia - riešenie nelineárnej rovnice ak by nás zaujímalo riešenie v inom bode ako časovom reze - aproximáciu funkcie - p. 10/19

11 Príklad 3 Balistický problém Vystrelíme raketu (projektyl) pod daným uhlom (vzhl adom na zem). Počas letu môže menit hmotnost, pričom spal ovanie pohonnej hmoty môžme riadit. Ako d aleko a vysoko poletí? y - výška v Zjednodušenia: nepreletí viac ako 100 km (kvôli zakriveniu Zeme) x-vzdialenost nevychyl uje sa z dráhy vplyvom vetra - postačí 2D úloha - p. 11/19

12 Označenia: x = x(t) - vzdialenost v čase t y = y(t) - výška v čase t θ = θ(t) - uhol, pod ktorým letí raketa v čase t (vzhl adom na os x) v=v(t) - rýchlost rakety v čase t m = m(t) - hmotnost a - zrýchlenie Predpokladáme v čase t 0 = 0 je x(t 0 ) = y(t 0 ) = 0. - p. 12/19

13 Čo potrebujeme vediet zo strednej školy? rýchlost je deriváciou dráhy v(t) = (ẋ(t),ẏ(t)) vel kost rýchlosti v(t) = v(t) = (ẋ(t)) 2 +(ẏ(t)) 2 zrýchlenie je deriváciou rýchlosti θ v ẋ ẏ Newtonov zákon pohybu a = dv dt F = d (m(t)v(t)) = ma dt - p. 13/19

14 Na raketu pôsobia sily: 1. tlak motora - v smere dráhy ozn. T(t) - daná funkcia 2. odpor prostredia (vzduchu) - proti smeru dráhy, jej vel kost 1 2 cρsv2, kde c je koeficient odporu, ρ hustota prostredia, s plocha priečneho rezu 3. gravitačná sila - proti smeru y, jej vel kost je gm, kde g je gravitačné zrýchlenie V smere dráhy pôsobí na raketu sila F 1 = T(t) 1 2 cρsv2 (t) - p. 14/19

15 Z Newtonovho zákona F = d dt (m(t)v(t)) a v(t) = (ẋ(t),ẏ(t)) máme v smere x : ṁ(t)ẋ(t)+m(t)ẍ(t) = F 1 cosθ(t) = v smere y : ṁ(t)ẏ(t)+m(t)ÿ(t) = F 1 sinθ(t) gm(t) ẍ(t) = 1 m(t) (T(t) 1 2 cρsv2 (t))cosθ(t) ṁ(t) m(t)ẋ(t) ÿ(t) = 1 m(t) (T(t) 1 2 cρsv2 (t))sinθ(t) g ṁ(t) m(t)ẏ(t) Platí ẋ(t) = v(t)cosθ(t) ẍ = vcosθ v θsinθ ẏ(t) = v(t)sinθ(t) ÿ = vsinθ +v θcosθ - p. 15/19

16 Dostaneme systém obyčajných diferenciálnych rovníc (ODR) ẋ(t) = v(t) cos θ(t) ẏ(t) = v(t) sin θ(t) 1 v(t) = m(t) (T(t) 1 2 cρsv2 (t)) gsinθ(t) ṁ(t) θ(t) = g v(t) cosθ(t) ṁ(t) = k T(t) s počiatočnými podmienkami x(0) = 0 y(0) = 0 v(0) = v 0 θ(0) = θ 0 m(0) = m 0. m(t) v(t) Rovnica pre zmenu hmotnosti vyjadruje fakt, že pri spal ovaní pohonnej zmesi hmotnost klesá, rýchlost spal ovania vyjadruje konštanta k. - p. 16/19

17 Nech τ > 0,τ R, označme t i = iτ,i = 1,2,...,n. Označíme x i x(t i ) y i y(t i ) v i v(t i ) θ i θ(t i ) m i m(t i ) Systém ODR prepíšeme v bode t = t i ẋ(t) t=ti v i cosθ i ẏ(t) t=ti v i sinθ i v(t) t=ti θ(t) 1 m i (T(t i ) 1 2 cρsv2 i ) gsinθ i +k T(t i) g v i cosθ i t=ti ṁ(t) t=ti k T(t i ) m i v i - p. 17/19

18 Treba aproximovat deriváciu - pomocou numerickej derivácie ako v predchádzajúcom príklade. Spravíme všeobecne: f(t) f i+1 f i t=ti τ Dostaneme systém rovníc x i+1 x i τ y i+1 y i τ v i+1 v i = v i cosθ i = v i sinθ i τ = 1 m i (T(t i ) 1 2 cρsv2 i ) gsinθ i +k T(t i) θ i+1 θ i τ = g v i cosθ i m i+1 m i τ = k T(t i ) m i v i Použili sme doprednú diferenciu. V prípade použitia spätnej diferencie by sme dostali zložitejšiu úlohu - systém nelineárnych rovníc. (Numerické riešenie - aplikácia v MATLABe). - p. 18/19

19 Pri numerickom riešení musíme použit 1. numerickú deriváciu 2. metódy na riešenie systémov nelineárnych rovníc 3. metódy na riešenie systémov lineárnych rovníc 4. aproximáciu funkcie - p. 19/19

Σχετικά έγγραφα

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,... Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia