ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ"

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: Ντελή Χασάν Μουσταφά Μουτλού ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Χουβαρδάς Βασίλειος 1

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Τα κεφάλαια της εργασίας Σκοπός της εργασίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Εισαγωγή στους αριθµούς κινητής υποδιαστολής 1.1 Τι είναι οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής ; Γιατί χρησιµοποιούµε αριθµούς κινητής υποδιαστολής; Η µορφή των Αριθµών Κινητής Υποδιαστολής Πως αποθηκεύονται οι Αριθµοί Κινητής Υποδιαστολής ; Πρόσηµο (Sign) Εκθέτης (Exponent) Σηµαντικό Μέρος (MANTISSA) Κανονικοποίηση Συµβιβασµός µεταξύ περιοχής τιµών και ακρίβειας Συµβιβασµός µεταξύ του αριθµού των bit στον εκθέτη και των bit στο σηµαντικό µέρος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Το πρότυπο ΙΕΕΕ για την αναπαράσταση των αριθµών κινητής υποδιαστολής 2.1 Το πρότυπο 754 του ΙΕΕΕ για την αναπαράσταση Μορφές Αριθµών Κινητής Υποδιαστολής Μετατροπή αριθµών κινητής υποδιαστολής Μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό Μερικά παραδείγµατα µετατροπής από δεκαδικό σε δυαδικό Μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό Μερικά παραδείγµατα µετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό Bit Συµπλήρωσης (Guard Bits) Στρογγυλοποίηση Στρογγυλοποίηση προς το πλησιέστερο Στρογγυλοποίηση προς το συν άπειρο Στρογγυλοποίηση προς το µείον άπειρο Στρογγυλοποίηση προς το µηδέν Μερικά παραδείγµατα στρογγυλοποίησης Το διάστηµα των αριθµών που µπορεί να αναπαρασταθεί σε µια λέξη 32 bit ιαστήµατα που δεν περιλαµβάνονται στην αναπαράσταση Η Υπερχείλιση Η Υποχείλιση Ειδικές Τιµές Κανονικοποιηµένοι µη µηδενικοί αριθµοί Θετικό ή Αρνητικό Μηδέν Θετικό ή Αρνητικό Άπειρο Αποκανονικοποιηµένοι Αριθµοί NaN (Not a Number)

3 Σηµaτοδοτικά NaN s Σιωπηρά NaN s Αόριστη Μορφή Ακρίβεια ψηφίων στο πρότυπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Αριθµητική αριθµών κινητής υποδιαστολής. Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός και ιαίρεση 3.1 Πρόσθεση αριθµών κινητής υποδιαστολής Ευθυγράµµιση Εκθετών Υπερχείλιση σηµαντικού µέρους Υπερχείλιση Εκθέτη Υποχείλιση εκθέτη Συµπλήρωµα ως προς Μερικά παραδείγµατα πρόσθεσης Αφαίρεση αριθµών κινητής υποδιαστολής Μερικά παραδείγµατα αφαίρεσης Πολλαπλασιασµός αριθµών κινητής υποδιαστολής Μερικά παραδείγµατα πολλαπλασιασµού ιαίρεση αριθµών κινητής υποδιαστολής Μερικά παραδείγµατα διαίρεσης.. 49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Υλοποίηση των πράξεων µε υλικό. 4.1 Υλοποίηση της πρόσθεσης και αφαίρεσης Η υλοποίηση του πολλαπλασιασµού Η υλοποίηση της διαίρεσης Αναπαράσταση των αριθµών σε 32 και 64 bit Μονάδες εκτέλεσης ακεραίων και µονάδα κινητής υποδιαστολής (FPU) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο Περιγραφή του γραφικού περιβάλλοντος του συστήµατος FPView. 5.1 Σκοπός του συστήµατος Η φιλοσοφία του συστήµατος Περιγραφή των επιλογών Φόρµα µετατροπής Πως κάνουµε µετατροπές Η φόρµα ανάλυσης Η Φόρµα Πρόσθεσης Το panel εκτέλεσης βήµα-βήµα Ο δείκτης πράξης Η φόρµα αφαίρεσης Φόρµα πολλαπλασιασµού Η φόρµα διαίρεσης Εισαγωγή Ειδικών Τιµών

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο Περιγραφή εσωτερικών λειτουργιών του συστήµατος FPView. 6.1 Οι κλάσης του συστήµατος Περιγραφή των κλάσεων Η κλάση Dekadikos Η σχέση µεταξύ των κλάσεων Dekadikos και Diadikos Η κλάση Diadikos Η κλάση Arithmitiko_Alfarithmitiko Η κλάση ElegktisDekadikou Η κλάση ElegktisDiadikou Η κλάση Analisi Η κλάση Prosthetis Η κλάση Pollaplasiastis Η κλάση Diaireths Συσχέτιση των κλάσεων µε της φόρµες Η φόρµα µετατροπής Η διαδικασία της µετατροπής από δεκαδικό σε δυαδικό στην φόρµα µετατροπής Η διαδικασία της µετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό στην φόρµα µετατροπής Η φόρµα Ανάλυσης Η φόρµες Πρόσθεσης και Αφαίρεσης Πως γίνεται η πρόσθεση/αφαίρεση βήµα-βήµα Η φόρµα πολλαπλασιασµού Η φόρµα διαίρεσης ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΩ ΙΚΑ analisi.h analisi.cpp arithmitiko_alfarithmitiko.h arithmitiko_alfarithmitiko.cpp dekadikos.h dekadikos.cpp diadikos.h diadikos.cpp diaireths.h diaireths.cpp elegktisdekadikou.h elegktisdekadikou.cpp elegktisdiadikou.h elegktisdiadikou.cpp pollaplasiastis.h pollaplasiastis.cpp prosthetis.h prosthetis.cpp FormAferesi.h FormAferesi.cpp FormAnalisi.h FormAnalisi.cpp FormArxiki.h FormArxiki.cpp FormDiairesh.h FormDiairesh.cpp FormMetatropi.h FormMetatropi.cpp FormPollaplasiasmos.h FormPollaplasiasmos.cpp FormSxetika.h FormSxetika.cpp

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε αυτή την πτυχιακή εργασία θα παρουσιαστούν οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής, η µορφή των αριθµών, το πρότυπο ΙΕΕΕ754, η αριθµητική κινητής υποδιαστολής. Η αναπαράσταση της κινητής υποδιαστολής είναι θέµα που απασχολεί ακόµη και σήµερα τους σχεδιαστές επεξεργαστών. Υπάρχουν διάφορα προβλήµατα που πρέπει να αντιµετωπίσουν όπως θα δούµε πιο κάτω. Υπήρξαν στην ιστορία στιγµές που έχασαν ακόµη και άτοµα την ζωή τους από υπολογισµούς που έφταιγαν η πράξεις µεταξύ αριθµών κινητής υποδιαστολής. Η ακρίβεια είναι το πιο σηµαντικό πρόβληµα στην ουσία. Αλλά δεν υπάρχει κανένα σύστηµα που να µπορεί να αναπαριστάνει όλους τους πραγµατικούς αριθµούς, διότι έχουµε περιορισµένο εύρος ακρίβειας. Μάλιστα µε σφάλµατα ακρίβειας υπήρξαν εταιρίες που έχασαν αρκετά χρήµατα και στο παρελθόν είχαµε αρκετά τέτοια περιστατικά. Στις 30 Οκτωβρίου του 1994 ένας καθηγητής Μαθηµατικών ενός µικρού Κολεγίου των Η.Π.Α. ανακοινώνει ότι υπάρχει κάποιο λάθος στον υπολογισµό της διαίρεσης αριθµών κινητής υποδιαστολής στον πρόσφατα κατασκευασθέντα επεξεργαστή Pentium. Η αρχική αντίδραση της κατασκευάστριας εταιρίας ήταν ότι ο καθηγητής µάλλον είναι λεπτολόγος αν όχι γραφικός. Στις 20 εκέµβρη όµως αναγκάστηκε να ανακοινώσει ότι αντικαθιστά όλους του επεξεργαστές Pentium που είχε διαθέσει στην αγορά τους τελευταίους 6 µήνες. Το συνολικό κόστος της εταιρίας υπολογίζεται σε πολύ πάνω από τα $10,000,000. Μάλιστα εκτός από λεφτά έχουν πεθάνει και άτοµα στο παρελθόν. Στις 25 Φλεβάρη του 1991, κατά την διάρκεια του πολέµου του Κόλπου ένας πύραυλος Patriot αποτυγχάνει στην αναχαίτιση ενός Ιρακινού πυραύλου Scud ο οποίος τελικά σκοτώνει 28 στρατιώτες των Η.Π.Α. και τραυµατίζει άλλους 100. Αργότερα ανακαλύφθηκε ότι λάθη στρογγυλοποίησης ήταν η αιτία αποτυχίας του Patriot. Οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής όπως διαπίστωσα στα πλαίσια της εργασίας είναι ένα θέµα που ίσως εάν θέλουµε να αναλύσουµε όλα τα σχετικά θέµατα µε αυτούς τους αριθµούς θα µας χρειαστεί ένα ολόκληρο εξάµηνο η ίσως 2-3 εξάµηνα. Ευχαριστώ θερµά την σύζυγο µου που µε υποστήριξε στα πλαίσια της πτυχιακής εργασίας. Επίσης ευχαριστώ πάρα - πάρα πολύ τον επιβλέποντα καθηγητή µου τον κύριο Χουβαρδά για της πολύτιµες συµβουλές που µε έδωσε, και για τον πολύτιµο χρόνο του που διέθεσε για να µε καθοδηγήσει στην ετοιµασία της εργασίας. Ευχαριστώ θερµά όλους τους καθηγητές µου που µε δώσανε της γνώσεις που έχω αποκτήσει. ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η εργασία θα αποτελείται από 4 κεφάλαια. Το 1 ο κεφάλαιο θα κάνει µια εισαγωγή στους αριθµούς υποδιαστολής. Στο 2 ο κεφάλαιο θα παρουσιαστεί το πρότυπο ΙΕΕΕ και τα επιµέρους θέµατα. Στο 3 ο, θα περιγράψουµε της 4 βασικές πράξεις. Στο 4 ο κεφάλαιο θα δούµε πως 5

6 υλοποιούνται η πράξης στην fpu. Στο 5 ο κεφάλαιο θα περιγράψουµε το γραφικό περιβάλλον του συστήµατος FPView. Στο 6 ο κεφάλαιο θα περιγράψουµε της εσωτερικές λειτουργίες του συστήµατος. θα περιγραφή το σύστηµα το οποίο δηµιουργήθηκε στα πλαίσια της πτυχιακής αυτής. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ο σκοπός της εργασίας είναι η περιγραφή των αριθµών κινητής υποδιαστολής και του προτύπου ΙΕΕΕ 754. Τα προβλήµατα που υπάρχουν. Η περιγραφή υλοποιήσεις των πράξεων στην fpu. Η περιγραφή των 4 βασικών πράξεων µε λεπτοµέρειες, και υλοποίηση ενός λογισµικού που θα κάνει της βασικές πράξεις µε γραφικό τρόπο και µε δυνατότητα µετατροπής από 2δικό σε 10δικό και αντίστροφα. Μία εισαγωγή στο θέµα των αριθµών κινητής υποδιαστολής και τον αλγορίθµων για την εκτέλεση των πράξεων µεταξύ αριθµών κινητής υποδιαστολής. Τρόποι αναπαράστασης των αριθµών σε διάφορους τύπους. Τρόποι στρογγυλοποίησης. Τα προβλήµατα που υπάρχουν στην αναπαράσταση των αριθµών. Υλοποίηση ενός συστήµατος που θα κάνει µετατροπές από 10δικό σε 2δικό και αντίστροφα. Επίσης µε δυνατότητα εκτέλεσης των 4 βασικών πράξεων µε γραφικό τρόπο είτε απευθείας είτε ανάποδα. 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : Εισαγωγή στους αριθµούς κινητής υποδιαστολής 7

8 1.1 Τι είναι οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής ; Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να αναπαρασταθούν οι πραγµατικοί αριθµοί στους υπολογιστές. Ένας τρόπος είναι οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής. Η κινητή υποδιαστολή δεν είναι προκαθορισµένη, αλλά µεταβλητή και αυτόµατα προσαρµόσιµη στις µεταβαλλόµενες απαιτήσεις των υπολογισµών. Σε µια τέτοια περίπτωση, η θέση της δυαδικής υποδιαστολής λέµε ότι µετακινείται (floats) και οι αριθµοί αυτή ονοµάζονται αριθµοί κινητής υποδιαστολής. Αυτό τους ξεχωρίζει από τους αριθµούς σταθερής υποδιαστολής, στους οποίους η υποδιαστολή βρίσκεται πάντα στην ίδια θέση. Για την αναπαράσταση των αριθµών κινητής υποδιαστολής χρησιµοποιείται η επιστηµονική σηµειογραφία. Στην οποία οι αριθµοί γράφονται στη µορφή d.dddd x 10 exp όπου d είναι τα δεκαδικά ψηφία η βάση 10 και exp ο εκθέτης. Μετατοπίζουµε στην ουσία την υποδιαστολή σε µια θέση βολική και χρησιµοποιούµε δυνάµεις του 10 για να ξέρουµε τη θέση αυτής της δεκαδικής υποδιαστολής. Για παράδειγµα : Ο αριθµός θα µπορούσε να αναπαρασταθεί ως : x Στον δεκαεξαδικό, το νούµερο 123.abc επίσης θα µπορούσε να αναπαρασταθεί ως : 1.23abc x Γιατί χρησιµοποιούµε αριθµούς κινητής υποδιαστολής; Θεωρήστε το εύρος των τιµών ο οποίες είναι αναπαραστάσιµες σε µια προσηµασµένη µορφή σταθερής υποδιαστολής των 32 bit. Εάν ερµηνευτούν αυτές οι τιµές ως ακέραιοι αριθµοί, το εύρος των τιµών αυτού του διαστήµατος είναι από 0 έως περίπου ±2.15 x Εάν τους θεωρήσουµε ως κλάσµατα, το εύρος είναι περίπου από ±4.55 x10-10 έως ±1. Κανένα από αυτά τα δύο εύρη δεν είναι ικανοποιητικό για επιστηµονικούς υπολογισµούς, οι οποίοι µπορούν να εµπεριέχουν παραµέτρους όπως ο αριθµός Avogardo ( x mole -1 ), ή η σταθερά του Planck ( x erg s). Εποµένως, χρειαζόµαστε έναν βολικό τρόπο αναπαράστασης αµφότερων των πολύ µεγάλων ακεραίων και των πολύ µικρών κλασµάτων. Κάτι το οποίο πετυχαίνουµε χρησιµοποιώντας αριθµούς κινητής υποδιαστολής. Με τους αριθµούς κινητής υποδιαστολής µπορούµε να αναπαραστήσουµε εύκολα τα νούµερα όπως ή Οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής και η αναπαράσταση χρησιµοποιούνται συνήθως για υπολογισµούς που απαιτούν µεγάλες ακρίβειες. Απαλλάσσουν των προγραµµατιστή από τον πονοκέφαλο της κλίµακας και µπορούν να αποθηκευτούν µεγάλη αριθµοί σε σχετικά λίγα bits. 8

9 Το πλεονέκτηµα είναι ότι µπορεί να χωρέσουν σε σχετικά λίγα bits µεγάλοι αριθµοί αλλά το µειονέκτηµα αυτής της αναπαράστασης είναι ότι δεν µπορούµε να έχουµε ν-1 σηµαντικά bits όπως στο σύστηµα αναπαράστασης των ακεραίων. 1.3 Η µορφή των Αριθµών Κινητής Υποδιαστολής Ξεκινούµε µε γενικές υποθέσεις, όσον αφορά τη µορφή και το µέγεθος των αριθµών κινητής υποδιαστολής στο δεκαδικό σύστηµα και κατόπιν συσχετίζουµε τη µορφή αυτή µε µια αντίστοιχη δυαδική αναπαράσταση. Μια χρήσιµη µορφή είναι η ±Χ 1.Χ 2 Χ 3 Χ 4 Χ 5 Χ 6 Χ 7 x 10 ±Y 1Y 2 (1.1) όπου τα Χ ι και Υ ι είναι δεκαδικά ψηφία. Ο αριθµός των σηµαντικών ψηφίων(7) και το εύρος εκθέτη (±99) ανταποκρίνονται σε µια ευρεία κλίµακα επιστηµονικών υπολογισµών. Η προσέγγιση αυτή της ακρίβειας του δεκαδικού µέρους (mantissa) και του εύρους του παράγοντα κλίµακας, είναι δυνατή σε µια δυαδική αναπαράσταση, η οποία καταλαµβάνει 32 bits, κάτι το οποίο είναι ένα τυποποιηµένο µέγεθος λέξης ενός υπολογιστή. 1.4 Πως αποθηκεύονται οι Αριθµοί Κινητής Υποδιαστολής ; Οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής αποθηκεύονται σε 3 πεδία : Το πρόσηµο (Sign), τον εκθέτη (Exponent) και το σηµαντικό µέρος (Mantissa). S Exp Fraction (or Mantissa) Σχήµα 1. Μια τυπική µορφή αριθµού κινητής υποδιαστολής Η υπονοούµενη βάση είναι το 2. Οπότε δεν περιλαµβάνεται στη αναπαράσταση αλλά υπονοείται. Από αυτή την µορφή µπορούµε να υπολογίσουµε την πραγµατική τιµή του αριθµού κινητής υποδιαστολής. Όπως θα δούµε πιο κάτω. Σε αυτή την αναπαράσταση για να βρούµε την δεκαδική του τιµή αρκεί να υπολογίσουµε την σχέση: (-1)S * mantissa x 2 exponent (1.2) Ας δούµε τώρα το κάθε πεδίο ξεχωριστά : 9

10 1.4.1 Πρόσηµο (Sign) Στους αριθµούς κινητής υποδιαστολής το πρώτο bit δηλώνει το πρόσηµου του αριθµού που είναι αποθηκευµένο στα επόµενα bit. Εάν λοιπόν το bit αυτό είναι 1 ο αριθµός είναι αρνητικός αλλιώς εάν είναι 0 τότε ο αριθµός είναι θετικός Εκθέτης (Exponent) Ο εκθέτης αποθηκεύεται µετά το πρόσηµο. Στην αναπαράσταση του εκθέτη χρησιµοποιείται η αναπαράσταση µε πόλωση. Η πόλωση αυτή ισούται µε (2 k-1-1) (1.3) Όπου k είναι ο αριθµός των bit στον δυαδικό εκθέτη. Η πόλωση αυτή προστίθεται στο εκθέτη όταν είναι να αποθηκευτή σε αυτή την µορφή. Στην αντίστροφη µετατροπή αυτή η τιµή αφαιρείται από τον εκθέτη. Και έτσι παίρνουµε την πραγµατική τιµή του εκθέτη. Για παράδειγµα στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι 8 bits η τιµή αυτή ισούται µε ( ) και είναι το 127. Έτσι λοιπόν αν θεωρήσουµε για παράδειγµα ότι έχουµε τον αριθµό Χ µε εκθέτη το -20. Ο αριθµός -20 είναι στον δυαδικό Μετά την πόλωση τους = 107. Τελικά ο εκθέτης θα πάρει την τιµή Στην περίπτωση των 8 bit η τιµή πόλωσης είναι προφανώς το 127, όπου τους δίνει τους αριθµούς από 0 έως 255. Και µε την πόλωση η τιµή του εκθέτη βρίσκεται στο διάστηµα Πριν την πόλωση : Μετά την πόλωση Σχήµα 2. Πολωµένη αναπαράσταση για εκθέτη των 8 bit Με αυτό τον τρόπο έχουµε την δυνατότητα να αναπαριστάνουµε και εκθέτες µε αρνητικό πρόσηµο. Τους ένα από τα πλεονεκτήµατα τους πολωµένης αναπαράστασης είναι ότι οι µη αρνητική αριθµοί κινητής υποδιαστολής µπορούν να θεωρούνται ακέραιοι για σκοπούς σύγκρισης. 10

11 1.4.3 Σηµαντικό Μέρος (MANTISSA) Το πεδίο αµέσως µετά τον εκθέτη ονοµάζεται mantissa ή αλλιώς σηµαντικό µέρος. Στην τυπική µορφή των 32 bit αποτελείται από 23 bit. Στην ουσία όµως περιέχει και ένα κρυφό (hidden) bit που υπονοείται και δεν χρειάζεται να αποθηκευτή κερδίζοντας έτσι από τον χώρο. Κατά την αποθήκευση τους το σηµαντικό µέρος µε µετατοπίσεις και αύξηση του εκθέτη κανονικοποιείται (βλ. ΚΕΦ 1.5). ηλαδή στην ουσία φέρνουµε τον αριθµό στην µορφή: (-1)S x 1.bbbb x 2 exponent (1.4) Όπως παρατηρείτε το πρώτο bit είναι 1 (ένα) και τα υπόλοιπα bit είναι µετά την υποδιαστολή Μας βολεύει όµως για να γλιτώσουµε και από ένα bit επιπλέον και επίσης οι πράξεις µε τους αριθµούς απλοποιούνται µε αυτό τον τρόπο. Οποιοσδήποτε αριθµός κινητής υποδιαστολής µπορεί να εκφραστεί µε πολλούς τρόπους. Για παράδειγµα οι εξής αριθµοί είναι ισοδύναµοι : x x x 2-1 Αυτό επιτυγχάνεται µε την µετατόπιση και αύξηση η µείωση του εκθέτη όπως θα δείτε. 1.5 Κανονικοποίηση Ένας Κανονικοποιηµένος Αριθµός είναι ένας αριθµός στον οποίο το πιο σηµαντικό ψηφίο του σηµαντικού µέρους είναι µη µηδενικό. Για την αναπαράσταση µε βάση το 2, ένας κανονικοποιηµένος αριθµός είναι εκείνος, στον οποίο το πιο σηµαντικό bit του σηµαντικού µέρους είναι 1. Η τυπική σύµβαση είναι ότι υπάρχει ένα bit στα αριστερά του σηµείου της υποδιαστολής. Έτσι ένας κανονικοποιηµένος µη µηδενικός αριθµός είναι εκείνος µε τη µορφή (βλ. 1.4) Όπου b είναι οποιοδήποτε δυαδικό ψηφίο ( 0 ή 1 ). Επειδή το πιο σηµαντικό bit είναι πάντοτε 1, δεν υπάρχει ανάγκη να το αποθηκεύσουµε, αλλά υπονοείται. Έτσι το πεδίο των 23 bit χρησιµοποιείται για να αποθηκευτεί ένα σηµαντικό µέρος µε 24 bit, µε τιµή στο ηµιανοικτό διάστηµα [1,2). Εάν δοθεί ένας αριθµός που δεν είναι κανονικοποιηµένος µπορεί να κανονικοποιηθεί µετατοπίζοντας την υποδιαστολή στα δεξιά του πιο αριστερού bit µε τιµή 1 και ρυθµίζοντας αντίστοιχα τον εκθέτη. 11

12 Για παράδειγµα ας κανονικοποιήσουµε τους παρακάτω 2 αριθµούς: α) x x 2 4 = x 2 3 = x 2 2 = 0.11 x 2 1 = 1.1 x 2 0 β) χ χ 2 0 = χ 2 1 = χ 2 2 = χ 2 3 = χ 2 4 Όπως βλέπετε αυξάνεται ή µειώνεται ο εκθέτης και ταυτόχρονα µετατοπίζεται αντίστοιχα δεξιά και αριστερά ό εκθέτης. Στην ουσία ο εκθέτης δηλώνει σε πιο σηµείο βρίσκεται η κινητή υποδιαστολή. 1.6 Συµβιβασµός µεταξύ περιοχής τιµών και ακρίβειας Είναι σηµαντικό να παρατηρήσουµε, ότι δεν αναπαριστούµε περισσότερες µεµονωµένες τιµές µε την σηµειογραφία κινητής υποδιαστολής. Ο µέγιστος αριθµός διαφορετικών τιµών που µπορεί να αναπαρασταθεί µε 32 bit είναι πάντοτε Εκείνο που πετύχαµε είναι να απλώσουµε τους αριθµούς αυτούς σε δυο διαστήµατα ένα θετικό και ένα αρνητικό. Υπάρχει ένας συµβιβασµός µεταξύ περιοχής τιµών και ακρίβειας. Υπάρχουν 8 bit αφιερωµένα στην αναπαράσταση του εκθέτη και 23 bit για την αναπαράσταση του σηµαντικού µέρους. Αν αυξήσουµε τον αριθµό των bit στον εκθέτη, επεκτείνουµε την περιοχή τιµών των αριθµών που µπορεί να εκφραστούν. Επειδή όµως µόνο ένας σταθερός αριθµός διαφορετικών τιµών µπορεί να εκφραστεί, έχουµε µειώσει την πυκνότητα εκείνων των αριθµών και κατά συνέπεια την ακρίβεια. Ο µόνος τρόπος για να αυξηθεί τόσο η περιοχή τιµών όσο και η ακρίβεια είναι να χρησιµοποιηθούν περισσότερα bit. Έτσι, οι περισσότεροι υπολογιστές προσφέρουν τουλάχιστον αριθµούς απλής ακρίβειας και αριθµούς διπλής ακρίβειας. Για παράδειγµα µια µορφή απλής ακρίβειας θα µπορούσε να είναι µε 32 bit και η µορφή διπλής ακρίβειας µε 64 bit. 1.7 Συµβιβασµός µεταξύ του αριθµού των bit στον εκθέτη και των bit στο σηµαντικό µέρος Υπάρχει ένας συµβιβασµός µεταξύ του αριθµού των bit στον εκθέτη και των bit στο σηµαντικό µέρος. Τα πράγµατα όµως είναι ακόµη πιο σύνθετα. Η υπονοούµενη βάση του εκθέτη δεν υπάρχει ανάγκη να είναι το 2. Η αρχιτεκτονική IBM S/390, για παράδειγµα, χρησιµοποιεί 12

13 βάση το 16. Η µορφή αυτή αποτελείται από έναν εκθέτη µε 7 bit και σηµαντικό µέρος µε 24 bit. Το πλεονέκτηµα χρήσης ενός µεγαλύτερου εκθέτη είναι ότι µπορεί να επιτευχθεί αναπαράσταση µεγαλύτερης περιοχής τιµών για τον ίδιο αριθµό bit του εκθέτη. Όµως, δεν έχουµε αυξήσει τον αριθµό των διαφορετικών τιµών οι οποίες µπορούν να αναπαρασταθούν. Έτσι, για µια σταθερή µορφή, µια µεγαλύτερη βάση του εκθέτη δίνει µεγαλύτερη περιοχή τιµών, µε αντάλλαγµα την µικρότερη ακρίβεια. 13

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : Το πρότυπο ΙΕΕΕ για την αναπαράσταση των αριθµών κινητής υποδιαστολής 14

15 2.1 Το πρότυπο 754 του ΙΕΕΕ για την αναπαράσταση Η ΙΕΕΕ είναι ένα διεθνές επιστηµονικό ινστιτούτο το οποίο πέραν των άλλων έχει σαν στόχο την κατασκευή διεθνών προτύπων. Το συγκεκριµένο πρότυπο 754 αναπτύχθηκε για να διευκολυνθεί η φορητότητα των προγραµµάτων από τον έναν επεξεργαστεί στον άλλον, και για να προωθηθεί η ανάπτυξη σύνθετων προγραµµάτων µε προσανατολισµό τους υπολογισµούς. Το πρότυπο έχει γίνει ευρέως αποδεκτό και χρησιµοποιείται ουσιαστικά σε όλους τους σύγχρονους επεξεργαστές και τους αριθµητικούς συνεπεξεργαστές. 2.2 Μορφές Αριθµών Κινητής Υποδιαστολής Το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 ορίζει 2 βασικές µορφές και 2 εκτεταµένες µορφές. Σύµφωνα µε το πρότυπο οι 2 βασικές µορφές είναι η απλής ακρίβειας (single precision) και διπλής ακρίβειας (double precision). Ενώ η εκτεταµένες µορφές είναι οι απλή-εκτεταµένη (single-extended precison) και διπλή-εκτεταµένη (double-extended precision). Bit προσήµου Πολωµένος Εκθέτης Κλάσµα 8 bits 23 bits Σχήµα 3. SINGLE PRECISION Μορφή απλής ακρίβειας Bit προσήµου Πολωµένος Εκθέτης Κλάσµα 11 bits 52 bits Σχήµα 4. DOUBLE PRECISION Μορφή διπλής ακρίβειας Η απλή ακρίβεια αποτελείται από 1 bit πρόσηµο, 8 bit εκθέτη και 23 bit σηµαντικό µέρος. Η διπλή ακρίβεια έχει 11 bit στον εκθέτη, και 52 bit στο σηµαντικό µέρος. Η µορφή των εκτεταµένων µορφών εξαρτάται από την συγκεκριµένη υλοποίηση. Οι εκτεταµένες µορφές περιλαµβάνουν επιπρόσθετα bit στον εκθέτη (εκτεταµένη περιοχή τιµών) και στο σηµαντικό µέρος (εκτεταµένη ακρίβεια). Οι εκτεταµένες µορφές προορίζονται για χρήση σε ενδιάµεσους υπολογισµούς. Με τη µεγαλύτερη ακρίβεια τους, οι εκτεταµένες µορφές µειώνουν την πιθανότητα εµφάνισης ενός τελικού αποτελέσµατος το οποίο έχει υποβαθµιστεί από υπερβολικό σφάλµα στρογγυλοποίησης. 15

16 Με τη µεγαλύτερη περιοχή τιµών τους, µειώνουν επίσης την πιθανότητα να ακυρωθεί ένας ενδιάµεσος υπολογισµός λόγω υπερχείλισης, ενώ το τελικό αποτέλεσµα θα µπορούσε να αναπαρασταθεί µε µια βασική µορφή. Ένα ακόµη κίνητρο για την χρήση αυτής της µορφής απλής επέκτασης είναι ότι έχει κάποια από τα πλεονεκτήµατα µιας µορφής διπλής ακρίβειας, χωρίς όµως το κόστος σε χρόνο που συνήθως απαιτεί η υψηλότερη ακρίβεια. Ο παρακάτω πίνακας δίνει περιληπτικά τα χαρακτηριστικά των τεσσάρων µορφών : ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΛΗ ΕΚΤΕΤΑΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΙΠΛΗ ΜΟΡΦΗ ΙΠΛΗ ΕΚΤΕΤΑΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Εύρος λέξης (bit) Εύρος εκθέτη (bit) Πόλωση εκθέτη 127 ακαθόριστη 1023 ακαθόριστη Μέγιστος εκθέτης Ελάχιστος εκθέτης Περιοχή τιµών αριθµών (βάση 10) ακαθόριστη ακαθόριστη Εύρος του σηµαντικού µέρους (bit) Αριθµός 254 ακαθόριστη 2046 ακαθόριστη εκθετών Αριθµός 2 23 ακαθόριστη 2 52 ακαθόριστη κλασµάτων Αριθµός τιµών 1.98 x 2 31 ακαθόριστη 1.99 x 2 63 ακαθόριστη 2.3 Μετατροπή αριθµών κινητής υποδιαστολής Η µετατροπή των αριθµών κινητής υποδιαστολής από δεκαδικό σε δυαδικό και αντίστροφα είναι ένα αρκετά σηµαντικό θέµα. Θα µελετήσουµε την µετατροπής από δεκαδικό σε δυαδικό και από δυαδικό σε δεκαδικό των αριθµών κινητής υποδιαστολής Μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό Η µετατροπή από 10δικό σε 2δικό σύστηµα γίνεται µε τον εξής τρόπο : 16

17 1) Γράφουµε το νούµερο στην µορφή: όπου η mantissa είναι στο δεκαδικό σύστηµα. mantissa (10) x 2 0 (2.1) 2) Μετατρέπουµε την mantissa από δεκαδικό στον δυαδικό µε τον κλασικό τρόπο µετατροπής που ξέρουµε δηλαδή µε διαδοχικές διαίρεσης το ακέραιο µέρος και µε διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς το δεκαδικό µέρος και µας προκύπτει ένα νούµερο της µορφής: bbbbb.bbbbb x 2 0 (2.2) 3) Στη συνέχεια κανονικοποιούµε το νούµερο όπως είχαµε αναφέρει πριν (βλ. ΚΕΦ. 1.5) και το φέρνουµε στην µορφή (1.4). 4) Προσθέτουµε την τιµή πόλωσης στον εκθέτη. 5) Μετατρέπουµε τον εκθέτη από δεκαδικό σε δυαδικό µε τον κλασικό τρόπο διαδοχικών διαιρέσεων. 6) Καθορίζουµε το πρόσηµο του αριθµού και εάν το νούµερο είναι θετικό το bit παίρνει τιµή 0 εάν αρνητικό 1 (βλ. ΚΕΦ 1.4.1). 7) Στο τέλος έχουµε της τιµές : S πρόσηµο E εκθέτης M σηµαντικό µέρος Της οποίες γράφουµε µε την µορφή ΙΕΕΕ.(βλ. Σχήµατα 3 και 4) Μερικά παραδείγµατα µετατροπής από δεκαδικό σε δυαδικό Ας δούµε µερικά παραδείγµατα µετατροπής από δεκαδικό σε single µορφή για να γίνει πιο κατανοητό ο τρόπος µετατροπής. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Έστω ότι έχουµε τον αριθµό 30. 1) Γράφουµε ως εξής το νούµερο : 30 x 2 0 2) Μετατρέπουµε την mantissa και έχουµε : x

18 (παρατηρήστε ότι δεν έχουµε δεκαδικό µέρος οπότε αρχικά έχουµε µηδέν). 3) Κανονικοποιούµε το νούµερο (βλ ΚΕΦ 1.5) και έχουµε: x 2 4 4) Ο εκθέτης µας είναι 4. προσθέτουµε την τιµή πόλωσης που είναι το 127 και έχουµε ) Μετατρέπουµε τον δεκαδικό 131 σε δυαδικό και έχουµε : x ) Καθορίζουµε το πρόσηµο του αριθµού. Εφόσον είναι το νούµερο µας θετικό άρα το πρόσηµο θα είναι 0. 7) Στο τέλος γράφουµε το νούµερο µας στην µορφή ΙΕΕΕ ως εξής : ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Έστω ότι έχουµε τον αριθµό 1.25 x 10 4 Εδώ το πρόβληµα µας είναι ότι το νούµερο µας έχει δεκαδικό εκθέτη. Πρέπει πρώτα να φέρουµε το νούµερο σε µια µορφή ώστε ο εκθέτης να γίνει 0. Άρα έχουµε Χρησιµοποιώντας λοιπόν τον παραπάνω τρόπο µετατρέπουµε το νούµερο και έχουµε : ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Έστω ότι έχουµε τον αριθµό 1,25 x Εδώ λοιπόν το πρόβληµα µας είναι ότι πάλι έχουµε έναν δεκαδικό εκθέτη αλλά αυτή την φορά ο εκθέτης είναι αρκετά µεγάλος. Θα µπορούσαµε να έχουµε έναν εκθέτη Αλλά για λόγους απλότητας επιλέξαµε αυτόν τον εκθέτη. Εδώ λοιπόν µια δυνατή τεχνική που µπορείτε να χρησιµοποιείται είναι να υπολογίζεται ξεχωριστά την βάση και χωριστά τον δεκαδικό εκθέτη και δυαδικό εκθέτη. Η διαδικασία του υπολογισµού είναι : ΟΣΟ (δεκαδικός εκθέτης >0) ΕΑΝ δεκαδικός εκθέτης ΘΕΤΙΚΟΣ ΒΑΣΗ=ΒΑΣΗ/2 δυαδικός εκθέτης + 1 ΑΛΛΙΩΣ ΒΑΣΗ=ΒΑΣΗ*2 18

19 δυαδικός εκθέτης - 1 ΕΑΝ δεκαδικός εκθέτης ΘΕΤΙΚΟΣ και ΒΑΣΗ < 1 δεκαδικός εκθέτης-1 ΕΑΝ δεκαδικός εκθέτης ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ και ΒΑΣΗ >10 δεκαδικός εκθέτης+1 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Στο τέλος παίρνουµε το νούµερο : 5, * Παρατηρήστε ότι 5, * µας κάνει 1,25 x ηλαδή στο τέλος όλης της διαδικασία παίρνουµε ένα νούµερο µε βάση το 2. Έχουµε δηλαδή έτοιµο τον εκθέτη. Αρκεί να κάνουµε της κλασικές διαδικασίες για να βρούµε το νούµερο. Για να γίνει όµως πιο κατανοητή όλη η διαδικασία ας το κάνουµε βήµα βήµα : Πρώτα κάνουµε της πράξεις για να βρούµε το τελικό νούµερο 5, * Έχουµε λοιπόν των παρακάτω πίνακα µε τα βήµατα εκτέλεσης της διαδικασίας : BHMA Βάση εκαδικός εκθέτης υαδικός Εκθέτης 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Όπως βλέπετε στο τέλος παίρνουµε δεκαδικό εκθέτη 0, δυαδικό εκθέτη 330 και βάση 5, Στην ουσία σε κάθε βήµα διαιρούµε η πολλαπλασιάζουµε την βάση, εάν δηλαδή ο εκθέτης είναι αρνητικός πολλαπλασιάζουµε την βάση µε 2 εάν είναι θετικός την διαιρούµε. Σε κάθε βήµα αυξάνουµε η µειώνουµε αντίστοιχα των δυαδικό εκθέτη 19

20 πάντοτε. Για τον δεκαδικό εκθέτη εάν είναι θετικός και η βάση γίνει µικρότερο του 1 τότε ο δεκαδικός εκθέτης µειώνεται και η βάση πολλαπλασιάζετε µε το 10. Εάν ο δεκαδικός εκθέτης είναι αρνητικός και η βάση είναι µεγαλύτερο του 10 τότε ο δεκαδικός εκθέτης µειώνεται και η βάση διαιρείτε µε 2. Με τον τρόπο αυτό όταν γράφουµε κώδικα αυτό που πρέπει να προσέξουµε είναι ότι αντί να κάνουµε διαίρεση µε 2 της βάσης πρέπει να προτιµήσουµε να κάνουµε πολλαπλασιασµό µε το 0.5, διότι η διαίρεση διαρκεί περισσότερο κατά την εκτέλεσή του. Κερδίζεται δηλαδή από τον χρόνο εκτέλεσης. Έχουµε λοιπόν στο τέλος όλης αυτής της διαδικασίας την βάση 5, και τον εκθέτη 330. Μετατρέπουµε την βάση στο δεκαδικό ξεχωριστά τον ακέραιο µέρος και ξεχωριστά το δεκαδικό µέρος και έχουµε : 5 (10) = 101 0, (10) = Έχουµε τελικά µε δυαδικό εκθέτη 330. Τον κανονικοποιούµε και έχουµε : και εκθέτη 332. Το δυαδικό νούµερο αυτό ισούται µε 1, περίπου. Αναρωτιέστε γιατί περίπου ; Αυτό είναι ένα πρόβληµα ακρίβειας και µερικά νούµερα µετά την µετατροπή χρειάζονται κάποια στρογγυλοποίηση που θα δούµε πιο κάτω. Τελικά λοιπόν : Προσοχή όµως διότι το νούµερο είναι σε διπλή ακρίβεια και όχι σε απλή. Οπότε έχει διαφορετική πόλωση και όπως βλέπετε περισσότερα bits για αποθήκευση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Ας δούµε και ένα νούµερο µε αρνητικό εκθέτη και αρνητικό πρόσηµο. Το νούµερο : -1,25 x 10-5 Πρώτα αντιστρέφουµε το πρόσηµου του αριθµού. Με την παραπάνω διαδικασία έχουµε τα παρακάτω νούµερα : BHMA Βάση εκαδικός εκθέτης υαδικός Εκθέτης 0 1, , ,

21 8 3, , , , , , , , , , Έχουµε τα νούµερα 1,6384 και δυαδικό εκθέτη -17. Με την µετατροπή των νούµερων αυτών έχουµε : 1,6384 (10) = Ο εκθέτης µετά την πόλωση =110 ο οποίος στο δυαδικό µας κάνει Άρα τελικά έχουµε : Μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό Η διαδικασία της µετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό είναι κάπως πιο απλή. Η διαδικασία λοιπόν είναι ως εξής : 1. Μετατρέπουµε το σηµαντικό µέρος στο δεκαδικό 2. Μετατρέπουµε τον εκθέτη στο δεκαδικό 3. Αφαιρούµε την τιµή πόλωσης από τον εκθέτη. 4. Υπολογίζουµε το νούµερο που είναι στην µορφή (1.2) Μερικά παραδείγµατα µετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Έστω ότι έχουµε το νούµερο που βλέπετε παρακάτω και είναι στην µορφή single ) Πρώτα υπολογίζουµε το σηµαντικό µέρος που είναι : (2) = 1, ) Υπολογίζουµε τον εκθέτη που είναι : 137 3) Αφαιρούµε την τιµή πόλωσης από τον εκθέτη =10. 21

22 4) Έχουµε το νούµερο 1, x Υπολογίζοντας λοιπόν παίρνουµε το δεκαδικό : 1,25 x 10 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Έστω ότι έχουµε το νούµερο : ) Έχουµε σηµαντικό µέρος = 1, ( ) 2) Ο εκθέτης µας είναι 161 3) Αφαιρούµε την πόλωση και έχουµε : = 34 4) Άρα 1, x 2 34 = 1, x Όπως έχετε παρατηρήσει το νούµερο που µας βγήκε έχει ένα σφάλµα. Το σφάλµα αυτό µας βγαίνει επειδή κόψαµε τα περιττά bit του αριθµού και δεν κάναµε στρογγυλοποίηση. 2.4 Bit Συµπλήρωσης (Guard Bits) Πριν από κάθε πράξη κινητής υποδιαστολής τα σηµαντικά µέρη συνήθως στης πράξεις αποθηκεύονται σε καταχωρητές µεγαλύτερου µήκους. Αυτά τα επιπλέον bit ονοµάζονται guard bits. Το µήκος του καταχωρητή είναι πάντοτε µεγαλύτερο από το µήκος του σηµαντικού µέρους συν το επιπλέον κρυφό bit. Ο λόγος για την συµπλήρωση του σηµαντικού µέρους είναι ότι όταν κάνουµε µετατοπίσεις δεξιά και αριστερά του σηµαντικού µέρους για να µην χαθούν κάποια bit. Ειδικά όταν έχουµε ακραίες τιµές µπορεί να χαθούν κάποια bit και να έχουµε αποτέλεσµα 0. Για παράδειγµα όταν έχουµε έναν αριθµό µε µόνο το τελευταίο bit του να είναι 1 τότε στην µετατόπιση του στα αριστερά έστω και µια φορά αυτό το bit θα χαθεί και θα έχουµε mantissa ίσο µε µηδέν. Πράγµα το οποίο δεν είναι σωστό. Επίσης για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι έχουµε στην single µορφή τα δυο παρακάτω νούµερα και θέλουµε να κάνουµε αφαίρεση χωρίς bit συµπλήρωσης: - Α= x 2 1 B= x x x

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ ΕΣ 8 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Οι Συνέπειας του Πεπερασµένου Βιβλιογραφία Ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (2/2) 1.1 Τα bits και ο τρόπος που αποθηκεύονται 1.2 Κύρια µνήµη 1.3 Αποθηκευτικά µέσα 1.4 Αναπαράσταση πληροφοριών ως σχηµάτων bits

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 Τμήμα θεωρίας: Α.Μ. 8, 9 Κάθε Πέμπτη, 11πμ-2μμ, ΑΜΦ23. Διδάσκων: Ντίνος Φερεντίνος Γραφείο 118 email: kpf3@cornell.edu Μάθημα: Θεωρία + προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης

Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Μοντέλο Αριθμητικής και Σφάλματα υπολογισμού Απώλεια πληροφορίας λόγω: Μαθηματικής μοντελοποίησης και αποστεύσεων Διακριτοποίηση Σφάλματα στρογγύλευσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 Ενότητα 4 Εισαγωγή στην Πληροφορική Κεφάλαιο 4Α: Αναπαράσταση πληροφορίας Κεφάλαιο 4Β: Επεξεργαστές που χρησιµοποιούνται σε PCs Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 ρ. Παναγιώτης Χατζηδούκας (Π..407/80) Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

3. Στο Block Diagram αναπτύσουµε το υπολογιστικό µέρος του προγράµµατος. Σχήµα 1.1: Το Front Panel του LabVIEW.

3. Στο Block Diagram αναπτύσουµε το υπολογιστικό µέρος του προγράµµατος. Σχήµα 1.1: Το Front Panel του LabVIEW. Front Panel και Block Diagram 1. Το LAbVIEW αποτελείται από δύο καρτέλες. Το Front Panel και το Block Diagram. Εναλλασσόµαστε ανάµεσα στις δύο καρτέλες µε τη συντόµευση CTRL+E ή µε το µενού Windows / Show

Διαβάστε περισσότερα

Η δήλωση πού δηµιουργεί αποθήκευση τών δεδοµένων ονοµαζεται ορισµός τής µεταβλητής.

Η δήλωση πού δηµιουργεί αποθήκευση τών δεδοµένων ονοµαζεται ορισµός τής µεταβλητής. Από το βιβλίο C: Βήµα-Πρός-Βήµα, Κεφάλαιο 3ο Συγγραφείς: Οµάδα Waite, Mitchell Waite και Stephen Prata Εκδότης: Μ. Γκιούρδας Ανατύπωση σε ηλεκτρονική µορφή: Αλέξανδρος Στεφανίδης 3.4 Τύποι εδοµένων τής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.2 Γλώσσα Μηχανής 2.3 Εκτέλεση προγράµµατος 2.4 Αριθµητικές και λογικές εντολές 2.5 Επικοινωνία µε άλλες συσκευές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ 1 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Φυσικοί αριθµοί : Είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3,, 10000, 10001,.50000 2. Προηγούµενος επόµενος : Κάθε φυσικός αριθµός εκτός από το 0 έχει έναν προηγούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες 1.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Ένα αριθμητικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο τιμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μίας ποσότητας. Ποσοτικοποιώντας τιμές και αντικείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 3 Λειτουργίες σε Bits, Αριθμητικά Συστήματα Χρήστος Γκουμόπουλος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Φύση υπολογιστών Η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ 1 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση : Είναι µία πράξη, µε την οποία όταν µας δώσουν δύο φυσικούς αριθµούς α και β βρίσκουµε έναν τρίτο αριθµό γ που τον συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης ΟΜΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ένας υπολογιστής αποτελείται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (ΚΜΕ), τη µνήµη, τις µονάδες εισόδου/εξόδου και το σύστηµα διασύνδεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ 232. Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών. Διάλεξη 1. Εισαγωγή στο μάθημα. Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων

ΗΥ 232. Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών. Διάλεξη 1. Εισαγωγή στο μάθημα. Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων ΗΥ 232 Διάλεξη 1 Εισαγωγή στο μάθημα Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων Διδάσκων: Οργανωτικά Θέματα Νίκος Μπέλλας, Κτήριο Γκλαβάνη, Γραφείο Β3.7, 2 ος όροφος Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

7.5 Πρωτόκολλο IP. Τεχνολογία ικτύων Επικοινωνιών ΙΙ

7.5 Πρωτόκολλο IP. Τεχνολογία ικτύων Επικοινωνιών ΙΙ Τεχνολογία ικτύων Επικοινωνιών ΙΙ 7.5 Πρωτόκολλο IP 38. Τι είναι το πρωτόκολλο ιαδικτύου (Internet Protocol, IP); Είναι το βασικό πρωτόκολλο του επιπέδου δικτύου της τεχνολογίας TCP/IP. Βασίζεται στα αυτοδύναµα

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7. Ασκήσεις στο IP Fragmentation

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7. Ασκήσεις στο IP Fragmentation Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7 Οι σημειώσεις που ακολουθούν περιγράφουν τις ασκήσεις που θα συναντήσετε στο κεφάλαιο 7. Η πιο συνηθισμένη και βασική άσκηση αναφέρεται στο IP Fragmentation,

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της

Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της Στην ενότητα αυτή θα αναφερθούµε εκτενέστερα στη λειτουργία και την οργάνωση της κρυφής µνήµης. Θα προσδιορίσουµε τις βασικές λειτουργίες που σχετίζονται µε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1 Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1 Κεφάλαιο 1 Κατηγορίες Υπολογιστικών Συστηµάτων Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να παρουσιάσει την εξέλιξη των υπολογιστικών συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα