Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης"

Transcript

1 Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης

2

3 Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση Συνέχεια Η Σχετική Τοπολογία και η Τοπολογία Γινόµενο Συνεκτικότητα Η Τοπολογία Πηλίκο Χώροι Hausdorff Κανονικοί Χώροι Φυσιολογικοί Χώροι Το Λήµµα του Urysohn και το Θεώρηµα Επέκτασης του Tietze Συνθήκες Αριθµησιµότητας Μετρικοποιησιµότητα Συµπαγείς Χώροι Τοπικά Συµπαγείς Χώροι 44 1ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 46 2ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 48 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 49 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 50 5ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 51 3

4 Ορισµός. 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις (1) Ενας τοπολογικός χώρος είναι ένα Ϲευγάρι (X, T ), όπου X είναι ένα σύνολο και T µια οικογένεια υποσυνόλων του X τέτοια ώστε: (α ), X T. (ϐ ) Η T είναι κλειστή ως προς τις (αυθαίρετες) ενώσεις. ηλαδή αν G i T, i I, τότε G i T. i I (γ ) Η T είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές. ηλαδή αν U, V T, τότε U V T. Η T ονοµάζεται τοπολογία και τα στοιχεία της ανοιχτά σύνολα. (2) Αν T 1, T 2 είναι δυο τοπολογίες σε κάποιο σύνολο και T 1 T 2, τότε λέµε ότι η T 2 είναι µεγαλύτερη ή ισχυρότερη από την T 1. (3) Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και x X. Κάθε U T µε x U λέγεται περιοχή του x. Παράδειγµα. Εστω (X,ρ) µετρικός χώρος και D(x, r)={y X:ρ(x, y)<r} ο ανοιχτός δίσκος µε κέντρο x και ακτίνα r. Η οικογένεια T ρ ={G X:Για κάθε x G υπάρχει r τέτοιο ώστε D(x, r) G}={G X: G ανοιχτό ως προς τηνρ} είναι µια τοπολογία στο X. Λέµε ότι η T ρ επάγεται από την µετρική. Ορισµός. Ενας τοπολογικός χώρος (X, T ) λέγεται µετρικοποιήσιµος αν υπάρχει µετρική ρ στο X τέτοια ώστε T = T ρ (δηλαδή αν η τοπολογία επάγεται από µετρική). Παράδειγµα (Η τετριµµένη τοπολογία). Εστω X ένα σύνολο. Η οικογένεια T ={, X} είναι µια τοπολογία. Η T είναι η µικρότερη τοπολογία που µπορεί να έχει το X. Αν το X έχει περισσότερα από ένα στοιχεία, η T δεν είναι µετρικοποίησιµη. Πράγµατι, ας υποθέσουµε ότι T = T ρ για κάποια µετρικήρ. Επιλέγουµε a, b X µε a bκαι 0<r<ρ(a, b). Τότε ο δίσκος D(a, r) είναι σύνολο ανοιχτό, µη κενό και διαφορετικό από το X, άτοπο. Παράδειγµα (Η διακριτή τοπολογία). Εστω X ένα σύνολο. Η οικογένεια T = P(X) (όλα τα υποσύνολα του X) είναι µια τοπολογία. Η T είναι η µεγαλύτερη τοπολογία που µπορεί να έχει το X και επάγεται από τη διακριτή µετρική 0, αν x=y ρ(x, y)= 1, αν x y. Παράδειγµα (Η συµπεπερασµένη τοπολογία). Εστω X ένα σύνολο. Η οικογένεια T ={G X:X G πεπερασµένο} { } είναι µια τοπολογία στο X. Αν το X είναι πεπερασµένο, τότε η T είναι η διακριτή τοπολογία. Αν το X είναι άπειρο τότε η T δεν είναι µετρικοποιήσιµη διότι κάθε δυο µη κενά ανοιχτά σύνολα τέµνονται (σε ένα µετρικό χώρο µε δυο τουλάχιστο σηµεία µπορούµε πάντα να ϐρούµε δυο µη κενά ξένα ανοιχτά σύνολα). Ορισµός. Εστω (X, T ) ένας τοπολογικός χώρος και B T. Η B λέγεται ϐάση για την T αν κάθε ανοιχτό σύνολο είναι ένωση συνόλων της B, δηλαδή για κάθε G T υπάρχουν B i B, i I, τέτοια ώστε G= B i. i I Θεώρηµα. (1) Εστω (X, T ) ένας τοπολογικός χώρος και B T. Η B είναι ϐάση για την T αν και µόνο αν για κάθε G T και κάθε x G υπάρχει B Bτέτοιο ώστε x B G. (2) Εστω (X, T ) ένας τοπολογικός χώρος και B T µια ϐάση για την T. Ενα σύνολο G Xείναι ανοιχτό αν και µόνο αν για κάθε x G υπάρχει B Bτέτοιο ώστε x B G. Απόδειξη. (1) ( ) Εστω G Xανοιχτό και x G. Αφού η B είναι ϐάση υπάρχουν B i B, i I, τέτοια ώστε G= B i. Εποµένως υπάρχει i 0 I τέτοιο ώστε x B i0 G. i I ( ) Εστω G X ανοιχτό. Από υπόθεση, για κάθε x G υπάρχει B x B τέτοιο ώστε x B x G. Εποµένως G= B x, δηλαδή το G είναι ένωση συνόλων της B. x G (2) ( ) Ακριβώς όπως το ( ) του (1). ( ) Εστω G Xένα σύνολο που ικανοποιεί την υπόθεση. Τότε για κάθε x G υπάρχει B x B 4

5 τέτοιο ώστε x B x G. Άρα G= B x. Εποµένως το G είναι ανοιχτό σαν ένωση ανοιχτών συνόλων. x G (1) Σε κάθε τοπολογικό χώρο η ίδια η τοπολογία είναι µια ϐάση για την τοπολογία. (2) Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Οι οικογένειες {D(x, r) : x X, r>0}, {D(x, 1/n) : x X, n Æ} είναι ϐάσεις για την T ρ. (3) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία (αυτήν που επάγει η συνηθισµένη µετρική), οι οικογένειες {(a, b) : a, b Ê, a<b}, {(p, q) : p, q É, p<q} είναι ϐάσεις (όλα τα ανοιχτά διαστήµατα και όλα τα ανοιχτά διαστήµατα µε ϱητά άκρα). (4) Σ ένα διακριτό τοπολογικό χώρο X (δεν ϑα γράφουµε (X, T ) όταν η τοπολογία εννοείται ή όταν δεν υπάρχει περίπτωση να την µπερδέψουµε µε κάποια άλλη), η οικογένεια{{x} : x X} (όλα τα µονοσύνολα) είναι µια ϐάση. Θεώρηµα. Εστω X ένα σύνολο και B µια οικογένεια υποσυνόλων του X. Η B είναι ϐάση για κάποια τοπολογία στο X αν και µόνο αν: (1) B= X. B B (2) Για κάθε B 1, B 2 B και κάθε x B 1 B 2 υπάρχει B 3 B τέτοιο ώστε x B 3 B 1 B 2. B 1 B 2 B 3 x Απόδειξη. ( ) Εστω ότι η B είναι ϐάση για κάποια τοπολογία. Το X είναι ανοιχτό άρα υπάρχουν B i B, i I, τέτοια ώστε X= B i, εποµένως X= B. Τώρα, έστω B 1, B 2 B και x B 1 B 2. Το B 1 B 2 είναι ανοιχτό, άρα, i I B B από το προηγούµενο ϑεώρηµα, υπάρχει B 3 B τέτοιο ώστε x B 3 B 1 B 2. ( ) Θέτουµε T ={G X : Για κάθε x G υπάρχει B B τέτοιο ώστε x B G}. Τότε η T είναι µια τοπολογία η οποία έχει ϐάση την B. Πράγµατι, είναι προφανές ότι T και ότι η T είναι κλειστή ως προς τις ενώσεις. Το ότι X T συνεπάγεται από το (1). Το ότι η T είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές συνεπάγεται από το (2). Τέλος, το ότι η B είναι ϐάση προκύπτει από το ότι B T και το προηγούµενο ϑεώρηµα. Παρατήρηση. Μια οικογένεια υποσυνόλων η οποία είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές ικανοποιεί αυτοµάτως τη δεύτερη συνθήκη στο προηγούµενο ϑεώρηµα (για B 3 παίρνουµε το ίδιο το B 1 B 2 ). Εποµένως για να ελέγξουµε αν είναι ϐάση αρκεί να δείξουµε ότι ικανοποιεί µόνο την πρώτη. Το αντίστρο- ϕο, ϕυσικά, δεν ισχύει. Μια ϐάση δεν είναι κατ ανάγκη κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές. Για παράδειγµα, στοê2, η τοµή δυο ανοιχτών δίσκων δεν είναι ποτέ δίσκος (εκτός κι αν ο ένας περιέχεται στον άλλο). Παράδειγµα. ΣτοÊηοικογένεια {(, a) : a Ê} {(b,+ ) : b Ê} ικανοποιεί την πρώτη αλλά όχι τη δεύτερη συνθήκη του προηγούµενου ϑεωρήµατος, άρα δεν είναι ϐάση για καµία τοπολογία. 5

