Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων"

Transcript

1 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 10 Ιανουαρίου, 2011 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

2 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Προηγούµενα Μαθήµατα Υποθέσεις µέχρι τώρα Απειρη µνήµη Unique IDs και δυνατότητα ανίχνευσης κάποιων σφαλµάτων Σταθερή δοµή δικτύου, καµία αναφορά σε mobility patterns (µοτίβα κινητικότητας) Ασύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Μοντελοποίηση των στοιχείων του κατανεµηµένου συστήµατος µε αυτόµατα καταστάσεων (state machines) Χρονική Απροσδιοριστία - ϑα χρειαστούν τεχνικές διαφορετικές από την µέχρι τώρα ανάλυση της χρονικής πολυπλοκότητας Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

3 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Σήµερα.. Θα παρουσιάσουµε ένα νέο υπολογιστικό µοντέλο για κατανεµηµένα συστήµατα Αποτελείται απο αλληλεπιδρούσες υπολογιστικές οντότητες (objects). Οι οντότητες αυτές µπορεί να ειναι διεργασίες σε PCs, κινητά µε αισθητήρες, η ταυτότητα σας στο facebook,... Υπάρχει πολύ µεγάλος αριθµός οντοτήτων Η κάθεµία απο αυτές έχει πολύ περιορισµένους πόρους (π.χ. µνήµη) Οι οντότητες αυτές αλληλεπιδρούν µεταξύ τους µε έναν µη-ντετερµινιστικό τρόπο, υπό την έννοια πως δεν διαλέγουν αυτές µε ποιες οντότητες ϑα αλληλεπιδράσουν, δεν έχουν δηλαδή κανέναν έλεγχο των αλληλεπιδράσεων αυτών Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

4 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Εφαρµογές - 1 ίκτυα Αισθητήρων (Wireless Sensor Networks, WSNs) Αποτελούνται από µεγάλο πλήθος συσκευών υνατότητες υπολογισµού, ασύρµατης επικοινωνίας, περιορισµένη µνήµη, λειτουργούν µε µικρή µπαταρία και ϕέρουν ποικιλία αισθητήρων για µέτρηση µεγεθών (π.χ. ϑερµοκρασία) Μπορούν να πραγµατοποιήσουν µεγάλης κλίµακας ανιχνεύσεις (πυργκαγιές σε δάση, έξυπνα σπίτια). Wireless NanoSensor Networks Οπως πριν, αλλά τώρα κάθε συσκευή έχει µέγεθος µερικών µm Επαναστατικές εφαρµογές σε κλάδους όπως ιατρική (παρακολούθηση, ενέσεις ϕαρµάκων), γεωργία ακριβειας, κτλ.. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

5 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Εφαρµογές - 2 Χηµικές Αντιδράσεις Εδώ οι αλληλεπιδρούσες οντότητες ειναι τα µόρια εν έχουν κανέναν έλεγχο πάνω στις αλληλεπιδράσεις τους. Φανταστείτε π.χ. µια χηµική αντίδραση που συµβαίνει σε ένα δοκιµαστικό σωλήνα Αυτογνωσία Συστηµάτων Μοντελοποιούµε τα συστήµατα µε χρηση γραφηµάτων Οι οντότητες των συστηµάτων, δηλαδή πλέον οι κόµβοι τω γράφων αντιλαµβάνονται ιδιότητες των γράφων στους οποίους ανήκουν και συνεπώς του ίδιου του συστήµατατος π.χ. Αν ϑεωρήσουµε οντότητες τα facebook profiles των ϕοιτητών µίας αίθουσας, να µπορεί κάθε ϕοιτητής να ξέρει αν τουλάχιστον 5 ϕοιτητές µέσα σε αυτήν την αίθουσα έχουν παραπάνω απο 200 ϕίλους. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

6 Στην συνέχεια... 1 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές 2 3 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

7 Ενα µινιµαλιστικό Μοντέλο - Υποθέσεις Προσπαθούµε να κάνουµε υποθέσεις µινιµαλιστικές αλλά όχι τετριµµένες για τις δυνατότητες κάθε υπολογιστικής µονάδας, την οποία καλούµε πράκτορα (agent) FSMs(µηχανές πεπερασµένων καταστάσεων), όχι άπειρη µνήµη Καµία µορφή υποδοµής (ούτε unique IDs!) Ασύγχρονο σύστηµα Οι πράκτορες έχουν την δυνατότητα να ανταλλάσσουν πληροφορία (αλληλεπίδραση) Οι πράκτορες δεν µπορούν να ελέγξουν τις µεταξύ τους αλληλεπιδράσεις - Παθητική Κίνηση(passive mobility) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

8 (ανεπίσηµα) - 1 Μία συλλογή πανοµοιότυπα προγραµµατισµένων πρακτόρων Ολοι οι πράκτορες παίρνουν αρχικά µία είσοδο απο το περιβάλλον τους(π.χ. µέσω αισθητήρων) Κωδικοποιούµε το input κάθε agent στην αρχική του κατάσταση Οι πράκτορες ύπο κάποιες συνθήκες αλληλεπιδρούν και αλλάζουν κατάσταση σύµφωνα µε κάποιους κανόνες µετάβασης Οποιαδήποτε χρονική στιγµή, µπορούµε να πάρουµε το output κάθε πράκτορα παρατηρώντας την κατάσταση του Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

9 (ανεπίσηµα) - 2 Τι ορίζουµε ως αλγόριθµο/πρωτόκολλο Ενα πεπερασµένο σύνολο καταστάσεων στις οποίες µπορει να ϐρεθεί ο κάθε agent Μία συνάρτηση εισόδου, απεικονίζει εισόδους σε καταστάσεις Μία συνάρτηση µετάβασης, σύµφωνα µε την οποία οι δύο agents που αλληλεπίδρασαν ϑα αλλάξουν την κατάσταση τους Μία συνάρτηση εξόδου, απεικονίζει καταστάσεις σε εξόδους Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

10 Ενα παράδειγµα Πως ϑα υπολογίσουµε το OR εισόδων-bits Κάθε agent παίρνει ως input 0 ή 1. Ολοι οι agents πρέπει eventually να µάθουν το αποτέλεσµα του OR όλων των bits Εχουµε: Σύνολο καταστάσεων: 0, 1 Συνάρτηση Μετάβασης 0, 0 0, 0 0, 1 1, 1 1, 0 1, 1 1, 1 1, 1 Η έξοδος κάθε agent είναι η κατάσταση του Ετσι, αν έστω και ένας agent έχει πάρει ως input 1, τότε eventually όλοι οι agents ϑα συγκλίνουν στην κατάσταση 1 (άρα και στην έξοδο) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

11 Οµως.. Ερωτήµατα έρχονται σιγά σιγά στην επιφάνεια! Πως επηρρεάζει το πλήθος των agents το πρωτόκολλό µας; Θα χρειαστούµε διαφορετικό αλγόριθµο ή πρέπει να κάνουµε τροποποιήσεις;; Τι µας εγγυάται πως αληλλεπιδράσεις που µπορούν να γινουν και πρέπει να γίνουν για να έχει νόηµα ο υπολογισµός, τελικά ϑα γίνουν; Σε ποια ερωτήµατα µπορούν να απαντήσουν τα Population Protocols; (υπολογιστική δύναµη) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

12 Φορµαλιστικός Ορισµός Ενα Πρωτόκολλο Πληθυσµών ειναι µία εξάδα (Q, X, Y, I, O, δ), όπου: Q, το πεπερασµένο σύνολο καταστάσεων X, το πεπερασµένο αλφάβητο εισόδου(π.χ. τι τιµές παίρνουν οι αισθητήρες µέσω µίας µέτρησης) Y, το πεπερασµένο αλφάβητο εξόδου I : X Q, η συνάρτηση εισόδου που απεικονίζει εισόδους σε καταστάσεις. Αρα I(σ) είναι η αρχική κατάσταση του agent µε είσοδο σ O : Q Y, η συνάρτηση εξόδου που απεικονίζει καταστάσεις σε εξόδους. Αρα O(q) είναι η έξοδος του agent που ϐρίσκεται σε κατάσταση q δ : Q Q Q Q, η συνάρτηση µετάβασης που περιγράφει πως αλληλεπιδρά ένα Ϲεύγος agents. Αν δ(p, q) = (p, q ), ϑα λέµε πως η (p, q) (p, q ) είναι µία µετάβαση και ϑα ορίζουµε δ 1 (p, q) = p και δ 2 (p, q) = q. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

13 Γράφος Αλληλεπιδράσεων Το δίκτυο που σχηµατίζουν οι agents µοντελοποιείται από κατευθυνόµενο, πλήρως συνδεδεµένο γράφο αλληλεπιδράσεων G = (V, E) Εχουµε: n = V ο αριθµός των agents m = E ο αριθµός των ακµών, δηλαδή των πιθανών αλληλεπιδράσεων, όπου: Μία ακµή (u, v) E σηµαίνει πως οι agents u και v µπορούν να αλληλεπιδράσουν Στην αλληλεπίδραση αυτή ο u ϑα είναι ο initiator και ο v ϑα είναι ο responder Οι διακριτοί ϱόλοι των δύο agents είναι µία ϐασική υπόθεση του µοντελου µας που σπάει την συµµετρία! Είναι αυτό χρήσιµο; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

14 ιαµορφώσεις - 1 Μία διαµόρφωση(configuration) C : V Q είναι ένα στιγµιότυπο (snapshot) όλων των καταστάσεων των agents και µπορει να περιγραφεί απο ένα διάνυσµα µε τις καταστάσεις αυτές Εστω C, C δύο διαµορφώσεις και u, v δύο agents. Θα λέµε πως η C πηγαίνει στην C µέσω της αληλλεπίδρασης e = (u, v) και ϑα συµβολίζουµε C e C αν: C (u) = δ 1 (C(u), C(v)) C (v) = δ 2 (C(u), C(v)) C (w) = C(w), για κάθε w A {u, v} Θα λέµε πως η διαµόρφωση C είναι προσβάσιµη απο την C αν υπάρχει µία ακολουθία διαµορφώσεων C = C 0, C 1,..., C n = C, τετοια ώστε C i C i+1 για κάθε i, 0 i < n, και ϑα το συµβολίζουµε µε C C Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

15 ιαµορφώσεις - 2 Με άλλα λόγια, ξέροντας την τρέχουσα διαµόρφωση έχουµε πλήρη γνώση για την τρέχουσα κατάσταση του συστήµατος, αφού µας ενηµερώνει για την κατάσταση στην οποία ϐρίσκεται κάθε agent του πληθυσµού Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

16 Γράφος Μεταβάσεων Ο γράφος µεταβασεων ενός PPA που τρέχει σε έναν γράφο αλληλεπιδράσεων G είναι ένας κατευθυνόµενος γράφος όπου: κόµβοι του είναι το συνολο όλων των διαµορφώσεων του πληθυσµού Q V το σύνολο ακµών του ορίζεται ώς E = {(C, C ) C, C Q V and C C } Μπορει να έχει κύκλους Μπορεί (C, C) E Μια ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου είναι τελική ανν δεν υπάρχει ακµή που να ξεκινά απο κόµβο της συνιστώσας και να κατευθύνεται σε κόµβο εκτός αυτής. Μια διαµόρφωση ειναι τελική ανν ανήκει σε µία τελική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

17 Εκτέλεση Μία εκτέλεση(execution) είναι µία πεπερασµένη ή άπειρη ακολουθία διαµορφώσεων Μία άπειρη εκτέλεση είναι δίκαιη εάν για κάθε Ϲεύγος διαµορφώσεων C, C τέτοιων ώστε C C, αν η C εµφανίζεται άπειρες ϕορές στην εκτέλεση, τότε και η C εµφανίζεται άπειρες ϕορές στην εκτέλεση Ενας υπολογισµός(computation) είναι µία άπειρη δίκαιη εκτέλεση Πως όµως αποφασίζεται ποια ή ποιες αλληλεπιδράσεις ϑα γίνουν στο επόµενο ϐηµα και πως ορίζεται ακριβώς η συνθήκη δικαιοσύνης; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

18 Παθητική Κίνηση Οι παθητικώς κινούµενοι πράκτορες ειναι µία πολύ ενδιαφέρουσα έννοια που εισάγουν τα PPs Η παθητική κίνηση καθιστά τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των πρακτόρων µη ντερµινιστικές ( µη καθορίσιµες απο τους ίδιους) Στην περίπτωση των WSNs ϑα µπορούσαµε να ϕανταστούµε πως αυτό συµβαίνει π.χ. επειδή ο αέρας παρασύρει τους αισθητήρες µας απο την αρχική τους ϑέση Οµως η έννοια της παθητικής κίνησης δεν αφορά πάντα σε ϕυσική κίνηση των πρακτόρων Στο παράδειγµα όπου ϑεωρούµε πράκτορες του συστήµατος µας τα facebook walls χρηστών και ακµές του δικτύου τις µεταξύ τους ϕιλίες. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

19 Εχθρικός δροµολογητής - 1 Η επόµενη αλληλεπίδραση που ϑα συµβεί επιλέγεται ανάµεσα σε όλες τις δυνατές( V V )απο έναν εχθρικό δροµολογητή Αποδεικνύεται εύκολα πως κάθε δροµολογητής που επιλέγει ένα ή περισσότερα Ϲεύγη προς αλληλεπίδραση κάθε ϕορά, µπορεί να προσωµοιωθεί από δροµολογητή που επιλέγει µόνο ένα Ϲεύγος προς αληλλεπίδραση κάθε ϕορά Θα ϑεωρούµε λοιπόν χ.β.τ.γ. πως µόνο ένα Ϲεύγος agents αλληλεπιδρά σε κάθε ϐήµα της εκτέλεσης Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

20 Εχθρικός δροµολογητής - 2 Ο δροµολογητής ϑα µπορούσε να επιλέγει συνεχώς το ίδιο Ϲεύγος agents προς αλληλεπίδραση κάθε ϕορά, ή ένα Ϲεύγος που δεν ϑα ϐοηθούσε στον υπολογισµό µας Αυτό ϑα έκανε τον υπολογισµό µας να µην µπορεί να προχωρήσει και να ολοκληρωθεί, αφού δεν ϑα χρησιµοποιηθούν ποτέ οι είσοδοι όλου του πληθυσµού και συνεπώς το πρωτόκολλο δεν µπορέσει να εκτελεστεί σωστά. Πρέπει λοιπόν να επιβάλλουµε µια συνθήκη δικαιοσύνης στον εχθρικό δροµολογητή Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

21 Συνθήκη ικαιοσύνης - 1 Οτιδήποτε ειναι πάντοτε πιθανό να συµβεί, τελικά συµβαίνει Επιβάλλουµε µία ισχυρή καθολική συνθήκη δικαιοσύνης στον εχθρικό δροµολογητή ιαισθητικά, επιβάλλουµε στον δροµολογητή να είναι υπολογιστικά ϕιλικός, απαγορεύοντας του να αποφευγει ένα συγκεκριµενο ϐήµα για πάντα Ενας άλλος τρόπος για δούµε το αποτέλεσµα της συνθήκης δικαιοσύνης, είναι πως κάθε διαµόρφωση που ειναι πάντοτε προσβάσιµη τελικά επιτυγχάνεται Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

22 Συνθήκη ικαιοσύνης - 2 Πόσο ισχυρή ειναι η συνθήκη δικαιοσύνης; Υπο µία έννοια, η συνθήκη δικαιοσύνης ειναι λιγότερο ισχυρή απο το να απαιτήσουµε κάθε Ϲεύγος agents να αλληλεπιδρούν απείρως συχνά - υπάρχουν δικαιες εκτελέσεις όπου µερικοί agents δεν ϑα συναντηθούν ποτέ! Από την άλλη πλευρά, η συνθήκη δικαιοσύνης ειναι αρκετά ισχυρή, καθώς αποφεύγουµε την περίπτωση όπου δύο agents αλληλεπιδρούν µόνο όταν ϐρίσκονται στην λάθος κατάσταση για να έχουµε κάποιο χρήσιµο αποτέλεσµα απο την αλληλεπιδραση τους. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

23 Συνθήκη ικαιοσύνης - 3 Πόσο ϕυσικό ειναι να υποθέτουµε την ύπαρξη συνθήκης δικαιοσύνης; Θέλουµε να κάνουµε µιναµαλιστικές υποθέσεις για το µοντέλο µας, όµως µε µία η συνθήκη δικαιοσύνης µοιάζει πολύ ισχυρή Η συνθήκη δικαιοσύνης είναι µία ϕυσική υπόθεση Ο λόγος ειναι πως στα περισσότερα ϕυσικά συστήµατα, όπως και αυτά που εξετάζουµε, το γεγονός πως οι agents είναι παθητικώς κινούµενοι επιβάλλει άµεσα την συνθήκη αυτή στον δροµολογητή Για παράδειγµα, στα WSNs, η παθητική κίνηση των πρακτόρων είναι αποτέλεσµα κάποιου ϕυσικού ϕαινοµένου όπως το πέταγµα των πουλιών, η ϱοή ενός ποταµού, ο άνεµος κτλ.. Τέτοια ϕυσικά ϕαινόµενα συνήθως υπακούν σε κάποια πιθανοτική κατανοµή (ή µία συλλογή πιθανοτικών κατανοµών). Ετσι για να είναι ένας εχθρικός δροµολογητής δίκαιος, πρέπει απλά να ικανοποιεί κάποιες ϕυσικές ιδιότητες! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

24 Ιδιότητες - Οµοιοµορφία Οι περιγραφές των πρωτοκόλλων είναι ανεξάρτητες απο το µέγεθος του πληθυσµού ηλαδή, χρειάζεται O(1) συνολική χωρητικότητα µνήµης σε κάθε πράκτορα. Η µινιµαλιστική αυτή υπόθεση που κάνουµε, είναι γνωστή ως ιδιότητα οµοιοµορφίας Παρόλα αυτά, ίσως αυτή η υπόθεση να παραείναι µινιµαλιστική! Θα µπορούσε κάθε agent να έχει µνήµη της τάξης του O(log(n)); Πόση µνήµη ϑα είχε κάθε agent για πληθυσµό agents;(που είναι ένα αστρονοµικό νούµερο πληθυσµού - υπάρχουν λιγότερα άτοµα στην γη!) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

25 Ιδιότητες - Ανωνυµία Τα PPs είναι ανώνυµα Αυτό συµβαίνει επειδή δεν υπάρχει αρκετή µνήµη σε κάθε agent ώστε να µπορεί να αποθηκεύσει UIDs Αµεση συνέπεια : η συνάρτηση µετάβασης συµπεριφέρεται µε τον ίδιο τρόπο σε όλους τους agents Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

26 Σταθεροποίηση - 1 Τα PPs, σε αντίθεση µε τις µηχανές Turing, δεν τερµατίζουν! Αρα δεν υπαρχει προκαθορισµένος χρόνος για να διαβάσει κανείς την έξοδο του πληθυσµού Στην ϑέση του τερµατισµού εισάγουµε την έννοια της σταθεροποίησης Λέµε πως η έξοδος ενός υπολογισµού σταθεροποιείται, εάν ϕτάνει σε µία διαµόρφωση µετά την οποία κανείς πράκτορας δεν µπορει να αλλάξει τιµή εξόδου ανεξαρτήτως του πως ϑα εξελιχθεί ο υπολογισµός απο εκεί και έπειτα ιαισθητικά ϑα µπορούσαµε να το δούµε ως µια τελική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου µεταβάσεων, της οποίας κάθε κόµβος δίνει την ίδια έξοδο Αφού η εξοδος δεν µπορεί να µεταβληθεί, η έξοδος αυτή είναι τελική Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

27 Σταθεροποίηση - 2 Η σταθεροποίηση είναι µία καθολική ιδιότητα του πληθυσµού Γενικά, οι agents δεν µπορούν να ξέρουν πότε αυτή έχει επιτευχθεί Μπορούµε όµως µε κατάλληλη πιθανοτική ανάλυση και ύπο πιθανοτικούς δροµολογητές να ϕράξουµε το αναµενόµενο πλήθος των αλληλεπιδράσεων που ϑα συµβούν µέχρι η έξοδος να σταθεροποιηθεί Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

28 Example 1 : Flock of Birds Θέλουµε να ϐρούµε αν τουλάχιστον 5 agents έχουν είσοδο 1 Καθε agent παίρνει είσοδο 0 ή 1 Το πρόβληµα αυτό λέγεται flock of birds και ειναι το πιο κλασικό παράδειγµα στα PPs. Ενα σµήνος πουλιών είναι εφοδιασµένα µε αισθητήρες οι οποίοι έχουν την δυνατότητα να ανιχνεύσουν άνοδο στην ϑερµοκρασία των πουλιών. Θέλουµε να µάθουµε αν τουλάχιστον 5 πουλιά έχουν ανεβασµένη ϑερµοκρασία (ανιχνεύοντας έτσι µία επικείµενη επιδηµία) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

29 Example 1 : Flock of Birds Θα χρειαστούµε 5 καταστάσεις, Q = {1, 2, 3, 4, 5} Αν κάποιος agent πάρει ως είσοδο 1, ϑα ϐρεθεί στην κατάσταση 1. Αν πάρει ως είσοδο 0 ϑα ϐρεθεί στην κατάσταση 0. ηλαδή I(1) = 1 και I(0) = 0 Αν κάποιος agent ϐρίσκεται στην κατάσταση 5, ϑα δινει έξοδο 1. Αν ϐρίσκεται σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση ϑα δίνει έξοδο 0. ηλαδή O(5) = 1 και O(0) = O(1) = O(2) = O(3) = O(4) = 0 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

30 Example 1 : Flock of Birds Το πιο ϐασικό σηµειο: η συνάρτηση µετάβασης Κανόνας 1: x, y min(x + y, 5), 0 Με τον κανόνα αυτό ο αριθµός των άσσων µαζεύεται σε έναν agent Κανόνας 2: 5, 5, 5 Ενας agent έφτασε στην κατάσταση 5, η οποία λειτουργεί ως κατάσταση συναγερµού και διαδίδεται σε κάθε agent που την συναντάει Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

31 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

32 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

33 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

34 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

35 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

36 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

37 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

38 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

39 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

40 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

41 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

42 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

43 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

44 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

45 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

46 Example 2 : Majority - 1 Καθε agent είναι αρχικά κόκκινος ή πράσινος Θέλουµε να ϐρούµε αν κόκκινων > πράσινων Ιδέες; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

47 Example 2 : Majority - 2 Καταστάσεις: Q = {red, green, yes, no} Συναρτηση Μετάβασης: Κανόνας 1: red, green no, no Κανόνας 2: red, no red, yes Κανόνας 3: green, yes green, no Κανόνας 4: yes, no no, no Κανόνας 5: σε οποιαδήποτε άλλη περιπτωση η συνάρτηση µετάβασης δεν αλλάζει τιποτα Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

48 Example 2 : Majority - 3 Είναι τουλάχιστον το 40% των εισόδων ειναι κόκκινα; 2 κόκκινα ϑα εξαλείφουν 3 πράσινα Οι άλλοι κανόνες (σχεδόν) ίδιοι! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

49 Example 3 : Modulo Θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα όλων των εισόδων modulo4 Κάθε agent παίρνει µία τιµή στο {0, 1, 2, 3} Ολοι οι πράκτορες πρέπει να ϐρεθούν τελικά σε κατάσταση που να απεικονίζει το σωστο αποτέλεσµα Κάθε πράκτορας έχει ένα live bit Οταν δύο awake κόµβοι συναντηθούν, ο ένας παίρνει το άθροισµα και ο άλλος κοιµάται Οταν ένας awake και ένας asleep κόµβος συναντηθούν, τότε ο δεύτερος αποθηκεύει το άθροισµα του πρώτου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

50 Example 4 : Leader Election Το γνωστό πρόβληµα της εκλογής αρχηγού Θυµάστε πως στην περίπτωση του δακτυλίου απουσία UIDs δεν µπορούσαµε να λύσουµε το πρόβληµα! Η υπόθεση διακριτών ϱόλων initiator και responder ϑα µας ϐοηθήσει εδώ Ολοι οι agents ξεκινούν απο την κατάσταση leader Κανόνας: leader, leader leader, not leader Τόσο απλά! Τελικά, ϑα υπάρχει ακριβώς ένας agent σε κατάσταση leader Βλέπουµε λοιπόν πως µπορούµε να λύσουµε δύσκολα προβλήµατα µε έυκολα πρωτόκολλα Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

51 Ερωτήµατα Είδαµε αρκετά παραδείγµατα υπολογισµών στα PPs Οµως σαν Computer Scientists µας αρέσουν τα µαθηµατικά..(;;) Πρόβληµα 1 Πως ϑα µπορούσαµε να εκφράσουµε πιο ϕορµαλιστικά τα ερωτήµατα που ϑέτουµε σε ένα PP; Πρόβληµα 2 Σε ποια ερωτήµατα µπορεί να απαντήσει ένα PP, δηλαδή ποια είναι η υπολογιστική του ισχύς; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

52 Κατηγορήµατα Εστω X = X V το σύνολο όλων των δυνατών αναθέσεων εισόδου Ενα κατηγόρηµα είναι ουσιαστικά µία συνάρτηση X {0, 1} ένα κατηγόρηµα δίνει δηλαδή ως έξοδο Ναι / Οχι Τα κατηγορήµατα πρέπει να ειναι συµµετρικά Αυτό σηµαίνει πως η σειρά των εισόδων είναι αδιάφορη ως προς το αποτέλεσµα του κατηγορήµατος π.χ. στο flock of birds µας είναι αδιάφορο το ποιοι 5 agents έχουν εισοδο 1, µας ενδιαφέρει µόνο το αν 5 agents έχουν είσοδο 1 Ετσι µπορούµε να γράφουµε τα κατηγορηµατα στην µορφή P(x 1, x 2,..., x n ) όπου: n = ο αριθµός των δυνατών αρχικών καταστάσεων x i = ο αριθµός των agents που αρχιζουν στην κατάσταση i Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

53 Υπολογίσιµα Κατηγορήµατα Θεώρηµα Ενα κατηγόρηµα ειναι υπολογίσιµο ανν ανήκει στην παρακάτω λίστα: k i=1 c ix i a (γενίκευση του threshold και της πλειοψηφίας) k i=1 c ix i a(modb) (γενίκευση του mod) Boolean συνδυασµοί των παραπάνω Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

54 How to: k i=1 c ix i a Σκιαγράφηση της απόδειξης: Κάθε agent που έχει ως είσοδο το i-ιστό σύµβολο ξεκινά στην κατάσταση c i µε τιµή c i την τιµή αυτή Αρα x i agents ξεκινούν µε τιµή c i Ταυτόχρονα, εκλέγουµε leader και µαζεύουµε εκεί το άθροισµα των τιµών Αν το άθροισµα αυτό είναι µεγαλύτερο του a τότε ο leader δίνει έξοδο YES. Αλλιώς δινει έξοδο NO Ο leader διαδίδει την έξοδο του στους άλλους agents Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

55 How to: k i=1 c ix i a(modb) Σκιαγράφηση της απόδειξης: Παρόµοια λογική µε πριν Μαζεύουµε το άθροισµα στον leader Επειτα διαδίδουµε την απάντηση στον πληθυσµό Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

56 How to: Boolean Operators Αν A,B υπολογίσιµα κατηγορήµατα: Πως ϑα υπολογίσουµε το A ; Πως ϑα υπολογίσουµε το A B ; Πως ϑα υπολογίσουµε το A B ; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

57 ιαφορετικοί Χαρακτηρισµοί είχνοντας τα παραπάνω δείξαµε το Πως ϑα δείξουµε όµως το ευθύ; Θα χρειαστούµε έναν διαφορετικό χαρακτηρισµό της κλάσης των υπολογίσιµων κατηγορηµάτων Θα χρησιµοποιήσουµε τα ηµιγραµµικά σύνολα Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

58 Ηµιγραµµικά Σύνολα Ενα σύνολο διανυσµάτων x = (x 1, x 2,..., x k ) N k είναι γραµµικό αν είναι της µορφής { v 0 + c 1 v c m v m } µε c i N Ενα σύνολο διανυσµάτων είναι ηµιγραµµικό αν είναι πεπερασµένη ένωση γραµµικών συνόλων Θεώρηµα Ενα κατηγόρηµα ειναι υπολογίσιµο ανν είναι ηµιγραµµικό Γενικά δεν είναι εύκολο να προσδιορίσουµε αν ένα κατηγόρηµα ειναι ηµιγραµµικό.. Υπάρχει όµως ένας πιο εύκολος τροπος! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

59 Αριθµητική Presburger Ενα υποσύνολο του N k είναι ηµιγραµµικό ανν ειναι καθορίσιµο στην Presburger αριθµητική Η Presburger αριθµητική είναι ένα σύστηµα λογικών τύπων πρώτης τάξης που χρησιµοποιεί τα σύµβολα +, 0, 1,,,,,, =, <, (, ) και µεταβλητές εν περιλαµβάνει τον πολλαπλασιασµό Ετσι µερικά απο τα κατηγορηµατα που είδαµε πριν εκφραζονται ως: Πλειοψηφία: x 1 < x 2 mod3 : y : y + y + y = x 1 τουλάχιστον 40% κόκκινα : (x 1 + x 1 < x 0 + x 0 + x 0 ) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

60 Τι ξέρουµε Ενα κατηγόρηµα ειναι υπολογίσιµο απο το ϐασικό µοντέλο των PPs ανν: Είναι boolean συνδυασµός των κατηγορηµάτων mod και threshold ή είναι ηµιγραµµικό ή ειναι εκφράσιµο στην Presburger αριθµητική Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

61 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Στην συνέχεια... 1 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές 2 3 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

62 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Συνοψίζοντας Ορίσαµε λοιπόν το υπολογιστικό µοντέλο των Population Protocols Μεγάλο πλήθος πρακτορων Πολύ περιορισµένοι πόροι Παθητική Κίνηση Εχθρικός ροµολογητής και ικαιοσύνη Σταθεροποίηση Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

63 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Το επόµενο ϐήµα - 1 Κάναµε µινιµαλιστικές υποθέσεις για το ϐασικό µοντέλο των PPs Καταλαβαίνουµε ακριβώς τι µπορεί να υπολογιστεί Το επόµενο ϐήµα ειναι να ενισχύσουµε το ϐασικό µοντέλο µε ϱεαλιστικές υποθέσεις......και να προσπαθήσουµε να καταλάβουµε πως αυτές επηρρεάζουν την υπολογιστική του δύναµη Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

64 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Το επόµενο ϐήµα - 2 Εχουν προταθεί πολλές επεκτάσεις του ϐασικού µοντέλου, όπως: Mediated PPs: κάθε επικοινωνιακός δίαυλος(ακµή) ειναι εξοπλισµένος µε buffer µεγέθους O(1) µπορούµε πλέον να υπολογίσουµε και non-semilinear κατηγορήµατα PALOMA: κάθε πράκτορας έχει µνήµη µεγέθους O(logn) αλγόριθµος για κατασκευή UIDs Πολλή απο την παραπάνω δουλειά έχει γίνει από τους Π.Σπυράκη, Ι.Χατζηγιαννάκη, Ο.Μιχαήλ, Α.Παυλόγιαννη, Σ.Νικολάου, υπάρχει δηλαδή έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον στο τµήµα µας. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

65 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 1 Εστω C = C 0, C 1,... µία άπειρη εκτέλεση ενός PP A, το οποίο τρέχει σε γράφο αλληλεπιδράσεων G, F C το σύνολο των διαµορφώσεων που εµφανίζονται απείρως συχνά στην C και T FC ο υπογράφος του T(A, G) που επάγεται από το F C. Να δειχθεί ότι η εκτέλεση C είναι υπολογισµός αν και µόνο αν ο T FC είναι µία τελική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του T(A, G). Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

66 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 2 Εστω ο εξής εναλλακτικός ορισµός της δικαιοσύνης: Ολες οι αλληλεπιδράσεις συµβαίνουν απέιρως συχνά Επάγεται απο αυτόν τον ορισµό το ίδιο αποτέλεσµα µε τον ορισµό της δικαιοσύνης που ορίσαµε; Αν ναι, δικαιολογείστε; Αν όχι, δώστε αντιπαράδειγµα ώστε παράδειγµα δίκαιης εκτέλεσης όπου κάποια αλληλεπίδραση δεν συµβαίνει ποτέ. Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε το leader election σε ένα πολύ απλό δίκτυο Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

67 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 3 ώστε πρωτόκολλο υπολογισµού του παρακάτω κατηγορηµατος, αν X = {0, 1}: Υπάρχει Ϲυγός αριθµός κόµβων µε είσοδο 1 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την ιδέα του live bit, όπως αυτή παρουσιάστηκε στην ιαφάνεια 49 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

68 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 4 οθέντος PP A, αν Q είναι το σύνολο καταστάσεων του A και αν το A τρέχει σε πλήρη γράφο αλληλεπιδράσεων n κόµβων, να δειχθεί ότι υπάρχουν (1 + n Q 1 ) Q 1 διαφορετικές διαµορφώσεις Συνδυαστικής ϕυσεως πρόβληµα Αναγωγή στο πρόβληµα τοποθέτησης µπαλών σε κάδους ( ιακριτά 1) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

69 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 5 Να δειχθεί πως η κλάση των υπολογίσιµων κατηγορηµάτων είναι κλειστή ως προς τις πράξεις του συµπληρώµατος, της ένωσης και της τοµής Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

70 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 6 Στο µοντέλο MPP, οι ακµές έχουν πλέον µνήµη και άρα µπορούν να ϐρίσκονται σε κάποια κατάσταση. Εστω πως κάθε πράκτορας παίρνει είσοδο απο το X = {a, b, c} Να δώσετε πρωτόκολλο υπολογισµού του κατηγορήµατος πολλαπλασιασµού, δηλαδή αν N c = N a N b Υποθέστε πλήρες γράφηµα αλληλεπιδράσεων Σε ένα πλήρες γράφηµα, οι πράκτορες µε εισοδο a και οι πράκτορες µε εισοδο b έχουν ακριβώς N a N b ακµές µεταξύ τους Κάθε ακµή ϑα µπορεί να ϐρεθεί στις καταστάσεις marked, unmarked Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

71 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ευχαριστώ Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

Προηγούµενα Μαθήµατα. Πρωτόκολλα Πληθυσµών Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Προηγούµενα Μαθήµατα. Πρωτόκολλα Πληθυσµών Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Προηγούµενα Μαθήµατα Πρωτόκολλα Πληθυσµών Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Πρωτόκολλα Πληθυσµών

Πρωτόκολλα Πληθυσµών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΩΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μεταπτυχιακό ίπλωµα Ειδίκευσης Επιστήµη και Τεχνολογία Υπολογιστών ιπλωµατική Εργασία Πρωτόκολλα Πληθυσµών

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε 2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε Η εντολή Εκτύπωσε χρησιµοποιείται προκειµένου να εµφανίσουµε κάτι στην οθόνη του υπολογιστή. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και εντολή εξόδου. Ισοδύναµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Τι είναι ένα Κατανεμημένο Σύστημα; Επικοινωνία, Χρονισμός, Σφάλματα Μοντέλο Ανταλλαγής Μηνυμάτων 1

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων

ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων Μαρία Ι. Ανδρέου ΗΜΥ417, ΗΜΥ 663 Κατανεµηµένα Συστήµατα Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007 Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο αισθητήρας (perceptron)

4. Ο αισθητήρας (perceptron) 4. Ο αισθητήρας (perceptron) Σκοπός: Προσδοκώµενα αποτελέσµατα: Λέξεις Κλειδιά: To µοντέλο του αισθητήρα (perceptron) είναι από τα πρώτα µοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν, και έδωσαν µεγάλη ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής. Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015. Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2. Διδάσκων: E. Μαρκάκης

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής. Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015. Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2. Διδάσκων: E. Μαρκάκης Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015 Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2 Διδάσκων: E. Μαρκάκης Ταξινόµηση και Ουρές Προτεραιότητας Σκοπός της 2 ης εργασίας είναι η εξοικείωση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου (νέο βιβλίο Πληροφορικής Γυµνασίου Αράπογλου, Μαβόγλου, Οικονοµάκου, Φύτρου) Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις 1. Τι είναι ο Αλγόριθµος;

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέµπτη 19 Ιουνίου 2008 11:00-14:00 Έστω το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑ ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 2012-13 Ι ΑΣΚΟΝΤΕΣ Ιωάννης Βασιλείου Καθηγητής, Τοµέας Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

7.5 Πρωτόκολλο IP. Τεχνολογία ικτύων Επικοινωνιών ΙΙ

7.5 Πρωτόκολλο IP. Τεχνολογία ικτύων Επικοινωνιών ΙΙ Τεχνολογία ικτύων Επικοινωνιών ΙΙ 7.5 Πρωτόκολλο IP 38. Τι είναι το πρωτόκολλο ιαδικτύου (Internet Protocol, IP); Είναι το βασικό πρωτόκολλο του επιπέδου δικτύου της τεχνολογίας TCP/IP. Βασίζεται στα αυτοδύναµα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 20/5/2000 Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Είδαµε ότι όταν η Χαµιλτονιανή συνάρτηση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο τότε αυτή διατηρείται κατά την κίνηση και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας

Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας Αρχιµήδης ΙΙΙ Υποέργο 18 2013 Ενα µάγµα µπορεί να εξελιχθεί κάτω από την επίδραση τριών ειδών επιρροών. Την εξέλιξη αυτή συµβολίζουµε µε ένα απλό τόξο

Διαβάστε περισσότερα

Καθολικέςκαταστάσεις. Ορισµοί Κατασκευή καθολικών καταστάσεων Παθητική στρατηγική Ενεργητική στρατηγική. Κατανεµηµένα Συστήµατα 04-1

Καθολικέςκαταστάσεις. Ορισµοί Κατασκευή καθολικών καταστάσεων Παθητική στρατηγική Ενεργητική στρατηγική. Κατανεµηµένα Συστήµατα 04-1 Καθολικέςκαταστάσεις Ορισµοί Κατασκευή καθολικών καταστάσεων Παθητική στρατηγική Ενεργητική στρατηγική Κατανεµηµένα Συστήµατα 04-1 Ορισµοί Τοπικήιστορία διεργασίας p i Έστω ότι e ij είναι το γεγονός jτης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Συναρτήσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης ευτέρα, 20 εκεµβρίου, 2010 Αίθουσα Β3 Ασύγχρονα Κατανεµηµένα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 1 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Ο εκφωνητής του δελτίου καιρού δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Τετάρτη Ιουνίου 7 :-4: Κατασκευάστε έναν αισθητήρα (perceptron)

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Εισαγωγή. Υπολογιστική Αλγεβρα. Μάθηµα 7

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Εισαγωγή. Υπολογιστική Αλγεβρα. Μάθηµα 7 Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική Μάθηµα 7 Θεωρητικό Υπόβαθρο Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αποτελεσµατική ακριβής αριθµητική 3 Ταχύς

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες για ανάπτυξη διαγραµµάτων κλάσεων

Κανόνες για ανάπτυξη διαγραµµάτων κλάσεων 1 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Κανόνες για ανάπτυξη διαγραµµάτων κλάσεων ρ. Πάνος Φιτσιλής 2 Περιεχόµενα Προσδιορισµός κλάσεων Πως να ονοµάσουµε τις κλάσεις; Που να τις βρούµε; Τι να κοιτάξουµε; Τι να

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΑΓΩΓΟΙ & ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ & ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΨΗΛΩΝ

Διαβάστε περισσότερα