Matrizes, Determinantes

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matrizes, Determinantes"

Transcript

1 Capítulo 1 Matrizes, Determinantes 1 a L içã o (co m p ro jeto r m u ltim ed ia )13/ 03/ T eoria G eral d e Matrizes Definição 1. Uma matriz d e m lin h as e n co lu n as é d ad a po r: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A m n [a ij m n a m1 a m2 a m3 a mn T ip os E sp eciais d e m atriz es Definição 2 (M a triz Q u a d ra d a ). Q u an d o m n. E x em p lo 1. A D izemo s qu e A 3 3 é d e o rd em 3. E m geral, se temo s u ma matriz A n n d izemo s qu e é d e o rd em n, d en o tamo s po r A n. Definição 3 (M a triz Nu la o u Z ero ). S e a ij 0, i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n. Definição 4 (M a triz C o lu n a ). S e po ssu i u ma ú n ica co lu n a, o u seja n 1. E x em p lo A 3 1 1

2 2 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES Definição 5 (M a triz L in h a ). S e m 1. E x em p lo 3. [ A1 3 Definição 6 (M a triz D ia g o n a l). É u ma matriz qu ad rad a, o n d e a ij 0, para i j. E x em p lo Definição 7 (M a triz Id en tid a d e). É d efi n id a po r a ii 1, e a ij 0, para i j. E x em p lo 5. I Definição 8 (M a triz T ria n g u la r S u p erio r). É a ij 0, para i > j. u ma matriz qu ad rad a tal qu e E x em p lo Definição 9 (M a triz T ria n g u la r In ferio r). É u ma matriz qu ad rad a tal qu e a ij 0, para i < j. E x em p lo Definição 10 (M a triz S im étrica ). É aqu ela matriz qu ad rad a qu e verifi ca a ij a ji. E x em p lo

3 1.1. TEORIA G ERAL DE MATRIZES 3 O p erações com M atriz es Definição 11 (A d içã o o u S o m a ). D ad as A A m n [a ij e B B m n [b ij, d efi n imo s a matriz so ma A + B po r A + B [a ij + b ij matriz d e o rd em m n. P rop ried ad es : D a d a s a s m a trizes A, B e C d e m esm a o rd em m n, tem o s q u e : (i) A + B B + A(co m u ta tiv a ) (ii) A + (B + C) (A + B) + C(a sso cia tiv a ) (iii) A + 0 A, o n d e o é a m a triz n u la d e o rd em n. Definição 12 (P ro d u to o u M u tip lica çã o p o r u m esca la r). S e A [a ij m n e λ u m n ú mero, pod emo s d efi n ir u ma n o va matriz tal qu e λ A [λ a ij m n. P rop ried ad es D a d a s a s m a trizes A e B d a m esm a o rd em m n e n ú m ero s α, β, tem o s q u e : (i) α (A + B) α A + α B (ii) (α + β) A α A + β A (iii) 0 A 0 m n (iv ) α (β A) (α β) A. Definição 13 (M a triz T ra n sp o sta ). D ad a u ma matriz A [a ij m n, pod emo s o bter o u tra matriz, d en o tad a po r A t [b ij n m, cu jas lin h as são as co lu n as d e A, ch amad a a matriz tran spo sta d e A. E x em p lo 9. E x em p lo 10. A [ A A t P rop ried ad es : (i) A m a triz A é sim étrica se, e so m en te se A A t (ii) A tt A (iii) (A + B) t A t + B t (iv ) (λ A) t λ A t, o n d e λ é u m n ú m ero. A t [ Definição 14 (M u ltip lica çã o d e m a trizes). S ejam A A m n [a ij e B B n p [b rs, d efi n imo s a matriz A B [c k l m p, n o n d e c k l a k j b jl j

4 4 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES O b serv ação 1. P od emo s efetu ar o p rod u to d as matrizes A A m n [a ij e B B l p [b rs, qu an d o n l. A matriz A B terá o rd em m p. E x em p lo 11. AB A A [ B B S istemas L ineares 2 a L içã o (co m p ro jeto r m u ltim ed ia ) 15/ 03/ 2007 [ ( 1) ( 1) ( 1) Definição 15. S eja A [a ij u ma matriz e b 1, b 2,..., b n n ú mero s. A s equ açõ es d o tipo : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 ( ) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m são co n h ecid as co mo u m sistema d e equ açõ es lin eares d e m equ açõ es e n in có gn itas. O b serv ação 2. Uma so lu ção d e (* ) é u ma n -u p la d e n ú mero s (x 1, x 2,..., x n ) qu e satisfaça simu ltán eamen te as m equ açõ es. O b serv ação 3. S e b i 0, i 1, 2,.., m d izemo s qu e o sistema é h o mogên eo. O b serv ação 4. O sistema d e equ açõ es: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n 0 ( ) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n 0 é ch amad o sistema h o mogên eo associad o a (* ). O b serv ação 5. P od emo s escrever o sistema (* ) n a fo rma matricial: x 1 b 1 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n x 2 b 2 O U A X B a m1 a m2 a mn x m b m 3 2

5 1.2. SISTEMAS LINEARES 5 o n d e A a 11 a 1n a m1 a mn, X x 1 x m, B b 1 b m A é ch amad a a matriz d o s coefi cien tes d o sistema, X é a matriz d as in có gn itas e B é a matriz d o s termo s in d epen d en tes. Definição 16. A o sistema pod emo s associar a matriz amp liad a d o sistema, d ad a po r a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m E x em p lo 12. O sistema: x 1 + 4x 2 + 3x 3 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 4 x 1 3x 2 2x 3 5 P od e ser escrito n a fo rma matricial segu in te: x 1 x 2 x P ara reso lver o sistema, co n sid eramo s a matriz amp liad a Usan d o o peraçõ es elemen tares, a ser d efi n id as, ch egamo s a qu e é a matriz amp liad a d o sistema so lu ção : x 1 3 x 2 2 x 3 2

6 6 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES Definição 17 (O p era çõ es E lem en ta res). T emo s três o peraçõ es so bre as lin h as d e u ma matriz. (i) P ermu ta d a i-ésima lin h a pela j-ésima lin h a ( L i L j ). (ii) M u ltip licação d a i-ésima lin h a po r u m escalar n ão n u lo k. (L i k L i ). (iii) S u bstitu ição d a i-ésima lin h a pela i-ésima lin h a mais k vezes a j-ésima lin h a.(l i L i + k L j ). E x em p lo 13. L 2 L E x em p lo 14. L 2 3 L E x em p lo 15. L 3 L L Definição 18 (M a trizes E q u iv a len tes). D ad as d u as matrizes d o tipo m n, d izemo s qu e B é lin h a equ ivalen te a A, se B é o btid a d e A através d e u m n ú mero fi n ito d e o peraçõ es elemen tares so bre as lin h as d e A, d en o tamo s A B o u A B. Definição 19 (F o rm a E sca d a ). Uma matriz m n, é lin h a red u zid a à fo rma escad a, se verifca: (a) O p rimeiro elemen to NA O n u lo d e u ma lin h a NA O n u la é 1. (b ) C ad a co lu n a qu e co n tém o p rimeiro elemen to NA O n u lod e algu ma lin h atem tod o s o s seu s o u tro s elemen to s igu ais a zero. (c) T od a lin h a n u la oco rre abaixo d e tod as as lin h as NA O n u las (isto é, d aqu elas qu e po ssu em pelo men o s u m elemen to NA O n u lo ). (d ) S e as lin h as 1, 2,..., r são as lin h as n ão n u las, e se o p rimeiro elemen to NA O n u lo d a lin h a i oco rre n a co lu n a k i, en tão k 1 < k 2 <... < k r. T eorem a 1. T od a matriz A m n é lin h a equ ivalen te a u ma ú n ica matriz-lin h a red u zid a à fo rma escad a. Definição 2 0. D ad a u ma matriz A m n, seja B m n a matriz-lin h a red u zid a à fo rma escad a lin h a equ ivalen te a A. O po sto d e A, d en o tad o po r p, é o n ú mero d e lin h as n ão n u las d e B. A n u lid ad e d e A é a d iferen ça n - p.

7 1.2. SISTEMAS LINEARES 7 E x em p lo 16. D etermin ar o po sto e a n u lid ad e d a matriz segu in te: A F azemo s as segu in tes o peraçõ es elemen tares: L 2 L 2 + L 1 (1/2)(L 2 + L 1 ), L 3 L 3 + ( 1)L 1, i. é., / B Na matriz resu ltan te B, efetu amo s as o peraçõ es : L 1 L 1 + ( 2)L 2, L 3 (1/8)L 3, L 1 L L 3, L 2 L 2 + ( 2) L / / / / / / /8 O po sto d e A é 3 e a n u lid ad e d e A, é E x em p lo 17 (S o lu çã o d e u m sistem a d e E q u a çõ es L in ea res). C alcu le a so lu ção d o sistema { 2x1 + x 2 5 x 1 3x 2 6 A matriz amp liad a d o sistema é ( T ran sfo rman d o a matriz à fo rma escad a, tem-se ( ) qu e é a matriz amp liad a d o sistema equ ivalen te ao sistema in icial, i. é., { x1 3 x 2 ) 1

8 8 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES E x em p lo 18. D etermin ar a so lu ção d o sistema. { 2x1 + x 2 5 6x 1 + 3x 2 15 A matriz amp liad a associad a ao sistema é ( ) ( /2 5/ O qu al equ ivale, { x1 + (1/2)x 2 5/2 0x 1 + 0x 2 0 T emo s qu e x 1 5/2 (1/2)x 2, fazen d o x 2 λ, resu lta qu e a so lu ção pod e ser escrita n a fo rma (x 1, x 2 ) ( 5/2 (1/2)λ, λ ) ( 5/2, 0 ) + λ( 1/2, 1 ). P o rtan to este sistema ad mite in fi n itas so lu çõ es. O bservar qu e a matriz tem po sto 1, e a n u lid ad e d a matriz é E x em p lo 19. A n alisar a existên cia d e so lu çõ es para o sistema { 2x1 + x 2 5 6x 1 + 3x 2 10 A matriz amp liad a associad a ao sistema é ( ) ( / O qu al equ ivale, { x1 + (1/2)x 2 0 0x 1 + 0x 2 1 C o mo N A O existe n en h u m valo r d e x 1 e x 2 satisfazen d o a segu n d a equ ação, d izemo s qu e o sistema é in co mpatível. O bservar qu e a matriz d o sistema in icial tem po sto e o po sto d e su a matriz amp liad a é 2. C aso G eral. D a d o o sistem a d e m eq u a çõ es lin ea res co m n in có g n ita s a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b n A p resen ta -se três ca so s: (i) E x iste u m a ú n ica so lu çã o, d izem o s q u e o sistem a é co m p a tív el. (ii) E x istem in fi n ita s so lu çõ es, i,é., o sistem a é in d eterm in a d o. (iii) NÃ O ex iste so lu çã o, d izem o s q u e o sistem a é in co m p a tív el. D en o ta n d o p o r A [a ij m n a m a triz a sso cia d a a o sistem a e p o r A a, a m a triz a m p lia d a a sso cia d a a o sistem a, tem o s o seg u in te resu lta d o. ) )

9 1.3. DETERMINANTES 9 T eorem a 2. T emo s o s segu in tes items. (i) O sistema tem so lu ção po sto d e A po sto d e A a. (ii) S e o po sto d e A po sto d e A a p n, en tão a so lu ção será ú n ica. (iii) S e o po sto d e A po sto d e A a p < n, en tão pod emo s esco lh er n -p in có gn itas, e as o u tras p in có gn itas serão d ad as em fu n ção d estas. O b serv ação 6. No caso (iii), d izemo s qu e o grau d e liberd ad e d o sistema é n -p. E x em p lo 2 0. S e co n sid eramo s a matriz: A a T emo s qu e, m 3, n 3 e p 3. P o sto d e A P o sto d a matriz amp liad a 3. L ogo, o sistema associad o tem so lu ção ú n ica d ad a po r x 1 3, x 2 2, x 3 2. E x em p lo 2 1. S eja A a ( T em-se qu e m 2, n 3 e p 2. P o sto d e A P o sto d a matriz amp liad a 2, o grau d e liberd ad e é 1, pod emo s esco lh er u ma in có gn ita e as o u tras d u as serão d ad as em fu n ção d a p rimeira, i.é., x x 3, x 2 6 5x 3. ) E x em p lo 2 2. C o n sid eramo s A a m n 3, po sto d e A 2, po sto d a matriz amp liad a 3, po rtan to o sistema é in - co mpatível o u seja NA O tem so lu ção. 1.3 Determinantes 3 a L içã o (20/ 03/ 2007) ( ) a b S eja A m a triz d e o rd em 2 2, o n d e a, b, c e d R. c d D efi n im o s seu d eterm in a n te co m o o n ú m ero ad bc, d en o ta m o s A D e t(a) a b c d ad bc.

10 10 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES E x em p lo 2 3. D ad a A ( ), tem-se qu e A S e co n sid era m o s u m a m a triz d e o rd em 3 d a fo rm a a 11 a 12 a 13 A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 D efi n im o s o d eterm in a n te (u sa n d o a p rim eira lin h a ) co m o o n ú m ero T a m b ém A a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a D e t(a) 33 p o d e ser escrito n a fo rm a D e t(a) a 11 D e t(a 11 ) a 12 D e t(a 12 ) + a 13 D e t(a 13 ) S e u sa m o s a seg u n d a lin h a, tem o s : A a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 22 a 11 a 13 a 31 a 33 a 23 a 11 a 12 a 31 a 32 o u a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 D e t(a) D e t(a) a 21 D e t(a 21 ) + a 22 D e t(a 22 ) a 23 D e t(a 23 ) O b serv ação 7. P ara calcu lar o d etermin an te d e u ma matriz pod emo s u sar qu alqu er lin h a o u co lu n a. C aso G eral : C o n sid era m o s A m a triz q u a d ra d a d e o rd em n, e seja A [a ij n n, e A ij a su b m a triz q u a d ra d a d e o rd em (n -1), o b tid a d e A retira n d o - se a i-ésim a lin h a e a j-ésim a co lu n a, ch a m a d a co m p lem en to a lg éb rico d o elem en to a ij. D efi n im o s o d eterm in a n te d a m a triz A, seg u n d o a lin h a i, p o r : D e t(a) A ( 1) i+1 a i1 D e t(a i1 ) + + ( 1) i+n a in D e t(a in )

11 1.4. INV ERSÃO DE MATRIZES 11 P rop ried ad es (a) S e o s elem en to s d e u m a lin h a (o u co lu n a )d e u m a m a triz sã o to d o s zero s, en tã o D e t(a) 0. (b ) S e tro ca m o s d e p o siçã o d u a s lin h a s, o d eterm in a n te tro ca d e sin a l. (c) S e m u ltip lica m o s u m a lin h a d a m a triz p o r u m a co n sta n te, o d eterm in a n te é m u ltip lica d o p o r esta co n sta n te. (d ) O d eterm in a n te d e u m a m a triz q u e tem d u a s lin h a s (co lu n a s) ig u a is é zero. (e) O d eterm in a NÃ O m u d a se so m a m o s a u m a lin h a o u tra lin h a m u ltip lica d a p o r u m a co n sta n te. (f) D e t(a B) D e t(a) D e t(b). (g ) D e t(a) D e t(a t ). 1.4 Inv ersão d e Matrizes 4 a L içã o (22/ 03/ 2007) D a d a u m a m a triz d o tip o ( ) a b A c d S e D e t(a) ad bc 0, d eseja m o s a ch a r u m a m a triz in v ersa d e A, isto é, q u erem o s d eterm in a r u m a m a triz X d e o rd em 2, ta l q u e A X X A I 2 C a lcu la n d o o p ro d u to, tem o s q u e: ( ) ( ) a b x y c d z w ( ax + bz ay + bw cx + dz cy + dw ) ( ) R eso lv en d o a p rim eira co lu n a, ca lcu la m o s x e z, e e reso lv en d o a seg u n d a co lu n a a ch a m o s y e w. E x em p lo 2 4. A ch ar a matriz A d e o rd em 2 tal qu e A X I 2, o n d e ( ) 2 1 A 4 3 D evemo s reso lver o s sistemas segu in tes: { 2x + z 1 4x + 3z 0 { 2y + w 0 4y + 3w 1 Usan d o a teo ria d as equ açõ es lin eares, ach amo s : x 1, z -1, y -1 / 2, w 1. Definição 2 1. D ad a u ma matriz qu ad rad a d e o rd em n, ch amamo s d e in versa d e A a u ma matriz B tal qu e A B B A I n. Nesta caso, d en o tamo s B A 1 e d izemo s qu e A é u ma matriz in versível.

12 12 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES O b serv ação 8. S e existe a in versa, ela é ú n ica. O b serv ação 9. S e A e B são matrizes in versíveis, en tão (A B) 1 B 1 A 1. A B é in versível e O b serv ação 10. Nem tod a matriz tem in versa. O b serv ação 11. S e A é in versível, en tão D e t(a 1 ) (D e t(a)) 1. T eorem a 3. Uma matriz qu ad rad a é in versível, se e so men te se, D e t(a) 0. Neste caso, A 1 [b ij t n n, o n d e b ij ( 1)i+j D e t(a ij ) D e t(a) O b serv ação 12. S e d efi n imo s a matriz ad ju n ta d e A, d en o tad a po r A d j A, co mo a matriz tran spo sta d o s co fato res d e A, temo s qu e: A 1 1 D e t(a) (AdjA). E x em p lo 2 5. C o n sid eramo s a matriz A [ temo s qu e D e t(a) , logo existe a matriz in versa d e A. P rimeiro calcu lamo s a matriz d o s co fato res d e A, i é., [ logo a tran spo sta d esta matriz, o u seja, P o rtan to, A [ AdjA [ [ /2 3 R E G R A DE C AM E R C o n sid era m o s o sistem a d e n -eq u a çõ es e n -in có g n ita s. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b a n1 x 1 + a n2 x a nn x n b n

13 1.4. INV ERSÃO DE MATRIZES 13 P o d em o s escrev er n a fo rm a m a tricia l a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn x 1 x 2 x n b 1 b 2 b n O U A X B S e D e t(a) 0, en tã o A 1 ex iste e A 1 (A X) A 1 B (A 1 A) X I n X A 1 B X A 1 B. Na fo rm a m a tricia l x 1 x 2 x n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn U sa n d o a fó rm u la d a m a triz in v ersa, tem -se q u e: x 1 x 2 1 D e t(a) x n n n n1 n2 nn b 1 b 2 b n o n d e ij é o d eterm in a n te d a su b -m a triz d e o rd em (n -1), co rresp o n d en te a a ij.e n tã o O U x 1 i1,2,..., n. b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn x 1 b b n n1 D e t(a) E x em p lo 2 6. D ad o o sistema d e 3 equ açõ es e 3 in có gn itas: 2x 3y + 7z 1 x + 3z 5 2y z 0 b 1 b 2 b n a 11 a 12 b 1 a 1n a 21 a 22 b 2 a 2n a n1 a n2 b n a nn E m fo rm a g era l x i a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn

14 14 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES resu lta qu e D e t L ogo, pod emo s u sar a regra d e C ramer, i. é., x , y M AT R IZ E S E L E M E N T AR E S. 9, z P a ra ca lcu la r a in v ersa d e u m a m a triz, p recisa m o s d e u m n ú m ero g ra n d e d e o p era çõ es. O p ro cesso en v o lv e a in tro d u çã o d e m a trizes elem en ta res. E x em p lo 2 7. D ad a a matriz A M u ltip licamo s a p rimeira lin h a (L 1 ), po r 2 e o btemo s qu e é igu al ao p rod u to E x em p lo 2 8. D ad a a matriz A S e permu tamo s a p rimeira e su n d a lin h a d a matriz A, tem-se 1 2 4

15 1.4. INV ERSÃO DE MATRIZES 15 Q u e resu lta ser o p rod u to E x em p lo 2 9. D ad a a matriz A S e so mamo s à p rimeira lin h a d e A a segu n d a lin h a mu ltip licad a po r 2, o btemo s qu e é o p rod u to Definição 2 2. Uma matriz elemen tar é u ma matriz o btid a através d a ap licação d e u ma o peração elemen tar co m lin h as n a matriz id en tid ad e. T eorem a 4. S e A é u ma matriz, resu ltad o d e algu ma o peração co m lin h as d e A, é igu al ao p rod u to d a matriz elemen tar co rrespo n d en te co m a matriz A. C orolário 1. Uma matriz elemen tar E 1 é in versível e su a in versa é a matriz elemen tar E 2 qu e co rrespo n d e à o peração co m lin h as in versa d a o peração efetu ad a po r E 1. T eorem a 5. S e A é in versível, su a matriz lin h a red u zid a a fo rma escad a é a id en tid ad e. T ambém, temo s qu e A é d ad a po r u m p rod u to d e matrizes elemen tares. T eorem a 6. S e A pod e ser red u zid a à matriz id en tid ad e, po r u ma seq u ên cia d e o peraçõ es elemen tares co m lin h as, en tão A é in versível e a matriz in versa d e A é o btid a co mo u m p rod u to d e matrizes elemen tares. E x em p lo 3 0. S eja A

