ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ KAI ΜΕΛΕΤΗ ΜΕ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΜΕΣΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ΗΜΗΤΡΗΣ Ι. ΜΠΟΥΝΑΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 004

2

3 Η µεταπτυχιακή αυτή εργασία πραγµατοποιήθηκε στο Μαθηµατικό τµήµα του Πανεπιστηµίου Κρήτης, στα πλαίσια του µεταπτυχιακού προγράµµατος «Μαθηµατικά και Εκπαίδευση» και κατατέθηκε τον Σεπτέµβριο του 004. Επιβλέπων Καθηγητής ήταν ο κ. Μιχάλης Λάµπρου. Την επιτροπή αξιολόγησης αποτέλεσαν οι κ.κ. Χ. Κουρουνιώτης, Μ. Λάµπρου και Π. Πάµφιλος.

4

5 ΙΣΤΟΡΙΑ KAI ΜΕΛΕΤΗ ΜΕ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΜΕΣΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ υο είναι οι κύριοι σκοποί της εργασίας αυτής: ο ένας είναι να γίνει µια σύντοµη παρουσίαση των δυόµιση χιλιάδων ετών ιστορίας των κωνικών τοµών. Ο άλλος είναι η µελέτη των καµπυλών αυτών, σύµφωνα µε την θεωρία και τις µεθόδους της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, δηλαδή µε την συνθετική λεγόµενη µέθοδο των αρχαίων Ελλήνων γεωµετρών. Για λόγους πληρότητας της εργασίας θα αναφέρουµε και µερικά στοιχεία από τις σύγχρονες αναλυτικές µεθόδους µελέτης των κωνικών τοµών, χωρίς όµως να τα χρησιµοποιήσουµε. Η µελέτη των κωνικών τοµών, όπως είναι γνωστό, γίνεται σήµερα στο Λύκειο και στα Πανεπιστήµια µε µεθόδους της Αναλυτικής Γεωµετρίας. Από την εποχή της ανακάλυψης της Γεωµετρίας αυτής από τον Καρτέσιο και τον Fermat, στις αρχές του 17 ου αιώνα, όλο και περισσότερο η µελέτη των καµπυλών αυτών, και όχι µόνο, γίνεται µε αλγεβρικές και αναλυτικές µεθόδους, µε αποτέλεσµα σήµερα να αποτελούν ένα τµήµα της Αναλυτικής Γεω- µετρίας. Έτσι έχει ξεχαστεί τελείως η µελέτη των κωνικών τοµών µε µεθόδους της Ευκλείδειας Γεωµετρίας που ήταν, άλλωστε, ο πρωταρχικός τρόπος µελέτης τους όταν ανακαλύφτηκαν στην αρχαία Ελλάδα. Η σύντοµη ιστορική αναδροµή που επιχειρούµε, στα πλαίσια των υπαρχόντων ιστορικών πηγών και των δεδοµένων χρονικών ορίων, πιστεύουµε ότι υπηρετεί τους εξής στόχους: Ι. Να αναδείξει την επιστηµονική πορεία και εξέλιξη των κωνικών τοµών και να βοηθήσει τους µελλοντικούς µελετητές της ιστορίας τους. ΙΙ. Να συνεισφέρει στην αποτελεσµατικότερη διδασκαλία των κωνικών το- µών µέσα από την ιστορικοµαθηµατική τους προσέγγιση.

6 Εξ άλλου η παρουσίαση και εν µέρει η αναστήλωση της θεωρίας των κωνικών τοµών µε καθαρά Ευκλείδειες γεωµετρικές µεθόδους, πιστεύουµε ότι υπηρετεί τους παρακάτω στόχους: Α. Να αναδείξει το γεγονός ότι η µελέτη των κωνικών τοµών είναι φυσική συνέχεια της Ευκλείδειας Γεωµετρίας και κυρίως αρχαία Ελληνική πνευµατική κατάκτηση και κληρονοµιά. Β. Να παρουσιάσει τις δυνατότητες και την δυναµική της Ευκλείδειας Γεωµετρίας σε θέµατα που δεν είναι γνωστά στους µαθητές και τους διδάσκοντες στην δευτεροβάθµια εκπαίδευση. Γ. Να αναδείξει τις διαχρονικές διδακτικές αξίες των καθαρά γεωµετρικών µεθόδων, οι οποίες χαρακτηρίζονται από έναν λιτό και κοµψό παραγωγικό συλλογισµό.. Ιδιαίτερα στις µέρες µας, που ο αλγεβρικές και αναλυτικές µέθοδοι έχουν σχεδόν κυριαρχήσει σ όλες τις βαθµίδες της εκπαίδευσης, είναι επιβεβληµένο να υπάρξει µια ισόρροπη διδασκαλία των Μαθηµατικών κλάδων. Από καθαρά επιστηµονική άποψη πιστεύουµε ότι και οι Ευκλείδειες µέθοδοι και οι αναλυτικές πρέπει να συνυπάρχουν και κάθε φορά να επιλέγουµε εκείνη που δίνει σύντοµη και κοµψή λύση στο πρόβληµά µας. Ειδικά όµως στην δευτεροβάθµια εκπαίδευση, πιστεύουµε ότι ο ρόλος της Ευκλείδειας Γεωµετρίας είναι αναντικατάστατος και θα πρεπε να έχει µεγαλύτερη βαρύτητα, απ ότι έχει σήµερα. Εξ άλλου, πάρα πολλοί έµπειροι δάσκαλοι, αλλά και πνευµατικοί άνθρωποι ανά τους αιώνες, υποστηρίζουν ότι η µελέτη της Γεωµετρίας αποτελεί ένα ισχυρό πεδίο καλλιέργειας και άσκησης της σκέψης των νέων ανθρώπων, ικανό να στηρίξει κάθε µετέπειτα µαθηµατική και πνευµατική τους µόρφωση. Έτσι π.χ., ο µεγάλος Γερµανός γεω- µέτρης J. Steiner ( ) είχε πει ότι, «οι υπολογισµοί υποκαθιστούν την σκέψη, ενώ η γεωµετρία την διεγείρει». Ακόµη και αν δεν συµφωνήσουµε απόλυτα µαζί του, γεγονός είναι ότι όλοι οι µεγάλοι θετικοί επιστήµονες και δηµιουργοί από το 16 ο αιώνα και µετά, ξεκίνησαν την µαθηµατική τους παιδεία από την Γεωµετρία και κυρίως τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Επίσης, πολλοί σύγχρονοι ψυχολόγοι και νευροψυχολόγοι υποστηρίζουν ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος «χωρίζεται» σε δυο τµήµατα που αντιστοιχούν σε ένα «αριθµητικό - αναλυτικό» και ένα που σχετίζεται µε την αντίληψη του χώρου και των σχηµάτων, δηλαδή «γεωµετρικό». Η καλλιέργεια και των δύο είναι καθήκον της Μαθηµατικής παιδείας και αποτελεί θεµέλιο της πνευµατικής ανάπτυξης.

7 Η εργασία αυτή είναι εν µέρει µια επιστροφή στις απαρχές των Ελληνικών µαθηµατικών, όχι για συναισθηµατικούς λόγους, αλλά για καθαρά επιστηµονικούς και εκπαιδευτικούς: Πρόθεσή µας είναι να βάλουµε ένα λιθαράκι, συµµετέχοντας στην προσπάθεια της τοποθέτησης των Μαθηµατικών στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση της χώρας µας σε δοκιµασµένα και στέρεα θεµέλια. Θεωρώ καθήκον µου να ευχαριστήσω τον Καθηγητή του Πανεπιστηµίου Κρήτης κ. Μιχάλη Λάµπρου, που είχε την αρχική ιδέα και την επίβλεψη της εργασίας αυτής, για το ενδιαφέρον του, τον ακούραστο ζήλο του και την εν γένει βοήθειά του. Επίσης ευχαριστώ τον Καθηγητή του Πανεπιστηµίου Κρήτης κ. Πάρη Πάµφιλο για την προσφορά του σχεδιαστικού (και όχι µόνο) προγράµµατος EucliDraw µε την βοήθεια του οποίου έγιναν τα σχήµατα. Σεπτέµβριος 004 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης

8 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ Α. ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ σελίδα Εισαγωγή Α1. Μέναιχµος..3 Α. Αρισταίος και Ευκλείδης...5 Α3. Αρχιµήδης...7 Α4. Απολλώνιος...1 Α4.1 Γενικά.1 Α4. Τα Κωνικά του Απολλωνίου..14 Α4.3 Αποσπάσµατα από τα Κωνικά...19 Α5. ιοκλής...39 Α6. Πάππος.41 Α7. Σερήνος...45 Α8. Οι Άραβες - Οι µεταφράσεις των Κωνικών...46 Β. ΟΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΣΤΗΝ ΥΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ 16 ο ΑΙΩΝΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑ...48 Γ. ΟΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΣΤΗΝ ΝΕΩΤΕΡΗ ΕΛΛΑ Α (18 ος -19 ος αιώνας) ΒΙΒΛΙΑ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α ΤΟΝ 19 ο ΑΙΩΝΑ 77 Ε. ΒΙΒΛΙΑ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α ΤΟΝ 0 ο ΑΙΩΝΑ...80 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΣΕΛΙ ΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΩΝΟ ΣΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ.1 Από τις Απολλώνιες τοµές στις εστιακές ιδιότητες των κωνικών..95. Η γενική ιδιότητα των κωνικών τοµών Η απόδειξη Dandelin H έλλειψη ως τοµή κυλίνδρου Από τον κώνο στις εξισώσεις των κωνικών τοµών...109

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ 3.1 Nέος ορισµός κωνικών τοµών Γενικά στοιχεία Κωνικών Γενικές ιδιότητες κωνικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ΠΑΡΑΒΟΛΗ 4.1 Ορισµός και στοιχεία παραβολής Βασικές ιδιότητες Προτάσεις -Ιδιότητες παραβολής Ακρότατα στην Παραβολή Άλλες ιδιότητες της Παραβολής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΕΛΛΕΙΨΗ 5.1 Ορισµός και στοιχεία έλλειψης Βασικές σχέσεις Προτάσεις-Ιδιότητες Έλλειψης Ακρότατα στην έλλειψη Άλλες ιδιότητες της έλλειψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 : ΥΠΕΡΒΟΛΗ 6.1 Ορισµός και στοιχεία υπερβολής Βασικές ιδιότητες και σχέσεις Aσύµπτωτες υπερβολής Προτάσεις - Ιδιότητες υπερβολής Άλλες ιδιότητες της υπερβολής ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ου - 6 ου Κεφαλαίου 4

10

11 Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Π Ρ Ω Τ Ο ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ΑΠΟ ΤΟΝ 4 ο Π.Χ. ΑΙΩΝΑ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΤΟΝ 0 ο ΑΙΩΝΑ Μ.Χ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ιστορία των κωνικών τοµών χάνεται στα βάθη των αιώνων και η πλήρης παρουσίασή της, είναι έργο επίπονο και δύσκολο, αφού οι πηγές είναι ελάχιστες. Αναλαµβάνοντας όµως το θέµα της µελέτης των κωνικών τοµών µε Ευκλείδεια µέσα, κρίναµε σκόπιµο να µην το προσπεράσουµε ή να µην του δώσουµε µια απλή επιφανειακή περιγραφή. Γι αυτό, στο κεφάλαιο αυτό, θα παρουσιάσουµε εν συντοµία, αλλά τεκµηριωµένα, τις ουσιαστικότερες πτυχές της, πιστεύοντας ότι συµβάλουµε στην ανάπτυξη και µελέτη της ιστορίας των Μαθηµατικών. Γενικά µπορούµε να διακρίνουµε τρεις σηµαντικούς σταθµούς στην ιστορία των κωνικών τοµών. Ο πρώτος είναι η ανακάλυψή τους από τον Μέναιχµο, όπως πιστεύουµε, τον 4 ο αιώνα π.χ., ο δεύτερος η σε βάθος µελέτη τους από τον Απολλώνιο τον 3 ο αιώνα π.χ. και ο τρίτος η µελέτη τους υπό το πρίσµα της Προβολικής Γεωµετρίας τον 17 ο αιώνα. Στο πρώτο µέρος του κεφαλαίου αυτού θα αναφερθούµε στις κωνικές τοµές κατά την αρχαιότητα, δηλαδή µέχρι τον 10 ο µ.χ. αιώνα, ενώ στο δεύτερο θα δούµε πως ξανάρχισε η µελέτη τους στην ύση από τον 16 ο µ.χ. αιώνα και µετά, καθώς και ποιοι επιστήµονες ασχολήθηκαν µε αυτές. Ακόµη στο τρίτο µέρος θα δούµε ποιοι έγραψαν βιβλία ή δίδαξαν θέµατα κωνικών τοµών στην νεώτερη Ελλάδα και τέλος µια σύντοµη αναφορά στο περιεχόµενο των βιβλίων κωνικών τοµών, τα οποία εκδόθηκαν στην χώρα µας κατά τον 19 ο και 0 ο αιώνα.

12 Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ Α. ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Αφετηρία για την ανακάλυψη και µελέτη των κωνικών τοµών, από τους αρχαίους Έλληνες γεωµέτρες, φαίνεται να ήταν ένα από τα τρία περίφηµα προβλήµατα της αρχαιότητας. To πρόβληµα αυτό συνδέθηκε µάλιστα και µε ένα µύθο, έναν χρησµό που λέγεται ότι έδωσε το µαντείο των ελφών στους ήλιους. Προκειµένου να απαλλαγούν από τον λιµό που τους µάστιζε, έπρεπε να διπλασιάσουν τον βωµό του ηλίου Απόλλωνα. Έτσι ονοµάστηκε και «ήλιον πρόβληµα»: Να κατασκευαστεί, µε κανόνα και διαβήτη, ακµή κύβου ο οποίος να έχει όγκο διπλάσιο του όγκου ενός δοσµένου κύβου, δηλαδή, µε σύγχρονο συµβολισµό, αν α η ακµή του δοσµένου κύβου, ζητείται να κατασκευαστεί µε κανόνα και διαβήτη τµήµα x ώστε x 3 = α 3. Το αντίστοιχο πρόβληµα στο επίπεδο είναι η κατασκευή, µε κανόνα και διαβήτη, τετραγώνου µε εµβαδόν διπλάσιο του εµβαδού δοσµένου τετραγώνου. Ενώ το πρόβληµα αυτό ανάγεται στην κατασκευή µιας µέσης αναλόγου µεταξύ δυο δοθέντων τµηµάτων α, β (α/x = x/β) και είναι εύκολη (περιγράφεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη Βιβλίο VI, Πρόταση 13, [5], σελ. 446), η προηγούµενη κατασκευή «ταλαιπώρησε» δηµιουργικά επί αιώνες τους µαθη- µατικούς, ώσπου αποδείχθηκε τελικά, το 1837 από τον Pierre Laurent Wantzell ( ) ότι είναι αδύνατη. Το αδύνατο του προβλήµατος αυτού, όπως και της τριχοτόµησης µιας γωνίας, αποδεικνύονται µε τη χρήση Θεωρίας Galois (βλ. π.χ. [13]). Σχετικά µε το «ήλιον πρόβληµα», που παρέµενε άλυτο για πολλά χρόνια, ο Πρόκλος (450 περίπου µ.χ., νεοπλατωνικός φιλόσοφος, τελευταίος διευθυντής της Ακαδηµίας Πλάτωνος), µας λέει: «ésper kaˆ toà diplasiasmoà toà kúbou zhthqšntoj metšqesan t¾n z»thsin e j llo, ú toàto petai, t¾n eûresin tîn dúo mšswn, kaˆ tõ loipõn z»toun, pîj n dúo doqeisîn eùqeiîn dúo mšsai n logon eøreqe en. prîton dš fasi tîn poroumšnwn diagramm twn t¾n pagwg¾n poi»sasqai `Ippokr thn tõn C on, Öj kaˆ mhn skon tetragènise..» (Πρόκλος, Υπόµνηµα στο α βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, σελ. 13) Έτσι φαίνεται ότι πρώτος ο Ιπποκράτης ο Χίος ( 430 π.χ.) έκανε ένα σηµαντικό βήµα: διαπίστωσε ότι το πρόβληµα είναι ισοδύναµο µε το να πα-

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α 3 ρεµβληθούν δυο µέσες ανάλογοι µεταξύ των τµηµάτων α και α, δηλαδή να κατασκευαστούν τµήµατα κ, λ που ικανοποιούν τις σχέσεις α κ λ = = (1) κ λ α Τότε εύκολα προκύπτει κ 3 = α 3, δηλαδή το ζητούµενο τµήµα είναι το κ. A1. Μέναιχµος Μετά την διατύπωση του Ιπποκράτη του Χίου της ισοδύναµης µορφής του «ηλίου προβλήµατος», άρχισαν οι προσπάθειες των αρχαίων Ελλήνων γεω- µετρών για την κατασκευή δυο µέσων αναλόγων τµηµάτων. Ο πρώτος ο οποίος συνέδεσε το πρόβληµα της παρεµβολής δυο µέσων αναλόγων µε τις το- µές ενός κώνου, φαίνεται ότι ήταν ο γεωµέτρης και αστρονόµος Μέναιχµος (περίπου π.χ.), αδελφός του εινοστράτου και µαθητής του Πλάτωνα και του Ευδόξου. Αυτό το συνάγουµε από δυο αναφορές του βυζαντινού µαθηµατικού και σχολιαστή Ευτόκιου (6 ος αιώνας µ.χ.) στα σχόλιά του, στο έργο του Αρχιµήδη Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, σχετικές µε το διπλασιασµό του κύβου. Στην πρώτη αναφορά (σελ. 78) περιγράφει και αποδίδει στον Μέναιχµο δυο λύσεις του προβλήµατος µε την βοήθεια κωνικών τοµών. Το σχετικό τµήµα αρχίζει ως εξής: «`Wj Mšnaicmoj. Estwsan aƒ doqe sai dúo eùqe ai aƒ A, E de d¾ tîn A, E dúo mšsaj n logon eøre n...» Στην µια λύση, σε σύγχρονη ορολογία, ο Μέναιχµος θεώρησε τα τµήµατα κ, λ ως συντεταγµένες του σηµείου τοµής της καµπύλης x = αy (παραβολή) µε καµπύλη xy = α (υπερβολή), (Σχήµα 1(α)), ενώ στην δεύτερη ως συντεταγµένες του σηµείου τοµής της καµπύλης y = αx (παραβολή) µε την την κα- µπύλη x = αy (παραβολή) (Σχήµα 1(β)). y x = αy y y = αx λ xy=α x = αy λ (α) κ x Σχήµα 1 (β) κ x

14 Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ 4 Πραγµατικά, όπως εύκολα διαπιστώνουµε, η παραπάνω σχέση (1) είναι ισοδύναµη µε τις σχέσεις κ = αλ, λ = ακ ή µε τις σχέσεις κ = αλ, κλ = α. Η δεύτερη αναφορά στον Μέναιχµο, είναι σε µια επιστολή του Ερατοσθένη του Κυρηναίου ( π.χ., διευθυντή της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας) προς τον βασιλιά της Αιγύπτου Πτολεµαίο τον Ευεργέτη. Την επιστολή αυτή σώζει ο Ευτόκιος στο έργο του (σελ. 96) που αναφέραµε παραπάνω, στην οποία υπάρχει ένα επίγραµµα όπου µεταξύ άλλων λέει: «mhd σú g' 'ArcÚtew duσm»cana œrga kul ndrwn, mhd Menaicme ouj kwnotome n tri daj diz»σv, mhd' e ti qeoudšoj EÙdÒxoio kampúlon g gramma j edoj nagr fetaι». Έτσι και η φράση «mhd Menaicme ouj kwnotome n tri daj» συνηγορεί στην άποψη ότι οι τρεις καµπύλες-τοµές κώνου ανακαλύφθηκαν από τον Μέναιχµο, στην προσπάθειά του να βρει τα τµήµατα κ, λ. Η άποψη αυτή είναι επικρατέστερη στη ιστορία των µαθηµατικών, αλλά διατυπώνεται τελευταία και η άποψη να ανακαλύφθηκαν οι καµπύλες αυτές πριν τον Μέναιχµο. Επίσης υποστηρίζεται ότι µπορεί να ανακαλύφθηκαν πρώτα ως επίπεδες καµπύλες και µετά να διαπιστώθηκε ότι µπορούν να προκύψουν και ως τοµές κώνου (βλέπε π.χ. [], σελ. 96). Ακόµη ο ιστορικός Ο. Νeugebauer, στο έργο του Apollonius-Stydien (193), υποστηρίζει ότι οι κωνικές τοµές ανακαλύφθηκαν από την µελέτη των ηλιακών ρολογιών. Αν και δεν είναι µε βεβαιότητα γνωστό πώς έφτασε ο Μέναιχµος να συσχετίσει τις καµπύλες που ζητούσε µε τις τοµές κώνου µε επίπεδο, γεγονός είναι ότι αποτέλεσε ένα σπουδαίο επίτευγµα µε µεγάλες συνέπειες στην ανάπτυξη των θετικών επιστηµών. οξυγώνιος ορθογώνιος αµβλυγώνιος κώνος Σύµφωνα πάντως µε τις πηγές, ο Μέναιχµος θεώρησε τις τοµές της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου από ένα επίπεδο που ήταν κάθετο σε µια

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α 5 γενέτειρά του. Ανάλογα µε τη γωνία της κορυφής του κώνου, οι καµπύλες αυτές είναι διαφορετικές και ονοµάζονται αντίστοιχα, οξυγωνίου, ορθογωνίου, και αµβλυγωνίου κώνου τοµές. Τα ονόµατα αυτά των κωνικών τοµών διατηρήθηκαν για πολλά χρόνια, µέχρι που ο Απολλώνιος (60 π.χ.-170 π.χ) όρισε τις ίδιες καµπύλες µε έναν κάπως διαφορετικό (αλλά ισοδύναµο) τρόπο και τους έδωσε τα γνωστά σήµερα ονόµατα έλλειψη, παραβολή και υπερβολή αντίστοιχα. A. Αρισταίος και Ευκλείδης Ο πρώτος ο οποίος φέρεται να ασχολήθηκε µε τις κωνικές τοµές µετά τον Μέναιχµο, ήταν ο Αρισταίος ο πρεσβύτερος (περίπου 30 µ.χ), ο οποίος έγραψε ένα βιβλίο για τις κωνικές τοµές και ως συνέχεια αυτού πέντε βιβλία «Περί στερεών τόπων» που ήταν σχετικά µε τις κωνικές τοµές. Ο όρος «στερεοί τόποι» χρησι-µοποιείται για να δηλώσει ότι οι κωνικές τοµές (που προκύπτουν από τοµές στερεών σχηµάτων-κώνων) θεωρούνται ως γεωµετρικοί τόποι και βάσει αυτών λύνονται τα λεγόµενα «µη επίπεδα» προβλήµατα, π.χ. ο διπλασιασµός του κύβου. Επίπεδα προβλήµατα θεωρούνταν αυτά που µπορούν να λυθούν χρησι-µοποιώντας ευθείες και κύκλους (ανάγονται σε εξισώσεις το πολύ δευτέρου βαθµού). Σχετικά ο Πάππος (περίπου 300 µ.χ.) στην Συναγωγή του, βιβλίο ΙΙΙ, σελ. 54, αναφέρει: «t mn oân di' eùqe aj kaˆ kúklou perifere aj dun mena lúesqai lšgoito n e kòtwj p peda kaˆ g r aƒ grammaˆ di' ïn lúetai t toiaàta probl»mata t¾n gšnesin œcousin n pipšdj. Ósa d probl»mata lúetai paralambanomšnhj e j t¾n eûresin mi j tîn toà kènou tomîn À pleiònwn, taàta stere kšklhtai prõj g r t¾n kataskeu¾n nagka Òn sti cr»sasqai stereîn schm twn pifane aij, lšgw d ta j kwnika j» Μετά τον Αρισταίο, µε τις κωνικές τοµές ασχολήθηκε και ο Ευκλείδης, ο οποίος έγραψε τέσσερα σχετικά βιβλία. Τις πληροφορίες αυτές τις έχουµε από τον Πάππο, ο οποίος γράφει σχετικά (Συναγωγή, βιβλίο VII, σελ. 67) : «T EÙkle dou bibl a d kwnikîn 'Apollènioj naplhrèσaj kaˆ proσqeˆj tera d paršdwken h kwnikîn teúch. 'Ariσta oj dš, Öj gšgrafe t mšcri toà nàn nadidòmena σtereîn tòpwn teúch e σunecá to j kwniko j,

16 Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ 6 k lei [kaˆ oƒ prõ 'Apollwn ou] tîn triîn kwnikîn grammîn t¾n mn Ñxugwn ou, t¾n d Ñrqogwn ou, t¾n d mblugwn ou kènou tom»n» Τα βιβλία αυτά του Αρισταίου και του Ευκλείδη για τις κωνικές τοµές δεν σώθηκαν. Ίσως σ αυτό να συνέβαλε το ότι τα µεταγενέστερα Κωνικά του Απολλωνίου ήταν πολύ πληρέστερα από αυτά. Τα βιβλία του Αρισταίου, όπως πιθανολογεί ο ιστορικός T. Heath ([6] τόµος Ι, σελ. 54), σωζόταν την εποχή του Πάππου, ενώ τα Κωνικά του Ευκλείδη, ίσως να είχαν χαθεί από τότε. Ενδείξεις για την ύπαρξη των βιβλίων αυτών έχουµε και από την συχνή αναφορά (µάλλον) σ αυτά από τον Αρχιµήδη (87-1 π.χ.), οποίος, όπως θα δούµε παρακάτω, χρησιµοποιεί προτάσεις στις κωνικές τοµές χωρίς απόδειξη. Ο Πάππος αναφέρει ότι ο Ευκλείδης απέδιδε στον Αρισταίο την µελέτη των κωνικών τοµών. Λογικό είναι να υποθέσουµε ότι όπως και στην περίπτωση των Στοιχείων, ο Ευκλείδης συγκέντρωσε και τακτοποίησε όλα όσα είχαν µεχρι την εποχή του ανακαλυφθεί σχετικά µε τις κωνικές τοµές. Ένα άλλο αξιοσηµείωτο στοιχείο είναι ότι, ενώ ο Απολλώνιος στα Κωνικά του δεν αναφέρεται στην γενική ιδιότητα των κωνικών για την διευθετούσα και την εστία (βλέπε παρακάτω στον Απολλώνιο), στον Ευκλείδη φαίνεται ότι ήταν γνωστή η σχετική ιδιότητα. Αυτός ο οποίος σώζει την πληροφορία για την εστία και διευθετούσα κωνικής είναι ο Πάππος, αποδίδοντάς την στον Ευκλείδη. Συγκεκριµένα, την αποδεικνύει σε ένα λήµµα του το οποίο έχει ληφθεί από το (χαµένο) έργο του Ευκλείδη Tόποι προς επιφανείαις. Η διατύπωσή του είναι η εξής: «œstw qšsei eùqe a ¹ AB, kaˆ doqn tõ G n tù aùtù pipšdj, kaˆ di»cqw ¹ DG, k qetoj ¹ DE, lògoj d œstw táj GD prõj DE lšgw Óti tõ D ptetai kènou tomáj, kaˆ n mn Ð lògoj Ï soj prõj son, paraboláj, n d l sswn prõj me zona, lle yewj, n d me zwn prõj l ssona, ØperbolÁj». (Συναγωγή, βιβλίο VII, σελ. l01): Πάντως την ιδιότητα για εστία-διευθετούσα χρησιµοποιεί ο ιοκλής (180 περίπου π.χ.) στο έργο του Περί Πυρείων (βλέπε Κεφ.1, Α5). Επίσης ο Πάππος στην Συναγωγή του (βιβλίο VII, σελ.1004) παραθέτει την απόδειξη της παρακάτω σηµαντικής πρότασης, την οποία αποδίδει στον Ευκλείδη. Η πρόταση αναφέρεται ως ένα ακόµη λήµµα από το έργο του Ευκλείδη Τόποι προς επιφανείαις:

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α 7 «a. 'E n Ï eùqe a ¹ AB, kaˆ par qšσei ¹ GD, kaˆ Ï lògoj toà ØpÕ ADB prõj tõ põ DG, tõ G ptetai kwnikáj grammáj...» (ε) Γ Α Β ηλαδή, αν ΑΒ ένα δοσµένο τµήµα και Γ έχει σταθερή διεύθυνση (π.χ. είναι παράλληλο µια δοθείσα ευθεία (ε)) σ ένα επίπεδο, ο γεωµετρικός τοπος των σηµείων Γ µε = σταθερό, είναι κωνική τοµή. A Β Γ Τέλος να σηµειώσουµε ότι η έλλειψη ήταν γνωστή στον Ευκλείδη και ως τοµή κυλίνδρου µε επίπεδο µη παράλληλο στην βάση του. Στο έργο του Φαινόµενα (πρόλογος, γραµµή 56) αναφέρει σχετικά «n g r kînoj À kúlindroj pipšdj tmhqí m¾ par t¾n b σin, ¹ tom¾ g gnetai Ñxugwn ou kènou tom», ¼tij σtˆn Ðmo a qureù» Ας σηµειωθεί ότι ο θυρεός ήταν µια πέτρα σε σχήµα έλλειψης που υπήρχε στην κεντρική είσοδο των σπιτιών των αρχαίων Ελλήνων. A3. Αρχιµήδης Ο µέγιστος των µαθηµατικών και µηχανικών της αρχαιότητας Αρχιµήδης (87-1 π.χ.), αν και δεν φέρεται να έγραψε βιβλίο για τις κωνικές τοµές, απέδειξε και χρησιµοποίησε στα έργα του ιδιότητες των κωνικών τοµών. Ο Αρχιµήδης, δείχνει γενικά να έχει βαθιά γνώση των σχετικών θεµάτων. Έτσι π.χ. στο έργο του Έφοδος (στην Πρόταση 1, [], σελ. 399) χρησιµοποιώντας µια σηµαντική ιδιότητα της παραβολής (Πρόταση 5 του A έργου του Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής, [], τόµος β, σελ. 4, βλέπε και Πρόταση 10, Κεφ. 4) ανακαλύπτει, µε την µέθοδο M των µοχλών, ότι εµβαδόν του παραβολικού K χωρίου ΑΜΒ (Σχήµα 1) είναι ίσο µε τα 4/3 του εµβαδού του τριγώνου ΑΜΒ, όπου Μ το σηµείο στο οποίο, η παράλληλη από το µέσο Κ του ΑΒ Σχήµα 1 προς τον άξονα B

18 Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ 8 της παραβολής τέµνει την παραβολή. Ο τρόπος που χρησιµοποιεί ο Αρχιµήδης, αναγνωρίζεται από τον ίδιο ότι δεν είναι αυστηρός. Γι αυτό στο έργο του Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής δίνει δυο αυστηρές αποδείξεις: η µια είναι µηχανική και µοιάζει µε αυτήν που χρησιµοποιεί στην Έφοδο αλλά χρησιµοποιώντας την µέθοδο της εξάντλησης την µετατρέπει σε αυστηρή και η άλλη είναι γεωµετρική. Πριν προχωρήσει στην εύρεση του εµβαδού παραθέτει πέντε προτάσεις για την παραβολή, τις οποίες πρόκειται να χρησιµοποιήσει. Οι τρεις πρώτες δίνονται χωρίς απόδειξη, γιατί όπως λέει, «αποδέδεικται δε ταύτα εν τοις κωνικοίς στοιχείοις», εννοώντας µάλλον το βιβλίο των Κωνικών του Ευκλείδη ή του Αρισταίου. Αυτό δείχνει ότι οι προτάσεις αυτές ήταν ήδη τότε γνωστές και χρησιµοποιούνταν χωρίς απόδειξη. Οι συγκεκριµένες τρεις προτάσεις, µε την αρίθµηση του Αρχιµήδη στο έργο του Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής, ([], τόµος β, σελ. 1-), σε ελεύθερη απόδοση, είναι: ΠΡΟΤΑΣΗ 1 Έστω παραβολή ΑΒΓ (όπου ΑΓ είναι χορδή της παραβολής) και Β παράλληλη στον άξονα της παραβολής (ή η ίδια είναι άξονας). Αν η εφαπτοµένη στο Β είναι παράλληλη στην ΑΓ, τότε το είναι µέσο της ΑΓ, και αντίστροφα (Σχήµα ). Την πρόταση αυτή χρησιµοποιεί ο Αρχιµήδης και στο έργο του Περί Οχου- µένων β ([], τόµος β, Πρόταση, σελ. 97). ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω παραβολή ΑΒΓ, σηµείο της χορδής ΑΓ και Β παράλληλη στον άξονα της παραβολής (ή η ίδια είναι άξονας). Αν η εφαπτοµένη στο Β είναι παράλληλη στην ΑΓ και η εφαπτοµένη στο A Α τέµνει την Β στο Ε, τότε ΒΕ = Β (Σχήµα ). Σηµείωση: Αποδείξεις των προτάσεων Θ αυτών δίνουµε στην 4.3, Πόρισµα 7. και Πόρισµα 8.1 αντίστοιχα. Ε Β Ζ ΠΡΟΤΑΣΗ 3 Έστω παραβολή ΑΒΓ, Β παράλληλη στον άξονα της παραβολής (ή η ίδια είναι άξονας) και ΑΓ παράλληλη στην εφαπτοµένη στο Β. Αν η ΘΖ είναι παράλ- Γ Σχήµα

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α 9 ληλη στην ΑΓ, τότε A ΘΖ Β = ΒΖ (Σχήµα ). Στην συνέχεια αναφέρει τις ακόλουθες δυο προτάσεις, τις οποίες αποδεικνύει. Ας δούµε τις προτάσεις αυτές µε τις αποδείξεις του Αρχιµήδη από το έργο του Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής, ([], τόµος β, σελ. 3-7): ΠΡΟΤΑΣΗ (Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής, Πρόταση 4, [] τόµος β, σελ. ) Έστω παραβολή ΑΒΓ, µέσο του ΑΓ και Β παράλληλη στον άξονα της παραβολής (ή η ίδια είναι άξονας). Αν ΖΘ παράλληλη στην Β, τότε ΘZ A ΘZ Α = (ή και = ) ΘΗ Ζ ΗΖ ΑΖ Απόδειξη (Αρχιµήδη) Έστω ΗΚ//ΑΓ (Σχήµα 3(α)) που τέµνει την Β στο Κ και την ΒΓ στο Ι. Από A Β Β ΒΓ την Πρόταση 3 έχουµε = (1). Αλλά ΙΚ// Γ, οπότε = και HK ΒK ΒΚ ΒΙ Α Γ ΒΓ λόγω των Β //ΘΖ, ΗΚ// Ζ, έχουµε = =. Άρα από την (1) ΗΚ Ζ ΒΘ ΒΓ BΓ ΒΘ BΓ ΒΘ + ΒΓ ΘΓ παίρνουµε = ή = = = () ΒΙ ΒΘ ΒΙ ΒΘ ΒΙ + ΒΘ ΘΙ Γ Α B I K Ε Β Θ H Ζ Λ Ι Θ Κ A Ζ Γ (α) Σχήµα 3 (β)

20 Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ 10 ΒΓ Γ Α Αλλά λόγω παραλληλίας είναι = = και ΒΘ Ζ Ζ Α ΘΖ Α ΘΖ () έχουµε = (ή και = ), ό.έ.δ. Ζ ΘΗ ΑΖ ΗΖ ΘΓ ΘΙ = ΘΖ ΘΗ, οπότε από την ΠΡΟΤΑΣΗ (Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής, Πρόταση 5, [], τόµος β, σελ. 4) Έστω παραβολή ΑΒΓ, ΑΖ η εφαπτοµένη στο Α και ΓΖ παράλληλη στον άξονα της παραβολής. Αν η ευθεία ΚΛ είναι παράλληλη στην ΓΖ και τέµνει την ΘΚ ΚΓ παραβολή στο Θ, τότε = (ή ΑΚ ΘΚ = ΘΛ ΚΓ). ΘΛ ΑΚ Απόδειξη (Αρχιµήδη) Από το µέσο (Σχήµα 3(β)) της ΑΓ φέρνουµε παράλληλη στην ΓΖ που τέµνει την παραβολή στο Β και την ΑΖ στο Ε. Τότε από την Πρόταση είναι ΒΕ = Β. Αν η ΑΒ τέµνει την ΚΛ στο Ι, τότε από την Πρόταση 4 έχουµε ΘΚ ΚΓ =. Άλλά λόγω του ότι Ε //ΚΛ και ΒΕ = Β είναι και ΛΙ = ΙΚ, οπότε ΙΚ Γ ΘΚ ΚΓ ΘΚ ΚΓ ΙΚ = ΛΚ, ΑΓ = Γ, οπότε = ή =. ό.έ.δ. ΛΚ ΑΓ ΘΛ ΑΚ Ενδιαφέρον παρουσιάζουν και οι Προτάσεις 18, 19 από το ίδιο έργο: ΠΡΟΤΑΣΗ (Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής, Πρόταση 18, [], τόµος β, σελ. 51) Έστω ένα τµήµα παραβολής που ορίζεται Γ από µια χορδή της ΑΓ. Αν η παράλληλος από (ε) το µέσο του ΑΓ προς την διάµετρο της παραβολής τέµνει την παραβολή στο σηµείο Β, τότε, απ όλα τα σηµεία (του τµήµατος) της παραβολής αυτής, το Β απέχει περισσότερο από την ΑΓ. (Το Β ο Αρχιµήδης το Β Θ ονοµάζει κορυφή του τµήµατος). Απόδειξη (Αρχιµήδη) Ζ Ε Επειδή το είναι το µέσο του ΑΓ και η Β παράλληλη στην διάµετρο, από την Πρόταση 1 έχουµε ότι η εφαπτοµένη στο Β είναι παράλληλη A Σχήµα 4 στην ΑΓ. Είναι λοιπόν φανερό ότι το Β απέχει περισσότερο από την

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α 11 ΑΓ (αφού όλα τα άλλα σηµεία της παραβολής βρίσκονται µέσα στην ζώνη των παραλλήλων αυτών). ΠΡΟΤΑΣΗ (Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής, Πρόταση 19, [] τόµος β, σελ. 5) Έστω ΑΓ (Σχήµα 4) χορδή παραβολής, το µέσο της ΑΓ και Ε το µέσο του Α και φέρνουµε την ΕΖ παράλληλη προς στον άξονα της παραβολής. Τότε 3 ΖΕ = Β. 4 (Υπόδειξη: Φέρνουµε ΖΘ//ΑΓ και χρησιµοποιούµε την Πρόταση 3.) Επίσης στην Έφοδο, και µε την µέθοδο των µοχλών, ο Αρχιµήδης προσδιόρισε τον όγκο ελλειψοειδούς εκ περιστροφής, το κέντρο βάρους του καθώς και το κέντρο βάρους ενός υπερβολοειδούς κλπ. Έτσι ο Αρχιµήδης όχι µόνο συνέδεσε την θεωρία των κωνικών τοµών µε τον Απειροστικό Λογισµό (υπολογισµός εµβαδών κλπ) αλλά βρήκε και ένα σηµείο επαφής των θεωριών αυτών µε την Φυσική. Ακόµη στο έργο του Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων ([5], τόµος α ), το οποίο µελετά τα σχήµατα που προκύπτουν από την περιστροφή κωνικών τοµών (παραβολοειδή, υπερβολοειδή (κωνοειδή) και ελλειψοειδή (σφαιροειδή)) βρίσκει το εµβαδόν µιας έλλειψης. Συγκεκριµένα αποδεικνύει ότι, ο λόγος του εµβαδού µιας έλλειψης προς το εµβαδόν του κύκλου µε διάµετρο τον µεγάλο της άξονα είναι ίσος µε το λόγο του µικρού άξονα προς τον µεγάλο. Από αυτό προκύπτει ότι το εµβαδόν έλλειψης είναι ίσο µε το εµβαδόν κύκλου του οποίου η ακτίνα είναι ίση µε τον γεωµετρικό µέσο των ηµιαξόνων της έλλειψης. Στο ίδιο έργο του ο Αρχιµήδης χρησιµοποιεί ένα είδος συντεταγµένων. Συγκεκριµένα χρησιµοποιεί τον µεγάλο άξονα ως µοναδικό «άξονα συντεταγµένων» και καθορίζει την θέση ενός σηµείου Μ της κωνικής από µια «τεταγµένη» και δυο «τετµηµένες» x, x 1. Πιο συγκεκριµένα: Μ Σχήµα 5 Β x 1 Α x y Λ A x y M Λ x 1 B

22 Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ 1 Αν ΑΒ ο κύριος άξονας της κωνικής και ΜΛ η κάθετη από ένα σηµείο Μ της κωνικής στον άξονα αυτό, η κάθετη ΜΛ = y είναι η «τεταγµένη» και οι αποστάσεις ΑΛ = x, ΒΛ = x 1 «τετµηµένες». Στην περίπτωση της έλλειψης έχουµε x + x 1 = α, ο µεγάλος άξονας, ενώ τη περίπτωση της υπερβολής y x 1 = α + x. Έτσι αποδεικνύεται ότι η σχέση = c, σταθερός, είναι το xx1 «σύµπτωµα» της καµπύλης, η συνθήκη δηλαδή που ικανοποιείται από κάθε σηµείο της. Η συνθήκη αυτή, αν c 1, αντιστοιχεί σε υπερβολή ή έλλειψη. Αν c = 1 έχουµε κύκλο. Από τα παραπάνω φαίνεται πόσο κοντά είχαν φτάσει οι αρχαίοι Έλληνες στην Αναλυτική Γεωµετρία, όµως επέµεναν να µελετούν την Γεωµετρία µε το συνθετικό πνεύµα, δηλαδή τις µεθόδους της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Να σηµειώσουµε ακόµη ότι πιθανώς ο Αρχιµήδης γνώριζε ότι οι κωνικές µπορούν να προκύψουν και από τοµή µη ορθού κώνου. Αυτό το πιθανολογούµε από τις προτάσεις 7 και 8 στο Περί Κωνοειδέων και σφαιροειδέων, ([], τόµος α, σελ ) όπου αποδεικνύει ότι, όταν δοθεί µια οξυγωνίου κώνου τοµή (έλλειψη), κατασκευάζεται κώνος, που έχει την κορυφή του σε µια δοθείσα ευθεία η οποία διέρχεται από το κέντρο της και επίσης ανήκει σε επίπεδο κάθετο µε το επίπεδο της έλλειψης. Μάλιστα εξετάζει χωριστά την περίπτωση η ευθεία να είναι κάθετη στο επίπεδο της έλλειψης, οπότε βέβαια ο κώνος δεν µπορεί να είναι ορθός. A4.1. Γενικά A4. Απολλώνιος ο Περγαίος Αποκορύφωµα της θεωρητικής µελέτης των τριών κωνικών τοµών κατά την αρχαιότητα, ήταν το έργο Κωνικά του Απολλωνίου του Περγαίου. Με τις κωνικές τοµές ασχολήθηκαν πολλοί, αλλά ο τελευταίος έµελλε να ταυτίσει για πάντα το όνοµά του µε αυτές. Ο Απολλώνιος γεννήθηκε στην Ελληνική πόλη Πέργη της Παµφυλίας, κοντά στην σηµερινή Αττάλεια της Μικράς Ασίας και σπούδασε στην Αλεξάνδρεια µε καθηγητές τους διαδόχους του Ευκλείδη. Έζησε την ένδοξη Αλεξανδρινή εποχή, περίπου το π.χ., δηλαδή ήταν κατά 30 περίπου χρόνια νεώτερος του Αρχιµήδη. Είναι και αυτός ένας από τους µεγάλους Αρχαίους Έλληνες Μαθηµατικούς, µετά τον Εύδοξο, τον Αρχι- µήδη και τον Ευκλείδη. Αν και ο Απολλώνιος, όπως αναφέραµε, στηρίχθηκε σε προηγούµενα έργα του Αρισταίου και του Ευκλείδη, σχετικά µε τις κωνικές, τα οποία δεν σώθηκαν, το έργο του είναι και θα είναι αιώνια µέγιστο και αξιοθαύµαστο.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α 13 Το βάθος της γεωµετρικής σκέψης του, το ευρύ και εξαντλητικό πνεύµα του και η άψογη και χωρίς λάθη διατύπωση των προτάσεών του, εντυπωσιάζει εδώ και 00 χρόνια, ώστε δίκαια τον αποκαλούσαν «Μέγα Γεωµέτρη». Πράγµατι, ο βυζαντινός µαθηµατικός και σχολιαστής Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης, ο οποίος εξέδωσε τα Κωνικά περίπου το 530 µ.χ. στη Κωνσταντινούπολη, αναφέρει στα σχόλια του στα Κωνικά, ότι ο µαθηµατικός Γεµίνος ( ος - 1 ος αιώνας π.χ.) στην ιστορία των Μαθηµατικών του, λέει ότι, «οι κατ αυτόν (δηλαδή τον Απολλώνιο) γενόµενοι δια το θαυµάσιον των υπ αυτού δεδειγµένων κωνικών θεωρηµάτων µέγαν γεωµέτρην εκάλουν» ([1], τόµος δ, σελ. 1). Ο Απολλώνιος ο οποίος απέκτησε την φήµη του και ως Αστρονόµος, έγραψε πολλά βιβλία, τα περισσότερα από τα οποία χάθηκαν. Ευτυχώς τα Κωνικά ήταν ένα από τα λίγα έργα του που διασώθηκαν, αν και όχι ολόκληρο. Επίσης σώθηκε το έργο του Περί λόγου αποτοµής στα Αραβικά. Ακόµη το έργο του Εύρεση δύο µέσων αναλόγων, δηλαδή µια λύση του ηλίου προβλήµατος, περιγράφεται από τον Ευτόκιο στα σχόλια του στο Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιµήδη, ενώ το έργο του Σύγκριση ωδεκαέδρου και Εικοσαέδρου αναφέρεται εκτενώς από τον Υψικλή στο λεγόµενο και 14 ο βιβλίο το Ευκλείδη. Τα έργα του Απολλωνίου που δεν σώθηκαν, όπως προκύπτει από διάφορες µαρτυρίες, είναι 18 (βλέπε [1], τόµος α, σελίδα 39). Εκτενείς περιγραφές έξι έργων του Απολλωνίου συµπεριέλαβε ο Πάππος στον Αναλυόµενο Τόπο, οποίος περιέχεται στο 7 ο βιβλίο της Συναγωγής του. Τα τρία από τα έργα αυτά ήταν το Περί Λόγου αποτοµής ( βιβλία), το Περί χωρίου αποτοµής ( βιβλία) και το Περί διωρισµένης τοµής ( βιβλία) τα οποία σχετίζονται άµεσα µε τα Κωνικά ([6], τόµος ΙΙ, σελ. 17). Μια σηµαντική καινοτοµία του Απολλωνίου ήταν να θεωρήσει τις τρεις κωνικές ως διαφορετικές τοµές ενός (µόνο) κυκλικού κώνου, όχι απαραίτητα ορθού, και χωρίς να είναι απαραίτητο το επίπεδο τοµής να είναι κάθετο σε µια γενέτειρα του κώνου, όπως συνέβαινε πριν από αυτόν. Έτσι: Αν το επίπεδο τοµής είναι παράλληλο σε µια γενέτειρα του κώνου, η τοµή ονοµάζεται παραβολή, αν το επίπεδο τοµής τέµνει όλες τις γενέτειρες του κώνου, η καµπύλη ονοµάζεται έλλειψη (εκτός µιας περίπτωσης που είναι κύκλος), και αν το επίπεδο τοµής είναι παράλληλο στον άξονα του κώνου ή τέµνει και τον κατακορυφή κώνο, η καµπύλη ονοµάζεται υπερβολή. Συγκεκριµένα αποδεικνύει ότι οι καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή επιπέδου κάθετου στην γενέτειρα ορθού κυκλικού κώνου (δηλαδή ακολου-

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863)

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863) Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1 B ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές «οι υπολογισµοί υποκαθιστούν την σκέψη, ενώ η γεωµετρία την διεγείρει». (J. Steiner 1796 1863)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε προβ α ν, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Σάββατο 8 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 83 Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. ** Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Α. Έστω Α η διχοτόµος της γωνίας A ) ενός τριγώνου ΑΒΓ. Από το Β φέρνουµε την παράλληλη προς την Α και έστω Ε το σηµείο τοµής της µε την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση της ενότητας αυτής ο/η μαθητής/τρια πρέπει: 1. Να σχεδιάζει γεωμετρικές καμπύλες (ελλειψοειδή, ωοειδή, παραβολή, υπερβολή, έλικα, σπείρα) εφαρμόζοντας τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών. Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη

Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών. Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη Ιστορικά Η μεταφορά αντικειμένων του Χώρου των τριών διαστάσεων στο επίπεδο έχει τις ρίζες της στην προϊστορική

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε) 9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 26.04.12 Χ. Χαραλάμπους René Descartes (Γαλλία) 1596 1650 φιλόσοφος Cogito ergo sum Σκέφτομαι άρα υπάρχω 1637 La dioptrique, Les meteores, La geometrie Καρτεσιανή γεωμετρία=αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Ζήτηµα 1ο Α. Έστω Α η διχοτόµος της γωνίας A ) ενός τριγώνου ΑΒΓ. Από το Β φέρνουµε την παράλληλη προς την Α και έστω Ε το σηµείο τοµής της µε την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α. Έστω Α η διχοτόµος της γωνίας A ) ενός τριγώνου ΑΒΓ. Από το Β φέρνουµε την παράλληλη προς την Α και έστω Ε το σηµείο τοµής της

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα