ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ"

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: Ντελή Χασάν Μουσταφά Μουτλού ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Χουβαρδάς Βασίλειος 1

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Τα κεφάλαια της εργασίας Σκοπός της εργασίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Εισαγωγή στους αριθµούς κινητής υποδιαστολής 1.1 Τι είναι οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής ; Γιατί χρησιµοποιούµε αριθµούς κινητής υποδιαστολής; Η µορφή των Αριθµών Κινητής Υποδιαστολής Πως αποθηκεύονται οι Αριθµοί Κινητής Υποδιαστολής ; Πρόσηµο (Sign) Εκθέτης (Exponent) Σηµαντικό Μέρος (MANTISSA) Κανονικοποίηση Συµβιβασµός µεταξύ περιοχής τιµών και ακρίβειας Συµβιβασµός µεταξύ του αριθµού των bit στον εκθέτη και των bit στο σηµαντικό µέρος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Το πρότυπο ΙΕΕΕ για την αναπαράσταση των αριθµών κινητής υποδιαστολής 2.1 Το πρότυπο 754 του ΙΕΕΕ για την αναπαράσταση Μορφές Αριθµών Κινητής Υποδιαστολής Μετατροπή αριθµών κινητής υποδιαστολής Μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό Μερικά παραδείγµατα µετατροπής από δεκαδικό σε δυαδικό Μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό Μερικά παραδείγµατα µετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό Bit Συµπλήρωσης (Guard Bits) Στρογγυλοποίηση Στρογγυλοποίηση προς το πλησιέστερο Στρογγυλοποίηση προς το συν άπειρο Στρογγυλοποίηση προς το µείον άπειρο Στρογγυλοποίηση προς το µηδέν Μερικά παραδείγµατα στρογγυλοποίησης Το διάστηµα των αριθµών που µπορεί να αναπαρασταθεί σε µια λέξη 32 bit ιαστήµατα που δεν περιλαµβάνονται στην αναπαράσταση Η Υπερχείλιση Η Υποχείλιση Ειδικές Τιµές Κανονικοποιηµένοι µη µηδενικοί αριθµοί Θετικό ή Αρνητικό Μηδέν Θετικό ή Αρνητικό Άπειρο Αποκανονικοποιηµένοι Αριθµοί NaN (Not a Number)

3 Σηµaτοδοτικά NaN s Σιωπηρά NaN s Αόριστη Μορφή Ακρίβεια ψηφίων στο πρότυπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Αριθµητική αριθµών κινητής υποδιαστολής. Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός και ιαίρεση 3.1 Πρόσθεση αριθµών κινητής υποδιαστολής Ευθυγράµµιση Εκθετών Υπερχείλιση σηµαντικού µέρους Υπερχείλιση Εκθέτη Υποχείλιση εκθέτη Συµπλήρωµα ως προς Μερικά παραδείγµατα πρόσθεσης Αφαίρεση αριθµών κινητής υποδιαστολής Μερικά παραδείγµατα αφαίρεσης Πολλαπλασιασµός αριθµών κινητής υποδιαστολής Μερικά παραδείγµατα πολλαπλασιασµού ιαίρεση αριθµών κινητής υποδιαστολής Μερικά παραδείγµατα διαίρεσης.. 49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Υλοποίηση των πράξεων µε υλικό. 4.1 Υλοποίηση της πρόσθεσης και αφαίρεσης Η υλοποίηση του πολλαπλασιασµού Η υλοποίηση της διαίρεσης Αναπαράσταση των αριθµών σε 32 και 64 bit Μονάδες εκτέλεσης ακεραίων και µονάδα κινητής υποδιαστολής (FPU) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο Περιγραφή του γραφικού περιβάλλοντος του συστήµατος FPView. 5.1 Σκοπός του συστήµατος Η φιλοσοφία του συστήµατος Περιγραφή των επιλογών Φόρµα µετατροπής Πως κάνουµε µετατροπές Η φόρµα ανάλυσης Η Φόρµα Πρόσθεσης Το panel εκτέλεσης βήµα-βήµα Ο δείκτης πράξης Η φόρµα αφαίρεσης Φόρµα πολλαπλασιασµού Η φόρµα διαίρεσης Εισαγωγή Ειδικών Τιµών

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο Περιγραφή εσωτερικών λειτουργιών του συστήµατος FPView. 6.1 Οι κλάσης του συστήµατος Περιγραφή των κλάσεων Η κλάση Dekadikos Η σχέση µεταξύ των κλάσεων Dekadikos και Diadikos Η κλάση Diadikos Η κλάση Arithmitiko_Alfarithmitiko Η κλάση ElegktisDekadikou Η κλάση ElegktisDiadikou Η κλάση Analisi Η κλάση Prosthetis Η κλάση Pollaplasiastis Η κλάση Diaireths Συσχέτιση των κλάσεων µε της φόρµες Η φόρµα µετατροπής Η διαδικασία της µετατροπής από δεκαδικό σε δυαδικό στην φόρµα µετατροπής Η διαδικασία της µετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό στην φόρµα µετατροπής Η φόρµα Ανάλυσης Η φόρµες Πρόσθεσης και Αφαίρεσης Πως γίνεται η πρόσθεση/αφαίρεση βήµα-βήµα Η φόρµα πολλαπλασιασµού Η φόρµα διαίρεσης ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΩ ΙΚΑ analisi.h analisi.cpp arithmitiko_alfarithmitiko.h arithmitiko_alfarithmitiko.cpp dekadikos.h dekadikos.cpp diadikos.h diadikos.cpp diaireths.h diaireths.cpp elegktisdekadikou.h elegktisdekadikou.cpp elegktisdiadikou.h elegktisdiadikou.cpp pollaplasiastis.h pollaplasiastis.cpp prosthetis.h prosthetis.cpp FormAferesi.h FormAferesi.cpp FormAnalisi.h FormAnalisi.cpp FormArxiki.h FormArxiki.cpp FormDiairesh.h FormDiairesh.cpp FormMetatropi.h FormMetatropi.cpp FormPollaplasiasmos.h FormPollaplasiasmos.cpp FormSxetika.h FormSxetika.cpp

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε αυτή την πτυχιακή εργασία θα παρουσιαστούν οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής, η µορφή των αριθµών, το πρότυπο ΙΕΕΕ754, η αριθµητική κινητής υποδιαστολής. Η αναπαράσταση της κινητής υποδιαστολής είναι θέµα που απασχολεί ακόµη και σήµερα τους σχεδιαστές επεξεργαστών. Υπάρχουν διάφορα προβλήµατα που πρέπει να αντιµετωπίσουν όπως θα δούµε πιο κάτω. Υπήρξαν στην ιστορία στιγµές που έχασαν ακόµη και άτοµα την ζωή τους από υπολογισµούς που έφταιγαν η πράξεις µεταξύ αριθµών κινητής υποδιαστολής. Η ακρίβεια είναι το πιο σηµαντικό πρόβληµα στην ουσία. Αλλά δεν υπάρχει κανένα σύστηµα που να µπορεί να αναπαριστάνει όλους τους πραγµατικούς αριθµούς, διότι έχουµε περιορισµένο εύρος ακρίβειας. Μάλιστα µε σφάλµατα ακρίβειας υπήρξαν εταιρίες που έχασαν αρκετά χρήµατα και στο παρελθόν είχαµε αρκετά τέτοια περιστατικά. Στις 30 Οκτωβρίου του 1994 ένας καθηγητής Μαθηµατικών ενός µικρού Κολεγίου των Η.Π.Α. ανακοινώνει ότι υπάρχει κάποιο λάθος στον υπολογισµό της διαίρεσης αριθµών κινητής υποδιαστολής στον πρόσφατα κατασκευασθέντα επεξεργαστή Pentium. Η αρχική αντίδραση της κατασκευάστριας εταιρίας ήταν ότι ο καθηγητής µάλλον είναι λεπτολόγος αν όχι γραφικός. Στις 20 εκέµβρη όµως αναγκάστηκε να ανακοινώσει ότι αντικαθιστά όλους του επεξεργαστές Pentium που είχε διαθέσει στην αγορά τους τελευταίους 6 µήνες. Το συνολικό κόστος της εταιρίας υπολογίζεται σε πολύ πάνω από τα $10,000,000. Μάλιστα εκτός από λεφτά έχουν πεθάνει και άτοµα στο παρελθόν. Στις 25 Φλεβάρη του 1991, κατά την διάρκεια του πολέµου του Κόλπου ένας πύραυλος Patriot αποτυγχάνει στην αναχαίτιση ενός Ιρακινού πυραύλου Scud ο οποίος τελικά σκοτώνει 28 στρατιώτες των Η.Π.Α. και τραυµατίζει άλλους 100. Αργότερα ανακαλύφθηκε ότι λάθη στρογγυλοποίησης ήταν η αιτία αποτυχίας του Patriot. Οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής όπως διαπίστωσα στα πλαίσια της εργασίας είναι ένα θέµα που ίσως εάν θέλουµε να αναλύσουµε όλα τα σχετικά θέµατα µε αυτούς τους αριθµούς θα µας χρειαστεί ένα ολόκληρο εξάµηνο η ίσως 2-3 εξάµηνα. Ευχαριστώ θερµά την σύζυγο µου που µε υποστήριξε στα πλαίσια της πτυχιακής εργασίας. Επίσης ευχαριστώ πάρα - πάρα πολύ τον επιβλέποντα καθηγητή µου τον κύριο Χουβαρδά για της πολύτιµες συµβουλές που µε έδωσε, και για τον πολύτιµο χρόνο του που διέθεσε για να µε καθοδηγήσει στην ετοιµασία της εργασίας. Ευχαριστώ θερµά όλους τους καθηγητές µου που µε δώσανε της γνώσεις που έχω αποκτήσει. ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η εργασία θα αποτελείται από 4 κεφάλαια. Το 1 ο κεφάλαιο θα κάνει µια εισαγωγή στους αριθµούς υποδιαστολής. Στο 2 ο κεφάλαιο θα παρουσιαστεί το πρότυπο ΙΕΕΕ και τα επιµέρους θέµατα. Στο 3 ο, θα περιγράψουµε της 4 βασικές πράξεις. Στο 4 ο κεφάλαιο θα δούµε πως 5

6 υλοποιούνται η πράξης στην fpu. Στο 5 ο κεφάλαιο θα περιγράψουµε το γραφικό περιβάλλον του συστήµατος FPView. Στο 6 ο κεφάλαιο θα περιγράψουµε της εσωτερικές λειτουργίες του συστήµατος. θα περιγραφή το σύστηµα το οποίο δηµιουργήθηκε στα πλαίσια της πτυχιακής αυτής. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ο σκοπός της εργασίας είναι η περιγραφή των αριθµών κινητής υποδιαστολής και του προτύπου ΙΕΕΕ 754. Τα προβλήµατα που υπάρχουν. Η περιγραφή υλοποιήσεις των πράξεων στην fpu. Η περιγραφή των 4 βασικών πράξεων µε λεπτοµέρειες, και υλοποίηση ενός λογισµικού που θα κάνει της βασικές πράξεις µε γραφικό τρόπο και µε δυνατότητα µετατροπής από 2δικό σε 10δικό και αντίστροφα. Μία εισαγωγή στο θέµα των αριθµών κινητής υποδιαστολής και τον αλγορίθµων για την εκτέλεση των πράξεων µεταξύ αριθµών κινητής υποδιαστολής. Τρόποι αναπαράστασης των αριθµών σε διάφορους τύπους. Τρόποι στρογγυλοποίησης. Τα προβλήµατα που υπάρχουν στην αναπαράσταση των αριθµών. Υλοποίηση ενός συστήµατος που θα κάνει µετατροπές από 10δικό σε 2δικό και αντίστροφα. Επίσης µε δυνατότητα εκτέλεσης των 4 βασικών πράξεων µε γραφικό τρόπο είτε απευθείας είτε ανάποδα. 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : Εισαγωγή στους αριθµούς κινητής υποδιαστολής 7

8 1.1 Τι είναι οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής ; Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να αναπαρασταθούν οι πραγµατικοί αριθµοί στους υπολογιστές. Ένας τρόπος είναι οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής. Η κινητή υποδιαστολή δεν είναι προκαθορισµένη, αλλά µεταβλητή και αυτόµατα προσαρµόσιµη στις µεταβαλλόµενες απαιτήσεις των υπολογισµών. Σε µια τέτοια περίπτωση, η θέση της δυαδικής υποδιαστολής λέµε ότι µετακινείται (floats) και οι αριθµοί αυτή ονοµάζονται αριθµοί κινητής υποδιαστολής. Αυτό τους ξεχωρίζει από τους αριθµούς σταθερής υποδιαστολής, στους οποίους η υποδιαστολή βρίσκεται πάντα στην ίδια θέση. Για την αναπαράσταση των αριθµών κινητής υποδιαστολής χρησιµοποιείται η επιστηµονική σηµειογραφία. Στην οποία οι αριθµοί γράφονται στη µορφή d.dddd x 10 exp όπου d είναι τα δεκαδικά ψηφία η βάση 10 και exp ο εκθέτης. Μετατοπίζουµε στην ουσία την υποδιαστολή σε µια θέση βολική και χρησιµοποιούµε δυνάµεις του 10 για να ξέρουµε τη θέση αυτής της δεκαδικής υποδιαστολής. Για παράδειγµα : Ο αριθµός θα µπορούσε να αναπαρασταθεί ως : x Στον δεκαεξαδικό, το νούµερο 123.abc επίσης θα µπορούσε να αναπαρασταθεί ως : 1.23abc x Γιατί χρησιµοποιούµε αριθµούς κινητής υποδιαστολής; Θεωρήστε το εύρος των τιµών ο οποίες είναι αναπαραστάσιµες σε µια προσηµασµένη µορφή σταθερής υποδιαστολής των 32 bit. Εάν ερµηνευτούν αυτές οι τιµές ως ακέραιοι αριθµοί, το εύρος των τιµών αυτού του διαστήµατος είναι από 0 έως περίπου ±2.15 x Εάν τους θεωρήσουµε ως κλάσµατα, το εύρος είναι περίπου από ±4.55 x10-10 έως ±1. Κανένα από αυτά τα δύο εύρη δεν είναι ικανοποιητικό για επιστηµονικούς υπολογισµούς, οι οποίοι µπορούν να εµπεριέχουν παραµέτρους όπως ο αριθµός Avogardo ( x mole -1 ), ή η σταθερά του Planck ( x erg s). Εποµένως, χρειαζόµαστε έναν βολικό τρόπο αναπαράστασης αµφότερων των πολύ µεγάλων ακεραίων και των πολύ µικρών κλασµάτων. Κάτι το οποίο πετυχαίνουµε χρησιµοποιώντας αριθµούς κινητής υποδιαστολής. Με τους αριθµούς κινητής υποδιαστολής µπορούµε να αναπαραστήσουµε εύκολα τα νούµερα όπως ή Οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής και η αναπαράσταση χρησιµοποιούνται συνήθως για υπολογισµούς που απαιτούν µεγάλες ακρίβειες. Απαλλάσσουν των προγραµµατιστή από τον πονοκέφαλο της κλίµακας και µπορούν να αποθηκευτούν µεγάλη αριθµοί σε σχετικά λίγα bits. 8

9 Το πλεονέκτηµα είναι ότι µπορεί να χωρέσουν σε σχετικά λίγα bits µεγάλοι αριθµοί αλλά το µειονέκτηµα αυτής της αναπαράστασης είναι ότι δεν µπορούµε να έχουµε ν-1 σηµαντικά bits όπως στο σύστηµα αναπαράστασης των ακεραίων. 1.3 Η µορφή των Αριθµών Κινητής Υποδιαστολής Ξεκινούµε µε γενικές υποθέσεις, όσον αφορά τη µορφή και το µέγεθος των αριθµών κινητής υποδιαστολής στο δεκαδικό σύστηµα και κατόπιν συσχετίζουµε τη µορφή αυτή µε µια αντίστοιχη δυαδική αναπαράσταση. Μια χρήσιµη µορφή είναι η ±Χ 1.Χ 2 Χ 3 Χ 4 Χ 5 Χ 6 Χ 7 x 10 ±Y 1Y 2 (1.1) όπου τα Χ ι και Υ ι είναι δεκαδικά ψηφία. Ο αριθµός των σηµαντικών ψηφίων(7) και το εύρος εκθέτη (±99) ανταποκρίνονται σε µια ευρεία κλίµακα επιστηµονικών υπολογισµών. Η προσέγγιση αυτή της ακρίβειας του δεκαδικού µέρους (mantissa) και του εύρους του παράγοντα κλίµακας, είναι δυνατή σε µια δυαδική αναπαράσταση, η οποία καταλαµβάνει 32 bits, κάτι το οποίο είναι ένα τυποποιηµένο µέγεθος λέξης ενός υπολογιστή. 1.4 Πως αποθηκεύονται οι Αριθµοί Κινητής Υποδιαστολής ; Οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής αποθηκεύονται σε 3 πεδία : Το πρόσηµο (Sign), τον εκθέτη (Exponent) και το σηµαντικό µέρος (Mantissa). S Exp Fraction (or Mantissa) Σχήµα 1. Μια τυπική µορφή αριθµού κινητής υποδιαστολής Η υπονοούµενη βάση είναι το 2. Οπότε δεν περιλαµβάνεται στη αναπαράσταση αλλά υπονοείται. Από αυτή την µορφή µπορούµε να υπολογίσουµε την πραγµατική τιµή του αριθµού κινητής υποδιαστολής. Όπως θα δούµε πιο κάτω. Σε αυτή την αναπαράσταση για να βρούµε την δεκαδική του τιµή αρκεί να υπολογίσουµε την σχέση: (-1)S * mantissa x 2 exponent (1.2) Ας δούµε τώρα το κάθε πεδίο ξεχωριστά : 9

10 1.4.1 Πρόσηµο (Sign) Στους αριθµούς κινητής υποδιαστολής το πρώτο bit δηλώνει το πρόσηµου του αριθµού που είναι αποθηκευµένο στα επόµενα bit. Εάν λοιπόν το bit αυτό είναι 1 ο αριθµός είναι αρνητικός αλλιώς εάν είναι 0 τότε ο αριθµός είναι θετικός Εκθέτης (Exponent) Ο εκθέτης αποθηκεύεται µετά το πρόσηµο. Στην αναπαράσταση του εκθέτη χρησιµοποιείται η αναπαράσταση µε πόλωση. Η πόλωση αυτή ισούται µε (2 k-1-1) (1.3) Όπου k είναι ο αριθµός των bit στον δυαδικό εκθέτη. Η πόλωση αυτή προστίθεται στο εκθέτη όταν είναι να αποθηκευτή σε αυτή την µορφή. Στην αντίστροφη µετατροπή αυτή η τιµή αφαιρείται από τον εκθέτη. Και έτσι παίρνουµε την πραγµατική τιµή του εκθέτη. Για παράδειγµα στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι 8 bits η τιµή αυτή ισούται µε ( ) και είναι το 127. Έτσι λοιπόν αν θεωρήσουµε για παράδειγµα ότι έχουµε τον αριθµό Χ µε εκθέτη το -20. Ο αριθµός -20 είναι στον δυαδικό Μετά την πόλωση τους = 107. Τελικά ο εκθέτης θα πάρει την τιµή Στην περίπτωση των 8 bit η τιµή πόλωσης είναι προφανώς το 127, όπου τους δίνει τους αριθµούς από 0 έως 255. Και µε την πόλωση η τιµή του εκθέτη βρίσκεται στο διάστηµα Πριν την πόλωση : Μετά την πόλωση Σχήµα 2. Πολωµένη αναπαράσταση για εκθέτη των 8 bit Με αυτό τον τρόπο έχουµε την δυνατότητα να αναπαριστάνουµε και εκθέτες µε αρνητικό πρόσηµο. Τους ένα από τα πλεονεκτήµατα τους πολωµένης αναπαράστασης είναι ότι οι µη αρνητική αριθµοί κινητής υποδιαστολής µπορούν να θεωρούνται ακέραιοι για σκοπούς σύγκρισης. 10

11 1.4.3 Σηµαντικό Μέρος (MANTISSA) Το πεδίο αµέσως µετά τον εκθέτη ονοµάζεται mantissa ή αλλιώς σηµαντικό µέρος. Στην τυπική µορφή των 32 bit αποτελείται από 23 bit. Στην ουσία όµως περιέχει και ένα κρυφό (hidden) bit που υπονοείται και δεν χρειάζεται να αποθηκευτή κερδίζοντας έτσι από τον χώρο. Κατά την αποθήκευση τους το σηµαντικό µέρος µε µετατοπίσεις και αύξηση του εκθέτη κανονικοποιείται (βλ. ΚΕΦ 1.5). ηλαδή στην ουσία φέρνουµε τον αριθµό στην µορφή: (-1)S x 1.bbbb x 2 exponent (1.4) Όπως παρατηρείτε το πρώτο bit είναι 1 (ένα) και τα υπόλοιπα bit είναι µετά την υποδιαστολή Μας βολεύει όµως για να γλιτώσουµε και από ένα bit επιπλέον και επίσης οι πράξεις µε τους αριθµούς απλοποιούνται µε αυτό τον τρόπο. Οποιοσδήποτε αριθµός κινητής υποδιαστολής µπορεί να εκφραστεί µε πολλούς τρόπους. Για παράδειγµα οι εξής αριθµοί είναι ισοδύναµοι : x x x 2-1 Αυτό επιτυγχάνεται µε την µετατόπιση και αύξηση η µείωση του εκθέτη όπως θα δείτε. 1.5 Κανονικοποίηση Ένας Κανονικοποιηµένος Αριθµός είναι ένας αριθµός στον οποίο το πιο σηµαντικό ψηφίο του σηµαντικού µέρους είναι µη µηδενικό. Για την αναπαράσταση µε βάση το 2, ένας κανονικοποιηµένος αριθµός είναι εκείνος, στον οποίο το πιο σηµαντικό bit του σηµαντικού µέρους είναι 1. Η τυπική σύµβαση είναι ότι υπάρχει ένα bit στα αριστερά του σηµείου της υποδιαστολής. Έτσι ένας κανονικοποιηµένος µη µηδενικός αριθµός είναι εκείνος µε τη µορφή (βλ. 1.4) Όπου b είναι οποιοδήποτε δυαδικό ψηφίο ( 0 ή 1 ). Επειδή το πιο σηµαντικό bit είναι πάντοτε 1, δεν υπάρχει ανάγκη να το αποθηκεύσουµε, αλλά υπονοείται. Έτσι το πεδίο των 23 bit χρησιµοποιείται για να αποθηκευτεί ένα σηµαντικό µέρος µε 24 bit, µε τιµή στο ηµιανοικτό διάστηµα [1,2). Εάν δοθεί ένας αριθµός που δεν είναι κανονικοποιηµένος µπορεί να κανονικοποιηθεί µετατοπίζοντας την υποδιαστολή στα δεξιά του πιο αριστερού bit µε τιµή 1 και ρυθµίζοντας αντίστοιχα τον εκθέτη. 11

12 Για παράδειγµα ας κανονικοποιήσουµε τους παρακάτω 2 αριθµούς: α) x x 2 4 = x 2 3 = x 2 2 = 0.11 x 2 1 = 1.1 x 2 0 β) χ χ 2 0 = χ 2 1 = χ 2 2 = χ 2 3 = χ 2 4 Όπως βλέπετε αυξάνεται ή µειώνεται ο εκθέτης και ταυτόχρονα µετατοπίζεται αντίστοιχα δεξιά και αριστερά ό εκθέτης. Στην ουσία ο εκθέτης δηλώνει σε πιο σηµείο βρίσκεται η κινητή υποδιαστολή. 1.6 Συµβιβασµός µεταξύ περιοχής τιµών και ακρίβειας Είναι σηµαντικό να παρατηρήσουµε, ότι δεν αναπαριστούµε περισσότερες µεµονωµένες τιµές µε την σηµειογραφία κινητής υποδιαστολής. Ο µέγιστος αριθµός διαφορετικών τιµών που µπορεί να αναπαρασταθεί µε 32 bit είναι πάντοτε Εκείνο που πετύχαµε είναι να απλώσουµε τους αριθµούς αυτούς σε δυο διαστήµατα ένα θετικό και ένα αρνητικό. Υπάρχει ένας συµβιβασµός µεταξύ περιοχής τιµών και ακρίβειας. Υπάρχουν 8 bit αφιερωµένα στην αναπαράσταση του εκθέτη και 23 bit για την αναπαράσταση του σηµαντικού µέρους. Αν αυξήσουµε τον αριθµό των bit στον εκθέτη, επεκτείνουµε την περιοχή τιµών των αριθµών που µπορεί να εκφραστούν. Επειδή όµως µόνο ένας σταθερός αριθµός διαφορετικών τιµών µπορεί να εκφραστεί, έχουµε µειώσει την πυκνότητα εκείνων των αριθµών και κατά συνέπεια την ακρίβεια. Ο µόνος τρόπος για να αυξηθεί τόσο η περιοχή τιµών όσο και η ακρίβεια είναι να χρησιµοποιηθούν περισσότερα bit. Έτσι, οι περισσότεροι υπολογιστές προσφέρουν τουλάχιστον αριθµούς απλής ακρίβειας και αριθµούς διπλής ακρίβειας. Για παράδειγµα µια µορφή απλής ακρίβειας θα µπορούσε να είναι µε 32 bit και η µορφή διπλής ακρίβειας µε 64 bit. 1.7 Συµβιβασµός µεταξύ του αριθµού των bit στον εκθέτη και των bit στο σηµαντικό µέρος Υπάρχει ένας συµβιβασµός µεταξύ του αριθµού των bit στον εκθέτη και των bit στο σηµαντικό µέρος. Τα πράγµατα όµως είναι ακόµη πιο σύνθετα. Η υπονοούµενη βάση του εκθέτη δεν υπάρχει ανάγκη να είναι το 2. Η αρχιτεκτονική IBM S/390, για παράδειγµα, χρησιµοποιεί 12

13 βάση το 16. Η µορφή αυτή αποτελείται από έναν εκθέτη µε 7 bit και σηµαντικό µέρος µε 24 bit. Το πλεονέκτηµα χρήσης ενός µεγαλύτερου εκθέτη είναι ότι µπορεί να επιτευχθεί αναπαράσταση µεγαλύτερης περιοχής τιµών για τον ίδιο αριθµό bit του εκθέτη. Όµως, δεν έχουµε αυξήσει τον αριθµό των διαφορετικών τιµών οι οποίες µπορούν να αναπαρασταθούν. Έτσι, για µια σταθερή µορφή, µια µεγαλύτερη βάση του εκθέτη δίνει µεγαλύτερη περιοχή τιµών, µε αντάλλαγµα την µικρότερη ακρίβεια. 13

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : Το πρότυπο ΙΕΕΕ για την αναπαράσταση των αριθµών κινητής υποδιαστολής 14

15 2.1 Το πρότυπο 754 του ΙΕΕΕ για την αναπαράσταση Η ΙΕΕΕ είναι ένα διεθνές επιστηµονικό ινστιτούτο το οποίο πέραν των άλλων έχει σαν στόχο την κατασκευή διεθνών προτύπων. Το συγκεκριµένο πρότυπο 754 αναπτύχθηκε για να διευκολυνθεί η φορητότητα των προγραµµάτων από τον έναν επεξεργαστεί στον άλλον, και για να προωθηθεί η ανάπτυξη σύνθετων προγραµµάτων µε προσανατολισµό τους υπολογισµούς. Το πρότυπο έχει γίνει ευρέως αποδεκτό και χρησιµοποιείται ουσιαστικά σε όλους τους σύγχρονους επεξεργαστές και τους αριθµητικούς συνεπεξεργαστές. 2.2 Μορφές Αριθµών Κινητής Υποδιαστολής Το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 ορίζει 2 βασικές µορφές και 2 εκτεταµένες µορφές. Σύµφωνα µε το πρότυπο οι 2 βασικές µορφές είναι η απλής ακρίβειας (single precision) και διπλής ακρίβειας (double precision). Ενώ η εκτεταµένες µορφές είναι οι απλή-εκτεταµένη (single-extended precison) και διπλή-εκτεταµένη (double-extended precision). Bit προσήµου Πολωµένος Εκθέτης Κλάσµα 8 bits 23 bits Σχήµα 3. SINGLE PRECISION Μορφή απλής ακρίβειας Bit προσήµου Πολωµένος Εκθέτης Κλάσµα 11 bits 52 bits Σχήµα 4. DOUBLE PRECISION Μορφή διπλής ακρίβειας Η απλή ακρίβεια αποτελείται από 1 bit πρόσηµο, 8 bit εκθέτη και 23 bit σηµαντικό µέρος. Η διπλή ακρίβεια έχει 11 bit στον εκθέτη, και 52 bit στο σηµαντικό µέρος. Η µορφή των εκτεταµένων µορφών εξαρτάται από την συγκεκριµένη υλοποίηση. Οι εκτεταµένες µορφές περιλαµβάνουν επιπρόσθετα bit στον εκθέτη (εκτεταµένη περιοχή τιµών) και στο σηµαντικό µέρος (εκτεταµένη ακρίβεια). Οι εκτεταµένες µορφές προορίζονται για χρήση σε ενδιάµεσους υπολογισµούς. Με τη µεγαλύτερη ακρίβεια τους, οι εκτεταµένες µορφές µειώνουν την πιθανότητα εµφάνισης ενός τελικού αποτελέσµατος το οποίο έχει υποβαθµιστεί από υπερβολικό σφάλµα στρογγυλοποίησης. 15

16 Με τη µεγαλύτερη περιοχή τιµών τους, µειώνουν επίσης την πιθανότητα να ακυρωθεί ένας ενδιάµεσος υπολογισµός λόγω υπερχείλισης, ενώ το τελικό αποτέλεσµα θα µπορούσε να αναπαρασταθεί µε µια βασική µορφή. Ένα ακόµη κίνητρο για την χρήση αυτής της µορφής απλής επέκτασης είναι ότι έχει κάποια από τα πλεονεκτήµατα µιας µορφής διπλής ακρίβειας, χωρίς όµως το κόστος σε χρόνο που συνήθως απαιτεί η υψηλότερη ακρίβεια. Ο παρακάτω πίνακας δίνει περιληπτικά τα χαρακτηριστικά των τεσσάρων µορφών : ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΛΗ ΕΚΤΕΤΑΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΙΠΛΗ ΜΟΡΦΗ ΙΠΛΗ ΕΚΤΕΤΑΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Εύρος λέξης (bit) Εύρος εκθέτη (bit) Πόλωση εκθέτη 127 ακαθόριστη 1023 ακαθόριστη Μέγιστος εκθέτης Ελάχιστος εκθέτης Περιοχή τιµών αριθµών (βάση 10) ακαθόριστη ακαθόριστη Εύρος του σηµαντικού µέρους (bit) Αριθµός 254 ακαθόριστη 2046 ακαθόριστη εκθετών Αριθµός 2 23 ακαθόριστη 2 52 ακαθόριστη κλασµάτων Αριθµός τιµών 1.98 x 2 31 ακαθόριστη 1.99 x 2 63 ακαθόριστη 2.3 Μετατροπή αριθµών κινητής υποδιαστολής Η µετατροπή των αριθµών κινητής υποδιαστολής από δεκαδικό σε δυαδικό και αντίστροφα είναι ένα αρκετά σηµαντικό θέµα. Θα µελετήσουµε την µετατροπής από δεκαδικό σε δυαδικό και από δυαδικό σε δεκαδικό των αριθµών κινητής υποδιαστολής Μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό Η µετατροπή από 10δικό σε 2δικό σύστηµα γίνεται µε τον εξής τρόπο : 16

17 1) Γράφουµε το νούµερο στην µορφή: όπου η mantissa είναι στο δεκαδικό σύστηµα. mantissa (10) x 2 0 (2.1) 2) Μετατρέπουµε την mantissa από δεκαδικό στον δυαδικό µε τον κλασικό τρόπο µετατροπής που ξέρουµε δηλαδή µε διαδοχικές διαίρεσης το ακέραιο µέρος και µε διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς το δεκαδικό µέρος και µας προκύπτει ένα νούµερο της µορφής: bbbbb.bbbbb x 2 0 (2.2) 3) Στη συνέχεια κανονικοποιούµε το νούµερο όπως είχαµε αναφέρει πριν (βλ. ΚΕΦ. 1.5) και το φέρνουµε στην µορφή (1.4). 4) Προσθέτουµε την τιµή πόλωσης στον εκθέτη. 5) Μετατρέπουµε τον εκθέτη από δεκαδικό σε δυαδικό µε τον κλασικό τρόπο διαδοχικών διαιρέσεων. 6) Καθορίζουµε το πρόσηµο του αριθµού και εάν το νούµερο είναι θετικό το bit παίρνει τιµή 0 εάν αρνητικό 1 (βλ. ΚΕΦ 1.4.1). 7) Στο τέλος έχουµε της τιµές : S πρόσηµο E εκθέτης M σηµαντικό µέρος Της οποίες γράφουµε µε την µορφή ΙΕΕΕ.(βλ. Σχήµατα 3 και 4) Μερικά παραδείγµατα µετατροπής από δεκαδικό σε δυαδικό Ας δούµε µερικά παραδείγµατα µετατροπής από δεκαδικό σε single µορφή για να γίνει πιο κατανοητό ο τρόπος µετατροπής. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Έστω ότι έχουµε τον αριθµό 30. 1) Γράφουµε ως εξής το νούµερο : 30 x 2 0 2) Μετατρέπουµε την mantissa και έχουµε : x

18 (παρατηρήστε ότι δεν έχουµε δεκαδικό µέρος οπότε αρχικά έχουµε µηδέν). 3) Κανονικοποιούµε το νούµερο (βλ ΚΕΦ 1.5) και έχουµε: x 2 4 4) Ο εκθέτης µας είναι 4. προσθέτουµε την τιµή πόλωσης που είναι το 127 και έχουµε ) Μετατρέπουµε τον δεκαδικό 131 σε δυαδικό και έχουµε : x ) Καθορίζουµε το πρόσηµο του αριθµού. Εφόσον είναι το νούµερο µας θετικό άρα το πρόσηµο θα είναι 0. 7) Στο τέλος γράφουµε το νούµερο µας στην µορφή ΙΕΕΕ ως εξής : ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Έστω ότι έχουµε τον αριθµό 1.25 x 10 4 Εδώ το πρόβληµα µας είναι ότι το νούµερο µας έχει δεκαδικό εκθέτη. Πρέπει πρώτα να φέρουµε το νούµερο σε µια µορφή ώστε ο εκθέτης να γίνει 0. Άρα έχουµε Χρησιµοποιώντας λοιπόν τον παραπάνω τρόπο µετατρέπουµε το νούµερο και έχουµε : ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Έστω ότι έχουµε τον αριθµό 1,25 x Εδώ λοιπόν το πρόβληµα µας είναι ότι πάλι έχουµε έναν δεκαδικό εκθέτη αλλά αυτή την φορά ο εκθέτης είναι αρκετά µεγάλος. Θα µπορούσαµε να έχουµε έναν εκθέτη Αλλά για λόγους απλότητας επιλέξαµε αυτόν τον εκθέτη. Εδώ λοιπόν µια δυνατή τεχνική που µπορείτε να χρησιµοποιείται είναι να υπολογίζεται ξεχωριστά την βάση και χωριστά τον δεκαδικό εκθέτη και δυαδικό εκθέτη. Η διαδικασία του υπολογισµού είναι : ΟΣΟ (δεκαδικός εκθέτης >0) ΕΑΝ δεκαδικός εκθέτης ΘΕΤΙΚΟΣ ΒΑΣΗ=ΒΑΣΗ/2 δυαδικός εκθέτης + 1 ΑΛΛΙΩΣ ΒΑΣΗ=ΒΑΣΗ*2 18

19 δυαδικός εκθέτης - 1 ΕΑΝ δεκαδικός εκθέτης ΘΕΤΙΚΟΣ και ΒΑΣΗ < 1 δεκαδικός εκθέτης-1 ΕΑΝ δεκαδικός εκθέτης ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ και ΒΑΣΗ >10 δεκαδικός εκθέτης+1 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Στο τέλος παίρνουµε το νούµερο : 5, * Παρατηρήστε ότι 5, * µας κάνει 1,25 x ηλαδή στο τέλος όλης της διαδικασία παίρνουµε ένα νούµερο µε βάση το 2. Έχουµε δηλαδή έτοιµο τον εκθέτη. Αρκεί να κάνουµε της κλασικές διαδικασίες για να βρούµε το νούµερο. Για να γίνει όµως πιο κατανοητή όλη η διαδικασία ας το κάνουµε βήµα βήµα : Πρώτα κάνουµε της πράξεις για να βρούµε το τελικό νούµερο 5, * Έχουµε λοιπόν των παρακάτω πίνακα µε τα βήµατα εκτέλεσης της διαδικασίας : BHMA Βάση εκαδικός εκθέτης υαδικός Εκθέτης 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Όπως βλέπετε στο τέλος παίρνουµε δεκαδικό εκθέτη 0, δυαδικό εκθέτη 330 και βάση 5, Στην ουσία σε κάθε βήµα διαιρούµε η πολλαπλασιάζουµε την βάση, εάν δηλαδή ο εκθέτης είναι αρνητικός πολλαπλασιάζουµε την βάση µε 2 εάν είναι θετικός την διαιρούµε. Σε κάθε βήµα αυξάνουµε η µειώνουµε αντίστοιχα των δυαδικό εκθέτη 19

20 πάντοτε. Για τον δεκαδικό εκθέτη εάν είναι θετικός και η βάση γίνει µικρότερο του 1 τότε ο δεκαδικός εκθέτης µειώνεται και η βάση πολλαπλασιάζετε µε το 10. Εάν ο δεκαδικός εκθέτης είναι αρνητικός και η βάση είναι µεγαλύτερο του 10 τότε ο δεκαδικός εκθέτης µειώνεται και η βάση διαιρείτε µε 2. Με τον τρόπο αυτό όταν γράφουµε κώδικα αυτό που πρέπει να προσέξουµε είναι ότι αντί να κάνουµε διαίρεση µε 2 της βάσης πρέπει να προτιµήσουµε να κάνουµε πολλαπλασιασµό µε το 0.5, διότι η διαίρεση διαρκεί περισσότερο κατά την εκτέλεσή του. Κερδίζεται δηλαδή από τον χρόνο εκτέλεσης. Έχουµε λοιπόν στο τέλος όλης αυτής της διαδικασίας την βάση 5, και τον εκθέτη 330. Μετατρέπουµε την βάση στο δεκαδικό ξεχωριστά τον ακέραιο µέρος και ξεχωριστά το δεκαδικό µέρος και έχουµε : 5 (10) = 101 0, (10) = Έχουµε τελικά µε δυαδικό εκθέτη 330. Τον κανονικοποιούµε και έχουµε : και εκθέτη 332. Το δυαδικό νούµερο αυτό ισούται µε 1, περίπου. Αναρωτιέστε γιατί περίπου ; Αυτό είναι ένα πρόβληµα ακρίβειας και µερικά νούµερα µετά την µετατροπή χρειάζονται κάποια στρογγυλοποίηση που θα δούµε πιο κάτω. Τελικά λοιπόν : Προσοχή όµως διότι το νούµερο είναι σε διπλή ακρίβεια και όχι σε απλή. Οπότε έχει διαφορετική πόλωση και όπως βλέπετε περισσότερα bits για αποθήκευση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Ας δούµε και ένα νούµερο µε αρνητικό εκθέτη και αρνητικό πρόσηµο. Το νούµερο : -1,25 x 10-5 Πρώτα αντιστρέφουµε το πρόσηµου του αριθµού. Με την παραπάνω διαδικασία έχουµε τα παρακάτω νούµερα : BHMA Βάση εκαδικός εκθέτης υαδικός Εκθέτης 0 1, , ,

21 8 3, , , , , , , , , , Έχουµε τα νούµερα 1,6384 και δυαδικό εκθέτη -17. Με την µετατροπή των νούµερων αυτών έχουµε : 1,6384 (10) = Ο εκθέτης µετά την πόλωση =110 ο οποίος στο δυαδικό µας κάνει Άρα τελικά έχουµε : Μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό Η διαδικασία της µετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό είναι κάπως πιο απλή. Η διαδικασία λοιπόν είναι ως εξής : 1. Μετατρέπουµε το σηµαντικό µέρος στο δεκαδικό 2. Μετατρέπουµε τον εκθέτη στο δεκαδικό 3. Αφαιρούµε την τιµή πόλωσης από τον εκθέτη. 4. Υπολογίζουµε το νούµερο που είναι στην µορφή (1.2) Μερικά παραδείγµατα µετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Έστω ότι έχουµε το νούµερο που βλέπετε παρακάτω και είναι στην µορφή single ) Πρώτα υπολογίζουµε το σηµαντικό µέρος που είναι : (2) = 1, ) Υπολογίζουµε τον εκθέτη που είναι : 137 3) Αφαιρούµε την τιµή πόλωσης από τον εκθέτη =10. 21

22 4) Έχουµε το νούµερο 1, x Υπολογίζοντας λοιπόν παίρνουµε το δεκαδικό : 1,25 x 10 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Έστω ότι έχουµε το νούµερο : ) Έχουµε σηµαντικό µέρος = 1, ( ) 2) Ο εκθέτης µας είναι 161 3) Αφαιρούµε την πόλωση και έχουµε : = 34 4) Άρα 1, x 2 34 = 1, x Όπως έχετε παρατηρήσει το νούµερο που µας βγήκε έχει ένα σφάλµα. Το σφάλµα αυτό µας βγαίνει επειδή κόψαµε τα περιττά bit του αριθµού και δεν κάναµε στρογγυλοποίηση. 2.4 Bit Συµπλήρωσης (Guard Bits) Πριν από κάθε πράξη κινητής υποδιαστολής τα σηµαντικά µέρη συνήθως στης πράξεις αποθηκεύονται σε καταχωρητές µεγαλύτερου µήκους. Αυτά τα επιπλέον bit ονοµάζονται guard bits. Το µήκος του καταχωρητή είναι πάντοτε µεγαλύτερο από το µήκος του σηµαντικού µέρους συν το επιπλέον κρυφό bit. Ο λόγος για την συµπλήρωση του σηµαντικού µέρους είναι ότι όταν κάνουµε µετατοπίσεις δεξιά και αριστερά του σηµαντικού µέρους για να µην χαθούν κάποια bit. Ειδικά όταν έχουµε ακραίες τιµές µπορεί να χαθούν κάποια bit και να έχουµε αποτέλεσµα 0. Για παράδειγµα όταν έχουµε έναν αριθµό µε µόνο το τελευταίο bit του να είναι 1 τότε στην µετατόπιση του στα αριστερά έστω και µια φορά αυτό το bit θα χαθεί και θα έχουµε mantissa ίσο µε µηδέν. Πράγµα το οποίο δεν είναι σωστό. Επίσης για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι έχουµε στην single µορφή τα δυο παρακάτω νούµερα και θέλουµε να κάνουµε αφαίρεση χωρίς bit συµπλήρωσης: - Α= x 2 1 B= x x x

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Αναπαράσταση εδοµένων ιδάσκων: Αναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unipi.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Aναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 1 εδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch t / / h 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση στο επίπεδο του

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Πράξεις με δυαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Bits & Bytes Bit: η μικρότερη μονάδα πληροφορίας μία από δύο πιθανές καταστάσεις (ναι / όχι, αληθές / ψευδές, n / ff) κωδικοποίηση σε 0 ή 1 δυαδικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέρος Β (Οργάνωση Υπολογιστών)

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέρος Β (Οργάνωση Υπολογιστών) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέρος Β (Οργάνωση Υπολογιστών)

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 9ο Aντώνης Σπυρόπουλος Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ.

ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ. VLSI REAL ARITHMETIC Floating- Point Numbers ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ. ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΙΑΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΧΑΣΑΝΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα 1η Θεµατική Θ ή Ενότητα Ε ό : υαδικά δ ά Συστήµατα Σ ή Μονάδα Ελέγχου Ψηφιακοί Υπολογιστές Αριθµητική Μονάδα Κρυφή Μνήµη Μονάδα Μνήµης ιαχείριση Μονάδων Ι/Ο ίσκοι Οθόνες ικτυακές Μονάδες Πληκτρολόγιο,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ ΕΣ 8 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Οι Συνέπειας του Πεπερασµένου Βιβλιογραφία Ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits Δρ. Γκόγκος Χρήστος Κατηγορίες πράξεων με bits Πράξεις με δυαδικά ψηφία Αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιεχόμενα 1 Δυαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση Δεδομένων ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση δεδομένων Κατάλληλη συμβολική αναπαράσταση δεδομένων, για απλοποίηση βασικών πράξεων, όπως πρόσθεση Πόσο εύκολο είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Θεωρητική εισαγωγή

4.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΥΑ ΙΚΟΣ ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ Σκοπός: Να µελετηθούν αριθµητικά κυκλώµατα δυαδικής πρόσθεσης και αφαίρεσης. Να σχεδιαστούν τα κυκλώµατα από τους πίνακες αληθείας

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 3: Δυαδικά Συστήματα Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης ΤΛ2002 Ψηφιακά Κυκλώματα Ι Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες Λευτέρης Καπετανάκης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Άνοιξη 2011 ΤΛ-2002: L1 Slide 1 Ψηφιακά Συστήματα ΤΛ-2002:

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Ασκήσεων ΣΕΙΡΑ 1 η. Πρόσημο και μέγεθος

Λύσεις Ασκήσεων ΣΕΙΡΑ 1 η. Πρόσημο και μέγεθος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΞΑΜΗΝΟ: 1 ο /2015-16 ΤΜΗΜΑ: ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Καθηγητής: Θ. Τσιλιγκιρίδης Άσκηση 1η Περιεχόμενα μνήμης Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Περιεχόμενα Μαθήματος Συστήματα αρίθμησης Πύλες Διάγραμμα ροής-ψευδοκώδικας Python Συστήματα Αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το περίφημο «θεσιακό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική «Λογικές» πράξεις, μάσκες Πώς βρίσκουμε το υπόλοιπο μιας διαίρεσης με το 4; διαίρεση με 4 = δεξιά ολίσθηση 2 bits Το υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (4 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ) ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ Εισαγωγή στην Πληροφορική 1 Περιεχόµενα - Κωδικοποιήσεις - Αριθµητικά Συστήµατα 2 Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Είπαµε ότι είναι, µία Ηλεκτρονική Μηχανή, που δουλεύει κάτω από τον έλεγχο εντολών αποθηκευµένων

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (2/2) 1.1 Τα bits και ο τρόπος που αποθηκεύονται 1.2 Κύρια µνήµη 1.3 Αποθηκευτικά µέσα 1.4 Αναπαράσταση πληροφοριών ως σχηµάτων bits

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη πολύπλοκων υπολογιστικών συστηµάτων, έκανε επιτακτική την ανάγκη οργάνωσης αριθµητικών µεθόδων, για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων επιστηµονικών εφαρµογών.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική. Α σ κ ή σ ε ι ς σ τ η ν ι α χ ε ί ρ ι σ η Μ ν ή µ η ς. Αντώνης Σταµατάκης

Εισαγωγή στην Πληροφορική. Α σ κ ή σ ε ι ς σ τ η ν ι α χ ε ί ρ ι σ η Μ ν ή µ η ς. Αντώνης Σταµατάκης Εισαγωγή στην Πληροφορική Α σ κ ή σ ε ι ς σ τ η ν ι α χ ε ί ρ ι σ η Μ ν ή µ η ς Αντώνης Σταµατάκης Μονάδες µέτρησης µνήµης Η βασική µονάδα µέτρησης της µνήµης στα υπολογιστικά συστήµατα είναι το µπάιτ

Διαβάστε περισσότερα

IEEE Standard 754 [IEEE 85]

IEEE Standard 754 [IEEE 85] IEEE Standard 754 [IEEE 85] ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Αρχές Με ένα σύστημα αριθμών κινητής υποδιαστολής είναι δυνατό να παραστήσουμε ένα διάστημα θετικών και αρνητικών ακεραίων με κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός 4. Πρόσθεση στο πρότυπο ΙΕΕΕ Πολλαπλασιασμός στο πρότυπο ΙΕΕΕ

3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός 4. Πρόσθεση στο πρότυπο ΙΕΕΕ Πολλαπλασιασμός στο πρότυπο ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΙΠΕ Ο ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ - ΙΙ Γ. Τσιατούχας 3 ο Κεφάλαιο 1. Γενική δομή CPU ιάρθρωση 2. Αριθμητική και λογική μονάδα 3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Οργάνωση Δεδομένων (1/2) Bits: Η μικρότερη αριθμητική μονάδα ενός υπολογιστικού συστήματος, η οποία δείχνει δύο καταστάσεις, 0 ή 1 (αληθές η ψευδές). Nibbles: Μονάδα 4 bit που παριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 2

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 2 Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 2 Κεφάλαιο 2 Παράσταση και Επεξεργασία Πληροφοριών Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να εξηγήσει πώς παριστάνονται οι πληροφορίες από

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 Τμήμα θεωρίας: Α.Μ. 8, 9 Κάθε Πέμπτη, 11πμ-2μμ, ΑΜΦ23. Διδάσκων: Ντίνος Φερεντίνος Γραφείο 118 email: kpf3@cornell.edu Μάθημα: Θεωρία + προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Στέλιος Τιμοθέου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Συστήματα αρίθμησης Δυαδικό αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Αρχιτεκτονική-Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Πηγές σφαλμάτων ανακριβής θεωρία ανακριβείς μετρήσεις παραμέτρων μεταβλητότητα παραμέτρων ανακριβής μέθοδος υπολογισμού (σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ, 5 ο εξάµηνο

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ, 5 ο εξάµηνο ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ, 5 ο εξάµηνο ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2006 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ )

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ ) Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ. 25 48) Τι είναι αλγόριθμος; Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αλγόριθμος είναι μία πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Αριθμητική για υπολογιστές

Κεφάλαιο 3. Αριθμητική για υπολογιστές Κεφάλαιο 3 Αριθμητική για υπολογιστές Αριθμητική για υπολογιστές Λειτουργίες (πράξεις) σε ακεραίους Πρόσθεση και αφαίρεση Πολλαπλασιασμός και διαίρεση Χειρισμός της υπερχείλισης Πραγματικοί αριθμοί κινητής

Διαβάστε περισσότερα