6 Παράδειγµα (Η τοπολογία των αριστερά ηµιάνοικτων διαστηµάτων). ΣτοÊηοικογένεια {(a, b] : a, b Ê, a<b} ικανοποιεί τις δυο συνθήκες του προηγούµενου ϑεωρήµατος, άρα είναι ϐάση για κάποια τοπολογία T. Η T είναι γνήσια ισχυρότερη από τη συνηθισµένη τοπολογία T ρ. Πράγµατι για κάθε ανοιχτό διάστηµα έχουµε ( (a, b)= a, b 1 ] T. n n=1 ηλαδή όλα τα ανοιχτά διαστήµατα ανήκουν στην T. Αλλά κάθε ανοιχτό σύνολο ως προς τη συνηθισµένη τοπολογία είναι ένωση ανοιχτών διαστηµάτων. Άρα T ρ T. Απ την άλλη, (a, b] T ρ, εποµένως T ρ T. Θεώρηµα. Εστω X ένα σύνολο και C µια αυθαίρετη οικογένεια υποσυνόλων του X. Τότε η οικογένεια n B C = C k : C k C,,..., n, n Æ {X} (όλες οι πεπερασµένες τοµές συνόλων της C ) είναι ϐάση για µια τοπολογία στο X. Η τοπολογία αυτή συµβολίζεται µετ (C ) και είναι η µικρότερη τοπολογία η οποία περιέχει την C. Η C ονοµάζεται υποβάση τηςτ (C ) και λέµε ότι η C παράγει τηντ (C ). Απόδειξη. Αφού X B C, η B C προφανώς ικανοποιεί την πρώτη συνθήκη του προηγούµενου ϑεωρήµατος. Επίσης, η B C είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές, άρα ικανοποιεί και τη δεύτερη συνθήκη. Εποµένως είναι ϐάση για κάποια τοπολογίατ (C ). Εστω τώρα T µια άλλη τοπολογία στο X τέτοια ώστε C T. Κάθε σύνολο της B C είναι πεπερασµένη τοµή συνόλων της C. Αφού η T είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές, έχουµε ότι B C T. Τώρα, κάθε σύνολο τηςτ (C ) είναι ένωση συνόλων της B C. Εποµένωςτ (C ) T διότι η T είναι κλειστή ως προς τις ενώσεις. Συνεπώς ητ (C ) είναι η µικρότερη τοπολογία που περιέχει την C. Παρατηρήσεις. (1) Η τ (C ) αποτελείται από όλες τις δυνατές ενώσεις όλων των δυνατών πεπερασµένων τοµών συνόλων της C. (2) Αν το X έχει ήδη κάποια τοπολογία T µε ϐάση B, τότετ (B)=τ (T )=T. (3) Μια δεδοµένη οικογένεια C µπορεί να µην είναι ϐάση για κάποια τοπολογία. Είναι όµως πάντα υποβάση τηςτ (C ). Με αυτή την έννοια, κάθε οικογένεια υποσυνόλων «παράγει µια τοπολογία». Παράδειγµα. ΣτοÊ, η οικογένεια {(, a) : a Ê} {(b,+ ) : b Ê} παράγει τη συνηθισµένη τοπολογία (αλλά δεν είναι ϐάση της). Οµοίως, η οικογένεια {(, a] : a Ê} {(b,+ ) : b Ê} παράγει την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοικτων διαστηµάτων (αλλά δεν είναι ϐάση της). Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος και x X. Μια οικογένεια B από ανοιχτά σύνολα λέγεται ϐάση περιοχών του x, αν: (1) Για κάθε B Bέχουµε x B. (2) Για κάθε περιοχή U του x υπάρχει B Bτέτοιο ώστε B U. (1) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία η οικογένεια{(x 1/n, x+1/n) : n Æ} είναι µια ϐάση περιοχών του x. (2) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων η οικογένεια{(x 1/n, x] : n Æ} είναι µια ϐάση περιοχών του x. Η οικογένεια του προηγούµενου παραδείγµατος δεν είναι ϐάση περιοχών κανενός σηµείου διότι, για παράδειγµα, στο διάστηµα (, x], το οποίο είναι περιοχή του x, δεν περιέχεται ανοιχτό διάστηµα µε κέντρο το x. 6

7 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό Ορισµός. Ενα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου λέγεται κλειστό αν το συµπλήρωµά του είναι ανοιχτό. Παρατήρηση. Η οικογένεια των κλειστών συνόλων είναι κλειστή ως προς τις (αυθαίρετες) τοµές και τις πεπερασµένες ενώσεις. (1) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία, το (a, b] δεν είναι ούτε ανοιχτό ούτε κλειστό, το είναι κλειστό, όχι ανοιχτό, και το{1/n : n Æ} δεν είναι ούτε ανοιχτό ούτε κλειστό. (2) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων, το (a, b] είναι ανοιχτό και κλειστό, και τα,{1/n : n Æ} είναι κλειστά, όχι ανοιχτά. (3) Σ ένα διακριτό χώρο, όλα τα σύνολα είναι ανοιχτά και κλειστά. (4) Σ χώρο µε τη συµπεπερασµένη τοπολογία ένα σύνολο είναι κλειστό αν και µόνο αν είναι πεπερασµένο ή κενό ή ολόκληρος ο χώρος. Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Η κλειστότητα του A ορίζεται να είναι A=cl A= F. Τα σηµεία του A λέγονται οριακά σηµεία του A. Παρατηρήσεις. F κλειστό A F (1) Το A είναι το µικρότερο κλειστό υπερσύνολο του A και είναι, ϕυσικά, µη κενό αν το A είναι µη κενό. (2) Το A είναι κλειστό αν και µόνο αν A = A. (1) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων, (a, b)=(a, b]. (2) Στοʵε την συµπεπερασµένη τοπολογία, =Ê. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος, A X, και x X. Τότε x A αν και µόνο αν για κάθε περιοχή U του x έχουµε U A, δηλαδή το x είναι οριακό σηµείο του A αν και µόνο αν κάθε περιοχή του x τέµνει το A. Απόδειξη. ( ) Εστω x Aκαι υποθέτουµε ότι υπάρχει περιοχή U του x τέτοια ώστε U A=. Τότε το X U είναι κλειστό και A X U. Άρα A X U. Ιδιαίτερα, x U, άτοπο. ( ) Εστω ότι κάθε περιοχή του x τέµνει το A και ας υποθέσουµε ότι x A. Τότε το X A είναι περιοχή του x. Άρα A (X A), άτοπο διότι A A. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και A, B X. Τότε: Απόδειξη. (1) A B A B. (2) (A B)=A B. (3) (A B) A B. (1) Το B είναι κλειστό και περιέχει το A, άρα A B. (2) Το A B είναι κλειστό και περιέχει το A B, άρα (A B) A B. Απ την άλλη, το (1) δίνει A (A B) και B (A B). Εποµένως (A B) A B. (3) Από το (1) έχουµε (A B) A και (A B) B. Άρα (A B) A B. Παρατηρήσεις. (1) Το (2) στο προηγούµενο ϑεώρηµα, γενικά, δεν ισχύει για άπειρες ενώσεις. Για παράδειγµα στοê µε τη συνηθισµένη τοπολογία {x}=(0, 1)=[0, 1] (0, 1)= {x}. 0<x<1 0<x<1 7

8 (2) Στο (3) του προηγούµενου ϑωρήµατος, δεν έχουµε γενικά ισότητα: στοêµε τη συνηθισµένη τοπολογία (0, 1) (1, 2)= {1}=(0, 1) (1, 2). Ορισµός. Ενα υποσύνολο A ενός τοπολογικού χώρου X λέγεται πυκνό αν A = X. Παράδειγµα. ΤοÉείναι πυκνό στοêως προς τη συνηθισµένη τοπολογία και την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων. Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Το εσωτερικό του A ορίζεται να είναι A = int A= G. Τα σηµεία του A λέγονται εσωτερικά σηµεία του A. Παρατηρήσεις. G ανοιχτό G A (1) Το A είναι το µεγαλύτερο ανοιχτό υποσύνολο του A και µπορεί να είναι κενό για µη κενό A. (2) Το A είναι ανοιχτό αν και µόνο αν A=A, δηλαδή αν όλα τα σηµεία του είναι εσωτερικά. (3) Ενα x Xείναι εσωτερικό σηµείο του A αν και µόνο αν υπάρχει περιοχή U του x τέτοια ώστε U A. (1) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων, [a, b] = (a, b]. (2) Στοʵε την συµπεπερασµένη τοπολογία, [a, b] =. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και A, B X. Τότε: Απόδειξη. (1) A B A B. (2) (A B) = A B. (3) (A B) A B. (1) Το A είναι ανοιχτό υποσύνολο του B, άρα A B. (2) Το A B είναι ανοιχτό υποσύνολο του A B, άρα A B (A B). Επίσης, από (1), (A B) A και (A B) B, εποµένως (A B) A B. (3) Το (1) δίνει A (A B) και B (A B). Άρα A B (A B). Παρατηρήσεις. (1) Το (2) στο προηγούµενο ϑεώρηµα, γενικά, δεν ισχύει για άπειρες τοµές. Για παράδειγµα στοê µε τη συνηθισµένη τοπολογία ( x, x) ={0} = {0}= ( x, x). x>0 (2) Στο (3) του προηγούµενου ϑωρήµατος, δεν έχουµε γενικά ισότητα: στοêµε τη συνηθισµένη τοπολογία ([0, 1] [1, 2]) = (0, 2) (0, 1) (1, 2)=[0, 1] [1, 2]. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Τότε: (1) X A= X A. (2) (X A) = X A. Απόδειξη. (1) Το X A είναι κλειστό και περιέχει το X A, άρα X A X A. Εστω τώρα x A. Τότε για κάθε περιοχή U του x έχουµε U A, το οποίο σηµαίνει ότι U (X A). Άρα x X A, δηλαδή X A X A. (2) Εφαρµόζουµε το (1) µε το X A στη ϑέση του A και παίρνουµε συµπληρώµατα στη σχέση που προκύπτει. 8 x>0

9 Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος, A X, και x X. Το x λέγεται σηµείο συσσώρευσης του A αν για κάθε περιοχή U του x έχουµε A U {x}, δηλαδή αν κάθε περιοχή του x περιέχει σηµεία του A διαφορετικά από το x. Το σύνολο των σηµείων συσσώρευσης του A ονοµάζεται παράγωγο σύνολο του A και συµβολίζεται µε A. Ενα σηµείο του A το οποίο δεν είναι σηµείο συσσώρευσης λέγεται µεµονωµένο. Παρατήρηση. Προφανώς κάθε σηµείο συσσώρευσης ενός συνόλου είναι οριακό σηµείο. Το αντίστροφο ϕυσικά δεν ισχύει. Για παράδειγµα στοêµε τη συνηθισµένη τοπολογία, =. Παράδειγµα. Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων, το a δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του διαστήµατος [a, b], ενώ το b είναι (σε αντίθεση µε τη συνηθισµένη τοπολογία, στην οποία και τα δύο άκρα κάθε τύπου διαστήµατος είναι σηµεία συσσώρευσης). Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Τότε A=A A. Απόδειξη. Κάθε σηµείο συσσώρευσης είναι οριακό σηµείο, άρα A A A. Αντίστροφα, έστω x A. Αν x A τότε τελειώσαµε. Εστω λοιπόν ότι x A. Τότε για κάθε περιοχή U του x έχουµε ότι η τοµή U A είναι µη κενή (αφού το x είναι οριακό σηµείο) και δεν περιέχει το x (αφού x A). Εποµένως U A {x}=u A, το οποίο σηµαίνει ότι x A. 9

10 3. Σύγκλιση Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος, x n X, n Æ, µια ακολουθία, και x X. Λέµε ότι η x n συγκλίνει στο x και γράφουµε x n x, αν για κάθε περιοχή U του x, υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε x n U για κάθε n n 0. Παρατηρήσεις. (1) Σ ένα µετρικό χώρο, ο προηγούµενος ορισµός συµπίπτει µε τον γνωστό ορισµό της σύγκλισης. (2) Αν σ ένα σύνολο έχουµε δυο τοπολογίες, η µία ισχυρότερη της άλλης, τότε σύγκλιση ως προς την ισχυρή τοπολογία συνεπάγεται σύγκλιση ως προς την ασθενή τοπολογία. (3) Σ ένα γενικό τοπολογικό χώρο, µια ακολουθία µπορεί να συγκλίνει σε περισσότερα από ένα σηµεία. Για παράδειγµα, στοæµε την συµπεπερασµένη τοπολογία, η ακολουθία x n = n συγκλίνει σε κάθε ϕυσικό αριθµό. Πράγµατι, έστω U µια περιοχή οποιουδήποτε ϕυσικού αριθµού. Το σύνολοæ U είναι πεπερασµένο, άρα υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε{n 0, n 0 +1, n 0 +2,...} U. Εποµένως x n = n U για κάθε n n 0. (1) Σε κάθε τοπολογικό χώρο, µια τελικά σταθερή ακολουθία συγκλίνει (τελικά σταθερή σηµαίνει ότι υπάρχουν x και n 0 τέτοια ώστε x n = x για κάθε n n 0 ). (2) Σ ένα διακριτό χώρο, µια ακολουθία συγκλίνει αν και µόνο αν είναι τελικά σταθερή διότι τα µονοσύνολα είναι περιοχές. (3) Στον τετριµµένο τοπολογικό χώρο, κάθε ακολουθία συγκλίνει σε κάθε σηµείο διότι η µοναδική περιοχή οποιουδήποτε σηµείου είναι ολόκληρος ο χώρος. (4) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων η ακολουθία 1/n δεν συγκλίνει. Πράγµατι, αν συνέκλινε ϑα έπρεπε να συγκλίνει στο 0 διότι η τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων είναι ισχυρότερη της συνηθισµένης. Αλλά αυτό είναι αδύνατο αφού η ακολουθία αποφεύγει εξ ολοκλήρου την περιοχή (, 0]. Σ ένα γενικό τοπολογικό χώρο, οι ακολουθίες µπορεί να µην επαρκούν για να περιγράψουν µια σειρά από έννοιες για τις οποίες στην περίπτωση ενός µετρικού χώρου είναι διαθέσιµος ικανοποιητικός ακολου- ϑιακός χαρακτηρισµός. Για παράδειγµα, υπάρχει ένας τοπολογικός χώρος X, ένα σύνολο A X, και ένα x A, έτσι ώστε καµία ακολουθία σηµείων του A δεν συγκλίνει στο x (αν δεν γνωρίζετε ϑεωρία συνόλων αγνοήστε αυτήν την παρένθεση. Εστωω 1 ο πρώτος υπεραριθµήσιµος διατακτικός αριθµός. Στο σύνολο X= [0,ω 1 ] ϑεωρούµε την τοπολογία η οποία έχει για ϐάση όλα τα διαστήµατα της µορφής (ζ,ξ], όπου ζ<ξ ω 1 (µαζί µε το{0}). Θέτουµε A=[0,ω 1 ). Τότε A=X. Αλλά το supremum οποιασδήποτε ακολουθίας αριθµήσιµων διατακτικών αριθµών είναι αριθµήσιµος διατακτικός αριθµός, εποµένως δεν υπάρχει ακολουθία στο A η οποία να συγκλίνει στοω 1 ). Το πρόβληµα αυτό µπορεί να ξεπεραστεί γενικεύοντας την έννοια της ακολουθίας. Αυτό ϑα γίνει µέσω των παρακάτω ορισµών. Ορισµός. Ενα προδιατεταγµένο σύνολο είναι ένα Ϲευγάρι (Λ, ) όπουλείναι ένα σύνολο και µια διµελής σχέση στολτέτοια ώστε: λ λγια κάθελ Λ(αυτοπάθεια). Για κάθελ,µ,ν Λ, ανλ µκαιµ ντότελ ν(µεταβατικότητα). Æ Παράδειγµα. Στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών ορίζουµε z wαν και µόνο αν z w. Τότε το (, ) είναι προδιατεταγµένο. Ορισµός. Ενα κατευθυνόµενο σύνολο είναι ένα προδιατεταγµένο σύνολο (Λ, ) τέτοιο ώστε για κάθε λ 1,λ 2 Λ, υπάρχειλ 3 Λτέτοιο ώστελ 1 λ 3 καιλ 2 λ 3. (1) Το (Æ, ), όπου είναι η συνηθισµένη διάταξη, είναι κατευθυνόµενο σύνολο: αν για n 1, n 2 ϑέσουµε n 3 = max{n 1, n 2 } τότε n 1 n 3 και n 2 n 3. (2) Εστω X τοπολογικός χώρος, x Xκάποιο σηµείο, και B x µια ϐάση περιοχών του x. Τότε το (B x, ) είναι κατευθυνόµενο. Πράγµατι, αν B 1, B 2 B x τότε το B 1 B 2 είναι περιοχή του x, άρα υπάρχει B 3 B x τέτοιο ώστε B 3 B 1 B 2. ηλαδή B 3 B 1 και B 3 B 2. Ορισµός. Εστω X ένα σύνολο, και (Λ, ) ένα κατευθυνόµενο σύνολο. Μια συνάρτηση x :Λ Xλέγεται δίκτυο στο X. Γράφουµε x λ αντί x(λ) και ϕανταζόµαστε το x λ σαν τον «λ-οστό» όρο του δικτύου. Παρατηρήσεις. (1) Μια ακολουθία είναι ειδική περίπτωση δικτύου, όπου (Λ, )=(Æ, ). 10

11 (2) Σε µια ακολουθία x n οι δείκτες, δηλαδή οι ϕυσικοί αριθµοί, είναι συγκρίσιµοι: το x 4 είναι «µετά» το x 1 και «πριν» το x 10. x 1 x 4 x 10 Σε ένα δίκτυο x λ,λ Λ, το µόνο που ξέρουµε είναι ότι για κάθε δύο όρους x λ1, x λ2 υπάρχει κάποιος τρίτος όρος x λ3 ο οποίος είναι «µετά» από τους x λ1 και x λ2. Οι δείκτεςλ 1 καιλ 2 µπορεί, κάλλιστα, να µην είναι µεταξύ τους συγκρίσιµοι. Για παράδειγµα, αν πάρουµε (Λ, )=(P(Æ), ), τότε ο όρος x {1,3,5} είναι «πριν» τον όρο xæκαι «µετά» τους όρους x {3,5} και x {1}, αλλά ο x {1} δεν είναι ούτε «πριν» ούτε «µετά» τον x {3,5} xæ. x {1} x {1,3,5} x {3,5} (3) Σε ένα δίκτυο δεν έχει γενικά νόηµα να µιλήσουµε για τον «επόµενο» ή τον «προηγούµενο» ενός όρου. Για παράδειγµα, στο δίκτυο x q = sin q, q É, όπου τοéέχει τη συνηθισµένη διάταξη, κανένας όρος δεν έχει ούτε επόµενο, ούτε προηγούµενο, παρά το ότι όλοι οι δείκτες, δηλαδή οι ϱητοί αριθµοί, είναι µεταξύ τους συγκρίσιµοι. Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος, x λ X,λ Λ, ένα δίκτυο, και x X. Λέµε ότι το x λ συγκλίνει στο x και γράφουµε x λ x, αν για κάθε περιοχή U του x, υπάρχειλ 0 τέτοιο ώστε x λ U για κάθελ λ 0. Παρατηρήσεις. (1) Αν B x είναι µια ϐάση περιοχών του x, τότε x λ x αν και µόνο αν για κάθε U B x υπάρχειλ 0 τέτοιο ώστε x λ U για κάθελ λ 0. (2) Προσέξτε τη διαφορά ανάµεσα στον ορισµό της συγκλίνουσας ακολουθίας και του συγκλίνοντος δικτύου. Ο ακολουθιακός ορισµός είναι ισοδύναµος µε το ότι για κάθε περιοχή του x το πολύ πεπερασµένο πλήθος όρων της ακολουθίας ϐρίσκονται έξω από την περιοχή, διότι το σύνολο {n Æ:n<n 0 } είναι πεπερασµένο. Στην περίπτωση ενός δικτύου δεν µπορούµε, γενικά, να πούµε κάτι για το σύνολο{λ Λ:λ λ 0 }. Ετσι δεν αποκλείεται να έχουµε άπειρους όρους του δικτύου έξω από κάποια περιοχή του x. (1) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία, ϑεωρούµε το δίκτυο x r, r (το έχει τη συνηθισµένη διάταξη), όπου r, αν r 0 x r = 1/r, αν r>0. Τότε x r 0. Παρά ταύτα, άπειροι όροι του δικτύου ϐρίσκονται έξω από κάθε ϕραγµένη περιοχή του 0. Επίσης το δίκτυο αυτό, αν και συγκλίνει, δεν είναι ϕραγµένο. Αν τώρα, µε αυθαίρετο τρόπο, αναδιατάξουµε τους όρους του δικτύου ώστε να το γράψουµε σαν ακολουθία, δηλαδή {x r : r }={y n : n Æ}, τότε η y n δεν συγκλίνει γιατί δεν είναι ϕραγµένη. (2) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία, ϑεωρούµε το δίκτυο x a = a, a Ê(τοÊέχει τη συνηθισµένη διάταξη). Τότε το x a δεν συγκλίνει σε κανένα πραγµατικό αριθµό. Ως προς τη συµπεπερασµένη τοπολογία, το x a συγκλίνει σε κάθε πραγµατικό αριθµό. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος, A X, και x X. Τότε x Aαν και µόνο αν υπάρχει δίκτυο x λ A, λ Λ, τέτοιο ώστε x λ x. Απόδειξη. ( ) Εστω (N, ) η οικογένεια όλων των περιοχών του x µε σχέση διάταξης το αντίστροφο περιέχεσθαι, δηλαδή U V αν και µόνο αν U V. Το (N, ) είναι κατευθυνόµενο γιατί αν U και V είναι δυο περιοχές του x τότε η U V είναι περιοχή του x και U V U, U V V. Αφού x A, έχουµε ότι για κάθε U N υπάρχει x U A U. Τότε το δίκτυο x U, U N, συγκλίνει στο x. Πράγµατι αν W είναι τυχούσα περιοχή του x, τότε για κάθε U N µε U W έχουµε x U U W. 11

12 ( ) Εστω x λ A,λ Λ, ένα δίκτυο στο A τέτοιο ώστε x λ x. Θα δείξουµε ότι x A. Εστω λοιπόν U µια περιοχή του x. Τότε υπάρχειλ 0 Λτέτοιο ώστε x λ0 U. ηλαδή x λ0 A U, άρα U A, εποµένως x A. 12

13 4. Συνέχεια Ορισµός. Εστω X, Y τοπολογικοί χώροι, f : X Y µια συνάρτηση, και x X. Η f λέγεται συνεχής στο x αν για κάθε περιοχή V Y του f (x) υπάρχει περιοχή U X του x τέτοια ώστε f (U) V. Αν η f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του X τότε λέγεται συνεχής. Y X x f f (x) f (U) V U (1) Κάθε σταθερή συνάρτηση, ανάµεσα σε δυο τυχόντες τοπολογικούς χώρους, είναι συνεχής. (2) Κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού ένα διακριτό χώρο είναι συνεχής. Θεώρηµα. Εστω X, Y τοπολογικοί χώροι, f : X Y µια συνάρτηση, και x X. Η f είναι συνεχής στο x αν και µόνο αν για κάθε δίκτυο x λ X,λ Λ, µε x λ x, έχουµε f (x λ ) f (x). Απόδειξη. ( ) Εστω x λ X,λ Λ, ένα δίκτυο µε x λ x, και V µια περιοχή του f (x). Αφού η f είναι συνεχής στο x, υπάρχει περιοχή U του x τέτοια ώστε f (U) V. Αφού το x λ συγκλίνει στο x. Υπάρχειλ 0 Λ τέτοιο ώστε x λ U για κάθελ λ 0. Εποµένως f (x λ ) f (U) V για κάθελ λ 0. ( ) Εστω ότι η f δεν είναι συνεχής στο x. Τότε υπάρχει περιοχή V του f (x) τέτοια ώστε για κάθε περιοχή U του x έχουµε f (U) V. Εποµένως για κάθε περιοχή U του x υπάρχει x U U τέτοιο ώστε f (x U ) V. Εστω τώρα N η οικογένεια όλων των περιοχών του x διατεταγµένη µε τη σχέση του αντίστροφου περιέχεσθαι. Τότε το δίκτυο x U, U N, συγκλίνει στο x, άρα από υπόθεση f (x U ) f (x). Εποµένως υπάρχει U 0 N τέτοιο ώστε f (x U0 ) V, άτοπο. Θεώρηµα. Εστω f : X Y µια συνάρτηση ανάµεσα σε δυο τοπολογικούς χώρους. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα. Απόδειξη. (1) Η f είναι συνεχής. (2) Για κάθε G Y ανοιχτό, το f 1 (G) είναι ανοιχτό. (3) Για κάθε F Y κλειστό, το f 1 (F) είναι κλειστό. (4) Για κάθε A A, f ( A ) f (A). (1) (2) Αρκεί να δείξουµε ότι κάθε σηµείο του f 1 (G) είναι εσωτερικό. Εστω λοιπόν x f 1 (G). Τότε f (x) G, άρα το G είναι περιοχή του f (x), εποµένως υπάρχει περιοχή U του x τέτοια ώστε f (U) G, από το οποίο συνεπάγεται ότι U f 1 ( f (U)) f 1 (G). (2) (1) Εστω x Xκαι V µια περιοχή του f (x). Από υπόθεση, το U := f 1 (V) είναι ανοιχτό, άρα είναι περιοχή του x. Αλλά f (U)= f ( f 1 (V)) V. (2) (3) Εστω F Y κλειστό. Τότε το Y F είναι ανοιχτό, άρα από υπόθεση το f 1 (Y F)= X f 1 (F) είναι ανοιχτό, εποµένως το f 1 (F) είναι κλειστό. (3) (2) Τελείως ανάλογα µε το προηγούµενο. 13

14 (3) (4) Το f (A) είναι κλειστό άρα, από υπόθεση, το f 1( f (A) ) είναι κλειστό. Επίσης, A f 1( f (A) ). Εποµένως A f 1( f (A) ). Συνεπώς f ( A ) f ( f 1( f (A) )) f (A). (4) (3) Εστω F Y κλειστό. Από υπόθεση έχουµε f ( f 1 (F) ) f ( f 1 (F)) F = F. Εποµένως Παρατηρήσεις. f 1 (F) f 1 (F), άρα το f 1 (F) είναι κλειστό. (1) Η συνεπαγωγή (2) (1) εξακολουθεί να ισχύει αν αντί της αντίστροφης εικόνας κάθε ανοιχτού συνόλου, πάρουµε την αντίστροφη εικόνα κάθε συνόλου µιας ϐάσης για την τοπολογία του Y. (2) Η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής: x λ x f (x λ ) f (x) g( f (x λ )) g( f (x)). Παράδειγµα. Εστω T η τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων στοê. Θεωρούµε τις συναρτήσεις f, g : (Ê, T ) Ê(το πεδίο τιµών έχει τη συνηθισµένη τοπολογία), µε τύπους 0, αν x 0 0, αν x<0 f (x)= g(x)= 1, αν x>0 1, αν x 0. Τότε η f είναι συνεχής διότι η αντίστροφη εικόνα οποιουδήποτε συνόλου είναι το, ή τοê, ή το (0,+ ), ή το (, 0]. Ολα αυτά τα σύνολα είναι ανοιχτά. Η g δεν είναι συνεχής διότι η αντίστροφη εικόνα οποιουδήποτε ανοιχτού διαστήµατος περιέχει το 1 αλλά όχι το 0 είναι το µη ανοιχτό σύνολο [0, + ). Φυσικά, καµία από τις δυο συναρτήσεις δεν είναι συνεχής ως προς τη συνηθισµένη τοπολογία. Ορισµός. Εστω X, Y τοπολογικοί χώροι και f : X Y µια αντιστρέψιµη (1-1 και επί) συνάρτηση. Η f λέγεται οµοιοµορφισµός αν είναι συνεχής και έχει συνεχή αντίστροφη. Αν µεταξύ δυο τοπολογικών χώρων υπάρχει οµοιοµορφισµός, τότε οι χώροι λέγονται οµοιοµορφικοί. Θεώρηµα. Εστω f : X Y µια αντιστρέψιµη συνάρτηση ανάµεσα σε δυο τοπολογικούς χώρους. Τα ακόλου- ϑα είναι ισοδύναµα. (1) Η f είναι οµοιοµορφισµός. (2) Η f είναι συνεχής και για κάθε G X ανοιχτό, το f (G) είναι ανοιχτό. (3) Η f είναι συνεχής και για κάθε F X κλειστό, το f (F) είναι κλειστό. (4) Για κάθε A X, f ( A ) = f (A). Απόδειξη. (1) (2) Η f 1 : Y X είναι συνεχής αν και µόνο για κάθε G Xανοιχτό, το ( f 1 ) 1 (G)= f (G) είναι ανοιχτό. (2) (3) Εστω F X κλειστό. Τότε το X F είναι ανοιχτό, άρα από υπόθεση το f (X F)=Y f (F) είναι ανοιχτό, εποµένως το f (F) είναι κλειστό. (3) (2) Τελείως ανάλογα µε το προηγούµενο. (3) (4) Από υπόθεση το f ( A ) είναι κλειστό. Επίσης f (A) f ( A ). Άρα f (A) f ( A ). Αλλά η f είναι συνεχής, εποµένως, από το προηγούµενο ϑεώρηµα, f (A) f ( A ). Συνεπώς f (A)= f ( A ) (4) (3) Εστω F X κλειστό. Τότε f (F)= f ( F ) = f (F). Άρα το f (F) είναι κλειστό. Επίσης, f ( A ) f (A) για κάθε A X, άρα η f είναι συνεχής από το προηγούµενο ϑεώρηµα. (1) υο αριθµήσιµοι διακριτοί χώροι είναι οµοιοµορφικοί. (2) ΣτοÊ, η τοπολογία T των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων δεν είναι οµοιοµορφική µε την συνηθισµένη τοπολογία. Πράγµατι, αν υπήρχε οµοιοµορφισµός f : (Ê, T ) Êτότε το f ((a, b]) ϑα ήταν µη κενό, διαφορετικό από τοê, ανοιχτό και κλειστό (ως προς τη συνηθισµένη τοπολογία). Αυτό είναι άτοπο. Παρατήρηση. Μια ιδιότητα λέγεται τοπολογική αν διατηρείται από κάθε οµοιοµορφισµό. Ετσι δυο οµοιο- µορφικοί χώροι έχουν τις ίδιες τοπολογικές ιδιότητες, και εποµένως από αυτή την άποψη τους ταυτίζουµε. 14

15 5. Η Σχετική Τοπολογία και η Τοπολογία Γινόµενο Ορισµός. Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και Y X. Η οικογένεια T Y ={G Y : G T}είναι προφανώς µια τοπολογία στο Y. Η T Y ονοµάζεται σχετική τοπολογία του Y (ως προς την T ). X Y G Y G Τα σύνολα της T Y ϑα τα λέµε ανοιχτά στο Y. Οµοίως και µε τις άλλες τοπολογικές έννοιες. Για παράδειγµα, ϑα µιλάµε για την κλειστότητα ενός συνόλου A Y ως προς τη σχετική τοπολογία και ϑα γράφουµε cl Y (A), κ.τ.λ. Οταν λέµε απλώς «ανοιχτό», «κλειστό», κ.τ.λ. χωρίς κάποιον άλλο προσδιορισµό, ϑα εννοούµε ως προς την τοπολογία ολόκληρου του X. Παρατηρήσεις. (1) Θα έλεγε κανείς ότι ο λογικότερος τρόπος να ορίσει κανείς µια τοπολογία στο Y είναι να ϑεωρήσει την οικογένεια{g T : G Y}. Το πρόβληµα είναι ότι αν το Y δεν είναι ανοιχτό τότε η οικογένεια αυτή δεν είναι τοπολογία. Μάλιστα είναι δυνατό να αποτελείται µόνο από το κενό σύνολο. (2) Η σχετική τοπολογία είναι η µικρότερη τοπολογία στο Y ως προς την οποία η ταυτοτική απεικόνιση ϕ : Y X,ϕ(y)=y, είναι συνεχής. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η σχετική τοπολογία ορίστηκε µε τον τρόπο που ορίστηκε. Η συνέχεια τηςϕείναι η ϕυσιολογικότερη απαίτηση που µπορεί να έχει κανείς από µια τοπολογία στο Y η οποία είναι «συµβατή» µε την τοπολογία ολόκληρου του X. (1) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία ϑέτουµε Y = [0, 1] {2}. Τότε τα σύνολα [0, 1/2) και{2} είναι ανοιχτά στο Y (αλλά όχι σ ολόκληρο τοê). (2) ΣτοÊ2 µε τη συνηθισµένη τοπολογία ϑέτουµε Y=Ê {0}. Τότε το σύνολο (0, 1) {0} είναι ανοιχτό στο Y. Παρατηρήστε ότι κανένα υποσύνολο του Y δεν είναι ανοιχτό στοê2 (το Y είναι µια ευθεία γραµµή). Το σηµείο{(0, 0)} δεν ανοιχτό στο Y διότι κανένας ανοιχτός δίσκος δεν µπορεί να τέµνει µια ευθεία σ ένα µονοσύνολο. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και Y X. Τότε: Απόδειξη. (1) Αν B είναι µια ϐάση (αντίστοιχα υποβάση) για την τοπολογία του X τότε η οικογένεια{b Y : B B} είναι µια ϐάση (αντίστοιχα υποβάση) για τη σχετική τοπολογία του Y. (2) Ενα σύνολο A Yείναι κλειστό στο Y αν και µόνο αν υπάρχει F X κλειστό τέτοιο ώστε A=F Y. (3) Αν το Y είναι ανοιχτό (αντίστοιχα κλειστό), τότε ένα σύνολο A Y είναι ανοιχτό (αντίστοιχα κλειστό) στο Y αν και µόνο είναι ανοιχτό (αντίστοιχα κλειστό). (4) Εστω y λ Y ένα δίκτυο στο Y, και y Y. Τότε y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία, αν και µόνο αν y λ y. (5) Αν A Y, τότε cl Y (A)=Y cl (A) και int Y (A) Y int (A). (6) Αν Z είναι κάποιος άλλος τοπολογικός χώρος και f : X Z µια συνεχής συνάρτηση, τότε ο περιορισµός f Y : Y Z είναι συνεχής. (1) Εστω A Y ανοιχτό στο Y. Τότε υπάρχει G Xανοιχτό τέτοιο ώστε A=G Y. Αφού η B είναι ϐάση υπάρχουν B i B, i I, τέτοια ώστε G= i I B i. Αλλά τότε A= i I B i Y. Οµοίως για την υποβάση. (2) Αν το A είναι κλειστό στο Y τότε το Y A είναι ανοιχτό στο Y, άρα υπάρχει G Xανοιχτό τέτοιο ώστε Y A=G Y, εποµένως A=(X G) Y µε X G κλειστό. Αντίστροφα, αν A= F Y για κάποιο F κλειστό, τότε Y A=(X F) Y µε X F ανοιχτό. Άρα το Y A είναι ανοιχτό στο Y, εποµένως το A είναι κλειστό στο Y. 15

16 (3) Εστω ότι το Y είναι ανοιχτό. Αν τώρα το A είναι ανοιχτό στο Y τότε A=G Y για κάποιο G ανοιχτό. Άρα και το A είναι ανοιχτό ως τοµή δυο ανοιχτών συνόλων. Αντίστροφα, αν το A είναι ανοιχτό τότε γράφουµε A = A Y και συµπεραίνουµε ότι το A είναι ανοιχτό στο Y από τον ορισµό της σχετικής τοπολογίας. Οµοίως για τα κλειστά. (4) Εστω ότι y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία, και έστω U µια περιοχή του y. Η U Y είναι περιοχή του y ως προς τη σχετική τοπολογία, άρα υπάρχειλ 0 τέτοιο ώστε y λ U Y U για κάθε λ λ 0. Εποµένως y λ y. Αντίστροφα, έστω ότι y λ y, και έστω A µια περιοχή του y ως προς τη σχετική τοπολογία. Τότε A=V Y για κάποια περιοχή V του y. Αφού το δίκτυο συγκλίνει υπάρχειλ 0 τέτοιο ώστε y λ V για κάθελ λ 0. Αλλά το δίκτυο ϐρίσκεται στο Y, άρα y λ V Y= A για κάθελ λ 0, το οποίο σηµαίνει ότι y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία. (5) Εστω y cl Y (A) Y. Τότε υπάρχει δίκτυο y λ A τέτοιο ώστε y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία. Τότε, από το (4), έχουµε ότι y λ y, άρα y Y cl (A). Αντίστροφα, έστω y Y cl (A). Τότε υπάρχει δίκτυο y λ A τέτοιο ώστε y λ y. Αφού y Y, από το (4) συνεπάγεται ότι y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία, άρα y cl Y (A). Εστω τώρα y Y int (A). Τότε υπάρχει περιοχή U του y τέτοια ώστε U A. Αλλά τότε το U Y είναι µια περιοχή του y ως προς τη σχετική τοπολογία η οποία περιέχεται στο A. Άρα y int Y (A). (6) Εστω y λ Y ένα δίκτυο στο Y τέτοιο ώστε, για κάποιο y Y, έχουµε y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία. Τότε από το (4), y λ y. Αφού η f είναι συνεχής, έχουµε f (y λ ) f (y), άρα f Y (y λ ) f Y (y). Εποµένως η f Y είναι συνεχής. Παρατήρηση. Στο (5) του προηγούµενου ϑεωρήµατος γενικά έχουµε int Y (A) Y int (A). Για παράδειγµα, στοêµε τη συνηθισµένη τοπολογία, int ({1})={1}, αλλά int ({1})=. Θα ορίσουµε τώρα µια ϕυσιολογική τοπολογία στο καρτεσιανό γινόµενο µιας οικογένειας τοπολογικών χώρων. Ορισµός. Εστω X i, i I, µια οικογένεια τοπολογικών χώρων. Για κάθε j I ϑεωρούµε τις προβολές p j : X i X j, p j (x)= x( j), και ϑέτουµε C={p 1 i (G i ) : G i X i ανοιχτό, i I}. Η τοπολογία που παράγει η οικογένεια C ονοµάζεται τοπολογία γινόµενο στο i I X i. Παρατηρήσεις. i I (1) Η τοπολογία γινόµενο είναι η µικρότερη τοπολογία στο i I X i ως προς την οποία οι προβολές είναι συνεχείς. (2) Μια ϐάση για την τοπολογία γινόµενο είναι η οικογένεια όλων των συνόλων της µορφής n p 1 i k (G ik ), G ik X ik ανοιχτό, i 1,..., i k I, n Æ, δηλαδή όλες οι πεπερασµένες τοµές συνόλων της C. Ισοδύναµα, µια ϐάση αποτελείται από όλα τα σύνολα της µορφής i I G i, όπου τα G i X i είναι ανοιχτά και G i X i για το πολύ πεπερασµένο πλήθος i. (3) Αν πάρουµε µια πεπερασµένη οικογένεια τοπολογικών χώρων X 1, X 2,..., X m τότε µια ϐάση για την τοπολογία γινόµενο στο X 1 X m είναι όλα τα «ορθογώνια» G 1 G m, όπου τα G k X k είναι ανοιχτά. Αυτό προκύπτει από τη σχέση n G k = n p 1 k (G k). (4) Αν το G i I X i είναι ανοιχτό τότε το p j (G) είναι ανοιχτό για κάθε j. (5) Η προβολή ενός κλειστού συνόλου δεν είναι κατ ανάγκη κλειστό σύνολο. Για παράδειγµα στοê2, το σύνολο F={(x, 1/x) : x>0} είναι κλειστό, αλλά p 1 (F)= p 2 (F)=(0,+ ). (1) Η τοπολογία γινόµενο στοên ταυτίζεται µε τη συνηθισµένη τοπολογία που επάγει η Ευκλείδεια µετρική. Αυτό προκύπτει από το ότι µέσα σε κάθε ανοιχτή µπάλα µπορούµε να ϐρούµε έναν ανοιχτό κύβο µε το ίδιο κέντρο, και αντιστρόφως. 16

17 (2) ΣτοÊn µε την τοπολογία γινόµενο, το σύνολο n (0, 1)=(0, 1) n = (0, 1) (0, 1) } {{ } n παράγοντες είναι ανοιχτό (σαν σύνολο της ϐάσης). (3) ΣτοÊƵε την τοπολογία γινόµενο, το σύνολο A= (0, 1)=(0, 1) N = (0, 1) (0, 1) n=1 ΕΝ είναι ανοιχτό. Στην πραγµατικότητα A =. Αν το A είχε µη κενό εσωτερικό, τότε ϑα υπήρχαν i 1,..., i n Æκαι ανοιχτά σύνολα G i1,...,g in Êέτσι ώστε n p 1 i k (G ik ) A. Επιλέγουµε τώρα m Æ {i 1,...,i n }. Τότε n Ê= p m p 1 i k (G ik ) p m(a)=(0, 1), άτοπο. Γενικότερα, σ ένα καρτεσιανό γινόµενο µε άπειρους παράγοντες, ένα ορθογώνιο, τυπικά δεν είναι ανοιχτό σύνολο. (4) Αν το{0, 1} έχει τη διακριτή τοπολογία τότε η τοπολογία γινόµενο στο{0, 1} n είναι η διακριτή για κάθε n N. Αντίθετα, το{0, 1}Æδεν έχει τη διακριτή τοπολογία. Θεώρηµα. Εστω X i, i I, µια οικογένεια τοπολογικών χώρων. Θέτουµε X= i I X i. (1) Ενα δίκτυο x λ X συγκλίνει σε κάποιο x X αν και µόνο αν p i (x λ ) p i (x) για κάθε i I. ηλαδή το δίκτυο συγκλίνει αν και µόνο αν συγκλίνει κατά συντεταγµένη. (2) Αν A i X i, i I, τότε cl A i = A i, A i A i. i I i I i I i I (3) Εστω Y ένας άλλος τοπολογικός χώρος και f : Y X µια συνάρτηση. Η f είναι συνεχής αν και µόνο αν η p i f είναι συνεχής για κάθε i I. Y f X p i f p i X i Απόδειξη. (1) Η µια κατεύθυνση προκύπτει από τη συνέχεια των προβολών p i. Για την άλλη κατεύθυνση, έστω n p 1 i k (G ik ) µια περιοχή του x. Τότε το G ik είναι περιοχή του p ik (x). Αφού p ik (x λ ) p ik (x), υπάρχουνλ 1,...,λ n τέτοια ώστε p ik (x λ ) G ik για κάθελ λ k. Επιλέγουµελ 0 τέτοιο ώστελ 0 λ k για κάθε, 2,..., n. Τότε x λ n p 1 i k (G ik ) για κάθελ λ 0, άρα x λ x. (2) Εστω x cl ( ) i I A i. Τότε υπάρχει δίκτυο xλ i I A i τέτοιο ώστε x λ x. Τώρα, από το (1), έχουµε ότι p i (x λ ) p i (x) για κάθε i. Αλλά τότε p i (x) A i για κάθε i, δηλαδή x i I A i. Αντίστροφα, έστω x i I A i, και έστω n p 1 i k (G ik ) τυχούσα περιοχή του x. Τότε το G ik είναι περιοχή του p ik (x) A ik άρα G ik A ik. Εποµένως n p 1 i k (G ik ) i I A i διότι οι i k -πλευρές του ορθογωνίου n p 1 i k (G ik ) είναι τα σύνολα G ik τα οποία τέµνουν τα A ik, ενώ οι υπόλοιπες i- πλευρές είναι ολόκληροι οι χώροι X i οι οποίοι προφανώς τέµνουν τα A i. Συνεπώς x cl ( ) i I A i. Για τη δεύτερη σχέση, αν το αριστερά µέλος είναι κενό τότε δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε. Εστω λοιπόν x ( ) i I A. i Τότε υπάρχουν ανοιχτά Gik X ik,,..., n, τέτοια ώστε n x p 1 i k (G ik ) A i. i I 17

18 Άρα p ik (x) G ik A ik για κάθε k, και κατ ανάγκη, A j = X j για κάθε j διαφορετικό από τα i k. Εποµένως p ik (x) A i k για κάθε k. Συνεπώς x i I A i. Ισότητα γενικά δεν έχουµε, όπως δείχνει το (3) των προηγούµενων παραδειγµάτων. (3) Αν η f είναι συνεχής τότε η p i f είναι συνεχής σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Για το αντίστροφο, έστω y λ ένα δίκτυο στο Y µε y λ y. Τότε p i ( f (y λ )) p i ( f (y)) για κάθε i. Άρα, από το (1), f (y λ ) f (y). Εποµένως η f είναι συνεχής. (1) Ταυτίζουµε το σύνολο όλων των συναρτήσεων από τοêστοêµε το γινόµενοêê. Τότε µια ακολουθία συναρτήσεων f n συγκλίνει κατά σηµείο σε κάποια συνάρτηση f αν και µόνο αν f n f ως προς την τοπολογία γινόµενο. (2) Αν ϑεωρήσουµε το C([0, 1]) υποσύνολο τουê[0,1] τότε η τοπολογία της άσκησης (10) του 1ου ϕυλλαδίου συµπίπτει µε την σχετική τοπολογία γινόµενο. (3) ΕστωÊs το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστη- µάτων. Τότε το A={(x, x) : x Ê} (η αντιδιαγώνιος) δεν έχει σηµεία συσσώρευσης ως προς την τοπολογία γινόµενο στονês Ês. Πράγµατι, για κάθε x η περιοχή (, x] (, x] τέµνει το A ακριβώς στο σηµείο (x, x). Επίσης το A είναι κλειστό διότι είναι κλειστό ως προς τη συνηθισµένη τοπολογία τουê2, άρα A =. 18

19 6. Συνεκτικότητα Ορισµός. Ενας τοπολογικός χώρος X ονοµάζεται συνεκτικός αν δεν υπάρχουν U, V X µη κενά, ανοιχτά και ξένα τέτοια ώστε X= U V. Ενα σύνολο A Xονοµάζεται συνεκτικό αν είναι συνεκτικός χώρος ως προς τη σχετική τοπολογία. (1) Σε κάθε τοπολογικό χώρο τα µονοσύνολα είναι συνεκτικά. (2) Ενας διακριτός χώρος µε τουλάχιστο δυο σηµεία δεν είναι συνεκτικός, γιατί αν x X τότε X={x} (X {x}). (3) Το A = [0, 1) {2} δεν είναι συνεκτικό γιατί τα [0, 1) και{2} είναι ανοιχτά στο A. (4) ΤοÉδεν είναι συνεκτικό διότιé= ( (, ( 2) É) ( 2,+ ) É). Ê (5) Τοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διατηµάτων δεν είναι συνεκτικό διότι Ê=(, 0] (0,+ ). (6) Τοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία είναι συνεκτικό γιατί αν υποθέσουµε ότι υπάρχουν U, V µη κενά, ανοιχτά και ξένα τέτοια ώστεê=u V, τότε το U=Ê V είναι ανοιχτό, κλειστό, µη κενό γνήσιο υποσύνολο τουê, άτοπο. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: Απόδειξη. (1) Ο X είναι συνεκτικός. (2) Τα µοναδικά υποσύνολα του X τα οποία είναι ανοιχτά και κλειστά είναι το και το X. (3) εν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : X {0, 1} η οποία είναι επί. (1) (2) Εστω A X ανοιχτό και κλειστό. Τότε τα σύνολα A και X A είναι ανοιχτά και ξένα, και X= A (X A). Αφού ο X είναι συνεκτικός, πρέπει είτε A= ήx A=. ηλαδή είτε A= ή A=X. (2) (3) Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει f : X {0, 1} συνεχής και επί. Τότε το f 1 ({0}) είναι ανοιχτό, κλειστό, µη κενό γνήσιο υποσύνολο του X, άτοπο. (3) (1) Εστω ότι ο X δεν είναι συνεκτικός. Τότε υπάρχουν U, V X µη κενά ανοιχτά και ξένα τέτοια ώστε X= U V. Εποµένως η συνάρτηση f : X {0, 1} µε 1, αν x U f (x)= 0, αν x V είναι συνεχής και επί, άτοπο. Θεώρηµα. Ενα υποσύνολο τουêείναι συνεκτικό αν και µόνο αν είναι διάστηµα. Απόδειξη. Αν κάποιο συνεκτικό A Êδεν είναι διάστηµα, τότε υπάρχουν x, y Aκαι z Aµε x<z<y. Αλλά τότε A = ((, z) A) ((z, + ) A), άτοπο. Αντίστροφα, αν υποθέσουµε ότι κάποιο διάστηµα A δεν είναι συνεκτικό, τότε υπάρχει f : A Êσυνεχής η οποία παίρνει ακριβώς δυο τιµές. Αυτό είναι άτοπο από το ϑεώρηµα ενδιάµεσης τιµής του απειροστικού λογισµού. Θεώρηµα. Εστω X συνεκτικός χώρος και f : X Y συνεχής και επί. Τότε ο Y είναι συνεκτικός. Απόδειξη. Αν ο Y δεν ήταν συνεκτικός τότε ϑα υπήρχε g : Y {0, 1} συνεχής και επί. Αλλά τότε η σύνθεση g f : X {0, 1} ϑα ήταν συνεχής και επί, άτοπο. (1) Ο µοναδιαίος κύκλος S 1 ={(x, y) Ê2 : x 2 + y 2 = 1} είναι η εικόνα του διαστήµατος [0, 2π] µέσω της συνεχούς απεικόνισης f (t) = (cos t, sin t), άρα είναι συνεκτικό σύνολο. (2) ΣτοÊn µια ευθεία που περνάει από το σηµείο x 0 και έχει κατεύθυνση e είναι συνεκτικό σύνολο ως εικόνα τουêµέσω της συνεχούς f (t)= x 0 + te. Το ακόλουθο είναι η «αφηρηµένη έκδοση» του ϑεωρήµατος ενδιάµεσης τιµής. Θεώρηµα. Εστω X συνεκτικός χώρος και f : X Êσυνεχής. Τότε η f παίρνει κάθε τιµή ανάµεσα σε δυο οποιεσδήποτε τιµές της. 19

20 Απόδειξη. Αφού ο X συνεκτικός το f (X) είναι συνεκτικό υποσύνολο τουê, άρα είναι διάστηµα. Εστω τώρα ξ 1,ξ 2 f (X) δυο τιµές της f µεξ 1 <ξ 2, καιξ (ξ 1,ξ 2 ). Αφού το f (X) είναι διάστηµα, έχουµε ότιξ f (X), δηλαδή τοξείναι τιµή της f. Θεώρηµα. Εστω A i, i I, µια οικογένεια συνεκτικών συνόλων µε ένα τουλάχιστο κοινό σηµείο. Τότε η ένωση i I A i είναι συνεκτικό. Απόδειξη. Εστω x 0 i I A i, και f : i I A i {0, 1} συνεχής. Θα δείξουµε ότι η f είναι σταθερή. Εστω x i I A i. Τότε x A i για κάποιο i. Αλλά ο περιορισµός f Ai είναι σταθερή συνάρτηση γιατί το A i είναι συνεκτικό. Εποµένως f (x)= f (x 0 ). Η ισότητα αυτή ισχύει για κάθε x, άρα η f είναι σταθερή. Παρατήρηση. Η τοµή δυο συνεκτικών συνόλων δεν είναι κατ ανάγκη συνεκτικό σύνολο. Για παράδειγµα, στο επίπεδο, ένας κύκλος τέµνει µια διάµετρο του σε δύο σηµεία. Θεώρηµα. Αν το A είναι συνεκτικό και A B A, τότε το B είναι συνεκτικό. Ιδιαίτερα, η κλειστότητα ενός συνεκτικού συνόλου είναι συνεκτική. Απόδειξη. Εστω f : B {0, 1} συνεχής. Αφού το A είναι συνεκτικό, ο περιορισµός f A είναι σταθερή συνάρτηση, δηλαδή το f (A) είναι µονοσύνολο. Αλλά f (B)= f (B A)= f (cl B A) f (A)= f (A). Άρα το f (B) είναι µονοσύνολο. Εποµένως η f είναι σταθερή. Συνεπώς το B είναι συνεκτικό. Παράδειγµα. ΣτοÊ2 ϑέτουµε X={(x, sin(1/x)) : x>0}. Το X είναι συνεκτικό ως συνεχής εικόνα συνεκτικού συνόλου. Εποµένως το X = X ({0} [ 1, 1]) είναι συνεκτικό. Παρατηρήστε ότι αν αφαιρέσουµε οποιοδήποτε σύνολο σηµείων από το ευθύγραµµο τµήµα{0} [ 1, 1], το σύνολο που προκύπτει παραµένει συνεκτικό γιατί ϐρίσκεται µεταξύ ενός συνεκτικού συνόλου και της κλειστότητας του. Θεώρηµα. Εστω X i, i I, µια οικογένεια τοπολογικών χώρων. Τότε το γινόµενο i I X i είναι συνεκτικό αν και µόνο αν κάθε παράγοντας X i είναι συνεκτικός. Απόδειξη. Αν το γινόµενο είναι συνεκτικό τότε κάθε X j είναι συνεκτικό ως συνεχής εικόνα του i I X i µέσω της προβολής p j. Για το αντίστροφο, ϑα δείξουµε αρχικά ότι αν X και Y είναι δυο συνεκτικοί χώροι τότε το X Y είναι συνεκτικό. Σταθεροποιούµε (x 0, y 0 ) X Y και για κάθε x X ϑεωρούµε τον «σταυρό» C x = ({x} Y) (X {y 0 }). Y (x 0, y 0 ) (x, y 0 ) x X 20

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Συµβάσεις και συµβολισµοί 4 1. Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue 5 2. Μετρήσιµα σύνολα 7 3. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου.

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου. ΤΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Επί του επιπέδου θεωρούµε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων Oxy, και σε κάθε σηµείο P(x, y) του επιπέδου αντιστοιχίζουµε τον µιγαδικό αριθµό = x+ y Η αντιστοιχία αυτή είναι µία ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη κάπως εξοικειωµένος µε τον συνηθισµένο καθηµερινό συνολοθεωρητικό εξοπλισµό. Παρ όλα αυτά, θα παρουσιάσουµε συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ»

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» Δημ. Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών (Δημοσιεύτηκε στο τεύχος 6, 2009, του περιοδικού «φ») Στο τελευταίο τεύχος (5 ο, 2008) του

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh)

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) Σπύρος Αργυρός Μάρτιος 2011 1 2 Perieqìmena 1 Οι ϕυσικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα