ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)"

Transcript

1 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα αυτά είχαν προηγουµένως αναφερθεί στο κεφ. 8, όταν οι υπολογιζόµενες θέσεις των πόλων στα IIR φίλτρα ήταν διαφορετικές από τις επιθυµητές, διαφορές οι οποίες οφείλονταν στην στρογγυλοποίηση των υπολογισµών. Αυτά τα αποτελέσµατα είναι επίσης σηµαντικά όταν υλοποιούµε ένα φίλτρο µε έναν υπολογιστή ή µε ένα ψηφιακό σύστηµα, το οποίο παριστάνει τους αριθµούς ως µια πεπερασµένη σειρά από δυαδικές τιµές. Σ αυτή την περίπτωση, η ακολουθία εισόδου και οι αριθµητικοί συντελεστές πρέπει να παριστάνονται µε ένα αριθµητικό σύστηµα πεπερασµένης ακρίβειας, όπως επίσης και τα αποτελέσµατα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού Ξεκινάµε ορίζοντας τους δύο πιο συνηθισµένους τρόπους παράστασης αριθµών στον υπολογιστή, παράσταση σταθερής υποδιαστολής (fixed-point) και κινητής υποδιαστολής (floating-point). Στη συνέχεια, εξετάζονται τρία αποτελέσµατα των συστηµάτων µε αριθµούς πεπερασµένης ακρίβειας. Το πρώτο είναι η µετατροπή των συνεχόµενων, ή απεριόριστης ακρίβειας, τιµών σε πεπερασµένης ακρίβειας τιµές. Αυτό συµβαίνει στην µετατροπή αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό. Το αποτέλεσµα είναι παρόµοιο µε το να προσθέσουµε θόρυβο στο σήµα εισόδου. Το δεύτερο αποτέλεσµα οφείλεται στο ότι οι αριθµητικοί συντελεστές, οι οποίο µπορούν να υπολογιστούν θεωριτικά µε απεριόριστη ακρίβεια, περιορίζονται όµως σε ένα µόνο αριθµό πεπερασµένης ακρίβειας µέσα στην πραγµατοποίηση του φίλτρου µε τον υπολογιστή. Σαν αποτέλεσµα αυτού οι πόλοι και τα µηδενικά στο επίπεδο Ζ µπορούν να πάρουν µόνο µια σειρά από επιτρεπτές τιµές. Η απόκλιση που παρατηρείται στην παραγόµενη συνάρτηση µεταφοράς µελετάται. Το τρίτο αποτέλεσµα είναι η περικοπή που γίνεται όταν το αποτέλεσµα ενός πολλαπλασιασµού ή µιας πρόσθεσης αριθµών πεπερασµένης ακρίβειας είναι και αυτό ένας αριθµός πεπερασµένης ακρίβειας. Άν το φίλτρο που πραγµατοποιείται είναι µη επαναληπτικό, αυτό θα ήταν παρόµοιο µε το να προσθέτουµε θόρυβο στην έξοδο κάθε πολλαπλασιαστή. Όµως άν το φίλτρο είναι επαναληπτικό, η περικοπή του γινοµένου µπορεί να κάνει την έξοδο να παρουσιάσει ανεπιθύµητες διακυµάνσεις ή ταλαντώσεις, µε το όνοµα οριακοί κύκλοι (limit cycles). Μια και τα αποτελέσµατα της πεπερασµένης ακρίβειας είναι µη γραµµικά και τυχαία, η ανάλυση τους είναι πολύ περίπλοκη. Για να δώσουµε µια ιδέα αναλύουµε ειδικές περιπτώσεις για να δείξουµε τον τύπο της συµπεριφοράς που µπορούµε να περιµένουµε. Περιγράφονται επίσης οι διαδικασίες για εξοµοίωση και παρατήρηση αυτών των αποτελεσµάτων σε έναν υπολογιστή. Η πρόθεση αυτού του κεφαλαίου όµως είναι να παρουσιάσει κάποια σηµεία που πρέπει να προσέχουµε όταν σχεδιάζουµε φίλτρα σε ένα σύστηµα µε αριθµούς πεπερασµένης ακρίβειας και όχι να δώσει µια πλήρη ανάλυση αυτών των αποτελεσµάτων. Μια τέτοια ανάλυση είναι πολύ δύσκολη και πέρα από τη σφαίρα αυτού του κειµένου. Στις περιπτώσεις που µπορεί να πραγµατοποιηθεί µια τέτοια ανάλυση, χρειάζονται αποτελέσµατα από τη Chapter 0-

2 θεωρία µη γραµµικών συστηµάτων και τη θεωρία πιθανοτήτων. Τέτοια ανάλυση µπορεί να βρεθεί στις βιβλιογραφικές αναφορές στο τέλος του κεφαλαίου. 0. Παράσταση αριθµού πεπερασµένης ακρίβειας στον υπολογιστή Στον υπολογιστή, ή σε κάθε άλλο ψηφιακό σύστηµα, οι αριθµοί παριστάνονται σαν διαδοχή ενός πεπερασµένου αριθµού από δυαδικά ψηφία, τα γνωστά bit, µε τιµές 0 ή. Αυτά τα ψηφία συχνά οργανώνονται σε byte τα οποία αποτελούνται από 8 ψηφία, ή λέξεις (words) που περιέχουν 6 ψηφία,. Τώρα τελευταία λέξεις 3 ψηφίων γίνονται πολύ κοινές. Θεωρούµε δύο κοινούς τρόπους που χρησιµοποιούµε για να παραστήσουµε αριθµούς σε έναν ψηφιακό υπολογιστή: η παράσταση κινητής υποδιαστολής και η παράσταση σταθερής υποδιαστολής. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ. Στην παράσταση σταθερής υποδιαστολής, ο διαχωρισµός µεταξύ του ακέραιου και του δεκαδικού µέρους, η υποδιαστολή, βρίσκεται πάντα σε µια συγκεκριµένη, σταθερή, θέση στην ακολουθία ψηφίων του αριθµού όπως φαίνεται στο Σχ. 0.. Øçößï ÐñïóÞìïõ ÅëÜ éóôá óçìáíôéêü b i øçößá ãéá ôï áêýñáéï ìýñïò ÕðïäéáóôïëÞ b f øçößá ãéá ôï äåêáäéêü ìýñïò Σχήµα 0- Θέση των ψηφίων σε µια λέξη σταθερής υποδιαστολής (στο σχήµα φαίνεται µία λέξη 6 ψηφίων) Το πρώτο ψηφίο, το ψηφίο πρόσηµου, κρατείται για να δείχνει το πρόσηµο του αριθµού, συνήθως 0 όταν είναι θετικός ή όταν είναι αρνητικός. Ο αριθµός στην συνέχεια µετατρέπεται σε δύναµη του, µε την υποδιαστολή να διαχωρίζει τους θετικούς εκθέτες, συµπεριλαµβανόµενου και του 0, και τους αρνητικούς εκθέτες. Για παράδειγµα, ο δεκαδικός αριθµός που αντιστοιχεί στον δυαδικό αριθµό 0.0 καθορίζεται µε τον ακόλουθο τρόπο: 0 ( )( ) ( ) ( 3 ) ( ) 0. 0 = = Η ακρίβεια του αριθµητικού συστήµατος ορίζεται ως η αύξηση µεταξύ των δύο διαδοχικών αριθµών και καθορίζεται από την τιµή του πλέον δεξιού ψηφίο του Chapter 0-

3 αριθµού που ονοµάζεται ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο. Στο αριθµητικό σύστηµα που δείξαµε στο προηγούµενο παράδειγµα, ένας αριθµός µπορεί να παρασταθεί στο πιο κοντινό 0-3 ή 0.5. Το εύρος του αριθµητικού συστήµατος ορίζεται σαν το διάστηµα µεταξύ του πιο θετικού και του πιο αρνητικού αριθµού οι οποίοι µπορούν να παρασταθούν στο σύστηµα. Η υποδιαστολή καθορίζει την αναλογία της ακρίβειας και του εύρους. Όταν η υποδιαστολή βρίσκεται στα δεξιά δεν υπάρχει δεκαδικό µέρος και µόνο ακέραιες τιµές επιτρέπονται. Αυτό αντιστοιχεί στην µεταβλητή INTEGER της FORTRAN. Στα ψηφιακά φίλτρα θα βρούµε ότι είναι πιο βολικό η υποδιαστολή να βρίσκεται µία ή δύο θέσεις πιο δεξιά του ψηφίου πρόσηµου, επιτρέποντας την παράσταση δεκαδικών αριθµών. Μετατροπή δεκαδικών αριθµών σε δυαδικούς. Στο µετασχηµατισµό ενός δεκαδικού αριθµού σε ένα δυαδικό, το ακέραιο µέρος και το δεκαδικό µέρος πρέπει να µετατραπούν ξεχωριστά. Θα εξετάσουµε µόνο θετικούς αριθµούς, ενώ θα αναφερθούµε στους αρνητικούς αριθµούς αργότερα. Η µετατροπή του ακέραιου µέρους περιλαµβάνει διαδοχικές διαιρέσεις µε δύο, µε το υπόλοιπο της κάθε διαίρεσης να σχηµατίζει το δυαδικό αριθµό. Ο δυαδικός αριθµός σχηµατίζεται µε το να αρχίσουµε από την υποδιαστολή και να προχωράµε αριστερά µε το τελικό µη µηδενικό υπόλοιπο να είναι το πιο σηµαντικό ψηφίο του σχηµατιζόµενου δυαδικού αριθµού. Κάθε πεπερασµένος ακέραιος µπορεί να παρασταθεί µε ένα πεπερασµένο αριθµό από ψηφία. Η µετατροπή του δεκαδικού µέρους περιλαµβάνει επαναλαµβανόµενους πολλαπλασιασµούς µε το δύο, µε το ακέραιο µέρος του κάθε γινοµένου να σχηµατίζει το δυαδικό αριθµό, και το δεκαδικό µέρος του αντίστοιχου γινοµένου να χρησιµοποιείται για τον επόµενο πολλαπλασιασµό. Ο δυαδικός αριθµός σχηµατίζεται µε το να αρχίσουµε από την υποδιαστολή και να συνεχίσουµε δεξιά, µε την τελευταία καταχώρηση να είναι το ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο στην δυαδική αναπαράσταση ολόκληρου του αριθµού. Αυτή η διαδικασία πρέπει να σταµατήσει όταν ξεπεραστεί ο αριθµός ψηφίων που είναι διαθέσιµος για την παράσταση του δεκαδικού µέρους του αριθµού. Στην µετατροπή ενός δεκαδικού αριθµού σε ένα δυαδικό πεπερασµένης ακρίβειας, το ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο µπορεί να παραχθεί είτε µε περικοπή είτε µε στρογγυλοποίηση. Όταν πραγµατοποιούµε περικοπή, ο αριθµός απεριόριστης ακρίβειας µετατρέπεται σε έναν πεπερασµένης ακρίβειας µε τη χρησιµοποίηση του διαθέσιµου αριθµού ψηφίων. Η διαδικασία σταµατάει αφού καθοριστεί και το ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο του αριθµού. Στην στρογγυλοποίηση, η µετατροπή συνεχίζεται και για ένα ακόµα ψηφίο πέρα από το ελάχιστα σηµαντικό. Άν το επιπλέον ψηφίο είναι ένα, το ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο αυξάνεται. Άν το επιπλέον ψηφίο είναι µηδέν τότε η διαδικασία τερµατίζεται και το αποτέλεσµα είναι ίδιο µε αυτό της περικοπής. Η µέθοδος στρογγυλοποίησης είναι πιο ακριβείς αλλά απαιτεί περισσότερες πράξεις. Παράδειγµα 0.. Μετατροπή δεκαδικού αριθµού σε δυαδικό. Μετατρέψτε τον σε δυαδική µορφή των 8 ψηφίων από τα οποία τα 4 να χρησιµοποιηθούν για την παράσταση του ακέραιου µέρους, συµπεριλαµβανόµενου του πρόσηµου, και τα υπόλοιπα 4 για το δεκαδικό µέρος του αριθµού. Chapter 0-3

4 Ακέραιο µέρος: 6 3 = 3 = = 0 Υπόλοιπο 0 Έτσι έχουµε 6 0 =00. εκαδικό µέρος: Για να συγκρίνουµε τα αποτελέσµατα που παίρνουµε µε την περικοπή και τη στρογγυλοποίηση θα µετατρέψουµε το νούµερο σε 5 ψηφία: Έτσι έχουµε, Ακέραιο Μέρος 086. = = = = 76. (ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο) 076. = = 00. ( = 085. ) µε περικοπή 0 0 = 00. ( = ) µε στρογγυλοποίηση 0 Συνδυάζοντας αυτά τα δύο αποτελέσµατα έχουµε: 686. = 000. µε περικοπή 0 = µε στρογγυλοποίηση Παράσταση συµπληρώµατος ως προς. Μια συχνά χρησιµοποιούµενη παράσταση αριθµού σταθερής υποδιαστολής είναι η παράσταση συµπληρώµατος ως προς, λόγω της ακρίβειας που παρουσιάζει στους υπολογισµούς. Η παράσταση για ένα αρνητικό αριθµό δίνεται αρχίζοντας από τη µετατροπή σε δυαδικό του αντίστοιχου µέτρου του αριθµού (απόλυτος τιµή). Στην συνέχεια όλα τα ψηφία αντικαθίστανται µε τα συµπληρωµατικά τους (( 0, 0 ) και προσθέτουµε ένα δυαδικό στο ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο του αριθµού. Παράδειγµα 0.. Μετατροπή δεκαδικού αριθµού σε δυαδικό χρησιµοποιώντας τη µορφή συµπληρώµατος ως προς. Μετατρέψτε τον σε δυαδική µορφή των 8 ψηφίων από τα οποία τα 4 να χρησιµοποιηθούν για την παράσταση του ακέραιου µέρους, συµπεριλαµβανόµενου του πρόσηµου, και τα υπόλοιπα για το δεκαδικό µέρος του αριθµού. Chapter 0-4

5 Πρώτα µετατρέπουµε την απόλυτη τιµή του αριθµού σε δυαδική µορφή. Χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα της στρογγυλοποίησης του παραδείγµατος 0. έχουµε =00.0 Αντικαθιστώντας ψηφίο-ψηφίο µε το συµπληρωµατικό του έχουµε το αποτέλεσµα Στην συνέχεια αφού προσθέσουµε τον αριθµό θα έχουµε: = (= ) Ο πίνακας 0. δείχνει όλα τα συµπληρώµατα ως προς και τις δεκαδικές προσεγγίσεις τους σε συστήµατα µε, 3 ή 4 ψηφία. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ. Η δεύτερη µορφή για παράσταση αριθµών είναι αυτή της κινητής υποδιαστολής, η οποία ονοµάζεται και πραγµατική παράσταση. Σ αυτήν την παράσταση ένας αριθµός x έχει την εξής µορφή x = m e (0.) όπου m είναι η βάση και e είναι ο εκθέτης. Η παράσταση ορίζεται ώστε m <. Για παράδειγµα, το νούµερο.5 εκφράζεται σαν (0.75). Και ο m και ο e εκφράζονται σαν αριθµοί σταθερής υποδιαστολής, χρησιµοποιώντας µια µορφή του Σχ. 0.. Άν η λέξη αποτελείται από b ψηφία τα b m αναφέρονται στην βάση και τα b e αναφέρονται στον εκθέτη. Μια και b = b m + b e, σε ένα ψηφιακό σύστηµα πρέπει να αποφασιστεί από πρίν για το πόσα ψηφία θα χρησιµοποιηθούν για τον εκθέτη και πόσα για τη βάση. Ο αριθµός των ψηφίων που περιέχει ο b e καθορίζουν το εύρος του αριθµητικού συστήµατος, ενώ ο αριθµός των ψηφίων του b m καθορίζουν την ακρίβεια. Μια συνηθισµένη µορφή έχει bm = 3 b 4. Σε πολλούς µικροϋπολογιστές, λέξεις 6 ψηφίων χρησιµοποιούνται για να παραστήσουν έναν αριθµό κινητής υποδιαστολής σαν µια λέξη 3 ψηφίων, από τα οποία b m = 4 και b e = 8. Πίνακας 0. Αριθµοί εκφρασµένοι στην µορφή συµπληρώµατος ώς προς Ακέραιες Τιµές εκαδικές Τιµές εκαδικός (Υποδιαστολή στα (Υποδιαστολή µετά Αριθµός δεξιά) το ψηφίο πρόσηµου) Αριθµητικό σύστηµα ψηφίων Chapter 0-5

6 Αριθµητικό σύστηµα 3 ψηφίων Αριθµητικό σύστηµα 4 ψηφίων Στην επόµενη ενότητα, θα παρουσιάσουµε τα αποτελέσµατα της παράστασης µιας ακολουθίας διακριτού χρόνου µε τιµές απεριόριστης ακρίβειας σε ένα σύστηµα πεπερασµένης ακρίβειας. ðñüóçìï ôçò âüóçò ðñüóçìï ôïõ åêèýôç âüóç åêèýôç Σχήµα 0-. Chapter 0-6

7 Θέση των ψηφίων σε µια λέξη κινητής υποδιαστολής (στο σχήµα φαίνεται µια λέξη 6 ψηφίων) 0.3 Σφάλµατα Κβαντισµού σε µετατροπή αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό Όπως περιγράφηκε στο Κεφ. 3, µια διαδικασία δειγµατοληψίας µετατρέπει ένα συνεχές σήµα {x(t)} σε µια ακολουθία διακριτού χρόνου{x(n)}. Στην πράξη η δειγµατοληψία πραγµατοποιείται µε ένα µετατροπέα αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό (ADC) ο οποίος µας δίνει στην έξοδο του έναν περιορισµένο αριθµό από ψηφία, συνήθως σε παράσταση σταθερής υποδιαστολής, που είναι η τιµή του σήµατος στο οποίο έγινε η δειγµατοληψία. Γι αυτόν το λόγο ο ADC ταυτόχρονα µετατρέπει το δείγµα συνεχούς χρόνου x(n) σε ένα το οποίο έχει υποστεί κβαντισµό, το x q (n). Η τιµή του x q (n) δίδεται από έναν αριθµό του οποίου η τιµή καθορίζεται από τον αριθµό ψηφίων του ADC. Η διαδικασία της µετατροπής του x(n) σε x q (n) δείχνεται στο Σχ. 0.3 στο οποίο φαίνονται η χαρακτηριστική παράσταση κβαντισµού ενός ADC. Το εύρος κβαντισµού παριστάνεται στην µορφή αριθµών συµπληρωµατικών ως προς x q (n) M - M x(n) Chapter 0-7

8 ΣΧΗΜΑ 0-3 Χαρακτηριστική κβαντισµού ενός κβαντιστή 4 ψηφίων οι οποίοι χωρίζουν την απόσταση µεταξύ του -Μ και του M- σε k βήµατα, το καθένα µεγέθους =Ì Ê. Άν ο κβαντιστής απαρτίζεται από b ψηφία, Κ = b και = Ì b (0.) Για ένα δεδοµένο εύρος κβαντισµού, αυξάνοντας τον αριθµό των ψηφίων µειώνεται το µέγεθος του βήµατος, κάνοντας τη γραφική παράσταση να πλησιάσει την ευθεία γραµµή. Υπάρχουν δύο τύπου σφαλµάτων που µπορούν να παρουσιαστούν σε έναν τέτοιο κβαντιστή. Το πρώτο είναι το σφάλµα κοκκίωσης (granular error), το οποίο συµβαίνει όταν xn ( ) < M, και συµβόλιζεται µε åg ( n), όπου å ( n) = x( n) x ( n) (0.3) g Σηµειώστε ότι το µέγεθος του σφάλµατος είναι πάντα µικρότερο από το βήµα. Το δεύτερο σφάλµα συµβαίνει όταν xn ( ) > M, όταν δηλαδή η τιµή του xn ( ) υπερβαίνει το όριο κβαντισµού, και ονοµάζεται σφάλµα αποκοπής (clipping error), το οποίο συµβολίζεται µε å ( n), όπου c q xn ( ) M xn ( ) > M åc ( n) = xn ( ) + M xn ( ) < M (0.4) Πολύ µεγάλα, θεωρητικά άπειρα, σφάλµατα αποκοπής είναι δυνατά, κάνοντας την ανάλυση αρκετά πολύπλοκη. Στην ανάλυση πιο κάτω, θέτουµε το όριο κβαντισµού αρκετά µεγάλο, ή ισοδύναµα καθορίζουµε τη συνάρτηση εισόδου να παίρνει αρκετά µικρές τιµές, ώστε το σφάλµα αποκόµµατος να µην υπάρχει. Σ αυτήν την περίπτωση, µόνο το σφάλµα κοκκίωσης είναι σηµαντικό. Για να κάνουµε βέλτιστη χρησιµοποίηση του κβαντιστή, είναι συνήθως επιθυµητό να έχουµε τις τιµές του σήµατος κατανεµηµένες σε όλο το εύρος των αριθµών που µπορούν να υλοποιηθούν από τα ψηφία του ADC. Αυτό µπορεί να γίνει µε το να προσαρµόσουµε τη µέγιστη τιµή του σήµατος εισόδου έτσι ώστε να ισούται µε τη µέγιστη τιµή του αριθµητικού συστήµατος. Τα σήµατα όµως που συναντάµε στην πράξη, όπως οι έξοδοι αισθητήρων ή η οµιλία, είναι τυχαία και γι αυτό δεν είναι γνωστή η ακριβής αναλυτική τους µορφή. Μερικά τυχαία σήµατα τείνουν να έχουν µια µεγάλη δυναµική περιοχή, έτσι ώστε άλλες φορές η ισχύς του σήµατος τους να είναι πολύ µεγάλη και άλλες πάλι πολύ µικρή. Για τέτοια σήµατα χρησιµοποιούµε µια διαφορετική αντιµετώπιση στην οποία το εύρος κβαντισµού εξισώνεται µε τη µέση ισχύ του σήµατος. Μια σηµαντική παράµετρος σ αυτήν την περίπτωση είναι η ενεργός τιµή του σήµατος που συµβολίζεται µε Χ rms. Η τιµή του X rms µπορεί να υπολογιστεί από τον ακόλουθο τύπο Chapter 0-8

9 X N = x ( n) (0.5) N rms n= 0 όπου { x (n) } είναι µια ακολουθία Ν όρων. Η ενεργός τιµή για πολλά κοινά σήµατα, όπως οµιλία από το τηλέφωνο και ηχογραφηµένη µουσική σε κασέτα καθορίζεται συνήθως από µια απλή µέτρηση. Για εφαρµογές επεξεργασίας φωνής δεν είναι παράξενο να έχουµε το όριο κβαντισµού ίσο µε ±4X rms. Αυτή η ρύθµιση ουσιαστικά είναι ένας συµβιβασµός µε τον οποίο σήµατα µικρής έντασης, τα οποία παρουσιάζονται πολύ πιο συχνά, µπορούν να παρασταθούν µε αρκετή ακρίβεια. Αυτό βέβαια συµβαίνει εις βάρος των σηµάτων µεγάλης έντασης τα οποία είναι µεν πιο σπάνια παριστάνονται δε µε µεγάλα λάθη. Μη γραµµικά επίσης χαρακτηριστικά κβαντισµού είναι επίσης κοινότυπα, στα οποία το µέγεθος βήµατος µεταβάλλεται ανάλογα µε την ένταση του σήµατος εισόδου. Μια πιο αναλυτική περιγραφή του θέµατος µαζί µε επιπλέον δεδοµένα µπορεί να βρεθεί στη βιβλιογραφία του Jayant και Noll. x(n) + x q (n) θορύβου å g (n) ΣΧΗΜΑ 0-4 Μοντέλο προσθήκης για έναν κβαντιστη Για να αναλύσουµε την όλη διαδικασία κβαντισµού χρησιµοποιούµε για το σφάλµα το µοντέλο του Σχ Η κβαντισµένη τιµή x q (n) µπορεί να θεωρηθεί ίση µε την πραγµατική τιµή x(n) συν τον παράγοντα του τυχαίου λάθους ε g (n) : x ( n) = x( n) + å ( n) (0.6) q Όταν x q (n) είναι τώρα ένα τυχαίο σήµα το οποίο έχει µια γνωστή ενεργό τιµή, το µέγεθος του βήµατος ισούται µε g X rms Ä = 8 b (0.7) Το σφάλµα κβαντισµού ε g (n) συχνά θεωρείται τυχαίο και οµοιόµορφα κατανεµηµένο µεταξύ του ± Ä. Η ισχύς του θορύβου, ή διακύµανση του, µπορεί γι αυτό το λόγο να δειχθεί ότι ισούται µε Ä. Ο λόγος της ισχύς του σήµατος προς την ισχύ του θορύβου λέγεται λόγος σήµατος προς θόρυβο και συµβολίζεται µε SNR, το οποίο δίνεται από την ακόλουθη σχέση Chapter 0-9

10 X rms SNR = Ä 64 = b (0.8) Ο λόγος σήµατος προ θόρυβο βελτιώνεται εκθετικά µε την αύξηση του αριθµού των ψηφίων στον κβαντιστή. Εκφράζοντας την τιµή του SNR σε decibel έχουµε SNR = 0log 0 64 b = 6 b 73. (0.9) Από τη σχέση 0.9 φαίνεται ότι ο λόγος σήµατος προ θόρυβο βελτιώνεται κατά 6 db για κάθε ψηφίο το οποίο προστίθεται στον ADC. Τα αποτελέσµατα του σφάλµατος κβαντισµού σε έναν ADC για ένα ψηφιακό ηχητικό σύστηµα φαίνονται στο επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα 0.3. Σφάλµα κβαντισµού σε ένα ψηφιακό ηχητικό σύστηµα. Η είσοδος του συστήµατος είναι { x(n) } µε ενεργό τιµή ίση µε X rms και το όριο κβαντισµού εκτείνεται µεταξύ του ±4X rms. Άν χρησιµοποιήσουµε τώρα έναν κβαντιστή 6 ψηφίων µπορούµε να επιτύχουµε λόγο σήµατος προ θόρυβο µεγαλύτερο από 88 db. Η παρούσα απαίτηση για εµπορική χρήση ενός συστήµατος ψηφιακού ήχου είναι 84 db. Η διαφορά οφείλεται στον θερµικό θόρυβο των αναλογικών ενισχυτών και στην µετατροπή ψηφιακού σήµατος σε αναλογικό, δύο θέµατα στα οποία δεν αναφερθήκαµε. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΘΟΡΥΒΟ ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗΝ ΕΞΟ Ο ΦΙΛΤΡΩΝ. Το σφάλµα κβαντισµού σε έναν ADC θεωρήθηκε σαν την προσθήκη µια ακολουθίας θορύβου στις τιµές δειγµατοληψίας απεριόριστης ακρίβειας της εισόδου. Για να εξετάσουµε τη συνεισφορά της ακολουθίας θορύβου στην ακολουθία εξόδου η οποία παράγεται από ένα γραµµικό ψηφιακό φίλτρο, εφαρµόζουµε το κβαντισµένο σήµα στην είσοδο του φίλτρου και εκφράζουµε την ακολουθία εξόδου σαν { yq( n)} = { xq( n)} { h( n)} (0.0) = { xn ( ) + åg ( n)} { hn ( )} Επειδή το φίλτρο είναι γραµµικό µπορούµε να εφαρµόσουµε τα θεωρήµατα της υπέρθεσης και να πάρουµε { yn ( )} = { xn ( )} { hn ( )} + { åg ( n)} { hn ( )} (0.) = { yn ( )} + { õå ( n)} Η ακολουθία { y(n) } είναι η έξοδος που θα είχαµε εάν δεν είχαµε κβαντισµό στην είσοδο (για δείγµατα απεριόριστης ακρίβειας) και η { υ ε (n) } είναι η έξοδος που παράγεται από την ακολουθία θορύβου. Αυτές οι τιµές εξόδου του θορύβου µπορούν να εκφραστούν αποκλειστικά από τήν συνέλιξη άθροισµα των τυχαίων λαθών µε τη δέλτα απόκριση h(n) (unti-sample response) õå( n) = h( k) åg( n k) (0.) k = Προσθέτοντας µια ακολουθία τυχαίων αριθµών παράγεται ένα τυχαίο αποτέλεσµα, για το οποίο λίγα µπορούµε να πούµε γενικά. Παρόλα αυτά, αν η τυχαία ακολουθία Chapter 0-0

11 λαθών αποτελείται από ανεξάρτητες τιµές οι οποίες έχουν την ίδια τυπική απόκλιση ó å, τότε το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης της εξόδου ó í ισούται µε óí = ó å h ( k) (0.3) ê = Αυτή η απλή σχέση µας επιτρέπει να υπολογίσουµε τον ισχύ του θορύβου στην έξοδο συναρτήσει την ισχύς του θορύβου στην είσοδο και της βηµατικής απόκρισης του φίλτρου. (unit sample response) Παράδειγµα 0.4.Τετράγωνο τυπικής απόκλισης θορύβου σε µια έξοδο συστήµατος που δίνει το µέσο όρο 3 δειγµάτων. Η διαφορική εξίσωση του µέσου όρου 3 δειγµάτων είναι [ ] yn ( ) = 3 xn ( + ) + xn ( ) + xn ( ) αν η ακολουθία εισόδου έχει κβαντιστεί στους ακέραιους τότε το βήµα είναι. Αν το εύρος του κβαντιστή είναι µεγάλο (>00) και το πλάτος εισόδου έχει εξισωθεί µε τον κβαντιστή, το σφάλµα κβαντισµού µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένο.το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης του σφάλµατος τότε είναι ó å =. Τα σφάλµατα µπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα αν διαδοχικές τιµές του { x(n) } τείνουν να παρουσιάζονται µε τυχαίο τρόπο σε διαφορετικά επίπεδα του κβαντιστή. Το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης του θορύβου τότε στην έξοδο είναι ó í å 9 k = = ó = Παράδειγµα 0.5. Τετράγωνο της τυπικής απόκλισης θορύβου στην έξοδο ενός πρώτης τάξης επαναληπτικού φίλτρου. Η διαφορική εξίσωση ενός πρώτης τάξης είναι 36 yn ( ) = áyn ( ) + xn ( ) Αν η ακολουθία εισόδου είναι κβαντισµένη στους ακέραιους τότε το βήµα είναι. Κάτω από τις ίδιες προϋποθέσεις όπως και στο παράδειγµα 0.4, το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης του θορύβου στην έξοδο είναι k ó = ó á = í å k = 0 [( )( a )] Έχοντας λοιπόν εξετάσει τον κβαντισµό την ακολουθίας εισόδου ενός ψηφιακού φίλτρου, στην συνέχεια θα εξετάσουµε τον κβαντισµό των τιµών των συντελεστών του φίλτρου αυτού. Chapter 0-

12 ΑΣΚΗΣΗ Να παραχθεί τιµή του SNR παρόµοια µε αυτή της Εξ. (0.8) για ένα ηµιτονοειδές σήµα του οποίου η τιµή είναι ίση µε τη µέγιστη τιµή του κβαντιστή. Chapter 0-

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ.

Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Αρμονική ταλάντωση και επειδή Ω=2πF Περιοδικό με βασική περίοδο Τ p =1/F Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. 1 Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler Το ημιτονοειδές σήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής 15/3/9 Από το προηγούμενο μάθημα... Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Δάλ Διάλεξη 3 η : «Επεξεργαστές Ε ξ έ Δυναμικής Περιοχής» Φλώρος

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ ΕΣ 8 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Οι Συνέπειας του Πεπερασµένου Βιβλιογραφία Ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 009-010 Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ η Εργαστηριακή Άσκηση: Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Στην άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

1/3/2009. Τα ψηφιακά ηχητικά συστήματα πρέπει να επικοινωνήσουν με τον «αναλογικό» ανθρώπινο κόσμο. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής.

1/3/2009. Τα ψηφιακά ηχητικά συστήματα πρέπει να επικοινωνήσουν με τον «αναλογικό» ανθρώπινο κόσμο. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής. Από το προηγούμενο μάθημα... Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Δάλ Διάλεξη 2 η : «Βασικές Β έ αρχές ψηφιακού ήχου» Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής Τα ψηφιακά ηχητικά συστήματα πρέπει να επικοινωνήσουν

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1 Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Η δήλωση πού δηµιουργεί αποθήκευση τών δεδοµένων ονοµαζεται ορισµός τής µεταβλητής.

Η δήλωση πού δηµιουργεί αποθήκευση τών δεδοµένων ονοµαζεται ορισµός τής µεταβλητής. Από το βιβλίο C: Βήµα-Πρός-Βήµα, Κεφάλαιο 3ο Συγγραφείς: Οµάδα Waite, Mitchell Waite και Stephen Prata Εκδότης: Μ. Γκιούρδας Ανατύπωση σε ηλεκτρονική µορφή: Αλέξανδρος Στεφανίδης 3.4 Τύποι εδοµένων τής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν 1. Εισαγωγικά στοιχεία ηλεκτρονικών - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ηλεκτρικό στοιχείο: Κάθε στοιχείο που προσφέρει, αποθηκεύει και καταναλώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: Ντελή Χασάν Μουσταφά Μουτλού ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1 Ήχος και φωνή Φύση του ήχου Ψηφιοποίηση µε µετασχηµατισµό Ψηφιοποίηση µε δειγµατοληψία Παλµοκωδική διαµόρφωση Αναπαράσταση µουσικής Ανάλυση και σύνθεση φωνής Μετάδοση φωνής Τεχνολογία Πολυµέσων 4-1 Φύση

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2 Ψηφιακά Φίλτρα Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα Στην επεξεργασία σήματος, η λειτουργία ενός φίλτρου είναι να απομακρύνει τα ανεπιθύμητα μέρη ενός σήματος, όπως ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 4: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Θεωρητικές Ασκήσεις (# ): ειγµατοληψία, κβαντοποίηση και συµπίεση σηµάτων. Στην τηλεφωνία θεωρείται ότι το ουσιαστικό περιεχόµενο της

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες 1.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Ένα αριθμητικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο τιμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μίας ποσότητας. Ποσοτικοποιώντας τιμές και αντικείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 10 Κεφ. 7.0-7.2 Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες Σχεδιασμός Φίλτρου Καθορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 Τμήμα θεωρίας: Α.Μ. 8, 9 Κάθε Πέμπτη, 11πμ-2μμ, ΑΜΦ23. Διδάσκων: Ντίνος Φερεντίνος Γραφείο 118 email: kpf3@cornell.edu Μάθημα: Θεωρία + προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Παρεμβολή Ενισχυτών μεταξύ γεωφώνων και καταγραφικού

Παρεμβολή Ενισχυτών μεταξύ γεωφώνων και καταγραφικού Ενισχυτές σήματος στη σεισμική διασκόπηση Καλώδιο μεταφοράς των σημάτων απο τα γεώφωνα Σεισμικό σήμα πολύ ασθενές για να καταγραφεί Παρεμβολή Ενισχυτών μεταξύ γεωφώνων και καταγραφικού Ενισχυτής Καταγραφικό

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα