ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά"

Transcript

1 ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται με έντεχνες προοπτικές απεικονίσεις, αλλά έντονα αλλοιωμένες, παρασύροντας και εξαπατώντας την οπτική αντίληψη του θεατή. Οι εικόνες που προέκυπταν, ονομάστηκαν αναμορφωτικές εικόνες (anamorphoses) και είτε είχαν χαρακτήρα πνευματικών αλληγοριών ή πολιτικών μηνυμάτων. Η πρώτη γνωστή προσέγγιση στο θέμα των αναμορφώσεων είναι του Piero della Francesca, αναφέρεται στη μελέτη του «De Prospetiva Pingendi» (1482) για το έργο «Η Παρθένος με το Βρέφος, Αγίους και Αγγέλους» (1474) (εικ. 1) και αναφέρεται στην αναμόρφωση του ελλειψοειδούς που αιωρείται πάνω από το κεφάλι της κεντρικής μορφής της Παρθένου. Θα περίμενε κανείς εικ. 1 Piero della Francesca, Η Παρθένος με το Βρέφος, Αγίους και ότι ο καλλιτέχνης θα επέλεγε μια τέλεια Αγγέλους, 1474 σφαίρα -αντί για το ωοειδές- για λόγους ίσως συμβολικούς. Εάν μετακινήσουμε το σημείο οράσεως του παρατηρητή κοντύτερα στο έργο, διατηρώντας το ύψος και κρατώντας το ωοειδές μέσα στο οπτικό πεδίο του παρατηρητή, παρατηρούμε ότι το ωοειδές μετασχηματίζεται σε τέλεια σφαίρα. Μια προσπάθεια πιο έντονης αναμόρφωσης έκανε την ίδια εποχή και ο Leonardo da Vinci σ ένα σκίτσο του, «το μάτι του Leonardo» (1485) (εικ. 2,3). Πολύ πιο χαρακτηριστικό, γνωστό κι αντιπροσωπευτικό για τις αναμορφώσεις είναι το έργο «οι Πρεσβευτές» του Hans Holbein (1533) (εικ. 4), με τον «παράδοξο» σχηματισμό στη βάση του πίνακα, ανάμεσα στις εικ. 2 εικ. 3 «Το μάτι του Leonardo», αν παρατηρηθεί από την κατάλληλη οπτική γωνία 211

2 εικ. 4 Hans Holbein, οι Πρεσβευτές, 1533 εικ. 6 φιγούρες των πρεσβευτών. Εάν παρατηρήσουμε τον πίνακα από την κατάλληλη οπτική γωνία (επάνω και δεξιά) (εικ. 5), παρατηρούμε ότι ο «παράδοξος» σχηματισμός είναι μια νεκροκεφαλή (εικ. 6). Μια ακόμη από τις πιο σημαντικές αναμορφώσεις είναι εκείνη του Andrea Pozzo, στην οροφή του St. Ignazio, στη Ρώμη (1678), που σχεδιάστηκε για να «προσθέσει» εσωτερικό ύψος στην εκκλησία (εικ. 7,8). εικ. 5 Από τότε μέχρι σήμερα οι αναμορφώσεις έχουν χρησιμοποιηθεί από πολλούς καλλιτέχνες, με πολύ ενδιαφέροντα παραδείγματα (εικ. 9,10). Χρησιμοποιούνται επίσης στη σήμανση των οδοστρωμάτων (εικ. 11,12), με σκοπό τη διευκόλυνση των οδηγών και πολύ συχνότερα στη σκηνογραφία (Teatro Olympico). Στην αρχιτεκτονική οι αναμορφώσεις έχουν χρησιμοποιηθεί τόσο για να «διασκεδάσουν» το χώρο, όσο και για να «εξαπατήσουν» τον παρατηρητή (στοά Borromini). 212

3 εικ. 7 Andrea Pozzo, η οροφή του St. Ignazio, Ρώμη εικ. 8 A. Pozzo, η οροφή του St. Ignazio, από «λάθος» σημείο οράσεως 213

4 εικ. 9 Julian Beever, Swim εικ. 10 Julian Beever, Swim, από «λάθος» σημείο οράσεως 214

5 εικ. 11 Η παραμόρφωση των σημάτων στο οδόστρωμα διευκολύνει την ανάγνωση από τη θέση του οδηγού εικ. 12 Υπάρχουν δύο κύρια είδη αναμόρφωσης: Προοπτική αναμόρφωση σε πολλαπλά επίπεδα Κατοπτρική αναμόρφωση, με χρήση κατόπτρων διαφόρων στερεών σχημάτων ή θέσεων επιπέδων κατόπτρων Στις αναμορφώσεις είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι επικρατούν κάποιες αρχές: Το σημείο οράσεως είναι μοναδικό. Εάν η θέση του σημείου οράσεως (παρατηρητή) μεταβληθεί, το οπτικό αποτέλεσμα είναι εσφαλμένο Ο πίνακας της αναμορφωτικής εικόνας είναι κατακόρυφος και κάθετος στην κεντρική οπτική ακτίνα του παρατηρητή Αναμόρφωση σε πολλαπλά επίπεδα Η κατασκευή είναι μια σχετικά απλή διαδικασία, που ακολουθεί τα ίδια βήματα της προοπτικής απεικόνισης, αλλά ανάστροφα (εικ. 13,14). Τα πρώτα πράγματα που επιλέγει κανείς για τη δημιουργία αναμορφωτικής εικόνας είναι ο χώρος (σε προοπτική απεικόνιση) της αναμόρφωσης και η εικόνα (σε ορθή προβολή) που θα τοποθετηθεί στις έδρες του χώρου. εικ. 13 Επίπεδη τρίεδρη αναμόρφωση (σπουδαστική εργασία ΕΜΠ) εικ

6 σχ

7 Στο παράδειγμα του σχήματος 15 θα τοποθετήσουμε σχεδιαστικά το τετράγωνο ΑΒΓ στις τρεις εσωτερικές έδρες ενός χώρου. Σχηματίζουμε την προοπτική εικόνα του χώρου, ορίζοντας το μοναδικό σημείο οράσεως Ο. Για ν αποκτήσουμε στο τέλος μια ολοκληρωμένη εικόνα των σχημάτων που θα πρέπει να σχεδιαστούν στις έδρες του χώρου, είναι καλό ν απεικονίσουμε όχι μόνο την οριζόντια προβολή (κάτοψη) του χώρου που υποδέχεται την αναμόρφωση, αλλά όλες τις έδρες αναφοράς, κάνοντας -όπου χρειάζεται- κατάκλιση. Στην προοπτική εικόνα τοποθετούμε στην κατάλληλη θέση το τετράγωνο ΑΒΓ, όπως θέλουμε τελικά να το δούμε. Τώρα θεωρούμε ότι τα σημεία (Α), (Β), (Γ), ( ), αλλά και τα (Κ), (Λ) και (Μ) είναι πραγματικά σημεία των εδρών του χώρου. Έτσι, για να ορίσουμε την πραγματική θέση του σημείου (Α) στο χώρο, σχηματίζουμε τις προοπτικές εικόνες των καθέτων φορέων του (Α), δηλαδή ενώνουμε το (Α) με τα Φ1 και Φ2, προεκτείνουμε τις ευθείες έως ότου τμήσουν τη βάση του πίνακα στα σημεία 1 και 2 αντίστοιχα, μεταφέρουμε τα σημεία 1 και 2 στη γραμμή του πίνακα και από μεν το σημείο 1 φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην Ο Φ1, από δε το σημείο 2 φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην Ο Φ2. Στην τομή των τελευταίων ευθειών βρίσκεται το σημείο Α στην πραγματική του θέση στο χώρο. Η πραγματική θέση στο χώρο του σημείου ( ) είναι στην αριστερή κατακόρυφη επιφάνεια και για να οριστεί, θα χρησιμοποιηθεί η κατακόρυφη από το σημείο ( ), που ορίζει την προβολή του στο οριζόντιο επίπεδο (στην κάτοψη). Αρκεί λοιπόν να οριστεί η πραγματική θέση του σημείου (Κ). Επειδή το σημείο Κ βρίσκεται στην ακμή των εδρών του χώρου, ο φορέας του είναι γνωστός, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οπτική ακτίνα για τον ορισμό του Κ στον πραγματικό χώρο. Έτσι, από το σημείο (Κ) φέρνουμε ευθεία κατακόρυφη, μέχρι να τμήσει τον πίνακα στο σημείο 5. Σχηματίζουμε την οπτική ακτίνα Ο 5 και προεκτείνουμε μέχρι να τμηθεί η ακμή των εδρών Π1 και Π2, στο σημείο Κ. Κατόπιν φέρνουμε ευθεία κατακόρυφη στο χώρο, δηλαδή κάθετη στην ακμή των Π1 και Π2. Στην ευθεία αυτή θα ορίσουμε το πραγματικό υψόμετρο του. Επιστρέφουμε στην προοπτική εικόνα του χώρου και ενώνουμε το ( ) με το Φ2, για να προσδιορίσουμε το υψόμετρό του. Το σχήμα ΑΒΛΓΜ Κ είναι αυτό που πρέπει να σχεδιαστεί τελικά στις έδρες Π1, Π2 και Π3, ώστε να δούμε ένα τετράγωνο από το σημείο οράσεως Ο. Η αναμόρφωση σε πολλαπλά επίπεδα έχει χρησιμοποιηθεί με πολύ ενδιαφέρουσες κατασκευές, που εκτείνονται σε σχήματα του χώρου, όπως στα παραδείγματα των εικόνων Η αναμόρφωση πραγματοποιείται με δύο τρόπους: είτε αν παρατηρήσουμε τα επίπεδα από την κατάλληλη θέση, είτε αν στη θέση του σημείου οράσεως τοποθετήσουμε εικ. 16 Αναμόρφωση σε παράλληλα επίπεδα (σπουδαστική εργασία ΕΜΠ) εικ

8 εικ. 20 εικ. 18 εικ. 19 εικ. 21 Η αναμόρφωση αφορά το ίδιο το αντικείμενο φωτεινή πηγή, που παράγει τη σκιά της αναμόρφωσης στερεού σχηματισμού σε κατακόρυφο πίνακα πίσω από τα επίπεδα της αναμόρφωσης (εικ. 22,23). Με τον όρο «πολλαπλές επιφάνειες», θα μπορούσε να χαρακτηριστεί και το «άθροισμα» των επιφανειών ενός εκ περιστροφής στερεού σχήματος, όπως ο κώνος. Τα στερεά σχήματα που «προσφέρονται» για ν αναλάβουν αναμορφώσεις είναι ο κώνος, ο κύλινδρος, η πυραμίδα κλπ. Στο παράδειγμα του σχήματος 24 στην επιφάνεια του κώνου που παριστάνεται με ορθές προβολές (κατά Monge), θέλουμε να τοποθετήσουμε ένα σχήμα, ώστε αν κοιτάξουμε την εικ. 22 εικ

9 επιφάνεια του κώνου από το σημείο Ο(Ο,Ο ), να εμφανιστεί το ισόπλευρο τρίγωνο Α Β Γ. Προσδιορίζουμε τη 2 η προβολή του τριγώνου, χρησιμοποιώντας τα βοηθητικά σημεία Π, Ρ, Σ και Τ. Κατόπιν προσδιορίζουμε το ανάπτυγμα του κώνου 1 (σχ. 25). σχ βλ. Παραστατική γεωμετρία σχ

10 εικ. 26 Αναμόρφωση σε ορθό κώνο του έργου The mechanics of the light-requisite εικ. 27 László Moholy-Nagy, The mechanics of the light-requisite,

11 εικ. 28 Αναμόρφωση σε τετραγωνική πυραμίδα του έργου Violet εικ. 29 Vassily Kandinsky, Violet,

12 Κατοπτρική αναμόρφωση Η μέθοδος αυτή είναι μεταγενέστερη της αναμόρφωσης σε πολλαπλά επίπεδα (ξεκίνησε περίπου τον 16 ο αιώνα), αλλά χρησιμοποιήθηκε ευρύτατα, όχι μόνο για καλλιτεχνικούς σκοπούς, αλλά πολύ περισσότερο για μεταφορά μηνυμάτων, μια και όπως θα δούμε στη συνέχειααποστολέας και παραλήπτης έπρεπε να χρησιμοποιήσουν το ίδιο ακριβώς κάτοπτρο για να αποκωδικοποιήσουν το μήνυμα (εικ. 30). Τα σχήματα των κατόπτρων που χρησιμοποιούνται στις κατοπτρικές αναμορφώσεις είναι πολλά και διαφορετικά, αλλά αυτά που έχουν επικρατήσει είναι τα επίπεδα κάτοπτρα σε διάφορες θέσεις και κατευθύνσεις, όπως η πυραμίδα (εικ. 31) και τα ορθά κωνικά και κυλινδρικά κάτοπτρα. εικ. 30 Στις κατοπτρικές αναμορφώσεις εφαρμόζεται η αρχή των κατόπτρων, κατά την οποία η γωνία πρόσπτωσης στην επιφάνεια ανάκλασης της οπτικής/φωτεινής ακτίνας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. Γωνία πρόσπτωσης: Η γωνία ω που σχηματίζει η οπτική/φωτεινή ακτίνα με την κάθετη στην επιφάνεια ευθεία, στο σημείο τομής της ακτίνας με την επιφάνεια. Γωνία ανάκλασης: η γωνία φ που σχηματίζει η οπτική/φωτεινή ακτίνα, αφού ανακλαστεί, με την κάθετη στην επιφάνεια ευθεία στο σημείο τομής της ακτίνας με την επιφάνεια (σχ. 32). Επίπεδα κάτοπτρα εικ. 31 István Orosz, Theseus. Στο κέντρο του λαβυρίνθου έχει τοποθετηθεί κατοπτρική πυραμίδα για την αναμόρφωση του «Θησέα». Η περιοχή του λαβυρίνθου δεν συμμετέχει ολόκληρη στην αναμόρφωση (βρίσκεται εκτός της περιοχής του αντικατοπτρισμού) Μ αυτή τη μέθοδο έχουμε τη δυνατότητα να «σπάσουμε» μια εικόνα σε τμήματα και να την ανασυνθέσουμε, χρησιμοποιώντας επίπεδα κάτοπτρα. Η παρατήρηση του οπτικού τεχνάσματος γίνεται από ένα και μοναδικό σημείο οράσεως, σαφώς ορισμένο. Εάν η θέση του παρατηρητή (σημείου οράσεως) μεταβληθεί, το οπτικό αποτέλεσμα είναι εσφαλμένο. σχ

13 Αφότου οριστεί το σημείο οράσεως και επιλεγεί το θέμα (ο πίνακας) που θέλουμε ν απεικονίσουμε, ορίζουμε μέσα στο χώρο που διαθέτουμε τις θέσεις των κατόπτρων και τις θέσεις των τμημάτων της εικόνας που θέλουμε να απεικονίσουμε, που εδώ θα ονομάσουμε πινακίδες (σχ. 33). Υπάρχουν μερικά στοιχεία που ζητούν προσοχή κατά την τοποθέτηση των κατόπτρων και των πινακίδων: Το σημείο οράσεως θα πρέπει να βρίσκεται σε πλάγια θέση σε σχέση με τα κάτοπτρα. Στην αντίθετη περίπτωση είτε η πινακίδα πρέπει να τοποθετηθεί ανάμεσα στον καθρέφτη και τον παρατηρητή, οπότε τότε ο παρατηρητής δεν βλέπει το είδωλο της πινακίδας πάνω στον καθρέφτη, είτε ο παρατηρητής να βρεθεί ανάμεσα στον καθρέφτη και την πινακίδα, οπότε τότε το είδωλο του παρατηρητή εμφανίζεται μέσα στην αναμόρφωση. σχ. 33 Οι πινακίδες και τα κάτοπτρα πρέπει να τοποθετούνται σε θέσεις που δεν επικαλύπτουν η μια την άλλη. Οι πινακίδες και τα κάτοπτρα πρέπει να τοποθετούνται σε τέτοιες θέσεις, ώστε να μην εμποδίζονται άλλες οπτικές ακτίνες. Μέσα στο οπτικό πεδίο του παρατηρητή πρέπει να περιλαμβάνονται μόνο κάτοπτρα και όχι πινακίδες. Θα πρέπει οι οπτικές ακτίνες που περνούν από το τέλος του ενός καθρέφτη να ταυτίζονται με εκείνες που περνούν από την αρχή του επόμενου καθρέφτη, για να επιτύχουμε φαινομενική συνέχεια του ειδώλου από τον ένα καθρέφτη στον επόμενο. Το οπτικό πεδίο του παρατηρητή (οπτικός κώνος) δεν πρέπει να έχει γωνία μεγαλύτερη των 60 Ο, ώστε να μην έχουμε παραμορφώσεις. Αφότου κατασκευάσουμε την προοπτική εικόνα του χώρου που διαθέτουμε από το σημείο οράσεως που έχουμε ορίσει (σχ. 34), τοποθετούμε μέσα στη περιοχή των κατόπτρων το περίγραμμα της εικόνας που θέλουμε να εμφανίσουμε τελικά. Σε κάθε καθρέφτη σχηματίζουμε το πλαίσιο του ειδώλου κάθε τμήματος της εικόνας. Για παράδειγμα στον καθρέφτη 1 θα εμφανιστεί το είδωλο του τμήματος ΑΒΓ της εικόνας μας. Είναι προφανές ότι η οριζόντια ευθεία ΑΒ της προοπτικής εικόνας θα πρέπει να δημιουργηθεί από μια πλάγια στο χώρο ευθεία Α1Β1, η οποία υπολογίζεται ως εξής: ενώνουμε το σημείο Α με το αντίστοιχο σημείο φυγής Φ2 και ορίζουμε πάνω στην ευθεία μέτρησης υψών το σημείο Α1. αντίστοιχα κάνουμε και για τα υπόλοιπα σημεία Β, Γ και. Κατόπιν μεταφέρουμε τις πραγματικές θέσεις των σημείων Α1, Β1, Γ1 και 1 στο ανάπτυγμα των κατόπτρων, δηλαδή στο σύστημα Monge (σχ. 35). Στο ανάπτυγμα του σχήματος 35 λαμβάνουμε την παραμόρφωση του ειδώλου που πρέπει ν απεικονιστεί, για να μπορέσουμε από το σημείο οράσεως να δούμε τα ευθύγραμμα τμήματα Α1Β1, Β2Ε2 και Ε3Θ3 ως μια οριζόντια γραμμή. 223

14 σχ

15 Αυτό που μένει να κάνουμε τώρα είναι να βρούμε τα σημεία ΑΠ1, ΒΠ1,ΓΠ1 και Π1 αντίστοιχα των σημείων Α1, Β1, Γ1 και 1 στην πινακίδα 1. Εργαζόμαστε στο σύστημα Monge (όψη - κάτοψη). Στην πρώτη προβολή του χώρου (κάτοψη) βρίσκουμε τα σημεία ΑΠ1 και Π1 του πίνακα 1 (σχ. 36) έτσι, ώστε οι γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες ΣΑ1 και Α1ΑΠ1 (όπου Σ το σημείο οράσεως) με την κάθετη στην επιφάνεια του καθρέφτη 1 να είναι ίσες (γωνία πρόσπτωσης και ανάκλασης αντίστοιχα). Κατασκευάζουμε την κατάκλιση της πινακίδας 1 (όψη της πινακίδας), όπως επίσης και την κατάκλιση της πλευράς του χώρου από την οποία μπορούμε να πάρουμε τις αποστάσεις α και α1. Στο σχήμα της κατάκλισης της πλάγιας πλευράς (σχ. 36) βρίσκουμε τις θέσεις του καθρέφτη 1, του ειδώλου Α1Β1Γ1 1, τη θέση της πινακίδας 1 και την προβολή S του σημείου οράσεως. σχ. 35 σχ

16 σχ. 37 σχ. 39 σχ. 38 Σχηματίζουμε τις κάθετες στην επιφάνεια του καθρέφτη 1 στα σημεία Α1, Β1, Γ1 και 1 και ενώνουμε με την προβολή του σημείου οράσεως S. Η γωνία φ που σχηματίζεται από την προβολή της οπτικής ακτίνας SA1 και την κάθετη στην επιφάνεια του καθρέφτη στο σημείο Α1, είναι η προβολή της γωνίας πρόσπτωσης ω της οπτικής ακτίνας στο σημείο Α1. Σχηματίζουμε μια ίση με την ω γωνία φ, που είναι η προβολή της γωνίας ανάκλασης. Σημειώνεται ότι οι γωνίες ω και φ δεν είναι οι πραγματικές, αλλά οι προβολές των ίσων γωνιών πρόσπτωσης και ανάκλασης. Επειδή οι πραγματικές γωνίες είναι συνεπίπεδες και ίσες και οι προβολές τους σχηματίζουν γωνίες ίσες. Προεκτείνουμε την προβολή της ανάκλασης της οπτικής ακτίνας SA1 μέχρι να τμήσει την προβολή της πινακίδας 1 και ορίζουμε το σημείο ΑΠ1. Μεταφέρουμε το σημείο ΑΠ1 στο σχήμα της κατάκλισης της πινακίδας 1 και έχουμε την πραγματική θέση του σημείου ΑΠ1. Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τα υπόλοιπα σημεία και για τις άλλες δύο πινακίδες (σχ. 37,38,39). Έχοντας τα ακριβή σχήματα των πινακίδων 1, 2 και 3 δε μένει παρά να ορίσουμε τα αντίστοιχα τμήματα της εικόνας. Επιστρέφουμε στην πραγματική εικόνα του χώρου (σχ. 40) κι απεικονίζουμε στο ορθογώνιο ΑΘΗ την εικόνα μας, σημειώνοντας τα σημεία Β1 & Β2, Γ1 & Γ2, Ε1 & Ε2 και Ζ1 & Ζ2. Τέμνουμε τον πίνακα ΑΘΗ με τις ευθείες Β1Γ1 και Ε1Ζ1 και παίρνουμε τα τρία τμήματα της αρχικής εικόνας που πρέπει να «περάσουμε» στα αντίστοιχα σχήματα των πινακίδων 1, 2 και 3 (σχ. 41). σχ

17 σχ. 41 σχ. 42 εικ. 43 Η κατοπτρική αναμόρφωση από το «σωστό» σημείο οράσεως 227

18 Ταυτίζουμε αντίστοιχα τα σημεία: το Α με το ΑΠ1, το Β1 με το ΒΠ1, το Γ1 με το ΓΠ1 κ.ο.κ. Οι εικόνες πάνω στις πινακίδες είναι όχι μόνο παραμορφωμένες, αλλά και αντεστραμμένες κατά κατακόρυφο άξονα σε σχέση με τα αρχικά τμήματα (σχ. 42). Η παραμόρφωση των εικόνων μπορεί να γίνει με τη μέθοδο του κανάβου, είτε ηλεκτρονικά με οποιοδήποτε πρόγραμμα επεξεργασίας εικόνας (εικ. 43). Ένας άλλος τρόπος για να προσδιορίσουμε το πλάτος της πινακίδας σε σχέση με τη θέση της και το πλάτος και τη θέση του κατόπτρου, είναι να χρησιμοποιήσουμε συμμετρικό σημείο οράσεως, ως προς το επίπεδο του κατόπτρου, όπως φαίνεται στο σχήμα 44. Τα γνωστά στοιχεία είναι: α) η θέση του παρατηρητή, β) η θέση του κατόπτρου Κ 1, γ) το πλάτος του κατόπτρου Κ 1 και δ) η διεύθυνση της πινακίδας Π 1 και ζητούμενο στοιχείο είναι το πλάτος της πινακίδας Π 1. Ορίζουμε τις ακραίες οπτικές ακτίνες που θα προσπέσουν στο κάτοπτρο Κ 1 και με άξονα συμμετρίας τη διεύθυνση του κατόπτρου Κ 1, ορίζουμε το συμμετρικό σημείο Ο 1 του σημείου οράσεως Ο. Κατόπιν ενώνουμε το συμμετρικό Ο 1 με τα άκρα του κατόπτρου, μέχρι να τμηθεί η ευθεία διεύθυνσης της πινακίδας Π 1 και έτσι ορίζουμε το πλάτος της. σχ

19 Κωνικές κατοπτρικές αναμορφώσεις Στην κωνική κατοπτρική αναμόρφωση το σημείο οράσεως τοποθετείται σχεδόν πάντοτε στην προέκταση του άξονα της κωνικής κατοπτρικής επιφάνειας, ώστε να επιτυγχάνεται η μέγιστη δυνατή εποπτεία της επιφάνειας του κωνικού κατόπτρου. Η αναμόρφωση σχεδιάζεται έξω από την περιφέρεια της βάσης του κώνου και αντικατοπτρίζεται μέσα στην κυκλική περιοχή που καταλαμβάνει η βάση του κωνικού κατόπτρου. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι στη κωνική κατοπτρική αναμόρφωση τα στοιχεία του ειδώλου εικ. 45 του σχήματος που βρίσκονται πιο κοντά στο κέντρο του κώνου, θα εμφανίζονται πιο κοντά στην περιφέρεια της αναμόρφωσης κι επομένως αναλαμβάνουν μεγαλύτερη παραμόρφωση (εικ. 45). Στο σχήμα 46 έχει παρασταθεί ο κατοπτρικός κώνος Κc(K c,κ c ) και από το σημείο οράσεως Ο(Ο,Ο ) ζητούμε τα δούμε το είδωλο του τριγώνου Α Β Γ, που θα σχεδιαστεί αναμορφωμένο σε περιοχή εκτός του όγκου του κώνου (διαγραμμισμένη περιοχή). Για να ορίσουμε την περιοχή της αναμόρφωσης θεωρούμε την κεντρική οπτική ακτίνα Ο Κ. Αυτή θα ανακλαστεί στην κατοπτρική κωνική επιφάνεια στο σημείο Κ και θα προσπέσει στο σημείο Ε Κ της οριζόντιας επιφάνειας της βάσης του κώνου. Ορίζουμε την ακτίνα πρόσπτωσης Κ Ε Κ στην 1 η προβολή και σχηματίζουμε τον κύκλο (Κ,Κ Ε Κ ), που ορίζει τη μέγιστη περιοχή της αναμόρφωσης. Ο δακτύλιος της αναμόρφωσης μπορεί να οριστεί και με έναν ακόμη τρόπο, αν βρούμε το συμμετρικό σημείο Ο 1 του Ο, ως προς τη διεύθυνση της γενέτειρας Κ και κατόπιν προεκτείνουμε την Ο 1 Κ μέχρι να τμήσει τον άξονα y12 στο Ε Κ ή το αντιδιαμετρικό του. Για να είναι το τυχαίο σημείο Α είδωλο κάποιου σημείου του επιπέδου Π 1 (με σημείο οράσεως του αντικατοπτρισμού το Ο), θα πρέπει η γωνία πρόσπτωσης της οπτικής ακτίνας στο Α να είναι ίση με την γωνία ανάκλασης από το Α, ορίζοντας ως «επιφάνεια» ανάκλασης τη γενέτειρα ΚΑ 1. Σε παράσταση, για να γίνει δυνατό να μετρήσουμε τις γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης, ώστε να είναι ίσες μεταξύ τους, κάνουμε κατάκλιση του σημείου Α σε επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο προβολής Π 2, διερχόμενο από την κορυφή του κώνου. Έτσι με κέντρο Κ και ακτίνα Κ Α διαγράφουμε τόξο κύκλου, μέχρι να τμήσει την Κ στο Α Ο. Βρίσκουμε τη 2 η προβολή Α Ο του Α Ο στον άξονα y12, εφόσον θέλουμε το «επίπεδο» του ειδώλου να ταυτίζεται με το επίπεδο Π 1. Φέρνουμε την οπτική ακτίνα Ο Α Ο και στην τομή της με την γενέτειρα Κ ορίζεται το σημείο (Α ). Από το (Α ) φέρνουμε ευθεία κάθετη στη γενέτειρα Κ, για να ορίσουμε την γωνία πρόσπτωσης ω. Κατόπιν σχηματίζουμε την γωνία φ=ω, μέχρι ο φορέας της να τμήσει τον άξονα y12, στο σημείο (Σ ). Βρίσκουμε την 1 η προβολή (Σ ) του Σ στην Κ και τέλος με τόξο κύκλου (με κέντρο Κ ) ορίζουμε στην Κ Α το σημείο Σ. Το σημείο Σ λοιπόν είναι αυτό που θα πρέπει να σχεδιαστεί στο επίπεδο Π 1, για να δούμε από το Ο(Ο,Ο ) τον αντικατοπτρισμό του (το είδωλό του) στο σημείο Α. Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε και για τα υπόλοιπα σημεία. Το σχήμα που τελικά θ απεικονιστεί στο οριζόντιο επίπεδο της βάσης του κώνου, ώστε ν αντικατοπτριστεί στον κώνο στο τρίγωνο ΑΒΓ, παριστάνεται στο σχήμα

20 σχ

21 σχ

22 εικ. 48 Αναμόρφωση σε ορθό κατοπτρικό κώνο 30 Ο του έργου The mechanics of the light-requisite (εικόνα 27) 232

23 Κυλινδρικές κατοπτρικές αναμορφώσεις Ενώ οι κωνικές αναμορφώσεις είναι εικόνες που εκτείνονται συνήθως σε πλήρη δακτύλιο γύρω από τη βάση του κώνου, στις κυλινδρικές αναμορφώσεις υπάρχουν αρκετοί περιορισμοί σχετικοί με την περιοχή που μπορεί να καταλάβει το είδωλο της αναμόρφωσης από τον συνολικό όγκο του κυλινδρικού κατόπτρου (εικ. 49,50). Ο πρώτος περιορισμός είναι αυτός κατά τον οποίο η εικόνα εκτείνεται σε άνοιγμα γωνίας πάντοτε μικρότερο των 180 Ο. Οποιαδήποτε θέση κι αν έχει το σημείο οράσεως, τέτοια που να κατευθύνονται οι οπτικές ακτίνες προς την κοίλη επιφάνεια του κυλινδρικού κατόπτρου (δεν συμπεριλαμβάνεται η άνω βάση του) δεν είναι δυνατό να περιληφθεί στο οπτικό πεδίο περιοχή της κοίλης επιφάνειας του κυλίνδρου μεγαλύτερη από τη μισή. Μισό κύλινδρο θα βλέπαμε αν καθιστούσαμε τις οπτικές ακτίνες παράλληλες μεταξύ τους, οπότε το σημείο οράσεως θα βρισκόταν σε άπειρη απόσταση από τον κύλινδρο, που προφανώς είναι θεωρητική θέση. Η περιοχή του ειδώλου της αναμόρφωσης γίνεται όμως ακόμη μικρότερη, όσον αφορά τα πλευρικά της όρια (σχ. 51), διότι θεωρούμε ένα επίπεδο κατακόρυφο και εφαπτόμενο στον κύλινδρο, πάνω στον οποίο θα εμφανιστεί το είδωλο της αναμόρφωσης. Το οριακό σημείο Γ 1 επομένως θα προβληθεί στο σημείο Γ του θεωρητικού αυτού επιπέδου εικ. 49 εικ. 50 István Orosz, Column και θα οριστεί το πλευρικό όριο της περιοχής του ειδώλου της αναμόρφωσης. Στο σημείο Γ καταλήγει η οπτική ακτίνα ΟΓ(Ο Γ,Ο Γ ), που μας υποδεικνύει ότι το σημείο Γ έχει υψόμετρο z Γ 0. Αντίθετα, το σημείο Μ(Μ,Μ ) βρίσκεται στο επίπεδο Π 1. Οι οπτικές ακτίνες που ξεκινούν από το Γ και καταλήγουν στο Μ διαγράφουν κοντά στη βάση του κυλίνδρου μια καμπύλη έλλειψης, που περιορίζει την περιοχή του ειδώλου της αναμόρφωσης. Ένας ακόμη περιορισμός που τίθεται είναι σχετικά με το ύψος που επιτρέπεται να καταλαμβάνει το είδωλο της αναμόρφωσης, διότι παρουσιάζεται πρακτική δυσκολία: τα σημεία ειδώλων της αναμόρφωσης που βρίσκονται σε ύψος μεγαλύτερο από το μισό του ύψους του σημείου οράσεως, έχουν σημεία αναμόρφωσης πίσω από την προβολή του σημείου οράσεως, πίσω δηλαδή από τον παρατηρητή. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι ο παρατηρητής πρέπει να σταθεί πάνω στην αναμόρφωση για ν αποκαταστήσει το είδωλο, αλλά σ αυτή την περίπτωση συμμετέχει και ο ίδιος στον αντικατοπτρισμό. Ένα τυχαίο σημείο Α(Α,Α ) του αντικατοπτρισμού της εικόνας της αναμόρφωσης, θα έχει πραγματικό είδωλο στο σημείο Ρ(Ρ,Ρ ), δηλαδή στο σημείο Ρ θα προσπέσει η οπτική ακτίνα και η ανάκλασή της θα πραγματοποιηθεί με άξονα ανάκλασης την ακτίνα ΚΡ του κυλίνδρου, δημιουργώντας τη Ρα. Προεκτείνουμε την ΟΡ και ορίζουμε το 1 ο ίχνος της Σ(Σ,Σ ). Στην 1 η προβολή σχηματίζουμε την ευθεία α συμμετρική της Ρ Σ ως προς την εφαπτόμενη τ Α του κυλίνδρου, στο 233

24 σημείο Ρ, που είναι ο φορέας διεύθυνσης της ανάκλασης. Επομένως το συμμετρικό σημείο Α 1 του σημείου Σ ως προς την τ Α είναι το ζητούμενο σημείο. Με άλλα λόγια, εάν σχεδιάσουμε το σημείο Α 1 στο επίπεδο Π 1 και το παρατηρήσουμε από το σημείο Ο, θα το δούμε να ανακλάται στο σημείο Ρ και να εμφανίζει το είδωλό του στο σημείο Α (εικ. 52,53). σχ. 51 εικ. 52 εικ. 53 ΕΜΠ) Κυλινδρική κατοπτρική αναμόρφωση (σπουδαστική εργασία 234

25

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ.

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. Πρόκειται για εικόνες τις οποίες μπορούμε να παρατηρήσουμε χρησιμοποιώντας κατάλληλες ανακλαστικές επιφάνειες, οι οποίες συνήθως είναι κωνικές ή κυλινδρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟΥ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΠΙΝΑΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟΥ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΠΙΝΑΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD Σύμφωνα με τους ορισμούς, το προοπτικό είναι η κεντρική προβολή (από τη θέση του ματιού του παρατηρητή) ενός σχήματος πάνω στο επίπεδο του πίνακα. Οι παράλληλες ευθείες του αρχικού σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη.

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη. Προβολές σε άλλα επίπεδα - Προοπτικές απεικονίσεις Μπορεί να γίνει προβολή ως προς σημείο το οποίο μπορεί να είναι το ανθρώπινο μάτι, ή ακριβέστερα το εστιακό σημείο του ανθρώπινου ματιού: Η απεικόνιση

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Προοπτική Αξονομετρία Ορθές προβολές «κατ εκδοχήν»

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Προοπτική Αξονομετρία Ορθές προβολές «κατ εκδοχήν» ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σκοπός της παραστατικής Γεωμετρίας είναι η απεικόνιση των δισδιάστατων και των τρισδιάστατων αντικειμένων στο επίπεδο, δηλαδή στο χαρτί σχεδίασης. Αναλύοντας τα δισδιάστατα και τα τρισδιάστατα

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΡΙΤΗ 21 ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΡΙΤΗ 21 ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΡΙΤΗ 21 ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΘΕΜΑ: Σύνθεση με πέντε (5) αντικείμενα ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ: Η σύνθεση περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Κλίµακες σχεδίασης και κανόνες τοποθέτησης διαστάσεων

1.4 Κλίµακες σχεδίασης και κανόνες τοποθέτησης διαστάσεων 1.4 Κλίµακες σχεδίασης και κανόνες τοποθέτησης διαστάσεων 1.4.1 Κλίµακες σχεδίασης Στο µηχανολογικό σχέδιο είναι επιθυµητό να σχεδιάζεται ένα αντικείµενο σε φυσικό µέγεθος, γιατί έτσι παρουσιάζεται η αληθινή

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΥΤΕΡΑ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΥΤΕΡΑ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΥΤΕΡΑ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ ΘΕΜΑ: Σύνθεση με τέσσερα αντικείμενα. ΓΕΝΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ: Το προς σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2)

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: 1. Απεικόνιση του θέματος στον καθορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες . Ιδιότητες φακών 2 Απριλίου 203 Λεπτοί φακοί. Βασικές έννοιες Φακός είναι ένα οπτικό σύστημα με δύο διαθλαστικές επιφάνειες. Ο απλούστερος φακός έχει δύο σφαιρικές επιφάνειες αρκετά κοντά η μία με την

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Στοιχεία Μηχανολογικού Σχεδίου

1.2 Στοιχεία Μηχανολογικού Σχεδίου 1.2 Στοιχεία Μηχανολογικού Σχεδίου Τα µηχανολογικά σχέδια, ανάλογα µε τον τρόπο σχεδίασης διακρίνονται στις παρακάτω κατηγορίες: Σκαριφήµατα Κανονικά µηχανολογικά σχέδια Προοπτικά σχέδια Σχηµατικές παραστάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Διάλεξη 2η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ 17 Σεπτεμβρίου 2014 ΘΕΜΑ: Σύνθεση με τρία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ OΠΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ OΠΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ OΠΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoira.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΩΝΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ Σχήµα 1 Η κωνική επιφάνεια ή κώνος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας (γενέτειρες) η οποία διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΙ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ ΕΙΔΩΛΟ

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΙ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ ΕΙΔΩΛΟ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΙ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ ΕΙΔΩΛΟ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η ικανότητα χρήσης καθρέφτη και πηγής laser. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΣΧΕΔΙΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΣΧΕΔΙΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Σχεδίαση με τη χρήση Η/Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΣΧΕΔΙΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Διαδικασία κατασκευής ορθογωνίου με χρήση προοπτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΦΑΙΡΑΣ (Ο, ρ) Σχήµα 1 Η σφαίρα σε κάθε ορθή προβολή προβάλλεται κατά µέγιστο κύκλο που έχει κέντρο την προβολή του κέντρου της σφαίρας και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα)

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 20 1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 1.3.1 Ορισµός- Είδη - Χρήση Σκαρίφηµα καλείται η εικόνα ενός αντικειµένου ή εξαρτήµατος που µεταφέρεται σε χαρτί µε ελεύθερο χέρι (χωρίς όργανα σχεδίασης ή

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 2014) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες)

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 2014) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 04) ΕΜΠ (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Προοπτική απεικόνιση του (προβολικού) χώρου ονομάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Μάθημα προς τους ειδικευόμενους γιατρούς στην Οφθαλμολογία, Στο Κ.Οφ.Κ.Α. την 18/11/2003. Υπό: Δρος Κων. Ρούγγα, Οφθαλμιάτρου. 1. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν μια φωτεινή ακτίνα ή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ανάκλαση Κάτοπτρα Διάθλαση Ολική ανάκλαση Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου Μετατόπιση ακτίνας Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ - Ανάκλαση Επιστροφή σε «γεωμετρική οπτική» Ανάκλαση φωτός ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας Karl Pohlke

Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας Karl Pohlke ΙΣΤΟΡΙΚΟ Το θεώρημα διατυπώθηκε το 1853 και δημοσιεύτηκε το 1860 στο βιβλίο του Κarl Pohlke «Darstellende Geometrie» χωρίς απόδειξη. Η απόδειξη έγινε πρώτα το 1863 από τον Hermann Amandus Schwarz (1843-1922)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ ΥΟ (2)

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ ΥΟ (2) AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ ΥΟ (2) ΘΕΜΑ: Σύνθεση με σκάλα, τούβλο, δοχείο. ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ:

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΩ Η ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΕ ΙΟΥ ΝΑΥΠΗΓΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΩ Η ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΕ ΙΟΥ ΝΑΥΠΗΓΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩ Η ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΕ ΙΟΥ ΝΑΥΠΗΓΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΙΣΑΛΩΝ ΜΕ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΚΛΙΣΗ Έστω ένα πλοίο το οποίο επιπλέει µε µια εγκάρσια κλίση που παριστάνεται µε το επίπεδο π. Σχήµα 1 Ζητείται

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΘΕΜΑ: Σύνθεση με τρία αντικείμενα ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ: Το προς σχεδίαση θέμα

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΟΔΗΓΙΕΣ

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΟΔΗΓΙΕΣ AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: 1. Απεικόνιση του θέματος στον καθορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο) ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική Γνωρίζουμε τα βασικά Δηλαδή, πως το φως διαδίδεται και αλληλεπιδρά με σώματα διαστάσεων πολύ μεγαλύτερων από το μήκος κύματος. Ανάκλαση: Προσπίπτουσα ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.3: Μέγιστα και Ελάχιστα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Ενότητα Β.05.3: Μέγιστα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η στερεογραφική απεικόνιση του επιπέδου του ρήγματος, καθώς και του βοηθητικού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

289 Κεφάλαιο 6 Τομές 289

289 Κεφάλαιο 6 Τομές 289 Κεφάλαιο 6 Τομές Mark Manders, Ολλανδός καλλιτέχνης Μικρή άψητη πήλινη μορφή Συμμετοχή με ένα γλυπτό του στην 1 η Μπιενάλε της Αθήνας 2007 Destroy Athens 6.1 Τι είναι τομή στο σχέδιο; Πολλές φορές στο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα