# Risk! " #\$%&'() *!'+,'''## -. / # \$

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

## Transcript

1 Risk! " #\$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # \$

2 +/ #%&''&(+(( &'',\$ #-&''&\$ #(./0&'',\$( ( (! #( &''/\$ #\$ 3 #4&'',\$ #- &'',\$ #5&''6(&''&7&'',\$ / ( /8 9 :&' " 4; < # \$

3 3 " ( #\$ = = #\$ #\$ ( 3 - > # \$ 3

4 = = " 3 3, 6?3 % A # /CC/; /CC& /CCD\$ = = 3 # /CC'\$ E #( &''/5&''/\$ #/CCC( &'',% (&''&\$ #( A &''6&''?\$ #7 &''&\$ >#&'''\$ 4 ;#&''&\$ 4

5 3 F #&''&\$3 " #5 >&'',\$ 3! A #/CC'\$ # \$ #/CC6\$ 3 #-\$ #/CC?\$3 - ;G # ; /CCD\$ ; ;G ;G #&''/\$ #; <G &''&\$% #4&'',\$ G #- > /CC&\$ 3-5

6 3 3 # 3 9 ( #5&''6\$! #(&''&\$ / ( U ( U ( > 0 U ( < 0! #(\$# U % \$ r =! U ( (,,, z z z n & ' " > ( z < 0 ( z > 0, i, i π I π # \$ i 6

7 I π I "! I z 3 (,,... ( + π + (,,... ( π z z zn U W I z z z zn U W I z 3 π = λ π = ( + λ # 3/CDD\$, H' I' # \$ # \$ # \$ #(&'',7&'',!%&'''\$!# \$ # \$ # \$ 3/# 4#! 3/+/ JH' ' 7

8 3 K max ( z U ( W + [ ( z ] I z + ( z U ( W ( z I z z, I #/\$ #/\$ ( z = #&\$ ' I = #,\$ G 3 K ( ( + ( ( #6\$ max z U W z z U W z z U ( W z ( z + ( ( z U ( W z ( z = > #?\$ ( #?\$ #&\$ & M 3/,/7 4 3 ; 0 / / & # /\$ 8

9 ! / p ( z z / / q p ( z q,0 / & H' / K (, = ( + ( ( = ( ( z z p z p z qp z p z qp z #0\$ / p ( z qp ( z & 0! /! / / 9 π ( z : z [ λ] ( z, z = + 9

10 @ H'λH'! / 3 max ( z, z U W + π ( z : z I z + z, z U ( W π z : z I z #D\$ z, I ( ( (! & # D\$, K ( ( p z qp z = [ + λ] K #C\$ I λ = #/'\$ r ( + λ p ( z qp ( z 6! p ( z C/' 6 p ( z ( qp ( z q p ( z > 0 #//\$ #//\$ C /' #(&''6.!&,&''6\$ 3// 4 6 0

11 ( # &,\$ # C/'\$!""#\$%&' ( # \$ ( % "\$ ' + """ (&'&' ( #,? M ( + ( ( > ( K p z p z qp z p z! /? p ( z ( ( qp ( z! p z ' p ( z ( ( ( ' p z qp z # \$ λ r [ + λ] p ( z qp ( z 5

12 λ r p z [ + λ] (? M ( -.& "/ %\$ # \$! ( \$ ( % + z I % '%,' \$ < 0\$ 0, q q # \$!'% # \$ ( % \$ + \$ z I,' \$ > 0\$ > 0, # \$!'+/ # \$ ( %% \$' z I + % '%,' \$ = 0, 0, r r 0 M = = #! &\$! &# \$ > 3 ' p ( z ( qp ( z 0"(' #π\$ & ' '+/ #\$,

13 @ M K # \$ > #\$ ## \$ &\$ N % &# \$ K % & 3 p ( z + q qp ( z λ = p ( z qp ( z { p ( z qp ( z p ( z qp ( z } #/&\$ 3

14 .& "/ %\$' %#%% %% \$ ( % #\$,' +#\$ / λ > λ / λ < λ, D M! > π I 0"(- / > 0\$' < 0, λ λ C M J # \$! J #,\$ J " J 3/3 4! " 4

15 3 #/\$ H' H' 3''#6/\$(/ 3 K 3 - \$ 3-3, /' M +/ 4 4 A # NH'\$ # N 'OO/\$ A A #! '\$ p ( z = = I p I3 ( z 3 = = ( 3 qp z # '\$ ( z p = [ + λ] λ r I = [ + λ] p ( z p ( z4 = [ + λ] qp ( z4 λ r I4 = F [ + λ] p ( z4 qp ( z4!! # \$ #\$ # \$ 5

16 ( #/\$ #6\$ #!,\$K# \$ # \$ 4# \$ 4 p p ( z ( z 4 [ λ] qp ( z = + 4!, 6 &/ (. 3 &/+/86 G 3 K 6

17 z, z, I, I ( + π + ( π U 0 W I z U W I z #/,\$ = max #//\$G K ( ( p z + q qp z = ( + λ #/6\$ λ I = #/?\$ r ( + λ p ( z qp ( z 5!""#\$' ""4' / ( % ' +''"' / %4' / ( %\$ ""4' / ' +''"/ %4' /, // M ( G # /6\$ # &\$ G p ( z + q qp ( z p ( z qp ( z! G #\$ &/,/ 6 9 G &/,/+6! 3 #"3 3&''&5>&'',F &''&\$ 7

18 ( & 3 / &#\$ / && / / / & / / & qp ( z ( p ( z & / & p ( z qp ( z ( p ( z! / &# & \$ / / qp ( z ( p ( z U ( W + I π ( z, z I z + p ( z qp ( z ( p ( z U ( W I π ( z, z I z ( p ( z U ( W π ( z, z I z + + #/0\$ { } ( z, z = ( + qp ( z ( p ( z + p ( z qp ( z ( p ( z π λ! K p ( z + qp ( z qp ( z p ( z = + ( + λ ( π ( z, z p ( z qp ( z p ( z K = ( + I [ r( I ] > 0 z π ( z, z 6 ( %"" ' +'& '" " ('& '&'/ %%7 % ' " " ( ( %""& '" " ( ' +'' " %%""/ ( %& ' " " (, /& M % 0!,( # \$!, / & 3 F #!,\$ 3 G / & 3 #PF\$#FP\$ / & 8

19 3 #PPF\$#PFPF\$ G 3 # \$ 3 # \$7 0!,K ; 3 ( 3G G % 7 # &''&\$ 3 &/,/, 9

20 QR3#!&''6\$! 9 -> ( - ( 7 3 ( #(\$( A9 #4&'',4"4&'',\$! 4 ( 3# S&''6(( &''6\$ (# \$ # \$ 3 3! 4# I N p ( z p ( z i i i i z# i I N \$ p ( z < p ( z i i I ' N ' p ( z p ( z 9 i i 6& 0

21 ( ( ( = ( + λ p z qp z I ' I I I #/D\$ ( ( I ' I N ' N ( #/D\$ #C\$ p ( z qp ( z O p ( z qp ( z I z I z N #4 ; O #C\$#/'\$ 7 O % &# \$ z > z I I N > I I N 3 H' :/ ;! 6 (! /K (,,..., = ( (... ( z z z p z qp z qp z n n

22 > ( ( z : z,..., zn = [ + ] ( z, z,..., zn = [ + ] p ( z qp ( z... qp ( zn #/C\$ π λ λ! / 3 K max U ( W [ π] I z [ ] U ( W πi z z, I + + #&'\$ ( ( n p z qp z = [ I ] r = [ + λ] λ [ + λ] p ( z qp ( z #&/\$ n #&&\$ 6. "/ %\$! ( \$ ( % + z I % '%' \$ < 0\$ 0, q q!'%// % \$ ( %""( "/ % z I +% '%\$' \$ < 0\$ 0, n n /, M ( 0 /& &! & & %/ 3

23 ! 7, / S > Q - F " R( A9 &''6 & Q >K % R( 9 &'',, ; ; - QA 9 F % K ;GR8"(9"/:% 3

24 6 - K ( (9 /C/CCC? 7 (( % ( %" 9 % ; &''&K/0 (% %&''& 0 7 Q AR (;. (Q% RG+ + D ( >( > > +/#'/% '"+(;(%-&''6&6,&6D C ( > ( - K ( - F/, &''6 /,//6D /' ( >A 7! 0%% // ( > A 7 F - #- \$ #\$ /% ;(%>'&''?! /& ( #( + ; + / ( A&''' /, ( 7! K > 7A&'', /6 ( 7Q A,(R 7 EF/&&''/ /? (Q9KA R./0&'', /0 (+ - 4 > Q R. :% 5 % /D - -Q R + &''6 /C -A; (A '"+(;" '--:A + "; (= &!:7 + TU;;%&''& 0. Ehrlich, I., and G. S. ecker, Market Insurance, Self-Insurance, and Self-Protection Journal of Political Economy, Vol. 80,No. 4,97, pg &/! - K V V VVV V V!&?&''6 && 4" 4 &'', K % #':% /% ; ( &, 4-74%A3%%(E. 7Q( K (A>- A %% R ++ &6 4;;A%!0? /% ;(%; 4

25 &? 4;;A%Q R!0? /% ;(%; &0 4;;A% Q! R0%% >5. Q>A K A( R 9 &''' &D >>7 5 /% &C ( Q - K R,'. A K(( / </=> = =,''3=',=,= =%''(/,/ 5 Q R 7 E F/ & &''/,& 5% A A Q( ( R &''6(;%,D,, 5 > Q A K (R>;8D:;,6 5>>4Q R9"/> #D (&0K&,/&6C&'',,? ; -<G 4Q R &''&,0 ; 5-( >( A Q K U9 A> " ( % % A+A+/E = A "3 3."! -K % %! 7.6&''& &''&'/'6 6' %Q&''&( +!7(( R0%; ( D/ &''& 6/ %(. &"!' /': % U&''& 6&!.5 (>AW4 3 % W?+%; 6'DDC6CCD/CC6 6, > QX F &'R % +++V 66 - Q K R/% ;(%>'/,/CC' 6? -.Q( K % A - A R?;8"(-/CCD66/60C Q -R; # +. 0/CDD//&? 5

26 " 3 A%( A/CDD 6D F >Q! R &''& 6C W - K( % WA F6/,6'/6/D/CC? Appendix Proof. aseline scenario: Obective based on the expected utility function of the firm is max ( z U ( W + [ π ( z ] I z + ( z U N ( W π ( z I z z, I The first order condition for IT security investment is π ( z ( z[ U U N ] + I ( z U + { ( z } U N = 0 z. (A First order condition for insurance is ( z[ π ( z ] U π ( z ( z U N = 0. (A Since ( z ( z U = U and I=. That is, the marginal utilities in both π =, from the latter condition we see that N states are equal. From the first condition, ( z = (A3 Proof. IT Security Spending with No Insurance Market Utility function of the firm is z U W z + z U W z max ( ( ( ( N ( z The first order condition for IT security investment is z U U z U + z U = 0 { } ( [ ] ( ( ( N N For W large enough, first order Taylor series approximation gives U U + U (A4 since ( z ( ( z N { } ( ( ( ( z U z U + z U = 0 N U N ( z + ( ( z U ( z = U N + <, IT security investment when insurance is available at fair market price is lower U than IT security investment when there is no insurance market available. Proof 3. Interdependent case: Utility function of the firm is max ( z, z U ( W + [ π ( z : z ] I z + ( z, z UN ( W π ( z : z I z z, I where ( z, z = ( p ( z ( qp ( z The first order condition for IT security investment is ( z, z π ( z (, z U U N + I { ( z, z U + ( z, z U N } = 0 z z First order condition for insurance is ( z, z ( π ( z, z U ( ( z, z π ( z, z U =0 If =0, then I= and ( z z N, = p ( z( qp( z = z (A5 6

27 If >0, for W large enough, using first order Taylor series approximation U U U I U U + U I + ( ; ( N N Substituting in A5, dividing byu and using first order condition for insurance (, ( [ + λ] (, [ λ] ( (, U z z z z N = U + z z we get ( z, z = z + λ [ ] and assuming the CARA utility function we get from the FOC for insurance λ r[ I] = [ + λ] p ( z qp ( z U where r = is a constant and greater than 0. Using identical firms, U p ( z qp ( z = (A6 + λ [ ] λ I = (A7 r [ + λ] p ( z qp ( z Proof 4: Condition for Unique Equilibrium From the first order condition of IT security investment (A6, Π ( R ( z, z = p ( z qp ( z + = 0 The slope of reaction function for Firm and is Π ( R ( z, z p z qp z R ( z = = Π R z, z p z qp ( z ( ( ( ( ( ; R ( z ( [ + λ] ( (, ( R ( z, z ( ( ( ( ( Π R z z p z qp z = = Π p z qp z In order for reaction curve to intersect, the slope of R should be higher than the slope of R. So p ( z ( qp ( z p ( z qp ( z >. p ( z qp ( z p ( z ( qp( z cross-multiplying and rearranging { p ( z ( qp( z p ( z qp ( z }{ p ( z ( qp( z + p ( z qp ( z } > 0 Note that the second term in the HS multiplicand is positive. Hence for an unique equilibrium, p ( z ( qp( z p ( z qp ( z > 0 Assuming symmetric firms, the condition for unique equilibrium can be written as ( ( ( p z qp( z q p z > 0 Proof 5: Denote the level of IT security investment and insurance coverage taken in independent firm and dependent firms I D I D as z and z respectively and I and I. I I λ p ( z = ; r [ + λ] I = I [ + λ] p ( z (A8(a,b D D D λ p ( z qp ( z = ; r [ + λ] I = D D [ + λ] p ( z qp ( z (A9(a,b Dividing A8a and A9a, p z I = p z D qp z D p z I > p z D z I > z D If >0, dividing A8b and A9b, ( ( ( ; ( ( 7

28 Proof 6: Proof 7: Proof 8: D D ( qp ( z I ( I I p z = D I p z I I D I D z > z p ( z > p ( z ; I D < or I I p ( z p ( z ( ( ( ( z = < 0 q p z qp z p z qp z (i λ p ( z + q qp ( z [ λ] ( ( I D > I (if =0, I I D = I. since denominator is less than zero. I = > 0 z + r p z qp z λ ( + ( [ + λ] r p ( z qp ( z ( ( ( ( ( ( I z p z q qp z p z p z = 0 z q { p z qp z p z qp z } z (ii = > 0 [ + λ] p ( z ( qp ( z p ( z qp ( z λ p ( z + q qp ( z [ + λ] r p ( z qp ( z [ + λ] ( ( ( ( ( I I z + = > 0 z p z qp z p z qp z z I λ (iii = 0, = r r r 0 + λ p z qp z π z ( ( ( ( ( = + < 0 and = ( + λ q z q, ( z = qp ( z p ( z, p ( z q qp ( z z z π < 0 from proposition (i: As a result, > 0 q q z = > 0 { } λ [ + λ] p ( z ( qp ( z p ( z qp ( z λ p ( z + q qp ( z [ + λ] r p ( z qp ( z [ + ] ( ( ( ( ( I I z I = + = λ z λ λ λ p z qp z p z qp z p ( z qp ( z r[ + λ] { } λ p ( z + q qp ( z ( + λ p ( z qp ( z p ( z qp ( z p ( z qp ( z = p ( z qp ( z r[ + λ] { } ( ( p z + q qp z Denote λ = > 0 p ( z qp ( z { p ( z qp ( z p ( z qp ( z } I λλ =. If λ > λ p ( z qp ( z r[ + λ] ( + λ λ, I > λ 0 I, else < 0. λ Proof 9: I = λ ( ( ( λ ( [ ( ] λ r + λ p z qp z = r λ z = + r ( + λ π ( z 8

29 ( π z ( z ( λ = + + z λ z λ λ π z ( ( z π ( z I λ π + λ + = = λ λ λ λ π z ( ( π I We know that insured amount will greater than premium paid.(i.e. ( π ( z > 0 As a result, if > 0, < 0. λ λ If loading factor increases, insurance coverage will decreases if price of insurance ((z increases as well. z π ( z ( z ( λ = + + z > 0 (if λ z λ π ( z > = λ, > 0. λ z λ z λ Proof 0: In region ; p ( z ( z p 3 = ( I r = 4 =, I ( qp ( z3, I3 =. In region ; p ( z = ( + λ p ( z qp ( z ( + λ ( =, r ( I =. In region 4, p ( z4 = + λ qp z λ 4 4 ( ( ( 4, ( λ ( + λ p ( z ( z. In region 3; z z > z3, z > z4, z > z and since > 0, z4 > z3. λ As a result, z > z4, z > z3. For the insurance amount, since z > z4, I = I3 > I > I4. Traditional Insurance Market (q=0, =0 versus Current cyber insurance market. We will compare IT security investment level in region 4 and in region. For cyber insurance coverage taken = I > I4. For the IT security investment, If [ λ] qp ( z + = 4, then 4 z = z. If [ λ ] ( ( ( p p ( z ( z + qp z < p z > p z z > z If [ λ ] ( ( ( 4 [ λ] qp ( z = qp z4 > p z < p z4 z < z4 Proof : Joint decision-making solution Suppose that there are two firms; firm and firm. Social planner will maximize the following U ( W + ( π I z + ( U N ( W πi z + U ( W + ( π I z + ( U N ( W π I z where = ( p ( z ( qp ( z, ( ( ( ( = p z qp z and π ( = + λ FOC for self protection with respect to z ; π π ( U U N U + ( U N + I+ ( U U N U + ( U N I= 0 z z z z FOC for insurance is; π U π U = 0 ( ( N Taylor st order approximation yields as before U N π U U U N π ( I + ( + I+ ( I + ( I= 0 z U z z U U U z For identical agent, U = U = U and U N = U N = U N and since ( ( + λ UN = ( [ + λ] U 9

30 ( ( ( p z + q qp z = The above equation can be written as ( ( ( p z qp z + M = ( + λ ( + λ Comparing with individual firm s first order condition z p ( z ( qp ( z + M = where M=0 and since < 0. + λ M ( Proof : Utility of firm will be qp ( z p ( z U W + I π z, z I z + ; M = p ( z ( q qp ( z 0 ( A ( ( ( ( ( ( ( + π (, + ( ( C ( π (, p z qp z p z U W I z z I z p z U W z z I z First order condition with respect to z qp ( z ( p ( z U A + p ( z qp ( z ( p ( z U p ( z UC π ( z, z ( + I qp ( z ( p ( z U A + p ( z qp ( z ( p ( z U + ( p( z U C = 0 z First order condition with respect to I ( π ( z, z qp ( z ( p ( z U A + ( π ( z, z p ( z qp ( z ( p ( z U ( p( z π ( z, z U C = 0 Following first order Taylor series approximation, U U ( A + U A I, UC U A + U A( I and U U A + U A( I. From first order condition with respect to I and replacing ( p( z U C in first order condition, ( ( ( ( A ( p z qp z p z U ( I p z U A( I π ( z ( ( ( ( ( ( (, z qp z p z p z qp z p z ( + I U A + U = 0 z π ( z, z π ( z, z Substituting the Taylor approximation, dividing by U, and since, and for symmetric firms, p ( z + qp ( z qp ( z p ( z = ( + λ The equation above can be written as ( ( ( A ( ( ( ( ( π z, z p z qp z p z ( + I [ r ( I ] z π ( z, z + K, where K = > 0 p z qp z p z K = [ + λ] ', where K K qp ( z = > 0 ' z For the individual choice of z earlier K =0.From the previous equation = > 0 K p ( z qp ( z qp ( z p ( z As a result IT security investment with liability is greater than without liability. The equation above can be written as p ( z + q qp ( z K = where K = K qp ( z p ( z > 0. + λ [ ] For the oint choice of z earlier, K =0. Thus, from the last equation z = > 0 K p ( z + q qp ( z qp ( z p ( z IT security investment level with liability is higher than social optimum level of IT security investment without liability. Proof 3: Generalization to Several Interdependent Firms Proof is omitted due to space limitation. However, proof is available from authors upon request. 30

### EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

### Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

### CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

### Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

### Areas and Lengths in Polar Coordinates

Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

### 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

### Second Order Partial Differential Equations

Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

### 2 Composition. Invertible Mappings

Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Firm Behavior GOAL: Firms choose the maximum possible output (technological

Διαβάστε περισσότερα

### EE101: Resonance in RLC circuits

EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

### Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

### Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

### Problem Set 3: Solutions

CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

### 1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1

Chapter 7: Exercises 1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 35+n:30 n a 35+n:20 n 0 0.068727 11.395336 10 0.097101 7.351745 25

Διαβάστε περισσότερα

### Online Appendix to. When Do Times of Increasing Uncertainty Call for Centralized Harmonization in International Policy Coordination?

Online Appendix to When o Times of Increasing Uncertainty Call for Centralized Harmonization in International Policy Coordination? Andrzej Baniak Peter Grajzl epartment of Economics, Central European University,

Διαβάστε περισσότερα

### Derivation of Optical-Bloch Equations

Appendix C Derivation of Optical-Bloch Equations In this appendix the optical-bloch equations that give the populations and coherences for an idealized three-level Λ system, Fig. 3. on page 47, will be

Διαβάστε περισσότερα

### ( ) 2 and compare to M.

Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

### Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Course Outline Part II: Mathematical Tools

Διαβάστε περισσότερα

### Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

### Calculating the propagation delay of coaxial cable

Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 6η: Basics of Industrial Organization Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 6η: Basics of Industrial Organization Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Course Outline Part II: Mathematical Tools Firms - Basics

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 9η: Basics of Game Theory Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 9η: Basics of Game Theory Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Course Outline Part II: Mathematical Tools Firms - Basics of Industrial

Διαβάστε περισσότερα

### (1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)

Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

### Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

### Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

### Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων.

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 2015 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης εύτερη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 1. 1. Consder the gven expresson for R 1/2 : R 1/2

Διαβάστε περισσότερα

### Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy Technical Appendix Thomas A. Lubik Department of Economics Johns Hopkins University Frank Schorfheide Department of Economics University

Διαβάστε περισσότερα

### Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

### Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

### ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

### Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

### Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

### Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

### SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

### CYTA Cloud Server Set Up Instructions

CYTA Cloud Server Set Up Instructions ΕΛΛΗΝΙΚΑ ENGLISH Initial Set-up Cloud Server To proceed with the initial setup of your Cloud Server first login to the Cyta CloudMarketPlace on https://cloudmarketplace.cyta.com.cy

Διαβάστε περισσότερα

### Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

### 3.4. Click here for solutions. Click here for answers. CURVE SKETCHING. y cos x sin x. x 1 x 2. x 2 x 3 4 y 1 x 2. x 5 2

SECTION. CURVE SKETCHING. CURVE SKETCHING A Click here for answers. S Click here for solutions. 9. Use the guidelines of this section to sketch the curve. cos sin. 5. 6 8 7 0. cot, 0.. 9. cos sin. sin

Διαβάστε περισσότερα

### If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

### If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

### MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM

English NUMERICAL MATHEMATICS Vol.14, No.2 Series A Journal of Chinese Universities May 2005 A STABILITY ANALYSIS OF THE (k) JACOBI MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM Hou Wenyuan ( ΛΠ) Jiang Erxiong( Ξ)

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,

Διαβάστε περισσότερα

### n r f ( n-r ) () x g () r () x (1.1) = Σ g() x = Σ n f < -n+ r> g () r -n + r dx r dx n + ( -n,m) dx -n n+1 1 -n -1 + ( -n,n+1)

8 Higher Derivative of the Product of Two Fuctios 8. Leibiz Rule about the Higher Order Differetiatio Theorem 8.. (Leibiz) Whe fuctios f ad g f g are times differetiable, the followig epressio holds. r

Διαβάστε περισσότερα

### By R.L. Snyder (Revised March 24, 2005)

Humidity Conversion By R.L. Snyder (Revised March 24, 2005) This Web page provides the equations used to make humidity conversions and tables o saturation vapor pressure. For a pd ile o this document,

Διαβάστε περισσότερα

### Business English. Ενότητα # 9: Financial Planning. Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Business English Ενότητα # 9: Financial Planning Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

### MATRICES

MARICES 1. Matrix: he arrangement of numbers or letters in the horizontal and vertical lines so that each horizontal line contains same number of elements and each vertical row contains the same numbers

Διαβάστε περισσότερα

### "ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΕΤΗ 2011-2013"

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Επιμέλεια Κρανιωτάκη Δήμητρα Α.Μ. 8252 Κωστορρίζου Δήμητρα Α.Μ. 8206 Μελετίου Χαράλαμπος Α.Μ.

Διαβάστε περισσότερα

### Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1)

Name: Date: Nuclear Physics 5. A sample of radioactive carbon-4 decays into a stable isotope of nitrogen. As the carbon-4 decays, the rate at which the amount of nitrogen is produced A. decreases linearly

Διαβάστε περισσότερα

### Precision Metal Film Fixed Resistor Axial Leaded

Features EIA standard colour-coding Non-Flame type available Low noise and voltage coefficient Low temperature coefficient range Wide precision range in small package Too low or too high ohmic value can

Διαβάστε περισσότερα

### Derivation of Quadratic Response Time Dependent Hartree-Fock (TDHF) Equations

Derivation of Quadratic Response Time Dependent Hartree-Fock (TDHF) Equations Joshua Goings, Feizhi Ding, Xiaosong Li Department of Chemistry, University of Washington Nember 21, 2014 1 Derivation of Equations

Διαβάστε περισσότερα

### Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 1: Elements of Syntactic Structure Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια

Διαβάστε περισσότερα

### A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

### The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6

Διαβάστε περισσότερα

### 1. Introduction and Preliminaries.

Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, Serbia Available at: http://www.pmf.ni.ac.yu/filomat Filomat 22:1 (2008), 97 106 ON δ SETS IN γ SPACES V. Renuka Devi and D. Sivaraj Abstract We

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Εργαστήριο Β Χημικής Μηχανικής Τ.Θ. 472 54124 Θεσσαλονίκη PROCESS DYNAMICS & CONTROL 2014 Final Review Series of Solved Problems Problem 1:

Διαβάστε περισσότερα

### Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines

Space Physics (I) [AP-344] Lectue by Ling-Hsiao Lyu Oct. 2 Lectue. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines.. Dipole Magnetic Field Since = we can define = A (.) whee A is called the

Διαβάστε περισσότερα

### On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ-ΟΦΕΛΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΙΣΔΥΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΩΝ ΠΗΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2030

Διαβάστε περισσότερα

### ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. «Προστασία ηλεκτροδίων γείωσης από τη διάβρωση»

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Προστασία ηλεκτροδίων

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΙΟΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΥΓΙΕΙΝΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΤΩΝ Π.Μ.Σ. «ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΥ» Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

CSAE WPS/2009-06 Figure 1: Cut Flower Exports from Kenya, 1995-2007 Table 1: Firms in Areas with and w/out Conflict Panel A - Export Records Variable Observations Mean in No-Conflict

Διαβάστε περισσότερα

### IMES DISCUSSION PAPER SERIES

IMES DISCUSSION PAPER SERIES Will a Growth Miracle Reduce Debt in Japan? Selahattin mrohorolu and Nao Sudo Discussion Paper No. 2011-E-1 INSTITUTE FOR MONETARY AND ECONOMIC STUDIES BANK OF JAPAN 2-1-1

Διαβάστε περισσότερα

### Newborn Upfront Payment & Newborn Supplement

GREEK Newborn Upfront Payment & Newborn Supplement Female 1: Το μωρό μου θα ρθει σύντομα, θα πρέπει να κανονίσω τα οικονομικά μου. Άκουσα ότι η κυβέρνηση δεν δίνει πλέον το Baby Bonus. Ξέρεις τίποτα γι

Διαβάστε περισσότερα

### Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade

Για να ελέγξετε το λογισμικό που έχει τώρα η συσκευή κάντε κλικ Menu > Options > Device > About Device Versions. Στο πιο κάτω παράδειγμα η συσκευή έχει έκδοση λογισμικού 6.0.0.546 με πλατφόρμα 6.6.0.207.

Διαβάστε περισσότερα

### Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

### Δίκτυα Δακτυλίου. Token Ring - Polling

Δίκτυα Δακτυλίου Token Ring - Polling Όλοι οι κόμβοι είναι τοποθετημένοι σε ένα δακτύλιο. Εκπέμπει μόνο ο κόμβος ο οποίος έχει τη σκυτάλη (token). The token consists of a number of octets in a specific

Διαβάστε περισσότερα

### 1. Αφετηρία από στάση χωρίς κριτή (self start όπου πινακίδα εκκίνησης) 5 λεπτά µετά την αφετηρία σας από το TC1B KALO LIVADI OUT

Date: 21 October 2016 Time: 14:00 hrs Subject: BULLETIN No 3 Document No: 1.3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

### AKAΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Η ΧΡΗΣΗ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ-ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ

AKAΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Η ΧΡΗΣΗ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ-ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ : ΜΟΤΣΚΑΛΙΔΗΣ ΒΑΛΕΡΙΟΣ, ΠΕΛΕΚΑΝΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

### GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING

GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING COMMITTEE BANSKO 26-5-2015 «GREECE BULGARIA» Timeline 02 Future actions of the new GR-BG 20 Programme June 2015: Re - submission of the modified d Programme according

Διαβάστε περισσότερα

### Review 4n.1: Vowel stems of the third declension: πόλις, πρέσβυς

Review 4n.1: Vowel stems of the third declension: πόλις, πρέσβυς We review side by side a model of stems ending in ι: πόλις, πόλεως, ἡ = city-state and a masculine model of stems ending in υ: πρέσβυς,

Διαβάστε περισσότερα

### MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

### Παρατήρηση 2 από EFT Hellas A.E.

Σχόλια του ΑΔΜΗΕ σχετικά με τις παρατηρήσεις των Συμμετεχόντων αναφορικά με την Δημόσια Διαβούλευση για την τροποποίηση του Εγχειριδίου Εκκαθάρισης της Αγοράς στις 19/9/2013 Παρατήρηση 1 από EFT Hellas

Διαβάστε περισσότερα

### Αναερόβια Φυσική Κατάσταση

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Γιάννης Κουτεντάκης, BSc, MA. PhD Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Περιεχόµενο Μαθήµατος Ορισµός της αναερόβιας φυσικής κατάστασης Σχέσης µε µηχανισµούς παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

### Smaller. 6.3 to 100 After 1 minute's application of rated voltage at 20 C, leakage current is. not more than 0.03CV or 4 (µa), whichever is greater.

Low Impedance, For Switching Power Supplies Low impedance and high reliability withstanding 5000 hours load life at +05 C (3000 / 2000 hours for smaller case sizes as specified below). Capacitance ranges

Διαβάστε περισσότερα

### SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

### Μορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/

Μορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/ Συνάρτηση round() Περιγραφή Η συνάρτηση ROUND στρογγυλοποιεί έναν αριθμό στον δεδομένο

Διαβάστε περισσότερα

### Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

### Example of the Baum-Welch Algorithm

Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΘΝΙΚΗ ΥΟΛΗ ΔΗΜΟΙΑ ΔΙΟΙΚΗΗ ΙH ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΗ ΕΙΡΑ ΤΜΗΜΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Δ ΕΘΝΙΚΗ ΥΟΛΗ ΔΗΜΟΙΑ ΔΙΟΙΚΗΗ ΙH ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΗ ΕΙΡΑ ΤΜΗΜΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Αποκενηρωμένες δομές ζηο ζύζηημα σγείας ηης Ασζηρίας : Μια ζσζηημαηική θεωρηηική

Διαβάστε περισσότερα

### A, B. Before installation of the foam parts (A,B,C,D) into the chambers we put silicone around. We insert the foam parts in depth shown on diagram.

Corner Joints Machining, Frame edge sealing. Page ID: frame01 D D C A, B A C B C A 20 60 Before installation of the foam parts (A,B,C,D) into the chambers we put silicone around. We insert the foam parts

Διαβάστε περισσότερα

### department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι

She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης

Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής

Διαβάστε περισσότερα

### DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANSFORMATION SEMIGROUPS

GANIT J. Bangladesh Math. oc. IN 606-694) 0) -7 DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANFORMATION EMIGROUP ubrata Majumdar, * Kalyan Kumar Dey and Mohd. Altab Hossain Department of Mathematics University

Διαβάστε περισσότερα

### ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

### Πτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ Νικόλας Χριστοδούλου Λευκωσία, 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ολοκληρωμένη Ανάπτυξη & Διαχείριση Αγροτικού Χώρου» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ «Η συμβολή των Τοπικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

### Προσαρμογή του γνωστικού αντικειμένου «Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή» της ΣΤ Δημοτικού, για περιπτώσεις παιδιών με Ειδική Αναπτυξιακή Δυσλεξία.

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΟΘΕΡΑΠΕΙΑΣ Προσαρμογή του γνωστικού αντικειμένου «Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή» της ΣΤ Δημοτικού, για περιπτώσεις παιδιών με Ειδική Αναπτυξιακή Δυσλεξία. Όνομα Καθηγήτριας: Ζακοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

### SAINT CATHERINE S GREEK SCHOOL ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

SAINT CATHERINE S GREEK SCHOOL ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗΣ WELCOME TO ST. CATHERINE S GREEK SCHOOL! WEEKDAY GREEK SCHOOL - REGISTRATION FORM SCHOOL YEAR 2016-2017 ΑΙΤΗΣΗ ΕΓΓΡΑΦΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

### ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διαπολιτισμική Εκπαίδευση και Θρησκευτική Ετερότητα: εθνικές και θρησκευτικές

Διαβάστε περισσότερα

### PART ONE. Solutions to Exercises

PART ONE Soutions to Exercises Chapter Review of Probabiity Soutions to Exercises. (a) Probabiity distribution function for Outcome = 0 = = (number of heads) probabiity 0.5 0.50 0.5 Cumuative probabiity

Διαβάστε περισσότερα

### Γιπλυμαηική Δπγαζία. «Ανθπυποκενηπικόρ ζσεδιαζμόρ γέθςπαρ πλοίος» Φοςζιάνηρ Αθανάζιορ. Δπιβλέπυν Καθηγηηήρ: Νηθφιανο Π. Βεληίθνο

ΔΘΝΙΚΟ ΜΔΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΙΟ ΥΟΛΗ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΥΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ Γιπλυμαηική Δπγαζία «Ανθπυποκενηπικόρ ζσεδιαζμόρ γέθςπαρ πλοίος» Φοςζιάνηρ Αθανάζιορ Δπιβλέπυν Καθηγηηήρ: Νηθφιανο Π. Βεληίθνο Σπιμελήρ Δξεηαζηική

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ, ΠΕΡΙΟΧΗ ΟΙΚΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΕΟ ΟΜΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΠΟΛΕΟ ΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

### TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα