Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΤ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Γιάννης Γ. Καλογεράκης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΤ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Γιάννης Γ. Καλογεράκης miltoskal@tellas,gr"

Transcript

1 Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΤ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γιάννης Γ. Καλογεράκης ( Εισήγηση στην ηµερίδα που οργάνωσε ο Σχολικός Σύµβουλος κ. ηµήτριος Μπουνάκης στο Ρέθυµνο στις 10/1/009) Τού κύκλου τα γυρίσµατα που ανεβοκατεβαίνου 1 και του τροχού που ώρες ψηλά κι ώρες στα βάθη πηαίνουν και του καιρού τ αλλάµατα που αναπαηµό δεν έχου µα στο καλό κ εις το κακό περιπατούν και τρέχου (Βιτσέντζου Κορνάρου Ερωτόκριτος- Χάντακας αρχές 17 ου αιώνα) Ο Βιτσέντζος Κορνάρος χρησιµοποιεί τη µεταφορική γλώσσα µε ένα γεωµετρικό σχήµα τον κύκλο, και ένα φυσικό µοντέλο τον τροχό, ως εισαγωγή, για να διηγηθεί τη µελαγχολία της γνώσης και τα βάσανα του έρωτα. Για το πρώτο είχε επηρεαστεί από τους δεκάδες Κρητικούς φοιτητές, κυρίως της Ιατρικής, των ιταλικών Πανεπιστηµίων οι οποίοι παρακολουθούσαν τα δύο πρώτα χρόνια των σπουδών τους Γεωµετρία. Για το δεύτερο επηρεάστηκε από το φυσικό περιβάλλον του Χάντακα όπου υπήρχαν ανεµόµυλοι µε τεράστιους τροχούς. Το έργο του είναι ένα «µαγικό» βιβλίο Ιατρικής µε αναφορές σε φυσικές και µαθηµατικές έννοιες και πολλές ιατρικές συνταγές που έδιναν δύο «γιατροί» στους δύο µελαγχολικούς ερωτευµένους. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Από την έναρξη της γραπτής Ιστορίας οι µεταφορές και οι αναλογίες χρησιµοποιήθηκαν για την δηµιουργία εννοιών στη σκέψη των ανθρώπων. Ιδιαίτερα η αναλογία ήταν η βασική έννοια της ελληνικής φιλοσοφίας και της ποίησης. Οι Έλληνες φιλόσοφοι και ποιητές χρησιµοποίησαν αναλογίες για να ερµηνεύσουν τον φυσικό κόσµο και τη διάσταση της ανθρώπινης εµπειρίας. Ο Πλάτωνας στον «Φαίδρο» πλέκει στοιχεία του Πυθαγορικού µυστικισµού µε τη διαλεκτική προσπάθεια για την αθανασία της ψυχής. Περιγράφει το ταξίδι της ψυχής από τη Γη στον Υπερουράνιο Κόσµο µε το αναλογικό µοντέλο του φτερωτού άρµατος στο οποίο ηνίοχος είναι η ψυχή. Πρόσφατες µελέτες έδειξαν ότι η χρήση αναλογικών µοντέλων δηλαδή, αναλογιών και µεταφορών, είναι σηµαντική διδακτική ενέργεια για την κατανόηση των αφηρηµένων εννοιών (Lyn, 004). Η διαδικασία που σκεπτόµαστε και εκφραζόµαστε ο τρόπος που βγάζουµε συµπεράσµατα βασίζονται συχνά σε αναλογίες και σε συγκρίσεις. Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουµε ορισµένες µορφές αναλογικών µοντέλων στη διδασκαλία χωρίς να κάνουµε αυστηρό διαχωρισµό µεταξύ των αναλογιών και των µεταφορών. 1 Περιγράφει την επικυκλοειδή καµπύλη Μεταφορά είναι µία λεκτική σύνθεση µε την οποία εκφράζουµε µία αναλογία. Με βάση τη µεταφορά απόψεις για ένα αντικειµένο µεταφέρονται σε ένα άλλο αντικείµενο, έτσι ώστε να µιλούµε για το δεύτερο αντικείµενο σαν να ήταν το πρώτο. ηλαδή είναι µία εννοιολογική απεικόνιση.

2 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία. ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τα αναλογικά µοντέλα έπαιξαν σηµαντικό ρόλο στις επιστηµονικές ανακαλύψεις όχι ως αποδεικτικές διαδικασίες αλλά ως εργαλεία έµπνευσης, παρουσίασης, εξήγησης και κατανόησης ορισµένων ιδεών. Ο Johannes Kepler ( ) ανέπτυξε τις µαθηµατικές έννοιες των πλανητικών κινήσεων κατ αναλογία µε τις κινήσεις ενός µηχανικού ρολογιού που ήταν της µόδας την εποχή του. Οι Rutherford και Bohr χρησιµοποίησαν τις ελλειπτικές τροχιές του ηλιακού συστήµατος για την αναπαράσταση του συστήµατος των υποατοµικών σωµατιδίων. Ο John Venn ( ) χρησιµοποίησε το «οπτικό αναλογικό µοντέλο» των κύκλων για να αναπαραστήσει τις λογικές σχέσεις µεταξύ πεπερασµένων συνόλων. Μία αναπαράσταση η οποία λειτουργεί σε ένα εντελώς συµβολικό επίπεδο. ηλαδή, δεν έχει µία εσωτερική µαθηµατική σχέση µε τα σύνολα. Είναι ένα µέσο εξήγησης και κατανόησης των τριών πράξεων των συνόλων. Ένας µηχανισµός που µας επιτρέπει ένα είδος οπτικής πρόσβασης σε µία αφηρηµένη έννοια. Τα αναλογικά µοντέλα χρησιµοποιούνται γιατί έχουν τη δύναµη να προκαλούν, σχεδόν στιγµιαία, πλούσιες πνευµατικές εικόνες οι οποίες µας βοηθούν να µεταφέρουµε κατά τη διδασκαλία, γνώσεις από µία οικεία περιοχή, η οποία αναφέρεται ως «κατάσταση βάσης», σε µία µη οικεία περιοχή η οποία αναφέρεται ως «κατάσταση στόχου». Μας βοηθούν να κατασκευάσουµε εννοιολογικές γέφυρες µεταξύ του, γνωστού και του άγνωστου. Οι αναλογίες και οι µεταφορές συµβαίνουν σε πολλά περιβάλλοντα υπηρετούν πολλούς σκοπούς και παίρνουν πολλές φόρµες. Συνήθως, στα Μαθηµατικά, τις µεταφορές τις ονοµάζουµε µοντέλα ή νόµους αλλά αυτό δεν αλλάζει τα βασικά χαρακτηριστικά τους. Με τη χρήση αναλογιών και µεταφορών αναβαθµίζουµε σταδιακά τον τρόπο έκφρασης σε τρόπο σκέψης και αναπτύσσουµε τη λεγόµενη «αναλογική σκέψη». Η αναλογική σκέψη περιλαµβάνει µεταφορά πληροφορίας που συσχετίζει την οικεία περιοχή µε την µη οικεία. (Γαβαλάς. & Γυφτογιάννη Μ. ). 3. Η ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΩΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΩΝ Μία απλού τύπου αναλογία συµβαίνει όταν δύο αντικείµενα έχουν κοινές ιδιότητες. Η Γη και η Σελήνη έχουν σφαιρικό σχήµα λαµβάνουν φως και θερµότητα από τον Ήλιο, περιστρέφονται γύρω από τον άξονα τους, υπακούουν στο νόµο της παγκόσµιας έλξης. Μία άλλη αναλογία είναι η ύπαρξη σχέσεων µεταξύ των ιδιοτήτων δύο αντικειµένων. Υπάρχει αναλογία στη διάδοση του φωτός και του ήχου. Οι παραπάνω αναλογίες αφορούν κυρίως υλικά αντικείµενα µε τα οποία ασχολείται η Φυσική. Τα Μαθηµατικά ενδιαφέρουν περισσότερο οι αναλογίες που δεν εστιάζονται σε ένα σύνολο εξωτερικών χαρακτηριστικών αλλά στην ύπαρξη όµοιας δοµής αφηρηµένων σχέσεων. ύο µαθηµατικές οντότητες σχετίζονται µε την αναλογία αυτή όταν εκφράζονται και ερµηνεύονται µε τους ίδιους τυπικούς υπολογισµούς. Οι υπολογισµοί αυτοί προσδιορίζονται από όµοιες µαθηµατικές σχέσεις και οδηγούν σε ανάλογες δραστηριότητες αν και µπορεί να ανήκουν σε διαφορετικές ενότητες. Ας θεωρήσουµε την άσκηση:

3 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 3 ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ, µ, µε κ + λ + µ 0, τέτοιοι, ώστε κ+λ+µ=0 uuur uuur uuur r και, κοα+ λ ΟΒ+ µ ΟΓ= 0. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. Η άσκηση αυτή µπορεί να λειτουργήσει ως «κατάσταση βάσης» για µία σειρά ανάλογων ασκήσεων τους µιγαδικούς αριθµούς την τριγωνοµετρία, τη µηχανική και στις συναρτήσεις. Για παράδειγµα υπάρχει µία τυπική αναλογία µε την άσκηση. ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ, µ, µε κ + λ + µ 0, τέτοιοι, ώστε κ+λ+µ=0 7 και ο µιγαδικός z για τον οποίο ισχύει ότι κ z + λ z + µ = 0 (1). Να βρείτε τη γραµµή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση (1). Οι ασκήσεις αυτές, αν και ανήκουν σε διαφορετικές ενότητες, έχουν όµοια δοµή και ορισµένα σηµεία των λύσεων τους είναι ανάλογα. Όπως, ένα τουλάχιστον από τα κ, λ, µ είναι διάφορο από το µηδέν και σε κάποιο στάδιο της απόδειξης θα πρέπει να διαιρέσουµε µε αυτό 3. Οι τρεις όροι σε κάθε σχέση πρέπει να γίνουν δύο. Αυτό επιτυγχάνεται µε τις βασικές έννοιες των δύο ενοτήτων, τα συγγραµµικά uuur uuur 7 διανύσµατα ΑΒ, ΑΓ και τη συζυγής παράσταση 7 κ z + λ z + µ = 0. Συνεπώς, δηµιουργούµε µία νέα απόδειξη µε την αναλογική µεταφορά του πλαισίου µίας προϋπάρχουσας απόδειξης. Ανάλογη περίπτωση έχουµε και στο Πυθαγόρειο θεώρηµα το οποίο εφαρµόζοντας την αναλογική σκέψη λειτουργεί ως «κατάσταση βάσης». Το τετράγωνο που σχεδιάζουµε εξωτερικά στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου έχει εµβαδόν ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των δύο τετραγώνων που σχεδιάζουµε εξωτερικά στις δύο κάθετες πλευρές. Αυτό είναι ένα πρότυπο για να δηµιουργήσουµε και να λύσουµε στην Ευκλείδεια Γεωµετρία ανάλογες ασκήσεις, διότι ισχύει για οποιαδήποτε σχήµατα όµοια µεταξύ τους που µπορούµε να σχεδιάσουµε µε τον ίδιο τρόπο. Για παράδειγµα, ισόπλευρα τρίγωνα, ηµικύκλια. ( ρόσος Κ. & Πατρώνης Τ.). Αλλά και σε διαφορετικές ενότητες, όπως είναι ο τύπος της απόστασης δύο σηµείων στην Αναλυτική Γεωµετρία και στα ιανύσµατα η καθετότητα 4. Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα u r και v r είναι κάθετα, αν και µόνο αν ισχύει. r r r r u+ v = u + v. ( Αναλογική γενίκευση) Στους µιγαδικούς αριθµούς αλλά και γενικότερα υπάρχει το πρότυπο του παραλληλόγράµµου. Αν z 1 και z είναι µιγαδικοί αριθµοί να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση z + z + z z = z + z Με την άσκηση αυτή µπορούµε να λύσουµε πλήθος ασκήσεων όταν σε αυτές δίδονται δύο µιγαδικοί αριθµοί. 7 3 Η δοµή αυτή µας παραπέµπει σε θεώρηµα των Ανωτέρων Μαθηµατικών αλλά αυτό συµβαίνει συχνά µε τα Μαθηµατικά της Γ. Λυκείου. 4 Είναι γνωστό ότι το Πυθαγόρειο Θεώρηµα επεκτείνεται και στο χώρο Hilbert. 3

4 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 4 Το ανάλογο στην Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι όταν, σε µία άσκηση δίνεται το µέσο ευθυγράµµου τµήµατος τότε µπορούµε να σχεδιάσουµε ένα κατάλληλο παραλληλόγραµµο µε κέντρο το µέσο αυτό. Οπότε, έχουµε πολλά θεωρήµατα για να λύσουµε ανάλογες ασκήσεις 5. Η επισήµανση του µέσου επεκτείνεται στην Αναλυτική Γεωµετρία και στα ιανύσµατα. Στη διδακτική πράξη τις ασκήσεις που ανήκουν σε µία «κατάσταση βάσης» µε τη βοήθεια των οποίων επιλύονται πολλές άλλες, µπορούµε να τις ταξινοµήσουµε σε κλάσεις ισοδυναµιών ισόµορφων ασκήσεων. Η ταξινόµηση αυτή, βελτιώνει την διδασκαλία µας, συµβάλει στην κατανόηση των εννοιών και µειώνει τη δυσκολία και τον χρόνο της λύσης. Ακόµη, η ύπαρξη όµοιας δοµής µας επιτρέπει να δηµιουργήσουµε µία εισαγωγική δραστηριότητα για τη διδασκαλία µίας νέας ενότητας.. Με την τεχνική αυτή µία νέα έννοια µπορεί να παρουσιαστεί κατ αναλογία µέσω µίας άλλης προϋπάρχουσας γνωστής έννοιας και να γίνει προσιτή και κατανοητή στους µαθητές. Απλά παραδείγµατα είναι, η διδασκαλία της παραγοντοποίησης των πολυωνύµων µε την ανάλυση σε γινόµενο πρώτων παραγόντων των ακεραίων. Η διαίρεση των πολυωνύµων µε τη διαίρεση των ακεραίων. 4. Η ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΩΣ ΕΥΡΕΤΙΚΗ - ΤΟ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ Είναι γνωστό ότι όταν στην τάξη οι µαθητές προσπαθούν να λύσουν µία άσκηση, έχουν δυσκολίες να εφαρµόσουν µεθόδους και στρατηγικές που έχουµε προηγουµένως διδάξει και έχουµε χρησιµοποιήσει στη λύση άλλων ασκήσεων. Ιδιαίτερα όταν δεν αναγνωρίζεται εύκολα η βασική έννοια που υποκρύπτεται στην εκφώνηση όπως συµβαίνει συχνά σε ασκήσεις Μιγαδικών Αριθµών και Γεωµετρίας. Αλλά ακόµη και αν οι µαθητές λύσουν πολλές ασκήσεις και έχουν αποκτήσει εµπειρίες πολλοί έχουν δυσκολίες να αρχίσουν τη λύση µίας άσκησης. Ίσως, αυτό να οφείλεται στο ότι οι µαθητές δεν έχουν µία αίσθηση µε το τι ακριβώς µοιάζει η λύση µίας άσκησης. Ώστε, να µπορούν να δηµιουργήσουν σαφείς και ρητές συνδέσεις µε άλλες δραστηριότητες και έννοιες µε τις οποίες αυτοί είναι εξοικειωµένοι ( Silver,1987). Αντίθετα, ένα κοινό γνώρισµα των ικανών λυτών προβληµάτων είναι η ικανότητα να αναγνωρίζουν συνδέσεις µεταξύ δύο ή περισσοτέρων «καταστάσεων προβληµάτων» και στις µεθόδους λύσης τους. Αυτό τους οδηγεί στην επανατοποθέτηση του προβλήµατος µε ένα άλλο περιεχόµενο ώστε το νέο πρόβληµα να είναι συνήθως πιο εύκολο στη λύση (Polya, 1944). Στις συνδέσεις σηµαντικό ρόλο παίζει η αναλογική σκέψη η οποία επιτρέπει στο λύτη να συνδέσει µία οικεία µεθοδολογία ή περιβάλλον µε µία µη οικεία. Ένα βασικό σηµείο για τη σύνδεση αυτή είναι ο εντοπισµός του «αµετάβλητου στοιχείου» που υπάρχει στην άσκηση 6. Την ιδέα αυτή σπάνια την αναφέρουµε στην διδασκαλία. Η σύνδεση µέσω του αµετάβλητου στοιχείου οδηγεί σε µεθόδους, όχι σε υπολογισµούς, οι οποίες βοηθούν τους µαθητές να αρχίσουν την απόδειξη. Συνεπώς, η αναλογική σκέψη είναι σηµαντικό στοιχείο της «ευρετικής» δηλαδή της λύσης προβληµάτων. Προσπαθώντας να λύσουµε µία δύσκολη άσκηση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε κατ αναλογία τη µέθοδο µίας ευκολότερης ή το 5 Είναι βασική µεθοδολογία στις Ολυµπιάδες. 6 Το αµετάβλητο είναι µία γενικότερη έννοια στα Μαθηµατικά και έχει να κάνει µε τους µετασχηµατισµούς και τις απλοποιήσεις που κάνοµε ορισµένες φορές του τύπου «χωρίς να χάσουµε τη γενικότητα» 4

5 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 5 αποτέλεσµα της, για τη δύσκολη άσκηση. Η επιλογή µπορεί να γίνει µε το κριτήριο του «αµετάβλητου στοιχείου». Παράδειγµα από τις ανισότητες:. ( α + 1)( β + 1)( γ + 1) Αν α, β, γ είναι θετικοί να αποδείξετε ότι 8. αβγ Συχνά οι µαθητές αρχίζουν γρήγορα να κάνουν πράξεις χωρίς να σκέφτονται βαθύτερα τη λύση. Προσδοκούν σε απλοποιήσεις και σε ταυτότητες. ιαδικασία που θα τους οδηγήσει σε αδιέξοδο. Θα φθάσουν σύντοµα στη λύση αν σκεφτούν µία ανάλογη ευκολότερη άσκηση που διατηρεί «αµετάβλητη τη φόρµα». Για τον σκοπό αυτό µία χρήσιµη ερώτηση που πρέπει να επαναλαµβάνουµε στη διδασκαλία είναι: Με ποια άσκηση που έχουµε αποδείξει παλαιότερα είναι όµοια αυτή η άσκηση; Ενδέχεται αυθόρµητα να θυµηθούν τη γνωστή εφαρµογή από το σχολικό βιβλίο της Α. Λυκείου. α + 1 Να αποδείξετε ότι αν α είναι θετικός τότε ισχύει. α Λόγω συµµετρίας θα πάρουµε και τις άλλες δύο σχέσεις και θα πολλαπλασιάσουµε κατά µέλη. Παράδειγµα από τις συναρτήσεις : α, α και ισχύει ίδεται ότι η συνάρτηση f είναι περιττή και συνεχής στο [ ] α f ( x) α για κάθε x [ α, α]. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέµνει, τουλάχιστον τρεις φορές την ευθεία y= x ή την ευθεία y= x. Με την αναλογική σκέψη µπορούµε να ανατρέξουµε στην άσκηση 8 σελίδας 00 του διδακτικού βιβλίο. Στις ασκήσεις αυτές βασικό λόγο έχει «το αµετάβλητο του γεωµετρικού τετραγώνου» το οποίο δηµιουργείται από το σύνολο ορισµού και το σύνολο τιµών. 0,1 και ισχύει 0 f ( x) 1 για κάθε ίδεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] x [ 0,1]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει [ ] x0 0,1 τέτοιο ώστε f ( x0) = x0. Παράδειγµα από τους µετασχηµατισµούς: ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α, β, γ,,δ για τους οποίους ισχύουν γ + δ = 1. Να αποδείξετε ότι ισχύει ( αγ βδ ) 1 +. α + β = 1 και Στην άσκηση αυτή και σε κάθε ανάλογη άσκηση που έχουµε το άθροισµα δύο τετραγώνων ίσο µε ένα, εφαρµόζεται ένα από τα σηµαντικότερα θέµατα των Μαθηµατικών το «αµετάβλητο των τριγωνοµετρικών µετασχηµατισµών». Θεωρούµε µία γωνία θ της οποίας το α είναι το ηµίτονο και το β το συνηµίτονο. Ανάλογα και µία γωνία φ για τα γ και δ. Η απόδειξη γίνεται πολύ απλή. Γενικότερα, η άσκηση Χ µοιάζει µε την άσκηση Ψ και η Ψ λύνεται µε τη µέθοδο Ζ. Ίσως υπάρχει µία ανάλογη εφαρµογή της µεθόδου Ζ στην άσκηση Χ. Είναι χρήσιµο να αναφέρουµε στους µαθητές ότι δεν προσδοκούµε να γνωρίζουµε πως λύνουµε κάθε άσκηση αλλά να µπορούµε να υποθέτουµε µία µέθοδο πως να τη λύσουµε. Η υπόθεση αυτή µπορεί να υποστηριχτεί από την αναλογική σκέψη µε τον εντοπισµό του αµετάβλητου στοιχείου. Ακόµη, στη διδασκαλία είναι χρήσιµο να πείσουµε τους µαθητές ότι η λύση µίας οποιαδήποτε άσκησης είναι πάντα µία άσκηση της λογικής µε αναλογίες. 5

6 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 6 5. Η ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΩΣ ΛΕΚΤΙΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ - ΜΕΤΑΦΟΡΑ Ένα από τα µειονεκτήµατα της διδασκαλίας των Μαθηµατικών είναι ότι γίνεται µονότονη και πληκτική όταν διδάσκουµε αφηρηµένες ιδέες µε τον ίδιο πάντοτε φορµαλιστικό τρόπο. Για τον λόγο αυτό η διδασκαλία µας πρέπει να είναι διανθισµένη µεταξύ των άλλων και µε λεκτικές συνθέσεις όχι κατ ανάγκη πάντοτε µαθηµατικές. ηλαδή µε µεταφορές. Οι µεταφορές µπορεί να είναι απλές φράσεις που υπενθυµίζουν µία µαθηµατική διαδικασία., αποφθέγµατα ή παροιµίες µε θέµατα σχετικά µε τα Μαθηµατικά και τη µάθηση. Σε κάθε περίπτωση οι προτάσεις πρέπει να είναι σύντοµες, οικείες και διαυγείς και να παρουσιάζονται µε ενδιαφέροντα τρόπο. Όταν χρησιµοποιείται σωστά προσδίδει χάρη και διαύγεια στον µαθηµατικό λόγο µε το να συνδυάζει το συνηθισµένο µε το ασυνήθιστο (Hawkes T.). Όµως να έχουµε υπόψη µας ότι «η µεταφορική γλώσσα» αποκλίνει από την κυριολεξία, δεν εννοεί αυτό που λέει. Είναι η γλώσσα του Αισώπου. Παραδείγµατα µη µαθηµατικών λεκτικών συνθέσεων. Τα Μαθηµατικά δεν είναι ένας περίπατος σε οµαλό µονοπάτι. Είναι ένα ταξίδι σε άγνωστο δάσος στο οποίο οι ερευνητές συχνά χάνονται. Τα Μαθηµατικά δεν είναι η τέχνη των υπολογισµών αλλά η τέχνη των ελάχιστων υπολογισµών. Η άσκηση αυτή είναι δύσκολη και µας έχει κάνει άπορους. ( εν µπορούµε να βρούµε διέξοδο και να λύσουµε την άσκηση ) Οι καλές ασκήσεις είναι σαν τα µανιτάρια, αναπτύσσονται σε συστάδες. (Είναι γνωστό ότι ορισµένες ασκήσεις είναι περισσότερο επιβοηθητικές σε κάθε ενότητα από κάποιες άλλες) Με τη λογική κάνουµε τις αποδείξεις µε τη διαίσθηση τις ανακαλύψεις. Αν µία µαθηµατική ιδέα τη χρησιµοποιήσουµε µόνο µία φορά είναι trick. Αν τη χρησιµοποιήσουµε δύο φορές γίνεται µέθοδος. Μαθαίνω να αποδεικνύω σηµαίνει µαθαίνω να κρίνω. Τα Μαθηµατικά είναι δηµιούργηµα της πιο εµπνευσµένης ανθρώπινης φαντασίας. Τα µαθηµατικά βιβλία δεν τα διαβάζουµε, δεν τα µελετούµε και δεν τα πιστεύουµε. Τα υποβάλουµε σε έρευνα, όπως έκαναν οι Άγιοι ηµών Πατέρες µε τα Ιερά Κείµενα. (Για να τονίσουµε την σχολαστικότητα που απαιτείται για την µαθηµατική έρευνα) Ένας είναι ικανός στα Μαθηµατικά όταν διαισθάνεται τα λάθη που µπορεί να κάνει και γνωρίζει πώς να τα αποφεύγει. Τα Μαθηµατικά είναι η τέχνη του παραµυθά της Λογικής οι δηµιουργίες του υπάρχουν µόνο στη σκέψη. Παραδείγµατα µαθηµατικών λεκτικών συνθέσεων. Η γραφική παράσταση µίας συνάρτησης είναι ένας «ταξιδιώτης» η πορεία του οποίου καθορίζεται από δύο άλλους συνταξιδιώτες το χ και το ψ που πορεύονται από τα αριστερά προς τα δεξιά.. Το όριο µίας συνάρτησης είναι ένα ταξίδι δύο ταξιδιωτών, του ενός γνωρίζουµε τον προορισµό και ζητούµε του άλλου. 6

7 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 7 Η συνάρτηση είναι µία «µηχανή του καφέ». Με εισαγωγή τους σπόρους (σύνολο ορισµού) επεξεργασία η µηχανή (τύπος ) εξαγωγή σκόνη του καφέ (σύνολο τιµών ). Η πρόσθεση και η αφαίρεση των ακεραίων είναι ένα εβδοµαδιαίο «λογιστικό φύλο» στο οποίο οι θετικοί αριθµοί απεικονίζουν τα έσοδα και οι αρνητικοί τα έξοδα. Στην ισότητα F ( x) = f ( x), οι τιµές της f κατασκευάζουν «το πορτραίτο κλίσεων» της F. ηλαδή ερµηνεύουµε την τιµή f ( x0 ) ως την κλίση της εφαπτοµένης στη γραφική παράσταση της F στο x 7 0. Η «χρυσή τοµή» ή «θεϊκή αναλογία» είναι ο χωρισµός ενός ευθυγράµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο. Οι λεκτικές συνθέσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν και ως εργαλεία µνήµης και επεξήγησης ανάλογα µε την έννοια που διδάσκουµε. Για παράδειγµα, για να βρούµε τους πρώτους αριθµούς χρησιµοποιούµε την τεχνική που ονοµάζεται «κόσκινο του Ερατοσθένη» γιατί κατ αναλογία µε το πραγµατικό κόσκινο, «κοσκινίσαµε» ν διαδοχικούς αριθµούς, διαγράφοντας πολλαπλάσια, µέχρι τον αριθµό p που είναι πρώτος και ισχύει p ν. Η µεταφορά αυτή χρησιµοποιείται για να βοηθήσει τους µαθητές να κατανοήσουν τον τρόπο εύρεσης των πρώτων αριθµών και ταυτόχρονα να διατηρήσουν τη διαδικασία αυτή στη µνήµη τους. Τα «µοντέλα sandwich» είναι µία κατηγορία αναλογικών µοντέλων τα οποία χρησιµοποιούµε ως µνηµονικούς κανόνες και ως τεχνικές στη διδασκαλία στο Γυµνάσιο και το Λύκειο. Η ονοµασία sandwich προέρχεται από την τροπή ενός σύνθετου κλάσµατος σε απλό. Μπορούµε να παρουσιάσουµε τη διαδικασία µε την αναπαράσταση ενός πραγµατικού sandwich. α ψωµ ί β ντοµ άτα ψωµ ί ψωµ ί α δ = = = (Στα πραγµατικά σάντουιτς το ψωµί γ τυρί ντοµ άτα τυρί β γ δ ψωµ ί είναι πιο σηµαντικό από το περιεχόµενο γι αυτό το βάζουµε πάνω). Στο Λύκειο µοντέλο sandwich είναι το κριτήριο παρεµβολής, για την εύρεση του ορίου µίας συνάρτησης. Μοντέλο sandwich είναι η γνωστή τριγωνική ανισότητα στις απόλυτες τιµές. Ακόµη, έχουµε το sandwich του Fermat ή sandwich των τέλειων αριθµών που µπορούµε να δώσουµε ως εργασία στη Γ. Γυµνασίου. Να βρείτε τον θετικό ακέραιο που περιέχεται µεταξύ ενός τέλειου τετραγώνου και ενός τέλειου κύβου. Τα «µαγικά τετράγωνα» είναι µία άλλη κατηγορία αναλογικών µοντέλων. Είναι τετράγωνες διατάξεις που έχουν το ίδιο άθροισµα οι σειρές οι στήλες και οι δύο διαγώνιες. Τα µαγικά τετράγωνα προήλθαν από την ισοδυναµία που έθεσαν οι 7 Είναι οι µικρές γραµµούλες που βλέπουµε στα σχήµατα των διαφορικών εξισώσεων. 7

8 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 8 µαγικές τέχνες ανάµεσα στους αριθµούς και τα γράµµατα του αλφάβητου 8. ια µέσου των αιώνων υπήρξαν µέσα λαϊκών µαθηµατικών δηµιουργιών. Στα αναλογικά µοντέλα ανήκουν και τα «Ηρώνεια τρίγωνα 9» τα οποία είναι µία κατηγορία τριγώνων µε πολλές θεωρητικές και πρακτικές εφαρµογές. Πολλές ασκήσεις σε αυτά συνδέονται µε τις πυθαγόρειες τριάδες. Συνεπώς, ένα από τα αναλογικά µοντέλα στη µαθηµατική διδασκαλία είναι οι λεκτικές συνθέσεις που συνδέουν ανόµοια πράγµατα τα οποία έχουν µερικά κοινά χαρακτηριστικά. Με τις λεκτικές συνθέσεις το αφηρηµένο δοµείται και εκφράζεται µε απτό και αισθητικό λεκτικό τρόπο. Παράλληλα η ουδέτερη µαθηµατική γλώσσα αποκτά µία δυναµική ενισχύοντας την επικοινωνιακή µας ικανότητα στην τάξη (Pimm D.1987). Οι λεκτικές συνθέσεις πρέπει να ταιριάζουν µε την ενότητα που διδάσκουµε και να περιέχουν λέξεις «όµορφες». 6. Η ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΩΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ Οι αναλογίες µπορούν να χρησιµοποιηθούν στη διδασκαλία και ως εργαλεία για ανακάλυψη και επέκταση των ορίων της γνώσης. Στη περίπτωση αυτή οι αναλογίες λειτουργούν ως ένας µηχανισµός µε τον οποίο µπορούµε να ερευνήσουµε ή να διδάξουµε µε οριακό αλλά εννοιολογικό τρόπο νέες µαθηµατικές έννοιες. ηλαδή, µε την αναλογική σκέψη µπορούµε να δηµιουργήσουµε τις προϋποθέσεις για την ανάπτυξη µίας δύσκολης έννοιας και τη διδασκαλία ενός περισσότερο σοφιστικού αντικειµένου. Είναι ένας τρόπος να διδάξουµε απροσπέλαστες διαφορετικά έννοιες που βρίσκονται στις παρυφές του αναλυτικού προγράµµατος.(πεπλεγµένες συναρτήσεις, διαφορικές εξισώσεις, σύµµορφες συναρτήσεις, πιθανότητες) βαπτίζοντας τις µε άλλα ονόµατα 10. Παράδειγµα από τη Στατιστική Είναι γνωστό ότι το βασικό µέτρο της µεταβλητότητας τη διασπορά, ν 1 s = ( t x), τη µετρούµε σε τετραγωνικές µονάδες. Αν σκεφτούµε αναλογικά ν i = 1 i αυτό είναι µία ένδειξη ότι η µεταβλητότητα «διαµερίζεται», όπως συµβαίνει κατ αναλογία και µε ένα πολυγωνικό χωρίο στην Ευκλείδεια Γεωµετρία. Είναι ένας µηχανισµός για να δηµιουργήσουµε νέα µαθηµατικά αντικείµενα. Στην περίπτωση µας την ANOVA. (Ανάλυση της ιακύµανση) Την αναλογία αυτή µπορούµε να την αναφέρουµε στη διδασκαλία αν και είναι θέµα προχωρηµένης Στατιστικής. Παράδειγµα από τις Πιθανότητες Οι Πιθανότητες είναι εννοιολογικά το δυσκολότερο αντικείµενο των στοιχειωδών Μαθηµατικών. Είναι δύσκολο να τις ενσωµατώσουµε στη Στατιστική, στην ύλη 8 Ο Αγρίππας ( ) στο έργο του Απόκρυφη Φιλοσοφία το 1510, συνέδεσε τα µαγικά τετράγωνα µε τη µαγεία. Ένα από τα τετράγωνα του ήταν το τετράγωνο του ία. Σύνδεση µε την µαγεία υπήρξε όµως και παλαιότερα. 9 Ένα τρίγωνο είναι Ηρώνειο όταν οι πλευρές και το εµβαδόν του είναι ακέραιοι αριθµοί. Κάποια από αυτά είναι και ορθογώνια. 10 Τέτοιες ασκήσεις υπάρχουν στα διδακτικά βιβλία του Λυκείου. 8

9 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 9 της Γ. Λυκείου για να βγάλουµε στοιχειώδη συµπεράσµατα για δείγµατα που ακολουθούν την κανονική κατανοµή. Όµως, στο πλαίσιο της αναλογικής σκέψης παρουσιάζουµε την πιθανότητα σε ένα διάστηµα ως το ποσοστό των παρατηρήσεων που ανήκουν στο διάστηµα αυτό. Αυτή η αναλογικότητα προέρχεται από το ιστόγραµµα στο οποίο συσχετίσαµε τη συχνότητα µε το εµβαδόν. Είναι γνωστό ότι ένα τυχαίο δείγµα x1, x, x3,..., x ν, από µία τυχαία µεταβλητή Χ, µπορούµε να το παραστήσουµε γεωµετρικά ως ένα σύνολο σηµείων στο άξονα χ χ. Στο ιστόγραµµα όταν το δείγµα είναι µεγάλο και προέρχεται από συνεχή κατανοµή, δεν παίρνουµε τις τιµές του δείγµατος (παρατηρήσεις) αλλά τον συνολικό αριθµό των τιµών που πέφτουν σε κάθε διάστηµα (κλάση). Κάθε κλάση είναι η βάση ενός ν i ορθογωνίου µε ύψος, όπου h είναι το µήκος της κλάσης, που συνήθως το ν h θεωρούµε ως µονάδα, και ν i η συχνότητα της i κλάσης i =1,,3, κ. Το εµβαδόν του ν i ορθογωνίου σε κάθε κλάση είναι ίσο µε τη σχετική συχνότητα της κλάσης ν, η οποία µπορεί να εκφραστεί και µε όρους ποσοστών. Όταν το ν είναι αρκετά µεγάλο η σχετική συχνότητα προσεγγίζει ένα αριθµό. Το όριο αυτό, είναι η πιθανότητα της τιµής µίας παρατήρησης που ανήκει στο συγκεκριµένο διάστηµα της κλάσης. Συνεπώς, µπορούµε κατ αναλογία να βγάλουµε συµπεράσµατα για ένα τυχαίο δείγµα στηριζόµενοι στην κανονική κατανοµή µε όρους ποσοστών. Παράδειγµα από τους µιγαδικούς αριθµούς Μία άλλη δύσκολη έννοια που διδάσκουµε στη Γ. Λυκείου, χωρίς να την αναφέρουµε, είναι οι απεικονίσεις και κυρίως οι σύµµορφες απεικονίσεις. Για παράδειγµα, στη Γ. Λυκείου δίνουµε ως ασκήσεις τις παρακάτω µορφές απεικονίσεων, την παράλληλη µετατόπιση w= z+ b, b C, τη µεγέθυνση w= kz αν k > 1 ( σµίκρυνση αν k< 1) η οποία αυξάνει ή µειώνει την απόσταση δύο 1 σηµείων, την αντιστροφή w=, z 0 το γραµµικό µετασχηµατισµό w= az+ b, z µε a C και b C, που είναι στροφή, µεγέθυνση και µετατόπιση και τον az+ b διγραµµικό µετασχηµατισµό ή Mobius w= cz +, µε ad bc 0 που περιλαµβάνει d µεταφορά, στροφή, µεγέθυνση και αντιστροφή. Απλοποιώντας τη θεωρία και τις συνθήκες, τους µετασχηµατισµούς τους διδάσκουµε κατ αναλογία ως γεωµετρικούς τόπους στο µιγαδικό επίπεδο. Χωρίς να αναφέρουµε τις λέξεις συνάρτηση, απεικόνιση και µετασχηµατισµός. Θεωρούµε τη λύση ως µία διαδικασία απαλοιφής των παραµέτρων. Θα δούµε στην παρακάτω άσκηση πως ένας γνωστός τόπος των εικόνων ενός µιγαδικού z, απεικονίζεται µε τον µετασχηµατισµό w σε ένα σύνολο σηµείων. Η άσκηση αφορά τον περίφηµο µετασχηµατισµό του Nikolai Joukowsky ( ) που εφαρµόζεται στην αεροναυπηγική και την υδροδυναµική Μία µορφή του είναι και η άσκηση 9 της σελίδας 10 του βιβλίου κατεύθυνσης της Γ. Λυκείου. 9

10 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 10 Άσκηση. ίνεται ότι για τον µιγαδικό z= x+ yi ισχύει η σχέση z =. Να βρείτε τη γραµµή z 1 που βρίσκονται οι εικόνες Μ των µιγαδικών w= +. z Λύση Γράφουµε τη σχέση που µας δώσανε σε µία ανεπτυγµένη µορφή. z = ή x+ yi = ή x + y = 4. Είναι κύκλος κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας R = και είναι η γραµµή που βρίσκονται η εικόνες των µιγαδικών z. 1 1 Αντικαθιστούµε το z= x+ yi στον τύπο του w. Έχουµε w= ( x+ yi) +. ( x+ yi) Φέρουµε τον w στην αλγεβρική µορφή w= ( + ) x+ ( ) yi Θέτουµε τον w= α+ βi δηλαδή, a+ βi= x+ yi. 8 8 a β Κάνοντας απαλοιφή των x, y βρίσκουµε + = 1, που παριστάνει έλλειψη 5 3 ( ) ( ) 4 4 στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών w. Για να γίνει κατανοητή στους µαθητές η άσκηση και η λύση της µπορούµε να κάνουµε επί πλέον ερωτήσεις, όπως οι παρακάτω. Πάντα προσεκτικά και σύµφωνα µε το διδακτικό συµβόλαιο του βιβλίου. α) Τι ονοµάζουµε γεωµετρικό τόπο στο επίπεδο β) Τι ονοµάζουµε παράµετρο και τι απαλοιφή; γ) Αναφέρετε µία άλλη περίπτωση απαλοιφή παραµέτρων. (π.χ. στη βελτιστοποίηση, στο ρυθµό µεταβολής κ.λ.π.) Συνεπώς, στο Λύκειο και ιδιαίτερα στη Γ. Λυκείου διδάσκουµε κατ αναλογία δύσκολες «σοφιστικές» έννοιες χωρίς να τις αναφέρουµε ονοµαστικά. Στη περίπτωση αυτή τα αναλογικά µοντέλα αποτελούν νέους τρόπους µαθηµατικής έκφρασης. Αυτή η αναλογική σκέψη, που µπορούµε να τη χαρακτηρίσουµε ως ένα είδος εννοιακής µεταφοράς, εξαρτάται από αντίληψη υψηλού επιπέδου. Όταν οι µαθητές εργάζονται σε τέτοια θέµατα δεν γνωρίζουν την υποκείµενη έννοια. ηλαδή, την ύπαρξη µιγαδικών συναρτήσεων. Εργάζονται στο αλγοριθµικό επίπεδο. Στην παραπάνω άσκηση περιορίζονται σε µία τεχνική απαλοιφής των χ και ψ. Η περαιτέρω εµβάθυνση προϋποθέτει νέες γνώσεις και διαδικασίες που ξεφεύγουν από τα πλαίσια του Αναλυτικού Προγράµµατος. Σε κάθε περίπτωση τα αναλογικά µοντέλα απαιτούν από τους µαθητές να σκέπτονται. 7. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΩΣ ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ Η µοντελοποίηση είναι µία διαδικασία µε την οποία εκφράζουµε µία κατάσταση ή ένα φαινόµενο του πραγµατικού κόσµου µε µαθηµατικούς όρους. Ένα µαθηµατικό µοντέλο, είναι η αντιπροσώπευση του φαινοµένου µε µαθηµατικές δοµές συνήθως, µε µία συνάρτηση ή ένα σύνολο συναρτήσεων. Συνεπώς, τα µοντέλα είναι 10

11 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 11 µαθηµατικές συνθέσεις δηλαδή, ένα είδος µεταφοράς και η µοντελοποίηση είναι µία διαδικασία µε την οποία παράγουµε µεταφορές. Εδώ, µε τον όρο «µεταφορά» εννοούµε µία αντιστοιχία µεταξύ δύο εννοιολογικών πεδίων, του φυσικού κόσµου και των µαθηµατικών δοµών. Η µαθηµατική µοντελοποίηση απαιτεί ένα ιδιαίτερο τρόπο προσέγγισης της πραγµατικότητας. Απαιτεί να έχουµε µία άποψη για το φαινόµενο. Για να απεικονίσουµε αυτή την άποψη πρέπει να κάνουµε χρήση της µεταφοράς. ηλαδή, της γνωστικής συνάρτησης που µας δίνει τον µηχανισµό για να κατανοήσουµε το ένα πεδίο µε όρους του άλλου. Παραδείγµατα µοντελοποίησης βρίσκουµε σε πολλές ενότητες των Μαθηµατικών του Λυκείου. Ας δούµε µία απλή περίπτωση µοντελοποίησης στην οποία το φυσικό φαινόµενο έχει απλοποιηθεί και έχει διατυπωθεί ως πραγµατικό πρόβληµα. Μία σφαιρική ποσότητα µεταλλεύµατος σιδήρου τήκεται σε µία υψικάµινο και η επιφάνεια του µειώνεται µε ρυθµό 8π m / hour. Να βρείτε τον ρυθµό µείωσης του όγκου του µεταλλεύµατος τη χρονική στιγµή κατά την οποία η ακτίνα είναι 4 m. Θα µεταφράσουµε το πρόβληµα σε µαθηµατικούς όρους. Η γνωστική «συνάρτηση της µεταφοράς» µας επιτρέπει να διανοηθούµε ορισµένες φυσικές καταστάσεις ως µαθηµατικούς τύπους. Όπως, τη σφαιρική ποσότητα του 4 3 µεταλλεύµατος ως V ( t) = π R ( t) και την επιφάνεια του µεταλλεύµατος ως 3 E( t) = 4 π R ( t). Το φυσικό φαινόµενο της τήξης ως µεταβολή που εκφράζεται µε την παράγωγο V ( t ). Με παραγώγιση και εργαζόµενοι µέσα στα Μαθηµατικά (όχι στην υψικάµινο) E ( t) R( t) προκύπτει το µοντέλο V ( t ) =, το οποίο µας επιτρέπει να κατανοήσουµε ορισµένες πτυχές της τήξης του µεταλλεύµατος. Η µεταφορά της πρακτικής κατάστασης στο µαθηµατικό συµβολισµό αποτελεί µία µεγάλη δυσκολία για τους µαθητές. εν υπάρχει εύκολος τρόπος να εξηγήσουµε τέτοιες «µεταφραστικές διαδικασίες». Μόνο µε την εξάσκηση οι µαθητές θα αποκτήσουν µία οριακή γνώση. Εκτός από τις εννοιακές δυσκολίες υπάρχουν και µαθηµατικές. Στις ασκήσεις αυτές δεν υπάρχει η αίσθηση του µεγέθους του χρόνου t και δεν γίνεται εύκολα αντιληπτή η ύπαρξη της συνθέτης συνάρτησης. Η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι ο όγκος της σφαίρας και είναι συνάρτηση της ακτίνας R και του χρόνου t. Αλλά ο χρόνος t δεν είναι φυσικό µέγεθος κινούµενου αντικείµενου όπως συµβαίνει στις ασκήσεις της Φυσική. Εδώ ο χρόνος «ρέει» όπως το µετάλλευµα και ανιχνεύεται µόνο στις µονάδες του ρυθµού µεταβολής της επιφάνειας. Για τον λόγο αυτό στη µοντελοποίηση πρέπει να έχουµε «άποψη» για το φαινόµενο, ακόµη και όταν το πρόβληµα είναι για διδακτικούς σκοπούς όπως το παραπάνω. Τέλος, η χρησιµότητα των µαθηµατικών µοντέλων στα φυσικά φαινόµενα είναι κάτι στα όρια του µυστηρίου. εν µπορούµε λογικά να εξηγήσουµε γιατί είναι δυνατόν να παρακολουθήσουµε την πορεία ενός φυσικού φαινοµένου µέσα από ένα τύπο. Η σχέση των Μαθηµατικών και της Φύσης είναι µυστηριώδης. 11

12 Ι. Καλογεράκης: ιδασκαλία κατ αναλογία 1 Σε κάθε περίπτωση οι µεταφορές µπορούν να παίξουν ένα ενδιαφέροντα ρόλο στη βοήθεια των µαθητών για να οικοδοµήσουν τη γνώση τους. Είναι µία διαδικασία µεθόδου µάθησης που ανάγεται στον κονστρουκτιβισµό. Ακόµη, τα µοντέλα είναι αποτελεσµατικά στη διδασκαλία όταν χρησιµοποιούνται προσεκτικά µε οικονοµικό, έγκυρο και αξιόπιστο τρόπο. 8. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο λογισµός µε αναλογίες είναι ένα θεµελιώδες χαρακτηριστικό του ανθρώπου. Είναι ένας µηχανισµός της ανθρώπινης σκέψης να προσαρµόζει τις νέες έννοιες. Τα αναλογικά µοντέλα έχουν πολλές µορφές, µπορεί να είναι οµοιότητα δοµών, διαδικασία ευρετικής, φραστικές µεταφορές που ερµηνεύουν και εµπλουτίζουν τη διδασκαλία, νέοι τρόποι µαθηµατικής έκφρασης ή µεταφορές για τη δηµιουργία µαθηµατικών µοντέλων. Όλες αυτές οι µορφές έχουν ως προϋπόθεση την αναλογική σκέψη. Η εισαγωγή τους στην παιδαγωγική µας στρατηγική δεν έχει στόχο να αντικαταστήσει τον µαθηµατικό φορµαλισµό, αλλά να κάνει τη διδασκαλία περισσότερο πλούσια, ελκυστική και κατανοητή. Βιβλιογραφία. 1. Ανδρεαδάκης Στυλιανός κ.α Μαθηµατικά Γ. Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση, Αθήνα ρόσος,κ & Πατρώνης, Τ. 1999, Σηµειώσεις πάνω στη µεθοδολογία Επίλυσης Προβληµάτων. Πάτρα. Πανεπιστήµιο Πατρών. 3. Γαβαλάς. & Γυφτογιάννη Μ Αναλογική σκέψη και Μαθηµατικά.!8 Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηµατικής Παιδείας. Ε. Μ.Ε. 4. Hawkes Terence, Μεταφορά : Η Γλώσσα της Κριτικής. Μετάφραση Γαβριήλ - Νίκος Πεντζίκης Εκδόσεις Ερµής, Αθήνα Polya G. 1944, Πώς να το λύσω, Μετάφραση Λάµπης Σιαδήµας, Εκδόσεις Σπηλιώτη, Αθήνα. 6. Benson Steve, 007, Problem Solving by Analogy, The Mathematical Educator, Vol. No., Silver, E Foundations of Cognitive Theory and Research for Mathematics problem solving. In A. Schoenfeld (ed.) Cognitive Science and Mathematics Education (p ). Lawrence Erlbaum & Associates. 8. Lyn D. English 004. Mathematical and Analogical Reasoning of Young Learners. New Jersey: Lawrence Erlbaum & Associates, Pimm, David Speaking Mathematicaly, Communication in Mathematics Classrooms, Routledge, London, Sternberg R. Ben-Zeev T. (1996). The Nature of Mathematical Thinking, Lawrence Erlbaum Associates, Publishers, Mahwah,NJ,1996. Καλή και δηµιουργική χρονιά σε όλους Γιάννης Γ. Καλογεράκης 1

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

210-344 3306 E-mail: t09tee07@minedu.gov.gr

210-344 3306 E-mail: t09tee07@minedu.gov.gr ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β' Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.-Πόλη: 15180 Μαρούσι ΠΡΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις στα Μαθηµατικά Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος, ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Για τον υπολογισµό του βαθµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα