τ i (x ) τ i (x ) N x x τ i (x) τ i (x + I i (x)). Z 0 = {(t, x) R R n : t t 0, x

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "τ i (x ) τ i (x ) N x x τ i (x) τ i (x + I i (x)). Z 0 = {(t, x) R R n : t t 0, x

Transcript

1 ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ , c SS.. Ëà èíà Î ÑËÀÁÎÉ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ ÅÑÊÎÉ ÓÑÒÎÉ ÈÂÎÑÒÈ ÓÏÐÀÂËSSÅÌÛÕ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈÅÌ 1 Ï îäîëæåíî èññëåäîâàíèå óñëîâèé ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè è àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè çàäàííîãî ìíîæåñòâà îòíîñèòåëüíî óï àâëßåìîé ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì. Ðàññìàò èâàåòñß ìíîæåñòâî M. = { (t, x) [t 0, + ) R n : x M(t) }, ãäå ôóíêöèß t M(t) íåï å ûâíà â ìåò èêå Õàóñäî ôà è äëß êàæäîãî t [t 0, + ) ìíîæåñòâî M(t) íåïóñòî è êîìïàêòíî. Â òå ìèíàõ ôóíêöèé Ëßïóíîâà è ï îèçâîäíîé Êëà êà ïîëó åíû óñëîâèß ñëàáîé ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè äàííîãî ìíîæåñòâà, ñëàáîé àâíîìå íîé óñòîé èâîñòè ïî Ëßïóíîâó è ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè. Òàêæå äîêàçàíà òåî åìà ñ àâíåíèß äëß å åíèé ñèñòåì è ó àâíåíèé ñ èìïóëüñàìè, ñëåäñòâèåì êîòî îé ßâëß òñßóñëîâèß ñóùåñòâîâàíèß å åíèé ñèñòåìû, àñèìïòîòè åñêè ñò åìßùèõñßêíóë. Ïîëó åííûå åçóëüòàòû ï îèëë ñò è îâàíû íà ï èìå å ìîäåëè êîíêó åíöèè äâóõâèäîâ, ïîäâå æåííûõèìïóëüñíîìó óï àâëåíè â ôèêñè îâàííûå ìîìåíòû â åìåíè. Êë åâûå ñëîâà: óï àâëßåìûå ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì, ôóíêöèè Ëßïóíîâà, ñëàáàß àñèìïòîòè åñêàß óñòîé èâîñòü. DOI: /vm Ââåäåíèå Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì âîçíèêà ò ï è îïèñàíèè åàëüíûõ ï îöåññîâ ñ ê àòêîâ åìåííûìè âîçìóùåíèßìè, êîãäà èõ äëèòåëüíîñòü ìîæíî ï åíåá å ü è ñ èòàòü, òî îíè íîñßò ìãíîâåííûé õà àêòå. Òåî èåé äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé è óï àâëßåìûõ ñèñòåì ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèßìè â àçíûå ãîäû çàíèìàëèñü òàêèå àâòî û, êàê Â. È. Ãó ìàí, Â. À. Äûõòà, Ñ. Ò. Çàâàëèùèí, À. À. Ìà òûí ê, Á. Ì. Ìèëëå, À. Ä. Ìû êèñ, Í. À. Ïå åñò ê, À. Ì. Ñàìîéëåíêî, À. Í. Ñåñåêèí è ìíîãèå ä óãèå. Äàííàß àáîòà ßâëßåòñß ï îäîëæåíèåì àáîòû [1], â êîòî îé èññëåäîâàëèñü óñëîâèß ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè çàäàííîãî ìíîæåñòâà M, àâíîìå íîé óñòîé èâîñòè ïî Ëßïóíîâó è àâíîìå íîé àñèìïòîòè- åñêîé óñòîé èâîñòè. Ïîëó åíî îáîáùåíèå îäíîãî èç åçóëüòàòîâ àáîòû À. Ì. Ñàìîéëåíêî è Í. À. Ïå åñò êà [2] íà óï àâëßåìûå ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì. Ï èâåäåì çäåñü òî óòâå æäåíèå èç [2]. Ðàññìàò èâàåòñß ñèñòåìà ñ èìïóëüñàìè ẋ = h(t, x), t τ i (x), Δx t=τi (x) = I i (x), (t, x) R R n, (0.1) ãäå Δx t=τi (x) = x(τ i (x)) x(τ i (x) 0), τ i (x) <τ i+1 (x) äëß âñåõ i =1, 2,...; ôóíêöèè h(t, x) è I i (x) íåï å ûâíû íà ìíîæåñòâå Z = {(t, x) R R n : t t 0, x b<b 0 } èóäîâëåòâî ß ò óñëîâè Ëèï èöà ïî x àâíîìå íî îòíîñèòåëüíî t è i (ñì. [2, ñ. 131]). Ôóíêöèè τ i (x) óäîâëåòâî ß ò óñëîâè Ëèï èöà τ i (x ) τ i (x ) N x x ï è âñåõ i =1, 2,..., x b, x b è íå àâåíñòâó τ i (x) τ i (x + I i (x)). Ï åäïîëàãàåòñß òàêæå, òî τ i (x) ï è i, h(t, 0) = 0, I i (0) = 0, ñêàëß íàß ôóíêöèß V (t,x) óäîâëåòâî ßåò óñëîâè V (t,0) = 0, îï åäåëåíà è íåï å ûâíî äèôôå åíöè óåìà íà ìíîæåñòâå Z 0 = {(t, x) R R n : t t 0, x <b 0 }. 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå ÐÔÔÈ (ï îåêò à).

2 Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 69 Ôóíêöèß V (t, x) íàçûâàåòñß ïîëîæèòåëüíî îï åäåëåííîé íà ìíîæåñòâå Z 0, åñëè ñóùåñòâóåò ñêàëß íàß ôóíêöèß W (x), W (0) = 0, íåï å ûâíàß ï è x <b 0 òàêàß, òî äëß âñåõ t t 0 Îáîçíà èì grad x V (t, x) = V (t, x) W (x) > 0 ï è x 0. ). ( V (t, x) x 1,..., V (t, x) x n Òåî åìà 1 (ñì. [2, c. 132]). Åñëè ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíî îï åäåëåííàß ôóíêöèß V (t, x), óäîâëåòâî ß ùàß â ìíîæåñòâå Z íå àâåíñòâàì V (t, x) + grad t x V (t, x),h(t, x) 0, V (τ i (x),x+ I i (x)) V (τ i (x),x), i =1, 2,..., (0.2) òî ò èâèàëüíîå å åíèå ñèñòåìû (0.1) óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó. Åñëè âìåñòî âòî îãî íå àâåíñòâà èç (0.2) âûïîëíåíî íå àâåíñòâî V (τ i (x),x+ I i (x)) V (τ i (x),x) ψ ( V (τ i (x),x) ), i =1, 2,..., ãäå ψ(s) μ íåï å ûâíàß ï è s 0 ôóíêöèß òàêàß, òî ψ(0) = 0 è ψ(s) > 0 ï è s>0, òî íóëåâîå å åíèå ñèñòåìû (0.1) àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâî. Â äàííîé àáîòå â òå ìèíàõ ôóíêöèé À.Ì. Ëßïóíîâà è ï îèçâîäíîé Ô. Êëà êà äîêàçàíû òåî åìû ñ àâíåíèß äëß ñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì, èññëåäó òñß óñëîâèß ñëàáîé ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè çàäàííîãî ìíîæåñòâà M îòíîñèòåëüíî óï àâëßåìîé ñèñòåìû, ñëàáîé àâíîìå íîé óñòîé èâîñòè ïî Ëßïóíîâó è ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè. Îòìåòèì, òî çäåñü àññìàò èâàåòñß ôóíêöèß Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî çàäàííîãî ìíîæåñòâà, êîòî àß ââåäåíà è èññëåäîâàíà â àáîòàõ Å. Ë. Òîíêîâà è Å. À. Ïàíàñåíêî [3,4], è åå îï åäåëåíèå îòëè àåòñß îò îáùåï èíßòûõ. 1. Óñëîâèß ñëàáîé ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè è ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè äëß ñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé [3 7] àñï îñò àíß òñß íà óï àâëßåìûå ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì ẋ = f(t, x, u), t τ i, (1.1) Δx t=τi = g(x, w i ), (t, x, u, w i ) [t 0, + ) R n R m R p. Çäåñü R n μ n-ìå íîå åâêëèäîâî ï îñò àíñòâî ñ íî ìîé x = x, x, âåêòî û w i,i=1, 2,..., ßâëß òñß óï àâëß ùèìè âîçäåéñòâèßìè, âëèß ùèìè íà ïîâåäåíèå ñèñòåìû â ìîìåíòû â åìåíè t = τ i, è ï èíèìà ò çíà åíèß â çàäàííîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå W R p. Ï åäïîëàãàåì, òî ôóíêöèè f(t, x, u) è g(x, w) íåï å ûâíû äëß âñåõ (t, x, u) [t 0, + ) R n R m è âñåõ (x, w) R n R p ñîîòâåòñòâåííî, ìíîæåñòâî U(t, x) êîìïàêòíî è ôóíêöèß U(t, x) ïîëóíåï å- ûâíà ñâå õó â ìåò èêå Õàóñäî ôà ï è âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n, å åíèß ñèñòåìû (1.1) íåï å ûâíû ñï àâà. Îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {τ i } i=0 ïîëàãàåì, òî t 0 = τ 0 < τ 1 <τ 2 <... è lim i τ i =+. Îï åäåëåíèå 1. Äîïóñòèìûì ï îöåññîì óï àâëßåìîé ñèñòåìû (1.1) íàçîâåì ôóíêöè t (u(t),w(t),x(t)) R m R p R n, êîòî àß óäîâëåòâî ßåò ñëåäó ùèì óñëîâèßì: 1) óï àâëåíèå u(t) îï åäåëåíî íà I =(t 0,τ 1 ) (τ 1,τ 2 )..., îã àíè åíî è èçìå èìî ïî Ëåáåãó;

3 70 SS.. Ëà èíà 2) ôóíêöèß w(t) =0ï è t I è w(τ i )=w i,w i W äëß âñåõ i =1, 2,..., Δx t=τi = x(τ i ) x(τ i 0) = g(x, w i ); 3) å åíèå x(t) â ñìûñëå Êà àòåîäî è ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ẋ = f(t, x, u(t)) îï åäåëåíî äëß âñåõ t (τ i,τ i+1 ),i=0, 1, 2,... è x(τ i )=x(τ i 0) + g(x(τ i 0),w i ); 4) èìååò ìåñòî âêë åíèå u(t) U(t, x(t)). Îòâå à ùèå äîïóñòèìîìóï îöåññó(u(t),w(t),x(t)) óï àâëåíèß u(t) è w(t) íàçûâà òñß äîïóñòèìûìè óï àâëåíèßìè ñèñòåìû (1.1). Ââåäåì â àññìîò åíèå ìíîæåñòâî M =. { (t, x) [t 0, + ) R n : x M(t) }, çàäàííîå ôóíêöèåé t M(t), íåï å ûâíîé â ìåò èêå Õàóñäî ôà; ï åäïîëàãàåì, òî äëß êàæäîãî t R ìíîæåñòâî M(t) íåïóñòî è êîìïàêòíî. Ïóñòü M r (t) μ çàìêíóòàß r-îê åñòíîñòü ìíîæåñòâà M(t), òî åñòü ìíîæåñòâî òàêèõ òî åê x R n, òî ϱ(x, M(t)) r, N r (t) = M r (t)\m(t) μ âíå íßß r-îê åñòíîñòü ã àíèöû ìíîæåñòâà M(t) (çäåñü ϱ(x, M) = inf x y μ àññòîßíèå îò y M òî êè x R n äî ìíîæåñòâà M R n ). Ïîñò îèì ìíîæåñòâà M r. = { (t, x) [t0, + ) R n : x M r (t) }, N r. = { (t, x) [t0, + ) R n : x N r (t) }. Îï åäåëåíèå 2 (ñì. [3]). Ñêàëß íàß ôóíêöèß V (t, x) ïå åìåííûõ (t, x) R R n íàçûâàåòñß ôóíêöèåé Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M, åñëè ñóùåñòâóåò r>0 òàêîå, òî äëß âñåõ (t, x) M r ôóíêöèß V (t, x) óäîâëåòâî ßåò ëîêàëüíîìóóñëîâè Ëèï èöà ïî ïå åìåííûì (t, x) è ñëåäó ùèì óñëîâèßì: 1. V (t, x) =0äëß âñåõ (t, x) M; 2. V (t, x) > 0 äëß âñåõ (t, x) N r. Ôóíêöèß V (t, x) íàçûâàåòñß îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé (îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M), åñëè äëß êàæäîãî ε (0,r) íàéäåòñß òàêîå δ>0, òî V (t, x) δ äëß âñåõ (t, x) M r \ M ε. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ñèñòåìå ẋ = f(t, x, u) äèôôå åíöèàëüíîå âêë åíèå ẋ F (t, x), (1.2) ãäå äëß êàæäîé ôèêñè îâàííîé òî êè (t, x) [t 0, + ) R n ìíîæåñòâî F (t, x) ñîñòîèò èç âñåõ ï åäåëüíûõ çíà åíèé ôóíêöèè f(t i,x i,u(t i,x i )) ï è (t i,x i ) (t, x). Áóäåì ï åäïîëàãàòü, òî ìíîæåñòâî F (t, x) íåïóñòîå, îã àíè åííîå, çàìêíóòîå è âûïóêëîå. Ïîñêîëüêóôóíêöèß U(t, x) ïîëóíåï å ûâíà ñâå õóïî (t,x), òî ôóíêöèß F (t,x) òàêæå ïîëóíåï å ûâíà ñâå õó, ïî òîìóäëß êàæäîé íà àëüíîé òî êè x 0 R n ëîêàëüíîå å åíèå âêë åíèß (1.2) ñóùåñòâóåò (ñì. [8, c. 60]). Óñëîâèå 1. Äëß ë áîãî x 0 M r (t 0 ) êàæäîå å åíèå ϕ(t, x 0 ) âêë åíèß (1.2), óäîâëåòâî- ß ùåå íà àëüíîìóóñëîâè ϕ(t 0,x 0 )=x 0, îï åäåëåíî ï è âñåõ t t 0. Îï åäåëåíèå 3 (ñì. [9, ñ. 17]). Äëß ëîêàëüíî ëèï èöåâîé ôóíêöèè V (t, x) îáîáùåííîé ï îèçâîäíîé âòî êå (t, x) [t 0, + ) R n ïî íàï àâëåíè âåêòî à q =(1,p), p R n (ï îèçâîäíîé Ô. Êëà êà) íàçûâàåòñß ñëåäó ùèé âå õíèé ï åäåë: V o (t, x; p). = lim sup (ε,y) (0+0,x) V (t + ε, y + εp) V (t, y), ε à âû àæåíèß Vmin o (t, x) =. inf V o (t, x; p), Vmax o (t, x) =. sup V o (t, x; p) íàçûâà òñß ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âå õíåé ï îèçâîäíîé ôóíêöèè V â ñèëó äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß p F (t,x) p F (t,x) (1.2).

4 Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 71 Îï åäåëåíèå 4 (ñì. [4]). Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñß ñëàáî ïîëîæèòåëüíî èíâà èàíòíûì (îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1)), åñëè äëß ë áîé íà àëüíîé òî êè x 0 M(t 0 ) ñóùåñòâóåò å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), óäîâëåòâî ß ùåå íà àëüíîìó óñëîâè x(t 0,x 0 )=x 0 è âêë åíè (t, x(t, x 0 )) M ï è âñåõ t t 0. Îï åäåëåíèå 5 (ñì. [4]). Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñß ñëàáî óñòîé èâûì ïî Ëßïóíîâó (îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1)), åñëè äëß ë áîãî ε>0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ = δ(ε) > 0, òî äëß ë áîé íà àëüíîé òî êè x 0 N δ (t 0 ) íàéäåòñß å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), êîòî îå óäîâëåòâî ßåò âêë åíè (t, x(t, x 0 )) M ε ï è âñåõ t t 0. Ëåììà 1. Åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèß Ëßïóíîâà V (t, x) îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M òàêàß, òî äëß âñåõ (t, x) N r âûïîëíåíî íå àâåíñòâî Vmin o (t, x) 0 è íàéäåòñß òàêîå ŵ W, òî V (τ i,x+ g(x, ŵ)) V (τ i,x) äëß âñåõ x M r (τ i ),i=1, 2,..., (1.3) òî ìíîæåñòâî M ñëàáî ïîëîæèòåëüíî èíâà èàíòíî îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1). Åñëè, ê îìå òîãî, ôóíêöèß Ëßïóíîâà V (t, x) îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíàß, òî ìíîæåñòâî M ñëàáî óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëß âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n îï åäåëèì ìíîæåñòâà Û(t, x). = {u U(t, x) :V o (t, x; f(t, x, u)) 0}, Ŵ. = {w W : V (τ i,x+ g(x, w)) V (τ i,x), i =1, 2,...}. (1.4) Èç íå àâåíñòâ Vmin o (t, x) 0 è (1.3) ñëåäóåò, òî äàííûå ìíîæåñòâà íåïóñòûå. Ìíîæåñòâî Û(t, x) îã àíè åíî äëß êàæäîãî (t, x) [t 0, + ) R n, ïîñêîëüêó Û(t, x) U(t, x). Ïîêàæåì, òî òî ìíîæåñòâî çàìêíóòî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {u i } i=1 òàêîâà, òî u i Û(t, x) è u i u, òî f(t, x, u i ) f(t, x, u) è â ñèëó ëèï èöåâîñòè ôóíêöèè f V o (t, x; f) [9, c. 32] âûïîëíåíî íå àâåíñòâî V o (t, x; f(t, x, u)) = lim i V o (t, x; f(t, x, u i )) 0. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâó Û(t, x) äèôôå åíöèàëüíîå âêë åíèå ẋ F (t, x), F (t, x) =co Ĥ(t, x), (1.5) ãäå Ĥ(t, x) ñîñòîèò èç âñåõ ï åäåëüíûõ çíà åíèé ôóíêöèè f(t i,x i, Û(t i,x i )) ï è (t i,x i ) (t, x), co Ĥ(t, x) μ çàìûêàíèå âûïóêëîé îáîëî êè ìíîæåñòâà Ĥ(t, x), òî åñòü íàèìåíü åå âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, ñîäå æàùåå Ĥ(t, x). Ôóíêöèè (t, x) Ĥ(t, x) è (t, x) F (t, x) ïîëóíåï å ûâíû ñâå õó ïî ëåììå 10.1 àáîòû [5]. Òîãäà â ñèëó òåî åìû 2 àáîòû [13, c. 213] ñóùåñòâó ò å åíèß ϕ i (t, x i ) äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß (1.5), óäîâëåòâî ß ùèå íà àëüíîìó óñëîâè ϕ i (τ i,x i )=x i,i=0, 1, 2,... Èç îï åäåëåíèß ìíîæåñòâà Û(t, x) ñëåäóåò, òî äëß âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n èìååò ìåñòî âêë åíèå Û(t, x) U(t, x), ïî òîìó F (t, x) F (t, x). Ñëåäîâàòåëüíî, å åíèß ϕ i (t, x i ) äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß (1.5) òàêæå ßâëß òñß å åíèßìè èñõîäíîãî äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß (1.2), è êàæäîå èç íèõ, â ñèëóóñëîâèß 1 î íåëîêàëüíîé ï îäîëæàåìîñòè âñåõ å åíèé âï àâî, îï åäåëåíî ï è âñåõ t t 0. Îï åäåëèì å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), óäîâëåòâî ß ùåå íà àëüíîìó óñëîâè x(t 0,x 0 )=x 0 M(t 0 ), êîòî îå íà [t 0,τ 1 ) ñîâïàäàåò ñ ϕ 0 (t, x 0 ) èíàêàæäîì èç ï îìåæóòêîâ [τ i,τ i+1 ) ñîâïàäàåò ñ å åíèåì ϕ i (t, x i ),ãäå x i = ϕ i 1 (τ i,x i 1 )+g ( ) ϕ i 1 (τ i,x i 1 ),w i, wi Ŵ, i =1, 2,... Äëß òîãî å åíèß ïîñò îèì ôóíêöè v(t) =V (t, x(t, x 0 )), òîãäà â ñèëó ëåììû 9 àáîòû [7] èç V o min (t, x) 0 ñëåäóåò, òî íå àâåíñòâî v(t) 0 âûïîëíåíî ï è ïî òè âñåõ t t 0, äëß êîòî- ûõ x(t, x 0 ) N r (t). Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. [12, c. 133]), ôóíêöèß v(t) ßâëßåòñß íåâîç àñòà ùåé

5 72 SS.. Ëà èíà âòî êàõ íåï å ûâíîñòè ï îìåæóòêà [t 0, + ), ï è êîòî ûõ x(t, x 0 ) N r (t) (òî êàìè àç ûâà v(t) ßâëß òñß òîëüêî òî êè τ i ). Îáîçíà èì å åç fr M(t) ã àíèöó ìíîæåñòâà M(t). Ï åäïîëîæèì, òî íàéäóòñß òàêèå ìîìåíòû â åìåíè t 1,t 2, òî t 0 t 1 <t 2 è x(t 1,x 0 ) fr M(t 1 ), x(t, x 0 ) N r (t) ï è t (t 1,t 2 ],òîãäà v(t 2 )=V (t 2,x(t 2,x 0 )) > 0. Ðàññìîò èì ôóíêöè v(t) â òî êàõ τ i (t 1,t 2 ]: èç òîãî, òî íå àâåíñòâî (1.3) âå íî äëß ë áûõ x N r (τ i ), i =1, 2,..., ïîëó àåì v(τ i )=V(τ i,x(τ i,x 0 )) = V ( τ i,x(τ i 0,x 0 )+g(x(τ i 0,x 0 ), ŵ i ) ) V ( τ i,x(τ i 0,x 0 ) ) = v(τ i 0). Òàêèì îá àçîì, ôóíêöèß v(t) =V (t, x(t, x 0 )) ßâëßåòñß íåâîç àñòà ùåé âäîëü ë áîãî å åíèß ñèñòåìû (1.1), ëåæàùåãî â N r, ïî òîìó v(t 2 ) v(t 1 )=0. Ïîëó èëè ï îòèâî å èå ñ íå àâåíñòâîì v(t 2 ) > 0. Ýòî äîêàçûâàåò, òî å åíèå x(t, x 0 ) íå ïîêèäàåò ìíîæåñòâî M ï è t τ i. Òåïå ü ïîêàæåì, òî åñëè x(τ i 0,x 0 ) M(τ i ), òî x(τ i,x 0 ) M(τ i ), òî åñòü ïîñëå ìîìåíòà ñêà êà å åíèå íå âûéäåò èç ìíîæåñòâà M. Ïóñòü x(τ i 0,x 0 ) M(τ i ),òîãäà Èç íå àâåíñòâà (1.3) ñëåäóåò, òî V (τ i,x(τ i 0,x 0 )) = 0. V (τ i,x(τ i,x 0 )) = V ( τ i,x(τ i 0,x 0 )+g(x(τ i 0,x 0 ), ŵ i ) ) V ( τ i,x(τ i 0,x 0 ) ) =0, ïî òîìó V (τ i,x(τ i,x 0 )) = 0, òî è îçíà àåò, òî x(τ i,x 0 ) M(τ i ). Òàêèì îá àçîì, ìíîæåñòâî M ñëàáî ïîëîæèòåëüíî èíâà èàíòíî. Ïîêàæåì, òî ìíîæåñòâî M ñëàáî óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó. Äëß òîãî ïîñò îèì å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1) òàê æå, êàê â ï åäûäóùåì àáçàöå, íî ñ íà àëüíûì óñëîâèåì Âûáå åì ε (0,r) è îáîçíà èì x(t 0,x 0 )=x 0 N δ (t 0 ). α. = α(ε) =inf{v (t, x) :(t, x) fr M ε }. Òàê êàê ôóíêöèß Ëßïóíîâà V (t, x) îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíàß, òî α>0. Ïî äàííîìó ε ïîñò îèì òàêîå δ (0,ε), òî V (t, x) <αäëß âñåõ (t, x) N δ (òàê êàê ôóíêöèß V íåï å ûâíà, òàêîå δ ñóùåñòâóåò). Ï åäïîëîæèì, òî íàéäåòñß t òàêîå, òî (t,x(t,x)) fr M ε. Òàê êàê v(t 0 )=V (t 0,x) <α, ïîëó àåì ï îòèâî å èå α v(t ) v(t 0 ) <α, êîòî îå äîêàçûâàåò, òî ìíîæåñòâî M ñëàáî óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó. Îï åäåëåíèå 6 (ñì. [4]). Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñß ñëàáî àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâûì (îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1)), åñëè îíî ñëàáî óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó è ñóùåñòâóåò òàêîå r>0, òî äëß ë áîé íà àëüíîé òî êè x 0 N r (t 0 ) íàéäåòñß òàêîå å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), òî lim ϱ(x(t, x 0),M(t)) = 0. Òåî åìà 2. Ï åäïîëîæèì, òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèß V (t, x) μ îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíàß ôóíêöèß Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M òàêàß, òî äëß âñåõ (t, x) N r âûïîëíåíî íå àâåíñòâî Vmin o (t, x) 0 è íàéäåòñß òàêîå ŵ W, òî V (τ i,x+ g(x, ŵ)) V (τ i,x) ψ ( V (τ i,x) ) äëß âñåõ x N r (τ i ),i=1, 2,..., (1.6) ãäå ψ(s) μ íåï å ûâíàß ï è s 0 ôóíêöèß òàêàß, òî ψ(0) = 0 è ψ(s) > 0 ï è s>0. Ê îìå òîãî, ï åäïîëîæèì, òî åñëè x M(τ i ), òî x + g(x, ŵ) M(τ i ). Òîãäà ìíîæåñòâî M ñëàáî àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâî îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1).

6 Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 73 Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü äëß âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n ìíîæåñòâî Û(t, x) çàäàíî ïå âûì àâåíñòâîì (1.4). Îï åäåëèì ìíîæåñòâî W. = { w W : V (τ i,x+ g(x, w)) V (τ i,x) ψ ( V (τ i,x) ),i=1, 2,... }. Îíî íåïóñòî â ñèëóíå àâåíñòâà (1.6). Ñîãëàñíî äîêàçàòåëüñòâóëåììû 1, ñóùåñòâó ò å åíèß ϕ i (t, x i ) äèôôå åíöèàëüíîãî âêë - åíèß (1.2), óäîâëåòâî ß ùèå íà àëüíîìó óñëîâè ϕ i (τ i,x i )=x i,i=0, 1, 2,... Îï åäåëèì å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1) ñ íà àëüíûì óñëîâèåì x(t 0,x 0 )=x 0 M(t 0 ), êîòî îå íà [t 0,τ 1 ) ñîâïàäàåò ñ ϕ 0 (t, x 0 ) èíàêàæäîì èç ï îìåæóòêîâ [τ i,τ i+1 ) ñîâïàäàåò ñ å åíèåì ϕ i (t, x i ),ãäå x i = ϕ i 1 (τ i,x i 1 )+g ( ϕ i 1 (τ i,x i 1 ),w i ), wi W, i =1, 2,... Åñëè x 0 M(t 0 ), òî èç ëåììû 1 ñëåäóåò, òî x(t, x 0 ) M(t) ï è âñåõ t [t 0, + ), ïî òîìó àâåíñòâî lim ϱ(x(t, x 0 ),M(t)) = 0 âûïîëíåíî. Ïóñòü òåïå ü äëß íà àëüíîãî óñëîâèß x 0 èìååò ìåñòî âêë åíèå x 0 N r (t 0 )=M r (t 0 ) \ M(t 0 ). Ðàññìîò èì ôóíêöè v(t) =V (t, x(t, x 0 )) è äîêàæåì, òî lim v(t) =0. Íå àâåíñòâî Vmin o (t, x) 0 ãà àíòè óåò íåâîç àñòàíèå ôóíêöèè v(t) â ï îìåæóòêàõ åå íåï å ûâíîñòè (èëè â ï îìåæóòêàõ íåï å ûâíîñòè äî ìîìåíòà, ï è êîòî îì òî êà (t, x(t, x 0 )) ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M, åñëè òàêîé ìîìåíò â åìåíè ñóùåñòâóåò). Äàëåå àññìîò èì ôóíêöè v(t) âòî êàõ τ i, äëß êîòî ûõ v(τ i ) > 0. Òîãäà èç íå àâåíñòâà (1.6) ñëåäóåò, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ŵ W, äëß êîòî îãî v(τ i )=V ( τ i,x(τ i,x 0 ) ) = V ( τ i,x(τ i 0,x 0 )+g(x(τ i 0,x 0 ), ŵ) ) V ( τ i,x(τ i 0,x 0 ) ) ψ ( V (τ i,x(τ i 0,x 0 )) ) v(τ i 0). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèß v(t) ßâëßåòñß íåâîç àñòà ùåé äëß ë áîãî t [t 0, + ) (èëè äî ìîìåíòà, ï è êîòî îì òî êà (t, x(t, x 0 )) ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M). Îòìåòèì, òî, íà èíàß ñ ìîìåíòà, ï è êîòî îì òî êà (t, x(t, x 0 )) ï èíàäëåæèò M, âûïîëíåíî àâåíñòâî v(t) =0, ïî òîìóâ ñëó àå ñóùåñòâîâàíèß òàêîãî ìîìåíòà lim v(t) =0. Ïóñòü òî êà (t, x(t, x 0 )) íå ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M äëß âñåõ t [t 0, + ). Òîãäà äëß âñåõ t [t 0, + ) ôóíêöèß v(t) ßâëßåòñß íåâîç àñòà ùåé è óäîâëåòâî ßåò íå àâåíñòâó v(t) > 0. Òàêèì îá àçîì, ñóùåñòâóåò lim v(t) =a 0. Ï åäïîëîæèì, òî a>0. Ïóñòü c = min ψ(s). a s v(0) Â ñèëó(1.6) èìååì v(τ i ) v(τ i 0) = V ( τ i,x(τ i,x 0 ) ) V ( τ i 0,x(τ i 0,x 0 ) ) = = V ( τ i,x(τ i 0,x 0 )+g(x(τ i 0,x 0 ), ŵ) ) V ( τ i 0,x(τ i 0,x 0 ) ) ψ ( V (τ i,x(τ i 0,x 0 )) ) ψ(v(τ i 0)) ï è âñåõ i =1, 2,...Ïîñêîëüêó a v(τ i ) v(0), òî ψ(v(τ i 0)) c, ñëåäîâàòåëüíî, v(τ i ) v(τ i 0) c. Èç íåâîç àñòàíèß ôóíêöèè v(t) ñëåäóåò, òî v(τ i ) v(τ i+1 0) äëß âñåõ i =1, 2,... Îòñ äà äëß ë áîãî íàòó àëüíîãî k ïîëó àåì k 1 v(τ k ) v(τ k )+ (v(τ i ) v(τ i+1 0)) = v(0) + i=0 k (v(τ i ) v(τ i 0)) v(0) kc. Ï àâàß àñòü ïîñëåäíåãî íå àâåíñòâà ï è áîëü èõ çíà åíèßõ k ñòàíîâèòñß îò èöàòåëüíîé, òî ï îòèâî å èò òîìó, òî lim v(t) =a>0. Òàêèì îá àçîì, lim v(t) =0. Ïîêàæåì, òî lim ϱ(x(t, x 0 ),M(t)) = 0. Ï åäïîëîæèì ï îòèâíîå, òîãäà ñóùåñòâó ò êîíñòàíòà ε (0,r) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {t i } i=1 òàêèå, òî t i èϱ(x(t i,x 0 ),M(t i )) >ε.ñëåäî- âàòåëüíî, (t i,x(t i,x 0 )) M ε,è,òàê êàê ôóíêöèß V îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíàß, íàéäåòñßòàêîå δ>0, òîv (t i,x(t i,x 0 )) δ. Ýòî ï îòèâî å èò òîìó, òî lim V (t, x(t, x 0 )) = lim v(t) =0. i=1

7 74 SS.. Ëà èíà 2. Òåî åìà ñ àâíåíèß äëß å åíèé ñèñòåì è ó àâíåíèé ñ èìïóëüñàìè Â òîì ïà àã àôå ïîëó åíû àíàëîãè òåî åìû Ëà-Ñàëëß (ñì. [14, ñ. 276]) äëß óï àâëßåìûõ ñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì (1.1). Îòìåòèì, òî äëß ñèñòåì áåç èìïóëüñîâ ẋ = f(t, x, u) ïîäîáíûå óòâå æäåíèß äîêàçàíû â àáîòàõ [3, 5]. Ðàññìîò èì äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì ż = q(t, z), t τ i, Δz t=τi = l(z), (t, z) [t 0, + ) R, (2.1) ãäå ôóíêöèß q(t, z) ëîêàëüíî ëèï èöåâà ïî z, à ôóíêöèß l(z) íåï å ûâíà. Ââåäåì â àññìîò- åíèå ôóíêöè L(z) =l(z) +z â ï åäïîëîæåíèè, òî L(z) íåóáûâà ùàß äëß âñåõ z R. Òåî åìà 3. Ïóñòü ñóùåñòâó ò ôóíêöèè V (t, x), q(t, z), l(z) òàêèå, òî V (t, x) ßâëßåòñß îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M, äëß âñåõ (t, x) N r âûïîëíåíî íå àâåíñòâî Vmin o (t, x) q(t, V (t, x)) è íàéäåòñß òàêîå ŵ W, òî V (τ i,x+ g(x, ŵ)) L (V (τ i,x)) äëß âñåõ x M r (τ i ),i=1, 2,... (2.2) Tîãäà, åñëè äëß å åíèß z(t) ó àâíåíèß (2.1) ñ íà àëüíûì óñëîâèåì z(t 0 )= max V (t 0,x 0 ) x 0 N r (t 0 ) âûïîëíåíî àâåíñòâî lim z(t) =0, òî ìíîæåñòâî M ñëàáî àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâî îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëß âñåõ (t, x) N r îï åäåëèì ìíîæåñòâà Ũ(t, x) =. {u U(t, x) :V o (t, x; f(t, x, u)) q(t, V (t, x))}, W =. {w W : V (τ i,x+ g(x, w)) L (V (τ i,x)), i =1, 2,...}. Èç íå àâåíñòâ Vmin o (t, x) q(t, V (t, x)) è (2.2) ñëåäóåò, òî òè ìíîæåñòâà íåïóñòûå. Ìíîæåñòâî Ũ(t, x) îã àíè åíî, ïîñêîëüêó Ũ(t, x) U(t, x). Òàê æå, êàê â ëåììå 1, äîêàçûâàåòñß, òî ìíîæåñòâî Ũ(t, x) çàìêíóòî. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâó Ũ(t, x) äèôôå åíöèàëüíîå âêë åíèå ẋ F (t, x), F (t, x) =co H(t, x), (2.3) ãäå H(t, x) ñîñòîèò èç âñåõ ï åäåëüíûõ çíà åíèé ôóíêöèè f(t i,x i, Ũ(t i,x i )) ï è (t i,x i ) (t, x), ôóíêöèß (t, x) F (t, x) ïîëóíåï å ûâíà ñâå õó(ñì. ëåììó10.1 àáîòû [5]). Îáîçíà èì å åç ϕ i (t, x i ) å åíèß âêë åíèß (2.3), óäîâëåòâî ß ùèå íà àëüíûì óñëîâèßì ϕ i (τ i,x i )=x i,i= 0, 1, 2,... Ïîñêîëüêó Ũ(t, x) U(t, x) äëß âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n, òî F (t, x) F (t, x). Ñëåäîâàòåëüíî, å åíèß ϕ i (t, x i ) äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß (2.3) òàêæå ßâëß òñß è å åíèßìè èñõîäíîãî âêë åíèß (1.2). Îï åäåëèì å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), óäîâëåòâî ß ùåå íà- àëüíîìóóñëîâè x(t 0,x 0 )=x 0 N r (t 0 ), êîòî îå íà ï îìåæóòêå [t 0,τ 1 ) ñîâïàäàåò ñ ϕ 0 (t, x 0 ) èíàêàæäîì ï îìåæóòêå [τ i,τ i+1 ) ñîâïàäàåò ñ å åíèåì ϕ i (t, x i ),ãäå x i = ϕ i 1 (τ i,x i 1 )+g ( ϕ i 1 (τ i,x i 1 ),w i ), wi W, i =1, 2,... Äëß òîãî å åíèß ïîñò îèì ôóíêöè v(t) =V (t, x(t, x 0 )), â òî êàõ äèôôå åíöè óåìîñòè êîòî îé âûïîëíåíî íå àâåíñòâî v(t) Vmax o (t, x(t, x 0 )). Èç òîãî íå àâåíñòâà è (2.2) ñëåäóåò, òî íå àâåíñòâî v(t) q(t, v(t)) âûïîëíåíî â ï îìåæóòêàõ íåï å ûâíîñòè ôóíêöèè v(t) (èëè â ï îìåæóòêàõ íåï å ûâíîñòè äî ìîìåíòà â åìåíè, ï è êîòî îì å åíèå ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M, åñëè òàêîé ìîìåíò ñóùåñòâóåò). Åñëè òîò ìîìåíò ñóùåñòâóåò, òî lim v(t) =0,òàê êàê v(t) =0ï è òåõ t, ï è êîòî ûõ å åíèå ï èíàäëåæèò äàííîìóìíîæåñòâó. Äàëåå àññìîò èì

8 Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 75 ñëó àé, êîãäà å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1) íå ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M äëß âñåõ t t 0. Ïîñêîëüêó x 0 N r (t 0 ), òî v(t 0 )=V (t, x(t 0,x 0 )) = V (t 0,x 0 ) max V (t 0,x 0 )=z(t 0 ), x 0 N r (t 0 ) ïî òîìó, â ñèëó òåî åìû àïëûãèíà (ñì. [15, ñ. 15]), íå àâåíñòâî v(t) z(t) âå íî ï è âñåõ t [t 0,τ 1 ). Èç âòî îãî íå àâåíñòâà (2.2) ïîëó àåì v(τ 1 )=V(τ 1,x(τ 1,x)) = V (τ 1,x(τ 1 0,x)+g(x(τ 1 0,x),w 1 )) L (V (τ 1,x(τ 1 0,x))) = L (v(τ 1 0)). Òîãäà v(τ 1 ) L (v(τ 1 0)) L(z(τ 1 0)), òàê êàê ôóíêöèß L(z) ßâëßåòñß íåóáûâà ùåé. Èç àâåíñòâà z(τ 1 )=L(z(τ 1 0)) ñëåäóåò, òî v(τ 1 ) z(τ 1 ). Ðàññóæäàß ïîäîáíûì îá àçîì, ò.å. ï èìåíßß äàëåå òåî åìó àïëûãèíà íà êàæäîì ï îìåæóòêå [τ i,τ i+1 ),i=1, 2,..., ïîëó àåì, òî íå àâåíñòâî v(t) z(t) âå íî äëß âñåõ t [t 0, + ). Ïîñêîëüêó ôóíêöèß V (t, x) ßâëßåòñß ôóíêöèåé Ëßïóíîâà, òî 0 v(t) z(t). (2.4) Èç óñëîâèß lim z(t) =0è íå àâåíñòâà (2.4) ñëåäóåò, òî lim v(t) = lim V (t, x(t, x 0 )) = 0. Òàê æå êàê â äîêàçàòåëüñòâå òåî åìû 2, èç ïîëîæèòåëüíîé îï åäåëåííîñòè ôóíêöèè V (t, x) è àâåíñòâà lim v(t) =0ñëåäóåò, òî lim ϱ(x(t 0,x),M(t)) = 0. Ïîëîæèì òåïå ü M = { (t, x) R R n : x M(t) =0 }. Òîãäà äëß òîãî ìíîæåñòâà ñï àâåäëèâî óòâå æäåíèå î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè, êîòî îå ßâëßåòñß ñëåäñòâèåì òåî åìû 3. Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü ñóùåñòâó ò ôóíêöèè V (t, x), q(t, z), l(z) òàêèå, òî V (t, x) ßâëßåòñß îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M è äëß âñåõ (t, x) N r = {(t, x) [t 0, + ) R n : x r} âûïîëíåíû íå àâåíñòâà (2.2). Tîãäà åñëè äëß å åíèß z(t) ó àâíåíèß (2.1) ñ íà àëüíûì óñëîâèåì z(t 0 )= max V (t 0,x 0 ) âûïîëíåíî àâåíñòâî lim z(t) =0, òî äëß ë áîãî x 0 r ñóùåñòâóåò å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), äëß x 0 r êîòî îãî ñï àâåäëèâî àâåíñòâî lim x(t, x 0 )=0. 3. Àñèìïòîòè åñêîå ïîâåäåíèå å åíèé â ìîäåëè êîíêó åíöèè äâóõ âèäîâ ñ èìïóëüñíûì óï àâëåíèåì Ðàññìîò èì ìîäåëü êîíêó åíöèè äâóõ âèäîâ, èñëåííîñòè êîòî ûõ àâíû x 1,x 2. Êàæäûé èç âèäîâ àçìíîæàåòñß â ñîîòâåòñòâèè ñ ëîãèñòè åñêèì çàêîíîì, à ï è âñò å å èñëåííîñòü êàê îäíîãî, òàê è ä óãîãî âèäà óìåíü àåòñß. Â ìîìåíòû â åìåíè τ i íà ñèñòåìóîêàçûâàåòñß âíå íåå âîçäåéñòâèå, â åçóëüòàòå êîòî îãî èñëåííîñòè îáîèõ âèäîâ ñîê àùà òñß. Ï åäïîëàãàåì, òî äàííàß ìîäåëü çàäàíà ñëåäó ùåé ñèñòåìîé ñ èìïóëüñíûì óï àâëåíèåì: { x1 = x 1 x 2 1 ax 1x 2, t τ i, Δx 1 t=τi = w 1 x 1, (3.1) x 2 = x 2 x 2 2 bx 1 x 2, t τ i, Δx 2 t=τi = w 2 x 2. Çäåñü τ i = ih, i = 1, 2,..., h > 0; a > 0, b>0 μ êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèß âèäîâ, w 1, w 2 μ êî ôôèöèåíòû óï àâëåíèß, w =(w 1,w 2 ) W. =[w 11,w 12 ] [w 21,w 22 ], 1 <w 12 < 0, 1 <w 22 < 0. Îáà âèäà ìîãóò ñîñóùåñòâîâàòü, åñëè ï îèçâåäåíèå êî ôôèöèåíòîâ ìåæïîïóëßöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèß ab < 1 (ñì. [16, ñ. 147]). Ëåììà 2. Ï è çàäàííûõ óñëîâèßõ å åíèß ñèñòåìû (3.1) íåîò èöàòåëüíû. Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü f 1 (t, x 1,x 2 ). = x 1 x 2 1 ax 1x 2, f 2 (t, x 1,x 2 ). = x 2 x 2 2 bx 1x 2, x(t, x 0 ) μ å åíèå ñèñòåìû (3.1), óäîâëåòâî ß ùåå íà àëüíîìóóñëîâè x(t 0,x 0 )=x 0 0. Òàê êàê f 1 (t, 0,x 2 )=0, f 2 (t, x 1, 0) = 0 è x 1 + w 1 x 1 =(1+w 1 )x 1 0, x 2 + w 2 x 2 =(1+w 2 )x 2 0

9 76 SS.. Ëà èíà äëß âñåõ t 0, x 1 0, x 2 0, ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèß êâàçèïîëîæèòåëüíîñòè (ñì. [17, ñ. 34]) âûïîëíß òñß. Òîãäà å åíèß çàäàííîé ñèñòåìû íåîò èöàòåëüíû. Îáîçíà èì R 2 + = {x R 2 : x 1 0, x 2 0}. Ïóñòü M μ ò åóãîëüíèê, çàäàííûé ñëåäó ùèì îá àçîì: M = { (x 1,x 2 ) R 2 + : x 1 + x 2 C }, ãäå C>0. Ðàññìîò èì ìíîæåñòâî M = {(t, x) R 3 : x M} è ôóíêöè { 0, åñëè (x 1,x 2 ) M, V (t, x 1,x 2 )=V(x 1,x 2 )= x 1 + x 2 C, åñëè (x 1,x 2 ) R 2 + \ M, êîòî àß ßâëßåòñß ôóíêöèåé Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî äàííîãî ìíîæåñòâà. Íàéäåì åå ï îèçâîäíó â ñèëó ñèñòåìû (3.1) ï è (x 1,x 2 ) R 2 + \ M: V o (x 1,x 2 )=x 1 x 2 1 ax 1x 2 + x 2 x 2 2 bx 1x 2. Íàéäåì ìàêñèìóì ôóíêöèè V o (x 1,x 2 ) â îáëàñòè R 2 + \ M. Åñëè ( ) (x o 1,xo 2 )= 1 a + b +2, 1 R 2 + a + b +2 \ M, òî ìàêñèìàëüíîå çíà åíèå V o (x 1,x 2 ) â R \ M àâíî > 0, òî åñòü íå àâåíñòâî a + b +2 V o (x 1,x 2 ) 0 íå ìîæåò âûïîëíßòüñß äëß âñåõ òî åê èç R 2 + \M. Îòìåòèì, òî (x o 1,xo 2 ) R2 + \M 2 ï è C< a + b +2. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, òî åñëè (x o 1,xo 2 ) M,òîìàêñèìàëüíîå çíà åíèå V o (x 1,x 2 ) äîñòèãàåòñß íà îò åçêå x 1 + x 2 = C, x 1 [0,C]. Âû èñëßß V o (x 1,C x 1 )=(a + b 2)x 2 1 C(a + b +2)x 1 + C + C 2, ( C íàõîäèì, òî óñëîâíûé ìàêñèìóì ôóíêöèè V o (x 1,x 2 ) äîñòèãàåòñß â òî êå (x 1,x 2 )= 2, C ) è 2 åãî çíà åíèå àâíî V o (x (a + b 1,x +2)C2 2 )=C. Íàéäåì óñëîâèå, ï è êîòî îì V o (x 1 4,x 2 ) 0, òî åñòü (a + b +2)C2 C 0. 4 Ðå àß òî íå àâåíñòâî, ïîëó èì ñëåäó ùåå îã àíè åíèå: C 4 a + b +2. Ï è òîì âòî àß ï îèçâîäíàß ôóíêöèè V o (x 1,C x 1 ) äîëæíà áûòü îò èöàòåëüíîé, îòñ äà ïîëó èì óñëîâèå íà êî ôôèöèåíòû ñèñòåìû (3.1): a + b < 2. Åñëè x M, òîx + g(x, w) =x 1 + w 1 x 1 + x 2 + w 2 x 2 =(1+w 1 )x 1 +(1+w 2 )x 2 x 1 + x 2 C. Òàêèì îá àçîì, å åíèå îñòàåòñß âm. Äàëåå, ñîãëàñíî òåî åìå 2, àññìîò èì àçíîñòü V (x + g(x, w)) V (x) ï è x R 2 + \ M. Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó àß: 1) Òî êà x + g(x, w) R 2 + \ M, òîãäà V (x + g(x, w)) V (x) =V (x 1 + w 1 x 1,x 2 + w 2 x 2 ) V (x 1,x 2 )= = x 1 + w 1 x 1 + x 2 + w 2 x 2 x 1 x 2 = w 1 x 1 + w 2 x 2 α(x 1 + x 2 ) α(x 1 + x 2 C) =αv (x 1,x 2 ), ãäå α = max{w 1,w 2 }. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèß ψ(s) èç òåî åìû 2 àâíà ψ(s) = αs. Ýòà ôóíêöèß íåï å ûâíà ï è s 0, ψ(0) = 0 è ψ(s) > 0 ï è s>0, òàê êàê α<0.

10 Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 77 2) Òî êà x + g(x, w) M, òîãäà V (x + g(x, w)) V (x) =0 V (x 1,x 2 )= V (x). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèß ψ(s) èç òåî åìû 2 àâíà ψ(s) =s. Ýòà ôóíêöèß òàêæå óäîâëåòâî ßåò âñåì óñëîâèßì òåî åìû 2. Òàêèì îá àçîì, åñëè èñõîäíàß ñèñòåìà (3.1) óäîâëåòâî ßåò óñëîâè a + b < 2 è ìíîæåñòâî M = { (x 1,x 2 ) R 2 + : x 1 + x 2 C } 4 òàêîe, òî C, òî ï èìåíèìà òåî åìà 2, èç a + b +2 êîòî îé ñëåäóåò, òî çàäàííîå ìíîæåñòâî M ñëàáî àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâî îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (3.1). ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ëà èíà SS.. Ôóíêöèè Ëßïóíîâà è òåî åìû ñ àâíåíèß äëß óï àâëßåìûõñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì // Âåñòíèê Óäìó òñêîãî óíèâå ñèòåòà. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Êîìïü òå íûå íàóêè Âûï. 1. Ñ Ñàìîéëåíêî À.Ì., Ïå åñò ê Í.À. Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì. Êèåâ: Âèùà êîëà, c. 3. Ïàíàñåíêî Å.À., Òîíêîâ Å.Ë. Èíâà èàíòíûå è óñòîé èâî èíâà èàíòíûå ìíîæåñòâà äèôôå åíöèàëüíûõâêë åíèé // Ò óäû Ìàòåìàòè åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â.À. Ñòåêëîâà Ò Ñ Ïàíàñåíêî Å.À., Òîíêîâ Å.Ë. Ðàñï îñò àíåíèå òåî åì Å.À. Áà áà èíà è Í.Í. Ê àñîâñêîãîîá óñòîé- èâîñòè íà óï àâëßåìûå äèíàìè åñêèå ñèñòåìû // Ò óäû Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Ó Î ÐÀÍ Ò Ñ Ðîäèíà Ë.È. Èíâà èàíòíûå è ñòàòèñòè åñêè ñëàáî èíâà èàíòíûå ìíîæåñòâà óï àâëßåìûõ ñèñòåì // Èçâåñòèß Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôî ìàòèêè ÓäÃÓ Âûï. 2 (40). Ñ Ðîäèíà Ë.È. Îöåíêà ñòàòèñòè åñêèõ õà àêòå èñòèê ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì // Èçâåñòèß âûñ èõó åáíûõçàâåäåíèé. Ìàòåìàòèêà Ñ Ðîäèíà Ë.È., Òîíêîâ Å.Ë. Ñòàòèñòè åñêèå õà àêòå èñòèêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè óï àâëßåìîé ñèñòåìû, íåáëóæäàåìîñòü è ìèíèìàëüíûé öåíò ï èòßæåíèß // Íåëèíåéíàß äèíàìèêà Ò Ñ Ôèëèïïîâ À.Ô. Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß ñ àç ûâíîé ï àâîé àñòü. Ì.: Íàóêà, ñ. 9. Êëà ê Ô. Îïòèìèçàöèß è íåãëàäêèé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, c. 10. Íåìûöêèé Â.Â., Ñòåïàíîâ Â.Â. Êà åñòâåííàß òåî èß äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ì.: Ãîñòåõòåî èçäàò, ñ. 11. Ôåäå å Ã. Ãåîìåò è åñêàß òåî èß ìå û. Ì.: Íàóêà, c. 12. Ôèëèïïîâ Â.Â. Ï îñò àíñòâà å åíèé îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ì.: ÌÃÓ, ñ. 13. ÁëàãîäàòñêèõÂ.È., Ôèëèïïîâ À.Ô. Äèôôå åíöèàëüíûå âêë åíèß è îïòèìàëüíîå óï àâëåíèå // Ò óäû Ìàòåìàòè åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â.À. Ñòåêëîâà Ò Ñ Äåìèäîâè Á.Ï. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè åñêîé òåî èè óñòîé èâîñòè. Ì.: Íàóêà, ñ. 15. àïëûãèí Ñ.À. Íîâûé ìåòîä ï èáëèæåííîãî èíòåã è îâàíèß äèôôå åíöèàëüíûõó àâíåíèé. Ì. Ë.: Ãîñòåõèçäàò, ñ. 16. Ðèçíè åíêî Ã.. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè åñêèì ìîäåëßì â áèîëîãèè. àñòü 1. Èæåâñê: ÍÈÖ Ðåãóëß íàß è õàîòè åñêàß äèíàìèêà, c. 17. Êóçåíêîâ Î.À., Ðßáîâà Å.À. Ìàòåìàòè ñêîå ìîäåëè îâàíèå ï îöåññîâ îòáî à. Íèæíèé Íîâãî îä: Èçäàòåëüñòâî Íèæåãî îäñêîãî óíèâå ñèòåòà, ñ. Ïîñòóïèëà â åäàêöè Ëà èíà SSíà üåâíà, àññèñòåíò, êàôåä à ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà, Óäìó òñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò, , Ðîññèß, ã. Èæåâñê, óë. Óíèâå ñèòåòñêàß, 1.

11 78 SS.. Ëà èíà Ya. Yu. Larina Weak asymptotic stability of control systems with impulsive actions Keywords: control systems with impulsive actions, Lyapunov function, weak asymptotic stability. MSC: 34A60, 37N35, 49J15, 93B03 We continue investigating the conditions of positiveinvariance and asymptotic stabilityofagiven set relative toacontrol system with impulsive actions.we consider the set M. = { (t, x) [t 0, + ) R n : x M(t) }, given by a function t M(t) that is continuous in the Hausdorff metric, where the set M(t) is nonempty and compact for each t R. In terms of the Lyapunov functions and the Clarke derivative, we obtain conditions for weak positive invariance, weak uniform Lyapunov stability and weak asymptotic stability of the set M. Also we prove a comparison theorem for solutions of systems and equations with impulses the consequence of which is the conditions for existence of solutions of the system that asymptotically tends to zero. The obtained results are illustrated by the example of model for competition of two species exposed to impulse control at given times. REFERENCES 1. Larina Ya.Yu. Lyapunov functions and comparison theorems for control systems with impulsive actions, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2015, vol. 25, no. 1, pp (in Russian). 2. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. Differentsial'nye uravneniya s impul'snym vozdeistviem (Impulsive differential equations), Kiev: Vishcha shkola, 1987, 287 p. 3. Panasenko E.A., Tonkov E.L. Invariant and stably invariant sets for differential inclusions, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2008, vol. 262, pp Panasenko E.A., Tonkov E.L. Extension of E.A. Barbashin's and N.N. Krasovskii's stability theorems to controlled dynamical systems, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2010, vol. 268, suppl. 1, pp Rodina L.I. Invariant and statistically weakly invariant sets of control systems, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2012, no. 2 (40), pp (in Russian). 6. Rodina L.I. Estimation of statistical characteristics of attainability sets of controllable systems, Russian Mathematics, 2013, vol. 57, no. 11, pp Rodina L.I., Tonkov E.L. Statistical characteristics of attainable set of controllable system, nonwandering, and minimal attraction center, Nelin. Dinam., 2009, vol. 5, no. 2, pp (in Russian). 8. Filippov A.F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoi pravoi chast'yu (Differential equations with discontinuous right-hand side), Ìoscow: Nauka, 1985, 223 p. 9. Clarke F. Optimization and nonsmooth analysis, Wiley, Translated under the title Optimizatsiya i negladkii analiz, Moscow: Nauka, 1988, 300 p. 10. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative theory of differential equations, New Jersey: Princeton University Press, 1960, 523 p. 11. Federer H. Geometricheskaya teoriya mery (Geometric theory of measure), Moscow: Nauka, 1987, 761 p. 12. Filippov V.V. Prostranstva reshenii obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii (Spaces of solutions of ordinary differential equations), Moscow: Moscow State University, 1993, 336 p. 13. Blagodatskikh V.I., Filippov A.F. Differential inclusions and optimal control, Proc. Steklov Inst. Math., 1986, vol. 169, pp Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoi teorii ustoichivosti (Lectures on the mathematical stability theory), Moscow: Nauka, 1967, 472 p. 15. Chaplygin S.A. Novyi metod priblizhennogo integrirovaniya differentsial'nykh uravnenii (A new method of approximate integration of differential equations), Moscow Leningrad: Gostekhizdat, 1950, 102 p. 16. Riznichenko G.Yu.Lektsii po matematicheskim modelyam v biologii. Chast' 1 (Lectures on the mathematical models in biology. Part 1), Izhevsk: Regular and Chaotic Dynamics, 2002, 236 p. 17. Kuzenkov O.A., Ryabova E.A. Matematicheskoe modelirovanie protsessov otbora (Mathematical modeling of processes of selection), Nizhnii Novgorod: Nizhnii Novgorod State University, 2007, 324 p. Received Larina Yana Yur'evna, Assistant Lecturer, Department of Mathematical Analysis, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, , Russia.

U(t,x) R m w i, i = 1,2,... t = τ i W R p º f(t,x,u) g(x,w) (t,x,u) [t 0,+ ) R n R m (x,w) R n R p ¹ U(t,x) (t,x) [t 0,+ ) R n

U(t,x) R m w i, i = 1,2,... t = τ i W R p º f(t,x,u) g(x,w) (t,x,u) [t 0,+ ) R n R m (x,w) R n R p ¹ U(t,x) (t,x) [t 0,+ ) R n ¾¼½ º þ º ¾ µ ½ º º º ü üü üþ þ þ º º ¹ º ¹ º þ ½ ¹ M. = { (tx) [t 0 ) R n : x M(t) } ¹ º ¹ Mº x(tx 0 ) freq(x) ¹ M [0] x(tx 0 ) M(t) º ¹ freq (x) freq (x)º ¹ κ κ [0] ¹ º þ ¹ freq (x) κ freq (x) κ. ¹ º

Διαβάστε περισσότερα

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetRu Общероссийский математический портал А Л Багно, А М Тарасьев, Свойства функции цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом, Вестн Удмуртск ун-та Матем Мех Компьют науки,

Διαβάστε περισσότερα

f = f(i, α) =f(x, ξ 1,...,ξ m ), (f(i 1,α),...,f(i m,α)) (ξ 1,...,ξ m )

f = f(i, α) =f(x, ξ 1,...,ξ m ), (f(i 1,α),...,f(i m,α)) (ξ 1,...,ξ m ) ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 517.912, 514.1 c Â. À. Êû îâ ÂËÎÆÅÍÈÅ ÔÅÍÎÌÅÍÎËÎÃÈ ÅÑÊÈ ÑÈÌÌÅÒÐÈ ÍÛÕ ÃÅÎÌÅÒÐÈÉ ÄÂÓÕ ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÀÍÃÀ (N, 2) Â ÔÅÍÎÌÅÍÎËÎÃÈ ÅÑÊÈ

Διαβάστε περισσότερα

z ); (h ˆ,h ) = arccos h,h ˆ,h ) [0,π]; α A (z )= max (h z = 0 R 2. Òîãäà Ω A (z ) = {z R : z = 1}, co Ω A (z ) z = {z R 2 : z 1}, z < 1.

z ); (h ˆ,h ) = arccos h,h ˆ,h ) [0,π]; α A (z )= max (h z = 0 R 2. Òîãäà Ω A (z ) = {z R : z = 1}, co Ω A (z ) z = {z R 2 : z 1}, z < 1. ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 514.74 c Â. Í. Ó àêîâ, À. À. Óñïåíñêèé α-ìíîæåñòâà Â ÊÎÍÅ ÍÎÌÅÐÍÛÕ ÅÂÊËÈÄÎÂÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÕ È ÈÕ ÑÂÎÉÑÒÂÀ 1 Ï èâîäèòñß ïîíßòèå

Διαβάστε περισσότερα

y(t 0 )=y 0,t [t 0,t f ],y R n,

y(t 0 )=y 0,t [t 0,t f ],y R n, ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÊÎÌÈÒÅÒ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÏÎ ÂÛÑ ÅÌÓ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈ ÊÐÀÑÍÎSSÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Íà ï àâàõ óêîïèñè ÓÄÊ 519.6 ÐÎÃÀËΞÅÂ ÀËÅÊÑÅÉ ÍÈÊÎËÀÅÂÈ ÂÅÐÕÍÈÅ È ÍÈÆÍÈÅ ÎÖÅÍÊÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÅ ÅÍÈÉ

Διαβάστε περισσότερα

ÓÄÊ Ïå àòàåòñß ïî å åíè Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà Èíñòèòóòà ôèçèêè Êàçàíñêîãî ôåäå àëüíîãî óíèâå ñèòåòà Ðåöåíçåíòû: Êàíäèäàò ôèç.-ìàò. í

ÓÄÊ Ïå àòàåòñß ïî å åíè Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà Èíñòèòóòà ôèçèêè Êàçàíñêîãî ôåäå àëüíîãî óíèâå ñèòåòà Ðåöåíçåíòû: Êàíäèäàò ôèç.-ìàò. í Êàçàíñêèé ôåäå àëüíûé óíèâå ñèòåò A.È. Åãî îâ, Ð. Ê. Ìóõà ëßìîâ, Ò. Í. Ïàíê àòüåâà ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈSS ÄËSS ÈÍÆÅÍÅÐÍÛÕ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈÉ Ìåòîäè åñêîå ïîñîáèå Êàçàíü - 2013 ÓÄÊ 517.91 Ïå àòàåòñß ïî å

Διαβάστε περισσότερα

df (x) =F (x)dx = f(x)dx.

df (x) =F (x)dx = f(x)dx. Ââåäåíèå Íà ßäó ñ ïîèñêîì ïî çàäàííîé ôóíêöèè åå ï îèçâîäíîé, òî ßâëßåòñß çàäà åé äèôôå åíöèàëüíîãî èñ èñëåíèß, àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â îá àòíîé îïå àöèè âîññòàíîâëåíèè ôóíêöèè ïî åå ï îèçâîäíîé.

Διαβάστε περισσότερα

Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009

Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009 Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009 Ñîäå æàíèå Òåìà 1 À èôìåòè åñêèå äåéñòâèß íàä âåêòî àìè...

Διαβάστε περισσότερα

X Y = {X Y : X X} P. π[e] = { E P ( P(E) ) ( E)&(E E)&(A B E A E B E) } (1.1) (alg)[e] = {L π[e] E \ L L L L}, (1.2) (top)[e] = G τ G P (τ).

X Y = {X Y : X X} P. π[e] = { E P ( P(E) ) ( E)&(E E)&(A B E A E B E) } (1.1) (alg)[e] = {L π[e] E \ L L L L}, (1.2) (top)[e] = G τ G P (τ). ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 519.6 c Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈSS ÑÂÎÁÎÄÍÛÕ ÓËÜÒÐÀÔÈËÜÒÐÎÂ 1 Ðàññìàò èâà òñß êîíñò óêöèè, ñâßçàííûå

Διαβάστε περισσότερα

K8(03) 99

K8(03) 99 åëßáèíñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò Ã.À.Ñâè èä ê Â.Å.Ôåäî îâ ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ àñòü I Ó åáíîå ïîñîáèå åëßáèíñê 1999 Ìèíèñòå ñòâî îáùåãî è ï îôåññèîíàëüíîãî îá àçîâàíèß Ðîññèéñêîé Ôåäå àöèè åëßáèíñêèé

Διαβάστε περισσότερα

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) (  ( 35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ Â ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ

ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ Â ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ À.Â. Ïëÿñóíîâ Ðàâíîâåñèÿ Íýøà è Øòàêåëüáåðãà Ñâåòëîãîðñê 2015 1 / 12 ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ Â ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ Þ.À. Êî åòîâ, À.Â. Ïëÿñóíîâ, Ä.Ä. âîêè Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 2(131).. 105Ä ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 2(131).. 105Ä ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 2006.. 3, º 2(131).. 105Ä110 Š 537.311.5; 538.945 Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆŠ ˆ ƒ Ÿ ƒ ˆ œ ƒ Œ ƒ ˆ ˆ Š ˆ 4 ². ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ³ É É Ö μ ² ³ μ É ³ Í ² Ö Ê³ μ μ ³ É μ μ μ²ö

Διαβάστε περισσότερα

, ν C = ν 2 + ν 1 a. ω = ψ, ds dt = ν Ck(s)., ν C = (ω 2 + ω 1 )R. R + ν Ck(s)a. k = dt, ϕ 2 = x = t, y = t 2, 0 t 5, 0 1+4t 2 dt.

, ν C = ν 2 + ν 1 a. ω = ψ, ds dt = ν Ck(s)., ν C = (ω 2 + ω 1 )R. R + ν Ck(s)a. k = dt, ϕ 2 = x = t, y = t 2, 0 t 5, 0 1+4t 2 dt. ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 531.1 c Ñ. À. Áå åñòîâà, Í. Å. Ìèñ à, Å. À. Ìèò îâ ÊÈÍÅÌÀÒÈ ÅÑÊÎÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅÌ ÊÎËÅÑÍÛÕ ÒÐÀÍÑÏÎÐÒÍÛÕ ÑÐÅÄÑÒÂ Â àáîòå

Διαβάστε περισσότερα

Ç åñãáóßá êáé ï áíèñþðéíïò ìü èïò ðçãþ åìðíåõóçò ôùí åëëþíùí æùãñüöùí

Ç åñãáóßá êáé ï áíèñþðéíïò ìü èïò ðçãþ åìðíåõóçò ôùí åëëþíùí æùãñüöùí Ç åñãáóßá êáé ï áíèñþðéíïò ìü èïò ðçãþ åìðíåõóçò ôùí åëëþíùí æùãñüöùí C i ani euaei 2 0 0 6 OOE E I AI O O? A E E C E U I A E I EE C O ONA? A? A O Ai o?? ni euai o I eaec i anei uo i u?ei o, i e aa? i

Διαβάστε περισσότερα

ṙ 1 = v +grad ϕ(r) r=ri a v 1 = λ 1 ( ỹ 1 ẏ 1 ), a v 2 = λ 1 ( x 1 ẋ 1 ) ag, arctg x x 1 r 2 (r, v)+λ 1 arctg

ṙ 1 = v +grad ϕ(r) r=ri a v 1 = λ 1 ( ỹ 1 ẏ 1 ), a v 2 = λ 1 ( x 1 ẋ 1 ) ag, arctg x x 1 r 2 (r, v)+λ 1 arctg ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 512.77, 517.912 c Ñ. Â. Ñîêîëîâ, È. Ñ. Êîëüöîâ ÕÀÎÒÈ ÅÑÊÎÅ ÐÀÑÑÅSSÍÈÅ ÒÎ Å ÍÎÃÎ ÂÈÕÐSS ÊÐÓÃÎÂÛÌ ÖÈËÈÍÄÐÈ ÅÑÊÈÌ ÒÂÅÐÄÛÌ ÒÅËÎÌ,

Διαβάστε περισσότερα

P É Ô Ô² 1,2,.. Ò± 1,.. ±μ 1,. ƒ. ±μ μ 1,.Š. ±μ μ 1, ˆ.. Ê Ò 1,.. Ê Ò 1 Œˆ ˆŸ. ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö

P É Ô Ô² 1,2,.. Ò± 1,.. ±μ 1,. ƒ. ±μ μ 1,.Š. ±μ μ 1, ˆ.. Ê Ò 1,.. Ê Ò 1 Œˆ ˆŸ. ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö P11-2015-60. É Ô Ô² 1,2,.. Ò± 1,.. ±μ 1,. ƒ. ±μ μ 1,.Š. ±μ μ 1, ˆ.. Ê Ò 1,.. Ê Ò 1 Œ Œ ˆ Š Œ ˆ ˆ Œˆ ˆŸ ƒ Š ˆŒ Š ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê 2 Œμ μ²ó ± μ Ê É Ò

Διαβάστε περισσότερα

ˆ Œ ˆŸ Š ˆˆ ƒ Šˆ ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆ

ˆ Œ ˆŸ Š ˆˆ ƒ Šˆ ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆ Ó³ Ÿ. 2007.. 4, º 5(141).. 719Ä730 ˆ ˆ ƒˆÿ, Š ƒˆÿ ˆ Ÿ Ÿ Œ ˆ ˆ ˆ Œ ˆŸ Š ˆˆ ƒ Šˆ ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆ Š Œ Œ ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ ÖÉ Ö Ê²ÓÉ ÉÒ μéò μ ³ Õ ±μ Í É Í CO 2 O 2 ϲ μì

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 6(155).. 805Ä813 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. ˆ.. ³ Ì μ, ƒ.. Š ³ÒÏ, ˆ.. Š Ö. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê. Ÿ. ʲ ±μ ±

Ó³ Ÿ , º 6(155).. 805Ä813 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. ˆ.. ³ Ì μ, ƒ.. Š ³ÒÏ, ˆ.. Š Ö. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê. Ÿ. ʲ ±μ ± Ó³ Ÿ. 2009.. 6, º 6(155).. 805Ä813 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ Œ ˆ ˆ Œ ˆŒ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ÿ Œ ƒ ˆ ˆŠ ˆ.. ³ Ì μ, ƒ.. Š ³ÒÏ, ˆ.. Š Ö Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ÿ. ʲ ±μ ± ˆ É ÉÊÉ Ö μ Ë ± μ²ó ±μ ± ³ ʱ, Š ±μ, μ²óï Œ É ³ É Î ±μ ±μ³

Διαβάστε περισσότερα

Œˆ ˆ ƒ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Ÿ Œˆ ˆ

Œˆ ˆ ƒ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Ÿ Œˆ ˆ Ó³ Ÿ. 2017.. 14, º 1(206).. 176Ä189 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ Œˆ ˆ ƒ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Ÿ Œˆ ˆ.. Š μ,. ˆ. Š Î 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μé ³ É É Ö μ²êî μ μ μ μ μ ² Ö Êα ÉÖ ²ÒÌ μ μ ÊÐ Ö ³ Ï μ³μðóõ ± μ Ö Êα μ μ Ì μ É. ± μ μ ÊÐ

Διαβάστε περισσότερα

t w max s.t. w θc(t) 0, (1)

t w max s.t. w θc(t) 0, (1) Òåî èß êîíò àêòîâ Ñáî íèê çàäà ñ å åíèßìè Ñîñòàâèòåëè: ï åïîäàâàòåëè ÐÝ Ñå ãåé Ãîëîâàíü, Ñå ãåé Ãó èåâ, Àëåêñåé Ìàê ó èí. 3 àï åëß ã. Ï åäâà èòåëüíûé âà èàíò; âñå çàìå àíèß è ï åäëîæåíèß íàï àâëßòü ïî

Διαβάστε περισσότερα

2011 Ð 5 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA May, ( MR(2000) ß Â 49J20; 47H10; 91A10

2011 Ð 5 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA May, (  MR(2000) ß Â 49J20; 47H10; 91A10 À 34 À 3 Ù Ú ß Vol. 34 No. 3 2011 Ð 5 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA May, 2011 Á É ÔÅ Ky Fan Ë ÍÒ ÇÙÚ ( ¾±» À ¾ 100044) (Ø À Ø 550025) (Email: dingtaopeng@126.com) Ü Ö Ë»«Æ Đ ĐÄ Ï Þ Å Ky Fan Â Ï Ò¹Ë

Διαβάστε περισσότερα

2 Ï åäèñëîâèå Èçëàãàåìûé íèæå ìàòå èàë ï åäñòàâëßåò ñîáîé ñóùåñòâåííî àñ è åííûé êîíñïåêò ëåêöèé, èòàåìûõ àâòî îì íà ôèçè åñêîì ôàêóëüòåòå Ó àëüñêîãî

2 Ï åäèñëîâèå Èçëàãàåìûé íèæå ìàòå èàë ï åäñòàâëßåò ñîáîé ñóùåñòâåííî àñ è åííûé êîíñïåêò ëåêöèé, èòàåìûõ àâòî îì íà ôèçè åñêîì ôàêóëüòåòå Ó àëüñêîãî ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÐÈÈ ÏÎËSS Ì. Â. Ñàäîâñêèé Èíñòèòóò Ýëåêò îôèçèêè Ó Î ÐÀÍ, Åêàòå èíáó ã, 620016, Ðîññèß, E-mail: sadovski@iep.uran.ru c Ì.Â.Ñàäîâñêèé, 2002 2 Ï åäèñëîâèå Èçëàãàåìûé íèæå ìàòå èàë

Διαβάστε περισσότερα

x u y 2, v t + u v x v x + v y =0; θ x θ y 2 ; f(t) = x = 2 θ x 2 =0.

x u y 2, v t + u v x v x + v y =0; θ x θ y 2 ; f(t) = x = 2 θ x 2 =0. ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 519.632.4, 532.516.5 c À. À. Ôîìèí, Ë. Í. Ôîìèíà ÈÑËÅÍÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÒÅ ÅÍÈSS ÂSSÇÊÎÉ ÍÅÑÆÈÌÀÅÌÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ È ÒÅÏËÎÎÁÌÅÍÀ

Διαβάστε περισσότερα

Š Šˆ ATLAS: ˆ ˆŸ ˆ Šˆ, Œ ˆ Œ ˆ.. ƒê ±μ,. ƒ ² Ï ², ƒ.. Š ± ²,. Œ. Ò,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. Ê ±μ Î,.. ±μ,. Œ. μ

Š Šˆ ATLAS: ˆ ˆŸ ˆ Šˆ, Œ ˆ Œ ˆ.. ƒê ±μ,. ƒ ² Ï ², ƒ.. Š ± ²,. Œ. Ò,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. Ê ±μ Î,.. ±μ,. Œ. μ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2010.. 41.. 1 Š ƒ ˆ ˆŸ Å Š Šˆ ATLAS: ˆ ˆŸ ˆ Šˆ, Œ ˆ Œ ˆ.. ƒê ±μ,. ƒ ² Ï ², ƒ.. Š ± ²,. Œ. Ò,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. Ê ±μ Î,.. ±μ,. Œ. μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê. ÉÉÊ,. Ê μ μ ± Ö μ Í Ö Ö ÒÌ

Διαβάστε περισσότερα

Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #

Z L L L N b d g 5 *  # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1  5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3  # Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H

Διαβάστε περισσότερα

dx dt = f(t,x), t [0,T], (1) g ( x(0),x(t) ) = T, (2)

dx dt = f(t,x), t [0,T], (1) g ( x(0),x(t) ) = T, (2) ISSN 16820525 Ì À Ò Å Ì À Ò È Ê À Ë Û Æ Ó Ð Í À Ë Ì À Ò Å Ì À Ò È Å Ñ Ê È É Æ Ó Ð Í À Ë M A T H E M A T I C A L J O U R N A L 2010 òîì 10 1 35 Èçäàåòñÿ ñ 2001 ãîäà Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÌÎ è Í ÐÊ Àëìàòû

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ º 3[120] Particles and Nuclei, Letters No. 3[120]

Ó³ Ÿ º 3[120] Particles and Nuclei, Letters No. 3[120] Ó³ Ÿ. 2004. º 3[120] Particles and Nuclei, Letters. 2004. No. 3[120] Š 621.384.633.5/6 Š ˆ ˆ Šˆ Šˆ Š ˆ Ÿ Ÿ ˆ ˆ.. Œ ϱµ 1,.. µ 1,.. ³ µ 1,. Œ. Ò 1, ƒ.. Ê ±µ 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê Œµ ±µ ± µ Ê É Ò É ÉÊÉ

Διαβάστε περισσότερα

) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 3(180).. 313Ä320

Ó³ Ÿ , º 3(180).. 313Ä320 Ó³ Ÿ. 213.. 1, º 3(18).. 313Ä32 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆŸ ƒ ƒ Ÿ ˆ Š ˆ Šˆ Š ŒŒ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆŠ.. μ a, Œ.. Œ Í ± μ,. ƒ. ²Ò ± a ˆ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ μ ±μ ± ³ ʱ, Œμ ± ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ

Διαβάστε περισσότερα

P Ò±,. Ï ± ˆ ˆŒˆ Š ƒ ˆŸ. Œ ƒ Œ ˆˆ γ-š Œˆ ƒ ƒˆ 23 ŒÔ. ² μ Ê ². Í μ ²Ó Ò Í É Ö ÒÌ ² μ, É μí±, μ²óï

P Ò±,. Ï ± ˆ ˆŒˆ Š ƒ ˆŸ. Œ ƒ Œ ˆˆ γ-š Œˆ ƒ ƒˆ 23 ŒÔ. ² μ Ê ². Í μ ²Ó Ò Í É Ö ÒÌ ² μ, É μí±, μ²óï P15-2012-75.. Ò±,. Ï ± ˆ Œ ˆŸ ˆ, š Œ ˆ ˆŒˆ Š ƒ ˆŸ ˆ ˆ, Œ ƒ Œ ˆˆ γ-š Œˆ ƒ ƒˆ 23 ŒÔ ² μ Ê ² Í μ ²Ó Ò Í É Ö ÒÌ ² μ, É μí±, μ²óï Ò±.., Ï ±. P15-2012-75 ˆ ³ Ö μ Ì μ É, μ Ñ ³ ÒÌ μ É Ì ³ Î ±μ μ μ É μ Íμ Ö ÕÐ

Διαβάστε περισσότερα

Œ.. ² μ,.. Œ ²μ, ƒ.. μ ±μ,. Ô Ô ², Œ.. ƒê Éμ, Œ.. Œ ² μ *

Œ.. ² μ,.. Œ ²μ, ƒ.. μ ±μ,. Ô Ô ², Œ.. ƒê Éμ, Œ.. Œ ² μ * 6-2008-5 Œ.. ² μ,.. Œ ²μ, ƒ.. μ ±μ,. Ô Ô ², Œ.. ƒê Éμ, Œ.. Œ ² μ * ˆ ˆ ˆˆ U(VI) ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ ² μ Ê ² μì ³ Ö *, μ -, μ² Ö ² μ Œ... 6-2008-5 ˆ ² μ μ Í U(VI) μî μ μ Ì ² Ð μ ±É ÒÌ μéìμ μ ˆ ² μ μ Í Ö U(VI) μî

Διαβάστε περισσότερα

M = {x 1,x 2,...} M = {x P (x)}.

M = {x 1,x 2,...} M = {x P (x)}. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ êîíñïåêò ëåêöèè (àñòü 1) À.Ñ. Äæóìàäèëüäàåâ 27 ôåâàëß 2005 ã. Îãëàâëåíèå 1 Ìíîæåñòâà 4 1.1 Ìíîæåñòâà, ïîäìíîæåñòâà è ëåìåíòû.................. 4 1.2 Ïààäîêñ Ðàññåëà..............................

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C

Διαβάστε περισσότερα

ƒê,.. ± É,.. Ëμ μ. ˆŸ Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ- ˆŒŒ ˆ ƒ Œ ƒ ˆ. ² μ Ê ² ² ±É Î É μ

ƒê,.. ± É,.. Ëμ μ. ˆŸ Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ- ˆŒŒ ˆ ƒ Œ ƒ ˆ. ² μ Ê ² ² ±É Î É μ 13-2009-159.. ƒê,.. ± É,.. Ëμ μ Š ˆŒ œ ˆ ˆ ˆŸ Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ- ˆŒŒ ˆ ƒ Œ ƒ ˆ ² μ Ê ² ² ±É Î É μ ƒê.., ± É.., Ëμ μ.. 13-2009-159 ± ³ É ²Ó μ ² μ Ê ² Î Ö ³ É μ μ μ²ö Ð Í ² Î ± - ³³ É Î μ μ ³ É μ ³

Διαβάστε περισσότερα

Óòâå æäåíî íà çàñåäàíèè êàôåä û âû èñëèòåëüíîé ôèçèêè Àâòî û: È.Â. Àíä îíîâ, Â.Á. Êó àñîâ, Â.Â. Ìîíàõîâ, À.Â. Êîæåäóá, Ï.À. Íàóìåíêî, Ò.Â. Ô îëîâà, À.

Óòâå æäåíî íà çàñåäàíèè êàôåä û âû èñëèòåëüíîé ôèçèêè Àâòî û: È.Â. Àíä îíîâ, Â.Á. Êó àñîâ, Â.Â. Ìîíàõîâ, À.Â. Êîæåäóá, Ï.À. Íàóìåíêî, Ò.Â. Ô îëîâà, À. Ñàíêò-Ïåòå áó ãñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò Ôèçè åñêèé ôàêóëüòåò Êàôåä à âû èñëèòåëüíîé ôèçèêè Ï àêòèêóì ïî èñëåííûì ìåòîäàì äëß ñòóäåíòîâ âòî îãî êó ñà àñòü I-II Ó åáíî-ìåòîäè åñêîå ïîñîáèå Ñàíêò-Ïåòå

Διαβάστε περισσότερα

ƒ ˆŒ Œ ƒ ƒ ˆ ƒ ˆŠ ˆ -144

ƒ ˆŒ Œ ƒ ƒ ˆ ƒ ˆŠ ˆ -144 Ó³ Ÿ. 2012.. 9, º 4Ä5(174Ä175).. 647Ä653 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ Œ Œ ˆ Š Œ ˆ ˆ ƒ ˆŒ Œ ƒ ƒ ˆ ƒ ˆŠ ˆ -144 ˆ.. ³ Ì μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,ˆ..Š Ö, Ÿ. ʲ ±μ ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ É ÉÊÉ Ö μ Ë ± μ²ó ±μ ± ³ ʱ, Š ±μ, μ²óï ÔÉμ

Διαβάστε περισσότερα

Ï åäèñëîâèå Â êîíöå 5-õ, íà àëå 6-õ ãîäîâ ï î ëîãî âåêà â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß ( àùå íàçûâàâ åéñß òîãäà òåî èåé òâå äîãî òåëà è êâàíòîâû

Ï åäèñëîâèå Â êîíöå 5-õ, íà àëå 6-õ ãîäîâ ï î ëîãî âåêà â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß ( àùå íàçûâàâ åéñß òîãäà òåî èåé òâå äîãî òåëà è êâàíòîâû ÄÈÀÃÐÀÌÌÀÒÈÊÀ Ëåêöèè ïî èçá àííûì çàäà àì òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß Èçäàíèå âòî îå, ïå å àáîòàííîå è äîïîëíåííîå Ì. Â. Ñàäîâñêèé Èíñòèòóò ëåêò îôèçèêè Ó Î ÐÀÍ, Åêàòå èíáó ã, 66, Ðîññèß, E-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Š Ÿ Š Ÿ Ÿ ˆ Œ ˆŠ -280

Š Ÿ Š Ÿ Ÿ ˆ Œ ˆŠ -280 Ó³ Ÿ.. 2012.. 9, º 8.. 89Ä97 Š Ÿ Š Ÿ Ÿ ˆ Œ ˆŠ -280 ƒ. ƒ. ƒê²ó ±Ö,.. Ê, ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Š ³ÒÏ,. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ³ É É Ö Ò μ±μî ÉμÉ Ö Ê ±μ ÖÕÐ Ö É ³ ÉÒ ³μ μ μ Éμ Ö - ÒÌ ±Í ³. ƒ.. ² μ Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³

Διαβάστε περισσότερα

ƒ Š ˆ ˆ ˆˆ. ƒ. Ê ÖÏμ a,.. Š Ê,.. Šμ²μ ÊÉμ a, ƒ..œ ÍÒ a,. ƒ. Œμ²μ± μ a,.. ± a a Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

ƒ Š ˆ ˆ ˆˆ. ƒ. Ê ÖÏμ a,.. Š Ê,.. Šμ²μ ÊÉμ a, ƒ..œ ÍÒ a,. ƒ. Œμ²μ± μ a,.. ± a a Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 2006.. 3, º 1(130).. 101Ä110 Š 621.386.85 ˆ Œ Š Ÿ Œ ƒ Š ˆ ˆ ˆˆ. ƒ. Ê ÖÏμ a,.. Š Ê,.. Šμ²μ ÊÉμ a, ƒ..œ ÍÒ a,. ƒ. Œμ²μ± μ a,.. ± a a Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ É ÉÊÉ É μ É Î ±μ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, Œμ ± ²Ö

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

P ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Š ³ÒÏ,.. ± ˆ ŒˆŠˆ Š ˆŠ

P ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Š ³ÒÏ,.. ± ˆ ŒˆŠˆ Š ˆŠ P9-2008-53 ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Š ³ÒÏ,.. ± ˆ ŒˆŠˆ Š ˆŠ ˆ Œ MATLAB Š ³ÒÏ ƒ.., Š ³ÒÏ.., ±.. P9-2008-53 Î ÉÒ ³ ± Êα Í ±²μÉ μ Ì É ³ MATLAB É ÉÓ μ± μ ³μ μ ÉÓ ³ Ö Œ LAB ²Ö ÊÎ ÒÌ Î - Éμ Ë ± Ê ±μ É ², Î É μ É ²Ö μ Ö

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακό Μάθημα Ποιότητα Ισχύος. 1η ενότητα : Εισαγωγή 1

Μεταπτυχιακό Μάθημα Ποιότητα Ισχύος. 1η ενότητα : Εισαγωγή 1 Μεταπτυχιακό Μάθημα Ποιότητα Ισχύος 1η ενότητα : Εισαγωγή 1 Προβλήματα Ποιότητας Ισχύος Ταχέα ηλεκτρομαγνητικά μεταβατικά φαινόμενα (fast electromagnetic transients) Διακοπτικοί χειρισμοί (ζεύξεις, αποζεύξεις)

Διαβάστε περισσότερα

σ 2 = 1 N i=1 x = ae ie, E = n(t t 0 )+E 0, n = μ/a 3, (3)

σ 2 = 1 N i=1 x = ae ie, E = n(t t 0 )+E 0, n = μ/a 3, (3) 1 ÓÄÊ 523.24 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÎÐÁÈÒ ÁËÈÇÊÈÕ ÑÏÓÒÍÈÊÎÂ ÏÈÒÅÐÀ c 27 ã. Àâä åâ Â.À., Áàíüùèêîâà Ì.À. ÍÈÈ ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Òîìñêîãî ãîñóíèâå ñèòåòà, ï. Ëåíèíà, 36, Òîìñê, Ðîññèß, 6345; e-mail: astrodep@niipmm.tsu.ru

Διαβάστε περισσότερα

.. ƒ²μ É, Œ. Œ Ï,. Š. μé ±μ,..,.. ³ μ μ, ƒ.. ÒÌ

.. ƒ²μ É, Œ. Œ Ï,. Š. μé ±μ,..,.. ³ μ μ, ƒ.. ÒÌ 13-2016-82.. ƒ²μ É, Œ. Œ Ï,. Š. μé ±μ,..,.. ³ μ μ, ƒ.. ÒÌ ˆ Œ ˆŸ Š Š Š ( ) ƒ ˆ ˆ ˆŒ Œ Ÿ Š Œ Š ˆŒ NA62. I. ˆ Œ ˆŸ Ÿ Œ ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É ƒ²μ É... 13-2016-82 ² ³ Éμ μ²μ Ö μ ÒÌ μ μ²μ± Éμ ±μ É ÒÌ Ëμ

Διαβάστε περισσότερα

P ƒ. μ μ², Œ.. ˆ μ,.. μ ± Î Š Ÿ ˆ Œ ˆŸ ˆ Ÿ Š ˆ. ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É.

P ƒ. μ μ², Œ.. ˆ μ,.. μ ± Î Š Ÿ ˆ Œ ˆŸ ˆ Ÿ Š ˆ. ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É. P13-2011-120. ƒ. μ μ², Œ.. ˆ μ,.. μ ± Î Š Ÿ ˆ Œ ˆŸ ˆ Ÿ Š ˆ ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É E-mail: sobolev@nrmail.jinr.ru μ μ². ƒ., ˆ μ Œ.., μ ± Î.. P13-2011-120 É μ ± ²Ö ³ Ö μ² ÒÌ Î Ö ÒÌ ±Í Ò É Ö Ô± ³ É ²Ó Ö

Διαβάστε περισσότερα

2?nom. Bacc. 2 nom. acc. S nom. 7acc. acc >nom < <

2?nom. Bacc. 2 nom. acc. S <u. >nom. 7acc. acc >nom < < K+P K+P PK+ K+P - _+ l Š N K - - a\ Q4 Q + hz - I 4 - _+.P k - G H... /.4 h i j j - 4 _Q &\\ \\ ` J K aa\ `- c -+ _Q K J K -. P.. F H H - H - _+ 4 K4 \\ F &&. P H.4 Q+ 4 G H J + I K/4 &&& && F : ( -+..

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

ˆŸ ˆ Œ ˆ ˆ œ Š Œ Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆ ŒˆŠ Š Œ ˆ ˆ Š Œ ˆŠ 235-V3

ˆŸ ˆ Œ ˆ ˆ œ Š Œ Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆ ŒˆŠ Š Œ ˆ ˆ Š Œ ˆŠ 235-V3 Ó³ Ÿ. 2014.. 11, º 6(190).. 1232Ä1242 ˆ ˆ ƒˆÿ, Š ƒˆÿ ˆ Ÿ Ÿ Œ ˆ ˆ ˆŸ ˆ Œ ˆ ˆ œ Š Œ Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆ ŒˆŠ Š Œ ˆ ˆ Š Œ ˆŠ 235-V3 ƒ.. Š ³ÒÏ 1,.. Šμ É μ³,.. Œμ μ μ,.. ³ μ μ,. Œ. Ò 2 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μé É ² Ò

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä664

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä664 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2017.. 48.. 5.. 653Ä664 ˆ Œ ˆ ˆ e + e K + K nπ (n =1, 2, 3) Š Œ ŠŒ -3 Š - ˆ Œ Š -2000 ƒ.. μéμ Î 1,2, μé ³ ±μ²² μ Í ŠŒ -3: A.. ß ±μ 1,2,. Œ. ʲÓÎ ±μ 1,2,.. ̳ ÉÏ 1,2,.. μ 1,.. ÏÉμ μ 1,.

Διαβάστε περισσότερα

P ² ± μ. œ Š ƒ Š Ÿƒ ˆŸ Œ œ Œ ƒˆ. μ²μ μ Œ Ê μ μ ±μ Ë Í μ É Í ±μ ³μ²μ (RUSGRAV-13), Œμ ±, Õ Ó 2008.

P ² ± μ. œ Š ƒ Š Ÿƒ ˆŸ Œ œ Œ ƒˆ. μ²μ μ Œ Ê μ μ ±μ Ë Í μ É Í ±μ ³μ²μ (RUSGRAV-13), Œμ ±, Õ Ó 2008. P3-2009-104.. ² ± μ ˆ ˆ Š Š ˆ œ Š ƒ Š Ÿƒ ˆŸ Œ œ Œ ƒˆ μ²μ μ Œ Ê μ μ ±μ Ë Í μ É Í ±μ ³μ²μ (RUSGRAV-13), Œμ ±, Õ Ó 2008. ² ± μ.. ²μ μ ± μé±²μ μé ÓÕÉμ μ ±μ μ ±μ ÉÖ μé Ö μ³μðóõ É μ μ ³ ²ÒÌ Ô P3-2009-104 ÓÕÉμ

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

P ²ÒÏ,.. μ μ Š ˆ ˆ Ÿ ˆ

P ²ÒÏ,.. μ μ Š ˆ ˆ Ÿ ˆ P13-2013-6.. ²ÒÏ,.. μ μ ƒ ˆ Šˆ Š Š ˆ -2Œ. Œ ƒ Š Š ˆ ˆ Ÿ ˆ ²ÒÏ.., μ μ.. P13-2013-6 É Î ± Ê ± ±Éμ ˆ -2Œ. ³ É Ò Ìμ μ μ ÔËË ±É ±É μ É μ É μ Ö μ ÖÉ Ö Ê²ÓÉ ÉÒ ² μ Ö Ìμ ÒÌ ÔËË ±Éμ ±É μ É - ±Éμ ˆ -2Œ, Ò μ² μ μ

Διαβάστε περισσότερα

P μ,. Œμ α 1,. ²μ ± 1,.. ϱ Î, Ÿ. Ê Í± 2 Œˆ ˆ Œ Š Ÿ Š Ÿ ˆ ˆŒ ˆˆ. ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É

P μ,. Œμ α 1,. ²μ ± 1,.. ϱ Î, Ÿ. Ê Í± 2 Œˆ ˆ Œ Š Ÿ Š Ÿ ˆ ˆŒ ˆˆ. ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É P13-2009-117.. μ,. Œμ α 1,. ²μ ± 1,.. ϱ Î, Ÿ. Ê Í± 2 Œˆ ˆ Œ Š Ÿ Š Ÿ ˆ ˆŒ ˆˆ ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É 1ˆ É ÉÊÉ Éμ³ μ Ô, ±Ä Ï, μ²óï 2 Ì μ²μ Î ± Ê É É, Õ ², μ²óï μ... P13-2009-117 μ ³ μ ³μ² ±Ê²Ö ÒÌ Êαμ

Διαβάστε περισσότερα

P Œ ²μ, ƒ.. μ ±μ,. ˆ. ˆ μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. ³ É. ˆŒ ˆ Š ƒ Œ ˆ Ÿ ˆŸ 238 Uˆ 237 U, Œ ƒ Ÿ Š ˆˆ 238 U(γ,n) 237 U.

P Œ ²μ, ƒ.. μ ±μ,. ˆ. ˆ μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. ³ É. ˆŒ ˆ Š ƒ Œ ˆ Ÿ ˆŸ 238 Uˆ 237 U, Œ ƒ Ÿ Š ˆˆ 238 U(γ,n) 237 U. P6-2009-30.. Œ ²μ, ƒ.. μ ±μ,. ˆ. ˆ μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. ³ É ˆŒ ˆ Š ƒ Œ ˆ Ÿ ˆŸ 238 Uˆ 237 U, Œ ƒ Ÿ Š ˆˆ 238 U(γ,n) 237 U ² μ Ê ² μì ³ Ö, μ, μ² Ö Œ ²μ... ³ μ É Ê±ÉÊ μ μ ³ É ² ²Ö ² Ö 238U 237 U, μ²êî ³μ

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 5(147).. 777Ä786. Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ. ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 5(147).. 777Ä786. Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ. ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 2008.. 5, º 5(147).. 777Ä786 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ ˆŒˆ Šˆ Œ Š ƒ ˆŒ œ ƒ - Ÿ ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ± μ, ÎÉμ ² ³ Ö Éμ³ μ-ô³ μ μ μ ±É μ³ É μ Ìμ É μ μ ³μ² ±Ê² CN CO 2 N 2. ±

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 3(194).. 673Ä677. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. ˆ.. ³ Ì μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,ˆ..Š Ö, Ÿ. ʲ ±μ ±

Ó³ Ÿ , º 3(194).. 673Ä677. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. ˆ.. ³ Ì μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,ˆ..Š Ö, Ÿ. ʲ ±μ ± Ó³ Ÿ. 2015.. 12, º 3(194.. 673Ä677 Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ ˆŸ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆŠ ˆ.. ³ Ì μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,ˆ..Š Ö, Ÿ. ʲ ±μ ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ É ÉÊÉ Ö μ Ë ± μ²ó ±μ ± ³ ʱ, Š ±μ, μ²óï μé É ² Ò Ê Ö Ö Î ² Ò Ê²ÓÉ ÉÒ,

Διαβάστε περισσότερα

ˆ Œ ˆ Ÿ ˆ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ Šˆ Š ˆŸˆ

ˆ Œ ˆ Ÿ ˆ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ Šˆ Š ˆŸˆ Ó³ Ÿ. 2015.. 12, º 1(192).. 256Ä263 ˆ ˆ ƒˆÿ, Š ƒˆÿ ˆ Ÿ Ÿ Œ ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ Œ ˆ Ÿ ˆ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ Šˆ Š ˆŸˆ.. ƒê,.. μ Ö, ƒ.. ³μÏ ±μ 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ μ Ò μμé μï Ö ³ Ê μ ³ Ê ³Ò³ μ Í μ Ò³ ² Î ³ μ ³ É μ- ÊÕÐ

Διαβάστε περισσότερα

D. BAINOV, YU. DOMSHLAK, AND S. MILUSHEVA

D. BAINOV, YU. DOMSHLAK, AND S. MILUSHEVA GEORGIAN MATHEMATICAL JOURNAL: Vol. 3, No. 1, 1996, 11-26 PARTIAL AVERAGING FOR IMPULSIVE DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SUPREMUM D. BAINOV, YU. DOMSHLAK, AND S. MILUSHEVA Abstract. Partial averaging for

Διαβάστε περισσότερα

Š ˆ œ Ÿ ˆ œ Œ Œ ƒ ˆ Œ Œ LEPTA

Š ˆ œ Ÿ ˆ œ Œ Œ ƒ ˆ Œ Œ LEPTA Ó³ Ÿ. 2006.. 3, º 7(136).. 78Ä83 Š 537.533.33, 621.384.60-833 Š ˆ œ Ÿ ˆ œ Œ Œ ƒ ˆ Œ Œ LEPTA ( ).. μ²éêï±,.. Ò±μ ±,. ƒ. Šμ Í,.. Šμ μé,. ˆ. μì³ Éμ,.. Œ ² Ìμ, ˆ.. Œ ϱμ,.. ²μ,.., ˆ.. ²,.. μ,.. ³ μ,. Œ. Ò,

Διαβάστε περισσότερα

Œ.. ÉÊ Í± 1,.. Ö Õ²Ö 1,.. Šμ Î ±μ,.. Š Îʱ,.. ŠÊÎ ±,..Œμ Î,.. ³ μ,.. μ³êéμ,. A. Ìμ ± 1

Œ.. ÉÊ Í± 1,.. Ö Õ²Ö 1,.. Šμ Î ±μ,.. Š Îʱ,.. ŠÊÎ ±,..Œμ Î,.. ³ μ,.. μ³êéμ,. A. Ìμ ± 1 P13-2011-43 Œ.. ÉÊ Í± 1,.. Ö Õ²Ö 1,.. Šμ Î ±μ,.. Š Îʱ,.. ŠÊÎ ±,..Œμ Î,.. ³ μ,.. μ³êéμ,. A. Ìμ ± 1 Š ˆ ˆ Œ Š Œ ˆ Š ˆ - ˆ ˆ Œ ˆ ˆŸ ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É 1 Í μ ²Ó Ò ÊÎ μ-êî Ò Í É Ë ± Î É Í Ò μ± Ì Ô -

Διαβάστε περισσότερα

À π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À Ã ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË

À π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À à ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË À π Àªµ 2008-2010 π À à ª ªπ À À À appleâíëáëì ÙÈÎ apple Ú Â ÁÌ Ù Η υπογραφή της νέας Συλλογικής Σύµβασης µεταξύ ΕΤΥΚ ΚΕΣΤ για τα έτη 2008 2010 θεωρήθηκε µια µεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ȵɁɏɇȸ ȵȿȿȸɁɏɁ ɅȰȻȴȰȳɏȳɏɁ Ʌɸʌɿʉɷɿʃɼ ɹʃɷʉʍɻ ʏɻʎ ȶʆʘʍɻʎ ɈȵɉɍɃ ɅȰȻȴȰȳɏȳȻȾɃ ȻȴȵɃȴɆɃɀȻɃ Ƀ Ȼ ɀ Ɇ ȴ Ƀ ȵ ȴ Ȼ Ⱦ Ȼ ȳ ɏ ȳ Ȱ ȴ Ȼ Ȱ ɈȵɉɍɃɇ ȶ ʎ ɷɿʃɼ ɸʌɿ ȻȰɁɃɉȰɆȻɃɇ

ȵɁɏɇȸ ȵȿȿȸɁɏɁ ɅȰȻȴȰȳɏȳɏɁ Ʌɸʌɿʉɷɿʃɼ ɹʃɷʉʍɻ ʏɻʎ ȶʆʘʍɻʎ ɈȵɉɍɃ ɅȰȻȴȰȳɏȳȻȾɃ ȻȴȵɃȴɆɃɀȻɃ Ƀ Ȼ ɀ Ɇ ȴ Ƀ ȵ ȴ Ȼ Ⱦ Ȼ ȳ ɏ ȳ Ȱ ȴ Ȼ Ȱ ɈȵɉɍɃɇ ȶ ʎ ɷɿʃɼ ɸʌɿ ȻȰɁɃɉȰɆȻɃɇ 7 2014 ºEBPOYAPIO 2014 ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΔΕΟΔΡΟΜΙΟ 2 ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΔΕΟΔΡΟΜΙΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΔΕΟΔΡΟΜΙΟ 3 È ÁˆÁÈÎfi I ÂÔ ÚfiÌÈÔ TÂ Ô ÔÌÔ ISSN: 1792-7471 ISSN: 1792-7471 : - HÏÂÎÙÚÔÓÈÎ ÛÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË: AÌapplefiÓË-TÛÔ

Διαβάστε περισσότερα

ƒšˆœˆ Ÿ Œˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ ƒˆÿ.. Ê μ Î ±μ

ƒšˆœˆ Ÿ Œˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ ƒˆÿ.. Ê μ Î ±μ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2013.. 44.. 5 ƒšˆœˆ Ÿ Œˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ ƒˆÿ.. Ê μ Î ±μ É μë Î ± É ÉÊÉ ³.. ƒ. ±μ, ˆ É ÉÊÉ Ö μ Ë ± Š, ²³ - É, Š Ì É ˆ 1535 Œ 1537 μ² Ò Î Ö Ì É 1537 μé Í ²Ò μ² μ Ò ËÊ ±Í 1539 ² Ò ³ Éμ Ò Î É 1541

Διαβάστε περισσότερα

P13-2014-14. .. ²ÒÏ 1,,.Š. μ μ 1, 2, 1, 3, ,. ʳÌÊÊ. Œ œ ˆ ŒˆŠˆ ˆŒ œ ƒ Š ˆ -2Œ ˆ Š Œ ˆ ˆ Œ ˆŸ Œ ˆ. ² μ Ê ² Annals of Nuclear Energy

P13-2014-14. .. ²ÒÏ 1,,.Š. μ μ 1, 2, 1, 3, ,. ʳÌÊÊ. Œ œ ˆ ŒˆŠˆ ˆŒ œ ƒ Š ˆ -2Œ ˆ Š Œ ˆ ˆ Œ ˆŸ Œ ˆ. ² μ Ê ² Annals of Nuclear Energy P13-2014-14.. ²ÒÏ 1,,.Š. μ μ 1, 2, 1, 3,,. ʳÌÊÊ Œ œ ˆ ŒˆŠˆ ˆŒ œ ƒ Š ˆ -2Œ Ÿ ˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆ ˆ Œ ˆŸ Œ ˆ ² μ Ê ² Annals of Nuclear Energy 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê 2 ² ² Œƒ Œˆ, Ê, μ Ö 3 ˆ É ÉÊÉ Ë ± É Ì μ²μ Œ,

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 4Ä5(174Ä175).. 682Ä688 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ

Ó³ Ÿ , º 4Ä5(174Ä175).. 682Ä688 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ Ó³ Ÿ. 2012.. 9, º 4Ä5(174Ä175).. 682Ä688 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ ˆ œ ˆŸ FlexCtrl SCADA Ÿ Œ ˆ ˆˆ Š ˆ.. ± Ëμ μ 1,.. ² ±μ, Š.. ÒÎß, ˆ.. μ,.. ʱ Ï ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É ÉÓ μ Ò É Ö μ ³³ Ö Î ÉÓ Éμ³ É Í Ê ±μ É ² ²

Διαβάστε περισσότερα

High order interpolation function for surface contact problem

High order interpolation function for surface contact problem 3 016 5 Journal of East China Normal University Natural Science No 3 May 016 : 1000-564101603-0009-1 1 1 1 00444; E- 00030 : Lagrange Lobatto Matlab : ; Lagrange; : O41 : A DOI: 103969/jissn1000-56410160300

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Γεια σου, ήταν να ήξερες κάποιους γενικούς κανόνες συγγραφής (Â Ó È Î appleôèôè applefi ÙÔ appleô

Γεια σου, ήταν να ήξερες κάποιους γενικούς κανόνες συγγραφής (Â Ó È Î appleôèôè applefi ÙÔ appleô Γεια σου, Είμαι ο Δαμιανός. Το πρώτο μου βιβλίο Ο αδελφός της Ασπασίας έγινε best seller ή ευπώλητο όπως λένε άλλοι, μα αυτό δε χρειάζεται να σου το πω, μιας και το ξέρεις κι εσύ πολύ καλά. Κι εγώ ο πιο

Διαβάστε περισσότερα

ÂÚÈÂ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô

ÂÚÈ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô ÂÚÈ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô È ÚÈıÌÔ Ì ÚÈ ÙÔ ÃÒÚÔ Î È Û Ì Ù ÂÊ Ï ÈÔ : ÚÔÛ Ó ÙÔÏÈÛÌfi ÛÙÔ ÒÚÔ... ÂÊ Ï ÈÔ : ˆÌÂÙÚÈÎ Û Ì Ù... ÂÊ Ï ÈÔ : ÁÎÚÈÛË Î È ÂÎÙ ÌËÛË appleôûôù ÙˆÓ... ÂÊ

Διαβάστε περισσότερα

ON NEGATIVE MOMENTS OF CERTAIN DISCRETE DISTRIBUTIONS

ON NEGATIVE MOMENTS OF CERTAIN DISCRETE DISTRIBUTIONS Pa J Statist 2009 Vol 25(2), 135-140 ON NEGTIVE MOMENTS OF CERTIN DISCRETE DISTRIBUTIONS Masood nwar 1 and Munir hmad 2 1 Department of Maematics, COMSTS Institute of Information Technology, Islamabad,

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ±

Ó³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± Ó³ Ÿ. 009.. 6, º 7(156.. 6Ä69 Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ ˆŒ ˆ - ˆ ƒ ˆ ˆ ˆŸ Š -Œ ˆ Šˆ ˆ.. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± É ÉÓ μ Ò ÕÉ Ö ²μ Í Ò - μ Ò ² É Ö ³ ÖÉÓ Ì ÒÎ ² ÖÌ, μ²ó ÊÕÐ Ì ±μ ± 4- μ Ò. This paper

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας. ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &

Διαβάστε περισσότερα

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÄÊ 519 Èíòå íåò-ìàãàçèí ± Èçäàíèå ôèçèêà ìàòåìàòèêà áèîëîãèß íåôòåãàçîâûå òåõíîëîãèè îñóùåñòâëåíî ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå Ðîññèéñ

ÓÄÊ 519 Èíòå íåò-ìàãàçèí  ± Èçäàíèå ôèçèêà ìàòåìàòèêà áèîëîãèß íåôòåãàçîâûå òåõíîëîãèè îñóùåñòâëåíî ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå Ðîññèéñ À. Î. Èâàíîâ, À. À. Òóæèëèí ÒÅÎÐÈSS ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÛÕ ÑÅÒÅÉ Ìîñêâà Èæåâñê 2003 ÓÄÊ 519 Èíòå íåò-ìàãàçèí http://shop.rcd.ru ± Èçäàíèå ôèçèêà ìàòåìàòèêà áèîëîãèß íåôòåãàçîâûå òåõíîëîãèè îñóùåñòâëåíî ï è ôèíàíñîâîé

Διαβάστε περισσότερα

P Œ ²μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. μ. ˆ ˆŸ Œˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œ Œˆ ˆ œ ˆ Œ ˆ ŒˆŠ Œ -25

P Œ ²μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. μ. ˆ ˆŸ Œˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œ Œˆ ˆ œ ˆ Œ ˆ ŒˆŠ Œ -25 P6-2011-64.. Œ ²μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. μ ˆ ˆŸ Œˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œ Œˆ ˆ œ ˆ Œ ˆ ŒˆŠ Œ -25 Œ ²μ... P6-2011-64 ² μ Ö ²Õ³ Ö ± ³ Ö μ Í Ì μ Ò Ö μ-ë Î ± ³ ³ Éμ ³ μ²ó μ ³ ³ ± μé μ Œ -25 μ³μðóõ Ö μ-ë

Διαβάστε περισσότερα

M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1

M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1 Å Ü Ò ÙÐØ Ø ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù Ó Ö Ù Ã Ø Ö Þ Ñ Ò Ù ÐÙ Ð Ò Ö Ëº Ó Ì Ä ÈÊÇÊ ÉÍÆ Æ ÃÁÀ ËÌÊÍ ËÌÁ ÁÎÇ ÄÍÁ Á ÆÌÊÇÈËÃ Ê Ä Á κ = 1.4µ ½ ½ ÁÞ ÒØÖÓÔ Ö Ð ÃÓÖ Ø Ò ÑÓ Þ Þ ÒØÖÓÔ Ó ØÖÙ ½ Ú ÔÓÑÓ Ù Ò ÜÙ ØÓØ ÐÒ Ú Ð Õ Ò Ø Ø

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Œ Œ ˆ ˆ ˆŠ ˆˆ 58. ˆ. Œ. ƒμ É. Œμ ±μ ± μ Ê É Ò É ÉÊÉ Ô² ±É μ ± ³ É ³ É ± (É Ì Î ± Ê É É), Œμ ±

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Œ Œ ˆ ˆ ˆŠ ˆˆ 58. ˆ. Œ. ƒμ É. Œμ ±μ ± μ Ê É Ò É ÉÊÉ Ô² ±É μ ± ³ É ³ É ± (É Ì Î ± Ê É É), Œμ ± ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2010.. 41.. 1 Œ ˆ ˆ ˆŠ ˆˆ ƒ ˆ Šˆ š Š ƒ Œ ˆ Š Š Ÿ ˆˆ ˆ. Œ. ƒμ É Œμ ±μ ± μ Ê É Ò É ÉÊÉ Ô² ±É μ ± ³ É ³ É ± (É Ì Î ± Ê É É), Œμ ± ˆ 49 ˆ ˆ Šˆ Šˆ 50 ˆ ˆ Œ ˆ ˆˆ ˆ Š 54 Œ Œ ˆ ˆ ˆŠ ˆˆ 58 ˆ ˆ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 7(163).. 855Ä862 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. . ƒ. ² ͱ 1,.. μ μ Íμ,.. μ²ö,.. ƒ² μ,.. ² É,.. ³ μ μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Œμ μ μ,. Œ.

Ó³ Ÿ , º 7(163).. 855Ä862 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. . ƒ. ² ͱ 1,.. μ μ Íμ,.. μ²ö,.. ƒ² μ,.. ² É,.. ³ μ μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Œμ μ μ,. Œ. Ó³ Ÿ. 2010.. 7, º 7(163).. 855Ä862 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ ˆ œ ˆŠ Ÿ ˆŸ Š Ÿ Š. ƒ. ² ͱ 1,.. μ μ Íμ,.. μ²ö,.. ƒ² μ,.. ² É,.. ³ μ μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Œμ μ μ,. Œ. Ð ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ Ö ± É μ É Êα Ê ±μ ÒÌ μéμ μ

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ ˆ ˆˆ γ-ˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆ Œ œ Š ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ γ-ˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆ Œ œ Š ˆˆ Ó³ Ÿ. 2008.. 5, º 2(144).. 219Ä225 ˆ ˆ ƒˆÿ, Š ƒˆÿ ˆ Ÿ Ÿ Œ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ Œ ˆ ˆ ˆ ˆˆ γ-ˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆ Œ œ Š ˆˆ.. Šμ ²μ a,.. Š,.. μ ±μ,.. Ö a,.. ² ± a,.. ² Õ± a a ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ Œμ

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 7(205) Ä1540 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. .. ŠÊ Íμ,.. Ê ±μ,.. ² μ 1. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 7(205) Ä1540 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. .. ŠÊ Íμ,.. Ê ±μ,.. ² μ 1. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 016.. 13 º 7(05).. 1533Ä1540 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ œ Š ˆ NICA ˆ ˆˆ ƒ ƒ.. ŠÊ Íμ.. Ê ±μ.. ² μ 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ Ê ² Î ² Ö μ É ÉμÎ μ μ ±Êʳ μ ± ³ μí Ê ±μ Ö ÉÖ ²ÒÌ μ μ Ö ²Ö É Ö μ μ Î μé É μ É Ê ±μ É ². μ

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 3(187).. 431Ä438. Š. ˆ. ±μ,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. μ² ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 3(187).. 431Ä438. Š. ˆ. ±μ,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. μ² ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 2014.. 11, º 3(187).. 431Ä438 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ ˆŒ Š Š Š ƒ ˆŸ ŠˆŒ Œ ˆ Œ Š. ˆ. ±μ,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. μ² ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μé É ² Ò Ê²ÓÉ ÉÒ ÊÎ Ö ³ μéò Éμ ±μ É ÒÌ Ëμ ÒÌ É Ê μ± ( É μê) Ì

Διαβάστε περισσότερα

ƒ Š ˆ Šˆ Š Œˆ Šˆ Š ˆŒ PAMELA ˆ AMS-02

ƒ Š ˆ Šˆ Š Œˆ Šˆ Š ˆŒ PAMELA ˆ AMS-02 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2017.. 48.. 5.. 582Ä588 œ ˆ Œ ˆ Š Ÿ Š Œ ƒ Š ˆ Šˆ Š Œˆ Šˆ Š ˆŒ PAMELA ˆ AMS-02.. ² ± 1, Š. Œ. ²μͱ 2,.. μ μ³μ²μ 1,. ˆ. Ê 2,.Œ.ƒ ²Ó 2,.. Ê 1,.. Š ²²μ 1, 2,.. ŠÊ Íμ 1,,.. ʱÓÖ μ 1,. ƒ. Œ

Διαβάστε περισσότερα

P Î,.. Š ²³Ò±μ, Œ.. Œ ϱ,.. ʳ ˆ ˆ ˆ ˆŸ ˆŠ Š Š ˆ Ÿ -200

P Î,.. Š ²³Ò±μ, Œ.. Œ ϱ,.. ʳ ˆ ˆ ˆ ˆŸ ˆŠ Š Š ˆ Ÿ -200 P9-2011-62. Î,.. Š ²³Ò±μ, Œ.. Œ ϱ,.. ʳ ˆ ˆ ˆ ˆŸ ˆŠ Š Š ˆ Ÿ -200 Î.. P9-2011-62 É μ É μ μ Í μ μ Ö μ ±μ Êα Ê ±μ É ²Ö -200 É ² μ μ Ê É μ É μ Í μ μ Ö Ò ÒÌ μ - ±μ, ±μéμ μ Ö ²Ö É Ö Î ÉÓÕ É ³Ò μ É ± Êα ²

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους. Ασκήσεις επί λίθου

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους. Ασκήσεις επί λίθου Τευχος πρωτο αρχεία Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους Ασκήσεις επί λίθου Άσκηση 1η Διαβάστε προσεκτικά το κείμενο της επιγραφής και προσπαθήστε να αποδώσετε στα

Διαβάστε περισσότερα

Œ - ˆ Ÿ ŒˆŠ Š ˆŸ Š ˆ Š ˆ ˆŸ Œ Œ ˆŒ œ Œ

Œ - ˆ Ÿ ŒˆŠ Š ˆŸ Š ˆ Š ˆ ˆŸ Œ Œ ˆŒ œ Œ Ó³ Ÿ. 2012.. 9, º 1(171).. 100Ä111 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ Œ - ˆ Ÿ ŒˆŠ Š ˆŸ Š ˆ Š ˆ ˆŸ Œ Œ ˆŒ œ Œ -ˆ ˆ Œ. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ʲ,, ˆ..Š Öαμ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± ˆ ŠÊ Î Éμ

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή

Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή ÔØ Ö ΕΙΣΟΔΟΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ º½ ÉÄ Ò Ø Ηβασ ικήκατηγορίατης ÉØγιαείσ οδοδεδομένωνείναιηéä Ò Øμετηνοποία οχρήσ τηςμπορείναεισ άγεισ εμιαγραμμήένααλφαριθμητικόºστοναλγόριθμο º½παρουσ ιάζεταιηδήλωσ ηγιαένακεντρικόπαράθυρομετοοποίοοχρήσ

Διαβάστε περισσότερα

Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics

Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics Volume 31, 2004, 83 97 T. Tadumadze and L. Alkhazishvili FORMULAS OF VARIATION OF SOLUTION FOR NON-LINEAR CONTROLLED DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Διαβάστε περισσότερα

Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý

Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý 9 Õâñéäéóìüò ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ 9.1 ÅéóáãùãÞ 9.2 Õâñéäéóìüò & õâñéäéêü ôñï éáêü 9.3 Åßäç õâñéäéóìïý êáé õâñéäéêþí ôñï éáêþí 9.4 Õâñéäéóìüò êáé ðïëëáðëïß äåóìïß 9.5 Õâñéäéóìüò êáé ìïñéáêþ ãåùìåôñßá 9.6 ÅñùôÞóåéò

Διαβάστε περισσότερα

ON THE STABILITY OF THE SOLUTIONS OF CERTAIN FIFTH ORDER NON-AUTONOMOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS

ON THE STABILITY OF THE SOLUTIONS OF CERTAIN FIFTH ORDER NON-AUTONOMOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS ARCHIVUM MATHEMATICUM (BRNO) Tomus 41 (25), 93 16 ON THE STABILITY OF THE SOLUTIONS OF CERTAIN FIFTH ORDER NON-AUTONOMOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS A. I. SADEK Our aim in this paper is to present sufficient

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 4(195).. 969Ä Œ. Ò, 1,. μ±μ, 2,.Œ., ƒ.. Š ³ÒÏ, Œ.. Š μ,.. Œμ μ μ, ƒ.. Œ ÍÒ,. ƒ. ±Ê,.. ±, ƒ.. ±μ

Ó³ Ÿ , º 4(195).. 969Ä Œ. Ò, 1,. μ±μ, 2,.Œ., ƒ.. Š ³ÒÏ, Œ.. Š μ,.. Œμ μ μ, ƒ.. Œ ÍÒ,. ƒ. ±Ê,.. ±, ƒ.. ±μ Ó³ Ÿ. 2015.. 12, º 4(195).. 969Ä980 ˆ ˆ ƒˆÿ, Š ƒˆÿ ˆ Ÿ Ÿ Œ ˆ ˆ Š Œ ˆ ƒ ˆˆ Ÿ ˆŸˆ. Œ. Ò, 1,. μ±μ, 2,.Œ., ƒ.. Š ³ÒÏ, Œ.. Š μ,.. Œμ μ μ, ƒ.. Œ ÍÒ,. ƒ. ±Ê,.. ±, ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ É ÉÊÉ Ö μ Ë Î

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ

ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2009.. 40.. 6 ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ ˆ Œ.. Ê μ, ƒ. ƒ. ³Ö,.. Éμ ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 1603 ˆ ˆ ˆŸ ˆ ˆ œ Š Œ ˆ Ÿ 1614 Î μ μ Ö É ²Ó μ μ μ É É±. 1614 μöé μ ÉÓ μ μ Ö

Διαβάστε περισσότερα

( ˆ Š ƒ ˆ ).. Ì Ó,. Œ. µ

( ˆ Š ƒ ˆ ).. Ì Ó,. Œ. µ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2002.. 33.. 2 Š 530.145.61 Š Š ˆŸ, ˆ œ œ, ( ˆ Š ƒ ˆ ).. Ì Ó,. Œ. µ Ñ e Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ 348 Š ˆ ˆ ˆŸ ƒˆˆ 350 Š ˆ Œ ˆ 355 Œ Ì ³ µ µ µ Î µ É 356 ³ Ò ÊÌ, É Ì, Î ÉÒ Ì δ- Ó µ Ö³ ² µ Ò³

Διαβάστε περισσότερα