Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων"

Transcript

1 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 10 Ιανουαρίου, 2011 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

2 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Προηγούµενα Μαθήµατα Υποθέσεις µέχρι τώρα Απειρη µνήµη Unique IDs και δυνατότητα ανίχνευσης κάποιων σφαλµάτων Σταθερή δοµή δικτύου, καµία αναφορά σε mobility patterns (µοτίβα κινητικότητας) Ασύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Μοντελοποίηση των στοιχείων του κατανεµηµένου συστήµατος µε αυτόµατα καταστάσεων (state machines) Χρονική Απροσδιοριστία - ϑα χρειαστούν τεχνικές διαφορετικές από την µέχρι τώρα ανάλυση της χρονικής πολυπλοκότητας Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

3 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Σήµερα.. Θα παρουσιάσουµε ένα νέο υπολογιστικό µοντέλο για κατανεµηµένα συστήµατα Αποτελείται απο αλληλεπιδρούσες υπολογιστικές οντότητες (objects). Οι οντότητες αυτές µπορεί να ειναι διεργασίες σε PCs, κινητά µε αισθητήρες, η ταυτότητα σας στο facebook,... Υπάρχει πολύ µεγάλος αριθµός οντοτήτων Η κάθεµία απο αυτές έχει πολύ περιορισµένους πόρους (π.χ. µνήµη) Οι οντότητες αυτές αλληλεπιδρούν µεταξύ τους µε έναν µη-ντετερµινιστικό τρόπο, υπό την έννοια πως δεν διαλέγουν αυτές µε ποιες οντότητες ϑα αλληλεπιδράσουν, δεν έχουν δηλαδή κανέναν έλεγχο των αλληλεπιδράσεων αυτών Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

4 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Εφαρµογές - 1 ίκτυα Αισθητήρων (Wireless Sensor Networks, WSNs) Αποτελούνται από µεγάλο πλήθος συσκευών υνατότητες υπολογισµού, ασύρµατης επικοινωνίας, περιορισµένη µνήµη, λειτουργούν µε µικρή µπαταρία και ϕέρουν ποικιλία αισθητήρων για µέτρηση µεγεθών (π.χ. ϑερµοκρασία) Μπορούν να πραγµατοποιήσουν µεγάλης κλίµακας ανιχνεύσεις (πυργκαγιές σε δάση, έξυπνα σπίτια). Wireless NanoSensor Networks Οπως πριν, αλλά τώρα κάθε συσκευή έχει µέγεθος µερικών µm Επαναστατικές εφαρµογές σε κλάδους όπως ιατρική (παρακολούθηση, ενέσεις ϕαρµάκων), γεωργία ακριβειας, κτλ.. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

5 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Εφαρµογές - 2 Χηµικές Αντιδράσεις Εδώ οι αλληλεπιδρούσες οντότητες ειναι τα µόρια εν έχουν κανέναν έλεγχο πάνω στις αλληλεπιδράσεις τους. Φανταστείτε π.χ. µια χηµική αντίδραση που συµβαίνει σε ένα δοκιµαστικό σωλήνα Αυτογνωσία Συστηµάτων Μοντελοποιούµε τα συστήµατα µε χρηση γραφηµάτων Οι οντότητες των συστηµάτων, δηλαδή πλέον οι κόµβοι τω γράφων αντιλαµβάνονται ιδιότητες των γράφων στους οποίους ανήκουν και συνεπώς του ίδιου του συστήµατατος π.χ. Αν ϑεωρήσουµε οντότητες τα facebook profiles των ϕοιτητών µίας αίθουσας, να µπορεί κάθε ϕοιτητής να ξέρει αν τουλάχιστον 5 ϕοιτητές µέσα σε αυτήν την αίθουσα έχουν παραπάνω απο 200 ϕίλους. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

6 Στην συνέχεια... 1 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές 2 3 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

7 Ενα µινιµαλιστικό Μοντέλο - Υποθέσεις Προσπαθούµε να κάνουµε υποθέσεις µινιµαλιστικές αλλά όχι τετριµµένες για τις δυνατότητες κάθε υπολογιστικής µονάδας, την οποία καλούµε πράκτορα (agent) FSMs(µηχανές πεπερασµένων καταστάσεων), όχι άπειρη µνήµη Καµία µορφή υποδοµής (ούτε unique IDs!) Ασύγχρονο σύστηµα Οι πράκτορες έχουν την δυνατότητα να ανταλλάσσουν πληροφορία (αλληλεπίδραση) Οι πράκτορες δεν µπορούν να ελέγξουν τις µεταξύ τους αλληλεπιδράσεις - Παθητική Κίνηση(passive mobility) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

8 (ανεπίσηµα) - 1 Μία συλλογή πανοµοιότυπα προγραµµατισµένων πρακτόρων Ολοι οι πράκτορες παίρνουν αρχικά µία είσοδο απο το περιβάλλον τους(π.χ. µέσω αισθητήρων) Κωδικοποιούµε το input κάθε agent στην αρχική του κατάσταση Οι πράκτορες ύπο κάποιες συνθήκες αλληλεπιδρούν και αλλάζουν κατάσταση σύµφωνα µε κάποιους κανόνες µετάβασης Οποιαδήποτε χρονική στιγµή, µπορούµε να πάρουµε το output κάθε πράκτορα παρατηρώντας την κατάσταση του Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

9 (ανεπίσηµα) - 2 Τι ορίζουµε ως αλγόριθµο/πρωτόκολλο Ενα πεπερασµένο σύνολο καταστάσεων στις οποίες µπορει να ϐρεθεί ο κάθε agent Μία συνάρτηση εισόδου, απεικονίζει εισόδους σε καταστάσεις Μία συνάρτηση µετάβασης, σύµφωνα µε την οποία οι δύο agents που αλληλεπίδρασαν ϑα αλλάξουν την κατάσταση τους Μία συνάρτηση εξόδου, απεικονίζει καταστάσεις σε εξόδους Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

10 Ενα παράδειγµα Πως ϑα υπολογίσουµε το OR εισόδων-bits Κάθε agent παίρνει ως input 0 ή 1. Ολοι οι agents πρέπει eventually να µάθουν το αποτέλεσµα του OR όλων των bits Εχουµε: Σύνολο καταστάσεων: 0, 1 Συνάρτηση Μετάβασης 0, 0 0, 0 0, 1 1, 1 1, 0 1, 1 1, 1 1, 1 Η έξοδος κάθε agent είναι η κατάσταση του Ετσι, αν έστω και ένας agent έχει πάρει ως input 1, τότε eventually όλοι οι agents ϑα συγκλίνουν στην κατάσταση 1 (άρα και στην έξοδο) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

11 Οµως.. Ερωτήµατα έρχονται σιγά σιγά στην επιφάνεια! Πως επηρρεάζει το πλήθος των agents το πρωτόκολλό µας; Θα χρειαστούµε διαφορετικό αλγόριθµο ή πρέπει να κάνουµε τροποποιήσεις;; Τι µας εγγυάται πως αληλλεπιδράσεις που µπορούν να γινουν και πρέπει να γίνουν για να έχει νόηµα ο υπολογισµός, τελικά ϑα γίνουν; Σε ποια ερωτήµατα µπορούν να απαντήσουν τα Population Protocols; (υπολογιστική δύναµη) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

12 Φορµαλιστικός Ορισµός Ενα Πρωτόκολλο Πληθυσµών ειναι µία εξάδα (Q, X, Y, I, O, δ), όπου: Q, το πεπερασµένο σύνολο καταστάσεων X, το πεπερασµένο αλφάβητο εισόδου(π.χ. τι τιµές παίρνουν οι αισθητήρες µέσω µίας µέτρησης) Y, το πεπερασµένο αλφάβητο εξόδου I : X Q, η συνάρτηση εισόδου που απεικονίζει εισόδους σε καταστάσεις. Αρα I(σ) είναι η αρχική κατάσταση του agent µε είσοδο σ O : Q Y, η συνάρτηση εξόδου που απεικονίζει καταστάσεις σε εξόδους. Αρα O(q) είναι η έξοδος του agent που ϐρίσκεται σε κατάσταση q δ : Q Q Q Q, η συνάρτηση µετάβασης που περιγράφει πως αλληλεπιδρά ένα Ϲεύγος agents. Αν δ(p, q) = (p, q ), ϑα λέµε πως η (p, q) (p, q ) είναι µία µετάβαση και ϑα ορίζουµε δ 1 (p, q) = p και δ 2 (p, q) = q. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

13 Γράφος Αλληλεπιδράσεων Το δίκτυο που σχηµατίζουν οι agents µοντελοποιείται από κατευθυνόµενο, πλήρως συνδεδεµένο γράφο αλληλεπιδράσεων G = (V, E) Εχουµε: n = V ο αριθµός των agents m = E ο αριθµός των ακµών, δηλαδή των πιθανών αλληλεπιδράσεων, όπου: Μία ακµή (u, v) E σηµαίνει πως οι agents u και v µπορούν να αλληλεπιδράσουν Στην αλληλεπίδραση αυτή ο u ϑα είναι ο initiator και ο v ϑα είναι ο responder Οι διακριτοί ϱόλοι των δύο agents είναι µία ϐασική υπόθεση του µοντελου µας που σπάει την συµµετρία! Είναι αυτό χρήσιµο; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

14 ιαµορφώσεις - 1 Μία διαµόρφωση(configuration) C : V Q είναι ένα στιγµιότυπο (snapshot) όλων των καταστάσεων των agents και µπορει να περιγραφεί απο ένα διάνυσµα µε τις καταστάσεις αυτές Εστω C, C δύο διαµορφώσεις και u, v δύο agents. Θα λέµε πως η C πηγαίνει στην C µέσω της αληλλεπίδρασης e = (u, v) και ϑα συµβολίζουµε C e C αν: C (u) = δ 1 (C(u), C(v)) C (v) = δ 2 (C(u), C(v)) C (w) = C(w), για κάθε w A {u, v} Θα λέµε πως η διαµόρφωση C είναι προσβάσιµη απο την C αν υπάρχει µία ακολουθία διαµορφώσεων C = C 0, C 1,..., C n = C, τετοια ώστε C i C i+1 για κάθε i, 0 i < n, και ϑα το συµβολίζουµε µε C C Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

15 ιαµορφώσεις - 2 Με άλλα λόγια, ξέροντας την τρέχουσα διαµόρφωση έχουµε πλήρη γνώση για την τρέχουσα κατάσταση του συστήµατος, αφού µας ενηµερώνει για την κατάσταση στην οποία ϐρίσκεται κάθε agent του πληθυσµού Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

16 Γράφος Μεταβάσεων Ο γράφος µεταβασεων ενός PPA που τρέχει σε έναν γράφο αλληλεπιδράσεων G είναι ένας κατευθυνόµενος γράφος όπου: κόµβοι του είναι το συνολο όλων των διαµορφώσεων του πληθυσµού Q V το σύνολο ακµών του ορίζεται ώς E = {(C, C ) C, C Q V and C C } Μπορει να έχει κύκλους Μπορεί (C, C) E Μια ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου είναι τελική ανν δεν υπάρχει ακµή που να ξεκινά απο κόµβο της συνιστώσας και να κατευθύνεται σε κόµβο εκτός αυτής. Μια διαµόρφωση ειναι τελική ανν ανήκει σε µία τελική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

17 Εκτέλεση Μία εκτέλεση(execution) είναι µία πεπερασµένη ή άπειρη ακολουθία διαµορφώσεων Μία άπειρη εκτέλεση είναι δίκαιη εάν για κάθε Ϲεύγος διαµορφώσεων C, C τέτοιων ώστε C C, αν η C εµφανίζεται άπειρες ϕορές στην εκτέλεση, τότε και η C εµφανίζεται άπειρες ϕορές στην εκτέλεση Ενας υπολογισµός(computation) είναι µία άπειρη δίκαιη εκτέλεση Πως όµως αποφασίζεται ποια ή ποιες αλληλεπιδράσεις ϑα γίνουν στο επόµενο ϐηµα και πως ορίζεται ακριβώς η συνθήκη δικαιοσύνης; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

18 Παθητική Κίνηση Οι παθητικώς κινούµενοι πράκτορες ειναι µία πολύ ενδιαφέρουσα έννοια που εισάγουν τα PPs Η παθητική κίνηση καθιστά τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των πρακτόρων µη ντερµινιστικές ( µη καθορίσιµες απο τους ίδιους) Στην περίπτωση των WSNs ϑα µπορούσαµε να ϕανταστούµε πως αυτό συµβαίνει π.χ. επειδή ο αέρας παρασύρει τους αισθητήρες µας απο την αρχική τους ϑέση Οµως η έννοια της παθητικής κίνησης δεν αφορά πάντα σε ϕυσική κίνηση των πρακτόρων Στο παράδειγµα όπου ϑεωρούµε πράκτορες του συστήµατος µας τα facebook walls χρηστών και ακµές του δικτύου τις µεταξύ τους ϕιλίες. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

19 Εχθρικός δροµολογητής - 1 Η επόµενη αλληλεπίδραση που ϑα συµβεί επιλέγεται ανάµεσα σε όλες τις δυνατές( V V )απο έναν εχθρικό δροµολογητή Αποδεικνύεται εύκολα πως κάθε δροµολογητής που επιλέγει ένα ή περισσότερα Ϲεύγη προς αλληλεπίδραση κάθε ϕορά, µπορεί να προσωµοιωθεί από δροµολογητή που επιλέγει µόνο ένα Ϲεύγος προς αληλλεπίδραση κάθε ϕορά Θα ϑεωρούµε λοιπόν χ.β.τ.γ. πως µόνο ένα Ϲεύγος agents αλληλεπιδρά σε κάθε ϐήµα της εκτέλεσης Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

20 Εχθρικός δροµολογητής - 2 Ο δροµολογητής ϑα µπορούσε να επιλέγει συνεχώς το ίδιο Ϲεύγος agents προς αλληλεπίδραση κάθε ϕορά, ή ένα Ϲεύγος που δεν ϑα ϐοηθούσε στον υπολογισµό µας Αυτό ϑα έκανε τον υπολογισµό µας να µην µπορεί να προχωρήσει και να ολοκληρωθεί, αφού δεν ϑα χρησιµοποιηθούν ποτέ οι είσοδοι όλου του πληθυσµού και συνεπώς το πρωτόκολλο δεν µπορέσει να εκτελεστεί σωστά. Πρέπει λοιπόν να επιβάλλουµε µια συνθήκη δικαιοσύνης στον εχθρικό δροµολογητή Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

21 Συνθήκη ικαιοσύνης - 1 Οτιδήποτε ειναι πάντοτε πιθανό να συµβεί, τελικά συµβαίνει Επιβάλλουµε µία ισχυρή καθολική συνθήκη δικαιοσύνης στον εχθρικό δροµολογητή ιαισθητικά, επιβάλλουµε στον δροµολογητή να είναι υπολογιστικά ϕιλικός, απαγορεύοντας του να αποφευγει ένα συγκεκριµενο ϐήµα για πάντα Ενας άλλος τρόπος για δούµε το αποτέλεσµα της συνθήκης δικαιοσύνης, είναι πως κάθε διαµόρφωση που ειναι πάντοτε προσβάσιµη τελικά επιτυγχάνεται Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

22 Συνθήκη ικαιοσύνης - 2 Πόσο ισχυρή ειναι η συνθήκη δικαιοσύνης; Υπο µία έννοια, η συνθήκη δικαιοσύνης ειναι λιγότερο ισχυρή απο το να απαιτήσουµε κάθε Ϲεύγος agents να αλληλεπιδρούν απείρως συχνά - υπάρχουν δικαιες εκτελέσεις όπου µερικοί agents δεν ϑα συναντηθούν ποτέ! Από την άλλη πλευρά, η συνθήκη δικαιοσύνης ειναι αρκετά ισχυρή, καθώς αποφεύγουµε την περίπτωση όπου δύο agents αλληλεπιδρούν µόνο όταν ϐρίσκονται στην λάθος κατάσταση για να έχουµε κάποιο χρήσιµο αποτέλεσµα απο την αλληλεπιδραση τους. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

23 Συνθήκη ικαιοσύνης - 3 Πόσο ϕυσικό ειναι να υποθέτουµε την ύπαρξη συνθήκης δικαιοσύνης; Θέλουµε να κάνουµε µιναµαλιστικές υποθέσεις για το µοντέλο µας, όµως µε µία η συνθήκη δικαιοσύνης µοιάζει πολύ ισχυρή Η συνθήκη δικαιοσύνης είναι µία ϕυσική υπόθεση Ο λόγος ειναι πως στα περισσότερα ϕυσικά συστήµατα, όπως και αυτά που εξετάζουµε, το γεγονός πως οι agents είναι παθητικώς κινούµενοι επιβάλλει άµεσα την συνθήκη αυτή στον δροµολογητή Για παράδειγµα, στα WSNs, η παθητική κίνηση των πρακτόρων είναι αποτέλεσµα κάποιου ϕυσικού ϕαινοµένου όπως το πέταγµα των πουλιών, η ϱοή ενός ποταµού, ο άνεµος κτλ.. Τέτοια ϕυσικά ϕαινόµενα συνήθως υπακούν σε κάποια πιθανοτική κατανοµή (ή µία συλλογή πιθανοτικών κατανοµών). Ετσι για να είναι ένας εχθρικός δροµολογητής δίκαιος, πρέπει απλά να ικανοποιεί κάποιες ϕυσικές ιδιότητες! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

24 Ιδιότητες - Οµοιοµορφία Οι περιγραφές των πρωτοκόλλων είναι ανεξάρτητες απο το µέγεθος του πληθυσµού ηλαδή, χρειάζεται O(1) συνολική χωρητικότητα µνήµης σε κάθε πράκτορα. Η µινιµαλιστική αυτή υπόθεση που κάνουµε, είναι γνωστή ως ιδιότητα οµοιοµορφίας Παρόλα αυτά, ίσως αυτή η υπόθεση να παραείναι µινιµαλιστική! Θα µπορούσε κάθε agent να έχει µνήµη της τάξης του O(log(n)); Πόση µνήµη ϑα είχε κάθε agent για πληθυσµό agents;(που είναι ένα αστρονοµικό νούµερο πληθυσµού - υπάρχουν λιγότερα άτοµα στην γη!) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

25 Ιδιότητες - Ανωνυµία Τα PPs είναι ανώνυµα Αυτό συµβαίνει επειδή δεν υπάρχει αρκετή µνήµη σε κάθε agent ώστε να µπορεί να αποθηκεύσει UIDs Αµεση συνέπεια : η συνάρτηση µετάβασης συµπεριφέρεται µε τον ίδιο τρόπο σε όλους τους agents Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

26 Σταθεροποίηση - 1 Τα PPs, σε αντίθεση µε τις µηχανές Turing, δεν τερµατίζουν! Αρα δεν υπαρχει προκαθορισµένος χρόνος για να διαβάσει κανείς την έξοδο του πληθυσµού Στην ϑέση του τερµατισµού εισάγουµε την έννοια της σταθεροποίησης Λέµε πως η έξοδος ενός υπολογισµού σταθεροποιείται, εάν ϕτάνει σε µία διαµόρφωση µετά την οποία κανείς πράκτορας δεν µπορει να αλλάξει τιµή εξόδου ανεξαρτήτως του πως ϑα εξελιχθεί ο υπολογισµός απο εκεί και έπειτα ιαισθητικά ϑα µπορούσαµε να το δούµε ως µια τελική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου µεταβάσεων, της οποίας κάθε κόµβος δίνει την ίδια έξοδο Αφού η εξοδος δεν µπορεί να µεταβληθεί, η έξοδος αυτή είναι τελική Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

27 Σταθεροποίηση - 2 Η σταθεροποίηση είναι µία καθολική ιδιότητα του πληθυσµού Γενικά, οι agents δεν µπορούν να ξέρουν πότε αυτή έχει επιτευχθεί Μπορούµε όµως µε κατάλληλη πιθανοτική ανάλυση και ύπο πιθανοτικούς δροµολογητές να ϕράξουµε το αναµενόµενο πλήθος των αλληλεπιδράσεων που ϑα συµβούν µέχρι η έξοδος να σταθεροποιηθεί Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

28 Example 1 : Flock of Birds Θέλουµε να ϐρούµε αν τουλάχιστον 5 agents έχουν είσοδο 1 Καθε agent παίρνει είσοδο 0 ή 1 Το πρόβληµα αυτό λέγεται flock of birds και ειναι το πιο κλασικό παράδειγµα στα PPs. Ενα σµήνος πουλιών είναι εφοδιασµένα µε αισθητήρες οι οποίοι έχουν την δυνατότητα να ανιχνεύσουν άνοδο στην ϑερµοκρασία των πουλιών. Θέλουµε να µάθουµε αν τουλάχιστον 5 πουλιά έχουν ανεβασµένη ϑερµοκρασία (ανιχνεύοντας έτσι µία επικείµενη επιδηµία) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

29 Example 1 : Flock of Birds Θα χρειαστούµε 5 καταστάσεις, Q = {1, 2, 3, 4, 5} Αν κάποιος agent πάρει ως είσοδο 1, ϑα ϐρεθεί στην κατάσταση 1. Αν πάρει ως είσοδο 0 ϑα ϐρεθεί στην κατάσταση 0. ηλαδή I(1) = 1 και I(0) = 0 Αν κάποιος agent ϐρίσκεται στην κατάσταση 5, ϑα δινει έξοδο 1. Αν ϐρίσκεται σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση ϑα δίνει έξοδο 0. ηλαδή O(5) = 1 και O(0) = O(1) = O(2) = O(3) = O(4) = 0 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

30 Example 1 : Flock of Birds Το πιο ϐασικό σηµειο: η συνάρτηση µετάβασης Κανόνας 1: x, y min(x + y, 5), 0 Με τον κανόνα αυτό ο αριθµός των άσσων µαζεύεται σε έναν agent Κανόνας 2: 5, 5, 5 Ενας agent έφτασε στην κατάσταση 5, η οποία λειτουργεί ως κατάσταση συναγερµού και διαδίδεται σε κάθε agent που την συναντάει Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

31 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

32 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

33 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

34 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

35 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

36 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

37 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

38 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

39 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

40 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

41 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

42 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

43 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

44 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

45 Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

46 Example 2 : Majority - 1 Καθε agent είναι αρχικά κόκκινος ή πράσινος Θέλουµε να ϐρούµε αν κόκκινων > πράσινων Ιδέες; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

47 Example 2 : Majority - 2 Καταστάσεις: Q = {red, green, yes, no} Συναρτηση Μετάβασης: Κανόνας 1: red, green no, no Κανόνας 2: red, no red, yes Κανόνας 3: green, yes green, no Κανόνας 4: yes, no no, no Κανόνας 5: σε οποιαδήποτε άλλη περιπτωση η συνάρτηση µετάβασης δεν αλλάζει τιποτα Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

48 Example 2 : Majority - 3 Είναι τουλάχιστον το 40% των εισόδων ειναι κόκκινα; 2 κόκκινα ϑα εξαλείφουν 3 πράσινα Οι άλλοι κανόνες (σχεδόν) ίδιοι! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

49 Example 3 : Modulo Θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα όλων των εισόδων modulo4 Κάθε agent παίρνει µία τιµή στο {0, 1, 2, 3} Ολοι οι πράκτορες πρέπει να ϐρεθούν τελικά σε κατάσταση που να απεικονίζει το σωστο αποτέλεσµα Κάθε πράκτορας έχει ένα live bit Οταν δύο awake κόµβοι συναντηθούν, ο ένας παίρνει το άθροισµα και ο άλλος κοιµάται Οταν ένας awake και ένας asleep κόµβος συναντηθούν, τότε ο δεύτερος αποθηκεύει το άθροισµα του πρώτου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

50 Example 4 : Leader Election Το γνωστό πρόβληµα της εκλογής αρχηγού Θυµάστε πως στην περίπτωση του δακτυλίου απουσία UIDs δεν µπορούσαµε να λύσουµε το πρόβληµα! Η υπόθεση διακριτών ϱόλων initiator και responder ϑα µας ϐοηθήσει εδώ Ολοι οι agents ξεκινούν απο την κατάσταση leader Κανόνας: leader, leader leader, not leader Τόσο απλά! Τελικά, ϑα υπάρχει ακριβώς ένας agent σε κατάσταση leader Βλέπουµε λοιπόν πως µπορούµε να λύσουµε δύσκολα προβλήµατα µε έυκολα πρωτόκολλα Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

51 Ερωτήµατα Είδαµε αρκετά παραδείγµατα υπολογισµών στα PPs Οµως σαν Computer Scientists µας αρέσουν τα µαθηµατικά..(;;) Πρόβληµα 1 Πως ϑα µπορούσαµε να εκφράσουµε πιο ϕορµαλιστικά τα ερωτήµατα που ϑέτουµε σε ένα PP; Πρόβληµα 2 Σε ποια ερωτήµατα µπορεί να απαντήσει ένα PP, δηλαδή ποια είναι η υπολογιστική του ισχύς; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

52 Κατηγορήµατα Εστω X = X V το σύνολο όλων των δυνατών αναθέσεων εισόδου Ενα κατηγόρηµα είναι ουσιαστικά µία συνάρτηση X {0, 1} ένα κατηγόρηµα δίνει δηλαδή ως έξοδο Ναι / Οχι Τα κατηγορήµατα πρέπει να ειναι συµµετρικά Αυτό σηµαίνει πως η σειρά των εισόδων είναι αδιάφορη ως προς το αποτέλεσµα του κατηγορήµατος π.χ. στο flock of birds µας είναι αδιάφορο το ποιοι 5 agents έχουν εισοδο 1, µας ενδιαφέρει µόνο το αν 5 agents έχουν είσοδο 1 Ετσι µπορούµε να γράφουµε τα κατηγορηµατα στην µορφή P(x 1, x 2,..., x n ) όπου: n = ο αριθµός των δυνατών αρχικών καταστάσεων x i = ο αριθµός των agents που αρχιζουν στην κατάσταση i Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

53 Υπολογίσιµα Κατηγορήµατα Θεώρηµα Ενα κατηγόρηµα ειναι υπολογίσιµο ανν ανήκει στην παρακάτω λίστα: k i=1 c ix i a (γενίκευση του threshold και της πλειοψηφίας) k i=1 c ix i a(modb) (γενίκευση του mod) Boolean συνδυασµοί των παραπάνω Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

54 How to: k i=1 c ix i a Σκιαγράφηση της απόδειξης: Κάθε agent που έχει ως είσοδο το i-ιστό σύµβολο ξεκινά στην κατάσταση c i µε τιµή c i την τιµή αυτή Αρα x i agents ξεκινούν µε τιµή c i Ταυτόχρονα, εκλέγουµε leader και µαζεύουµε εκεί το άθροισµα των τιµών Αν το άθροισµα αυτό είναι µεγαλύτερο του a τότε ο leader δίνει έξοδο YES. Αλλιώς δινει έξοδο NO Ο leader διαδίδει την έξοδο του στους άλλους agents Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

55 How to: k i=1 c ix i a(modb) Σκιαγράφηση της απόδειξης: Παρόµοια λογική µε πριν Μαζεύουµε το άθροισµα στον leader Επειτα διαδίδουµε την απάντηση στον πληθυσµό Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

56 How to: Boolean Operators Αν A,B υπολογίσιµα κατηγορήµατα: Πως ϑα υπολογίσουµε το A ; Πως ϑα υπολογίσουµε το A B ; Πως ϑα υπολογίσουµε το A B ; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

57 ιαφορετικοί Χαρακτηρισµοί είχνοντας τα παραπάνω δείξαµε το Πως ϑα δείξουµε όµως το ευθύ; Θα χρειαστούµε έναν διαφορετικό χαρακτηρισµό της κλάσης των υπολογίσιµων κατηγορηµάτων Θα χρησιµοποιήσουµε τα ηµιγραµµικά σύνολα Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

58 Ηµιγραµµικά Σύνολα Ενα σύνολο διανυσµάτων x = (x 1, x 2,..., x k ) N k είναι γραµµικό αν είναι της µορφής { v 0 + c 1 v c m v m } µε c i N Ενα σύνολο διανυσµάτων είναι ηµιγραµµικό αν είναι πεπερασµένη ένωση γραµµικών συνόλων Θεώρηµα Ενα κατηγόρηµα ειναι υπολογίσιµο ανν είναι ηµιγραµµικό Γενικά δεν είναι εύκολο να προσδιορίσουµε αν ένα κατηγόρηµα ειναι ηµιγραµµικό.. Υπάρχει όµως ένας πιο εύκολος τροπος! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

59 Αριθµητική Presburger Ενα υποσύνολο του N k είναι ηµιγραµµικό ανν ειναι καθορίσιµο στην Presburger αριθµητική Η Presburger αριθµητική είναι ένα σύστηµα λογικών τύπων πρώτης τάξης που χρησιµοποιεί τα σύµβολα +, 0, 1,,,,,, =, <, (, ) και µεταβλητές εν περιλαµβάνει τον πολλαπλασιασµό Ετσι µερικά απο τα κατηγορηµατα που είδαµε πριν εκφραζονται ως: Πλειοψηφία: x 1 < x 2 mod3 : y : y + y + y = x 1 τουλάχιστον 40% κόκκινα : (x 1 + x 1 < x 0 + x 0 + x 0 ) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

60 Τι ξέρουµε Ενα κατηγόρηµα ειναι υπολογίσιµο απο το ϐασικό µοντέλο των PPs ανν: Είναι boolean συνδυασµός των κατηγορηµάτων mod και threshold ή είναι ηµιγραµµικό ή ειναι εκφράσιµο στην Presburger αριθµητική Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

61 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Στην συνέχεια... 1 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές 2 3 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

62 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Συνοψίζοντας Ορίσαµε λοιπόν το υπολογιστικό µοντέλο των Population Protocols Μεγάλο πλήθος πρακτορων Πολύ περιορισµένοι πόροι Παθητική Κίνηση Εχθρικός ροµολογητής και ικαιοσύνη Σταθεροποίηση Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

63 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Το επόµενο ϐήµα - 1 Κάναµε µινιµαλιστικές υποθέσεις για το ϐασικό µοντέλο των PPs Καταλαβαίνουµε ακριβώς τι µπορεί να υπολογιστεί Το επόµενο ϐήµα ειναι να ενισχύσουµε το ϐασικό µοντέλο µε ϱεαλιστικές υποθέσεις......και να προσπαθήσουµε να καταλάβουµε πως αυτές επηρρεάζουν την υπολογιστική του δύναµη Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

64 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Το επόµενο ϐήµα - 2 Εχουν προταθεί πολλές επεκτάσεις του ϐασικού µοντέλου, όπως: Mediated PPs: κάθε επικοινωνιακός δίαυλος(ακµή) ειναι εξοπλισµένος µε buffer µεγέθους O(1) µπορούµε πλέον να υπολογίσουµε και non-semilinear κατηγορήµατα PALOMA: κάθε πράκτορας έχει µνήµη µεγέθους O(logn) αλγόριθµος για κατασκευή UIDs Πολλή απο την παραπάνω δουλειά έχει γίνει από τους Π.Σπυράκη, Ι.Χατζηγιαννάκη, Ο.Μιχαήλ, Α.Παυλόγιαννη, Σ.Νικολάου, υπάρχει δηλαδή έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον στο τµήµα µας. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

65 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 1 Εστω C = C 0, C 1,... µία άπειρη εκτέλεση ενός PP A, το οποίο τρέχει σε γράφο αλληλεπιδράσεων G, F C το σύνολο των διαµορφώσεων που εµφανίζονται απείρως συχνά στην C και T FC ο υπογράφος του T(A, G) που επάγεται από το F C. Να δειχθεί ότι η εκτέλεση C είναι υπολογισµός αν και µόνο αν ο T FC είναι µία τελική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του T(A, G). Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

66 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 2 Εστω ο εξής εναλλακτικός ορισµός της δικαιοσύνης: Ολες οι αλληλεπιδράσεις συµβαίνουν απέιρως συχνά Επάγεται απο αυτόν τον ορισµό το ίδιο αποτέλεσµα µε τον ορισµό της δικαιοσύνης που ορίσαµε; Αν ναι, δικαιολογείστε; Αν όχι, δώστε αντιπαράδειγµα ώστε παράδειγµα δίκαιης εκτέλεσης όπου κάποια αλληλεπίδραση δεν συµβαίνει ποτέ. Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε το leader election σε ένα πολύ απλό δίκτυο Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

67 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 3 ώστε πρωτόκολλο υπολογισµού του παρακάτω κατηγορηµατος, αν X = {0, 1}: Υπάρχει Ϲυγός αριθµός κόµβων µε είσοδο 1 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την ιδέα του live bit, όπως αυτή παρουσιάστηκε στην ιαφάνεια 49 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

68 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 4 οθέντος PP A, αν Q είναι το σύνολο καταστάσεων του A και αν το A τρέχει σε πλήρη γράφο αλληλεπιδράσεων n κόµβων, να δειχθεί ότι υπάρχουν (1 + n Q 1 ) Q 1 διαφορετικές διαµορφώσεις Συνδυαστικής ϕυσεως πρόβληµα Αναγωγή στο πρόβληµα τοποθέτησης µπαλών σε κάδους ( ιακριτά 1) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

69 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 5 Να δειχθεί πως η κλάση των υπολογίσιµων κατηγορηµάτων είναι κλειστή ως προς τις πράξεις του συµπληρώµατος, της ένωσης και της τοµής Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

70 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 6 Στο µοντέλο MPP, οι ακµές έχουν πλέον µνήµη και άρα µπορούν να ϐρίσκονται σε κάποια κατάσταση. Εστω πως κάθε πράκτορας παίρνει είσοδο απο το X = {a, b, c} Να δώσετε πρωτόκολλο υπολογισµού του κατηγορήµατος πολλαπλασιασµού, δηλαδή αν N c = N a N b Υποθέστε πλήρες γράφηµα αλληλεπιδράσεων Σε ένα πλήρες γράφηµα, οι πράκτορες µε εισοδο a και οι πράκτορες µε εισοδο b έχουν ακριβώς N a N b ακµές µεταξύ τους Κάθε ακµή ϑα µπορεί να ϐρεθεί στις καταστάσεις marked, unmarked Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

71 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ευχαριστώ Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου / 71

Προηγούµενα Μαθήµατα. Πρωτόκολλα Πληθυσµών Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Προηγούµενα Μαθήµατα. Πρωτόκολλα Πληθυσµών Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Προηγούµενα Μαθήµατα Πρωτόκολλα Πληθυσµών Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές:

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: 2 Αποδείξεις Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: Εκδοση 2005/03/22 Εξαντλητική µέθοδος ή µέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβληµα έχει πεπερασµένες αριθµό περιπτώσεων τις εξετάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πρωτόκολλα Πληθυσµών

Πρωτόκολλα Πληθυσµών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΩΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μεταπτυχιακό ίπλωµα Ειδίκευσης Επιστήµη και Τεχνολογία Υπολογιστών ιπλωµατική Εργασία Πρωτόκολλα Πληθυσµών

Διαβάστε περισσότερα

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Σύνοψη 3 ης ιάλεξης

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Σύνοψη 3 ης ιάλεξης Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης Σύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Μοντελοποίηση Συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε Οµοφωνία σε σύστηµα µε αϖοτυχίες κατάρρευσης διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης Σύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Μοντελοποίηση Συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 8 5:-8: Σχεδιάστε έναν αισθητήρα (perceptron)

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Παρασκευή 9 Ιανουαρίου 2007 5:00-8:00 εδοµένου ότι η

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακές Εξαρτήσεις. Βάσεις εδοµένων Ευαγγελία Πιτουρά 1

Συναρτησιακές Εξαρτήσεις. Βάσεις εδοµένων Ευαγγελία Πιτουρά 1 Συναρτησιακές Εξαρτήσεις Βάσεις εδοµένων 2011-2012 Ευαγγελία Πιτουρά 1 Εισαγωγή Θεωρία για το πότε ένας σχεδιασµός είναι «καλός» Η θεωρία βασίζεται στις Συναρτησιακές Εξαρτήσεις (Functional Dependencies)

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο; Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών

Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 3 Απριλίου 2006 Μέθοδος Συνεχών Κλασµάτων. Θεωρητικό Υπόβαθρο Συνεχών Κλασµάτων Περίληψη Στο κοµµάτι αυτό ϑα περιγράψουµε µία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013)

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013) ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 14 Μαΐου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013)

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013) ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 5 Μαρτίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης

Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση με σφάλματα διεργασιών Κατανεμημένα Συστήματα Ι 5η Διάλεξη 10 Νοεμβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 5η Διάλεξη 1 Συναίνεση με σφάλματα διεργασιών Προηγούμενη διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 1ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 2/10/08 2/10/08 1 / 1 Γενικό πλάνο 1 Σχετικά µε το µάθηµα 2 Υποθεσεις -

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Τι είναι ένα Κατανεμημένο Σύστημα; Επικοινωνία, Χρονισμός, Σφάλματα Μοντέλο Ανταλλαγής Μηνυμάτων 1

Διαβάστε περισσότερα

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε 2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε Η εντολή Εκτύπωσε χρησιµοποιείται προκειµένου να εµφανίσουµε κάτι στην οθόνη του υπολογιστή. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και εντολή εξόδου. Ισοδύναµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί); Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /

Διαβάστε περισσότερα

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές:

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές: Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2005-2006 Εαρινό Εξάµηνο 1 η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση Αποτελεσµατικότητας Ανάκτησης) Άσκηση 1 (4 βαθµοί) Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα 13 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη 1 Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα 2 Το πρόβλημα εκλογής αρχηγού Ο αλγόριθμος LCR Ο αλγόριθμος HS 1 Σύγχρονα Κατανεμημένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής. Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015. Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2. Διδάσκων: E. Μαρκάκης

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής. Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015. Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2. Διδάσκων: E. Μαρκάκης Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015 Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2 Διδάσκων: E. Μαρκάκης Ταξινόµηση και Ουρές Προτεραιότητας Σκοπός της 2 ης εργασίας είναι η εξοικείωση

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο αισθητήρας (perceptron)

4. Ο αισθητήρας (perceptron) 4. Ο αισθητήρας (perceptron) Σκοπός: Προσδοκώµενα αποτελέσµατα: Λέξεις Κλειδιά: To µοντέλο του αισθητήρα (perceptron) είναι από τα πρώτα µοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν, και έδωσαν µεγάλη ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων

ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων Μαρία Ι. Ανδρέου ΗΜΥ417, ΗΜΥ 663 Κατανεµηµένα Συστήµατα Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007 Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα