ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ"

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ RADON NIKODYM ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH, ΣΥΝΕΧΗ ΙΔΙΑΖΟΝΤΑ ΜΕΤΡΑ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΤΟΝ L¹ ΖΑΚΥΝΘΙΝΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Επιβλέπων : Επίκουρος Καθηγητής Πετράκης Μίνως ΧΑΝΙΑ, 2011

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή...σελ.2 1.Προκατακτικά -Ορισµοί...σελ.3 2.Ηιδιότητα Rado - Nikodym...σελ.8 3. Martigales...σελ.12 4.Τελεστέςστον L 1...σελ.21 5.Η RNPσεδυϊκούςχώρους...σελ.38 6.Ιδιάζοντασυνεχήµέτρακαιτελεστέςστον L 1...σελ.41 Βιβλιογραφία...σελ.48 1

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην διατριβή αυτή, παρουσιάζουµε µια συνοπτική εισαγωγή στη θεωρία στην θεωρία των χώρων µε την RNP (Ιδιότητα Rado Nikodym). ίνουµε όµως πλήρη απόδειξη του βασικού θεωρήµατος της detability (θεώρηµα 6.8). Στο [D] ο R. Doss αποδεικνύει το εξής αποτέλεσµα: ΑντολείναισυνεχέςµέτροστονκύκλοΠτότευπάρχει m (mείναιτοµέτρο Lebesgueστον Π)έτσιώστε λ m. Στοκεφάλαιο 6χρησιµοποιούµεαναπαραστάσειςτελεστώνστον L 1 µεστοχαστικούς πυρήνες και αποδεικνύουµε ότι στην περίπτωση που το µέτρο λ είναι Rajchma το µέτρον στοθεώρηµατου R.Doss µπορείναπαρθείναείναιένα Rieszγινόµενοτης µορφής w lim Π 1 cos k x (θεώρηµα 6.8). k1 Τοµέτροαυτόείναιιδιάζονπροςτο m. Επίσης παραθέτουµε εφαρµογές στην πραγµατική ανάλυση ενός θεωρήµατος από το [Β2]. 2

4 1.Προκατακτικά - Ορισµοί Έστω (,,)έναςχώροςπιθανότηταςκαι Xέναςχώρος Baach. Μίασυνάρτησηκαλείταιαπλήεάνυπάρχουν x 1, x 2,..., x XκαιΕ 1,Ε 2,...,Ε Ν έστι ώστε f : x i χ Ε1 όπουχ Ε1 ω 0εάνω Ε i. To (Boher)ολοκλήρωµαµιαςαπλής i1 συναρτήσεως f είναι εξ ορισµού fdλ x i λε Ε ι,ε Σ. Ε i1 Μίασυνάρτηση f : X καλείταιµετρήσιµηεάνυπάρχειµιαακολουθίααπλών συναρτήσεων s έτσιώστε lim s f 0 λ-σχεδόνπαντού. Εάν f : X είναιµετρήσιµησυνάρτησηκαιυπάρχειακολουθίααπλών συναρτήσεων s έτσιώστε lim s fdλ 0τότεηf καλείται Boher ολοκληρώσιµη. Σ αυτήν την περίπτωση fdλορίζεται Ε Σσαντοόριο lim s dλ. Ε E Ο ίδιος ο Boher έδωσε τον παρακάτω χαρακτηρισµό των Boher ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. 1.1Θεώρηµα :Έστω f : X µιαµετρήσιµησυνάρτηση.η f είναι Boher ολοκληρώσιµη εάν και µόνο αν fdλ. Ω Με L X 1 λσυµβολίζουµετονχώρο Baachόλωντων Boherολοκληρώσιµων Παρατήρηση: πολλά από τα κλασικά θεωρήµατα για µετρήσιµες πραγµατικές συναρτήσεις και Lebesgue ολοκληρώσιµες συναρτήσεις γενικεύονται στην περίπτωση διανυσµατικών συναρτήσεων µε τιµές σ ένα χώρο Baach. Σχεδόν όλες οι αποδείξεις παραµένουν οι ίδιες (αρκεί κάποιος να αντικαταστήσει τις απόλυτες τιµές µε νόρµες). Παρακάτω αναφέρονται (χωρίς απόδειξη) ορισµένα θεωρήµατα για Boher συναρτήσεις. 1.Έστω f µιαακολουθίααπο Boherολοκληρώσιµεςσυναρτήσεις f : X. Εάν lim f fστολ-µέτρο (δηλαδήεάν limλω Ω:f ω fω ε 0 ε 0 ) 3

5 καιεάνυπάρχειπραγµατική Lebesgueολοκληρώσιµησηνάρτηση g :Ωέτσιώστε f gλ-σχεδόνπαντού,τότεηf είναι Boher oοκληρώσιµηκαι lim f dλ f dλ Ε Σ. E E 2.Εάν f L X 1 τότε fdλ fdλ Ε Σ. Ε Ε 3.Εάν f, g L 1 X και fdλ gdλ Ε Στότε f g λ-σχεδόνπαντού. Ε Ε 4.Εάν f : 0, 1 X είναι Boherολοκληρώσιµητότεγιαόλασχεδόντα s 0, 1 sh ftdt fs. έχουµε lim 1 h h0 S 5.Έστω Tέναςκλειστόςτελεστήςαπότονχώρο Baach Xστονχώρο BaachΨ.Εάν η f : XκαιηTf :ΩΨείναι Boherολοκληρώσιµεςτότε T fdλ Tfdλ. E Ε 6.Εάν f L X 1 καιε Σ,λΕ 0τότε 1 λε fdλ cofe. Ε Ένααποτασηµαντικάθεωρήµαταγιαµετρήσιµεςσυναρτήσεις f : Xείναιτο θεώρηµα Μετρησιµότητας του Pettis. 1.2Θεώρηµα [D-U] :Έστω f : Xµιασυνάρτηση.Ταεπόµεναείναιισοδύναµα. 1.Ηfείναιµετρίσιµη 2. x X ηπραγµατικήσυνάρτηση x f :ΩείναιµετρήσιµηκαιυπάρχειΕ Σ, λε 0έτσιώστετοσύνολο fω\εείναι (orm)διαχωρίσιµουποσύνολοτο X. Απόδειξη: (1 2)Αςυποθέσουµεότιηf: X είναιµετρίσιµη.αποτοθεώτηµατου Egoroff µπορούµεναβρούµεµιαακολουθία f απλώνσυναρτήσεωνέτσιώστε lim f f 0 λ-σχεδόνοµοιόµορφα. ηλαδήγιακάθε NυπάρχειένασύνολοΕ Σέτσιώστε 4

6 λε 1 και lim f fοµοιόµορφαστοω\ε.κάθεσυνάρτηση f έχειπεδίοτιµώνένα φραγµένο υποσύνολο κάποιου υπόχωρου του X που είναι πεπερασµένης διάστασης. Εποµένωςτοσύνολο fω\ε είναιολικάφραγµένο (totally bouded)καιδιαχωρίσιµο. Είναιφανερόλοιπόνότιτοσύνολο f Ω\Ε fω\ε είναιδιαχωρίσιµο. Παρατηρούµε επίσης ότι το σύνολο Ω\ Ω\Ε Ε έχειλ-µέτροµηδέναφού λε 1.ΈχουµεαποδείξειλοιπόνότιυπάρχεισύνολοΕ,λΕ 0έτσιώστετο σύνολο fω\εείναιδιαχωρίσιµο. 1 Εάν x X τότεησυνάρτηση x f είναιαπλήαφούηf είναιαπλή.γνωρίζουµεότι f ω fωγιαόλασχεδόνταω Ωεποµένως x f ω x fωγιαόλασχεδόντα ω Ω.Αυτόσηµαίνειότιησυνάρτηση x f :Ωείναιµετρήσιµη. 2 1 :ΈστωΕ Σ,µελΕ 0και fω\εδιαχωρίσιµουποσύνολοτου X.Έστω x ένααριθµήσιµοπυκνόυποσύνολοτου fω\ε.μετηβοήθειατουθεωρήµατος Hah-Baachµπορούµεναδιαλέξουµεµιαακολουθία x συναρτησοειδώνστον X έτσιώστε x x x και x 1.Εάνω Ω\Ετότε fω sup x fω.εποµένως ησυνάρτηση f x είναιµετρήσιµη. Έστωε 0.ΘεωρούµετασύνολαΕ ω Ω:g ω ε.εάντοµέτρολείναι πλήρεςτότεκάθεε ανήκειστηνσ.σεκάθεπερίπτωση β Σµελβ E 0. Ορίζουµετηνσυνάρτηση g :ΩXωςεξής: gω χ εάνωεβ \ β m m gω 0εάνω β. Παρατηρούµεότι gω fω εγιαόλασχεδόνταω Ω. ηλαδήηf µπορείνα προσεγγιστεί από µια συνάρτηση g που παίρνει αριθµήσιµο το πλήθος τιµές. Εάν πάρουµεε 1 είναιφανερόότιµπορούµενακατασκευάσουµεµιαακολουθία g από συναρτήσειςπουπαίρνουναριθµήσιµεςτοπλήθοςτιµέςκαι g f 1 σχεδόν παντού.κάθε g έχειτηµορφή g x,m X E,m µεε,i Ε,j εάν i jκαι E,m Σ. m1 Επειδήτοµέτρολείναιπεπερασµένοείναιδυνατόννα "κόψουµε"λίγοτις g καινα ορίσουµεµιαακολουθία f απόαπλέςσυναρτήσειςπουνασυγκλίνουνσχεδόνπαντού στην f. Αυτό σηµαίνει ότι είναι η f είναι µετρήσιµη. ΈστωΩέναµηκενόσύνολο,Σµιασ-άλγεβραυποσυνόλωντουΩκαι Xέναςχώρος Baach. 5

7 1.3Ορισµός: Hαπεικόνησηµ :ΣXκαλείταιδιανυσµατικόµέτρο (vector measure) εάνµ Α µα γιακάθεακολουθία Α ξένωνσυνόλωναπότηνσ-άλγεβρα Σ. 1 1 Παρατήρηση: Είναι φανερό ότι η σειρά µα όχιµόνοσυγκλίνειαλλάκαικάθε 1 αναδιάταξη των όρων της δίνει συγκλίνουσα σειρά εάν το µ είναι διανυσµατικό µέτρο. Η κύµανση (variatio) ενός διανυσµατικού µέτρου µ είναι η (επεκτεταµένη πραγµατική)συνάρτηση µ :Σ0,τηςοποίαςητιµήσ ένασύνολο E Σείναι µ Ε sup µa όπουτο supremumτοπαίρνουµεπάνωσ όλεςτιςδιαµερίσεις π Aπ τουεσεπεπερασµένοτοπλήθοςξένωναναδύοστοιχείωναπότηνσ.εάν µ Ω τότε το διανυσµατικό µέτρο µ καλείται µέτρο φραγµένης κύµανσης (bouded variatio). Εάν Ω,Σ,λείναιέναςχώροςπιθανότητας, Xέναςχώρος Baachκαι f L 1 X λµια Boher ολοκληρώσιµη συνάρτηση µπορούµε να ορίσουµε ένα διανυσµατικό µέτρο µ :ΣXωςεξής:µΕ fdλ,ε Σ.Τοότιτοµείναιαριθµήσιµαπροσθετικό Ε χρειάζεταιαπόδειξη (ΕάνΕ Ε µε Ε ακολουθίαξένωναναδυοσυνόλωναπότη Στότεησειρά fdλσυγκλίνειαπολύτωςγιατίκυριαρχείταιαπότηνσυγκλίνουσα 1Ε σειράf dλ.παρατηρούµεότι 1 Ε fdλ f dλ Ε 1Ε 1 fdλ.είναιφανερόότι Ε 1 limλ m m1 Ε 0καιεποµένως ότιµ Ε µε ). 1 1 lim m fdλ 0 Ε Ε 1Ε m1 1 fdλ fdλ.αυτόσηµαίνει Τοµέτροµ,µΕ fdλείναιφραγµένηςκύµανσης (bouded variatio)καιαπολύτως Ε συνεχέςωςπροςτολ(δηλαδήεάν E ΣκαιλΕ 0τότε µ Ε 0). Είναι φυσικό να ρωτήσουµε εάν κάθε διανυσµατικό µέτρο µ, που είναι φραγµένης κύµανσης και είναι απόλυτα συνεχές ως προς το λ προέρχεται απο µια Boher 6

8 ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι αρνητική όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγµα. Παράδειγµα:Έστω Ω,Σ,λ 0, 1, Lebesgueµετρήσιµασύνολα, Lebesgueµέτρο). Έστω XοBaachχώρος L 1 0, 1.Θεωρούµετοδιανυσµατικόµέτροµ :ΣL 1 0, 1που ορίζεταιωςεξήςµα X Α,Α Σ. Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι το µ είναι ένα διανυσµατικό µέτρο πεπερασµένης κύµανσης και απολύτως συνεχές ως προς λ. Αςυποθέσουµεότι f L 1 L 1λέτσιώστεµΑ f dλθακαταλήξουµεσεάτοπο. Έστω F L 0, 1 L 1 0, 1.Είναιφανερόότι F, ftdλt F, ftdλt F, X A Ftdλt. Αυτόσυνεπάγεταιότιυπάρχειένα Α Α σύνολοαf ΣµελΑF 0έτσιώστε F, ft Ftt 0, 1\AF. Α Α Έστω Ι ηακολουθίαόλωντωνυποδιαστηµάτωντου 0, 1µερητάάκρα.Έστω F X I L 0, 1.ΈστωΑ ΑF και x 0. 1\Α. 1 Έχουµε ότι fxsdλs F sfxsdλs F x.εάν x I τότε F x 0 Ι εποµένως fxs 0γιαόλασχεδόντα s 0, 1εάν x 0, 1 \Α.Αυτόσυνεπάγεταιότι η f : 0, 1 L 1 µηδενίζεταισχεδόνπαντού. ενείναιδυνατόνλοιπον fdλ X Α, Α Σ. Α 7

9 2.ΗΙ ΙΟΤΗΤΑ RADON - NIKODYM 2.1Ορισµός:Οχώρος Baach Xλέµεότιέχειτην Rado - NikodymΙδιότητα (RNP) εάνγιακάθεχώροπιθανότητας Ω,Σ,λκαιγιακάθεδιανυσµατικόµέτροµ :ΣX (το οποίο είναι φραγµένης κύµανσης και απόλυτως συνεχές ως προς το λ) υπάρχει Boher ολοκληρώσιµησυνάρτηση f L 1 X λέτσιώστεµε f dλ E Σ. 2.2 Ορισµός: Έστω Κ ένα κλειστό φραγµένο κυρτό υποσύνολο του χώρου Baach X. ToσύνολοΚέχειτην Rado - NikodymΙδιότηταεάνγιακάθεχώροπιθανότητας Ω,Σ,λ καικάθεδιανυσµατικόµέτροµ :ΣXτοοποίοείναιαπολύτωςσυνεχέςωςπροςλ, είναιφραγµένηςκύµανσηςκαιπουτο "average rage"αµ µε,ε Σ,λΕ 0. λε περιέχεταιστοκυπάρχει f L 1 X λέτσιώστεµα fdλ E Σ. Ε ΈνακλειστόκαικυρτόυποσύνολοΚ Xέχειτην RNPεάνκάθεκλειστό,κυρτόκαι φραγµένο υποσύνολο του Κ έχει την RNP. Οιχώροι L 1, c o, c0, 1, l, L δενέχουντην RNP.Κάθεαυτοπαθήςχώρος,κάθεδυϊκός χώροςείναιδιαχωρίσιµος (π.χ. l 1 )κάθεχώροςµε boudelly completeβάσηέχειτην RNP. Είναιπολύεύκολοναδείκανείςότι: 1.Εάν X,Ψείναιισοµορφικοίχώροι BaachκαιοXέχειτην RNPτότεκαιοΨέχειτην RNP. 2. EάνοXέχειτην RNPτότεκαικάθευπόχωροςτου Xέχειτην RNP. 3.Εάνκάθεδιαχωρίσιµοςυπόχωροςτου Xέχειτην RNPτότεκαιοXέχειτην RNP. 2.3Ορισµός:ΈστωΑέναφραγµένουποσύνολοτου X.ΤοΑκαλείται detableεάν ε 0 xεαέτσιώστε x coa\b ε x. (coσυµβολίζειτηνκλειστήκυρτήθήκηκαι B ε x y X : x y ε) ΕάνΑείναιέναφραγµένουποσύνολοτου X,α 0και f X, f 0τότετο slice τουα πουορίζεταιαπότο f καιτοαείναιτοσύνολο sα, f,α x Α:fx supfa α. Είναιεύκολοναδείκανείς (µετηβοήθειατου Hah-Baach)ότιένασύνολοΑείναι detableεάνκαιµόνοεάν ε 0υπάρχεικάποιο slice sa, f,ατουοποίουηδιάµετρος 8

10 είναι µικρότερη απο ε. Το 1967 ο M.A.Rieffel εισήγαγε την ένοια της detability και απέδειξε το εξής θεώρηµα. 2.4 Θεώρηµα [D-U] : Έστω X ένας χώρος Baach. Εάν κάθε φραγµένο υποσύνολο του Xείναι detableτότεοxέχειτην RNPιδιότητα. Απόδειξη:Έστωµ :ΣXέναδιανυσµατικόµέτροφραγµένηςκύµανσηςκαι απολύτως συνεχές ως προς το µέτρο πιθανότητας λ. Εάν µ είναι η variatio του µ από το κλασικό Rado-Nikodym θεώρηµα µπορούµε ναβρούµε h L 1 λ, h 0έτσιώστε µ Ε hdλ, Ε Σ.Εάν F ΣµεΑF συµβολίσουµετοσύνολο µg λg : G F,λG 0. Εάνησυνάρτηση hείναιφραγµένηστο Fτότετο AFείναιφραγµένοσύνολοδιότι µg λg µ G λg 1 λg hdλ. G Η καρδιά της απόδειξης Rieffel βρίσκεται στο επόµενο λήµµα. Ε 2.5Λήµµα: 3 0,Ε ΣµελΕ 0,F Σµε F ΕκαιλF 0έτσιώστε diamaf ε.γιανααποδείξουµετολήµµααςυποθέσουµεότιη hείναιφραγµένηστο 9

11 Ε,καιεποµένωςτοσύνολοΑΕείναιφραγµένο.Αυτόµπορούµενατοκάνουµεχωρίς βλάβητηςγενικότηταςαφούε ω Ε:hω.ΤοσύνολοΑΕείναι detable εποµένως F 0 Ε,λF 0 0έτσιώστε µf 0 λf 0 coαε\β ε µf 0 2 λf 0 Q. Εάν diamaf εέχουµεαποδείξειτολήµµα.εάν diamaf ετότε Β F 0,λΒ 0 έτσιώστε µβ Q.Πραγµατικάεάν µκ Q Κ F λβ λκ 0,λΚ 0τότε µκ µf 0 λκ λf 0 ε diamaf ε ε ε. ιαλέγουµετώραµια maximal (αναγκαστικάαριθµήσιµη)οικογένειααπόξέναανάδύοσύνολα Β,λΒ 0,Β F 0 και µβ λβ Q.Θεωρούµετοσύνολο F F 0 \Β.ΕάνλF 0τότεµF 0και µπορούµεναγράψουµε µf 0 λf 0 µ Β λβ i λβ λβ i µβ.αυτόσηµαίνειότιτο µf 0 λβ λf 0 βρίσκεταιστο Qπράγµαάτοπο. ενείναιλοιπόνδυνατόνναείναιλf 0. ΕποµένωςλF 0.Απότην maximalityτης Β εάν G FκαιλG 0τότε µg Q µg µf 0 ε. Αυτόσυνεπάγεταιότι diamaf εκαιτολήµµαέχει λg λg λf 0 2 αποδειχθεί. Τώρα συνεχίζουµε την απόδειξη του θεωρήµατος. Μπορούµε να πάρουµε (ξανά!) µια maximal (αναγκαστικααρθµήσιµη)οικογένεια Ε i i απόξέναανάδύοσύνολαστην Σ,λΕ i 0έτσιώστε diamaε i ε i.είναιφανερότώραότιµεεπαγωγήµπορούµενα βρούµεµιαακολουθίαδιαµερίσεωνπ Ε i i,αύξουσαωςπροςτην refiemetέτσι ώστε diamaε i 1 1,.Θεωρούµετησυνάρτηση g 2 1 :ΩX, g µe i i λe i X E i. Παρατηρούµεότιηg είναιοµοιόµορφα Cauchy (g ω g m ω εάν m )και εποµένωςηg συγκλίνειστην L X 1 νόρµασεκάποιασυνάρτηση g L X 1. ΓιακάθεΕ Σ έχουµε ότι µε g dλ Ε µε i E i µe i λe i i ΕποµένωςµE lim g dλ gdλ Ε Σ. Ε Ε λε i E µε i E µε i λε i E λε i i λε i E Εδώ τελείωσε η απόδειξη του θεωρήµατος! Παρατήρηση:ΑςυποθέσουµεότιτοΑΩ µε,ε Σ,λΕ 0είναιφραγµένο λε απότο 1.Έστωφ g g 1, 1.Είναιφανερόότιφ x i X Ei, µε x i X,x i 1 2.Μπορούµεναορίσουµε v : S l 1 ωςεξής vε,i 1 2 λε Ε i.έστωτ : l 1 Xένας (φραγµένος)γραµµικόςτελεστής i 10

12 έτσωώστετe,i 2 x i όπουτο e,i είναιτο, iµοναδικόδιάνυσµατηςσυνηθισµένης βάσηςτου l 1. ΜπορείεύκολαναδείκανείςότιΤ v µ. Παρατήρηση:Έστωµ :Σέναπραγµάτικοµέτροστο 0, 1καιέστωότι µε λεόπουλτοµέτρο Lebesgue.Μετηµέθοδοτηςαποδείξεωςτου προηγούµενου θεωρήµατος µπορούµε να αποδείξουµε ότι το µέτρο µ έχει µια Rado-Nikody παράγωγο. Έτσι έχουµε µια πολύ απόδειξη του κλασικού Rado-Nikody θεωρήµατος. Η παρατήρηση αυτή οφείλεται στον R.E.Huff. 11

13 3. Martigales Έστω Ω,Σ,λέναςχώροςπιθανότηταςκαιΣ Σµιασ-άλγεβραυποσυνόλωντουΩ. Με Xσυµβολίζουµεκάποιοχώρο Baach. Hσυνάρτηση g L 1 X λκαλείται coditioal expectatioτης fωςπροςσ εάνηgείναισ -µετρήσιµηκαι gdλ fdλ,ε Σ.ΜεΕf Σ συµβολίζουµετην coditioal expectatioτης fωςπροςσ. Ε Ε Παρατήρηση:Τοκλασικόθεώρηµα Rado - Nikodymδίδειαµέσωςότιεάν f :Ω είναιµιαπραγµατικήσυνάρτησηκαισ Σµιασ-υποάλγεβρατηςΣτότεηΕf Σ υπάρχει.πραγµατικάεάνησ είναιτοµέτροµα fdλτότε m λκαιηεf Σ είναιηrado-nikodymπαράγωγος dm dλ. Ο ίδιος συλλογισµός αποδεικνύει ότι αν f :ΩXείναιµια boherολοκληρώσιµησυνάρτησηκαιοxέχειτην RNPτότεηΕf Σ υπάρχει. Α Αυτόπουείναισηµαντικόείναιότιακόµακαιεάνοχώρος Xδενέχειτην RNP µπορούµεναορίσουµε coditioal expectatioσυναρτήσεωνστον L 1 X ωςεξής:ξεκινάµε απότιςαπλέςσυναρτήσειςτηςµορφής f x i X Ai, A i Σ, x i X.ΟρίζουµεΕf Σ x i ΕX Ai /Σ όπουηεx Ai /Σ είναιηπραγµατική coditioal expectatioτης i1 συνάρτησης X Ai L 1 λ. i1 Είναι φανερό ότι στην περίπτωση αυτή (που η f είναι απλή συνάρτηση) έχουµε 1.Ηg Εf Σ είναισ µετρήσιµη 2. gdλ x i EX Ai /Σ x i Α Α Α X Ai fdλ,a Σ. Α 3.ΗΕf Σ είναιγραµµικήωςπροςτην f. 4.ΗΕf Σ ω Εf/Σ ω Εάντώρα f L X 1 λείναιµιαοποιαδήποτε Boherολοκληρώσιµησυνάρτηση 12

14 f :ΩX τότεηf µπορείναπροσεγγιθείαπόαπλέςσυναρτήσεις S.Ηακολουθία Εs /Σ 1 είναι Cauchyστον L 1 X λκαιτοόριοτηςείναιανεξάρτητοαπότηνακολουθία S.ΤοόριοαυτόείναιηΕf Σ.Όλαταπαραπάνωσυνοψίζονταιστοεξής 3.1Θεώρηµα:Έστω f L X 1 Ω,Σ,λ,Σ Σµιασ-υποάλγεβρατηςΣ.Υπάρχει g Εf Σ (ουσιαστικάµοναδική)έτσιώστε α.εf Σ L X 1 Ω,Σ,λ β. gdλ fdλ,a Σ Α Α ΟτελεστήςΕ/Σ : L X 1 L X 1 είναιγραµµικόςκαιικανοποιείταεξής: 1. Εf Σ ω Εf/Σ ωλ-σχεδόνπαντού 2. Εf Σ ω f 1, L X 1 λ 3.ΕάνΣ Σ είναισ-άλγεβρατότεεεf Σ /Σ ΕΕf Σ /Σ Εf Σ. 3.2Ορισµός:ΈστωΣ 0 Σ 1...Σ...Σµιααύξουσαακολουθία f,σ, fl X 1 λ καλείται martigaleεάνεf 1 /Σ f,. Παράδειγµα 1:Έστω L X 1 λκαισ 0 Σ 1...Σ µιααύξουσαακολουθία σ-αλγεβρων.έστω f Εf/Σ.Τότεηακολουθία f,σ είναιένα martigale. Παράδειγµα 2:Έστω x,k, 0, 1, 2,..., k 1, 2,..., 2 έναδένδροσ έναχώρο Baach X. Aυτόσηµαίνειότιηακολουθία x,k είναιφραγµένηκαι x,k 1 x 2 1, 2k 1 x 1,2k 0, 1, 2,..., 1 k 2. Έστω I,k k1 k,, 0, 1, 2,..., 1 k 2 ηακολουθίατωνδυαδικώνδιαστηµάτων.μεσ 2 2 συµβολίζουµετηνπεπερασµένηάλγεβραπουγεννάταιαπότην I,k 1 k 2. 13

15 Μπορούµε να ορίσουµε ένα martigale µε τιµές στο χώρο X ως εξής: ξ 0 x 01 X Io1 ξ 1 x 11 X I11 x 12 X 12 2 ξ x,k X I,k,ξ : 0, 1 X. k1 Μπορεί εύκολα να δεί κανείς ότι ξ 0 ξ 1 αφού x 01 1 x 2 11 x 12.Οµοίως 0,1 0,1 έχουµεότιεξ 1 /Σ ξ. ηλαδήηακολουθία ξ,σ είναιένα martigale. Έναδένδρο x,k καλείταιε-δένδροεάν x 1,2k1 x,k ε k 1 k 2. Είναιφανερόότιτο martigale ξ Σ πουαντιστοιχείσ έναε-δένδροδενµπορείνα συγκλίνειαφού ξ 1 t ξ t ε,t 0, 1.Στον L 1 0, 1υπάρχειένα 1-δένδρο. X k1 2, k 2 Πραγµατικάεάν h,k, 1 k 2, 0, 1,... έχουµεότι h 1,k k, 1 k 2 και h 1,2k1 h 1,2k 1 1. Είναιεπίσηςφανερόότι h,k είναιδένδρο δηλαδή h 1,2k1 h 1,2k 2h,k,,k, 1 k 2. 14

16 3.3 MAXIMAL INEQUALITY [Bou] :ΈστωΣ 0 Σ 1...Σ Σµιααύξουσα ακολουθία σ-αλγεβρών από µετρήσιµα υποσύνολα του Ω. Έστω h µιαακολουθίαθετικώνπραγµατικώνσυναρτήσεωνέτσιώστε: 1.Ηh j είναιησ j µετρήσιµη j 2.Εάν i,α Σ j τότε h i d λ h d λ και Α Α 3. sup h j j Ω Τότε c 0λω Ω: sup h j ω c 1 c j Ω sup h j dλ. Απόδειξη:Έστω έναςσταθερόςφυσικόςαριθµός.μεα 1 συµβολίζουµετο σύνλο ω Ω:h 1 ω c. j Ω Εάν 2 i µεα i συµβολίζουµετοσύνολοα i ω Ω, h 1 ω c,..., h i1 ω c, και h 1 ω c.είναιφανερόότια i Σ i καια ι Α j, i j, 1 i. Παρατηρούµε ότι c λω Ω: sup h j ω c cλ A i cλα i h i dλ h dλ h dλ sup j Ω Έχουµελοιπόναποδείξειότιλω : sup h j ω c 1 c i1 j Ω έχουµελω : sup h j ω c 1 c j i1 sup h j. j Ω i1 A i j Ω i1 A i sup h j. Είναιφανερόότιεάν Ω j 3.4ΤΟΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ LEVY - DΕVB [Bou] :Έστω Ω,Σ,λχώροςπιθανότηταςκαι Σ 1 Σ 2...Σ....Σακολουθίααπόσ-υποάλγεβρεςτηςΣτωνοποίωνηένωσηγεννά τησ.έστω f Ef/Σ όπου f µιαοποιαδήποτε Boherολοκληρώσιµησυνάρτηση f L 1 X λ. Tότε lim f ω fωλ-σχεδόνπαντούκαι lim f f 1 0. Απόδειξη:Έστωφ f L X 1 λέτσιώστε f ω fω 0λ-σχεδόνπαντούκαι f f 1 0όταν. θααποδειχθείότιτοφείναικλειστόκαιπυκνόστον L X 1 λ 15

17 Α )Τοφείναιπυκνόστον L 1 X λ :Εάν f L 1 X Ω,Σ,λ (δηλαδήεάνηf είναι Σ -µετρήσιµητότεεf/σ k f k f φ. Είναιφανερόλοιπόνότι φ L 1 X Ω,Σ,λ. Κάθεσυνάρτησητηςµορφής x X A, x X A Σ ανήκειστοφ. 1 Αφούη Σ είναιπυκνήστηνσµπορούµεναδούµεότικαικάθεσυνάρτησητης 1 µορφής x X B, x X, B Σανήκειστηνφ.Παρατηρούµεότιογραµµικόςχώροςφ περιέχειτοπυκνόσύνολοτωναπλώνσυναρτήσεων φείναιπυκνόστον L X 1 Ω,Σ,λ. 1 Β )Οφείναικλειστόςστον L X 1 λ. Έστω f στηνκλειστήθήκητουφ. ε 0,δ 0 g φέτσιώστε f g 1 2 ε δ. Έστω g EG/Σ. Γιαόλασχεδόνταω Ωέχουµε f ω f κ ω g ω g κ ω f g ω f k g k ω g ω g κ ω Ef Έστω h j ω Εf g/σ j ω. Απότιςπαραπάνωανισότητεςκαιαπότοότι g φ έχουµε ότι lim sup f ω f k ω 2 sup h j ω,λ-σχεδόνπαντού.ηακολουθία h j,k ικανοποιεί τις συνθήκες της maximal iequality (3.3) και εποµένως λω : lim sup f ω f k ω ε λω : 2 sup h j ω ε 2 ε,k j j sup h j 1 2 ε j sup Αφούταε,δήτανοποιοιδήποτεθετικοίαριθµοίέιναιφανερόότιτοόριο lim ω fω υπάρχει σχεδόν παντού. Τώρα θα µπορέσουµε να αποδείξουµε ότι η f που πήραµε στο φ ανήκειστοφ.ε 0µπορούµεναβρούµε g L 1 X Ω,Σ Ν,λγιακάποιοΝ έτσιώστε f g 1 ε. Όταν Νέχουµε 2 f f 1 f g 1 g Eg/Σ 1 Eg f/σ 1 ε 0 g f Αυτό συνεπάγεταιότικάποιαυπακολουθία f i της f συγκλίνεισχεδόνπαντούστην f fω lim f i ω fω lim f ωλ. i j Ω 3.5Θεώρηµα [D-U] :Έστω Xέναςχώρος Baachκαι K Xείναικλειστό,φραγµένο σύνολο µε την RNP. Τότε κάθε martigale µε τιµές στο K συγκλίνει σχεδόν παντού. Απόδειξη:ΑςυποθέσουµεότιτοΚέχειτην RNPγιατοχώρο Ω,Σ,λκαιότι Σ 1 Σ 2...Σ είναιµιααύξουσαακολουθίασ-υποάλγεβρωντηςσκαιότιη Σ γεννάτηνσ. Έστω f,σ ένα martigaleµετιµέςστοκ.ορίζουµεταδιανυσµατικά µέτραµα f dλ,α Σ,. Tαµείναισυνεχήωςπροςλµ λ. Eίναι Α εύκολοναδείκανείςότιτο "average rage" Aµ µ E λε,λε 0περιέχεταιστοΚ. ιότιεάν x X,τότε x µ A λa 1 λα Α 1 x f λ λ supx x : x K. ΑφούτοΚείναι (ασθενώς)κλειστό,κυρτό µ Α Κ. Παρατηρούµετώραότιτο lim µ λα Aυπάρχει 16

18 Α Σ αφούτο f,σ είναι martigaleκαιηακολουθία f dλείναιτελικάσταθερή 1 γιαα Σ. Μάλισταµπορείναδειχθείότιτοόριο lim µ Aυπάρχει Α Σαφούη Σ γεννάτηνσ.πραγµατικά ε 0,Α Σ Β Σ Ν γιακάποιον έτσιώστε λαβ ε όπουμ supx, x K. Εάν Nέχουµε 2Μ f dλ f Ν dλ Α Α Β Β ΑΒ f dλ f Ν dλ f dλ f Ν dλ 0 2λΑΒΜ ε. Αφούλοιπόνηακολουθίαµ A είναι Cachyτοόριοµ A lim µ Aυπάρχει.Το ΑΒ Α ΑΣ θεώρηµατων Vitali - Hah -Saks (3.6)συνεπάγεταιότιτοµ :ΣΧ,µA limµ A είναιµέτρο (δηλαδήείναιαριθµήσιµαπροσθετικό).αφούµ λ,αµ Αµ Κ καιτοκέχειτην RNPυπάρχει f L 1 Χ Ω,Σ,λέτσιώστεµA fdλ Α Σ. ΓιαΑ Σ έχουµε fdλ µa µ A f dλ Ef/Σ f λ-σχεδόνπαντού.απότοθεώρηµα Α Α του Levy-Doob (3.6) έχουµε ότι lim f ω fω 0λσχεδόνπαντού.Απεδείχθη λοιπόνότιεάντοκέχειτην RNPτότεκάθε martigaleµετιµέςστο Kσυγκλίνεισχεδόν παντού. Α 1 Στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήµατος χρησιµοποιήθηκε το θεώρηµα των Vitali-Hah-Saks. Για πληρώτητα παραθέτουµε την απόδειξη του από τον Duford-Schwartz Yel.Ip Θεώρηµα VITALI-HAHN-SAKS [D-S] :Έστω Ω,Σ,λχώροςπιθανότητας, X χώρος Baach καιµ :ΣΧµιαακολουθίααπόλ-συνεχή µ λδιανυσµατικά µέτρα.εάντοόριο lim µ Ευπάρχει Ε Στότε lim µ Ε 0οµοιόµορφα λε0 1, 2, 3,... Επιπλέοντοµ :ΣΧ,µΕ lim µ Εείναιδιανυσµατικόµέτρο. Απόδειξη: Μπορεί εύκολα να δεί κανείς ότι µπορούµε να ορίσουµε µια µετρική στο Σ. ΗαπόστασητωνσυνόλωνΑ,Β ΣθαείναιλΑΒ.Μπορείνααποδειχείότιαναυτόςο µετρικόςχωρόςείναιπλήρης.κάθεµ :ΣΧείναισυνεχήςσυνάρτησηαπότον µετρικόχώροσστοχεπειδήµ λ.τασύνολα Σ,m E : E Σ, µ E µ m E εείναικλειστά ε 0. Εποµένωςκαιτοσύνολο Σ ρ Σ,m είναικλειστόστονπλήρηµετρικόχώροσ.αφούτο limµeυπάρχει,mp Ε ΣέχουµεότιΣ Σ ρ.απότοθεώρηµατου BaireκάποιοαπόταΣ ρ έχει ρ1 εσωτερικόσηµείο.υπάρχειλοιπόνακέραιος q, r 0, A Σέτσιώστε ΕστησειράΚµε κέντροτοακαιακτίνα rναέχουµε µ E µ m E ε,, m 1. Αςπάρουµε 0 δr έτσιώστε µ Β ε 1, 2, 3,..., q 1, q ΒµελΒ δ. ΕάντώραλΒ δγια κάποιοβέτσιώστεα\β,αβναανήκουνστησφαίρακ Ε Σ:λΑΕ r. Θα 17

19 έχουµε µ Β µ q Β µ Β µ q Β µ q B µ A B µ q A B µ A\B µ q A\B Έχουµε δείξει λοιπόν ότι lim µ Ε 0οµοιόµορφαγια 1, 2, 3,... λε0 Αποµένει να δειχθεί ότι µ είναι αριθµήσιµα προσθετικό. Αρκεί να δείξουµε ότι µ Ε m 0γιακάθεφθίνουσαακολουθίαΕ 0 Ε 1...Ε m... µε E i. Έχουµε γιαµιατέτοιαακολουθία Ε ι ότιλε m Σ λε \Ε k1. Απότην έχουµεότι ε 0 m ε έτσιώστε µ Ε m ε m m ε, 1, 2,... µe m ε m m ε µε m 0 A.E.D. m km i1 3.7Λήµµα:ΈστωΚένακυρτόκλειστόφραγµένουποσύνολοτουΧ.Έστω Σ 1 Σ 2...Σ µιααύξουσαακολουθίασ-αλγεβρώνστο 0, 1καιξ : 0, 1 Κµια ακολουθίααπόσ µετρήσιµεςσυναρτήσειςγιατηνοποίασ ξ E j 1 ε. (Εδώµε Ε συµβολίζουµετην ExpectatioωςπροςΣ. Tότευπάρχειένα martigale ξ,σ µε τιµέςστο έτσιώστε ξ ξ 1 ε. Απόδειξη: fix k. Έχουµεότι ξ Ε κ ξ κ1 1 Σ E k ξ E k ξ 1 1 ε. Ηακολουθία Ε κ ξ 1 k µπορείνααποδειχθείότιείναι Cauchyκαιεποµένωςσυγκλίνειστον L 1 X σ έναόριοξ k. Είναιφανερόότι ξ κ ξ κ ε. Ηξ κ παίρνειτιµές (σχεδονπαντου)στοσύνολο Κ.Παρατηρούµεότιξ κ1 lim E κ1 ξ εποµένως E κ ξ κ1 lim E κ ξ ξ κ. Αυτό σηµαίνειότιηακολουθία ξ κ,σ κ κ είναιένα martigale. Είµαστε τώρα σε θέση να αποδείξουµε το εξής θεώρηµα 3.8Θεώρηµα [D-U] :ΈστωΚένακλειστόφραγµένοκυρτόυποσύνολοτουΧ.Εάν κάθε martigaleξ : 0, 1 ΚσυγκλίνεισχεδόνπαντούτότεκάθευποσύνολοτουΚ είναι detable. Απόδειξη:ΑςυποθέσουµεότιτοσύνολοΑ Κδενείναι detable.αυτοσηµαίνειότι ε 0έτσιώστε x A, x coa\bx,ε. Αρκείνααποδείξουµεότιυπάρχειµια ακολουθίασ 1 Σ 2...Σ,... σαλγεβρώναπό (µετρήσιµα)υποσύνολατου0, 1και µιαακολουθία ξ ξ : 0, 1 Kέτσιώστε 18

20 1.ΚάθεΣ είναιπεπερασµένη 2. ξ 1 ξ ε 3.Κάθεξ είναισ -µετρήσιµηκαιπαίρνειτιµέςστοα. 4. Σ ξ Ε ξ 1 1 ε. 3 ΗκατασκευήτωνΣ καιτωνξ θαγίνειεπαγωγήωςπρος. α.σ 1 φ,0, 1,ξ 1 x X 0,1 όπου xείναιέναοποιοδήποτεστοιχείοτουα. j β.αςυποθέσουµεότιέχουµεκατασκευάσειτηνσ καιξ. Έστω Ι i i1 ηδιαµέριση του 0, 1πουγεννάτηνΣ,καιαςυποθέσουµεότιηξ : 0, 1 Αείναιτηςµορφής ξ Σ j x i X Ii x 1, x 2,..., x j A. i1 Fix i.γνωρίσουµεότι x i coa\bx i,εκαιεποµένωςυπάρχουνθετικοίαριθµοί λ i,1,λ i,2,...,λ i,ki, καιστοιχεία x i,1, x i,2,..., x i,ki τουσυνόλουα\βx i,ε έτσιώστε i.λ i,1,λ i,2,...,λ i,ki 1 ii. x i λ i,1 x i,1...λ i,ki x i,ki ε 3 ώστελι i,κ λ i,κ λι i. 2. ΈστωΙ i,1,ι i,2,...,ι i,ki µιαδιαµέρισητουι i έτσι (Εδώβέβαιατολείναιτοµέτρο Lebesgue). ΟρίζουµεΣ 1 ναείναιηάλγεβραπουγεννάταιαπότο Ι i,κ : 1 i j, 1 k k i. Eπίσηςορίζουµεξ 1 : 0, 1 Xναείναιξ 1 έχουµεότι ξ 1 ξ 1 ε. j Σ k i i1k1 Σ x i,k X Ii,k. Eπειδή x i x i,k εiκαι k Παρατηρούµε ότι 19

21 j k j λi Εξ 1 ΣΣ x i,k i,k X λi i I i ξ E ξ 1 1 Σ x i k i Σ λ i,κ x i,k i1k1 j i1 k1 λι i ε 3 2. Αυτό συνεπάγεταισξ E ξ 1 1 ε. Μπορούµεναπούµεότιµέχριτώραέχουµε 3 αποδείξει το εξής θεώρηµα. 3.9 Θεώρηµα: Έστω Κ ένα κυρτό, κλειστό, φραγµένο υποσύνολο του X. Τα επόµενα είνα ισοδύναµα. (1).ΤοΚέχειτην RNP (2). Κάθε martigale µε τιµές στο Κ συγκλίνει σχεδόν παντού (3). Κάθε υποσύνολο του Κ είναι martigale (3)(1) (2.4) (1)(2) (3.5) (2)(3) (3.8) 20

22 4ΤΕΛΕΣΤΕΣΣΤΟΝ L 1 ΈστωΤ : L 1 0, 1 XέναςτελεστήςκαιΑ 0, 1ένασύνολοθετικούµέτρου.ΜεΓ Α συµβολίζουµετοσύνολογ Α Τφ : sup pφ Α,φ 0,φ Λήµµα [B1] :Έστω SΓ Α, x,αένα sliceτουσυνόλουγ Α.Τότευπάρχει Β Α,λΒ 0έτσιώστεΓ Β SΓ Α, x, a. Aπόδειξη:Έστωγ sup x Γ Α aκαιφ 0, sup pφ Α,φ 1έτσιώστε φτ x γ. ΤοσύνολοΚ y L 1 Α : y 0 και yτ x γy 1 είναιέναςκυρτόςκλειστός κώνοςτου L 1 Α. Είναιφανερόότιφ Κκαιεποµένωςαπότοθεώρηµα Hah-Baach g L Aέτσιώστεφg sup yg 0. yκ ΤοσύνολοΒ g 0είναιέναυποσύνολοτουΑκαιέχειθετικόµέτρο.Εάντώρα y 0, y 1και sup py Βέχουµεότι yτ x γ (αφού y Κ) x Ty sup x Γ Α α ΑυτόσηµαίνειότιΓ Β SΓ Α, x, a. Αναπαραστάσιµοι Τελεστές 4.2Ορισµός:Έστω Xέναςχώρος Baach.ΈναςτελεστήςΤ : L 1 0, 1 Xένας τελεστής.αςυποθέσουµεότι ε 0Α 0, 1θετικούµέτρου Β Α,λΒ 0έτσι ώστε diamγ Β ε. ΤότεοτελεστήςΤείναιαναπαραστάσιµος. Απόδειξη:Τοδιανυσµατικόµέτροµ :ΣX,µΑ ΤX Α έχειτηνιδιότητα : Ε 0, 1µελΕ 0 Ε 1 Εέτσιώστετο average rage Αµ µε λε,ε Ε 1,λΕ 0ναέχειδιάµετροµικρότερητουε.Όπωςπροκύπτειαπό την απόδειξη του θεωρήµατος (2.4) το µ έχει Rado-Nikodym παράγωγο η οποία θα είναι η συνάρτηση που "αναπαραστά" τον Τ. 4.3Θεώρηµα:ΈστωΚ Xένακυρτόκλειστόυποσύνολοτου Xµετην RNP.Εάν Τ : L 1 0, 1 XείναιέναςτελεστήςέτσιώστεΓ 0,1 Τφ :φ0,φ 1 ΚτότεοΤ είναι αναπαραστάσιµος. 21

23 Απόδειξη:ΕάνΑ 0, 1,λΑ 0τότετοσύνολοΓ Α Τφ :φ0 sup pφ Α,φ1 είναι detableκαιεποµένως ε 0 slice SτουΓ Α έτσιώστε diams ε. Απότολήµµα (4.1) Β Α,λΒ 0έτσιώστεΓ Β SκαιότιοτελεστήςΤείναιαναπαραστάσιµος. 4.4Θεώρηµα:ΈστωΚένακλειστόκυρτόφραγµένουποσύνολοτου X.Εάνκάθε τελεστήςτ : L 1 XέτσιώστεΓ 0,1 Κείναιαναπαραστάσιµοςτότεκάθε martigaleµε τιµέςστοκσυγκλίνεισχεδόνπαντού (καιεποµένωςτοκέχειτην RNP). Απόδειξη:Έστωξ : 0, 1 Xένα martigaleµετιµέςστοκ.θεωρούµετοντελεστή Τ : L 1 X,Τφ lim ξ φ. (Τοόριουπάρχειγιακάθεαπλήσυνάρτησηφκαιεποµένως φ L 1 ). Έστω g L X ηπαράγωγοςτουτ.έχουµεότιφg lim ξ φ,φ L 1. Αυτόσηµαίνει ότιεg/σ ξ. Aπότοθεώρηµατου Levy-Doobέχουµεότιτο martigaleσυγκλίνει σχεδόν παντού στην g. 4.5Θεώρηµα (Daford-Pettis) [D-U] :ΈστωΤ : L 1 X έναςαναπαραστάσιµος τελεστής.εάνκ L 1 καιτοσύνολοτκείναι orm-συµπαγέςυποσύνολοτου X. Απόδειξη:Αςυποθέσουµεότι g L X έτσιώστετf fgdλ,f L 1. ΈστωΚένα φραγµένοοµοιόµορφαολοκληρώσιµο (uiformly itergalle)υποσύνολοτου L 1. ιαλέγουµεµιαακολουθία g απλώνσυναρτήσεωνηοποίανασυγκλίνεισχεδόν παντούστην g.απότοθεώρηµατου EgoroffµπορούµεναβρούµεένασύνολοΕ 1 έτσι ώστε lim g gοµοιόµορφαστοε 1 καιτοµέτρολ0, 1\Ε 1 ναείναιτόσοµικρόώστε 0,1\Ε 1 Ε f dλ f K. Τ1 Αφούησυνάρτηση g X E1 : 0, 1 Xέχει (σχετ.)συµπαγέςπεδίοτιµών,οτελεστής f fgdλείναισυµπαγήςκαιεποµένωςτοσύνολο fgdλ,f Κείναισχετ. E 1 συµπαγής. E 1 Παρατηρούµεότιγια f Κ fgdλ Τε 0,1\Ε 1 Τ1 ε. 22

24 Τοσύνολο Τf : f Κ fgdλ fgdλ, f Κείναι totally boudedαπό E 1 0,1\Ε 1 2ε σφαίρες.άρατοσύνολοτκείναισχετ.συµπαγές. 4.6Θεώρηµα (Lewis - Stegall):ΈστωΤ : L 1 Xέναςτελεστής.ΟΤείναι αναπαραστάσιµοςεάνκαιµόνοεάνυπάρχουντελεστές S : L 1 l 1, U : l 1 Xέτσιώστε Τ US. Ηαπόδειξη (στηγλώσσατωνδιανυσµατικώνµέτρων)έχειγίνειστoκεφάλαιο 2. Παρατήρηση:Γνωρίζουµεότιοχώρος l 1 έχειτηνιδιότητατου Schurδηλαδήεάνµια ακολουθίασυγλίνειασθενώςστον l 1 τότεσυγκλίνεικαιστηνόρµατου l 1.Τοθεώρηµα των Lewis - Stegall δίνει µια άλλη απόδειξη του θεωρήµατος των Duford-Pettis (4.5). 4.7Θεώρηµα:ΈστωΤ : L 1 Xέναςασθενώςσυµπαγήςτελεστής.ΤότεοΤείναι αναπαραστάσιµος. Απόδειξη [S] : Χωρίς βλαβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος. Έστω W ένα ασθενώς συµπαγές υποσύνολο του X έτσι ώστε Τf : f 1 1 W. Μπορούµεναδεχθούµεότιτο Wείναικυρτόσυµµετρικό. ιαλέγουµεµιαακολουθία x i i1 όταν X, x i 1ηοποία "νορµάρει"κάθεστοιχείο του X (δηλαδήεάν x X, τότε x sup x i x ).Έστωα sup x. i xw Ορίζουµε την απεικόνηση Φ : W Q Π α,α i1 Φx x i x i1 x W. ΗσυνάρτησηΦείναιοµοιοµορφισµόςτου Wµετηνασθενήτοπολογίατου Q (διότιη cox i, i 0είναι w πυκνήστηνβ x x X,x 1καιεποµένωςείναι πυκνή ως προς την οµοιόµορφη σύγλιση στην ασθενώς συµπαγή κυρτά υποσύνολα του X). Έστω h i T x i L. Μπορούµεναδούµεότι sup h i ω T x i α i Ορίζουµε y : 0, 1 Q yω h i ω i1. Αφού η y είναι η "κατά συντεταγµένες µετρήσιµη" είναι µετρήσιµη. Θα δείξουµε ότι 23

25 yω ΦW λ σχεδόνπαντούκαιτότεησυνάρτησηφ 1 Ψθαείναιη"παράγωγος τουτ. Ισχυριζόµαστεότι τοσύνολο A ω : x Wµε x i x h i ω 1 i έχει µέτρο 1.Αυτότοσύνολοείναιµετρήσιµοεπειδήείναιτηςµορφής y 1 Uόποθ Uείναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Q. Ορίζουµε τον τελεστή S X l, S x x i x i1. Οτελεστής S Tείναιαναπαραστάσιµοςµεπαράγωγο τηνσυνάρτησηω h i ω i1. Τοσύνολο S T f : f 1 1περιέχειστοσύνολο S Wπουείναι ormσυµπαγές.αυτόσηµαίνειότι h i ω i1 είναιστο S Wγιαόλα σχεδόνταω 0, 1. ΑυτόσυνεπάγεταιότιλA 1 λ A 1. Γιαω A διαλέγουµε x Wέτσι ώστε i x i x h i ω Έστω x 0 έναασθενέςσηµείοσυσσώρευσηςτης x 1. Τότε x i x 0 h i ω i. Αυτό σηµαίνειότι yω ΦW λ σχεδόνπαντού.ησυνάρτησηφ 1 Ψ : 0, 1 Xείναιη παράγωγος του Τ. 4.8Πόρισµα:ΕάνΤ : L 1 XείναιασθενώςσυµπαγήςτότεοΤαπεικονίζειασθενώς συµπαγήυποσύνολατου L 1 σε ormσυµπαγήυποσύνολατου X. 4.9 Superlemma [Bou] : (Asplud, Namioka, Bourgai). Έστω Τ,Κ 0,Κ 1 κλειστά,κυρτάφραγµέναυποσύνολατουχώρου Baach Xκαιε 0 έτσι ώστε (1) J coκ 0 Κ 1 (2)Κ ο Jκαι diamκ 0 ε (3) J\Κ 1 Τότευπάρχειένα sliceτου Jτοοποίοπεριέχειένασηµείοτου Κ 0 καιτουοποίουη διάµετρος είναι µικρότερη του ε. Απόδειξη: r 0, 1θέτουµε C r x X : x 1 λx 0 λx 1, x 0 Κ 1, r λ1. 24

26 Παρατηρούµεότιόπωςτο r 0τακυρτάσύνολα C r αυξάνουναπότοσύνολοκ 1 στο σύνολο co coκ 0 Κ 1. Πρώταθααποδειχθείότιεάν 0 r 1τότε J\C r K 0 \C r. Έστω f X έτσιώστε sup fk 1 sup ft Έχουµελοιπόνότι sup ft sup fco sup fco maxsup fk 0, sup fk 1 sup ft. Eπίσης παρατηρούµε ότι sup fc r sup fc r sup1 λ sup fk 0 λ sup fk 1 :λr, 1 1 r sup fk 0 rsup Αυτόσυνεπάγεταιότιδενείναιδυνατόν C r K 0 αφούτότε sup fc r sup fk 0. Τοεπόµενοβήµαείναινααποδείξουµεότι diamj\c r εεάντο rείναιαρκετάκοντά στο 0. Αφού J coέχουµε J\C r co\c r. Eπειδήτο C r είναικλειστότο co\c r είναιπυκνόστο co\c r. Εποµένωςεάν w J\C r καιδ 0 x co\c r έτσιώστε w x δ. ιαλέγουµε x 0 K o, x 1 K 1 καιλ 0, rέτσιώστεχ 1 λx 0 λx 1. Έχουµεότι w x 0 w x x x 0 δ λx 0 x 1 δ rmόπου Μ sup 0 y 1 : y 0 Κ 0, y 1 Κ 1 Είναιεύκολοναδούµετώραότι diamj\c r δ rm diamk o δrm Επειδή diamk o εεάνπάρουµεταδ, rκατάλληλαµικράµπορούµενακάνουµετην διάµετροτου J\C r µικρότερηαποε. Τώραεάν x 0 K o και x 0 J\C r τότευπάρχειένα sliceτου Jξένοπρόςτο C r.το slice αυτό έχει διάµετρο µικρότερη απο ε. Υπάρχειµια w µορφήτου Superlemmaηοποίαµπορείναδιατυπωθείωςεξής. Superlemma :Έστωε 0, J, K 0, K 1 w -συµπαγήυποσύνολατουδυϊκούχώρου Baach X έτσιώστε (1) J cok 0 K 1 w cok 0 K 1 (2) K 0 Jκαι diamk o ε (3) J\K 1 25

27 Τότευπάρχειένα w sliceτου JτοοποίοπεριέχειένασηµείοτουΚ 0 καιτουοποίου η διάµετρος είναι µικρότερη απο ε. 4.10Θεώρηµα [Bou] :ΈστωΚέναασθενώςσυµπαγέςκυρτόυποσύνολοτου X.Τότε τοκέχειτην RNP. Aπόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι το Κ είναι διαχωρίσιµο ασθενώς συµπαγές υποσύνολο του XκαιότιτοΚδενείναι detable.έστω x i έναπυκνόυποσύνολοτουκκαιε 0. Έστω D ασθενώςκλειστήθήκητου w K K. Παρατηρούµεότι Bx i, ε. 3 Το σύνολο D µε την ασθενή τοπολογία είναι συµπαγής (Hausdorff) και αφού τα σύνολα DBx i, ε είναιασθενώςκλειστάαπότοθεώρηµακατηγορίαςτου Baire 2 µπορούµεναβρούµεέναασθενώςανοικτόυποσύνολοτου Vτου Xέτσιώστε V D Bx i, ε γιακάποιο i 3 i1 ΈστωΚ 0 cov Dκαι Κ 1 coκ\v Παρατηρούµε ότι (1)Κ cok 0 K 1 (2) diamk o ε. Έστωτώρα x extk V. (Αφού V D. υπάρχειτέτοιο x).έχουµεότι x ασθενήθήκη Κ\Vκαιεποµένως x K 1 coκ\v. ηλαδή (3) K\K 1. Το Superlemma µπορεί να εφαρµοστεί για το σύνολο Κ αφού ισχύουν τα (1),(2),(3). Εποµένωςυπάρχειένα sliceτουκδιαµέτρουε. ΑυτόσηµαίνειότιτοΚείναι detable. 4.11Λήµµα:Έστω D, Cκλειστάφραγµένακυρτάυποσύνολατου X.Έστω J codcκαιέστω fx sup ft sup fcγιακάποιο f X και x J. Τότε x D. Απόδειξη: x codcέτσιώστε x x 0. Αςυποθέσουµεότι x λ d 1 λ c, 0 λ 1 d D, c C. Χωρίςβλάβητηςγενικότητας υποθέτουµεότι λ lim λ f/d 1 λ fc λ sup fd 1 λ sup fc sup fj. 26

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Ολοκλήρωση συναρτήσεων με τιμές σε χώρους Baach Αν (Ω, S, µ είναι χώρος μέτρου και (X, είναι χώρος Baach, μια συνάρτηση F : Ω X θα λέγεται ασθενώς μετρήσιμη (αντίστοιχα, ασθενώς ολοκληρώσιμη αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Θέμης Μήτσης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1. Μέτρα 5 Κεφάλαιο 2. Εξωτερικά μέτρα 7 Κεφάλαιο 3. Το μέτρο Lebesgue 9 Κεφάλαιο 4. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

σημειωσεις θεωριας μετρου

σημειωσεις θεωριας μετρου σημειωσεις θεωριας μετρου Σάμος 2009 Επιλογή υλικού Αντώνης Τσολομύτης Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών. Δημιουργία πρώτου ηλεκτρονικού αρχείου Μαγδαληνή Πλιόγκα Απόφοιτος του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Ανδρέας Καβατζικλής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου 57 8 Αθήνα e-mail: kaviros@ceral.ua.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Νικόλαος. Ατρέας Aρµονική Ανάλυση Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 2015/2016

Νικόλαος. Ατρέας Aρµονική Ανάλυση Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 2015/2016 Νικόλαος Ατρέας Aρµονική Ανάλυση ΑΠΘ Θεσσαλονίκη 2015/2016-1 - Περιεχόµενα Περίληψη 4 Βιβλιογραφία 6 Κεφάλαιο 0: Χώροι L 01 Σύνοψη χώρων L Ορισµοί και ιδιότητες αυτών 15 02 Ασκήσεις 17 Κεφάλαιο 1: Σειρές

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κεφάλαιο 6 Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 2002, Katznelson 2004 και Stein and Shakarchi 20. 6. Όχι σύγκλιση σε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 }

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 } Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2014 ii Πρώτη έκδοση, πιθανόν με τυπογραφικά λάθη. Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 σ-άλγεβρες 5 1.1 Άλγεβρες και σ-άλγεβρες.........................

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 2: Πραγματική Ανάλυση Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Βλάσης Μαστραντώνης Περίληψη Το πρόβληµα της µοναδικότητας του αναπτύγµατος µιας συνάρτησης σε τριγωνοµετρική σειρά έχει µεγάλη ιστορία, η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Μετρου και Ολοκληρωσης σε Τοπικα Συµπαγεις Οµαδες

Θεωρια Μετρου και Ολοκληρωσης σε Τοπικα Συµπαγεις Οµαδες Θεωρια Μετρου και Ολοκληρωσης σε Τοπικα Συµπαγεις Οµαδες ιπλωµατικη Εργασια Σακελαρόπουλος Αλέξιος Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αθηνων Αθηνα 2016 Επιβλεπων Καθηγητης : Α. Κατάβολος Τριµελης Επιτροπη

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Συµβάσεις και συµβολισµοί 4 1. Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue 5 2. Μετρήσιµα σύνολα 7 3. Η

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0

Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0 Κεφάλαιο 5 Σειρές Fourier 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Σε αυτό το κεφάλαιο ϑεωρούµε συναρτήσεις µε µιγαδικές τιµές. Αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Sunarthsiak Anˆlush Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης νοιξη 2004 2 Perieqìmena 1 Εισαγωγικά 7 1.1 Διατάξεις............................... 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Functon Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών 2 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ UNIVERSITY OF PATRAS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα