ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μια προσέγγιση της διδασκαλίας εννοιών που σχετίζονται µε άπειρες διαδικασίες: Η περίπτωση της διδασκαλίας του ορισµένου ολοκληρώµατος µε τη χρήση του λογισµικού Autograph ηµήτριος Παλαιογιαννίδης Επιβλέπων Καθηγητής Χρόνης Κυνηγός Αθήνα Νοέµβριος, 2007

2

3 Η παρούσα ιπλωµατική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης που απονέµει το ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την.. από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούµενη από τους : Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογραφή 1) Χρόνη Κυνηγό (επιβλέπων Καθηγητής) Αν. Καθηγητής. 2) Θεοδόσιο Ζαχαριάδη Αν. Καθηγητής. 3) Βασιλική Φαρµάκη Αν. Καθηγήτρια.

4

5 ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΛΑΙΟΓΙΑΝΝΙ ΗΣ, Νοέµβριος 2007 ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών στη «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Τµήµα Μαθηµατικών, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΟΥ ΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΑΠΕΙΡΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ AUTOGRAPH (σελ. 206) Παρά το γεγονός ότι ο ορισµός της έννοιας του ορισµένου ολοκληρώµατος (κατά Riemann) περιέχεται συνεχώς στα αναλυτικά προγράµµατα του Ελληνικού σχολείου τα τελευταία 30 χρόνια παρατηρείται µια απροθυµία όλων των εµπλεκόµενων στη διδακτική διαδικασία µερών για τη διδασκαλία του. Η απροθυµία αυτή οφείλεται αφ ενός µεν στα διδακτικά προβλήµατα που πρέπει να αντιµετωπίσει ο διδάσκων για να επιτύχει µια νοηµατική διδασκαλία, αφ ετέρου δε στις δυσκολίες που αντιµετωπίζουν οι µαθητές στο θέµα της κατανόησης του ίδιου του ορισµού αλλά και της έννοιας. Η έρευνα αυτή είναι µια έρευνα σχεδιασµού µε την έννοια που δίνουν στον όρο οι Cobb et al (2003), Kelly (2003), Collins et al (2004) και Κυνηγός (2007). Είναι δηλαδή µια ποιοτική έρευνα που επικεντρώνεται στο να εξετάσει τους τρόπους µε τους οποίους µπορεί ο καθηγητής των µαθηµατικών στην ελληνική δευτεροβάθµια εκπαίδευση, και ειδικότερα ο καθηγητής του Λυκείου, να προσεγγίσει διδακτικά µε τη βοήθεια των νέων τεχνολογιών σηµαντικές για τους µαθητές του έννοιες του αναλυτικού προγράµµατος των σπουδών της Γ τάξης του Λυκείου. Το ενδιαφέρον του ερευνητή εστιάστηκε στη διδασκαλία του ορισµού της έννοιας του ορισµένου ολοκληρώµατος και στη βοήθεια που µπορεί να πάρει ο εκπαιδευτικός από τη χρήση του λογισµικού Autograph. Είναι προφανές ότι ένα µεγάλο µέρος της προσοχής µας

6 θα πρέπει να συγκεντρωθεί και σε πιο στοιχειώδεις θεµελιώδεις έννοιες του Απειροστικού Λογισµού, όπως είναι η έννοια του ορίου, που εµπεριέχονται στο εννοιολογικό πεδίο του ορισµένου ολοκληρώµατος. Ο σκοπός της έρευνας αυτής είναι να διερευνήσει τις δυσκολίες που αντιµετωπίζουν οι µαθητές στην κατανόηση της έννοιας του ορισµένου ολοκληρώµατος και να αναζητήσει κατάλληλους και πρόσφορους τρόπους µε τους οποίους µπορεί ο εκπαιδευτικός να εκµεταλλευτεί τις δυνατότητες που παρέχονται αλλά και την πρόσθετη παιδαγωγική αξία παράγεται από τη χρήση του λογισµικού πακέτου Autograph 3.0 στην διδασκαλία της συγκεκριµένης έννοιας. Το πλαίσιο µελέτης ήταν η θεωρία της ενοργάνωσης αναπτύχθηκε από τους Verillon & Rabardel στα πλαίσια της γνωστικής εργονοµίας και της ανθρωπολογικής θεωρίας που ανέπτυξε ο Chevallard. Στην έρευνα συµµετείχαν οι µαθητές της Θετικής και της Τεχνολογικής κατεύθυνσης της Γ τάξης τριών Λυκείων οι οποίοι εργάστηκαν σε διµελείς οµάδες στο εργαστήριο πληροφορικής του σχολείου τους. Στην ανάλυση που ακολούθησε εξετάστηκαν η προσαρµογή των µαθητών στο λογισµικό, ο τρόπος που το ίδιο το λογισµικό αλλά και το διδακτικό συµβόλαιο καθορίζουν την οικοδόµηση σχηµάτων από τους µαθητές και την ανάδυση του εργαλείου-οργάνου, η παραγωγή µαθηµατικού νοήµατος και οι δυσκολίες που αντιµετωπίζουν οι µαθητές στην εννοιολογική κατανόηση των εννοιών, οι τρόποι µε τους οποίους µπορεί να παρέµβει ο διδάσκων σε επίπεδο του σχεδιασµού ή σε επίπεδο διδακτικής διαδικασίας και, τέλος, οι αλληλεπιδράσεις που παρατηρήθηκαν µεταξύ των παραγόντων της διδακτικής διαδικασίας. 2

7 ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΟΥ ΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΑΠΕΙΡΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ AUTOGRAPH Παλαιογιαννίδης ηµήτριος Υποβλήθηκε στο Πανεπιστήµιο Αθηνών στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης στη ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών που απονέµει το Μαθηµατικό Τµήµα Αθήνα, Ελλάδα Νοέµβριος, 2007

8

9 Παλαιογιαννίδης ηµήτριος, 2007 iii

10

11 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στόχος της έρευνας είναι να εξετάσει τους τρόπους µε τους οποίους µπορεί ο καθηγητής των µαθηµατικών στην ελληνική δευτεροβάθµια εκπαίδευση, και ειδικότερα ο καθηγητής του Λυκείου, να προσεγγίσει διδακτικά µε τη βοήθεια των νέων ψηφιακών τεχνολογιών σηµαντικές για τους µαθητές του έννοιες του αναλυτικού προγράµµατος των σπουδών της Γ τάξης του Λυκείου. Ειδικότερα επιχειρείται να διερευνηθούν οι δυσκολίες που αντιµετωπίζουν οι µαθητές στην κατανόηση της έννοιας του ορισµένου ολοκληρώµατος και να αναζητηθούν κατάλληλοι και πρόσφοροι τρόποι µε τους οποίους µπορεί ο εκπαιδευτικός να εκµεταλλευτεί τις δυνατότητες που του παρέχονται, αλλά και την πρόσθετη παιδαγωγική αξία που παράγεται από τη χρήση του λογισµικού πακέτου Autograph 3.0 στην διδασκαλία της συγκεκριµένης έννοιας στο πλαίσιο της θεωρίας της ενοργάνωσης που αναπτύχθηκε από τους Verillon & Rabardel. Η εργασία αποτελείται από δυο µέρη. Στο πρώτο µέρος επιχειρείται µια σύντοµη ιστορική αναδροµή στην εξέλιξη του Ολοκληρωτικού Λογισµού από τον Εύδοξο και τον Αρχιµήδη µέχρι τις µέρες µας. Το δεύτερο µέρος είναι η κυρίως έρευνα και αποτελείται από πέντε κεφάλαια: Το Πρόβληµα, Ανασκόπηση της Βιβλιογραφίας, Μέθοδος, Αποτελέσµατα και Συµπεράσµατα. Στο τέλος υπάρχουν δύο παραρτήµατα στα οποία παρατίθενται τα φύλλα εργασίας µε τα οποία εργάστηκαν οι µαθητές. Ευχαριστώ τους διευθυντές, τους διδάσκοντες καθηγητές αλλά και τους µαθητές των τριών σχολείων που συµµετείχαν στην έρευνα. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα πρέπει να εκφράσω στον επιβλέποντα καθηγητή κ. Χρόνη Κυνηγό για την υποµονή που επέδειξε και την βοήθεια που µου προσέφερε, στην κ. Φαρµάκη και τον κ. Ζαχαριάδη που µε τίµησαν µε το να είναι µέλη της εξεταστικής επιτροπής, στη συνάδελφο και συµφοιτήτρια στο µεταπτυχιακό αυτό πρόγραµµα κ. Αργυρώ Παπαδοπούλου για τη συµµετοχή της ως παρατηρήτρια στην ερευνητική διαδικασία και, ιδιαίτερα, στον συνάδελφο κ. Κώστα Γαβρίλη για την πολύτιµες παρατηρήσεις του στο σχεδιασµό αλλά και τη βοήθειά του στην πρώτη διεξαγωγή της έρευνας. v

12

13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ xi ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ... xii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ xv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩN xvii ΜΕΡΟΣ 1 ο : ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ... 1 Το γνωστικό αντικείµενο... 3 Η εξέλιξη της έννοιας του ορισµένου ολοκληρώµατος... 3 Οι απαρχές του ολοκληρωτικού λογισµού... 3 Η µέθοδος της εξάντλησης του Ευδόξου.. 4 Ο τετραγωνισµός παραβολικού χωρίου από τον Αρχιµήδη... 6 Η συµβολή των Αράβων Η εξέλιξη από τον 17 ο µέχρι τον 19 ο αιώνα.. 15 Ο Ολοκληρωτικός Λογισµός στον 20 ο αιώνα ΜΕΡΟΣ 2 Ο : Η ΕΡΕΥΝΑ 37 Ι. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 39 Περίληψη... Εισαγωγή ιατύπωση του προβλήµατος.. 39 Σκοπός της έρευνας.. 43 Τα ερευνητικά ερωτήµατα Αναγκαιότητα και σηµαντικότητα της έρευνας Οριοθέτηση της έρευνας.. 45 ΙΙ. ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ.. 47 Περίληψη. 47 Εισαγωγή.. 47 Θεωρητικό πλαίσιο.. 48 Οι γνωστικές και κοινωνικές θεωρίες για τη µάθηση των Μαθηµατικών 48 Από την Γενετική Επιστηµολογία του Piaget στον Κοινωνικό Κονστρουκτιβισµό.. 48 Οι αναπαραστάσεις και τα τεχνουργήµατα (artifacts) 53 Η θεωρία των ιδακτικών Καταστάσεων του Brousseau Το διδακτικό συµβόλαιο. 57 Καταστάσεις προβλήµατος. 58 Η µάθηση των Μαθηµατικών. 60 Οι ψηφιακές τεχνολογίες στην Εκπαίδευση. 62 Η χρήση των ψηφιακών τεχνολογιών στην Εκπαίδευση 62 Εκπαιδευτικά λογισµικά. 76 Τα Computer Algebra Systems (CAS) Το ιερευνητικό Λογισµικό Autograph. 82 Μια σύντοµη παρουσίαση. 82 Μπορεί το Autograph να θεωρηθεί ως CAS; 86 Ποια είναι τα εναλλακτικά λογισµικά;. 87 Η θεωρία της ενοργανωµένης δραστηριότητας 88 Η διαλεκτική µεταξύ εννοιολογικής κατανόησης και τεχνικής εργασίας 94 vii

14 ΙΙΙ. Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 97 Περίληψη. 97 Εισαγωγή.. 97 Η διαδικασία εκτέλεσης της έρευνας Οι παραδοχές της έρευνας Μέσα συλλογής δεδοµένων. 101 Επεξεργασία των δεδοµένων IV. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ-ΣΥΖΗΤΗΣΗ Περίληψη. 103 Εισαγωγή Αποτελέσµατα Η χρήση του λογισµικού Η προσαρµογή στο λογισµικό. 104 Οι περιορισµοί που επιβάλλει το λογισµικό Το ανώτερο και το κατώτερο άθροισµα 107 Το άθροισµα Riemann Η διαµέριση Οι προσεγγίσεις. 111 Το διδακτικό συµβόλαιο, η επίδρασή του στην στρατηγική που επιλέγεται και τα σχήµατα που δοµούνται 114 Η ανάδυση του οργάνου Η παραγωγή µαθηµατικού νοήµατος 121 Οι ευκαιρίες που παρέχει το λογισµικό Το όριο Η δυσκολία στην αναγνώριση της έννοιας του ορίου 123 Το όριο και οι τιµές της ακολουθίας Το κριτήριο παρεµβολής Το ορισµένο ολοκλήρωµα ως εµβαδό παραβολικού χωρίου 141 Η εκµετάλλευση των περιορισµών που επιβάλλει το λογισµικό 142 Η εξαγωγή και διατύπωση κανόνα Η δυσκολία στη µετάβαση στο περιβάλλον «χαρτί µολύβι». 149 Η πεποίθηση ότι τα ορθογώνια είναι ίσα 150 Ο υπολογισµός του εµβαδού του τυχαίου ορθογωνίου Ο υπολογισµός της βάσης. 152 Ο υπολογισµός του ύψους. 154 Η συνεργασία 159 Η αλληλεπίδραση στο πλαίσιο της οµάδας. 160 Οι ρόλοι των µελών της οµάδας Η εναλλαγή ρόλων 161 Η αλληλεπίδραση µεταξύ οµάδων Η αλληλεπίδραση µεταξύ οµάδας και διδάσκοντος V. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 169 Περίληψη. 169 Συµπεράσµατα. 169 Προτάσεις για περαιτέρω διερεύνηση. 176 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Τα φύλλα εργασίας που χρησιµοποιήθηκαν κατά τις δυο πρώτες εφαρµογές της έρευνας. 179 viii

15 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Τα φύλλα εργασίας που χρησιµοποιήθηκαν κατά την τρίτη διεξαγωγή της έρευνας για την έρευνα διδακτική πρόταση. 187 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ix

16

17 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 1 : Το εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ υπερβαίνει το ήµισυ του εµβαδού του παραβολικού χωρίου 8 Σχήµα 2 : Ο τετραγωνισµός παραβολικού χωρίου. 9 Σχήµα 3 : Η µέθοδος εγγραφής ορθογωνίων.. 12 Σχήµα 4 : Το στερεό εκ περιστροφής Σχήµα 5: Το ορθογώνιο από το οποίο προκύπτει ο αναδροµικός τύπος Σχήµα 6 : Η µέθοδος της εξάντλησης του Stevin για την εύρεση του κέντρου βάρους του τριγώνου. 16 Σχήµα 7 : Το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη ταχύτητας-χρόνου ισούται µε το διανυθέν διάστηµα Σχήµα 8 : Υπολογισµός εµβαδού έλλειψης 18 Σχήµα 9 : a Ο υπολογισµός του xdx. 21 Σχήµα 10: Σχήµα 11: Σχήµα 12: Ο υπολογισµός του 0 a xdx 2 0 Ο υπολογισµός των αθροισµάτων Ο υπολογισµός των αθροισµάτων Α x k Β Α x k Β Σχήµα 13: Η νέα µέθοδος 24 Σχήµα 14: Ο υπολογισµός του εµβαδού τριγώνου από τον Wallis. 27 Σχήµα 15: Το χαρακτηριστικό τρίγωνο Σχήµα 16: Τετραγωνισµός καµπύλης από τον Νεύτωνα. 31 Σχήµα 17: Το σχήµα της απόδειξης του Pascal Σχήµα 18: Το χαρακτηριστικό τρίγωνο του Leibniz xi

18

19 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ιάγραµµα 1: Μοντέλο του συνεχούς γνώσης και δεξιοτήτων που απαιτούνται στη χρήση των νέων τεχνολογιών 75 ιάγραµµα 2: Ο διαµεσολαβητικός ρόλος του οργάνου στην αλληλεπίδραση υποκειµένου-αντικειµένου.. 90 ιάγραµµα 3: Μοντέλο αλληλεπιδραστικής επικοινωνίας δυο υποκειµένων µε τη διαµεσολάβηση σηµειολογικού οργάνου. 92 ιάγραµµα 4: Η ενοργανωτική γένεση xiii

20

21 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Παράδειγµα 1: Μια σελίδα 1D του λογισµικού Autograph.. 83 Παράδειγµα 2: Μια σελίδα 2D του λογισµικού Autograph.. 84 Παράδειγµα 3: Μια σελίδα 3D του λογισµικού Autograph.. 86 xv

22

23 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα 1: Η επιλογή Rectangle (-) στο [-10, 10] 109 Εικόνα 2: Το ανώτερο και το κατώτερο άθροισµα στο [0, 10] Εικόνα 3: Το εµβαδόν είναι 99,99 και τείνει στο Εικόνα 4: Η εξήγηση µε ορολογία ανάλυσης Εικόνα 5: Η στρατηγική της ικανοποιητικής τιµής Εικόνα 6: Το όριο της αύξουσας ακολουθίας εµβαδών Εικόνα 7: Οι τιµές της ακολουθίας δεν µπορούν να υπερβούν το όριο Εικόνα 8: Η γεωµετρική εποπτεία 134 Εικόνα 9: Για να υπάρχει όριο πρέπει η ακολουθία να είναι τελικά Εικόνα 10: σταθερή 135 Από ένα σηµείο και µετά οι τιµές της ακολουθίας κατώτερων αθροισµάτων ταυτίζονται µε το εµβαδόν του χωρίου 135 Εικόνα 11: Το εµβαδόν του χωρίου είναι µεταβαλλόµενο µέγεθος Εικόνα 12: Ο κανόνας είναι η χρήση ορισµένου ολοκληρώµατος 145 Εικόνα 13: Ο κανόνας του ορισµένου ολοκληρώµατος. 146 Εικόνα 14: Η µετατροπή του παραβολικού χωρίου σε τριγωνικό. 147 Εικόνα 15: Το παραβολικό χωρίο και το τρίγωνο Εικόνα 16: Ο κανόνας για τον υπολογισµό του εµβαδού του παραβολικού χωρίου 148 Εικόνα 17: Ο λεπτοµερής κανόνας. 149 Εικόνα 18: Το λάθος στον υπολογισµό του ύψους του τελευταίου ορθογωνίου Εικόνα 19: Η απόδειξη xvii

24

25 ΜΕΡΟΣ 1 ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

26

27 Το γνωστικό αντικείµενο Το γνωστικό αντικείµενο αυτής της εργασίας είναι το ορισµένο ολοκλήρωµα (κατά Riemann) και ακριβέστερα ο ορισµός του. Η µελέτη των δυσκολιών που παρουσιάζονται κατά τη διδασκαλία µιας µαθηµατικής έννοιας άπτεται και της γνώσης της ίδιας της έννοιας καθώς και της ιστορικής της εξέλιξης. Η αφετηρία λοιπόν της έρευνας, που αποτελεί και το πρώτο µέρος της, δεν µπορεί παρά να είναι µια σύντοµη ιστορική αναδροµή της ανάδειξης και της εξέλιξης της έννοιας του ορισµένου ολοκληρώµατος. Η εξέλιξη της έννοιας του ορισµένου ολοκληρώµατος Οι απαρχές του Ολοκληρωτικού Λογισµού Οι απαρχές του Ολοκληρωτικού Λογισµού θα πρέπει να αναζητηθούν στους γεωµετρικούς υπολογισµούς εµβαδών και όγκων κατά την αρχαιότητα. Είναι γνωστό ότι οι Αιγύπτιοι µπορούσαν να υπολογίσουν το εµβαδόν επίπεδων ευθύγραµµων σχηµάτων. Έκοβαν το σχήµα σε τρίγωνα τα οποία αναδιέτασσαν µε τρόπο ώστε να δηµιουργήσουν ορθογώνια των οποίων γνώριζαν να υπολογίζουν εµβαδόν. Οι Βαβυλώνιοι εξάλλου είχαν αναπτύξει εµπειρικές µεθόδους για τον υπολογισµό εµβαδών τριγώνων και τραπεζοειδών και όγκων κυλίνδρων και πρισµάτων (Νεγρεπόντης κ.α. 1999). Όλα αυτά τα σηµαντικά επιτεύγµατα όµως ήταν εµπειρικά. Σε κανένα σηµείο δεν φαίνεται να υπάρχει αντίληψη της διαφοράς προσεγγιστικού και ακριβούς υπολογισµού. Όπως επίσης δεν εµφανίζεται πουθενά έστω και υποτυπώδης απόδειξη ή έστω προσπάθεια αιτιολόγησης. Τα µαθηµατικά της εποχής ήταν χρηστικά. Αρκούσε ο προσεγγιστικός υπολογισµός του εµβαδού ή του όγκου. εν υπήρχε προβληµατισµός σχετικά µε το αν η προσέγγιση είναι ικανοποιητική ή γιατί είναι ικανοποιητική. Η έννοια της αιτιολόγησης και της αυστηρής απόδειξης εισάγεται από τους Έλληνες στοχαστές και µαθηµατικούς. Η πρώτη απόδειξη αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο γύρω στο 600 π.χ. Αυτή είναι και η αρχή της Μαθηµατικής Επιστήµης που άκµασε στην αρχαία Ελλάδα. Ένα από τα πιο σηµαντικά προβλήµατα των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών, το ένα από τα τρία άλυτα προβλήµατα, είναι το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου. Είναι γνωστή η προσπάθεια του Ιπποκράτη του Χίου να τετραγωνίσει 3

28 κυκλικούς µηνίσκους, προσπάθεια που εντάσσεται στο πλαίσιο αυτό και έχει προφανή στόχο τον τετραγωνισµό του κύκλου. Είναι επίσης γνωστό ότι από την εποχή ακόµα των Πυθαγορείων ήταν γνωστή η µέθοδος τετραγωνισµού ευθύγραµµων χωρίων µια και η µέθοδος περιέχεται στο δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη το οποίο αποδίδεται στους Πυθαγόρειους. Φαίνεται λοιπόν ότι η προσπάθεια τετραγωνισµού του κύκλου και άλλων καµπυλόγραµµων χωρίων, όπως το παραβολικό, εντάσσεται σε ένα πλαίσιο γενίκευσης των όσων οι αρχαίοι γνώριζαν σχετικά µε τον τετραγωνισµό ευθύγραµµων σχηµάτων. Έτσι µπορεί να θεωρηθεί ότι οι αρχαίοι Έλληνες διαισθητικά αποδέχονταν ότι το εµβαδόν ενός καµπυλόγραµµου χωρίου ήταν µέγεθος του ίδιου τύπου µε το εµβαδόν ενός ευθύγραµµου χωρίου (Γιαννακούλιας, 2005). Οι αρχαίοι Έλληνες δέχονταν επίσης ότι για τον υπολογισµό των εµβαδών επίπεδων χωρίων οποιουδήποτε είδους ισχύουν οι εξής δυο θεµελιώδεις ιδιότητες των εµβαδών: α) Αν το σχήµα Α περιέχεται στο Β, τότε Εµβ(Α)<Εµβ(Β) και β) Αν το χωρίο Α χωρίζεται στα Β και Γ, τότε Εµβ(Α)=Εµβ(Β)+Εµβ(Γ). Αυτά είναι τα στοιχεία στα οποία στηρίχτηκε ο Εύδοξος για να αναπτύξει τη µέθοδό του για τον υπολογισµό εµβαδών. Η µέθοδος της εξάντλησης του Ευδόξου Κορυφαίος µαθηµατικός της κλασσικής περιόδου θεωρείται ο Εύδοξος ο Κνίδιος ( π.χ.) που έζησε και έδρασε στην Αθήνα και ήταν µέλος της Ακαδηµίας του Πλάτωνα. Στον Εύδοξο οφείλουµε τη µέθοδο της εξάντλησης η οποία αποτελεί τη βάση του ορισµού του ολοκληρώµατος κατά Riemann. Η µέθοδος στηρίζεται στην πρόταση Χ.1 των στοιχείων του Ευκλείδη: Πρόταση X.1: οθέντων δυο άνισων µεγεθών, εάν από το µεγαλύτερο αφαιρεθεί µέρος του µεγαλύτερο του µισού και από το υπόλοιπο αφαιρεθεί και πάλι µέρος του µεγαλύτερο του µισού και αυτό γίνεται συνεχώς, θα αποµείνει µέγεθος το οποίο θα είναι µικρότερο από το µικρότερο από τα δυο µεγέθη. 4

29 Η µέθοδος της εξάντλησης συνίσταται στο να φράξουµε το χωρίο άνω και κάτω µε δύο ακολουθίες εµβαδών. Η µία ακολουθία είναι αύξουσα µε εγγεγραµµένα στο χωρίο σχήµατα ενώ η άλλη είναι φθίνουσα µε περιγεγραµµένα σχήµατα. Η ζητούµενη τιµή του εµβαδού του σχήµατος Α βρίσκεται µεταξύ των τιµών των εµβαδών αυτών και επιθυµούµε να αποδείξουµε ότι ισούται µε την γνωστή τιµή Ε. Ουσιαστικά η ιδέα αυτή αντικατοπτρίζει στην σηµερινή ορολογία την έννοια του ορίου, οπότε το Α βρίσκεται σαν το όριο της µιας ή της άλλης ακολουθίας. Με την τιµή Ε γνωστή το χαρακτηριστικό της µεθόδου της εξάντλησης ήταν η χρήση της ιδιότητας του Αρχιµήδους Ευδόξου οδηγώντας την απόδειξη σε µία διπλή απαγωγή σε άτοπο. Ας επιχειρήσουµε να δούµε πως θα µπορούσε να εφαρµόζεται η µέθοδος αυτή. Υποθέτουµε αρχικά ότι το εµβαδόν του σχήµατος Α είναι ίσο µε S. Θα προσπαθήσουµε να προσδιορίσουµε το S. Βρίσκουµε αρχικά δυο σχήµατα Β, Γ µε εµβαδά Β0 και Γ0 αντίστοιχα, ώστε Β 0 < S <Γ 0. Στη συνέχεια βρίσκουµε δυο ακόµα σχήµατα µε εµβαδά Β, Γ ώστε Γ0 Β0 1 1 Β1 < S < Γ1 µε Γ1 Β1 <. 2 Συνεχίζουµε βρίσκοντας δυο ακόµα σχήµατα µε εµβαδά Β 2 και Γ 2 ώστε Γ1 Β1 Β 2 < S < Γ2 µε Γ2 Β 2 <, κοκ. 2 Θα αποδείξουµε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει n ώστε Γn Β n < ε. Σύµφωνα µε την αρχή Αρχιµήδους-Ευδόξου για κάθε ε > 0 υπάρχει n τέτοιο Γ0 Β 0 + >Γ Β. Τότε < ε. n + 1 ώστε ( n 1) ε 0 0 n Αλλά µπορούµε εύκολα να αποδείξουµε επαγωγικά ότι 2 > n + 1, οπότε Γ0 Β0 Γ0 Β0 < < ε. n 2 n + 1 Γ0 Β0 Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι Γn Β n <. n 2 Γ0 Β0 Παρατηρούµε ότι η σχέση ισχύει για n=1, αφού Γ Β<

30 Γ0 Β0 εχόµαστε ότι ισχύει για n=k. ηλαδή ότι Γκ Β κ < κ 2 Γ0 Β0 Θα δείξουµε ότι ισχύει και για n=k+1. ηλαδή Γκ+ 1 Β κ+ 1 <. κ Γκ Βκ 1 Γ0 Β0 Γ0 Β0 Πραγµατικά Γκ+ 1 Β κ+ 1 < < =. κ κ Άρα, πράγµατι, για κάθε ε > 0 υπάρχει n ώστε Γn Β n < ε. Το δεύτερο βήµα της διαδικασίας συνίσταται στην ανάπτυξη µιας εικασίας για το ζητούµενο εµβαδόν. Ο Αρχιµήδης, έναν περίπου αιώνα αργότερα, στο βήµα αυτό χρησιµοποιούσε τη µηχανική του µέθοδο για τον προσδιορισµό του εµβαδού. Έστω λοιπόν ότι εικάζουµε πως το ζητούµενο εµβαδόν είναι Ε. ηλαδή έστω Ε ώστε Β E Γ, n. n n Στο τρίτο στάδιο της διαδικασίας αποδεικνύουµε ότι S = E. Έστω S>E. n ώστε Επίσης Επιλέγουµε S E ε =. Τότε, από το πρώτο στάδιο, υπάρχει 2 Γn Β n < ε. Από το δεύτερο στάδιο όµως έχουµε: S E < Γn Β n. 0 < S E. Άρα S E 0 < S E < Γn Β n <, άτοπο. 2 Όµοια καταλήγουµε σε άτοπο αν υποθέσουµε ότι S < E. Άρα S = E. Το πρόβληµα µε τη µέθοδο της εξάντλησης είναι, όπως γίνεται φανερό από το δεύτερο βήµα, ότι για να εφαρµοστεί θα πρέπει το εµβαδόν να είναι γνωστό. Αποτελεί δηλαδή µια αποδεικτική αλλά µη ευρετική µέθοδο. Ο τετραγωνισµός παραβολικού χωρίου από τον Αρχιµήδη Ο κορυφαίος ίσως µαθηµατικός της αρχαιότητας και ένα από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς στην ιστορία της ανθρωπότητας είναι ο Αρχιµήδης. Έζησε έναν περίπου αιώνα µετά τον Εύδοξο ( π.χ.) και εκµεταλλεύτηκε κατά κόρον τη µέθοδο της εξάντλησης. Έδωσε ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα χρήσης της µεθόδου µε τον υπολογισµό του εµβαδού ενός παραβολικού χωρίου (αυτό που µε σύγχρονο συµβολισµό εκφράζεται ως 1 0 x 2 dx και του οποίου η διδασκαλία αποτελεί το 6

31 αντικείµενο έρευνας της παρούσας διπλωµατικής εργασίας). Η πρόταση για τον υπολογισµό του παραβολικού χωρίου που αποδεικνύει ο Αρχιµήδης είναι η εξής (Χριστιανίδης, 2003): Πρόταση 1: Έστω το τµήµα ΑΒΓ, το περιεχόµενο υπό της ευθείας ΑΓ και της παραβολής ΑΒΓ. Ας τµηθεί η ΑΓ στο µέσον, στο [σηµείο], ας αχθεί η ΒΕ παράλληλη προς τη διάµετρο και ας αχθούν οι ΑΒ, ΒΓ. Λέγω ότι το τµήµα ΑΒΓ είναι ένα και ένα τρίτο του τριγώνου ΑΒΓ Για τις ανάγκες των υπολογισµών του επαναδιατύπωσε τη µέθοδο της εξάντλησης ως εξής: «Για µεγέθη συγκρίσιµα µεταξύ τους δεχόµαστε ότι καθένα από αυτά πολλαπλασιαζόµενο µε κάποιο αριθµό µπορεί να υπερβεί το άλλο». Πρόκειται για τον όρο (ορισµό) V.4 στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη και είναι ακριβώς η πρόταση που αποκαλούµε σήµερα ιδιότητα Αρχιµήδους-Ευδόξου. Ο Αρχιµήδης έδωσε δυο αυστηρές αποδείξεις της πρότασης που αφορά το εµβαδό του παραβολικού χωρίου. Μια µηχανική (ευρετική) και µια γεωµετρική (Van der Waerden, 2003; Χριστιανίδης, 2003). Αυτό ήταν κάτι που έκανε συστηµατικά ο Αρχιµήδης και πήγαζε από την αναγκαιότητα να ξεπεραστεί το µειονέκτηµα της µεθόδου της εξάντλησης που προαναφέρθηκε. Η µέθοδος ήταν µια «στείρα» µέθοδος µε την έννοια ότι δεν παρήγαγε η ίδια αποτελέσµατα αλλά απλά χρησίµευε στην απόδειξη της ορθότητας αποτελεσµάτων τα οποία είχαν ανακαλυφθεί µε άλλους τρόπους. Κατά τους Νεγρεπόντη, Γιωτόπουλο και Γιαννακούλια (1999) ο Αρχιµήδης έδωσε τρεις διαφορετικές αποδείξεις της πρότασης. Μια διαισθητική (η µηχανική) και δυο γεωµετρικές. Στη µηχανική απόδειξη στο έργο του Περί των µηχανικών θεωρηµάτων προς Ερατοσθένην έφοδος στην οποία ο παραγωγικός συλλογισµός είναι ουσιαστικά ο ίδιος όπως στη «Μέθοδο». Το στοιχείο που προστίθεται και την καθιστά αυστηρή µαθηµατική απόδειξη είναι η χρήση της µεθόδου της εξάντλησης για την απόδειξη των διαισθητικών αποτελεσµάτων (Van der Waerden, 2003). Οι δυο γεωµετρικές αποδείξεις περιέχονται στο έργο του Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής (πιο γνωστής ως Τετραγωνισµός παραβολής ) και συνίστανται στην εγγραφή πολυγώνων στο χωρίο. Στην πρώτη απόδειξη εγγράφει στο χωρίο τρίγωνα και στη δεύτερη ορθογώνια. Αξιοσηµείωτο είναι ότι στην πρώτη απόδειξη σε αντίθεση µε τα άλλα έργα του χρησιµοποιεί µόνο εγγραφή και όχι περιγραφή τριγώνων. Στην απόδειξη αυτή αναφέρονται µεταξύ άλλων και οι Νεγρεπόντης κ.α. (1999), Heath 7

32 (2001, 2002), Van der Waerden (2003) και Χριστιανίδης (2003). Η πορεία της απόδειξης είναι η εξής: Η βασική ιδέα (Χριστιανίδης, 2003) είναι η χρήση της µεθόδου της εξάντλησης. Αν από το παραβολικό χωρίο αφαιρέσουµε το τρίγωνο ΑΒΓ (σχήµα 1), που είναι περισσότερο από το µισό του, στη συνέχεια από τα δυο χωρία που αποµένουν αφαιρέσουµε τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΒΝΓ, δηλαδή και πάλι περισσότερο από το µισό τους, και αυτή η διαδικασία επαναλαµβάνεται, τότε το παραβολικό χωρίο θα «εξαντλείται» συνεχώς µε αποτέλεσµα να αποµείνει τελικά επιφάνεια όσο µικρή θέλουµε, δηλαδή µικρότερη από οποιαδήποτε δοσµένη επιφάνεια. Ας σηµειωθεί στο σηµείο αυτό ότι τα σηµεία Β, Μ και Ν δεν είναι τυχαία. Το Β είναι η κορυφή του παραβολικού τµήµατος ΑΒΓ, το Μ είναι η κορυφή του ΑΜΒ και το Ν η κορυφή του ΒΝΓ (ως κορυφή ενός παραβολικού τµήµατος ο Αρχιµήδης ορίζει το σηµείο του που Σχήµα 1: Το εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ υπερβαίνει το ήµισυ του εµβαδού του παραβολικού χωρίου απέχει τη µέγιστη απόσταση από τη βάση). Στην πρώτη φάση της απόδειξης λοιπόν ο Αρχιµήδης επικεντρώνεται στο να αποδείξει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδό µεγαλύτερο από το µισό του εµβαδού του χωρίου (πρόταση 20). Με σύγχρονο συµβολισµό αν S είναι το εµβαδό του χωρίου και ΑΒΓ είναι το εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ, τότε 1 ΑΒΓ > 2 S. Για να καταφέρει να αποδείξει τη σχέση αυτή ο Αρχιµήδης φέρνει από τα σηµεία Α και Γ τις παράλληλες προς τον άξονα της παραβολής (για τον οποίο γνωρίζει ότι είναι 8

33 παράλληλος προς την Β, όπου το µέσο της βάσης ΑΓ) που τέµνουν την εφαπτόµενη της παραβολής στην κορυφή της Β στα σηµεία Α και Γ αντίστοιχα (σχήµα 2). Το τετράπλευρο ΑΑ Γ Γ προφανώς είναι παραλληλόγραµµο (Σε πρόταση Σχήµα 2: Ο τετραγωνισµός παραβολικού χωρίου που προηγείται ο Αρχιµήδης έχει αποδείξει ότι η εφαπτόµενη στην κορυφή της παραβολής είναι παράλληλη προς τη βάση της ΑΓ). Έτσι ΑΒΓ = ( ΑΑ Γ Γ) 1 2 και ΑΒΓ < S < ΑΑ Γ Γ ( ). Άρα ΑΒΓ > 1 2 S. Στη συνέχεια αποδεικνύει (πρόταση 21) ότι ΑΒΓ = 8 ΑΜΒ = 8 ΓΝΒ. Έτσι γνωρίζει πια ότι 1 ΑΜΒ + ΓΝΒ = ΑΒΓ 4. Τώρα µπορεί πια είναι σε θέση να εφαρµόσει τη µέθοδο της εξάντλησης. Ακολουθεί µια διαδικασία πέντε βηµάτων. Βήµα 1 ο : Εγγράφει στο παραβολικό χωρίο το τρίγωνο ΑΒΓ που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος µε το παραβολικό τµήµα ΑΒΓ. Βήµα 2 ο : Στα παραβολικά τµήµατα ΑΜΒ και ΒΝΓ που απέµειναν εγγράφει τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΒΝΓ αντίστοιχα µε βάσεις και ύψη τις βάσεις και τα ύψη των παραβολικών τµηµάτων. Βήµα 3 ο : Επαναλαµβάνει τη διαδικασία για τα παραβολικά τµήµατα που έχουν αποµείνει (οπότε δηµιουργούνται 4 τρίγωνα). 9

34 Βήµα 4 ο : Επαναλαµβάνει την ίδια διαδικασία για τα παραβολικά τµήµατα που έχουν και πάλι αποµείνει (8 τρίγωνα). Βήµα 5 ο : Επαναλαµβάνει τη διαδικασία για τα εναποµείναντα παραβολικά χωρία (16 τρίγωνα). Για λόγους ευκολίας ας ονοµάσουµε Ε το εµβαδόν ΑΒΓ, Ε1 το άθροισµα ΑΜΒ + ΓΝΒ των εµβαδών των τριγώνων που εγγράφει στο δεύτερο βήµα, και Ε2, Ε3 και Ε4 το άθροισµα των εµβαδών των τεσσάρων, οκτώ και δεκαέξι αντίστοιχα τριγώνων που εγγράφονται στα παραβολικά χωρία στο τρίτο, τέταρτο και πέµπτο βήµα αντίστοιχα. Έχουµε λοιπόν την εξής κατάσταση: 1 Ε 1 = Ε (στο δεύτερο βήµα) 4 1 Ε 2 = Ε 1 (στο τρίτο βήµα) 4 1 Ε 3 = Ε 2 (στο τέταρτο βήµα) και 4 1 Ε 4 = Ε 3 (στο πέµπτο βήµα). 4 Το ζητούµενο εποµένως είναι να υπολογιστεί το άθροισµα Ε+Ε 1+Ε 2 +Ε 3+Ε 4. Στο σηµείο αυτό καλό θα ήταν να σχολιαστεί ότι µε µια σύγχρονη µαθηµατική οπτική τα πράγµατα είναι εύκολα. Η άπειρη επανάληψη της διαδικασίας µας οδηγεί σε ένα άπειρο άθροισµα και µέσα από αυτό σε ένα όριο (πρόκειται για το άθροισµα των άπειρων όρων µιας φθίνουσας γεωµετρικής προόδου). Σήµερα ο υπολογισµός ενός ορίου θα έδινε τη λύση στο πρόβληµα. Ο Αρχιµήδης όµως δεν διέθετε αυτού του είδους τη γνώση. Έτσι αρκείται στον υπολογισµό του παραπάνω µερικού αθροίσµατος. Αποδεικνύει (πρόταση 23) ότι αν το άθροισµα αυτό αυξηθεί κατά το 1/3 του τελευταίου όρου, θα ισούται ακριβώς µε τα 4/3 του πρώτου όρου. ηλαδή 1 4 αποδεικνύει ότι Ε+Ε 1+Ε 2 +Ε 3+Ε 4 + Ε 4 = Ε

35 Το ερώτηµα που ανακύπτει είναι γιατί ο Αρχιµήδης δεν προχωράει και σε άλλα βήµατα αλλά σταµατάει στο βήµα αυτό και χρησιµοποιεί το µερικό άθροισµα. Είναι προφανές από το συλλογισµό µέχρι το σηµείο αυτό αλλά και την αναδιατύπωση της µεθόδου της εξάντλησης ότι κατανοεί πως αν κάνει ακόµα ένα βήµα και πάρει και το επόµενο µερικό άθροισµα, τότε το άθροισµα αυτό θα διαφέρει από το σταθερό 4 3 Ε κατά ένα µέγεθος 1 Ε 3 5 που είναι µικρότερο από το 1 Ε 3 4. Και αυτό µπορεί να συνεχίζεται επ άπειρον. Κατανοεί δηλαδή ότι, µε τη σηµερινή εψιλοντική ορολογία, για κάθε θετικό αριθµό ε µπορούµε να βρούµε ένα µερικό άθροισµα το οποίο να διαφέρει από το 4 3 Ε κατά ένα µέγεθος µικρότερο του ε. Αυτό όµως σηµαίνει ότι το άπειρο άθροισµα ισούται µε 4 3 Ε (Χριστιανίδης, 2003, σελ. 144). Έχει λοιπόν πια ανακαλύψει ποιο είναι το ζητούµενο εµβαδόν. Μένει να το αποδείξει. Προφανώς δεν µπορεί να χρησιµοποιήσει οριακές διαδικασίες. Ακολουθεί λοιπόν η τρίτη φάση της µεθόδου της εξάντλησης µε την διπλή απαγωγή σε άτοπο όπως περιγράφηκε παραπάνω. Ο στόχος είναι να αποδείξει ότι 4 S = Ε Υποθέτει αρχικά ότι S > Ε. Τότε θα ισχύει και ότι Ε+Ε 1+Ε 2 +Ε 3+Ε 4 > Ε 3 3 αφού το άθροισµα Ε+Ε 1+Ε 2 +Ε 3+Ε 4 διαφέρει από το χωρίο κατά µια οσονδήποτε µικρή ποσότητα, οπότε δεν µπορεί παρά και αυτό να είναι µεγαλύτερο από το µέγεθος Ε. Άρα φτάσαµε σε αντίφαση αφού Ε+Ε 3 1+Ε 2 +Ε 3+Ε 4 + Ε 4 = Ε που σηµαίνει ότι Ε+Ε 1+Ε 2 +Ε 3+Ε 4 < Ε. 3 Με ανάλογο συλλογισµό οδηγείται σε άτοπο αν 4 S < Ε. 3 Άρα 4 S = Ε. 3 11

36 Η δεύτερη απόδειξη περιέχει τη διαδικασία την οποία ουσιαστικά ακολουθεί ο Riemann στον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος, όπως φαίνεται στο σχήµα 3: Σχήµα 3: Η µέθοδος εγγραφής ορθογωνίων Στην απόδειξη αυτή ο Αρχιµήδης υπολογίζει το εµβαδόν S του χωρίου κάτω από την παραβολή µε ΟΕ=1. Η απόδειξη αυτή δεν θα περιγραφεί µε µεγάλη λεπτοµέρεια. Απλά θα σκιαγραφηθεί η δοµή της. Η πορεία της είναι αυτή που ακολουθούµε και σήµερα για τον υπολογισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος. ιαιρεί λοιπόν πρώτα ο Αρχιµήδης το τµήµα ΟΕ σε 4 ίσα τµήµατα µήκους 1/4. Ορίζονται έτσι το κάτω άθροισµα β4 και το άνω άθροισµα α4. Στη συνέχεια ακολουθούν βήµατα για τον ορισµό των ακολουθιών ( βν ) και ( ν ) α των κάτω και των άνω αθροισµάτων αντίστοιχα. Η διαφορά µε τη µέθοδο που ακολουθούµε σήµερα εντοπίζεται στο τελείωµα της απόδειξης και οφείλεται στο γεγονός ότι, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, ο Αρχιµήδης δεν κατείχε το ισχυρότατο εργαλείο που αποκαλούµε όριο. Έτσι καταφεύγει και πάλι στη χρήση της µεθόδου της εξάντλησης. 1 ν Αποδεικνύει ότι βν αν = ν ν Αρχιµήδους-Ευδόξου, η διαφορά αυξάνεται. Άρα, µε σύγχρονο συµβολισµό, 2 1 =. Εποµένως, σύµφωνα µε την ιδιότητα ν β α γίνεται αυθαίρετα µικρή καθώς το ν ν ν 1 lim α ν =. + 3 ν Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα στοιχεία στη µηχανική µέθοδο, η οποία δεν θα παρουσιαστεί, είναι η αποδόµηση των σχηµάτων σε απειροστά και η επαναδόµησή τους σε «όλον». Θεωρεί ο Αρχιµήδης ότι ένα επίπεδο σχήµα δοµείται από «όλα» τα ευθύγραµµα τµήµατα που άγονται µε ορισµένη διεύθυνση και έχουν τα άκρα τους στην περιφέρεια του σχήµατος. Ένα επίπεδο σχήµα, λοιπόν, µπορεί να αποδοµηθεί σε 12

37 τέτοιες παράλληλες χορδές µε ορισµένα µήκη και να δοµηθεί εκ νέου από αυτές. Το «άθροισµα» των ευθυγράµµων τµηµάτων δίνει την επιφάνεια του σχήµατος (Χριστιανίδης, 2003). Αυτή η µετάβαση από το απειροστό µέρος σε ολόκληρη την ποσότητα είναι το βασικό βήµα του Ολοκληρωτικού Λογισµού (Νεγρεπόντης κ.α., 1999). Η συµβολή των Αράβων Η µετά τον Αρχιµήδη εποχή για τα ελληνικά µαθηµατικά δεν έχει να επιδείξει τίποτα σπουδαίο στο πεδίο αυτού που σήµερα ονοµάζουµε Ολοκληρωτικό Λογισµό µε την εξαίρεση του ιονυσόδωρου, ο οποίος υπολόγισε τον όγκο σπειροειδούς, και του Πάππου στα τέλη του 3 ου µ.χ αιώνα (Γιαννακούλιας, 2005). Μετά την πτώση της Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας το ενδιαφέρον για τη µελέτη των µαθηµατικών µεταφέρεται στην Ανατολή. Στο Βυζάντιο, στην Περσία, την Ινδία και στις Αραβικές χώρες. Στο διάστηµα από τον 9 ο µέχρι και τον 12 ο αιώνα µ.χ. οι Άραβες µετάφρασαν και µελέτησαν συστηµατικά τους Αρχαίους Έλληνες µαθηµατικούς και κυρίως τον Σχήµα 4: Το στερεό εκ περιστροφής Ευκλείδη και τον Αρχιµήδη. Ένας σηµαντικός Άραβας µαθηµατικός και εκφραστής αυτής της τάσης ήταν ο Al-Haitham ( µ.χ.), γνωστός σαν Alharen, που υπολόγισε τον όγκο του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή του χωρίου που 2 ορίζεται από τις σχέσεις: 0 x 1, x y 1 γύρω από τον άξονα ψ = 1 (σχήµα 4). Ο όγκος αυτός υπολογίζεται από τον τύπο V x ) dx = π ( 1dx 2 x dx + 4 = π ( x dx)

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση ΓΕΛ. ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 202- Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση Το πρόβλημα μελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη ΘΕΜΑ : Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης Θετικών Μαθηµάτων των Β και Γ τάξεων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2011 12. Μετά από σχετική εισήγηση του Τµήµατος ευτεροβάθµιας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β Λυκείου Αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, Οµοιότητα τριγώνων, Εµβαδόν Τετραγώνου. Εµβαδόν Τριγώνου Βασικές γνώσεις Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα