Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Γεωπληροφορικής

Transcript

1 Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Γεωπληροφορικής ΠΟΜ 44 Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Σηµειώσεις Υδρολογίας Α.. Κούσης. Γραµµικό σύστηµα: Βασικές Έννοιες και Ορισµοί Θεωρούµε την λεκάνη απορροής ποταµού ως ένα υδρολογικό σύστηµα, το οποίο δέχεται ως σήµα εισόδου την χωρικά οµοιόµορφα κατανεµηµένη ενεργό βροχή και δίδει ως απόκριση την άµεση απορροή στην έξοδο της λεκάνης. Επιπλέον, θεωρούµε ότι το σύστηµα είναι γραµµικό και ότι οι ιδιότητές του δεν µεταβάλλονται χρονικά. Η γραµµικότητα του συστήµατος συνεπάγεται ότι η λειτουργία του παραµένει αναλλοίωτη, ανεξάρτητα από την φόρτιση που δέχεται. Ως εκ τούτου, (α) ισχύει η αναλογικότητα µεταξύ φορτίσεως και αποκρίσεως (π.χ. διπλάσια φόρτιση επιφέρει την διπλάσια απόκριση) και (β) η απόκριση του συστήµατος σε φορτίσεις σε διαφορετικούς χρόνους προκύπτει από την υπέρθεση των επί µέρους αποκρίσεων. Ως υπέρθεση νοείται η άθροιση του συνόλου των αποκρίσεων, λαµβανοµένου υπ όψιν του χρονισµού των διαφόρων ζευγών φορτήσεως αποκρίσεως. Οι ανωτέρω απλουστευτικές παραδοχές, προφανώς, εξιδανικεύουν την κατάσταση και την συµπεριφορά του πραγµατικού φυσικού συστήµατος. Στην πράξη αποδεικνύεται όµως, ότι, µε αυτές τις παραδοχές, είµαστε σε θέση να περιγράψουµε µαθηµατικά την λειτουργία λεκανών απορροής µε ικανοποιητικό βαθµό προσέγγισης και µε υπολογιστική άνεση. Η πιο γνωστή µέθοδος υπολογισµού της άµεσης απορροής λεκάνης ποταµού που την προσοµοιώνει ως γραµµικό σύστηµα είναι αυτή του µοναδιαίου υδρογραφήµατος, την οποία σκιαγραφούµε αµέσως παρακάτω.. Θεωρία του Μοναδιαίου Υδρογραφήµατος Ορισµός: Ως µοναδιαίο υδρογράφηµα χρόνου Τ [συµβολίζεται U(t; T)] ορίζεται το υδρογράφηµα άµεσης απορροής εξ αιτίας ενεργούς βροχής οµοιόµορφα κατανεµηµένης στην επιφάνεια της λεκάνης, µοναδιαίου περιεχοµένου και διάρκειας Τ, δηλ. εντάσεως /Τ και διάρκειας T (άρα όγκου ίσου προς το εµβαδόν της λεκάνης επί την µονάδα ύψους βροχής). Η έννοια και η χρησιµότητα του µοναδιαίου υδρογράφηµατος θα γίνει κατανοητή µε την εφαρµογή που ακολουθεί. Έντονη βροχόπτωση, η οποία µετρήθηκε από βροχογράφους στην περιοχή λεκάνης απορροής ποταµού, προκάλεσε πληµµυρική παροχή στην έξοδο της λεκάνης. Το υδρογράφηµα συνολικής παροχής, Q(t), είναι γνωστό από τις καταγραφές του σταθµηγράφου του υδροµετρικού σταθµού στην έξοδο της λεκάνης, µετά από µετατροπή σε παροχές µέσω της βαθµονοµηµένης καµπύλης στάθµης-παροχής της διατοµής του ρέµατος στον σταθµό. Καθότι θεωρούµε ότι η λεκάνη αντιδρά ως σύνολο, δηλ. χωρίς χωρική διαφοροποίηση, υπολογίζουµε την µέση βροχή της λεκάνης, χρησιµοποιώντας π.χ. τα πολύγωνα Thiessen.

2 Περαιτέρω, σύµφωνα µε την θεώρησή µας, το γραµµικό σύστηµα της λεκάνης απορροής δέχεται ως σήµα εισόδου την ενεργό βροχή και δίδει ως απόκριση την άµεση απορροή. Για να προχωρήσουµε, λοιπόν, στην ανάλυσή µας, πρέπει να διαχωρίσουµε τα ελλείµµατα βροχής από την συνολική βροχή και την βασική απορροή από την συνολική. Τα ελλείµµατα βροχής τα προσδιορίζουµε κατά τα γνωστά, π.χ. εφαρµόζοντας την µέθοδο του αριθµού καµπύλης SCS ή του δείκτη φ(t), οπότε λαµβάνουµε το υετογράφηµα της ενεργούς βροχής. Παροµοίως, προσδιορίζουµε την βασική απορροή, π.χ. αναλύοντας τον πτωτικό κλάδο του υδρογραφήµατος συνολικής παροχής µε την τεχνική της ηµιλογαριθµικής απεικονίσεως, ή πιο απλουστευτικά ως σταθερή παροχή. Έχοντας υπολογίσει το υδρογράφηµα αµέσου παροχής, µπορούµε, πλέον, να υπολογίσουµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα. Σύµφωνα µε τον ανωτέρω ορισµό, το µοναδιαίο υδρογράφηµα είναι η άµεση απορροή εξ αιτίας ενεργούς βροχής µοναδιαίου περιεχοµένου, άρα, οι τιµές του προκύπτουν από την διαίρεση των αµέσων παροχών µε το ύψος της ενεργούς βροχής. Ο διπλανός πίνακας παρουσιάζει τον υπολογισµό του µοναδιαίου υδρογραφήµατος από ενεργό βροχή διάρκειας Τ = 3 h. Το ύψους της ενεργούς βροχής είναι h e = 8. mm. Η συνολική απορροή Q(t) δίδεται στην δεύτερη στήλη του πίνακα, η βασική απορροή Q b (t) στην τρίτη στήλη, και η άµεση απορροή Q α (t), που προκύπτει από αφαίρεση της τρίτης από την δεύτερη στήλη, στην τέταρτη στήλη. Επειδή ο όγκος της άµεσης απορροής (δίδεται από το άθροισµα των παροχών επί το ισοδιάστηµα των µετρήσεων, εδώ t = 36 s) ισούται προς τον όγκο της άµεσης βροχής, h e Α = = 9556 m 3, διαιρώντας τις τιµές της αµέσου απορροής µε την τιµή 8. mm λαµβάνουµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα των τριών ωρών, U (t; Τ = 3 h) που δίδεται στην πέµπτη στήλη του πίνακα. U (t; Τ = 3h) έχει µοναδιαίο περιεχόµενο, διότι είναι η άµεση απορροή από ενεργό βροχή διάρκειας Τ = 3 h µε ένταση mm/3h, 3 /3=. παροχή Q (t) Υπολογισµός Μοναδιαίου Υδρογραφήµατος χρόνος t (h) συνολική απορροή Q βασική απορροή Qb άµεση απορροή Qα Υπολογισµός του µοναδιαίου υδρογραφήµατος U(t; T = 3h) επιφάνεια λεκάνης απορροής Α = 5 km ενεργός βροχή: h e = 8. mm, διάρκεια Τ = 3h χρόνος t (h) 4: 5: 6: 7: 8: 9: : : : 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: : : : 3: : : : 3: 4: Πίνακας. Υπολογισµός U(t; T = 3h) συνολική απορροή Q βασική απορροή Q b άµεση απορροή Q α Σ(Q α) i t = 9556 m 3 Μοναδιαίο υδρο/φηµα U(t; T = 3h) * Σ(U) i t = 5 m 3 ανά mm ενεργούς βροχής * ανά mm ενεργούς βροχής

3 3 Προς χάριν πληρότητας, και ανεξάρτητα από το µοναδιαίο υδρογράφηµα, σηµειώνεται ότι ισχύει πάντοτε η διατήρηση της µάζας, ή του όγκου του ύδατος εν προκειµένω (θεωρώντας το ως ασυµπίεστο ρευστό). Προηγουµένως, εφαρµόσαµε την αρχή της διατήρησης της µάζας, εξισώνοντας τον όγκο της ενεργού βροχής µε τον όγκο της αµέσου απορροής, υπολογίσαµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα, και ακολούθως συµπεράναµε ότι όγκος του είναι ίσος προς την µονάδα. Παροµοίως ισχύει, ότι ο όγκος της βασικής απορροής πρέπει να ισούται προς τον όγκο των ελλειµµάτων της βροχής. Το ίδιο µπορεί να εκφρασθεί µε τα αντίστοιχα ύψη, δηλ. µε τα υδρολογικά µεγέθη µετά από αναγωγή στην µονάδα επιφάνειας της λεκάνης: το ύψος της βασικής απορροής (ο όγκος βασικής απορροής προς το εµβαδόν της λεκάνης) ισούται προς το ύψος των ελλειµµάτων της βροχής. Έχοντας στην διάθεσή µας το µοναδιαίο υδρογράφηµα U (t; Τ = 3 h), µπορούµε να το χρησιµοποιήσουµε για να υπολογίσουµε την άµεση απορροή της συγκεκριµένης λεκάνης για διαφορετικές βροχές. Προϋπόθεση για την εφαρµογή του συγκεκριµένου µοναδιαίου υδρογραφήµατος είναι, ότι το ενεργό υετογράφηµα του κάθε επεισοδίου βροχής θα έχει προηγουµένως αναλυθεί σε διαστήµατα τριών ωρών σταθερής εντάσεως. Η συνολική άµεση απορροή υπολογίζεται από την υπέρθεση των αµέσων απορροών για κάθε τρίωρο ενεργούς βροχής. Τέλος, η συνολική απορροή προκύπτει από την πρόσθεση στην άµεση απορροή της βασικής, πού πρέπει επίσης να προσδιορισθεί. Στον διπλανό πίνακα υπολογίζεται η απορροή από ενεργό βροχή 7 mm για 3 ώρες, mm επί ώρες, και έπειτα 9 mm πάλι για 3 ώρες. Πολλαπλασιασµός του U (t; Τ = 3 h) µε 7 mm και 9 mm δίδει τις άµεσες απορροές Q α και Q α αντίστοιχα, η υπέρθεση των οποίων δίδει την συνολική άµεση απορροή. Το γράφηµα παραπλεύρως δείχνει και την βασική απορροή Q b = +.5 t, t 3 h. Εφαρµογή του µοναδιαίου υδρογραφήµατος των 3 ωρών, U(t; T = 3h), σε σύνθετη βροχή επιφάνεια λεκάνης απορροής Α = 5 km ενεργός βροχή: h e = 7 mm, t 3 h, h e = mm, 3 h t 5 h, h e = 9 mm, 5 h t 8 h χρόνος παροχή Q a( t ) ( m 3 /s ) t (h) Πίνακας. Υπολογισµός της απορροής άµεση απορροή Q α άµεση απορροή Q α άµεση απορροή Q α + Q α απορροή από σύνθετο ενεργό υετογράφηµα συνολική απορροή Q Qa Qa Qb Q χρόνος t (h)

4 4 3. Το υδρογράφηµα σχήµατος S Όταν λεκάνη απορροής δεχθεί ενεργό βροχή σταθερής εντάσεως i για διάστηµα ίσο ή µεγαλύτερο από τον χρόνο συγκεντρώσεως (ή συρροής), η απόκρισή της διατρέχει χρονική καµπύλη σχήµατος S, καταλήγοντας σε σταθερή απορροή ίση προς iα, όπου Α το εµβαδόν της λεκάνης. Την σταθεροποίηση της απορροής στην τιµή iα απαιτεί η διατήρηση της µάζας υπό συνθήκες µόνιµης ροής (νόµος της συνεχείας: εισροή = απορροή), καθότι iα είναι η εισροή από την βροχή. Για την περαιτέρω ανάλυση: (α) χωρίζουµε την διαρκή ενεργό βροχή σε σειρά παλµών εντάσεως i και διάρκειας Τ, και (β) θεωρούµε την λεκάνη απορροής ως ένα γραµµικό και χρονικά µη µεταβαλλόµενο σύστηµα. Το σύστηµα αυτό µετατρέπει την σειρά των παλµών βροχής σε ταυτόσηµα υδρογραφήµατα απορροής (i Τ)U(t; Τ) (βλέπε εδάφια και ανωτέρω), η υπέρθεση των οποίων δίδει ως συνολική απορροή το υδρογράφηµα S(t). Ορίζουµε, ως χαρακτηριστική απόκριση της λεκάνης, την καµπύλη απορροής S u από φόρτιση µε διαρκή ενεργό βροχή µοναδιαίας εντάσεως (ο δείκτης u αναφέρεται στην µοναδιαία ένταση). Η χαρακτηριστική συνάρτηση S u λαµβάνεται από την κανονικοποίηση του υδρογραφήµατος S(t) στη βάση µοναδιαίας εντάσεως (διαίρεση µε i): S u (t) = S(t)/i. Σύµφωνα δε µε τον ορισµό του µοναδιαίου υδρογραφήµατος, το χαρακτηριστικό υδρογράφηµα S u (t) ερµηνεύεται άµεσα ως το αποτέλεσµα της υπερθέσεως σειράς κατά Τ = ισαπεχόντων µοναδιαίων υδρογραφηµάτων U(t; Τ = ). Η ιδιαίτερη χρησιµότητα της χαρακτηριστικής καµπύλης S u (t) συνίσταται στο ότι επιτρέπει τον προσδιορισµό µοναδιαίου υδρογραφήµατος παλµού ενεργούς βροχής κάθε διάρκειας Τ. Για τον σκοπό αυτό, µεταθέτουµε την καµπύλη S u (t) κατά Τ και την αφαιρούµε από την αρχική. Η διαφορά S u (t) = S u (t) - S u (t T ) δίδει την απορροή από παλµό ενεργούς βροχής διαρκείας T και µοναδιαίας εντάσεως (περιεχοµένου Τ ). Επειδή ζητούµενο είναι το µοναδιαίο υδρογράφηµα παλµού διαρκείας Τ και εντάσεως i = /Τ, η διαφορά S u (t) πρέπει να διαιρεθεί µε Τ, οπότε δίδει U (t; Τ ) = [S u (t) - S u (t T )]/T. () Σηµειώνεται, ότι το ίδιο αποτέλεσµα, δηλ. ο προσδιορισµός του U (t; Τ ), επιτυγχάνεται, προφανώς, επίσης µε ταυτόχρονη εφαρµογή των δύο τροποποιήσεων απευθείας στο υδρογράφηµα S(t): U (t; Τ ) = [S(t) - S(t T )](/it ) = [S(t) - S(t T )](Τ/T ) () Το παράδειγµα που ακολουθεί παρουσιάζει τον υπολογισµό του µοναδιαίου υδρογραφή- µατος του παλµού δύο ωρών, U (t; Τ = h), από το µοναδιαίο υδρογράφηµα του παλµού τριών ωρών, U (t; Τ = 3h), για την λεκάνη απορροής των προηγουµένων εφαρµογών. Σκοπός του παραδείγµατος είναι να δείξει επίσης τον πρακτικό τρόπο της εκτελέσεως των σχετικών υπολογισµών.

5 5 Ο Πίνακας 3 παρουσιάζει το πρώτο βήµα του υπολογισµού του µοναδιαίου υδρογραφήµατος U (t; Τ = h). Ο υπολογισµός του υδρογραφήµατος S(t) γίνεται στο ισοδιάστηµα αναλύσεως του U (t; Τ = 3 h), t = h. Αν και η καµπύλη S µπορεί να υπολογισθεί ως το άθροισµα σειράς U(t; T = 3 h) που απέχουν χρονικά µεταξύ τους κατά T = 3 h, το ίδιο αποτέλεσµα επιτυγχάνεται πιό εύκολα ως εξής: ) στην τρίτη στήλη του πίνακα, αντιγράφουµε τις τιµές του µοναδιαίου υδρογραφήµατος ως τον χρόνο t = Τ = 3 h µετατεθιµένες κατά T = 3 h, ) αρχίζοντας στο χρόνο t = T + t = 4 h, αθροίζουµε οριζοντίως τις τιµές στις δύο στήλες και γράφουµε το άθροισµα στην τρίτη στήλη στον χρόνο Τ + t, 3) επαναλαµβάνουµε το δεύτερο βήµα ως το τέλος του υδρογραφήµατος, οπότε θεωρητικά σταθεροποιείται η απορροή, και 4) µεταφέρουµε τις τιµές της τρίτης στήλης στην τέταρτη, αφού τις µεταθέσουµε χρονικά κατά T. Λόγω ατελειών του µοναδιαίου υδρογραφή- µατος, η καµπύλη S παρουσιάζει ταλαντώσεις, κυρίως προς το τέλος, τις οποίες διορθώνουµε έτσι ώστε η απορροή να τείνει προς την τιµή (/Τ)A ([mm/(3 36s)] 5km =.348 m 3 /s στην εφαρµογή µας). Τέλος, υπολογίζουµε το U(t; Τ = h) εφαρµόζοντας την σχέση (). H µετατρoπή της διαφοράς S(t) σε U(t; Τ = h) µέσω του πολλαπλασιασµού µε Τ/Τ δίδεται στην τελευταία στήλη του Πίνακα 4. Η µορφή του U(t; Τ = h) φαίνεται στο κατωτέρω σχήµα οι ανωµαλίες που παρουσιάζει οφείλονται στην αριθµητική παραγώγιση S/Τ. S(t) (m3/s) U (t; T = h). 6 8 t (h) S(t) U(t; T = h) (m3/s) Υπολογισµός του υδρογραφήµατος S και του µοναδιαίου υδρογραφήµατος U(t; T = h) Χρόνος t (h) Χρόνος t (h) Πίνακας 3. Υπολογισµός S(t) U(t; T =3h) * * ανά mm ενεργούς βροχής αθροίσµατα καµπύλης S * **.3**.335**.348 **διορθωµένη τιµή καµπύλη S * Πίνακας 4. Υπολογισµός U(t; T = h) καµπύλη S(t) * **.3**.35**.335**.348 * ανά mm ενεργούς βροχής καµπύλη S(t T ) * **.3**.35**.335**.348 **διορθωµένη τιµή **.3**.35**.335**.348 U(t; T =h) *

6 6 4. Παρατηρήσεις στο θέµα του µοναδιαίου υδρογραφήµατος Στο δεύτερο εδάφιο είδαµε πώς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µετρήσεις (α) ενεργούς βροχής σχηµατοποιηµένης σε παλµό διάρκειας Τ και (β) της αντίστοιχης απορροής, µετά από διαχωρισµό της βασικής απορροής, για να προσδιορίσουµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα διάρκειας Τ. Επίσης αναπτύξαµε µέθοδο υπολογισµού της άµεσης απορροής από σύνθετη ενεργό βροχή, της οποίας το υετογράφηµα µπορεί να προσεγγισθεί ως µια αλληλουχία παλµών διάρκειας Τ. Γνωρίζοντας τα ανωτέρω, γεννάται εύλογα το ερώτηµα κατά πόσον είναι εφικτό, αντιστρέφοντας την διαδικασία υπολογισµού της αµέσου απορροής από σύνθετη ενεργό βροχή, να προσδιορίσουµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι, κατ αρχήν, θετική και βασίζεται στην αναλυτική καταγραφή της υπερθέσεως των επιµέρους υδρογραφηµάτων απορροής από σειρά παλµών. Για ευκολία στην κατανόηση, αλλά χωρίς περιορισµό της γενικότητας του συλλογισµού, θεωρούµε ότι η ενεργός βροχή αποτελείται από δύο παλµούς διάρκειας Τ και εντάσεως i και i, δηλ. ύψους h και h αντίστοιχα. Για περαιτέρω απλοποίηση, υπολογίζουµε µε βήµα t = Τ, συµβολίζοντας τις τιµές του µοναδιαίου υδρογραφήµατος στους χρόνους t ν = ν t µε u ν = u(t ν ; T). Οι τιµές της συνολικής άµεσης απορροής στους χρόνους t ν δίδονται από τις εξής εξισώσεις (στον χρόνο t =, Q a = ): t = t = T, t = t, t 3 = 3 t, t N = Ν t, t N+ = (Ν + ) t, h u = Q a h u + h u = Q a h u 3 + h u = Q a3.. h u Ν + h u Ν- = Q an h u Ν = Q aν+ Λύνοντας διαδοχικά τις N πρώτες από τις ανωτέρω εξισώσεις, προφανώς, δυνάµεθα να προσδιορίσουµε τις Ν τεταγµένες του µοναδιαίου υδρογραφήµατος u ν, ν =,, N. Στις εξισώσεις αυτές h και h είναι γνωστοί συντελεστές και οι όροι των απορροών Q aν γνωστοί από τις µετρήσεις. Η επίλυση του συστήµατος έχει ως εξής. Λύνουµε την πρώτη εξίσωση ως προς u και έπειτα την δεύτερη ως προς u, µε την γνωστή πλέον τιµή u. Προχωρούµε στην τρίτη εξίσωση, την οποία επιλύουµε ως προς u 3, καθότι το u, είναι ήδη γνωστό, κοκ. µέχρι την Ν-ιοστή εξίσωση. Εντούτοις, αν και η διαδικασία αυτή είναι απλή, δεν είναι αριθµητικά ευσταθής και ως εκ τούτου δεν δίδει φερέγγυα λύση. Η αιτία γι αυτό είναι, ότι τα σφάλµατα από µετρήσεις, που πάντα υπάρχουν, επηρεάζουν άµεσα την τιµή κάποιων των αγνώστων u ν και, µέσω των διαδοχικών υπολογισµών, διαχέονται στο σύστηµα διαβρώνοντας την ακρίβεια υπολογισµού των υπολοίπων αγνώστων. Επίσης παρατηρούµε ότι οι εξισώσεις είναι περισσότερες από τους αγνώστους, δηλ. το σύστηµα είναι υπερ-προσδιορισµένο (µε κάθε παλµό βροχής πέραν του ενός προστίθεται µία επιπλέον εξίσωση). Ως εκ τούτου, το σύστηµα εξισώσεων που επιλέξαµε για τον προσδιορισµό των u ν είναι αυθαίρετο θα µπορούσαµε, π.χ., να έχουµε εξίσου επιλέξει τις τελευταίες Ν εξισώσεις. Μια ευσταθής λύση του προβλήµατος επιτυγχάνεται µε την εφαρµογή µεθόδων βελτιστοποιήσεως, π.χ. στην βάση του κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων. Επειδή το θέµα αυτό είναι εξειδικευµένο πέραν µιας εισαγωγής στην υδρολογία, δεν το εξετάζουµε εδώ περαιτέρω.

7 7 5. Το στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα Όπως είδαµε στο εδάφιο 3, εξίσωση, το µοναδιαίο υδρογράφηµα παλµού διαρκείας Τ και εντάσεως i = /Τ είναι ο λόγος της διαφοράς S u (t) = S u (t) - S u (t T ) προς Τ, το διάστηµα µεταθέσεως των υδρογραφηµάτων S u, U (t; Τ ) = S u (t)/t. Αν θεωρήσουµε µετάθεση της χαρακτηριστικής καµπύλης S u (t) κατά ένα απειροελάχιστο διάστηµα Τ, ο λόγος S u (t)/τ γίνεται η παράγωγος ds u (t)/dt και ο µοναδιαίος παλµός στιγµιαίος µε άπειρη ένταση. Η παράγωγος της χαρακτηριστικής καµπύλης S u (t) ορίζει, λοιπόν, την απόκριση της λεκάνης απορροής, σε φόρτιση µε στιγµιαίο, µοναδιαίο παλµό ενεργούς βροχής. Η απόκριση αυτή, που επίσης χαρακτηρίζει την λειτουργία της λεκάνης ως γραµµικού και χρονικά µη µεταβαλλόµενου συστήµατος, ονοµάζεται στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα, ΣΜΥ, (IUH: instantaneous unit hydrograph) και συµβολίζεται µε u(t): u(t) := ds u (t)/dt. (3) Στην ορολογία της θεωρίας των συστηµάτων, η συνάρτηση u(t) είναι η συνάρτηση αποκρίσεως του συστήµατος, ο δε στιγµιαίος παλµός µοναδιαίου περιεχοµένου ονοµάζεται παλµός δ ή Dirac και είναι µια ιδιαίτερη συνάρτηση, η οποία ορίζεται ως εξής: δ(t τ) για t = τ, δ(t τ) = για t τ, και (4) + - δ ( t τ ) dt= Η έννοια του παλµού δ γίνεται εύκολα κατανοητή ως η οριακή µορφή µοναδιαίου παλµού διάρκειας Τ και εντάσεως i = /Τ, που προκύπτει, π.χ., από διαδοχικούς υποδιπλασιασµούς της διάρκειάς του µε ταυτόχρονους διπλασιασµούς της εντάσεώς του, έτσι ώστε το περιεχόµενό του να διατηρείται µοναδιαίο: i = /Τ = /Τ, i = /Τ = 4/Τ, i 3 = /Τ 3 = 8/Τ, i ν = /Τ ν = ν /Τ, i = /Τ = /Τ. Το στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα u(t) συνδέει την απόκριση Q(t) ενός γραµµικού και χρονικά µη µεταβαλλόµενου υδρολογικού συστήµατος µε συνεχές σήµα εισόδου x(t) διά του λεγοµένου ολοκληρώµατος της συνελίξεως, t Q ( t) = x( τ ) u( t τ ) dτ= x( t τ ) u( τ ) dτ t. (5) Το ολοκλήρωµα αυτό εκφράζει την υπέρθεση των αποκρίσεων σε συνεχές σήµα εισόδου αποτελουµένου από άπειρη σειρά παλµών δ(t τ) περιεχοµένου x(τ)dτ (η µεταβλητή τ χρησιµεύει στην ολοκλήρωση). Η ολοκλήρωση έχει ανώτερο όριο τον χρόνο t, διότι, προφανώς, η απόκριση του συστήµατος στον χρόνο t δεν µπορεί να οφείλεται σε διεγέρσεις σε χρόνους µελλοντικούς (δηλ. µεγαλύτερους του t). Γνωρίζοντας την συνάρτηση αποκρίσεως ενός συστήµατος u(t), είµαστε σε θέση να προσδιορίσουµε την απόκρισή του σε φόρτιση x(t) είτε µε αναλυτικό είτε µε αριθµητικό υπολογισµό του ολοκληρώµατος της (5).

8 8 Το ολοκλήρωµα της συνελίξεως µπορεί να αναπτυχθεί από την υπέρθεση των αποκρίσεων σε διακριτούς παλµούς πεπερασµένης διάρκειας τ και περιεχοµένου x(τ ν ) τ (όπως ήδη εφαρµόσαµε στο µοναδιαίο υδρογράφηµα µε παλµούς διάρκειας Τ) και στην συνεχεία µετάβαση στο όριο τ, οπότε U (t; Τ = τ) u(t) και το άθροισµα των αποκρίσεων τείνει προς το ολοκλήρωµα (5). Η διαδικασία της συνελίξεως παρουσιάζεται γραφικά στο κατωτέρω σχήµα. Η συνέλιξη: φόρτιση x(t), στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα (ΣΜΥ) u(t), απόκριση Q(t) Ένας διαφορετικός τρόπος παρουσιάσεως είναι ο εξής. Τοποθετούµε το ΣΜΥ στον άξονα του χρόνου στο σηµείο t, όπου επιθυµούµε να υπολογίσουµε την απόκριση Q(t), µε τον χρονικό του άξονα προς την αντίθετη κατεύθυνση (ως να διπλώναµε το γράφηµα προς τα αριστερά). Για κάθε χρόνο t = τ βρίσκουµε το στοιχείο του σήµατος εισόδου x(τ)dτ (τ είναι η µεταβλητή ολοκληρώσεως) και την αντίστοιχη τιµή του ΣΜΥ u(t τ), η οποία βρίσκεται σε απόσταση t - τ από την αρχή του ανεστραµµένο χρονικού άξονα στο γράφηµα του ΣΜΥ. Το γινόµενο u(t τ)x(τ)dτ δίδει την συνεισφορά του συγκεκριµένου στοιχείου εισόδου στην απορροή στον χρόνο t. Η άθροιση των σχετικών συνεισφορών από το συνεχές σήµα εισόδου στο διάστηµα τ t ονοµάζεται συνέλιξη των x(t) και u(t) και εκφράζεται από το ολοκλήρωµα στην εξίσωση (5), το οποίο δίδει την συνολική απόκριση στον χρόνο t, Q(t).

9 9 6. Εννοιολογικά µοντέλα και το στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα Ένας από τους λόγους που η υδρολογία στράφηκε προς την ονοµαζόµενη εννοιολογική προσοµοίωση της απορροής είναι το γεγονός ότι το µοναδιαίο υδρογράφηµα έχει, κατ ουσίαν, τόσες παραµέτρους όσες είναι οι τεταγµένες του. Όπως είδαµε, ως εκ τούτου, ο προσδιορισµός του από σύνθετη βροχή (δηλ. από τα συνήθως διαθέσιµα δεδοµένα) απαιτεί την εφαρµογή εξειδικευµένων µεθόδων και αλγορίθµων για να είναι επιτυχής. Επίσης, το µοναδιαίο υδρογράφηµα απλά συνδέει την ενεργό βροχή µε την άµεση απορροή, χωρίς να επεξηγεί την εσωτερική λειτουργία του υδρολογικού συστήµατος. Με άλλα λόγια, στην µέθοδο του µοναδιαίου υδρογραφήµατος, παραιτούµεθα από την κατανόηση του τρόπου λειτουργίας του συστήµατος αρκούµενοι στην θεώρηση της λεκάνης απορροής ως ένα µαύρο κουτί και στην ικανότητά του µοναδιαίου υδρογραφήµατος να µετατρέπει µια σειρά φορτίσεων σε συνολική απόκριση µέσω της υπερθέσεως των επιµέρους αποκρίσεων. Η εννοιολογική προσοµοίωση παρακάµπτει την δυσκολία στον προσδιορισµό πολλών παραµέτρων µε την εισαγωγή σχετικά απλών µοντέλων, µε λίγες παραµέτρους, και ταυτόχρονα κάνει ένα πρώτο βήµα προς την κατεύθυνση της κατανοήσεως της λειτουργίας του συστήµατος, δηλ. θεωρεί το σύστηµα ως φαιό κουτί, αντί ως µελανό. Οι υδρολογικές ροές διέπονται, προφανώς, από τους νόµους της υδροµηχανικής. Όπως στα συνήθη προβλήµατα της υδραυλικής, αυτές είναι η εξίσωση της διατήρησης της µάζας και µία εξίσωση της δυναµικής της ροής η δυναµική εξίσωση αφορά στην διατήρηση είτε της ορµής είτε της ενέργειας. Για λόγους, που σχετίζονται κυρίως µε την ανοµοιογένεια των φυσικών συστηµάτων µεγάλης κλίµακας, στην υδρολογία επιλέγουµε την αντικατάσταση της δυναµικής εξισώσεως µε µιαν αλγεβρική σχέση µεταξύ αποθηκεύσεως και απορροής. Το απλούστερο εννοιολογικό µοντέλο λεκάνης απορροής ποταµού είναι ο γραµµικος ταµιευτήρας. Σύµφωνα µε το µοντέλο αυτό ο αποθηκευµένος όγκος ύδατος στον ταµιευτήρα, V, είναι γραµµική συνάρτηση της απορροής, Q, µε συντελεστή την χρονική σταθερά του ταµιευτήρα, k: V (t) = k Q. (6) Επίσης ισχύει πάντοτε ο νόµος της διατήρησης της µάζας (όγκου, για ρευστά θεωρούµενα ασυµπίεστα), ο οποίος, στο επίπεδο ολόκληρης της λεκάνης, γράφεται ως ισοζύγιο µεταξύ της χωρικά οµοιόµορφης φόρτισης Ι και της απορροής στην έξοδο της λεκάνης: dv dt = I Q. (7) Η αντικατάσταση του όγκου αποθηκεύσεως V στην (7), µέσω της γραµµικής σχέσεως (6), δίδει την γραµµική διαφορική εξίσωση (8) για την απορροή: dq k = I Q. (8) dt Αν θεωρήσουµε φόρτιση συνεχούς σταθερούς εντάσεως, η λύση της (8) είναι η καµπύλη S: / Q( t) = I ( e t k ). (9)

10 από την οποία, για Ι =, προκύπτει η καµπύλη S u : ( ) =. () / Q t e t k Το ΣΜΥ του γραµµικού ταµιευτήρα δίδεται ευθέως ως παράγωγος της (), ήτοι u( t) k t / k = e. () Πλέον, είµαστε σε θέση να υπολογίσουµε την απόκριση του γραµµικού ταµιευτήρα σε συγκεκριµένη φόρτιση συνδυάζοντας την () µε την (5). Για Ι(t) = at, π.χ., λαµβάνουµε / Q( t) = at ak( e t k ). () Ο χρόνος υστέρησης της απορροής, σε σχέση µε τον παλµό δ(), δίδεται από τον λόγο των ροπών πρώτης προς µηδενικής τάξεως της καµπύλης u(t) περί άξονα στο σηµείο t =, και είναι ίσος προς την χρονική σταθερά του γραµµικού ταµιευτήρα k = Μ /Μ, διότι M = u( t) dt= (αναµενόµενο εκ του ορισµού του ΣΜΥ) και M= u( t) t dt= k. (3) Η επιτυχία, και η εξ αυτής δηµοτικότητα του γραµµικού ταµιευτήρα στην εφαρµοσµένη υδρολογία οφείλεται ) στο γεγονός ότι η συµπεριφορά του έχει τις θεµελιώδεις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις υδρολογικές ροές στην φύση, (α) την χρονική µετάθεση της αποκρίσεως και (β) την απόσβεση (ελάττωση της αιχµής), σε σχέση µε την φόρτιση, ) στην απλότητα της δοµής του (µόνο µια παράµετρος, k) και 3) στο γεγονός ότι η επέκταση σε πιο πολύπλοκες δοµές µοντέλων είναι εύκολη, ενώ προσφέρει µεγάλα πλεονεκτήµατα στην πιστότητα της προσοµοιώσεως της απορροής από λεκάνη ποταµού ή της πληµµυρικής ροής ποταµού. Μια άµεση επέκταση αφορά στην διάταξη αριθµού πανοµοιότυπων ταµιευτήρων εν σειρά, έτσι ώστε η απορροή του ενός να είναι η εισροή στον επόµενο. Το ΣΜΥ της αλυσίδας γραµµικών ταµιευτήρων αναπτύσσεται εύκολα εκκινώντας µε την φόρτιση του πρώτου αυτών µε έναν µοναδιαίο παλµό δ, οπότε λαµβάνεται ως απόκριση η συνάρτηση u(t) της (), την οποία µετονοµάζουµε u (t). Η συνέλιξη της u (t) µε τον εαυτό του δίδει την απόκριση του δεύτερου ταµιευτήρα ως εξής t t τ / k ( t τ )/ k t t / k = τ τ τ = τ = k k u ( t) u ( ) u ( t ) d e e d e (4) Η συνάρτηση u (t) είναι η εισροή στον τρίτο ταµιευτήρα η συνέλιξή της u (t), πάλι µε την u (t), δίδει την εκροή από τον ταµιευτήρα. Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο ως τον ν-οστό ταµιευτήρα, λαµβάνουµε το ΣΜΥ της αλυσίδας των ταµιευτήρων, όπου εµφανίζεται η συνάρτηση Γ(ν) = (ν-)! για ν ακέραιο: ν ν t / k t t / k t un ( t) = e = e k k ( n )! k k Γ ( ν ) (5) Οι δύο παράµετροι της αλυσίδας, k και ν, δίδονται πάλι µέσω των ροπών περί άξονα στο σηµείο t =, χρησιµοποιώντας τις ροπές των τριών πρώτων τάξεων Μ, Μ και Μ :

11 ν ( ) ν ( ν ) (6) M = uν ( t) dt =, M= uν ( t) t dt= ν k, M = u t t dt= + k Στην πράξη, προσδιορίζουµε τις παραµέτρους του µοντέλου της αλυσίδας γραµµικών ταµιευτήρων από µετρήσεις φορτίσεως και απορροής ως εξής. Πρώτα, από τα δεδοµένα των µετρήσεων, υπολογίζουµε τις ροπές Μ, Μ και Μ των Ι(t) και Q(t) (αθροίζοντας σε διαστήµατα t της συνεισφορές u ν (t i r ) t i r t, όπου r η τάξη της ροπής). Η µηδενικής τάξεως ροπή δίνει τον όγκο της ροής (πρέπει να είναι η ίδια για την φόρτιση και για την απορροή, εκτός αν το σύστηµα έχει διαρροές). Κατόπιν, σχηµατίζουµε (α) τον λόγο της διαφοράς των ροπών (της απορροής µείον της φορτίσεως) της πρώτης τάξεως προς την ροπή µηδενικής τάξεως, Μ /Μ και (β) τον λόγο της διαφοράς των ροπών δεύτερης τάξεως προς την διαφορά των ροπών πρώτης τάξεως, Μ / Μ. Βάσει της (6), Μ /Μ = νk και Μ / Μ = ν(ν+)k /νk = (ν+)k, άρα, επιλύοντας το σύστηµα των δύο εξισώσεων προσδιορίζουµε τις παραµέτρους k και ν. Για µεγαλύτερη ευελιξία στην προσοµοίωση, δυνάµεθα να χρησιµοποιήσουµε δύο σειρές γραµµικών ταµιευτήρων, µε διαφορετικές χρονικές σταθερές k και k, σε παράλληλη διάταξη. Η πρώτη αλυσίδα αντιπροσωπεύει, π.χ., το τµήµα της λεκάνης που αντιδρά ταχέως (άµεση απορροή) και η δεύτερη το τµήµα της λεκάνης που αντιδρά µε βραδύ ρυθµό (βασική απορροή). Βεβαίως, ο διαχωρισµός αυτός προϋποθέτει ότι η βροχή θα έχει διαχωρισθεί προηγουµένως σε ενεργό βροχή και σε ελλείµµατα. Ένα ακόµη στοιχειώδες εννοιολογικό υδρολογικό µοντέλο είναι ο γραµµικός αγωγός, ο οποίος απλά µεταθέτει την φόρτιση χρονικά κατά το διάστηµα Τ. Το ΣΜΥ ενός µοντέλου που αποτελείται από τον συνδυασµό γραµµικού ταµιευτήρα και γραµµικού αγωγού είναι u( t) k ( t T )/ k = e. (7) 7. Ταµιευτήρας: ιόδευση πληµµυρικού κύµατος Ο όγκος ύδατος V ταµιευτήρα µεταβάλλεται ως αποτέλεσµα της διαφοράς εισροών Ι και εκροών Q. Θεωρώντας ότι η στάθµη του ταµιευτήρα µεταβάλλεται ταυτόχρονα παντού (δηλ. η ελεύθερη επιφάνεια του ύδατος κινείται οµοιόµορφα κατακόρυφα), ο ρυθµός της µεταβολής δίδεται από την εξίσωση (7), dv dt = I Q. (7) Ο αποθηκευµένος όγκος ύδατος σχετίζεται µε την εκροή από τον ταµιευτήρα, δηλ. V(Q), διότι και οι δύο είναι συναρτήσεις της στάθµης, ο όγκος µέσω της γεωµετρίας και η εκροή µέσω της σχέσης στάθµης-παροχής για την συγκεκριµένη υδραυλική διάταξη στην έξοδο του ταµιευτήρα (π.χ., υπερχειλιστής, οχετός ή εγκοπή). Από την (7) και την σχέση V(Q) προκύπτει αµέσως ότι η αποθήκευση είναι µέγιστη (dv/dt = ) όταν I = Q, οπότε και η εκροή λαµβάνει την µέγιστη τιµή, καθώς η σχέση V(Q) είναι µονοτονικά αύξουσα. Για λόγους διατήρησης της µάζας, ο όγκος που αποθηκεύεται ως την αιχµή της εκροής (το ολοκλήρωµα της διαφοράς I Q) ισούται προς τον όγκο που εκρέει από τον χρόνο αιχµής ως το τέλος της πληµµυρικής ροής.

12 Όπως στην περίπτωση του γραµµικού ταµιευτήρα, µετά από αντικατάσταση της σχέσεως V(Q) στην (7), προκύπτει µια διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού, που όµως στην γενική περίπτωση είναι µη γραµµική, η οποία περιγράφει την χρονική µεταβολή της εκροής, Αν, προς χάριν απλότητος, δεχθούµε ότι οπότε dv/dq = ab Q b-, η (8) γράφεται ως dv dq = I Q (8) dq dt V(Q) = a Q b, (9) dq = (8α) dt b abq I Q της οποίας ειδική περίπτωση είναι η εξίσωση (8) του γραµµικού ταµιευτήρα, για a = k και b =, δηλ. dq k = I Q. (8) dt Στο κατωτέρω παράδειγµα δεχόµαστε ότι ο ταµιευτήρας είναι γραµµικός, µε σταθερά k [Τ]. k είναι ο µέσος χρόνος παραµονής του ύδατος στον ταµιευτήρα, δηλ. το διάστηµα µεταξύ των κέντρων βάρους των υδρογραφηµάτων εισροής και εκροής. Επειδή ενδιαφερόµαστε να υπολογίσουµε την εκροή για τυχαίο υδρογράφηµα εισροών, εργαζόµαστε αριθµητικά, σε διακριτά χρονικά διάστηµα t. Συµβολίζοντας τις τιµές των µεταβλητών στους χρόνους t n = n t και t n+ = (n+) t µε τους δείκτες n και n+ αντίστοιχα, προσεγγίζουµε την διαφορική εξίσωση (8) στο πεπερασµένο διάστηµα t ως εξής: k Q Q Q I + I Q + Q = k = t t n+ n n+ n n+ n (9) Μετά από επίλυση ως προς τον µόνον άγνωστο Q n+, λαµβάνουµε το αριθµητικό σχήµα ( k / t) Qn+ = ( In+ + In ) + Qn, (α) ( k / t) + ( k / t) + το οποίο γράφεται επίσης ως ( k / t) Q = I + I + Q ( k / t) + ( k / t) + ( k / t) + n+ n n+ n = C I + C I + C Q n n+ 3 n (β) Από την () φαίνεται αµέσως ότι το άθροισµα των τριών συντελεστών των παροχών είναι. Το αποτέλεσµα αυτό δεν είναι τυχαίο, αλλά εδράζεται στην φυσική, όπως το εξής νοητικό πείραµα επιβεβαιώνει. Αν η εισροή σταθεροποιηθεί στην τιµή Ι σ, µετά από κάποιο χρόνο, η απορροή σταθεροποιείται στην ίδια τιµή Q = Ι σ (και η αποθήκευση του ταµιευτήρα δεν µεταβάλλεται πλέον), αποτέλεσµα που η εξίσωση () πράγµατι δίδει.

13 3 Ο Πίνακας 5 παρουσιάζει την εφαρµογή της εξισώσεως () στην διόδευση πληµµυρικού υδρογραφήµατος I (t) =.5 A [ - cos(πt/τ)], όπου Α = η αιχµή = m 3 /s και Τ = η περίοδος = h. Η χρονική σταθερά του γραµµικού ταµιευτήρα είναι k =.5 h και οι υπολογισµοί έχουν εκτελεσθεί σε βήµατα t =.5 h, k/ t = 5. Οι συντελεστές τις (β) είναι C = /, C = / και C 3 = 9/ (αθροίζονται σε ). Όπως φαίνεται από το σχήµα, η αιχµή της απορροής συµβαίνει όταν αυτή ισούται προς την εισροή (t 8 h). παροχή I, Q ιόδευση πληµµυρικού κύµατος µέσω γραµµικού ταµιευτήρα V = kq, k =.5 h I(t) Q(t) Ι(t) =.5 A [-cos(πt/t)], t T, I(t) =, t > T, A = m, T = h V(t) χρόνος t (h) αποθήκευση V ( 3 m 3 ) Πίνακας 5. Υπολογισµός της απορροής Q(t) γραµµικού ταµιευτήρα V = kq Χρόνος t (h) I(t) Q(t) V(t) (m 3 ) Στην γενική περίπτωση του µη γραµµικού ταµιευτήρα, ο συντελεστής της παραγώγου dq/dt στην εξισώση (8) εξαρτάται από την εκροή, dv/dq = k(q). Κατά συνέπεια, οι συντελεστές στην () εξαρτώνται επίσης από την µεταβαλλόµενη τιµή Q. Ως εκ τούτου, το σχήµα δεν είναι ρητό (ο άγνωστος δεν µπορεί να αποµονωθεί) και ο υπολογισµός των Q απαιτεί επαναλήψεις σε κάθε βήµα t. Για τα περαιτέρω, θεωρούµε ότι η σχέση αποθηκεύσεως εκροής V(Q) είναι γνωστή, είτε ως πίνακας τιµών είτε ως συνάρτηση, µετά από προσέγγιση των δεδοµένων µέσω αλγεβρικής σχέσεως, π.χ., του τύπου της εξισώσεως (9). Στην εκκίνηση της διαδικασίας, εκτιµούµε την εκροή στον χρόνο t n+ ως Q n+ () = (I n+ + I n + Q n )/3 και υπολογίζουµε την αρχική τιµή dv/dq = k(q n+ ) k(q n+ () ) καθώς και τους συντελεστές της (), µε τους οποίους η (β) δίδει την πρώτη τιµή Q n+ (). Στην συνέχεια, επικαιροποιούµε την τιµή k(q n+ ) k(q n+ () ) και τις τιµές των συντελεστών και εφαρµόζουµε την () εκ νέου, επαναλαµβάνοντας τους υπολογισµούς µέχρις ότου επιτευχθεί ικανοποιητική σύγκλιση. Κατά κανόνα, η διαδικασία συγκλίνει ταχέως (µετά από δύο ή τρείς επαναλήψεις), διότι η πρώτη εκτίµηση είναι καλή. Η αµέσως επόµενη εφαρµογή αφορά σε µικρό τεχνητό ταµιευτήρα ανάσχεσης της πληµµυρικής απορροής από λεκάνη ανάντη αστικής περιοχής. Τα αποτελέσµατα συνοψίζονται στον Πίνακα 6 και παρουσιάζονται στο σχήµα που ακολουθεί.

14 4 Ο ενεργός όγκος του ταµιευτήρα δίδεται από την σχέση V = Α h, όπου A 45 m το εµβαδόν (~ σταθερό) του ταµιευτήρα και h η στάθµη υπεράνω της στέψεως υπερχειλιστή, διά του οποίου ο ταµιευτήρας εκτονώνεται σε τάφρο, που παροχετεύει τα ύδατα σε ρέµα. Η εξίσωση της παροχής του υπερχειλιστή είναι Q = (/3) B C d (g) / h 3/ = m h 3/, όπου Β = m το µήκος, C d =.65 [-] ο συντελεστής παροχής και g = 9.8 m/s, άρα m 3.84 m 3/ /s. Η σχέση αποθηκεύσεως εκροής του ταµιευτήρα είναι της µορφής της (9), V(Q) = a Q b, όπου a = A/m /3 και b = /3, V = (A/m /3 ) Q /3, ή V [m 3 ] = 45/3.84 /3 Q /3 Q /3 [m 3 /s]. Γραµµική παρεµβολή (r =.99) στην V(Q) για.5 Q [m 3 /s] δίδει για την χρονική σταθερά του γραµµικού ταµιευτήρα k.5 h. Στον Πίνακα 6 συγκρίνεται η διόδευση του κύµατος µέσω µη γραµµικού ταµιευτήρα, Q (), µε αυτή της γραµµικής προσεγγίσεως, Q L. Οι παροχές υπολογίσθηκαν µε βήµα t =.5 h και αφορούν τον χρόνο αφού η στάθµη φθάσει την στέψη του υπερχειλιστή. Παρατηρούµε ότι τα υδρογραφήµατα Q () και Q L διαφέρουν λίγο π.χ., οι αντίστοιχες αιχµές είναι ~.8 m 3 /s και ~.79 m 3 /s, 8 h < t < 7.5 h. Η σχετικά καλή γενική συµφωνία οφείλεται στην ήπια µη γραµµικότητα (ο εκθέτης b = /3 απέχει λίγο από την µονάδα). Η επιτυχία γραµµικών µοντέλων βροχής απορροής εξηγείται από το γεγονός ότι ήπια µη γραµµικός ταµιευτήρας, b.7, προσαρµόζεται καλά στις σχετικές µετρήσεις πεδίου. Πίνακας 6. ιόδευση πληµµυρικής απορροής Ι (t) =.5 A [ - cos(πt/τ) µέσω γραµµικού και µη γραµµικού ταµιευτήρα παροχή I, Q Χρόνος t (h) I(t) Q () (t) ιόδευση πληµµυρικού κύµατος µέσω γραµµικού και µη γραµµικού ταµιευτήρα V = aq b Ι(t) =.5 A [-cos(πt/t)], t T, I(t) =. t > T, A = m, T = h χρόνος t (h) I(t) Q L(t) (m 3 ) QL(t) Q()(t)

15 5 8. ιόδευση πληµµυρικού κύµατος 8. Υδροµηχανική προσέγγιση Ως διόδευση ορίζεται ο υπολογισµός της διαδόσεως του πληµµυρικού κύµατος σε ποταµό ή τεχνητό ανοικτό αγωγό. Τα σχετικά προβλήµατα που καλείται να επιλύσει ο µηχανικός υδατικών πόρων περιλαµβάνουν: (α) την πρόγνωση της στάθµης και παροχής κατάντη διατοµής όπου η ροή είναι γνωστή (από µετρήσεις ή από προσοµοίωση της απόκρισης λεκάνης απορροής σε σηµαντική βροχόπτωση) και (β) την διευθέτηση της κοίτης και του πληµµυρικού πεδίου στην διαδροµή αγωγού, έτσι ώστε να διέλθει µε ασφάλεια η πληµµύρα σχεδιασµού (πιθανοτική εκτίµηση). Τα πληµµυρικά κύµατα είναι µη περιοδικά κύµατα µεγάλου µήκους. Τα βασικά χαρακτηριστικά της πληµµυρικής ροής είναι η διάδοση του κύµατος µε ταχύτητα µεγαλύτερη της ταχύτητας ροής και η µείωση της αιχµής µε ταυτόχρονη επιµήκυνση του σώµατος του κύµατος (υδραυλική διάχυση). Το φαινόµενο περιγράφεται µε επαρκή ακρίβεια από τις µονοδιάστατες (κατεύθυνση x) (υδραυλικές) εξισώσεις της διατηρήσεως της µάζας και της ορµής για ροή σε ανοικτούς αγωγούς, γνωστές ως εξισώσεις St. Venant, A q + = t x () v v v y + + = So S f g t g x x () όπου Α η διατοµή του αγωγού, q η παροχή, v = q/a η µέση ταχύτητα, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, y το βάθος, S o = sinφ η κλίση του αγωγού προς την οριζόντιο (γωνία φ) και S f η κλίση τριβής, η οποία εκφράζει την αντίσταση στην ροή. Η κλίση τριβής δίδεται από µιά σχέση ροής του τύπου της (διαστατικά µη οµογενούς) εξισώσεως του Manning /3 / v= R S f n (3 a) /3 / q= va= AR S f n (3 b) στην οποία ο συντελεστής n είναι µέτρο της αδρότητας των τοιχωµάτων του αγωγού και R = A/P η υδραυλική ακτίνα, όπου P η βρεχόµενη περίµετρος της διατοµής. Για τα περαιτέρω, γράφουµε την () ως εξής S f y v v v = So x g x g t (4) Η δυναµική της πληµµυρικής ροής κυριαρχείται από την βαρύτητα και την αντίσταση στην ροή, που περίπου ισορροπούν. Η βαθµίδα της πιέσεως [ρg (κλίση της ελεύθερης επιφάνειας), ρg y/ x] παίζει δευτερεύοντα ρόλο, αλλά πρέπει να ληφθεί υπ όψιν, διότι καθορίζει, µαζί µε την αποθήκευση του ύδατος στον αγωγό (διατήρηση της µάζας), την

16 6 διάχυση του κύµατος. Αντίθετα, η επιτάχυνση είναι, κατά κανόνα, αµελητέα για πληµµυρικά κύµατα. Κατά συνέπεια, η κλίση τριβής προσεγγίζεται επαρκώς ως S f S y x o Συνδυάζοντας την (5) µε την (4β), λαµβάνουµε την σχέση στάθµης παροχής q(y) σε διατοµή αγωγού υπό συνθήκες µη µόνιµης υδραυλικής δίαιτας (5) / /3 / /3 /3 / f o o y y / x q( y) = AR S AR S = AR S (6) n n x n So / Σε αντίθεση µε τα ισχύοντα στην µόνιµη διαίτα, η καµπύλη στάθµης παροχής q(y) της (6) είναι βροχωτή, δηλ. στην ίδια στάθµη αντιστοιχούν δύο διαφορετικές τιµές παροχής. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, κατά τον ανοδικό κλάδο της πληµµύρας, η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας y/ x < και κατά τον καθοδικό κλάδο y/ x >. Επειδή η επίλυση των υδροµηχανικών εξισώσεων επιτυγχάνεται αριθµητικά µέσω σχετικά απαιτητικής µαθηµατικής διαδικασίας, στην εφαρµοσµένη υδρολογία, προκρίνονται κατά κανόνα απλούστερες µέθοδοι, του τύπου που γνωρίσαµε στην διόδευση κύµατος µέσα από ταµιευτήρα. Όµως, πριν από την παρουσίαση των µεθόδων αυτών, θα εξετάσουµε το λεγόµενο κινηµατικό κύµα, το οποίο περιγράφει την πληµµυρική ροή σε πρώτο βαθµό (προσεγγίζει την κίνηση του κυρίως σώµατος του πληµµυρικού κύµατος). Η θεωρία του κινηµατικού κύµατος προσεγγίζει την () ως S f = S o, οπότε η σχέση q(y) γίνεται µονοσήµαντη. Στην συνέχεια, η () γράφεται στην µορφή da q q x= const. + = dq t x (7 a) q dq q + x= const. = t da x (7 b) Η (7β) περιγράφει ένα κύµα που διαδίδεται µε την ταχύτητα c = (dq/da) x=const. χωρίς να υφίσταται µείωση αιχµής και παραµόρφωση, εφόσον η ταχύτητα c θεωρηθεί σταθερά. Η ερµηνεία αυτή βασίζεται στην σύγκριση της (7b) µε την παράγωγο Dq/Dt στην κατεύθυνση των χαρακτηριστικών γραµµών, επί των οποίων q = const. και άρα Dq/Dt = : q Dx q + = (8) t Dt x Dx dq c= = x const. Dt da = ( 9) Αποµένει η συσχέτιση της ταχύτητας του κινηµατικού κύµατος c µε την ταχύτητα ροής v. Για ευκολία των αλγεβρικών υπολογισµών (αλλά χωρίς περιορισµό της γενικότητας των συµπερασµάτων), θεωρούµε αγωγό σταθερής ορθογωνικής διατοµής, µε αναλογία βάθους προς πλάτος y/b <<, άρα R y. Tότε, η (3α), µε S f = S o, δίδει για την παράγωγο

17 7 / 3 /3 dq d By / d 5/3 / 5 c= x= const. A So = A So = v da da n B da n B 3 Το κινηµατικό κύµα διαδίδεται, λοιπόν, µε ταχύτητα µεγαλύτερη της ροής. ( 3) Μια πιστώτερη περιγραφή του φαινοµένου επιτυγχάνεται αν συµπεριληφθεί η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας y/ x στην κλίση τριβής, όπως φαίνεται στην εξίσωση (5) και χρησιµοποιήθηκε στην (6). Επειδή γνωρίζουµε από παρατηρήσεις ότι y/ x/s o <<, απλοποιούµε την (6) µε δυονυµική ανάπτυξη της τετραγωνικής ρίζας σε πρώτο βαθµό, q y AR S y / x /3 / ( ) o (3) n So Στην συνέχεια συνδυάζουµε την () µε την (3), θεωρώντας πάλι αγωγό ορθογωνικής διατοµής, µε βάθος προς πλάτος y/b <<. Την εξίσωση που προκύπτει αναπτύσσουµε περαιτέρω αγνοώντας γινόµενα µικρών όρων και υπολογίζοντας τους συντελεστές c = (dq/da) x=const. και D (βλ. εξίσωση (33) κατωτέρω) για µέση παροχή q o = (/n) A o R o /3 S o / (γραµµικοποίηση). Καταλήγουµε έτσι στην εξίσωση του (γραµµικού) κύµατος διαχύσεως: q q q + c = D t x x (3) qo D= BS (33) o Το κύµα διαχύσεως διαδίδεται µε την κινηµατική ταχύτητα ενώ υφίσταται απόσβεση. 8. Υδρολογική προσέγγιση Οι υδρολογικές µέθοδοι αφορούν πάντοτε στην διάδοση του κύµατος σε πεπερασµένο µήκος αγωγού L = x, δηλ. συνδέουν την ροή στις δύο ακραίες διατοµές της διαδροµής L και δεν ισχύουν σε κάθε σηµείο x, όπως συµβαίνει µε τις υδροµηχανικές εξισώσεις () και () ή () και (5). Τα σχετικά µοντέλα, αν και παρουσιάσθηκαν αρχικά ως εννοιολογικά, είναι στην πραγµατικότητα προσεγγίσεις των ()-() που επιδέχονται υδραυλικής ερµηνείας. Όπως θα δούµε, η υδραυλική ερµηνεία επιτρέπει την εκτίµηση των παραµέτρων τους από παρατηρήσιµα µεγέθη του φυσικού συστήµατος. Ολοκλήρωση της () στο διάστηµα x δίδει την εξίσωση (7), η οποία συνδέει τις παροχές στα άκρα του διαστήµατος x x = L µε την χρονική µεταβολή του αποθηκευµένου ύδατος V = <Α> x, όπου <Α> είναι η µέση διατοµή στο διάστηµα L: dv dt = I Q. (7) Η επιπλέον εξίσωση, που απαιτείται για να συµπληρωθεί η υδρολογική προσέγγιση, υποκαθιστά την δυναµική εξίσωση µε µιάν αλγεβρική σχέση µεταξύ του αποθηκευµένου όγκου V και της µέσης παροχής <q>. Σηµείο εκκινήσεως είναι η γεωµετρική έκφραση του όγκου V = <A> x, την οποία πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε την µέση παροχή <q>, V = <A> x= (<A>/<q>) <q> x (34)

18 8 Ο λόγος <q>/<a> έχει διαστάσεις ταχύτητας και, ερµηνευόµενος, βάσει των (9)-(3), ως γραµµική προσέγγιση της παραγώγου c = (dq/da) const., εκφράζει την µέση ταχύτητα µε την οποία το κύµα διατρέχει το διάστηµα x. Συνεπώς k := (<A>/<q>) x είναι ο µέσος χρόνος διελεύσεως του κύµατος και V = k <q>. Κατόπιν, υιοθετούµε ως µέση παροχή το σταθµισµένo άθροισµα (αδιάστατος συντελεστής θ <.5) εισροής Ι και εκροής Q, <q> = θι + ( - θ)q (35) Εισαγωγή της (35) στην (34) δίδει την σχέση αποθηκεύσεως Muskingum (από τον οµώνυµο ποταµό στην πολιτεία Ohio των ΗΠΑ, όπου το µοντέλο πρωτοεφαρµόσθηκε) V = k <q> = k [θι + ( - θ)q] (36) Οι εξισώσεις (7) και (36) συνιστούν το µοντέλο διόδευσης του πληµµυρικού κύµατος. Σηµειώνεται επίσης η οµοιότης των (36) και (6), V = k f(q), αλλά και η διαφορά τους: στην (33) f(q) = f(ι, Q), ενώ στην (6) f(q) = f(q), άρα η (6) εξειδικεύεται στην (36) για θ =. Η στάθµιση θ < αποκλείεται, διότι συνεπάγεται µείωση του όγκου µε αύξηση της εισροής. Η ανωτέρω ανάπτυξη υποδεικνύει ως έναν τρόπο προσδιορισµού της χρονικής σταθεράς του ταµιευτήρα Muskingum την αξιολόγηση των καµπυλών στάθµης παροχής στο τµήµα x του ποταµού. Ο συντελεστής στάθµισης θ σχετίζεται µε την διάχυση του κύµατος (γραµµικό κύµα διαχύσεως, συντελεστής διαχύσεως D) και προσδιορίζεται από την σχέση D qo qok θ = = = c x B S c x B S ( x) o o o o όπου q o είναι µια αντιπροσωπευτική (µέση) τιµή της πληµµυρικής παροχής και Β ο το αντίστοιχο πλάτος της ελεύθερης επιφάνειας της µέσης διατοµής στο διάστηµα x. Η (34) επιβεβαιώνει ότι, για κύµατα που υφίστανται απόσβεση (υδραυλική διάχυση, D > ), όπως πράγµατι παρατηρείται στην φύση, ισχύει θ <.5 (θ =.5 ισχύει για το κινηµατικό κύµα). Όταν υπάρχουν µετρήσεις από την διέλευση πληµµυρικού κύµατος από τµήµα ποταµού x, η σταθερά k µπορεί να υπολογισθεί από την διαφορά των χρόνων του κέντρου βάρους των υδρογραφηµάτων εκροής και εισροής. Όπως ήδη αναλύσαµε στην παρουσίαση του γραµµικού ταµιευτήρα (εδάφιο 5), το κέντρο βάρους υδρογραφήµατος υπολογίζεται από τον λόγο της διαφοράς των ροπών περί άξονα στο σηµείο t = (της απορροής µείον της φορτίσεως) της πρώτης τάξεως προς την ροπή µηδενικής τάξεως Μ /Μ (θεωρώντας ότι ο συνολικός όγκος εισροής ισούται προς τον συνολικό όγκο εκροής, δηλ. Μ = Μ Ι = Μ Q ). (37) imax ν ν ( ) ( i ) i, ( ), ( ), ( ) (38) i= M = q t t dt q t t t M = q t dt M = q t t dt M = q t t dt ν M q( t) t dt Q Q I t= = k= = t Q t I θ = M M k M k M q( t) dt M M M M,, (39)

19 9 Προς αποφυγήν αριθµητικά επισφαλών γινοµένων µεγάλων χρόνων επί µικρών παροχών (σχετικά µεγάλο σφάλµα τιµής), συνιστάται ο υπολογισµός των ροπών στις «ουρές» των υδρογραφηµάτων να µην επεκτείνεται πέραν του απολύτως αναγκαίου χρόνου. Στην κλασσική µέθοδο προσδιορισµού των παραµέτρων k και θ από µετρήσεις παροχών, η εξίσωση (7) προσεγγίζεται στο διάστηµα t µε την (4), συµβολίζοντας τις µεταβλητές στους χρόνους t n = n t και t n+ = (n+) t µε τους δείκτες n και n+ αντίστοιχα: V V V I + I Q + Q = = t t n+ n n+ n n+ n (4) Καταρτίζοντας πίνακα µε τα υδρογραφήµατα εισροής και εκροής, υπολογίζουµε απο τις διαφορές τους τις µεταβολές V (εξίσωση (4) t) και, αθροίζοντας τις τιµές V, την ίδια την αποθήκευση V(t). Κατόπιν, επιλέγουµε σειρά τιµών θ <.5, για τις οποίες υπολογίζουµε τις σταθµισµένες παροχές <q> = θι n + ( - θ)q n [= V(t n )/k, σχέση (36)]. Μετά από βέλτιστη γραµµική συσχέτιση V(t) έναντι <q(t)> (γράφηµα µορφής βρόχου). Επιλέγουµε την τιµή θ που δίδει τον πιο στενό βρόχο, η µέση κλίση του οποίου είναι ο µέσος χρόνος διελεύσεως κυµάτων k. Για έλεγχο, εκτελείται διόδευση µε τις παραµέτρους k και θ, χρησιµοποιώντας το υπολογιστικό σχήµα που παρουσιάζεται αµέσως παρακάτω. Το αριθµητικό σχήµα για την διόδευση του πληµµυρικού κύµατος αναπτύσσεται µε βάση την εξίσωση (4), στης οποίας το αριστερό µέλος αντικαθιστούµε τις τιµές από την σχέση (36), V = k <q> = k [θι + ( - θ)q], στους χρόνους t n και t n+ : θ I + ( θ ) Q θ I ( θ ) Q I + I Q + Q k = t n+ n+ n n n+ n n+ n (4) Μετά από επίλυση ως προς τον µόνον άγνωστο Q n+, λαµβάνουµε το αριθµητικό σχήµα t / k+ θ t / k θ t / k + θ Q = I + I + Q t / k+ θ t / k+ θ t / k + θ n+ n n+ n = C I + C I + C Q n n+ 3 n (4) του οποίου οι συντελεστές αθροίζονται, όπως στην περίπτωση του σχήµατος () για τον ταµιευτήρα, στην µονάδα, C + C + C 3 =. Προς αποφυγήν µη φυσικών ταλαντώσεων στην έναρξη της ανόδου του υδρογραφήµατος και κατά το τέλος του, οι συντελεστές C i στην (4) πρέπει να είναι θετικοί ή µηδέν. Αυτό επιτυγχάνεται µε επιλογή του χρονικού βήµατος έτσι ώστε kθ t k(-θ) (max t = k, για θ = ). Το βήµα t πρέπει επίσης να επιτρέπει καλή ανάλυση του ανοδικού κλάδου του υδρογραφήµατος, στόχος συνήθως εφικτός µε t µικρότερου του /5 του χρόνου αιχµής. Εφόσον γνωρίζουµε τις παροχές στον χρόνο t = και το υδρογράφηµα εισροής, µπορούµε να υπολογίσουµε µε το σχήµα (4) τις εκροές σε διαδοχικά χρονικά βήµατα t. Βεβαίως, η αποθήκευση είναι µέγιστη (dv/dt = ) όταν I = Q, όµως, σε αντίθεση µε την διόδευση κύµατος µέσω ταµιευτήρα, η µέγιστη εκροή δεν συµπίπτει χρονικά µε την µέγιστη αποθήκευση, διότι V(I, Q) όταν θ.

20 Εφαρµογές Έστω ότι οι παροχές στα άκρα διαστήµατος ποταµού µήκους x = L = 5 km είναι γνωστές για πληµµυρικό επεισόδιο από ωριαίες µετρήσεις στάθµης, µέσω µετατροπής από τις σχετικές καµπύλες στάθµης παροχής. Τα υδρογραφήµατα εισροής και εκροής, που δίδονται στον Πίνακα 7, θα χρησιµοποιηθούν για την εκτίµηση των παραµέτρων k και θ του µοντέλου Muskingum για το τµήµα του ποταµού. Πίνακας 7. Υπολογισµός των παραµέτρων k και θ του µοντέλου Muskingum από µετρήσεις Χρόνος t (h) I(t) Q(t) V (m 3 ) V(t) (m 3 ) θi + (-θ)q θ = θi + (-θ)q θ = θi + (-θ)q θ = θi + (-θ)q θ = E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6 V [m 3 ] y = x R = k = /36 =.637 h.e+6.5e+6.e+6 θi+(-θ)q. θi+(-θ)q.3 θi+(-θ)q.4 θi+(-θ)q 5.E+5 θι + (-θ)q [m 3 /s].e