Las Funciones Trigonométricas

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1 Caítulo 3 Las Funciones Trigonométricas 3.. El círculo trigonométrico Vamos a suoner conocido el sistema cartesiano en lo que se refiere a concetos fundamentales como son los de abscisa y ordenada de un unto, ubicación de diferentes untos en el lano, algunas relaciones como or ejemlo, la distancia entre dos untos dados. Sean P (x, y y P (x, y, (, P x y La distancia P P esta dada or: (x x + (y y P(, x y En un sistema cartesiano ortogonal (U, V, definimos una circunferencia con centro en el origen (0, 0 y radio. Esta circunferencia, a la que se le acostumbra llamar círculo trigonométrico, sólo sirve de ayuda ara comrender algunos concetos, una vez definidas las funciones trigonométricas. C II III B O( 0, 0 IV D I P( u, v A u se llama abscisa de P (u, v v se llama ordenada de P (u, v Note que (u, v : (u 0 + (v 0 = u + v = A = (, 0, B = (0,, C = (, 0 y D = (0, 7

2 Las Funciones Trigonométricas 8 Tomaremos siemre el eje OU, como origen de ángulos, así x<0 O x x<0 A(, 0 U O x A(, 0 U Es imortante notar que un ángulo x determina un único unto en la circunferencia trigonométrica. Sin embargo dado P en la circunferencia trigonométrica hay muchos ángulos que le corresonden: aquellos que difieren en un múltilo de π. 3.. Definiciones En estas definiciones extenderemos el conceto de razón trigonométrica al de función trigonométrica. Sea el círculo trigonométrico que se muestra en la figura. V x O QO P( u, v A(, 0 U Se define seno del ángulo x, or el número real coseno del ángulo x, or el número real tangente del ángulo x, al número real sen x = QP = ordenada de P = v cos x = OQ = abscisa de P = u tg x = senx cosx = v u, u 0 cotangente del ángulo x, al número real cotg x = cosx senx = u v, v 0 secante del ángulo x, al número real

3 Las Funciones Trigonométricas 9 sec x = cosx = u, u 0 finalmente cosecante del ángulo x, al número real cosec x = senx = v, v 0 Note que or estas definiciones, cada unto P (u, v de la circunferencia trigonométrica tiene coordenadas P (cos x, sen x, esto es, hay una corresondencia biunívoca. Sin embargo tal como hiciéramos ver anteriormente no hay corresondencia biunívoca entre P (u, v y el ángulo x. Para el caso de la tangente, a esar que se definió en términos del seno y coseno, vamos a dar la siguiente definición geométrica equivalente: V a O x P T A R U tg x = AT OA = AT = AT A la recta AT, que tiene su inicio en el unto A, se le acostumbra llamar eje de las tangentes. La medida de AT (que es ositiva es la tangente de x, y la medida de AR (que es negativa es igual a la tangente de α. Para el resto de las funciones trigonométricas existen definiciones geométricas equivalentes, ero no las mostraremos en este texto Por último es necesario ser riguroso con nuestras definiciones, ara lo cual consideraremos un círculo de radio cualquiera r(r. Haremos ver a lo menos que sen x y cos x, son números reales que no deenden del tamaño del radio: V O, P P x A QO QO,, A U OP =, OA =, OA = r (r Como OQP OQ P Q P = QP = QP = v = sen x OP OP OQ = OQ = OQ = u = cos x OP OP

4 Las Funciones Trigonométricas Proiedades De las definiciones anteriores, se tiene que u senx senx, v cosx cosx, x R x R tomando los valores recírocos, se obtiene y que: senx senx cosecx cosx cosx secx 3.. Signos Según el cuadrante donde cae el ángulo x en cuestión, de las definiciones se tiene sen x y cosec x cos x y sec x tg x y cotg x Periodicidad Se dice que una función f(x tiene eríodo T, T R si y sólo si f(x + T = f(x es más si f(x tiene eríodo T, entonces también se cumle f(x = f(x + kt, k Z Todas las funciones trigonométricas tienen eríodo π, luego func = func (α + kπ, k Z en articular las funciones tangente y cotangente tienen eríodo π tg x = tg(x + k π, k Z cotg x = cotg(x + kπ, k Z

5 Las Funciones Trigonométricas 3 OBS.: π eríodo de : sen x, cos x, cosec x y sec x. π eríodo de: tg x y cotg x 3.6. Paridad Se dice que una función f(x es ar si y sólo si f(x = f( x x Dom f y se dice que f(x es imar, si y sólo si f( x = f(x, x Dom f V O x x P( u, v A(, 0 U De la figura se tiene: sen x = QP = v y sen ( x = QP = v Así: sen ( x = sen x, luego sen x es imar. cos x = OQ = u y cos ( x = OQ = u Así cos( x = cos x, luego cos x es ar P, ( u, v tg( x = sen( x cos( x = senx cosx imar. = tgx, luego tg x es Análogamente, se rueba que cotg x y cosec x son imares y que sec x es ar Identidades fundamentales Para cualquier P (u, v de la circunferencia trigonométrica recordemos que: u + v =, ero u = cos x y v = sen x, x R, luego sen x + cos x = ( x R, merece una exlicación, or favor ver sección 3.8. De aquí se obtienen, + tg x = sec x y que + cotg x = cosec x, excetuando aquellos valores ara los que la tg x, secx, cotgx y cosecx no están definidas (ver siguiente sección. La otras identidades fundamentales rovienen directamente de las definiciones Variación de las funciones trigonométricas y sus gráficos Recordando el conceto general de función, f : A B, A y B R, los conjuntos Dominio de f (Dom f y Recorrido de f (Rec f están dados or:

6 Las Funciones Trigonométricas 3 Dom f = {x A / y B : y = f(x} Función seno Rec f = {y B / x A : y = f(x} Como: senx y el ángulo x uede tomar valores desde 0 hasta ± (radianes = reales afirmamos que: f(x = sen x, x R. Dom f = R y Rec f = [, ], 3 Función coseno y 3 Función imar de eríodo π Como: cos x, x R, f(x = cos x x sen 0 = 0 sen π = sen π = 0 sen 3π = sen π = 0 3 Dom f = R y Rec f = [, ] y 3 x cos 0 = cos π = 0 cos π = cos 3π = 0 cos π = Función ar de eríodo π Función tangente Para el dominio de la tangente es necesario que cosx 0 es decir x (k + π, k Z. Según su definición geométrica (AT eje de las tangentes se tiene que su recorrido son todos los reales, así f(x = tgx, Domf = R {x x = (k + π, k Z y Recf = R.

7 Las Funciones Trigonométricas 33 y 3 3 x tg 0 = 0 tg π/ = ± tg π = 0 tg 3π = ± tg π = 0 Función imar de eríodo π Función cotangente En forma análoga que ara el caso de la función tangente, obtenemos f(x = cotg x, Domf = R {x x = kπ, k Z} Note que senx = 0 x = kπ, k Z Rec f = R y cotg 0 = ± cotg π = x cotg π = ± Función imar de eríodo π cotg 3π = 0 cotg π = ± Función secante f(x = secx, Dom f = R {x x = (k + π, k Z} y Rec f = (, ] [, + y sec 0 = sec π = ± 3 3 x sec π = sec 3π = ± Función ar de eríodo π sec π =

8 Las Funciones Trigonométricas 3 Función cosecante f(x = cosecx; Domf = R {x x = kπ, k Z} y Rec f = (, ] [, + y cosec 0 = ± cosec π/ = 3 3 x cosec π = ± cosec 3π = Función imar de eríodo π cosec π = ± 3.9. Reducción Ahora veremos como las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera, se ueden exresar en términos de un ángulo ositivo entre 0 y π. Considerando siemre que α es un ángulo agudo entre 0 y π, tenemos 8 casos osibles: Caso (Siemre en un círculo de radio (,q sen(0 + α = sen α a cos(0 + α = cos α tg(0 + α = tg α Para las otra funciones trigonométricas basta tomar los recírocos, es más, son suficientes tan solo sen α y cos α. ( orque?

9 Las Funciones Trigonométricas 35 Caso a (,q a sen α = cos α cos α = sen α tg α = cotg α Caso 3 (,q a a sen + α = cos α cos + α = sen α tg + α = cotg α Caso sen(π α = sen α cos(π α = cos α (,q a a tg(π α = tg α

10 Las Funciones Trigonométricas 36 Caso 5 sen(π + α = sen α cos(π + α = cos α a a tg(π + α = tg α (,q Caso 6 ( 3π sen α = cos α (,q 3 a a ( 3π cos α = sen α ( 3π tg α = cotg α Caso 7 3 a a (,q ( 3π sen + α = cos α ( 3π cos + α = sen α ( 3π tg + α = cotg α

11 Las Funciones Trigonométricas 37 Caso 8 sen(π α = sen α cos(π α = cos α a tg(π α = tg α (,q Nota: Queremos hacer notar que las fórmulas recién establecidas también son válidas si α es un ángulo cualquiera, como lo justificaremos más adelante. Ejemlo.. Calcular la exresión A, si sen α = 3, 0 < α < π A = cotg(π + α tg( 3π α + cos( α sen + α + sec(π α tg(π α. Si tg α = 3 y α IV cuadrante, calcular el valor de: A = sen α + cos( 3π α + tg(5π + α cosec(π α + sen( 5π + α Solución.. a 3 5 A = cotg(π + α tg( 3π α + cos( α sen + α + sec(π α tg(π α A = A = cotgα cotgα + cosα cosα + secα ( tgα = = cos α cosα + sec α + tg α

12 Las Funciones Trigonométricas 38. Primero reducimos lo más osible, la exresión A. A = Si α IV cuadrante = tg α < 0, en valor absoluto tg α =, se tiene 3 sen α sen α + tg α cosec α + cos α = tg α cosecα + cos α cosec α < 0 y cos α > 0, or tanto tomando 3 a 3 3 cosec α = cos α = 3 3, luego A = 3 ( 3 + = Fórmulas de suma y diferencia de ángulos Vamos a demostrar que cos(α β = cosα cosβ + sen α sen β ara cualquier valor de los ángulos α y β y con ella demostraremos las demás. Para esto, sean las figuras que se indican a continuación (círculos de radio QO y O a b a b P x y, QO, O a b, P x los triángulos OP Q y O P Q son congruentes. Coordenadas de P, P, Q y Q son: P (cosβ, senβ, P (, 0, Q(cos α, sen α y Q (cos(α β, sen(α β. Los lados QP y Q P son iguales como también sus cuadrados, así (Q P = (QP

13 Las Funciones Trigonométricas 39 (cos(α β + (sen(α β = (cos α cos β + (sen α sen β cos (α β cos(α β + + sen (α β = cos α cos α cos β + cos β + sen α sen α sen β + sen β de donde simlificando se obtiene cos(α β = cos α cos β + sen α sen β ( haciendo β = γ, se obtiene cos(α + γ = cos α cos( γ + sen α sen( γ cos(α + γ = cos α cos γ sen α sen γ ( Por las fórmulas de reducción, se tiene: sen(α β = cos sen(α β = cos[ (α β, α, β α + β] alicando ( sen(α β = cos αcosβ sen α senβ, de donde sen(α β = sen α cos β cos α sen β (3 haciendo β = γ, se demuestra ahora demostraremos que sen(α + γ = sen α cos γ + cos α sen γ ( tg(α + β = tg α + tg β tg α tg β sen(α + β sen α cos β + cos α sen β tg(α + β = = cos(α + β cos α cos β sen α sen β dividiendo el numerador y denominador de la fracción or cos α cos β se obtiene lo requerido, es decir: análogamente se demuestra tg(α + β = tg(α β = cotg(α + β = cotg(α β = tg α + tg β tg α tg β tg α tg β + tg α tg β cotg α cotg β cotg β + cotg α cotg α cotg β + cotg β cotg α (5 (6 (7 (8

14 3.. Fórmulas del ángulo doble Vamos establecer, aoyándonos en las fórmulas anteriores que: senα = sen α cos α cosα = sen cosα = cos α sen α α cosα = cos α tgα = Por fórmula (, se tiene tgα tg α sen(α + α = sen α cos α + cos α sen α luego Las Funciones Trigonométricas 0 como también y sen α = sen α cos α (9 cos α = cos α sen α (0 tg α = tg α tg α ( 3.. Fórmulas del ángulo trile Análogamente, haciendo γ = α en ( se obtiene: sen3α = sen α cos α + sen α cos α sen3α = sen α( sen α + sen α( sen α como también sen3α = 3senα sen 3 α ( cos3α = cos 3 α 3cos α (3 tg3α = 3tgα tg3 α 3tg α (

15 3.3. Fórmulas del ángulo medio Las Funciones Trigonométricas Haciendo β = α en las identidades cosβ = sen β y cosβ = cos β de donde: cosα = sen α y cosα = cos α sen α = ± cosα cos α = ± + cosα tg α = ± cosα + cosα Haciendo un comentario de estas fórmulas, notemos que ara: (5 (6 (7 como: sen α = ± cosα cos α cos α 0 cos α 0 cos α o sea que la cantidad subradical siemre es ositiva. Utilice (+ ara cuando α cae en el I y II cuadrantes y (- ara cuando α + cos α cae en III y IV cuadrantes ara: cos α = ±, análogamente 0 + cosα, úsese (+ ara cuando α cae en I y IV cuadrantes y (- ara cuando α cae en II y III cuadrantes. En tanto ara: tg α = ± cos α + cos α notemos que rimero están rohibidos los ángulo α, tales que + cos = 0 cos α = α = (k + π, k Z = α = kπ + π que es el caso en que tg α no está definida.

16 Las Funciones Trigonométricas Finalmente notemos que los signos de sen α y cos α que el de tg α deende de qué signo tomemos ara senα y cosα tg α = sen α cos α Ejemlo. Si α = 60 = = α = α es un ángulo del II cuadrante, así sen α cos60 = +, cos α + cos60 = y tg α = cos60 + cos Fórmulas de Prostaféresis Productos en sumas A artir de, no deenden entre si, mientras ues como sabemos sen(α + β = sen α cos β + senβ cos α (I sen(α β = sen α cos β sen β cos α (II cos(α + β = cos α cos β senα sen β (III cos(α β = cos α cos β + senα sen β (IV Sumando: (I y II y (III y IV, se obtienen sen α cos β = [sen(α + β + sen(α β] (8 Restando: (I y II y (III y IV, se tienen cos α cos β = [cos(α + β + cos(α β] (9 cos α sen β = [sen(α + β sen(α β] (0

17 Las Funciones Trigonométricas 3 Sumas en roductos sen α sen β = [cos(α + β cos(α β] ( Si en estas últimas, hacemos se obtienen: α + β = u α β = v } = α = u + v sen u + sen v = sen u + v sen u sen v = cos u + v cos u + cos v = cos u + v cos u cos v = sen u + v y β = u v cos u v sen u v cos u v sen u v ( (3 ( (5

18 Las Funciones Trigonométricas 3.5. Ejercicios Resueltos. Reducir las siguientes exresiones en términos del ángulo α. ( 5π cos(α 70, cosec(π α, sen + α tg(00 α, cotg( 90 α y cos(630 α Solución. cos(α 70 cosec(π α = cos(70 α = senα = cosecα sen ( 5π + α = cosα = cos α sen α tg(00 α = tg(7 80 (60 + α = tg(60 + α cotg( 90 α = tg60 + tg α tg60 tg α = 3 + tg α 3 tg α = cotg(90 + α (cotgα es una función imar = ( tg α = tg α cos(630 α = cos(7 90 α = sen α. Si α IV cuadrante y senα = 7 5 calcule el valor de A = sen α + tg α Solución. α IV cuadrante α II cuadrante or tanto sen α > 0 y tg α < 0, como:

19 Las Funciones Trigonométricas 5 sen α = cosα = 3 = 5 tg α = cosα +cosα = 7, luego A = 5 + ( 7 = = 7 5 = Demostrar que cos(0 + α + cos(60 α = sen(90 α Demostración. cos(0 + α + cos(60 α = cos(360 + (60 + α + cos(60 α = cos(60 + α + cos(60 α alicando fórmula = cos60 cos α = cos α = sen(90 α. Determine los valores de i sen(70 + α si sen α = 0,6 ii tg α si cos α = 3 Solución. i Si sen α = 0,6 = 3 = α I o II cuadrantes en ambos casos α I cuadrante 5 or tanto cos α > 0, luego sen ( 70 + α = cos α (or 3.9 caso 7 +cos α = = + 5 = 3 0 ii Si cos α = 3 = α I o III cuadrantes, or tanto tg α < o tg α > 0, así tg α = ± 3

20 Las Funciones Trigonométricas 6 5. Desde un unto A de un lano a nivel, el ángulo de elevación de una cometa es α y su dirección, sur; y desde un lugar, B, que está c m. al sur de A sobre el lano, la cometa se ve hacia el norte con un ángulo de elevación β. Demuestre que la distancia de la cometa a A y su altura sobre el lano son: c sen β sen(α + β y c sen α sen β sen(α + β resectivamente. Solución. A N a d x c C h y B x = h cotg α y = h cotg β } = x + y = h(cotgα + cotg β c = h ( cos α + cos β sen α sen β h = c sen α sen β sen(α+β or otra arte sen α = h d d = h = sen α c sen β sen(α+β 6. Si cotg α = 3 y cotg β = + 3, demuestre que 3 3 i cosec α + cosec β = 3 ii 3 cotg(α β = 8 Solución. i Note que de aquí cotg α = 3 cotg β = 3 +

21 Las Funciones Trigonométricas 7 cotg α + cotg β = 8 3 cotg β cotg α = } = (cotg α + cotg β = cosec α + cosec β = cosec α + cosec β = 3 ii 3 cotg(α β = 3 cotg α cotg β+ = = 8 cotg β cotg α 7. Demostrar las siguientes identidades a sen(75 α cosec75 cos(75 αsec75 = sen α b sen(5 α sen(5 + α cos(60 + α + cos(60 α + sec5 tgα = 0 ( c + tg + α + tg α 3π = sen α d tg + α tg α = tg α sec α sen3θ + senθ e = cotg θ( cos θ + cosθ + cos θ f cotg α ( cotg 3α tg 3 α 3tg α = tg α sec α + 3 g sen80 sen0 sen0 = 8 h tg5 + tg5 + tg75 = 5 i tg0 + tg0 + 3 tg0 tg0 = tg0 tg0 tg80 = 3 sen 6α cos 6α j sen α cos α = Solución. a

22 Las Funciones Trigonométricas 8 sen(75 αcosec75 cos(75 αsec75 = {sen 75 cos α cos 75 sen α} cosec75 [cos 75 cos α + sen 75 sen α]sec75 cos 75 = cos α sen α cos α sen 75 ( cos = sen α 75 +sen 75 sen 75 cos 75 sen 75 sen α cos 75 = sen α sen75 cos 75 = sen α sen 50 = sen α b sen(5 α sen(5 +α cos(60 +α+cos(60 α + sec5 tg α = alicando las fórmulas de rostaféresis, se tiene: c + tg ( π + α + tg ( α 3π cos5 sen( α cos 60 cosα + tg α = 0 ( tg π +tg α ( tgα tg 3π = + tg + π tg α +tg α tg 3π ( = + +tg α tg α = + (+tg α+tg α tg α+tg α = tg α+tg α++ tg α+tg α sec α tg α = sec α sec α tgα = tg α cos α = sen α d tg ( π + ( α tg π α = sen + α cos α sen α cos + α cos + α cos α alicando las fórmulas: y 0 se tiene

23 Las Funciones Trigonométricas 9 = [ (sen π +sen α ] [ (sen π +sen( α ] [ (cos π +cos α] = +sen α+sen α +sen α sen α cos α = sen α cos α cos α = tg α sec α e sen 3 θ+sen θ = sen θ cos θ + cos θ+cos θ +cos θ+cos θ sen θ = sen θ cos θ cos θ(+cos θ = sen θ cos θ +cos θ f = sen θ cos θ( cos θ sen θ = cotg θ( cos θ cotg α cotg 3α ( tg 3 α 3 tg α = cotg α 3 cotg 3α = sen 3 α cos α 3 cos 3 α sen α sen α sen 3 α = = [sen α+sen α] 3 [sen α sen α] [cos α cos α] sen α sen α = sen α +cos α cos α cos α ( cos α ( cos α+sec α ( cos α = tg α = tg α ( cos α(+sec α sec α+ g sen 80 sen 0 sen 0 = [cos 0 cos 0 ]sen0 = [ cos 0 ] sen0 = sen 0 + cos0 sen0 = sen 0 + [sen 60 sen0 ] = 3 8 h tg 5 + tg 5 + tg 75 = tg5 + tg 75 + = sen5 cos 75 +sen 75 cos 5 = (0+ + = 5 + = sen( cos 5 cos 75 [cos 90 +cos 60 ] i

24 Las Funciones Trigonométricas 50 tg 0 + tg 0 + 3tg 0 tg 0 = sen 0 cos 0 +sen 0 cos sen 0 sen 0 cos 0 cos0 cos0 cos 0 = sen sen 0 sen 0 [cos 60 +cos 0 ] = 3 [ (cos 60 cos 0 ] cos 60 +cos 0 = 3, or otra arte. tg 0 tg 0 tg80 = sen 0 sen 0 sen 80 cos 0 cos 0 cos 80 = (cos 60 cos( 0 sen 80 = sen 80 +sen 80 cos 0 (cos 60 +cos( 0 cos80 cos80 +cos 80 cos 0 = sen 80 + (sen 00 +sen 60 cos 80 + (cos 00 +cos 60 ero sen 80 = sen(80 80 = sen 00 cos 80 = cos(80 80 = cos 00, or tanto j = 3 = 3. sen 6α cos 6α sen α cos α = sen 6α cos α sen α cos 6α sen α cos α = sen(6α α sen α =. 8. En la cúside de un edificio se encuentra una antena de l m. si desde un unto A situado en un lano horizontal, el ángulo de elevación del edificio es α y la antena subtiende un ángulo β desde el mismo unto. Demuestre que la altura del edificio es l sen α cosec β cos(α + β y que la distancia desde A a la base es l cos α cosec β cos(α + β Solución. A a x b l h tg α = h x tg(α + β = l+h x de aquí se obtiene h = l tg α tg(α+β tg α }

25 Las Funciones Trigonométricas 5 h = l sen α cos[ sen(α+β cos(α+β sen α cos α ] = l sen α cos(α+β sen(α+β cos α cos(α+βsen α h = l sen α cos(α+β sen(α+β α = l sen α cosec β cos(α + β así también x = h cotg α = x = l cos α cosec β cos(α + β 9. Si tg β = tg α, demuestre que tg(α β + tg α = 0 Demostración. tg(α β = tg α tg β tg α tg β = tg α tg α tg α tg α = tg α tg3 α +tg α = tg α = tg(α β + tg α = 0 0. Demostrar que cotg α 8 cotg 8 α = tg α + tg α + tg α Demostración. Previamente note que, como cotg α = cotg α = cotg α tg α y de aquí: tg α = cotg α cotg α cotg α, entonces tg α + tg α + tg α = cotgα cotg α + (cotg α cotg α+ +(cotg α cotg 8α = cotg α 8 cotg 8α.. Demuestre que si sen α = 7, entonces el valor de 3 cosα cos5 α es 7 o bien. Demostración. Si sen α = 7 entonces α I o bien α II cuadrantes, or tanto si α I = cos α = 3 y como 3cos α cos 5 α = 3 [cos 3α + cos α] = 6[ cos 3 α 3 cosα + cos α ] = 6 ( 6 7 = 7 si α II = cos α = 3 = 3cos α cos 5α =

26 Las Funciones Trigonométricas 5. Si 3 sen(α + β + cos(α β = 0, demuéstrese que cotg β = tg α Demostración. Como de la hiótesis, se uede exresar (sen(α + β + cos(α β = cos(α β sen(α + β y alicando las fórmulas de rostaféresis, se obtiene: sen + β cos ( π + α = cos + β sen α sen +β cos +β = sen α cos α ; cos ( π + α = cos α tg + β = tg α ero cotg + β = tg + β así cotg β = tg α 3. Si cos u = sen v demuestre que cotg u + v cotg u v ( π v = cotg Demostración. cotg u+v cotg u v = u+v cos cos u v sen u+v sen u v = [ cos u + cos ] v [ cos u cos ] v = cos v + cos u cos v cos u ero cos u = senv cos u = sen v cos v, or tanto = cos ( v + sen v ( = + cos v cos v sen v cos v = cotg ( π v

27 Las Funciones Trigonométricas 53. Demuestre que eliminando θ entre las ecuaciones x = senθ + sen 3θ y = cos 3 θ + cos 3θ se obtiene: A 3/ = 7( A + y, A = 9x + y Demostración. y = cos 3θ + 3 cosθ + cos 3θ y = 3 cosθ + 3 cos 3θ x = sen θ + sen 3θ x y 3 = cos θ + cos 3θ y 3 = sen θ cos θ = cos θ cos θ 3x tg θ = y A q y 3x A = 9x + y x cosθ y 6 cos θ = sen θ = cos θ } = x 6 cos θ + y 36 cos θ = 9x + y = cos θ ero cos θ = + y A = 9x + y = 7 + y 9x +y de aquí: A 3/ = 7( A + y; con A = 9x + y. 5. Resolver, considerando 0 x π, las siguientes ecuaciones: a cos x sen x = cos 3x sen x b sen x sen x = 3 sen3x cos 5x + c cosec x + cosec 5x = 0 d tg x + tg x + tg e cos x + 3 sen x 3 = 0 f cos x cos + x ( 3π + x = 3 sen 3 + x sen 3 x + cos ( 3π + x = 0

28 ( g cos x + π ( = cos 6x π ( h sen x + π ( cos 3 6 x = cos x + π sen 3 6 x Las Funciones Trigonométricas 5 Solución. a senx sen x = cos 3x cos x cos 3x sen x = sen x sen x senx(cos 3x + sen x = 0 de aquí sen x = 0 o cos 3x + sen x = 0 x = 0, x = π o x = π cos 3x + sen x = 0 cos 3 x 3 cosx + senx cosx = 0 cos x( cos x 3 + sen x = 0 cos x = 0 x = π, x = 3π o bien sen x sen x = 0 sen x = ± 5 sen x = + 5 = x = 5, x = 6 sen x = 5 = x = 98, x = 3 Vamos a justificar, los resultados anteriores. Previo calcularemos sen8, sea α = 8 5 α = 90 3 α = 90 α cos 3α = sen α cos 3 α 3 cos α = sen α cos α, dividiendo or cos α 0 sen α + senα = 0 = sen α = ± 5, de aquí sen 8 = + 5, ahora sen 5 = cos 36 = sen 8 ; ( sen 5 + = 5 = + 5 cos θ = sen θ

29 Las Funciones Trigonométricas 55 b sen x sen x = 3 sen 3x cos 5x + [cos 5x cos 3x] = 3 sen 3x cos ( 5x cos 5x + cos 3x = 3 sen3x cos 5x = tg 3x = 3 x = π 9, x = π 9, x = 7π 9, x = 0 9, x = 3 9 π y x = 6 9 π c cosec x + cosec 5x = 0 sen 5x + sen x = 0 sen 3x cos x = 0 sen 3x = 0 o cos x = 0 sen 3x = 0 x = π 3 ; x = π 3, x = π 3, x = 5π 3 note que x = 0, π y π no son soluciones de la ecuación dada. cos x = 0 x = π, x = 3π, x = 5π, x = 7π d tg x + tg x + tg ( 3π + x = 3 tg x + tg x +tg x + +tg x +tg x = 3 tg x + tg x + tg x + tg x = tgx tg x tgx 3 = 0 = tg x = 3 o tg x = e note que tg x = no es solución de la ecuación,en tanto que: tg x = 3 x.9, x.39 (radianes. cos x + 3 sen x 3 = 0 sen x + 3 sen x 3 = 0 sen x 3 sen x + = 0 sen x = que no da solución o bien sen x = = x = π o x = 5π

30 Las Funciones Trigonométricas 56 f cos x cos + x sen 3 + x sen 3 x + cos ( 3π + x = 0 sen π sen( x cos π 3 senx + senx = 0 + senx = 0 sen x = x = π g cos ( ( ( ( x + π = cos 6x π cos x + π cos 6x π = 0 sen x sen x = 0 sen x = 0 = x = 0, x = π, x = π, x = 3π, x = π, x = 5π, x = 3π, x = 7π y x = π o sen x = 0 = x = π, x = 5π, x = 9π y x = 3π h sen ( x + π 3 cos 6 x = cos ( x + π 3 sen 6 x tg ( x + π 3 = tg 6 x = 3x = kπ π 6, k Z de aquí : x = π 8, x = 5π 8, x = π x = 9 35 π, x = π 8 8 otra forma de resolver la ecuación es, x = π, x = 3 8 π sen ( x + π 3 cos 6 x cos ( x + π 3 sen 6 x = 0 sen ( x + π 3 6 x = 0 sen ( 3x + π 6 = 0 relación que entrega las mismas soluciones. 6. Si α + β + γ = π, demuestre: a cos α + cos β + cos γ + cos α cos β cos γ = b cos α + cos β cos γ + = cos α cosβ senγ c sen α + sen β + sen γ = sen α sen β sen γ

31 cos γ + cos(α + β cos(α β d sen γ + sen(α + β sen(α β e cos α cosβ + cosγ = cosπ + α f sen α + sen β + cos γ + sen α sen β cos γ + = cotg = cotg α cotg γ Las Funciones Trigonométricas 57 cos π β cotg γ β cos π + γ Demostración. a α + β = π γ cos(α + β = cos γ cos α cos β sen α sen β = cos γ cos α cos β + cos γ = sen α sen β cos α cos β + cos γ cos β cos γ + cos γ = sen α sen β cos α cos β + cos α cos β cos γ + cos γ = ( cos α( cos β cos α + cos β + cos γ + cos α cos β cos γ = b cos α + cos β + cos γ = cos α+β cos α β + sen γ ero cos α+β = cos γ = sen γ, así ( sen γ cos α β + sen γ ( = sen γ cos γ β + cos α+β = sen γ cos α cos β = cos α cos β sen γ c sen α + sen β + sen γ = sen(α + β cos(α β + sen γ cos γ ero : sen(α + β = sen(π γ = sen γ y cos(α + β = cos(π γ = cos γ, así = sen γ(cos(α β cos(α + β sen γ( sen α sen( β = sen α sen β sen γ

32 Las Funciones Trigonométricas 58 d cos γ+cos(α+β cos(α β = cos γ+cos(π γ cos(α β sen γ+sen(α+β sen(α β sen γ+sen(π γ sen(α β = cos γ(cos γ cos(α β sen γ(sen γ+sen(α β cos γ(cos(α+β+cos(α β sen γ(sen(α+β+sen(α β = cotg α cotg γ ero cos γ = cos(α + β sen γ = sen(α + β = cotg γ cos α cos β sen α cos β e cos +α = cos β [ cos β α ( cos π+γ = + cos ( α+β ] ( cos π γ = sen β α cos ( π+γ + cos α+β cos +γ = sen + β+γ +cos + α+β+γ ( α + sen β α π γ ( + cos α+β π γ = sen + α α + sen β π β π +cos + + cos π γ π γ = sen ( ( α + sen π ( β + cos γ = cos α cos β + cos γ f sen α+sen β++cos γ sen α sen β+ cos γ α+β sen cos = α β + cos γ cos α+β sen α β + sen γ = cos γ (cos α β +cos γ sen γ (sen α β +sen γ = cotg γ cos α β α+β +sen sen α β +cos α+β = cotg γ cos α β +cos α+β sen α β +sen α+β = cotg γ = cotg γ cotg β 7. Si α + β + γ = π demuestre que sen α cos β cos γ + sen β cos α cos γ + cos β cos α sen β cos α sen γ cos α cos β = tg α tg β tg γ

33 Las Funciones Trigonométricas 59 Demostración. sen α + cos β cos γ = = 8. Si sen β cos α cos γ + sen γ cos α cos β (sen α + sen β + sen γ cos α cos β cos γ sen α sen β sen γ cos α cos β cos γ = sen α cos α+sen β cos β+sen γ cos γ cos α cos β cos γ ero or ejercicio (3.5-6 c = tg α tg β tg γ. tg α + cotg α = cos β demostrar que un valor de α β o de α + β es π. Demostración. sen α + cos α cos α sen α = cos β = sen α cos α = cos β sen α cos β = 0 sen α sen β = 0 cos + α β sen ( α + β π = 0 cos + α β = 0 = π + α β = π = α β = π o sen ( α + β π = 0 = α + β π = 0 = α + β = π 9. Si tg(α + θ = tg(α θ demuestre que 3 sen θ = sen α Demostración. sen(α+θ = sen(α θ cos(α+θ cos(α θ sen(α + θ cos(α θ = sen(α θ cos(α + θ

34 Las Funciones Trigonométricas 60 [sen α + sen θ] = sen α + sen( θ sen α + sen θ = sen α sen θ 3sen θ = sen α. 0. Si cos γ = dados cos α cos β cos α cos β demuestre que un valor de tg γ es tg α cotg β ; α y β Demostración. Nótese que cos γ +cos γ cos γ +cos γ = cos α cos β cos α+cos β cos α cos β+cos α cos β = ( cos α(+cos β (+cos α( cos β como tg γ = cos γ +cos γ = tg γ = tg α cotg β de aquí se deduce lo edido.. Si α + β = π demuestre que cos α + cos β = ( sen α sen β Demostración. α + β = π α = π β cos α = cos β cos α + cos β = 0 cos α + cos β = cos α cos β cos α + cos β = [cos(α + β + cos(α β] ero α + β = π cos α + cos β = ( + cos α cos β + sen α sen β cos α + cos β + cos α cos β = sen α sen β ero cos α cos β = (cos α + cos β, luego cos α + cos β (cos α + cos β = sen α sen β de aquí cos α + cos β = ( sen α sen β.

35 Las Funciones Trigonométricas 6. Elimine θ entre las ecuaciones a sec θ x tg θ = y b sec θ + y tg θ = x Solución. Resolviendo el sistema ara sec θ y tg θ, se obtienen: sec θ = x +y ay+bx si tg θ = ax by ay+bx sec θ tg θ = = (x +y (ax by (ay+bx (ay+bx (ay + bx + (ax by = (x + y a + b = x + y 3. Demostrar cotg θ + cotg 3 θ + tg θ + tg 3 θ = sec θ cosec θ sen θ Demostración. cotg θ+cotg 3 θ + tg θ+tg 3 θ = tg3 θ sec θ + cotg3 θ cosec θ = sen θ+cos θ sen θ cos θ = (sen θ+cos θ sen θ cos θ sen θ cos θ = sen θ cos θ = sec θ cosec θ sen θ sen θ cos θ. Si α + β + γ = π y cos θ(sen β + sen γ = sen α demuestre que tg θ = tg β tg γ, α, β, γ π Demostración.

36 Las Funciones Trigonométricas 6 cos θ(sen β + sen γ = sen α cos θ sen β+γ cos β γ = sen α; α = π ( β+γ cos θ cos α cos β γ = sen α cos α cos θ [ cos β cos γ + sen β sen ] ( γ = sen π ( β+γ = cos β+γ cos θ [ cos β cos γ + sen β sen ] γ = cos β cos γ sen β sen γ de aquí ( cos θ ( cos β cos ( γ = ( + cos θ sen β sen γ = cos θ = sen β sen γ +cos θ cos β cos γ = tg θ = tg β tg γ

37 Las Funciones Trigonométricas Ejercicios Prouestos. Reducir las siguientes exresiones en términos del ángulo α. ( ( ( 3π sen + α ; tg π sen α, cosec α 3π ( 5π cos (α π ; cosec(00 + α Resuesta. cos α; tg(cos α; sec α; cos α sen α+ 3 cos α. Demuestre que tg(80 + α cotg( α cotg(70 α = cotg α ii cos(90 α tg(80 + α cos(70 α cotg(70 α sen(80 + α tg(90 + α = sen α 3. Si 630 < α < 70, y tg α = 7 calcular i sen α + cos α ii cotg α Resuesta. 7 ; Si α = 6 π. Hallar el valor de 3 A = sen α tg α + sec 3α 3 cotg α Resuesta Si sen θ = 3 encuentre el valor de tg θ Resuesta. ± 8

38 Las Funciones Trigonométricas 6 6. Si α + β = 5π, demuestre que 7. Demostrar las siguientes identidades a cos 8θ = cos θ ( + tg α( + tg β = b tg(5 α cotg 5 + cotg(75 + α tg75 = tg75 cotg(α + 75 c cosec(5 α + cosec(5 + α sec(30 + α sec(30 α d 3 + cotg 3 α e cos 3θ cos θ sen θ + sen θ + cotg 3 + α = = cotg θ(cos θ f 3tg θ tg 3 θ = sen θ cotg θ( + cos θ g sen 70 8 cos 0 cos 50 cos 80 = h cos 0 3 cos 0 + cos 50 = 0 cos 3α sen 3α i + = cotg α sen α cos α cos 3α sen 3α j cos α + sen α = senα = (sec α + cotg α ( cosec α 3 cotg α Nota: Para demostrar todas estas identidades, ver en forma casi homóloga las identidades resueltas de ( Una torre BC de 80m. se encuentra sobre una cima AB de 0m. en la unta de la torre hay una antena CD de 5m., si desde un unto E situado en un lano horizontal la antena y la altura AB subtienden el mismo ángulo. Calcule la distancia EB desde E a la base de la torre. (Note que A, B, C y D están sobre la misma vertical, los untos E y A en el mismo lano. Resuesta.,5m. 9. Si cos α + cos β sen β = 0 demuestre que tg(α + β tg(α β = tg β sec β.

39 Las Funciones Trigonométricas Si 3 tg α = tg(α + β demuestre que sen( α + β = sen β. Si cos α = 3 5 y sen β =, β rimer cuadrante. Calcule los osibles valores de A A = sen(α β + sen(α + β Resuesta. A = ±0,8. Si sen α = cos α cos β demuestre que tg(α + β tg β = sec β sen β 3. Si cos(α + β + cos(α β = cos θ demuestre que. Elimine α entre las ecuaciones cotg β = cotg θ + α cotg θ α x + y = 3 cos 3α x y = sen α; x e y > 0 Resuesta. x + y = 5. Elimínese θ entre las ecuaciones x sen θ y cos θ = c cos θ a + sen θ b = c ; c = x + y Resuesta. a x + b y = a b

40 6. Si cos α = a b + c, cos β = b a + c y cos γ = c a + b tg α + tg β + tg γ = Las Funciones Trigonométricas 66 demuestre que 7. Resolver, considerando 0 x π, las siguientes ecuaciones a sen x + sen x = sen 3x b sen x cosx = + sen5x cos5x c sec x + sec 3x = 0 d tg x + tg x ( 3π + tg + x = e sec 3 x tg x = f sen ( ( x π 3 + sen x + π 3 cos ( ( tg x + π 6 cos x π 6 ( g sen x + π ( = cos x π h tg(π cotg x = 0 ( x π + tg x = 0 Nota: Ver ejercicios resueltos (3.5-5 homólogamente. Resuesta. a 0, 80, 360, y b π, 5π, 3π, 7π, 5π, 9π c π, 3π, 5π, 7π d π y 5π e π y 7π f π y 5π π g 0, π, π;, 3π h π, 3π, 5π, 7π 8. Si sen(α β = sec(α + β y sen(α + β = + cos α + sen α demuestre que un valor de (α + β es π 3

41 Las Funciones Trigonométricas Si α + β + γ = π demuestre que cos α sen β sen γ + (Ver ejercicio resuelto (3.5-7 cos β sen α sen γ + cos γ sen α sen β = 0. Si α + β + γ = π demuestre que a cos α + cos β sen γ = sen γ sen β sen α b tg α tg β + tg α tg γ + tg β tg γ = c (cotg α + cotg β(cotg β + cotg γ(cotg γ + cotg α = cosec α cosec β cosec γ. Demostrar que 3(sen α + cos α + 3(cos α sen α + (sen 8α + cos 8α + (cos 0α sen 0α = 8 cos 3 3α(sen α + cos α. Demostrar que a sen5 = sen 6 + sen30 b sen α sen α + sen 3α = sen α cos α cos3α 3. Demostrar que (cotg α cotg α(sen α + sen 3α = cos α. Elimine θ entre las ecuaciones cos θ sen θ = x cos 3θ + sen 3θ = y y demuéstrese que x + y 3 = 3y 5. Demostrar que

42 a cos α+cos β+cos γ+cos(α+β+γ = cos β + γ Las Funciones Trigonométricas 68 cos γ + α cos α + β y de aqui, si α+β+γ = π, comruébese que cos α+cos β+cos γ = sen α senβ senγ + b Si α + β + γ = π demuestre que c Si α + β + γ = 0, demuestre que 6. Demostrar que a cos cotg80 = cos α + cos β sen γ cos α cos β + sen γ = tg β tg γ sen γ + sen β sen α = sen γ sen β cos α b cotg 0 + cotg 0 = 3(cotg 0 cotg 0 7. Demostrar que a sen 5α cos 3α cos α = sen α + sen 6α + sen 0α b cos (α β cos(α βcos β = sen α c tg(α β + tg(β γ + tg(γ α = tg(α β tg(β γ tg(γ α (alique: tg(u + v en forma acertada. 8. Si α y β son dos ángulos agudos y entonces α + β = 90 3sen α + sen β = 3sen α sen β = 0

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