Primjene fibriranih svežnjeva u C -algebrama
|
|
- Ευρυβία Γιάγκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Primjene fibriranih svežnjeva u C -algebrama Ilja Gogić PMF-MO, Sveučilište u Zagrebu & PMF-DMI, Univerzitet u Novom Sadu Seminar za geometriju, obrazovanje i vizualizaciju sa primenama Matematički institut SANU Beograd, 21. novembra Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
2 Neka je X LCH (lokalno kompaktan Hausdorffov) prostor i neka je C 0 (X ) skup svih neprekidnih funkcija f : X C koje trnu u, tj. za svako ε > 0 postoji kompaktan podskup K X takav da je f (x) < ε za sve x X \ K. C 0 (X ) postaje kompleksna -algebra uz standardne operacije po točkama (αf )(x) := α f (x) (f + g)(x) := f (x) + g(x) (f g)(x) := f (x) g(x) i involuciju f (x) := f (x), gdje su f, g C 0 (X ), α C te x X. C 0 (X ) možemo opskrbiti sa sup-normom f := sup{ f (x) : x X }, Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
3 s obzirom na koju C 0 (X ) postaje Banachov prostor. Sup-norma je očito submultiplikativna, tj. f g f g. Drugim riječima, C 0 (X ) je uz sup-normu Banachova algebra. Ukoliko uzmemo u obzir i involuciju, sup-norma zadovoljava i sljedeće, tzv. C -svojstvo: f f = f 2. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
4 s obzirom na koju C 0 (X ) postaje Banachov prostor. Sup-norma je očito submultiplikativna, tj. f g f g. Drugim riječima, C 0 (X ) je uz sup-normu Banachova algebra. Ukoliko uzmemo u obzir i involuciju, sup-norma zadovoljava i sljedeće, tzv. C -svojstvo: f f = f 2. Napomena Algebra C 0 (X ) je komutativna, tj. vrijedi f g = g f za sve f, g C 0 (X ). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
5 s obzirom na koju C 0 (X ) postaje Banachov prostor. Sup-norma je očito submultiplikativna, tj. f g f g. Drugim riječima, C 0 (X ) je uz sup-normu Banachova algebra. Ukoliko uzmemo u obzir i involuciju, sup-norma zadovoljava i sljedeće, tzv. C -svojstvo: f f = f 2. Napomena Algebra C 0 (X ) je komutativna, tj. vrijedi f g = g f za sve f, g C 0 (X ). Što dobivamo ako ispustimo komutativnost? Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
6 Definicija C -algebra je kompleksna Banachova -algebra A čija norma zadovoljava C -svojstvo. Drugim riječima: A je algebra nad C. A je opskrbljena s involucijom, tj. s preslikavanjem : A A, a a, koje zadovoljava sljedeća svojstva: (αa + βb) = αa + βb, (ab) = b a, te (a ) = a, za sve a, b A i α, β C. A je uz normu normirana algebra, tj. vrijedi za sve a, b A. a b a b A je s obzirom na normu Banachov prostor. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
7 Definicija (Nastavak) Norma zadovoljava C -svojstvo, tj. vrijedi a a = a 2 za sve a A. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
8 Definicija (Nastavak) Norma zadovoljava C -svojstvo, tj. vrijedi za sve a A. a a = a 2 Morfizme u kategoriji C -algebri sačinjavaju tzv. -homomorfizmi, tj. multiplikativna linearna preslikavanja φ : A B koja čuvaju involuciju. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
9 Definicija (Nastavak) Norma zadovoljava C -svojstvo, tj. vrijedi a a = a 2 za sve a A. Morfizme u kategoriji C -algebri sačinjavaju tzv. -homomorfizmi, tj. multiplikativna linearna preslikavanja φ : A B koja čuvaju involuciju. Propozicija Neka je φ : A B -homomorfizam izmedu C -algebri A i B. φ je kontrakcija (tj. φ(a) a za sve a A). φ(a) je C -podalgebra od B (naglasak na zatvorenosti). Ako je φ injekcija, tada je φ izometrija. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
10 C -algebre i kvantna mehanika U kvantnoj mehanici se fizikalni sistem obično opisuje s unitalnom C -algebrom A. Pritom: Observable čini skup svih hermitskih elemenata u A (tj. elementi a A za koje je a = a); one predstavljaju izmjerive vrijednosti sistema A. Stanja na A su definirana kao pozitivni funkcionali na A (tj. linearna preslikavanja ω : A C koja zadovoljavaju ω(a a) 0 za sve a A) za koje je ω(1 A ) = 1. Ako je sistem u stanju ω, tada je ω(a) očekivana vrijednost observable a. Ovakav C -algebarski pristup se koristi u Haag-Kastlerovoj aksiomatizaciji lokalne kvantne teorije polja, gdje je svakom otvorenom podskupu prostorno vremenskog kontinuuma Minkowskog pridružena neka C -algebra. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
11 Primjer Ako je X LCH prostor, tada je C 0 (X ) (uz sup-normu) komutativna C -algebra. Algebra C 0 (X ) je unitalna ako i samo ako je X kompaktan prostor. U tom slučaju je C 0 (X ) = C(X ). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
12 Primjer Ako je X LCH prostor, tada je C 0 (X ) (uz sup-normu) komutativna C -algebra. Algebra C 0 (X ) je unitalna ako i samo ako je X kompaktan prostor. U tom slučaju je C 0 (X ) = C(X ). Neka je sada A općenita unitalna komutativna C -algebra. Označimo s X = X (A) prostor svih karaktera na A, tj. skup svih unitalnih multiplikativnih linearnih funkcionala χ : A C. Svaki karakter χ na A je ograničen s χ = 1, pa imamo X Ball(A ). Štoviše, X je w -zatvoren podskup od Ball(A ), pa je kao takav kompaktan (Banach-Alaogluov teorem). Za a A definirajmo funkciju â : X C s â(χ) := χ(a). Tada je â C(X ) za sve a A. Geljfandova transformacija od A je funkcija G A : A C(X ) definirana s G(a) := â. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
13 Teorem (komutativni Geljfand-Naimarkov teorem) Ako je A unitalna komutativna C -algebra, tada je Geljfandova transofmacija G A izometrički -izomorfizam s A na C(X (A)). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
14 Teorem (komutativni Geljfand-Naimarkov teorem) Ako je A unitalna komutativna C -algebra, tada je Geljfandova transofmacija G A izometrički -izomorfizam s A na C(X (A)). U terminima teorije kategorija: Neka je CH kategorija čiji su objekti svi kompaktni Hausdorffovi prostori, a morfizmi neprekidne funkcije. Neka je UKC kategorija čiji su objekti sve unitalne komutativne C -algebre, a morfizmi unitalni -homomorfizmi. Definirajmo dva kontravarijantna funktora C : CH UKC i X : UKC CH na sljedeći način: Funktor C prevodi CH prostor X u unitalnu komutativnu C -algebru C(X ), a neprekidnu funkciju F : X Y u unitalni -homomorfizam C(F ) : C(Y ) C(X ), C(F )(f ) := f F. Funktor X prevodi unitalnu komutativnu C -algebru A u CH prostor X (A), a unitalni -homomorfizam φ : A B u neprekidnu funkciju X (φ) : X (B) X (A), X (φ)(χ) := χ φ. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
15 U terminima teorije kategorija (nastavak): Za x X označimo s ɛ x pripadni evaluacijski karakter na C(X ), ɛ x : f f (x) i definirajmo preslikavanje ɛ X : X X (C(X )) s ɛ X : x ɛ X. Tada se lako provjeri da sljedeći dijagrami komutiraju: X ɛ X X (C(X )) f Y ɛ Y X (C(f )) X (C(Y )) A G A C(X (A)) φ B G B C(X (φ)) C(X (B)) Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
16 U terminima teorije kategorija (nastavak): Za x X označimo s ɛ x pripadni evaluacijski karakter na C(X ), ɛ x : f f (x) i definirajmo preslikavanje ɛ X : X X (C(X )) s ɛ X : x ɛ X. Tada se lako provjeri da sljedeći dijagrami komutiraju: X ɛ X X (C(X )) f Y ɛ Y X (C(f )) X (C(Y )) A G A C(X (A)) φ B G B C(X (φ)) C(X (B)) Korolar X C = id CH i C X = id UKC (prirodni izomorfizam funktora). Dakle, kategorije CH i UKC su medusobno dualne. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
17 Pitanje Možemo li ovu dualnost proširiti do dualnosti izmedu kategorija LCH lokalno kompaktnih Hausdorffovih prostora i KC komutativnih C -algebri? Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
18 Pitanje Možemo li ovu dualnost proširiti do dualnosti izmedu kategorija LCH lokalno kompaktnih Hausdorffovih prostora i KC komutativnih C -algebri? Odgovor Možemo, no trebamo biti oprezni pri izboru odgovarajućih morfizama. Naime ako za morfizme u LCH uzmemo pravilna neprekidna preslikavanja, a za morfizme u KC nedegenerirane -homomorfizme, tada se može pokazati da su kategorije LCH i KC zaista dualne. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
19 Pitanje Možemo li ovu dualnost proširiti do dualnosti izmedu kategorija LCH lokalno kompaktnih Hausdorffovih prostora i KC komutativnih C -algebri? Odgovor Možemo, no trebamo biti oprezni pri izboru odgovarajućih morfizama. Naime ako za morfizme u LCH uzmemo pravilna neprekidna preslikavanja, a za morfizme u KC nedegenerirane -homomorfizme, tada se može pokazati da su kategorije LCH i KC zaista dualne. Zaključak Dakle, prelaskom s LCH prostora X na funkcijsku algebru C 0 (X ) nije izgubljena niti jedna topološka informacija prostora X. Radi toga, mnoge topološke pojmove, svojstva i konstrukcije možemo formulirati u terminima C -algebri, bez pozivanja na komutativnost ili na inherentni prostor. Na taj način dobivamo njihove direktne (nekomutativne) generalizacije. Neki od tih primjera su ilustrirani sljedećom tablicom. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
20 TOPOLOGIJA otvoren podskup otvoren gust podskup zatvoren podskup homeomorfizam kompaktnost povezanost Kartezijev produkt kompaktifikacija vjerojatnosna mjera Lebesgueova dimenzija topološka K-teorija C -ALGEBRE zatvoren ideal esencijalni zatovren ideal kvocijentna algebra -automorfizam unitalnost algebra bez projektora prostorni tenzorski produkt unitizacija stanje nuklearna dimenzija K-teorija za C -algebre Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
21 TOPOLOGIJA otvoren podskup otvoren gust podskup zatvoren podskup homeomorfizam kompaktnost povezanost Kartezijev produkt kompaktifikacija vjerojatnosna mjera Lebesgueova dimenzija topološka K-teorija C -ALGEBRE zatvoren ideal esencijalni zatovren ideal kvocijentna algebra -automorfizam unitalnost algebra bez projektora prostorni tenzorski produkt unitizacija stanje nuklearna dimenzija K-teorija za C -algebre Radi toga na nekomutativne C -algebre možemo gledati kao na algebre funkcija na nekomutativnim prostorima, koji ne postoje u klasičnom smislu. U tom kontekstu se teorija C -algebri smatra nekomutativnom topologijom. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
22 Osnovni primjeri C -algebri Matrične algebre M n = M n (C) nad C s euklidskom operatorskom normom su C -algebre. Štoviše, svaka konačno-dimenzionalna C -algebra je (do na -izomorfizam) konačna direktna suma matričnih algebri. Algebra B(H) svih ograničenih operatora na Hilbertovom prostoru H je C -algebra uz uobičajene operacije, adjungiranje te operatorsku normu. Ako je A C -algebra i X LCH prostor, tada je C 0 (X, A) C -algebra uz operacije po točkama i sup-normu. Svakoj lokalno kompaktnoj grupi G možemo pridružiti C -algebru C (G). Sve o teoriji reprezentacija od G je kodirano u C (G). Topološki dinamički sistem se sastoji od kompaktnog prostora X, lokalno kompaktne grupe G i neprekidnog djelovanja grupa α : G X. Takvoj trojci (X, α, G) možemo pridružiti transformacijsku grupovnu C -algebru C(X ) α G. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
23 Definicija Reprezentacija C -algebre A je -homomorfizam π : A B(H π ), gdje je H π Hilbertov prostor. Pod dimenzijom od π podrazumijevamo dimenziju od H π. Za reprezentaciju π kažemo da je: vjerna ako je π injekcija (izometrija). ireducibilna ako π nema netrivijalnih invarijantnih potprostora, tj. ako je K (zatvoren) potprostor od H π takav da je π(a)k K, tada je nužno K = {0} ili K = H π. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
24 Definicija Reprezentacija C -algebre A je -homomorfizam π : A B(H π ), gdje je H π Hilbertov prostor. Pod dimenzijom od π podrazumijevamo dimenziju od H π. Za reprezentaciju π kažemo da je: vjerna ako je π injekcija (izometrija). ireducibilna ako π nema netrivijalnih invarijantnih potprostora, tj. ako je K (zatvoren) potprostor od H π takav da je π(a)k K, tada je nužno K = {0} ili K = H π. Teorem (Nekomutativni Geljfand-Naimarkov teorem) Svaka C -algebra dopušta vjernu reprezentaciju. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
25 Definicija Reprezentacija C -algebre A je -homomorfizam π : A B(H π ), gdje je H π Hilbertov prostor. Pod dimenzijom od π podrazumijevamo dimenziju od H π. Za reprezentaciju π kažemo da je: vjerna ako je π injekcija (izometrija). ireducibilna ako π nema netrivijalnih invarijantnih potprostora, tj. ako je K (zatvoren) potprostor od H π takav da je π(a)k K, tada je nužno K = {0} ili K = H π. Teorem (Nekomutativni Geljfand-Naimarkov teorem) Svaka C -algebra dopušta vjernu reprezentaciju. Napomena Radi prethodnog teorema, C -algebru možemo (konkretno) definirati kao uniformno zatvorenu samoadjungiranu podalgebru od B(H), gdje je H Hilbertov prostor. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
26 Definicija Neka je A C -algebra. Za ideal P u A kažemo da je primitivan ako je on jezgra neke ireducibilne reprezentacije od A. Skup svih primitivnih ideala u A označavamo s Prim(A). Prim(A) opskrbljujemo s Jacobsonovom topologijom: Otvorene skupove u Prim(A) čine skupovi oblika {P Prim(A) : I P}, gdje I prolazi po skupu obostranih zatvorenih ideala u A. Za Prim(A) snabdjeven s Jacobsonovom topologijom kažemo da je primitivni spektar od A. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
27 Primjer Neka je A = C 0 (X ), gdje je X LCH prostor. Za točku x X stavimo C x (X ) := {f C 0 (X ) : f (x) = 0}. Tada je Prim(C 0 (X )) = {C x (X ) : x X }. Nadalje podskup F X je zatvoren u X ako i samo ako je pripadni podskup {C x (X ) : x F } zatvoren u Prim(C 0 (X )). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
28 Primjer Neka je A = C 0 (X ), gdje je X LCH prostor. Za točku x X stavimo C x (X ) := {f C 0 (X ) : f (x) = 0}. Tada je Prim(C 0 (X )) = {C x (X ) : x X }. Nadalje podskup F X je zatvoren u X ako i samo ako je pripadni podskup {C x (X ) : x F } zatvoren u Prim(C 0 (X )). Napomena Prim(A) je uvijek lokalno kompaktan T 0 -prostor. No općenito, Prim(A) ne mora biti T 1. Ako je C -algebra A unitalna, tada je Prim(A) kompaktan. Obrat općenito ne vrijedi. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
29 Ako je A C -algebra bez jedinice, tada A možemo na nekoliko načina uložiti u unitalnu C -algebru koja sadrži A kao esencijalni ideal. Najveća medu njima je tzv. multiplikatorska algebra M(A). Ona je nekomutativni analogon Stone-Čechovljeve kompaktifikacije. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
30 Ako je A C -algebra bez jedinice, tada A možemo na nekoliko načina uložiti u unitalnu C -algebru koja sadrži A kao esencijalni ideal. Najveća medu njima je tzv. multiplikatorska algebra M(A). Ona je nekomutativni analogon Stone-Čechovljeve kompaktifikacije. Svaka C -algebra A postaje modul nad algebrom C b (Prim(A)) ograničenih neprekidnih kompleksnih funkcija na Prim(A). O tome govori sljedeći bitan teorem: Teorem (Dauns-Hofmannov teorem) Neka je A C -algebra. Tada postoji jedinstven -izomorfizam Φ A s C b (Prim(A)) na centar ZM(A) od M(A) takav da vrijedi Φ A (f )a + P = f (P)(a + P) (jednakost u A/P) za sve f C b (Prim(A)), a A i P Prim(A). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
31 Definicija Za C -algebru A kažemo da je homogena ako su sve ireducibilne reprezentacije od A n-dimenzionalne (n je prirodan broj). Ukoliko ćemo htjeti naglasiti broj n, onda ćemo reći da je A n-homogena C -algebra. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
32 Definicija Za C -algebru A kažemo da je homogena ako su sve ireducibilne reprezentacije od A n-dimenzionalne (n je prirodan broj). Ukoliko ćemo htjeti naglasiti broj n, onda ćemo reći da je A n-homogena C -algebra. Propozicija Ako je A homogena C -algebra, tada je Prim(A) (lokalno kompaktan) Hausdorffov prostor. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
33 Definicija Za C -algebru A kažemo da je homogena ako su sve ireducibilne reprezentacije od A n-dimenzionalne (n je prirodan broj). Ukoliko ćemo htjeti naglasiti broj n, onda ćemo reći da je A n-homogena C -algebra. Propozicija Ako je A homogena C -algebra, tada je Prim(A) (lokalno kompaktan) Hausdorffov prostor. Primjer C -algebra A je 1-homogena ako i samo ako je A komutativna. Posebno, svaka 1-homogena C -algebra je oblika A = C 0 (X ) za neki LCH prostor X. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
34 Definicija Za C -algebru A kažemo da je homogena ako su sve ireducibilne reprezentacije od A n-dimenzionalne (n je prirodan broj). Ukoliko ćemo htjeti naglasiti broj n, onda ćemo reći da je A n-homogena C -algebra. Propozicija Ako je A homogena C -algebra, tada je Prim(A) (lokalno kompaktan) Hausdorffov prostor. Primjer C -algebra A je 1-homogena ako i samo ako je A komutativna. Posebno, svaka 1-homogena C -algebra je oblika A = C 0 (X ) za neki LCH prostor X. Primjer Ako je X LCH prostor, tada je C -algebra C 0 (X, M n ) n-homogena. Za algebre tog oblika kažemo da su trivijalne n-homogene C -algebre. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
35 Netrivijalne primjere n-homogenih C -algebri dobivamo kao algebre prereza fibriranih svežnjeva s vlaknom M n i strukturnom grupom G = Aut(M n ). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
36 Netrivijalne primjere n-homogenih C -algebri dobivamo kao algebre prereza fibriranih svežnjeva s vlaknom M n i strukturnom grupom G = Aut(M n ). Fibrirani svežnjevi Prisjetimo se, ako su E, X i F topološki prostori, p : E X neprekidna surjekcija te G topološka grupa koja djeluje neprekidno na prostoru F, tada za petorku (E, X, F, p, G) kažemo da je fibrirani svežanj s baznim prostorom X, totalnim prostorom E, vlaknom F i strukturnom grupom G ako postoji otvoreni pokrivač {U i } od X (tzv. atlas) te homeomorfizmi φ i : U i F p 1 (U i ) koji čuvaju vlakna, tj. za koje dijagram U i F φ i> p 1 (U i ) proj 1 < p komutira, pri čemu su tranzicijske funkcije U i Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
37 Fibrirani svežnjevi (nastavak) oblika φ ji := (φ 1 j φ i ) Ui U j : (U i U j ) F (U i U j ) F φ ji (x, ξ) = (x, φ ji (x)(ξ)), za neprekidne funkcije φ ji : U i U j G koje formiraju Čechov 1-kociklus, tj. φ ii e na U i i φ ij φ jk φ ki e na U i U j U k. Funkcije φ ji se takoder zovu tranzicijske funkcije. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
38 Fibrirani svežnjevi (nastavak) oblika φ ji := (φ 1 j φ i ) Ui U j : (U i U j ) F (U i U j ) F φ ji (x, ξ) = (x, φ ji (x)(ξ)), za neprekidne funkcije φ ji : U i U j G koje formiraju Čechov 1-kociklus, tj. φ ii e na U i i φ ij φ jk φ ki e na U i U j U k. Funkcije φ ji se takoder zovu tranzicijske funkcije. Za svaku točku x X praslika E x := p 1 (x) je homeomorfna s F. Za E x kažemo da je vlakno nad x. Ako su bazni prostor X i projekcija p fiksirani, tada često koristimo oznaku E za cijelu petorku (E, X, F, p, G). Ukoliko želimo istaknuti strukturnu grupu G, onda ćemo kraće reći da je E G-svežanj. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
39 Primjer Osnovni primjer fibriranog svežnja je produktni svežanj E = X F, gdje je p projekcija na prvu koordinatu, a G = {e}. Istaknutu klasu fibriranih svežnjeva nad X čine prostori natkrivanja od X. To su fibrirani svežnjevi nad X čije je vlakno F diskretan prostor. U tom slučaju je svaki U i F homeomorfan disjunktnoj uniji od F kopija od U i. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
40 Primjer Osnovni primjer fibriranog svežnja je produktni svežanj E = X F, gdje je p projekcija na prvu koordinatu, a G = {e}. Istaknutu klasu fibriranih svežnjeva nad X čine prostori natkrivanja od X. To su fibrirani svežnjevi nad X čije je vlakno F diskretan prostor. U tom slučaju je svaki U i F homeomorfan disjunktnoj uniji od F kopija od U i. Definicija Za dva G-svežnja E i E s istim baznim prostorom X kažemo da su izomorfna i pišemo E = E ako postoji homeomorfizam φ : E E takav da za sve x X vrijedi φ(e x ) = E x i inducirano preslikavanje φ Ex : E x E x pripada grupi G. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
41 Primjer Osnovni primjer fibriranog svežnja je produktni svežanj E = X F, gdje je p projekcija na prvu koordinatu, a G = {e}. Istaknutu klasu fibriranih svežnjeva nad X čine prostori natkrivanja od X. To su fibrirani svežnjevi nad X čije je vlakno F diskretan prostor. U tom slučaju je svaki U i F homeomorfan disjunktnoj uniji od F kopija od U i. Definicija Za dva G-svežnja E i E s istim baznim prostorom X kažemo da su izomorfna i pišemo E = E ako postoji homeomorfizam φ : E E takav da za sve x X vrijedi φ(e x ) = E x i inducirano preslikavanje φ Ex : E x E x pripada grupi G. Za fibrirani svežanj koji je izomorfan produktnom svežnju X F kažemo da je trivijalan. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
42 Primjer Osnovni primjer netrivijalnog fibriranog svežnja je Möbiusova vrpca, kao svežanj nad kružnicom S 1, vlaknom [ 1, 1] i strukturnom grupom Z/2Z = {±id}. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
43 Primjer Osnovni primjer netrivijalnog fibriranog svežnja je Möbiusova vrpca, kao svežanj nad kružnicom S 1, vlaknom [ 1, 1] i strukturnom grupom Z/2Z = {±id}. Definicija Neka je E G-svežanj nad Y s vlaknom F. Za neprekidno preslikavanje f : X Y definiramo f E := {(x, ξ) X E : f (x) = p(ξ)} te ga opskrbimo s relativnom topologijim. Definirajmo preslikavanje p : f E X s p(x, ξ) := x. Tada f E postaje G-svežanj s baznim prostorom X i vlaknom F. Naime, ako su φ ji tranzicijske funkcije od E, tada su f φ ji := φ ji f tranzicijske funkcije od f E. Za f E kažemo da je inducirani svežanj od E preko f (eng. pullback bundle). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
44 Imamo sljedeći bitan rezultat: Teorem Ako su dva neprekidna preslikavanja f, g : X Y homotopna, tada su inducirani svežnjevi f E i f F izomorfni. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
45 Imamo sljedeći bitan rezultat: Teorem Ako su dva neprekidna preslikavanja f, g : X Y homotopna, tada su inducirani svežnjevi f E i f F izomorfni. Dakle, ako s Bun(X, G) označimo klase izomorfizama G-svežnjeva nad X te s [X, Y ] homotopske klase neprekidnih preslikavanja f : X Y, tada je s [E] [f E], Bun(Y, G) Bun(X, G) dobro definirano preslikavanje. Posebno, ako su prostori X i Y homotopski ekvivalentni, tada imamo bijekciju s Bun(X, G) na Bun(Y, G). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
46 Imamo sljedeći bitan rezultat: Teorem Ako su dva neprekidna preslikavanja f, g : X Y homotopna, tada su inducirani svežnjevi f E i f F izomorfni. Dakle, ako s Bun(X, G) označimo klase izomorfizama G-svežnjeva nad X te s [X, Y ] homotopske klase neprekidnih preslikavanja f : X Y, tada je s [E] [f E], Bun(Y, G) Bun(X, G) dobro definirano preslikavanje. Posebno, ako su prostori X i Y homotopski ekvivalentni, tada imamo bijekciju s Bun(X, G) na Bun(Y, G). Posebno, budući da je svaki svežanj nad jednotočkovnim prostorom trivijalan, imamo: Korolar Svaki fibrirani svežanj nad kontraktibilnim prostorom je trivijalan. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
47 Prerez svežnja E je svaka neprekidna funkcija s : X E takva da je s(x) E x za sve x X. Skup svih prereza od E označavamo s Γ(E). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
48 Prerez svežnja E je svaka neprekidna funkcija s : X E takva da je s(x) E x za sve x X. Skup svih prereza od E označavamo s Γ(E). Istaknutu klasu fibriranih svežnjeva čine vektorski i algebarski svežnjevi: Vektorski svežnjevi Ako je F = C n sa standardnim skalarnim produktom i ako za strukturnu grupu uzmemo grupu U(n) unitarnih transformacija od C n, tada se takav fibrirani svežanj E zove vektorski svežanj. Ako je bazni prostor X lokalno kompaktan, tada skup Γ 0 (E) svih prereza od E koji trnu u postaje Banachov C b (X )-modul, uz operacije po vlaknima, normu s := sup{ s(x) : x X } (s Γ 0 (E)) i C b (X )-djelovanje (f s)(x) := f (x)s(x) (f C b (X ), s Γ 0 (E)). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
49 Algebarski svežnjevi Ako je F = M n i ako za strukturnu grupu uzmemo grupu Aut(M n ) svih -automorfizama od M n, tada za takav svežanj kažemo da je algebarski svežanj. Budući da je svaki -automorfizam od M n unutrašnji, tj. oblika a uau za neku unitarnu matricu u U(n) i budući da jedino unitarne matrice iz {λi : λ S 1 } = S 1 komutiraju sa svim matricama iz M n, imamo identifikaciju Aut(M n ) = PU(n) := U(n)/S 1. Upravo razlike izmedu grupa U(n) i PU(n) generiraju razlike izmedu teorija vektorskih i algebarskih svežnjeva. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
50 Algebarski svežnjevi Ako je F = M n i ako za strukturnu grupu uzmemo grupu Aut(M n ) svih -automorfizama od M n, tada za takav svežanj kažemo da je algebarski svežanj. Budući da je svaki -automorfizam od M n unutrašnji, tj. oblika a uau za neku unitarnu matricu u U(n) i budući da jedino unitarne matrice iz {λi : λ S 1 } = S 1 komutiraju sa svim matricama iz M n, imamo identifikaciju Aut(M n ) = PU(n) := U(n)/S 1. Upravo razlike izmedu grupa U(n) i PU(n) generiraju razlike izmedu teorija vektorskih i algebarskih svežnjeva. Primjer Ako je E algebarski M n -svežanj nad LCH prostorom X, tada je Γ 0 (E) n-homogena C -algebra (uz već definirane operacije i normu, te množenje i involuciju po vlaknima) i Prim(Γ 0 (E)) = X. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
51 Štoviše, na taj način dobivamo sve n-homogene C -algebre: Teorem (Fell, Tomiyama-Takesaki 1961) Neka je A n-homogena C -algebra. Tada algebri A možemo pridružiti algebarski M n -svežanj E nad X = Prim(A) takav da je A -izomorfna C -algebri Γ 0 (E). Štoviše, dvije takve C -algebre A i = Γ 0 (E i ) sa primitivnim spektrima X i su -izomorfne ako i samo ako su pripadni svežnjevi E i ekvivalentni, u smislu da postoji homeomorfizam f : X 1 X 2 takav da je E 1 = f E 2 (izomorfizam svežnjeva nad X 1 ). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
52 Štoviše, na taj način dobivamo sve n-homogene C -algebre: Teorem (Fell, Tomiyama-Takesaki 1961) Neka je A n-homogena C -algebra. Tada algebri A možemo pridružiti algebarski M n -svežanj E nad X = Prim(A) takav da je A -izomorfna C -algebri Γ 0 (E). Štoviše, dvije takve C -algebre A i = Γ 0 (E i ) sa primitivnim spektrima X i su -izomorfne ako i samo ako su pripadni svežnjevi E i ekvivalentni, u smislu da postoji homeomorfizam f : X 1 X 2 takav da je E 1 = f E 2 (izomorfizam svežnjeva nad X 1 ). Problem klasifikacije Za dani CH prostor X odrediti broj neizomorfnih klasa n-homogenih C -algebri čiji je primitivni spektar homeomorfan s X. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
53 Štoviše, na taj način dobivamo sve n-homogene C -algebre: Teorem (Fell, Tomiyama-Takesaki 1961) Neka je A n-homogena C -algebra. Tada algebri A možemo pridružiti algebarski M n -svežanj E nad X = Prim(A) takav da je A -izomorfna C -algebri Γ 0 (E). Štoviše, dvije takve C -algebre A i = Γ 0 (E i ) sa primitivnim spektrima X i su -izomorfne ako i samo ako su pripadni svežnjevi E i ekvivalentni, u smislu da postoji homeomorfizam f : X 1 X 2 takav da je E 1 = f E 2 (izomorfizam svežnjeva nad X 1 ). Problem klasifikacije Za dani CH prostor X odrediti broj neizomorfnih klasa n-homogenih C -algebri čiji je primitivni spektar homeomorfan s X. Prema prethodnom teoremu, problem klasifikacije n-homogenih C -algebri nad X ekvivalentan je problemu klasifikacije algebarskih svežnjeva nad X. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
54 Teorem ekvivalencije Dva svežnja s istim baznim prostorom, vlaknom i strukturnom grupom su ekvivalentna ako i samo ako su njihovi asocirani glavni svežnjevi ekvivalentni. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
55 Teorem ekvivalencije Dva svežnja s istim baznim prostorom, vlaknom i strukturnom grupom su ekvivalentna ako i samo ako su njihovi asocirani glavni svežnjevi ekvivalentni. Dakle, problem klasifikacije n-homogenih C -algebri A s Prim(A) = X ekvivalentan je problemu klasifikacije glavnih PU(n)-svežnjeva nad X. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
56 Teorem ekvivalencije Dva svežnja s istim baznim prostorom, vlaknom i strukturnom grupom su ekvivalentna ako i samo ako su njihovi asocirani glavni svežnjevi ekvivalentni. Dakle, problem klasifikacije n-homogenih C -algebri A s Prim(A) = X ekvivalentan je problemu klasifikacije glavnih PU(n)-svežnjeva nad X. Za n = 1 problem je naravno trivijalan, jer tu riječ o komutativnim C -algebrama s primitivnim spektrom X, a svaka takva algebra je -izomorfna funkcijskoj algebri C 0 (X ). Takoder ako je CH prostor X kontraktibilan ili 0-dimenzionalan, tada je svaka homogena C -algebra A s Prim(A) = X trivijalna. S druge strane, za n > 1 opći problem klasifikacije postaje vrlo kompliciran i vodi u teška pitanja iz neabelove kohomologije. Odgovori se znaju samo neke niskodimenzionalne CW-komplekse kao npr. za k-sfere S k i k-toruse T k. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
57 Za klasifikaciju algebarskih svežnjeva nad prostorima oblika Σ(X ) (Σ je operator suspenzije) možemo koristiti sljedeći teorem: Teorem klasifikacije Pretpostavimo da je grupa G putevima povezana. Tada postoji bijekcija izmedu klasa ekvivalencije G-svežnjeva nad Σ(X ) i klasa homotopije [X, G]. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
58 Za klasifikaciju algebarskih svežnjeva nad prostorima oblika Σ(X ) (Σ je operator suspenzije) možemo koristiti sljedeći teorem: Teorem klasifikacije Pretpostavimo da je grupa G putevima povezana. Tada postoji bijekcija izmedu klasa ekvivalencije G-svežnjeva nad Σ(X ) i klasa homotopije [X, G]. Posebno, budući da je Σ(S k 1 ) = S k, dobivamo: Korolar Ako je grupa G putevima povezana, tada su klase ekvivalencije G-svežnjeva nad S k sa strukturnom grupom G u bijekciji s elementima k 1-homotopske grupe π k 1 (G). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
59 Za klasifikaciju algebarskih svežnjeva nad prostorima oblika Σ(X ) (Σ je operator suspenzije) možemo koristiti sljedeći teorem: Teorem klasifikacije Pretpostavimo da je grupa G putevima povezana. Tada postoji bijekcija izmedu klasa ekvivalencije G-svežnjeva nad Σ(X ) i klasa homotopije [X, G]. Posebno, budući da je Σ(S k 1 ) = S k, dobivamo: Korolar Ako je grupa G putevima povezana, tada su klase ekvivalencije G-svežnjeva nad S k sa strukturnom grupom G u bijekciji s elementima k 1-homotopske grupe π k 1 (G). Posebno, kako je π 1 (PU(n)) = Z/nZ za sve n N, imamo ukupno n neizomorfnih klasa n-homogenih C -algebri s primitivnim spektrom S 2. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
60 Algebarski M n -svežnjevi nad S 2 Označimo redom s S 2 + i S 2 gornju i donju zatvorenu polusferu. Imamo S 2 + S 2 = S 1 i za tranzicijsku funkciju φ 2,1 uzmimo neprekidnu funkciju V : S 1 PU(n). Neka je E svežanj nad S 2 s atlasom {S 2 +, S 2 } i tranzicijskom funkcijom V. Dva svežnja E i E definirana s tranzicijskim funkcijama V i V su ekvivalentna ako i samo ako vrijedi ind(v ) ind(v ) = nl (l Z), gdje je ind(v ) = (2π) 1 [arg det V (t)] S 1 obrtni broj funkcije V s obzirom na kružnicu S 1. Za svako 0 j n 1 definirajmo tranzicijsku funkciju V j : S 1 U(n), V j : z diag(z j, 1,..., 1). Tada su svežnjevi E j definirani s V j predstavnici svih n klasa ekvivalencije. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
61 Više homotopske grupe π k (PU(n)) Za k 2 imamo π k (PU(n)) = π k (SU(n)) = π k (U(n)), pa za opis viših homotopskih grupa od PU(n) možemo koristiti Bottovu periodičnost od U(n): Za k > 1 i n k+1 2 imamo { π k (U(n)) 0 : k paran = Z : k neparan. Borel-Hirzebruchov teorem: Za sve n N imamo π 2n (U(n)) = Z/n!Z. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
62 Npr. za 1 k 7 i 1 n 10 imamo sljedeću tablicu: Broj neizomorfnih klasa n-homogenih C -algebri s Prim(A) = S k M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 M 10 S S S S 4 1 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 S S ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 S Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
63 Npr. za 1 k 7 i 1 n 10 imamo sljedeću tablicu: Broj neizomorfnih klasa n-homogenih C -algebri s Prim(A) = S k M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 M 10 S S S S 4 1 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 S S ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 S S druge strane, imamo sljedeću interesantnu činjenicu: Teorem (Antonevič-Krupnik, 2000) Svaki algebarski svežanj nad S k je trivijalan kao vektorski svežanj. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
64 Na svaku C -algebru možemo gledati kao na Banachov modul nad centrom ZM(A) svoje multiplikatorske algebre, pri čemu ZM(A) djeluje na elemente od A (lijevim) množenjem. Taj modul ćemo kraće označiti s Z A. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
65 Na svaku C -algebru možemo gledati kao na Banachov modul nad centrom ZM(A) svoje multiplikatorske algebre, pri čemu ZM(A) djeluje na elemente od A (lijevim) množenjem. Taj modul ćemo kraće označiti s Z A. Banachovi moduli Z A imaju interesatna svojstva, npr. oni su lokalno konveksni. To znači da za svaka dva pozitivna elementa z 1, z 2 ZM(A) s z 1 + z 2 = 1 te proizvoljne a 1, a 2 A vrijedi z 1 a 1 + z 2 a 2 max{ a 1, a 2 }. Lokalno konveksni moduli nad komutativnim C -algebrama su posebno interesantni, jer oni niču kao moduli prereza tzv. Hofmannovih svežnjeva. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
66 Na svaku C -algebru možemo gledati kao na Banachov modul nad centrom ZM(A) svoje multiplikatorske algebre, pri čemu ZM(A) djeluje na elemente od A (lijevim) množenjem. Taj modul ćemo kraće označiti s Z A. Banachovi moduli Z A imaju interesatna svojstva, npr. oni su lokalno konveksni. To znači da za svaka dva pozitivna elementa z 1, z 2 ZM(A) s z 1 + z 2 = 1 te proizvoljne a 1, a 2 A vrijedi z 1 a 1 + z 2 a 2 max{ a 1, a 2 }. Lokalno konveksni moduli nad komutativnim C -algebrama su posebno interesantni, jer oni niču kao moduli prereza tzv. Hofmannovih svežnjeva. Definicija Za C -algebru A kažemo da je konačno centralno generirana (KCG) ako je modul Z A konačno generiran. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
67 Problem Karakterizirati sve KCG C -algebre. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
68 Problem Karakterizirati sve KCG C -algebre. Koristeći neprekidni funkcionalni račun najprije dobivamo Lema Svaka KCG C -algebra je unitalna. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
69 Problem Karakterizirati sve KCG C -algebre. Koristeći neprekidni funkcionalni račun najprije dobivamo Lema Svaka KCG C -algebra je unitalna. Primjer Neka je X CH prostor. Tada je svaka trivijalna homogena C -algebra A = C(X, M n ) KCG. Zaista, ako identificiramo C(X, M n ) s M n (C(X )) na uobičajen način, tada imamo Z(A) = {diag(f,..., f ) : f C(X )} = C(X ). Neka su (e ij ) n i,j=1 standardne matrične jedinice u M n, koje identificiramo s pripadnim konstantnim matričnim funkcijama na X. Tada za svaku funkciju a = (a ij ) M n (C(X )) imamo a = n i,j=1 a ij e ij. Dakle: Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
70 Primjer (nastavak) A = span Z(A) {e ij : 1 i, j n}. Općenitije, svaka unitalna n-homogena C -algebra A je KCG. To se lako vidi koristeći lokalnu trivijalnost pripadnog algebarskog M n -svežnja od A, particiju jedinice te činjenicu da su trivijalne homogene C -algebre KCG. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
71 Primjer (nastavak) A = span Z(A) {e ij : 1 i, j n}. Općenitije, svaka unitalna n-homogena C -algebra A je KCG. To se lako vidi koristeći lokalnu trivijalnost pripadnog algebarskog M n -svežnja od A, particiju jedinice te činjenicu da su trivijalne homogene C -algebre KCG. Napomena Klasa KCG C -algebri je stabilna na kvocijentiranje i na formiranje konačnih direktnih suma. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
72 Primjer (nastavak) A = span Z(A) {e ij : 1 i, j n}. Općenitije, svaka unitalna n-homogena C -algebra A je KCG. To se lako vidi koristeći lokalnu trivijalnost pripadnog algebarskog M n -svežnja od A, particiju jedinice te činjenicu da su trivijalne homogene C -algebre KCG. Napomena Klasa KCG C -algebri je stabilna na kvocijentiranje i na formiranje konačnih direktnih suma. Posebno, konačne direktne sume unitalnih homogenih C -algebri su KCG. Štoviše, na taj način smo u stvari dobili sve KCG C -algebre: Teorem (I.G. 2011) C -algebra A je KCG ako i samo ako je A konačna direkna suma unitalnih homogenih C -algebri. Posebno, svaka KCG C -algebra je automatski Z-projektivna. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
73 Skica dokaza Najprije pokažemo da je A subhomogena, tj. da postoji prirodan broj n takav da su sve ireducibilne reprezentacije od A dimenzije manje ili jednake n. Izaberimo najmanji takav n. Tada A sadrži najveći ideal J koji je n-homogen kao C -algebra. Pokažemo da je pripadni algebarski M n -svežnanj E od J nad X := Prim(J) konačnog tipa kao vektorski svežanj, tj. X dopušta konačan otvoreni pokrivač {U j } na kojem je svaki restrikcijski svežanj E Uj trivijalan kao vektorski svežanj ranga n 2. Tada je E konačnog tipa i kao algebarski svežanj (Phillips 2007), pa je M(J) n-homogena C -algebra (Magajna 2009). Njen pripadni M n -svežanj F nad βx (Stone-Čechovljeva kompaktifikacija) proširuje E (tj. F X = E). Dokaz zatim reduciramo na slučaj kada je X povezan gust (otvoren) podskup od Prim(A), tako da je J A M(J) = Γ(F ). Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
74 Skica dokaza (nastavak) U tom slučaju, pokazat ćemo da je J = M(J), odakle će slijediti J = A. To je ekvivalentno s tvrdnjom da je prostor X kompaktan. Pretpostavimo suprotno. Tada možemo naći točku x 0 βx \ X, njenu kompaktnu okolinu H i ideal I H of M(J) tako da kvocijentnu C -algebru A H := A/(I H A) možemo identificirati s C -podalgebrom od C(H, M n ), pri čemu u toj identifikaciji vrijedi gdje je U := X H. a 1n H\U = 0 za sve a = (a ij ) n i,j=1 A H, U je gust otvoren podskup od H i x 0 U. Koristeći tu činjenicu, sada dokažemo da je komutativna C -algebra C 0 (U) konačno generirana kao modul nad samom sobom. Iz Leme zaključujemo da algebra C 0 (U) mora biti unitalna. Odavde slijedi da je U kompaktan, pa je U = H. Time napokon dobivamo kontradikciju s činjenicom da je x 0 H \ U. Ilja Gogić (PMF-MO ZG & PMF-DMI NS) Fibrirani svežnjevi i C -algebre MI SANU, / 35
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραK-TEORIJA ZA C -ALGEBRE
Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Ilja Gogić K-TEORIJA ZA C -ALGEBRE Diplomski rad Zagreb, siječanj 2005. 1 Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Ilja Gogić K-TEORIJA ZA C -ALGEBRE
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραR ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti
Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραFlag-tranzitivni linearni prostori
Flag-tranzitivni linearni prostori Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 5. studenoga 2010. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Flag-tranzitivni linearni prostori 5. studenoga 2010. 1 / 31 Djelovanja grupe
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematičke analize
Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 / Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραJankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi
Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραREALNE POLUPROSTE LIEJEVE ALGEBRE
REALNE POLUPROSTE LIEJEVE ALGEBRE Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana u okviru poslijediplomskog studija na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u akademskoj godini 2008./2009. Zagreb,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραKOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.
KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPrilozi teoriji operatora- Banahove algebre i Šatenove klase
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Jelena Gajić Prilozi teoriji operatora- Banahove algebre i Šatenove klase -master rad- Novi Sad, 2009 Predgovor
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Διαβάστε περισσότεραBaza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.
Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija
Διαβάστε περισσότερα1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραSpektralna teorija ograničenih linearnih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora Mentor prof. Dragana Cvetković Ilić Niš, oktobar 2013. Student Maja Ţivković
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραMETRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.
METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPredavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković
Predavanje 7 Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine Dinko Osmanković Kurs: Matematička logika i teorija izračunljivosti Sadržaj predavanja 1 Prirodni
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραTopološka klasifikacija Knasterovih kontinuuma s konačno krajnjih točaka
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Sonja Štimac Topološka klasifikacija Knasterovih kontinuuma s konačno krajnjih točaka Disertacija Voditelj rada: Dr. sc. Sibe
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
Algebarske strukture vježbe prema predlošku i zadacima Martine Balagović i Marcele Hanzer natipkali, proširili i uredili Matija Bašić Aleksandar Milivojević Sanjin Ružić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički
Διαβάστε περισσότεραOperatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić
Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραLjuban Dedić VEKTORSKI PROSTORI. skripta
Ljuban Dedić VEKTORSKI PROSTORI skripta 30.05.2008 Sadržaj Predgovor ii 1 Uvod 1 2 Funkcionalni račun 13 2.1 Poluprosti i nilpotentni operatori................ 13 2.2 Operatorske funkcije.......................
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god /12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić
Algebarske strukture bilješke s vježbi asistenta Filipa Najmana ak. god. 2011./12. natipkali i uredili Aleksandar Milivojević i Sanjin Ružić (skripta ne može zamijeniti vježbe) 1 Sadržaj 1 Grupe 3 1.1
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα