Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια

Transcript

1 1 Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια Ιωάννης Παπαδόπουλος Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών Περίληψη Στην εργασία αυτή θα δώσουμε την περιγραφή μιας θεωρητικής προσέγγισης στο χώρο της επίλυσης προβλήματος, αυτήν της Επίλυσης Προβλήματος Συνυφασμένης με μια Έννοια (ΕΠΣΕ). (Η περιγραφή αυτή θα συνοδεύεται από ένα συγκεκριμένο παράδειγμα μιας έννοιας και συγκεκριμένα του εμβαδού). Η ΕΠΣΕ σε ένα πρώτο στάδιο μέσα από μια σειρά προβλημάτων με κοινό εννοιολογικό υπόβαθρο εφοδιάζει τους μαθητές- λύτες με μια συλλογή τεχνικών σχετικών με τη συγκεκριμένη έννοια. Αργότερα η χρήση των τεχνικών αυτών δεν ενισχύει πια την έννοια, και αντί γι αυτό οι λύτες εμπλέκουν την καλή γνώση της έννοιας που πια κατέχουν, προκειμένου να οργανώσουν τις γνωστές μεθόδους τις σχετικές με την έννοια, ώστε να δρομολογήσουν στρατηγικές που θα οδηγούν στη λύση. Αυτή η πλατφόρμα της ΕΠΣΕ υποστηρίζει την επιχειρηματολογία του λύτη και οδηγεί στην ανάπτυξη ιδιαίτερα εντυπωσιακών στρατηγικών. Επιπλέον αφήνεται ως ανοιχτή η ιδέα για την εφαρμογή της πλατφόρμας αυτής και σε άλλες έννοιες πέρα από το εμβαδόν, του οποίου η περίπτωση πιστεύουμε ότι αποτελεί ένα καλό υπόδειγμα. Η προοπτική της Επίλυσης Προβλήματος Συνυφασμένης με μια Έννοια Είναι γνωστό ότι ο Polya παραθέτει ένα σφαιρικό σχέδιο τεσσάρων βημάτων για την επίλυση προβλήματος (Polya, 1973, σ. 33): Πρώτο βήμα: Κατανόηση του προβλήματος Δεύτερο βήμα: Εύρεση ενός σχεδίου για την επίλυση Τρίτο βήμα: Εκτέλεση του σχεδίου Τέταρτο βήμα: Εξέταση της λύσης που βρέθηκε Το σχέδιο αυτό βασιζόταν στην πεποίθησή του ότι υπάρχει μια τέχνη της ανακάλυψης και ότι η ικανότητα να ανακαλύπτεις και να επινοείς μπορεί να ενισχυθεί με την κατάλληλη διδασκαλία που κινητοποιεί το μαθητή και τον ωθεί προς τις αρχές της ανακάλυψης, δίνοντάς του την ευκαιρία να τις ασκήσει. Η ανάλυση των παραπάνω βημάτων οδηγεί σε ατομικές στρατηγικές (ευρετικές αρχές) που μπορούν να χρησιμοποιηθούν την

2 2 κατάλληλη στιγμή. Ο Schoenfeld (1985), μεταξύ άλλων αργότερα, προώθησε τις ιδέες του Polya πάνω στην επίλυση προβλήματος, κάνοντας μάλιστα μια ενδιαφέρουσα ταξινόμηση των ευρετικών αρχών που χρησιμοποιούνται συχνά (και που όμως αφορούσε τα μαθηματικά σε κολεγιακό επίπεδο, χωρίς από την άλλη να περιορίζει την επεκτασιμότητά τους). Οι ευρετικές στρατηγικές (ή απλά ευρετικές) είναι κανόνες για την επιτυχή επίλυση προβλήματος, γενικές υποδείξεις που βοηθούν το μαθητή να κατανοήσει καλύτερα ένα πρόβλημα ή να σημειώσει πρόοδο προς την επίλυση και πρέπει να τονιστεί ότι όταν κάποιος εστιάζει στη μαθηματική σκέψη πρέπει να δίνει ιδιαίτερη βαρύτητα μεταξύ άλλων στις στρατηγικές (Schoenfeld, 1994). Υπάρχει όμως το ενδεχόμενο να έχουμε μεθοδολογικές τακτικές πιο ειδικές από τις ευρετικές. Οι Mamona-Downs and Downs (2004; 2005), τις αποκαλούν «τεχνικές επίλυσης προβλήματος». Οι τεχνικές αυτές «συλλέγονται» καθώς οι μαθητές τις συναντούν σε ποικίλα μαθηματικά πλαίσια. Έτσι λοιπόν από τη μια εξάγουμε μια τεχνική μέσα από λύσεις που έχουν ολοκληρωθεί με επιτυχία και που στηρίζουν την τεχνική και από την άλλη η κατανόησή της υλοποιείται ως ανταπόκριση σε παλαιότερες εμπειρίες επίλυσης προβλήματος. Στο σημείο αυτό αξίζει να παρουσιαστεί η γενική θεώρηση που διέπει την οπτική γωνία αυτής της εργασίας ως προς την επίλυση προβλήματος. Η επισταμένη ερευνητική δουλειά στο χώρο της επίλυσης προβλήματος, οδήγησε σε δυο πολύ βασικές προσεγγίσεις στην περιοχή αυτή: Η μια θεωρεί την επίλυση προβλήματος προσανατολισμένη προς το αποτέλεσμα, όπου το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στο πως η λύση ενισχύει την κατανόηση κάποιων εννοιών, γεγονότων ή αρχών. Η άλλη θεωρεί την επίλυση προβλήματος ως βασιζόμενη στην έννοια της στρατηγικής, όπου το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στο πως επιτυγχάνεται αυτή καθεαυτή η λύση. Οι δυο αυτές προσεγγίσεις είναι γνωστές ως διδασκαλία μέσω της επίλυσης προβλήματος (teaching via problem solving), και διδασκαλία σχετικά με την επίλυση προβλήματος (teaching about problem solving) (Schroeder & Lester, 1989). Στην πρώτη τα προβλήματα αξιολογούνται όχι μόνο ως σκοπός για τη μάθηση των μαθηματικών αλλά και ως πρωταρχικό μέσο για να γίνει αυτό. Η διδασκαλία ξεκινά συνήθως με μια προβληματική κατάσταση που ενσωματώνει όψεις κλειδιά της ενότητας που θα διδαχθεί και αναπτύσσονται μαθηματικές τεχνικές ως λογικές αποκρίσεις σε λογικά προβλήματα. Η δεύτερη, απηχεί πιστά το μοντέλο του Polya με τις τέσσερις φάσεις του. Επιπλέον διδάσκονται μια σειρά από «ευρετικές», από τις οποίες μπορούν οι μαθητές να επιλέγουν προκειμένου να διεκπεραιώσουν το σχέδιο επίλυσης προβλήματος που έχουν καταστρώσει. Για τη

3 3 διδασκαλία σχετικά με την επίλυση προβλήματος έχει υπάρξει μια μακρά παράδοση εδραιωμένη από συγγραφείς όπως ο Polya (1973) και ο Schoenfeld (1985), όπου έννοιες όπως οι ευρετικές (heuristics) ή ο εκτελεστικός έλεγχος (executive control) κατέχουν κεντρική θέση. Όμως η παράδοση αυτή συνήθως δε δίνει έμφαση σε ένα σταθερό μαθηματικό θέμα. Η διδασκαλία μέσω της επίλυσης προβλήματος αντίθετα έχει μια τάση να διατηρεί μια σειρά διαδοχικών προβλημάτων σχετικών με μια συγκεκριμένη έννοια. Τα προβλήματα αυτά συνήθως είναι μη-τετριμμένα, ώστε να είναι εύλογη η προσδοκία συμβολής στο γνωστικό επίπεδο των μαθητών σε σχέση με την αντίστοιχη έννοια, μέσα από την ωριμότητα που απαιτούν τέτοια προβλήματα για την επίλυσή τους. Όμως, κάποιες φορές αυτό δε συμβαίνει. Εάν ο λύτης ήδη κατέχει την απαιτούμενη εννοιακή υποδομή, αυτό (το πρόβλημα) περιορίζεται στο πως θα γίνει η διαχείριση της ήδη γνωστής και αφομοιωμένης μεθοδολογίας που σχετίζεται με την έννοια. Αυτή ή όψη της επίλυσης προβλήματος όμως, έχει ένα πλαίσιο το οποίο έχει επιβληθεί από την έννοια, οπότε αναγκάζει το μαθητή να ενεργεί μέσα σε ένα συγκεκριμένο πεδίο δράσης. Πάντα θα υπάρχει μια σύνδεση με την έννοια, όμως όχι απαραίτητα μια άμεση εξάρτηση από αυτήν. Γι αυτό εισάγουμε έναν όρο που να περιγράφει την κατάσταση αυτή, την Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια (από δω και πέρα για συντομία ΕΠΣΕ) (Mamona-Downs & Papadopoulos, υπό έκδοση; 2006). Τυπικά αυτό που συνδέεται άμεσα με την ΕΠΣΕ είναι μια συλλογή από τεχνικές που εισάγονται διδακτικά με μια αρχική πρόθεση να ενισχύσουν την κατανόηση της έννοιας και των εγγενών της ιδιοτήτων. Μετά από μια περίοδο εκγύμνασης, η χρήση των τεχνικών αυτών δεν συμβάλλει πια στην πρόσληψη και ενίσχυση της έννοιας (conceptualization). Αντίθετα, οι μαθητές εμπλέκουν την υπεροχή που διαθέτουν σχετικά με τη γνώση της έννοιας, προκειμένου να οργανώσουν τις μεθόδους που ήδη γνωρίζουν, ώστε να δημιουργήσουν στρατηγικές με σκοπό να αντιμετωπίσουν δοσμένα προβλήματα. Υπάρχουν πολλοί λόγοι που μας «υποχρεώνουν» να μελετήσουμε την ΕΠΣΕ. Σηματοδοτεί μια διαδικασία κατά την οποία η επίλυση προβλήματος εξελίσσεται από έναν προσανατολισμό επικεντρωμένο στο απλό αποτέλεσμα προς μια εκτίμηση της στρατηγικής που εφαρμόστηκε. Η ύπαρξη μιας συλλογής τεχνικών που συνδέονται με μια έννοια, παρέχει μια ενιαία βάση που σπάνια συναντάται στην παράδοση της διδασκαλίας σχετικά με την επίλυση προβλήματος. Έτσι οι αξιώσεις για κάποιους από τους πιο απαιτητικούς παράγοντες, όπως η ανεπτυγμένη μεταγνώση και ο εκτελεστικός έλεγχος, θα μπορούσαν να μετριαστούν. Κατ αυτόν τον τρόπο, η ΕΠΣΕ θα μπορούσε να διαμορφώσει μια δίοδο για

4 4 την έρευνα της εξέλιξης των μαθητών στην επίλυση προβλήματος. Ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό της ΕΠΣΕ είναι ότι ο μαθητής έχει υπό την πλήρη κατοχή του μια «χειροπιαστή» γνωστική βάση με καλή συνοχή. Είναι ενδιαφέρον λοιπόν το εάν και με ποιο τρόπο οι μαθητές μπορούν να εκμεταλλευτούν αυτήν την πηγή. Και βέβαια παρά το ότι μπορούμε να μεταχειριστούμε (και να αναφερόμαστε) (σ)την ΕΠΣΕ ως μια γενική εκπαιδευτική «κατασκευή» (construct), μπορούμε ταυτόχρονα να τη μεταχειριστούμε και θεματικά ανάλογα με την έννοια που εμπλέκεται. Πρώτο στάδιο: Ανάπτυξη συλλογής τεχνικών που σχετίζονται με την έννοια Η πρώτη φάση μπορούμε να πούμε πως είναι εναρμονισμένη με το πνεύμα της διδασκαλίας σχετικά με την επίλυσης προβλήματος. Δίνοντας μια σειρά από προβλήματα με κοινό εννοιολογικό υπόβαθρο, το υπόβαθρο αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τους μαθητές-λύτες ως πηγή γνώσης που μπορεί να εφαρμοστεί σε συσχετιζόμενη επίλυση προβλήματος. Προσφέρεται στο στάδιο αυτό μια εξοικείωση με την έννοια που εφοδιάζει τους μαθητές με μια σειρά από εργαλεία και τεχνικές που,μπορούν να τους βοηθήσουν να αποφασίσουν για συγκεκριμένες προσεγγίσεις επίλυσης και εκτέλεσής τους. Έτσι οι μαθητές έχουν στη διάθεσή τους μια εργαλειοθήκη (ή αλλιώς μια επιλογή) αλληλοσχετιζόμενων τεχνικών που θα μπορούσαν να ανακληθούν σε μια ενδεχόμενη επίλυση προβλήματος. Τα στοιχεία που παρατίθενται ως χαρακτηριστικά του παραδείγματος για την έννοια του εμβαδού έχουν συλλεχθεί από ερευνητική εργασία πάνω στο θέμα με μαθητές που στην πρώτη φάση παρακολουθούσαν τις δυο τελευταίες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου (Papadopoulos, 2008; Papadopoulos & Dagdilelis, 2009) ενώ στη δεύτερη φάση οι ίδιοι μαθητές βρίσκονταν στο τέλος της Α Γυμνασίου. Λόγω του ότι βαρύτητα δίνεται στη θεωρητική υπόσταση της ΕΠΣΕ γι αυτό και παραλείπουμε να αναφερθούμε με λεπτομέρεια στο θέμα της οργάνωσης και δομής της μελέτης μας. Εικόνα 1. Σχήματα που χρησιμοποιήθηκαν στην πρώτη φάση της έρευνας Αναφερόμενοι στο παράδειγμά μας της έννοιας του εμβαδού (και μάλιστα μη κανονικών σχημάτων) η εμπειρία με μια σειρά από προβλήματα

5 5 υπολογισμού εμβαδού σχημάτων όπως αυτά στην Εικόνα 1 οδηγεί σε μια συλλογή συγκεκριμένων τεχνικών όπως: Η χρήση του πλέγματος Η διαίρεση ενός σχήματος σε υποσχήματα Η χρήση μονάδων και υπομονάδων μέτρησης Η αποκοπή επικόλληση Η δημιουργία περιγεγραμμένου ορθογωνίου, κ.α. Το θέμα είναι ότι προβλήματα που αρχικά σχεδιάζονταιι για τον εμπλουτισμό μιας έννοιας κάποιες φορές είναι προτιμότερο να θεωρούνται δραστηριότητες επίλυσης γύρω από την έννοια. Ενώ δηλαδή στο πρώτο στάδιο είναι κυρίως το περιβάλλον των προβλημάτων που επιδρά προκειμένου οι μαθητές να εφαρμόσουν συγκεκριμένες τεχνικές, στη συνέχεια, στο δεύτερο στάδιο οι τεχνικές από μόνες τους γίνονται το κέντρο της προσοχής των μαθητών προκειμένου να εξεταστούν και να προσαρμοστούν και αυτό είναι που εκφράζει κυρίως της ουσία της ΕΠΣΕ. Δεύτερο στάδιο: Αξιοποίηση των διαθέσιμων τεχνικών επίλυσης Τα προβλήματα στη φάση αυτή απαιτούν περισσότερη περίσκεψη από τη μεριά των μαθητών σχετικά με το πώς να εφαρμόσουν τις μεθόδους που ήδη κατέχουν ως διαθέσιμη πηγή και που συνδέονται με την έννοια του εμβαδού (βλέπε Εικ. 2). Πάνω στο μεγάλο τετράγωνο με πλευρά μήκους 15 έχουν τοποθετηθεί τέσσερις τετράγωνες κάρτες με μήκος πλευράς 9. Στην εικόνα παρακάτω, η σκιασμένη περιοχή φανερώνει πού δυο ή περισσότερες τέτοιες κάρτες αλληλοκαλύπτονται. Ποιο είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής; Ένας συμμαθητής σου προσπαθεί να υπολογίσει το εμβαδόν αυτό με τον εξής τρόπο: «Το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου είναι 15 χ 15, και το εμβαδόν κάθε κάρτας είναι 9 χ 9. Έχω τέσσερις κάρτες. Άρα το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής θα είναι: 4 χ 9 χ 9 15 χ 15». Έχει δίκιο ο μαθητής; Επιτρέπεται μόνο δυο φορές να κόψεις ένα κομμάτι και να το κολλήσεις όπου νομίζεις ότι ταιριάζει ώστε το τρίγωνο να μετασχηματιστεί στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

6 6 Προσπαθήστε να υπολογίσετε το εμβαδόν του πράσινου σχήματος C σε σχέση με το εμβαδόν των σχημάτων Α και Β. Πώς μπορεί να εκφραστεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου C σε σχέση με τα εμβαδά των ορθογωνίων Α και Β; Εικόνα 2. Προβλήματα που τέθηκαν στη δεύτερη φάση της έρευνας Η αντίληψη της έννοιας είναι σημαντική προκειμένου να προάγουμε τα μαθηματικά. Σύντομα όμως τίθενται εμπόδια στην κίνηση αυτή να προάγουμε τα μαθηματικά αν η επιστρατευόμενη μεθοδολογία δεν μπορεί να χειριστεί, να προσαρμοστεί και να μεταφερθεί αποτελεσματικά. Έτσι περισσότερο έχουμε μια κατάσταση επίλυσης προβλήματος παρά μια κατάσταση που αποκαλύπτει μια νέα έννοια. Μέσα λοιπόν στο βοηθητικό πλαίσιο της ΕΠΣΕ οι μαθητές μπορεί να παρουσιάσουν μια σειρά από ενέργειες που διαμορφώνουν ένα προφίλ συμπεριφοράς επίλυσης προβλήματος των μαθητών: 1. Αξιοποίηση συλλογής τεχνικών. Μια απλή τεχνική που αρχικά «διαβάζεται» από μια συγκεκριμένη οπτική γωνία μπορεί να βρει την τελική της μορφή κατά πολλούς τρόπους. Εστιάζοντας στο βαθμό ελέγχου των μαθητών πάνω στις διαθέσιμες τεχνικές, οι μαθητές μπορούν να υλοποιήσουν τον έλεγχο αυτό με ποικίλους τρόπους. Επέμβαση στο περιβάλλον του προβλήματος προκειμένου να εφαρμοστεί μια στρατηγική: Στο Πρόβλημα 2 οι μαθητές έφεραν βοηθητικά ευθύγραμμα τμήματαα προκειμένου να υλοποιήσουν συγκεκριμένο τρόπο χωρισμού του μέρους του τριγώνου που βρίσκεται έξω από το ορθογώνιο. Στο πρόβλημα 3 οι μαθητές όχι απλά ενήργησαν άμεσα πάνω στο περιβάλλον του προβλήματος, αλλά κατέφυγαν στην υλοποίηση αναπαραστάσεων που τους επέτρεψαν να πραγματοποιήσουν ενέργειες στο περιβάλλον αυτό και που στη συνέχεια μεταφέρθηκαν στην αρχική κατάσταση (πχ αναπαράσταση των Α, Β, C με ομόκεντρους κύκλους ή ράβδους ή ακόμη και με χρήση χειροπιαστών αντικειμένων προκειμένου να γίνει αντιληπτή ή σχέση που τα συνδέει). Προσαρμογή μιας τεχνικής ώστε να εξυπηρετεί τη λύση συγκεκριμένου προβλήματος: Οι μαθητές είχαν επίγνωση του υπολογισμού του εμβαδού ενός μη κανονικού σχήματος μέσα από το άθροισμα των εμβαδών των υποσχημάτων στα οποία μπορεί να διαιρεθεί. Στο πρόβλημα 1 προκειμένου

7 7 να υπολογίσουν το εμβαδόν ενός από τα μέρη που απαρτίζουν το αρχικό σχήμα προσάρμοσαν την τεχνική αυτή πάνω στη βάση ότι το ζητούμενο ισούται με το όλον πλην του υπολοίπου. Στο πρόβλημα 2 οι μαθητές εφάρμοσαν επαναλαμβανόμενα την τεχνική της αποκοπής-επικόλλησης προκειμένου να μετασχηματίσουν το τρίγωνο σε ορθογώνιο. Σύμφωνα με την προηγούμενη εμπειρία τους αυτό σήμαινε ότι επιλέγεις ένα μέρος του αρχικού σχήματος και το μεταφέρεις σε μια νέα θέση έτσι ώστε να έχει μια κοινή πλευρά με το αρχικό σχήμα από το οποίο αποκόπηκε. Όμως οι μαθητές στην πρώτη τους μεταφορά δεν ακολούθησαν ακριβώς το συγκεκριμένο πρωτόκολλο. Το μέρος που μεταφέρθηκε, τοποθετήθηκε μέσα στο ορθογώνιο χωρίς όμως να έχει κοινή πλευρά με το αρχικό τρίγωνο (Εικ. 3). Έτσι οι μαθητές προσάρμοσαν μια προηγούμενη μεθοδολογία κατά τρόπο που την κατέστησε πιο ευέλικτη. Εικόνα 3. Η περίπτωση της προσαρμογής της τεχνικής αποκοπής-επικόλλησης Παραγωγή μιας νέας τεχνικής από παλιά: Εάν θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός σχήματος, το οποίο βρίσκεται ολόκληρο μέσα σε κάποιο άλλο, του οποίου είναι γνωστό το εμβαδόν, τότε μερικές φορές είναι πιο πρόσφορο να υπολογιστεί αυτό έμμεσα, ασχολούμενοι με το εμβαδόν της περιοχής που βρίσκεται ανάμεσά τους. Στο Πρόβλημα 5 οι μαθητές κατάφεραν να φτάσουν στη λύση μέσα από τη νοερή μετακίνηση της υποπεριοχής Α, πριν την ξαναβάλουν στη θέση της. Αν και δεν πρόκειται για εντελώς νέα τεχνική, εν τούτοις η τακτική αυτή αποτελεί μια νέα οπτική γωνία. Συνδυασμός ταυτόχρονα περισσοτέρων της μιας τεχνικών: Στο πρόβλημα 2 οι μαθητές χρησιμοποίησαν την κατασκευή πλέγματος στο εσωτερικό των σχημάτων, έκαναν χρήση μονάδων και υπομονάδων μέτρησης, ανέλυσαν ένα σχήμα σε υποσχήματα, εφάρμοσαν αποκοπή και επικόλληση. 2. Εναλλαγές μεταξύ γεωμετρικών και αριθμητικών προσεγγίσεων

8 8 Οι μαθητές στην τελευταία φάση, ήταν μόνο ένα χρόνο μεγαλύτεροι απ όταν είχαν συμμετάσχει στο προηγούμενο στάδιο. Εν τούτοις το επίπεδο επιτήδευσης και δημιουργικότητας των παραγόμενων αποτελεσμάτων φάνηκε να χαρακτηρίζεται από μια γρήγορη ανάπτυξη. Ο σχεδιασμός των προβλημάτων είχε την πρόθεση να παρακινήσει τους μαθητές να σκεφτούν με συγκεκριμένο τρόπο και να καταπιαστούν με συγκεκριμένα θέματα που να αφορούν τον προσδιορισμό του εμβαδού και για τα οποία δεν είχαν προηγούμενη εμπειρία. Ωστόσο, πολλές από τις προσεγγίσεις των μαθητών δεν ήταν αναμενόμενες. Ένας βασικός λόγος για την αφθονία αυτή έχει να κάνει με το ότι οι μαθητές μπορούσαν πάντα να επιλέξουν το πεδίο εστιασμού, το οποίο μπορούσε να είναι είτε οι περιοχές είτε οι αντίστοιχοι αριθμοί που δήλωναν τα εμβαδά των περιοχών αυτών. Παρά την προφανή συνάφεια μεταξύ των δυο, φαίνεται πως σε κάποιες περιπτώσεις συμφέρει να κρατά κανείς την επιχειρηματολογία σε επίπεδο χειρισμού περιοχών (γεωμετρική προσέγγιση), ενώ σε άλλες να εισάγει από νωρίς τις αριθμητικές ποσότητες για τα εμβαδά. Αυτός ο διάλογος μεταξύ γεωμετρικής και αλγεβρικής σκέψης στο πλαίσιο της επίλυσης προβλήματος συνυφασμένης με μια έννοια (ΕΠΣΕ) είναι αρκούντως περίπλοκος και αποτελεί μια από τις προτάσεις μας για περαιτέρω έρευνα στο μέλλον και για άλλες έννοιες πέραν του εμβαδού. 3. Στοιχεία Επίλυσης Προβλήματος Για τον έλεγχο και τη λήψη απόφασης, παρά το νεαρό της ηλικίας τους, οι μαθητές επέδειξαν ικανότητα να προσαρμόζουν και να επεκτείνουν γνωστές μεθόδους,ανταποκρινόμενοι σε μια καινοφανή κατάσταση επίλυσης προβλήματος, μέσω της κατανόησης ότι η κατάσταση αυτή επιδέχεται μια ευρύτερη προσέγγιση (πχ η περίπτωση της μεθόδου της αποκοπήςεπικόλλησης). Για τον αναδρομικό στοχασμό, οι μαθητές, σε περιορισμένο βαθμό ήταν σε θέση να τον υλοποιήσουν προκειμένου να εκφράσουν την πηγή των δυσκολιών που συνάντησαν και πως θα μπορούσαν να τις είχαν αποφύγει. Η πρακτική αυτή είναι ιδιαίτερα βοηθητική για την ανάπτυξη δεξιοτήτων επίλυσης προβλήματος. Για τη διατύπωση εικασιών, το συμπέρασμά μας είναι ότι η σχετικά αυξημένη πολυπλοκότητα των προβλημάτων, δεν επέτρεψε στους μαθητές να βασιστούν αποκλειστικά στη διαίσθησή τους προκειμένου να τεκμηριώσουν την πληρότητα των επιλογών τους. Αυτή η αμφισβήτηση των στρατηγικών δίνει στα αποτελέσματά τους έναν χαρακτήρα εικασίας που ούτε λίγο ούτε πολύ σημαίνει πως αναλαμβάνουν ένα πρόσθετο έργο στην περίπτωση αυτή, το έργο της επαλήθευσης.

9 9 4. Γενίκευση του πλαισίου της ΕΠΣΕ Η όλη μας ερευνητική προσπάθεια καταπιάνεται με την επεξεργασία τεχνικών που σχετίζονται με μια συγκεκριμένη έννοια, αυτήν του εμβαδού. Γι αυτό και αποφασίσαμε να εισαγάγουμε ένα πλαίσιο, που το ονομάσαμε Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια (ΕΠΣΕ), που υποδηλώνει ότι μπορούμε να καταπιαστούμε και με άλλες έννοιες μέσα στο ίδιο πνεύμα. Έχουμε την αίσθηση, ότι η δυναμική του πλαισίου αυτού έγκειται κυρίως στην προώθηση προσαρμοσμένων τεχνικών που σαφώς σχετίζονται με την υπό συζήτηση έννοια. Όμως, με βάση αυτό, υπάρχει πια το έρεισμα για μια μελέτη της συμπεριφοράς των μαθητών που να αφορά την ΕΠΣΕ από μια πιο γενική σκοπιά, όπου θα μπορούσαν να αποτυπωθούν τα χαρακτηριστικά της με μια πιο οικουμενική διάσταση ως προς την εφαρμοσιμότητά της. Για το λόγο αυτό, σκόπιμα επιλέξαμε ώστε οι τίτλοι που δώσαμε στις παραπάνω όψεις της συμπεριφοράς των μαθητών για την ΕΠΣΕ, όταν χαρακτηρίζαμε τους τρόπους εμπλοκής των διαθέσιμων τεχνικών για τον υπολογισμό του εμβαδού, να είναι κάπως γενικοί ώστε να μπορέσουν να αποτελέσουν μια καλή αρχή προς την κατεύθυνση αυτή. 5. Βάση γνώσης και σύγκλιση εκπαιδευτικών παραδόσεων Η απουσία πρόσβασης σε προϋπάρχουσα μεθοδολογία συμβάλλει στο γεγονός πολλοί μαθητές να μην είναι καν σε θέση να ξεκινήσουν να δουλεύουν πάνω σε ένα πρόβλημα (αν και υπάρχουν και άλλοι παράγοντες όπως η «μη εξοικείωση» με το περιβάλλον του προβλήματος, (Polya, 1973)). Η προοπτική της Επίλυσης Προβλήματος Συνυφασμένης με μια Έννοια θα μπορούσε να μειώσει το πρόβλημα. Οι μαθητές έχουν ήδη μια συλλογή από τεχνικές που γνωρίζουν ότι πιθανά είναι σημαντικές για το πρόβλημα λόγω του πλαισίου του σε σχέση με μια συγκεκριμένη έννοια. Μπορούν να πειραματιστούν και να προβληματιστούν στο πως οι τεχνικές αυτές θα μπορούσαν να αποβούν χρήσιμες ή όχι, οπότε οι μαθητές έχουν εξ αρχής μια πλατφόρμα για να κάνουν το ξεκίνημά τους. Η συνάφεια των τεχνικών στην ΕΠΣΕ λόγω της κοινής τους αναφοράς στη σχετική έννοια, αποτελεί μια πλατφόρμα για μια πλήρως συμπαγή βάση γνώσης. Αυτό δίνει στους μαθητές μια ασυνήθη υποστήριξη στην επιχειρηματολογία τους και η δική μας έρευνα δείχνει ότι τουλάχιστον μερικοί από αυτούς μπορούν να το εκμεταλλευτούν, προκειμένου να αναπτύξουν αρκετά εντυπωσιακό σχεδιασμό στρατηγικών. Επιπλέον η ΕΠΣΕ επιτυγχάνει έναν συγκερασμό δυο ερευνητικών παραδόσεων, που αφορούν την πρόσκτηση και την ενίσχυση μιας έννοιας (conceptualization) από τη μια και την επίλυση

10 10 προβλήματος από την άλλη, οι οποίες συνήθως αντιμετωπίζονται ως ξεχωριστές ατζέντες στην έρευνα της Διδακτικής Μαθηματικών. Ο σχηματισμός θεωρητικών πλαισίων που διαπερνούν εγκάρσια τέτοιες διαφορετικές ερευνητικές παραδόσεις, είναι ουσιαστικός χάριν της ακεραιότητας όλου του κλάδου. Αποτελεί σημείο ισχύος της ΕΠΣΕ το πως σφυρηλατεί αυτή τη σύνδεση χωρίς να κάνει συμβιβασμούς στο θέμα της αναγκαιότητας λεπτομερούς επεξήγησης της συμπεριφοράς των μαθητών ως προς συγκεκριμένα μαθηματικά θέματα. Βιβλιογραφικές Αναφορές Mamona-Downs, J. & Downs, M. (2004). Realization of techniques in problem solving: the construction of bijections for enumeration tasks, Educational Studies in Mathematics, 56, Mamona-Downs, J. & Downs, M. (2005). The identity of problem solving. Journal of Mathematical Behavior, 24(3-4), Mamona-Downs, J. & Papadopoulos, I. (accepted). Problem-Solving activity ancillary to the concept of area, Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education. Mamona-Downs, J., & Papadopoulos, I. (2006). The Problem-Solving Element in Young Students Work Related to the Concept of Area. In J. Novotna et al. (Eds.), Proceedings of the 30 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (IV, pp ), Prague, Czech Republic. Papadopoulos, I. & Dagdilelis, V. (2009). Estimating areas and verifying calculations in the traditional and computational environment. In M. Tzekaki et. al. Proceedins of the 33 rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, pp.... Papadopoulos, I. (2008). Developing problem-solving strategies via estimating the area of irregular shapes. In E. Swoboda et al (Eds.) Supporting Independent Thinking Through Mathematical Education, pp , Rzeszow, Poland. Polya, G. (1973). How to solve it. Princeton: Princeton University Press. Schoenfeld, H. A. (1985). Mathematical problem solving. Academic Press, Inc. Schoenfeld, H. A. (1994). What do we know about mathematics curricula?, Journal of Mathematical Behavior, 13(1), Schroeder, L. T., & Lester, K. F. (1989). Developing Understanding in Mathematics via Problem Solving. In P.R. Traftor (Ed.), New Directions for Elementary School Mathematics (pp ). Reston: NCTM