ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετα τυχιακών Σ ουδών των Τµηµάτων Μαθηµατικών & Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μαθηµατικά των Υ ολογιστών και των Α οφάσεων»

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετα τυχιακών Σ ουδών των Τµηµάτων Μαθηµατικών & Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μαθηµατικά των Υ ολογιστών και των Α οφάσεων» Κατεύθυνση: Στατιστική Θεωρία Α οφάσεων και Εφαρµογές ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ & ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΑΛΚΟΟΛΟΥΧΩΝ ΠΟΤΩΝ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ιπλωµατική εργασία Ρεκούτη Αγγελική Α.Μ. 224 Επιβλέπων καθηγητής: Αλεβίζος Φίλιππος

2 2

3 3 Στην αγαπηµένη µου µανούλα που δεν πρόλαβε να την δει ολοκληρωµένη

4 4

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να εφαρµόσουµε την Παραγοντική Ανάλυση στο δείγµα µας, έτσι ώστε να ανιχνεύσουµε και να περιγράψουµε τις καταναλωτικές συνήθειες του Ελληνικού πληθυσµού ως προς την κατανάλωση 9 κατηγοριών αλκοολούχων ποτών. Η εφαρµογή της µεθόδου γίνεται µε την χρήση του στατιστικού προγράµµατος SPSS. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η οικογένεια µεθόδων επίλυσης του προβλήµατος και στο δεύτερο η µέθοδος που επιλέχτηκε για την επίλυση, η Παραγοντική Ανάλυση. Προσδιορίζουµε το αντικείµενο, τα στάδια σχεδιασµού και τις προϋποθέσεις της µεθόδου, καθώς και τα κριτήρια αξιολόγησης των αποτελεσµάτων. Τα κεφάλαια που ακολουθούν αποτελούν το πρακτικό µέρος της εργασίας. Στο 3 ο κεφάλαιο αναφέρουµε την πηγή των δεδοµένων µας και την διεξαγωγή του τρόπου συλλογής τους. Ακολουθεί ο εντοπισµός των «χαµένων» απαντήσεων και εφαρµόζεται η Ανάλυση των Χαµένων Τιµών (Missing Values Analysis) για τον προσδιορισµό του είδους αυτών και την αποκατάσταση τους στο δείγµα. Στην συνέχεια παρουσιάζουµε το δείγµα µας µε τη βοήθεια της περιγραφικής στατιστικής και τέλος δηµιουργούµε και περιγράφουµε το τελικό µητρώο δεδοµένων το οποίο θα αναλύσουµε παραγοντικά. Στο 4 ο και τελευταίο κεφάλαιο διερευνάται η καταλληλότητα του δείγµατος για την εφαρµογή της Παραγοντικής Ανάλυσης µε τον έλεγχο της ικανοποίησης των προϋποθέσεων της µεθόδου. Ακολουθεί η παράλληλη µελέτη του δείγµατος συµπεριλαµβάνοντας και µη στην επίλυση τις ακραίες τιµές (outliers) που εντοπίστηκαν. Καταλήγοντας στο συµπέρασµα ότι οι ακραίες τιµές δεν επηρεάζουν τα αποτελέσµατα της µεθόδου, εφαρµόζουµε την Παραγοντική Ανάλυση µε τη χρήση της µεθόδου των κυρίων συνιστωσών και αναφέρουµε αναλυτικά όλα τα βήµατα µέχρι να καταλήξουµε στα τελικά συµπεράσµατα µας. 5

6 6

7 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή µου κ. Φίλιππο Αλεβίζο για την καθοδήγηση και τις υποδείξεις του χωρίς τις οποίες δεν θα κατάφερνα να ολοκληρώσω την παρούσα εργασία και για την ευκαιρία που µου έδωσε να ασχοληθώ µε το συγκεκριµένο θέµα, το αντικείµενο του οποίου ανταποκρίνεται απόλυτα στα επιστηµονικά και επαγγελµατικά µου ενδιαφέροντα. Τον ευχαριστώ επίσης, καθώς και τα υπόλοιπα µέλη της τριµελούς επιτροπής, κ.κ. Νικόλαο Τσάντα Αναπληρωτή Καθηγητή και Κώστα Πετρόπουλο Λέκτορα, για την κατανόηση και συµπαράσταση τους στις δύσκολες στιγµές που αντιµετώπιζα εγώ και η οικογένειά µου. Σε αυτό το σηµείο θα ήθελα να προσθέσω ένα επιπλέον ευχαριστώ στον κ. Νικόλαο Τσάντα και στην οικογένειά του και στον κ. Γεώργιο Παυλίδη καθηγητή στο Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής του Παν/µιου Πατρών και στην οικογένειά του που πίστεψαν από την αρχή σε µένα και δεν σταµάτησαν να µε στηρίζουν. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θέλω να εκφράσω στον πατέρα µου Αλέξη και στις αδερφές µου Ελένη και Αναστασία για την αµέριστη συµπαράστασή τους και υποµονή τους και να τονίσω ότι χωρίς την υποστήριξή τους δεν θα είχα αντέξει µέχρι εδώ. Αντίστοιχες είναι και οι ευχαριστίες µου προς όλους τους φίλους µου και την υπόλοιπη οικογένειά µου που στάθηκαν δίπλα µου και µε ενθάρρυναν συνεχώς. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω την ιοίκηση της εταιρείας έρευνας αγοράς Focus Bari, στην οποία εργάζοµαι και ιδιαίτερα τις κυρίες Πολυξένη Κούρτογλου Πρόεδρο και Βαλέρια Τσάµη Γενική ιευθύντρια για την εµπιστοσύνη και την υποστήριξη που µου έδειξαν και την παραχώρηση των δεδοµένων που χρησιµοποίησα στην παρούσα εργασία. Αγγελική Α. Ρεκούτη Πάτρα,

8 8

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 11 ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 11 Τυχαία µεταβλητή 11 Κλίµακες Μέτρησης 12 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ 13 Μέθοδοι εξαρτηµένων µεταβλητών 15 Μέθοδοι αλληλεξάρτησης 15 ΕΙ Η ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ 16 Μέθοδος Κύριων Συνιστωσών & Κοινή Παραγοντική Ανάλυση 16 Πολλα λή αλινδρόµηση 17 Πολλα λή discriminant ανάλυση 17 Λογιστική αλινδρόµηση 18 Κανονική συσχέτιση 18 Πολυµεταβλητή ανάλυση διασ οράς και συνδιασ οράς 19 Conjoint ανάλυση 19 Ανάλυση κατά συστάδες 20 Αντιλη τική χαρτογράφηση 20 Ανάλυση των αντιστοιχιών 21 Εξίσωση διαρθρωτικής µοντελο οίησης 21 Η ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ 22 Η ρακτική σηµασία και η στατιστική σηµαντικότητα των α οτελεσµάτων 22 Η ε ιρροή του µεγέθους του δείγµατος στα α οτελέσµατα 23 Η γνώση των δεδοµένων 23 Αναζητώντας το οικονοµικότερο µοντέλο 24 Κοιτάζοντας στα λάθη 24 Ε ικυρώνοντας τα α οτελέσµατα 25 ΣΧΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ 25 ΓΝΩΡΙΖΟΝΤΑΣ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ 28 Γραφική εξέταση των δεδοµένων 29 Χαµένες τιµές 30 Ακραίες τιµές 34 Έλεγχος ικανο οίησης αραδοχών της ολυµεταβλητής µεθόδου 36 Η χρήση των ψευδοµεταβλητών 41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 43 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 43 Η ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 44 Προσδιορισµός του Αντικειµένου της Παραγοντικής Ανάλυσης 44 Σχεδιάζοντας την Παραγοντική Ανάλυση 45 Προϋ οθέσεις της Παραγοντικής Ανάλυσης 46 9

10 Εξαγωγή & λήθος αραγόντων 48 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ 50 Περιστροφή αραγόντων 51 ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 52 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΚΥΡΙΩΝ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 55 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ 55 Χαρακτηριστικά δείγµατος 57 Περιγραφή δείγµατος ως ρος την εβδοµαδιαία κατανάλωση αλκοολούχων οτών 63 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΑ 65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 - ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 71 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 71 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 71 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΑ ΜΕ & ΧΩΡΙΣ ΤΙΣ ΑΚΡΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ 72 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΑ 75 ΑΠΟΚΛΕΙΟΝΤΑΣ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΜΕ ΕΙΚΤΗ MSA < 0,5 78 ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ 81 ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 82 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 85 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 87 10

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η Πολυµεταβλητή Ανάλυση (multivariate analysis) είναι η εφαρµογή της Πολυδιάστατης Στατιστικής, η οποία περιλαµβάνει την ταυτόχρονη παρατήρηση και ανάλυση περισσότερων από µία µεταβλητών. Η µέθοδος χρησιµοποιείται για την µελέτη πολυδιάστατων προβληµάτων, λαµβάνοντας παράλληλα υπόψη την επιρροή όλων των µεταβλητών που συµµετέχουν στην ανάλυση. Πολλοί συγγραφείς θεωρούν ότι σκοπός της Πολυµεταβλητής Ανάλυσης είναι να µετρήσει, να εξηγήσει και να προβλέψει τον βαθµό της αλληλεπίδρασης µεταξύ των µεταβλητών. Έτσι, ο χαρακτήρας της πολυδιάστασης δεν περιορίζεται στο πλήθος των µεταβλητών ενός προβλήµατος, αλλά και στο είδος των µεταξύ τους αλληλεπιδράσεων [1, 14]. Τυχαία µεταβλητή Η τυχαία µεταβλητή (variate [14]) αποτελεί τον θεµέλιο λίθο για την Πολυµεταβλητή Ανάλυση. Είναι ο γραµµικός συνδυασµός των µεταβλητών του δείγµατος, οι οποίες έχουν διευκρινιστεί από τον ερευνητή και έχουν αποδοθεί σε αυτές τα αντίστοιχα βάρη που καθορίστηκαν από την πολυµεταβλητή τεχνική για να προσεγγίσουν ένα αντικείµενο. Μία τυχαία µεταβλητή n σταθµισµένων µεταβλητών X 1,, X n αναπαριστάνεται από τον τύπο: variate value= w X +w X + +w X όπου X n είναι οι παρατηρηθείσες µεταβλητές και w n τα αντίστοιχα βάρη που καθορίστηκαν από την πολυµεταβλητή τεχνική. Το αποτέλεσµα είναι µία µοναδική τιµή, η οποία αντιπροσωπεύει εκείνο τον συνδυασµό των µεταβλητών που προσεγγίζει καλύτερα το αντικείµενο της πολυµεταβλητής τεχνικής. Στην πολλαπλή παλινδρόµηση, η τυχαία µεταβλητή ορίζεται µε τέτοιον τρόπο ώστε να µεγιστοποιεί την συσχέτιση µεταξύ των πολλαπλών ανεξάρτητων µεταβλητών και της εξαρτηµένης µεταβλητής. Στην Discriminant Analysis, η τυχαία µεταβλητή διαµορφώνεται έτσι ώστε να δηµιουργήσει τιµές για κάθε παρατήρηση η οποία διαφοροποιείται στο µέγιστο από την οµάδα των παρατηρήσεων. Στην Παραγοντική Ανάλυση (Factor Analysis), οι τυχαίες µεταβλητές ορίζονται έτσι ώστε να δίνουν την καλύτερη δοµή ή µορφή των µεταβλητών όπως αντιπροσωπεύονται από τις ιδιοσυσχετίσεις τους [1]. 11

12 Κλίµακες Μέτρησης Η Ανάλυση εδοµένων (Data Analysis) συνεπάγεται την αναγνώριση και την µέτρηση της διακύµανσης σε ένα σύνολο µεταβλητών, είτε µεταξύ αυτών είτε µεταξύ µίας εξαρτηµένης µεταβλητής και ενός ή περισσότερων ανεξάρτητων µεταβλητών. Η λέξη κλειδί είναι η µέτρηση (measurement), γιατί ο ερευνητής δεν µπορεί να προσδιορίσει την διακύµανση εκτός αν µπορέσει να την µετρήσει. Επιπλέον, είναι ο συντελεστής επιλογής της κατάλληλης πολυµεταβλητής µεθόδου. Τα δεδοµένα µπορούν να ταξινοµηθούν σε 2 κατηγορίες, τα µη µετρήσιµα ή διακριτά (non-metric) και τα µετρήσιµα ή συνεχή (metric), ανάλογα µε τα χαρακτηριστικά που αντιπροσωπεύουν. Ο ορισµός των δεδοµένων από τον ερευνητή είναι πολύ σηµαντικός γιατί είναι καθοριστικός για την ανάλυση αυτών [1]. Τα διακριτά δεδοµένα περιγράφουν τις διαφορές σε ένα είδος προσδιορίζοντας την παρουσία ή την απουσία ενός χαρακτηριστικού ή µίας ιδιότητας. Η ύπαρξη µίας ιδιότητας αναιρεί άµεσα όλες τις υπόλοιπες. Για παράδειγµα, αν ένα άτοµο έχει την ιδιότητα «ΑΝΤΡΑΣ» δεν µπορεί να έχει και την ιδιότητα «ΓΥΝΑΙΚΑ». Οι µετρήσεις αυτές χωρίζονται σε κατηγορικές (nominal) και σε διάταξης (ordinal) [1]. Οι nominal κλίµακες είναι οι κατηγορικές µεταβλητές των οποίων οι τιµές αναφέρονται σε ονόµατα, κατηγορίες, χαρακτηριστικά. Οι αριθµοί που αποδίδονται στα αντικείµενα δεν έχουν ποσοτική υπόσταση καθώς προσδιορίζουν µόνο την ύπαρξη ή µη ενός χαρακτηριστικού και δεν παρουσιάζουν κάποιο είδος ιεράρχησης ή ταξινόµησης. Μία υποκατηγορία των nominal µεταβλητών είναι οι διχοτοµικές (dichotomical), στις οποίες οι τιµές της µεταβλητής είναι µόνο δύο και προέρχονται από ερωτήσεις µε δύο κατηγορίες απαντήσεων (πχ «Ποιο είναι το φύλο σας;», «Παρακολουθείτε αγώνες ποδοσφαίρου;») [1, 3]. Οι ordinal κλίµακες αντιπροσωπεύουν ιεραρχηµένες λίστες κατά την κωδικοποίηση. Υπάρχει δηλαδή κάποιο είδος σχέσης στα δεδοµένα και κατ επέκταση στις αξίες της µεταβλητής. Η ιεράρχηση αυτή αντικατοπτρίζει βαθµιαία αύξηση ή µείωση της σχέσης των τιµών. Οι αριθµοί των µεταβλητών αυτών είναι µη ποσοτικοί, γιατί προσδιορίζουν µόνο τις σχετικές θέσεις σε µία ιεραρχηµένη ακολουθία και όχι το πραγµατικό ποσό. Ένα παράδειγµα ordinal µεταβλητής είναι η ικανοποίηση που εκφράζουν οι πελάτες µια επιχείρησης για τα προϊόντα της. Οι τιµές της µεταβλητής αυτής θα µπορούσαν να είναι «Απόλυτα ικανοποιηµένος», «Αρκετά ικανοποιηµένος», «Ούτε ικανοποιηµένος, Ούτε δυσαρεστηµένος», «Αρκετά δυσαρεστηµένος» και «Απόλυτα δυσαρεστηµένος» [1, 3]. Το βασικό µειονέκτηµα των διακριτών δεδοµένων είναι ότι το πεδίο ανάλυσης τους είναι πολύ περιορισµένος δεδοµένου ότι δεν µπορεί να εφαρµοστεί σε αυτά καµία αριθµητική λειτουργία όπως αθροίσµατα, µέσοι όροι, πολλαπλασιασµοί ή διαιρέσεις, κλπ. Για αυτό τον λόγο, αρκετές πολυµεταβλητές τεχνικές χρησιµοποιούνται µόνο για διακριτά δεδοµένα (correspondence analysis, discriminant analysis µε διακριτή εξαρτηµένη µεταβλητή, πολυµεταβλητή ανάλυση διασποράς µε διακριτές ανεξάρτητες µεταβλητές). Εποµένως, ο ερευνητής θα πρέπει να προσδιορίσει όλα τα διακριτά δεδοµένα για να βεβαιωθεί ότι χρησιµοποιούνται σωστά στην Πολυµεταβλητή Ανάλυση [1]. Σε αντίθεση µε τα διακριτά δεδοµένα, τα συνεχή χρησιµοποιούνται για αντικείµενα που διαφέρουν κατά ένα ποσό ή βαθµό σε ένα συγκεκριµένο χαρακτηριστικό. Τα δύο είδη στα οποία διαφοροποιούνται οι συνεχείς µεταβλητές είναι τα διαστήµατα (interval) και οι αναλογίες (ratio) [1, 3]. 12

13 Στις interval µεταβλητές τα διαστήµατα µεταξύ των τιµών είναι ίσα. Χρησιµοποιούνται για την µέτρηση διαφορών και η κλίµακα καθώς και το σηµείο µηδέν είναι αυθαίρετα. Για παράδειγµα οι κλίµακες µέτρησης θερµοκρασίας, Fahrenheit και Celsius. Το σηµείο µηδέν δεν συνεπάγεται την έλλειψη θερµοκρασίας, αλλά αντιθέτως δίνει την τιµή 0 ο C(ή F). Επιπλέον, οι αριθµητικές πράξεις στις τιµές αυτού του είδους των µεταβλητών δεν ισχύουν. εν µπορεί κάποιος µε σιγουριά να πει ότι οι 80 ο F είναι οι διπλάσιοι από τους 40 ο F. Σε µια άλλη κλίµακα θερµοκρασίας οι 40 ο F είναι ίσοι µε 4,4 ο C και οι 80 ο F µε 26,7 ο C [1, 3]. Οι ratio µεταβλητές παίρνουν διακριτές ή συνεχόµενες τιµές και εφαρµόζονται σε αυτές όλες οι αριθµητικές πράξεις. Επιπλέον το σηµείο µηδέν είναι απόλυτο και οι τιµές της κλίµακας είναι πολλαπλάσια αυτών. Τα 100 κιλά είναι το διπλάσιο βάρος των 50 κιλών. ιαφορετικά, οι µεταβλητές αυτές καλούνται κλιµακωτές (scale) [1, 3]. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ Η ταξινόµηση των πολυδιάστατων µεθόδων στηρίζεται σε τρεις αποφάσεις για την µορφή των δεδοµένων, τις οποίες πρέπει να λάβει ο ερευνητής πριν ξεκινήσει την ανάλυση. Η επιλογή της κατάλληλης µεθόδου στηρίζεται στις απαντήσεις των παρακάτω ερωτήσεων: o Μπορούν οι µεταβλητές να χωριστούν σε εξαρτηµένες και ανεξάρτητες σύµφωνα µε κάποια θεωρία; o Αν ναι, πόσες είναι οι εξαρτηµένες; o Ποιο είναι το είδος των ανεξάρτητων και των εξαρτηµένων µεταβλητών; Η απάντηση στην πρώτη ερώτηση µας υποδεικνύει αν η µέθοδος που θα ακολουθήσουµε είναι µέθοδος εξαρτηµένων µεταβλητών ή µέθοδος αλληλεξάρτησης. Η µέθοδος εξαρτηµένων µεταβλητών (dependent technique) µπορεί να οριστεί σαν µία µέθοδος κατά την οποία µία µεταβλητή ή ένα σύνολο µεταβλητών που χαρακτηρίζεται ως εξαρτηµένη µεταβλητή (dependent variable) προβλέπεται ή ερµηνεύεται από άλλες µεταβλητές, τις ανεξάρτητες (independent variables). Μία µέθοδος εξαρτηµένων µεταβλητών είναι η ολλα λή αλινδρόµηση (multiple regression). Αντιθέτως, µέθοδος αλληλεξάρτησης (interdependence method) χαρακτηρίζεται η µέθοδος κατά την οποία καµία µεταβλητή από µόνη της ή κανένα σύνολο µεταβλητών δεν µπορεί να χαρακτηριστεί ως εξαρτηµένη ή ανεξάρτητη µεταβλητή. Σε αυτές τις µεθόδους γίνεται ταυτόχρονη ανάλυση όλων των µεταβλητών του συνόλου. Η Παραγοντική Ανάλυση (Factor Analysis) είναι µία µέθοδος αλληλοεξαρτηµένων µεταβλητών. Στο σχήµα παρακάτω παρουσιάζεται η ταξινόµηση των πολυδιάστατων µεθόδων [1]. 13

14 Εικόνα 1 Επιλογή πολυδιάστατης µεθόδου 14

15 Μέθοδοι εξαρτηµένων µεταβλητών Οι µέθοδοι εξαρτηµένων µεταβλητών κατηγοριοποιούνται βάσει δύο χαρακτηριστικών. πρώτον, τον αριθµό των εξαρτηµένων µεταβλητών και δεύτερον, το είδος των µεταβλητών ως προς την κλίµακα µέτρησης. Ως προς τον αριθµό των εξαρτηµένων µεταβλητών οι µέθοδοι αυτές χωρίζονται στις µεθόδους µε µία εξαρτηµένη µεταβλητή και σε αυτές µε περισσότερες από µία. Ως προς την κλίµακα µέτρησης χωρίζονται επιπλέον σε συνεχείς (ποσοτικές / αριθµητικές) και σε διακριτές (ποιοτικές / κατηγορικές) εξαρτηµένες µεταβλητές [1]. Αν η ανάλυση αποτελείται από µία εξαρτηµένη συνεχή µεταβλητή, τότε η κατάλληλη µέθοδος είναι η πολλαπλή παλινδρόµηση ή η conjoint ανάλυση. Στην conjoint ανάλυση η εξαρτηµένη µεταβλητή µπορεί να είναι συνεχής ή διακριτή, ανάλογα µε το είδος των δεδοµένων που έχουν συλλεχθεί. Αν η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι κατηγορική, τότε οι κατάλληλες µέθοδοι ανάλυσης είναι η ολλα λή discriminant ανάλυση (multiple discriminant analysis) και τα γραµµικά µοντέλα ιθανότητας (linear probability models) [1]. Όταν οι εξαρτηµένες µεταβλητές είναι περισσότερες από µία και συνεχείς θα πρέπει να εξετάσουµε τις ανεξάρτητες µεταβλητές. Αν αυτές µε την σειρά τους είναι διακριτές, τότε κατάλληλη είναι η µέθοδος της ολυµεταβλητής ανάλυσης διασ οράς (Multivariate ANalysis Of VAriance MANOVA). Αν οι ανεξάρτητες µεταβλητές είναι συνεχείς θα πρέπει να εφαρµοστεί η µέθοδος της κανονικής συσχέτισης (canonical correlation). Αν µερικές από τις ανεξάρτητες µεταβλητές είναι διακριτές, µπορούν να µετασχηµατιστούν σε συνεχείς µε τιµές 0 και 1 µέσω των ψευδοµεταβλητών (dummies variables) και να εφαρµοστεί για την ανάλυση η µέθοδος της κανονικής συσχέτισης. Τέλος, αν πιθανολογείται η ύπαρξη σχέσεων µεταξύ εξαρτηµένων και ανεξάρτητων µεταβλητών πρέπει να εφαρµοστεί η εξίσωση διαρθρωτικής µοντελο οίησης (Structural Equation Modeling) [1, 4]. Μέθοδοι αλληλεξάρτησης Στις µεθόδους αλληλεξάρτησης όλες οι µεταβλητές αναλύονται ταυτόχρονα για να προσδιοριστεί η δοµή του συνόλου των δεδοµένων. Η παραγοντική ανάλυση είναι η κατάλληλη µέθοδος για τον προσδιορισµό της δοµής ενός συνόλου µεταβλητών. Στην περίπτωση όµως που απαιτείται η οµαδοποίηση παρατηρήσεων ή των ερωτηθέντων µίας έρευνας χρησιµοποιείται η ανάλυση κατά συστάδες (cluster analysis). Τέλος, αν εξετάζεται ένα σύνολο ως προς την δοµή των αντικειµένων πρέπει να εφαρµοστούν οι τεχνικές της αντιλη τικής χαρτογράφησης (perceptual mapping) [1]. Εκτός από το είδος της δοµής που αναλύεται θα πρέπει να ληφθεί υπόψη και το είδος της κλίµακας µέτρησης των µεταβλητών. Γενικά, η Παραγοντική ανάλυση και η ανάλυση κατά συστάδες θεωρούνται µέθοδοι αλληλεξάρτησης συνεχών µεταβλητών. Υπάρχουν όµως περιπτώσεις διακριτών δεδοµένων στα οποία εφαρµόζονται οι παραπάνω τεχνικές αφού αυτά, έχοντας υποστεί τον κατάλληλο µετασχηµατισµό, µετατρέπονται σε συνεχή µε την χρήση των ψευδοµεταβλητών. Αν όλες οι µεταβλητές που συµµετέχουν στην ανάλυση είναι διακριτές, τότε η κατάλληλη µέθοδος για τον εντοπισµό της δοµής τους είναι η ανάλυση των αντιστοιχιών (correspondence analysis) [1]. 15

16 ΕΙ Η ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ Στην πολυµεταβλητή ανάλυση υπάρχει ένα συνεχώς επεκτεινόµενο σύνολο µεθόδων για την ανάλυση των δεδοµένων, το οποίο περικλείει µία ευρεία γκάµα πιθανών καταστάσεων που επιζητούν περαιτέρω διερεύνηση. Οι πιο καθιερωµένες µέθοδοι είναι οι εξής [1, 2]: 1. Η Μέθοδος Κύριων Συνιστωσών (Principal components analysis) και η κοινή αραγοντική ανάλυση (common factor analysis), η αλλιώς κύρια αραγοντική ανάλυση (principal factor analysis) [8]. 2. Η Πολλα λή αλινδρόµηση (multiple regression) και η ολλα λή συσχέτιση (multiple correlation). 3. Η ολλα λή discriminant ανάλυση (multiple discriminant analysis) και η λογιστική αλινδρόµηση (logistic regression). 4. Η ανάλυση κανονικής συσχέτισης (canonical correlation analysis). 5. Η ολυµεταβλητή ανάλυση διασ οράς και συνδιασ οράς (multivariate analysis of variance and covariance). 6. Η conjoint ανάλυση (conjoint analysis). 7. Η ανάλυση κατά συστάδες (cluster analysis). 8. Η αντιλη τική χαρτογράφηση (perceptual mapping), γνωστή και ως ολυδιάστατη κλιµακο οίηση (multidimensional scaling). 9. Η ανάλυση των αντιστοιχιών (correspondence analysis). 10. Η εξίσωση διαρθρωτικής µοντελο οίησης (Structural Equation Modeling) και η ε ιβεβαιωτική αραγοντική ανάλυση (confirmatory factor analysis). Παρακάτω θα αναφέρουµε εν συντοµία τα χαρακτηριστικά της κάθε µεθόδου και το αντικείµενο της εφαρµογής τους. Μέθοδος Κύριων Συνιστωσών & Κοινή Παραγοντική Ανάλυση Όταν υπάρχουν πολλές µεταβλητές σε µία ανάλυση είναι συχνά χρήσιµο να µειωθεί το πλήθος τους σε ένα µικρότερο σύνολο παραγόντων. Μία τέτοια µέθοδος είναι η Παραγοντική ανάλυση, η οποία συµπεριλαµβάνει και την µέθοδο των κύριων συνιστωσών και την κοινή παραγοντική ανάλυση. Σε αυτή την τεχνική αλληλεξάρτησης το αντικείµενο είναι να βρεθεί ένας τρόπος που να συµπυκνώνει σε ένα µικρότερο σύνολο τυχαίων µεταβλητών την πληροφορία που προέρχεται από τις αρχικές µεταβλητές του συνόλου, µε όσο το δυνατόν µικρότερη απώλεια αυτής. Αυτές οι τυχαίες µεταβλητές που δηµιουργούνται καλούνται αράγοντες (factors). Η ιδανική περίπτωση είναι οι µεταβλητές να είναι κανονικές και συνεχείς και να συµµετέχουν από 3 έως 5 περίπου σε κάθε παράγοντα. Το σύνολο του δείγµατος των παρατηρήσεων πρέπει να είναι µεγαλύτερο από 50, µε πάνω από 5 παρατηρήσεις ανά µεταβλητή [1, 2]. Ο ερευνητής, για παράδειγµα, µπορεί να χρησιµοποιήσει την παραγοντική ανάλυση για την ακριβέστερη κατανόηση των σχέσεων µεταξύ της αξιολόγησης των πελατών ενός εστιατορίου. Υποθέτουµε ότι ο πελάτης αξιολογεί το εστιατόριο ως προς τις εξής 6 µεταβλητές: γεύση φαγητού, θερµοκρασία φαγητού, φρεσκάδα, χρόνος αναµονής, 16

17 καθαριότητα και φιλικότητα των υπαλλήλων. Ο ερευνητής θέλει να συνδυάσει αυτές τις 6 µεταβλητές σε έναν µικρότερο αριθµό. Αναλύοντας τις απαντήσεις των πελατών, ο ερευνητής µπορεί να καταλήξει ότι η γεύση, η θερµοκρασία και η φρεσκάδα του φαγητού µπορούν να συνδυαστούν και να αποτελέσουν έναν µοναδικό παράγοντα της ποιότητας του φαγητού, καθώς και οι µεταβλητές χρόνος αναµονής, καθαριότητα και φιλικότητα των υπαλλήλων να συνδυαστούν και να δώσουν έναν άλλο µοναδικό παράγοντα, την ποιότητα της εξυπηρέτησης [1]. Πολλα λή αλινδρόµηση Η πολλαπλή παλινδρόµηση είναι η πιο κοινή πολυµεταβλητή µέθοδος. Είναι κατάλληλη για την ανάλυση της σχέσης µεταξύ µίας συνεχούς εξαρτηµένης µεταβλητής και πάνω από δύο συνεχών ανεξάρτητων µεταβλητών. Το αντικείµενο της µεθόδου είναι να προβλέψει τις αλλαγές της εξαρτηµένης µεταβλητής που οφείλονται στις αλλαγές των ανεξάρτητων µεταβλητών. Ο πιο συνηθισµένος τρόπος επίτευξης αυτής της πρόβλεψης είναι η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (least squares method). Η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων είναι µια τυποποιηµένη προσέγγιση για την προσεγγιστική λύση των αόριστων συστηµάτων, δηλαδή των συνόλων των εξισώσεων µε περισσότερες εξισώσεις από ότι αγνώστους. Ο όρος "ελαχίστων τετραγώνων" σηµαίνει ότι η συνολική λύση ελαχιστοποιεί το άθροισµα των τετραγώνων των σφαλµάτων που δηµιουργήθηκε κατά την επίλυση κάθε εξίσωσης [1, 2, 14]. Όταν ο ερευνητής χρειάζεται να προβλέψει το ποσό ή το µέγεθος µίας εξαρτηµένης µεταβλητής η πολλαπλή παλινδρόµηση είναι χρήσιµη. Για παράδειγµα, οι µηνιαίες δαπάνες για φαγητό έξω (εξαρτηµένη µεταβλητή) µπορούν να προβλεφθούν από την πληροφορία που µας δίνουν το µηνιαίο εισόδηµα µιας οικογένειας, το πλήθος των ατόµων που την αποτελούν και την ηλικία αυτών (ανεξάρτητες µεταβλητές) [1]. Πολλα λή discriminant ανάλυση Η πολλαπλή discriminant ανάλυση είναι η κατάλληλη πολυµεταβλητή µέθοδος αν η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι διχοτοµική (πχ άνδρας-γυναίκα) ή πολυτοµική (πχ υψηλά- µέτρια-χαµηλά), δηλαδή αν είναι διακριτή. Οµοίως µε την πολλαπλή παλινδρόµηση οι ανεξάρτητες µεταβλητές πρέπει να είναι συνεχείς. Εφαρµόζεται σε περιπτώσεις στις οποίες το συνολικό δείγµα χωρίζεται σε οµάδες βασισµένες σε µία διακριτή εξαρτηµένη µεταβλητή η οποία χαρακτηρίζεται από αρκετές γνωστές διαβαθµίσεις. Το πρωτεύον αντικείµενο της µεθόδου είναι η κατανόηση των διαφορετικών οµάδων και η πρόβλεψη της πιθανότητας µία οντότητα (άτοµο ή αντικείµενο) να ανήκει σε µία συγκεκριµένη οµάδα βασιζόµενη σε ορισµένες συνεχείς ανεξάρτητες µεταβλητές µε υψηλό βαθµό κανονικότητας [1, 2]. Η discriminant ανάλυση χτίζει µια γραµµική discriminant συνάρτηση, η οποία χρησιµοποιείται για την οµαδοποίηση των παρατηρήσεων. Η µέθοδος είναι χρήσιµη για τον διαχωρισµό οµάδων ως προς κάποιο χαρακτηριστικό από το δηµογραφικό τους ή το ψυχογραφικό τους προφίλ. Μερικές ακόµα εφαρµογές της συναντώνται στον διαχωρισµό 17

18 µεταξύ των βαθµίδων ενός καταναλωτή (heavy user, medium user, light user), των δύο φύλων, του καλού πιστωτικού κινδύνου και του ασθενή, κα [1, 2]. Λογιστική αλινδρόµηση Τα λογιστικά µοντέλα αλινδρόµησης (logistic regression models) είναι ένας συνδυασµός της πολλαπλής παλινδρόµησης και της πολλαπλής discriminant ανάλυσης. Μοιάζει µε την πολλαπλή παλινδρόµηση ως προς την ερµηνεία και πρόβλεψη µίας εξαρτηµένης µεταβλητής από ένα πλήθος ανεξάρτητων µεταβλητών. Αυτό που διαχωρίζει αυτή την µέθοδο από την πολλαπλή παλινδρόµηση είναι ότι η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι διακριτή, όπως και στην discriminant ανάλυση. Αν και η διακριτή µεταβλητή απαιτεί διαφορές στην µέθοδο εκτίµησης και συγκεκριµένες προϋποθέσεις για το είδος της µεταβλητής, σε όλα τα άλλα σηµεία η µέθοδος είναι περίπου όµοια µε την πολλαπλή παλινδρόµηση. Από την discriminant ανάλυση διαφέρει αρχικά ως προς το είδος των ανεξάρτητων µεταβλητών (δέχεται συνεχείς και µη) και επιπλέον ως προς το ότι δεν απαιτείται η εξασφάλιση της πολυµεταβλητής κανονικότητας. Όµως σε πολλές περιπτώσεις, ειδικά σε αυτές όπου η εξαρτηµένη µεταβλητή έχει περισσότερα από ένα επίπεδα, η discriminant ανάλυση είναι καταλληλότερη από την λογιστική παλινδρόµηση [1, 2]. Τα µοντέλα αυτά βοηθάνε στην πρόβλεψη της επιλογής των καταναλωτών µεταξύ των εναλλακτικών επιλογών που έχουν στην διάθεσή τους. Εφαρµογή βρίσκουν και στην ερµηνεία των οικονοµικών και διαχειριστικών δεδοµένων για την επιλογή των καλύτερων υποψηφίων για µελλοντικές έρευνες [1, 2]. Κανονική συσχέτιση Η κανονική συσχέτιση µπορεί να θεωρηθεί µια επέκταση της πολλαπλής παλινδρόµησης, µιας και σε αυτήν το αντικείµενο είναι να συσχετιστούν, αντί για µία, πολλές εξαρτηµένες συνεχείς µεταβλητές µε πολλές ανεξάρτητες συνεχείς µεταβλητές. Θα πρέπει να δηµιουργηθεί ένας γραµµικός συνδυασµός για κάθε σύνολο µεταβλητών (εξαρτηµένων και ανεξάρτητων) µε τέτοιο τρόπο ώστε να µεγιστοποιείται η συσχέτιση µεταξύ των δύο συνόλων [1, 2]. Έστω ότι µία εταιρία διεξάγει µία µελέτη στην οποία συλλέγει πληροφορίες για την ποιότητα των υπηρεσιών, οι οποίες προέρχονται από τις απαντήσεις 50 ερωτήσεων. Οι ερωτήσεις περιέχουν πληροφορίες για την συγκριτική αξιολόγηση των αντιλήψεων της συγκεκριµένης εταιρίας µε τις αντιλήψεις των παγκοσµίου κλάσεων εταιριών. Η κανονική συσχέτιση µπορεί να εφαρµοστεί για την σύγκριση αυτών και ο ερευνητής να συµπεράνει αν οι αντιλήψεις της εταιρίας συσχετίζονται µε τις παγκοσµίου κλάσεως εταιρίες. Η µέθοδος µπορεί να προβάλει πληροφορίες για την συσχέτιση γενικά, αλλά και συγκεκριµένα µεταξύ των 50 ερωτήσεων [1]. 18

19 Πολυµεταβλητή ανάλυση διασ οράς και συνδιασ οράς Η πολυµεταβλητή ανάλυση διασποράς (MANOVA) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την διερεύνηση της σχέσης µεταξύ ενός συνόλου ανεξάρτητων κατηγορικών µεταβλητών και δύο ή περισσοτέρων συνεχών εξαρτηµένων µεταβλητών. Αποτελεί µία επέκταση της κλασσικής µονοπαραγοντικής ανάλυσης διασποράς (ANOVA). Η πολυµεταβλητή ανάλυση συνδιασποράς (MANCOVA) µπορεί να εφαρµοστεί συνδυαστικά µε την MAVOVA για να αποµακρύνει την επιρροή οποιασδήποτε ανεξέλεγκτης ανεξάρτητης µεταβλητής πάνω στις εξαρτηµένες µεταβλητές. Η διαδικασία είναι παρόµοια µε αυτή της διµεταβλητής µερικής συσχέτισης (bivariate partial correlation), κατά την οποία η επιρροή µιας τρίτης µεταβλητής αφαιρείται από την συσχέτιση. Η MANOVA είναι χρήσιµη όταν ο ερευνητής θέλει να ελέγξει τις υποθέσεις σχετικά µε την διασπορά σε ένα γκρουπ απαντήσεων δύο ή περισσοτέρων διακριτών εξαρτηµένων µεταβλητών [1, 2]. Υποθέτοντας ότι µία εταιρία θέλει να γνωρίζει αν µία χιουµοριστική διαφήµιση είναι περισσότερη αποτελεσµατική µε τους πελάτες της από ότι µία µη χιουµοριστική. Θα µπορούσε να δείξει σε µία οµάδα πελατών την µία διαφήµιση και σε µία άλλη οµάδα την άλλη και µετά να ζητήσει από τους πελάτες να βαθµολογήσουν αυτή και τα προϊόντα της ως προς διάφορες συνιστώσες, όπως µοντέρνα έναντι παραδοσιακής, υψηλής έναντι χαµηλής ποιότητας. Η MANOVA θα εφαρµοστεί για τον εντοπισµό οποιασδήποτε στατιστικής διαφοράς µεταξύ των αντιλήψεων των πελατών που είδαν την χιουµοριστική διαφήµιση και των πελατών που είδαν την µη χιουµοριστική [1]. Conjoint ανάλυση Η conjoint ανάλυση είναι µία εξαρτηµένη µέθοδος που εξειδικεύει την αξιολόγηση των αντικειµένων, όπως νέων προϊόντων, υπηρεσιών και ιδεών και των ποικίλων επιπέδων των χαρακτηριστικών που εξετάζονται. Η πιο άµεση εφαρµογή της είναι στην ανάπτυξη νέων προϊόντων ή υπηρεσιών, καταστώντας δυνατή την αξιολόγηση των σύνθετων προϊόντων µέσα από ένα ρεαλιστικό πλαίσιο απόφασης για τον ερωτώµενο. Για κάθε επίπεδο του χαρακτηριστικού υπολογίζεται µία αξία ή µία χρησιµότητα. Οι συνδυασµοί των χαρακτηριστικών σε συγκεκριµένα επίπεδα αθροίζονται για να δώσουν την συνολική προτίµηση για το χαρακτηριστικό σε κάθε επίπεδο. Τα µοντέλα που µπορούν να προκύψουν, προσδιορίζουν τα ιδανικά επίπεδα και συνδυασµούς για τα χαρακτηριστικά των προϊόντων και των υπηρεσιών [1, 2]. Για την προώθηση ενός προϊόντος στην αγορά πρέπει να αξιολογηθούν 3 χαρακτηριστικά του, η τιµή, το χρώµα και η ποιότητα. Κάθε ένα από αυτά τα χαρακτηριστικά έχει 3 επίπεδα. Αντί να έχουµε προς αξιολόγηση τους 27 (3 x 3 x 3) πιθανούς συνδυασµούς, ένα υποσύνολο των 9 ή παραπάνω µπορεί να αξιολογηθεί ως προς την ελκυστικότητα για τον πελάτη. Ο ερευνητής γνωρίζει έτσι όχι µόνο την σηµαντικότητα του κάθε χαρακτηριστικού, αλλά και την σηµαντικότητα του κάθε επιπέδου (πχ την ελκυστικότητα του κόκκινου έναντι του κίτρινου έναντι του µπλε). Τα αποτελέσµατα της conjoint ανάλυσης µπορούν να χρησιµοποιηθούν σε προσοµοιωτές σχεδιασµού προϊόντων, οι οποίοι δείχνουν την αποδοχή του καταναλωτή ως προς οποιαδήποτε τυποποίηση του προϊόντος µε σκοπό τον σχεδιασµό του βέλτιστου προϊόντος [1]. 19

20 Ανάλυση κατά συστάδες Η ανάλυση κατά συστάδες είναι µία αναλυτική µέθοδος για την δηµιουργία υποοµάδων ατόµων ή αντικειµένων. Πιο συγκεκριµένα, το αντικείµενο της µεθόδου αυτής είναι η ταξινόµηση ενός συνόλου ατόµων ή αντικειµένων σε έναν µικρότερο αριθµό αλληλοαναιρούµενων οµάδων βασισµένων στις οµοιότητες µεταξύ των οντοτήτων τους. Σε αντίθεση µε την discriminant ανάλυση, οι οµάδες δεν είναι προκαθορισµένες αλλά προσδιορίζονται µέσα από την διαδικασία της µεθόδου. Οι ακραίες τιµές (outliers), που οφείλονται στις συγγενικές σχέσεις µεταξύ των µεταβλητών, είναι ένα πρόβληµα για την µέθοδο. Το δείγµα πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσµού και είναι επιθυµητό να αποτελείται από ασυσχέτιστους παράγοντες [1, 2]. Υπάρχουν τρεις βασικές µέθοδοι ταξινόµησης: (1) η ιεραρχική (hierarchical), η οποία είναι µία δενδροειδής αναπαράσταση των αποτελεσµάτων και είναι κατάλληλη για µικρά σχετικά δείγµατα, (2) η µη ιεραρχική (non-hierarchical), η οποία προϋποθέτει την γνώση του αριθµού των οµάδων εξ αρχής και (3) ένας συνδυασµός των δύο [2]. Στην ανάλυση κατά συστάδες επικρατούν τέσσερις βασικοί κανόνες. Όλες οι οµάδες πρέπει να είναι διαφορετικές µεταξύ τους, να είναι προσβάσιµες, να είναι συνεχείς και αποδοτικές. Τα βήµατα της διαδικασίας είναι τουλάχιστον τρία. Το πρώτο είναι να βρεθεί κάποια µορφή οµοιότητας ή κάποια σχέση µεταξύ των οντοτήτων µε σκοπό των καθορισµό του πλήθους των οµάδων που υπάρχουν στο δείγµα. Το δεύτερο βήµα είναι ο βασικός κορµός της διαδικασίας, όπου οι οντότητες ταξινοµούνται στις οµάδες. Το τελικό βήµα είναι να εντοπιστούν τα άτοµα ή οι µεταβλητές που ορίζουν την σύνθεση των οµάδων. Σε πολλές περιπτώσεις αυτή η σκιαγράφηση πρέπει να γίνει µε την εφαρµογή της discriminant ανάλυσης µεταξύ των οντοτήτων κάθε οµάδας [1]. Ένα παράδειγµα εφαρµογής της ανάλυσης κατά συστάδες είναι η έρευνα που διεξάγει ένας ιδιοκτήτης εστιατορίου για να µάθει τους διαφορετικούς λόγους για τους οποίους οι πελάτες του το υποστηρίζουν. Τα δεδοµένα που θα συλλεχθούν θα µπορούσαν να είναι σχετικά µε τις απόψεις των πελατών για την τιµή και την ποιότητα του φαγητού. Η µέθοδος θα εφαρµοστεί για τον εντοπισµό της οµάδας των πελατών που έχουν σαν κίνητρο τις χαµηλές τιµές έναντι αυτών που προτιµούν την ποιότητα [1]. Αντιλη τική χαρτογράφηση Στην αντιληπτική χαρτογράφηση, γνωστή και ως πολυδιάστατη κλιµακοποίηση, σκοπός είναι η µετατροπή των αποφάσεων οµοιοτήτων ή των προτιµήσεων των καταναλωτών σε αναπαραστάσεις αποστάσεων στον πολυδιάστατο χώρο. Αν, δηλαδή, τα αντικείµενα Α και Β κριθούν από τους καταναλωτές ότι έχουν περισσότερες οµοιότητες µεταξύ τους από οποιαδήποτε άλλα, µε την µέθοδο της αντιληπτικής χαρτογράφησης αυτά τα δύο αντικείµενα θα τοποθετηθούν έτσι ώστε η απόσταση µεταξύ τους να είναι µικρότερη από την απόσταση οποιουδήποτε άλλου ζεύγους. Ο αντιληπτικός χάρτης που δηµιουργείται από την διαδικασία της µεθόδου απεικονίζει τις σχετικές θέσεις των αντικειµένων, αλλά απαιτείται επιπλέον ανάλυση για την περιγραφή των χαρακτηριστικών που προβλέπονται από τις θέσεις των αντικειµένων. Οι σχέσεις οµοιότητας µπορεί να είναι µεταξύ διακριτών ή συνεχών χαρακτηριστικών. [1, 2]. 20