16 16 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES J u n to à matriz A co locamo s a matriz id en tid ad e, a id éia é tran sfo rmar a matriz A n a id en tid ad e T rocamo s a p rimeira e segu n d a lin h a, S o mamo s à qu arta a p rimeira S o mamo s à segu n d a, a p rimeira mu ltip licad a po r ( 2) S u btraímo s a segu n d a lin h a d a terceira, M u d amo s o sin al d a terceira lin h a D epo is trabalh amo s co n ven ien temen te co m a qu arta lin h a

17 1.4. INV ERSÃO DE MATRIZES 17 D ed u zimo s qu e A

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s

Διαβάστε περισσότερα

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã

Διαβάστε περισσότερα

r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s

r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é

Διαβάστε περισσότερα

P r s r r t. tr t. r P

P r s r r t. tr t. r P P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Problemas resueltos del teorema de Bolzano Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont

Διαβάστε περισσότερα

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο ο φ. II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai

Διαβάστε περισσότερα

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Couplage dans les applications interactives de grande taille Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité Pierre Clairambault To cite this version: Pierre Clairambault. Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité. Autre [cs.oh].

Διαβάστε περισσότερα

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,

Διαβάστε περισσότερα

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle Anahita Basirat To cite this version: Anahita Basirat.

Διαβάστε περισσότερα

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio

Διαβάστε περισσότερα

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison

Διαβάστε περισσότερα

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( ) Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE)

Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE) Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE) Khadija Idlemouden To cite this version: Khadija Idlemouden. Annulations de la dette extérieure

Διαβάστε περισσότερα

Jeux d inondation dans les graphes

Jeux d inondation dans les graphes Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica preparada

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.

Διαβάστε περισσότερα

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu

Διαβάστε περισσότερα

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Florent Jousse To cite this version: Florent Jousse. Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation.

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t P P Ô P ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FELIPE ANDRADE APOLÔNIO UM MODELO PARA DEFEITOS ESTRUTURAIS EM NANOMAGNETOS Dissertação apresentada à Universidade Federal

Διαβάστε περισσότερα

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών

Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γε ν ι κ ή Δ ι ε ύ θ υ ν σ η Γε ω ρ γ ί α ς κ α ι Αγ ρ ο τ ι κ ή ς Α ν ά π τ υ ξ η ς Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γεωργία και αγροτική ανάπτυξη Για περισσότερες πληροφορίες 200 Rue de la Loi,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού χρονών - σύνολο

Γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού χρονών - σύνολο πληθυσμού 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση του αριθμού του οικονομικά ενεργού

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο

Γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού υπολογίζεται με τη διαίρεση του αριθμού του ισοδύναμου πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο

Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Ο γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση της ετήσιας αύξησης του οικονομικά ενεργού πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

(2), ,. 1).

(2), ,. 1). 178/1 L I ( ) ( ) 2019/1111 25 2019,, ( ), 81 3,,, ( 1 ), ( 2 ),, : (1) 15 2014 ( ). 2201/2003. ( 3 ) ( ). 2201/2003,..,,. (2),..,,, 25 1980, («1980»),.,,. ( 1 ) 18 2018 ( C 458 19.12.2018,. 499) 14 2019

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού χρονών - σύνολο

Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού χρονών - σύνολο Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοστό μακροχρόνιας ανεργίας (διάρκεια 12+ μήνες) οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών - σύνολο

Ποσοστό μακροχρόνιας ανεργίας (διάρκεια 12+ μήνες) οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών - σύνολο οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το ποσοστό μακροχρόνιας ανεργίας (διάρκεια 12+ μήνες) οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, ( ) March 14, / 52 March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ BALANCED SCORECARD ΣΕ ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ. Σπουδαστές: Δεληλίγκα Αργυρούλα, ΑΜ: 2008057

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ BALANCED SCORECARD ΣΕ ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ. Σπουδαστές: Δεληλίγκα Αργυρούλα, ΑΜ: 2008057 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ BALANCED SCORECARD ΣΕ ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ Σπουδαστές: Δεληλίγκα

Διαβάστε περισσότερα

Langages dédiés au développement de services de communications

Langages dédiés au développement de services de communications Langages dédiés au développement de services de communications Nicolas Palix To cite this version: Nicolas Palix. Langages dédiés au développement de services de communications. Réseaux et télécommunications

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ

Α. Η ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΡΟΤΡΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑΣ Πασχάλης Χαριζάνης Α. Η ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ 1. Κερί Σύμφωνα με την Εθνική Στατιστική Υπηρεσία της Ελλάδος η παραγωγή κεριού για

Διαβάστε περισσότερα

Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο

Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή/και προσωρινή απασχόληση

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en)

Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en) Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en) 7057/17 ADD 1 TRANS 97 ΔΙΑΒΙΒΑΣΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Αποστολέας: Ημερομηνία Παραλαβής: Αποδέκτης: Για τον Γενικό Γραμματέα της Ευρωπαϊκής Επιτροπής,

Διαβάστε περισσότερα

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Khó học LTðH KT-: ôn Tán (Thầy Lê á Trần Phương) THỂ TÍH KHỐ HÓP (Phần 4) ðáp Á À TẬP TỰ LUYỆ Giá viên: LÊ Á TRẦ PHƯƠG ác ài tập trng tài liệu này ñược iên sạn kèm the ài giảng Thể tich khối chóp (Phần

Διαβάστε περισσότερα

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques

Διαβάστε περισσότερα

Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées

Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées Noureddine Rhayma To cite this version: Noureddine Rhayma. Contribution à l évolution des méthodologies

Διαβάστε περισσότερα

Profiterole : un protocole de partage équitable de la bande passante dans les réseaux ad hoc

Profiterole : un protocole de partage équitable de la bande passante dans les réseaux ad hoc Profiterole : un protocole de partage équitable de la bande passante dans les réseaux ad hoc Rémi Vannier To cite this version: Rémi Vannier. Profiterole : un protocole de partage équitable de la bande

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΗΜΕΡΑ ΑΣΟΠΟΝΙΑΣ. ασοπονία και αγορά προϊόντων ξύλου

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΗΜΕΡΑ ΑΣΟΠΟΝΙΑΣ. ασοπονία και αγορά προϊόντων ξύλου LOGO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΥ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΗΜΕΡΑ ΑΣΟΠΟΝΙΑΣ ασοπονία και αγορά προϊόντων ξύλου ρ. ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΙ Λάρισας E-mail: papad@teilar.gr

Διαβάστε περισσότερα

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

SONATA D 295X245. caza

SONATA D 295X245. caza SONATA D 295X245 caza 01 Γωνιακός καναπές προσαρμόζεται σε όλα τα μέτρα σε όλους τους χώρους με μηχανισμούς ανάκλησης στα κεφαλάρια για περισσότερή αναπαυτικότητα στην χρήση του-βγαίνει με κρεβάτι η χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΟΡΤΗ ΚΟΛΥΜΒΗΤΗ 13/8/2013 50Μ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΚΟΡΙΤΣΙΑ 9 ΕΤΩΝ

ΓΙΟΡΤΗ ΚΟΛΥΜΒΗΤΗ 13/8/2013 50Μ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΚΟΡΙΤΣΙΑ 9 ΕΤΩΝ 50Μ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΚΟΡΙΤΣΙΑ 9 ΕΤΩΝ ΚΑΡΑΤΖΙΑ ΜΥΡΤΩ ΝΑΒΕ.05.9 2 ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΗΡΑ 3 ΓΕΩΡΓΟΥΛΗ ΚΑΛΛΙΡΟΗ ΝΕΑΠΟΛΗ 0.45.44 4 ΚΑΡΑΛΙΔΟΥ ΝΑΤΑΛΙΑ ΑΡΗΣ 0.5.58 5 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΗ ΝΟΚ 0.43.84 ΒΕΛΟΥΖΟΥ ΙΩΑΝΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

1 B0 C00. nly Difo. r II. on III t o. ly II II. Di XR. Di un 5.8. Di Dinly. Di F/ / Dint. mou. on.3 3 D. 3.5 ird Thi. oun F/2. s m F/3 /3.

1 B0 C00. nly Difo. r II. on III t o. ly II II. Di XR. Di un 5.8. Di Dinly. Di F/ / Dint. mou. on.3 3 D. 3.5 ird Thi. oun F/2. s m F/3 /3. . F/ /3 3. I F/ 7 7 0 0 Mo ode del 0 00 0 00 A 6 A C00 00 0 S 0 C 0 008 06 007 07 09 A 0 00 0 00 0 009 09 A 7 I 7 7 0 0 F/.. 6 6 8 8 0 00 0 F/3 /3. fo I t o nt un D ou s ds 3. ird F/ /3 Thi ur T ou 0 Fo

Διαβάστε περισσότερα

T he Op tim al L PM Po rtfo lio M odel of H arlow s and Its So lving M ethod

T he Op tim al L PM Po rtfo lio M odel of H arlow s and Its So lving M ethod 2003 6 6 00026788 (2003) 0620042206 H arlow, 2 3, (., 70049; 2., 7006; 3., 200433) H arlow,,,,, ;, ; ; F832. 5; F830. 9 A T he Op tim al L PM Po rtfo lio M odel of H arlow s ad Its So lvig M ethod W AN

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΘΕΡΜΩΝ ΝΙΓΡΙΤΑΣ (Ν. ΣΕΡΡΩΝ)

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΘΕΡΜΩΝ ΝΙΓΡΙΤΑΣ (Ν. ΣΕΡΡΩΝ) ελτίο της Ελληνικής Γεωλογικής Εταιρίας τοµ. XXXVI, 2004 Πρακτικά 10 ου ιεθνούς Συνεδρίου, Θεσ/νίκη Απρίλιος 2004 Bulletin of the Geological Society of Greece vol. XXXVI, 2004 Proceedings of the 10 th

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ Βρυξέλλες, 5.9.2005 COM(2005) 405 τελικό ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΉΣ στο Συµβούλιο, το Ευρωπαϊκό Κοινοβούλιο, την Ευρωπαϊκή Οικονοµική και Κοινωνική Επιτροπή και την Επιτροπή

Διαβάστε περισσότερα

A T H E R M A L M O D E L F O R T H E S U R F A C E T E M P E R A T U R E O F M A T E R I A L S O N T H E E A R T H 'S S U R F A C E

A T H E R M A L M O D E L F O R T H E S U R F A C E T E M P E R A T U R E O F M A T E R I A L S O N T H E E A R T H 'S S U R F A C E TECHNICAL INFORMATION SERIES July 1976 Number 1 A T H E R M A L M O D E L F O R T H E S U R F A C E T E M P E R A T U R E O F M A T E R I A L S O N T H E E A R T H 'S S U R F A C E LO G A N K. K U IP E

Διαβάστε περισσότερα

Une Théorie des Constructions Inductives

Une Théorie des Constructions Inductives Une Théorie des Constructions Inductives Benjamin Werner To cite this version: Benjamin Werner. Une Théorie des Constructions Inductives. Génie logiciel [cs.se]. Université Paris- Diderot - Paris VII,

Διαβάστε περισσότερα

Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation

Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation Bertrand Marcon To cite this version: Bertrand Marcon. Hygromécanique des

Διαβάστε περισσότερα

M c. E M b F I. M a. Chứng minh. M b M c. trong thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ).

M c. E M b F I. M a. Chứng minh. M b M c. trong thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ). ài tập ôn đội tuyển năm 015 Nguyễn Văn inh Số 5 ài 1. ho tam giác nội tiếp () có + =. Đường tròn () nội tiếp tam giác tiếp xúc với,, lần lượt tại,,. Gọi b, c lần lượt là trung điểm,. b c cắt tại. hứng

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΒΑΡΟΜΕΤΡΟ 72 ΚΟΙΝΗ ΓΝΩΜΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ

ΕΥΡΩΒΑΡΟΜΕΤΡΟ 72 ΚΟΙΝΗ ΓΝΩΜΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ Standard Eurobarometer European Commission ΕΥΡΩΒΑΡΟΜΕΤΡΟ 72 ΚΟΙΝΗ ΓΝΩΜΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΦΘΙΝΟΠΩΡΟ 2009 Standard Eurobarometer 72 / Φθινόπωρο 2009 TNS Opinion & Social ΕΘΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ GREECE Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Ch : HÀM S LIÊN TC. Ch bám sát (lp 11 ban CB) Biên son: THANH HÂN A/ MC TIÊU:

Ch : HÀM S LIÊN TC. Ch bám sát (lp 11 ban CB) Biên son: THANH HÂN A/ MC TIÊU: Ch : HÀM S LIÊN TC Ch bám sát (lp ban CB) Biên son: THANH HÂN - - - - - - - - A/ MC TIÊU: - Cung cp cho hc sinh mt s dng bài tp th ng gp có liên quan n s liên tc cu hàm s và phng pháp gii các dng bài ó

Διαβάστε περισσότερα

1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n

1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n Cơ sở Toán 1 Chương 2: Ma trận - Định thức GV: Phạm Việt Nga Bộ môn Toán, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 1 / 22 Mục lục 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

K r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t

K r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t T ij = A Y i Y j /D ij A T ij i j Y i i Y j j D ij T ij = A Y α Y b i j /D c ij b c b c a LW a LC L P F Q W Q C a LW Q W a LC Q C L a LC Q C + a LW Q W L P F L/a LC L/a LW 1.000/2 = 500

Διαβάστε περισσότερα

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο. 728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.

Διαβάστε περισσότερα

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA I. Vcto không gian Chương : VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯ BA PHA I.. Biể diễn vcto không gian cho các đại lượng ba pha Động cơ không đồng bộ (ĐCKĐB) ba pha có ba (hay bội ố của ba) cộn dây tato bố

Διαβάστε περισσότερα

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU Tà lệ kha test đầ xân 4 Á ÔNG THỨ Ự TỊ ĐỆN XOAY HỀ GÁO VÊN : ĐẶNG VỆT HÙNG. Đạn mạch có thay đổ: * Kh thì Max max ; P Max còn Mn ư ý: và mắc lên tếp nha * Kh thì Max * Vớ = hặc = thì có cùng gá trị thì

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΑΘΗΜΑ ΚΟΡΜΟΥ «ΥΔΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΥΔΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS

SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS Electronic Supplementary Material (ESI) for Journal of Analytical Atomic Spectrometry. This journal is The Royal Society of Chemistry 2018 SUPPLEMENTAL INFORMATION Fully Automated Total Metals and Chromium

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας φυσικές επιστήμες με την κεραμική τέχνη και τις ψηφιακές αφηγήσεις: Οι ιδιότητες του αέρα

Διδάσκοντας φυσικές επιστήμες με την κεραμική τέχνη και τις ψηφιακές αφηγήσεις: Οι ιδιότητες του αέρα ΤΠΕ στην Εκπαίδευση 679 Διδάσκοντας φυσικές επιστήμες με την κεραμική τέχνη και τις ψηφιακές αφηγήσεις: Οι ιδιότητες του αέρα Άννα Λέτσι 1, Ξένια Αραπάκη 2 και Φανή Σέρογλου 3 letsianna@eled.auth.gr, parap@uth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

La naissance de la cohomologie des groupes

La naissance de la cohomologie des groupes La naissance de la cohomologie des groupes Nicolas Basbois To cite this version: Nicolas Basbois. La naissance de la cohomologie des groupes. Mathématiques [math]. Université Nice Sophia Antipolis, 2009.

Διαβάστε περισσότερα

E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets

E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets Benoît Combès To cite this version: Benoît Combès. E fficient computational tools for the statistical

Διαβάστε περισσότερα

Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires

Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires Jerome Dubail To cite this version: Jerome Dubail. Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires. Physique mathématique [math-ph].

Διαβάστε περισσότερα

AVERTISSEMENT. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction encourt une poursuite pénale. LIENS

AVERTISSEMENT. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction encourt une poursuite pénale. LIENS AVERTISSEMENT Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie. Il est soumis à la propriété intellectuelle

Διαβάστε περισσότερα

3. Υπολογίστε το μήκος κύματος de Broglie (σε μέτρα) ενός αντικειμένου μάζας 1,00kg που κινείται με ταχύτητα1 km/h.

3. Υπολογίστε το μήκος κύματος de Broglie (σε μέτρα) ενός αντικειμένου μάζας 1,00kg που κινείται με ταχύτητα1 km/h. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια είναι η συχνότητα και το μήκος κύματος του φωτός που εκπέμπεται όταν ένα e του ατόμου του υδρογόνου μεταπίπτει από το επίπεδο ενέργειας με: α) n=4 σε n=2 b) n=3 σε n=1 c)

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA

UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA Délivré par UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA Préparée au sein de l école doctorale Energie et Environnement Et de l unité de recherche Procédés, Matériaux et Énergie Solaire (PROMES-CNRS, UPR 8521)

Διαβάστε περισσότερα

Vn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10

Vn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10 Vn : NHC LI MT S KIN TH C LP 0 Mc ích ca vn này là nhc li mt s kin thc ã hc lp 0, nhng có liên quan trc tip n vn s hc trng lp. Vì thi gian không nhiu (khng tit) nên chúng ta s không nhc li lý thuyt mà

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ε. Ε. Χ. Ένα άτομο Χ έχει μαζικό αριθμό 40 και στον πυρήνα του υπάρχουν 2 νετρόνια περισσότερα από τα πρωτόνια.

Π. Ε. Ε. Χ. Ένα άτομο Χ έχει μαζικό αριθμό 40 και στον πυρήνα του υπάρχουν 2 νετρόνια περισσότερα από τα πρωτόνια. Όνομα: Σχολείο: Τάξη/Τμήμα Ημερομηνία: Επαρχία:... Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από δύο μέρη: Μέρος Α και Μέρος Β Το σύνολο των σελίδων είναι έντεκα (11) Μέρος Α Αποτελείται από 8 ερωτήσεις (1-8 ).

Διαβάστε περισσότερα

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016

Διαβάστε περισσότερα

Suy ra EA. EN = ED hay EI EJ = EN ED. Mặt khác, EID = BCD = ENM = ENJ. Suy ra EID ENJ. Ta thu được EI. EJ Suy ra EA EB = EN ED hay EA

Suy ra EA. EN = ED hay EI EJ = EN ED. Mặt khác, EID = BCD = ENM = ENJ. Suy ra EID ENJ. Ta thu được EI. EJ Suy ra EA EB = EN ED hay EA ài tập ôn đội tuyển năm 015 guyễn Văn inh Số 6 ài 1. ho tứ giác ngoại tiếp. hứng minh rằng trung trực của các cạnh,,, cắt nhau tạo thành một tứ giác ngoại tiếp. J 1 1 1 1 hứng minh. Gọi 1 1 1 1 là tứ giác

Διαβάστε περισσότερα

Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b

Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b huỗi bài toán về họ đường tròn đi qua điểm cố định Nguyễn Văn inh Năm 2015 húng ta bắt đầu từ bài toán sau. ài 1. (US TST 2012) ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên,

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto

Διαβάστε περισσότερα

Développement d un nouveau multi-détecteur de neutrons

Développement d un nouveau multi-détecteur de neutrons Développement d un nouveau multi-détecteur de neutrons M. Sénoville To cite this version: M. Sénoville. Développement d un nouveau multi-détecteur de neutrons. Physique Nucléaire Expérimentale [nucl-ex].

Διαβάστε περισσότερα

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Alexandre Birolleau To cite this version: Alexandre Birolleau. Résolution de problème inverse

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΟΜΙΛΩΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΚΛΗΡΩΣΗ (Α ΦΑΣΗ)

ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΟΜΙΛΩΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΚΛΗΡΩΣΗ (Α ΦΑΣΗ) ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΟΜΙΛΩΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΚΛΗΡΩΣΗ (Α ΦΑΣΗ) ΠΑΝΤΕΙΟ-1 BA Α ΟΜΙΛΟΣ ΠΑΝ.ΔΥΤ.ΑΤΤ.-2 ΤΕΙ ΣΤΕΡ.ΕΛΛΑΔ.-1 DE ΕΜΠ-6 LI Β ΟΜΙΛΟΣ ΤΕΙ ΣΤΕΡ.ΕΛΛΑΔ.-2 MD ΠΑΝΤΕΙΟ-3 MC ΠΑΝ.ΔΥΤ.ΑΤΤ.-1 NO ΕΜΠ-4 RU Γ ΟΜΙΛΟΣ ΠΑΝ.ΔΥΤ.ΑΤΤ.-3

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

Na/K (mole) A/CNK

Na/K (mole) A/CNK Li, W.-C., Chen, R.-X., Zheng, Y.-F., Tang, H., and Hu, Z., 206, Two episodes of partial melting in ultrahigh-pressure migmatites from deeply subducted continental crust in the Sulu orogen, China: GSA

Διαβάστε περισσότερα