ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ας απασχολήσουν έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων που αναφέρονται στις έσες τιές και αναλογίες πληθυσών που περιγράφονται, είτε ε ακρίβεια, είτε κατά προσέγγιση, από την κανονική κατανοή. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Α. Περίπτωση Γνωστών Διακυάνσεων Καθορισός του Κρίσιου Σηείου Όπως είπαε και προηγουένως, το συνηθέστερο πρόβληα στον έλεγχο υποθέσεων είναι ο προσδιορισός της κρίσιης περιοχής. Για τον σκοπό αυτό, χρειάζεται να καθορίσουε ή το α ή το β. Στις περισσότερες περιπτώσεις, εκείνο το οποίο καθορίζουε είναι το α. Τότε πορούε να βρούε το κρίσιο σηείο (δηλαδή να καθορίσουε την κρίσιη περιοχή). Παράδειγα: Έστω ότι έχουε ένα κανονικό πληθυσό Ν(, σ ), όπου το σ είναι γνωστό. Έστω ότι θέλουε να ελέγξουε την στατιστική υπόθεση Η : = Η 1 : > Από όσα είπαε προηγουένως, θα έχουε, αν ε c συβολίσουε το κρίσιο σηείο, α = P ( H H ) = P (X> c = ) X = P [ > σ σ c = P [ Z > ] σ c = ] 374

2 α Ζ 1-α Προφανώς, c = Ζ 1-a σ ή ισοδύναα, σ c = + Ζ1 a Εποένως, θα απορρίπτουε την Η αν, σ X > + Ζ 1 a σε επίπεδο σηαντικότητας α. Σηείωση: Συνήθως χρησιοποιούε, ισοδύναα, την τυποποιηένη ελεγχοσυνάρτηση και απορρίπτουε την Η σε επίπεδο σηαντικότητας α αν, X Z = > Z 1-α σ Σηείωση: Η τυποποιηένη συνάρτηση ελέγχου, ή αλλιώς Ζ - στατιστική συνάρτηση (Ζ statistic) X Z = σ που χρησιοποιούε στους ελέγχους της έσης τιής κανονικών πληθυσών ε γνωστή διακύανση είναι το κλασσικό παράδειγα τυποποιηένης ελεγχοσυνάρτησης. (Ο δείκτης χρησιοποιείται για 375

3 να δώσει έφαση στο γεγονός ότι η τυποποίηση γίνεται σε σχέση ε την συγκεκριένη τιή της παραέτρου που ελετάται ε την ηδενική υπόθεση). Σε κάθε περίπτωση ελέγχου υποθέσεων για ια παράετρο ενός πληθυσού, χρησιοποιούε ως τυποποιηένη συνάρτηση ελέγχου την τυποποιηένη τιή της εκτιήτριας της παραέτρου που ελετάε, κάτω από την ηδενική υπόθεση. (Εδώ, παράετρος κάτω από την Η είναι το, εκτιήτριά του είναι το X και τυπική απόκλιση της κατανοής του X είναι το σ/ ). Οι έλεγχοι που χρησιοποιούν την Ζ -στατιστική συνάρτηση ονοάζονται Ζ-έλεγχοι (Ζ-tests). Η τιή της Ζ -στατιστικής συνάρτησης δηλώνει τον αριθό των τυπικών αποκλίσεων που ια παρατηρηθείσα τιή της συνάρτησης ελέγχου απέχει από την έση της τιή, όπου η έση αυτή τιή υπολογίζεται κάτω από την ηδενική υπόθεση. Με την ίδια λογική, καταλήγουε στο συπέρασα ότι αν έχουε να ελέγξουε την στατιστική υπόθεση Η : = Η 1 : < θα απορρίπτουε την Η σε επίπεδο σηαντικότητας α αν X Z = < - Z 1-α σ σ [ισοδύναα, αν X < Ζ1 α ]. α Ζ α = -Ζ 1-α 376

4 Τέλος, αν η εναλλακτική στατιστική υπόθεση είναι αφίπλευρη, αν δηλαδή Η : = Η 1 : α/ α/ -Ζ 1-α/ Ζ 1-α/ θα απορρίπτουε την Η αν, Z < - Z 1-α/ ή Z > Z 1-α/ [ή ισοδύναα σ σ X < Ζ α ή X > + Ζ α 1 1 ] α/ α/ c 1 c 377

5 Παράδειγα: Ένας κατασκευαστής ηλεκτρικών λαπτήρων ισχυρίζεται ότι η διάρκεια ζωής (σε ώρες) κάποιου συγκεκριένου τύπου ηλεκτρικών λαπτήρων που κατασκευάζει έχει έση τιή (έση ζωή) 7 ώρες. Από προηγούενη επειρία, είναι γνωστό ότι ο χρόνος ζωής των ηλεκτρικών λαπτήρων ακολουθεί την κανονική κατανοή. Ας υποθέσουε ότι η διασπορά του χρόνου ζωής των λαπτήρων της κατασκευής αυτής είναι σ = (46.14). Μια εταιρεία προστασίας καταναλωτών, προκειένου να ελέγξει τον ισχυρισό αυτό του κατασκευαστή, επιλέγει ένα τυχαίο δείγα 1 λαπτήρων του συγκεκριένου είδους και τους ελέγχει. Ο έλεγχος δείχνει ότι ο έσος χρόνος ζωής των λαπτήρων αυτών είναι X= ώρες. Με βάση τα αποτελέσατα του συγκεκριένου αυτού δείγατος, τί θα πορούσε να πει κανείς για τον ισχυρισό του κατασκευαστή σε επίπεδο σηαντικότητας α =.5; Λύση: Είναι προφανές ότι ο έσος χρόνος ζωής των λαπτήρων, ο οποίος προέκυψε από το δείγα, είναι ικρότερος από αυτόν που ο κατασκευαστής ισχυρίζεται. Το στατιστικό όως ερώτηα είναι αν ο έσος αυτός χρόνος είναι σηαντικά ικρότερος (στην στατιστική ορολογία) από τον ισχυρισό του κατασκευαστή ή αν η διαφορά που προέκυψε είναι αποτέλεσα της τυχαίας δειγατοληψίας και δεν είναι αρκετή ώστε να οδηγήσει τον σύνδεσο καταναλωτών στο να απορρίψει τον ισχυρισό του κατασκευαστή ε στατιστικά ισχυρά κριτήρια. Η στατιστική υπόθεση που θα πρέπει να ελεγχθεί είναι, Η : = 7 Η 1 : < 7 α=.5 -Z

6 Η τυποποιηένη τιή της ελεγχοσυνάρτησης για το πρόβληά ας, κάτω από την υπόθεση Η είναι, X Z = σ = = Δοθέντος ότι Z>-Z.95 το συγκεκριένο δείγα δεν δίνει αρκετές ενδείξεις που να οδηγούν στην απόρριψη της Η. Παράδειγα: Μια βιοηχανία παρασκευής και συσκευασίας καφέ χρησιοποιεί αεροστεγείς συσκευασίες που περιέχουν 368gr καφέ. Όπως είναι φυσικό, δεν είναι δυνατό να επιτυγχάνεται πάντοτε συσκευασία που να περιέχει ακριβώς το περιεχόενο αυτό. 1. Ο υπεύθυνος της συσκευασίας προκειένου να ελέγξει το κατά πόσο η επιδίωξη αυτή επιτυγχάνεται, επιλέγει ένα τυχαίο δείγα 5 πακέτων που έχουν συσκευασθεί ε τον τρόπο αυτό. Μετρώντας το περιεχόενο στις συσκευασίες αυτές διαπιστώνει ότι η έση ποσότητα καφέ που περιέχεται στις συσκευασίες αυτές είναι 364.1gr. ( x=364.1gr). Mε βάση το στοιχείο αυτό σε τί συπέρασα πορεί να καταλήξει ο προϊστάενος της εταιρείας όσον αφορά την επιδίωξή του;. Μια εταιρεία προστασίας καταναλωτών ενδιαφέρεται να ελέγξει κατά πόσον ο ισχυρισός αυτός της συγκεκριένης εταιρείας (για περιεχόενο στις συσκευασίες 368gr καφέ) ισχύει. Με βάση το παραπάνω δείγα σε τι συπέρασα πορεί να καταλήξει η εταιρεία προστασίας των καταναλωτών; (Από προηγούενη επειρία, είναι γνωστό ότι η ποσότητα καφέ η οποία περιέχεται στις συσκευασίες αυτές ακολουθεί την κανονική κατανοή ε τυπική απόκλιση σ = 15 gr). Ως επίπεδο σηαντικότητας να χρησιοποιηθεί το α =

7 Λύση: 1. Όσον αφορά το πρώτο ερώτηα ο υπεύθυνος ελέγχου ποιότητας της εταιρείας θα πρέπει να ελέγξει την υπόθεση, H : = 368 H 1 : 368 Η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου για το συγκεκριένο δείγα είναι, X Z = = = 13. σ Z.5 Z.975 = 1.96 = -Z.975 = Όπως προκύπτει από τους πίνακες, η κρίσιη περιοχή για το συγκεκριένο πρόβληα είναι αυτή που αναφέρεται σε τιές της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου Z > Z.975 = 1.96 Δοθέντος ότι η κρίσιη περιοχή για το πρόβληα αυτό περιλαβάνει τις τιές της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου Z<- Z.975 και τις τιές Z>Z.975, καταλήγουε στο συπέρασα ότι για το συγκεκριένο δείγα η παρατηρηθείσα τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου δεν βρίσκεται στην κρίσιη περιοχή. Εποένως, δεν υπάρχουν ισχυρές στατιστικές ενδείξεις που να οδηγούν στο 38

8 συπέρασα ότι η ηδενική υπόθεση θα πρέπει να απορριφθεί στο δοθέν επίπεδο σηαντικότητας. Δεν υπάρχουν δηλαδή ενδείξεις ότι η έση ποσότητα που περιέχεται στις συσκευασίες αυτές διαφέρει στατιστικά σηαντικά από τα 368gr.. Όσον αφορά τις επιδιώξεις της εταιρείας προστασίας του καταναλωτή, ο κατάλληλος έλεγχος υπόθεσης είναι: H : = 368 H 1 : < Z.5 = - Z.95 = Και στην περίπτωση αυτή, η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου για το συγκεκριένο δείγα είναι Z>- Z.95 δηλαδή, η τιή αυτή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου δεν βρίσκεται στην κρίσιη περιοχή. Εποένως, και η εταιρεία προστασίας καταναλωτή δεν έχει ισχυρές ενδείξεις που να την οδηγούν στο συπέρασα ότι τα συφέροντα των καταναλωτών που προτιούν το συγκεκριένο προϊόν θίγονται (ότι δηλαδή η ποσότητα του καφέ που περιέχεται στην συγκεκριένη συσκευασία υπολείπεται στατιστικά σηαντικά των 368gr). Καθορισός του Επιπέδου Σηαντικότητας Ελέγχθη ήδη ότι στα προβλήατα ελέγχου υποθέσεων, συνήθως, ο ερευνητής καθορίζει το επίπεδο σηαντικότητας ώστε να 381

9 ελέγχει το έγεθος του ενδεχοένου λάθους και ε βάση αυτό προσδιορίζει τον κανόνα απόρριψης της ηδενικής υπόθεσης. Σε ορισένες όως περιπτώσεις ξεκινάε από τον καθορισό του κανόνα απόρριψης και προσδιορίζουε το επίπεδο σηαντικότητας. Παράδειγα: (υπολογισού του επιπέδου σηαντικότητας α). Ας υποθέσουε ότι θέλουε να ελέγξουε τη στατιστική υπόθεση, Η : = 1 έναντι της Η 1 : > 1 για έναν πληθυσό που ακολουθεί την κανονική κατανοή ε έση τιή και διασπορά 4 [Χ Ν(,4)]. Ας υποθέσουε ότι ο κανόνας απόφασης είναι τέτοιος που αν X<1.5, δεν απορρίπτουε την Η, ενώ αν X 1.5, απορρίπτουε την Η. (Δηλαδή η τιή 1.5 είναι το κρίσιο σηείο). Έστω ότι παίρνουε ένα δείγα εγέθους = 4. Για τον κανόνα απόφασης, όπως ορίσθηκε παραπάνω, έχουε α = P( H H ) = P ( X 1.5 = 1) = P [ X σ 1.5 σ = 1] = P [ Ζ 4 ] = P ( Ζ 5. ) = 1 - Φ( 5. ) = =.6 Στην περίπτωση αυτή επίσης, β = P ( Η Η 1 ) = P ( X< 1.5 > 1) Η συνάρτηση 1-β για τις διάφορες τιές του τις εγαλύτερες του 1 θα ας δίνει την ισχύ του συγκεκριένου ελέγχου. Σηείωση: Όπως έχουε ήδη αναφέρει, η συνήθης πρακτική δεν είναι να υπολογίζεται το α αλλά να καθορίζεται και στην συνέχεια να 38

10 υπολογίζεται το κρίσιο σηείο. Ο λόγος που δώσαε το παράδειγα αυτό είναι για να αντιληφθούε την εθοδολογία που ακολουθείται στα προβλήατα αυτά και η οποία είναι η ίδια για όλα τα προβλήατα. Καθορισός του Μεγέθους του Δείγατος ε Βάση τα α και β Σε ια διαδικασία λήψης απόφασης όπως ο έλεγχος υποθέσεων και ιδιαίτερα στην περίπτωση που αναφερόαστε σε ονόπλευρους ελέγχους, είναι δυνατόν να καθορίσουε το έγεθος του δείγατος που απαιτείται ώστε να επιτευχθεί ένα ελεγχόενο επιθυητό επίπεδο για το α και το β (και εποένως για την ισχύ του ελέγχου). Η διαδικασία σχεδιασού που απαιτείται για αυτό υποθέτει τα εξής: 1. Το έγεθος του δείγατος που καθορίζεται τελικά είναι σχετικά εγάλο.. Ο πληθυσός από τον οποίο θα προέλθει το δείγα είτε είναι άπειρος, είτε, στην περίπτωση που είναι πεπερασένος, είναι εγάλος σε σχέση ε το έγεθος του δείγατος στο οποίο θα καταλήξουε. Η διαδικασία σχεδιασού απαιτεί, φυσικά, τον καθορισό των α και β. Επιπλέον, δοθέντος ότι το έγεθος του δείγατος είναι υπό προσδιορισό, δεν έχουε ακόα διαθέσιη την δειγατική τυπική απόκλιση που χρειάζεται στους υπολογισούς. Με δεδοένο επίσης ότι η τυπική απόκλιση σ του πληθυσού είναι, εν γένει, άγνωστη θα πρέπει να χρησιοποιήσουε κάποια τιή σχεδιασού για το σ, ώστε να προσδιορίσουε το έγεθος του δείγατος. Το απαιτούενο έγεθος του δείγατος, ώστε να ελέγχονται αφότερα τα α και β για δοθείσα τιή σ της τυπικής απόκλισης του πληθυσού είναι σ ( Z1 + Z ) = 1 383

11 όπου: σ είναι η τυπική απόκλιση του πληθυσού (ή η τιή σχεδιασού της τυπικής αυτής απόκλισης) και 1 είναι οι τιές του όταν ελέγχονται, αντίστοιχα, τα α και β Ζ και Ζ 1 είναι οι z-τιές που αντιστοιχούν στα καθορισένα α και β, αντίστοιχα και ορίζονται ως ακολούθως για κάθε είδος ελέγχου: α. Δεξιά ονόπλευρος έλεγχος (oe-sided upper tail test) (Η :, Η 1 : > ) Z = Z 1-α, Z 1 = Z β β. Αριστερά ονόπλευρος έλεγχος (oe-sided lower tail test) (Η :, Η 1 : < ) Z = Z α, Z 1 = Ζ 1-β γ. Αφίπλευρος έλεγχος (two-sided test) (Η : =, Η 1 : ) Z = Z 1-α/, Z 1 = Z β Πριν προχωρήσουε στην απόδειξη του τύπου αυτού θα δούε πώς ο τύπος προκύπτει ε ένα παράδειγα. Παράδειγα: Ένας κατασκευαστής ηχανηάτων υπερήχων χρησιοποιεί σε ια από τις ηχανές ένα εξάρτηα που θα πρέπει να έχει τη δυνατότητα να αντέχει έντονη πίεση από κραδασούς. Στο παρελθόν, εχρησιοποιείτο ένα εταλλικό ηχάνηα για την δουλειά αυτή. Μακροχρόνια επειρία από την χρήση του εταλλικού αυτού εξαρτήατος έχει δείξει ότι ο έσος χρόνος ζωής του είναι 11 ώρες. Το ερευνητικό τήα της εταιρείας κατασκεύασε πρόσφατα πειραατικά ένα εξάρτηα από έταλλο και πλαστικό. Ο κατασκευαστής ενδιαφέρεται να άθει κατά πόσο η έση ζωή του νέου αυτού εξαρτήατος ξεπερνά τη έση ζωή των 11 ωρών του 384

12 εταλλικού εξαρτήατος. Κάτω από τα δεδοένα αυτά, θα πρέπει να ελεγχθεί η υπόθεση Η : 11 Η 1 : > 11 Λύση: Έστω ότι ο κατασκευαστής θέλει να ελέγξει το επίπεδο σηαντικότητας στην τιή α=.1 όταν = =11. Το αντίστοιχο ποσοστιαίο σηείο z στο επίπεδο α είναι z = z 1-α = z.99 =.36 Έστω ότι ο κατασκευαστής έχει αποφασίσει ότι όταν ο έσος χρόνος ζωής του νέου εξαρτήατος είναι = 1 =15, ότι δηλαδή είναι σηαντικά ακρύτερος από τον έσο χρόνο ζωής του πλήρως εταλλικού εξαρτήατος, θα πρέπει να υπάρχει πιθανότητα όνο.1 αποδοχής της Η ε βάση τον έλεγχο αυτό. Αυτό είναι ισοδύναο ε το να απαιτείται ότι P (Η = 1 =15) =.1 Έστω ότι ο κατασκευαστής πιστεύει από προηγούενη επειρία ότι η τιή σ=5 ώρες είναι ια λογική τιή σχεδιασού για την τυπική απόκλιση του πληθυσού. Η απαίτηση ότι β=.1 καθορίζει ότι το αριστερό άκρο της περιοχής αποδοχής θα είναι ίσο ε.1 και εποένως το κρίσιο σηείο στον άξονα των Χ αντιστοιχεί στην τιή z = z.1 = -1.8 στην κλίακα του z. Την τιή αυτή της τυποποιηένης κανονικής που αντιστοιχεί στον έλεγχο του β συβολίζουε ε z 1. Εποένως z 1 = z β = z.1 = Προκειένου να καθορίσουε το έγεθος του δείγατος, παρατηρούε ότι η τυπική απόκλιση της δειγατικής κατανοής του Χ (τυπικό σφάλα) είναι σ 5 σ x = = Στην συνέχεια, παρατηρούε ότι το έγεθος του δείγατος για το οποίο ενδιαφερόαστε θα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε το διάστηα 385

13 πάνω στην κλίακα του Χ από το σηείο =11 ως το 1 θα πρέπει να είναι ίσο ε - 1 =.36 σ x σ x = = 3.68 σ x Εποένως, σ 15 = 3.68 Λύνοντας την εξίσωση αυτή ως προς, βρίσκουε ότι =36. Από την στιγή που το έγεθος του δείγατος έχει καθορισθεί και τα δειγατικά αποτελέσατα συγκεντρώνονται ε βάση δείγα αυτού του εγέθους, πορεί να εφαροσθεί η διαδικασία του ελέγχου ε τον τρόπο που είναι ήδη γνωστός χρησιοποιώντας την δειγατική τυπική απόκλιση σε αντικατάσταση του σ. Σηείωση: Στο ίδιο συπέρασα θα καταλήγαε προφανώς αν χρησιοποιούσαε απευθείας τον τύπο για τον προσδιορισό του δείγατος. Πράγατι, για την περίπτωσή ας, έχουε z = z 1-α = z.99 =.36 Δηλαδή z =.36 z 1 = z β = z.1 = -1.8 Δηλαδή z 1 = 1.8 Επίσης 1 - = = 15 Τέλος σ = 5 και εποένως, αντικαθιστώντας στον τύπο, έχουε (5) = ( ) (15) =

14 Σηείωση: Ο τύπος για το έγεθος του δείγατος εξαρτάται, προφανώς, από τις προκαθορισένες τιές των α και β. Όσο ικρότερες είναι οι επιθυητές τιές του α και β, τόσο εγαλύτερες είναι οι τιές z και z 1, αντίστοιχα, και συνεπώς τόσο εγαλύτερη είναι η ζητούενη τιή του. Για τον ίδιο λόγο, όσο πλησιέστερα είναι το 1 στο, τόσο ικρότερη είναι η απόσταση 1 - και τόσο εγαλύτερο είναι το απαιτούενο έγεθος του δείγατος. Τέλος, όσο εγαλύτερη είναι η τυπική απόκλιση του πληθυσού (είτε η πραγατική, αν αυτή είναι γνωστή, είτε η τιή σχεδιασού της, αν δεν είναι γνωστή), τόσο εγαλύτερο είναι το ζητούενο έγεθος του δείγατος ώστε να επιτευχθεί ο έλεγχος των α και β. Απόδειξη του τύπου που αναφέρεται στις καπύλες ισχύος: Η απόσταση του από το 1 είναι 1 -. Το ήκος του διαστήατος από το έως το κρίσιο σηείο α είναι z σ x Αντίστοιχα, το ήκος του διαστήατος από το α έως το 1 είναι z 1 σ x Είναι προφανές ότι ισχύει η ισότητα: 1 - = z 1 σ x + z σ x = =( z 1 + z ) σ x Δοθέντος ότι σ σ x = θα έχουε σ 1 - = ( z 1 + z ) Η λύση της εξίσωσης αυτής ως προς δίνει τον τύπο που έπρεπε να αποδείξουε. Παράδειγα: Στο πρόβληα των συσκευασιών καφέ, έστω ότι θέλουε να ελέγξουε την υπόθεση Η :

15 Η 1 : < 368 Έστω επίσης ότι θέλουε να έχουε 8% ισχύ, δηλαδή.8 πιθανότητα απόρριψης της ηδενικής υπόθεσης (των 368gr), όταν ο έσος του πληθυσού είναι στην πραγατικότητα = 1 =36gr. Εστω επίσης ότι είαστε διατεθειένοι να δεχθούε ως τιή του α το.5. Ποιό είναι το έγεθος του δείγατος που εξασφαλίζει τις τιές αυτές των α και β ε δεδοένο ότι σ=15gr; Για το συγκεκριένο πρόβληα έχουε ότι z = z.5 = z 1 = z.8 =.84 Εποένως, (15) ( ) = (368 36) Άρα, = Δηλαδή, απαιτείται ένα δείγα συσκευασιών εάν ας ενδιαφέρει να έχουε.5 κίνδυνο να κάνουε λάθος τύπου I και 8% πιθανότητα να απορρίψουε την ηδενική υπόθεση των 368gr και να συπεράνουε ότι η έση τιή του πληθυσού έχει στην πραγατικότητα ετακινηθεί στην τιή των 36gr. Έλεγχοι για την Μέση Τιή ε την Χρήση της p-τιής (Γνωστή Διακύανση) Για τις περιπτώσεις ελέγχου υποθέσεων που έχουε έχρι τώρα εξετάσει και που αναφέρονται σε κανονικό πληθυσό ε γνωστή διασπορά, οι p-τιές εφανίζονται στα σχήατα που ακολουθούν: 388

16 H : = H 1 : < H 1 : > p p z z H 1 : 1 p 1 p - z z Η τιή z που εφανίζεται στα παραπάνω σχήατα είναι η τιή της τυποποιηένης στατιστικής συνάρτησης ελέγχου Ζ κάτω από την ηδενική υπόθεση. Δηλαδή, η τιή x σ z = είναι η τιή της Ζ -στατιστικής συνάρτησης 389

17 X = σ Έτσι έχουε: 1. Για την περίπτωση Η 1 : < p-τιή = P(Z z ). Για την περίπτωση Η 1 : > p-τιή = P(Z z ) 3. Για την περίπτωση Η 1 : p-τιή = P( Z z ) Z Παράδειγα: Ας επανέλθουε στο παράδειγα της εταιρείας παραγωγής και τυποποίησης προϊόντος που ισχυρίζεται ότι κάθε πακέτο του συγκεκριένου προϊόντος της που κυκλοφορεί στην αγορά έχει βάρος 368 gr. (Η : =368). Όπως είχαε δει, η τιή της Ζ-στατιστικής συνάρτησης ελέγχου για το συγκεκριένο δείγα που είχε επιλεγεί ήταν, z = -1.3 Για την περίπτωση που το πρόβληα εξεταζόταν από τη σκοπιά της εταιρείας προστασίας καταναλωτών, (δηλαδή για την περίπτωση που Η 1 : <368), η p-τιή (δηλαδή το παρατηρούενο επίπεδο σηαντικότητας) θα είναι, P(Z -1.3) =.968 (όπως βρίσκουε από τους σχετικούς πίνακες της κανονικής κατανοής). Δηλαδή, για την περίπτωση αυτή, η ηδενική υπόθεση (Η : =368) θα πρέπει να απορριφθεί για οποιαδήποτε τιή του επιπέδου σηαντικότητας α εγαλύτερη από το.968. Αυτό γιατί, όπως φαίνεται από το σχήα που ακολουθεί, 39

18 p-τιή=.968 z = -1.3 για οποιοδήποτε α.968, η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου που πήραε για το συγκεκριένο δείγα θα βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης του στατιστικού ελέγχου. Είναι προφανές ότι το επίπεδο σηαντικότητας α=.5 που είχαε επιλέξει είναι ικρότερο από την p-τιή (α < p) και γι' αυτό εκεί δεν είχαε απορρίψει την ηδενική υπόθεση. Σηείωση: Αν η τιή της Ζ -στατιστικής συνάρτησης στο πρόβληα ήταν z = -, αυτό θα αποτελούσε ισχυρότερη ένδειξη για το ότι οι παρατηρήσεις (το δείγα) δεν συνάδουν ε την ηδενική υπόθεση. ( τυπικές αποκλίσεις ακριά από το (368gr) είναι περισσότερο έντονη ένδειξη από 1.3 αποκλίσεις από το ). Το εβαδόν αριστερά από το -1.3 εκφράζει τα δείγατα που δίνουν περισσότερο ακραίες z -τιές από αυτήν που δίνει το συγκεκριένο δείγα που παρατηρήσαε (και έδωσε z = -1.3) και τα οποία περιέχουν ισχυρότερες ενδείξεις κατά της ηδενικής υπόθεσης. Η διαπίστωση αυτή εξηγεί και τον ορισό της p-τιής που δόθηκε στο προηγούενο κεφάλαιο ως της πιθανότητας να παρατηρήσουε ια στατιστική συνάρτηση ελέγχου τόσο ακραία, ή περισσότερο ακραία, από αυτήν που παρατηρήθηκε. Το ακραία αναφέρεται σε σχέση ε την τιή της παραέτρου κάτω από την ηδενική υπόθεση. Αυτό γιατί η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται κάτω 391

19 από την παραδοχή ότι ισχύει η ηδενική υπόθεση. Όσο ικρότερη είναι η πιθανότητα αυτή τόσο ισχυρότερες είναι οι ενδείξεις εναντίον της ηδενικής υπόθεσης. Σηείωση: Δοθέντος ότι η Ζ -στατιστική συνάρτηση ελέγχου εξαρτάται από τα δεδοένα, το ίδιο ισχύει για την p-τιή. Αυτό εξηγεί και τον εναλλακτικό όρο παρατηρούενο επίπεδο σηαντικότητας για την p-τιή. Παρατήρηση: Τα προαναφερθέντα εξηγούν ίσως καλύτερα και την λογική της Ζ -στατιστικής συνάρτησης. Η επιχειρηατολογία αυτή στηρίζεται στην λογική της αντίφασης και χρησιοποιείται για να δείξει ότι η αποδοχή της ηδενικής υπόθεσης θα οδηγήσει σε ένα παράλογο συπέρασα και εποένως θα πρέπει να απορριφθεί. Από άποψη εθοδολογίας, αυτό σηαίνει ότι παρατηρούε τα δεδοένα, υπολογίζουε την στατιστική συνάρτηση ελέγχου και το παρατηρούενο επίπεδο σηαντικότητας (την p-τιή). Ας θεωρήσουε, για παράδειγα, ένα πείραα που οδηγεί σε ια p-τιή ίση ε.1 (1 στα 1). Για να εξηγήσουε τον αριθό αυτό, ξεκινάε υποθέτοντας ότι η ηδενική υπόθεση είναι σωστή. Στην συνέχεια, ας φαντασθούε πολλούς άλλους ερευνητές που επαναλαβάνουν το πείραα αυτό. Αυτό που λέει το 1 στα 1 (.1) είναι ότι η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι πολύ ακριά από αυτό που η ηδενική υπόθεση ισχυρίζεται. Μόνο 1 στα 1 πειράατα θα έδινε στατιστική συνάρτηση ελέγχου τόσο ακραία, ή περισσότερο ακραία, από αυτήν που υπολογίσαε ε βάση τις παρατηρήσεις ας (το δείγα ας). Δηλαδή, όνο 1 στα 1 πειράατα θα έδινε τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου τόσο ακριά, ή περισσότερο ακριά, από την τιή της παραέτρου κάτω από την ηδενική υπόθεση, από αυτήν που εείς υπολογίσαε ε βάση το δείγα ας. Η ηδενική υπόθεση εποένως, στην περίπτωση αυτή, οδηγεί σε παραλογισούς και θα πρέπει να απορριφθεί. Γενικά, όσο ικρότερη είναι η p-τιή τόσο ισχυρότερες είναι οι ενδείξεις εναντίον της ηδενικής υπόθεσης και εποένως συνηγορούν στην απόρριψή της. Η διατύπωση απόρριψη της ηδενικής δίνει 39

20 έφαση στο ότι στον έλεγχο σηαντικότητας η επιχειρηατολογία στηρίζεται στην αντίφαση. Σηείωση: Για την αποφυγή παρανοήσεων, θα πρέπει να τονισθεί ότι η p-τιή δεν είναι η πιθανότητα ότι η ηδενική υπόθεση είναι σωστή. Εκφράζει την πιθανότητα να οδηγηθούε σε εγάλη τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου κάτω από την παραδοχή ότι η ηδενική υπόθεση είναι σωστή. Στην κλασσική στατιστική θεωρία δεν υπάρχει τρόπος να προσδιορίσουε την πιθανότητα να είναι σωστή η ηδενική υπόθεση. Η ηδενική υπόθεση θα είναι ή πάντα σωστή ή πάντα λάθος. Αυτό που παρέχει η p-τιή είναι η πιθανότητα να βρούε ενδείξεις αντίθετες ε την ηδενική υπόθεση τόσο ισχυρές, ή και ακόα περισσότερο ισχυρές από αυτές που έχουε διαθέσιες, αν η ηδενική υπόθεση ίσχυε. Αν αντιετωπίζαε το πρόβληα από την σκοπιά της εταιρείας παραγωγής του προϊόντος (Η 1 : 368), η p-τιή θα ήταν, p-τιή = P(Ζ -1.3) + P(Ζ 1.3) = (.968) =.1936 Εποένως, για οποιαδήποτε τιή του επιπέδου σηαντικότητας α εγαλύτερη του.1936, η ηδενική υπόθεση (ε βάση το συγκεκριένο δείγα) θα πρέπει να απορριφθεί. Για το επίπεδο σηαντικότητας α=.5 που είχαε επιλέξει, παρατηρούε και πάλι ότι είναι σηαντικά ικρότερο από την p-τιή και εποένως, για το επίπεδο αυτό σηαντικότητας και ε βάση τις πληροφορίες του συγκεκριένου δείγατος, δεν έχουε ισχυρές ενδείξεις για να απορρίψουε την ηδενική υπόθεση. Παρατήρηση: Όσα αναφέρθηκαν έχρι τώρα για τον ορισό του επιπέδου σηαντικότητας α και της p-τιής πορούν να εφαροσθούν αν η ηδενική υπόθεση είναι απλή (Η : = ). Αυτό προκύπτει από τους αντίστοιχους ορισούς των δύο εννοιών. 393

21 Αν η ηδενική υπόθεση είναι σύνθετη (Η : ή Η 1 : ), τότε η τιή του α και η p-τιή ορίζονται ως οι έγιστες πιθανότητες των ενδεχοένων για τα οποία αυτές ορίσθηκαν στην περίπτωση απλής ηδενικής υπόθεσης. Έτσι, συγκεκριένα αν Η : Η 1 : < ορίζουε ως α = max P( Η Η ) = max P( Η ) = P( Η = ) αντίστοιχα, = maxp X x p-τιή ( H ) = maxp ( X x ) = P( X x = ) = P(Z z ) Οι υπολογισοί γίνονται όπως προηγουένως. Μετά την αναλυτική παρουσίαση και τα γενικά σχόλια για τους ελέγχους υποθέσεων που αναφέρονται σε κανονικούς πληθυσούς ε γνωστή διακύανση, θα προχωρήσουε στην ανάπτυξη των στατιστικών ελέγχων υποθέσεων που αναφέρονται σε πληθυσούς ε άγνωστη διακύανση, σε ελέγχους που αναφέρονται σε αναλογίες, σε διασπορές, όπως επίσης και σε συγκρίσεις έσων τιών, αναλογιών και διασπορών. Β. Περίπτωση Αγνώστων Διακυάνσεων Στα περισσότερα πρακτικά προβλήατα, η διακύανση σ (ή αντίστοιχα η τυπική απόκλιση σ) του πληθυσού είναι άγνωστη. Η εκτιήτρια της διακύανσης είναι η = ( Xi X) i= 1 394

22 Όπως έχουε δει, το δεν είναι αερόληπτη εκτιήτρια του σ. Αερόληπτη εκτιήτρια του σ είναι η ( Xi X) * i= 1 = 1 όπου και στις δύο περιπτώσεις είναι το έγεθος του δείγατος. Όπως γνωρίζουε στη περίπτωση αυτή, ε την προϋπόθεση ότι ο πληθυσός είναι κανονικός Χ Ν(, σ ), η στατιστική συνάρτηση X X = = t -1 1 T * Η συνάρτηση αυτή θα χρησιοποιηθεί και για έλεγχο υποθέσεων που αναφέρονται σε κανονικούς πληθυσούς ε άγνωστη διακύανση. Έστω ότι θέλουε να ελέγξουε την υπόθεση Η : = Η 1 : για την έση τιή ενός κανονικού πληθυσού του οποίου η διακύανση είναι άγνωστη σε επίπεδο σηαντικότητας α. Σύφωνα ε τα όσα έχουε ήδη εκθέσει, η κατάλληλη στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η X. Η τυποποιηένη τιή της ελεγχοσυνάρτησης αυτής κάτω από την Η συβολίζεται ε Τ και ονοάζεται Τ συνάρτηση ελέγχου (ή, Τ ελεγχοσυνάρτηση). Στην συνέχεια, χρειάζεται να καθορίσουε τις κρίσιες τιές c 1 και c που θα χρησιοποιηθούν για τον έλεγχο. (Εκείνα τα σηεία που τιές της στατιστικής συνάρτησης εγαλύτερές τους θα οδηγούν στην απόρριψη της ηδενικής υπόθεσης. Τα σηεία δηλαδή που χωρίζουν την περιοχή απόρριψης από την περιοχή αποδοχής). 395

23 396 α/ α/ c 1 c Ακολουθώντας τη λογική που έχουε ήδη χρησιοποιήσει, έχουε ( ) 1 c P(X H H P α < = = ή ) c X = > = > < = * * * 1 * c X ή c X P > < = c X ή c X P * * * 1 * > < = c T ή c T P * * 1 Δοθέντος ότι η περιοχή απόρριψης έχει συνολικό εβαδόν α θα έχουε, όπως προκύπτει από το σχήα που ακολουθεί,

24 α/ α/ -t -1, 1-α/ t -1, 1-α/ = t -1, α/ c c 1 = -t -1, 1-α/, * * = t -1, 1-α/ Λύνοντας ως προς c 1 και c, θα έχουε, c 1 = t α -1, 1 * c = + t α -1, 1 * Εποένως, θα απορρίπτουε την ηδενική υπόθεση σε επίπεδο σηαντικότητας α αν, * * X < t α ή X > + t α -1, 1-1, 1 Ισοδύναα, χρησιοποιώντας την τυποποιηένη τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου, θα απορρίπτουε την ηδενική υπόθεση αν, Τ < -t -1, 1-α/ ή Τ > t -1, 1-α/ 397

25 Σηείωση: Η διαδικασία αυτή ισχύει ε την προϋπόθεση ότι ο πληθυσός είναι κανονικός. Μπορούε να την εφαρόσουε και στην περίπτωση που ο πληθυσός δεν είναι κανονικός ε την προϋπόθεση ότι το έγεθος του δείγατος είναι αρκετά εγάλο ( 3). Αυτό γιατί σύφωνα ε το κεντρικό οριακό θεώρηα, και στην περίπτωση αυτή η στατιστική συνάρτηση Τ ακολουθεί την t -1. Παρατήρηση: Χρειάζεται προσοχή στην χρησιοποίηση της στατιστικής συνάρτησης Τ. Αν για την εκτίηση του σ έχει χρησιοποιηθεί ο τύπος της αερόληπτης εκτιήτριας ( * ), τότε προχωράε όπως παραπάνω. Αν όως έχει χρησιοποιηθεί η, στον τύπο της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου, όπου χρησιοποιείται το, η διαίρεση θα γίνεται ε το 1 (και όχι ε το ). Παράδειγα: Στο παράδειγα της εταιρείας παραγωγής τυποποιηένων προϊόντων, ας υποθέσουε ότι ένας νέος διευθυντής του τήατος ελέγχου ποιότητας αρνείται να θεωρήσει ως δεδοένο ότι η τυπική απόκλιση του βάρους των προϊόντων που περιέχονται στη συγκεκριένη συσκευασία είναι 15gr. Αποφασίζει τότε να χρησιοποιήσει την τυπική απόκλιση του δείγατος την οποία υπολογίζει ότι είναι s=17.3gr προκειένου να ελέγξει την υπόθεση Η : = 368 gr Η 1 : 368 gr σε επίπεδο σηαντικότητας α =.5. Υπολογίζει την τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου, η οποία για = 5 είναι, t = = 1.17 Δοθέντος ότι, όπως προκύπτει από τους πίνακες, t 4,.975 =.639 βλέπουε ότι η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου για το συγκεκριένο δείγα δεν βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης. Δεν έχουε εποένως ισχυρές ενδείξεις για να απορρίψουε την ηδενική υπόθεση σε επίπεδο σηαντικότητας α=.5.

26 Χρησιοποιώντας την ίδια λογική κατασκευάζουε ελέγχους υποθέσεων για την περίπτωση κανονικού πληθυσού ε άγνωστη διασπορά όταν η εναλλακτική υπόθεση είναι ονόπλευρη. Έτσι, στην περίπτωση της υπόθεσης, Η : = Η 1 : < απορρίπτουε την ηδενική υπόθεση σε επίπεδο σηαντικότητας α αν α -t -1, 1-α X < t 1, 1 α ή, ισοδύναα, αν Τ < -t -1, 1-α Επίσης, προκειένου να ελέγξουε την υπόθεση Η : = Η 1 : > σε επίπεδο σηαντικότητας α, θα απορρίπτουε την ηδενική υπόθεση αν * 399

27 α ή, ισοδύναα, αν X > + t 1, 1 α * t -1, 1-α Τ > t -1, 1-α Παράδειγα: Ο ιδιοκτήτης ενός ορυχείου ενδιαφέρεται να αξιολογήσει ια νέα έθοδο παραγωγής συνθετικών διααντιών. Η ελέτη του κόστους που συνεπάγεται η διαδικασία κατασκευής, έχει καταλήξει στο συπέρασα ότι για να είναι επικερδής η νέα αυτή έθοδος, θα πρέπει το έσο βάρος των συνθετικών διααντιών να είναι περισσότερο από.5 καράτια. Προκειένου να αξιολογηθεί η διαδικασία κατασκευής, επιλέγεται δείγα από 6 συνθετικά διαάντια που έχουν κατασκευασθεί ε τη νέα έθοδο κατασκευής. Το βάρος τους βρίσκεται ότι είναι:.46,.61,.5,.48,.57 και.54 καράτια αντίστοιχα. Να καθορισθεί σε επίπεδο σηαντικότητας α=.5 ε βάση τις πληροφορίες από το δείγα αυτό αν η νέα έθοδος είναι επικερδής. Λύση: Θεωρώντας ότι το βάρος των συνθετικών διααντιών ακολουθεί την κανονική κατανοή, θα πρέπει να ελέγξουε την υπόθεση: Η : =.5 Η 1 : >.5 4

28 Από τα στοιχεία του δείγατος βρίσκουε ότι: x =.53 και s * =.559 Εποένως, η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου κάτω από τη ηδενική υπόθεση είναι: x.53.5 t = = = 1.31 * s Απο τους πίνακες της κατανοής t έχουε ότι, t 5,.95 =.15 Με βάση τα στοιχεία αυτά, παρατηρούε ότι η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου δεν βρίσκεται στη κρίσιη περιοχή και εποένως δεν έχουε ισχυρές ενδείξεις που να οδηγούν στην απόρριψη της ηδενικής υπόθεσης σε επίπεδο σηαντικότητας.5. Εποένως, ε βάση τα στοιχεία του δείγατος δεν πορούε να ισχυρισθούε ότι η νέα έθοδος είναι κερδοφόρα. Λύση ε το πακέτο P Ο έλεγχος υποθέσεων για την έση τιή κανονικού πληθυσού ε άγνωστη διακύανση ε το στατιστικό πακέτο P γίνεται ως εξής: Εισάγουε τα δεδοένα σε κάποια εταβλητή π.χ. VAR1 Από την επιλογή tatistics επιλέγουε Compare meas. Επιλέγουε Oe sample T test Στο παράθυρο που εφανίζεται επιλέγουε τη εταβλητή ας (VAR1) και την τοποθετούε στο πεδίο test variable Στο πεδίο Test value γράφουε την τιή για την οποία επιθυούε να ελέγξουε αν ταυτίζεται ε τον έσο του πληθυσού (δηλ. για το συγκεκριένο παράδειγα την τιή.5) και πατάε ΟΚ. Τα αποτελέσατα που δίνει το P είναι τα ακόλουθα Oe-ample tatistics VAR1 N td. td. Error Mea Deviatio Mea E-.8E- 41

29 Oe-ample Test VAR1 Test Value =.5 95% Cofidece Iterval of the ig. Mea Differece t df (-tailed) Differece Lower Upper E- -.86E- 8.86E- Στoν πρώτο πίνακα αποτελεσάτων, φαίνεται το όνοα της εταβλητής (VAR1), ο αριθός των παρατηρήσεων (Ν), ο δειγατικός έσος (Mea), η τυπική απόκλιση (td. Deviatio) και το τυπικό σφάλα του έσου (td. Error Mea). Στον δεύτερο πίνακα αποτελεσάτων, δίνεται το όνοα της εταβλητής, η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (t), οι βαθοί ελευθερίας (df), η p-τιή για τον αφίπλευρο έλεγχο (ig. (- tailed)), η τιή της διαφοράς του δειγατικού έσου από την τιή που ελέγχουε, δηλ. X - (Mea Differece), καθώς και ένα 95% διάστηα επιστοσύνης για την τιή του έσου (95% Cofidece Iterval of the Differece). Σηείωση: Το πακέτο P δεν δίνει την p-τιή για ονόπλευρους ελέγχους, καθώς, όπως προαναφέραε, η p-τιή που δίνεται στον πίνακα ε τα αποτελέσατα είναι η p-τιή του αφίπλευρου ελέγχου. Επειδή στο παράδειγα ας ο έλεγχος είναι ονόπλευρος, η p-τιή είναι εκείνη που δίνεται στον πίνακα διαιρεένη ε το δύο δηλ..45/=.15. Λύση ε το πακέτο Miitab Ο έλεγχος υποθέσεων για την έση τιή κανονικού πληθυσού ε άγνωστη διακύανση ε το στατιστικό πακέτο MINITAB γίνεται ως εξής: Στο παράθυρο Data, εισάγουε τα δεδοένα σε κάποια εταβλητή π.χ. C1. Από την επιλογή tat, επιλέγουε Basic tatistics. Επιλέγουε 1-ample t 4

30 Στο παράθυρο που ανοίγει, επιλέγουε την εταβλητή στην οποία έχουε περάσει τα δεδοένα και την τοποθετούε στο πεδίο Variables. Επιλέγουε Test mea και στο πεδίο σχετικό πεδίο γράφουε την τιή για την οποία επιθυούε να ελέγξουε αν ταυτίζεται ε την έση τιή του πληθυσού (δηλ. για το συγκεκριένο παράδειγα την τιή.5) Στο πεδίο Alterative, δηλώνουε την ορφή της εναλλακτικής υπόθεσης. Όταν αυτή είναι αφίπλευρη (δηλ. ), επιλέγουε ot equal. Αντίθετα, όταν έχει την ορφή >, επιλέγουε greater tha, ενώ τέλος όταν έχει την ορφή <, επιλέγουε less tha. Για το παράδειγα ας, επιλέγουε greater tha και στην συνέχεια πατάε ΟΚ. Το Miitab δίνει τα παρακάτω αποτελέσατα: TET OF MU =.5 V MU G.T..5 N MEAN TDEV E MEAN T P VALUE C Στην πρώτη γραή του παραπάνω output, περιγράφεται ο ζητούενος έλεγχος. Επίσης στον πίνακα δίνεται η εταβλητή ε τα δεδοένα (C1), ο αριθός των παρατηρήσεων (Ν), ο δειγατικός έσος (Mea), η δειγατική τυπική απόκλιση (tdev), το τυπικό σφάλα του έσου (E Mea), η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (t) και η p-τιή (p-value). Έλεγχοι για την Μέση Τιή ε την Χρήση της p-τιής (Άγνωστη Διακύανση) Και στην περίπτωση που η διακύανση του κανονικού πληθυσού είναι άγνωστη, ισχύει ο ορισός της p-τιής (παρατηρούενου επίπεδου σηαντικότητας) τον ορισό της οποίας δώσαε στην προηγούενη ενότητα. 43

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance) Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε

Διαβάστε περισσότερα

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός.

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός. 1 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙ Μήκος τόξου : Το ήκος ενός τόξου ο δίνεται από τον τύπο = πρ όπου ρ η ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθός.. Το ακτίνιο (rad): Ονοάζουε τόξο ενός ακτινίου (rad)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

Ασαφής Λογική & Έλεγχος

Ασαφής Λογική & Έλεγχος Τεχνητή Νοηοσύνη 7 σαφής Λογική & Έλεγχος Φώτης Κόκκορας ΤΕΙ Θεσσαλίας Τήα Μηχανικών Πληροφορικής (Fuzzy Logic Fuzzy Control) Η σαφής Λογική (Fuzzy Logic)......δεν είναι καθόλου...ασαφής ή ανακριβής, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2 ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΝΤΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 006 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΥΗΜΕΡΙΑΣ... 3. Τα θεελιώδη θεωρήατα της

Διαβάστε περισσότερα

= = = = N N. Σηµείωση:

= = = = N N. Σηµείωση: Ανάλογα ε τα φορτία που αναπτύσσονται σε ια διατοή ακολουθείται διαφορετική διαδικασία διαστασιολόγησης. 1 Φορτία ιατοής Καθαρή Κάψη Ροπή M σε ια διεύθυνση Προέχουσα Κάψη+Θλίψη Ροπή M σε ια διεύθυνση ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M.

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. Aναονητικά Συστήατα, Γραές Παραγωγής, F.M.S. Γιάννης Α. Φίης Ιανουάριος 3 Πουτεχνείο Κρήτης Π Ε Ρ Ι Ε X Ο Μ Ε Ν Α EIΣΑΓΩΓΗ...3 ΟΥΡΕΣ H ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ...6. Μοντέα Γέννησης Θανάτου...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή

Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή 3 Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή Τα νετρίνα ανιχνεύονται από τηλεσκόπια Cherenkov έσω της παρατήρησης της ακτινοβολίας Cherenkov (βλέπε Παράγραφο 4.1) που εκπέπεται από τα φορτισένα σωάτια που παράγονται

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση. Νικόλαος Καραπάνος

Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση. Νικόλαος Καραπάνος Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση Νικόλαος Καραπάνος Master Thesis Επιβλέπων: Παύλος Σπυράκης, Καθηγητής Τήα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήιο Πατρών

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη

Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη 4 Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη Εισαγωγή Σε αυτό το Κεφάλαιο περιγράφουε τις φυσικές διαδικασίες που συνεισφέρουν στην απώλεια ενέργειας ενός ιονίου καθώς αυτό διαδίδεται σε ένα έσο, όπως το νερό ή ο πάγος.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του χρόνου ζωής του µιονίου

Μέτρηση του χρόνου ζωής του µιονίου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ II Χ. Πετρίδου,. Σαψωνίδης Μέτρηση του χρόνου ζωής του ιονίου Σκοπός Το ιόνιο είναι το δεύτερο ελαφρύτερο λεπτόνιο στο standard Model ε ια άζα περίπου 106 MeV. Έχει spin ½

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Μαγνητικό πεδίο είναι ο χώρος που έχει την ιδιότητα να ασκεί αγνητικές δυνάεις σε κατάλληλο υπόθεα (αγνήτες, ρευατοφόροι αγωγοί ) Το αγνητικό πεδίο το ανιχνεύουε ε την βοήθεια ιας αγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΥ ΚΑΙ ΟΜΙΛΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤ. ΕΚΠ/ΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2005

ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΥ ΚΑΙ ΟΜΙΛΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤ. ΕΚΠ/ΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2005 ΑΪΒΑΛΗ ΕΛΕΝΗ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΡΕΥΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤ. ΕΚΠ/ΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ! ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΥ ΚΑΙ ΟΜΙΛΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2005 ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Περίληψη της Ύλης της Επιχειρησιακής Έρευνας

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Περίληψη της Ύλης της Επιχειρησιακής Έρευνας ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Περίηψη της Ύης της Επιχειρησιακής Έρευνας Ακαδηαϊκό Έτος 003-004 Πρόογος Το φυάδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Τα νετρίνα ως πηγή πληροφοριών

Τα νετρίνα ως πηγή πληροφοριών Τα νετρίνα ως πηγή πληροφοριών Εισαγωγή Το Σύπαν έχει εξερευνηθεί έσω του ηλεκτροαγνητικού φάσατος, από ραδιοκύατα ως και ακτίνες γάα υψηλής ενέργειας. Η δυνατότητα εξερεύνησης του ε την χρήση ενός νέου

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

EIOPACP 13/08 EL. Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε το σύστηα διακυβέρνησης

EIOPACP 13/08 EL. Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε το σύστηα διακυβέρνησης EIOPACP 13/08 EL Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε το σύστηα διακυβέρνησης EIOPA Westhafen Tower, Westhafenplatz 1 60327 Frankfurt Germany Tel. + 49 6995111920; Fax. + 49 6995111919; site: www.eiopa.europa.eu

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

VOGEL-Αντλίες ε σπειροειδές περίβληα Σειρά προϊόντων: LSB

VOGEL-Αντλίες ε σπειροειδές περίβληα Σειρά προϊόντων: LSB el VOGEL-Αντλίες ε σπειροειδές περίβληα Σειρά προϊόντων: LSB Οδηγίες εκατάστασης, λειτουργίας και συντήρησης Μετάφραση του πρωτοτύπου των οδηγιών χρήσης el ιαφυλάξτε τις για ελλοντική χρήση! Λάβετε υπόψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΜΟΥ Ι ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΜΟΥ Ι ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΜΟΥ Ι ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. ΜΙΚΡΟΥ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΑΣΚΗΣΗ 2. ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΥΓΡΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 3. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟΣ ΑΝΕΜΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 4. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΘΕΡΜΟΫΓΡΟΜΕΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙO 5 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάσαμε διάφορες μορφές ελέγχου της υπόθεσης ότι ένα δείγμα παρατηρήσεων προέρχεται από κάποια συγκεκριμένη κατανομή. Στην

Διαβάστε περισσότερα

EIOPA(BoS(13/164 EL. Κατευθυντήριες γραές για την εξέταση αιτιάσεων από ασφαλιστικούς διαεσολαβητές

EIOPA(BoS(13/164 EL. Κατευθυντήριες γραές για την εξέταση αιτιάσεων από ασφαλιστικούς διαεσολαβητές EIOPA(BoS(13/164 EL Κατευθυντήριες γραές για την εξέταση αιτιάσεων από ασφαλιστικούς διαεσολαβητές EIOPA WesthafenTower Westhafenplatz 1 60327 Frankfurt Germany Phone: +49 69 951119(20 Fax: +49 69 951119(19

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon ΠΙΝΑΚΕΣ Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Πίνακας 1. Διωνυμική Κατανομή Πίνακας 2. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Πίνακας 3. Oρια Εμπιστοσύνης για την Πιθανότητα p της Διωνυμικής Κατανομής Πίνακας 4. Ποσοστιαία Σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΘΕΡΜΑΪΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΝ ΓΡΑΦΕΙΟ ΠΡΟΜΗΘΕΙΝ Περαία,: 01/04/14 Αρ. πρωτ.: 8733 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ Ο ήαρχος Θεραϊκού, Ιωάννης Αλεξανδρής, προκηρύσσει

Διαβάστε περισσότερα

Η ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης μιονίου με την ύλη

Η ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης μιονίου με την ύλη Β Η ενεργός διατοή της αλληλεπίδρασης ιονίου ε την ύλη Εισαγωγή Στο παρόν Παράρτηα παρουσιάζουε τον συναρτησιακό τύπο των ενεργών διατοών των κυρίαρχων αλληλεπιδράσεων των ιονίων ε τα άτοα του έσου στο

Διαβάστε περισσότερα

p n r.01.05.10.15.20.25.30.35.40.45.50.55.60.65.70.75.80.85.90.95

p n r.01.05.10.15.20.25.30.35.40.45.50.55.60.65.70.75.80.85.90.95 r r Table 4 Biomial Probability Distributio C, r p q This table shows the probability of r successes i idepedet trials, each with probability of success p. p r.01.05.10.15.0.5.30.35.40.45.50.55.60.65.70.75.80.85.90.95

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΔΗΛΑΤΟ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ WELLY M

ΠΟΔΗΛΑΤΟ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ WELLY M ΠΟΔΗΛΑΤΟ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ WELLY M,,,. Αυτοκόλλητες ετικέτες (πάνω στο προϊόν) 1) Στην ετικέτα της ταυτότητας του προϊόντος αναφέρονται τα στοιχεία του αντιπροσώπου, τα βασικά τεχνικά χαρακτηριστικά και ο σειριακός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΘΕΡΜΑΪΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΝ Γραφείο Προηθειών Περαία,: 05/03/14 Αρ. πρωτ.: 6027 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ Ο ήαρχος Θεραϊκού, Ιωάννης Αλεξανδρής, προκηρύσσει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΕΜΦΕ 14-15 i. Έστω yi ο αριθμός των προσπαθειών κάθε μαθητή μέχρι να πετύχει τρίποντο. Ο αριθμός των προσπαθειών πριν ο μαθητής να πετύχει τρίποντο θα είναι xi = yi - 1, i = 1,,18. 2 2 3 2 1

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα Ουράς. Πειθαρχία ουράς ή Πειθαρχία εξυπηρέτησης

Σύστηµα Ουράς. Πειθαρχία ουράς ή Πειθαρχία εξυπηρέτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΑΣ Ουρές ή Γρές Ανονής: Φινόενο που δηιουργείτι ότν η τρέχουσ ζήτηση γι ί εξυπηρέτηση είνι εγύτερη πό την τρέχουσ ικνότητ εξυπηρέτησης του συστήτος Αντικειενικός σκοπός του προβήτος της ουράς:

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα Πρόχειρες σηειώσεις στ είεδ ηλεκτρογνητικά κύτ ΠΡΙΧΟΜΝΑ Διάδοση είεδων ΗΜΚ σε η γώγι έσ Ανάκλση κι διάδοση γι ρόστωση κάετη στην ειφάνει Ο νόος του Sell στην λάγι ρόστωση Πόλωση κάετη στο είεδο ρόστωσης

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ TURNING SLIM

ΠΑΓΚΟΣ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ TURNING SLIM ΠΑΓΚΟΣ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ TURNING SLIM,,,. Αυτοκόλλητες ετικέτες (πάνω στο προϊόν) 1) Στην ετικέτα της ταυτότητας του προϊόντος αναφέρονται τα στοιχεία του αντιπροσώπου, τα βασικά τεχνικά χαρακτηριστικά και ο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Στον πίνακα που ακολουθεί δίδονται οι επιδόσεις 30 ατόμων σε ένα ψυχομετρικό test, που προσήλθαν ως υποψήφιοι για πρόσληψη σε τραπεζικό οργανισμό. Οι επιδόσεις αυτές συνοδεύονται και από το φύλο κάθε ατόμου,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV002547943 2015-01-29

15SYMV002547943 2015-01-29 ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΟΥ Στην Αθήνα σήερα 15 Σεπτεβρίου 2014 τα συβαλλόενα έρη: αφενός η «ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΚΛΝΑΡΗΣ ΕΛΕΝΗ ΤΥΡΜΑΚΗ Ο.Ε.», που εδρεύει στην Γλυφάδα Αττικής, επί της οδού Αγίου Νικολάου 48, ε ΑΦΜ 999327899,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα