ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΓΙΑ ΑΥΤΟΝΟΜΗ ΜΑΘΗΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΓΙΑ ΑΥΤΟΝΟΜΗ ΜΑΘΗΣΗ"

Transcript

1 ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΟΥΣΟΥΛΜΑΝΟΠΑΙΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΓΙΑ ΑΥΤΟΝΟΜΗ ΜΑΘΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΠΟ ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥ SMILE MATHEMATICS, 1997 ΕΛΛΑΔΑ : Ξ ΚΟΙΝΟΤΙΚΌrwAnwΠΉΡΙΞΗΙ Ανάπτυξη παντού Ανάπτυί)ηγαάλ>υς. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΟΝ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΕΔΕΚ ΕΥΡΟΠΑΪΚΗ ΕΝϋΣΗ Γ'ΓΧΡΗΜΔΤΟΛϋΤΗΣΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ ΤΑΜΕΙΟ Η ΠΑΙΔΕΙΑ ΣΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ Επιχειρησιακό πρόγραμμα Εκπαίδευσης και Αρχικής Επαγγελματικής Κατάρτισης ΑΘΗΝΑ 2007

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΓΙΑ ΑΥΤΟΝΟΜΗ ΜΑΘΗΣΗ Απαντήσεις στις Δραστηριότητες Προσαρμογή από το Εκπαιδευτικό Υλικό SMILE Mathematics, 1997

3

4 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΡΗΣΚΕΥΜΑΤΟΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΕΔΕΚ _ Ρ ΕΛΛΑΔΑ> Η ΠΑΙΔΕΙΑ ΣΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ ^ Kwjroiwmomfflw ΕΥΡΟΠΑΐΚΗΕΗΟΣΗ Β 9 Η Επιχειρησιακό πρόγραμμα ΓΥ^7 ο ΣΥΓΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Β Β 9 Εκπαίδευσης και Αρχικής Ανάπτυξη παιπου. /Ηαπτυξημααλους. ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΤΑΜΕΙΟ H O f l Επαγγελματικής Κατάρτισης ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΟΥΣΟΥΛΜΑΝΟΠΑΙΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΓΙΑ ΑΥΤΟΝΟΜΗ ΜΑΘΗΣΗ Απαντήσεις στις Δραστηριότητες Προσαρμογή από το Εκπαιδευτικό Υλικό SMILE Mathematics, 1997 Αθήνα, 2007

5 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΟΥΣΟΥΛΜΑΝΟΠΑΙΔΩΝ ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ ΜΕΤΡΟ 1.1 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΦΟΡΕΑΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ: ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ/ΕΛΚΕ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΕΡΓΟΥ: ΑΝΝΑ ΦΡΑΓΚΟΥΔΑΚΗ - ΘΑΛΕΙΑ ΔΡΑΓΩΝΑ Η ΠΡΑΞΗ ΣΥΓΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ ΤΑΜΕΙΟ) ΚΑΙ ΕΘΝΙΚΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ ΚΑΤΑ 80% ΚΑΙ 20% ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ, ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΟ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΓΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΓΙΑ ΑΥΤΟΝΟΜΗ ΜΑΘΗΣΗ Απαντήσεις στις Δραστηριότητες Προσαρμογή από το Εκπαιδευτικό Υλικό SMILE Mathematics, 1997 Επιστημονική Επιμέλεια ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΣΑΚΟΝΙΔΗΣ Μετάφραση - Προσαρμογή ΑΝΝΑ ΚΛΩΘΟΥ Ηλεκτρονική Επεξεργασία ΑΧΜΕΤ ΝΙΖΑΜ Τίτλος πρωτοτύπου: SMILE Mathematics Copyright: SMILE CENTRE, 1997 Copyright για την ελληνική γλώσσα: ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΟΥΣΟΥΛΜΑΝΟΠΑΙΔΩΝ Παραγωγή: ON DEMAND Α.Ε.

6 2150 Ο παράδεισος της πίτσα 1. Οι απαντήσεις σου θα εξαρτηθούν από το πόσο μεγάλη όρεξη έχεις. 2. Ο πίνακας των αποτελεσμάτων δημιουργήθηκε με βάση τον τύπο υπολογισμού του εμβαδού του κύκλου. Εμβαδόν του κύκλου = πτ 2 Διάμετρος Ακτίνα Εμβαδόν όπου π = 3, εκ. 8,5 εκ. 227,0095 τ.εκ. 226,980 τ.εκ. 26 εκ. 13 εκ. 530,998 τ.εκ. 530,929 τ.εκ. 30 εκ. 15 εκ. 706,95 τ.εκ. 706,858 τ.εκ. Εμβαδόν με χρήση πλήκτρου π με ακρίβεια 3 δεκαδικών θέσεων 3. Η πίτσα μεσαίου μεγέθους είναι περίπου 2 φορές μεγαλύτερη από την πίτσα μικρού μεγέθους. Η πίτσα μεγάλου μεγέθους είναι περίπου 3 φορές μεγαλύτερη από την πίτσα μικρού μεγέθους. 4. Αν οι υπολογισμοί σου ήταν πολύ διαφορετικοί από τις απαντήσεις που δόθηκαν στην ερώτηση 1, και πιστεύεις ακόμη ότι είναι σωστοί, να τους συζητήσεις με το δάσκαλο σου. 5. Όχι. Πρόσεξε τι συμβαίνει, όταν η διάμετρος της πίτσας μεσαίου μεγέθους διπλασιάζεται. Μεσαία Διάμετρος Ακτίνα Εμβαδόν με π = 3,142 πίτσα 26 εκ. 13 εκ. 530,998 τ.εκ. χ2 χ2 χ4 52 εκ. 26 εκ. 2123,992 τ.εκ. Ο διπλασιασμός της διαμέτρου έκανε το εμβαδόν της πίτσας 4 φορές μεγαλύτερο. 6. Μια πίτσα μικρού μεγέθους αρκεί για 2 άτομα. Μια πίτσα μεγάλου μεγέθους είναι περίπου 3 φορές μεγαλύτερη, επομένως μια μεγάλη πίτσα είναι αρκετή για 6 άτομα (3 χ 2). Για 40 άτομα θα χρειαστείς 40 : 6 πίτσες = 6, πίτσες. Αυτή η απάντηση δεν είναι λογική αφού δεν είναι δυνατόν να αγοράσεις 0, της πίτσας. Για να χορτάσεις 40 άτομα θα χρειαστεί να αγοράσεις 7 πίτσες. 7. Η μικρού μεγέθους πίτσα αρκεί για 2 άτομα, επομένως η πίτσα του φεστιβάλ θα έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν που θα έχουν 50 πίτσες μικρού μεγέθους. Εμβαδόν μικρής πίτσας = 227,0095 τ.εκ. Εμβαδόν πίτσας στο φεστιβάλ = 227,0095 τ.εκ. x 50 = 11350,475 τ.εκ. Εμβαδόν κύκλου = πτ ,475 = πτ ,475 π = r 2 π 1

7 Με π = 3,14 Με το πλήκτρο π 3614, = r , = r , = r V3612' = r 60, = r 60, = r 120, = διάµετρος 120, = διάµετρος Η κατά προσέγγιση σε ίντσες διάµετρος της πίτσας στο πανηγύρι = 50 ίντσες. 2

8 2151 Η οκα του προβλήματος Αριθμός Κύβος (Μήκος ακμής) (Όγκος) 1 13 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1000 Τρίτη (κυβική) ρίζα Α ρ ι θμός 3 1 = 1 38 = = = = = = = = = α) Ο όγκος είναι 216κ.εκ. β) Ο όγκος είναι 125κ.εκ. γ) Ο όγκος είναι 729κ.εκ. 4. α) Το μήκος της ακμής είναι 3εκ. β) Το μήκος της ακμής είναι 8εκ. γ) Το μήκος της ακμής είναι 7εκ. 5. α) Ο όγκος κύβου με ακμή μήκους 7,9εκ θα βρίσκεται ανάμεσα στον όγκο κύβου με ακμή μήκους 7εκ και στον όγκο κύβου με ακμή μήκους 8εκ, δηλαδή μεταξύ 343κ.εκ. και 512κ.εκ. Καθώς το 7,9 είναι πιο κοντά στα 8εκ, ο όγκος θα είναι πιο κοντά στον όγκο του κύβου με ακμή 8εκ, περίπου 500κ.εκ. β) Ο όγκος κύβου με ακμή 8,5εκ θα βρίσκεται ανάμεσα στο 83 και στο 93. Το 8,5 βρίσκεται στη μέση ανάμεσα στο 8 και το 9. Επομένως, μια απάντηση μεταξύ κ.εκ. θα ήταν αποδεκτή. γ) Ο όγκος κύβου με ακμή 3,3εκ θα είναι ανάμεσα στο 33 και στο 43. Το 3,3 είναι πιο κοντά στο 3 παρά στο 4. Επομένως, μια απάντηση μεταξύ 30-40κ.εκ. θα ήταν αποδεκτή. 3

9 1. α) 343 < 370 < < 370 < 83 Επομένως, η πρέπει να βρίσκεται εταξύ των 7εκ και 8εκ. μ Μια αποδεκτή απάντηση θα ήταν ανάμεσα σε 7,1-7,4εκ. β) 93 < 920 < 103 Μια αποδεκτή απάντηση θα ήταν μεταξύ των 9,5-9,9εκ. γ) Μια αποδεκτή απάντηση θα ήταν μεταξύ των 3,1-3,5εκ. Για να βρεις την απάντηση, να χρησιμοποιήσεις το πλήκτρο με την ένδειξη [ΤΠ στο κομπιουτεράκι σου, αν υπάρχει. 7,9 3 - j 7, II i~[ ~r Τ] ~Ξ 2154 Πράξεις με άρια Τις ακόλουθες απαντήσεις στο παζλ βρήκε μια μαθήτρια, η οποία έφερε τους αριθμούς 3, 3, 4, 4, 5 και 6 στα ζάρια. Οι απαντήσεις αυτές παρουσιάζουν έναν τρόπο με τον οποίο η μαθήτρια κατάφερε να δημιουργήσει τους αριθμούς ( 3-3) + ( 4-4 ) + ( 6-5) = 1 2. ( 6-5 ) + [( 4-3) : ( 4-3) ] 1 + [ 1 : 1 ] = 2 3. ( 6-5 ) + ( 4-3 ) + ( 4-3 ) = 3 4. ( ) + [ 6 : ( 3 + 3) ] = 4 5. ( 6-3 ) + ( 4-3 ) + ( 5-4 ) = 5 6. ( 6-3 ) ( 5-3 ) + ( 4-4 ) = 6 7. ( 6-3 ) ( 5-3 ) + ( 5-4 ) = 7 8. ( ) + 5 [ 6 - ( ) ] = 8 9. ( ) + ( 3 5 ) ( 4-4 ) = ( ) + ( 3-3 ) ( ) = 10 Ίσως έχεις επιχειρήσει να χρησιμοποιήσεις δυνάμεις, όπως 32 = 3 3 = 9, παράλληλα με τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. 4

10 2156 Κλάσματα τετραγώνων 1. Π = 2. α) Ρ Σ = ( + + ) = β) 3. Οι απαντήσεις σου για το καθένα από τα τετράγωνα θα πρέπει να έχουν άθροισμα μία ακέραια μονάδα. Να ελέγξεις αν αυτό συμβαίνει. 4. Αν έχεις διασκεδάσει με την προηγούμενη δραστηριότητα, αυτή που ακολουθεί είναι μια πραγματική πρόκληση! 2159 Συνδυάζοντας στερεά Βρήκαμε 31 διαφορετικούς συνδυασμούς. Ξεκινώντας με 2 σε μια πλευρά, όπως στην εικόνα, υπάρχουν συνολικά 5 τρόποι συνδυασμού, όταν οι δύο κατασκευές των τριών κύβων έχουν το ίδιο χρώμα και 10 τρόποι, όταν δεν έχουν το ίδιο χρώμα. Όταν τα πρώτα δύο τοποθετούνται όπως στην εικόνα, υπάρχουν 2 τρόποι, αν οι δύο πρώτες κατασκευές έχουν το ίδιο χρώµα και 4 τρόποι, αν δεν έχουν το ίδιο χρώµα. Όταν τα δύο πρώτα τοποθετούνται όπως στην εικόνα, τότε υπάρχουν 4 τρόποι, αν οι δύο πρώτες κατασκευές έχουν το ίδιο χρώµα και 10 τρόποι, αν δεν έχουν το ίδιο χρώµα. 5

11 2160 Ποιο είναι το μισό του μισού; του = του = του = του 1 1 = του = του= του= του = Ίσως έχεις παρατηρήσει ότι το του = ^ = 4 2 4x2 8 Για να βρεις το κλάσμα ενός κλάσματος, όπου οι αριθμητές είναι και οι δύο 1, πολλαπλασιάζεις τους αριθμητές μεταξύ τους και μετά πολλαπλασιάζεις τους παρονομαστές μεταξύ τους ,1 των = η ,1 των = η των = ,1 13. των = η Για να βρεις κλάσματα κλασμάτων (όταν οι αριθμητές είναι οποιοιδήποτε αριθμοί), πολλαπλασιάζεις τους αριθμητές και μετά τους παρονομαστές. Ένας άλλος τρόπος για να πεις «του/των» είναι «πολλαπλασιάζω», έτσι ο αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων είναι να πολλαπλασιάσεις τους αριθμητές μεταξύ τους και τους παρονομαστές μεταξύ τους των = η Χ = Μπορείς να βρεις, χρησιμοποιώντας τον κανόνα, άλλα κλάσματα που είναι τα ίδια (ισοδύναμα) με το 6/12; 2162 Γωνίες και τρίγωνα 1. α = χ = 67 y = y = ΑΒ=ΑΓ = ΓΔ i) ΑΑΔ= 70 ΐν)ΓΑΔ = ΐ) ΚΜΛ= ΣΠΡ= 130 ii) ΒΑΓ= 40 ν) ΒΑΔ= 75 ii) ΚΛΜ= 54 ΐϋ) ΑΓΔ= ΐ) ΑΔΒ= 60 Η) ΒΑΔ= 75 Hi) ΔΒΓ= 30 6

12 2164 Παρουσίαση πλτιροοοριών 1. α) 90 κορίτσια β) 90 αγόρια 2. α) 120 μπορούν να κολυμπήσουν β) 60 δεν μπορούν να κολυμπήσουν 3. χορωδία εκτός χορωδίας 4. α) 24 μαθητές παίζουν βόλεϊ β) 72 μαθητές παίζουν χόκεϊ γ) 48 μαθητές παίζουν ποδόσφαιρο 5. α) 36 μαθητές είναι μέλη του μουσικού κλαμπ β) 36 μαθητές είναι μέλη της ομάδας εργασίας γ) 18 μαθητές είναι μέλη της θεατρικής ομάδας δ) 54 μαθητές είναι μέλη της ομάδας των μαθηματικών 6. γεύμα στο σπίτι D φαγητό σε πακέτο Β φαγητό στο σχολείο φαγητό έξω 7

13 2166 Αντιστοιχίζοντας εξισώσεις Ακολουθούν παραδείγματα για την κάθε μέθοδο που η δραστηριότητα προτείνει. Είναι πιθανό να έχεις χρησιμοποιήσει μόνο μία μέθοδο για όλη τη δραστηριότητα ή μια ποικιλία από μεθόδους. Η μέθοδος της επιλογής 2 σημείων (2, 0) και (3, 2) είναι οι συντεταγμένες δύο σημείων στη γραφική παράσταση Α. Χρησιμοποιώντας τη συντεταγμένη (2, 0) και αντικαθιστώντας x = 2 και y = 0 στην εξίσωση 1, προκύπτει: 4χ = 2y -8 4x2 = 2x0-8 8 = 0-8 Το αποτέλεσμα δεν είναι σωστό. Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες του σημείου (2, 0), να επιχειρήσεις να αντικαταστήσεις χ = 2 και y = 0 στην εξίσωση 2. y = 2χ = 2 x = 4-4 Αυτό ισχύει. Τώρα, χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες του σημείου (3, 2), να επιχειρήσεις να αντικαταστήσεις x = 3 και y = 2 στην εξίσωση 2. y = 2χ -4 2 = 2x3-4 2 = 6-4 Αυτό ισχύει. Επομένως, η εξίσωση 2 ταιριάζει στη γραφική παράσταση Α. Οι εξισώσεις 7, 8 και 12 επίσης ταιριάζουν στη γραφική παράσταση Α. Με τη μέθοδο της αναδιάταξης 4x = 2y - 8 Να διαιρέσεις και τις δύο πλευρές με το 2. 2χ = y - 4 Να προσθέσεις 4 και στις δύο πλευρές. 2χ + 4 = y Αυτή η εξίσωση μπορεί να γραφεί ως y = 2χ + 4 και είναι ίδια με την εξίσωση 5. Οι γραμμικές εξισώσεις μπορούν επίσης να δοθούν στη μορφή y = mx + c. Η τιμή του m αποδίδει την κλίση της ευθείας και το c δίνει το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα των y. Στην εξίσωση y = 2χ + 4, η κλίση είναι 2 και το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα των y είναι 4. Επομένως, οι εξισώσεις 1 και 5 αντιστοιχούν στη γραφική παράσταση Β. Οι εξισώσεις 3 και 11 αντιστοιχούν στη γραφική παράσταση Β, επίσης. Ανεξάρτητα από τη μέθοδο που χρησιμοποίησες, πρέπει να έχεις καταλήξει στα παρακάτω συμπεράσματα: Οι εξισώσεις 2, 7, 8 και 12 αντιστοιχούν στο γράφημα Α. Οι εξισώσεις 1, 3, 5 και 11 αντιστοιχούν στο γράφημα Β. Οι εξισώσεις 4, 6, 9 και 10 αντιστοιχούν στο γράφημα C. 8

14 Eξισώσεις που αντιστοιχούν στη γραφική παράσταση D θα µπορούσαν να είναι οι παρακάτω: 1 y = x x = 2y y = x + 4 2y x = 4 3y = 1 x

15 2167 Εύρος τιμών εμβαδού επιφάνειας 1. Το κάτω φράγμα του 16 = 15,5, το άνω φράγμα του 16 = 16,5. α) Η μικρότερη πιθανή τιμή εμβαδού = 15,5 χ 15,5 = 240,25 τ.εκ. Η μεγαλύτερη πιθανή τιμή εμβαδού = 16,5 χ 16,5 = 272,25 τ.εκ. 2. Εύρος τιμών εμβαδού = 272,25 τ.εκ ,25 τ.εκ. = 32 τ.εκ. β) Το εύρος των πιθανών τιμών εμβαδού προκύπτει, αν πολλαπλασιαστεί με 2 το «μήκος της πλευράς του τετραγώνου». γ) Αν n = το μήκος πλευράς του, μετρημένο σε συγκεκριμένη μονάδα μέτρησης, τότε: η μικρότερη πιθανή τιμή εμβαδού η μεγαλύτερη πιθανή τιμή εμβαδού εύρος τιμών εμβαδού (η- ) 2 2 η 2 η (η + ) 2 = η 2 + η ( η 2 + η + ) - ( η 2 4 η 2 + η + 1 η 2 + η = η + η = 2η τετραγωνικές μονάδες. 1, η + ) 4 Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο α) Το εύρος εμβαδού, όταν το ύψος και το πλάτος μετριούνται με ακρίβεια εκατοστόμετρου, ισούται με: ύψος του ορθογωνίου συν το πλάτος του ορθογωνίου β) Για να αποδείξουμε ότι ο συγκεκριμένος κανόνας ισχύει, ας υποθέσουμε ότι h είναι το ύψος και w είναι το πλάτος. 1 1 Η μικρότερη πιθανή τιμή εμβαδού (h - ) (w - ) 2 2 Η μεγαλύτερη πιθανή τιμή εμβαδού Εύρος τιμών εμβαδού (h + ) (w + ) 2 2 (h + ) ( w + ) 2 2 (h - ) (w 2 2 ) 1 1 =(hw + h + w + ) - (hw - h -w + ) hw + h + w ( h + w ) τ.εκ. hw + h + w Κύκλος To εύρος τιμών εμβαδού του κύκλου, όταν η ακτίνα μετριέται με ακρίβεια εκατοστού, είναι 2πΓ τ.εκ. Τρίγωνο Το εύρος τιμών εμβαδού του τριγώνου, όταν η βάση και το ύψος μετριούνται με ακρίβεια εκατοστού, είναι (b + h) τ.εκ Έχουμε καταλήξει σε γενικούς κανόνες για τα τετράγωνα. Αν έχεις βρει κανόνες για άλλα σχήματα, να τους δείξεις στο δάσκαλο σου. 10

16 α) Το εύρος τιμών του εμβαδού ενός τετραγώνου με πλευρά η, όταν η πλευρά μετριέται με ακρίβεια μισού εκατοστού, είναι n τ.εκ. Μπορείς να εξηγήσεις γιατί ισχύει αυτό; β) Το εύρος τιμών εμβαδού ενός τετραγώνου πλευράς η, όταν η πλευρά μετριέται με ακρίβεια x εκατοστών, είναι 2χη τ.εκ. Το εύρος τιμών του όγκου ενός κύβου που μετρήθηκε με ακρίβεια εκατοστού είναι (3η2 + ) κ.εκ., όπου η είναι η πλευρά του κύβου. 4 Το εύρος εμβαδού της επιφάνειας κύβου που έχει μετρηθεί με ακρίβεια εκατοστού είναι 12η τ.εκ. Παρόμοιοι κανόνες είναι δυνατόν να προκύψουν και για άλλα τρισδιάστατα σχήματα. Να τα ελέγξεις με το δάσκαλο σου. 11

17 2168 Υπολογισμός ττις κυβικιίς oicw 1. Μήκος ακμής 4,65 4,63 4,64 4,645 Κύβος (όγκος) 4,65 χ 4,65 χ 4,65 = 100, χ 4,63 χ 4,63 = 99, χ 4,64 χ 4,64 = 99,8973 4,645 χ 4,645 χ 4,645 = 100,221 Πολύ μεγάλο Πολύ μικρό Πολύ μικρό Πολύ μεγάλο Για συντομία μπορείς να χρησιμοποιήσεις το πλήκτρο x y Είναι το πλήκτρο για τις δυνάμεις. στο κομπιουτεράκι σου. 4,645 x y 3 = 100,221 (4,642) 3 = 100,027 = 100 (1 δεκαδικό ψηφίο) (4,6416) 3 = 100,00072 = 100 (2 δεκαδικά ψηφία) Για πόσα δεκαδικά ψηφία ήταν ακριβής η απάντηση σου; 2. Το μήκος της ακμής ενός κύβου με όγκο 340κ.εκ. πρέπει να είναι ανάμεσα σε 6εκ και 7εκ επειδή 6x6x6 = 216 και 7x7x7 = 343. Πρέπει να είναι πιο κοντά στα 7εκ. Μήκος Κύβος Ακμής (Όγκος) 6,9 6,93 = 6,9 χ 6,9 χ 6,9 = 328,509 Πολύ μικρό 6,95 6,953 = 6,95 χ 6,95 χ 6,95 = Πολύ μικρό 6,98 335,702 Πολύ μεγάλο 6,97 6,983 = 340,068 Πολύ μικρό 6,975 6,973 = 338,609 Πολύ μικρό 6,978 6,9753 = 339,338 Πολύ μικρό 6,979 6,9783 = 339,776 Πολύ μικρό 6,9795 6,9793 = 339,922 Πολύ μικρό 6,9796 6,97953 = 339,995 Πολύ μεγάλο 6, ,97963 = Πολύ μεγάλο 6, , = 340,003 Πολύ μεγάλο 6, = 340 S 3. Η τρίτη (κυβική) ρίζα (\a) ενός αριθμού «α» είναι ο αριθμός, ο οποίος όταν τον πολλαπλασιάσεις δύο φορές με τον εαυτό του δίνει τον αριθμό «α» ως αποτέλεσμα. \Ιa χ\]a χ yja = α 12

18 2169 Ο πληθυσμός ττις Βρετανίας: 1880 και Ηλικία % 19% % 22% % 21% % 20% % 12% 75+ 1% 6% Σύνολο 100% 100% 2. Η πυραμίδα των ηλικιών δείχνει το ποσοστό του πληθυσμού σε κάθε ηλικιακή ομάδα, δεν δείχνει τον πραγματικό πληθυσμό. 3. α) Η ηλικιακή ομάδα διπλασιάστηκε. β) Οι ηλικιακές ομάδες 0-14 και μειώθηκαν. γ) Οι υπόλοιπες ηλικιακές ομάδες των 30-44, 45-59, και 75+, όλες αυξήθηκαν. 4. α) Η γραφική παράσταση παρέχει πληροφορίες για τον πληθυσμό του Ηνωμένου Βασιλείου στο διάστημα Διαχωρίζει τον πληθυσμό σε τρεις ηλικιακές ομάδες και παρουσιάζει το ποσοστό του συνολικού πληθυσμού σε κάθε ηλικιακή ομάδα. β) Η ηλικιακή ομάδα 0-14 αντιπροσωπεύει άτομα σχολικής ηλικίας. Η ομάδα αντιπροσωπεύει τον εργαζόμενο πληθυσμό. Η ομάδα 60+ αντιπροσωπεύει τους συνταξιούχους. γ) i) Το ποσοστό του πληθυσμού στην ομάδα 0-14 μειώνεται. ii) Το ποσοστό του πληθυσμού στην ομάδα παραμένει σχετικά σταθερό. iii) Το ποσοστό του πληθυσμού στην ομάδα 60+ αυξάνεται. δ) Η απάντηση σου είναι πιθανό να συμπεριλάβει παράγοντες όπως: έλεγχο γεννήσεων, επιλογή μεγέθους οικογένειας, αύξηση της αναλογίας των ατόμων 15+, η διάρκεια ζωής έχει αυξηθεί. ε) Η απάντηση σου είναι πιθανό να συμπεριλάβει παράγοντες όπως: η πρόοδος της ιατρικής επιστήμης έχει οδηγήσει σε υψηλότερο προσδοκώμενο όριο ζωής, καλύτερη ιατρική περίθαλψη. στ) i) Το ποσοστό του πληθυσμού στην ηλικιακή ομάδα 60+ θα συνεχίσει να αυξάνει και το ποσοστό του πληθυσμού στην ηλικιακή ομάδα 0-14 θα συνεχίσει να μειώνεται. ii) θα υπάρξει μια υψηλότερη πίεση στο εργατικό δυναμικό για να υποστηρίξει μια αυξανόμενη ηλικιακή ομάδα 60+ τόσο στις συντάξεις όσο και στην ιατρική περίθαλψη. 5. α) Το 1880, το 36% του πληθυσμού ανήκε στην ηλικία των 30 χρόνων ή περισσότερο. β) Το 1980, το 41% του πληθυσμού ήταν κάτω από 30. γ) Το 1980, το 59% του πληθυσμού ανήκε στην ηλικία των 30 χρόνων ή περισσότερο. 13

19 6. α) Ναι, περισσότερο από 50% είναι μια λογική εκτίμηση. Το ποσοστό του πληθυσμού που ανήκει στην ηλικιακή ομάδα 0-14 είναι 36%. Το ποσοστό του πληθυσμού που ανήκει στην ηλικιακή ομάδα είναι 26%. Η μέση τιμή της ηλικιακής ομάδας είναι 22. Η ασυμμετρικότητα του πληθυσμού υποδεικνύει ότι σε κάθε ηλικιακή ομάδα θα υπάρχουν περισσότερα άτομα που θα ανήκουν στο νεαρότερο τμήμα της ομάδας από ότι στο μεγαλύτερο σε ηλικία τμήμα. Επομένως, θα μπορούσε να περιμένει κάποιος ότι η πλειοψηφία των ατόμων θα ήταν κάτω από 23. β) Μια καλή εκτίμηση της ηλικίας κάτω από την οποία ήταν η πλειοψηφία του πληθυσμού το 1980 θα ήταν ανάμεσα σε χρόνια. 7. Η απάντηση σου θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει παράγοντες όπως: Το ποσοστό του πληθυσμού ηλικίας μεταξύ 0-14 και μειώνεται. Το 1980 το ποσοστό του πληθυσμού που ανήκε στην ομάδα 0-14 ήταν μικρότερο από το ποσοστό του πληθυσμού της ομάδας αλλά το 1880 το ποσοστό του πληθυσμού που ανήκε στην ηλικιακή ομάδα 0-14 ήταν διπλάσιο από το ποσοστό του πληθυσμού που ανήκε στην ομάδα Το ποσοστό του εργαζόμενου πληθυσμού παρέμεινε σχετικά σταθερό. Το ποσοστό του πληθυσμού που ανήκει στην ηλικιακή ομάδα 75+ έχει αυξηθεί κατά 5% εξαιτίας του βελτιωμένου συστήματος υγείας και των καλύτερων ιατρικών εγκαταστάσεων, καθώς και των βελτιωμένων συνθηκών διαβίωσης. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις μεταβολές στο ποσοστό του πληθυσμού κάθε ηλικιακής ομάδας τα τελευταία 100 χρόνια. Ηλικία Μεταβολή σε % % % % % % % 14

20 2177 Μεταβολές πληθυσμού 1. Ευρώπη 2. Η απάντηση στο πλησιέστερο εκατομμύριο είναι 272, αλλά και μια απάντηση μεταξύ εκατομμυρίων είναι αποδεκτή. 3. Η απάντηση στο πλησιέστερο εκατομμύριο είναι =225 εκατομμύρια, αλλά οποιαδήποτε απάντηση ανάμεσα στα εκατομμύρια είναι αποδεκτή. 4. (α) 537 εκατομμύρια, αλλά μια απάντηση ανάμεσα στα εκατομμύρια θα ήταν αποδεκτή. (β) 622 εκατομμύρια, αλλά μια απάντηση ανάμεσα στα εκατομμύρια θα ήταν αποδεκτή. (γ) =164 εκατομμύρια, αλλά μια απάντηση ανάμεσα στα εκατομμύρια θα ήταν αποδεκτή. 5. (α) Πληθυσμοί κατά προσέγγιση Βόρεια Αμερική 360 εκατομμύρια Λατινική Αμερική 885 εκατομμύρια Ευρώπη 490 εκατομμύρια (β) Ο πληθυσμός της Λατινικής Αμερικής θα αυξηθεί ραγδαία. Ο πληθυσμός της κατά το 1988 θα διπλασιαστεί μέχρι το Ο πληθυσμός της Βόρειας Αμερικής θα αυξηθεί με αργό ρυθμό. Ο πληθυσμός της Ευρώπης θα αυξηθεί πολύ λίγο. Το 2040 θα κυμανθεί σε χαμηλότερα επίπεδα από το Όγκοι Κυβάκια Κυβάκια σε κάθε στρώση Στρώσεις Κυβάκια Όγκος (Συνολικός αριθμός) Α τ. εκ. Β τ. εκ. Γ τ. εκ. Δ τ. εκ. Ε τ. εκ. Από τα αποτελέσματα του πίνακα ίσως έχεις παρατηρήσει ότι: Κυβάκια σε μία στρώση Στρώσεις = Όγκος κύβου 2179 Φίδια και ογιές Ποιοι καλύφθηκαν πρώτα, οι θετικοί ή οι αρνητικοί αριθμοί; Κάποιοι αριθμοί καλύφθηκαν δυσκολότερα σε σχέση με άλλους; Καταφέρατε να καλύψετε όλους τους αριθμούς; 15

21 2180 Μάρκες στη σειρά Υπάρχουν χρώματος. 12 διαφορετικοί τρόποι για να διευθετήσουμε τρεις μάρκες διαφορετικού ο οΐ ο» ο ο ol ο 0 ο ο Οι τέσσερις πρώτοι τρόποι είναι περιστροφές ο ένας του άλλου. Τους αντιμετώπισες σαν ίδιες ή διαφορετικές περιπτώσεις; Υπάρχουν 2 τρόποι διευθέτησης με 2 μάρκες διαφορετικού χρώματος, οι οποίοι είναι περιστροφές ο ένας του άλλου. Ο ο Παρακάτω, παρουσιάζεται ένας τρόπος διευθέτησης χρώματος. Πόσους τρόπους ο με 4 μάρκες ο ο ο 0 e 16

22 2181 Μακριά παλάμτι... μακρύ πέλμα; 1. Στο δείγμα σου θα πρέπει να συμπεριλαμβάνονται 20 άτομα τουλάχιστον. Όσο περισσότερα άτομα συμπεριλάβεις στη δημοσκόπηση σου τόσο περισσότερο θα είσαι σε θέση να απαντήσεις στην ερώτηση. Συμπεριέλαβες στο δείγμα σου άτομα διαφορετικών ηλικιών, άντρες και γυναίκες, ψηλούς και κοντούς ανθρώπους... ; 2. Από τον πίνακα σου φαίνεται ότι όλοι οι άνθρωποι είχαν μεγαλύτερα πέλματα από ότι παλάμες; 3. Στο παρακάτω διάγραμμα διασποράς έχει γίνει η αρχή. Το σημείο Α αντιστοιχεί σε έναν άνθρωπο που οι παλάμες του έχουν μήκος 16 εκ. και τα πέλματα του έχουν μήκος 24 εκ. Μήκος παλάμης (σε εκ.) Οι τεθλασμένες γραμμές στους άξονες δείχνουν ότι ένα κομμάτι τους λείπει, π.χ. ο άξονας του μήκους των παλαμών ξεκινά από το 12 και ο άξονας του μήκους των πελμάτων από το 15, όχι από το 0. Οι τεθλασμένες γραμμές επιτρέπουν την εστίαση στην περιοχή του γραφήματος που περιλαμβάνει τα δεδομένα. Ποιο ήταν το μικρότερο μήκος παλαμών που μετρήθηκαν στο δείγμα σου; 4. Γενικά, όσο μεγαλύτερη σε μήκος είναι η παλάμη τόσο μεγαλύτερο σε μήκος είναι το πέλμα. Φαίνεται αυτό στο γράφημα; Σε αυτό το γράφημα φαίνεται ότι γενικά όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος των παλαμών τόσο μεγαλύτερο είναι και το μήκος των πελμάτων. Τα σημεία είναι συγκεκριμένα προς μία κατεύθυνση, δηλαδή από την κάτω αριστερή γωνία προς την πάνω δεξιά γωνία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα θετικής συσχέτισης. 17

23 2182 Πλέγματα ττις ουλιίς Shongo Το πρώτο πλέγμα Shongo μπορεί να αποδοθεί με την ακολουθία αριθμών 2, 1, 2, 2, 1. Το δεύτερο πλέγμα μπορεί να περιγραφεί με αυτόν τον τρόπο ως 3, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 3. Το τρίτο δίκτυο μπορεί να περιγραφεί ως 4, 1, 4, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 4. Τα επόμενα 4 σχέδια είναι: Ποια ακολουθία αριθμών περιγράφει το επόμενο σχέδιο; Η μέτρηση του αριθμού των τετραγώνων σε κάθε σχέδιο δημιουργεί άλλη μια ακολουθία αριθμών: 3 τετράγωνα 6 τετράγωνα 10 τετράγωνα Ο αριθμός τετραγώνων στα σχέδια σχηματίζει την ακολουθία: 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36,. τους τριγωνικούς αριθμούς Για περισσότερες ενδιαφέρουσες ιδέες σχετικά με σχέδια πλεγμάτων μπορείς να συμβουλευτείς: «Μαθηματικά για Όλους», The ESG Project, Salisbury, Wiltshire LEA. «Μαθηματικά από όλο τον Κόσμο», Phil Dodd, Westgate Community College, Newcastle upon Tyne LEA. 18

24 2183 Με ττι γριίστι τυπικιίς μοροιίς; 1. α) 8 χ ΙΟ 5 β) 6 ΧΙΟ" 7 γ) 22,5 χ ΙΟ 8 = 2,25 χ ΙΟ 9 δ) 21,3 χ ΙΟ 12 = 2,13 χιο 13 Ακολουθεί ένα παράδειγμα πληκτρολογήσεων που είναι αναγκαίες, για να ελέγξεις τις απαντήσεις σου στο Ια). Θ Θ Ώ Θ Β Θ Θ Θ Θ Ε Β Θ Θ Θ Η απάντηση στην οθόνη θα είναι κατά πάσα πιθανότητα 80000θ Είναι το ίδιο με την παράσταση 8 χ _. Κάποια κομπιουτεράκια μπορεί να έχουν το πλήκτρα^ και όχι το πλήκτρο Αν δεν είσαι σίγουρος/η ποιο πλήκτρο να χρησιμοποιήσεις, να συμβουλευτείς το εγχειρίδιο χρήσης για το κομπιουτεράκι ή να ρωτήσεις το δάσκαλο σου. Όταν η απάντηση είναι πολύ μεγάλη για να εμφανιστεί στην οθόνη, το κομπιουτεράκι θα την παρουσιάσει με την τυπική μορφή. Π.χ. Για το 1γ) το κομπιουτεράκι είναι πιθανό να παρουσιάσει την απάντηση με τη μορφή Είναι το ίδιο με την παράσταση 2,25 x ΙΟ 9. Αν δεν είσαι σίγουρος/η με ποιο τρόπο το κομπιουτεράκι αριθμούς σε τυπική μορφή, να συμβουλευτείς το δάσκαλο σου. α) β) γ) δ) ε) α) β) γ) δ) ε) α) β) γ) δ) ε) 4 χιο 12 1,1 χ ΙΟ 3 0,7 χ ΙΟ 3 1 χιο 6 0,4 χ Ο 2 40 χ ΙΟ" 7 1 χ ΙΟ χ ΙΟ" 3 2,5 χ ΙΟ 9 0,4 χ ΙΟ" 7 7 χ ΙΟ 2 4 χ 10 ή 4 χ ΙΟ" 6 1,8x10 = 4 χ ΙΟ" 8 3,71 χ ΙΟ" 6 με 3 σημαντικά ψηφία 9,51 χ ΙΟ 2 με 3 σημαντικά ψηφία 1,77 χ 10 με 3 ση μαντικά ψηφία 2,31 χ ΙΟ 9 με 3 σημαντικά ψηφία 4,10 χ ΙΟ" 8 με 3 σημαντικά ψηφία 4 χ 10 1 σου εμφανίζει Μπορείς να δεις γιατί 1 χ ΙΟ 3 ~ 9,51 χ ΙΟ 2 στο μέρος (β); Αν οι υπολογισμοί σου είναι πολύ διαφορετικοί από τις πραγματικές απαντήσεις, να τους ελέγξεις με το δάσκαλο σου. 5. Όγκος πισίνας Ποσότητα σε λίτρα που απαιτείται 25μ. Χ 12μ. χ 2,5μ. (25 χ 100)εκ χ (12χ 100)εκ χ (2,5 χ 100)εκ (25 χ ΙΟ 2 χ 12 χ ΙΟ 2 χ 2,5 χ ΙΟ 2 ) κ.εκ. ( 750 χ ΙΟ 6 ) κ.εκ. (750 χ ΙΟ 6 ) : (1 χ ΙΟ 3 ) = 750 χ ΙΟ 3 7,5 χ 10 5 (σε τυπική μορφή) 19

25 6. 2,5 λίτρα αρκούν για να καλύψουν 24 τ.μ. (2,5 χ ΙΟ 3 ) κ.εκ. αρκούν για να καλύψουν (24 χ ΙΟ 4 ) τ.εκ. (2,5 χ ΙΟ 3 )κ.εκ. = { Q m i66 1 χ 10 -ι } πα^ = ( ι ίο1 ) χί χ χ (24xl0 4 )r.^. Η μπογιά πρέπει να έχει (1,0 x ΙΟ 1 ) χιλ. πάχος με ακρίβεια 2 σημαντικών ψηφίων Δυνάμεις ακεραίων Ι 2 = = = = η 2 = (2η- 1) Η κανονικότητα που προκύπτει από κυβικούς αριθμούς, οι οποίοι εκφράζονται ως άθροισμα διαδοχικών περιττών αριθμών είναι η παρακάτω: Ι 3 = = = = = η 3 = (η 2 -η+ 1) +... Είναι πιθανό να έχεις παρατηρήσει ότι: η 3 είναι το άθροισμα «η» διαδοχικών περιττών αριθμών αν ο η είναι περιττός αριθμός, τότε ο μεσαίος όρος είναι η 2 η 3 =... (η 2-4) + (η 2-2) + η 2 + (η 2 + 2) + (η 2 + 4) αν ο η είναι άρτιος αριθμός, η 3 =...( η 2-3) + (η 2-1 ) + (η 2 + 1) + (η 2 + 3) Μπόρεσες να εντοπίσεις κάποιον κανόνα για τετράγωνους αριθμούς, οι οποίοι εκφράζονται ως άθροισμα διαδοχικών περιττών αριθμών... Ι 4 = = = 25 και να καταλήξεις σε μια γενική έκφραση για τον η 4 ; Μπόρεσες να καταλήξεις σε μια γενική έκφραση για τον n a ; Μπόρεσες να πείσεις κάποιον ότι η γενίκευση σου ισχύει πάντα; 20

26 2185 Ανεβαίνοντας τις σκάλες Υπάρχουν 8 διαφορετικοί τρόποι για να ανεβεί κάποιος μια σκάλα που αποτελείται από 5 σκαλοπάτια, ανεβαίνοντας ένα ή δύο σκαλοπάτια τη φορά. Σε μια συνηθισμένη σκάλα υπάρχουν 13 σκαλοπάτια. Υπάρχουν 377 διαφορετικοί τρόποι για να ανεβεί κάποιος τα 13 σκαλοπάτια ανεβαίνοντας ένα ή δύο σκαλοπάτια τη φορά. Δοκίμασες κάποιους άλλους συνδυασμούς στον αριθμό σκαλιών που θα μπορούσε να ανεβεί κάποιος τη φορά; Ήταν αριθμοί σκαλιών που θα μπορούσε να ανεβεί πραγματικά κάποιος τη φορά; Θα σε εξυπηρετήσει να σχεδιάσεις έναν πίνακα με τα αποτελέσματα σου, για να μπορέσεις να διακρίνεις τυχόν κανόνες. Θα πρέπει να έχεις βρει μια ακολουθία τύπου Fibonacci. Η κάρτα 2078 μπορεί να σε βοηθήσει. 21

27 2187 Πυθαγόρα συνέχεια. Με ορθογώνια παραλληλόγραμμα στη θέση των τετραγώνων: Εμβαδόν Α Εμβαδόν Β Εμβαδόν Γ Στην περίπτωση αυτή το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει. Όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα είναι όμοια. Ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά σε κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι ο ίδιος. Ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Α = 5 : 2 = 2 : 1 2 Ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Β = 3 : 1 2 : 1 Ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Γ = 4 : 2 = 2 : 1 Εμβαδόν Α Εμβαδόν Β Εμβαδόν Γ Στην περίπτωση αυτή, το Πυθαγόρειο θεώρημα δεν ισχύει. Τα παραλληλόγραμμα δεν είναι όμοια. Ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά σε κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο δεν είναι ο ίδιος. Ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Α = 5 : 2 Ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Β = 3 : 2 Ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Γ = 4 : 2 Το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει όταν σχεδιάζονται τετράγωνα στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου, γιατί ο λόγος των πλευρών οποιουδήποτε τετραγώνου είναι ο ίδιος, 1: 1, 2 : 2 = 1: 1, Επομένως, όλα τα τετράγωνα είναι όμοια μεταξύ τους. Με ποια άλλα σχήματα πειραματίστηκες. ημικύκλια, τρίγωνα, πεντάγωνα; κανονικά και μη κανονικά σχήματα; 22

28 2188 Πλτιθυσιιιακές πυραιιίδες 1. Α = Κουβέιτ Β = Μακάο Γ = Γροιλανδία Δ = Μονακό Ε = Δανία Στ = Αλγερία 2. Η δική σου πληθυσμιακή πυραμίδα θα πρέπει να μοιάζει με αυτήν της εικόνας. 20U (σε χίχίά'βε^) 3. Οι διαπιστώσεις σου μπορεί να είναι διαφορετικές από αυτές που ακολουθούν. Αν δεν είσαι βέβαιος-η για αυτές, να τις ελέγξεις με το δάσκαλο σου. Κουβέιτ Στις ηλικίες υπάρχουν περισσότεροι άντρες. Η μεγαλύτερη ηλικιακή ομάδα είναι η ομάδα 0-9 και η μικρότερη είναι η ομάδα 70+. Μακάο Η μεγαλύτερη διαφορά ανάμεσα στους αριθμούς των ανδρών και των γυναικών συναντάται στις ηλικίες Ο μεγαλύτερος πληθυσμός συναντάται στην ομάδα Η μικρότερη ηλικιακή ομάδα είναι η ομάδα 70+. Γροιλανδία Ο αριθμός ανδρών και γυναικών είναι παρόμοιος σε όλες τις ηλικιακές ομάδες. Ο μεγαλύτερος πληθυσμός υπάρχει στην ηλικιακή ομάδα Η μικρότερη ηλικιακή ομάδα είναι η ομάδα 70+. Μονακό Υπάρχουν πολύ περισσότερες γυναίκες στην ηλικιακή ομάδα 70+. Ο πληθυσμός τείνει να είναι μεγαλύτερος σε ηλικία από ότι σε πολλές από τις υπόλοιπες χώρες. Η ηλικιακή ομάδα 0-9 είναι η μικρότερη. 23

29 Δανία Μέχρι την ηλικία των 50 οι άντρες είναι περισσότεροι από ότι οι γυναίκες. Ο αριθμός ατόμων σε κάθε ηλικιακή ομάδα παραμένει σχετικά σταθερός σε σύγκριση με πολλές άλλες χώρες. Αλγερία Από την ηλικία των 30 και πάνω υπάρχουν περισσότερες γυναίκες από ότι άντρες. Περνώντας από τους νεαρότερους στους γηραιότερους, σε κάθε ηλικιακή ομάδα υπάρχουν λιγότερα άτομα από ότι στην προηγούμενη. Ηνωμένο Βασίλειο Στις περισσότερες ηλικιακές ομάδες ο αριθμός ανδρών και γυναικών είναι παρόμοιος. Υπάρχουν πολύ περισσότερες γυναίκες στην ηλικιακή ομάδα 70+. Ο αριθμός των ατόμων σε κάθε ηλικιακή ζώνη είναι σχετικά ισότιμα κατανεμημένος. 24

30 2189 Παράξενο παιγνίδι ιιε άρια Θα μπορούσες παρακάτω: να καταγράψεις τα αποτελέσματα σου σε έναν πίνακα όπως ο Παιχνίδι 1 Παιχνίδι 2.. Συνολικές νίκες Ο παίκτης που ρίχνει το ζάρι 0 παίκτης που μετακινείται κατά 4 Για το νικητή Το παιχνίδι δεν είναι δίκαιο. Ο παίκτης που μετακινείται κατά 4 τετράγωνα συνήθως κερδίζει περισσότερα παιχνίδια από τον παίκτη που ρίχνει το ζάρι. Αυτό συμβαίνει γιατί μόνο δύο αριθμοί από το ζάρι είναι μεγαλύτεροι από το 4, ενώ 3 αριθμοί είναι μικρότεροι από το Διπλάσια Μερικές δυνατές λύσεις είναι οι παρακάτω. Μπορεί να έχεις βρει και άλλες λ 10 λ 5 λ 5 λ 2. 5 λ 5 λ 1 λ 1 λ 1 λ 1 λ λ 20 λ 20 λ 5 λ 5 λ 1λ 4. Αδύνατο 5. Είναι απαραίτητο να ελέγξει κάποιος τις απαντήσεις σου. 6. Ζήτησε από κάποιον να ελέγξει τις απαντήσεις σου. Μήπως βρήκες κάποια άλλα ποσά που δεν είναι δυνατόν να σχηματιστούν; Θα μπορούσες να βρεις ποσά που να σχηματίζονται με δύο διαφορετικούς τρόπους, έτσι ώστε: τα νομίσματα που χρησιμοποίησες στον ένα τρόπο να είναι τριπλάσια από αυτά που χρησιμοποίησες στον άλλο. τα νομίσματα που χρησιμοποίησες στον ένα τρόπο να είναι τετραπλάσια από αυτά που χρησιμοποίησες στον άλλο. 25

2150 Ο παράδεισος της πίτσας. Εµβαδόν κύκλου = πr 2. π = 3, πίτσες ,475 = πr ,475 π = r 2

2150 Ο παράδεισος της πίτσας. Εµβαδόν κύκλου = πr 2. π = 3, πίτσες ,475 = πr ,475 π = r 2 2150 Ο παράδεισος της πίτσας 1. Οι απαντήσεις σου θα εξαρτηθούν από το πόσο µεγάλη όρεξη έχεις. 2. Ο πίνακας των αποτελεσµάτων δηµιουργήθηκε µε βάση τον τύπο υπολογισµού του εµβαδού του κύκλου. Εµβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12 / 6 / 2013 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

1 8 και ο δεύτερος παίρνει το υπόλοιπο. Παρακάτω, ο πρώτος παραπόταμος χωρίζεται στα 3 και το ένα τμήμα του παίρνει το του νερού του 8 ) 1 2

1 8 και ο δεύτερος παίρνει το υπόλοιπο. Παρακάτω, ο πρώτος παραπόταμος χωρίζεται στα 3 και το ένα τμήμα του παίρνει το του νερού του 8 ) 1 2 Kangourou Sans Frontières Θέματα Καγκουρό 00 LEVELS: - (για μαθητές της Β' και ' τάξης Λυκείου) Ερωτήσεις βαθμών: ) Οι αριθμοί και και δύο άγνωστοι αριθμοί γράφονται μέσα στα τετραγωνάκια του διπλανού

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 265 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Ασκήσεις Άλγεβρας. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 265 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Ασκήσεις Άλγεβρας Κώστας Γλυκός B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 65 ασκήσεις και τεχνικές σε 4 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 3 / 1 0 / 0 1 6

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου;

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου; Πρόβλημα 214 Τα θρανία στην τάξη του Γιάννη είναι τοποθετημένα σε γραμμές και στήλες. Το θρανίο του Γιάννη είναι στην τρίτη γραμμή από την αρχή και στην τέταρτη από το τέλος. Είναι επίσης στην τρίτη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο.

( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο. ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων : α) f ( ) β) f ( ) + 5 + 6 ln( + 1) γ) f ( ) δ) 1 f( ) 4 ) Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 0-0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 0 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής). THE G

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αυτό το γραπτό αποτελείται από 18 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:...ΤΜΗΜΑ:...ΑΡ.:... (α) Να ελέγξετε ότι το γραπτό αποτελείται από 11 σελίδες.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:...ΤΜΗΜΑ:...ΑΡ.:... (α) Να ελέγξετε ότι το γραπτό αποτελείται από 11 σελίδες. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 2012 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΒΑΘΜΟΣ Αρ.:..... Ολογρ.:..... ΥΠΟΓΡΑΦΗ:..... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05.06.2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ:

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ 1) Οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 μέχρι το 10 είναι τοποθετημένοι στο διπλανό διάγραμμα. Με τη βοήθεια του πιο πάνω διαγράμματος: α) Να συμπληρώσετε τα κενά με ένα από τα σύμβολα,,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ Ονομ/μο:.... Τμήμα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ Πώς θα μετρήσουμε την επιφάνεια ενός θρανίου, ενός φύλλου, ή του πουκάμισου που φοράμε; Την έννοια της «επιφάνειας» τη συναντάμε στα αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 5 6 (E - Στ Δημοτικού) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Γνωρίζοντας ότι + + 6 = + + +, ποιόν αριθμό αντιπροσωπεύει το ; A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣ: 1 ΩΡΑ 3 ΛΕΠΤΑ Το δοκίμιο αυτό αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος αποτελείται από 15 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1 / 5 / 017 ΤΑΞΗ: Β ΧΡΟΝΟΣ: ώρες ΒΑΘΜΟΣ: 100 0 Αριθμητικά :.... Ολογράφως:......

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

6 Φεβρουαρίου 2016, Λεμεσός

6 Φεβρουαρίου 2016, Λεμεσός 6 Φεβρουαρίου 2016, Λεμεσός Τα ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ περιγράφει: τα Μαθηματικά που αναμένουμε να κατανοήσουν οι μαθητές μέχρι το τέλος της σχολικής τους εκπαίδευσης, από το Νηπιαγωγείο μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15 τον μήνα και 5 για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75, πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ SAMPLE 3 1 ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε αυτό το μέρος υπάρχουν 15 ερωτήσεις. Να απαντήσετε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Σε κάθε ερώτηση η σωστή απάντηση είναι ΜΟΝΟ ΜΙΑ. Να βάλετε σε ΚΥΚΛΟ τη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα ilias ili Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα Αριθμοί μέχρι το 1000 - Οι τέσσερις πράξεις Γεωμετρικά σχήματα Πηγή: e-selides 1) Γράφω τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 12. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες.

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 12. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες. 1. Να κάνετε τις πράξεις: (α) 4αβ +10αβ αβ = (β) 3χψ4χ

Διαβάστε περισσότερα

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι :

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι : ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α = 010 009 + 008 007 + 006 005 +...+ 4 3 + 1 είναι

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

(ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία.

(ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία. (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία. Περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των πλευρών του το οποίο εκφράζεται με τη μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 06 07 Βαθμός αριθμητικά:..... / 00 =.... / 0 Ολογράφως:...... / 0 Υπογραφή Καθηγητή/τριας:..... ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό Κέντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 017-018 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ Γυμνασίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Δευτέρα, 4 Ιουνίου 018 ΧΡΟΝΟΣ: ώρες ΒΑΘΜΟΣ:. ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03 / 6 / 014 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή /τριας:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012(Β ΣΕΙΡΑ) ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012(Β ΣΕΙΡΑ) ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012(Β ΣΕΙΡΑ) ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΤΑΞΗ : Β ΧΡΟΝΟΣ : 2 ΩΡΕΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΤΜΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ Proslipsis.gr ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό αντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή : ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως

Διαβάστε περισσότερα