Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης"

Transcript

1 Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης

2

3 Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση Συνέχεια Η Σχετική Τοπολογία και η Τοπολογία Γινόµενο Συνεκτικότητα Η Τοπολογία Πηλίκο Χώροι Hausdorff Κανονικοί Χώροι Φυσιολογικοί Χώροι Το Λήµµα του Urysohn και το Θεώρηµα Επέκτασης του Tietze Συνθήκες Αριθµησιµότητας Μετρικοποιησιµότητα Συµπαγείς Χώροι Τοπικά Συµπαγείς Χώροι 44 1ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 46 2ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 48 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 49 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 50 5ο Φυλλάδιο Ασκήσεων 51 3

4 Ορισµός. 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις (1) Ενας τοπολογικός χώρος είναι ένα Ϲευγάρι (X, T ), όπου X είναι ένα σύνολο και T µια οικογένεια υποσυνόλων του X τέτοια ώστε: (α ), X T. (ϐ ) Η T είναι κλειστή ως προς τις (αυθαίρετες) ενώσεις. ηλαδή αν G i T, i I, τότε G i T. i I (γ ) Η T είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές. ηλαδή αν U, V T, τότε U V T. Η T ονοµάζεται τοπολογία και τα στοιχεία της ανοιχτά σύνολα. (2) Αν T 1, T 2 είναι δυο τοπολογίες σε κάποιο σύνολο και T 1 T 2, τότε λέµε ότι η T 2 είναι µεγαλύτερη ή ισχυρότερη από την T 1. (3) Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και x X. Κάθε U T µε x U λέγεται περιοχή του x. Παράδειγµα. Εστω (X,ρ) µετρικός χώρος και D(x, r)={y X:ρ(x, y)<r} ο ανοιχτός δίσκος µε κέντρο x και ακτίνα r. Η οικογένεια T ρ ={G X:Για κάθε x G υπάρχει r τέτοιο ώστε D(x, r) G}={G X: G ανοιχτό ως προς τηνρ} είναι µια τοπολογία στο X. Λέµε ότι η T ρ επάγεται από την µετρική. Ορισµός. Ενας τοπολογικός χώρος (X, T ) λέγεται µετρικοποιήσιµος αν υπάρχει µετρική ρ στο X τέτοια ώστε T = T ρ (δηλαδή αν η τοπολογία επάγεται από µετρική). Παράδειγµα (Η τετριµµένη τοπολογία). Εστω X ένα σύνολο. Η οικογένεια T ={, X} είναι µια τοπολογία. Η T είναι η µικρότερη τοπολογία που µπορεί να έχει το X. Αν το X έχει περισσότερα από ένα στοιχεία, η T δεν είναι µετρικοποίησιµη. Πράγµατι, ας υποθέσουµε ότι T = T ρ για κάποια µετρικήρ. Επιλέγουµε a, b X µε a bκαι 0<r<ρ(a, b). Τότε ο δίσκος D(a, r) είναι σύνολο ανοιχτό, µη κενό και διαφορετικό από το X, άτοπο. Παράδειγµα (Η διακριτή τοπολογία). Εστω X ένα σύνολο. Η οικογένεια T = P(X) (όλα τα υποσύνολα του X) είναι µια τοπολογία. Η T είναι η µεγαλύτερη τοπολογία που µπορεί να έχει το X και επάγεται από τη διακριτή µετρική 0, αν x=y ρ(x, y)= 1, αν x y. Παράδειγµα (Η συµπεπερασµένη τοπολογία). Εστω X ένα σύνολο. Η οικογένεια T ={G X:X G πεπερασµένο} { } είναι µια τοπολογία στο X. Αν το X είναι πεπερασµένο, τότε η T είναι η διακριτή τοπολογία. Αν το X είναι άπειρο τότε η T δεν είναι µετρικοποιήσιµη διότι κάθε δυο µη κενά ανοιχτά σύνολα τέµνονται (σε ένα µετρικό χώρο µε δυο τουλάχιστο σηµεία µπορούµε πάντα να ϐρούµε δυο µη κενά ξένα ανοιχτά σύνολα). Ορισµός. Εστω (X, T ) ένας τοπολογικός χώρος και B T. Η B λέγεται ϐάση για την T αν κάθε ανοιχτό σύνολο είναι ένωση συνόλων της B, δηλαδή για κάθε G T υπάρχουν B i B, i I, τέτοια ώστε G= B i. i I Θεώρηµα. (1) Εστω (X, T ) ένας τοπολογικός χώρος και B T. Η B είναι ϐάση για την T αν και µόνο αν για κάθε G T και κάθε x G υπάρχει B Bτέτοιο ώστε x B G. (2) Εστω (X, T ) ένας τοπολογικός χώρος και B T µια ϐάση για την T. Ενα σύνολο G Xείναι ανοιχτό αν και µόνο αν για κάθε x G υπάρχει B Bτέτοιο ώστε x B G. Απόδειξη. (1) ( ) Εστω G Xανοιχτό και x G. Αφού η B είναι ϐάση υπάρχουν B i B, i I, τέτοια ώστε G= B i. Εποµένως υπάρχει i 0 I τέτοιο ώστε x B i0 G. i I ( ) Εστω G X ανοιχτό. Από υπόθεση, για κάθε x G υπάρχει B x B τέτοιο ώστε x B x G. Εποµένως G= B x, δηλαδή το G είναι ένωση συνόλων της B. x G (2) ( ) Ακριβώς όπως το ( ) του (1). ( ) Εστω G Xένα σύνολο που ικανοποιεί την υπόθεση. Τότε για κάθε x G υπάρχει B x B 4

5 τέτοιο ώστε x B x G. Άρα G= B x. Εποµένως το G είναι ανοιχτό σαν ένωση ανοιχτών συνόλων. x G (1) Σε κάθε τοπολογικό χώρο η ίδια η τοπολογία είναι µια ϐάση για την τοπολογία. (2) Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Οι οικογένειες {D(x, r) : x X, r>0}, {D(x, 1/n) : x X, n Æ} είναι ϐάσεις για την T ρ. (3) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία (αυτήν που επάγει η συνηθισµένη µετρική), οι οικογένειες {(a, b) : a, b Ê, a<b}, {(p, q) : p, q É, p<q} είναι ϐάσεις (όλα τα ανοιχτά διαστήµατα και όλα τα ανοιχτά διαστήµατα µε ϱητά άκρα). (4) Σ ένα διακριτό τοπολογικό χώρο X (δεν ϑα γράφουµε (X, T ) όταν η τοπολογία εννοείται ή όταν δεν υπάρχει περίπτωση να την µπερδέψουµε µε κάποια άλλη), η οικογένεια{{x} : x X} (όλα τα µονοσύνολα) είναι µια ϐάση. Θεώρηµα. Εστω X ένα σύνολο και B µια οικογένεια υποσυνόλων του X. Η B είναι ϐάση για κάποια τοπολογία στο X αν και µόνο αν: (1) B= X. B B (2) Για κάθε B 1, B 2 B και κάθε x B 1 B 2 υπάρχει B 3 B τέτοιο ώστε x B 3 B 1 B 2. B 1 B 2 B 3 x Απόδειξη. ( ) Εστω ότι η B είναι ϐάση για κάποια τοπολογία. Το X είναι ανοιχτό άρα υπάρχουν B i B, i I, τέτοια ώστε X= B i, εποµένως X= B. Τώρα, έστω B 1, B 2 B και x B 1 B 2. Το B 1 B 2 είναι ανοιχτό, άρα, i I B B από το προηγούµενο ϑεώρηµα, υπάρχει B 3 B τέτοιο ώστε x B 3 B 1 B 2. ( ) Θέτουµε T ={G X : Για κάθε x G υπάρχει B B τέτοιο ώστε x B G}. Τότε η T είναι µια τοπολογία η οποία έχει ϐάση την B. Πράγµατι, είναι προφανές ότι T και ότι η T είναι κλειστή ως προς τις ενώσεις. Το ότι X T συνεπάγεται από το (1). Το ότι η T είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές συνεπάγεται από το (2). Τέλος, το ότι η B είναι ϐάση προκύπτει από το ότι B T και το προηγούµενο ϑεώρηµα. Παρατήρηση. Μια οικογένεια υποσυνόλων η οποία είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές ικανοποιεί αυτοµάτως τη δεύτερη συνθήκη στο προηγούµενο ϑεώρηµα (για B 3 παίρνουµε το ίδιο το B 1 B 2 ). Εποµένως για να ελέγξουµε αν είναι ϐάση αρκεί να δείξουµε ότι ικανοποιεί µόνο την πρώτη. Το αντίστρο- ϕο, ϕυσικά, δεν ισχύει. Μια ϐάση δεν είναι κατ ανάγκη κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές. Για παράδειγµα, στοê2, η τοµή δυο ανοιχτών δίσκων δεν είναι ποτέ δίσκος (εκτός κι αν ο ένας περιέχεται στον άλλο). Παράδειγµα. ΣτοÊηοικογένεια {(, a) : a Ê} {(b,+ ) : b Ê} ικανοποιεί την πρώτη αλλά όχι τη δεύτερη συνθήκη του προηγούµενου ϑεωρήµατος, άρα δεν είναι ϐάση για καµία τοπολογία. 5

6 Παράδειγµα (Η τοπολογία των αριστερά ηµιάνοικτων διαστηµάτων). ΣτοÊηοικογένεια {(a, b] : a, b Ê, a<b} ικανοποιεί τις δυο συνθήκες του προηγούµενου ϑεωρήµατος, άρα είναι ϐάση για κάποια τοπολογία T. Η T είναι γνήσια ισχυρότερη από τη συνηθισµένη τοπολογία T ρ. Πράγµατι για κάθε ανοιχτό διάστηµα έχουµε ( (a, b)= a, b 1 ] T. n n=1 ηλαδή όλα τα ανοιχτά διαστήµατα ανήκουν στην T. Αλλά κάθε ανοιχτό σύνολο ως προς τη συνηθισµένη τοπολογία είναι ένωση ανοιχτών διαστηµάτων. Άρα T ρ T. Απ την άλλη, (a, b] T ρ, εποµένως T ρ T. Θεώρηµα. Εστω X ένα σύνολο και C µια αυθαίρετη οικογένεια υποσυνόλων του X. Τότε η οικογένεια n B C = C k : C k C,,..., n, n Æ {X} (όλες οι πεπερασµένες τοµές συνόλων της C ) είναι ϐάση για µια τοπολογία στο X. Η τοπολογία αυτή συµβολίζεται µετ (C ) και είναι η µικρότερη τοπολογία η οποία περιέχει την C. Η C ονοµάζεται υποβάση τηςτ (C ) και λέµε ότι η C παράγει τηντ (C ). Απόδειξη. Αφού X B C, η B C προφανώς ικανοποιεί την πρώτη συνθήκη του προηγούµενου ϑεωρήµατος. Επίσης, η B C είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές, άρα ικανοποιεί και τη δεύτερη συνθήκη. Εποµένως είναι ϐάση για κάποια τοπολογίατ (C ). Εστω τώρα T µια άλλη τοπολογία στο X τέτοια ώστε C T. Κάθε σύνολο της B C είναι πεπερασµένη τοµή συνόλων της C. Αφού η T είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες τοµές, έχουµε ότι B C T. Τώρα, κάθε σύνολο τηςτ (C ) είναι ένωση συνόλων της B C. Εποµένωςτ (C ) T διότι η T είναι κλειστή ως προς τις ενώσεις. Συνεπώς ητ (C ) είναι η µικρότερη τοπολογία που περιέχει την C. Παρατηρήσεις. (1) Η τ (C ) αποτελείται από όλες τις δυνατές ενώσεις όλων των δυνατών πεπερασµένων τοµών συνόλων της C. (2) Αν το X έχει ήδη κάποια τοπολογία T µε ϐάση B, τότετ (B)=τ (T )=T. (3) Μια δεδοµένη οικογένεια C µπορεί να µην είναι ϐάση για κάποια τοπολογία. Είναι όµως πάντα υποβάση τηςτ (C ). Με αυτή την έννοια, κάθε οικογένεια υποσυνόλων «παράγει µια τοπολογία». Παράδειγµα. ΣτοÊ, η οικογένεια {(, a) : a Ê} {(b,+ ) : b Ê} παράγει τη συνηθισµένη τοπολογία (αλλά δεν είναι ϐάση της). Οµοίως, η οικογένεια {(, a] : a Ê} {(b,+ ) : b Ê} παράγει την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοικτων διαστηµάτων (αλλά δεν είναι ϐάση της). Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος και x X. Μια οικογένεια B από ανοιχτά σύνολα λέγεται ϐάση περιοχών του x, αν: (1) Για κάθε B Bέχουµε x B. (2) Για κάθε περιοχή U του x υπάρχει B Bτέτοιο ώστε B U. (1) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία η οικογένεια{(x 1/n, x+1/n) : n Æ} είναι µια ϐάση περιοχών του x. (2) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων η οικογένεια{(x 1/n, x] : n Æ} είναι µια ϐάση περιοχών του x. Η οικογένεια του προηγούµενου παραδείγµατος δεν είναι ϐάση περιοχών κανενός σηµείου διότι, για παράδειγµα, στο διάστηµα (, x], το οποίο είναι περιοχή του x, δεν περιέχεται ανοιχτό διάστηµα µε κέντρο το x. 6

7 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό Ορισµός. Ενα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου λέγεται κλειστό αν το συµπλήρωµά του είναι ανοιχτό. Παρατήρηση. Η οικογένεια των κλειστών συνόλων είναι κλειστή ως προς τις (αυθαίρετες) τοµές και τις πεπερασµένες ενώσεις. (1) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία, το (a, b] δεν είναι ούτε ανοιχτό ούτε κλειστό, το είναι κλειστό, όχι ανοιχτό, και το{1/n : n Æ} δεν είναι ούτε ανοιχτό ούτε κλειστό. (2) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων, το (a, b] είναι ανοιχτό και κλειστό, και τα,{1/n : n Æ} είναι κλειστά, όχι ανοιχτά. (3) Σ ένα διακριτό χώρο, όλα τα σύνολα είναι ανοιχτά και κλειστά. (4) Σ χώρο µε τη συµπεπερασµένη τοπολογία ένα σύνολο είναι κλειστό αν και µόνο αν είναι πεπερασµένο ή κενό ή ολόκληρος ο χώρος. Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Η κλειστότητα του A ορίζεται να είναι A=cl A= F. Τα σηµεία του A λέγονται οριακά σηµεία του A. Παρατηρήσεις. F κλειστό A F (1) Το A είναι το µικρότερο κλειστό υπερσύνολο του A και είναι, ϕυσικά, µη κενό αν το A είναι µη κενό. (2) Το A είναι κλειστό αν και µόνο αν A = A. (1) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων, (a, b)=(a, b]. (2) Στοʵε την συµπεπερασµένη τοπολογία, =Ê. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος, A X, και x X. Τότε x A αν και µόνο αν για κάθε περιοχή U του x έχουµε U A, δηλαδή το x είναι οριακό σηµείο του A αν και µόνο αν κάθε περιοχή του x τέµνει το A. Απόδειξη. ( ) Εστω x Aκαι υποθέτουµε ότι υπάρχει περιοχή U του x τέτοια ώστε U A=. Τότε το X U είναι κλειστό και A X U. Άρα A X U. Ιδιαίτερα, x U, άτοπο. ( ) Εστω ότι κάθε περιοχή του x τέµνει το A και ας υποθέσουµε ότι x A. Τότε το X A είναι περιοχή του x. Άρα A (X A), άτοπο διότι A A. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και A, B X. Τότε: Απόδειξη. (1) A B A B. (2) (A B)=A B. (3) (A B) A B. (1) Το B είναι κλειστό και περιέχει το A, άρα A B. (2) Το A B είναι κλειστό και περιέχει το A B, άρα (A B) A B. Απ την άλλη, το (1) δίνει A (A B) και B (A B). Εποµένως (A B) A B. (3) Από το (1) έχουµε (A B) A και (A B) B. Άρα (A B) A B. Παρατηρήσεις. (1) Το (2) στο προηγούµενο ϑεώρηµα, γενικά, δεν ισχύει για άπειρες ενώσεις. Για παράδειγµα στοê µε τη συνηθισµένη τοπολογία {x}=(0, 1)=[0, 1] (0, 1)= {x}. 0<x<1 0<x<1 7

8 (2) Στο (3) του προηγούµενου ϑωρήµατος, δεν έχουµε γενικά ισότητα: στοêµε τη συνηθισµένη τοπολογία (0, 1) (1, 2)= {1}=(0, 1) (1, 2). Ορισµός. Ενα υποσύνολο A ενός τοπολογικού χώρου X λέγεται πυκνό αν A = X. Παράδειγµα. ΤοÉείναι πυκνό στοêως προς τη συνηθισµένη τοπολογία και την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων. Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Το εσωτερικό του A ορίζεται να είναι A = int A= G. Τα σηµεία του A λέγονται εσωτερικά σηµεία του A. Παρατηρήσεις. G ανοιχτό G A (1) Το A είναι το µεγαλύτερο ανοιχτό υποσύνολο του A και µπορεί να είναι κενό για µη κενό A. (2) Το A είναι ανοιχτό αν και µόνο αν A=A, δηλαδή αν όλα τα σηµεία του είναι εσωτερικά. (3) Ενα x Xείναι εσωτερικό σηµείο του A αν και µόνο αν υπάρχει περιοχή U του x τέτοια ώστε U A. (1) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων, [a, b] = (a, b]. (2) Στοʵε την συµπεπερασµένη τοπολογία, [a, b] =. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και A, B X. Τότε: Απόδειξη. (1) A B A B. (2) (A B) = A B. (3) (A B) A B. (1) Το A είναι ανοιχτό υποσύνολο του B, άρα A B. (2) Το A B είναι ανοιχτό υποσύνολο του A B, άρα A B (A B). Επίσης, από (1), (A B) A και (A B) B, εποµένως (A B) A B. (3) Το (1) δίνει A (A B) και B (A B). Άρα A B (A B). Παρατηρήσεις. (1) Το (2) στο προηγούµενο ϑεώρηµα, γενικά, δεν ισχύει για άπειρες τοµές. Για παράδειγµα στοê µε τη συνηθισµένη τοπολογία ( x, x) ={0} = {0}= ( x, x). x>0 (2) Στο (3) του προηγούµενου ϑωρήµατος, δεν έχουµε γενικά ισότητα: στοêµε τη συνηθισµένη τοπολογία ([0, 1] [1, 2]) = (0, 2) (0, 1) (1, 2)=[0, 1] [1, 2]. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Τότε: (1) X A= X A. (2) (X A) = X A. Απόδειξη. (1) Το X A είναι κλειστό και περιέχει το X A, άρα X A X A. Εστω τώρα x A. Τότε για κάθε περιοχή U του x έχουµε U A, το οποίο σηµαίνει ότι U (X A). Άρα x X A, δηλαδή X A X A. (2) Εφαρµόζουµε το (1) µε το X A στη ϑέση του A και παίρνουµε συµπληρώµατα στη σχέση που προκύπτει. 8 x>0

9 Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος, A X, και x X. Το x λέγεται σηµείο συσσώρευσης του A αν για κάθε περιοχή U του x έχουµε A U {x}, δηλαδή αν κάθε περιοχή του x περιέχει σηµεία του A διαφορετικά από το x. Το σύνολο των σηµείων συσσώρευσης του A ονοµάζεται παράγωγο σύνολο του A και συµβολίζεται µε A. Ενα σηµείο του A το οποίο δεν είναι σηµείο συσσώρευσης λέγεται µεµονωµένο. Παρατήρηση. Προφανώς κάθε σηµείο συσσώρευσης ενός συνόλου είναι οριακό σηµείο. Το αντίστροφο ϕυσικά δεν ισχύει. Για παράδειγµα στοêµε τη συνηθισµένη τοπολογία, =. Παράδειγµα. Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων, το a δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του διαστήµατος [a, b], ενώ το b είναι (σε αντίθεση µε τη συνηθισµένη τοπολογία, στην οποία και τα δύο άκρα κάθε τύπου διαστήµατος είναι σηµεία συσσώρευσης). Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Τότε A=A A. Απόδειξη. Κάθε σηµείο συσσώρευσης είναι οριακό σηµείο, άρα A A A. Αντίστροφα, έστω x A. Αν x A τότε τελειώσαµε. Εστω λοιπόν ότι x A. Τότε για κάθε περιοχή U του x έχουµε ότι η τοµή U A είναι µη κενή (αφού το x είναι οριακό σηµείο) και δεν περιέχει το x (αφού x A). Εποµένως U A {x}=u A, το οποίο σηµαίνει ότι x A. 9

10 3. Σύγκλιση Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος, x n X, n Æ, µια ακολουθία, και x X. Λέµε ότι η x n συγκλίνει στο x και γράφουµε x n x, αν για κάθε περιοχή U του x, υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε x n U για κάθε n n 0. Παρατηρήσεις. (1) Σ ένα µετρικό χώρο, ο προηγούµενος ορισµός συµπίπτει µε τον γνωστό ορισµό της σύγκλισης. (2) Αν σ ένα σύνολο έχουµε δυο τοπολογίες, η µία ισχυρότερη της άλλης, τότε σύγκλιση ως προς την ισχυρή τοπολογία συνεπάγεται σύγκλιση ως προς την ασθενή τοπολογία. (3) Σ ένα γενικό τοπολογικό χώρο, µια ακολουθία µπορεί να συγκλίνει σε περισσότερα από ένα σηµεία. Για παράδειγµα, στοæµε την συµπεπερασµένη τοπολογία, η ακολουθία x n = n συγκλίνει σε κάθε ϕυσικό αριθµό. Πράγµατι, έστω U µια περιοχή οποιουδήποτε ϕυσικού αριθµού. Το σύνολοæ U είναι πεπερασµένο, άρα υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε{n 0, n 0 +1, n 0 +2,...} U. Εποµένως x n = n U για κάθε n n 0. (1) Σε κάθε τοπολογικό χώρο, µια τελικά σταθερή ακολουθία συγκλίνει (τελικά σταθερή σηµαίνει ότι υπάρχουν x και n 0 τέτοια ώστε x n = x για κάθε n n 0 ). (2) Σ ένα διακριτό χώρο, µια ακολουθία συγκλίνει αν και µόνο αν είναι τελικά σταθερή διότι τα µονοσύνολα είναι περιοχές. (3) Στον τετριµµένο τοπολογικό χώρο, κάθε ακολουθία συγκλίνει σε κάθε σηµείο διότι η µοναδική περιοχή οποιουδήποτε σηµείου είναι ολόκληρος ο χώρος. (4) Στοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων η ακολουθία 1/n δεν συγκλίνει. Πράγµατι, αν συνέκλινε ϑα έπρεπε να συγκλίνει στο 0 διότι η τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων είναι ισχυρότερη της συνηθισµένης. Αλλά αυτό είναι αδύνατο αφού η ακολουθία αποφεύγει εξ ολοκλήρου την περιοχή (, 0]. Σ ένα γενικό τοπολογικό χώρο, οι ακολουθίες µπορεί να µην επαρκούν για να περιγράψουν µια σειρά από έννοιες για τις οποίες στην περίπτωση ενός µετρικού χώρου είναι διαθέσιµος ικανοποιητικός ακολου- ϑιακός χαρακτηρισµός. Για παράδειγµα, υπάρχει ένας τοπολογικός χώρος X, ένα σύνολο A X, και ένα x A, έτσι ώστε καµία ακολουθία σηµείων του A δεν συγκλίνει στο x (αν δεν γνωρίζετε ϑεωρία συνόλων αγνοήστε αυτήν την παρένθεση. Εστωω 1 ο πρώτος υπεραριθµήσιµος διατακτικός αριθµός. Στο σύνολο X= [0,ω 1 ] ϑεωρούµε την τοπολογία η οποία έχει για ϐάση όλα τα διαστήµατα της µορφής (ζ,ξ], όπου ζ<ξ ω 1 (µαζί µε το{0}). Θέτουµε A=[0,ω 1 ). Τότε A=X. Αλλά το supremum οποιασδήποτε ακολουθίας αριθµήσιµων διατακτικών αριθµών είναι αριθµήσιµος διατακτικός αριθµός, εποµένως δεν υπάρχει ακολουθία στο A η οποία να συγκλίνει στοω 1 ). Το πρόβληµα αυτό µπορεί να ξεπεραστεί γενικεύοντας την έννοια της ακολουθίας. Αυτό ϑα γίνει µέσω των παρακάτω ορισµών. Ορισµός. Ενα προδιατεταγµένο σύνολο είναι ένα Ϲευγάρι (Λ, ) όπουλείναι ένα σύνολο και µια διµελής σχέση στολτέτοια ώστε: λ λγια κάθελ Λ(αυτοπάθεια). Για κάθελ,µ,ν Λ, ανλ µκαιµ ντότελ ν(µεταβατικότητα). Æ Παράδειγµα. Στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών ορίζουµε z wαν και µόνο αν z w. Τότε το (, ) είναι προδιατεταγµένο. Ορισµός. Ενα κατευθυνόµενο σύνολο είναι ένα προδιατεταγµένο σύνολο (Λ, ) τέτοιο ώστε για κάθε λ 1,λ 2 Λ, υπάρχειλ 3 Λτέτοιο ώστελ 1 λ 3 καιλ 2 λ 3. (1) Το (Æ, ), όπου είναι η συνηθισµένη διάταξη, είναι κατευθυνόµενο σύνολο: αν για n 1, n 2 ϑέσουµε n 3 = max{n 1, n 2 } τότε n 1 n 3 και n 2 n 3. (2) Εστω X τοπολογικός χώρος, x Xκάποιο σηµείο, και B x µια ϐάση περιοχών του x. Τότε το (B x, ) είναι κατευθυνόµενο. Πράγµατι, αν B 1, B 2 B x τότε το B 1 B 2 είναι περιοχή του x, άρα υπάρχει B 3 B x τέτοιο ώστε B 3 B 1 B 2. ηλαδή B 3 B 1 και B 3 B 2. Ορισµός. Εστω X ένα σύνολο, και (Λ, ) ένα κατευθυνόµενο σύνολο. Μια συνάρτηση x :Λ Xλέγεται δίκτυο στο X. Γράφουµε x λ αντί x(λ) και ϕανταζόµαστε το x λ σαν τον «λ-οστό» όρο του δικτύου. Παρατηρήσεις. (1) Μια ακολουθία είναι ειδική περίπτωση δικτύου, όπου (Λ, )=(Æ, ). 10

11 (2) Σε µια ακολουθία x n οι δείκτες, δηλαδή οι ϕυσικοί αριθµοί, είναι συγκρίσιµοι: το x 4 είναι «µετά» το x 1 και «πριν» το x 10. x 1 x 4 x 10 Σε ένα δίκτυο x λ,λ Λ, το µόνο που ξέρουµε είναι ότι για κάθε δύο όρους x λ1, x λ2 υπάρχει κάποιος τρίτος όρος x λ3 ο οποίος είναι «µετά» από τους x λ1 και x λ2. Οι δείκτεςλ 1 καιλ 2 µπορεί, κάλλιστα, να µην είναι µεταξύ τους συγκρίσιµοι. Για παράδειγµα, αν πάρουµε (Λ, )=(P(Æ), ), τότε ο όρος x {1,3,5} είναι «πριν» τον όρο xæκαι «µετά» τους όρους x {3,5} και x {1}, αλλά ο x {1} δεν είναι ούτε «πριν» ούτε «µετά» τον x {3,5} xæ. x {1} x {1,3,5} x {3,5} (3) Σε ένα δίκτυο δεν έχει γενικά νόηµα να µιλήσουµε για τον «επόµενο» ή τον «προηγούµενο» ενός όρου. Για παράδειγµα, στο δίκτυο x q = sin q, q É, όπου τοéέχει τη συνηθισµένη διάταξη, κανένας όρος δεν έχει ούτε επόµενο, ούτε προηγούµενο, παρά το ότι όλοι οι δείκτες, δηλαδή οι ϱητοί αριθµοί, είναι µεταξύ τους συγκρίσιµοι. Ορισµός. Εστω X τοπολογικός χώρος, x λ X,λ Λ, ένα δίκτυο, και x X. Λέµε ότι το x λ συγκλίνει στο x και γράφουµε x λ x, αν για κάθε περιοχή U του x, υπάρχειλ 0 τέτοιο ώστε x λ U για κάθελ λ 0. Παρατηρήσεις. (1) Αν B x είναι µια ϐάση περιοχών του x, τότε x λ x αν και µόνο αν για κάθε U B x υπάρχειλ 0 τέτοιο ώστε x λ U για κάθελ λ 0. (2) Προσέξτε τη διαφορά ανάµεσα στον ορισµό της συγκλίνουσας ακολουθίας και του συγκλίνοντος δικτύου. Ο ακολουθιακός ορισµός είναι ισοδύναµος µε το ότι για κάθε περιοχή του x το πολύ πεπερασµένο πλήθος όρων της ακολουθίας ϐρίσκονται έξω από την περιοχή, διότι το σύνολο {n Æ:n<n 0 } είναι πεπερασµένο. Στην περίπτωση ενός δικτύου δεν µπορούµε, γενικά, να πούµε κάτι για το σύνολο{λ Λ:λ λ 0 }. Ετσι δεν αποκλείεται να έχουµε άπειρους όρους του δικτύου έξω από κάποια περιοχή του x. (1) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία, ϑεωρούµε το δίκτυο x r, r (το έχει τη συνηθισµένη διάταξη), όπου r, αν r 0 x r = 1/r, αν r>0. Τότε x r 0. Παρά ταύτα, άπειροι όροι του δικτύου ϐρίσκονται έξω από κάθε ϕραγµένη περιοχή του 0. Επίσης το δίκτυο αυτό, αν και συγκλίνει, δεν είναι ϕραγµένο. Αν τώρα, µε αυθαίρετο τρόπο, αναδιατάξουµε τους όρους του δικτύου ώστε να το γράψουµε σαν ακολουθία, δηλαδή {x r : r }={y n : n Æ}, τότε η y n δεν συγκλίνει γιατί δεν είναι ϕραγµένη. (2) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία, ϑεωρούµε το δίκτυο x a = a, a Ê(τοÊέχει τη συνηθισµένη διάταξη). Τότε το x a δεν συγκλίνει σε κανένα πραγµατικό αριθµό. Ως προς τη συµπεπερασµένη τοπολογία, το x a συγκλίνει σε κάθε πραγµατικό αριθµό. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος, A X, και x X. Τότε x Aαν και µόνο αν υπάρχει δίκτυο x λ A, λ Λ, τέτοιο ώστε x λ x. Απόδειξη. ( ) Εστω (N, ) η οικογένεια όλων των περιοχών του x µε σχέση διάταξης το αντίστροφο περιέχεσθαι, δηλαδή U V αν και µόνο αν U V. Το (N, ) είναι κατευθυνόµενο γιατί αν U και V είναι δυο περιοχές του x τότε η U V είναι περιοχή του x και U V U, U V V. Αφού x A, έχουµε ότι για κάθε U N υπάρχει x U A U. Τότε το δίκτυο x U, U N, συγκλίνει στο x. Πράγµατι αν W είναι τυχούσα περιοχή του x, τότε για κάθε U N µε U W έχουµε x U U W. 11

12 ( ) Εστω x λ A,λ Λ, ένα δίκτυο στο A τέτοιο ώστε x λ x. Θα δείξουµε ότι x A. Εστω λοιπόν U µια περιοχή του x. Τότε υπάρχειλ 0 Λτέτοιο ώστε x λ0 U. ηλαδή x λ0 A U, άρα U A, εποµένως x A. 12

13 4. Συνέχεια Ορισµός. Εστω X, Y τοπολογικοί χώροι, f : X Y µια συνάρτηση, και x X. Η f λέγεται συνεχής στο x αν για κάθε περιοχή V Y του f (x) υπάρχει περιοχή U X του x τέτοια ώστε f (U) V. Αν η f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του X τότε λέγεται συνεχής. Y X x f f (x) f (U) V U (1) Κάθε σταθερή συνάρτηση, ανάµεσα σε δυο τυχόντες τοπολογικούς χώρους, είναι συνεχής. (2) Κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού ένα διακριτό χώρο είναι συνεχής. Θεώρηµα. Εστω X, Y τοπολογικοί χώροι, f : X Y µια συνάρτηση, και x X. Η f είναι συνεχής στο x αν και µόνο αν για κάθε δίκτυο x λ X,λ Λ, µε x λ x, έχουµε f (x λ ) f (x). Απόδειξη. ( ) Εστω x λ X,λ Λ, ένα δίκτυο µε x λ x, και V µια περιοχή του f (x). Αφού η f είναι συνεχής στο x, υπάρχει περιοχή U του x τέτοια ώστε f (U) V. Αφού το x λ συγκλίνει στο x. Υπάρχειλ 0 Λ τέτοιο ώστε x λ U για κάθελ λ 0. Εποµένως f (x λ ) f (U) V για κάθελ λ 0. ( ) Εστω ότι η f δεν είναι συνεχής στο x. Τότε υπάρχει περιοχή V του f (x) τέτοια ώστε για κάθε περιοχή U του x έχουµε f (U) V. Εποµένως για κάθε περιοχή U του x υπάρχει x U U τέτοιο ώστε f (x U ) V. Εστω τώρα N η οικογένεια όλων των περιοχών του x διατεταγµένη µε τη σχέση του αντίστροφου περιέχεσθαι. Τότε το δίκτυο x U, U N, συγκλίνει στο x, άρα από υπόθεση f (x U ) f (x). Εποµένως υπάρχει U 0 N τέτοιο ώστε f (x U0 ) V, άτοπο. Θεώρηµα. Εστω f : X Y µια συνάρτηση ανάµεσα σε δυο τοπολογικούς χώρους. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα. Απόδειξη. (1) Η f είναι συνεχής. (2) Για κάθε G Y ανοιχτό, το f 1 (G) είναι ανοιχτό. (3) Για κάθε F Y κλειστό, το f 1 (F) είναι κλειστό. (4) Για κάθε A A, f ( A ) f (A). (1) (2) Αρκεί να δείξουµε ότι κάθε σηµείο του f 1 (G) είναι εσωτερικό. Εστω λοιπόν x f 1 (G). Τότε f (x) G, άρα το G είναι περιοχή του f (x), εποµένως υπάρχει περιοχή U του x τέτοια ώστε f (U) G, από το οποίο συνεπάγεται ότι U f 1 ( f (U)) f 1 (G). (2) (1) Εστω x Xκαι V µια περιοχή του f (x). Από υπόθεση, το U := f 1 (V) είναι ανοιχτό, άρα είναι περιοχή του x. Αλλά f (U)= f ( f 1 (V)) V. (2) (3) Εστω F Y κλειστό. Τότε το Y F είναι ανοιχτό, άρα από υπόθεση το f 1 (Y F)= X f 1 (F) είναι ανοιχτό, εποµένως το f 1 (F) είναι κλειστό. (3) (2) Τελείως ανάλογα µε το προηγούµενο. 13

14 (3) (4) Το f (A) είναι κλειστό άρα, από υπόθεση, το f 1( f (A) ) είναι κλειστό. Επίσης, A f 1( f (A) ). Εποµένως A f 1( f (A) ). Συνεπώς f ( A ) f ( f 1( f (A) )) f (A). (4) (3) Εστω F Y κλειστό. Από υπόθεση έχουµε f ( f 1 (F) ) f ( f 1 (F)) F = F. Εποµένως Παρατηρήσεις. f 1 (F) f 1 (F), άρα το f 1 (F) είναι κλειστό. (1) Η συνεπαγωγή (2) (1) εξακολουθεί να ισχύει αν αντί της αντίστροφης εικόνας κάθε ανοιχτού συνόλου, πάρουµε την αντίστροφη εικόνα κάθε συνόλου µιας ϐάσης για την τοπολογία του Y. (2) Η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής: x λ x f (x λ ) f (x) g( f (x λ )) g( f (x)). Παράδειγµα. Εστω T η τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων στοê. Θεωρούµε τις συναρτήσεις f, g : (Ê, T ) Ê(το πεδίο τιµών έχει τη συνηθισµένη τοπολογία), µε τύπους 0, αν x 0 0, αν x<0 f (x)= g(x)= 1, αν x>0 1, αν x 0. Τότε η f είναι συνεχής διότι η αντίστροφη εικόνα οποιουδήποτε συνόλου είναι το, ή τοê, ή το (0,+ ), ή το (, 0]. Ολα αυτά τα σύνολα είναι ανοιχτά. Η g δεν είναι συνεχής διότι η αντίστροφη εικόνα οποιουδήποτε ανοιχτού διαστήµατος περιέχει το 1 αλλά όχι το 0 είναι το µη ανοιχτό σύνολο [0, + ). Φυσικά, καµία από τις δυο συναρτήσεις δεν είναι συνεχής ως προς τη συνηθισµένη τοπολογία. Ορισµός. Εστω X, Y τοπολογικοί χώροι και f : X Y µια αντιστρέψιµη (1-1 και επί) συνάρτηση. Η f λέγεται οµοιοµορφισµός αν είναι συνεχής και έχει συνεχή αντίστροφη. Αν µεταξύ δυο τοπολογικών χώρων υπάρχει οµοιοµορφισµός, τότε οι χώροι λέγονται οµοιοµορφικοί. Θεώρηµα. Εστω f : X Y µια αντιστρέψιµη συνάρτηση ανάµεσα σε δυο τοπολογικούς χώρους. Τα ακόλου- ϑα είναι ισοδύναµα. (1) Η f είναι οµοιοµορφισµός. (2) Η f είναι συνεχής και για κάθε G X ανοιχτό, το f (G) είναι ανοιχτό. (3) Η f είναι συνεχής και για κάθε F X κλειστό, το f (F) είναι κλειστό. (4) Για κάθε A X, f ( A ) = f (A). Απόδειξη. (1) (2) Η f 1 : Y X είναι συνεχής αν και µόνο για κάθε G Xανοιχτό, το ( f 1 ) 1 (G)= f (G) είναι ανοιχτό. (2) (3) Εστω F X κλειστό. Τότε το X F είναι ανοιχτό, άρα από υπόθεση το f (X F)=Y f (F) είναι ανοιχτό, εποµένως το f (F) είναι κλειστό. (3) (2) Τελείως ανάλογα µε το προηγούµενο. (3) (4) Από υπόθεση το f ( A ) είναι κλειστό. Επίσης f (A) f ( A ). Άρα f (A) f ( A ). Αλλά η f είναι συνεχής, εποµένως, από το προηγούµενο ϑεώρηµα, f (A) f ( A ). Συνεπώς f (A)= f ( A ) (4) (3) Εστω F X κλειστό. Τότε f (F)= f ( F ) = f (F). Άρα το f (F) είναι κλειστό. Επίσης, f ( A ) f (A) για κάθε A X, άρα η f είναι συνεχής από το προηγούµενο ϑεώρηµα. (1) υο αριθµήσιµοι διακριτοί χώροι είναι οµοιοµορφικοί. (2) ΣτοÊ, η τοπολογία T των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστηµάτων δεν είναι οµοιοµορφική µε την συνηθισµένη τοπολογία. Πράγµατι, αν υπήρχε οµοιοµορφισµός f : (Ê, T ) Êτότε το f ((a, b]) ϑα ήταν µη κενό, διαφορετικό από τοê, ανοιχτό και κλειστό (ως προς τη συνηθισµένη τοπολογία). Αυτό είναι άτοπο. Παρατήρηση. Μια ιδιότητα λέγεται τοπολογική αν διατηρείται από κάθε οµοιοµορφισµό. Ετσι δυο οµοιο- µορφικοί χώροι έχουν τις ίδιες τοπολογικές ιδιότητες, και εποµένως από αυτή την άποψη τους ταυτίζουµε. 14

15 5. Η Σχετική Τοπολογία και η Τοπολογία Γινόµενο Ορισµός. Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και Y X. Η οικογένεια T Y ={G Y : G T}είναι προφανώς µια τοπολογία στο Y. Η T Y ονοµάζεται σχετική τοπολογία του Y (ως προς την T ). X Y G Y G Τα σύνολα της T Y ϑα τα λέµε ανοιχτά στο Y. Οµοίως και µε τις άλλες τοπολογικές έννοιες. Για παράδειγµα, ϑα µιλάµε για την κλειστότητα ενός συνόλου A Y ως προς τη σχετική τοπολογία και ϑα γράφουµε cl Y (A), κ.τ.λ. Οταν λέµε απλώς «ανοιχτό», «κλειστό», κ.τ.λ. χωρίς κάποιον άλλο προσδιορισµό, ϑα εννοούµε ως προς την τοπολογία ολόκληρου του X. Παρατηρήσεις. (1) Θα έλεγε κανείς ότι ο λογικότερος τρόπος να ορίσει κανείς µια τοπολογία στο Y είναι να ϑεωρήσει την οικογένεια{g T : G Y}. Το πρόβληµα είναι ότι αν το Y δεν είναι ανοιχτό τότε η οικογένεια αυτή δεν είναι τοπολογία. Μάλιστα είναι δυνατό να αποτελείται µόνο από το κενό σύνολο. (2) Η σχετική τοπολογία είναι η µικρότερη τοπολογία στο Y ως προς την οποία η ταυτοτική απεικόνιση ϕ : Y X,ϕ(y)=y, είναι συνεχής. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η σχετική τοπολογία ορίστηκε µε τον τρόπο που ορίστηκε. Η συνέχεια τηςϕείναι η ϕυσιολογικότερη απαίτηση που µπορεί να έχει κανείς από µια τοπολογία στο Y η οποία είναι «συµβατή» µε την τοπολογία ολόκληρου του X. (1) Στοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία ϑέτουµε Y = [0, 1] {2}. Τότε τα σύνολα [0, 1/2) και{2} είναι ανοιχτά στο Y (αλλά όχι σ ολόκληρο τοê). (2) ΣτοÊ2 µε τη συνηθισµένη τοπολογία ϑέτουµε Y=Ê {0}. Τότε το σύνολο (0, 1) {0} είναι ανοιχτό στο Y. Παρατηρήστε ότι κανένα υποσύνολο του Y δεν είναι ανοιχτό στοê2 (το Y είναι µια ευθεία γραµµή). Το σηµείο{(0, 0)} δεν ανοιχτό στο Y διότι κανένας ανοιχτός δίσκος δεν µπορεί να τέµνει µια ευθεία σ ένα µονοσύνολο. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος και Y X. Τότε: Απόδειξη. (1) Αν B είναι µια ϐάση (αντίστοιχα υποβάση) για την τοπολογία του X τότε η οικογένεια{b Y : B B} είναι µια ϐάση (αντίστοιχα υποβάση) για τη σχετική τοπολογία του Y. (2) Ενα σύνολο A Yείναι κλειστό στο Y αν και µόνο αν υπάρχει F X κλειστό τέτοιο ώστε A=F Y. (3) Αν το Y είναι ανοιχτό (αντίστοιχα κλειστό), τότε ένα σύνολο A Y είναι ανοιχτό (αντίστοιχα κλειστό) στο Y αν και µόνο είναι ανοιχτό (αντίστοιχα κλειστό). (4) Εστω y λ Y ένα δίκτυο στο Y, και y Y. Τότε y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία, αν και µόνο αν y λ y. (5) Αν A Y, τότε cl Y (A)=Y cl (A) και int Y (A) Y int (A). (6) Αν Z είναι κάποιος άλλος τοπολογικός χώρος και f : X Z µια συνεχής συνάρτηση, τότε ο περιορισµός f Y : Y Z είναι συνεχής. (1) Εστω A Y ανοιχτό στο Y. Τότε υπάρχει G Xανοιχτό τέτοιο ώστε A=G Y. Αφού η B είναι ϐάση υπάρχουν B i B, i I, τέτοια ώστε G= i I B i. Αλλά τότε A= i I B i Y. Οµοίως για την υποβάση. (2) Αν το A είναι κλειστό στο Y τότε το Y A είναι ανοιχτό στο Y, άρα υπάρχει G Xανοιχτό τέτοιο ώστε Y A=G Y, εποµένως A=(X G) Y µε X G κλειστό. Αντίστροφα, αν A= F Y για κάποιο F κλειστό, τότε Y A=(X F) Y µε X F ανοιχτό. Άρα το Y A είναι ανοιχτό στο Y, εποµένως το A είναι κλειστό στο Y. 15

16 (3) Εστω ότι το Y είναι ανοιχτό. Αν τώρα το A είναι ανοιχτό στο Y τότε A=G Y για κάποιο G ανοιχτό. Άρα και το A είναι ανοιχτό ως τοµή δυο ανοιχτών συνόλων. Αντίστροφα, αν το A είναι ανοιχτό τότε γράφουµε A = A Y και συµπεραίνουµε ότι το A είναι ανοιχτό στο Y από τον ορισµό της σχετικής τοπολογίας. Οµοίως για τα κλειστά. (4) Εστω ότι y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία, και έστω U µια περιοχή του y. Η U Y είναι περιοχή του y ως προς τη σχετική τοπολογία, άρα υπάρχειλ 0 τέτοιο ώστε y λ U Y U για κάθε λ λ 0. Εποµένως y λ y. Αντίστροφα, έστω ότι y λ y, και έστω A µια περιοχή του y ως προς τη σχετική τοπολογία. Τότε A=V Y για κάποια περιοχή V του y. Αφού το δίκτυο συγκλίνει υπάρχειλ 0 τέτοιο ώστε y λ V για κάθελ λ 0. Αλλά το δίκτυο ϐρίσκεται στο Y, άρα y λ V Y= A για κάθελ λ 0, το οποίο σηµαίνει ότι y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία. (5) Εστω y cl Y (A) Y. Τότε υπάρχει δίκτυο y λ A τέτοιο ώστε y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία. Τότε, από το (4), έχουµε ότι y λ y, άρα y Y cl (A). Αντίστροφα, έστω y Y cl (A). Τότε υπάρχει δίκτυο y λ A τέτοιο ώστε y λ y. Αφού y Y, από το (4) συνεπάγεται ότι y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία, άρα y cl Y (A). Εστω τώρα y Y int (A). Τότε υπάρχει περιοχή U του y τέτοια ώστε U A. Αλλά τότε το U Y είναι µια περιοχή του y ως προς τη σχετική τοπολογία η οποία περιέχεται στο A. Άρα y int Y (A). (6) Εστω y λ Y ένα δίκτυο στο Y τέτοιο ώστε, για κάποιο y Y, έχουµε y λ y ως προς τη σχετική τοπολογία. Τότε από το (4), y λ y. Αφού η f είναι συνεχής, έχουµε f (y λ ) f (y), άρα f Y (y λ ) f Y (y). Εποµένως η f Y είναι συνεχής. Παρατήρηση. Στο (5) του προηγούµενου ϑεωρήµατος γενικά έχουµε int Y (A) Y int (A). Για παράδειγµα, στοêµε τη συνηθισµένη τοπολογία, int ({1})={1}, αλλά int ({1})=. Θα ορίσουµε τώρα µια ϕυσιολογική τοπολογία στο καρτεσιανό γινόµενο µιας οικογένειας τοπολογικών χώρων. Ορισµός. Εστω X i, i I, µια οικογένεια τοπολογικών χώρων. Για κάθε j I ϑεωρούµε τις προβολές p j : X i X j, p j (x)= x( j), και ϑέτουµε C={p 1 i (G i ) : G i X i ανοιχτό, i I}. Η τοπολογία που παράγει η οικογένεια C ονοµάζεται τοπολογία γινόµενο στο i I X i. Παρατηρήσεις. i I (1) Η τοπολογία γινόµενο είναι η µικρότερη τοπολογία στο i I X i ως προς την οποία οι προβολές είναι συνεχείς. (2) Μια ϐάση για την τοπολογία γινόµενο είναι η οικογένεια όλων των συνόλων της µορφής n p 1 i k (G ik ), G ik X ik ανοιχτό, i 1,..., i k I, n Æ, δηλαδή όλες οι πεπερασµένες τοµές συνόλων της C. Ισοδύναµα, µια ϐάση αποτελείται από όλα τα σύνολα της µορφής i I G i, όπου τα G i X i είναι ανοιχτά και G i X i για το πολύ πεπερασµένο πλήθος i. (3) Αν πάρουµε µια πεπερασµένη οικογένεια τοπολογικών χώρων X 1, X 2,..., X m τότε µια ϐάση για την τοπολογία γινόµενο στο X 1 X m είναι όλα τα «ορθογώνια» G 1 G m, όπου τα G k X k είναι ανοιχτά. Αυτό προκύπτει από τη σχέση n G k = n p 1 k (G k). (4) Αν το G i I X i είναι ανοιχτό τότε το p j (G) είναι ανοιχτό για κάθε j. (5) Η προβολή ενός κλειστού συνόλου δεν είναι κατ ανάγκη κλειστό σύνολο. Για παράδειγµα στοê2, το σύνολο F={(x, 1/x) : x>0} είναι κλειστό, αλλά p 1 (F)= p 2 (F)=(0,+ ). (1) Η τοπολογία γινόµενο στοên ταυτίζεται µε τη συνηθισµένη τοπολογία που επάγει η Ευκλείδεια µετρική. Αυτό προκύπτει από το ότι µέσα σε κάθε ανοιχτή µπάλα µπορούµε να ϐρούµε έναν ανοιχτό κύβο µε το ίδιο κέντρο, και αντιστρόφως. 16

17 (2) ΣτοÊn µε την τοπολογία γινόµενο, το σύνολο n (0, 1)=(0, 1) n = (0, 1) (0, 1) } {{ } n παράγοντες είναι ανοιχτό (σαν σύνολο της ϐάσης). (3) ΣτοÊƵε την τοπολογία γινόµενο, το σύνολο A= (0, 1)=(0, 1) N = (0, 1) (0, 1) n=1 ΕΝ είναι ανοιχτό. Στην πραγµατικότητα A =. Αν το A είχε µη κενό εσωτερικό, τότε ϑα υπήρχαν i 1,..., i n Æκαι ανοιχτά σύνολα G i1,...,g in Êέτσι ώστε n p 1 i k (G ik ) A. Επιλέγουµε τώρα m Æ {i 1,...,i n }. Τότε n Ê= p m p 1 i k (G ik ) p m(a)=(0, 1), άτοπο. Γενικότερα, σ ένα καρτεσιανό γινόµενο µε άπειρους παράγοντες, ένα ορθογώνιο, τυπικά δεν είναι ανοιχτό σύνολο. (4) Αν το{0, 1} έχει τη διακριτή τοπολογία τότε η τοπολογία γινόµενο στο{0, 1} n είναι η διακριτή για κάθε n N. Αντίθετα, το{0, 1}Æδεν έχει τη διακριτή τοπολογία. Θεώρηµα. Εστω X i, i I, µια οικογένεια τοπολογικών χώρων. Θέτουµε X= i I X i. (1) Ενα δίκτυο x λ X συγκλίνει σε κάποιο x X αν και µόνο αν p i (x λ ) p i (x) για κάθε i I. ηλαδή το δίκτυο συγκλίνει αν και µόνο αν συγκλίνει κατά συντεταγµένη. (2) Αν A i X i, i I, τότε cl A i = A i, A i A i. i I i I i I i I (3) Εστω Y ένας άλλος τοπολογικός χώρος και f : Y X µια συνάρτηση. Η f είναι συνεχής αν και µόνο αν η p i f είναι συνεχής για κάθε i I. Y f X p i f p i X i Απόδειξη. (1) Η µια κατεύθυνση προκύπτει από τη συνέχεια των προβολών p i. Για την άλλη κατεύθυνση, έστω n p 1 i k (G ik ) µια περιοχή του x. Τότε το G ik είναι περιοχή του p ik (x). Αφού p ik (x λ ) p ik (x), υπάρχουνλ 1,...,λ n τέτοια ώστε p ik (x λ ) G ik για κάθελ λ k. Επιλέγουµελ 0 τέτοιο ώστελ 0 λ k για κάθε, 2,..., n. Τότε x λ n p 1 i k (G ik ) για κάθελ λ 0, άρα x λ x. (2) Εστω x cl ( ) i I A i. Τότε υπάρχει δίκτυο xλ i I A i τέτοιο ώστε x λ x. Τώρα, από το (1), έχουµε ότι p i (x λ ) p i (x) για κάθε i. Αλλά τότε p i (x) A i για κάθε i, δηλαδή x i I A i. Αντίστροφα, έστω x i I A i, και έστω n p 1 i k (G ik ) τυχούσα περιοχή του x. Τότε το G ik είναι περιοχή του p ik (x) A ik άρα G ik A ik. Εποµένως n p 1 i k (G ik ) i I A i διότι οι i k -πλευρές του ορθογωνίου n p 1 i k (G ik ) είναι τα σύνολα G ik τα οποία τέµνουν τα A ik, ενώ οι υπόλοιπες i- πλευρές είναι ολόκληροι οι χώροι X i οι οποίοι προφανώς τέµνουν τα A i. Συνεπώς x cl ( ) i I A i. Για τη δεύτερη σχέση, αν το αριστερά µέλος είναι κενό τότε δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε. Εστω λοιπόν x ( ) i I A. i Τότε υπάρχουν ανοιχτά Gik X ik,,..., n, τέτοια ώστε n x p 1 i k (G ik ) A i. i I 17

18 Άρα p ik (x) G ik A ik για κάθε k, και κατ ανάγκη, A j = X j για κάθε j διαφορετικό από τα i k. Εποµένως p ik (x) A i k για κάθε k. Συνεπώς x i I A i. Ισότητα γενικά δεν έχουµε, όπως δείχνει το (3) των προηγούµενων παραδειγµάτων. (3) Αν η f είναι συνεχής τότε η p i f είναι συνεχής σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Για το αντίστροφο, έστω y λ ένα δίκτυο στο Y µε y λ y. Τότε p i ( f (y λ )) p i ( f (y)) για κάθε i. Άρα, από το (1), f (y λ ) f (y). Εποµένως η f είναι συνεχής. (1) Ταυτίζουµε το σύνολο όλων των συναρτήσεων από τοêστοêµε το γινόµενοêê. Τότε µια ακολουθία συναρτήσεων f n συγκλίνει κατά σηµείο σε κάποια συνάρτηση f αν και µόνο αν f n f ως προς την τοπολογία γινόµενο. (2) Αν ϑεωρήσουµε το C([0, 1]) υποσύνολο τουê[0,1] τότε η τοπολογία της άσκησης (10) του 1ου ϕυλλαδίου συµπίπτει µε την σχετική τοπολογία γινόµενο. (3) ΕστωÊs το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διαστη- µάτων. Τότε το A={(x, x) : x Ê} (η αντιδιαγώνιος) δεν έχει σηµεία συσσώρευσης ως προς την τοπολογία γινόµενο στονês Ês. Πράγµατι, για κάθε x η περιοχή (, x] (, x] τέµνει το A ακριβώς στο σηµείο (x, x). Επίσης το A είναι κλειστό διότι είναι κλειστό ως προς τη συνηθισµένη τοπολογία τουê2, άρα A =. 18

19 6. Συνεκτικότητα Ορισµός. Ενας τοπολογικός χώρος X ονοµάζεται συνεκτικός αν δεν υπάρχουν U, V X µη κενά, ανοιχτά και ξένα τέτοια ώστε X= U V. Ενα σύνολο A Xονοµάζεται συνεκτικό αν είναι συνεκτικός χώρος ως προς τη σχετική τοπολογία. (1) Σε κάθε τοπολογικό χώρο τα µονοσύνολα είναι συνεκτικά. (2) Ενας διακριτός χώρος µε τουλάχιστο δυο σηµεία δεν είναι συνεκτικός, γιατί αν x X τότε X={x} (X {x}). (3) Το A = [0, 1) {2} δεν είναι συνεκτικό γιατί τα [0, 1) και{2} είναι ανοιχτά στο A. (4) ΤοÉδεν είναι συνεκτικό διότιé= ( (, ( 2) É) ( 2,+ ) É). Ê (5) Τοʵε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοιχτων διατηµάτων δεν είναι συνεκτικό διότι Ê=(, 0] (0,+ ). (6) Τοʵε τη συνηθισµένη τοπολογία είναι συνεκτικό γιατί αν υποθέσουµε ότι υπάρχουν U, V µη κενά, ανοιχτά και ξένα τέτοια ώστεê=u V, τότε το U=Ê V είναι ανοιχτό, κλειστό, µη κενό γνήσιο υποσύνολο τουê, άτοπο. Θεώρηµα. Εστω X τοπολογικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: Απόδειξη. (1) Ο X είναι συνεκτικός. (2) Τα µοναδικά υποσύνολα του X τα οποία είναι ανοιχτά και κλειστά είναι το και το X. (3) εν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : X {0, 1} η οποία είναι επί. (1) (2) Εστω A X ανοιχτό και κλειστό. Τότε τα σύνολα A και X A είναι ανοιχτά και ξένα, και X= A (X A). Αφού ο X είναι συνεκτικός, πρέπει είτε A= ήx A=. ηλαδή είτε A= ή A=X. (2) (3) Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει f : X {0, 1} συνεχής και επί. Τότε το f 1 ({0}) είναι ανοιχτό, κλειστό, µη κενό γνήσιο υποσύνολο του X, άτοπο. (3) (1) Εστω ότι ο X δεν είναι συνεκτικός. Τότε υπάρχουν U, V X µη κενά ανοιχτά και ξένα τέτοια ώστε X= U V. Εποµένως η συνάρτηση f : X {0, 1} µε 1, αν x U f (x)= 0, αν x V είναι συνεχής και επί, άτοπο. Θεώρηµα. Ενα υποσύνολο τουêείναι συνεκτικό αν και µόνο αν είναι διάστηµα. Απόδειξη. Αν κάποιο συνεκτικό A Êδεν είναι διάστηµα, τότε υπάρχουν x, y Aκαι z Aµε x<z<y. Αλλά τότε A = ((, z) A) ((z, + ) A), άτοπο. Αντίστροφα, αν υποθέσουµε ότι κάποιο διάστηµα A δεν είναι συνεκτικό, τότε υπάρχει f : A Êσυνεχής η οποία παίρνει ακριβώς δυο τιµές. Αυτό είναι άτοπο από το ϑεώρηµα ενδιάµεσης τιµής του απειροστικού λογισµού. Θεώρηµα. Εστω X συνεκτικός χώρος και f : X Y συνεχής και επί. Τότε ο Y είναι συνεκτικός. Απόδειξη. Αν ο Y δεν ήταν συνεκτικός τότε ϑα υπήρχε g : Y {0, 1} συνεχής και επί. Αλλά τότε η σύνθεση g f : X {0, 1} ϑα ήταν συνεχής και επί, άτοπο. (1) Ο µοναδιαίος κύκλος S 1 ={(x, y) Ê2 : x 2 + y 2 = 1} είναι η εικόνα του διαστήµατος [0, 2π] µέσω της συνεχούς απεικόνισης f (t) = (cos t, sin t), άρα είναι συνεκτικό σύνολο. (2) ΣτοÊn µια ευθεία που περνάει από το σηµείο x 0 και έχει κατεύθυνση e είναι συνεκτικό σύνολο ως εικόνα τουêµέσω της συνεχούς f (t)= x 0 + te. Το ακόλουθο είναι η «αφηρηµένη έκδοση» του ϑεωρήµατος ενδιάµεσης τιµής. Θεώρηµα. Εστω X συνεκτικός χώρος και f : X Êσυνεχής. Τότε η f παίρνει κάθε τιµή ανάµεσα σε δυο οποιεσδήποτε τιµές της. 19

20 Απόδειξη. Αφού ο X συνεκτικός το f (X) είναι συνεκτικό υποσύνολο τουê, άρα είναι διάστηµα. Εστω τώρα ξ 1,ξ 2 f (X) δυο τιµές της f µεξ 1 <ξ 2, καιξ (ξ 1,ξ 2 ). Αφού το f (X) είναι διάστηµα, έχουµε ότιξ f (X), δηλαδή τοξείναι τιµή της f. Θεώρηµα. Εστω A i, i I, µια οικογένεια συνεκτικών συνόλων µε ένα τουλάχιστο κοινό σηµείο. Τότε η ένωση i I A i είναι συνεκτικό. Απόδειξη. Εστω x 0 i I A i, και f : i I A i {0, 1} συνεχής. Θα δείξουµε ότι η f είναι σταθερή. Εστω x i I A i. Τότε x A i για κάποιο i. Αλλά ο περιορισµός f Ai είναι σταθερή συνάρτηση γιατί το A i είναι συνεκτικό. Εποµένως f (x)= f (x 0 ). Η ισότητα αυτή ισχύει για κάθε x, άρα η f είναι σταθερή. Παρατήρηση. Η τοµή δυο συνεκτικών συνόλων δεν είναι κατ ανάγκη συνεκτικό σύνολο. Για παράδειγµα, στο επίπεδο, ένας κύκλος τέµνει µια διάµετρο του σε δύο σηµεία. Θεώρηµα. Αν το A είναι συνεκτικό και A B A, τότε το B είναι συνεκτικό. Ιδιαίτερα, η κλειστότητα ενός συνεκτικού συνόλου είναι συνεκτική. Απόδειξη. Εστω f : B {0, 1} συνεχής. Αφού το A είναι συνεκτικό, ο περιορισµός f A είναι σταθερή συνάρτηση, δηλαδή το f (A) είναι µονοσύνολο. Αλλά f (B)= f (B A)= f (cl B A) f (A)= f (A). Άρα το f (B) είναι µονοσύνολο. Εποµένως η f είναι σταθερή. Συνεπώς το B είναι συνεκτικό. Παράδειγµα. ΣτοÊ2 ϑέτουµε X={(x, sin(1/x)) : x>0}. Το X είναι συνεκτικό ως συνεχής εικόνα συνεκτικού συνόλου. Εποµένως το X = X ({0} [ 1, 1]) είναι συνεκτικό. Παρατηρήστε ότι αν αφαιρέσουµε οποιοδήποτε σύνολο σηµείων από το ευθύγραµµο τµήµα{0} [ 1, 1], το σύνολο που προκύπτει παραµένει συνεκτικό γιατί ϐρίσκεται µεταξύ ενός συνεκτικού συνόλου και της κλειστότητας του. Θεώρηµα. Εστω X i, i I, µια οικογένεια τοπολογικών χώρων. Τότε το γινόµενο i I X i είναι συνεκτικό αν και µόνο αν κάθε παράγοντας X i είναι συνεκτικός. Απόδειξη. Αν το γινόµενο είναι συνεκτικό τότε κάθε X j είναι συνεκτικό ως συνεχής εικόνα του i I X i µέσω της προβολής p j. Για το αντίστροφο, ϑα δείξουµε αρχικά ότι αν X και Y είναι δυο συνεκτικοί χώροι τότε το X Y είναι συνεκτικό. Σταθεροποιούµε (x 0, y 0 ) X Y και για κάθε x X ϑεωρούµε τον «σταυρό» C x = ({x} Y) (X {y 0 }). Y (x 0, y 0 ) (x, y 0 ) x X 20

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Functon Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών 2 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ UNIVERSITY OF PATRAS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον. 67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα