ΤΙΤΛΟΣ: Οι Γεωµετρικές Αναλογίες στον Αρχιτεκτονικό Σχεδιασµό. Το MODULOR, µια κριτική-αιρετική προσέγγιση.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΙΤΛΟΣ: Οι Γεωµετρικές Αναλογίες στον Αρχιτεκτονικό Σχεδιασµό. Το MODULOR, µια κριτική-αιρετική προσέγγιση."

Transcript

1 ΤΙΤΛΟΣ: Οι Γεωµετρικές Αναλογίες στον Αρχιτεκτονικό Σχεδιασµό. Το MODULOR, µια κριτική-αιρετική προσέγγιση. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Γεωµετρία, Μορφή, Χώρος ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Παναγιώτης Βασιλάτος, Αρχιτέκτων, Λέκτορας Ε.Μ.Π. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η γεωµετρικοποίηση του χώρου αποτελεί, πιθανόν µια βαθύτερη ανάγκη του ανθρώπου στην προσπάθεια του να οικοδοµήσει «τάξη» και να οικειοποιηθεί την χαοτική φύση. Αντιληπτικά ένα περιβάλλον είναι αναγνωρίσιµο και αποδοτικότερο όταν έχει σχέσεις κανονικότητας, Ο άνθρωπος νοηµατοδοτεί και, κατ επέκταση, αποδίδει σηµασίες στην τυχαιότητα της φύσης µε επιδιωκόµενο σκοπό την υπέρβαση του φόβου του, προσδίδοντας τάξη στο χάος που τον περιβάλλει. Η ανάγκη αυτή βρίσκει πρόσφορο έδαφος και γονιµοποιεί τα έργα του, ειδικότερα αυτά της τέχνης και οπωσδήποτε την ίδια την αρχιτεκτονική, που συνειδητά αποτελεί το διαρκέστερο δηµιούργηµα του µέσα στον χρόνο. Η διαδικασία του «οικοδοµείν» έχει ως προϋπόθεση την ανάλυση και τον σχεδιασµό, και πραγµατώνονται µέσω του Ευκλείδειου αιτήµατος µε τη χρήση «κανόνα και διαβήτη» (εικόνα1) προσοµοιώνοντας την οικοδοµική πράξη και απαιτώντας καρτεσιανές αναφορές για τις χαράξεις, τη λάξευση ή το κτίσιµο, ενώ παράλληλα αντανακλά µια διττή πρακτική, τη νοητική σύλληψη και την απόδοση της µε γεωµετρικά όργανα σε σχέδιο, ως προϋπόθεση της υλοποίησης του αρχιτεκτονικού έργου. ηµιουργούνται έτσι οι προϋποθέσεις για τη µαθηµατική διερεύνηση και την θεωρητικοποίηση των σχέσεων, των σχηµάτων και των µεγεθών, καθώς και της εσωτερικής µεταξύ τους τάξης, θέτοντας κανόνες που ακυρώνουν την τυχαιότητα και αντανακλούν την ανάγκη ύπαρξης αντικειµενικού υπόβαθρου που τεκµηριώνει τις επιλογές του αρχιτέκτονα. Ο προβληµατισµός για µια αισθητική θεώρηση της γεωµετρίας οδήγησε στην σηµαντικότερη και γοητευτικότερη απάντηση, τη «Χρυσή Τοµή», όπου ήδη από την αρχαιότητα έχει διερευνηθεί µε πληρότητα.

2 Κατά την Αναγέννηση το ζήτηµα βρέθηκε στο επίκεντρο θεωρητικού έργου, τόσο των αρχιτεκτόνων αλλά και του συνόλου των καλλιτεχνών, ενώ στην σύγχρονη περίοδο οι απαιτήσεις του βιοµηχανικού σχεδιασµού και της παραγωγής έθεσαν τις νέες προοπτικές µε την ανάγκη τυποποίησης των προϊόντων της. Στον αιώνα µας σηµαντικά κινήµατα και προσωπικότητες της αρχιτεκτονικής ασχολήθηκαν µε τις γεωµετρικές αναλογίες, ανάµεσα στις οποίες κυρίαρχη θέση καταλαµβάνει η εµβληµατική µορφή του Le Corbusier, µε το θεωρητικό του έργο «Le Modulor», που πραγµατεύεται αυτό ακριβώς το θέµα. Με αφετηρία το Modulor αναπτύσσεται ένας κριτικός προβληµατισµός για την φύση και τα όρια της πρότασης του αρχιτέκτονα και επιχειρείται να προταθεί ένα νέο σύστηµα αναλογιών, το οποίο παράλληλα µε τα αισθητικά θέµατα, να απαντά πληρέστερα στα όρια δυνατότητας χρήσης του στη σύγχρονη δοµική τυποποίηση. ΟΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ. Από τα πρώιµα θεωρητικά κείµενα της αναγέννησης (Palladio, Alberti, Serlio κλπ) (εικόνα 2) µας έχουν παραδοθεί γραπτά τεκµήρια για τη διερεύνηση των αναλογιών στην αρχιτεκτονική και τις σχέσεις όχι µόνο των ρυθµολογικών στοιχείων, αλλά εξετάζουν σε βάθος τις σχέσεις των αρχιτεκτονικών µερών του κτιρίου ως ολότητα. Τούτο το φαινόµενο ανάγεται στην αρχαιότητα µέσω του µοναδικού σωζόµενου εγχειριδίου αρχιτεκτονικής που έφτασε ως τις ηµέρες µας και είναι το έργο του Βιτρούβιου1 «έκα βιβλία περί Αρχιτεκτονικής». Από αυτό το σηµαντικό έργο καλύτερα αποτυπωµένο στη συλλογική συνείδηση είναι το σχέδιο του Leonardo Da Vinci όπου απεικονίζεται, κατά ιδανικό τρόπο το ανθρώπινο σώµα εγγεγραµµένο ταυτόχρονα σε ένα τετράγωνο και έναν κύκλο, ενώ τα επιµέρους συστατικά στοιχεία του σώµατος του υπακούουν κατά τις επιταγές του Βιτρούβιου σε ένα αυστηρό σύστηµα αναλογιών (εικόνα3). Αυτό ακριβώς είναι το σηµείο κλειδί που λειτουργεί ως συνδετικό στοιχείο ανάµεσα στο αρχιτεκτονικό έργο και το ανθρώπινο σώµα, και µάλιστα µέσω της µαθηµατικής διαδικασίας των αναλογιών που οδήγησε στην ανάπτυξη της επιστήµης της ανθρωποµετρίας.

3 Η ένταξη του ανθρώπινου σώµατος στη λογική του σχεδιασµού (εικόνα 4) ενισχύθηκε αργότερα µε την αυγή της βιοµηχανικής επανάστασης και άρχισε να ενσωµατώνεται στα προϊόντα µαζικής παραγωγής που εξυπηρετούν και στις µηχανές που καλείται να λειτουργήσει ο άνθρωπος. Η ανθρωποµετρία ορίζεται ως η µέτρηση του ανθρωπίνου σώµατος και τα βιο-µηχανικά χαρακτηριστικά του (Adams, 1989), όπου ο όρος «βιο-µηχανικός» αναφέρεται στις µηχανικές ικανότητες του ανθρώπινου µυοσκελετικού συστήµατος. Ιδιαίτερη ανάπτυξη γνώρισε ο επιστηµονικός κλάδος της ανθρωποµετρίας ύστερα από το µέσον του εικοστού αιώνα, κυρίως µετά τους παγκοσµίους πολέµους και στη διάδοση της συνέβαλε βεβαίως η ανάπτυξη του µαθηµατικών κλάδων της στατιστικής και των πιθανοτήτων.

4 Στον χώρο της τέχνης του εικοστού αιώνα αποτελεί σταθµό το έργο των «πουριστών» 2, όπου ο Οζανφάν και ο Le Corbusier έκαναν ένα κάλεσµα για µια τέχνη καθαρή και άτεγκτη, για µια επιστροφή σε βασικές φόρµες εµπνεόµενες από τις σύγχρονες µηχανές 3 (εικόνα 5). Το αισθητικό πρόβληµα σχεδόν αυτόµατα µετασχηµατίζεται σε γεωµετρικό, όπου το αίτηµα πια στην αρχιτεκτονική και τον σχεδιασµό ανάγεται στις καθορισµένες σχέσεις των επιµέρους στοιχείων µεταξύ τους και τη σχέση που έχουν αυτά µε το όλον. Το µόνο που µένει είναι να προσδιοριστεί το εργαλείο που να ανταποκρίνεται σε αυτό το θεµελιώδες αίτηµα. Γι αυτούς η χρυσή τοµή ήταν το ιδεώδες σχήµα και αυτό αντανακλούνταν στη δουλειά τους. Με αυτό τον τρόπο ο αρµονικός λόγος 4 καθιερώνει ένα συνεπές σύστηµα οπτικών σχέσεων µεταξύ των µερών ενός κτιρίου, καθώς επίσης και µεταξύ των µερών και του όλου 5. Η σχέση αυτή δεν είναι πάντα εµφανώς ορατή, υπάρχει όµως και δίνει το παρόν µέσα από τις αισθήσεις. Η χρυσή τοµή όπως αποκαλείται και συµβολίζεται µε το Ελληνικό γράµµα «φ» µπορεί να προσδιοριστεί υπολογιστικά, όπου αν πάρουµε ένα µοναδιαίο ευθύγραµµο τµήµα, τότε το ιδανικό σηµείο που το χωρίζει σε µέσους και άκρους λόγους είναι ίσο µε 0,618 και που επίσης παρατηρούµε πως είναι ένας άρρητος αριθµός 6. Εκτός όµως από την αριθµητική λύση του προβλήµατος και επειδή στον σχεδιασµό είναι προσφορότερη η γεωµετρική προσέγγιση ιστορικά έχουν προταθεί αρκετές µέθοδοι για την εύρεση της χρυσής τοµής, δύο από τις οποίες εικονίζονται στην εικόνα που ακολουθεί (εικόνα 6).

5 ΓΙΑ ΤΟ MODULOR Στον χώρο της αρχιτεκτονικής και των εφαρµοσµένων τεχνών το σηµαντικότερο και ευρύτερα διαδεδοµένο έργο στο θέµα της αρµονικής κλίµακας παρατίθεται στο θεωρητικό σύγγραµµα του Le Corbusier για το Modulor7 δηµοσιευµένο το 1948 ή όπως αναγράφεται στην εισαγωγή του βιβλίου ως «δοκίµιο για ένα αρµονικό µέτρο σε ανθρώπινη κλίµακα µε παγκόσµια εφαρµογή στην αρχιτεκτονική και στην µηχανική». Σε αυτό το έργο συνοψίζεται µε ακρίβεια η θεωρητική προσέγγιση για ένα ολοκληρωµένο σύστηµα αναφοράς στην αρχιτεκτονική αλλά και στον βιοµηχανικό σχεδιασµό γενικότερα, όπου τεκµηριωµένα µπορεί να δώσει ικανοποιητικό αισθητικό αποτέλεσµα όπως αυτό αποδεικνύεται στο υλοποιηµένο έργο του αρχιτέκτονα. Στο βιβλίο αναλύεται, κατ αρχάς, το ιστορικό της προσέγγισης και της επιλογής του µέτρου αναφοράς, ενώ αµέσως µετά παραθέτει το γεωµετρικό µοντέλο του προτεινόµενου συστήµατος αναλογιών µαζί µε σκέψεις σε αισθητικές αναζητήσεις. Στο δεύτερο µέρος αναφέρεται σε πρακτικές εφαρµογές του Modulor κυρίως µέσα από το υλοποιηµένο έργο του ιδίου του αρχιτέκτονα. Τέλος, διερευνά ιστορικά παραδείγµατα και την πιθανή αναγωγή του συστήµατος σε αυτά τα κτίρια. Ο ίδιος προτείνει µια γεωµετρική κατασκευή που βασίζεται σε δύο τετράγωνα στα οποία µε γεωµετρική µέθοδο προκύπτει ένα σηµείο που αντιστοιχεί στη χρυσή τοµή (εικόνα7). Η έρευνα για την αναζήτηση του µέτρου ξεκινά το 1945 και επιλέγει ως ύψος του µέσου ανθρώπου και βασικό µέγεθος αναφοράς τα 175 εκατοστά8, ενώ στη συνέχεια και στην προσπάθεια να προσδώσει παγκοσµιότητα στην κλίµακα, συνδέει το µετρικό και το αγγλοσαξονικό σύστηµα µονάδων, ανασκευάζοντας την αρχική εκλογή του βασικού ύψους και την αντικαθιστά µε το µέγεθος των 6 ποδιών. Αυτή την πράξη επιχειρεί να την τεκµηριώσει εκκινώντας από µία υπόθεση εργασίας, για την οποία ο ίδιος γράφει, πως αντί της επιλογής των 175εκ όπου «είναι µάλλον το ύψος ενός Γάλλου, στα Αγγλικά µυθιστορήµατα, οι καθώς πρέπει άνδρες οι αστυνοµικοί για παράδειγµα- έχουν πάντα έξι πόδια ύψος». Έτσι επιλέγει τελικά να εφαρµόσει το πρότυπο των έξι ποδιών όπου στο µετρικό σύστηµα αντιστοιχεί σε 182,88εκ. και για χρηστικούς λόγους το στρογγυλοποιεί στο 1,829µ. Με αυτό το µέγεθος ως σηµείο αναφοράς εκκινεί για να διερευνήσει τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώµατος και οι οποίες φιλοδοξεί να έχουν χρηστική αξία τόσο στις τέχνες και την αρχιτεκτονική, όσο και στη βιοµηχανική τυποποίηση. H βασική επιλογή του µεγέθους των 182,88εκ είναι προφανές ότι δεν ταυτίζεται µε τα δεδοµένα της ανθρωποµετρίας, επιστήµης που γνώρισε αλµατώδη πρόοδο τις µεταπολεµικές δεκαετίες, δηλαδή µετά τη συγγραφή του Modulor. Ενδεικτικά

6 αναφέρονται οι βασικές διαφορές από τα µέσα ύψη του ανθρώπου9, όπου για τον άνδρα είναι 1.905, και χιλιοστά, ενώ για τη γυναίκα είναι 1.790, και χιλιοστά και που αντιστοιχούν στο 97,5%, 50,0% και 2,5% στην καµπύλη κατανοµής ύψους του ενήλικα πληθυσµού (εικόνα 8). Βλέπουµε δηλαδή ότι η απόκλιση από το ύψος του µέσου άνδρα δεν είναι καθόλου αµελητέα και είναι 59 χιλιοστά (ή -2,95%), ενώ η απόκλιση από το µέσο ύψος της γυναίκας είναι 164 χιλιοστά (ή -8,96%). Οι διαφορές αυτές είναι σηµαντικές για να δεχτούµε τον ισχυρισµό ότι το σύστηµα του περιγράφει τον µέσο άνθρωπο. Στη συνέχεια προτείνεται από τον ίδιο και την οµάδα του, µια γεωµετρική κατασκευή που για τον προσδιορισµό της χρυσής τοµής που αποτελεί τον πυρήνα του µοντέλου του και η οποία είναι βασισµένη στη σύνθεση δύο τετραγώνων που παράγονται µε γεωµετρική κατασκευή από ένα πρωτογενές τετράγωνο10. Περαιτέρω διερεύνηση και αριθµητικός υπολογισµός της προτεινόµενης κατασκευής αποδεικνύει πως περιέχει ένα αριθµητικό σφάλµα, 11 και η διαφορά που επισηµάνθηκε είναι 6,2 χιλιοστά στο ένα µέτρο µήκους ή 0,6% ως ποσοστό (εικόνα 9). Αυτή η απόκλιση δεν πέρασε απαρατήρητη από τον ίδιο αλλά και από το κοινό κατά το διάστηµα που ακολούθησε της παρουσίασης του βιβλίου. Στο Modulor-2 που αποτελεί τη συνέχεια της αρχικής έκδοσης και συµπληρώνει το έργο του, ανοίγει ένα διάλογο µε το κοινό, όπου εκεί καταγράφεται αυτή η παρατήρηση,

7 αλλά και πάλι όµως αντιπαρέρχεται ισχυριζόµενος πως «ευτυχώς αυτό το λάθος είναι µόνο σε θεωρητικό επίπεδο και σε τίποτε δεν θα µπορούσε να δηµιουργήσει προβλήµατα στην πρακτική εφαρµογή του» 12. Ο ίδιος έχει παγιδευτεί ήδη από την φόρµα και αντιστέκεται στην κριτική για εναλλακτικές προσεγγίσεις µε τον απλουστευτικό αφορισµό πως, αντιπροτεινόµενη αυστηρή γεωµετρική εφαρµογή «είναι σωστή, αλλά δεν είναι όµορφη» 13. Όπως αναφέρθηκε η κλίµακα των αριθµών που προτείνεται παραµένει δύσχρηστη εξαιτίας της απεριοδικότητας των αριθµών και όπως είναι φυσικό για πρακτικούς λόγους το επόµενο βήµα είναι να «στρογγυλοποιηθούν» οι όροι της ακολουθίας τουλάχιστον σε δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, ώστε να καταστούν χρηστικοί. Έτσι το µέγεθος των 1,8288µ στρογγυλοποιείται σε 1,83µ, το 1,1302µ σε 1,13µ το 0,6985µ σε 0,70µ. Αυτό όµως δεν είναι τόσο απλό, γιατί θα πρέπει παράλληλα να διατηρήσουν και τη βασική τους ιδιότητα ώστε να ανταποκρίνονται σε σειρές Fibonacci, όπου κάθε τρίτος όρος της ακολουθίας να προκύπτει από το άθροισµα των δύο προηγούµενων όρων. Οι σειρές αριθµών που προκύπτουν στην κλίµακα του Modulor έχουν πλέον δεκαδικό µέρος που παρ όλη την απλούστευση, δύσκολα µπορεί να χαρακτηριστεί εύχρηστο ειδικά στην κατασκευή και αυτό όπως είναι φυσικό γίνεται επίσης αντιληπτό και αντικείµενο κριτικής, αλλά και πάλι αντιµετωπίζεται από τον ίδιο τον αρχιτέκτονα µε το υποθετικό αξίωµα πως το «To Modulor, είναι ένα εργαλείο για εκείνους που δηµιουργούν (εκείνους που συνθέτουν προγραµµατιστές ή σχεδιαστές) και όχι για εκείνους που εκτελούν (οικοδόµοι, µαραγκοί, τεχνίτες, κλπ )» 14. Μια τελική παρατήρηση είναι πως η κλίµακα των αρµονικών αναλογιών είναι από µόνη της ανεπαρκής για να περιλάβει το πλήθος των σχέσεων πέρα από τις αρµονικές αναλογίες. Απουσιάζει η προφανέστερη σχέση, αυτή των γεωµετρικών αναλογιών όπου µπορεί να µας δώσει πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια ενός δεδοµένου µεγέθους, πράγµα που στην αρχιτεκτονική και στις οπτικές τέχνες αλλά και στον βιοµηχανικό σχεδιασµό είναι ευρύτατα διαδεδοµένη και που παράγει επίσης ενδιαφέροντα αισθητικά αποτελέσµατα. ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΕΝΑ ΕΥΡΥΤΕΡΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΣΤΟΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ. Στην παρούσα έρευνα επιχειρείται να προσδιοριστεί ένα διαφορετικό µέγεθος αναφοράς το οποίο να ανταποκρίνεται σε ένα σύστηµα αναλογιών απαλλαγµένο από τα προβλήµατα που αναλύθηκαν και παράλληλα να είναι περισσότερο ευέλικτο στην χρήση του. Ακολούθησαν δοκιµές και πειραµατισµοί σε ένα ευρύ φάσµα αριθµών που θα µπορούσαν να χρησιµεύσουν ως τέτοιο µέτρο. Ανάµεσα σε αρκετούς αριθµούς, καταλληλότερο ως βασικό µέγεθος αποδείχθηκε ότι είναι τα 180 εκατοστά. Στην επιλογή του λαµβάνουµε επίσης υπ όψιν την καθιερωµένη ευρεία χρήση του, τόσο στον βιοµηχανικό τοµέα, όσο και στην αρχιτεκτονική, όπου το µέγεθος των 30 εκατοστών, καθώς επίσης και αυτά των 60 και 120 εκατοστών έχουν ήδη κωδικοποιηθεί στο πεδίο του σχεδιασµού. Πρέπει να σηµειωθεί ότι το µέγεθος αυτό δεν αντιστοιχεί στο ύψος του µέσου ανθρώπου, όπως άλλωστε δεν συνέβαινε και στο Modulor. Αποδεσµεύεται, δηλαδή, το σύστηµα αναφοράς από το ανθρώπινο ύψος και αυτή η απόφαση κρίθηκε απαραίτητη, ακριβώς γιατί δεν πιστεύουµε ότι είναι δυνατόν να απαντηθεί πειστικά το ερωτηµατικό κατά πόσον η γεωµετρία του ανθρώπινου µυοσκελετικού συστήµατος περιγράφεται από µαθηµατικούς τύπους και επίσης λαµβάνοντας επίσης υπόψη ότι οι φυσικές διαστάσεις του ανθρωπίνου σώµατος διαφέρουν µεταξύ των φύλων και µεταβάλλονται τόσο στον γεωγραφικό χώρο, όσο και στο χρόνο. Ο αριθµός που επιλέξαµε (τα 180 εκ.), όπως θα προσπαθήσουµε να δείξουµε στην συνέχεια, έχει µία γοητευτική εσωτερική ισορροπία και βέβαια όχι τυχαία έχει γνωρίσει ευρύτατη χρήση στον σχεδιασµό και την κατασκευή.

8 Εκκινώντας µε βασικό µέγεθος τα 180 εκατοστά (εικόνα 10), ένα κατά προτίµηση ακέραιο µέγεθος, δηµιουργούµε µια ακολουθία από σειρές αριθµών που προκύπτουν διαδοχικά πολλαπλασιασµένους µε τον αριθµό Φ=0,618 Φτιάχνουµε έτσι στον ακόλουθο πίνακα τιµών τη Σειρά (1). Στη συνέχεια, εκκινώντας από την πρώτη

9 υποδιαίρεση του και µε τον διπλασιασµό της ( 111,246 x 2 = 222,492 ) προσδιορίζουµε το βασικό µέγεθος της δεύτερης σειράς Σειρά (2) µε βάση την οποία κατασκευάζουµε µια νέα κλίµακα αρµονικών αναλογιών. Το αποτέλεσµα είναι η δηµιουργία δύο ελαττούµενων κλιµάκων άρρητων αριθµών. Στις κλίµακες αυτές οι αριθµοί που προκύπτουν έχουν την βασική ιδιότητα των όρων µιας ακολουθίας Fibonacci όπου, από το άθροισµα δύο διαδοχικών αριθµών προκύπτει ο επόµενος 15 όρος. Είναι προφανές ότι οι άρρητοι αριθµοί εξαιτίας της φύσης τους δεν έχουν την απαιτούµενη χρηστική αξία. Μετά την εκλογή του βασικού µεγέθους των 180εκ επιχειρήθηκε να γίνει η στρογγυλοποίηση του κάθε όρου µε τρόπο τέτοιο ώστε να διατηρηθεί η εσωτερική σχέση των όρων της σειράς και κάθε αριθµός να προκύπτει επίσης από το άθροισµα των δύο προηγούµενων όρων, ώστε να αποτελέσουν και στη συνέχεια µία σειρά Fibonacci. Παράλληλα η επιλογή των µεγεθών έγινε µε τέτοιο τρόπο ώστε να πάρουµε ικανοποιητικές υποδιαιρέσεις ¼, ½, και ¾ του ακέραιου εκατοστού και να είναι εύχρηστοι όχι µόνο στον σχεδιασµό αλλά και στο πεδίο της κατασκευής. Μια ενδιαφέρουσα σύµπτωση επίσης παρατηρείται στο κάτω όριο της των κλιµάκων, όπου ταυτίζεται ο τελευταίος όρος των δύο σειρών και αυτό το µέγεθος είναι 2,5 εκατοστά. Αυτή η ταύτιση των όρων, µας επιτρέπει να µεταβαίνουµε από την Σειρά (1) στην Σειρά (2) µε ευκολία και να κάνουµε ταυτόχρονη χρήση και των δύο κλιµάκων. Επιπλέον το κάτω όριο από καθαρά οικοδοµική άποψη αποτελεί ένα οριακό µέγεθος µε σηµαντική πρακτική κατασκευαστική αξία όπου ουσιαστικά αντιστοιχεί στο ελάχιστο όριο ανάγνωσης διαστάσεων σε σχέδια κλίµακας 1:50. Όµως η αρµονική διαίρεση που περιγράψαµε προηγουµένως, από µόνη της δεν αρκεί να δώσει ένα ικανοποιητικό πλήθος αριθµών για να δικαιολογήσει την δυνατότητα χρήσης της στον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό. Παρατηρούµε πως το µέγεθος των 180εκ δίνει ικανοποιητικές υποδιαιρέσεις µε όλη την κλίµακα ακεραίων αριθµών από το 2 έως το 10 µε εξαίρεση το 7. Εποµένως θεωρούµε ότι έχουµε προσδιορίσει έναν αριθµό-εργαλείο ο οποίος δίνει µία τεράστια ποικιλία, τόσο αρµονικών όσο και γεωµετρικών αναλογιών, ενώ η αποδέσµευση του από το ύψος του ανθρώπου είναι, µάλλον, χωρίς σηµασία αφού όπως δείξαµε η παρουσία του ανθρώπου, µόνο συµβολική µπορεί να θεωρηθεί επειδή ακριβώς δεν είναι δυνατόν να ταυτιστεί µε τα στατιστικά ανθρωποµετρικά µεγέθη. Κατ αντιστοιχία µε το Modulor ο αρχιτέκτονας µπορεί να χρησιµοποιήσει οποιουσδήποτε από τους πιο πάνω αριθµούς µε τη βεβαιότητα ότι αποτελούν µία ενότητα και να τους συνδυάσει µε τους υπόλοιπους σε µία τεράστια ποικιλία σχέσεων και ένα παιγνίδι χωρίς τέλος. Επιπλέον είναι σαφές ότι όλα τα νούµερα που έχουν προκύψει διατηρούν την πρακτική κατασκευαστική τους αξία επειδή χρησιµοποιούνται οι εύχρηστες υποδιαιρέσεις (¼, ½, και ¾ του ακέραιου εκατοστού).

10 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Με την παρούσα εργασία διερευνήθηκαν ζητήµατα των αρµονικών αναλογιών στην τέχνη και την αρχιτεκτονική, ενώ ειδικότερα σταθήκαµε στο θεωρητικό έργο του Le Corbusier για το Modulor όπου αυτό το «εργαλείο» και η εφαρµογή του στο αξεπέραστο έργο του αρχιτέκτονα ασκεί µέχρι σήµερα µια πρόδηλη γοητεία και παρόλο που δεν βρήκε συνεχιστές κατέχει εξέχουσα θέση στην αρχιτεκτονική σκέψη. Αυτή ακριβώς η γοητεία στάθηκε το κίνητρο για την ενασχόληση µε το θέµα και έγινε αντικείµενο ενδελεχούς µελέτης. Στην συνέχεια της εργασίας έγινε προσπάθεια κριτικής αποτίµησης του µοντέλου όπου επισηµάνθηκαν θεωρητικά ζητήµατα της φύσης του. Με βάση την ανάλυση και τις παρατηρήσεις προτάθηκε ένα σύστηµα αναλογιών το οποίο πιστεύουµε απαντά πειστικά στα ζητήµατα που τέθηκαν, ενώ παράλληλα επεκτείνεται πέρα από τις αρµονικές και στις γεωµετρικές αναλογίες ως µία ενότητα που είναι ικανή να ανταποκριθεί τις ανάγκες τυποποίησης τόσο της αρχιτεκτονικής όσο και του βιοµηχανικού σχεδιασµού. Οι προσεκτικά επιλεγµένες σειρές αριθµών πιστεύουµε πως παρέχουν πλήθος σχέσεων µε απόλυτη χρηστική αξία και αυτή η προτεινόµενη κλίµακα, πέρα από την θεωρητική φύση της, µπορεί να αποτελέσει ένα εύχρηστο εργαλείο δουλειάς όχι µόνο στο επίπεδο σχεδιασµού, αλλά και της πρακτικής εφαρµογής. Ολοκληρώνοντας την παρούσα εργασία θα ήθελα να κλείσω κριτικά την αποτίµηση του εγχειρήµατος µε τα ίδια τα λόγια του Le Corbusier πως «Τίποτα δεν υπάρχει εκτός απ αυτό που έχουµε βαθιά µέσα µας, και το «Modulor» µόνο νοικοκυρεύει, τίποτα περισσότερο. Και αυτό είναι ήδη πολύ, άλλωστε!» 16.

11 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Le Corbusier, THE MODULOR, Birkhauser, Basel, Switzerland Le Corbusier, MODULOR 2, Birkhauser, Basel, Switzerland Ramsey Sleeper, The American Institute of Architecture, Architectural graphic standards, J. Wiley, New York Francis D. K. Ching, Architecture, Form, space and order, Willey, NY, 1996 Robert Lawlor, Sacred geometry, London: Thames and Hudson, Χέρµπερτ Ρηντ, Ιστορία της µοντέρνας ζωγραφικής, Υποδοµή, Αθήνα Mario Livio, ο χρυσός λόγος, Αθήνα: Ενάλιος, Verner Hoggartt, Αριθµοί Fibonacci και Lucas, Verner Hoggart, µετάφραση Α. και Γ. Φιλίππου, Αθήνα, Gutenberg, H. E. Huntley, The Divine proportion, a study in mathematical beauty. Dover Publications, N.Y Matila Ghyka, the geometry of Art and life, Dover Publications, N.Y «Λεξικό των µαθηµατικών», µετάφραση Γ. Παντελίδης -. Κραββαρίτης, Πατάκης, Αθήνα ΙΑ ΙΚΤΥΑΚΕΣ ΙΕΥΘΥΝΣΕΙΣ NASA Man System Integration Standards, revision B, July

12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 1 Marcus Vitruvius Pollio, ρωµαίος αρχιτέκτονας και µηχανικός, γεννήθηκε το 80/70 πχ. είναι ο συγγραφέας του De Architectura libri decem αφιερωµένο στον αυτοκράτορα Αύγουστο και που θεωρείται το σηµαντικότερο σωζόµενο βιβλίο για την αρχιτεκτονική από την αρχαιότητα. Άσκησε τεράστια επίδραση στη θεωρητική σκέψη ήδη από την Αναγέννηση. 2 Για τον Πουρισµό και το έργο των Ozenfant και Le Corbusier 3 Χέρµπερτ Ρηντ, Ιστορία της µοντέρνας ζωγραφικής, Υποδοµή, Αθήνα 1977, σ Με τον όρο Λόγο καλούµε το πηλίκο δύο αριθµών, ο λόγος αναφέρεται στην ποσότητα σύγκρισης δύο οµοειδών πραγµάτων ή δύο οµοειδών µεγεθών, ενώ Αναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων. Όταν θέλουµε να χωρίσουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα σε άκρο και µέσο λόγο (αρµονικός λόγος), τότε όλο το ευθύγραµµο τµήµα είναι ανάλογο προς το µεγαλύτερο τµήµα, όσο το µεγαλύτερο τµήµα προς το µικρότερο. Υπάρχουν τρία είδη αναλογιών, η αριθµητική (1,2,3,4,...), η γεωµετρική (1,2,4,8,...) και η αρµονική (2,3,6,18,...). 5 Francis D. K. Ching, Architecture, Form, space and order, Willey, NY, 1996, σ Ο ακριβής αριθµητικός προσδιορισµός περιγράφεται ακολούθως: σε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ η εύρεση της χρυσής τοµής εκφράζεται µε τον προσδιορισµό ενός σηµείου Γ για το οποίο ισχύει η αναλογία ΓΒ/ΑΓ=ΑΓ/ΑΒ. Εφόσον θεωρήσουµε το ΑΒ=γ και τα ΑΓ=α, ΓΒ=β, στην συνέχεια έχουµε β/α=α/γ, αλλά επίσης και α+β=γ. Θεωρώντας το ΑΒ=γ=1 και ΓΒ=β=(1-α) προκύπτει β/α=α και (1-α)/α=α, επιλύοντας οδηγούµαστε στην δευτεροβάθµια εξίσωση α 2 +α-1=0, όπου η θετική ρίζα της δευτεροβάθµιας εξίσωσης είναι ο απεριοδικός αριθµός (-1+SQR(5))/2=0,618 που εκφράζει την «χρυσή τοµή» και έχει καθιερωθεί να συµβολίζεται µε το Ελληνικό γράµµα «φ». 7 Le Corbusier, THE MODULOR, πρώτη έκδοση στα γαλλικά 1949, ακολούθησε το συµπληρωµατικό δοκίµιο MODULOR 2 το 1955 όπου συνοψίζεται ο δηµόσιος διάλογος µε παρατηρήσεις και σχολιασµό στα θέµατα που τέθηκαν ήδη από το πρώτο βιβλίο. 8 Le Corbusier, THE MODULOR, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000, σ. 42 κ.ε. 9 Ramsey Sleeper, The American Institute of Architecture, Architectural graphic standards, J. Wiley, New York σ. 4 κ.ε. 10 Ο.π. σ Ακριβής αριθµητικός υπολογισµός της γεωµετρικής κατασκευής που προτείνει ο αρχιτέκτονας αποδεικνύει ότι υπάρχει απόκλιση µεταξύ του µήκους των δύο βασικών συνεχόµενων τετραγώνων και της λοξής βοηθητικής καθέτου. Το σφάλµα είναι 14 χιλιοστά στα 2,26 µέτρα. Πράγµατι είναι αµελητέο και δικαιολογείται από δύο λόγους. Πρώτος λόγος είναι πως η γεωµετρική κατασκευή έγινε σχεδιαστικά και υπό κλίµακα µε τη χρήση ξύλινων γεωµετρικών οργάνων (ταυ και τρίγωνα), άρα ήταν µάλλον απίθανο να εντοπιστεί γραφικά αυτή η ελάχιστη απόκλιση, και ο δεύτερος λόγος είναι πως οι αριθµητικοί υπολογισµοί, ειδικότερα οι τριγωνοµετρικές επιλύσεις, έγιναν πιθανότατα µε την χρήση λογαριθµικού κανόνα, όπου η ακρίβεια είναι περιορισµένη και εξαρτάται από την εµπειρία και τη φυσική δεξιότητα του χρήστη, άρα η αριθµητική διαφορά βρίσκεται µέσα στα πλαίσια της επιτρεπτής ανοχής. Αργότερα κατά την απαλοιφή του δεκαδικού µέρους των αριθµών και την περαιτέρω στρογγυλοποίηση αυτή η απόκλιση δεν είχε πλέον καµία επιρροή στο προτεινόµενο µοντέλο αναλογιών. 12 Le Corbusier, MODULOR 2, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000, σ Ο.π. σ. 44.

13 14 Le Corbusier, THE MODULOR, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000, σ Οι αριθµοί Fibonacci είναι όροι µιας ακολουθίας ακέραιων αριθµών στην οποία ο κάθε όρος της, εκτός από τους δύο πρώτους, ισούται µε το άθροισµα των δύο προηγούµενων όρων και συµβολίζονται µε F n. Οι σειρές Fibonacci έχουν άµεση σχέση µε τον «χρυσό λόγο» και το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων της σειράς F (i+1) / F (i) όσο µεγαλύτερο είναι το i, τείνει στον 0,618 Αυτή ακριβώς η ιδιότητα περιέχεται και στις ακολουθίες της χρυσής τοµής. 16 Le Corbusier, THE MODULOR, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000, σ. 181

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Σύμβολα και σχεδιαστικά στοιχεία. Μάθημα 3

Σύμβολα και σχεδιαστικά στοιχεία. Μάθημα 3 Σύμβολα και σχεδιαστικά στοιχεία Μάθημα 3 Τα αρχιτεκτονικά σύμβολα αποτελούν μια διεθνή, συγκεκριμένη και απλή γλώσσα. Είναι προορισμένα να γίνονται κατανοητά από τον καθένα, ακόμα και από μη ειδικούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο

Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 6.1: Ανθρωπομετρικά στοιχεία και στοιχεία Εργονομίας στην κατοικία Δρ Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΠΣ & ΑΠΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΦΕΚ 303/2003 σσ )

ΕΠΠΣ & ΑΠΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΦΕΚ 303/2003 σσ ) ΗΛΙΑΣ. ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ, Σχολικός Σύµβουλος 41 ης ΕΠ Αττικής ΣΤΕΛΙΟΣ Κ. ΚΡΑΣΣΑΣ, Σχολικός Σύµβουλος 31 ης ΕΠ Αττικής ΕΠΠΣ & ΑΠΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΦΕΚ 303/2003 σσ. 3983-4008) ΣΚΟΠΟΣ ΣΤΟ ΕΠΠΣ 1. Σκοπός της ιδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Τα µαθηµατικά και η τέχνη, αν και φαινοµενικά τουλάχιστον, αποτελούν δύο ξεχωριστά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δηµιουργίες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου

Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου Α. Προτεινόμενες θεματικές ενότητες Τίτλοι από το Ι.Ε.Π. ΑΛΓΕΒΡΑ 5ο 5.1: Ακολουθίες Η ακολουθία Fibonacci στην Φύση και

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

«Οι Σπουδές στην Αρχιτεκτονική»

«Οι Σπουδές στην Αρχιτεκτονική» ΓΡΑΦΕΙΟ ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΔΙΟΔΡΟΜΙΑΣ «Οι Σπουδές στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Αρχιτεκτόνων Καθηγητής Μιχαήλ Ε. Νομικός «Οι Σπουδές στην Αρχιτεκτονική» Δεκέμβριος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία 1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ Φύση και Μαθηματικά Η χρυσή τομή φ Ερευνητική Εργασία (Project) Α' Λυκείου 1ο ΓΕΛ Ξάνθης 2011 2012 Επιβλέποντες καθηγητές Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Βασιλική Κώττη Φύση και Μαθηματικά 2 Τι είναι η χρυσή

Διαβάστε περισσότερα

Ηγεσία και Διοικηση. Αποτελεσματική Ηγεσία στο Χώρο της Εργασίας

Ηγεσία και Διοικηση. Αποτελεσματική Ηγεσία στο Χώρο της Εργασίας Ηγεσία και Διοικηση Αποτελεσματική Ηγεσία στο Χώρο της Εργασίας 1. Η έννοια της αποτελεσματικής ηγεσίας Είναι σημαντικό να ξεκαθαρίσουμε πως η έννοια της ηγεσίας δεν είναι ταυτόσημη με τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ερευνητική Εργασία - Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ηλίας Νίνος Ερευνητική Εργασία µε θέµα: Μαθηµατικά και Τέχνη Υποθέµα: Μαθηµατικά και Ζωγραφική Οµάδα: Μαρία Βαζαίου- Ηρώ Μπρούφα- Μαθηµατικά εννοούµε την επιστήµη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Πέρα όµως από την Γνωσιακή/Εννοιολογική ανάλυση της δοµής και του περιεχοµένου των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηµατικών του Δηµοτικού ως προς τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0 Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 6xy + 11y 8y + 8 = 0 Τι είναι αυτό που έχει δοθεί στην άσκηση; Μία ισότητα την οποία επαληθεύουν οι x, y. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ Ένα γεωμετρικό μοντέλο είναι μια αριθμητική περιγραφή ενός αντικειμένου, που περιλαμβάνει το μέγεθος, το σχήμα, καθώς και άλλες ιδιότητές του. Η περιγραφή του μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Ενημερωτικό Φυλλάδιο Αθήνα, Οκτώβριος 2016 Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνιάσεις, κύριο χαρακτηριστικό του συμφυούς παραστήματος. Τα παραστήματα είναι τα τρία τέταρτα του στυλ

Οι γωνιάσεις, κύριο χαρακτηριστικό του συμφυούς παραστήματος. Τα παραστήματα είναι τα τρία τέταρτα του στυλ ΤΟ ΜΠΡΕΤΟΝ ΚΑΙ ΟΙ ΓΩΝΙΑΣΕΙΣ ΤΟΥ Οι γωνιάσεις, κύριο χαρακτηριστικό του συμφυούς παραστήματος. Τα παραστήματα είναι τα τρία τέταρτα του στυλ Δεν σας κρύβω ότι στην προσέγγιση μου για την παρουσίαση των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα