ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ας απασχολήσουν έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων που αναφέρονται στις έσες τιές και αναλογίες πληθυσών που περιγράφονται, είτε ε ακρίβεια, είτε κατά προσέγγιση, από την κανονική κατανοή. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Α. Περίπτωση Γνωστών Διακυάνσεων Καθορισός του Κρίσιου Σηείου Όπως είπαε και προηγουένως, το συνηθέστερο πρόβληα στον έλεγχο υποθέσεων είναι ο προσδιορισός της κρίσιης περιοχής. Για τον σκοπό αυτό, χρειάζεται να καθορίσουε ή το α ή το β. Στις περισσότερες περιπτώσεις, εκείνο το οποίο καθορίζουε είναι το α. Τότε πορούε να βρούε το κρίσιο σηείο (δηλαδή να καθορίσουε την κρίσιη περιοχή). Παράδειγα: Έστω ότι έχουε ένα κανονικό πληθυσό Ν(, σ ), όπου το σ είναι γνωστό. Έστω ότι θέλουε να ελέγξουε την στατιστική υπόθεση Η : = Η 1 : > Από όσα είπαε προηγουένως, θα έχουε, αν ε c συβολίσουε το κρίσιο σηείο, α = P ( H H ) = P (X> c = ) X = P [ > σ σ c = P [ Z > ] σ c = ] 374

2 α Ζ 1-α Προφανώς, c = Ζ 1-a σ ή ισοδύναα, σ c = + Ζ1 a Εποένως, θα απορρίπτουε την Η αν, σ X > + Ζ 1 a σε επίπεδο σηαντικότητας α. Σηείωση: Συνήθως χρησιοποιούε, ισοδύναα, την τυποποιηένη ελεγχοσυνάρτηση και απορρίπτουε την Η σε επίπεδο σηαντικότητας α αν, X Z = > Z 1-α σ Σηείωση: Η τυποποιηένη συνάρτηση ελέγχου, ή αλλιώς Ζ - στατιστική συνάρτηση (Ζ statistic) X Z = σ που χρησιοποιούε στους ελέγχους της έσης τιής κανονικών πληθυσών ε γνωστή διακύανση είναι το κλασσικό παράδειγα τυποποιηένης ελεγχοσυνάρτησης. (Ο δείκτης χρησιοποιείται για 375

3 να δώσει έφαση στο γεγονός ότι η τυποποίηση γίνεται σε σχέση ε την συγκεκριένη τιή της παραέτρου που ελετάται ε την ηδενική υπόθεση). Σε κάθε περίπτωση ελέγχου υποθέσεων για ια παράετρο ενός πληθυσού, χρησιοποιούε ως τυποποιηένη συνάρτηση ελέγχου την τυποποιηένη τιή της εκτιήτριας της παραέτρου που ελετάε, κάτω από την ηδενική υπόθεση. (Εδώ, παράετρος κάτω από την Η είναι το, εκτιήτριά του είναι το X και τυπική απόκλιση της κατανοής του X είναι το σ/ ). Οι έλεγχοι που χρησιοποιούν την Ζ -στατιστική συνάρτηση ονοάζονται Ζ-έλεγχοι (Ζ-tests). Η τιή της Ζ -στατιστικής συνάρτησης δηλώνει τον αριθό των τυπικών αποκλίσεων που ια παρατηρηθείσα τιή της συνάρτησης ελέγχου απέχει από την έση της τιή, όπου η έση αυτή τιή υπολογίζεται κάτω από την ηδενική υπόθεση. Με την ίδια λογική, καταλήγουε στο συπέρασα ότι αν έχουε να ελέγξουε την στατιστική υπόθεση Η : = Η 1 : < θα απορρίπτουε την Η σε επίπεδο σηαντικότητας α αν X Z = < - Z 1-α σ σ [ισοδύναα, αν X < Ζ1 α ]. α Ζ α = -Ζ 1-α 376

4 Τέλος, αν η εναλλακτική στατιστική υπόθεση είναι αφίπλευρη, αν δηλαδή Η : = Η 1 : α/ α/ -Ζ 1-α/ Ζ 1-α/ θα απορρίπτουε την Η αν, Z < - Z 1-α/ ή Z > Z 1-α/ [ή ισοδύναα σ σ X < Ζ α ή X > + Ζ α 1 1 ] α/ α/ c 1 c 377

5 Παράδειγα: Ένας κατασκευαστής ηλεκτρικών λαπτήρων ισχυρίζεται ότι η διάρκεια ζωής (σε ώρες) κάποιου συγκεκριένου τύπου ηλεκτρικών λαπτήρων που κατασκευάζει έχει έση τιή (έση ζωή) 7 ώρες. Από προηγούενη επειρία, είναι γνωστό ότι ο χρόνος ζωής των ηλεκτρικών λαπτήρων ακολουθεί την κανονική κατανοή. Ας υποθέσουε ότι η διασπορά του χρόνου ζωής των λαπτήρων της κατασκευής αυτής είναι σ = (46.14). Μια εταιρεία προστασίας καταναλωτών, προκειένου να ελέγξει τον ισχυρισό αυτό του κατασκευαστή, επιλέγει ένα τυχαίο δείγα 1 λαπτήρων του συγκεκριένου είδους και τους ελέγχει. Ο έλεγχος δείχνει ότι ο έσος χρόνος ζωής των λαπτήρων αυτών είναι X= ώρες. Με βάση τα αποτελέσατα του συγκεκριένου αυτού δείγατος, τί θα πορούσε να πει κανείς για τον ισχυρισό του κατασκευαστή σε επίπεδο σηαντικότητας α =.5; Λύση: Είναι προφανές ότι ο έσος χρόνος ζωής των λαπτήρων, ο οποίος προέκυψε από το δείγα, είναι ικρότερος από αυτόν που ο κατασκευαστής ισχυρίζεται. Το στατιστικό όως ερώτηα είναι αν ο έσος αυτός χρόνος είναι σηαντικά ικρότερος (στην στατιστική ορολογία) από τον ισχυρισό του κατασκευαστή ή αν η διαφορά που προέκυψε είναι αποτέλεσα της τυχαίας δειγατοληψίας και δεν είναι αρκετή ώστε να οδηγήσει τον σύνδεσο καταναλωτών στο να απορρίψει τον ισχυρισό του κατασκευαστή ε στατιστικά ισχυρά κριτήρια. Η στατιστική υπόθεση που θα πρέπει να ελεγχθεί είναι, Η : = 7 Η 1 : < 7 α=.5 -Z

6 Η τυποποιηένη τιή της ελεγχοσυνάρτησης για το πρόβληά ας, κάτω από την υπόθεση Η είναι, X Z = σ = = Δοθέντος ότι Z>-Z.95 το συγκεκριένο δείγα δεν δίνει αρκετές ενδείξεις που να οδηγούν στην απόρριψη της Η. Παράδειγα: Μια βιοηχανία παρασκευής και συσκευασίας καφέ χρησιοποιεί αεροστεγείς συσκευασίες που περιέχουν 368gr καφέ. Όπως είναι φυσικό, δεν είναι δυνατό να επιτυγχάνεται πάντοτε συσκευασία που να περιέχει ακριβώς το περιεχόενο αυτό. 1. Ο υπεύθυνος της συσκευασίας προκειένου να ελέγξει το κατά πόσο η επιδίωξη αυτή επιτυγχάνεται, επιλέγει ένα τυχαίο δείγα 5 πακέτων που έχουν συσκευασθεί ε τον τρόπο αυτό. Μετρώντας το περιεχόενο στις συσκευασίες αυτές διαπιστώνει ότι η έση ποσότητα καφέ που περιέχεται στις συσκευασίες αυτές είναι 364.1gr. ( x=364.1gr). Mε βάση το στοιχείο αυτό σε τί συπέρασα πορεί να καταλήξει ο προϊστάενος της εταιρείας όσον αφορά την επιδίωξή του;. Μια εταιρεία προστασίας καταναλωτών ενδιαφέρεται να ελέγξει κατά πόσον ο ισχυρισός αυτός της συγκεκριένης εταιρείας (για περιεχόενο στις συσκευασίες 368gr καφέ) ισχύει. Με βάση το παραπάνω δείγα σε τι συπέρασα πορεί να καταλήξει η εταιρεία προστασίας των καταναλωτών; (Από προηγούενη επειρία, είναι γνωστό ότι η ποσότητα καφέ η οποία περιέχεται στις συσκευασίες αυτές ακολουθεί την κανονική κατανοή ε τυπική απόκλιση σ = 15 gr). Ως επίπεδο σηαντικότητας να χρησιοποιηθεί το α =

7 Λύση: 1. Όσον αφορά το πρώτο ερώτηα ο υπεύθυνος ελέγχου ποιότητας της εταιρείας θα πρέπει να ελέγξει την υπόθεση, H : = 368 H 1 : 368 Η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου για το συγκεκριένο δείγα είναι, X Z = = = 13. σ Z.5 Z.975 = 1.96 = -Z.975 = Όπως προκύπτει από τους πίνακες, η κρίσιη περιοχή για το συγκεκριένο πρόβληα είναι αυτή που αναφέρεται σε τιές της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου Z > Z.975 = 1.96 Δοθέντος ότι η κρίσιη περιοχή για το πρόβληα αυτό περιλαβάνει τις τιές της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου Z<- Z.975 και τις τιές Z>Z.975, καταλήγουε στο συπέρασα ότι για το συγκεκριένο δείγα η παρατηρηθείσα τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου δεν βρίσκεται στην κρίσιη περιοχή. Εποένως, δεν υπάρχουν ισχυρές στατιστικές ενδείξεις που να οδηγούν στο 38

8 συπέρασα ότι η ηδενική υπόθεση θα πρέπει να απορριφθεί στο δοθέν επίπεδο σηαντικότητας. Δεν υπάρχουν δηλαδή ενδείξεις ότι η έση ποσότητα που περιέχεται στις συσκευασίες αυτές διαφέρει στατιστικά σηαντικά από τα 368gr.. Όσον αφορά τις επιδιώξεις της εταιρείας προστασίας του καταναλωτή, ο κατάλληλος έλεγχος υπόθεσης είναι: H : = 368 H 1 : < Z.5 = - Z.95 = Και στην περίπτωση αυτή, η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου για το συγκεκριένο δείγα είναι Z>- Z.95 δηλαδή, η τιή αυτή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου δεν βρίσκεται στην κρίσιη περιοχή. Εποένως, και η εταιρεία προστασίας καταναλωτή δεν έχει ισχυρές ενδείξεις που να την οδηγούν στο συπέρασα ότι τα συφέροντα των καταναλωτών που προτιούν το συγκεκριένο προϊόν θίγονται (ότι δηλαδή η ποσότητα του καφέ που περιέχεται στην συγκεκριένη συσκευασία υπολείπεται στατιστικά σηαντικά των 368gr). Καθορισός του Επιπέδου Σηαντικότητας Ελέγχθη ήδη ότι στα προβλήατα ελέγχου υποθέσεων, συνήθως, ο ερευνητής καθορίζει το επίπεδο σηαντικότητας ώστε να 381

9 ελέγχει το έγεθος του ενδεχοένου λάθους και ε βάση αυτό προσδιορίζει τον κανόνα απόρριψης της ηδενικής υπόθεσης. Σε ορισένες όως περιπτώσεις ξεκινάε από τον καθορισό του κανόνα απόρριψης και προσδιορίζουε το επίπεδο σηαντικότητας. Παράδειγα: (υπολογισού του επιπέδου σηαντικότητας α). Ας υποθέσουε ότι θέλουε να ελέγξουε τη στατιστική υπόθεση, Η : = 1 έναντι της Η 1 : > 1 για έναν πληθυσό που ακολουθεί την κανονική κατανοή ε έση τιή και διασπορά 4 [Χ Ν(,4)]. Ας υποθέσουε ότι ο κανόνας απόφασης είναι τέτοιος που αν X<1.5, δεν απορρίπτουε την Η, ενώ αν X 1.5, απορρίπτουε την Η. (Δηλαδή η τιή 1.5 είναι το κρίσιο σηείο). Έστω ότι παίρνουε ένα δείγα εγέθους = 4. Για τον κανόνα απόφασης, όπως ορίσθηκε παραπάνω, έχουε α = P( H H ) = P ( X 1.5 = 1) = P [ X σ 1.5 σ = 1] = P [ Ζ 4 ] = P ( Ζ 5. ) = 1 - Φ( 5. ) = =.6 Στην περίπτωση αυτή επίσης, β = P ( Η Η 1 ) = P ( X< 1.5 > 1) Η συνάρτηση 1-β για τις διάφορες τιές του τις εγαλύτερες του 1 θα ας δίνει την ισχύ του συγκεκριένου ελέγχου. Σηείωση: Όπως έχουε ήδη αναφέρει, η συνήθης πρακτική δεν είναι να υπολογίζεται το α αλλά να καθορίζεται και στην συνέχεια να 38

10 υπολογίζεται το κρίσιο σηείο. Ο λόγος που δώσαε το παράδειγα αυτό είναι για να αντιληφθούε την εθοδολογία που ακολουθείται στα προβλήατα αυτά και η οποία είναι η ίδια για όλα τα προβλήατα. Καθορισός του Μεγέθους του Δείγατος ε Βάση τα α και β Σε ια διαδικασία λήψης απόφασης όπως ο έλεγχος υποθέσεων και ιδιαίτερα στην περίπτωση που αναφερόαστε σε ονόπλευρους ελέγχους, είναι δυνατόν να καθορίσουε το έγεθος του δείγατος που απαιτείται ώστε να επιτευχθεί ένα ελεγχόενο επιθυητό επίπεδο για το α και το β (και εποένως για την ισχύ του ελέγχου). Η διαδικασία σχεδιασού που απαιτείται για αυτό υποθέτει τα εξής: 1. Το έγεθος του δείγατος που καθορίζεται τελικά είναι σχετικά εγάλο.. Ο πληθυσός από τον οποίο θα προέλθει το δείγα είτε είναι άπειρος, είτε, στην περίπτωση που είναι πεπερασένος, είναι εγάλος σε σχέση ε το έγεθος του δείγατος στο οποίο θα καταλήξουε. Η διαδικασία σχεδιασού απαιτεί, φυσικά, τον καθορισό των α και β. Επιπλέον, δοθέντος ότι το έγεθος του δείγατος είναι υπό προσδιορισό, δεν έχουε ακόα διαθέσιη την δειγατική τυπική απόκλιση που χρειάζεται στους υπολογισούς. Με δεδοένο επίσης ότι η τυπική απόκλιση σ του πληθυσού είναι, εν γένει, άγνωστη θα πρέπει να χρησιοποιήσουε κάποια τιή σχεδιασού για το σ, ώστε να προσδιορίσουε το έγεθος του δείγατος. Το απαιτούενο έγεθος του δείγατος, ώστε να ελέγχονται αφότερα τα α και β για δοθείσα τιή σ της τυπικής απόκλισης του πληθυσού είναι σ ( Z1 + Z ) = 1 383

11 όπου: σ είναι η τυπική απόκλιση του πληθυσού (ή η τιή σχεδιασού της τυπικής αυτής απόκλισης) και 1 είναι οι τιές του όταν ελέγχονται, αντίστοιχα, τα α και β Ζ και Ζ 1 είναι οι z-τιές που αντιστοιχούν στα καθορισένα α και β, αντίστοιχα και ορίζονται ως ακολούθως για κάθε είδος ελέγχου: α. Δεξιά ονόπλευρος έλεγχος (oe-sided upper tail test) (Η :, Η 1 : > ) Z = Z 1-α, Z 1 = Z β β. Αριστερά ονόπλευρος έλεγχος (oe-sided lower tail test) (Η :, Η 1 : < ) Z = Z α, Z 1 = Ζ 1-β γ. Αφίπλευρος έλεγχος (two-sided test) (Η : =, Η 1 : ) Z = Z 1-α/, Z 1 = Z β Πριν προχωρήσουε στην απόδειξη του τύπου αυτού θα δούε πώς ο τύπος προκύπτει ε ένα παράδειγα. Παράδειγα: Ένας κατασκευαστής ηχανηάτων υπερήχων χρησιοποιεί σε ια από τις ηχανές ένα εξάρτηα που θα πρέπει να έχει τη δυνατότητα να αντέχει έντονη πίεση από κραδασούς. Στο παρελθόν, εχρησιοποιείτο ένα εταλλικό ηχάνηα για την δουλειά αυτή. Μακροχρόνια επειρία από την χρήση του εταλλικού αυτού εξαρτήατος έχει δείξει ότι ο έσος χρόνος ζωής του είναι 11 ώρες. Το ερευνητικό τήα της εταιρείας κατασκεύασε πρόσφατα πειραατικά ένα εξάρτηα από έταλλο και πλαστικό. Ο κατασκευαστής ενδιαφέρεται να άθει κατά πόσο η έση ζωή του νέου αυτού εξαρτήατος ξεπερνά τη έση ζωή των 11 ωρών του 384

12 εταλλικού εξαρτήατος. Κάτω από τα δεδοένα αυτά, θα πρέπει να ελεγχθεί η υπόθεση Η : 11 Η 1 : > 11 Λύση: Έστω ότι ο κατασκευαστής θέλει να ελέγξει το επίπεδο σηαντικότητας στην τιή α=.1 όταν = =11. Το αντίστοιχο ποσοστιαίο σηείο z στο επίπεδο α είναι z = z 1-α = z.99 =.36 Έστω ότι ο κατασκευαστής έχει αποφασίσει ότι όταν ο έσος χρόνος ζωής του νέου εξαρτήατος είναι = 1 =15, ότι δηλαδή είναι σηαντικά ακρύτερος από τον έσο χρόνο ζωής του πλήρως εταλλικού εξαρτήατος, θα πρέπει να υπάρχει πιθανότητα όνο.1 αποδοχής της Η ε βάση τον έλεγχο αυτό. Αυτό είναι ισοδύναο ε το να απαιτείται ότι P (Η = 1 =15) =.1 Έστω ότι ο κατασκευαστής πιστεύει από προηγούενη επειρία ότι η τιή σ=5 ώρες είναι ια λογική τιή σχεδιασού για την τυπική απόκλιση του πληθυσού. Η απαίτηση ότι β=.1 καθορίζει ότι το αριστερό άκρο της περιοχής αποδοχής θα είναι ίσο ε.1 και εποένως το κρίσιο σηείο στον άξονα των Χ αντιστοιχεί στην τιή z = z.1 = -1.8 στην κλίακα του z. Την τιή αυτή της τυποποιηένης κανονικής που αντιστοιχεί στον έλεγχο του β συβολίζουε ε z 1. Εποένως z 1 = z β = z.1 = Προκειένου να καθορίσουε το έγεθος του δείγατος, παρατηρούε ότι η τυπική απόκλιση της δειγατικής κατανοής του Χ (τυπικό σφάλα) είναι σ 5 σ x = = Στην συνέχεια, παρατηρούε ότι το έγεθος του δείγατος για το οποίο ενδιαφερόαστε θα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε το διάστηα 385

13 πάνω στην κλίακα του Χ από το σηείο =11 ως το 1 θα πρέπει να είναι ίσο ε - 1 =.36 σ x σ x = = 3.68 σ x Εποένως, σ 15 = 3.68 Λύνοντας την εξίσωση αυτή ως προς, βρίσκουε ότι =36. Από την στιγή που το έγεθος του δείγατος έχει καθορισθεί και τα δειγατικά αποτελέσατα συγκεντρώνονται ε βάση δείγα αυτού του εγέθους, πορεί να εφαροσθεί η διαδικασία του ελέγχου ε τον τρόπο που είναι ήδη γνωστός χρησιοποιώντας την δειγατική τυπική απόκλιση σε αντικατάσταση του σ. Σηείωση: Στο ίδιο συπέρασα θα καταλήγαε προφανώς αν χρησιοποιούσαε απευθείας τον τύπο για τον προσδιορισό του δείγατος. Πράγατι, για την περίπτωσή ας, έχουε z = z 1-α = z.99 =.36 Δηλαδή z =.36 z 1 = z β = z.1 = -1.8 Δηλαδή z 1 = 1.8 Επίσης 1 - = = 15 Τέλος σ = 5 και εποένως, αντικαθιστώντας στον τύπο, έχουε (5) = ( ) (15) =

14 Σηείωση: Ο τύπος για το έγεθος του δείγατος εξαρτάται, προφανώς, από τις προκαθορισένες τιές των α και β. Όσο ικρότερες είναι οι επιθυητές τιές του α και β, τόσο εγαλύτερες είναι οι τιές z και z 1, αντίστοιχα, και συνεπώς τόσο εγαλύτερη είναι η ζητούενη τιή του. Για τον ίδιο λόγο, όσο πλησιέστερα είναι το 1 στο, τόσο ικρότερη είναι η απόσταση 1 - και τόσο εγαλύτερο είναι το απαιτούενο έγεθος του δείγατος. Τέλος, όσο εγαλύτερη είναι η τυπική απόκλιση του πληθυσού (είτε η πραγατική, αν αυτή είναι γνωστή, είτε η τιή σχεδιασού της, αν δεν είναι γνωστή), τόσο εγαλύτερο είναι το ζητούενο έγεθος του δείγατος ώστε να επιτευχθεί ο έλεγχος των α και β. Απόδειξη του τύπου που αναφέρεται στις καπύλες ισχύος: Η απόσταση του από το 1 είναι 1 -. Το ήκος του διαστήατος από το έως το κρίσιο σηείο α είναι z σ x Αντίστοιχα, το ήκος του διαστήατος από το α έως το 1 είναι z 1 σ x Είναι προφανές ότι ισχύει η ισότητα: 1 - = z 1 σ x + z σ x = =( z 1 + z ) σ x Δοθέντος ότι σ σ x = θα έχουε σ 1 - = ( z 1 + z ) Η λύση της εξίσωσης αυτής ως προς δίνει τον τύπο που έπρεπε να αποδείξουε. Παράδειγα: Στο πρόβληα των συσκευασιών καφέ, έστω ότι θέλουε να ελέγξουε την υπόθεση Η :

15 Η 1 : < 368 Έστω επίσης ότι θέλουε να έχουε 8% ισχύ, δηλαδή.8 πιθανότητα απόρριψης της ηδενικής υπόθεσης (των 368gr), όταν ο έσος του πληθυσού είναι στην πραγατικότητα = 1 =36gr. Εστω επίσης ότι είαστε διατεθειένοι να δεχθούε ως τιή του α το.5. Ποιό είναι το έγεθος του δείγατος που εξασφαλίζει τις τιές αυτές των α και β ε δεδοένο ότι σ=15gr; Για το συγκεκριένο πρόβληα έχουε ότι z = z.5 = z 1 = z.8 =.84 Εποένως, (15) ( ) = (368 36) Άρα, = Δηλαδή, απαιτείται ένα δείγα συσκευασιών εάν ας ενδιαφέρει να έχουε.5 κίνδυνο να κάνουε λάθος τύπου I και 8% πιθανότητα να απορρίψουε την ηδενική υπόθεση των 368gr και να συπεράνουε ότι η έση τιή του πληθυσού έχει στην πραγατικότητα ετακινηθεί στην τιή των 36gr. Έλεγχοι για την Μέση Τιή ε την Χρήση της p-τιής (Γνωστή Διακύανση) Για τις περιπτώσεις ελέγχου υποθέσεων που έχουε έχρι τώρα εξετάσει και που αναφέρονται σε κανονικό πληθυσό ε γνωστή διασπορά, οι p-τιές εφανίζονται στα σχήατα που ακολουθούν: 388

16 H : = H 1 : < H 1 : > p p z z H 1 : 1 p 1 p - z z Η τιή z που εφανίζεται στα παραπάνω σχήατα είναι η τιή της τυποποιηένης στατιστικής συνάρτησης ελέγχου Ζ κάτω από την ηδενική υπόθεση. Δηλαδή, η τιή x σ z = είναι η τιή της Ζ -στατιστικής συνάρτησης 389

17 X = σ Έτσι έχουε: 1. Για την περίπτωση Η 1 : < p-τιή = P(Z z ). Για την περίπτωση Η 1 : > p-τιή = P(Z z ) 3. Για την περίπτωση Η 1 : p-τιή = P( Z z ) Z Παράδειγα: Ας επανέλθουε στο παράδειγα της εταιρείας παραγωγής και τυποποίησης προϊόντος που ισχυρίζεται ότι κάθε πακέτο του συγκεκριένου προϊόντος της που κυκλοφορεί στην αγορά έχει βάρος 368 gr. (Η : =368). Όπως είχαε δει, η τιή της Ζ-στατιστικής συνάρτησης ελέγχου για το συγκεκριένο δείγα που είχε επιλεγεί ήταν, z = -1.3 Για την περίπτωση που το πρόβληα εξεταζόταν από τη σκοπιά της εταιρείας προστασίας καταναλωτών, (δηλαδή για την περίπτωση που Η 1 : <368), η p-τιή (δηλαδή το παρατηρούενο επίπεδο σηαντικότητας) θα είναι, P(Z -1.3) =.968 (όπως βρίσκουε από τους σχετικούς πίνακες της κανονικής κατανοής). Δηλαδή, για την περίπτωση αυτή, η ηδενική υπόθεση (Η : =368) θα πρέπει να απορριφθεί για οποιαδήποτε τιή του επιπέδου σηαντικότητας α εγαλύτερη από το.968. Αυτό γιατί, όπως φαίνεται από το σχήα που ακολουθεί, 39

18 p-τιή=.968 z = -1.3 για οποιοδήποτε α.968, η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου που πήραε για το συγκεκριένο δείγα θα βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης του στατιστικού ελέγχου. Είναι προφανές ότι το επίπεδο σηαντικότητας α=.5 που είχαε επιλέξει είναι ικρότερο από την p-τιή (α < p) και γι' αυτό εκεί δεν είχαε απορρίψει την ηδενική υπόθεση. Σηείωση: Αν η τιή της Ζ -στατιστικής συνάρτησης στο πρόβληα ήταν z = -, αυτό θα αποτελούσε ισχυρότερη ένδειξη για το ότι οι παρατηρήσεις (το δείγα) δεν συνάδουν ε την ηδενική υπόθεση. ( τυπικές αποκλίσεις ακριά από το (368gr) είναι περισσότερο έντονη ένδειξη από 1.3 αποκλίσεις από το ). Το εβαδόν αριστερά από το -1.3 εκφράζει τα δείγατα που δίνουν περισσότερο ακραίες z -τιές από αυτήν που δίνει το συγκεκριένο δείγα που παρατηρήσαε (και έδωσε z = -1.3) και τα οποία περιέχουν ισχυρότερες ενδείξεις κατά της ηδενικής υπόθεσης. Η διαπίστωση αυτή εξηγεί και τον ορισό της p-τιής που δόθηκε στο προηγούενο κεφάλαιο ως της πιθανότητας να παρατηρήσουε ια στατιστική συνάρτηση ελέγχου τόσο ακραία, ή περισσότερο ακραία, από αυτήν που παρατηρήθηκε. Το ακραία αναφέρεται σε σχέση ε την τιή της παραέτρου κάτω από την ηδενική υπόθεση. Αυτό γιατί η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται κάτω 391

19 από την παραδοχή ότι ισχύει η ηδενική υπόθεση. Όσο ικρότερη είναι η πιθανότητα αυτή τόσο ισχυρότερες είναι οι ενδείξεις εναντίον της ηδενικής υπόθεσης. Σηείωση: Δοθέντος ότι η Ζ -στατιστική συνάρτηση ελέγχου εξαρτάται από τα δεδοένα, το ίδιο ισχύει για την p-τιή. Αυτό εξηγεί και τον εναλλακτικό όρο παρατηρούενο επίπεδο σηαντικότητας για την p-τιή. Παρατήρηση: Τα προαναφερθέντα εξηγούν ίσως καλύτερα και την λογική της Ζ -στατιστικής συνάρτησης. Η επιχειρηατολογία αυτή στηρίζεται στην λογική της αντίφασης και χρησιοποιείται για να δείξει ότι η αποδοχή της ηδενικής υπόθεσης θα οδηγήσει σε ένα παράλογο συπέρασα και εποένως θα πρέπει να απορριφθεί. Από άποψη εθοδολογίας, αυτό σηαίνει ότι παρατηρούε τα δεδοένα, υπολογίζουε την στατιστική συνάρτηση ελέγχου και το παρατηρούενο επίπεδο σηαντικότητας (την p-τιή). Ας θεωρήσουε, για παράδειγα, ένα πείραα που οδηγεί σε ια p-τιή ίση ε.1 (1 στα 1). Για να εξηγήσουε τον αριθό αυτό, ξεκινάε υποθέτοντας ότι η ηδενική υπόθεση είναι σωστή. Στην συνέχεια, ας φαντασθούε πολλούς άλλους ερευνητές που επαναλαβάνουν το πείραα αυτό. Αυτό που λέει το 1 στα 1 (.1) είναι ότι η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι πολύ ακριά από αυτό που η ηδενική υπόθεση ισχυρίζεται. Μόνο 1 στα 1 πειράατα θα έδινε στατιστική συνάρτηση ελέγχου τόσο ακραία, ή περισσότερο ακραία, από αυτήν που υπολογίσαε ε βάση τις παρατηρήσεις ας (το δείγα ας). Δηλαδή, όνο 1 στα 1 πειράατα θα έδινε τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου τόσο ακριά, ή περισσότερο ακριά, από την τιή της παραέτρου κάτω από την ηδενική υπόθεση, από αυτήν που εείς υπολογίσαε ε βάση το δείγα ας. Η ηδενική υπόθεση εποένως, στην περίπτωση αυτή, οδηγεί σε παραλογισούς και θα πρέπει να απορριφθεί. Γενικά, όσο ικρότερη είναι η p-τιή τόσο ισχυρότερες είναι οι ενδείξεις εναντίον της ηδενικής υπόθεσης και εποένως συνηγορούν στην απόρριψή της. Η διατύπωση απόρριψη της ηδενικής δίνει 39

20 έφαση στο ότι στον έλεγχο σηαντικότητας η επιχειρηατολογία στηρίζεται στην αντίφαση. Σηείωση: Για την αποφυγή παρανοήσεων, θα πρέπει να τονισθεί ότι η p-τιή δεν είναι η πιθανότητα ότι η ηδενική υπόθεση είναι σωστή. Εκφράζει την πιθανότητα να οδηγηθούε σε εγάλη τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου κάτω από την παραδοχή ότι η ηδενική υπόθεση είναι σωστή. Στην κλασσική στατιστική θεωρία δεν υπάρχει τρόπος να προσδιορίσουε την πιθανότητα να είναι σωστή η ηδενική υπόθεση. Η ηδενική υπόθεση θα είναι ή πάντα σωστή ή πάντα λάθος. Αυτό που παρέχει η p-τιή είναι η πιθανότητα να βρούε ενδείξεις αντίθετες ε την ηδενική υπόθεση τόσο ισχυρές, ή και ακόα περισσότερο ισχυρές από αυτές που έχουε διαθέσιες, αν η ηδενική υπόθεση ίσχυε. Αν αντιετωπίζαε το πρόβληα από την σκοπιά της εταιρείας παραγωγής του προϊόντος (Η 1 : 368), η p-τιή θα ήταν, p-τιή = P(Ζ -1.3) + P(Ζ 1.3) = (.968) =.1936 Εποένως, για οποιαδήποτε τιή του επιπέδου σηαντικότητας α εγαλύτερη του.1936, η ηδενική υπόθεση (ε βάση το συγκεκριένο δείγα) θα πρέπει να απορριφθεί. Για το επίπεδο σηαντικότητας α=.5 που είχαε επιλέξει, παρατηρούε και πάλι ότι είναι σηαντικά ικρότερο από την p-τιή και εποένως, για το επίπεδο αυτό σηαντικότητας και ε βάση τις πληροφορίες του συγκεκριένου δείγατος, δεν έχουε ισχυρές ενδείξεις για να απορρίψουε την ηδενική υπόθεση. Παρατήρηση: Όσα αναφέρθηκαν έχρι τώρα για τον ορισό του επιπέδου σηαντικότητας α και της p-τιής πορούν να εφαροσθούν αν η ηδενική υπόθεση είναι απλή (Η : = ). Αυτό προκύπτει από τους αντίστοιχους ορισούς των δύο εννοιών. 393

21 Αν η ηδενική υπόθεση είναι σύνθετη (Η : ή Η 1 : ), τότε η τιή του α και η p-τιή ορίζονται ως οι έγιστες πιθανότητες των ενδεχοένων για τα οποία αυτές ορίσθηκαν στην περίπτωση απλής ηδενικής υπόθεσης. Έτσι, συγκεκριένα αν Η : Η 1 : < ορίζουε ως α = max P( Η Η ) = max P( Η ) = P( Η = ) αντίστοιχα, = maxp X x p-τιή ( H ) = maxp ( X x ) = P( X x = ) = P(Z z ) Οι υπολογισοί γίνονται όπως προηγουένως. Μετά την αναλυτική παρουσίαση και τα γενικά σχόλια για τους ελέγχους υποθέσεων που αναφέρονται σε κανονικούς πληθυσούς ε γνωστή διακύανση, θα προχωρήσουε στην ανάπτυξη των στατιστικών ελέγχων υποθέσεων που αναφέρονται σε πληθυσούς ε άγνωστη διακύανση, σε ελέγχους που αναφέρονται σε αναλογίες, σε διασπορές, όπως επίσης και σε συγκρίσεις έσων τιών, αναλογιών και διασπορών. Β. Περίπτωση Αγνώστων Διακυάνσεων Στα περισσότερα πρακτικά προβλήατα, η διακύανση σ (ή αντίστοιχα η τυπική απόκλιση σ) του πληθυσού είναι άγνωστη. Η εκτιήτρια της διακύανσης είναι η = ( Xi X) i= 1 394

22 Όπως έχουε δει, το δεν είναι αερόληπτη εκτιήτρια του σ. Αερόληπτη εκτιήτρια του σ είναι η ( Xi X) * i= 1 = 1 όπου και στις δύο περιπτώσεις είναι το έγεθος του δείγατος. Όπως γνωρίζουε στη περίπτωση αυτή, ε την προϋπόθεση ότι ο πληθυσός είναι κανονικός Χ Ν(, σ ), η στατιστική συνάρτηση X X = = t -1 1 T * Η συνάρτηση αυτή θα χρησιοποιηθεί και για έλεγχο υποθέσεων που αναφέρονται σε κανονικούς πληθυσούς ε άγνωστη διακύανση. Έστω ότι θέλουε να ελέγξουε την υπόθεση Η : = Η 1 : για την έση τιή ενός κανονικού πληθυσού του οποίου η διακύανση είναι άγνωστη σε επίπεδο σηαντικότητας α. Σύφωνα ε τα όσα έχουε ήδη εκθέσει, η κατάλληλη στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η X. Η τυποποιηένη τιή της ελεγχοσυνάρτησης αυτής κάτω από την Η συβολίζεται ε Τ και ονοάζεται Τ συνάρτηση ελέγχου (ή, Τ ελεγχοσυνάρτηση). Στην συνέχεια, χρειάζεται να καθορίσουε τις κρίσιες τιές c 1 και c που θα χρησιοποιηθούν για τον έλεγχο. (Εκείνα τα σηεία που τιές της στατιστικής συνάρτησης εγαλύτερές τους θα οδηγούν στην απόρριψη της ηδενικής υπόθεσης. Τα σηεία δηλαδή που χωρίζουν την περιοχή απόρριψης από την περιοχή αποδοχής). 395

23 396 α/ α/ c 1 c Ακολουθώντας τη λογική που έχουε ήδη χρησιοποιήσει, έχουε ( ) 1 c P(X H H P α < = = ή ) c X = > = > < = * * * 1 * c X ή c X P > < = c X ή c X P * * * 1 * > < = c T ή c T P * * 1 Δοθέντος ότι η περιοχή απόρριψης έχει συνολικό εβαδόν α θα έχουε, όπως προκύπτει από το σχήα που ακολουθεί,

24 α/ α/ -t -1, 1-α/ t -1, 1-α/ = t -1, α/ c c 1 = -t -1, 1-α/, * * = t -1, 1-α/ Λύνοντας ως προς c 1 και c, θα έχουε, c 1 = t α -1, 1 * c = + t α -1, 1 * Εποένως, θα απορρίπτουε την ηδενική υπόθεση σε επίπεδο σηαντικότητας α αν, * * X < t α ή X > + t α -1, 1-1, 1 Ισοδύναα, χρησιοποιώντας την τυποποιηένη τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου, θα απορρίπτουε την ηδενική υπόθεση αν, Τ < -t -1, 1-α/ ή Τ > t -1, 1-α/ 397

25 Σηείωση: Η διαδικασία αυτή ισχύει ε την προϋπόθεση ότι ο πληθυσός είναι κανονικός. Μπορούε να την εφαρόσουε και στην περίπτωση που ο πληθυσός δεν είναι κανονικός ε την προϋπόθεση ότι το έγεθος του δείγατος είναι αρκετά εγάλο ( 3). Αυτό γιατί σύφωνα ε το κεντρικό οριακό θεώρηα, και στην περίπτωση αυτή η στατιστική συνάρτηση Τ ακολουθεί την t -1. Παρατήρηση: Χρειάζεται προσοχή στην χρησιοποίηση της στατιστικής συνάρτησης Τ. Αν για την εκτίηση του σ έχει χρησιοποιηθεί ο τύπος της αερόληπτης εκτιήτριας ( * ), τότε προχωράε όπως παραπάνω. Αν όως έχει χρησιοποιηθεί η, στον τύπο της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου, όπου χρησιοποιείται το, η διαίρεση θα γίνεται ε το 1 (και όχι ε το ). Παράδειγα: Στο παράδειγα της εταιρείας παραγωγής τυποποιηένων προϊόντων, ας υποθέσουε ότι ένας νέος διευθυντής του τήατος ελέγχου ποιότητας αρνείται να θεωρήσει ως δεδοένο ότι η τυπική απόκλιση του βάρους των προϊόντων που περιέχονται στη συγκεκριένη συσκευασία είναι 15gr. Αποφασίζει τότε να χρησιοποιήσει την τυπική απόκλιση του δείγατος την οποία υπολογίζει ότι είναι s=17.3gr προκειένου να ελέγξει την υπόθεση Η : = 368 gr Η 1 : 368 gr σε επίπεδο σηαντικότητας α =.5. Υπολογίζει την τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου, η οποία για = 5 είναι, t = = 1.17 Δοθέντος ότι, όπως προκύπτει από τους πίνακες, t 4,.975 =.639 βλέπουε ότι η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου για το συγκεκριένο δείγα δεν βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης. Δεν έχουε εποένως ισχυρές ενδείξεις για να απορρίψουε την ηδενική υπόθεση σε επίπεδο σηαντικότητας α=.5.

26 Χρησιοποιώντας την ίδια λογική κατασκευάζουε ελέγχους υποθέσεων για την περίπτωση κανονικού πληθυσού ε άγνωστη διασπορά όταν η εναλλακτική υπόθεση είναι ονόπλευρη. Έτσι, στην περίπτωση της υπόθεσης, Η : = Η 1 : < απορρίπτουε την ηδενική υπόθεση σε επίπεδο σηαντικότητας α αν α -t -1, 1-α X < t 1, 1 α ή, ισοδύναα, αν Τ < -t -1, 1-α Επίσης, προκειένου να ελέγξουε την υπόθεση Η : = Η 1 : > σε επίπεδο σηαντικότητας α, θα απορρίπτουε την ηδενική υπόθεση αν * 399

27 α ή, ισοδύναα, αν X > + t 1, 1 α * t -1, 1-α Τ > t -1, 1-α Παράδειγα: Ο ιδιοκτήτης ενός ορυχείου ενδιαφέρεται να αξιολογήσει ια νέα έθοδο παραγωγής συνθετικών διααντιών. Η ελέτη του κόστους που συνεπάγεται η διαδικασία κατασκευής, έχει καταλήξει στο συπέρασα ότι για να είναι επικερδής η νέα αυτή έθοδος, θα πρέπει το έσο βάρος των συνθετικών διααντιών να είναι περισσότερο από.5 καράτια. Προκειένου να αξιολογηθεί η διαδικασία κατασκευής, επιλέγεται δείγα από 6 συνθετικά διαάντια που έχουν κατασκευασθεί ε τη νέα έθοδο κατασκευής. Το βάρος τους βρίσκεται ότι είναι:.46,.61,.5,.48,.57 και.54 καράτια αντίστοιχα. Να καθορισθεί σε επίπεδο σηαντικότητας α=.5 ε βάση τις πληροφορίες από το δείγα αυτό αν η νέα έθοδος είναι επικερδής. Λύση: Θεωρώντας ότι το βάρος των συνθετικών διααντιών ακολουθεί την κανονική κατανοή, θα πρέπει να ελέγξουε την υπόθεση: Η : =.5 Η 1 : >.5 4

28 Από τα στοιχεία του δείγατος βρίσκουε ότι: x =.53 και s * =.559 Εποένως, η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου κάτω από τη ηδενική υπόθεση είναι: x.53.5 t = = = 1.31 * s Απο τους πίνακες της κατανοής t έχουε ότι, t 5,.95 =.15 Με βάση τα στοιχεία αυτά, παρατηρούε ότι η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου δεν βρίσκεται στη κρίσιη περιοχή και εποένως δεν έχουε ισχυρές ενδείξεις που να οδηγούν στην απόρριψη της ηδενικής υπόθεσης σε επίπεδο σηαντικότητας.5. Εποένως, ε βάση τα στοιχεία του δείγατος δεν πορούε να ισχυρισθούε ότι η νέα έθοδος είναι κερδοφόρα. Λύση ε το πακέτο P Ο έλεγχος υποθέσεων για την έση τιή κανονικού πληθυσού ε άγνωστη διακύανση ε το στατιστικό πακέτο P γίνεται ως εξής: Εισάγουε τα δεδοένα σε κάποια εταβλητή π.χ. VAR1 Από την επιλογή tatistics επιλέγουε Compare meas. Επιλέγουε Oe sample T test Στο παράθυρο που εφανίζεται επιλέγουε τη εταβλητή ας (VAR1) και την τοποθετούε στο πεδίο test variable Στο πεδίο Test value γράφουε την τιή για την οποία επιθυούε να ελέγξουε αν ταυτίζεται ε τον έσο του πληθυσού (δηλ. για το συγκεκριένο παράδειγα την τιή.5) και πατάε ΟΚ. Τα αποτελέσατα που δίνει το P είναι τα ακόλουθα Oe-ample tatistics VAR1 N td. td. Error Mea Deviatio Mea E-.8E- 41

29 Oe-ample Test VAR1 Test Value =.5 95% Cofidece Iterval of the ig. Mea Differece t df (-tailed) Differece Lower Upper E- -.86E- 8.86E- Στoν πρώτο πίνακα αποτελεσάτων, φαίνεται το όνοα της εταβλητής (VAR1), ο αριθός των παρατηρήσεων (Ν), ο δειγατικός έσος (Mea), η τυπική απόκλιση (td. Deviatio) και το τυπικό σφάλα του έσου (td. Error Mea). Στον δεύτερο πίνακα αποτελεσάτων, δίνεται το όνοα της εταβλητής, η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (t), οι βαθοί ελευθερίας (df), η p-τιή για τον αφίπλευρο έλεγχο (ig. (- tailed)), η τιή της διαφοράς του δειγατικού έσου από την τιή που ελέγχουε, δηλ. X - (Mea Differece), καθώς και ένα 95% διάστηα επιστοσύνης για την τιή του έσου (95% Cofidece Iterval of the Differece). Σηείωση: Το πακέτο P δεν δίνει την p-τιή για ονόπλευρους ελέγχους, καθώς, όπως προαναφέραε, η p-τιή που δίνεται στον πίνακα ε τα αποτελέσατα είναι η p-τιή του αφίπλευρου ελέγχου. Επειδή στο παράδειγα ας ο έλεγχος είναι ονόπλευρος, η p-τιή είναι εκείνη που δίνεται στον πίνακα διαιρεένη ε το δύο δηλ..45/=.15. Λύση ε το πακέτο Miitab Ο έλεγχος υποθέσεων για την έση τιή κανονικού πληθυσού ε άγνωστη διακύανση ε το στατιστικό πακέτο MINITAB γίνεται ως εξής: Στο παράθυρο Data, εισάγουε τα δεδοένα σε κάποια εταβλητή π.χ. C1. Από την επιλογή tat, επιλέγουε Basic tatistics. Επιλέγουε 1-ample t 4

30 Στο παράθυρο που ανοίγει, επιλέγουε την εταβλητή στην οποία έχουε περάσει τα δεδοένα και την τοποθετούε στο πεδίο Variables. Επιλέγουε Test mea και στο πεδίο σχετικό πεδίο γράφουε την τιή για την οποία επιθυούε να ελέγξουε αν ταυτίζεται ε την έση τιή του πληθυσού (δηλ. για το συγκεκριένο παράδειγα την τιή.5) Στο πεδίο Alterative, δηλώνουε την ορφή της εναλλακτικής υπόθεσης. Όταν αυτή είναι αφίπλευρη (δηλ. ), επιλέγουε ot equal. Αντίθετα, όταν έχει την ορφή >, επιλέγουε greater tha, ενώ τέλος όταν έχει την ορφή <, επιλέγουε less tha. Για το παράδειγα ας, επιλέγουε greater tha και στην συνέχεια πατάε ΟΚ. Το Miitab δίνει τα παρακάτω αποτελέσατα: TET OF MU =.5 V MU G.T..5 N MEAN TDEV E MEAN T P VALUE C Στην πρώτη γραή του παραπάνω output, περιγράφεται ο ζητούενος έλεγχος. Επίσης στον πίνακα δίνεται η εταβλητή ε τα δεδοένα (C1), ο αριθός των παρατηρήσεων (Ν), ο δειγατικός έσος (Mea), η δειγατική τυπική απόκλιση (tdev), το τυπικό σφάλα του έσου (E Mea), η τιή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (t) και η p-τιή (p-value). Έλεγχοι για την Μέση Τιή ε την Χρήση της p-τιής (Άγνωστη Διακύανση) Και στην περίπτωση που η διακύανση του κανονικού πληθυσού είναι άγνωστη, ισχύει ο ορισός της p-τιής (παρατηρούενου επίπεδου σηαντικότητας) τον ορισό της οποίας δώσαε στην προηγούενη ενότητα. 43