ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Η

Transcript

1 ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 1 ΕΡΓΑΣΙΑ Η 8 9 Η λύση της εργασίας είναι ενδεικτική και ο υποψήφιος θα πρέπει να βασιστεί σε αυτή και να επιφέρει τις δικές του αλλαγές. Ενημερωθείτε για τις προσφορές πακέτου για όλες τις εργασίες της χρονιάς. Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 1/19

2 Ο Εκπαιδευτικός Όμιλος Βιτάλη εγγυάται την αρτιότητα των λύσεων. Αξίζει να τονιστεί ως εκ τούτου η προσεκτική διαφοροποίηση των συμβόλων και προτάσεων έτσι ώστε να διατηρείται το πραγματικό περιεχόμενο των λύσεων. Οι διορθωτές, εύκολα, μπορούν να καταλάβουν αν πρόκειται για μια λύση επαναλαμβανόμενη και αυτό θα έχει αρνητικές συνέπειες στην τρέχουσα βαθμολόγηση αλλά και περαιτέρω αξιοπιστία του/της φοιτητής/φοιτήτριας (διαγραφή από το πρόγραμμα σπουδών του ΕΑΠ, κλπ). Επίσης θα πρέπει να τονιστεί ότι ο Εκπαιδευτικός Όμιλος Βιτάλη ουδεμία ευθύνη φέρει για παραλείψεις ή λάθος εκφωνήσεις ή λανθασμένη βαθμολόγηση των ασκήσεων όπως δυστυχώς οι περιπτώσεις αυτές έχουν συχνά παρατηρηθεί στο παρελθόν. Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα /19

3 Άσκηση 1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Ι) Η γραμμική εξίσωση ζήτησης (q) είναι q = a + b, όπου η κλίση εκφράζεται δια μέσου του συντελεστή 1 16 b = =.6, και η τομή της ευθείας με τον άξονα των τεταγμένων δια 6 5 μέσου του a = q b = = 46. Συνεπώς η εξίσωση της ευθείας είναι q = Η κλίση φανερώνει το γεγονός ότι κάθε 1 αύξηση στην ετήσια συνδρομή αντιστοιχεί σε.6 λιγότερες εγγραφές το μήνα. ΙΙ) Για =5 η ζήτηση προβλέπεται q = 46.6 = = 5 Για = η ζήτηση προβλέπεται q = 46.6 = 46.6 = 74 που αφορά μη ρεαλιστική περίπτωση (δεν μπορεί να είναι αρνητική). ΙΙΙ) Σχετικά με το πρόβλημα που εξετάζουμε εδώ, θα πρέπει 46 q = , συνεπώς.6 το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ζήτησης είναι το [, ]. Αντίστοιχα το πεδίο τιμών της είναι το [, 46 ], εφόσον 46 q q 46. Δηλαδή, οι νέες εγγραφές ανά μήνα που.6 μπορεί να επιτύχει είναι το πολύ 46 και το μέγεθος αυτό αντιστοιχεί σε μηδενική χρέωση ετήσιας συνδρομής. IV) Ι = Ετήσιο έσοδο = (μήνες στο χρόνο) (νέες εγγραφές/μήνα) (ετήσια συνδρομή) = 1 q = = 55.7, δηλαδή I = 55.7 G = Κέρδος = Ετήσιο έσοδο Ετήσιο Λειτουργικό κόστος = I = δηλαδή G = V) Το νεκρό σημείο αντιστοιχεί σε μηδενικό κέρδος και είναι : G = =. Η επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει ως εξής: = = ± 94 = = 9.168, Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα /19

4 46 Από όπου παρατηρούμε ότι και οι δύο τιμές, και είναι εντός εύρους,.6. Το μέγιστο κέρδος αντιστοιχεί σε ετήσια συνδρομή G 55 = = 8..7 εφόσον η συνάρτηση κέρδους είναι κοίλη (.7<) οπότε και η αρνητική η παράγωγος εγγυάται το σημείο μέγιστου. Το μέγιστο κέρδος είναι G = = 18 G G Για ετήσιο λειτουργικό κόστος 1, η συνάρτηση κέρδους θα είχε ως εξής: G = και οι τιμές ισορροπίας ετήσιας συνδρομής θα ήταν αυτές ανάμεσα στα νεκρά σημεία, δηλαδή όπου G = Τα νεκρά σημεία υπολογίζονται πάλι ως εξής: = = ± 7594 = = 18.57, διότι πρόκειται για κοίλη συνάρτηση. Από όπου παρατηρούμε ότι και οι δύο τιμές, και είναι εντός εύρους 46,.6. Δηλαδή, για ετήσια συνδρομή στο διάστημα ( 18.57,748.1 ) έχουμε κέρδος το οποίο μεγιστοποιείται πάλι σε ετήσια συνδρομή 8. (απλά η προηγούμενη καμπύλη μετακινείται ομοιόμορφα προς τα κάτω). Το μέγιστο κέρδος είναι G = = 958. G G G ετήσιο κέρδος ετήσια συνδρομή Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 4/19

5 Άσκηση. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Ι) ' ' x x x + 1 x x + 1 x x + 1 x x + x f '( x ) = = = = ' 4 4 x + 1 x 1 x 1 x 1 ΙΙ) έστω g( x) = x + 1 ' ' { } ( { }) { } f '( x) = ( x + 1) ln( x + 1) = g x ln g x = g '( x) ln g x + g( x ) xln x x 1 g( x ) g '( x ) = ΙΙΙ) w ' ' w 1 f '( x) = f '( w) w'( x) = e + 1 x = w( x) e = x w x e x x 1 e = x IV) 1 1 x 1 x 1 1 (x+ 1) (x+ 1) (x+ 1) x + 1 ( x + ) dx = xdx+ dx = dx = + c V) x x x x x x e ( e + ) dx = e dx + e dx = e + e + c 1 VI) du 1 1 u = x+ x = 1+ du = 1 dx dx + x x 1 u ( x + x)(1 + ) dx = udu c x = + Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 5/19

6 Άσκηση Α) ' I) οριακό κόστος ΜC= ' TC q = + 1q + q = q Μέσο συνολικό κόστος ATC= TC ( q ) = q q q Μέσο σταθερό κόστος AFC= q ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ II) ATC( q) = q ATC '( q ) = + q q Η ποσότητα που ελαχιστοποιεί την ATC είναι qˆ : ATC '( qˆ ) =, ATC ''( q ˆ ) > : ATC '( qˆ ) = = q ˆ = = 5. 8 q ˆ 4 ATC ''( q ˆ ) = > q ˆ Οπότε, ATC( q ˆ ) = = + MC( qˆ ) = 1 + 6q ˆ = = 6 + 1, δηλαδή ίσο με το ATC( q ˆ ), συνεπώς η τιμή είναι σημείο φυγής. Β) ΙΙΙ) Συνολικό κόστος = Σταθερό κόστος + Μεταβλητό κόστος. δηλαδή η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι TC q q q q 4 = TC '( q) = q 4q + 14q = q q 1 q 14. Διενεργούμε μελέτης μονοτονίας: Η TC( q ) είναι συνεχής (διότι είναι πολυωνυμική) παρουσιάζει πιθανά ακρότατα στις παραγόμενες ποσότητες q=, q=1 και q=14. Παρατηρούμε ότι για < q < 1, TC '( q ) > TC '( q ) < για 1 < q < 14, άρα στο q=1 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Επίσης για14 < q, TC '( q ) > άρα στο q=14 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Επίσης τοπικό ελάχιστο εμφανίζει στο q=. To σημείο τελικά ( q, TC ( q) ) (, TC ()) και = είναι ολικό ελάχιστο διότι Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 6/19

7 TC (14) >= TC (). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της είναι τα διαστήματα αυτά στα οποία είναι αύξουσα δηλαδή, q [,1] [ 14, ). Το τελευταίο όμως αποκλείεται διότι τότε η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, άρα το πεδίο ορισμού της είναι το [,1 ]. Επίσης [ ] q,1, TC ( q) TC () = > ΙV) H συνάρτηση μέσου μεταβλητού κόστους είναι VC ( q ) = = + και q AVC ( q).5q 8q 7 q AVC q q q ' = Η μέγιστη τιμή του μέσου μεταβλητού κόστους αντιστοιχεί στο q % : AVC '( q% ) =, AVC ''( q %) <, δηλαδή, [ ] [ ] 61.45,1 16 ± AVC '( q% ) =.75q% 16q% + 7 = q % = = ,1 AVC ''( q) = 1.5q 16 AVC ''(61.45) = 67.8 < Συνεπώς, στο σημείο ( q, AVC ( q) ) ( 61.45, AVC (61.45)) AVC (61.45) =1867 = παρουσιάζει ολικό μέγιστο με Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 7/19

8 Άσκηση 4 I) q = 75 A Π. Ο.( Α ) : 15, Π. Τ.( Α ) : q A 75 qb = 16 Π. Ο.( Β ) : 68, Π. Τ.( Β ) : q B 16 II) H συνάρτηση συνολικής ζήτησης είναι Qd = qa + q B. Όμως προσοχή, η ζήτηση Β είναι μηδενική όταν η τιμή είναι παραπάνω από 68, οπότε η συνολική ζήτηση διαμορφώνεται συναρτησιακά ως εξής: Q d 5 11, 68 = 1 75, < στο ΙΙΙ). με πεδίο τιμών [, 11 ] και πεδίο ορισμού [,15 ] (απαντά και ΙΙΙ) Για την συνάρτηση προσφοράς Q Q Q : = s 5 s + 4 επιλύουμε ως προς s 5 ± 5 4(4 ) s s s Q 5Q + 4 = Q = = 5 ± 5 + Απορρίπτουμε την λύση Q = διότι όσο αυξάνει η τιμή τόσο φαίνεται να s μειώνεται η προσφορά Q s το οποίο δεν αντιστοιχεί στην πραγματικότητα (η προσφορά είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς την τιμή του προιόντος). Άρα η συνάρτηση προσφοράς είναι Qs = με πεδίο ορισμού το πεδίο τιμών του προϊόντος, δηλαδή [,15 ] και πεδίο τιμών αυτής, = [, 44.7 ] IV) Η τιμή ισορροπίας αντιστοιχεί σε ίση προσφορά και ζήτηση: Qs = Q d. Στο πεδίο [,68 ] Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 8/19

9 5 Έχουμε Qd = 11 = ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 5 5 Qs = = = 4 [ ] [ ] 91± ,68 = = 5/ 81.4,68 Στο πεδίο [ 68,15 ] 1 έχουμε Qd = 75 = 1 1 Qs = = = 4 [ ] [ ] 11± ,15 = = 1/ ,15 5 Συνεπώς η τιμή ισορροπίας είναι = με αντίστοιχη ποσότητα Q = = 4.1 V) Η συνάρτηση ελαστικότητα ζήτησης δίνεται από τον τύπο ενδιαφέρει στο σημείο ισορροπίας, τότε E Q d d ' Q d = εφόσον μας Q ' 11 ' = Q 5 } d EdQd = = = = 4.1, δηλαδή για κάθε 1% αύξηση στην τιμή Q 5 5 d ισορροπίας του προϊόντος, η ζήτησή του μειώνεται κατά 4.1%. d Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 9/19

10 Άσκηση 5 I) = 5, q (5) = =. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Η συνάρτηση ελαστικότητα ζήτησης δίνεται από τον τύπο q '( ) (5 5 )' Eq( ) = = = 5 q( ) (5 5 ) 5 5 και Eq (5) = 8.. ΙΙ) Eq( ) = 1 5 = 1 5 = = 5 = 5. Αύξηση 5 5 1% της τιμής ενοικίασης σε σχέση με την τιμή 5. ερμηνεύει μείωση 1% της ζήτησης. Η μεταβολή από 5. σε ευρώ αντιστοιχεί σε αύξηση 18.6% τιμή ενοικίασης που θα αντιστοιχεί σε μείωση κατά 18.6% της ζήτησης, δηλαδή, από 165 αυτοκίνητα ημερησίως που αντιστοιχούν σε τιμή 5. ευρώ θα έχουμε 165 ( % ) = 1 δηλαδή 5 λιγότερα αυτοκίνητα ημερησίως. Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ζήτησης, για μεταβολή από 5. στα η ζήτηση μεταβάλλεται από q (5.) = = 165 σε q () = 5 5 = 1 ενοικιαζόμενα αυτοκίνητα αντίστοιχα, ότι βρήκαμε δηλαδή και με τη συνάρτηση ελαστικότητας. III). Η συνάρτηση συνολικών εσόδων είναι R( ) = q( ) = 5 5 = 5 5. Η τιμή : R'( ) =, R''( ) <, όπου R'( ) = 5 1 = = 5., R''( ) = 1 <, δηλαδή εκεί που η ελαστικότητα ζήτησης είναι 1. Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 1/19

11 R() R() R() Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 11/19

12 IV) R( ) = q( ) R'( ) = q '( ) + q( ) R'( ) = q '( ) + q( ) = q '( ) = q( ) q '( ) = 1 q( ) Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 1/19

13 Άσκηση 6 I) D=, Σε σημείο καμπής η η παράγωγος της συνάρτησης του συνολικού κόστους μηδενίζεται: TC = aq + bq + cq + d TC '( Q) = aq + bq + c TC ''( Q) = 6aQ + b TC ''(1) = 6a + b = 1 Η συνάρτηση μέσου κόστους (AC) έχει 1 η παράγωγο μηδέν εκεί που ελαχιστοποιείται: TC d d = = = + Q Q Q AC aq bq c AC '( Q) aq b AC '() = 4a + b = =.8 4 1a + 1b + c = Επίσης, TC(1) = 5 a1 + b1 + c1 + = 5 1a + 1b + 1c = Επιλύουμε το σύστημα εξισώσεων (1), (), () 6a + b = 6a + b = b = 6.8 b =.4 4a + b =.8 8a + b = 1.6 a = 1.6 a =.8 1a + 1b + c = 1a 1b c + + = c = c = 6 Άρα, η συνάρτηση του συνολικού κόστους είναι TC =.8Q.4Q + 6Q + II) TR( Q) = P Q = 1.8Q Q = 1Q.8 Q Η συνάρτηση συνολικών εσόδων είναι Όπου P = 1.8Q Q 6.4 Η συνάρτηση κέρδους είναι συνολικά έσοδα συνολικό κόστος = Π Q = TR( Q) TC( Q) = 1Q.8Q.8Q +.4Q 6Q = +.8Q.4Q 66Q ΙΙΙ) Ζητάμε Q : Π ' Q =, Π '' Q < Π ' Q =.4Q.8Q + 66 =.4Q +.8Q 66 = Q.8 ± <, απορρίπτεται = =.4 15 [,6.4 ], δεκτή Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 1/19

14 Π ''( Q ) =.48Q 1.4 = 17.6 <, άρα Q = 15 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ IV) Το Συνολικό έσοδο για Q είναι TR( Q ) = 1Q.8Q = = 9 Το συνολικό κόστος για Q είναι TC Q =.8Q.4Q + 6Q + = = 59 Η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο ( x, f ( x )) της συνάρτησης f ' x είναι y f x = f x x x, οπότε για τη συνάρτηση συνολικών εσόδων έχουμε x = Q = 15, f x = TR Q = 9, f ' x = TR ' Q = 1 5.6Q = 18 η εξίσωση γίνεται y 9 = 18( x 15) y = 18x + 6 ( ε ) Για τη συνάρτηση συνολικού κόστους έχουμε x = Q = 15, f x = TC Q = 59, f ' x = TC ' Q =.4Q 4.8Q + 6 = 18 η εξίσωση γίνεται y 59 = 18( x 15) y = 18x + ( ε ) 1 V) TC TR Π ε1 ε Q Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 14/19

15 Με βάση το γράφημα παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις οριακού κόστους και οριακών εσόδων έχουν ίδια κλίση (ε1//ε) σε όλες τις τιμές ζήτησης. Παρατηρούμε επίσης ότι το συνολικό κόστος (TC) αυξάνει σημαντικά μετά την τιμή Q=15 ενώ αντίστοιχα τα συνολικά έσοδα (TR) πέφτουν σημαντικά. Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 15/19

16 Q TC TR Π ε1 ε,,, 6,, 1 5,68 99, 54,48 648, 8, 8,4 19,8 19,4 666, 56, 48,56 8,8 17,76 684, 74, 4 4,7 6, 67,5 7, 9, 5 45, 44, 1, 7, 41, 6 466,88 511, 44, 78, 48, 7 481,84 576,8 94,96 756, 446, 8 495,6 66,8 141,44 774, 464, 9 57,9 691, 18,8 79, 48, 1 5, 74,, 81, 5, 11 5,8 78, 51,1 88, 518, 1 544,64 8,8 76,16 846, 56, 1 558,16 85,8 94,64 864, 554, 14 57,1 879, 6,8 88, 57, 15 59, 9, 1, 9, 59, 16 69,8 915, 5,9 918, 68, 17 61,44 94,8 9,6 96, 66, ,96 98,8 71,84 954, 644, , 97, 4,88 97, 66, 7, 9,, 99, 68, 1 758,48 97, 148,7 18, 698, 8,4 888,8 86,56 16, 716, 851,76 864,8 1,4 144, 74, 4 97,5 85, 7, 16, 75, 5 97, 8, 17, 18, 77, 6 19,68 759, 8,48 198, 788, ,4 71,8 44,4 1116, 86, 8 1,56 66,8 541,76 114, 84, 9 196,7 6, 69,5 115, 84, 14, 54, 86, 117, 86, Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 16/19

17 Άσκηση 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ I) Η ευθεία που διέρχεται από το = 1 αντιστοιχεί σε q : 16 q 1 16 q q = = = και στο σημείο αυτό (, ) καμπύλες. q τέμνονται οι δυο 4,5 4,,5, (q),5, 1,5 1,,5 (q), q q (q) 4,,16,5,87,16 1,74,16 1,5,66,16,464,16,5,17,16,16,16,5,,16 4,88,16 4,5,646,16 5,449,16 5,5,6,16 6,,16 6,5 1,7,16 7 1,414,16 7,5 1,,16 8,,16 Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 17/19

18 ΙΙ) CS = ( q) 1 dq = 16 qdq 1 dq = {( q) } dq ( q ) { } 1 / 1 / q = 16 ' 1 = 16 1 = q = 1 / / ( 16 1 ) 1 = 1.1 ΙΙΙ) Η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι Q + Q Q Q + c TC( q) = MC ( Q) dq = Q + 1ln Q 4 dq = Qdq + 1 ln Qdq 4 dq = 1 ln 1 4, c : TC (1) = ln c c = 1561 Όπου TC q Q Q Q Q Q Q Q = + 1 ln = + 1 ln Άρα Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 18/19

19 Άσκηση 8 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ I) 4 R( t) = R ( t) dt = 9 t dt = 9 t t + c Η συνάρτηση συνολικών εσόδων είναι / c : R( ) = c =, άρα 4 / R( t) = 9 t t Αντίστοιχα, η συνάρτηση συνολικών εξόδων είναι / ( 4 ) 4 C( t) = C '( t) dt = + t dt = t + t + c όπου c : C( ) = c =, άρα όπου C( t) = 4t + t / Το χρονικό διάστημα κερδοφορίας είναι 4 1 / / / (, t], t : R( t) > C( t) 9t t > 4t + t 5t > t 7.5 > t t < 56.5 ΙΙ) Η συνάρτηση κέρδους είναι 4 1 Π t = R( t) C( t) = 9t t 4t t = 5 t t Και τα συνολικά κέρδη είναι για το χρονικό διάστημα (,56.5] είναι / / / 56.5 / 5/ 5 / Π tot ( 56.5) = 5t t dt t t = = = ΙΙΙ)Τα συνολικά κέρδη είναι για το χρονικό διάστημα (,7] είναι 7 5/ 5 / Π tot ( 7) = t t = 7 7 = 49.64, δηλαδή ποσοστό t = 49.64/791.=5.56% των συνολικών για τα έτη (,56.5]. t = Τηλ.: , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα 19/19