Time Domain Pitch Recognition
|
|
- Τρυφωσα Φλέσσας
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Chourdakis G. Michael *, Haralampos C. Spyridis ** * PhD Candidate, Music Department, University of Athens. m@turboirc.com ** Professor of Music & Informatics, Head Manager of the Sound Engineering Laboratory of Music Department, University of Athens. hspyridis@music.uoa.gr Time Domain Pitch Recognition Ι. INTRODUCTION The following will be described: 1. The advantages of time-domain methods over the frequency-domain methods in digital signal processing. 2. The methods used to identify the pitch, and the collection of the results to either a frequency vector, or to music notation. 3. The success probabilities of the methods, and the problems that may be encountered at the process. 4. The creation of new music notation symbols, needed to describe music notes that they have slightly different frequencies than the standard European frequency vector; These symbols will equally apply to other notation systems, like the Byzantine Notation or the e-notation (MIDI). 5. The application of the methods by experimenting. The end result will be the ability to detect and display the pitch of a signal automatically from the PC, without the aid, recommendation, or otherwise interference of a human being, which may be less or more influenced by music knowledge and/or music experience. Furthermore, we will be able to write down the recognized pitch with new symbols, to any main notation scheme (e.g. The European Notation, the Byzantine Notation, the MIDI notation etc.) There are many applications for our method: 1. We can check and fix an instrument s accurate tuning, either a conventional instrument or an electric one. 2. The ability to verify the correct performance of a musical piece, e.g. the ability to check if a singer will properly sing their song, based on known estimated European, Byzantine or other specific-frequency climaxes. 3. The ability to write down any sort of simple of complex vector of music symbols (notes) with altered frequency, in a compatible format which is easy to be understood and mastered by music students. ΙΙ.THE SOUND SIGNAL The sound signal generated from a sound source (voice, instrument) is always a function of time: (1) Where A1, A2, A3. are the local peaks of each oscillation (amplitudes), and f1,f2,f3 fν are the frequencies generated by the sound source. In theory, a sound source generates an infinite number of signals with a decreasing
2 amplitude ; in practice, we are only interested in the few first frequencies because all others amplitude is practically zero. Fig Sample Sound Signal. A sound signal passing through a ADC (Analog to Digital Converter) and sampled with a Sampling Frequency S, will have, according to the Niquist Theorem, a limited number of possible frequencies not over the value S/2. That signal would be periodic if each of the generated frequencies was an integer multiply of the first generated frequency, since for the function (1) it is: ΙΙΙ.THE FOURIER TRANSFORM The Continuous Fourier Transform (CFT) of a continuous function of the time f(t), is a function of frequency/intensity, defined as such: Fig 3.1. Signal represented as a function of time Fig 3.3. Signal represented as a function of frequency
3 Due to the Heisenberg Uncertainty Principle, we are not able to detect a frequency at a given point of the signal, but we have to apply a transformation Window to the signal in order to perform the Fourier Transform. Each of the available Windows has its advantages and its disadvantages; our main problem is that we cannot detect the frequency with great accuracy. Εικόνα 3.3. Applying a Window To use the Fourier Transform and to work on the Frequency Domain would apply the following limits: 1. The Fourier Transform works best with periodic signals. In theory, all signals generated by sound sources should be periodic; In practice, none of them is. The result of that is the Gibbs Phenomenon, the leaks generated by the Fourier Transform s inability to work with such signals. Fig 3.4. Gibbs Phenomenon The second limitation of the Fourier Transform. The Discrete Fourier Transform, used in discrete signals and in the PCs, accepts as input a fixed number of samples and returns the same number of complex numbers. The magnitude of each of those complex numbers describes the intensity of a specific frequency found in the signal. This frequency can be estimated by the following formula: f i isr = N Where SR is the sample rate of the signal, and i is the index of the frequency in the complex vector returned by the Fourier Transform. So we can immediately see that the Fourier Transform can only return information for a fixed number of frequencies (Between 0 and SR/2) each of them must be calculated from the above formula for integer values of i. What happens to the frequencies found for non-integer values of i? Their magnitudes are mixed with the closer frequency, which would result in false reports by the Fourier transform, especially when trying to detect very slight pitch changes. All these would force us not to use Frequency Domain methods for accurate pitch estimation, but rather use Time Domain Methods instead. The main advantages of Time domain methods are : 1.They can give better results for non-periodic signals, as much as when they applied to periodic signals. 2. They can work within even a few sample collection. 3. Their results are accurate, especially with higher sampling rate values.
4 The main difficulty in using the Time Domain Methods is speed. Signals have to be filtered by less or more complex filters in order to be ready to analyzed in the Time Domain Mode; This filtering and preprocessing, as also the Time Domain Processing itself can take a lot of time. Fortunately, with the high-power modern PCs at our service, we need not anymore worry about the performance of our methods. IV. PITCH RECOGNITION We record the signal from the microphone or other sound input. After recording, the signal must be pre-processed. Preprocessing involves either low pass filters to cut off unneeded frequencies (If we can assume that there are unneeded frequencies, for example, when recording a human voice which has a limited frequency bandwidth), or other algorithms, more or less complex, aiming to simplify the signal as much as possible. After that, the signal is analyzed by our main algorithm which defines a structure, describing the frequency, the time and the amplitude, and generates a vector of items describing those elements for the whole signal. Fig Signal Simplification The next step is to analyze, connect, possibly edit, possibly reject those results, in order to convert the full signal to the music notation. This music notation can be either the European: Fig 4.2. Results at the European Music Notation Or, it can be the Byzantine Notation, which is a notation describing relevant steps between notes: Fig 4.3. Byzantine Notation
5 V. THE PROBLEMS In theory, every signal should be clean and easy to be analyzed. In practice, almost each of the recorded signals has its problems. The most common problems encountered are: The signal s amplitude is very low; In which case it must be amplified in order to be further analyzed: Fig 5.1. Amplifying the signal. One of the frequencies of the signal has greater intensity than the fundamental frequency f0. This problem, one of the reasons that Fourier Transforms also fail, is resolved by analyzing the signal by convolution and statistical methods to detect if there is a case of a fundamental frequency with a lowered intensity. Fig 5.2. The Fourier transform shows the first (fundamental) frequency f0 weaker than f1. The signal has so much noise that it cannot be analyzed further without noise reduction. This usually involves high-pass filtering the signal in order to remove as much noise as possible, before retrying the recognition process. Fig 5.3. Noisy signal The signal might be unstable. For example, the human voice is almost always unstable, i.e. when somebody tries to sing the note C, their voice doesn t keep a fixed frequency. In that case our methods involve statistical analysis and the amplitude hint to detect if there is an actual change to the frequency, or it might be a case for a human instability feature like vibrato. Fig 5.4. Unstable signal
6 VI. CURRENT NOTATION PROBLEMS At the current European notation scheme, there is no way to represent a note of which its frequency is slightly altered. For example, we can try to represent the Frequency Hz using the note C, and the frequency Hz using the note C#. But, we are not able to draw a symbol that would represent any frequency between these two numbers: Fig 6.1. Frequencies of European notes. When taking MIDI into consideration, we have the very same problem, since in MIDI, the 128 available notes are mapped to the European notes (From A0 to B7). The same problem occurs to the Byzantine Notation. The Byzantine notation is a relative representation of the symbols; Each symbol is not a fixed note, but rather an indication of how many notes we should go up or down. For example, When we are in C (Byzantine ΝΗ ), and we encounter the 1 (Byzantine Symbol OLIGON ), we should get to the next note, in which case it is the Byzantine PA (D). The frequency of that D is not fixed (as in the European notation), but it depends on the mode definition; In byzantine music, there are 8 different modes and the octave is divided into 72 equal sections (and not 12 semitones,as in the European). In the following example, PA is But we still have the problem to represent, say, 144Hz. Fig 6.2. Byzantine notes and their frequencies VIΙ. THE NEW NOTATION SUGGESTIONS A proper solution to the above problems should meet the following restrictions: 1. It should be easily understandable and learnable 2. It should be subject to further revision 3. It should be possible to be ignored by human beings or instruments not designed to take advantage of it, and/or take advantage of the micro-tuning. 4. It should be compatible with existing symbols and notation. 5. It should not be confused with existing symbols of sharp and flat. 6. It should be able to divide the entire octave to any defined number of sections, up to the international standard, the cent.
7 7. It should take as little space as possible, in order not to confuse the reader. 8. It should be usable in PCs and existing sound and score processing applications. We define 2 new symbols: The Simple Sharp / and the Simple Flat \. We define, as a new symbol for a single sharp, the symbol of / (forward slash), to be placed to the left of a note: Fig 7.1. Simple Sharp More slashes at the left of the note would suggest double, triple sharp etc. We define, as a new symbol for a single flat, the symbol of \ (Backward slash) to be placed to the left of a note: More slashes would suggest double,triple flat etc. Fig 7.2. Simple Flat. In the rare case that we might need more sharps/flats than the available space permits, we can use a number before the simple sharp/simple flat symbol. The simple sharp/simple flat symbols can coexisting and can be combined with the existing traditional sharp/flat symbols: Fig 7.3. Examples of the new symbols. We define the symbol q to indicate the number of sections that the octave should be divided. A musical score can contain an indication with the q symbol at the start, or at any other place. The syntax is: q = a/b Where b = the number of sections that the octave should be divided, and a = the number of sections assigned to a simple sharp or simple flat. For example: q = 1/24 Indicates that the octave is divided to 24 sections, and a single sharp or flat should add/subtract 1/24 to the frequency of the note they were applied. In case that there is no q indication in the music score, the default is q = 1/12, in which case, the simple flat and sharp are equals to the traditional flat b and sharp #. The same symbols apply to the Byzantine notation. We put them above the byzantine symbols:
8 Fig 7.4. Byzantine symbols with simple sharps/flats. The same symbols are applied to MIDI. We define : a) A recommendation at the start of each MIDI track (which may reoccur anywhere at the track), to indicate the division, using a META-Event (Midi 0xFF message). b) A controller message (MIDI 0xBX message) to be placed before each MIDI note message (MIDI 0x9X) in order to alter its frequency by a number of simple flats/sharps. These extensions are compatible with existing MIDI software, because applications that are not able to recognize our new symbols will simply ignore them and play the MIDI file as if those symbols wouldn t exist. As a result, we have created a simple method of representing any frequency we need to the musical score, that is easy for both human beings and software to interpret. REFERENCES R.W.Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers Dover Publications, New York, Eugene Isaacson, Herbert Bishop Keller. Analysis of Numerical Methods Dover Publications, New York, Francis J. Flanigan, Complex Variables, Harmonic and Analytic Functions Dover Publications, New York, R.W.Hamming, Digital Filters Dover Publications, New York, Steve Smith, The Scientist and Engineer's guide to Digital Signal Processing California Technical Publishing, Richard A. Silverman. Introductory Complex Analysis. Dover Publications, New York, Alan V. Oppenheim, Discrete-Time Signal Processing, Pearson Education Publishing, 2001.
9 Χουρδάκης Γ. Μιχαήλ *, Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Υποψήφιος Διδάκτωρ Τμήματος Μουσικών Σπουδών Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής, Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήματος Μουσικών Σπουδών Πανεπιστημίου Αθηνών Αναγνώριση Μελωδίας στο Πεδίο του Xρόνου Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην ομιλία μας θα περιγραφούν: Τα πλεονεκτήματα της μελέτης στο πεδίο χρόνου σε σχέση με το πεδίο της συχνότητας. οπου A1, Α2 Αn είναι τα πλάτη των ταλαντώσεων, που προκύπτουν, και f1,f2 fn είναι οι συχνότητές τους. Η μέθοδος με την οποία αναγνωρίζεται το ηχητικό σήμα, είτε σαν σειρά από συχνότητες, είτε σαν μουσική μελωδία. Το κατα πόσο οι μέθοδοι επιτυγχάνουν, ποιά είναι τα προβλήματα στην εφαρμογή τους. Η ανάγκη επινόησης νέων τρόπων απεικόνισης για την παρουσίαση νοτών, οι οποίες έχουν ελάχιστη συχνοτική διαφορά από τις καθιερωμένες συχνότητες στην ευρωπαϊκή/βυζαντινή/ηλεκτρονική σημειογραφία. Οι εφαρμογές τις μεθόδου με πειραματική επίδειξη. Σαν αποτέλεσμα θα έχουμε τη δυνατότητα της αντικειμενικής αναπαραστάσεως της μελωδίας αποκλειστικά και μόνο από τον Η/Υ, χωρίς τη διαμεσολάβηση κάποιου ανθρώπινου μουσικού αυτιού/εγκεφάλου, επηρεασμένου από την οποιαδήποτε μουσική τεχνοτροπία. Επιπλέον, θα έχουμε την δυνατότητα να καταγράψουμε τη μελωδία με νέα σύμβολα, είτε στην ευρωπαϊκή σημειογραφία, είτε στη βυζαντινή παρασημαντική, είτε, τέλος, στην ηλεκτρονική σημειογραφία (MIDI). Εικόνα 2.1. Ηχητικό Σήμα Ένα ψηφιακό σήμα που έχει ηχογραφηθεί με συχνότητα δειγματοληψίας S, θα περιέχει, σύμφωνα με το θεώρημα Niquist, ταλαντώσεις των οποίων η συχνότητα δεν θα ξεπερνάει το S/2.Το σήμα αυτό είναι περιοδικό, εφ όσον συχνότητες fn n=2, 3, 4, ήταν ακέραια πολλαπλάσια της αρχικής f 1, αφού για την συνάρτηση ισχύει ΙΙΙ.Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ο συνεχής μετασχηματισμός Fourier F(ω) (ή για συντομία CFT Continuous Fourier Transform) μιας συνεχούς συνάρτησης f(t) είναι μία συνάρτηση συχνότητας/εντάσεως, και ορίζεται ώς εξής: Οι εφαρμογές της μεθόδου είναι πολλές, μεταξύ των οποίων η δυνατότητα χορδίσματος ενός οργάνου, η δυνατότητα ελέγχου ενός τραγουδιστή για το εάν αποδίδει διαστηματικά σωστά μια μελωδία, και με τη νέα μορφή της προτεινομένης σημειογραφίας, μία ευρωπαϊκή/βυζαντινή παρτιτούρα θα μπορεί να περιέχει οποιαδήποτε μικροδιαστήματα, τα οποία και θα αποδίδονται σωστά με ηλεκτρονικό τρόπο. ΙΙ.ΤΟ ΗΧΗΤΙΚΟ ΣΗΜΑ Το σήμα που παράγεται από κάποιο ηχογόνο σώμα (φωνή, όργανο), έχει την μορφή:
10 Εικόνα 3.4. Φαινόμενο Gibbs Εικόνα 3.1. Σήμα πριν τον μετασχηματισμό Fourier Ο δεύτερος περιορισμός είναι ο εξής: Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier, που χρησιμοποιείται στους Η/Υ, δέχεται σαν είσοδο Χ δείγματα του σήματος και επιστρέφει Χ μιγαδικούς αριθμους. Το μέτρο του καθενός μιγαδικου αριθμού z, υποδηλώνει την Ένταση Χ διαφορετικών συχνοτήτων, οι οποίες βρίσκονται από την εφαρμογή του παρακάτω τύπου: isr fi = N Εικόνα 3.2. Σήμα μετά τον μετασχηματισμό Fourier Λόγω του θεωρήματος της αβεβαιότητας του Heisenberg, θα πρέπει να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Fourier όχι σε ένα σημείο, αλλά σε ένα Window του σήματος. όπου SR η συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος. Από την περιγραφή αυτή γίνεται αμέσως σαφές ότι ο αλγόριθμος μπορεί να μας δώσει πληροφορίες μόνο για τις συχνότητες, οι οποίες προκύπτουν από τον παραπάνω τύπο για ακέραιο i και όχι για οποιαδήποτε συχνότητα από 0 μέχρι SR/2, που περιέχεται στο σήμα. H ενέργεια των υπολοίπων συχνοτήτων διοχετεύεται στις συγκεκριμένες συχνότητες, που έχει ο διακριτός μετασχηματισμός. Αυτό, σε συνάρτηση και με το leakage που είδαμε προηγουμένως, ουσιαστικά μας απαγορεύει να χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό Fourier για μετρήσεις ακριβείς, πράγμα αναγκαίο στο χόρδισμα των μουσικών οργάνων και στην ανίχνευση των μικροδιαστημάτων. Αντί λοιπον του μετασχηματισμού Fourier, χρησιμοποιούνται μέθοδοι στο πεδίο του χρόνου. Εικόνα 3.3. Αβεβαιότητα Heisenberg Η χρήση του παραπάνω μετασχηματισμού Fourier επιβάλλει τους παρακάτω περιορισμούς: Ο μετασχηματισμός Fourier είναι κατάλληλος για περιοδικά σήματα. Στην πράξη, κανένα σήμα δεν είναι περιοδικό. Ετσι, ο μετασχηματισμός Fourier παράγει ανακρίβειες (γνωστές σαν leaks), δηλαδή στοιχεία μη ακριβή για κοντινές συχνότητες. Το φαινόμενο αυτό (φαινόμενο Gibbs) παρουσιάζεται επειδή στην επιλογή του τμήματος, που χρειαζόμαστε, αναγκαστικά κόβονται ορισμένες από τις συχνότητες του σήματος, ακριβώς επειδή το σήμα δεν είναι περιοδικό. Tα βασικά πλεονεκτήματα των αλγορίθμων, που βασίζονται στο Time Domain, είναι: 1.Δίνουν καλύτερα αποτελέσματα σε μη περιοδικά σήματα, επειδή σαρώνουν το σήμα στον άξονα x-x (άξονας χρόνου), κάνοντας εκτιμήσεις για το πώς θα ήταν το σήμα, εάν ήταν περιοδικό. 2. Λειτουργούν ικανοποιητικά ακόμα και σε ελάχιστο μήκος σήματος, επειδή δε χρειάζεται να έχουν ολοκληρωθεί οι ταλαντώσεις πλήρως για την ανάλυσή του. 3. Τα αποτελέσματά τους είναι ακριβή και μάλιστα γίνονται καλύτερα, όσο μεγαλύτερη ταχύτητα δειγματοληψίας χρησιμοποιήσουμε. Το βασικό μειονέκτημα των αλγορίθμων, που βασίζονται στο Time Domain, είναι η ταχύτητα. Για να λειτουργήσουν ικανοποιητικά, πρέπει το σήμα να
11 φιλτραρισθεί κατάλληλα. Με τις σημερινές όμως ταχύτητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών, η ταχύτητα δεν είναι πλέον πρόβλημα. IV. Η ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ Ηχογραφούμε το σήμα. Αφού το σήμα ηχογραφηθεί, πρέπει να περάσει από μια ορισμένη προεπεξεργασία πριν μπορέσουμε να το ανιχνεύσουμε. V. ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Ο αλγόριθμος δουλεύει ιδανικά σε ιδανικά σήματα, αλλά στην πράξη κανένα σήμα δεν είναι ιδανικό. Οι περιπτώσεις που παρουσιάζονται προβλήματα είναι: Το σήμα έχει εξαιρετικά χαμηλή ένταση. Τότε πρέπει να περάσει από ενισχυτή έτσι ώστε να γίνει δυνατότερο για να μπορεί να ανιχνευθεί με ακρίβεια. Η προεπεξεργασία αποτελείται είτε από low pass φίλτρα (εαν το σήμα το επιτρέπει, π.χ. εαν γνωρίζουμε ότι υπάρχει ένα όριο ανώτατης συχνότητας σε αυτό), είτε από μεθόδους οι οποίοι αποσκοπούν στο να απλοποιηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο αυτό το σήμα. Στη συνέχεια το σήμα περνάει από την βασική επεξεργασία η οποία βγάζει ένα πίνακα από δομές οι οποίες περιγράφουν την συχνότητα, την διάρκεια και την ένταση του κάθε τμήματος του σήματος. Εικόνα 5.1. Σήμα που ενισχύεται. Η περίπτωση που η βασική συχνότητα έχει χαμηλότερη ένταση (intensity) από κάποια αρμονική της. Το βασικό αυτό πρόβλημα το οποίο είναι ένα από αυτά που καταστρέφουν τα αποτελέσματα του FFT, λύνεται με συγκρίσεις του σήματος με το κοντινό του σήμα και με στατιστική ανάλυση των ταλαντώσεών του για να διαπιστωθεί εαν πρόκεται για σήμα που όντως υπάρχει βασική συχνότητα σε χαμηλότερη intensity. Εικόνα 4.1. Απλοποίηση του Σήματος Στη συνέχεια το σήμα περνάει από την δεύτερη επεξεργασία, ένα αλγόριθμο που συνδέει τα επιμέρους τμήματα μεταξύ τους, απορρίπτει ή διορθώνει πιθανά λάθη της αναγνώρισης με βάση στατιστικών, και τελικά να βρεί τις συχνότητες που χρειαζόμαστε, με τελική κατάληξη το ευρωπαϊκό, Εικόνα 5.2. Φάσμα Fourier σήματος που η 1 η αρμονική έχει υψηλότερη ένταση από την βασική συχνότητα. Το σήμα έχει θόρυβο σε επίπεδο έντασης που καταστρέφει την ποιότητα του σήματος (θόρυβοι σε μικρές εντάσεις δεν δημιουργούν προβλήματα). Στην περίπτωση αυτή ενδύκνειται το high pass φίλτρο με σκοπό να απομακρυνθεί πρώτα ο θόρυβος των χαμηλών συχνοτήτων, εάν αυτό είναι δυνατό. Εικόνα 4.2. Ευρωπαϊκή Σημειογραφία η βυζαντινό κείμενο: Εικόνα 5.3. Σήμα με θόρυβο Εικόνα 4.3. Βυζαντινή Σημειογραφία Το σήμα έχει ασταθείς συχνότητες. Για παράδειγμα, η ανθρώπινη φωνή, η οποία δεν διατηρεί σχεδόν ποτέ σταθερή την συχνότητα. Στην περίπτωση αυτή το πρόγραμμα φιλτράρει όσο είναι δυνατόν το σήμα
12 για να απλοποιηθεί, και χρησιμοποιεί τις ενδείξεις έντασης για να διαχωρίσει τις νότες μεταξύ τους. 10. Να είναι ευέλικτη σε αλλαγές. 11. Να μπορεί να αγνοηθεί από όργανα/ανθρώπους που δεν μπορούν να ερμηνεύσουν ένα μικροδιάστημα. 12. Να είναι συμβατή με όλα τα υπάρχοντα σύμβολα της σημειογραφίας. Εικόνα 5.4. Σήμα με ασταθείς συχνότητες VI. ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΣΗΜΕΙΟΓΡΑΦΙΑΣ Στις τρέχουσες μουσικές σημειογραφίες (ευρωπαϊκή, βυζαντινή, MIDI) δεν υπάρχει τρόπος να απεικονιστούν νότες οι οποίες έχουν ελάχιστες μεταβολές στην καθιερωμένη συχνότητά τους. Για παράδειγμα, στην ευρωπαϊκή μουσική, μπορούμε να απεικονίσουμε την νότα Ντο (130.81Hz), και την νότα Ντο # (138.59Hz), όχι όμως κάποια συχνότητα μεταξύ αυτών των δύο. 13. Να μην συγχέεται με τα υπάρχοντα σύμβολα δίεσης και ύφεσης. 14. Να δίνει την δυνατότητα διαχωρισμού της οκτάβας σε οσαδήποτε μέρη, μέχρι και το ανώτερο διεθνές στάνταρ, το cent. 15. Να καταλαμβάνουν μικρό χώρο στο πεντάγραμμο/χαρτί, για να μην χάνεται η συνέχεια στις νότες. 16. Να μπορεί να χρησιμοποιηθεί στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές εύκολα. Για να μπορέσουμε να απεικονίσουμε όλες τις νότες, εισάγουμε δύο νέα σύμβολα στην σημειογραφία: την απλή δίεση / και την απλή ύφεση \. Ορίζουμε σαν σύμβολο απλής δίεσης, το σύμβολο / (Πλάγια κάθετος), και την τοποθετούμε αριστερά από την νότα. Εικόνα 6.1. Συχνότητες που αντιστοιχούν σε ευρωπαϊκές νότες Στο MIDI έχουμε το ίδιο πρόβλημα, δεδομένου ότι οι 128 νότες MIDI είναι 128 ευρωπαϊκές νότες. Το ίδιο συμβαίνει και στην βυζαντινή, η οποία απεικονίζει νότες σύμφωνα με την απόσταση της κάθε νότας από την προηγούμενη, απόσταση η οποία είναι σταθερή ανάλογα με τον επιλεγμένο βυζαντινό ήχο. Εικόνα 7.1. Απλή δίεση Περισσότερες απλές διέσεις στα αριστερά της νότας, συνιστούν διπλή, τριπλή, τετραπλή δίεση κλπ. Ορίζουμε σαν σύμβολο απλής ύφεσης, το σύμβολο \ (Ανάποδη κάθετος) και την τοποθετούμε αριστερά από την νότα. Περισσότερες απλές υφέσεις στα αριστερά της νότας, συνιστούν διπλή, τριπλή, τετραπλή κλπ ύφεση. Εικόνα 6.2. Συχνότητες που αντιστοιχούν σε βυζαντινές νότες VIΙ. H NEA ΣΗΜΕΙΟΓΡΑΦΙΑ Μια καλή λύση στο πρόβλημα που περιγράψαμε πρέπει να έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: 9. Να είναι εύκολη στην υλοποίηση και στην εκμάθηση Εικόνα 7.2. Απλή ύφεση Στην (σπανιότατη) περίπτωση που χρειαζόμαστε πολλές διέσεις/υφέσεις και ο χώρος δεν επαρκεί, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα μονοψήφιο/διψήφιο αριθμό πριν την δίεση/ύφεση. Τα σύμβολα της απλής δίεσης/ύφεσης μπορούν να συνυπάρχουν με τα συνηθισμένα σύμβολα δίεσης/διπλής δίεσης κλπ.
13 Εικόνα 7.3. Παραδείγματα των νέων σημείων αλλοιώσεως. Ετσι λοιπόν μπορούμε πλέον να απεικονίσουμε οποιαδήποτε συχνότητα είτε στο πεντάγραμμο, είτε στο MIDI, είτε στην βυζαντινή παρασημαντική, με την βοήθεια των νέων συμβόλων που εισάγουμε. Ορίζουμε σαν σύμβολο ένδειξης του διαχωρισμού της οκτάβας σε ν ίσα διαστήματα, το σύμβολο q. Κάθε μουσικό έργο μπορεί να περιέχει την ένδειξη με το σύμβολο q σε οποιοδήποτε σημείο του. Η μορφή της ένδειξης είναι: q = a/b Όπου b ο αριθμός των ίσων τμημάτων στην οκτάβα, και a ο αριθμός των τμημάτων στα οποία αντιστοιχεί μια απλή δίεση. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει ένδειξη q στο μουσικό κείμενο, τότε θεωρείται ως προεπιλεγμένη η ένδειξη q = 1/12. Σε αυτήν την περίπτωση η απλή δίεση / και η απλή ύφεση \ ισοδυναμούν με την ευρωπαϊκή δίεση # και την ευρωπαϊκή ύφεση b αντίστοιχα. Για παράδειγμα, εαν q = 1/24, τότε κάθε απλή δίεση ισούται με το 1/24 της οκτάβας, δηλαδή το μισό του ημιτονίου. Το ίδιο ισχύει και στην βυζαντινή μουσική. Τοποθετούμε την απλή δίεση/ύφεση πάνω από τον χαρακτήρα: ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ R.W.Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers Dover Publications, New York, Eugene Isaacson, Herbert Bishop Keller. Analysis of Numerical Methods Dover Publications, New York, Francis J. Flanigan, Complex Variables, Harmonic and Analytic Functions Dover Publications, New York, R.W.Hamming, Digital Filters Dover Publications, New York, Steve Smith, The Scientist and Engineer's guide to Digital Signal Processing California Technical Publishing, Richard A. Silverman. Introductory Complex Analysis. Dover Publications, New York, Alan V. Oppenheim, Discrete-Time Signal Processing, Pearson Education Publishing, Εικόνα 7.4. Βυζαντινή σημειογραφία με απλά σύμβολα Τα σύμβολα που εισάγουμε, ικανοποιούν όλες τις παραπάνω βασικές συνθήκες. Στο MIDI ορίζονται δύο επεκτάσεις: Η μία τοποθετείται στην αρχή του κάθε track σαν μύνημα Meta-Data και δείχνει το μέγεθος της απλής δίεσης/ύφεσης, και μπορεί να υπάρχει και σε οποιοδήποτε άλλο σημείο του προγράμματος. (Εαν δεν υπάρχει, τότε θεωρείται η προεπιλογή q = 1/12) H άλλη επέκταση, τοποθετείται πριν από την κάθε νότα σαν μήνυμα MIDI controller και ορίζει ότι η επόμενη νότα θα έχει απλές διέσεις ή υφέσεις. Τι θα συμβεί αν το αρχείο midi το διαβάσουν προγράμματα που δεν υποστηρίζουν αυτές τις επεκτάσεις? Θα της αγνοήσουν και το αρχείο midi θα εκτελεστεί χωρίς οι νότες να παίρνουν τις απλές διέσεις/υφέσεις τους.
Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a
Διαβάστε περισσότεραΧόρδισμα Οργάνων με την μέθοδο των Zero Crossings
ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Συνέδριο Μαρτίου Απριλίου 00 Χόρδισμα Οργάνων με την μέθοδο των Zero Crossings f( x) = sin( x )+sin( x) 8 nzc * SR f = N + i t F( ω) = f () t e ω dt -10-5 5 10 - - - f X = klog (
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011
Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότεραOther Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραSection 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραLecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all
Διαβάστε περισσότεραRight Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door
Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents
Διαβάστε περισσότεραPARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities
PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot
Διαβάστε περισσότεραDESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.
DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec
Διαβάστε περισσότεραBlock Ciphers Modes. Ramki Thurimella
Block Ciphers Modes Ramki Thurimella Only Encryption I.e. messages could be modified Should not assume that nonsensical messages do no harm Always must be combined with authentication 2 Padding Must be
Διαβάστε περισσότερα[1] P Q. Fig. 3.1
1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One
Διαβάστε περισσότεραEvery set of first-order formulas is equivalent to an independent set
Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent
Διαβάστε περισσότεραω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω
0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο
Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Procedures and Functions Stored procedures and functions are named blocks of code that enable you to group and organize a series of SQL and PL/SQL
Διαβάστε περισσότεραMath221: HW# 1 solutions
Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Μάθηση Hypothesis Testing
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότερα6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.
6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2
Διαβάστε περισσότεραSection 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
Διαβάστε περισσότεραAssalamu `alaikum wr. wb.
LUMP SUM Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. LUMP SUM Lump sum lump sum lump sum. lump sum fixed price lump sum lump
Διαβάστε περισσότεραΑπόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.
Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action
Διαβάστε περισσότεραConcrete Mathematics Exercises from 30 September 2016
Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)
Διαβάστε περισσότεραFourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics
Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότεραExample of the Baum-Welch Algorithm
Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)
Διαβάστε περισσότερα6.003: Signals and Systems. Modulation
6.003: Signals and Systems Modulation May 6, 200 Communications Systems Signals are not always well matched to the media through which we wish to transmit them. signal audio video internet applications
Διαβάστε περισσότεραSampling Basics (1B) Young Won Lim 9/21/13
Sampling Basics (1B) Copyright (c) 2009-2013 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006
ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση
Διαβάστε περισσότεραMath 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
Διαβάστε περισσότεραDémographie spatiale/spatial Demography
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Démographie spatiale/spatial Demography Session 1: Introduction to spatial demography Basic concepts Michail Agorastakis Department of Planning & Regional Development Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότεραInstruction Execution Times
1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables
Διαβάστε περισσότεραSecond Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
Διαβάστε περισσότεραTMA4115 Matematikk 3
TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet
Διαβάστε περισσότεραSrednicki Chapter 55
Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third
Διαβάστε περισσότεραStrain gauge and rosettes
Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified
Διαβάστε περισσότεραLecture 2. Soundness and completeness of propositional logic
Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτικές λειτουργίες
2 Συντακτικές λειτουργίες (Syntactic functions) A. Πτώσεις και συντακτικές λειτουργίες (Cases and syntactic functions) The subject can be identified by asking ποιος (who) or τι (what) the sentence is about.
Διαβάστε περισσότεραSCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018
Journal of rogressive Research in Mathematics(JRM) ISSN: 2395-028 SCITECH Volume 3, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION ublished online: March 29, 208 Journal of rogressive Research in Mathematics www.scitecresearch.com/journals
Διαβάστε περισσότεραSecond Order RLC Filters
ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor
Διαβάστε περισσότεραJesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013
Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering
Διαβάστε περισσότεραThe challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS
CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότερα(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)
Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT -
ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT - Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ
Διαβάστε περισσότεραPhysical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.
B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs
Διαβάστε περισσότεραPractice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Διαβάστε περισσότεραNowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραAdvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response
Write your name here Surname Other names Edexcel GE entre Number andidate Number Greek dvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Thursday 16 May 2013 Morning Time: 2 hours 45 minutes
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΔιπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ:ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων
Διαβάστε περισσότερα6.3 Forecasting ARMA processes
122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear
Διαβάστε περισσότεραCRASH COURSE IN PRECALCULUS
CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter
Διαβάστε περισσότεραBayesian statistics. DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science.
Bayesian statistics DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science http://www.cims.nyu.edu/~cfgranda/pages/dsga1002_fall17 Carlos Fernandez-Granda Frequentist vs Bayesian statistics In frequentist
Διαβάστε περισσότεραEcon 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1
Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test
Διαβάστε περισσότεραΚάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author.
Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author. 2012, Γεράσιμος Χρ. Σιάσος / Gerasimos Siasos, All rights reserved. Στοιχεία επικοινωνίας συγγραφέα / Author
Διαβάστε περισσότεραΑναερόβια Φυσική Κατάσταση
Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Γιάννης Κουτεντάκης, BSc, MA. PhD Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Περιεχόµενο Μαθήµατος Ορισµός της αναερόβιας φυσικής κατάστασης Σχέσης µε µηχανισµούς παραγωγής
Διαβάστε περισσότεραCalculating the propagation delay of coaxial cable
Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric
Διαβάστε περισσότεραCapacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference
Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal
Διαβάστε περισσότερα5.4 The Poisson Distribution.
The worst thing you can do about a situation is nothing. Sr. O Shea Jackson 5.4 The Poisson Distribution. Description of the Poisson Distribution Discrete probability distribution. The random variable
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραΜουσική σκηνή ως αντικείμενο στο χώρο και τμήμα οπτικοακουστικής παράστασης
Μουσική σκηνή ως αντικείμενο στο χώρο και τμήμα οπτικοακουστικής παράστασης Διπλωματική εργασία -Θανάσης Βούτσας - Θεόδωρος Καλαντζάκος Institutional Repository - Library & Information Επιβλέπων Centre
Διαβάστε περισσότεραCongruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2
International Journal of Algebra, Vol. 8, 24, no. 5, 239-246 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com http://dx.doi.org/.2988/ija.24.422 Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2 Ligong An and
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΣΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ-ΣΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ
Διαβάστε περισσότεραdepartment listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι
She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee
Διαβάστε περισσότεραPartial Trace and Partial Transpose
Partial Trace and Partial Transpose by José Luis Gómez-Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/ jose.luis.gomez@itesm.mx This document is based on suggestions by Anirban Das Introduction This
Διαβάστε περισσότεραSection 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016
Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της
Διαβάστε περισσότεραF-TF Sum and Difference angle
F-TF Sum and Difference angle formulas Alignments to Content Standards: F-TF.C.9 Task In this task, you will show how all of the sum and difference angle formulas can be derived from a single formula when
Διαβάστε περισσότεραStatistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
Διαβάστε περισσότεραΣύστημα ψηφιακής επεξεργασίας ακουστικών σημάτων με χρήση προγραμματιζόμενων διατάξεων πυλών. Πτυχιακή Εργασία. Φοιτητής: ΤΣΟΥΛΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ
Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας ακουστικών σημάτων με χρήση προγραμματιζόμενων διατάξεων πυλών. Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής:
Διαβάστε περισσότεραSpace-Time Symmetries
Chapter Space-Time Symmetries In classical fiel theory any continuous symmetry of the action generates a conserve current by Noether's proceure. If the Lagrangian is not invariant but only shifts by a
Διαβάστε περισσότεραΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ
Διαβάστε περισσότεραStudy of In-vehicle Sound Field Creation by Simultaneous Equation Method
Study of In-vehicle Sound Field Creation by Simultaneous Equation Method Kensaku FUJII Isao WAKABAYASI Tadashi UJINO Shigeki KATO Abstract FUJITSU TEN Limited has developed "TOYOTA remium Sound System"
Διαβάστε περισσότεραΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης
Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής
Διαβάστε περισσότεραECE 468: Digital Image Processing. Lecture 8
ECE 468: Digital Image Processing Lecture 8 Prof. Sinisa Todorovic sinisa@eecs.oregonstate.edu 1 Image Reconstruction from Projections X-ray computed tomography: X-raying an object from different directions
Διαβάστε περισσότερα