4. Mjerenja pravaca i kutova u navigaciji

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. Mjerenja pravaca i kutova u navigaciji"

Transcript

1 4. Mjerenja pravaca i kutova u navigaciji Opcenito o kompasima Kompas je instrument kojim se identificira meridijan. upotreba u Evropi pocela je sredinom trinaestog stoljeca. Dugo vremena koristio se magnetski kompas i tek u dvadesetom stoljecu pocele su se primjenjivati druge metode za identifikaciju meridijana. Kompasi se mogu podijeliti po svojim fizickim obilježjima, po nacinu rada elementa kojim se identificira meridijan, po nacinima stabilizacije, po upotrebi. Prema fizickim osobinama svi kompasi mogu se podijeliti na: magnetske amagnetske Magnetski kompasi koriste Zemljin magnetizam za postavljanje u pravcu sjeverojužnice. Amagnetski kompasi koriste neke druge prirodne pojave za identifikaciju sjeverojužnice, uglavnom rotaciju Zemlje odnosno prividna kretanja nebeskih tijela Prema namjeni kompasi mogu biti: glavni kormilarski rezervni za brodice rucni Kompas je sastavljen od djelova koji, osim osnovnog svojstva, to jest identifikacije meridijana, omogucavaju i stabilan rad, mirnocu, povecavaju osjetljivost, omogucavaju mjerenja itd. Glavni djelovi kompasa su: osjetljivi element kojem je osnovna namjena pokazivanje pravog, magnetskog ili kompasnog sjevera, a za tu svrhu mogu se koristiti razlicite fizicke pojave, element za pokazivanje kursa omogucava identifikaciju kursa odnosno kuta izmedu meridijana i pravca kretanja broda, element za odredivanje azimuta omogucava smjeranja azimuta objekata, odnosno kuta izmedu meridijana i smjera prema objektu kompenzacijski elementi neutraliziraju štetna djelovanja na osjetljivi element i u velikoj mjeri poboljšavaju svojstva kompasa elementi za prijenos podataka omogucavaju prijenos podataka o kursu na druge navigacijske instrumente pomocni elementi opcenito poboljšavaju rad kompasa ili omogucavaju lakše rukovanje. Geomagnetizam i geomagnetski elementi Geomagnetizam je magnetizam Zemlje. Slobodno obješena na magnetskom ekvatioru uravnotežena magnetska igla stalno ce pokazivati istu tocku na horizontu, a promjenom magnetske geografske širine jedna strana magneta nagnut ce se pod horizont. O nastanku magnetizma postoji nekoliko hipoteza po kojima se magnetizam pripisuje naslagama feromagnetskih materijala u zemljinoj kori, elektricnim strujama u zemljinoj kori zbog strujanja fluida, i fizickim svojstvima tijela koje rotira. Vjerojatno Zemljin magnetizan nastaje zbog svih tih utjecaja. Svi planeti u suncevu sustavu imaju više ili manje izražena magnetska svojstva, neki od njih, na primjer Jupiter, imaju vrlo jaka magnetska svojstva koja mogu onemoguciti rad instrumenata na letjelicama. Slobodno ovješena magnetska igla na površini Zemlje zauzimala bi razlicite položaje: na magnetskom ekvatoru postavila bi se paralelno u odnosu prema na magnetskim polovima postavila bi se okomito u odnosu na horizont, a na nekoj geografskoj širini pokazivala bi nagib u 39

2 odnosu na horizont. Drugim rijecima magnetska igla postavit ce se u smjeru zamišljene crte koja spaja magnetske polove Zemlje, a koja se zove magnetska silnica. Na tockama Zemlje koje se nalaze jednako udaljene od oba magnetska pola magnetska igla bit ce paralelna s horizontom: crta koja spaja te tocke zove magnetski ekvator (slika 35). Magnetski ekvator ne podudara se sa geografskim ekvatorom. Slika 35. Magnetski polovi su mjesta na površini zemlje u kojima se slobodno ovješena magnetska igla postavlja okomito na horizont. Kao i magnetski ekvator magnetski se polovi ne poklapaju s geografskim. To zapravo i nisu polovi vec površine s polumjerom od oko 150 nautickih milja koje stalno mijenjaju položaj, a njihov položaj krajem dvadesetog stoljeca je za sjeverni magnetski pol: ϕ = 78 N, λ = 98 W, a za južni: ϕ = 72 S, λ = 140 E Jedna od važnih znacajki zemljinog magnetizma je njegov polaritet: prema odredenom zemaljskom polu okretut ce se uvijek ista strana magneta. Zbog jednostavnosti dogovoreno je da ona strana magnetske igle koja se okrene prema sjeveru ima sjeverni, pozitivni ili crveni magnetizam. Buduci da sjeverni kraj magnetske igle privlaci magnetizam suprotnog polariteta, može se zakljuciti da se na sjevernoj hemisferi nalazi južni magnetski pol, oznacen negativnim predznakom i plavom bojom, a na južnoj hemisferi nalazi se sjeverni magnetski pol oznacen pozitivnim predznakom i crvenom bojom. Takoder je važno napomenuti da zemaljski magnetizam može u feromagnetskim materijalima inducirati polaritet suprotnog predznaka, tako da ce se na onoj strani feromagnetskog štapa koja je okrenuta južnom magnetskom polu inducirati sjeverni magnetizam i obratno. Buduci da se ne poklapaju položaji geografskih i magnetskih polova ne poklapaju se ni pravi i magnetski meridijan. Ta dva meridijana na nekoj tocki površine Zemlje razlikuju se za kut koji se zove magnetska deklinacija ili varijacija (slika 36). Varijacija može imati pozitivan ili negativan predznak: ako se magnetska igla svojim sjevernim krajem otkloni istocno od pravog meridijana, odnosno ako južni magnetski pol nalazi istocno od sjevernog geografskog pola varijacija ima pozitivan predznak; ako se magnetska igla svojim sjevernim krajem otkloni zapadno od pravog meridijana, odnosno ako je južni magnetski pol zapadno od sjevernog geografskog pola varijacija ima negativnu vrijednost. U plovnim podrucjima varijacija može iznositi i do ± 30. Izmedu geografskog i magnetskog pola varijacija iznosi 180. Vrijednost varijacije u punom iznosu utjece na razliku izmedu pravog i magnetskog kursa. Zbog toga je nužno u svakom trenutku poznavati vrijednost magnetske varijacije. Podaci o tome nalaze se u mnogim navigacijskim publikacijama (karte gomagnetskih elemenata, pilotske karte, peljari itd.), ali se varijacija najcešce proracunava na potrebnu godinu iz podataka koji su prikazani u navigacijskim Merkatorovim kartama, neovisno o tome o kakvim kartana i kojim mjerilima se radi. 40

3 Slika 36. Vrijednost magnetske varijacije na kartama je prikazana za godinu kad je navigacijska karta izdana, a promjene su prikazane u godišnjem porastu ili padu vrijednosti. Pritom valja imati na umu da porast ili opadanje oznacavaju promjenu u apsolutnom smislu: ako je varijacija pozitivna porast se znacati da ce njezina pozitivna vrijednost rasti, a opadanje znaci da ce njezina vrijednost opadati; ako je varijacija negativna porast znaci da ce negativna vrijednost varijacije rasti, a opadanje znaci da ce negativna varijacija postajati u apsolutnom smislu postajati manja. rijecima, porast varijacije znaci udaljavanje magnetskog od pravog meridijana prema istoku ili zapadu, a opadanje znaci približavanje magnetskog meridijana pravom. Ostali geomagnetski elementi su: totalni intenzitet i horizontalna i vertikalna komponenta te inklinacija (slika 37). Slika 37 U nekoj tocki magnetske silnice jakost magnetskog polja izražena je vektorom koji predstavlja ukupnu jakost magnetskog polja. Taj se vektor zove totalni intenzitet ( T), a može se podijeliti u dvije komponente: horizontalnu ( H) koja magnetsku iglu drži u smjeru sjeverojužnice, i vertikalnu ( V) koja magnetsku iglu naginje pod horizont. Kut pod kojim magnetska silnica sjece ravninu horizonta zove se inklinacija ( i). Iz slike se može vidjeti: H = T cos i V = T sin i tg i = V H Vrijednost horizontalne komponente zemaljskog magnetizma pada od magnetskog ekvatora, gdje je najveca, prema magnetskim polovima u kojima je njezina vrijednost 0. Vertikalna komponenta raste od magnetskih polova, u kojima je najveca, do magnetskog ekvatora na kojem nema vertikalne komponente. Inklinacija 0 je na magnetskom ekvatoru, a 90 na magnetskim polovima. Varijacija, inklinacija, totalni intenzitet te vrijednosti horizontalne i vertikalne komponente mogu se naci u geomagnetsim kartama. Vrijednosti mogu biti prikazane svojim apsolutnim vrijednostima ili izolinijama. Izolinije su crte koje spajaju iste geomagnetske vrijednosti. 41

4 Crte koje spajaju mjesta iste magnetske varijacije zovu se izogone. Agona je crta nulte vrijednosti magnetske varijacije. U stvarnosti agonu predstavlja meridijan na kojem je smješten magnetski pol. Crte koje spajaju mjesta s istim vrijednostima inklinacije zovu se izokline. Crta s nultom vrijednošcu inklinacija zove se aklina, a s obzirom da na njoj nema inklinacije to je zapravo magnetski ekvator. Aklina ima približno oblik sinusoide s ekstremima u ϕ = 10 N i ϕ = 15 S, a sa zemaljskim (geografskim) ekvatorom sijece se u dvije tocke s geografskim dužinama λ = 20 W i λ = 170 E. Crte koje spajaju sva mjesta iste vrijednosti totalnog intenziteta zovu se izodiname. Horizontalna komponenta totalnog intenziteta na magnetskom ekvatoru ima vrijednost H = 24 A/m, na magnetskim polovima H = 0. Najveca je u Andamanskom moru (Burma, Sumatra, Nikobari, Andamani) gdje postiže vrijednost H = 32 A/m. Vertikalna komponenta najveca je na magnetskim polovima gdje je jednaka totalnom intenzitetu V = T = 55 A/m, dok je na magnetskom ekvatoru V = 0. Anomalije u Zemaljskom magnetizmu nastaju ako u slojevima Zemljine površine postoje feromagnetski minerali. Najveca je Kurska anomalija, na Jadranu najjace anomalije javljaju se kod Jabuke i Visa, a manje kod Cresa i Lošinja. Magnetske promjene mogu biti pravilne ( periodicne) i nepravilne ( neperiodicne). Periodicne promjene nastaju zbog promjena položaja magnetskih polova odnosu na neku tocku ( sekularne promjene), a posljedica sekularnih promjena je godišnji porast ili opadanje vrijednosti varijacije, ili zbog rotacije Zemlje oko vlastite osi odnosno zbog utjecaja Sunca ( dnevne ili sunceve promjene). Neperiodicne promjene kratkotrajne su i velike izmjene magnetskog polja na citavoj površini Zemlje, a uslijed magnetskih oluja uzrokovanih atmosferskim elektricitetom. Geomagnetski elementi mjere se razlicitim instrumentima, a najviše su u upotrebi magnetski teodoliti, deklinatori i inklinatori. Deklinatorima se mjeri vrijednost magnetske varijacije, a ta se vrijednost može izmjeriti do 0,3 tocno. Inklinatorima se mjere vrijednosti magnetske inklinacije. Vrste i dijelovi magnetskih kompasa Prema nacelu rada rada osjetljivog elementa svi se kompasi mogu podijeliti u: magnetski indukcijski magnetoelektronski elektromagnetski magnetostricijski termomagnetski U upotrebi su samo magnetski i indukcijski Prema nacinu stabilizacije osjetljivog elementa magnetski kompasi mogu se podijeliti na suhe i likvidne, a prema namjeni na brodu dijele se na: glavni kompas smješten je na najpovoljnijem dijelu broda, najcešce na krovu kormilarnice, a prema njemu drže se kursevi te odreduju pozicije, kormilarski kompas služi za održavanje kursa, rezervni kompas najcešce je smješten pored rezervnog kormilarskog uredaja, za brodice koristi se na camcima za spašavanje rucni kompas upotrebljava se na manjim camcima. Konstrukcija magnetskog kompasa sadrži elemente za identifikaciju meridijana, kompenzaciju magnetskih utjecaja broda, stabiliziranje osjetljivog elementa i ostalih djelova (slika 38). Svi djelovi moraju biti od nemagnetskih materijala. 42

5 Slika 38. Ruža magnetskog kompasa je osjetljivi element s amagnetskim klobucicem koji ima safir kao ležaj, stupicem s vrhom od iridija i magnetskim iglama. Težište ruže spušteno je u odnosu na uporište stupica (slika 39). Može biti uprta ili obješena, a smještena je u kotlu. Ispod ruže smješten je sustav magnetskih igala, a sve zajedno sacinjava osjetljivi element magnetskog kompasa. Ruža ima kružni aluminijski prsten na koji je ucvršcena, napravljena je od svile, cvrstog papira ili impregniranog platna. Podijeljena je na stupnjeve i vjetrove. Slika 39 Kotao kompasa je posuda sa staklenim poklopcem u koju smještena ruža. Radi stabizizacije kotao je snabdjeven kardanskim sustavom i utegom, a radi identifikacije kursa na njegovomo obodu smještena je vertikalna nit koja se nalazi u uzdužnici broda, oznacuje pramcanicu Pramcanica se okrece zajedno s brodom dok je oznaka nule na ruži stabilizirana u meridijanu, tako da se može regisrirati svaki otklon uzdužnice obroda od meridijana. Osim oznake pramcanice na kotlu se može nalaziti i oznaka krme, kao i dvije bocne oznake. Ako kompas ima likvid dno kotla je elasticno (slika 40). U tom slucaju ruža je uprta i snabdjevena plovcima koji ruži daju potreban uzgon. Slika 40 Stalak magnetskog kompasa izraden je od nemagnetskog najcešce kvalitetnog drva. U stalku je smješten kotao s ružom i svi ostali elementi kompasa (kompenzacijski sustav, sustav osvjetljenja i kardan). Zbog zaštite ruže stalak ima poklopac (kapu) od nemagnetskog materijala u koju je smješteno rezervno osvjetljenje. Dno stalka ucvršceno je vijcima za pod kormilarnice. Kompenzacijski elementi smješteni su u stalku kompasa sastoje se od vertikalnog drvenog 43

6 elementa s okomitim prorezom za smještaj stalnog vertikalnog magneta (nagibnog korektora), uzdužnim i poprecnim za smještaj kompenzacijskih stalnih magneta, dvije kugle bocno od ruže za kompenzaciju magnetskih djelovanja horizontalnih mekoželjeznih elemenata (D korektori) i mekoželjeznog štapa ispred ili iza ruže za neutralizaciju magnetskih utjecaja vertikalnih mekoželjeznih elemenata (Flindersov štap). Kardanski sustav stalno održava vodoravan položaj kotla s osjetljivim elementom. Napravljen je od nemagnetskog materijala, a sacinjavaju ga dva prstena od kojih je jedan ogranicen u poprecnoj a slobodan u uzdužnoj osi dok je drugi ogranicen u uzdužnoj a slobodan u poprecnoj osi. Na takav nacin kotao je uvijek u horizontalnom položaju. Svojstva magnetskog kompasa su osjetljivost, mirnoca i stabilnost. Osjetljivost je svojstvo kompasne ruže da reagira na što manju promjenu kursa pokazivanja. Kvalitetan kompas mora osjetiti promjenu kursa od svega 0,3. Osjetljivost ovisi o magnetskom momentu inercije (M) vrijednost kojeg uvjetuje jakost horizontalne komponente Zemaljskog magnetizma i jakost magneta na magnetskoj ruži (slika 41). Slika 41. Na magnetsku iglu dužine L uprtu u tocki L/2, ako se otkloni okomito na smjer djelovanja Zemaljskog magnetizma djelovat ce moment ovisan o jakosti magneta ( m) i jakosti horizontalne komponente Zemaljskog magnetizma ( H): M = M 1 + ( -M 2 ) = M 1 - M 2 = L 2 H m - ( - L 2 H m ) = L H m Ako se magnetska igla iz magnetskog meridijana otkloni za kut a moment ce biti izražen sinusom kuta otklona (vidljivo na slici): M = M 1 + ( -M 2 ) = M 1 - M 2 = L 2 H m sin a - (- L H m sin a ) = L H m sin a 2 Prema tome moment povratka ili osjetljivost ( M) ovisan je o jacini magneta ( m), njegovoj dužini ( L), jakosti horizontalne komponente ( H) i kutu otklona magnetske igle iz pravog meridijana ( α). Osjetljivost se može povecati povecanjem broja magneta (momenti magneta se zbrajaju). Mirnoca je svojstvo magnetske ruže da ne oscilira oko vertikalne osi. Uzroci tih oscilacija mogu biti magnetski (promjena polova vertikalne komponente stalnog brodskog magnetizma u odnosu prema položaju magnetske ruže, a zbog zbog valjanja broda) ili mehanicki (rad strojeva ili trešnja zbog posrtanje odnosno valjanja broda). Period oscilacija ( T) zbog magnetskih uzroka ovisan je o momentu tromosti ruže kompasa ( I), jakosti horizontalne komponente Zemljina magnetizma ( H) i magnetskog momenta ( M): T = 2 p Povecanje mirnoce postiže se pravilnim rasporedom magneta ispod ruže.magneti moraju biti razmješteni u obliku kruga i medusobno rasporedeni tako da prikloni kut u središtu kruga bude 0 za jedan magnet, 30 za par magneta, 15 i 45 za dva para i 45 za tri para magneta (slika 42). I M H 44

7 Slika 42. Suhi kompasi imaju duže igle koje omogucavaju bolju osjetljivost, ali im je loša strana slabija mirnoca. Kod likvidnih kompasa koriste se kraci magneti. Najbolji je magnet oblika kružnog prstena jer ima vecu osjetljivost, vecu mirnocu, manji utjecaj kompenzacijskih elemenata, manju devijaciju i vecu stabilnost. Stabilnost je svojstvo da se ruža što brže vrati u horizontalan položaj (što manje oscilacije oko horizontalne osi). Horizontalnost ruže postiže se mehanickim neutraliziranjem vertikalne komponente stalnog brodskog magnetizma, odnosno pravilnim postavljanjem vertikalnog kompenzacijskog stalnog magneta (nagibnog korektora). Buduci da se vertikalnim stalnim magnetom kompenzira i jedan dio brodskog magnetizma kojeg izazivaju vertikalni mekoželjezni elementi, a cija se magnetska indukcija mijenja promjenom geografske širine, kod dobro kompenziranog magnetskog kompasa stabilnost može biti potpuna (ako se ne mijenja zemljopisna širina) nepotpuna (ako se mijenja zemljopisna širina). Pri tome nepotpuna stabilnost postiže se spuštanjem težišta ruže u odnosu na uporište (kod suhih kompasa) odnosno podizanjem težišta ruže u odnosu na uporište (kod likvidnih kompasa). Potpuna stabilnost postiže se kompenzacijom komponente stalnog brodskog magnetizma na više razlicitih geografskih širina. Smjerna sila i instalacija kompasa na brodu Smjerna sila je ona sila koja drži iglu u pravcu magnetskog meridijana na kopnu ili kompasnog meridijana na brodu. Na kopnu je smjerna sila jednaka horizontalnoj komponenti Zemaljskog magnetizma i ne mijenja se, dok je na brodu je slabi ili ojacava brodski magnetizam. Smjerna sila na brodu uzima se kao aritmeticka sredina smjernih sila u svim kursovima i uvijek je manja od horizontalne komponente zemaljskog magnetizma. Koeficijent smjerne sile dobije se kao medusobni odnos oslabljene smjerne sile na brodu ( H' ) i smjerne sile na koju ne utjece brodski feromagnetizam, odnosno smjerne sile na kopnu ( H): l = H' H Na brodu koeficijent smjerne sile može iznositi λ = 0,6 do 0,9 a povecava se kompenzacijom. Zbog štetnih utjecaja na smjernu silu i zbog izazivanja devijacije u blizini magnetskog kompasa ne smije se nalaziti feromegnetni materijali: vertikalni mekoželjezni elementi na manje od 3 m, pokretne željezne mase na udaljenosti manjoj od 10 m, elektromotori na udaljenosti manjoj od 5 m, toplinski strojevi na udaljenosti manjoj od 10 m. U nacelu magnetski kompas uvijek mora biti smješten u uzdužnicu broda. Poželjno je da se s mjesta gdje se nalazi kompas vidi što veci dio horizonta. 45

8 5. Devijacija magnetskog kompasa Osobine magnetskih materijala Pod djelovanjem vanjskog magnetskog polja elektroni u atomima materijala pocinju se polarizirati u smjeru djelovanja vektora vanjskog magnetskog polja materijal poprima odredena magnetska svojstva. Stupanj magnetiziranosti zove se magnetska indukcija (B), izražava se u Teslama a jedan tesla je indukcija homogenog magnetskog polja koje djeluje silom od jednog njutna na ravni vodic dužine jednog metra ako je u vodicu struja jakosti jednog ampera. Indukcija se može izracunati iz izraza: B = mh cos a Faktor µ zove se magnetska permeabilnost materijala. Permeabilnost je svojstvo tvari da provodi magnetski protok (fluks) o cemu ovisi magnetska indukcija. Sve su tvari (s obzirom na permeabilnost) podijeljene na: dijamagnetske ( µ < 1) koje ne pokazuju magnetska svojstva, paramagnetske ( µ > 1) koje pokazuju slaba magnetska svojstva, feromagnetske ( µ >> 1) koje pokazuju jaka magnetska svojstva Na slici 43 prikazana nje krivulja magnetiziranja feromagnetskog materijala, takozvana petlja histereze. Slika 43. Ako se feromagnetski materijal nalazi pod utjecajem magnetskog polja ( H) poprimat ce vlastiti magnetizam ( B). Povecanjem jacine magnetskog polja magnetiziranje materijala teci ce kruivuljom 0A, sve do trenutka dok se svi elektroni u feromagnetskom materijalu ne polariziraju 4, a kad se to dogodi u feromagnetskom materijalu nece više rasti magnetizam. To podrucje krivulje histereze je podrucje magnetske indukcije. Ako jacina magnetskog polja pocne slabiti inducirani magnetizam ce opadati, ali ne po istoj krivulji vec po krivulji koja je na slici oznacena od A do C. Nakon što jacina vanjskog magnetskog polja postane nula u feromagnetskom materijalu zaostat ce jakost induciranog magnetizma jacine od 0 do C. Taj se zaostali magnetiram naziva remanentnim magnetizmom. Ako se zaostali (remanentni) magnetizam u feromagnetnom materijalu želi neutralizirati potrebno je promijeniti polaritet vanjskog magnetskog polja. Jacina magnetskog polja potrebna da se odredeni feromagnetski materijal razmagnetizira zove se koercitivna sila i na slici predstavlja vrijednost od 0 do D. Ako se i dalje pojacava vanjsko magnetsko polje pocet ce magnetiziranje materijala suprotnog polariteta, dok se ponovo ne polariziraju svi elektroni. Ako se sad vanjsko magnetsko polje smanji snaga induciranog magnetizma smanjivat ce se po krivulji DFG. Ciklus magnetske indukcije završit ce se zatvaranjem krivulje histereze cija površina odreduje magnetska svojstva odredenih materijala. Histerezna petlja feromagnetskih materijala može poprimati razlicite oblike (slika 44). 4 Polaritiraju se zapravo skupine elektrona u kolicini takozvane Weisove domene. 46

9 Slika 44. Široka petlja histereze karakteristika je tvrdih magnetskih materijala (petlja oznacena s a) na slici. Uska petlja histereze katrakterizira meke magnetske materijale. Polutvrdi magnetski materijali imaju petlju histereze cija je površina izmedu histereznih petlji prethodne dvije vrste materijala. Brod je izgražen od željeza, a s obzirom na magnetska i na prethodna razmatranja, brodsko željezo može se podijeliti na: tvrdo brodsko željezo (manja permeabilnost, velika koercitivna sila, velik remanentni magnetizam, velika površina histereze), meko brodsko željezo (mala koercitivna sila, velika permeabilnost, mali remanentni magnetizam, mala površina histereze), polutvrdo meko željezo s magnetskim svojstvima izmedu tvrdog i mekog. Prema tome osim pod utjecajem Zemaljskog magnetizma magnetski kompas bit ce i pod utjecajem brodskog magnetizma. Brodski magnetizam Za vrijeme gradnje brod ne mijenja svoj položaj u prostoru tako da su njegovi djelovi izloženi utjecaju Zemaljskog magnetizma, a buduci da je materijal od kojeg se brod gradi (željezo, celik, legure željeza) feromagnetski materijal, kompletna konstrukcija broda izložena je magnetskoj indukciji. Negdje u trupu broda, ovisno o tome u kojem je kursu graden i na kojoj magnetskoj širini, formira se stalni pol brodskog magnetizma koji je na slici 45 kao vektor ( T) a koji se (kao rezultanta) može podijeliti na vertikalnu ( Q ) i horizontalnu (U) komponentu. Slika 45. Horizontalna komponenta ( U) može se podijeliti na uzdužnu ( P) i poprecnu ( Q). Na taj nacin ukupni utjecaj induciranog magnetizma može se razmatrati djelovanjem na magnetsku iglu u uzdužnici broda, poprecnici broda i vertikali broda. 47

10 Inducirani brodski magnetizan bit ce ovisan o magnetskoj tvrdoci feromagnetskih materijala, masi tih materijala, kursu gradnje i magnetskoj širini na kojoj je graden. Polaritet ce ovisiti o kursu gradnje: ako je brod graden u sjevernim kursevima na prednjem dijelu broda inducirat ce se sjeverni magnetizam (jer je na sjevernoj hemisferi smješten južni magnetizam, a polaritet induciranog magnetizma suprotab je polaritetu totalnog intenziteta). Utjecaj uzdužne komponente (P) na devijaciju Devijacija je otklon magnetske igle iz magnetskog meridijana zbog utjecaja brodskog magnetizma. Pozitivna je ako je magnetska igla otklonjena prema istoku, a negativna ako je otklonjena prema zapadu. Smjerna sila je horizontalna komponenta zemljinog magnetizma koja drži iglu kompasa u magnetskom meridijanu. Ako se ispred magnetskog kompasa nalazi inducirani južni magnetski pol (ako je brod graden u južnim kursevima), utjecaj tog magnetizma izazivat ce otklon magnetske igle i devijaciju ovisno o kursu plovidbe (slika 46). Slika 46. U kursu 0 pol induciranog magnetizma nalazit ce se ispred kompasa i nece izazivati skretanja. U kursu 45 negitivni pol brodskog magnetizma privuci ce pozitivni pol magneta kompasne igle i otkloniti je prema istoku izazivajuci pozitivnu deklinaciju. U kursu 90 taj ce otklon biti najveci, a u kursku 135 otklon ce biti jednak kao i u kursu 45. U kursu 180 polovi brodskog magnetizma djeluju u istom smjeru u kojem djeluje i Zemljin magnetizam, ali su suprotnog polariteta, tako da ce slabiti smjernu silu, ali nece izazivati otklon kompasne igle. U kursu polovi istog predznaka medusobno ce se odbijati i devijacija ce biti negativna. U kursu 270 negativna vrijednost deklinacije bit ce najveca, dok ce u kursu 315 biti jednaka kao i u kursu 225. Ocito je da ce se devijacija mijenjati po krivulji koja ima oblik sinusoide. Ako se najviša vrijednost devijacije (devijacija u kursu 90 ) oznaci kao koeficijent B stalnog brodskog magnetizma, devijacija izazvana uzdužnom komponentom u bilo kojem kursu moci ce se izracunati iz izraza: d = B sin K k Ova devijacija bit ce pozitivna u kursu 90 ako je brod graden u južnim kvadrantima (u drugom ili trecem kvadrantu), a u tom ce kursu biti negativna ako je brod graden u sjevernim kvadrantima (u prvom ili cetvrtom kvadrantu). Utjecaj uzdužne komponente stalnog brodskog magnetizma na magnetski kompas može se 48

11 kompenzirati umetanjem stalnog magneta koji ce neutralizirati uzdužnu komponentu stalnog brodskog magnetizma. Prema tome taj magnet mora biti postavljen ispod kompasa i u uzdužnici broda s crvenom stranom prema naprijed ako je brod graden u drugom ili trecem kvadrantu, a s plavom stranom prema naprijed ako je brod graden u prvom ili cetvrtom kvadrantu. Kompenzacija se mora izvršiti u kursu u kojem je utjecaj uzdužne komponente stalnog brodskog magnetizma najveci, dakle u kursevima 90 ili 270. Smjerna sila pod utjecajem uzdužne komponente stalnog magnetizma pojacana je u sjevernim kursevima, a oslabljena u južnim (za brod koji je graden u južnim kvadrantima). Najviše je ojacana u kursu 0 a oslabljena u kursu 180. U kursevima 90 i 270 smjerna sila nije ni oslabljena ni ojacana: mijenja se po kosinusoidi. Utjecaj poprecne komponente (Q) na devijaciju Devijaciju nastala utjecajem poprecne komponente stalnog brodskog magnetizma i njezinu promjenu u razlicitim kursevima objašnjava slika 47. Slika 47. Na slici je prikazan utjecaj poprecne komponente stalnog brodskog magnetizma za brod koji je graden u istocnim kvadrantima (u prvom ili drugom kvadrantu) tako da mu je na desnoj strani induciran južni (negativni) pol. U kursu 0 otklon magnetske igle na istok bit ce najveci jer se sjeverni pol magnetske igle i južni pol brodskog magnetizma privlace dok se istovremeno južni pol magnetske igle i južni pol brodskog magnetizma odbijaju. U kursu 45 taj ce otklon biti manji nego u kursu 0, a u kursu 90 nece ga biti iako ce brodski magnetizam slabiti smjernu silu. U kursu 135 južni pol magnetske igle i južni pol brodskog magnetizma uvjetovat ce otklon magnetske igla prema zapadu, koji ce biti najveci u kursu 180, dok ce u kursu 225 biti jednak kao i u kursu 135. U kursu 270 otklona magnetske igle nece biti, a smjerna sila bit ce ojacana. U kursu 315 devijacija ce biti pozitivna i imat ce jednaku vrijednost kao i u kursu 45. Ocito je da ce se devijacija mijenjati po krivulji koja ima oblik kosinusoide. Ako se najviša vrijednost devijacije (devijacija u kursu 0 ) oznaci kao koeficijent C stalnog brodskog magnetizma, devijacija izazvana poprecnom komponentom u bilo kojem kursu moci ce se izracunati iz izraza: d = C cos K k Ova devijacija bit ce pozitivna u kursu 0 ako je brod graden u istocnim kvadrantima (u prvom ili drugom kvadrantu), a u tom ce kursu biti negativna ako je brod graden u zapadnim kvadrantima (u trecem ili cetvrtom kvadrantu). Utjecaj poprecne komponente stalnog brodskog magnetizma na magnetski kompas može se 49

12 kompenzirati umetanjem stalnog magneta koji ce neutralizirati poprecnu komponentu stalnog brodskog magnetizma. Prema tome taj magnet mora biti postavljen ispod kompasa i u poprecnici broda s crvenom stranom prema desnom boku ako je brod graden uprvom ili drugom kvadrantu, a s plavom stranom prema desnom boku ako je brod graden u trecem ili cetvrtom kvadrantu. Kompenzacija se mora izvršiti u kursu u kojem je utjecaj uzdužne komponente stalnog brodskog magnetizma najveci, dakle u kursevima 0 ili 180. Smjerna sila pod utjecajem poprecne komponente stalnog brodskog magnetizma pojacana je u zapadnim kursevima, a oslabljena u istocnim (za brod koji je graden u istocnim kvadrantima). Najviše je ojacana u kursu 270 a oslabljena u kursu 90. U kursevima 0 i 180 smjerna sila nije ni oslabljena ni ojacana: mijenja se po sinusoidi. Uzdužna i poprecna komponenta stalnog brodskog magnetizma izazivaju, dakle, pravilnu devijaciju koja ce se zbog utjecaja uzdužne komponente mijenjati funkcijom sinusa kompasnog kursa, a zbog utjecaja poprecne komponente funkcijom cosinusa kompasnog kursa. Zajednicko djelovanje bit ce zbroj utjecaja obje komponente, a graficki se može prikazati kao krivulja superponirana od sinusoide i cosinusoide (slika 48). Slika 48 Vijednost devijacije u bilo kojem kursu može se, shodno izloženom izracunati iz: d = B sin K + C cos K Buduci da potpuno istovjetnu devijaciju izazivaju i neki mekoželjezni elementi brodske konstrukcije, zbog razlikovanja koeficijenti B i C mogu se oznaciti kao B 1 i C 1, tako da se devijacija izazvana uzdužnom iporecnom komponentom stalnog brodskog magnetizma može dobiti iz: d = B sin K + C cos K 1 1 Smjerna sila pod utjecajem uzdužne komponente stalnog magnetizma mijenja se po kosinusoidi a pod utjecajem poprecne komponente stalnog brodskog magnetizma mijenja se po sinusoidi. Ako se najveci utjecaj u kursu 0 oznaci sa DH B, a najveca promjena u kursu 90 sa DH C, smjerna sile u bilo kojem kursu pod utjecajem tih komponenti ( H') može se izracunati iz izraza: H' = H + H cos K + H sin K B C Slika 49 50

13 Promjena smjerne sile na brodu pod utjecajem horizontalnih komponenti stalnog brodskog magnetizma prikazana je na slici 49. Vidi se da za brod koji je graden u drugom kvadrantu najveca smjerna sila bit ce u kursu 45, a najmanja u kursu 225. Vrijednost smjerne sile na brodu odreduje se Kelvinovim deflektorom. To je posebna naprava s magnetima kojima se smjer može proizvoljno mijenjati. Kotao magnetskog kompasa odnese se na kopno, magnetski deflektor montira se iznad ruže a magneti deflektora postave se okomito u odnosu na magnete kompasne ruže. Pomicanjem deflektorskih magneta kompasna ruža dovede se da pokazuje 45, cime se utjecaj deflektora izjednaci s utjecajem horizontalne komponente Zemaljskog magnetizma. Tako uravnotežena magnetska ruža se donese na brod te se prati njezin otklon koji ce biti utoliko veci od 45 koliko je smjerna sila na brodu manja od horizontalne komponente Zemaljskog magnetizma na kopnu. Iz kuta otklona ( α) može se izracunati koeficijent smjerne sile na brodu ( λ), to jest odnosa smjerne sile na brodu ( H') i smjerne sile na kopnu ( H): = H' H = ctg a Vertikalna komponenta stalnog brodskog magnetizma ( R) nema utjecaja na magnetski kompas sve dok brod ravno pliva, ali ako se brod nagne pol inducirane vertikalne komponente projicira se po strani, odnosno ispred ili iza kompasa i izaziva devijaciju. Buduci da pri plovidbi nemirnim morem brod valja i posrce, pol vertikalne komponente stalnog brodskog magnetizma u odnosu prema kompasu mijenja svoj položaj i izaziva oscilacije magnetske igle. Te oscilacije mogu biti tolike da ponekad potpuno onemogucavaju upotrebu magnetskog kompasa zbog cega je kompenzacija vertikalne komponente stalnog brodskog magnetizma nužnost. Kompenzacija se izvodi posebnim postupkom uz pomoc Kelvinove vage (opisano u daljnjim poglavljima). Prolazni brodski magnetizam l Kartakteristika mekih magnetskih materijala je velika mali remanentni magnetizam i mala koercitivna sila. Zbog toga ti materijali lako poprimaju magnetizam, ali ga isto tako lako i gube. Stupanj magnetiziranosti ovisit ce o njegovom položaju u odnosu na magnetske silnice: ako je mekoželjezni štap paralelan s magnetskim silnicama njegova magnetiziranost bit ce najveca, a ako je okomit na smjer magnetskih silnica magnetizam se nece inducirati. Osim tvrdih magnetskih materijala brodska konstrukcija sastavljena je i od mekoželjeznih materijala koji, u odnosu na magnetsko polje Zemlje, poprimaju položaje ovisno o kursu u kojem brod plovi. Svi mekoželjezni materijali mogu, u odnosu na ružu magnetskog kompasa zauzimati položaj prema pramcu ili prema krmi, na desnoj ili lijevoj strani odnosno ispod ili iznad kompasa, a mogu biti uzdužni, poprecni ili vertikalni (slika 50). Slika 50. Mekoželjezni elementi rasporedeni prema slici razlicito utjecu na magnetsku iglu. S obzirom na 51

14 njihove utjecaje svi mekoželjezni elementi brodske konstrukcije mogu se rastaviti na parametre prikazane na slici 51. Slika 51. S obzirom na razlicite položaje prema magnetskoj igli svaki parametar izaziva razlicitu deklinaciju. U praksi, željezne mase broda najcešce su simetricno rasporedene tako da nesimetricni parametri b, d, f, g i h uglavnom na brodu ne postoje, a ako i postoje (uglavnom kao djelovi brodske konstrukcije koji su položeni dijagonalno) njihov se rezultantni utjecaj može rastaviti na komponente koje ce izazivati posebnu vrst devijacije (koeficijent E). Ipak, na nosacima aviona mekoželjezni elementi tipa f nesimetricno su rasporedeni u odnosu na kompas, s obzirom da je zapovjednicki most s kompasom na nosacima aviona smješten na boku broda. Na brodu uglavnom ne postoje ni elementi koji bi mogli pripadati parametrima + a, + e i - k, tako da na magnetski kompas djeluju mekoželjezni elementi tipa - a i - e (elementi uzdužne i poprecne cvrstoce, rebra, pregrade, sponje itd), + c ili - c (jarboli), nesimetricno rasporedeni željezni djelovi ciji se utjecaji mogu kao komponente rastaviti na tipove b i d (na primjer dijagonalno položene dizalice ili samarice), te vertikalni elementi tipa + k. S obzirom da devijaciju izazivaju elementi ciji magnetizam zavisi o njihovom položaju prema magnetskim silnicama Zemlje i koji se, prema tome, mijenja u zavisnosti od kursa odnosno geomagnetske širine, i kompenzacijski elementi moraju imati svojstva. Zbog toga se utjecaji mekoželjeznih elemenata brodske konstrukcije kompenziraju mekoželjeznim kompenzacijskim elementima suprotnog predznaka (mekoželjezni magnetizam parametra - c kompenzira mekoželjezni magnetizam parametra + c, mekoželjezni magnetizam parametra - e kompenzira mekoželjezni parametar + e i td). Utjecaj parametra c na devijaciju i na smjernu silu Mekoželjezni elementi parametra c su vertikalni mekoželjezni štapovi smješteni u uzdužnici broda, najcešce jarboli, ali i ostali elementi brodske konstrukcije, na primjer vertikalni željezni profili u skladištima, a koji pojacavaju cvrstocu brodske konstrukcije. Zbog njihovog uspravnog položaja, na odredenoj geografskoj (odnosno geomagnetskoj) širini zadržat ce uvijek jednak položaj u odnosu na silnice Zemaljskog magnetizma, bez obzira na kurs plovidbe. Zbog toga ce se inducirani magnetizam mijenjati jedino promjenom geografske širine. S obzirom da na odredenoj geografskoj širini ne mijenjaju magnetizam i da se nalaze u uzdužnici broda utjecaj ovih mekoželjeznih štapova bit ce 52

15 identican utjecaju uzdužne komponente stalnog brodskog magnetizma (slika 52). Slika 52. Vidi se da izazvana devijacija ima oblik sinusoide i da se mijenja identicno devijaciji koju izaziva uzdužna komponenta stalnog brodskog magnetizma (koeficijent B). Iz tog razloga devijacija nastala zbog utjecaja vertikalnih mekih željeza parametra c najveca je u kursevima 90 i 270. Vrijednost devijacije u kursu 90 oznacuje se s B 2, a devijacija pod utjecajem tih tipova željeza u bilo kojem kursu može se izracunati iz: = B sin K 2 k Zajednicko djelovanje uzdužne komponente stalnog brodskog magnetizma (koeficijent ) i mekoželjeznih štapova paramerta c (koeficijent B 2 ) ne mogu se medusobno razluciti sve do trenutka dok brod znatno ne promijeni geomagnetsku širinu. Njihov zajednicki utjecaj na magnetski kompas može se izracunati iz: d d = (B + B ) sin K 1 2 k Kompenzacija koeficijenta B 2 vrši se vertikalnim mekoželjeznim štapom suprotnog predznaka: ako devijaciju izazivaju mekoželjezni profili u uzdužnici i prema pramcu (u odnosu na smještaj magnetskog kompasa) taj ce utjecaj neutralizirati mekoželjezni štap smješten u uzdužnici broda i prema krmi (u odnosu na magnetski kompas). Taj mekoželjezni štap smješta se u posebno ležište ispred (ili iza) magnetskog kompasa, a zove se Flindersov štap. I utjecaj na smjernu silu identican je utjecaju uzdužne komponente stalnog brodskog magnetizma: mijenja se po kosinusoidi, najvece pojacanje je u kursu 0, najvece slabljenje je u kursu 180, a utjecaja na smjernu silu nema u kursevima 90 i 270. Promjenom geomagnetske širine položaj vertikalnih štapova u odnosu na silnice Zemaljskog magnetizma, a time i na velicinu induciranog magnetizma se mijenja. Na magnetskom ekvatoru vertikalna željeza bit ce okomita na smjer silnica, tako da se u njima nece inducirati magnetizam, i sva devijacija u kursevima 90 i 270 odnosit ce se na utjecaj uzdužne komponente stalnog brodskog magnetizma. Prema tome samo na magnetskom ekvatoru mogu se u potpunosti razdvojiti utjecaji koeficijenata B 1 i B 2 : sva devijacija koja se na magnetskom ekvatoru pojavi u kursevima 90 i 270 kompenzira se uzdužnim stalnim magnetima, a sva devijacija koja se na nekoj geomagnetskoj širini B 1 53

16 javi nakon toga kompenzira se Flindersovim štapom. Promjenom geomagnetske hemisfere polaritet induciranog magnetizma se mijenja. Utjecaj parametra f na devijaciju i na smjernu silu Mekoželjezni elementi parametra f su vertikalni mekoželjezni štapovi smješteni u poprecnici broda, na primjer vertikalni željezni profili u skladištima, a koji pojacavaju cvrstocu brodske konstrukcije. Kao i željeza parametra c zbog njihovog uspravnog položaja na odredenoj geomagnetskoj širini zadržat ce uvijek jednak položaj u odnosu na silnice Zemaljskog magnetizma, bez obzira na kurs plovidbe. Zbog toga ce se inducirani magnetizam i kod parametra mijenjati jedino promjenom geografske širine. S obzirom da se nalaze u poprecnici broda utjecaj ovih mekoželjeznih štapova bit ce identican utjecaju poprecne komponente stalnog brodskog magnetizma (slika 53), uz napomenu da na trgovackim brodovima ovaj utjecaj ne postoji buduci da je kompas smješten u sredini broda, pa su meloželjezni okomiti elementi simetricno rasporedeni, a utjecaji se medusobno komenziraju. Zapravo meka željeza parametra f mogu se nalaziti jedino na nosacima aviona buduci da na tim brodovima kompasi smješteni na boku a ne u središtu broda. Devijacija ima oblik kosinusoide i mijenja se identicno devijaciji koju izaziva poprecna komponenta stalnog brodskog magnetizma (koeficijent C). Devijacija nastala zbog utjecaja vertikalnih mekih željeza parametra f najveca je u kursevima 0 i 180. Vrijednost devijacije u kursu 0 oznacuje se s, a devijacija pod utjecajem tih tipova željeza u bilo kojem kursu može se izracunati iz: C 2 Slika 53. = C cos K 2 k Zajednicko djelovanje poprecne komponente stalnog brodskog magnetizma (koeficijent C 1 ) i mekoželjeznih štapova paramerta f (koeficijent C 2 ) takoder se ne mogu razluciti sve do trenutka dok brod znatno ne promijeni geomagnetsku širinu. Njihov zajednicki utjecaj na magnetski kompas može se izracunati iz: d d = (C + C ) cos K 1 2 k Kompenzacija koeficijenta C 2 vrši se još jednim Flindersovim štapom smještenim bocno od magnetskog kompasa i to na onu stranu na koju je smješten i kompas (ako je kompas na desnom boku onda desno od kompasa i obratno). Utjecaj na smjernu silu takoder je identican utjecaju komponente stalnog brodskog 54

17 magnetizma: ima oblik sinusoide i najviše pojacava smjernu silu u kursu 90, a slabi u kursu 270 (na sjevernoj geomagnetskoj hemisferi). Utjecaj parametra - a na devijaciju i na smjernu silu Mekoželjezni elementi parametra -a medu najzastupljenijima su na brodu. Paralelno s uzdužnicom broda razmještena su meka željeza tipa a, d i g. Na simetricno izgradenom brodu utjecaje parametra + d kompenziraju željeza parametra - d, a mekoželjezne štapove parametra + g kompenziraju željeza parametra -g. Medutim na svim brodovima zastupljeno je željezo koje je postavljeno uzdužno ispod kompasa (parametar - a ), a ne postoje kompenzacijski utjecaji parametra + a jer takvi na brodu ne postoje (uzdužni mekoželjezni štapovi koji se prekidaju na mjestu na kojem je montiran kompas). Utjecaj parametra -a na devijaciju magnetskog kompasa i na smjernu silu prikazan je na slici 54. Slika 54. Kad brod plovi u kursu 90 u uzdužnom mekoželjeznom štapu nece se inducirati magnetizam jer je okomit na silnice Zemaljskog magnetizma, tako da u 90 parametar - a nece izazivati devijaciju i nece imati utjecaja na smjernu silu. Najveca indukcija bit ce u kursevima 0 i 180, a u tom slucaju ispred kompasa ce se inducirati sjeverni magnetizam (jer na sjeverni kraj djeluje južni magnetizam sjevernog magnetskog pola). Devijacija se nece pojaviti iz razloga što se inducirani polovi i magnetska igla nalaze u smjeru djelovanja magnetske silnice magnetizma, ali ce zbog toga smjerna sili biti maksimalno oslabljena. U interkardinalnim kursevima pojavit ce se devijacija koja ce u kursevima 45 i 225 imati najvecu negativnu vrijednost, a u kursevima 135 i 315 najvecu pozitivnu vrijednost. Smjerna sila bit ce oslabljena u svim kursevima a najvece slabljenje bit ce u kursevima 0 i 180. Utjecaj parametra - e na devijaciju i na smjernu silu U poprecnici broda razmještena su meka željeza tipa d, e i f. Na simetricno izgradenom brodu utjecaje parametra + d kompenziraju željeza parametra - d, a mekoželjezne štapove parametra + f kompenziraju željeza parametra -f, osim na brodovima na kojima je kompas asimetricno smješten (nosaci aviona) kad ti tipovi mekog željeza izazivaju devijaciju koja je najveca u kursevima 0 i 180 (koeficijent C 2 ). Medutim na svim brodovima zastupljeno je željezo koje je postavljeno poprecno ispod kompasa (parametar - e ), a ne postoje kompenzacijski utjecaji parametra + e jer na brodu ne postoje (poprecni mekoželjezni štapovi koji se prekidaju na mjestu na kojem je montiran kompas). Utjecaj parametra -e na devijaciju magnetskog kompasa i na smjernu silu prikazan je na slici

18 Slika 55. Kad brod plovi u kursu 0 u poprecnom mekoželjeznom štapu nece se inducirati magnetizam jer je okomit na silnice Zemaljskog magnetizma, tako da u kursu 0 parametar - e nece izazivati devijaciju i nece imati utjecaja na smjernu silu. Najveca indukcija bit ce u kursevima 90 i 270, a u tom slucaju ispred sjevernog pola kompasne igle inducirat ce se sjeverni magnetizam (jer na sjeverni kraj djeluje južni magnetizam sjevernog magnetskog pola). Devijacija se nece pojaviti iz razloga što se inducirani polovi i magnetska igla nalaze u smjeru djelovanja magnetske silnice Zemaljskog magnetizma, ali ce zbog toga smjerna sili biti maksimalno oslabljena. U interkardinalnim kursevima pojavit ce se devijacija koja ce u kursevima 45 i 225 imati najvecu pozitivnu vrijednost, a u kursevima 135 i 315 najvecu negativnu vrijednost. Smjerna sila bit ce oslabljena u svim kursevima a najvece slabljenje bit ce u kursevima 90 i 270. Zajednicki utjecaji parametara -a i -e Kao što se iz slika 54 i 55 može vidjeti mekoželjezni štapovi parametara -a i -e izazivaju pravilnu kvadrantalnu devijaciju koja je najveca u interkardinalnim kursevima, a predznaci su im suprotni. Prema tome inducirani magnetizam parametra -a kompenzira dio induciranog magnetizma parametra -e i obratno. Kad bi inducirani magnetizam imao jednak ucinak na magnetsku iglu zajednici utjecaji medusobno bi se potpuno neutralizirali. Ali s obzirom na cinjenicu da je utjecaj parametra -e veci zbog vece blizine induciranih polova, zajednicki utjecaj uzrokovat ce devijaciju koja ce imati srednju vrijednost oba utjecaja (slika 56). Slika 56. Devijacija nastala zajednickim utjecajima parametara -a i -e mijenja se kvadrantalno, nema je u 56

19 kardinalnim, a najveca je u interkardinalnim kursevima. Ako najveci pozitivni iznos devijacije (u kursevima 45 i 225 ) oznacimo kao koeficijent D onda se devijacija u bilo kojem kursu može izracunati iz: d = D sin (2K k ) Kad jace na devijaciju utjece parametar -e koeficijent D je pozitivan, što je najcešci slucaj na brodovima. Ako na devijaciju jace utjece parametar -a koeficijent D ima negativni predznak. Princip kompenzacije razvidan je iz prethodnih razmatranja: ako prevladava utjecaj parametra - e kompenzacija se vrši koeficijentom +e, to jest mekoželjeznim štapovima u poprecnici broda koji se prekidaju na mjestu kompasa. U praksi se umjesto mekoželjeznih štapova koriste mekoželjezne kugle postavljene sa strane kompasa. S obzirom da kompenziraju utjecaje koeficijenta D te se kugle zovu D korektori. Ako prevladava utjecaj parametra -a on ce se kompenzirati željezima parametra +a, tako da ce u tom slucaju kugle ( D korektori) biti smještene u uzdužnici broda. Smjerna sila pod zajednickim utjecajem parametara -a i - e mijenja se shodno grafikonu na slici 57. Slika 57. Smjerna sila pod utjecajem parametara mekog željeza tipa -a i -e smanjena je u svim kursevima i to za srednju vrijednost DH oko koje se mijenja takoder kvadrantalno i to s funkcijom cos (2K) ako prevladava magnetizam parametra -e, a ako su utjecaji oba parametra izjednaceni smjerna sila u svim ce kursevima biti umanjena za konstantnu vrijednost koja odgovara vrijednosti DH na slici. Utjecaj parametara b i d na devijaciju i smjernu silu Tipovi mekih željeza koji odgovaraju parametrima b i d na brodu sa simetricnim rasporedom elemenata opreme i cvrstoce uglavnom ne postoje, odnosno rasporedom takvih željeza utjecaji se medusobno kompenziraju. Ipak, na nekim vrstama brodova može se naci nesimetrican raspored djelova opreme, na primjer brodovima za prijevoz generalnih ili teških tereta dizalice mogu biti postavljene dijagonalno. U tom se slucaju oni mogu prikazati kao prekinuti ili neprekinuti horizontalni štapovi mekog željeza koji presjecaju palubu s jednog boka na drugi pod kutom od 45, a njihovi utjecaji mogu se razmatrati rezultantama koje imaju karakteristike parametara b i d. Utjecaj tih parametara razvidan je sa slike 58. Kao što se na slici može vidjeti pod utjecajem mekoželjeznih parametara tipa +b devijacija ce u svim kursevima biti negativna, najvecu vrijednost postici ce u kursevima 90 i 270 a nece je biti jedino u kursevima 0 i 180 jer su mekoželjezni štapovi parametra +b u tom slucaju okomiti na magnetske silnice. Naprotiv, pod utjecajem mekoželjeznih parametara tipa +d devijacija ce u svakom kursu biti pozitivna, najvecu vrijednost postici ce u 0 i 180, a nece je biti u kursevima 90 i

20 Ako su mekoželjezni štapovi rasporedeni u obliku parametara -b i -d predznaci ce biti obrnuti: parametar -b izazivat ce pozitivnu devijaciju a parametar -d negativnu. Slika 58. Zajednicki utjecaj parametara +b i +d može se dobiti superponiranjem grafikona njihovih utjecaja na iglu magnetskog kompasa (slika 59). Slika 59. Devijacija pod utjecajem nepravilno rasporedenih mekoželjeznih parametara +b i +d mijenja se kvadrantalno s funkcijom kosinusa dvostruke vrijednosti kursa. Najvecu pozitivnu vrijednost postiže u kursevima 0 i 180, a najvecu negativnu u kursevima 90 i 270. Nema je u interkardinalnim kursevima. Ako se vrijednost devijacije u kursevima 0 ili 180 oznaci kao koeficijent E vrijednost devijacije u bilo kojem kursu može se izracunati iz izraza: d = E cos (2K k ) Ako zajednicku devijaciju izazivaju parametri +b i +d koeficijent E bit ce pozitivan. Ako zajednicku devijaciju izazivaju parametri -b i -d koeficijent E imat ce negativnu vrijednost. Ako devijaciju izazivaju mekoželjezni štapovi parametara +b i -d, odnosno -b i +d kao reezultanta zajednickog djelovanja dobit ce se ravna crta koja predstavlja odredenu stalnu vrijednost devijacije. Zato se takva devijacija naziva konstantna devijacija, a oznacava se kao koeficijent A. Ako devijaciju izazivaju parametri +b i -d koeficijent A je negativan, a ako devijaciju izazivaju parametri -b i +d koeficijent A bit ce pozitivan. Zajednicki utjecaj stalnog i prolaznog brodskog magnetizma Zajednicki utjecaj svih parametara stalnog i prolaznog brodskog magnetizma je zbroj svih devijacija (slika 60). Sveukupno na devijaciju djeluju: konstantna devijacija parametara +b i -d ili -b i +d i njima pribrojeni svi nemagnetski utjecaji 58

21 (kriva montaža kompasa, pogrešno pokazivanje pramcanice, pogrešno montirana ruža itd), devijacija zbog utjecaja stalnog brodskog magnetizma (koeficijenti B i C), pravilna kvadrantalna devijacija (koeficijent D), nepravilna kvadrantalna devijacija (koeficijent E). Zajednicki utjecaj može se izracunati matematickim zbrojem svih devijacija: d Slika 60. = A + (B 1 + B 2 ) sin K k + (C 1 + C 2 ) cos K k + D sin (2K k ) + E cos (2Kk ) Devijacija pod zajednickim utjecajem svih parametara stalnog i prolaznog brodskog magnetizma na slici je prikazana rezultantom. 6. Kompenzacija magnetskog kompasa Pripreme Kompezacija je postupak kojim se neutralizira štetni utjecaj brodskog magnetizma na magnetski kompas. Postupkom kompenzacije neutraliziraju se inducirani polovi brodskog magnetizma, pojacava se smjerna sila i smanjuje ili poništava devijacija. Nekompenzirani magnetski kompas prakticno je neupotrebljiv, ne samo zbog izazvanih devijacija koje mogu biti vrlo velike, vec i zbog cinjenice da se znacajno mijenjaju svojstva magnetskog kompasa: zbog utjecaja vertikalne komponente magnetska igla postaje nemirna kod valjanja; zbog slabljenja smjerne sile osjetljivost je vrlo smanjena i magnetska igla postaje troma; promjene kursa vrlo su nejednakomjerne itd. Prije pocetka kompenzacije nužno je poduzeti odredene koje ce postupak kompenzacije olakšati, a samu kompenzaciju prilagoditi uvjetima plovidbe kad se magnetski kompas zapravo i koristi.. Posebno je potrebno povesti racuna o slijedecim postupcima: ako je brod bio dugo vezan u jednom kursu potrebno ga postaviti na sidrište ili plutacu i pustiti ga neka se odredeno vrijeme slobodno okrece cime ce se demagnetizirati jedan dio induciranog magnetizma, sve pomicne djelove (samarice, dizalice) postaviti u položaj kakav ce biti u plovidbi, motor mora biti zagrijan i u stanju u kakvom ce biti tijekom plovidbe, brod mora plivati na ravnoj kobilici, iz okoline kompasa ostraniti sve feromagnetske djelove. Kompenzacija se vrši stalnim magnetima (uzdužna, poprecna i vertikalna komponenta stalnog 59

22 brodskog magnetizma) te mekoželjeznim kuglama (D korektori) i mekoželjeznim vertikalnim štapom (Flindersov štap). Kod kompenzacije potrebno je postaviti stalne horizontalne magnete tako da ne magnetiziraju D korektore, a nagibni korektor tako da ne magnetizira Flindersov štap. Najbolje je upotrijebiti jake magnete koje se stavljaju što niže u odnosu na ružu magnetskog kompasa. Kompenzacija se vrši logicnim redoslijedom, od najvecih utjecaja prema najmanjim. Pritom posebnu poteškocu predstavlja kompenzacija onih utjecaja koji se medusobno ne mogu razluciti: koeficijenata B 1 i B 2 (koeficijente C 1 i C 2 nije potrebno razdvajati jer se koeficijent C 2 javlja jedino kod kompasa koji nisu montirani u uzdužnici, što je slucaj samo kod nosaca aviona). Ako je kompas vec bio kompenziran flindersov štap (kojim se kompenzira utjecaj B 2 ) postavi se na mjesto na kojem se nalazio i ranije. Ako brod nije ranije kompenziran položaj Flindersovog štapa odredi se iz položaja na brodu blizancu (ako postoji) brodu slicne konstrukcije. Ako ni to nije moguce Flindersovim štapom kompenzira se 5 devijacije u kursu 90. Redoslijed kompenzacije je slijedeci: 1. Flindersov štap (po spomenutim principima) postaviti u položaj koji ce predstavljati suprotan polaritet (ako devijaciju izazivaju meka željeza parametra +c štap postaviti u položaj -c i obratno), 2. D korektori se postave u približni položaj, prema položaju na brodu blizancu ili brodu sa slicnim rasporedom, a ako takav ne postoji u središnji položaj, 3. kompenzira se nagibna pogreška, 4. kompenzira se utjecaj koeficijenta B1, 5. kompenzira se utjecaj koeficijenta C, 6. komenzira se utjecaj koeficijenta D tocno. Kompenzacija nagibne pogreške vrši se pomocu posebne sprave (Kelvinova vaga). Ostale utjecaje moguce je kompenzirati na dva nacina: metodom poznatih koeficijenata i metodom nepoznatih koeficijenata. Približne vrijednosti koeficijenata Za izracun približnih vrijednosti pojedinih koeficijenata je izracunati devijacije u svim kardinalnim i interkardinalnim kursevima (N, NE, E, SE, S, SW, W, NW). Iz tih vrijednosti moguce je izracunati koeficijente. Koeficijent A: A = 1 8 ( d + d + d + d + d + d + d + d ) N NE E SE S SW W NW Koeficijent B: = ( ± de ) - ( ± dw ) 2 Kao što je prethodno receno koeficijent B sastavljen je od B 1 i B 2, a oni se mogu medusobno približno odvojiti tako da se Flindersovim štapom kompenzira se oko 5 ukupne vrijednosti koeficijenta B (u kursu E ili W). Tocno se njihove vrijednosti mogu kompenzirati jedino prijelazom magnetskog ekvatora, i to na nacin da se kompenzira citava vrijednost koeficijenta B stalnim uzdužnim magnetima (jer nema utjecaja mekoželjeznih vertikalnih djelova), a promjenom geomagnetske širine sva nastala devijacija u kursu E ili W kompenzira se Flindersovim štapom. Koeficijent C: Koeficijent D: Koeficijent E: D = B C = ( ± dn ) - ( ± ds ) 2 ( ± dne ) + ( ± dsw ) - ( ± dse ) + ( ± dnw ) 4 60

TERESTRIČKA NAVIGACIJA. Zemaljski magnetizam Brodski magnetizam Brodski magnetski kompasi Korekcije magnetskih kompasa

TERESTRIČKA NAVIGACIJA. Zemaljski magnetizam Brodski magnetizam Brodski magnetski kompasi Korekcije magnetskih kompasa TERESTRIČKA NAVIGACIJA Zemaljski magnetizam Brodski magnetizam Brodski magnetski kompasi Korekcije magnetskih kompasa Magnet Osnovno svojstvo magneta je dipol (dva pola) Južni (S) i sjeverni (N) pol Polovi

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Materija u magnetskom polju

Materija u magnetskom polju Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Materija u magnetskom polju Vrste magnetskih materijala snove elektrotehnike I Elektroni pri svojoj vrtnji oko jezgre

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Elektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam

Elektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam 2. Magnetizam Od Oersteda do Einsteina Zimi 1819/1820 Oersted je održao predavanja iz kolegija Elektricitet, galvanizam i magnetizam U to vrijeme izgledalo je kao da elektricitet i magnetizam nemaju ništa

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

ZADATCI S NATJECANJA

ZADATCI S NATJECANJA ZADATCI S NATJECANJA MAGNETIZAM 41. Na masenom spektrometru proučavamo radioaktivni materijal za kojeg znamo da se sastoji od mješavine 9U 35 9U. Atome materijala ioniziramo tako da im je naboj Q +e, ubrzavamo

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

2.Žiro kompasi. Slika 9.

2.Žiro kompasi. Slika 9. 2.Žiro kompasi Opcenito o zvrku Žiro kompas je instrument koji za identifikaciju meridijana koristi odredena fizicka svojstva masivnog tijela koje rotira (žiroskopa ili zvrka). Pojavio se u prvoj dekadi

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

Magnetizam. Magnetostatika

Magnetizam. Magnetostatika Magnetizam Magnetostatika Povijesni pregled Kako je magnet dobio ime? grad Magnesia u Maloj Aziji - nalazište magnetita legenda: pastira Magnusa s Krete - okovana obuća i pastirski štap privučeni magnetskom

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Magnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice

Magnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice Magnetske i elektromagnetske pojave_intro Svojstva magneta, Zemljin magnetizam, Oerstedov pokus, magnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice, magnetska sila na vodič, Lorentzova sila, gibanje

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

9. Loksodroma i ortodroma

9. Loksodroma i ortodroma Loksodroma 9. Loksodroma i ortodroma Loksodroma 1 je krivulje na površini Zemlje koja sve meridijane sijece pod istim kutom. Osim u posebnim slucajevima ima oblik spirale cije ishodište i završnica teže

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα