Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc
|
|
- Κόσμος Σπηλιωτόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009
2 2
3 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες Ανάγω το πρόβλημα A στο B Αναγωγές μη επιλυσιμότητας Ασκήσεις
4 4 PERIEQŸOMENA
5 Kefˆlaio 1 Mh apofasðsimec gl ssec 1.1 Anˆgw to prìblhma A sto B Ανάγω το πρόβλημα A στο B σημαίνει λύνω το A με τη βοήθεια του Β (και όχι το αντίστροφο). Παραδειγμα 1 Ας υποθέσουμε ότι φθάνουμε νύχτα στη τεράστια άγνωστη πόλη Ν. Υόρκη. Το πρόβλημα μας (πρόβλημα Α) είναι να βρίσκουμε τη διαδρομή προς κάθε δυνατό προορισμό στη Ν. Υόρκη. Ενα στιγμιότυπο του προβλήματος A είναι να βρούμε το ξενοδοχείο Salonika. Στο αεροδρόμιο αγοράζουμε ένα εξαιρετικό χάρτη. Τότε το πρόβλημα εύρεσης του Salonika στην πόλη Ν. Υόρκη έχει αναχθεί στην εύρεση της λέξης Salonika στον εξαιρετικό χάρτη (πρόβλημα Β). Σε λιγότερο από 1 εντοπίζουμε το Salonika στο χάρτη. Άρα σε 1 λύσαμε το στιγμιότυπο I A = Πως θα πάω στο Salonika, οεο; του προβλήματος A μετατρέποντας το σε στιγμιότυπο του προβλήματος B. I B = Αναζήτησε τη λέξη Salonika στο χάρτη Παρατηρηση 1 Η αναγωγή είναι σωστή αν με αυτό το τρόπο μπορώ να λύσω κάθε στιγμιότυπο του A με τη βοήθεια του B. Αν θέλω να λύσω το στιγμιότυπο: I A (το οποίο ξέρω ότι λύνεται) και για ώρες κάνω: = Πως θα πάω στη 5η Λεωφόρο, οεο; I B = Αναζήτησε τη λέξη 5th Avenue στο χάρτη χωρίς αποτέλεσμα, τότε η αναγωγή είναι λάθος. Διότι ο χάρτης είναι λάθος και δεν έχει όλα τα σημαντικά σημεία της Ν. Υόρκης (δεν λύνει κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος Α). Παρατηρηση 2 Η αναγωγή έχει καθορισμένη φορά από το A προς το B. Λύνω κάθε στιγμιότυπο του A με τη βοήθεια του B και μόνο. ΔΕΝ λύνω το στιγμιότυπο: I B = Πως θα βρω τη λέξη Madison Square, οεο; 5
6 6 KEFŸALAIO 1. MH APOFASŸISIMES GLŸWSSES στο χάρτη ενεργώντας ως: I A = Περπάτα στη N. York μέχρι να βρεις το Madison Square Διότι το I A δεν λύνεται γρήγορα (ενώ το I B λύνεται γρήγορα) την νύχτα στην άγνωστη, τεράστια και επικίνδυνη Ν. Υόρκη. Παρατηρηση πρόβλημα A). 3 Εχει τεράστια σημασία ποιο είναι το B (στην ουσία αυτό μου λύνει το Αν το αεροδρόμιο έχει μόνο χάρτες γραμμένους στα Κινέζικα τότε δεν έχει νόημα να ανάγω το A στην αγορά χάρτη. Ακόμα και αν διαθέτει σχολείο Κινέζικων το αεροδρόμιο. 1.2 Anagwgèc mh epilusimìthtac Ask seic Ασκηση 1 Είναι το πρόβλημα επιλύσιμο; Υποθέστε ότι το πρόβλημα είναι μη επιλύσιμο. HALT = {(M, w) M(w) } ACCEP T = {(M, w) M(w) = NAI} LÔsh: Υποθέτω ότι το πρόβλημα άγνωστης πολυπλοκότητας HALT είναι επιλύσιμο από την μηχανή R H. Θα ανάγω το πρόβλημα ACCEP T στο HALT και θα το λύσω με την βοήθεια της R H καταλήγοντας σε άτοπο. Πρέπει να κατανοήσω τι σημαίνει η απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ της μηχανής R H για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T. Για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T όταν η μηχανή R H με είσοδο M τερματίζει R H (M, w) = ΟΧΙ τότε (M, w) HALT. Αυτό σημαίνει ότι M(w) =. Άρα, αποκλείεται η M στη λέξη w να τερματίσει σε ΝΑΙ, δηλαδή M(w) NAI. Καταλήγω στην παρακάτω, σαφέστατη, 1 δυνατότητα: R H (M, w) = ΟΧΙ M(w) ΝΑΙ (1.1) Για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T που μηχανή R H με είσοδο M τερματίζει R H (M, w) = ΝΑΙ τότε (M, w) HALT. Αυτό σημαίνει ότι M(w). Δηλαδή η M με είσοδο w τερματίζει, απλά, χωρίς να ξέρω αν M(w) = ΝΑΙ ή M(w) = ΟΧΙ. Καταλήγω στις παρακάτω, δυστυχώς, δύο δυνατότητες: ΝΑΙ R H (M, w) = ΝΑΙ M(w) = ή ΟΧΙ Η (1.3) δείχνει ότι από το ΝΑΙ της R H σε ένα οποιοδήποτε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα. Ομως, το ΝΑΙ αυτό σημαίνει ότι η M(w) τερματίζει. Άρα αν τρέξουμε την M(w) τότε σε πεπερασμένο χρόνο θα λάβουμε ΝΑΙ ή ΟΧΙ και έτσι, τελικά, να αποφασίσουμε το ACCEPT. (1.2)
7 1.2. ANAGWGŸES MH EPILUSIMŸOTHTAS 7 Καταλήγουμε ότι μπορούμε να αποφασίσουμε οποιοδήποτε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T με την χρήση της R H ως εξής: { ΝΑΙ output : ΝΑΙ ΝΑΙ M(w) = ΟΧΙ output : ΟΧΙ input : (M, w) R H (M, w) = (1.3) ΟΧΙ output : ΟΧΙ Ασκηση 2 Είναι το πρόβλημα επιλύσιμο; Υποθέστε ότι το πρόβλημα είναι μη επιλύσιμο. EMP T Y = {M L(M) = } ACCEP T = {(M, w) M(w) = NAI} LÔsh: Υποθέτω ότι το πρόβλημα άγνωστης πολυπλοκότητας EMP T Y είναι επιλύσιμο από την μηχανή R E. Θα ανάγω το πρόβλημα ACCEP T στο EMP T Y και θα το λύσω με την βοήθεια της R H καταλήγοντας σε άτοπο. Πρέπει να κατανοήσω τι σημαίνει η απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ της μηχανής R E για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T. Για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T όταν η μηχανή R E με είσοδο M τερματίζει R E (M) = ΝΑΙ, τότε M EMP T Y, άρα L(M) =, άρα για κάθε είσοδο x η M(x) ΝΑΙ. Συνεπώς (M, w) ACCEP T. Άρα, αποκλείεται η M στη λέξη w να τερματίσει σε ΝΑΙ, δηλαδή M(w) NAI. Καταλήγω στην παρακάτω, σαφέστατη, 1 δυνατότητα: R E (M) = ΝΑΙ M(w) ΝΑΙ (1.4) Για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T που μηχανή R E με είσοδο M τερματίζει R E (M) = ΟΧΙ τότε L(M). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία λέξη x ώστε M(x) = ΝΑΙ. Μα δεν μπορώ να ξέρω αν η M με είσοδο τη δοσμένη λέξη w τερματίζει σε ΝΑΙ. Καταλήγω στις παρακάτω, δυστυχώς, δύο δυνατότητες: ΝΑΙ R E (M) = ΟΧΙ M(w) = ή ΝΑΙ Η (1.5) δείχνει ότι από το ΟΧΙ της R E σε ένα οποιοδήποτε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα. Αυτό συμβαίνει επειδή το σύνολο L(M) των λέξεων που η M αποδέχεται μπορεί να είναι οποιοδήποτε άλλο εκτός από τα {w} ή. Αν όμως τύχαινε και L(M) = {w} ή τότε από την απάντηση της R E θα μπορούσαμε να βγάλουμε συμπέρασμα αν M(w) = ΝΑΙ ή ΟΧΙ. Η λύση είναι για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T να τροποποιούμε την M σε M w η οποία να απορρίπτει κάθε είσοδο x w και μόνο στην είσοδο w να εξομοιώνει την M(w). Προφανώς η M w είναι δυνατόν να πει ΝΑΙ μόνο με είσοδο w και εφόσον η M(w) = ΝΑΙ. Άρα L(M w ) M(w) = ΝΑΙ, δηλαδή αν (M, w) ACCEP T. Καταλήγουμε ότι μπορούμε να αποφασίσουμε οποιοδήποτε στιγμιότυπο (M, w) του ACCEP T με την χρήση της R E ως εξής: ΝΑΙ M(w) ΝΑΙ output : ΟΧΙ input : (M, w) R E (M w ) = (1.6) ΟΧΙ M(w) = ΝΑΙ output : ΝΑΙ (1.5)
8 8 KEFŸALAIO 1. MH APOFASŸISIMES GLŸWSSES Ασκηση 3 Είναι το πρόβλημα επιλύσιμο; Υποθέστε ότι το πρόβλημα είναι μη επιλύσιμο. EQ = { M 1, M 2 L(M 1 ) = L(M 2 )} EMP T Y = {M L(M) = } LÔsh: Υποθέτω ότι το πρόβλημα άγνωστης πολυπλοκότητας EQ είναι επιλύσιμο από την μηχανή R EQ. Θα ανάγω το πρόβλημα EMP T Y στο EQ και θα το λύσω με την βοήθεια της R EQ καταλήγοντας σε άτοπο. Πρέπει να κατανοήσω τι σημαίνει η απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ της μηχανής R EQ για κάθε στιγμιότυπο M του EMP T Y. Για κάθε στιγμιότυπο M του EMP T Y όταν η μηχανή R EQ με είσοδο (M, M ), όπου M μια τυχαία μηχανή, τερματίζει R EQ (M, M ) = ΝΑΙ, τότε L(M) = L(M ). Δηλαδή δεν μπορώ να βγάλω συμπέρασμα αν L(M) = ή. R EQ (M, M ) = ΝΑΙ L(M) = L(M ) (1.7) Για κάθε στιγμιότυπο M του EMP T Y όταν η μηχανή R EQ με είσοδο (M, M ), όπου M μια τυχαία μηχανή, τερματίζει R EQ (M, M ) = ΟΧΙ, τότε L(M) L(M ). Δηλαδή πάλι δεν μπορώ να βγάλω συμπέρασμα αν L(M) = ή. R EQ (M, M ) = ΟΧΙ L(M) L(M ) (1.8) Αυτό συμβαίνει επειδή η μηχανή M είναι μια τυχαία μηχανή και δεν έχω καμιά γνώση για το L(M ) αυτής. Αν όμως επιλέξω ως δεύτερη μηχανή τη M που δεν αποδέχεται καμία λέξη (εκ κατασκευής), δηλαδή, L(M ) = τότε από την απάντηση της R EQ θα μπορούσαμε να βγάλουμε συμπέρασμα για οποιαδήποτε πρώτη μηχανή M αν L(M) = ή. Σχηματικά, για κάθε στιγμιότυπο M του EMP T Y έχουμε R EQ (M, M ) = ΝΑΙ L(M) = L(M ) = R EQ (M, M ) = ΟΧΙ L(M) L(M ) = (1.9) Ασκηση 4 Είναι το πρόβλημα επιλύσιμο; Υποθέστε ότι το πρόβλημα είναι μη επιλύσιμο. L 111 = {M Η M τυπώνει 111 με είσοδο } L = {M Η M τερματίζει με είσοδο } LÔsh: Υποθέτω ότι το πρόβλημα άγνωστης πολυπλοκότητας L 111 είναι επιλύσιμο από την μηχανή R 111. Θα ανάγω το πρόβλημα L στο L 111 και θα το λύσω με την βοήθεια της R 111 καταλήγοντας σε άτοπο. Πρέπει να κατανοήσω τι σημαίνει η απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ της μηχανής R 111 για κάθε στιγμιότυπο M του L. 1. Για κάθε στιγμιότυπο M του L, που η μηχανή M με είσοδο τυπώνει 111 και τερματίζει, η μηχανή R 111 θα μας απαντήσει, ορθά, ΝΑΙ και με βάση αυτή την απάντηση ορθά θα μπορούμε να εντάξουμε την M στην L.
9 1.2. ANAGWGŸES MH EPILUSIMŸOTHTAS 9 2. Για κάθε στιγμιότυπο M του L, που η μηχανή M με είσοδο ΔΕΝ τυπώνει 111 ΚΑΙ τερματίζει, η μηχανή R 111 θα μας απαντήσει, ΟΧΙ. Με βάση αυτή την απάντηση της R 111 ΔΕΝ θα εντάξουμε την M στην L. Λανθασμένα όμως, διότι η M όντως τερματίζει με είσοδο. Εύκολα μπορούμε να το αποφύγουμε αυτό υποχρεώνοντας (τροποποιώντας) την κατάσταση τερματισμού της M, ώστε όταν η M εισέλθει σε αυτή να περάσει στην κατάσταση που να τυπώνει 111 και μετά να τερματίζει. Άρα, για κάθε στιγμιότυπο M του L θα τροποποιούμε την M ως άνω σε M και θα δίνουμε είσοδο στην R 111 την M. 3. Για κάθε στιγμιότυπο M του L, που η μηχανή M με είσοδο τυπώνει 111 ΚΑΙ ΔΕΝ τερματίζει, η μηχανή R 111 θα μας απαντήσει ΝΑΙ. Με βάση αυτή την απάντηση της R 111 θα εντάξουμε την M στην L. Αυτό είναι λάθος όμως, διότι η M ΔΕΝ τερματίζει με είσοδο. Εύκολα μπορούμε να το αποφύγουμε αυτό υποχρεώνοντας (τροποποιώντας) την M ώστε με ένα νέο σύμβολο π.χ. να κάνει ότι έκανε με το 1. Δηλαδή, σε κάθε κατάσταση που είχε το 1 το αλλάζει με το. Επίσης αντικαθιστά στην είσοδο κάθε 1 με το. Τέλος όταν είναι να τυπώσει 1 θα τυπώνει. Μόνο όταν εισέλθει στην τελική κατάσταση τερματισμού της M θα τυπώνει 111 και θα τερματίζει. Άρα, για κάθε στιγμιότυπο M του L θα κάνουμε όλες τις άνω τροποποιήσεις που περιγράψαμε στην M και θα δίνουμε είσοδο στην R 111 την M. Από τα άνω 1, 2, 3 καταφέραμε να αποφασίσουμε κάθε στιγμιότυπο M του L με την βοήθεια της R 111 τροφοδοτώντας την με την τροποποιημένη M. Συνεπώς που είναι άτοπο. Ασκηση 5 Είναι το πρόβλημα 1 επιλύσιμο; Υποθέστε ότι το πρόβλημα είναι μη επιλύσιμο. M L R 111 (M ) = ΝΑΙ L f = {M L(M) = πεπερασμένο} L halt = {(M, w) Η M(w) } LÔsh: Υποθέτω ότι το πρόβλημα άγνωστης πολυπλοκότητας L f είναι επιλύσιμο από την μηχανή R f. Θα ανάγω το πρόβλημα L halt στο L f και θα το λύσω με την βοήθεια της R f καταλήγοντας σε άτοπο. Πρέπει να κατανοήσω τι σημαίνει η απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ της μηχανής R f για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του L halt. 1. Για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του L halt, που η μηχανή M με είσοδο w τερματίζει, αν επίσης συμβαίνει η M να τερματίζει και σε πεπερασμένο πλήθος άλλων λέξεων y w, τότε η μηχανή R f με είσοδο M θα μας απαντήσει ΝΑΙ. Με βάση αυτή την απάντηση ορθά θα μπορούμε να εντάξουμε την M στην L halt. Άρα ορθά: R f (M) = ΝΑΙ (M, w) L halt 2. Για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του L halt, ώστε η μηχανή M με είσοδο w τερματίζει, αλλά επίσης η M τερματίζει επιπλέον σε άπειρο πλήθος λέξεων y w τότε η μηχανή R f (M) = ΟΧΙ (διότι L(M) = άπειρο). Άρα λανθασμένα (διότι M(w) ): R f (M) = ΟΧΙ (M, w) L halt Μια λύση θα ήταν να τροποποιήσουμε την M σε M που υποχρεωτικά εφόσον M(w) στην συνέχεια η M να λέει ΝΑΙ σε πεπερασμένου πλήθους λέξεις y w (π.χ. να επιλέγει 10 λέξεις 1 L(M) = {w S M(w) = ΝΑΙ}, δηλαδή το σύνολο των λέξεων που η μηχανή M τερματίζει σε ΝΑΙ.
10 10 KEFŸALAIO 1. MH APOFASŸISIMES GLŸWSSES x 1,..., x 10 w και να τερματίζει μόνο σε αυτές). Συνεπώς η R f (M ) = ΝΑΙ. Άρα σωστά (διότι M(w) ): R f (M) = ΝΑΙ (M, w) L halt Ομως, η τροποποίηση της M σε M μας οδηγεί στο παρακάτω πρόβλημα. 3. Για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του L halt, που η μηχανή M με είσοδο w ΔΕΝ τερματίζει, άρα και η M κατόπιν δεν τερματίζει σε πεπερασμένο πλήθος άλλων λέξεων y x, τότε η μηχανή R f με είσοδο M θα μας απαντήσει ΝΑΙ (διότι L(M ) =, πεπερασμένο). Άρα λανθασμένα (διότι M(w) = ): R f (M) = ΝΑΙ (M, w) L halt Από τα άνω 1, 2, 3 αντιλαμβανόμαστε ότι δεν μπορούμε να βγάλουμε ορθό συμπέρασμα από κάθε απάντηση της R f επειδή είτε η M τερματίσει (άρα θα δεχτεί 10 άλλες λέξεις) στο w είτε όχι (άρα δεν θα δεχτεί καμία άλλη λέξη) το L(M ) = πεπερασμένο. Άρα η τροποποιημένη M είναι λάθος. Η σωστή τροποποίηση είναι: για κάθε στιγμιότυπο (M, w) του L halt, δημιουργούμε την M w που προσομοιώνει την M(w) και αν M(w) τότε η M w να αποδέχεται άπειρο πλήθος λέξεων (άρα L(M w ) = άπειρο), αλλιώς η M w κρεμάει στο w (και άρα L(M w ) = πεπερασμένο). Συνεπώς, για κάθε στιγμιότυπο (M, w): Αν R f (M w ) = ΝΑΙ M w L f η μόνη περίπτωση η M w να αποδεχτεί πεπερασμένο πλήθος λέξεων είναι όταν L(M w ) = δηλαδή όταν M(w) = και τελικά (M, w) L halt. Αν R f (M w ) = ΟΧΙ M w L f L(M w ) = η μόνη περίπτωση η M w να αποδεχτεί άπειρο πλήθος λέξεων είναι όταν M(w) και τελικά (M, w) L halt. Από τα άνω, καταφέραμε να αποφασίσουμε κάθε στιγμιότυπο του L halt, υποθέτοντας ότι L f είναι επιλύσιμο, άτοπο.
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 16: Αναγωγές Τι θα κάνουμε σήμερα Το Πρόβλημα του Τερματισμού (4.2) Εισαγωγή στις Αναγωγές Ανεπίλυτα Προβλήματα από την Θεωρία των Γλωσσών (5.1) Απεικονιστικές
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 12. Θεωρία Υπολογισιμότητας 30Μαρτίου, 17 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Θέση Church-Turing Τι μπορεί να υπολογιστεί και τι δεν μπορεί να υπολογιστεί?
Διαβάστε περισσότεραL mma thc 'Antlhshc. A. K. Kapìrhc
L mma thc 'Antlhshc A. K. Kapìrhc 12 MartÐou 2009 2 Perieqìmena 1 Το Λήμμα της Άντλησης για μη κανονικές γλώσσες 5 1.1 Μη κανονικές γλώσσες..................................... 5 1.2 Λήμμα άντλησης για
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ Τι θα κάνουμε σήμερα Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Ασυμφραστικές Γλώσσες (4.1.2) Το Πρόβλημα του Τερματισμού
Διαβάστε περισσότεραΑποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;
Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι για αυτόματα
Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε
Διαβάστε περισσότερα5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 11: Καθολική μηχανή Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory
CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
Εισαγωγή ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Όπως για όλες τις επιστήμες, έτσι και για την επιστήμη της Πληροφορικής, ο τελικός στόχος της είναι η επίλυση προβλημάτων. Λύνονται όμως όλα τα προβλήματα;
Διαβάστε περισσότεραΝικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου
Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Λημμα Εστω A ένα σύνολο άπειρου πλήθους θετικών ακέραιων αριθμών των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δρ. Κόννης Γιώργος Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του Υπολογιστικού Προβλήματος και του Προγράμματος/Αλγορίθμου
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,
Διαβάστε περισσότεραα) f(x(t), y(t)) = 0,
Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα)
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με τις Κανονικές Γλώσσες (4.1.1) Επιλύσιμα Προβλήματα
Διαβάστε περισσότερα214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ - ΜΗ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ 7.1 Το Πρόβλημα του Τερματισμού Θεώρημα 7.1 (Πρόβλημα του Τερματισμού - ημιαπόφαση) Η γλώσσα του Προβ
Κεφάλαιο 7 Επιλυσιμότητα - Μη επιλυσιμότητα Σύνοψη Στα προηγούμενα κεφάλαια επικεντρωθήκαμε σε επιλύσιμα προβλήματα και μελετήσαμε υπολογιστικά μοντέλα με δυνατότητες, που συνεχώς διευρύναμε. Το τελευταίο
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το
Διαβάστε περισσότεραεξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 8-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Κατ αρχάς θα δούμε μια πολλή απλή πρόταση. 0xx x x ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι ο έχει την εξής ιδιότητα: x για κάθε x > 0. Τότε 0. Απόδειξη. Για να καταλήξουμε
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w
Διαβάστε περισσότεραμε Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα του σταθερού γάμου
Το πρόβλημα του σταθερού γάμου Γάμος και Θεωρία Γραφημάτων Γάμος πρόβλημα ταιριάσματος Θα δούμε έναν αλγόριθμο ταιριάσματος (matching algorithm) που χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές Γνωριμίες (γραφεία,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 003: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΠΛ 003: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δρ. Κουζαπάς Δημήτριος Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του Υπολογιστικού Προβλήματος
Διαβάστε περισσότεραΜη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση
Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα
Διαβάστε περισσότεραΥΠΑΡΚΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΚΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΥΠΑΡΚΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΚΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Νίκος Ιωσηφίδης, Μαθηματικός Φροντιστής, Βέροια e-mail: iossifid@ahoo.gr Στην εισήγηση αυτή δείχνουμε πως αποδεικνύουμε ότι υπάρχει ή δεν υπάρχει συνάρτηση με δοσμένες
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 001: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Προγραμματισμός
ΕΠΛ 001: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του υπολογιστικού προβλήματος και του αλγορίθμου. Να περιγράψουμε την πορεία από ένα υπολογιστικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΕγχειρίδιο χρήσης Εκπαιδευτικού λογισμικού «Αθηνά Core 4»
Εγχειρίδιο χρήσης Εκπαιδευτικού λογισμικού «Αθηνά Core 4» Επιλέξτε την ενότητα στην οποία θέλετε να εκπαιδευτείτε π.χ. Windows 7 Εμφανίζονται όλα τα εκπαιδευτικά αντικείμενα της ενότητας. Επιλέξτε αυτή
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΠεριληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να
Διαβάστε περισσότεραL A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)
Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Στις Αρχές Της Επιστήμης Των Η/Υ. Η έννοια του Προβλήματος - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Εισαγωγή Στις Αρχές Της Επιστήμης Των Η/Υ Η έννοια του Προβλήματος - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2. Η έννοια του προβλήματος 2 2. Η έννοια του προβλήματος 2.1 Το πρόβλημα στην επιστήμη των Η/Υ 2.2 Κατηγορίες προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x»
5 Περιεχόμενα Πρόλογος 7 Ίσες συναρτήσεις και συναρτήσεις Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης 2 Η μόνη συνάρτηση που είναι ίση με την αντίστοφή της είναι η ταυτοτική 3 Συμπεράσματα 5 Βασικές ιδιότητες αντίστροφων
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 10 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διαβάστε περισσότεραΤο ISO με απλά λόγια Μυτιλήνη 2016
Το ISO με απλά λόγια Μυτιλήνη 2016 Εισαγωγή Από τη μέχρι σήμερα εμπειρία μας στη αγορά διαπιστώσαμε ότι τα Συστήματα Διαχείρισης Ποιότητας (ΣΔΠ) όπως το ISO 9001 αποτελούν άγνωστη γη όχι μόνο για τους
Διαβάστε περισσότεραα n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής
Διαβάστε περισσότεραV (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}
1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 12: Μηχανές Turing
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 12: Μηχανές Turing Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing (TM) Τυπικός Ορισμός Μηχανής Turing (3.1.1) 1 Τι είδαμε μέχρι στιγμής Πεπερασμένα
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Θεωρείστε τις γλώσσες Α = { n n } και Β = {w η w είναι λέξη επί του αλφαβήτου {,} τ.ώ. w }. (α) Για κάθε μια από τις πιο κάτω γλώσσες
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία
Διαβάστε περισσότεραΕξισώσεις πρώτου βαθμού
Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι
Διαβάστε περισσότερα(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ).
ΕΜ0 - Διακριτά Μαθηματικά Ιανουαρίου 006 Άσκηση - Λύσεις Πρόβλημα [0 μονάδες] Εστω L και L δύο κυκλώματα σε ένα γράφημα G. Εστω a μία ακμή που ανήκει και στο L και στο L και έστω b μία ακμή που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {1010 2 10 3 10 n 1 10 n 1 n 1}. (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο 4 Ασκήσεις: Διαχείριση Δικτύου (nmap, iptables) και Προχωρημένες Εντολές Unix (grep, ps, cut, find)
Εργαστήριο 4 Ασκήσεις: Διαχείριση Δικτύου (nmap, iptables) και Προχωρημένες Εντολές Unix (grep, ps, cut, find) 1) Δώστε την εντολή που δείχνει τις ανοιχτές εισερχόμενες θύρες (ports) της μηχανής σας. Χρησιμοποιήστε
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραΜη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # =
Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβλημα ολικής συνάρτησης) είναι μη επιλύσιμο, δηλαδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη. Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Προγραμματισμός
ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του υπολογιστικού προβλήματος και του αλγορίθμου. Να περιγράψουμε την πορεία από ένα υπολογιστικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ. i. Η συνθήκη α > β ή α <= β α) είναι πάντα Αληθής β) είναι πάντα Ψευδής γ) δεν υπολογίζεται δ) τίποτα από τα προηγούμενα
ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 6 (ΕΞΙ) ΘΕΜΑ Α : A1. Να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό καθεμιάς
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική
Διαβάστε περισσότερα(18 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου»
(8 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου» Το πρόβλημα του διαμέσου στοιχείου: ένα θεμελιακό πρόβλημα Συναντήσαμε ήδη αρκετές φορές το πρόβλημα του να «κόψουμε» ένα σύνολο στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:
1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται
Διαβάστε περισσότερανα είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w w = (ab) 2m b m (ba) m, m 0 } (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης
1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από
Διαβάστε περισσότεραΠοιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Ορίζουμε τη συναρμογή δύο γλωσσών Α και Β ως ΑΒ = { uv u A, v B }. (α) Έστω Α = {α,β,γ} και Β =. Να περιγράψετε τη γλώσσα ΑΒ. (β) Θεωρήστε τις γλώσσες L, M και N. Να δείξετε
Διαβάστε περισσότερα10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα
Κεφάλαιο 10 Υπολογισιμότητα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Μέχρι στιγμής έχουμε δει ουσιαστικά
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz
1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 9 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 11 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης
ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ένας μαθητής της Γ γυμνασίου, για να περάσει το μάθημα της Πληροφορικής θα πρέπει να βγάλει γενικό μέσο όρο (ΓΜΟ) 9.5 Το πρόγραμμα που
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 26 Ιουνίου 2013 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 10+10 2
Διαβάστε περισσότερα2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραf f x f x = x x x f x f x0 x
1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό
Διαβάστε περισσότεραLÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I
LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I Rwmanìc-Diogènhc Maliki shc Tetˆrth, 6 OktwbrÐou 2010 Άσκηση 1. Για τυχόντα σύνολα A, B, C, D, να δειχθεί ότι (α ) A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) (A \
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική 2. Αλγόριθμοι
Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται
Διαβάστε περισσότερα