ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ"

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ RADON NIKODYM ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH, ΣΥΝΕΧΗ ΙΔΙΑΖΟΝΤΑ ΜΕΤΡΑ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΤΟΝ L¹ ΖΑΚΥΝΘΙΝΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Επιβλέπων : Επίκουρος Καθηγητής Πετράκης Μίνως ΧΑΝΙΑ, 2011

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή...σελ.2 1.Προκατακτικά -Ορισµοί...σελ.3 2.Ηιδιότητα Rado - Nikodym...σελ.8 3. Martigales...σελ.12 4.Τελεστέςστον L 1...σελ.21 5.Η RNPσεδυϊκούςχώρους...σελ.38 6.Ιδιάζοντασυνεχήµέτρακαιτελεστέςστον L 1...σελ.41 Βιβλιογραφία...σελ.48 1

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην διατριβή αυτή, παρουσιάζουµε µια συνοπτική εισαγωγή στη θεωρία στην θεωρία των χώρων µε την RNP (Ιδιότητα Rado Nikodym). ίνουµε όµως πλήρη απόδειξη του βασικού θεωρήµατος της detability (θεώρηµα 6.8). Στο [D] ο R. Doss αποδεικνύει το εξής αποτέλεσµα: ΑντολείναισυνεχέςµέτροστονκύκλοΠτότευπάρχει m (mείναιτοµέτρο Lebesgueστον Π)έτσιώστε λ m. Στοκεφάλαιο 6χρησιµοποιούµεαναπαραστάσειςτελεστώνστον L 1 µεστοχαστικούς πυρήνες και αποδεικνύουµε ότι στην περίπτωση που το µέτρο λ είναι Rajchma το µέτρον στοθεώρηµατου R.Doss µπορείναπαρθείναείναιένα Rieszγινόµενοτης µορφής w lim Π 1 cos k x (θεώρηµα 6.8). k1 Τοµέτροαυτόείναιιδιάζονπροςτο m. Επίσης παραθέτουµε εφαρµογές στην πραγµατική ανάλυση ενός θεωρήµατος από το [Β2]. 2

4 1.Προκατακτικά - Ορισµοί Έστω (,,)έναςχώροςπιθανότηταςκαι Xέναςχώρος Baach. Μίασυνάρτησηκαλείταιαπλήεάνυπάρχουν x 1, x 2,..., x XκαιΕ 1,Ε 2,...,Ε Ν έστι ώστε f : x i χ Ε1 όπουχ Ε1 ω 0εάνω Ε i. To (Boher)ολοκλήρωµαµιαςαπλής i1 συναρτήσεως f είναι εξ ορισµού fdλ x i λε Ε ι,ε Σ. Ε i1 Μίασυνάρτηση f : X καλείταιµετρήσιµηεάνυπάρχειµιαακολουθίααπλών συναρτήσεων s έτσιώστε lim s f 0 λ-σχεδόνπαντού. Εάν f : X είναιµετρήσιµησυνάρτησηκαιυπάρχειακολουθίααπλών συναρτήσεων s έτσιώστε lim s fdλ 0τότεηf καλείται Boher ολοκληρώσιµη. Σ αυτήν την περίπτωση fdλορίζεται Ε Σσαντοόριο lim s dλ. Ε E Ο ίδιος ο Boher έδωσε τον παρακάτω χαρακτηρισµό των Boher ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. 1.1Θεώρηµα :Έστω f : X µιαµετρήσιµησυνάρτηση.η f είναι Boher ολοκληρώσιµη εάν και µόνο αν fdλ. Ω Με L X 1 λσυµβολίζουµετονχώρο Baachόλωντων Boherολοκληρώσιµων Παρατήρηση: πολλά από τα κλασικά θεωρήµατα για µετρήσιµες πραγµατικές συναρτήσεις και Lebesgue ολοκληρώσιµες συναρτήσεις γενικεύονται στην περίπτωση διανυσµατικών συναρτήσεων µε τιµές σ ένα χώρο Baach. Σχεδόν όλες οι αποδείξεις παραµένουν οι ίδιες (αρκεί κάποιος να αντικαταστήσει τις απόλυτες τιµές µε νόρµες). Παρακάτω αναφέρονται (χωρίς απόδειξη) ορισµένα θεωρήµατα για Boher συναρτήσεις. 1.Έστω f µιαακολουθίααπο Boherολοκληρώσιµεςσυναρτήσεις f : X. Εάν lim f fστολ-µέτρο (δηλαδήεάν limλω Ω:f ω fω ε 0 ε 0 ) 3

5 καιεάνυπάρχειπραγµατική Lebesgueολοκληρώσιµησηνάρτηση g :Ωέτσιώστε f gλ-σχεδόνπαντού,τότεηf είναι Boher oοκληρώσιµηκαι lim f dλ f dλ Ε Σ. E E 2.Εάν f L X 1 τότε fdλ fdλ Ε Σ. Ε Ε 3.Εάν f, g L 1 X και fdλ gdλ Ε Στότε f g λ-σχεδόνπαντού. Ε Ε 4.Εάν f : 0, 1 X είναι Boherολοκληρώσιµητότεγιαόλασχεδόντα s 0, 1 sh ftdt fs. έχουµε lim 1 h h0 S 5.Έστω Tέναςκλειστόςτελεστήςαπότονχώρο Baach Xστονχώρο BaachΨ.Εάν η f : XκαιηTf :ΩΨείναι Boherολοκληρώσιµεςτότε T fdλ Tfdλ. E Ε 6.Εάν f L X 1 καιε Σ,λΕ 0τότε 1 λε fdλ cofe. Ε Ένααποτασηµαντικάθεωρήµαταγιαµετρήσιµεςσυναρτήσεις f : Xείναιτο θεώρηµα Μετρησιµότητας του Pettis. 1.2Θεώρηµα [D-U] :Έστω f : Xµιασυνάρτηση.Ταεπόµεναείναιισοδύναµα. 1.Ηfείναιµετρίσιµη 2. x X ηπραγµατικήσυνάρτηση x f :ΩείναιµετρήσιµηκαιυπάρχειΕ Σ, λε 0έτσιώστετοσύνολο fω\εείναι (orm)διαχωρίσιµουποσύνολοτο X. Απόδειξη: (1 2)Αςυποθέσουµεότιηf: X είναιµετρίσιµη.αποτοθεώτηµατου Egoroff µπορούµεναβρούµεµιαακολουθία f απλώνσυναρτήσεωνέτσιώστε lim f f 0 λ-σχεδόνοµοιόµορφα. ηλαδήγιακάθε NυπάρχειένασύνολοΕ Σέτσιώστε 4

6 λε 1 και lim f fοµοιόµορφαστοω\ε.κάθεσυνάρτηση f έχειπεδίοτιµώνένα φραγµένο υποσύνολο κάποιου υπόχωρου του X που είναι πεπερασµένης διάστασης. Εποµένωςτοσύνολο fω\ε είναιολικάφραγµένο (totally bouded)καιδιαχωρίσιµο. Είναιφανερόλοιπόνότιτοσύνολο f Ω\Ε fω\ε είναιδιαχωρίσιµο. Παρατηρούµε επίσης ότι το σύνολο Ω\ Ω\Ε Ε έχειλ-µέτροµηδέναφού λε 1.ΈχουµεαποδείξειλοιπόνότιυπάρχεισύνολοΕ,λΕ 0έτσιώστετο σύνολο fω\εείναιδιαχωρίσιµο. 1 Εάν x X τότεησυνάρτηση x f είναιαπλήαφούηf είναιαπλή.γνωρίζουµεότι f ω fωγιαόλασχεδόνταω Ωεποµένως x f ω x fωγιαόλασχεδόντα ω Ω.Αυτόσηµαίνειότιησυνάρτηση x f :Ωείναιµετρήσιµη. 2 1 :ΈστωΕ Σ,µελΕ 0και fω\εδιαχωρίσιµουποσύνολοτου X.Έστω x ένααριθµήσιµοπυκνόυποσύνολοτου fω\ε.μετηβοήθειατουθεωρήµατος Hah-Baachµπορούµεναδιαλέξουµεµιαακολουθία x συναρτησοειδώνστον X έτσιώστε x x x και x 1.Εάνω Ω\Ετότε fω sup x fω.εποµένως ησυνάρτηση f x είναιµετρήσιµη. Έστωε 0.ΘεωρούµετασύνολαΕ ω Ω:g ω ε.εάντοµέτρολείναι πλήρεςτότεκάθεε ανήκειστηνσ.σεκάθεπερίπτωση β Σµελβ E 0. Ορίζουµετηνσυνάρτηση g :ΩXωςεξής: gω χ εάνωεβ \ β m m gω 0εάνω β. Παρατηρούµεότι gω fω εγιαόλασχεδόνταω Ω. ηλαδήηf µπορείνα προσεγγιστεί από µια συνάρτηση g που παίρνει αριθµήσιµο το πλήθος τιµές. Εάν πάρουµεε 1 είναιφανερόότιµπορούµενακατασκευάσουµεµιαακολουθία g από συναρτήσειςπουπαίρνουναριθµήσιµεςτοπλήθοςτιµέςκαι g f 1 σχεδόν παντού.κάθε g έχειτηµορφή g x,m X E,m µεε,i Ε,j εάν i jκαι E,m Σ. m1 Επειδήτοµέτρολείναιπεπερασµένοείναιδυνατόννα "κόψουµε"λίγοτις g καινα ορίσουµεµιαακολουθία f απόαπλέςσυναρτήσειςπουνασυγκλίνουνσχεδόνπαντού στην f. Αυτό σηµαίνει ότι είναι η f είναι µετρήσιµη. ΈστωΩέναµηκενόσύνολο,Σµιασ-άλγεβραυποσυνόλωντουΩκαι Xέναςχώρος Baach. 5

7 1.3Ορισµός: Hαπεικόνησηµ :ΣXκαλείταιδιανυσµατικόµέτρο (vector measure) εάνµ Α µα γιακάθεακολουθία Α ξένωνσυνόλωναπότηνσ-άλγεβρα Σ. 1 1 Παρατήρηση: Είναι φανερό ότι η σειρά µα όχιµόνοσυγκλίνειαλλάκαικάθε 1 αναδιάταξη των όρων της δίνει συγκλίνουσα σειρά εάν το µ είναι διανυσµατικό µέτρο. Η κύµανση (variatio) ενός διανυσµατικού µέτρου µ είναι η (επεκτεταµένη πραγµατική)συνάρτηση µ :Σ0,τηςοποίαςητιµήσ ένασύνολο E Σείναι µ Ε sup µa όπουτο supremumτοπαίρνουµεπάνωσ όλεςτιςδιαµερίσεις π Aπ τουεσεπεπερασµένοτοπλήθοςξένωναναδύοστοιχείωναπότηνσ.εάν µ Ω τότε το διανυσµατικό µέτρο µ καλείται µέτρο φραγµένης κύµανσης (bouded variatio). Εάν Ω,Σ,λείναιέναςχώροςπιθανότητας, Xέναςχώρος Baachκαι f L 1 X λµια Boher ολοκληρώσιµη συνάρτηση µπορούµε να ορίσουµε ένα διανυσµατικό µέτρο µ :ΣXωςεξής:µΕ fdλ,ε Σ.Τοότιτοµείναιαριθµήσιµαπροσθετικό Ε χρειάζεταιαπόδειξη (ΕάνΕ Ε µε Ε ακολουθίαξένωναναδυοσυνόλωναπότη Στότεησειρά fdλσυγκλίνειαπολύτωςγιατίκυριαρχείταιαπότηνσυγκλίνουσα 1Ε σειράf dλ.παρατηρούµεότι 1 Ε fdλ f dλ Ε 1Ε 1 fdλ.είναιφανερόότι Ε 1 limλ m m1 Ε 0καιεποµένως ότιµ Ε µε ). 1 1 lim m fdλ 0 Ε Ε 1Ε m1 1 fdλ fdλ.αυτόσηµαίνει Τοµέτροµ,µΕ fdλείναιφραγµένηςκύµανσης (bouded variatio)καιαπολύτως Ε συνεχέςωςπροςτολ(δηλαδήεάν E ΣκαιλΕ 0τότε µ Ε 0). Είναι φυσικό να ρωτήσουµε εάν κάθε διανυσµατικό µέτρο µ, που είναι φραγµένης κύµανσης και είναι απόλυτα συνεχές ως προς το λ προέρχεται απο µια Boher 6

8 ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι αρνητική όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγµα. Παράδειγµα:Έστω Ω,Σ,λ 0, 1, Lebesgueµετρήσιµασύνολα, Lebesgueµέτρο). Έστω XοBaachχώρος L 1 0, 1.Θεωρούµετοδιανυσµατικόµέτροµ :ΣL 1 0, 1που ορίζεταιωςεξήςµα X Α,Α Σ. Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι το µ είναι ένα διανυσµατικό µέτρο πεπερασµένης κύµανσης και απολύτως συνεχές ως προς λ. Αςυποθέσουµεότι f L 1 L 1λέτσιώστεµΑ f dλθακαταλήξουµεσεάτοπο. Έστω F L 0, 1 L 1 0, 1.Είναιφανερόότι F, ftdλt F, ftdλt F, X A Ftdλt. Αυτόσυνεπάγεταιότιυπάρχειένα Α Α σύνολοαf ΣµελΑF 0έτσιώστε F, ft Ftt 0, 1\AF. Α Α Έστω Ι ηακολουθίαόλωντωνυποδιαστηµάτωντου 0, 1µερητάάκρα.Έστω F X I L 0, 1.ΈστωΑ ΑF και x 0. 1\Α. 1 Έχουµε ότι fxsdλs F sfxsdλs F x.εάν x I τότε F x 0 Ι εποµένως fxs 0γιαόλασχεδόντα s 0, 1εάν x 0, 1 \Α.Αυτόσυνεπάγεταιότι η f : 0, 1 L 1 µηδενίζεταισχεδόνπαντού. ενείναιδυνατόνλοιπον fdλ X Α, Α Σ. Α 7

9 2.ΗΙ ΙΟΤΗΤΑ RADON - NIKODYM 2.1Ορισµός:Οχώρος Baach Xλέµεότιέχειτην Rado - NikodymΙδιότητα (RNP) εάνγιακάθεχώροπιθανότητας Ω,Σ,λκαιγιακάθεδιανυσµατικόµέτροµ :ΣX (το οποίο είναι φραγµένης κύµανσης και απόλυτως συνεχές ως προς το λ) υπάρχει Boher ολοκληρώσιµησυνάρτηση f L 1 X λέτσιώστεµε f dλ E Σ. 2.2 Ορισµός: Έστω Κ ένα κλειστό φραγµένο κυρτό υποσύνολο του χώρου Baach X. ToσύνολοΚέχειτην Rado - NikodymΙδιότηταεάνγιακάθεχώροπιθανότητας Ω,Σ,λ καικάθεδιανυσµατικόµέτροµ :ΣXτοοποίοείναιαπολύτωςσυνεχέςωςπροςλ, είναιφραγµένηςκύµανσηςκαιπουτο "average rage"αµ µε,ε Σ,λΕ 0. λε περιέχεταιστοκυπάρχει f L 1 X λέτσιώστεµα fdλ E Σ. Ε ΈνακλειστόκαικυρτόυποσύνολοΚ Xέχειτην RNPεάνκάθεκλειστό,κυρτόκαι φραγµένο υποσύνολο του Κ έχει την RNP. Οιχώροι L 1, c o, c0, 1, l, L δενέχουντην RNP.Κάθεαυτοπαθήςχώρος,κάθεδυϊκός χώροςείναιδιαχωρίσιµος (π.χ. l 1 )κάθεχώροςµε boudelly completeβάσηέχειτην RNP. Είναιπολύεύκολοναδείκανείςότι: 1.Εάν X,Ψείναιισοµορφικοίχώροι BaachκαιοXέχειτην RNPτότεκαιοΨέχειτην RNP. 2. EάνοXέχειτην RNPτότεκαικάθευπόχωροςτου Xέχειτην RNP. 3.Εάνκάθεδιαχωρίσιµοςυπόχωροςτου Xέχειτην RNPτότεκαιοXέχειτην RNP. 2.3Ορισµός:ΈστωΑέναφραγµένουποσύνολοτου X.ΤοΑκαλείται detableεάν ε 0 xεαέτσιώστε x coa\b ε x. (coσυµβολίζειτηνκλειστήκυρτήθήκηκαι B ε x y X : x y ε) ΕάνΑείναιέναφραγµένουποσύνολοτου X,α 0και f X, f 0τότετο slice τουα πουορίζεταιαπότο f καιτοαείναιτοσύνολο sα, f,α x Α:fx supfa α. Είναιεύκολοναδείκανείς (µετηβοήθειατου Hah-Baach)ότιένασύνολοΑείναι detableεάνκαιµόνοεάν ε 0υπάρχεικάποιο slice sa, f,ατουοποίουηδιάµετρος 8

10 είναι µικρότερη απο ε. Το 1967 ο M.A.Rieffel εισήγαγε την ένοια της detability και απέδειξε το εξής θεώρηµα. 2.4 Θεώρηµα [D-U] : Έστω X ένας χώρος Baach. Εάν κάθε φραγµένο υποσύνολο του Xείναι detableτότεοxέχειτην RNPιδιότητα. Απόδειξη:Έστωµ :ΣXέναδιανυσµατικόµέτροφραγµένηςκύµανσηςκαι απολύτως συνεχές ως προς το µέτρο πιθανότητας λ. Εάν µ είναι η variatio του µ από το κλασικό Rado-Nikodym θεώρηµα µπορούµε ναβρούµε h L 1 λ, h 0έτσιώστε µ Ε hdλ, Ε Σ.Εάν F ΣµεΑF συµβολίσουµετοσύνολο µg λg : G F,λG 0. Εάνησυνάρτηση hείναιφραγµένηστο Fτότετο AFείναιφραγµένοσύνολοδιότι µg λg µ G λg 1 λg hdλ. G Η καρδιά της απόδειξης Rieffel βρίσκεται στο επόµενο λήµµα. Ε 2.5Λήµµα: 3 0,Ε ΣµελΕ 0,F Σµε F ΕκαιλF 0έτσιώστε diamaf ε.γιανααποδείξουµετολήµµααςυποθέσουµεότιη hείναιφραγµένηστο 9

11 Ε,καιεποµένωςτοσύνολοΑΕείναιφραγµένο.Αυτόµπορούµενατοκάνουµεχωρίς βλάβητηςγενικότηταςαφούε ω Ε:hω.ΤοσύνολοΑΕείναι detable εποµένως F 0 Ε,λF 0 0έτσιώστε µf 0 λf 0 coαε\β ε µf 0 2 λf 0 Q. Εάν diamaf εέχουµεαποδείξειτολήµµα.εάν diamaf ετότε Β F 0,λΒ 0 έτσιώστε µβ Q.Πραγµατικάεάν µκ Q Κ F λβ λκ 0,λΚ 0τότε µκ µf 0 λκ λf 0 ε diamaf ε ε ε. ιαλέγουµετώραµια maximal (αναγκαστικάαριθµήσιµη)οικογένειααπόξέναανάδύοσύνολα Β,λΒ 0,Β F 0 και µβ λβ Q.Θεωρούµετοσύνολο F F 0 \Β.ΕάνλF 0τότεµF 0και µπορούµεναγράψουµε µf 0 λf 0 µ Β λβ i λβ λβ i µβ.αυτόσηµαίνειότιτο µf 0 λβ λf 0 βρίσκεταιστο Qπράγµαάτοπο. ενείναιλοιπόνδυνατόνναείναιλf 0. ΕποµένωςλF 0.Απότην maximalityτης Β εάν G FκαιλG 0τότε µg Q µg µf 0 ε. Αυτόσυνεπάγεταιότι diamaf εκαιτολήµµαέχει λg λg λf 0 2 αποδειχθεί. Τώρα συνεχίζουµε την απόδειξη του θεωρήµατος. Μπορούµε να πάρουµε (ξανά!) µια maximal (αναγκαστικααρθµήσιµη)οικογένεια Ε i i απόξέναανάδύοσύνολαστην Σ,λΕ i 0έτσιώστε diamaε i ε i.είναιφανερότώραότιµεεπαγωγήµπορούµενα βρούµεµιαακολουθίαδιαµερίσεωνπ Ε i i,αύξουσαωςπροςτην refiemetέτσι ώστε diamaε i 1 1,.Θεωρούµετησυνάρτηση g 2 1 :ΩX, g µe i i λe i X E i. Παρατηρούµεότιηg είναιοµοιόµορφα Cauchy (g ω g m ω εάν m )και εποµένωςηg συγκλίνειστην L X 1 νόρµασεκάποιασυνάρτηση g L X 1. ΓιακάθεΕ Σ έχουµε ότι µε g dλ Ε µε i E i µe i λe i i ΕποµένωςµE lim g dλ gdλ Ε Σ. Ε Ε λε i E µε i E µε i λε i E λε i i λε i E Εδώ τελείωσε η απόδειξη του θεωρήµατος! Παρατήρηση:ΑςυποθέσουµεότιτοΑΩ µε,ε Σ,λΕ 0είναιφραγµένο λε απότο 1.Έστωφ g g 1, 1.Είναιφανερόότιφ x i X Ei, µε x i X,x i 1 2.Μπορούµεναορίσουµε v : S l 1 ωςεξής vε,i 1 2 λε Ε i.έστωτ : l 1 Xένας (φραγµένος)γραµµικόςτελεστής i 10

12 έτσωώστετe,i 2 x i όπουτο e,i είναιτο, iµοναδικόδιάνυσµατηςσυνηθισµένης βάσηςτου l 1. ΜπορείεύκολαναδείκανείςότιΤ v µ. Παρατήρηση:Έστωµ :Σέναπραγµάτικοµέτροστο 0, 1καιέστωότι µε λεόπουλτοµέτρο Lebesgue.Μετηµέθοδοτηςαποδείξεωςτου προηγούµενου θεωρήµατος µπορούµε να αποδείξουµε ότι το µέτρο µ έχει µια Rado-Nikody παράγωγο. Έτσι έχουµε µια πολύ απόδειξη του κλασικού Rado-Nikody θεωρήµατος. Η παρατήρηση αυτή οφείλεται στον R.E.Huff. 11

13 3. Martigales Έστω Ω,Σ,λέναςχώροςπιθανότηταςκαιΣ Σµιασ-άλγεβραυποσυνόλωντουΩ. Με Xσυµβολίζουµεκάποιοχώρο Baach. Hσυνάρτηση g L 1 X λκαλείται coditioal expectatioτης fωςπροςσ εάνηgείναισ -µετρήσιµηκαι gdλ fdλ,ε Σ.ΜεΕf Σ συµβολίζουµετην coditioal expectatioτης fωςπροςσ. Ε Ε Παρατήρηση:Τοκλασικόθεώρηµα Rado - Nikodymδίδειαµέσωςότιεάν f :Ω είναιµιαπραγµατικήσυνάρτησηκαισ Σµιασ-υποάλγεβρατηςΣτότεηΕf Σ υπάρχει.πραγµατικάεάνησ είναιτοµέτροµα fdλτότε m λκαιηεf Σ είναιηrado-nikodymπαράγωγος dm dλ. Ο ίδιος συλλογισµός αποδεικνύει ότι αν f :ΩXείναιµια boherολοκληρώσιµησυνάρτησηκαιοxέχειτην RNPτότεηΕf Σ υπάρχει. Α Αυτόπουείναισηµαντικόείναιότιακόµακαιεάνοχώρος Xδενέχειτην RNP µπορούµεναορίσουµε coditioal expectatioσυναρτήσεωνστον L 1 X ωςεξής:ξεκινάµε απότιςαπλέςσυναρτήσειςτηςµορφής f x i X Ai, A i Σ, x i X.ΟρίζουµεΕf Σ x i ΕX Ai /Σ όπουηεx Ai /Σ είναιηπραγµατική coditioal expectatioτης i1 συνάρτησης X Ai L 1 λ. i1 Είναι φανερό ότι στην περίπτωση αυτή (που η f είναι απλή συνάρτηση) έχουµε 1.Ηg Εf Σ είναισ µετρήσιµη 2. gdλ x i EX Ai /Σ x i Α Α Α X Ai fdλ,a Σ. Α 3.ΗΕf Σ είναιγραµµικήωςπροςτην f. 4.ΗΕf Σ ω Εf/Σ ω Εάντώρα f L X 1 λείναιµιαοποιαδήποτε Boherολοκληρώσιµησυνάρτηση 12

14 f :ΩX τότεηf µπορείναπροσεγγιθείαπόαπλέςσυναρτήσεις S.Ηακολουθία Εs /Σ 1 είναι Cauchyστον L 1 X λκαιτοόριοτηςείναιανεξάρτητοαπότηνακολουθία S.ΤοόριοαυτόείναιηΕf Σ.Όλαταπαραπάνωσυνοψίζονταιστοεξής 3.1Θεώρηµα:Έστω f L X 1 Ω,Σ,λ,Σ Σµιασ-υποάλγεβρατηςΣ.Υπάρχει g Εf Σ (ουσιαστικάµοναδική)έτσιώστε α.εf Σ L X 1 Ω,Σ,λ β. gdλ fdλ,a Σ Α Α ΟτελεστήςΕ/Σ : L X 1 L X 1 είναιγραµµικόςκαιικανοποιείταεξής: 1. Εf Σ ω Εf/Σ ωλ-σχεδόνπαντού 2. Εf Σ ω f 1, L X 1 λ 3.ΕάνΣ Σ είναισ-άλγεβρατότεεεf Σ /Σ ΕΕf Σ /Σ Εf Σ. 3.2Ορισµός:ΈστωΣ 0 Σ 1...Σ...Σµιααύξουσαακολουθία f,σ, fl X 1 λ καλείται martigaleεάνεf 1 /Σ f,. Παράδειγµα 1:Έστω L X 1 λκαισ 0 Σ 1...Σ µιααύξουσαακολουθία σ-αλγεβρων.έστω f Εf/Σ.Τότεηακολουθία f,σ είναιένα martigale. Παράδειγµα 2:Έστω x,k, 0, 1, 2,..., k 1, 2,..., 2 έναδένδροσ έναχώρο Baach X. Aυτόσηµαίνειότιηακολουθία x,k είναιφραγµένηκαι x,k 1 x 2 1, 2k 1 x 1,2k 0, 1, 2,..., 1 k 2. Έστω I,k k1 k,, 0, 1, 2,..., 1 k 2 ηακολουθίατωνδυαδικώνδιαστηµάτων.μεσ 2 2 συµβολίζουµετηνπεπερασµένηάλγεβραπουγεννάταιαπότην I,k 1 k 2. 13

15 Μπορούµε να ορίσουµε ένα martigale µε τιµές στο χώρο X ως εξής: ξ 0 x 01 X Io1 ξ 1 x 11 X I11 x 12 X 12 2 ξ x,k X I,k,ξ : 0, 1 X. k1 Μπορεί εύκολα να δεί κανείς ότι ξ 0 ξ 1 αφού x 01 1 x 2 11 x 12.Οµοίως 0,1 0,1 έχουµεότιεξ 1 /Σ ξ. ηλαδήηακολουθία ξ,σ είναιένα martigale. Έναδένδρο x,k καλείταιε-δένδροεάν x 1,2k1 x,k ε k 1 k 2. Είναιφανερόότιτο martigale ξ Σ πουαντιστοιχείσ έναε-δένδροδενµπορείνα συγκλίνειαφού ξ 1 t ξ t ε,t 0, 1.Στον L 1 0, 1υπάρχειένα 1-δένδρο. X k1 2, k 2 Πραγµατικάεάν h,k, 1 k 2, 0, 1,... έχουµεότι h 1,k k, 1 k 2 και h 1,2k1 h 1,2k 1 1. Είναιεπίσηςφανερόότι h,k είναιδένδρο δηλαδή h 1,2k1 h 1,2k 2h,k,,k, 1 k 2. 14

16 3.3 MAXIMAL INEQUALITY [Bou] :ΈστωΣ 0 Σ 1...Σ Σµιααύξουσα ακολουθία σ-αλγεβρών από µετρήσιµα υποσύνολα του Ω. Έστω h µιαακολουθίαθετικώνπραγµατικώνσυναρτήσεωνέτσιώστε: 1.Ηh j είναιησ j µετρήσιµη j 2.Εάν i,α Σ j τότε h i d λ h d λ και Α Α 3. sup h j j Ω Τότε c 0λω Ω: sup h j ω c 1 c j Ω sup h j dλ. Απόδειξη:Έστω έναςσταθερόςφυσικόςαριθµός.μεα 1 συµβολίζουµετο σύνλο ω Ω:h 1 ω c. j Ω Εάν 2 i µεα i συµβολίζουµετοσύνολοα i ω Ω, h 1 ω c,..., h i1 ω c, και h 1 ω c.είναιφανερόότια i Σ i καια ι Α j, i j, 1 i. Παρατηρούµε ότι c λω Ω: sup h j ω c cλ A i cλα i h i dλ h dλ h dλ sup j Ω Έχουµελοιπόναποδείξειότιλω : sup h j ω c 1 c i1 j Ω έχουµελω : sup h j ω c 1 c j i1 sup h j. j Ω i1 A i j Ω i1 A i sup h j. Είναιφανερόότιεάν Ω j 3.4ΤΟΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ LEVY - DΕVB [Bou] :Έστω Ω,Σ,λχώροςπιθανότηταςκαι Σ 1 Σ 2...Σ....Σακολουθίααπόσ-υποάλγεβρεςτηςΣτωνοποίωνηένωσηγεννά τησ.έστω f Ef/Σ όπου f µιαοποιαδήποτε Boherολοκληρώσιµησυνάρτηση f L 1 X λ. Tότε lim f ω fωλ-σχεδόνπαντούκαι lim f f 1 0. Απόδειξη:Έστωφ f L X 1 λέτσιώστε f ω fω 0λ-σχεδόνπαντούκαι f f 1 0όταν. θααποδειχθείότιτοφείναικλειστόκαιπυκνόστον L X 1 λ 15

17 Α )Τοφείναιπυκνόστον L 1 X λ :Εάν f L 1 X Ω,Σ,λ (δηλαδήεάνηf είναι Σ -µετρήσιµητότεεf/σ k f k f φ. Είναιφανερόλοιπόνότι φ L 1 X Ω,Σ,λ. Κάθεσυνάρτησητηςµορφής x X A, x X A Σ ανήκειστοφ. 1 Αφούη Σ είναιπυκνήστηνσµπορούµεναδούµεότικαικάθεσυνάρτησητης 1 µορφής x X B, x X, B Σανήκειστηνφ.Παρατηρούµεότιογραµµικόςχώροςφ περιέχειτοπυκνόσύνολοτωναπλώνσυναρτήσεων φείναιπυκνόστον L X 1 Ω,Σ,λ. 1 Β )Οφείναικλειστόςστον L X 1 λ. Έστω f στηνκλειστήθήκητουφ. ε 0,δ 0 g φέτσιώστε f g 1 2 ε δ. Έστω g EG/Σ. Γιαόλασχεδόνταω Ωέχουµε f ω f κ ω g ω g κ ω f g ω f k g k ω g ω g κ ω Ef Έστω h j ω Εf g/σ j ω. Απότιςπαραπάνωανισότητεςκαιαπότοότι g φ έχουµε ότι lim sup f ω f k ω 2 sup h j ω,λ-σχεδόνπαντού.ηακολουθία h j,k ικανοποιεί τις συνθήκες της maximal iequality (3.3) και εποµένως λω : lim sup f ω f k ω ε λω : 2 sup h j ω ε 2 ε,k j j sup h j 1 2 ε j sup Αφούταε,δήτανοποιοιδήποτεθετικοίαριθµοίέιναιφανερόότιτοόριο lim ω fω υπάρχει σχεδόν παντού. Τώρα θα µπορέσουµε να αποδείξουµε ότι η f που πήραµε στο φ ανήκειστοφ.ε 0µπορούµεναβρούµε g L 1 X Ω,Σ Ν,λγιακάποιοΝ έτσιώστε f g 1 ε. Όταν Νέχουµε 2 f f 1 f g 1 g Eg/Σ 1 Eg f/σ 1 ε 0 g f Αυτό συνεπάγεταιότικάποιαυπακολουθία f i της f συγκλίνεισχεδόνπαντούστην f fω lim f i ω fω lim f ωλ. i j Ω 3.5Θεώρηµα [D-U] :Έστω Xέναςχώρος Baachκαι K Xείναικλειστό,φραγµένο σύνολο µε την RNP. Τότε κάθε martigale µε τιµές στο K συγκλίνει σχεδόν παντού. Απόδειξη:ΑςυποθέσουµεότιτοΚέχειτην RNPγιατοχώρο Ω,Σ,λκαιότι Σ 1 Σ 2...Σ είναιµιααύξουσαακολουθίασ-υποάλγεβρωντηςσκαιότιη Σ γεννάτηνσ. Έστω f,σ ένα martigaleµετιµέςστοκ.ορίζουµεταδιανυσµατικά µέτραµα f dλ,α Σ,. Tαµείναισυνεχήωςπροςλµ λ. Eίναι Α εύκολοναδείκανείςότιτο "average rage" Aµ µ E λε,λε 0περιέχεταιστοΚ. ιότιεάν x X,τότε x µ A λa 1 λα Α 1 x f λ λ supx x : x K. ΑφούτοΚείναι (ασθενώς)κλειστό,κυρτό µ Α Κ. Παρατηρούµετώραότιτο lim µ λα Aυπάρχει 16

18 Α Σ αφούτο f,σ είναι martigaleκαιηακολουθία f dλείναιτελικάσταθερή 1 γιαα Σ. Μάλισταµπορείναδειχθείότιτοόριο lim µ Aυπάρχει Α Σαφούη Σ γεννάτηνσ.πραγµατικά ε 0,Α Σ Β Σ Ν γιακάποιον έτσιώστε λαβ ε όπουμ supx, x K. Εάν Nέχουµε 2Μ f dλ f Ν dλ Α Α Β Β ΑΒ f dλ f Ν dλ f dλ f Ν dλ 0 2λΑΒΜ ε. Αφούλοιπόνηακολουθίαµ A είναι Cachyτοόριοµ A lim µ Aυπάρχει.Το ΑΒ Α ΑΣ θεώρηµατων Vitali - Hah -Saks (3.6)συνεπάγεταιότιτοµ :ΣΧ,µA limµ A είναιµέτρο (δηλαδήείναιαριθµήσιµαπροσθετικό).αφούµ λ,αµ Αµ Κ καιτοκέχειτην RNPυπάρχει f L 1 Χ Ω,Σ,λέτσιώστεµA fdλ Α Σ. ΓιαΑ Σ έχουµε fdλ µa µ A f dλ Ef/Σ f λ-σχεδόνπαντού.απότοθεώρηµα Α Α του Levy-Doob (3.6) έχουµε ότι lim f ω fω 0λσχεδόνπαντού.Απεδείχθη λοιπόνότιεάντοκέχειτην RNPτότεκάθε martigaleµετιµέςστο Kσυγκλίνεισχεδόν παντού. Α 1 Στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήµατος χρησιµοποιήθηκε το θεώρηµα των Vitali-Hah-Saks. Για πληρώτητα παραθέτουµε την απόδειξη του από τον Duford-Schwartz Yel.Ip Θεώρηµα VITALI-HAHN-SAKS [D-S] :Έστω Ω,Σ,λχώροςπιθανότητας, X χώρος Baach καιµ :ΣΧµιαακολουθίααπόλ-συνεχή µ λδιανυσµατικά µέτρα.εάντοόριο lim µ Ευπάρχει Ε Στότε lim µ Ε 0οµοιόµορφα λε0 1, 2, 3,... Επιπλέοντοµ :ΣΧ,µΕ lim µ Εείναιδιανυσµατικόµέτρο. Απόδειξη: Μπορεί εύκολα να δεί κανείς ότι µπορούµε να ορίσουµε µια µετρική στο Σ. ΗαπόστασητωνσυνόλωνΑ,Β ΣθαείναιλΑΒ.Μπορείνααποδειχείότιαναυτόςο µετρικόςχωρόςείναιπλήρης.κάθεµ :ΣΧείναισυνεχήςσυνάρτησηαπότον µετρικόχώροσστοχεπειδήµ λ.τασύνολα Σ,m E : E Σ, µ E µ m E εείναικλειστά ε 0. Εποµένωςκαιτοσύνολο Σ ρ Σ,m είναικλειστόστονπλήρηµετρικόχώροσ.αφούτο limµeυπάρχει,mp Ε ΣέχουµεότιΣ Σ ρ.απότοθεώρηµατου BaireκάποιοαπόταΣ ρ έχει ρ1 εσωτερικόσηµείο.υπάρχειλοιπόνακέραιος q, r 0, A Σέτσιώστε ΕστησειράΚµε κέντροτοακαιακτίνα rναέχουµε µ E µ m E ε,, m 1. Αςπάρουµε 0 δr έτσιώστε µ Β ε 1, 2, 3,..., q 1, q ΒµελΒ δ. ΕάντώραλΒ δγια κάποιοβέτσιώστεα\β,αβναανήκουνστησφαίρακ Ε Σ:λΑΕ r. Θα 17

19 έχουµε µ Β µ q Β µ Β µ q Β µ q B µ A B µ q A B µ A\B µ q A\B Έχουµε δείξει λοιπόν ότι lim µ Ε 0οµοιόµορφαγια 1, 2, 3,... λε0 Αποµένει να δειχθεί ότι µ είναι αριθµήσιµα προσθετικό. Αρκεί να δείξουµε ότι µ Ε m 0γιακάθεφθίνουσαακολουθίαΕ 0 Ε 1...Ε m... µε E i. Έχουµε γιαµιατέτοιαακολουθία Ε ι ότιλε m Σ λε \Ε k1. Απότην έχουµεότι ε 0 m ε έτσιώστε µ Ε m ε m m ε, 1, 2,... µe m ε m m ε µε m 0 A.E.D. m km i1 3.7Λήµµα:ΈστωΚένακυρτόκλειστόφραγµένουποσύνολοτουΧ.Έστω Σ 1 Σ 2...Σ µιααύξουσαακολουθίασ-αλγεβρώνστο 0, 1καιξ : 0, 1 Κµια ακολουθίααπόσ µετρήσιµεςσυναρτήσειςγιατηνοποίασ ξ E j 1 ε. (Εδώµε Ε συµβολίζουµετην ExpectatioωςπροςΣ. Tότευπάρχειένα martigale ξ,σ µε τιµέςστο έτσιώστε ξ ξ 1 ε. Απόδειξη: fix k. Έχουµεότι ξ Ε κ ξ κ1 1 Σ E k ξ E k ξ 1 1 ε. Ηακολουθία Ε κ ξ 1 k µπορείνααποδειχθείότιείναι Cauchyκαιεποµένωςσυγκλίνειστον L 1 X σ έναόριοξ k. Είναιφανερόότι ξ κ ξ κ ε. Ηξ κ παίρνειτιµές (σχεδονπαντου)στοσύνολο Κ.Παρατηρούµεότιξ κ1 lim E κ1 ξ εποµένως E κ ξ κ1 lim E κ ξ ξ κ. Αυτό σηµαίνειότιηακολουθία ξ κ,σ κ κ είναιένα martigale. Είµαστε τώρα σε θέση να αποδείξουµε το εξής θεώρηµα 3.8Θεώρηµα [D-U] :ΈστωΚένακλειστόφραγµένοκυρτόυποσύνολοτουΧ.Εάν κάθε martigaleξ : 0, 1 ΚσυγκλίνεισχεδόνπαντούτότεκάθευποσύνολοτουΚ είναι detable. Απόδειξη:ΑςυποθέσουµεότιτοσύνολοΑ Κδενείναι detable.αυτοσηµαίνειότι ε 0έτσιώστε x A, x coa\bx,ε. Αρκείνααποδείξουµεότιυπάρχειµια ακολουθίασ 1 Σ 2...Σ,... σαλγεβρώναπό (µετρήσιµα)υποσύνολατου0, 1και µιαακολουθία ξ ξ : 0, 1 Kέτσιώστε 18

20 1.ΚάθεΣ είναιπεπερασµένη 2. ξ 1 ξ ε 3.Κάθεξ είναισ -µετρήσιµηκαιπαίρνειτιµέςστοα. 4. Σ ξ Ε ξ 1 1 ε. 3 ΗκατασκευήτωνΣ καιτωνξ θαγίνειεπαγωγήωςπρος. α.σ 1 φ,0, 1,ξ 1 x X 0,1 όπου xείναιέναοποιοδήποτεστοιχείοτουα. j β.αςυποθέσουµεότιέχουµεκατασκευάσειτηνσ καιξ. Έστω Ι i i1 ηδιαµέριση του 0, 1πουγεννάτηνΣ,καιαςυποθέσουµεότιηξ : 0, 1 Αείναιτηςµορφής ξ Σ j x i X Ii x 1, x 2,..., x j A. i1 Fix i.γνωρίσουµεότι x i coa\bx i,εκαιεποµένωςυπάρχουνθετικοίαριθµοί λ i,1,λ i,2,...,λ i,ki, καιστοιχεία x i,1, x i,2,..., x i,ki τουσυνόλουα\βx i,ε έτσιώστε i.λ i,1,λ i,2,...,λ i,ki 1 ii. x i λ i,1 x i,1...λ i,ki x i,ki ε 3 ώστελι i,κ λ i,κ λι i. 2. ΈστωΙ i,1,ι i,2,...,ι i,ki µιαδιαµέρισητουι i έτσι (Εδώβέβαιατολείναιτοµέτρο Lebesgue). ΟρίζουµεΣ 1 ναείναιηάλγεβραπουγεννάταιαπότο Ι i,κ : 1 i j, 1 k k i. Eπίσηςορίζουµεξ 1 : 0, 1 Xναείναιξ 1 έχουµεότι ξ 1 ξ 1 ε. j Σ k i i1k1 Σ x i,k X Ii,k. Eπειδή x i x i,k εiκαι k Παρατηρούµε ότι 19

21 j k j λi Εξ 1 ΣΣ x i,k i,k X λi i I i ξ E ξ 1 1 Σ x i k i Σ λ i,κ x i,k i1k1 j i1 k1 λι i ε 3 2. Αυτό συνεπάγεταισξ E ξ 1 1 ε. Μπορούµεναπούµεότιµέχριτώραέχουµε 3 αποδείξει το εξής θεώρηµα. 3.9 Θεώρηµα: Έστω Κ ένα κυρτό, κλειστό, φραγµένο υποσύνολο του X. Τα επόµενα είνα ισοδύναµα. (1).ΤοΚέχειτην RNP (2). Κάθε martigale µε τιµές στο Κ συγκλίνει σχεδόν παντού (3). Κάθε υποσύνολο του Κ είναι martigale (3)(1) (2.4) (1)(2) (3.5) (2)(3) (3.8) 20

22 4ΤΕΛΕΣΤΕΣΣΤΟΝ L 1 ΈστωΤ : L 1 0, 1 XέναςτελεστήςκαιΑ 0, 1ένασύνολοθετικούµέτρου.ΜεΓ Α συµβολίζουµετοσύνολογ Α Τφ : sup pφ Α,φ 0,φ Λήµµα [B1] :Έστω SΓ Α, x,αένα sliceτουσυνόλουγ Α.Τότευπάρχει Β Α,λΒ 0έτσιώστεΓ Β SΓ Α, x, a. Aπόδειξη:Έστωγ sup x Γ Α aκαιφ 0, sup pφ Α,φ 1έτσιώστε φτ x γ. ΤοσύνολοΚ y L 1 Α : y 0 και yτ x γy 1 είναιέναςκυρτόςκλειστός κώνοςτου L 1 Α. Είναιφανερόότιφ Κκαιεποµένωςαπότοθεώρηµα Hah-Baach g L Aέτσιώστεφg sup yg 0. yκ ΤοσύνολοΒ g 0είναιέναυποσύνολοτουΑκαιέχειθετικόµέτρο.Εάντώρα y 0, y 1και sup py Βέχουµεότι yτ x γ (αφού y Κ) x Ty sup x Γ Α α ΑυτόσηµαίνειότιΓ Β SΓ Α, x, a. Αναπαραστάσιµοι Τελεστές 4.2Ορισµός:Έστω Xέναςχώρος Baach.ΈναςτελεστήςΤ : L 1 0, 1 Xένας τελεστής.αςυποθέσουµεότι ε 0Α 0, 1θετικούµέτρου Β Α,λΒ 0έτσι ώστε diamγ Β ε. ΤότεοτελεστήςΤείναιαναπαραστάσιµος. Απόδειξη:Τοδιανυσµατικόµέτροµ :ΣX,µΑ ΤX Α έχειτηνιδιότητα : Ε 0, 1µελΕ 0 Ε 1 Εέτσιώστετο average rage Αµ µε λε,ε Ε 1,λΕ 0ναέχειδιάµετροµικρότερητουε.Όπωςπροκύπτειαπό την απόδειξη του θεωρήµατος (2.4) το µ έχει Rado-Nikodym παράγωγο η οποία θα είναι η συνάρτηση που "αναπαραστά" τον Τ. 4.3Θεώρηµα:ΈστωΚ Xένακυρτόκλειστόυποσύνολοτου Xµετην RNP.Εάν Τ : L 1 0, 1 XείναιέναςτελεστήςέτσιώστεΓ 0,1 Τφ :φ0,φ 1 ΚτότεοΤ είναι αναπαραστάσιµος. 21

23 Απόδειξη:ΕάνΑ 0, 1,λΑ 0τότετοσύνολοΓ Α Τφ :φ0 sup pφ Α,φ1 είναι detableκαιεποµένως ε 0 slice SτουΓ Α έτσιώστε diams ε. Απότολήµµα (4.1) Β Α,λΒ 0έτσιώστεΓ Β SκαιότιοτελεστήςΤείναιαναπαραστάσιµος. 4.4Θεώρηµα:ΈστωΚένακλειστόκυρτόφραγµένουποσύνολοτου X.Εάνκάθε τελεστήςτ : L 1 XέτσιώστεΓ 0,1 Κείναιαναπαραστάσιµοςτότεκάθε martigaleµε τιµέςστοκσυγκλίνεισχεδόνπαντού (καιεποµένωςτοκέχειτην RNP). Απόδειξη:Έστωξ : 0, 1 Xένα martigaleµετιµέςστοκ.θεωρούµετοντελεστή Τ : L 1 X,Τφ lim ξ φ. (Τοόριουπάρχειγιακάθεαπλήσυνάρτησηφκαιεποµένως φ L 1 ). Έστω g L X ηπαράγωγοςτουτ.έχουµεότιφg lim ξ φ,φ L 1. Αυτόσηµαίνει ότιεg/σ ξ. Aπότοθεώρηµατου Levy-Doobέχουµεότιτο martigaleσυγκλίνει σχεδόν παντού στην g. 4.5Θεώρηµα (Daford-Pettis) [D-U] :ΈστωΤ : L 1 X έναςαναπαραστάσιµος τελεστής.εάνκ L 1 καιτοσύνολοτκείναι orm-συµπαγέςυποσύνολοτου X. Απόδειξη:Αςυποθέσουµεότι g L X έτσιώστετf fgdλ,f L 1. ΈστωΚένα φραγµένοοµοιόµορφαολοκληρώσιµο (uiformly itergalle)υποσύνολοτου L 1. ιαλέγουµεµιαακολουθία g απλώνσυναρτήσεωνηοποίανασυγκλίνεισχεδόν παντούστην g.απότοθεώρηµατου EgoroffµπορούµεναβρούµεένασύνολοΕ 1 έτσι ώστε lim g gοµοιόµορφαστοε 1 καιτοµέτρολ0, 1\Ε 1 ναείναιτόσοµικρόώστε 0,1\Ε 1 Ε f dλ f K. Τ1 Αφούησυνάρτηση g X E1 : 0, 1 Xέχει (σχετ.)συµπαγέςπεδίοτιµών,οτελεστής f fgdλείναισυµπαγήςκαιεποµένωςτοσύνολο fgdλ,f Κείναισχετ. E 1 συµπαγής. E 1 Παρατηρούµεότιγια f Κ fgdλ Τε 0,1\Ε 1 Τ1 ε. 22

24 Τοσύνολο Τf : f Κ fgdλ fgdλ, f Κείναι totally boudedαπό E 1 0,1\Ε 1 2ε σφαίρες.άρατοσύνολοτκείναισχετ.συµπαγές. 4.6Θεώρηµα (Lewis - Stegall):ΈστωΤ : L 1 Xέναςτελεστής.ΟΤείναι αναπαραστάσιµοςεάνκαιµόνοεάνυπάρχουντελεστές S : L 1 l 1, U : l 1 Xέτσιώστε Τ US. Ηαπόδειξη (στηγλώσσατωνδιανυσµατικώνµέτρων)έχειγίνειστoκεφάλαιο 2. Παρατήρηση:Γνωρίζουµεότιοχώρος l 1 έχειτηνιδιότητατου Schurδηλαδήεάνµια ακολουθίασυγλίνειασθενώςστον l 1 τότεσυγκλίνεικαιστηνόρµατου l 1.Τοθεώρηµα των Lewis - Stegall δίνει µια άλλη απόδειξη του θεωρήµατος των Duford-Pettis (4.5). 4.7Θεώρηµα:ΈστωΤ : L 1 Xέναςασθενώςσυµπαγήςτελεστής.ΤότεοΤείναι αναπαραστάσιµος. Απόδειξη [S] : Χωρίς βλαβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος. Έστω W ένα ασθενώς συµπαγές υποσύνολο του X έτσι ώστε Τf : f 1 1 W. Μπορούµεναδεχθούµεότιτο Wείναικυρτόσυµµετρικό. ιαλέγουµεµιαακολουθία x i i1 όταν X, x i 1ηοποία "νορµάρει"κάθεστοιχείο του X (δηλαδήεάν x X, τότε x sup x i x ).Έστωα sup x. i xw Ορίζουµε την απεικόνηση Φ : W Q Π α,α i1 Φx x i x i1 x W. ΗσυνάρτησηΦείναιοµοιοµορφισµόςτου Wµετηνασθενήτοπολογίατου Q (διότιη cox i, i 0είναι w πυκνήστηνβ x x X,x 1καιεποµένωςείναι πυκνή ως προς την οµοιόµορφη σύγλιση στην ασθενώς συµπαγή κυρτά υποσύνολα του X). Έστω h i T x i L. Μπορούµεναδούµεότι sup h i ω T x i α i Ορίζουµε y : 0, 1 Q yω h i ω i1. Αφού η y είναι η "κατά συντεταγµένες µετρήσιµη" είναι µετρήσιµη. Θα δείξουµε ότι 23

25 yω ΦW λ σχεδόνπαντούκαιτότεησυνάρτησηφ 1 Ψθαείναιη"παράγωγος τουτ. Ισχυριζόµαστεότι τοσύνολο A ω : x Wµε x i x h i ω 1 i έχει µέτρο 1.Αυτότοσύνολοείναιµετρήσιµοεπειδήείναιτηςµορφής y 1 Uόποθ Uείναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Q. Ορίζουµε τον τελεστή S X l, S x x i x i1. Οτελεστής S Tείναιαναπαραστάσιµοςµεπαράγωγο τηνσυνάρτησηω h i ω i1. Τοσύνολο S T f : f 1 1περιέχειστοσύνολο S Wπουείναι ormσυµπαγές.αυτόσηµαίνειότι h i ω i1 είναιστο S Wγιαόλα σχεδόνταω 0, 1. ΑυτόσυνεπάγεταιότιλA 1 λ A 1. Γιαω A διαλέγουµε x Wέτσι ώστε i x i x h i ω Έστω x 0 έναασθενέςσηµείοσυσσώρευσηςτης x 1. Τότε x i x 0 h i ω i. Αυτό σηµαίνειότι yω ΦW λ σχεδόνπαντού.ησυνάρτησηφ 1 Ψ : 0, 1 Xείναιη παράγωγος του Τ. 4.8Πόρισµα:ΕάνΤ : L 1 XείναιασθενώςσυµπαγήςτότεοΤαπεικονίζειασθενώς συµπαγήυποσύνολατου L 1 σε ormσυµπαγήυποσύνολατου X. 4.9 Superlemma [Bou] : (Asplud, Namioka, Bourgai). Έστω Τ,Κ 0,Κ 1 κλειστά,κυρτάφραγµέναυποσύνολατουχώρου Baach Xκαιε 0 έτσι ώστε (1) J coκ 0 Κ 1 (2)Κ ο Jκαι diamκ 0 ε (3) J\Κ 1 Τότευπάρχειένα sliceτου Jτοοποίοπεριέχειένασηµείοτου Κ 0 καιτουοποίουη διάµετρος είναι µικρότερη του ε. Απόδειξη: r 0, 1θέτουµε C r x X : x 1 λx 0 λx 1, x 0 Κ 1, r λ1. 24

26 Παρατηρούµεότιόπωςτο r 0τακυρτάσύνολα C r αυξάνουναπότοσύνολοκ 1 στο σύνολο co coκ 0 Κ 1. Πρώταθααποδειχθείότιεάν 0 r 1τότε J\C r K 0 \C r. Έστω f X έτσιώστε sup fk 1 sup ft Έχουµελοιπόνότι sup ft sup fco sup fco maxsup fk 0, sup fk 1 sup ft. Eπίσης παρατηρούµε ότι sup fc r sup fc r sup1 λ sup fk 0 λ sup fk 1 :λr, 1 1 r sup fk 0 rsup Αυτόσυνεπάγεταιότιδενείναιδυνατόν C r K 0 αφούτότε sup fc r sup fk 0. Τοεπόµενοβήµαείναινααποδείξουµεότι diamj\c r εεάντο rείναιαρκετάκοντά στο 0. Αφού J coέχουµε J\C r co\c r. Eπειδήτο C r είναικλειστότο co\c r είναιπυκνόστο co\c r. Εποµένωςεάν w J\C r καιδ 0 x co\c r έτσιώστε w x δ. ιαλέγουµε x 0 K o, x 1 K 1 καιλ 0, rέτσιώστεχ 1 λx 0 λx 1. Έχουµεότι w x 0 w x x x 0 δ λx 0 x 1 δ rmόπου Μ sup 0 y 1 : y 0 Κ 0, y 1 Κ 1 Είναιεύκολοναδούµετώραότι diamj\c r δ rm diamk o δrm Επειδή diamk o εεάνπάρουµεταδ, rκατάλληλαµικράµπορούµενακάνουµετην διάµετροτου J\C r µικρότερηαποε. Τώραεάν x 0 K o και x 0 J\C r τότευπάρχειένα sliceτου Jξένοπρόςτο C r.το slice αυτό έχει διάµετρο µικρότερη απο ε. Υπάρχειµια w µορφήτου Superlemmaηοποίαµπορείναδιατυπωθείωςεξής. Superlemma :Έστωε 0, J, K 0, K 1 w -συµπαγήυποσύνολατουδυϊκούχώρου Baach X έτσιώστε (1) J cok 0 K 1 w cok 0 K 1 (2) K 0 Jκαι diamk o ε (3) J\K 1 25

27 Τότευπάρχειένα w sliceτου JτοοποίοπεριέχειένασηµείοτουΚ 0 καιτουοποίου η διάµετρος είναι µικρότερη απο ε. 4.10Θεώρηµα [Bou] :ΈστωΚέναασθενώςσυµπαγέςκυρτόυποσύνολοτου X.Τότε τοκέχειτην RNP. Aπόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι το Κ είναι διαχωρίσιµο ασθενώς συµπαγές υποσύνολο του XκαιότιτοΚδενείναι detable.έστω x i έναπυκνόυποσύνολοτουκκαιε 0. Έστω D ασθενώςκλειστήθήκητου w K K. Παρατηρούµεότι Bx i, ε. 3 Το σύνολο D µε την ασθενή τοπολογία είναι συµπαγής (Hausdorff) και αφού τα σύνολα DBx i, ε είναιασθενώςκλειστάαπότοθεώρηµακατηγορίαςτου Baire 2 µπορούµεναβρούµεέναασθενώςανοικτόυποσύνολοτου Vτου Xέτσιώστε V D Bx i, ε γιακάποιο i 3 i1 ΈστωΚ 0 cov Dκαι Κ 1 coκ\v Παρατηρούµε ότι (1)Κ cok 0 K 1 (2) diamk o ε. Έστωτώρα x extk V. (Αφού V D. υπάρχειτέτοιο x).έχουµεότι x ασθενήθήκη Κ\Vκαιεποµένως x K 1 coκ\v. ηλαδή (3) K\K 1. Το Superlemma µπορεί να εφαρµοστεί για το σύνολο Κ αφού ισχύουν τα (1),(2),(3). Εποµένωςυπάρχειένα sliceτουκδιαµέτρουε. ΑυτόσηµαίνειότιτοΚείναι detable. 4.11Λήµµα:Έστω D, Cκλειστάφραγµένακυρτάυποσύνολατου X.Έστω J codcκαιέστω fx sup ft sup fcγιακάποιο f X και x J. Τότε x D. Απόδειξη: x codcέτσιώστε x x 0. Αςυποθέσουµεότι x λ d 1 λ c, 0 λ 1 d D, c C. Χωρίςβλάβητηςγενικότητας υποθέτουµεότι λ lim λ f/d 1 λ fc λ sup fd 1 λ sup fc sup fj. 26

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Θέμης Μήτσης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1. Μέτρα 5 Κεφάλαιο 2. Εξωτερικά μέτρα 7 Κεφάλαιο 3. Το μέτρο Lebesgue 9 Κεφάλαιο 4. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

σημειωσεις θεωριας μετρου

σημειωσεις θεωριας μετρου σημειωσεις θεωριας μετρου Σάμος 2009 Επιλογή υλικού Αντώνης Τσολομύτης Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών. Δημιουργία πρώτου ηλεκτρονικού αρχείου Μαγδαληνή Πλιόγκα Απόφοιτος του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Ανδρέας Καβατζικλής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου 57 8 Αθήνα e-mail: kaviros@ceral.ua.gr

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Συµβάσεις και συµβολισµοί 4 1. Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue 5 2. Μετρήσιµα σύνολα 7 3. Η

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Μαθηµατικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Θέµατα σε όλη τη ύλη) Άσκηση 2 η Αν f συνεχής στο [1, 11], παραγωγίσιµη στο (1, 11) και f(1)=1, f(11)=11 δείξτε ότι υπάρχουν α, β στο (1,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Βούτες, 70013 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com Ανοιξη 2013-14 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 2. Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 22 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 3 Μαρτίου 4 Εισαγωγή Ο δρόµος της ϑεωρίας της ολοκλήρωσης ξεκινά απο τον Αρχιµήδη, αλλά η πραγµατική ιστορία αρχίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου ΣΥΣΗΜΑΑ ΙΑΚΡΙΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως σαν σύστηµα διακριτού χρόνου ορίζεται ένας οποιοσδήποτε µετασχηµατισµός ή τελεστής (operator) ο οποίος δρα σε µία ακολουθία x [ που συνήθως θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/4/2016

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται Απόδειξη Θεωρήµατος Poincare-Bendixson Το δυναµικό σύστηµα είναι στο επίπεδο, προσδιορίζεται από το διάνυσµατικό πεδίο ταχυτήτων v(x), και οι τροχιές ικανοποιούν την δυνα- µική: ẋ = v(x). Η τροχιά του

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης Διανυσματική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 30 Απριλίου 2014 Σημείωση: Οι παρούσες σημειώσεις δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του μαθήματος Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ και IV σε φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ IV. Γενικές επαναληπτικές µέθοδοι Όπως είδαµε η ανάλυση της µεθόδου Guss έδειξε ότι η υπολογιστική προσπάθεια της µεθόδου για τη λύση ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων Υπενθυμίζουμε συνοπτικά κάποιες βασικές έννοιες που θα μας χρειαστούν σε επόμενα κεφάλαια 3 σ-άλγεβρα: Έστω ένα μη κενό σύνολο Μία κλάση υποσυνόλων F του

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Συναρτήσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3)

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα