Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός"

Transcript

1 Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα. Η επίδρασή του από το 1950 ήταν πράγματι πολύ σημαντική. Σήμερα, ο γραμμικός προγραμματισμός έχει γίνει ένα πρότυπο εργαλείο, που χρησιμοποιείται από τις περισσότερες μεσαίου και μεγάλου μεγέθους εμπορικές και βιομηχανικές επιχειρήσεις των βιομηχανικών χωρών. Η χρησιμοποίηση του σε άλλους τομείς της κοινωνίας έχει επεκταθεί με ταχύτατο ρυθμό. Δεκάδες βιβλία έχουν γραφτεί για το γραμμικό προγραμματισμό και εκατοντάδες άρθρα έχουν δημοσιευτεί με σπουδαίες εφαρμογές του. Πάρα πολλοί επιστημονικοί υπολογισμοί σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές στηρίχτηκαν στο γραμμικό προγραμματισμό και σε άλλες τεχνικές στενά συνδεδεμένες με αυτόν. Ποια είναι όμως η φύση του εργαλείου αυτού και σε τι είδους προβλήματα απευθύνεται; Η απάντηση σ αυτές τις ερωτήσεις θα γίνει πιο κατανοητή από τα παραδείγματα που παρουσιάζονται πιο κάτω. Ωστόσο μια σύντομη περίληψη θα βοηθούσε σε μια πρώτη θεώρηση. Με λίγα λόγια, ο γραμμικός προγραμματισμός ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Αυτό το πρόβλημα της κατανομής μπορεί να προκύψει όταν κάποιος πρέπει να επιλέξει το επίπεδο ορισμένων δραστηριοτήτων ανταγωνιστικών για περιορισμένους πόρους, που είναι αναγκαίοι για την εκτέλεσή τους. Οι περιπτώσεις κατανομής πόρων σε δραστηριότητες είναι πολλές, όπως π.χ. είναι η κατανομή των μέσων παραγωγής στα προϊόντα, η κατανομή των εθνικών πόρων στις εγχώριες ανάγκες, η επιλογή του χαρτοφυλακίου επενδύσεων, ο προγραμματισμός της γεωργικής παραγωγή μιας χώρας, κ.ά. Το κοινό χαρακτηριστικό όλων αυτών των περιπτώσεων είναι η ανάγκη για την κατανομή των περιορισμένων πόρων στις ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες. Ο γραμμικός προγραμματισμός χρησιμοποιεί ένα μαθηματικό μοντέλο για να περιγράψει το πρόβλημα που εξετάζεται. Ο όρος γραμμικός σημαίνει ότι όλες οι μαθηματικές συναρτήσεις στο μοντέλο πρέπει να είναι γραμμικές. Η λέξη προγραμματισμός δεν αναφέρεται στον προγραμματισμό των ηλεκτρονικών υπολογιστών, αλλά είναι συνώνυμη της λέξης σχεδίασης. Έτσι ο γραμμικός προγραμματισμός ασχολείται με τη σχεδίαση των δραστηριοτήτων με σκοπό να προκύψει το βέλτιστο αποτέλεσμα, δηλαδή το αποτέλεσμα εκείνο, που μεταξύ όλων των δυνατών εναλλακτικών λύσεων, ικανοποιεί τον προκαθορισμένο σκοπό κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Θα αρχίσουμε αυτό το κεφάλαιο περιγράφοντας τα χαρακτηριστικά ενός γενικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε ένα απλό παράδειγμα ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού το οποίο μπορεί και να λυθεί και γραφικά. Το ίδιο παράδειγμα θα το χρησιμοποιήσουμε για να περιγράψουμε τις αρχές και τους μηχανισμούς της μεθόδου Simplex. Μετά την περιγραφή της μεθόδου Simplex, θα δώσουμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής της, θα δούμε μερικές ειδικές περιπτώσεις της μεθόδου και θα παρουσιάσουμε την ανάλυση ευαισθησίας. Τέλος το κεφάλαιο αυτό τελειώνει με την περιγραφή της μεθόδου των δύο φάσεων και των προβλημάτων μεταφοράς, μεταφόρτωσης και εκχώρησης. 21

2 3.2 Το Γενικό Πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού Σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού δεδομένων n μεταβλητών και m γραμμικών εξισώσεων ή ανισοτήτων, ζητούνται οι μη αρνητικές τιμές αυτών των μεταβλητών οι οποίες ικανοποιούν αυτές τις εξισώσεις και ανισώσεις και βελτιστοποιούν (μεγιστοποιούν) κάποια γραμμική συνάρτηση αυτών των μεταβλητών. Δηλαδή ζητείται η μεγιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης f(x 1, x 2,..., x n ) = με την προϋπόθεση να ικανοποιούνται οι γραμμικοί περιορισμοί και x j 0 (3), j=1,2,...,n. n j 1 n j 1 c j x j (1), α ij x j β i, i=1,2,...,m (2) Έτσι τώρα μπορούμε να διαμορφώσουμε το μαθηματικό μοντέλο ενός γενικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Με το μοντέλο αυτό επιλέγουμε τις τιμές των x 1, x 2,...,x n, έτσι ώστε: max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n, με περιορισμούς α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n β 2... α m1 x 1 + α m2 x α mn x n β m και x 1 0, x 2 0,..., x n 0 Αυτή είναι η τυποποιημένη μορφή του γενικού προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού. Κάθε πρόβλημα του οποίου το μαθηματικό μοντέλο ταιριάζει με το παραπάνω μοντέλο είναι ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Ορισμοί: Η συνάρτηση που θέλουμε να μεγιστοποιηθεί δηλαδή η z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n, ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση (objective function). Οι περιοριστικές σχέσεις (2) και (3) ονομάζονται περιορισμοί (constraints). Οι πρώτοι m περιορισμοί ονομάζονται λειτουργικοί περιορισμοί (functional constraints) και οι x j 0 περιορισμοί μη αρνητικότητας (non-negativity constraints). Οι μεταβλητές x j ονομάζονται μεταβλητές απόφασης (decision variables), όπως είδαμε και πιο πάνω, ενώ οι σταθερές α ij, β i, και c j είναι οι παράμετροι (parameters) του μοντέλου. Παρατηρήσεις: Στο σημείο αυτό πρέπει να προσθέσουμε ότι το πιο πάνω μοντέλο δεν είναι κατάλληλο για όλα τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, που μπορεί να έχουν μία ή περισσότερες από τις παρακάτω μορφές: 1. Ελαχιστοποίηση αντί για μεγιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης, δηλαδή min z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n 2. Μερικοί λειτουργικοί περιορισμοί είναι ανισότητες της φοράς, 22

3 α i1 x 1 + α i2 x α in x n β i, για μερικές τιμές του i. 3. Μερικοί λειτουργικοί περιορισμοί είναι με μορφή ισότητας, α i1 x 1 + α i2 x α in x n = β i, για μερικές τιμές του i. 4. Απάλειψη των περιορισμών μη αρνητικότητας για μερικές μεταβλητές, δηλαδή x j απεριόριστες ως προς το πρόσημο για μερικές τιμές του j. Παρακάτω θα δούμε ότι καθεμιά από τις τέσσερις πιο πάνω μορφές μπορεί ισοδύναμα να γραφτεί με τρόπο που να προσαρμόζεται στο γνωστό μας μοντέλο. Αυτό σημαίνει ότι κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί με την τυποποιημένη μορφή του μοντέλου. Ορισμοί: Συνήθως με τον όρο λύση εννοούμε την τελική απάντηση σ ένα πρόβλημα. Στο γραμμικό προγραμματισμό, όμως, καθώς και στις επεκτάσεις του, ο κανόνας είναι τελείως διαφορετικός. Εδώ, ως λύση, θα θεωρούμε κάθε προσδιορισμό τιμών για τις μεταβλητές απόφασης (x 1, x 2,..., x n ), άσχετα με το αν είναι μια επιθυμητή ή ακόμη και επιτρεπτή επιλογή. Ειδικότερα, θα εξετάσουμε τα παρακάτω είδη λύσεων. Εφικτή λύση (feasible solution) είναι η λύση που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς. Ένα πρόβλημα είναι δυνατό να μην έχει εφικτές λύσεις. Στη γραφική αναπαράσταση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, όπως θα δούμε και παρακάτω, η περιοχή των εφικτών λύσεων ονομάζεται εφικτή περιοχή. Όταν υπάρχουν εφικτές λύσεις, σκοπός του γραμμικού προγραμματισμού είναι η εύρεση της βέλτιστης, όπως μετριέται από την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του μοντέλου. Βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι η εφικτή λύση, που δίνει την πιο επιθυμητή τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση. Πιο επιθυμητή τιμή θεωρείται η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή και εξαρτάται από το αν αντικειμενικός σκοπός είναι η μεγιστοποίηση ή η ελαχιστοποίηση. Έτσι μια βέλτιστη λύση μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση σε ολόκληρη την εφικτή περιοχή. Συνήθως ένα πρόβλημα έχει μια βέλτιστη λύση. Όμως είναι δυνατό να έχουμε πολλαπλές βέλτιστες λύσεις, τότε σ αυτή την περίπτωση το πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού θα έχει άπειρες βέλτιστες λύσεις. Η τρίτη περίπτωση είναι όταν ένα πρόβλημα δεν έχει καμία βέλτιστη λύση. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν (α) δεν έχει καμία εφικτή λύση, ή (β) όταν οι περιορισμοί δεν εμποδίζουν την αύξηση/μείωση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης προς την επιθυμητή κατεύθυνση. 23

4 3.3 Υποθέσεις Γραμμικού Προγραμματισμού Όλες οι υποθέσεις του γραμμικού προγραμματισμού υπονοούνται στη διαμόρφωση του παραπάνω μοντέλου. Ωστόσο, είναι σκόπιμο να εξετάσουμε τις υποθέσεις αυτές προκειμένου να διαπιστώσουμε πόσο καλά ο γραμμικός προγραμματισμός εφαρμόζεται σε ένα οποιαδήποτε πρόβλημα. Αναλογικότητα Η αναλογικότητα (proportionality) αναφέρεται σε ξεχωριστές δραστηριότητες, που εξετάζονται ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες. Ας υποθέσουμε ότι από τις n δραστηριότητες μόνο μία υλοποιείται και ας την ονομάσουμε k, έτσι ώστε x j =0 για j=1,2,...,n και j k. Σύμφωνα με αυτή την υπόθεση (α) το μέτρο αποτελεσματικότητας z είναι ίσο με c k x k, και (β) η χρησιμοποίηση κάθε πόρου i είναι ίση με α ik x k. Δηλαδή, αν ένα προϊόν απαιτεί 2 ώρες από τον πόρο i (α ik =2) για να παραχθεί, τότε τα x k προϊόντα απαιτούν 2x k ώρες, εðίσης αν το κέρδος από την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος είναι 4 χ.μ., τότε το κέρδος από την παραγωγή x k προϊόντων είναι 4 x k. Αυτό σημαίνει ότι δύο ποσότητες είναι ευθέως ανάλογες προς το επίπεδο της k δραστηριότητας. Ακόμη σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αρχικές επιβαρύνσεις με την έναρξη της δραστηριότητας και ότι η αναλογικότητα ισχύει για όλα τα επίπεδα τιμών της δραστηριότητας. Προσθετικότητα Με την υπόθεση της αναλογικότητας δεν εξασφαλίζεται ότι η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί είναι γραμμικές εξισώσεις. Η προσθετικότητα (additivity) προϋποθέτει ότι δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των δραστηριοτήτων. Για κάθε επίπεδο δραστηριοτήτων (x 1, x 2,..., x n ), η συνολική χρησιμοποίηση κάθε πόρου καθώς και συνολικό μέτρο αποτελεσματικότητας είναι ίσα με το άθροισμα των αντιστοίχων ποσοτήτων κάθε δραστηριότητας. Δηλαδή, αν μια μονάδα προϊόντος Α απαιτεί 1 ώρα από τον πόρο i για να παραχθεί ενώ μια μονάδα προϊόντος Β απαιτεί 2 ώρες από τον ίδιο πόρο για να παραχθεί, τότε το επίπεδο δραστηριοτήτων (x A, x B ) απαιτεί 1 x ia + 2 x ib ώρες από τον πόρο i. Διαιρετότητα Μερικές φορές οι μεταβλητές απόφασης έχουν έννοια μόνο όταν παίρνουν ακέραιες τιμές. Η λύση όμως που παίρνουμε από τον γραμμικό προγραμματισμό συχνά έχει μη ακέραιες τιμές. Με την υπόθεση της διαιρετότητας (divisibility) οι μονάδες δραστηριότητας μπορούν να διαιρεθούν σε οποιοδήποτε κλασματικό επίπεδο, έτσι ώστε οι μη ακέραιες τιμές για τις μεταβλητές απόφασης να είναι επιτρεπτές. Συχνά ο γραμμικός προγραμματισμός χρησιμοποιείται και όταν θέλουμε λύση με ακέραιες τιμές. Αν η λύση που βρίσκουμε έχει κλασματικές τιμές, τις στρογγυλεύουμε σε ακέραιες τιμές. Η διαδικασία όμως αυτή έχει ορισμένα μειονεκτήματα και για το λόγο αυτό είναι προτιμότερη η χρησιμοποίηση του ακεραίου προγραμματισμού (integer programming). Πρέπει να σημειωθεί ότι με το γραμμικό προγραμματισμό βρίσκουμε ακέραιες λύσεις σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων, όπως το πρόβλημα εκχώρησης, κ.ά. Προσδιοριστικότητα Σύμφωνα με την υπόθεση αυτή όλες οι τιμές των παραμέτρων του μοντέλου, δηλαδή τα α ij, β i και c j, είναι γνωστές σταθερές. Σε πραγματικά όμως προβλήματα, η υπόθεση αυτή μπορεί να μην ικανοποιείται. Οι παράμετροι του μοντέλου βασίζονται συχνά σε προβλέψεις μελλοντικών καταστάσεων, οι οποίες αναπόφευκτα έχουν κάποιο βαθμό αβεβαιότητας. 24

5 Για το λόγο αυτό είναι πολύ σημαντικό μετά την εύρεση της βέλτιστης λύσης να κάνουμε ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis) στις τιμές των παραμέτρων. Έτσι μπορούμε να προσδιορίσουμε τις σχετικά ευαίσθητες παραμέτρους, δηλαδή εκείνες που δεν είναι δυνατόν να αλλάξουν πολύ χωρίς να μην αλλάξει η βέλτιστη λύση, και να προσπαθήσουμε να τις εκτιμήσουμε με ακρίβεια. Την ανάλυση ευαισθησίας θα την παρουσιάσουμε στην παράγραφο 3.7. Συχνά ο βαθμός αβεβαιότητας σε μερικές παραμέτρους είναι τόσο μεγάλος, ώστε να είναι αναγκαίο να τις θεωρήσουμε σαν τυχαίες μεταβλητές. Για την επίλυση των περιπτώσεων αυτών γίνεται χρήση των τεχνικών του στοχαστικού προγραμματισμού (stochastic programming). 25

6 3.4 Γραφική Επίλυση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Πρόβλημα: Ένα μικρό εργοστάσιο παράγει εσωτερικά και εξωτερικά χρώματα, για βαφές σπιτιών, για χονδρική πώληση. Δύο βασικά πρωτογενή υλικά Α και Β χρησιμοποιούνται για να κατασκευαστούν τα χρώματα. Η μέγιστη διαθέσιμη ποσότητα πρωτογενή υλικών είναι για το υλικό Α 6 τόνοι ανά μέρα και για το υλικό Β 8 τόνοι ανά μέρα. Οι ημερήσιες απαιτήσεις των δύο πρωτογενή υλικών ανά τόνο εσωτερικού ή εξωτερικού χρώματος συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: Τόνοι πρωτογενή υλικών ανά τόνο χρώματος Εξωτερικά χρώματα Εσωτερικά χρώματα Μέγιστη διαθέσιμη ποσότητα (τόνοι) Υλικό Α Υλικό Β Μια έρευνα αγοράς έχει δείξει ότι η ημερήσια απαίτηση για εσωτερικά χρώματα δεν πρέπει να υπερβαίνει την απαίτηση για εξωτερικά χρώματα περισσότερο από ένα τόνο. Επίσης η έρευνα έδειξε ότι η μέγιστη απαίτηση για εσωτερικά χρώματα είναι το πολύ 2 τόνοι την ημέρα. Η τιμή χονδρικής πώλησης των χρωμάτων είναι 3 χρηματικές μονάδες (π.χ. χιλιάδες) για τα εξωτερικά χρώματα και 2 χρηματικές μονάδες για τα εσωτερικά χρώματα. Τι ποσότητες εσωτερικών και εξωτερικών χρωμάτων πρέπει να παράγει η εταιρεία ώστε να μεγιστοποιεί το ημερήσιο κέρδος της; Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος: Έστω x 1 και x 2 οι μεταβλητές απόφασης, όπου x 1 οι τόνοι εξωτερικών χρωμάτων και x 2 οι τόνοι εσωτερικών χρωμάτων που παράγονται ανά μέρα. Τότε το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος θα έχει την παρακάτω μορφή: με περιορισμούς max z = 3x 1 + 2x 2 x 2 2 -x 1 + x 2 1 x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 8 x 1, x 2 0 Γραφική επίλυση του προβλήματος: Το μικρό αυτό πρόβλημα έχει μόνο δύο μεταβλητές απόφασης και επομένως μόνο δύο διαστάσεις. Έτσι η γραφική διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυσή του. Για τη διαδικασία αυτή κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση με δύο άξονες x 1 και x 2. Το πρώτο μας βήμα είναι η εύρεση των (x 1, x 2 ), που επιτρέπονται από τους περιορισμούς. Αυτό γίνεται εφόσον σύρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα, που περικλείουν την περιοχή των επιτρεπτών τιμών. Στο χώρο των δύο διαστάσεων το σύνολο λύσεων που ορίζει μια ανισότητα α 1 x 1 + α 2 x 2 β 1 είναι ένα κλειστό ημιεπίπεδο (closed half - plane), το οποίο είναι ένα κυρτό σύνολο και αποτελείται από τα σημεία (x 1, x 2 ) που βρίσκονται στην ευθεία που ορίζεται από την εξίσωση α 1 x 1 + α 2 x 2 = β 1 και στο χώρο κάτω από αυτή. Με άλλα λόγια η γεωμετρική 26

7 παράσταση της ανισότητας α 1 x 1 + α 2 x 2 β 1 είναι ένα ημιεπίπεδο που φράσσεται από πάνω από την ευθεία που ορίζεται από την εξίσωση α 1 x 1 + α 2 x 2 = β 1. Προφανώς το σύνολο λύσεων που ορίζει μια ανισότητα της μορφής α 1 x 1 + α 2 x 2 β 1 αποτελείται από τα σημεία (x 1, x 2 ) που βρίσκονται στην ευθεία και στο χώρο πάνω από αυτή που ορίζεται από την εξίσωση α 1 x 1 + α 2 x 2 = β 1. Το σύνολο των εφικτών λύσεων εκφράζεται με την τομή των κλειστών ημιεπιπέδων που ορίζονται από τις περιοριστικές ανισοεξισώσεις του προβλήματος και τους περιορισμούς μη αρνητικότητας και είναι ένα κυρτό πολύγωνο. Για το σύνολο των εφικτών λύσεων έχουμε να σημειώσουμε τα εξής: 1. Το σύνολο των εφικτών λύσεων ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι κυρτό ως τομή κυρτών συνόλων. 2. Κάθε βασική (εφικτή) λύση αντιστοιχεί σε ένα ακρότατο (κορυφή) αυτού του κυρτού συνόλου (πολυγώνου). 3. Υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός ακρότατων. 4. Εάν υπάρχει βέλτιστη λύση τότε υπάρχει τουλάχιστον μία βέλτιστη βασική (εφικτή) λύση. Δηλαδή τουλάχιστον ένα ακρότατο σημείο του συνόλου των εφικτών λύσεων είναι βέλτιστο. 5. Σε κάθε ακμή του κυρτού πολυγώνου αντιστοιχεί ένας περιορισμός έτσι ώστε στα σημεία ακμής ο περιορισμός ικανοποιείται ως ισότητα. 6. Σε κάθε εσωτερικό σημείο του κυρτού πολυγώνου όλοι οι περιορισμοί ικανοποιούνται ως ανισότητες. 7. Σε κάθε κορυφή ή ακρότατο του κυρτού πολυγώνου αντιστοιχεί μια εφικτή λύση στην οποία ικανοποιούνται ακριβώς δύο περιορισμοί (συμπεριλαμβανομένων και των περιορισμών μη αρνητικότητας) ως ισότητες. Στη γενική περίπτωση ισχύει ότι οι περιορισμοί που ικανοποιούνται ως ισότητες είναι τουλάχιστον δύο. Πρέπει να σημειώσουμε ότι λόγω των περιορισμών μη αρνητικότητας x 1, x 2 0, τα (x 1, x 2 ) βρίσκονται στο 1ο τεταρτημόριο. Ο περιορισμός x 2 2 σημαίνει ότι τα (x 1, x 2 ) δεν μπορεί να βρίσκονται πάνω από το ευθύγραμμο τμήμα x 2 = 2 του σχήματος 3.1. Με τον ίδιο τρόπο τα ευθύγραμμα τμήματα -x 1 + x 2 = 1 και x 1 + 2x 2 = 6 μπορούν να προστεθούν για να φράξουν την επιτρεπτή περιοχή. Ο τελευταίος περιορισμός 2x 1 + x 2 8 συμπληρώνει την περιοχή των επιτρεπτών τιμών. Τα σημεία για τα οποία ισχύει η ανισότητα 2x 1 + x 2 8 βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα 2x 1 + x 2 = 8 ή αριστερά από αυτό. Αντίθετα, κάθε σημείο δεξιά από το ευθύγραμμο τμήμα 2x 1 + x 2 = 8 παύει να ισχύει η ανισότητα. Η περιοχή όλων των επιτρεπτών τιμών των (x 1, x 2 ) είναι η σκιαγραφημένη περιοχή του σχήματος

8 x x 1 +x 2 =1 x 2 = x 1 +2x 2 =6 x 1 2x 1 +x 2 =8 Σχήμα 3.1 Περιοχή επιτρεπτών τιμών των (x 1, x 2 ) Το τελευταίο βήμα είναι η εύρεση του σημείου της περιοχής των επιτρεπτών τιμών που μεγιστοποιεί την z = 3x 1 + 2x 2. Το σημείο αυτό θα βρεθεί με τη διαδικασία της δοκιμής και του σφάλματος (trial and error). Ας δοκιμάσουμε π.χ. z = 6 = 3x 1 + 2x 2, για να δούμε αν υπάρχουν τιμές των (x 1, x 2 ) στην επιτρεπτή περιοχή, που δίνουν στο z τιμή ίση με 6. Σύροντας την ευθεία 3x 1 + 2x 2 = 6, βλέπουμε στο σχήμα 3.2 ότι υπάρχουν πολλά σημεία της ευθείας που βρίσκονται μέσα στην επιτρεπτή περιοχή. Για το λόγο αυτό δοκιμάζουμε μια μεγαλύτερη τιμή του z, έστω π.χ. z = 9 = 3x 1 + 2x 2. Και στην περίπτωση αυτή ένα τμήμα της ευθείας 3x 1 + 2x 2 = 9 βρίσκεται μέσα στην περιοχή των επιτρεπτών τιμών, που σημαίνει ότι η μέγιστη επιτρεπτή τιμή του z πρέπει να είναι τουλάχιστον 9. Παρατηρούμε ότι η ευθεία αυτή, που δίνει μεγαλύτερη τιμή στο z, βρίσκεται σε μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων απ ότι η προηγούμενη και ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. Έτσι με τη διαδικασία της δοκιμής και του σφάλματος μπορούμε να σύρουμε μια οικογένεια παράλληλων ευθειών, που να έχουν τουλάχιστον ένα σημείο στη επιτρεπτή τιμή και να επιλέξουμε την ευθεία εκείνη της οποίας η απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι η μέγιστη δυνατή. Η ευθεία αυτή περνάει από το σημείο (10/3, 4/3), και έτσι έχουμε 3x 1 + 2x 2 = 3(10/3) + 2(4/3) = 38/3 = z. Επομένως η επιθυμητή λύση είναι x 1 = 10/3 και x 2 = 4/3, που σημαίνει ότι το μικρό εργοστάσιο παραγωγής χρωμάτων πρέπει να παράγει 10/3 τόνους εξωτερικών χρωμάτων και 4/3 τόνους εσωτερικών χρωμάτων έτσι ώστε να πετύχει το μέγιστο κέρδος που είναι z = 38/3. Σημειώνεται ότι, σύμφωνα με το μοντέλο, κανένας άλλος συνδυασμός ποσοτήτων από τα δύο είδη χρωμάτων δεν μπορεί να δώσει μεγαλύτερο κέρδος στο εργοστάσιο, απ ότι αυτός που βρέθηκε με τη γραφική μέθοδο. 28

9 x Αντικειμενική συνάρτηση max z = 3x 1 + 2x 2 Βέλτιστη λύση x 1 = 10/3 τόνοι x 2 = 4/3 τόνοι z = 38/3 χρ. μον z=6 z=2 z=38/3 Σχήμα 3.2 Τιμές των (x 1, x 2 ) που μεγιστοποιούν την 3x 1 + 2x 2 29

10 3.5 Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού γραφικά 1. Μοναδική βέλτιστη λύση. max z = 5x 1 + 3x 2 3x 1 + 5x x 1 + 2x 2 10 x 1, x 2 0 x 2 z 1 z 2 z x 1 + 2x 2 = 10 Βέλτιστη λύση 3x 1 + 5x 2 = x 1 2. Άπειρες βέλτιστες λύσεις. max z = 2.5x 1 + x 2 3x 1 + 5x x 1 + 2x 2 10 x 1, x 2 0 x 2 z 1 z 2 z x 1 + 2x 2 = 10 3x 1 + 5x 2 = x 1 30

11 3. Ελαχιστοποίηση αντικειμενικής συνάρτησης. min z = 2x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 4 6x 1 + 2x 2 8 x 1 + 5x 2 4 x 1 3 x 2 3 x 1, x 2 0 x 2 z 1 z 2 z 3 Βέλτιστη λύση x 1 + 2x 2 8 x 1 + x x 2 3 x 1 3 x 1 x 1 + 5x Μη φραγμένη λύση. max z = 2x 1 + 2x 2 x 1 - x x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 x 2 z 2 5 z z 3-0.5x 1 + x x 1 x 1 - x

12 5. Μη φραγμένη περιοχή εφικτών λύσεων αλλά με μοναδική λύση. min z = -3x 1 + 2x 2 x 1 3 x 1 - x 2 0 x 1, x 2 0 x 2 z 3 z 2 z x 1 3 x 1 - x x 1 6. Μη φραγμένη περιοχή εφικτών λύσεων αλλά με άπειρες λύσεις. max z = 2x 2 - x 1 x 1 - x x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 x 2 z 3-0.5x 1 + x 2 2 z 2 5 z x 1 x 1 - x

13 7. Μη ύπαρξη λύσης. Ασυμβίβαστοι περιορισμοί. max z = 3x 1-2x 2 x 1 + x 2 1 2x 1 + 2x 2 4 x 1, x 2 0 x x 1 + x x 1 + 2x 2 4 x 1 33

14 3.6 Η Μέθοδος Simplex. Η μέθοδος Simplex για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού αναπτύχθηκε αρχικά από τον George B. Dantzig το Στη συνέχεια λόγω της τεράστιας σημασίας που έχει στην επίλυση πρακτικών και θεωρητικών προβλημάτων η μέθοδος αυτή τελειοποιήθηκε σε τέτοιο βαθμό έτσι ώστε σήμερα να επιλύονται προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού χιλιάδων μεταβλητών και περιορισμών. Δηλαδή η Simplex είναι μια αποτελεσματική μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση μεγάλων προβλημάτων στους σημερινούς ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Ειδικότερα, είναι ένας αλγόριθμος. Ως αλγόριθμο θεωρούμε κάθε επαναληπτική διαδικασία για την επίλυση ενός προβλήματος, δηλαδή αλγόριθμος είναι μια συστηματική διαδικασία που επαναλαμβάνεται μέχρι να βρεθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα. Κάθε φορά που επαναλαμβάνεται η διαδικασία ονομάζεται επανάληψη. Ο αλγόριθμος περιλαμβάνει κανόνες για να αρχίσει η διαδικασία και κριτήρια που προσδιορίζουν πότε θα τελειώσει. Υπάρχουν διάφορες μορφές προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, όπως ο αντικειμενικός σκοπός να είναι η μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης, τα δεξιά μέλη των περιορισμών να είναι αρνητικοί αριθμοί, κ.τ.λ. Όπως θα δούμε η μέθοδος Simplex μπορεί να επιλύει μια συγκεκριμένη μορφή προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, την οποία την ονομάζουμε τυποποιημένη μορφή. Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να μετατραπεί σε τυποποιημένη μορφή. Ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε τυποποιημένη μορφή αναπαριστάται από το παρακάτω μαθηματικό μοντέλο: max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n, με περιορισμούς α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = β 2... α m1 x 1 + α m2 x α mn x n = β m και x 1 0, x 2 0,..., x n 0 όπου β 1 0, β 2 0,..., β n 0 ή υπό μορφή πινάκων ως εξής: max z = C T X με περιορισμούς ΑX = B, X O όπου C = (c 1, c 2,..., c n ) T X = (x 1, x 2,..., x n ) T A = (α ij ) mxn B = (β 1, β 2,..., β m ) T Ο = (0) nx1. 34

15 Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να μετατραπεί σε τυποποιημένη μορφή γιατί: Στην περίπτωση που έχουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με αντικειμενική συνάρτηση w(x) = μπορούμε να το λύσουμε ως πρόβλημα μεγιστοποίησης πολλαπλασιάζοντας κάθε συντελεστή της αντικειμενικής συνάρτησης με -1. Αυτό γιατί η σχέση n max z(x) = -w(x) = c j x j δεν μεταβάλει το σύνολο των άριστων λύσεων του προβλήματος και η σχέση min w(x) = - max z(x) = -max -w(x) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να πάρουμε την ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού μας προβλήματος. Έτσι χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις βλέπουμε ότι ένα τέτοιο πρόβλημα με ελαχιστοποίηση αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί να μετατραπεί σε μια τυποποιημένη μορφή και άρα να λυθεί με τη μέθοδο Simplex. Στην περίπτωση που οι μεταβλητές απόφασης μπορούν να πάρουν αρνητικές ή θετικές τιμές, δηλαδή δεν περιορίζονται ως προς το πρόσημο μπορούν να αντικατασταθούν με τη διαφορά δύο άλλων μη αρνητικών μεταβλητών. Π.χ. αν η μεταβλητή x j δεν περιορίζεται από το πρόσημο τότε αντικαθίσταται από την εξίσωση: x j = x i - x k όπου x i, x k 0. Με τον τρόπο αυτό είναι προφανές ότι ο αριθμός των μεταβλητών του προβλήματος αυξάνει με παράλληλα αύξηση του υπολογιστικού χρόνου που απαιτείται για την επίλυσή του. n Μια άλλη μέθοδος χειρισμού των μεταβλητών που δεν περιορίζονται ως προς το πρόσημο απαλείφει αυτές τις μεταβλητές από το πρόβλημα. Πιο συγκεκριμένα έστω x k η μεταβλητή χωρίς περιορισμό στο πρόσημό της και ότι στον i περιορισμό που είναι ο α i1 x 1 + α i2 x α ik x k α in x n = β i έχουμε α ik 0. Τότε ο περιορισμός γράφεται ισοδύναμα ως x k = (β i - α i1 x 1 - α i2 x α in x n ) / α ik. Επειδή δεν τίθενται άλλοι περιορισμοί στην x k, όταν γίνουν γνωστές οι βέλτιστες τιμές των x i, i k αντικαθιστώνται στην παραπάνω σχέση και παίρνουμε την τιμή της x k. Έτσι, αντικαθιστούμε την x k στις άλλες εξισώσεις και αποθηκεύουμε την παραπάνω σχέση κάπου χωριστά. Με αυτόν τον τρόπο το καινούργιο ισοδύναμο σύστημα είναι κατά μια εξίσωση και μια μεταβλητή μικρότερο. Στην περίπτωση που κάποιο δεξιό μέλος β i ενός περιορισμού είναι αρνητικό τότε πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας ή εξίσωσης με -1 και το μετατρέπουμε σε θετικό. Προσοχή, αν έχουμε ανισότητα τότε αυτή αλλάζει φορά. j 1 c j x j j 1 35

16 Οι ανισότητες της μορφής n j 1 μετασχηματίζονται σε ισότητες της μορφής ενώ οι ανισότητες της μορφής n j 1 α ij x j n j 1 μετασχηματίζονται σε ισότητες της μορφής n j 1 α ij x j α ij x j β i + S i = β i, S i 0, α ij x j β i - S i = β i, S i 0. Δηλαδή, κάθε ανισότητα μετατρέπεται σε ισότητα με την πρόσθεση μιας θετικής μεταβλητής αν πρόκειται για ανισότητα με φορά και με την αφαίρεση μια θετικής μεταβλητής αν πρόκειται για ανισότητα φοράς. Αυτές οι θετικές μεταβλητές που προστίθενται ή αφαιρούνται από μια ανισότητα ονομάζονται βοηθητικές μεταβλητές. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι βοηθητικές μεταβλητές αποτελούν μέρος του προβλήματος όπως και οι μεταβλητές απόφασης με τις οποίες μορφοποιήθηκαν οι περιορισμοί του προβλήματος. Έτσι οι βοηθητικές μεταβλητές όχι μόνο παραμένουν κατά την επίλυση του προβλήματος αλλά και οι τιμές τους σε μια βέλτιστη εφικτή λύση παρέχουν σημαντικές πληροφορίες. Τέλος οι βοηθητικές μεταβλητές μπαίνουν στην αντικειμενική συνάρτηση με συντελεστή 0. Η μέθοδος Simplex όπως έχουμε ήδη πει είναι μια αλγοριθμική μέθοδος η οποία ξεκινά από ένα ακρότατο (βασική εφικτή λύση) και συστηματικά κινείται από βασική λύση (ακρότατο) σε βασική λύση (ακρότατο) μέχρι να βρεθεί η βέλτιστη λύση. Η παρουσίαση της μεθόδου Simplex θα γίνει με τη βοήθεια ενός παραδείγματος. Έστω ότι έχουμε το ακόλουθο πρόγραμμα γραμμικού προγραμματισμού: max z = 3x 1 + 2x 2 με τους περιορισμούς x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 8 -x 1 + x 2 1 x 2 2 x 1, x 2 0 Το πρώτο μας βήμα στη διατύπωση της μεθόδου Simplex είναι η μετατροπή των ανισοτήτων των λειτουργικών περιορισμών σε ισότητες. Αυτό γίνεται με την εισαγωγή των βοηθητικών μεταβλητών S i, i = 1, 2, 3, 4. Με την εισαγωγή των βοηθητικών μεταβλητών στους λειτουργικούς περιορισμούς το αρχικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μετατρέπεται σε ένα πρόβλημα σε τυποποιημένη μορφή: 36

17 με τους περιορισμούς max z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 +S 1 = 6 2x 1 + x 2 + S 2 = 8 -x 1 + x 2 +S 3 = 1 x 2 + S 4 = 2 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3, S 4 0 Η γραφική λύση του προβλήματος δίνεται από το παρακάτω σχήμα x Ζ 1 A -x 1 +x 2 =1 Ε Δ x 2 =2 Γ x 1 +2x 2 = Β x 1 +x 2 =8 x 1 Κάθε σημείο στην περιοχή των εφικτών λύσεων (σκιαγραφημένη περιοχή) μπορεί να εκφρασθεί μέσω των μεταβλητών x 1, x 2, S 1, S 2, S 3, S 4. Οι βοηθητικές μεταβλητές S i είναι η απόσταση των αριστερών μελών των περιορισμών από τα δεξιά μέλη. Εάν S i = 0 τότε η αντίστοιχη εξίσωση της τυποποιημένης μορφής περιορίζεται στα σημεία της περιοχής εφικτών λύσεων που αντιστοιχούν στο ευθύγραμμο τμήμα της τομής της με την περιοχή εφικτών λύσεων. Δηλαδή εάν S 1 = 0 τότε η εξίσωση x 1 + 2x 2 = 6 αντιστοιχεί στο ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, ενώ αν S 1 0 τότε η εξίσωση μεταφέρεται προς το εσωτερικό της περιοχής των εφικτών λύσεων. Για τα ακρότατα Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ παρατηρούμε ότι: Ακρότατο Μηδενικές μεταβλητές Μη μηδενικές μεταβλητές Α x 1 x 2 S 1, S 2, S 3, S 4 Β S 2, x 2 S 1, x 1, S 3, S 4 Γ S 2, S 1 x 2, x 1, S 3, S 4 Δ S 4, S 1 x 2, x 1, S 3, S 2 Ε S 4, S 3 x 2, x 1, S 1, S 2 Ζ S 3, x 1 x 2, S 4, S 1, S 2 37

18 Σημειώσεις: Εσωτερικά σημεία της περιοχής εφικτών λύσεων δεν έχουν καμία μηδενική μεταβλητή ενώ σημεία του ορίου της περιοχής εφικτών λύσεων (εκτός των ακρότατων) έχουν μία μηδενική λύση. Άρα κάθε μη ακρότατο έχει το πολύ μια μηδενική μεταβλητή. Γειτονικά ακρότατα διαφέρουν μόνο κατά μία μεταβλητή. Π.χ. τα ακρότατο Α και Β που ορίζονται από τις μεταβλητές S 1, S 2, S 3, S 4 και S 1, x 1, S 3, S 4 αντίστοιχα έχουν τρεις ίδιες μεταβλητές S 1, S 3, S 4 και διαφέρουν μόνο στην τέταρτη. Το νέο σύστημα των λειτουργικών περιορισμών έχει δύο μεταβλητές (n - m =6-4 = 2) περισσότερες από τις εξισώσεις. Αυτό μας δίνει δύο βαθμούς ελευθερίας στην επίλυση του συστήματος, επειδή δύο οποιεσδήποτε μεταβλητές μπορούν να πάρουν κάποια αυθαίρετη τιμή, προκειμένου να λυθούν οι τέσσερις εξισώσεις ως προς τις τέσσερις υπόλοιπες μεταβλητές. Η μέθοδος Simplex ως αυθαίρετη τιμή χρησιμοποιεί το μηδέν. Οι n-m μεταβλητές που παίρνουν τιμές ίσες με το μηδέν ονομάζονται μη βασικές μεταβλητές (nonbasic variables) και οι άλλες βασικές μεταβλητές (basic variables), ενώ η λύση που προκύπτει ονομάζεται βασική λύση (basic solution). Αν όλες οι βασικές μεταβλητές είναι μη αρνητικές, τότε έχουμε μια βασική εφικτή λύση (basic feasible solution). Σύμφωνα με τη θεωρία του γραμμικού προγραμματισμού μια βέλτιστη λύση είναι μια βασική εφικτή λύση. Η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί και αυτή όπως οι νέες εξισώσεις των περιορισμών και το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως: με τους περιορισμούς max z z - 3x 1-5x 2 = 0 x 1 + 2x 2 +S 1 = 6 2x 1 + x 2 + S 2 = 8 -x 1 + x 2 +S 3 = 1 x 2 + S 4 = 2 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3, S 4 0 Η εξίσωση της αντικειμενικής εμφανίζεται σαν ένας από τους αρχικούς περιορισμούς, χωρίς φυσικά βοηθητική μεταβλητή. Με την ερμηνεία αυτή οι βασικές λύσεις δεν αλλάζουν, εκτός από τη z που θα θεωρείται ως μια επιπρόσθετη βασική μεταβλητή. Η μεταβλητή z θα παραμένει στην βασική λύση καθ όλη τη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος με τη μέθοδο Simplex. Η βασική ιδέα της μεθόδου Simplex μπορεί τώρα να διατυπωθεί ως εξής: το σύστημα των εξισώσεων επιλύνεται επαναληπτικά για μια σειρά βασικών εφικτών λύσεων, καθεμία από τις οποίες είναι καλύτερη από την προηγούμενή της, μέχρι να βρεθεί η βέλτιστη λύση. Κάθε νέα βασική λύση διαφέρει από τη προηγούμενή της κατά μία μεταβλητή και προκύπτει με την αλλαγή μια μη βασικής μεταβλητής (εισερχόμενη μεταβλητή) σε βασική και με την αλλαγή μιας βασικής μεταβλητής (εξερχόμενη μεταβλητή) σε μη βασική μεταβλητή. Δύο τέτοιες βασικές εφικτές λύσεις, που διαφέρουν ως προς την εναλλαγή της βασικής και μη βασικής μεταβλητής, ονομάζονται γειτονικές. 38

19 Ας περιγράψουμε τώρα τα βήματα της μεθόδου Simplex Βήμα 1 Κάνοντας χρήση της τυποποιημένης μορφής καθορίστε μια αρχική βασική εφικτή λύση, θέτοντας n-m κατάλληλες (μη βασικές) μεταβλητές ίσες με μηδέν (αρχικά θέτουμε τις μεταβλητές απόφασης ίσες με μηδέν). Βήμα 2 Επέλεξε την εισερχόμενη μεταβλητή μέσα από τις μη βασικές μεταβλητές με βάση το κριτήριο βελτίωσης της αντικειμενικής. Εάν υπάρχουν περισσότερες από μία βασικές μεταβλητές οι οποίες αυξάνουν την αντικειμενική, ως εισερχόμενη εκλέγεται αυτή με την μεγαλύτερη κατά μονάδα αύξηση. Εάν δεν μπορούμε να βρούμε εισερχόμενη μεταβλητή τότε η βασική λύση που έχουμε είναι και η βέλτιστη, ενώ αν υπάρχει εισερχόμενη μεταβλητή πάμε στο βήμα 3. Βήμα 3 Επέλεξε την εξερχόμενη μεταβλητή από τις βασικές μεταβλητές με βάση το κριτήριο εφικτότητας. Για να είναι η καινούργια βασική λύση εφικτή, η εξερχόμενη μεταβλητή πρέπει να είναι εκείνη που πρώτη γίνεται 0 όταν η εισερχόμενη μεταβλητή παίρνει τη μέγιστη τιμή της στο γειτονικό ακρότατο. Δηλαδή αυτή που έχει το μικρότερο πηλίκο του β i του περιορισμού προς το αντίστοιχο θετικό συντελεστή της εισερχόμενης μεταβλητής. Βήμα 4 Καθόρισε τις τιμές των νέων βασικών μεταβλητών κάνοντας την εισερχόμενη μεταβλητή βασική και την εξερχόμενη μη βασική. Πήγαινε στο βήμα 2. Τώρα θα προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε τα βήματα της μεθόδου Simplex στο παράδειγμα που μελετάμε. Όταν λύνουμε ένα πρόβλημα όχι με τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή, αλλά με το χέρι, είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες της μεθόδου Simplex. Αντί να γράφουμε τις εξισώσεις στην πλήρη μορφή τους χρησιμοποιούμε τους πίνακες που περιέχουν ουσιώδεις μόνο πληροφορίες, που είναι (α) οι συντελεστές των μεταβλητών, (β) οι σταθερές του δεξιού μέλους των εξισώσεων και (γ) η βασική μεταβλητή σε κάθε εξίσωση. Έτσι αποφεύγουμε να γράφουμε τα σύμβολα των μεταβλητών σε κάθε εξίσωση και ακόμη μας διευκολύνει στην εκτέλεση των υπολογισμών. Ο αρχικός πίνακας Simplex για το παράδειγμα μας είναι ο πιο κάτω: Εισερχόμενη μεταβλητή Pivot Εξερχόμενη μεταβλητή βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 S 4 β μεταβλητές S S S S z Σειρά pivot Γραμμή της αντικειμενικής Στήλη pivot 39

20 Επειδή κάθε εξίσωση περιέχει μόνο μία βασική μεταβλητή, που έχει συντελεστή +1, κάθε βασική μεταβλητή είναι ίση με τη σταθερή του δεξιού μέλους της εξίσωσής της. έτσι η αρχική βασική εφικτή λύση για το παράδειγμα είναι (x 1, x 2, S 1, S 2, S 3, S 4 ) = (0, 0, 6, 8, 1, 2). Στην συνέχεια ελέγχουμε εάν η βασική εφικτή λύση που έχουμε βρει είναι και η βέλτιστη. Η τρέχουσα βασική εφικτή λύση είναι βέλτιστη, αν και μόνο αν, κάθε συντελεστής της γραμμής της αντικειμενικής είναι μη αρνητικός ( 0). Οι βασικές μεταβλητές στην γραμμή της αντικειμενικής έχουν μηδενικούς συντελεστές και ο συντελεστής για κάθε μη βασική μεταβλητή μετράει το ρυθμό με τον οποίο η αντικειμενική συνάρτηση θα μειωθεί, αν η μεταβλητή αυτή από μηδέν αυξηθεί. Αν όλοι οι συντελεστές της γραμμής της αντικειμενικής είναι μη αρνητικοί τότε σταματάμε τη διαδικασία της μεθόδου Simplex και έχουμε βρει τη βέλτιστη λύση, διαφορετικά πηγαίνουμε στο επόμενο βήμα της μεθόδου Simplex που είναι η εύρεση της εισερχόμενης μεταβλητής. Ο προσδιορισμός της εισερχόμενης μεταβλητής γίνεται με βάση τους συντελεστές των μη βασικών μεταβλητών στην γραμμή της αντικειμενικής. Εκλέγουμε την μεταβλητή με τον πιο αρνητικό συντελεστή στην γραμμή της αντικειμενικής ως την εισερχόμενη μεταβλητή (αυτή είναι η μη βασική μεταβλητή που θα αυξήσει την αντικειμενική συνάρτηση με το μεγαλύτερο ρυθμό, εφόσον αυξηθεί από μηδέν που είναι). Η στήλη που αντιστοιχεί στην εισερχόμενη μεταβλητή ονομάζεται στήλη του pivot. Για το παράδειγμά μας ο πιο αρνητικός συντελεστής στην γραμμή της αντικειμενικής είναι ο -3 της μεταβλητής x 1 και έτσι η x 1 θα είναι η εισερχόμενη στη βάση μεταβλητή. Στη συνέχεια πηγαίνουμε στο επόμενο βήμα της μεθόδου Simplex που είναι η εύρεση της εξερχόμενης μεταβλητής από τη βάση. Ο προσδιορισμός της εξερχόμενης από τη βάση μεταβλητής γίνεται ως εξής: α) παίρνουμε κάθε συντελεστή της στήλης του pivot που είναι θετικός ( 0), β) διαιρούμε με κάθε τέτοιο συντελεστή τη σταθερά του δεξιού μέλους της ίδιας σειράς, γ) βρίσκουμε την εξίσωση που έχει το μικρότερο πηλίκο και δ) επιλέγουμε τη βασική μεταβλητή της εξίσωσης ως την εξερχόμενη από τη βάση μεταβλητή. Η μεταβλητή αυτή είναι η πρώτη που μηδενίζεται με την αύξηση της εισερχόμενης βασικής μεταβλητής. Η σειρά που αντιστοιχεί στην εξερχόμενη μεταβλητή ονομάζεται σειρά του pivot, ενώ το στοιχείο που είναι κοινό στην σειρά του pivot και στη στήλη του pivot ονομάζεται pivot. Η εξερχόμενη από τη βάση μεταβλητή στο παράδειγμά μας είναι η S 2. Το επόμενο βήμα μας είναι να βρούμε τη νέα βασική εφικτή λύση κάνοντας ένα νέο πίνακα Simplex κάτω από τον προηγούμενο. Στο νέο πίνακα Simplex η εισερχόμενη μεταβλητή θα έχει γίνει βασική και η εξερχόμενη μη βασική. Αυτή η μετατροπή γίνεται με τη μέθοδο Gauss - Jordan. Για να πάμε από τον παλαιό πίνακα στον καινούργιο χρησιμοποιούμε τους εξής κανόνες: 1 1. Σειρά του pivot του νέου πίνακα = pivot (Σειρά του pivot του παλαιού πίνακα). Σειρα i του Σειρα i του Στοιχειο i της Σειρα του pivot 2. = -. νεου πινακα παλαιου πινακα στηλης του Pivot του νεου πινακα Χρησιμοποιώντας αυτούς του δύο κανόνες στον παλαιό πίνακα Simplex έχουμε: Σειρά του pivot του νέου πίνακα = 1 2 (0, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 8) = (0, 1, 1 2, 0, 1 2, 0, 0, 4) 40

21 Σειρά 1 του νέου πίνακα = (0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 6) - 1(0, 1, 1 2, 0, 1 2, 0, 0, 4) = = (0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 6) + (0, -1, - 1 2, 0, -1 2, 0, 0, -4) = = (0, 0, 3 2, 1, -1 2, 0, 0, 2). Σειρά 3 του νέου πίνακα = (0, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1) - (-1) (0, 1, 1 2, 0, 1 2, 0, 0, 4) = = (0, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1) + (0, 1, 1 2, 0, 1 2, 0, 0, 4) = = (0, 0, 3 2, 0, 1 2, 1, 0, 5) Σειρά 4 του νέου πίνακα = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 2) - 0 (0, 1, 1 2, 0, 1 2, 0, 0, 4) = = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 2) Σειρά 5 του νέου πίνακα = (1, -3, -2, 0, 0, 0, 0, 0) - (-3) (0, 1, 1 2, 0, 1 2, 0, 0, 4) = = (1, -3, -2, 0, 0, 0, 0, 0) + (0, 3, 3 2, 0, 3, 0, 0, 12) = 2 = (1, 0, - 1 2, 0, 3 2, 0, 0, 12) Ο νέος πίνακας θα έχει την ακόλουθη μορφή: βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 S 4 β μεταβλητές S /2 1-1/ x /2 0 1/ S /2 0 1/ S z 1 0-1/2 0 3/ Η νέα βασική εφικτή λύση είναι (x 1, x 2, S 1, S 2, S 3, S 4 ) = (4, 0, 2, 0, 5, 2). Επειδή στην γραμμή της αντικειμενικής υπάρχει αρνητικός συντελεστής αυτή η βασική εφικτή λύση δεν είναι και η βέλτιστη. Η εισερχόμενη στη βάση μεταβλητή είναι η x 2 ενώ η εξερχόμενη είναι η S 1. