ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ"

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ RADON NIKODYM ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH, ΣΥΝΕΧΗ ΙΔΙΑΖΟΝΤΑ ΜΕΤΡΑ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΤΟΝ L¹ ΖΑΚΥΝΘΙΝΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Επιβλέπων : Επίκουρος Καθηγητής Πετράκης Μίνως ΧΑΝΙΑ, 2011

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή...σελ.2 1.Προκατακτικά -Ορισµοί...σελ.3 2.Ηιδιότητα Rado - Nikodym...σελ.8 3. Martigales...σελ.12 4.Τελεστέςστον L 1...σελ.21 5.Η RNPσεδυϊκούςχώρους...σελ.38 6.Ιδιάζοντασυνεχήµέτρακαιτελεστέςστον L 1...σελ.41 Βιβλιογραφία...σελ.48 1

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην διατριβή αυτή, παρουσιάζουµε µια συνοπτική εισαγωγή στη θεωρία στην θεωρία των χώρων µε την RNP (Ιδιότητα Rado Nikodym). ίνουµε όµως πλήρη απόδειξη του βασικού θεωρήµατος της detability (θεώρηµα 6.8). Στο [D] ο R. Doss αποδεικνύει το εξής αποτέλεσµα: ΑντολείναισυνεχέςµέτροστονκύκλοΠτότευπάρχει m (mείναιτοµέτρο Lebesgueστον Π)έτσιώστε λ m. Στοκεφάλαιο 6χρησιµοποιούµεαναπαραστάσειςτελεστώνστον L 1 µεστοχαστικούς πυρήνες και αποδεικνύουµε ότι στην περίπτωση που το µέτρο λ είναι Rajchma το µέτρον στοθεώρηµατου R.Doss µπορείναπαρθείναείναιένα Rieszγινόµενοτης µορφής w lim Π 1 cos k x (θεώρηµα 6.8). k1 Τοµέτροαυτόείναιιδιάζονπροςτο m. Επίσης παραθέτουµε εφαρµογές στην πραγµατική ανάλυση ενός θεωρήµατος από το [Β2]. 2

4 1.Προκατακτικά - Ορισµοί Έστω (,,)έναςχώροςπιθανότηταςκαι Xέναςχώρος Baach. Μίασυνάρτησηκαλείταιαπλήεάνυπάρχουν x 1, x 2,..., x XκαιΕ 1,Ε 2,...,Ε Ν έστι ώστε f : x i χ Ε1 όπουχ Ε1 ω 0εάνω Ε i. To (Boher)ολοκλήρωµαµιαςαπλής i1 συναρτήσεως f είναι εξ ορισµού fdλ x i λε Ε ι,ε Σ. Ε i1 Μίασυνάρτηση f : X καλείταιµετρήσιµηεάνυπάρχειµιαακολουθίααπλών συναρτήσεων s έτσιώστε lim s f 0 λ-σχεδόνπαντού. Εάν f : X είναιµετρήσιµησυνάρτησηκαιυπάρχειακολουθίααπλών συναρτήσεων s έτσιώστε lim s fdλ 0τότεηf καλείται Boher ολοκληρώσιµη. Σ αυτήν την περίπτωση fdλορίζεται Ε Σσαντοόριο lim s dλ. Ε E Ο ίδιος ο Boher έδωσε τον παρακάτω χαρακτηρισµό των Boher ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. 1.1Θεώρηµα :Έστω f : X µιαµετρήσιµησυνάρτηση.η f είναι Boher ολοκληρώσιµη εάν και µόνο αν fdλ. Ω Με L X 1 λσυµβολίζουµετονχώρο Baachόλωντων Boherολοκληρώσιµων Παρατήρηση: πολλά από τα κλασικά θεωρήµατα για µετρήσιµες πραγµατικές συναρτήσεις και Lebesgue ολοκληρώσιµες συναρτήσεις γενικεύονται στην περίπτωση διανυσµατικών συναρτήσεων µε τιµές σ ένα χώρο Baach. Σχεδόν όλες οι αποδείξεις παραµένουν οι ίδιες (αρκεί κάποιος να αντικαταστήσει τις απόλυτες τιµές µε νόρµες). Παρακάτω αναφέρονται (χωρίς απόδειξη) ορισµένα θεωρήµατα για Boher συναρτήσεις. 1.Έστω f µιαακολουθίααπο Boherολοκληρώσιµεςσυναρτήσεις f : X. Εάν lim f fστολ-µέτρο (δηλαδήεάν limλω Ω:f ω fω ε 0 ε 0 ) 3

5 καιεάνυπάρχειπραγµατική Lebesgueολοκληρώσιµησηνάρτηση g :Ωέτσιώστε f gλ-σχεδόνπαντού,τότεηf είναι Boher oοκληρώσιµηκαι lim f dλ f dλ Ε Σ. E E 2.Εάν f L X 1 τότε fdλ fdλ Ε Σ. Ε Ε 3.Εάν f, g L 1 X και fdλ gdλ Ε Στότε f g λ-σχεδόνπαντού. Ε Ε 4.Εάν f : 0, 1 X είναι Boherολοκληρώσιµητότεγιαόλασχεδόντα s 0, 1 sh ftdt fs. έχουµε lim 1 h h0 S 5.Έστω Tέναςκλειστόςτελεστήςαπότονχώρο Baach Xστονχώρο BaachΨ.Εάν η f : XκαιηTf :ΩΨείναι Boherολοκληρώσιµεςτότε T fdλ Tfdλ. E Ε 6.Εάν f L X 1 καιε Σ,λΕ 0τότε 1 λε fdλ cofe. Ε Ένααποτασηµαντικάθεωρήµαταγιαµετρήσιµεςσυναρτήσεις f : Xείναιτο θεώρηµα Μετρησιµότητας του Pettis. 1.2Θεώρηµα [D-U] :Έστω f : Xµιασυνάρτηση.Ταεπόµεναείναιισοδύναµα. 1.Ηfείναιµετρίσιµη 2. x X ηπραγµατικήσυνάρτηση x f :ΩείναιµετρήσιµηκαιυπάρχειΕ Σ, λε 0έτσιώστετοσύνολο fω\εείναι (orm)διαχωρίσιµουποσύνολοτο X. Απόδειξη: (1 2)Αςυποθέσουµεότιηf: X είναιµετρίσιµη.αποτοθεώτηµατου Egoroff µπορούµεναβρούµεµιαακολουθία f απλώνσυναρτήσεωνέτσιώστε lim f f 0 λ-σχεδόνοµοιόµορφα. ηλαδήγιακάθε NυπάρχειένασύνολοΕ Σέτσιώστε 4

6 λε 1 και lim f fοµοιόµορφαστοω\ε.κάθεσυνάρτηση f έχειπεδίοτιµώνένα φραγµένο υποσύνολο κάποιου υπόχωρου του X που είναι πεπερασµένης διάστασης. Εποµένωςτοσύνολο fω\ε είναιολικάφραγµένο (totally bouded)καιδιαχωρίσιµο. Είναιφανερόλοιπόνότιτοσύνολο f Ω\Ε fω\ε είναιδιαχωρίσιµο. Παρατηρούµε επίσης ότι το σύνολο Ω\ Ω\Ε Ε έχειλ-µέτροµηδέναφού λε 1.ΈχουµεαποδείξειλοιπόνότιυπάρχεισύνολοΕ,λΕ 0έτσιώστετο σύνολο fω\εείναιδιαχωρίσιµο. 1 Εάν x X τότεησυνάρτηση x f είναιαπλήαφούηf είναιαπλή.γνωρίζουµεότι f ω fωγιαόλασχεδόνταω Ωεποµένως x f ω x fωγιαόλασχεδόντα ω Ω.Αυτόσηµαίνειότιησυνάρτηση x f :Ωείναιµετρήσιµη. 2 1 :ΈστωΕ Σ,µελΕ 0και fω\εδιαχωρίσιµουποσύνολοτου X.Έστω x ένααριθµήσιµοπυκνόυποσύνολοτου fω\ε.μετηβοήθειατουθεωρήµατος Hah-Baachµπορούµεναδιαλέξουµεµιαακολουθία x συναρτησοειδώνστον X έτσιώστε x x x και x 1.Εάνω Ω\Ετότε fω sup x fω.εποµένως ησυνάρτηση f x είναιµετρήσιµη. Έστωε 0.ΘεωρούµετασύνολαΕ ω Ω:g ω ε.εάντοµέτρολείναι πλήρεςτότεκάθεε ανήκειστηνσ.σεκάθεπερίπτωση β Σµελβ E 0. Ορίζουµετηνσυνάρτηση g :ΩXωςεξής: gω χ εάνωεβ \ β m m gω 0εάνω β. Παρατηρούµεότι gω fω εγιαόλασχεδόνταω Ω. ηλαδήηf µπορείνα προσεγγιστεί από µια συνάρτηση g που παίρνει αριθµήσιµο το πλήθος τιµές. Εάν πάρουµεε 1 είναιφανερόότιµπορούµενακατασκευάσουµεµιαακολουθία g από συναρτήσειςπουπαίρνουναριθµήσιµεςτοπλήθοςτιµέςκαι g f 1 σχεδόν παντού.κάθε g έχειτηµορφή g x,m X E,m µεε,i Ε,j εάν i jκαι E,m Σ. m1 Επειδήτοµέτρολείναιπεπερασµένοείναιδυνατόννα "κόψουµε"λίγοτις g καινα ορίσουµεµιαακολουθία f απόαπλέςσυναρτήσειςπουνασυγκλίνουνσχεδόνπαντού στην f. Αυτό σηµαίνει ότι είναι η f είναι µετρήσιµη. ΈστωΩέναµηκενόσύνολο,Σµιασ-άλγεβραυποσυνόλωντουΩκαι Xέναςχώρος Baach. 5

7 1.3Ορισµός: Hαπεικόνησηµ :ΣXκαλείταιδιανυσµατικόµέτρο (vector measure) εάνµ Α µα γιακάθεακολουθία Α ξένωνσυνόλωναπότηνσ-άλγεβρα Σ. 1 1 Παρατήρηση: Είναι φανερό ότι η σειρά µα όχιµόνοσυγκλίνειαλλάκαικάθε 1 αναδιάταξη των όρων της δίνει συγκλίνουσα σειρά εάν το µ είναι διανυσµατικό µέτρο. Η κύµανση (variatio) ενός διανυσµατικού µέτρου µ είναι η (επεκτεταµένη πραγµατική)συνάρτηση µ :Σ0,τηςοποίαςητιµήσ ένασύνολο E Σείναι µ Ε sup µa όπουτο supremumτοπαίρνουµεπάνωσ όλεςτιςδιαµερίσεις π Aπ τουεσεπεπερασµένοτοπλήθοςξένωναναδύοστοιχείωναπότηνσ.εάν µ Ω τότε το διανυσµατικό µέτρο µ καλείται µέτρο φραγµένης κύµανσης (bouded variatio). Εάν Ω,Σ,λείναιέναςχώροςπιθανότητας, Xέναςχώρος Baachκαι f L 1 X λµια Boher ολοκληρώσιµη συνάρτηση µπορούµε να ορίσουµε ένα διανυσµατικό µέτρο µ :ΣXωςεξής:µΕ fdλ,ε Σ.Τοότιτοµείναιαριθµήσιµαπροσθετικό Ε χρειάζεταιαπόδειξη (ΕάνΕ Ε µε Ε ακολουθίαξένωναναδυοσυνόλωναπότη Στότεησειρά fdλσυγκλίνειαπολύτωςγιατίκυριαρχείταιαπότηνσυγκλίνουσα 1Ε σειράf dλ.παρατηρούµεότι 1 Ε fdλ f dλ Ε 1Ε 1 fdλ.είναιφανερόότι Ε 1 limλ m m1 Ε 0καιεποµένως ότιµ Ε µε ). 1 1 lim m fdλ 0 Ε Ε 1Ε m1 1 fdλ fdλ.αυτόσηµαίνει Τοµέτροµ,µΕ fdλείναιφραγµένηςκύµανσης (bouded variatio)καιαπολύτως Ε συνεχέςωςπροςτολ(δηλαδήεάν E ΣκαιλΕ 0τότε µ Ε 0). Είναι φυσικό να ρωτήσουµε εάν κάθε διανυσµατικό µέτρο µ, που είναι φραγµένης κύµανσης και είναι απόλυτα συνεχές ως προς το λ προέρχεται απο µια Boher 6

8 ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι αρνητική όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγµα. Παράδειγµα:Έστω Ω,Σ,λ 0, 1, Lebesgueµετρήσιµασύνολα, Lebesgueµέτρο). Έστω XοBaachχώρος L 1 0, 1.Θεωρούµετοδιανυσµατικόµέτροµ :ΣL 1 0, 1που ορίζεταιωςεξήςµα X Α,Α Σ. Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι το µ είναι ένα διανυσµατικό µέτρο πεπερασµένης κύµανσης και απολύτως συνεχές ως προς λ. Αςυποθέσουµεότι f L 1 L 1λέτσιώστεµΑ f dλθακαταλήξουµεσεάτοπο. Έστω F L 0, 1 L 1 0, 1.Είναιφανερόότι F, ftdλt F, ftdλt F, X A Ftdλt. Αυτόσυνεπάγεταιότιυπάρχειένα Α Α σύνολοαf ΣµελΑF 0έτσιώστε F, ft Ftt 0, 1\AF. Α Α Έστω Ι ηακολουθίαόλωντωνυποδιαστηµάτωντου 0, 1µερητάάκρα.Έστω F X I L 0, 1.ΈστωΑ ΑF και x 0. 1\Α. 1 Έχουµε ότι fxsdλs F sfxsdλs F x.εάν x I τότε F x 0 Ι εποµένως fxs 0γιαόλασχεδόντα s 0, 1εάν x 0, 1 \Α.Αυτόσυνεπάγεταιότι η f : 0, 1 L 1 µηδενίζεταισχεδόνπαντού. ενείναιδυνατόνλοιπον fdλ X Α, Α Σ. Α 7

9 2.ΗΙ ΙΟΤΗΤΑ RADON - NIKODYM 2.1Ορισµός:Οχώρος Baach Xλέµεότιέχειτην Rado - NikodymΙδιότητα (RNP) εάνγιακάθεχώροπιθανότητας Ω,Σ,λκαιγιακάθεδιανυσµατικόµέτροµ :ΣX (το οποίο είναι φραγµένης κύµανσης και απόλυτως συνεχές ως προς το λ) υπάρχει Boher ολοκληρώσιµησυνάρτηση f L 1 X λέτσιώστεµε f dλ E Σ. 2.2 Ορισµός: Έστω Κ ένα κλειστό φραγµένο κυρτό υποσύνολο του χώρου Baach X. ToσύνολοΚέχειτην Rado - NikodymΙδιότηταεάνγιακάθεχώροπιθανότητας Ω,Σ,λ καικάθεδιανυσµατικόµέτροµ :ΣXτοοποίοείναιαπολύτωςσυνεχέςωςπροςλ, είναιφραγµένηςκύµανσηςκαιπουτο "average rage"αµ µε,ε Σ,λΕ 0. λε περιέχεταιστοκυπάρχει f L 1 X λέτσιώστεµα fdλ E Σ. Ε ΈνακλειστόκαικυρτόυποσύνολοΚ Xέχειτην RNPεάνκάθεκλειστό,κυρτόκαι φραγµένο υποσύνολο του Κ έχει την RNP. Οιχώροι L 1, c o, c0, 1, l, L δενέχουντην RNP.Κάθεαυτοπαθήςχώρος,κάθεδυϊκός χώροςείναιδιαχωρίσιµος (π.χ. l 1 )κάθεχώροςµε boudelly completeβάσηέχειτην RNP. Είναιπολύεύκολοναδείκανείςότι: 1.Εάν X,Ψείναιισοµορφικοίχώροι BaachκαιοXέχειτην RNPτότεκαιοΨέχειτην RNP. 2. EάνοXέχειτην RNPτότεκαικάθευπόχωροςτου Xέχειτην RNP. 3.Εάνκάθεδιαχωρίσιµοςυπόχωροςτου Xέχειτην RNPτότεκαιοXέχειτην RNP. 2.3Ορισµός:ΈστωΑέναφραγµένουποσύνολοτου X.ΤοΑκαλείται detableεάν ε 0 xεαέτσιώστε x coa\b ε x. (coσυµβολίζειτηνκλειστήκυρτήθήκηκαι B ε x y X : x y ε) ΕάνΑείναιέναφραγµένουποσύνολοτου X,α 0και f X, f 0τότετο slice τουα πουορίζεταιαπότο f καιτοαείναιτοσύνολο sα, f,α x Α:fx supfa α. Είναιεύκολοναδείκανείς (µετηβοήθειατου Hah-Baach)ότιένασύνολοΑείναι detableεάνκαιµόνοεάν ε 0υπάρχεικάποιο slice sa, f,ατουοποίουηδιάµετρος 8

10 είναι µικρότερη απο ε. Το 1967 ο M.A.Rieffel εισήγαγε την ένοια της detability και απέδειξε το εξής θεώρηµα. 2.4 Θεώρηµα [D-U] : Έστω X ένας χώρος Baach. Εάν κάθε φραγµένο υποσύνολο του Xείναι detableτότεοxέχειτην RNPιδιότητα. Απόδειξη:Έστωµ :ΣXέναδιανυσµατικόµέτροφραγµένηςκύµανσηςκαι απολύτως συνεχές ως προς το µέτρο πιθανότητας λ. Εάν µ είναι η variatio του µ από το κλασικό Rado-Nikodym θεώρηµα µπορούµε ναβρούµε h L 1 λ, h 0έτσιώστε µ Ε hdλ, Ε Σ.Εάν F ΣµεΑF συµβολίσουµετοσύνολο µg λg : G F,λG 0. Εάνησυνάρτηση hείναιφραγµένηστο Fτότετο AFείναιφραγµένοσύνολοδιότι µg λg µ G λg 1 λg hdλ. G Η καρδιά της απόδειξης Rieffel βρίσκεται στο επόµενο λήµµα. Ε 2.5Λήµµα: 3 0,Ε ΣµελΕ 0,F Σµε F ΕκαιλF 0έτσιώστε diamaf ε.γιανααποδείξουµετολήµµααςυποθέσουµεότιη hείναιφραγµένηστο 9

11 Ε,καιεποµένωςτοσύνολοΑΕείναιφραγµένο.Αυτόµπορούµενατοκάνουµεχωρίς βλάβητηςγενικότηταςαφούε ω Ε:hω.ΤοσύνολοΑΕείναι detable εποµένως F 0 Ε,λF 0 0έτσιώστε µf 0 λf 0 coαε\β ε µf 0 2 λf 0 Q. Εάν diamaf εέχουµεαποδείξειτολήµµα.εάν diamaf ετότε Β F 0,λΒ 0 έτσιώστε µβ Q.Πραγµατικάεάν µκ Q Κ F λβ λκ 0,λΚ 0τότε µκ µf 0 λκ λf 0 ε diamaf ε ε ε. ιαλέγουµετώραµια maximal (αναγκαστικάαριθµήσιµη)οικογένειααπόξέναανάδύοσύνολα Β,λΒ 0,Β F 0 και µβ λβ Q.Θεωρούµετοσύνολο F F 0 \Β.ΕάνλF 0τότεµF 0και µπορούµεναγράψουµε µf 0 λf 0 µ Β λβ i λβ λβ i µβ.αυτόσηµαίνειότιτο µf 0 λβ λf 0 βρίσκεταιστο Qπράγµαάτοπο. ενείναιλοιπόνδυνατόνναείναιλf 0. ΕποµένωςλF 0.Απότην maximalityτης Β εάν G FκαιλG 0τότε µg Q µg µf 0 ε. Αυτόσυνεπάγεταιότι diamaf εκαιτολήµµαέχει λg λg λf 0 2 αποδειχθεί. Τώρα συνεχίζουµε την απόδειξη του θεωρήµατος. Μπορούµε να πάρουµε (ξανά!) µια maximal (αναγκαστικααρθµήσιµη)οικογένεια Ε i i απόξέναανάδύοσύνολαστην Σ,λΕ i 0έτσιώστε diamaε i ε i.είναιφανερότώραότιµεεπαγωγήµπορούµενα βρούµεµιαακολουθίαδιαµερίσεωνπ Ε i i,αύξουσαωςπροςτην refiemetέτσι ώστε diamaε i 1 1,.Θεωρούµετησυνάρτηση g 2 1 :ΩX, g µe i i λe i X E i. Παρατηρούµεότιηg είναιοµοιόµορφα Cauchy (g ω g m ω εάν m )και εποµένωςηg συγκλίνειστην L X 1 νόρµασεκάποιασυνάρτηση g L X 1. ΓιακάθεΕ Σ έχουµε ότι µε g dλ Ε µε i E i µe i λe i i ΕποµένωςµE lim g dλ gdλ Ε Σ. Ε Ε λε i E µε i E µε i λε i E λε i i λε i E Εδώ τελείωσε η απόδειξη του θεωρήµατος! Παρατήρηση:ΑςυποθέσουµεότιτοΑΩ µε,ε Σ,λΕ 0είναιφραγµένο λε απότο 1.Έστωφ g g 1, 1.Είναιφανερόότιφ x i X Ei, µε x i X,x i 1 2.Μπορούµεναορίσουµε v : S l 1 ωςεξής vε,i 1 2 λε Ε i.έστωτ : l 1 Xένας (φραγµένος)γραµµικόςτελεστής i 10

12 έτσωώστετe,i 2 x i όπουτο e,i είναιτο, iµοναδικόδιάνυσµατηςσυνηθισµένης βάσηςτου l 1. ΜπορείεύκολαναδείκανείςότιΤ v µ. Παρατήρηση:Έστωµ :Σέναπραγµάτικοµέτροστο 0, 1καιέστωότι µε λεόπουλτοµέτρο Lebesgue.Μετηµέθοδοτηςαποδείξεωςτου προηγούµενου θεωρήµατος µπορούµε να αποδείξουµε ότι το µέτρο µ έχει µια Rado-Nikody παράγωγο. Έτσι έχουµε µια πολύ απόδειξη του κλασικού Rado-Nikody θεωρήµατος. Η παρατήρηση αυτή οφείλεται στον R.E.Huff. 11

13 3. Martigales Έστω Ω,Σ,λέναςχώροςπιθανότηταςκαιΣ Σµιασ-άλγεβραυποσυνόλωντουΩ. Με Xσυµβολίζουµεκάποιοχώρο Baach. Hσυνάρτηση g L 1 X λκαλείται coditioal expectatioτης fωςπροςσ εάνηgείναισ -µετρήσιµηκαι gdλ fdλ,ε Σ.ΜεΕf Σ συµβολίζουµετην coditioal expectatioτης fωςπροςσ. Ε Ε Παρατήρηση:Τοκλασικόθεώρηµα Rado - Nikodymδίδειαµέσωςότιεάν f :Ω είναιµιαπραγµατικήσυνάρτησηκαισ Σµιασ-υποάλγεβρατηςΣτότεηΕf Σ υπάρχει.πραγµατικάεάνησ είναιτοµέτροµα fdλτότε m λκαιηεf Σ είναιηrado-nikodymπαράγωγος dm dλ. Ο ίδιος συλλογισµός αποδεικνύει ότι αν f :ΩXείναιµια boherολοκληρώσιµησυνάρτησηκαιοxέχειτην RNPτότεηΕf Σ υπάρχει. Α Αυτόπουείναισηµαντικόείναιότιακόµακαιεάνοχώρος Xδενέχειτην RNP µπορούµεναορίσουµε coditioal expectatioσυναρτήσεωνστον L 1 X ωςεξής:ξεκινάµε απότιςαπλέςσυναρτήσειςτηςµορφής f x i X Ai, A i Σ, x i X.ΟρίζουµεΕf Σ x i ΕX Ai /Σ όπουηεx Ai /Σ είναιηπραγµατική coditioal expectatioτης i1 συνάρτησης X Ai L 1 λ. i1 Είναι φανερό ότι στην περίπτωση αυτή (που η f είναι απλή συνάρτηση) έχουµε 1.Ηg Εf Σ είναισ µετρήσιµη 2. gdλ x i EX Ai /Σ x i Α Α Α X Ai fdλ,a Σ. Α 3.ΗΕf Σ είναιγραµµικήωςπροςτην f. 4.ΗΕf Σ ω Εf/Σ ω Εάντώρα f L X 1 λείναιµιαοποιαδήποτε Boherολοκληρώσιµησυνάρτηση 12

14 f :ΩX τότεηf µπορείναπροσεγγιθείαπόαπλέςσυναρτήσεις S.Ηακολουθία Εs /Σ 1 είναι Cauchyστον L 1 X λκαιτοόριοτηςείναιανεξάρτητοαπότηνακολουθία S.ΤοόριοαυτόείναιηΕf Σ.Όλαταπαραπάνωσυνοψίζονταιστοεξής 3.1Θεώρηµα:Έστω f L X 1 Ω,Σ,λ,Σ Σµιασ-υποάλγεβρατηςΣ.Υπάρχει g Εf Σ (ουσιαστικάµοναδική)έτσιώστε α.εf Σ L X 1 Ω,Σ,λ β. gdλ fdλ,a Σ Α Α ΟτελεστήςΕ/Σ : L X 1 L X 1 είναιγραµµικόςκαιικανοποιείταεξής: 1. Εf Σ ω Εf/Σ ωλ-σχεδόνπαντού 2. Εf Σ ω f 1, L X 1 λ 3.ΕάνΣ Σ είναισ-άλγεβρατότεεεf Σ /Σ ΕΕf Σ /Σ Εf Σ. 3.2Ορισµός:ΈστωΣ 0 Σ 1...Σ...Σµιααύξουσαακολουθία f,σ, fl X 1 λ καλείται martigaleεάνεf 1 /Σ f,. Παράδειγµα 1:Έστω L X 1 λκαισ 0 Σ 1...Σ µιααύξουσαακολουθία σ-αλγεβρων.έστω f Εf/Σ.Τότεηακολουθία f,σ είναιένα martigale. Παράδειγµα 2:Έστω x,k, 0, 1, 2,..., k 1, 2,..., 2 έναδένδροσ έναχώρο Baach X. Aυτόσηµαίνειότιηακολουθία x,k είναιφραγµένηκαι x,k 1 x 2 1, 2k 1 x 1,2k 0, 1, 2,..., 1 k 2. Έστω I,k k1 k,, 0, 1, 2,..., 1 k 2 ηακολουθίατωνδυαδικώνδιαστηµάτων.μεσ 2 2 συµβολίζουµετηνπεπερασµένηάλγεβραπουγεννάταιαπότην I,k 1 k 2. 13

15 Μπορούµε να ορίσουµε ένα martigale µε τιµές στο χώρο X ως εξής: ξ 0 x 01 X Io1 ξ 1 x 11 X I11 x 12 X 12 2 ξ x,k X I,k,ξ : 0, 1 X. k1 Μπορεί εύκολα να δεί κανείς ότι ξ 0 ξ 1 αφού x 01 1 x 2 11 x 12.Οµοίως 0,1 0,1 έχουµεότιεξ 1 /Σ ξ. ηλαδήηακολουθία ξ,σ είναιένα martigale. Έναδένδρο x,k καλείταιε-δένδροεάν x 1,2k1 x,k ε k 1 k 2. Είναιφανερόότιτο martigale ξ Σ πουαντιστοιχείσ έναε-δένδροδενµπορείνα συγκλίνειαφού ξ 1 t ξ t ε,t 0, 1.Στον L 1 0, 1υπάρχειένα 1-δένδρο. X k1 2, k 2 Πραγµατικάεάν h,k, 1 k 2, 0, 1,... έχουµεότι h 1,k k, 1 k 2 και h 1,2k1 h 1,2k 1 1. Είναιεπίσηςφανερόότι h,k είναιδένδρο δηλαδή h 1,2k1 h 1,2k 2h,k,,k, 1 k 2. 14

16 3.3 MAXIMAL INEQUALITY [Bou] :ΈστωΣ 0 Σ 1...Σ Σµιααύξουσα ακολουθία σ-αλγεβρών από µετρήσιµα υποσύνολα του Ω. Έστω h µιαακολουθίαθετικώνπραγµατικώνσυναρτήσεωνέτσιώστε: 1.Ηh j είναιησ j µετρήσιµη j 2.Εάν i,α Σ j τότε h i d λ h d λ και Α Α 3. sup h j j Ω Τότε c 0λω Ω: sup h j ω c 1 c j Ω sup h j dλ. Απόδειξη:Έστω έναςσταθερόςφυσικόςαριθµός.μεα 1 συµβολίζουµετο σύνλο ω Ω:h 1 ω c. j Ω Εάν 2 i µεα i συµβολίζουµετοσύνολοα i ω Ω, h 1 ω c,..., h i1 ω c, και h 1 ω c.είναιφανερόότια i Σ i καια ι Α j, i j, 1 i. Παρατηρούµε ότι c λω Ω: sup h j ω c cλ A i cλα i h i dλ h dλ h dλ sup j Ω Έχουµελοιπόναποδείξειότιλω : sup h j ω c 1 c i1 j Ω έχουµελω : sup h j ω c 1 c j i1 sup h j. j Ω i1 A i j Ω i1 A i sup h j. Είναιφανερόότιεάν Ω j 3.4ΤΟΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ LEVY - DΕVB [Bou] :Έστω Ω,Σ,λχώροςπιθανότηταςκαι Σ 1 Σ 2...Σ....Σακολουθίααπόσ-υποάλγεβρεςτηςΣτωνοποίωνηένωσηγεννά τησ.έστω f Ef/Σ όπου f µιαοποιαδήποτε Boherολοκληρώσιµησυνάρτηση f L 1 X λ. Tότε lim f ω fωλ-σχεδόνπαντούκαι lim f f 1 0. Απόδειξη:Έστωφ f L X 1 λέτσιώστε f ω fω 0λ-σχεδόνπαντούκαι f f 1 0όταν. θααποδειχθείότιτοφείναικλειστόκαιπυκνόστον L X 1 λ 15

17 Α )Τοφείναιπυκνόστον L 1 X λ :Εάν f L 1 X Ω,Σ,λ (δηλαδήεάνηf είναι Σ -µετρήσιµητότεεf/σ k f k f φ. Είναιφανερόλοιπόνότι φ L 1 X Ω,Σ,λ. Κάθεσυνάρτησητηςµορφής x X A, x X A Σ ανήκειστοφ. 1 Αφούη Σ είναιπυκνήστηνσµπορούµεναδούµεότικαικάθεσυνάρτησητης 1 µορφής x X B, x X, B Σανήκειστηνφ.Παρατηρούµεότιογραµµικόςχώροςφ περιέχειτοπυκνόσύνολοτωναπλώνσυναρτήσεων φείναιπυκνόστον L X 1 Ω,Σ,λ. 1 Β )Οφείναικλειστόςστον L X 1 λ. Έστω f στηνκλειστήθήκητουφ. ε 0,δ 0 g φέτσιώστε f g 1 2 ε δ. Έστω g EG/Σ. Γιαόλασχεδόνταω Ωέχουµε f ω f κ ω g ω g κ ω f g ω f k g k ω g ω g κ ω Ef Έστω h j ω Εf g/σ j ω. Απότιςπαραπάνωανισότητεςκαιαπότοότι g φ έχουµε ότι lim sup f ω f k ω 2 sup h j ω,λ-σχεδόνπαντού.ηακολουθία h j,k ικανοποιεί τις συνθήκες της maximal iequality (3.3) και εποµένως λω : lim sup f ω f k ω ε λω : 2 sup h j ω ε 2 ε,k j j sup h j 1 2 ε j sup Αφούταε,δήτανοποιοιδήποτεθετικοίαριθµοίέιναιφανερόότιτοόριο lim ω fω υπάρχει σχεδόν παντού. Τώρα θα µπορέσουµε να αποδείξουµε ότι η f που πήραµε στο φ ανήκειστοφ.ε 0µπορούµεναβρούµε g L 1 X Ω,Σ Ν,λγιακάποιοΝ έτσιώστε f g 1 ε. Όταν Νέχουµε 2 f f 1 f g 1 g Eg/Σ 1 Eg f/σ 1 ε 0 g f Αυτό συνεπάγεταιότικάποιαυπακολουθία f i της f συγκλίνεισχεδόνπαντούστην f fω lim f i ω fω lim f ωλ. i j Ω 3.5Θεώρηµα [D-U] :Έστω Xέναςχώρος Baachκαι K Xείναικλειστό,φραγµένο σύνολο µε την RNP. Τότε κάθε martigale µε τιµές στο K συγκλίνει σχεδόν παντού. Απόδειξη:ΑςυποθέσουµεότιτοΚέχειτην RNPγιατοχώρο Ω,Σ,λκαιότι Σ 1 Σ 2...Σ είναιµιααύξουσαακολουθίασ-υποάλγεβρωντηςσκαιότιη Σ γεννάτηνσ. Έστω f,σ ένα martigaleµετιµέςστοκ.ορίζουµεταδιανυσµατικά µέτραµα f dλ,α Σ,. Tαµείναισυνεχήωςπροςλµ λ. Eίναι Α εύκολοναδείκανείςότιτο "average rage" Aµ µ E λε,λε 0περιέχεταιστοΚ. ιότιεάν x X,τότε x µ A λa 1 λα Α 1 x f λ λ supx x : x K. ΑφούτοΚείναι (ασθενώς)κλειστό,κυρτό µ Α Κ. Παρατηρούµετώραότιτο lim µ λα Aυπάρχει 16

18 Α Σ αφούτο f,σ είναι martigaleκαιηακολουθία f dλείναιτελικάσταθερή 1 γιαα Σ. Μάλισταµπορείναδειχθείότιτοόριο lim µ Aυπάρχει Α Σαφούη Σ γεννάτηνσ.πραγµατικά ε 0,Α Σ Β Σ Ν γιακάποιον έτσιώστε λαβ ε όπουμ supx, x K. Εάν Nέχουµε 2Μ f dλ f Ν dλ Α Α Β Β ΑΒ f dλ f Ν dλ f dλ f Ν dλ 0 2λΑΒΜ ε. Αφούλοιπόνηακολουθίαµ A είναι Cachyτοόριοµ A lim µ Aυπάρχει.Το ΑΒ Α ΑΣ θεώρηµατων Vitali - Hah -Saks (3.6)συνεπάγεταιότιτοµ :ΣΧ,µA limµ A είναιµέτρο (δηλαδήείναιαριθµήσιµαπροσθετικό).αφούµ λ,αµ Αµ Κ καιτοκέχειτην RNPυπάρχει f L 1 Χ Ω,Σ,λέτσιώστεµA fdλ Α Σ. ΓιαΑ Σ έχουµε fdλ µa µ A f dλ Ef/Σ f λ-σχεδόνπαντού.απότοθεώρηµα Α Α του Levy-Doob (3.6) έχουµε ότι lim f ω fω 0λσχεδόνπαντού.Απεδείχθη λοιπόνότιεάντοκέχειτην RNPτότεκάθε martigaleµετιµέςστο Kσυγκλίνεισχεδόν παντού. Α 1 Στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήµατος χρησιµοποιήθηκε το θεώρηµα των Vitali-Hah-Saks. Για πληρώτητα παραθέτουµε την απόδειξη του από τον Duford-Schwartz Yel.Ip Θεώρηµα VITALI-HAHN-SAKS [D-S] :Έστω Ω,Σ,λχώροςπιθανότητας, X χώρος Baach καιµ :ΣΧµιαακολουθίααπόλ-συνεχή µ λδιανυσµατικά µέτρα.εάντοόριο lim µ Ευπάρχει Ε Στότε lim µ Ε 0οµοιόµορφα λε0 1, 2, 3,... Επιπλέοντοµ :ΣΧ,µΕ lim µ Εείναιδιανυσµατικόµέτρο. Απόδειξη: Μπορεί εύκολα να δεί κανείς ότι µπορούµε να ορίσουµε µια µετρική στο Σ. ΗαπόστασητωνσυνόλωνΑ,Β ΣθαείναιλΑΒ.Μπορείνααποδειχείότιαναυτόςο µετρικόςχωρόςείναιπλήρης.κάθεµ :ΣΧείναισυνεχήςσυνάρτησηαπότον µετρικόχώροσστοχεπειδήµ λ.τασύνολα Σ,m E : E Σ, µ E µ m E εείναικλειστά ε 0. Εποµένωςκαιτοσύνολο Σ ρ Σ,m είναικλειστόστονπλήρηµετρικόχώροσ.αφούτο limµeυπάρχει,mp Ε ΣέχουµεότιΣ Σ ρ.απότοθεώρηµατου BaireκάποιοαπόταΣ ρ έχει ρ1 εσωτερικόσηµείο.υπάρχειλοιπόνακέραιος q, r 0, A Σέτσιώστε ΕστησειράΚµε κέντροτοακαιακτίνα rναέχουµε µ E µ m E ε,, m 1. Αςπάρουµε 0 δr έτσιώστε µ Β ε 1, 2, 3,..., q 1, q ΒµελΒ δ. ΕάντώραλΒ δγια κάποιοβέτσιώστεα\β,αβναανήκουνστησφαίρακ Ε Σ:λΑΕ r. Θα 17

19 έχουµε µ Β µ q Β µ Β µ q Β µ q B µ A B µ q A B µ A\B µ q A\B Έχουµε δείξει λοιπόν ότι lim µ Ε 0οµοιόµορφαγια 1, 2, 3,... λε0 Αποµένει να δειχθεί ότι µ είναι αριθµήσιµα προσθετικό. Αρκεί να δείξουµε ότι µ Ε m 0γιακάθεφθίνουσαακολουθίαΕ 0 Ε 1...Ε m... µε E i. Έχουµε γιαµιατέτοιαακολουθία Ε ι ότιλε m Σ λε \Ε k1. Απότην έχουµεότι ε 0 m ε έτσιώστε µ Ε m ε m m ε, 1, 2,... µe m ε m m ε µε m 0 A.E.D. m km i1 3.7Λήµµα:ΈστωΚένακυρτόκλειστόφραγµένουποσύνολοτουΧ.Έστω Σ 1 Σ 2...Σ µιααύξουσαακολουθίασ-αλγεβρώνστο 0, 1καιξ : 0, 1 Κµια ακολουθίααπόσ µετρήσιµεςσυναρτήσειςγιατηνοποίασ ξ E j 1 ε. (Εδώµε Ε συµβολίζουµετην ExpectatioωςπροςΣ. Tότευπάρχειένα martigale ξ,σ µε τιµέςστο έτσιώστε ξ ξ 1 ε. Απόδειξη: fix k. Έχουµεότι ξ Ε κ ξ κ1 1 Σ E k ξ E k ξ 1 1 ε. Ηακολουθία Ε κ ξ 1 k µπορείνααποδειχθείότιείναι Cauchyκαιεποµένωςσυγκλίνειστον L 1 X σ έναόριοξ k. Είναιφανερόότι ξ κ ξ κ ε. Ηξ κ παίρνειτιµές (σχεδονπαντου)στοσύνολο Κ.Παρατηρούµεότιξ κ1 lim E κ1 ξ εποµένως E κ ξ κ1 lim E κ ξ ξ κ. Αυτό σηµαίνειότιηακολουθία ξ κ,σ κ κ είναιένα martigale. Είµαστε τώρα σε θέση να αποδείξουµε το εξής θεώρηµα 3.8Θεώρηµα [D-U] :ΈστωΚένακλειστόφραγµένοκυρτόυποσύνολοτουΧ.Εάν κάθε martigaleξ : 0, 1 ΚσυγκλίνεισχεδόνπαντούτότεκάθευποσύνολοτουΚ είναι detable. Απόδειξη:ΑςυποθέσουµεότιτοσύνολοΑ Κδενείναι detable.αυτοσηµαίνειότι ε 0έτσιώστε x A, x coa\bx,ε. Αρκείνααποδείξουµεότιυπάρχειµια ακολουθίασ 1 Σ 2...Σ,... σαλγεβρώναπό (µετρήσιµα)υποσύνολατου0, 1και µιαακολουθία ξ ξ : 0, 1 Kέτσιώστε 18

20 1.ΚάθεΣ είναιπεπερασµένη 2. ξ 1 ξ ε 3.Κάθεξ είναισ -µετρήσιµηκαιπαίρνειτιµέςστοα. 4. Σ ξ Ε ξ 1 1 ε. 3 ΗκατασκευήτωνΣ καιτωνξ θαγίνειεπαγωγήωςπρος. α.σ 1 φ,0, 1,ξ 1 x X 0,1 όπου xείναιέναοποιοδήποτεστοιχείοτουα. j β.αςυποθέσουµεότιέχουµεκατασκευάσειτηνσ καιξ. Έστω Ι i i1 ηδιαµέριση του 0, 1πουγεννάτηνΣ,καιαςυποθέσουµεότιηξ : 0, 1 Αείναιτηςµορφής ξ Σ j x i X Ii x 1, x 2,..., x j A. i1 Fix i.γνωρίσουµεότι x i coa\bx i,εκαιεποµένωςυπάρχουνθετικοίαριθµοί λ i,1,λ i,2,...,λ i,ki, καιστοιχεία x i,1, x i,2,..., x i,ki τουσυνόλουα\βx i,ε έτσιώστε i.λ i,1,λ i,2,...,λ i,ki 1 ii. x i λ i,1 x i,1...λ i,ki x i,ki ε 3 ώστελι i,κ λ i,κ λι i. 2. ΈστωΙ i,1,ι i,2,...,ι i,ki µιαδιαµέρισητουι i έτσι (Εδώβέβαιατολείναιτοµέτρο Lebesgue). ΟρίζουµεΣ 1 ναείναιηάλγεβραπουγεννάταιαπότο Ι i,κ : 1 i j, 1 k k i. Eπίσηςορίζουµεξ 1 : 0, 1 Xναείναιξ 1 έχουµεότι ξ 1 ξ 1 ε. j Σ k i i1k1 Σ x i,k X Ii,k. Eπειδή x i x i,k εiκαι k Παρατηρούµε ότι 19

21 j k j λi Εξ 1 ΣΣ x i,k i,k X λi i I i ξ E ξ 1 1 Σ x i k i Σ λ i,κ x i,k i1k1 j i1 k1 λι i ε 3 2. Αυτό συνεπάγεταισξ E ξ 1 1 ε. Μπορούµεναπούµεότιµέχριτώραέχουµε 3 αποδείξει το εξής θεώρηµα. 3.9 Θεώρηµα: Έστω Κ ένα κυρτό, κλειστό, φραγµένο υποσύνολο του X. Τα επόµενα είνα ισοδύναµα. (1).ΤοΚέχειτην RNP (2). Κάθε martigale µε τιµές στο Κ συγκλίνει σχεδόν παντού (3). Κάθε υποσύνολο του Κ είναι martigale (3)(1) (2.4) (1)(2) (3.5) (2)(3) (3.8) 20

22 4ΤΕΛΕΣΤΕΣΣΤΟΝ L 1 ΈστωΤ : L 1 0, 1 XέναςτελεστήςκαιΑ 0, 1ένασύνολοθετικούµέτρου.ΜεΓ Α συµβολίζουµετοσύνολογ Α Τφ : sup pφ Α,φ 0,φ Λήµµα [B1] :Έστω SΓ Α, x,αένα sliceτουσυνόλουγ Α.Τότευπάρχει Β Α,λΒ 0έτσιώστεΓ Β SΓ Α, x, a. Aπόδειξη:Έστωγ sup x Γ Α aκαιφ 0, sup pφ Α,φ 1έτσιώστε φτ x γ. ΤοσύνολοΚ y L 1 Α : y 0 και yτ x γy 1 είναιέναςκυρτόςκλειστός κώνοςτου L 1 Α. Είναιφανερόότιφ Κκαιεποµένωςαπότοθεώρηµα Hah-Baach g L Aέτσιώστεφg sup yg 0. yκ ΤοσύνολοΒ g 0είναιέναυποσύνολοτουΑκαιέχειθετικόµέτρο.Εάντώρα y 0, y 1και sup py Βέχουµεότι yτ x γ (αφού y Κ) x Ty sup x Γ Α α ΑυτόσηµαίνειότιΓ Β SΓ Α, x, a. Αναπαραστάσιµοι Τελεστές 4.2Ορισµός:Έστω Xέναςχώρος Baach.ΈναςτελεστήςΤ : L 1 0, 1 Xένας τελεστής.αςυποθέσουµεότι ε 0Α 0, 1θετικούµέτρου Β Α,λΒ 0έτσι ώστε diamγ Β ε. ΤότεοτελεστήςΤείναιαναπαραστάσιµος. Απόδειξη:Τοδιανυσµατικόµέτροµ :ΣX,µΑ ΤX Α έχειτηνιδιότητα : Ε 0, 1µελΕ 0 Ε 1 Εέτσιώστετο average rage Αµ µε λε,ε Ε 1,λΕ 0ναέχειδιάµετροµικρότερητουε.Όπωςπροκύπτειαπό την απόδειξη του θεωρήµατος (2.4) το µ έχει Rado-Nikodym παράγωγο η οποία θα είναι η συνάρτηση που "αναπαραστά" τον Τ. 4.3Θεώρηµα:ΈστωΚ Xένακυρτόκλειστόυποσύνολοτου Xµετην RNP.Εάν Τ : L 1 0, 1 XείναιέναςτελεστήςέτσιώστεΓ 0,1 Τφ :φ0,φ 1 ΚτότεοΤ είναι αναπαραστάσιµος. 21

23 Απόδειξη:ΕάνΑ 0, 1,λΑ 0τότετοσύνολοΓ Α Τφ :φ0 sup pφ Α,φ1 είναι detableκαιεποµένως ε 0 slice SτουΓ Α έτσιώστε diams ε. Απότολήµµα (4.1) Β Α,λΒ 0έτσιώστεΓ Β SκαιότιοτελεστήςΤείναιαναπαραστάσιµος. 4.4Θεώρηµα:ΈστωΚένακλειστόκυρτόφραγµένουποσύνολοτου X.Εάνκάθε τελεστήςτ : L 1 XέτσιώστεΓ 0,1 Κείναιαναπαραστάσιµοςτότεκάθε martigaleµε τιµέςστοκσυγκλίνεισχεδόνπαντού (καιεποµένωςτοκέχειτην RNP). Απόδειξη:Έστωξ : 0, 1 Xένα martigaleµετιµέςστοκ.θεωρούµετοντελεστή Τ : L 1 X,Τφ lim ξ φ. (Τοόριουπάρχειγιακάθεαπλήσυνάρτησηφκαιεποµένως φ L 1 ). Έστω g L X ηπαράγωγοςτουτ.έχουµεότιφg lim ξ φ,φ L 1. Αυτόσηµαίνει ότιεg/σ ξ. Aπότοθεώρηµατου Levy-Doobέχουµεότιτο martigaleσυγκλίνει σχεδόν παντού στην g. 4.5Θεώρηµα (Daford-Pettis) [D-U] :ΈστωΤ : L 1 X έναςαναπαραστάσιµος τελεστής.εάνκ L 1 καιτοσύνολοτκείναι orm-συµπαγέςυποσύνολοτου X. Απόδειξη:Αςυποθέσουµεότι g L X έτσιώστετf fgdλ,f L 1. ΈστωΚένα φραγµένοοµοιόµορφαολοκληρώσιµο (uiformly itergalle)υποσύνολοτου L 1. ιαλέγουµεµιαακολουθία g απλώνσυναρτήσεωνηοποίανασυγκλίνεισχεδόν παντούστην g.απότοθεώρηµατου EgoroffµπορούµεναβρούµεένασύνολοΕ 1 έτσι ώστε lim g gοµοιόµορφαστοε 1 καιτοµέτρολ0, 1\Ε 1 ναείναιτόσοµικρόώστε 0,1\Ε 1 Ε f dλ f K. Τ1 Αφούησυνάρτηση g X E1 : 0, 1 Xέχει (σχετ.)συµπαγέςπεδίοτιµών,οτελεστής f fgdλείναισυµπαγήςκαιεποµένωςτοσύνολο fgdλ,f Κείναισχετ. E 1 συµπαγής. E 1 Παρατηρούµεότιγια f Κ fgdλ Τε 0,1\Ε 1 Τ1 ε. 22

24 Τοσύνολο Τf : f Κ fgdλ fgdλ, f Κείναι totally boudedαπό E 1 0,1\Ε 1 2ε σφαίρες.άρατοσύνολοτκείναισχετ.συµπαγές. 4.6Θεώρηµα (Lewis - Stegall):ΈστωΤ : L 1 Xέναςτελεστής.ΟΤείναι αναπαραστάσιµοςεάνκαιµόνοεάνυπάρχουντελεστές S : L 1 l 1, U : l 1 Xέτσιώστε Τ US. Ηαπόδειξη (στηγλώσσατωνδιανυσµατικώνµέτρων)έχειγίνειστoκεφάλαιο 2. Παρατήρηση:Γνωρίζουµεότιοχώρος l 1 έχειτηνιδιότητατου Schurδηλαδήεάνµια ακολουθίασυγλίνειασθενώςστον l 1 τότεσυγκλίνεικαιστηνόρµατου l 1.Τοθεώρηµα των Lewis - Stegall δίνει µια άλλη απόδειξη του θεωρήµατος των Duford-Pettis (4.5). 4.7Θεώρηµα:ΈστωΤ : L 1 Xέναςασθενώςσυµπαγήςτελεστής.ΤότεοΤείναι αναπαραστάσιµος. Απόδειξη [S] : Χωρίς βλαβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος. Έστω W ένα ασθενώς συµπαγές υποσύνολο του X έτσι ώστε Τf : f 1 1 W. Μπορούµεναδεχθούµεότιτο Wείναικυρτόσυµµετρικό. ιαλέγουµεµιαακολουθία x i i1 όταν X, x i 1ηοποία "νορµάρει"κάθεστοιχείο του X (δηλαδήεάν x X, τότε x sup x i x ).Έστωα sup x. i xw Ορίζουµε την απεικόνηση Φ : W Q Π α,α i1 Φx x i x i1 x W. ΗσυνάρτησηΦείναιοµοιοµορφισµόςτου Wµετηνασθενήτοπολογίατου Q (διότιη cox i, i 0είναι w πυκνήστηνβ x x X,x 1καιεποµένωςείναι πυκνή ως προς την οµοιόµορφη σύγλιση στην ασθενώς συµπαγή κυρτά υποσύνολα του X). Έστω h i T x i L. Μπορούµεναδούµεότι sup h i ω T x i α i Ορίζουµε y : 0, 1 Q yω h i ω i1. Αφού η y είναι η "κατά συντεταγµένες µετρήσιµη" είναι µετρήσιµη. Θα δείξουµε ότι 23

25 yω ΦW λ σχεδόνπαντούκαιτότεησυνάρτησηφ 1 Ψθαείναιη"παράγωγος τουτ. Ισχυριζόµαστεότι τοσύνολο A ω : x Wµε x i x h i ω 1 i έχει µέτρο 1.Αυτότοσύνολοείναιµετρήσιµοεπειδήείναιτηςµορφής y 1 Uόποθ Uείναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Q. Ορίζουµε τον τελεστή S X l, S x x i x i1. Οτελεστής S Tείναιαναπαραστάσιµοςµεπαράγωγο τηνσυνάρτησηω h i ω i1. Τοσύνολο S T f : f 1 1περιέχειστοσύνολο S Wπουείναι ormσυµπαγές.αυτόσηµαίνειότι h i ω i1 είναιστο S Wγιαόλα σχεδόνταω 0, 1. ΑυτόσυνεπάγεταιότιλA 1 λ A 1. Γιαω A διαλέγουµε x Wέτσι ώστε i x i x h i ω Έστω x 0 έναασθενέςσηµείοσυσσώρευσηςτης x 1. Τότε x i x 0 h i ω i. Αυτό σηµαίνειότι yω ΦW λ σχεδόνπαντού.ησυνάρτησηφ 1 Ψ : 0, 1 Xείναιη παράγωγος του Τ. 4.8Πόρισµα:ΕάνΤ : L 1 XείναιασθενώςσυµπαγήςτότεοΤαπεικονίζειασθενώς συµπαγήυποσύνολατου L 1 σε ormσυµπαγήυποσύνολατου X. 4.9 Superlemma [Bou] : (Asplud, Namioka, Bourgai). Έστω Τ,Κ 0,Κ 1 κλειστά,κυρτάφραγµέναυποσύνολατουχώρου Baach Xκαιε 0 έτσι ώστε (1) J coκ 0 Κ 1 (2)Κ ο Jκαι diamκ 0 ε (3) J\Κ 1 Τότευπάρχειένα sliceτου Jτοοποίοπεριέχειένασηµείοτου Κ 0 καιτουοποίουη διάµετρος είναι µικρότερη του ε. Απόδειξη: r 0, 1θέτουµε C r x X : x 1 λx 0 λx 1, x 0 Κ 1, r λ1. 24

26 Παρατηρούµεότιόπωςτο r 0τακυρτάσύνολα C r αυξάνουναπότοσύνολοκ 1 στο σύνολο co coκ 0 Κ 1. Πρώταθααποδειχθείότιεάν 0 r 1τότε J\C r K 0 \C r. Έστω f X έτσιώστε sup fk 1 sup ft Έχουµελοιπόνότι sup ft sup fco sup fco maxsup fk 0, sup fk 1 sup ft. Eπίσης παρατηρούµε ότι sup fc r sup fc r sup1 λ sup fk 0 λ sup fk 1 :λr, 1 1 r sup fk 0 rsup Αυτόσυνεπάγεταιότιδενείναιδυνατόν C r K 0 αφούτότε sup fc r sup fk 0. Τοεπόµενοβήµαείναινααποδείξουµεότι diamj\c r εεάντο rείναιαρκετάκοντά στο 0. Αφού J coέχουµε J\C r co\c r. Eπειδήτο C r είναικλειστότο co\c r είναιπυκνόστο co\c r. Εποµένωςεάν w J\C r καιδ 0 x co\c r έτσιώστε w x δ. ιαλέγουµε x 0 K o, x 1 K 1 καιλ 0, rέτσιώστεχ 1 λx 0 λx 1. Έχουµεότι w x 0 w x x x 0 δ λx 0 x 1 δ rmόπου Μ sup 0 y 1 : y 0 Κ 0, y 1 Κ 1 Είναιεύκολοναδούµετώραότι diamj\c r δ rm diamk o δrm Επειδή diamk o εεάνπάρουµεταδ, rκατάλληλαµικράµπορούµενακάνουµετην διάµετροτου J\C r µικρότερηαποε. Τώραεάν x 0 K o και x 0 J\C r τότευπάρχειένα sliceτου Jξένοπρόςτο C r.το slice αυτό έχει διάµετρο µικρότερη απο ε. Υπάρχειµια w µορφήτου Superlemmaηοποίαµπορείναδιατυπωθείωςεξής. Superlemma :Έστωε 0, J, K 0, K 1 w -συµπαγήυποσύνολατουδυϊκούχώρου Baach X έτσιώστε (1) J cok 0 K 1 w cok 0 K 1 (2) K 0 Jκαι diamk o ε (3) J\K 1 25

27 Τότευπάρχειένα w sliceτου JτοοποίοπεριέχειένασηµείοτουΚ 0 καιτουοποίου η διάµετρος είναι µικρότερη απο ε. 4.10Θεώρηµα [Bou] :ΈστωΚέναασθενώςσυµπαγέςκυρτόυποσύνολοτου X.Τότε τοκέχειτην RNP. Aπόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι το Κ είναι διαχωρίσιµο ασθενώς συµπαγές υποσύνολο του XκαιότιτοΚδενείναι detable.έστω x i έναπυκνόυποσύνολοτουκκαιε 0. Έστω D ασθενώςκλειστήθήκητου w K K. Παρατηρούµεότι Bx i, ε. 3 Το σύνολο D µε την ασθενή τοπολογία είναι συµπαγής (Hausdorff) και αφού τα σύνολα DBx i, ε είναιασθενώςκλειστάαπότοθεώρηµακατηγορίαςτου Baire 2 µπορούµεναβρούµεέναασθενώςανοικτόυποσύνολοτου Vτου Xέτσιώστε V D Bx i, ε γιακάποιο i 3 i1 ΈστωΚ 0 cov Dκαι Κ 1 coκ\v Παρατηρούµε ότι (1)Κ cok 0 K 1 (2) diamk o ε. Έστωτώρα x extk V. (Αφού V D. υπάρχειτέτοιο x).έχουµεότι x ασθενήθήκη Κ\Vκαιεποµένως x K 1 coκ\v. ηλαδή (3) K\K 1. Το Superlemma µπορεί να εφαρµοστεί για το σύνολο Κ αφού ισχύουν τα (1),(2),(3). Εποµένωςυπάρχειένα sliceτουκδιαµέτρουε. ΑυτόσηµαίνειότιτοΚείναι detable. 4.11Λήµµα:Έστω D, Cκλειστάφραγµένακυρτάυποσύνολατου X.Έστω J codcκαιέστω fx sup ft sup fcγιακάποιο f X και x J. Τότε x D. Απόδειξη: x codcέτσιώστε x x 0. Αςυποθέσουµεότι x λ d 1 λ c, 0 λ 1 d D, c C. Χωρίςβλάβητηςγενικότητας υποθέτουµεότι λ lim λ f/d 1 λ fc λ sup fd 1 λ sup fc sup fj. 26

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Θέμης Μήτσης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1. Μέτρα 5 Κεφάλαιο 2. Εξωτερικά μέτρα 7 Κεφάλαιο 3. Το μέτρο Lebesgue 9 Κεφάλαιο 4. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

σημειωσεις θεωριας μετρου

σημειωσεις θεωριας μετρου σημειωσεις θεωριας μετρου Σάμος 2009 Επιλογή υλικού Αντώνης Τσολομύτης Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών. Δημιουργία πρώτου ηλεκτρονικού αρχείου Μαγδαληνή Πλιόγκα Απόφοιτος του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Ανδρέας Καβατζικλής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου 57 8 Αθήνα e-mail: kaviros@ceral.ua.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κεφάλαιο 6 Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 2002, Katznelson 2004 και Stein and Shakarchi 20. 6. Όχι σύγκλιση σε

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Βλάσης Μαστραντώνης Περίληψη Το πρόβληµα της µοναδικότητας του αναπτύγµατος µιας συνάρτησης σε τριγωνοµετρική σειρά έχει µεγάλη ιστορία, η

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Συµβάσεις και συµβολισµοί 4 1. Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue 5 2. Μετρήσιµα σύνολα 7 3. Η

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0

Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0 Κεφάλαιο 5 Σειρές Fourier 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Σε αυτό το κεφάλαιο ϑεωρούµε συναρτήσεις µε µιγαδικές τιµές. Αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Sunarthsiak Anˆlush Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης νοιξη 2004 2 Perieqìmena 1 Εισαγωγικά 7 1.1 Διατάξεις............................... 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Functon Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών 2 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ UNIVERSITY OF PATRAS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

= f(x) για κάθε x R.

= f(x) για κάθε x R. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 4: Συνέχεια και όρια συναρτήσεων Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α)

Διαβάστε περισσότερα

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Μαθηµατικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Θέµατα σε όλη τη ύλη) Άσκηση 2 η Αν f συνεχής στο [1, 11], παραγωγίσιµη στο (1, 11) και f(1)=1, f(11)=11 δείξτε ότι υπάρχουν α, β στο (1,

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1 Σημειώσεις για τους χώρους Hilbert και άλλα Αριστείδης Κατάβολος Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών», εκδ. «Συμμετρία», 2008. Περιεχόμενα I Χώροι Hilbert 1 1 Εσωτερικά γινόμενα 1 1.0.1 Παραδείγματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 2. Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 22 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Βούτες, 70013 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com Ανοιξη 2013-14 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Κρυπτοσύστηµα µετατόπισης Στο συγκεκριµένο κρυπτοσύστηµα, οι χώροι P, C, K είναι ο δακτύλιος. Για κάθε κλειδί k, ορίζουµε τη συνάρτηση κρυπτογράφησης: f : : x x+ k, k

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ Μια Εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων Κώστας Στροπωνιάτης ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ A ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 1 Επιβλέπων Βαγγέλης Φελουζής Επιτροπή Χρήστος Νικολόπουλος Νίκος Παπαλεξίου 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα