Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Transcript

1 Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν άρθρο ειάγεται το κριτήριο του παραβολοειδούς εκ περιτροφής ως κριτηρίου ατοχίας τη βραχοµηχανική. Το κριτήριο αυτό έχει ειαχθεί από τον Θεοχάρη για την διερεύνηη των ύνθετων υλικών τα οποία παρουιάζουν ανιοτροπία Στην περίπτωη των ανιότροπων υλικών το κριτήριο παίρνει την γενικευµένη του µορφή ως ελλειπτικού παραβολοειδούς εκ περιτροφής, δηλαδή παραβολοειδές του οποίου η τοµή µε επίπεδο κάθετο τον άξονά του είναι έλλειψη. Ως παράδειγµα εφαρµογής του, εξετάζεται το πρόβληµα της εκτίµηης του εύρους της ζώνης ατοχίας γύρω από ήραγγα κυκλικής διατοµής ε ιότροπο (υδροτατικό) ταικό πεδίο. ABSTRACT : In his pape he paaboloid ieion has been inodued as a ok mehanis ieion. This ieion has been inodued by Theoais fo he invesigaion of anisoopi omposie maeials. In ase of anisoopi maeials, he ieion akes is geneal fom as an ellipial paaboloid sufae, ha is, a paaboloid wih an ellipial seion. As an appliaion, he poblem of he alulaion of he adius of plasi zone aound a yli opening unde isoopi field sess has been pesened.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο παρόν άρθρο ειάγεται το κριτήριο του παραβολοειδούς εκ περιτροφής ως κριτήριο ατοχίας τη βραχοµηχανική. Το κριτήριο αυτό έχει ειαχθεί από τον Θεοχάρη για την διερεύνηη των ύνθετων υλικών τα οποία παρουιάζουν ανιοτροπία. Στην περίπτωη των ανιότροπων υλικών το κριτήριο παίρνει την γενικευµένη του µορφή ως ελλειπτικού παραβολοειδούς εκ περιτροφής, δηλαδή παραβολοειδές του οποίου η τοµή µε επίπεδο κάθετο τον άξονά του είναι έλλειψη. Πρόκειται, δηλαδή, για κριτήριο το οποίο µπορεί να περιγράψει την ατοχία ιότροπων όο και ανιότροπων υλικών, το οποίο εκφράζεται ως υνάρτηη και των τριών κυρίων τάεων. Βαική παράµετρος του κριτηρίου είναι ο λόγος της αντοχής ε µονοαξονική θλίψη προς την αντοχή ε µονοαξονικό εφελκυµό για κάθε κύριο άξονα ανιοτροπίας του υλικού. Στην περίπτωη ιότροπων υλικών, παράµετρος του κριτηρίου είναι ο λόγος της αντοχής ε µονοαξονική θλίψη προς την αντοχή ε µονοαξονικό εφελκυµό. Η ιδιότητα αυτή το καθιτά χρήιµο για εφαρµογή την βραχοµηχανική όπου ο λόγος των αντοχών υπειέρχεται το εµπειρικό κριτήριο Hoek-Bown, η δε διακύµανη της τιµής αυτού του λόγου είναι και ο βαικός λόγος για την αδυναµία εφαρµογής του κριτηρίου Giffih το οποίο προβλέπει ταθερή τιµή του λόγου των αντοχών και ίη προς 8. Η εφαρµογή ενός κριτηρίου, το οποίο θεµελιώνεται ε βαικές προτάεις της Μηχανικής και εφαρµόζεται ε ιότροπα όο και ε ανιότροπα υλικά, έχει θεωρητικό και πρακτικό ενδιαφέρον. Ως παράδειγµα εφαρµογής του, εξετάζεται το πρόβληµα της εκτίµηης του εύρους της ζώνης ατοχίας γύρω από ήραγγα κυκλικής διατοµής ε ιότροπο (υδροτατικό) ταικό πεδίο. Η υµµετρία του προβλήµατος έχει ως αποτέλεµα τον χηµατιµό κυκλικής ζώνης 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, /5-/6/006

2 ατοχίας, όπως άλλωτε υµβαίνει και µε την εφαρµογή των κριτηρίων Moh-Coulomb, Hoek-Bown, Tesa και Von-Mises για το ίδιο πρόβληµα, και γίνεται ύγκριη µεταξύ των κριτηρίων Παραβολοειδούς και Hoek-Bown.. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΣΤΟΧΙΑΣ. Ειαγωγή Τα κριτήρια ατοχίας είναι χέεις µεταξύ των τάεων, η ιχύς των οποίων δηλώνει την ατοχία του υλικού, υπό την έννοια των µη αντιτρεπτών ανηγµένων παραµορφώεων (τροπών). Στην βραχοµηχανική, η τάη ατοχίας δεν υµπίπτει γενικά µε τη µέγιτη τάη. Στα υπόγεια έργα, όπου τα τοιχώµατα των εκκαφών αποτελούν επιφάνειες εφαπτόµενες των κυρίων επιπέδων, τα κριτήρια ατοχίας εκφράζονται ως χέεις µεταξύ των κυρίων τάεων ή των αναλλοίωτων ποοτήτων. Στα πρανή, όπου η ατοχία εκδηλώνεται ως αποτέλεµα διάτµηης ε κάποια επιφάνεια ολίθηης, τα κριτήρια διατυπώνονται µε χέεις ορθών και διατµητικών τάεων, π.χ. το κριτήριο Moh-Coulomb. Ακολούθως παρουιάζονται οι εκφράεις των κυριότερων κριτηρίων. Καταρχάς αναφέρεται το κριτήριο Tesa. Μετά παρουιάζεται το κριτήριο Von Mises λόγω της πουδαιότητάς του, το οποίο έχει το χαρακτηριτικό ότι παριτάνεται τον χώρο των κυρίων τάεων από κυλινδρική επιφάνεια ατοχίας. Ακολούθως παρουιάζεται το κριτήριο Giffih το οποίο, εκτός της διαφορετικής θεµελίωής του, παρουιάζει το χαρακτηριτικό της παραβολοειδούς απεικόνιής του. Εµπειρική τροποποίηη αυτού του κριτηρίου αποτελεί το εµπειρικό κριτήριο Hoek-Bown. Τέλος, ειάγεται το παραβολοειδές εκ περιτροφής, το οποίο και εφαρµόζεται για τον υπολογιµό της ακτίνας της πλατικής ζώνης.. Κριτήριο Tesa Σύµφωνα µε αυτό το κριτήριο το υλικό ατοχεί όταν η µέγιτη διατµητική τάη παίρνει µία τιµή χαρακτηριτική για το υλικό: S S 0 όπου 0 είναι η µονοαξονική αντοχή ε εφελκυµό ή θλίψη. ( ) Λόγω της απλότητας της µαθηµατικής του διατύπωης, το κριτήριο αυτό είναι το µόνο για το οποίο υπάρχει (ύµφωνα µε τη γνώη του υγγραφέα) λύη κλειτής µορφής για το εύρος και το χήµα της πλατικής ζώνης για τη γενική περίπτωη ταικού πεδίου µε k (Savin, 96).. Κριτήριο Von Mises Ο Von Mises υπέθεε ότι η θεωρία ατοχίας πρέπει να εκφράζεται υναρτήει των αναλλοίωτων των αποκλινουών τάεων J, J και J Αφού J 0, το κριτήριο εκφράζεται ως εξής: ( ) ( ) ( ) 0 όπου 0 είναι η µονοαξονική αντοχή. Παρατήρηη Γενικά αυτό το κριτήριο δεν είναι ικανοποιητικό για τα πετρώµατα. Αιτία αυτού του υµπεράµατος είναι η µη ικανοποιητική εκτίµηη της υµβολής της ενδιάµεης κύριας τάης..4 Κριτήριο Giffih Ο Giffih το 9 (Jaege and Cook), πρότεινε ένα κριτήριο για την ερµηνεία της ψαθυρής θραύης του χάλυβα τους κινητήρες των αεροπλάνων. Για την τεκµηρίωη της θεωρίας του έκανε ειρά πειραµάτων ε γυαλί, µε την υπόθεη ότι η θραύη έχει ως ηµεία εκκίνηης ρωγµές οι οποίες υπάρχουν το υλικό και προκαλούν υγκέντρωη των τάεων Σχήµα. Οι αιχµές δηλαδή των ρωγµών, όπου η ακτίνα καµπυλότητας είναι πολύ µικρή, προκαλούν µία ταική «ιδιοµορφία». Αν και η θεωρία του Giffih δεν µπορεί να εφαρµοτεί τα πετρώµατα ως έχει, αποτελεί µία βάη για την ερµηνεία της επιρροής προϋπαρχουών ρωγµών το υλικό. Η πλέον ηµαντική υµβολή της θεωρίας αυτής είναι η ενεργειακή της θεµελίωη καθώς η βαική της υπόθεη είναι ότι: µία προϋπάρχουα ρωγµή θα επεκταθεί όταν η υνολική δυναµική ενέργεια του υτήµατος των φορτίων και του υλικού µειώνεται ή παραµένει ταθερή για µία αύξηη του µήκους της ρωγµής. Η ενέργεια ενός υτήµατος µπορεί να µεταβληθεί για τρεις λόγους: ( ) 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, /5-/6/006

3 Η δηµιουργία νέων επιφανειών των ρωγµών λόγω θραύης Μεταβολή της ελατικής ενέργειας παραµορφώεων του δείγµατος και Εάν 0 8 ( 5) Ο λόγος δηλαδή της αντοχής ε θλίψη προς την αντοχή ε εφελκυµό έχει τη ταθερή τιµή 8. Αυτό το υµπέραµα είναι ένας περιοριµός για την εφαρµογή του κριτηρίου Giffih τη βραχοµηχανική. Σχήµα : Εκκίνηη ρωγµής από το ύνορο εγκοπής ελλειπτικού χήµατος υπό διαξονική θλίψη Figue : Cak popagaion fom he boundaies of an ellipial sli unde biaxial ompession Μεταβολή της δυναµικής ενέργειας του υτήµατος φόρτιης. Στην περίπτωη θλιπτικού ταικού πεδίου, επί πλέον των ενεργειακών µεταβολών υπάρχει και η υνθήκη ότι την περιοχή των αιχµών των ρωγµών αναπτύονται εφελκυτικές τάεις οι οποίες δεν µπορούν να ξεπεράουν ένα όριο. Το κριτήριο Giffih έχει την ακόλουθη διατύπωη: E a π () όπου Ε το µέτρο ελατικότητας, α είναι η ενέργεια ανά µονάδα επιφανείας, είναι το ηµιµήκος του µεγάλου άξονα της έλλειψης και είναι η εφελκυτική τάη η οποία προκαλεί εκκίνηη διάδοης ρωγµής. Εάν θελήουµε να εφαρµόουµε το κριτήριο Giffih την περίπτωη µονοαξονικής θλίψης θα έχουµε το πρόβληµα της αλληλεπίδραης των τοιχωµάτων της ρωγµής και το ενδεχόµενο της τριβής. Αυτό ηµαίνει ότι αλλάζουν οι υνοριακές υνθήκες του προβλήµατος. Έχουν γίνει διάφορες προτάεις για την αντιµετώπιη αυτού του προβλήµατος. Αν υποθέουµε ότι η ρωγµή παραµένει ανοιχτή, ότι δηλαδή δεν έχουµε τάεις τα τοιχώµατα, θα ιχύει: ( ) 8 ( ) ( 4) Σχήµα : Γραφική παράταη του κριτηρίου Giffih ε δύο διατάεις. Figue : The failue envelope aoding o Giffih ieion in dimensions. Οι Hoek & Bown βαίτηκαν την ενεργειακή θεµελίωη του κριτηρίου αυτού και το τροποποίηαν, ειάγοντας το οµώνυµο εµπειρικό κριτήριο, έτι ώτε να ιχύει το ακέραιο πέτρωµα αλλά και τη βραχοµάζα. Πέραν της υµβολής του µε την ενεργειακή θεµελίωη, το κριτήριο Giffih έχει την βαική ιδιότητα ότι προβλέπει επιφάνεια ατοχίας χήµατος παραβολοειδούς Σχήµα. Η µορφή αυτή υµφωνεί µε τα αποτελέµατα τριαξονικών δοκιµών πετρωµάτων και ε αυτό ακριβώς το δεδοµένο βαίτηκαν οι Hoek και Bown όταν ειήγαγαν το εµπειρικό τους κριτήριο το 98, ως τροποποίηη του κριτηρίου Giffih ώτε η περιβάλλουα ατοχίας να προαρµόζεται τους κύκλους Moh τριαξονικών δοκιµών..5 Το κριτήριο ατοχίας του παραβολοειδούς εκ περιτροφής Σύµφωνα µε τον Π. Σ. Θεοχάρη (Theoais, 98, 989), είναι δυνατή η έκφραη ενός κριτηρίου ατοχίας για ιότροπα µέα, τα οποία χαρακτηρίζονται από διαφορετική αντοχή ε θλίψη και εφελκυµό. Το κριτήριο αυτό έχει αφή ενεργειακή θεµελίωη καθώς η ατοχία γίνεται όταν η ελατική τροφική ενέργεια λάβει κάποια κρίιµη τιµή που εξαρτάται από την υδροτατική υνιτώα. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, /5-/6/006

4 Έτι, υµµετέχουν εξίου οι ενέργειες υνόγκου και ύµµορφης παραµόρφωης. Το κριτήριο που πρότεινε ο Θεοχάρης, όταν παραταθεί ε χώρο (,, ), έχει παραβολική επιφάνεια και αξονική υµµετρία, υνεπώς είναι ένα παραβολοειδές εκ περιτροφής µε άξονα τον υδροτατικό άξονα. Ανήκει δε την οικογένεια του κριτηρίου του ελλειπτικού παραβολοειδούς (Theoais, Filippidis, 987). Το κριτήριο ατοχίας γράφεται ως : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 R R Η παράµετρος είναι η µονοαξονική αντοχή ε εφελκυµό ενώ η παράµετρος R, ο λόγος της µονοαξονικής αντοχής ε θλίψη προς τη µονοαξονική αντοχή ε εφελκυµό : ( ) 7 R Η γεωµετρική απεικόνιη της επιφάνειας ατοχίας του κριτηρίου, φαίνεται το Σχήµα. Με γενίκευη του κριτηρίου του παραβολοειδούς, ώτε να εφαρµόζεται και την περίπτωη των ανιότροπων υλικών, προκύπτει το ελλειπτικό παραβολοειδές, το οποίο είναι παραβολοειδές µε τοµή κάθετη τον άξονα υµµετρίας ελλειπτικού χήµατος. Υπ αυτήν την µορφή ερµηνεύει την υµπεριφορά ανιότροπων υλικών. Σχήµα : Η επιφάνεια ατοχίας του παραβολοειδούς ως περιβάλλουα την επιφάνεια του κριτηρίου Hoek-Bown (R8, m i ) (Κοζάνης, 00). Figue : Failue sufae of paaboloid as envelope of Hoek-Bown failue sufae(r8, m i ) (Kozanis, 00). Σηµειώνεται ότι για R το κριτήριο του παραβολοειδούς ταυτίζεται µε το κριτήριο Von Mises. Στο Σχήµα 4 φαίνεται τοµή των κριτηρίων του Παραβολοειδούς και του Hoek-Bown. Σχήµα 4: Τοµή των δυο επιφανειών κάθετη τον άξονα για I.9 MPa (Κοζάνης, 00). Figue 4: Nomal seion of he wo sufaes fo I.9 MPa (Kozanis, 00). Η εξίωη (8) είναι η µαθηµατική διατύπωη του ελλειπτικού παραβολοειδούς. ( ) () 0 8,, i F. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ ΓΙΑ k Για τον υπολογιµό της ακτίνας της πλατικής ζώνης για υδροτατικό (ιότροπο) ταικό 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, /5-/6/006 4

5 πεδίο εφαρµόζουµε την εξίωη ιορροπίας (Timoshenko and Goodie): d d θ 0 () 9 και τις εξιώεις του κυλίνδρου (0) και () θ p p o o e ( p ) ( 0) o e e ( p ) ( ) o e Στο όριο της πλατικής ζώνης θα ιχύει η χέη που προκύπτει από τις (0) και () µε αφαίρεη κατά µέλη: θ e e po e ( ) ( ) Η εξίωη () πρέπει να ικανοποιείται τόο για την ελατική ζώνη όο και για την πλατική την επαφή τους. Επιπλέον, οι τάεις την πλατική ζώνη πρέπει να ικανοποιούν την (6). Με την παραδοχή υνθηκών επίπεδης παραµόρφωης (ε z 0) και την ιχύ του νόµου καθετότητας (dε z 0) από την εφαρµογή του νόµου ροής (flow ule) (): όπου: K και 4 L 4 ( R ) R ( R ) R ( R ) 4 4 ( R ) e ( R ) ( 6) 4 4 ( R ) pi ( 7) Προς ύγκριη µε την ακτίνα της πλατικής ζώνης την προβλεπόµενη µε εφαρµογή του κριτηρίου Hoek-Bown παρατίθεται το µέτρο της (Hoek and Bown): e i e m m s e m p s ( 8) Στα Σχήµατα 5α, 5β και 5γ που ακολουθούν γίνεται ύγκριη των ακτίνων κατά Hoek- Bown και κατά το προτεινόµενο κριτήριο του Παραβολοειδούς µε παραµετρική ανάλυη. i f 0 ( ) προκύπτει η χέη: ( R ) b b ( 4) Με αντικατάταη των τάεων, θ και ( R ) b b (α) την διαφορική εξίωη ιορροπίας (9) προκύπτει το µέτρο της ακτίνας της πλατικής ζώνης (Αποτολέρης, 00) e e i LK K ln L ( R) ( 5) (β) 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, /5-/6/006 5

6 (γ) Στα Σχήµατα 7α-7τ παρουιάζονται επιλύεις µε το λογιµικό CEFEAS, όπου φαίνεται ο χηµατιµός πλατικής ζώνης και η αντίτοιχη µεταβολή τάεων υναρτήει της απόταης από την οπή. Στο πρόγραµµα CEFEAS ειήχθηαν οι τιµές για την αντοχή της βραχοµάζας : MPa και 0,5ΜPa. Για τις τιµές αυτές και για βάθος ήραγγας περίπου 60m (p 0 4MPa) λήφθηκαν τα αποτελέµατα που φαίνονται τα Σχήµατα 7α και 7β. Σχήµα 5: Ακτίνα της πλατικής ζώνης υναρτήει των παραµέτρων R-m (α), υναρτήει της αντοχής ε θλίψη (R4) (β) και (R5) (γ). Figue 5: Radius of plasi zone wih espe o R-m (α), and wih espe o ompessive sengh (R4) (β) and (R5) (γ). Προς ύγκριη παρατίθενται επίης οι επιλύεις που πραγµατοποιήθηκαν µε το λογιµικό τριδιάτατης µη-γραµµικής ανάλυης µε πεπεραµένα τοιχεία CEFEAS (Κοζάνης, 00) για ήραγγα µε ακτίνα 5m (α) θ θ z z θ (FEM) θ (FEM) (FEM) (FEM) z (FEM) z (FEM) Σχήµα 6: Σύγκριη της µεταβολής των τάεων µεταξύ αναλυτικής λύης και του λογιµικού CEFEAS Figue 6: Compaison of sess vaiaion aoding he losed fom soluion and he FEM pogam CEFEAS 7 (β) Αντίτοιχα, παρουιάζονται τα αποτελέµατα και για βάθη ήραγγας ία προς 80m (p 0 MPa) Σχήµατα 7γ και 7δ και 40m (p 0 MPa) Σχήµατα 7ε και 7τ. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, /5-/6/006 6

7 ταικού πεδίου ( k ) παρατίθεται το Σχήµα 8 (Κοζάνης, 00) η πλατική ζώνη ανιότροπου µέου όπως προέκυψε από το πρόγραµµα CEFEAS. 7 (γ) 7 (τ) Σχήµα 7: Πλατική ζώνη και µεταβολή τάεων γύρω από κυκλική οπή ύµφωνα µε το κριτήριο του Παραβολοειδούς για MPa, 0,5MPa. (α-β) p 0 4MPa, (γ-δ) p 0 MPa, (ε-τ) p 0 MPa. Figue 7: Plasi zone and sess vaiaion aound yli opening aoding o he paaboloid ieion fo MPa, 0,5MPa. (α-β) p 0 4MPa, (γ-δ) p 0 MPa, (ε-τ) p 0 MPa. 7 (δ) 7 (ε) Προς ύγκριη µε την περίπτωη ανιότροπου µέου και µη υδροτατικού Σχήµα 8: Ζώνες ατοχίας για γωνία αξόνων ανιοτροπίας 45 0 ως προς την κατακόρυφο και k0.5 (Κοζάνης, 00) Figue 8: Failue zones fo angle beween of axes of anisoopy and he veial dieion equal o 45 0 and k0.5 (Kozanis, 00) Για τα ίδια δεδοµένα των αναλύεων των Σχηµάτων 7α έως 7τ, έγιναν υπολογιµοί µε βάη τις χέεις (5) και (8) για να γίνει 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, /5-/6/006 7

8 ύγκριη µεταξύ του προτεινόµενου κριτηρίου του παραβολοειδούς και του κριτηρίου Hoek- Bown Πίνακας. Παρατηρείται ότι ε όλες τις περιπτώεις µε το κριτήριο του παραβολοειδούς προβλέπεται ακτίνα πλατικής ζώνης µικρότερη. Ενδεχοµένως η διαφορά αυτή να οφείλεται ε µεγάλο βαθµό το ότι το κριτήριο αυτό υµµετέχει και η ενδιάµεη τάη ε αντίθεη µε το κριτήριο Hoek-Bown το οποίο είναι υνάρτηη της και της. Πίνακας : Σύγκριη αναλυτικών υπολογιµών µε λύεις κλειτής µορφής και ακτίνα οπής ίη προς 5m (Αποτολέρης, 00) Table : Compaison of analyial esuls by using losed fom soluions fo an opening wih adius equal o 5m (Aposoleis, 00) Κριτήριο Παραβολοειδούς, p 0 4MPa R e e - 0,5 8,00 -,0 0,5 Κριτήριο Hoek-Bown, p 0 4MPa m s e e 8,96,45 Κριτήριο Παραβολοειδούς p 0 MPa R e e - 0,5 8,00-0,64 6,55 Κριτήριο Hoek-Bown, p 0 MPa m s e e 8 0,7 9,07 Κριτήριο Παραβολοειδούς, p 0 MPa R e e - 0,5 8,00-0,0 5,0 Κριτήριο Hoek-Bown, p 0 MPa m s e e 8 0,0 6,84 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούα εργαία εφαρµότηκε το κριτήριο του Παραβολοειδούς για τον υπολογιµό της πλατικής ακτίνας γύρω από κυκλική οπή εντός υδροτατικού (ιότροπου) ταικού πεδίου. Η ύγκριη µε τα αντίτοιχα αποτελέµατα που προκύπτουν µε εφαρµογή του εµπειρικού κριτηρίου Hoek-Bown είναι ικανοποιητική. Το αποτέλεµα αυτό είναι ηµαντικό διότι το κριτήριο του παραβολοειδούς είναι ένα κριτήριο αυτηρά θεµελιωµένο και όχι εµπειρικό. Μπορεί δε να χρηιµεύει ως µέτρο ύγκριης ε διάφορες εφαρµογές της βραχοµηχανικής. Το ηµαντικότερο όµως πλεονέκτηµά του είναι το ότι γενικεύεται ώτε να ερµηνεύει και την µηγραµµική υµπεριφορά ανιότροπων υλικών. Αξίζει να ηµειωθεί ότι έως ήµερα δεν έχει προταθεί άλλο κριτήριο το οποίο να µπορεί να ερµηνεύει την µη-γραµµική υµπεριφορά ιότροπων και ανιότροπων µέων. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αποτολέρης, Κ (00): «ιερεύνηη της δηµιουργίας πλατικής ζώνης γύρω από κυκλική ήραγγα εντός υδροτατικού ταικού πεδίου µε εφαρµογή του κριτηρίου του παραβολοειδούς», ιπλωµατική εργαία, ΠΜΣ «Σχεδιαµός και Κατακευή Υπόγειων Έργων», Ε.Μ.Π. Jaege and Cook (979), Fundamenals of Rok Mehanis, Chapman & Hall. Κοζάνης, Στ. (00): «Η επιρροή της Ανιοτροπίας της Βραχοµάζας τον Σχεδιαµό Υπόγειων Έργων», ιπλωµατική εργαία, ΠΜΣ «Σχεδιαµός και Κατακευή Υπόγειων Έργων», Ε.Μ.Π. Κοζάνης, Στ. (00): «Συµβολή τη µελέτη της Βραχοµάζας, θεωρουµένης ως µέου µε µή-γραµµική υµπεριφορά µε τη µέθοδο των Πεπεραµένων Στοιχείων. Έµφαη τα Υπόγεια Έργα», ιδακτορική ιατριβή, ΕΜΠ. Hoek, E. and Bown, E. T., (980): 'Undegound Exavaions in Rok', Insiuion of Mining and Meallugy. Savin, G. N. (96): Sess Conenaion aound Holes, Pegamon Pess. Theoais, P.S. (98), Yield ieia depending on pessue and dilaany, Poeedings Naional Aademy of Ahens, Vol. 58, pp Theoais, P.S. and Philippidis Th., (987), The paaboloidal failue sufae of iniially anisoopi elasi solids, I. Rein. Plas. Composies, Vol. 6, Issue. Theoais, P.S. (989), The paaboloid failue sufae fo he geneal ohoopi maeial, Aa Mehania, Vol. 79, pp Timoshenko, S. P. and Gooodie, J. N. (95): Theoy of Elasiiy, MGaw-Hill. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, /5-/6/006 8

9 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, /5-/6/006 9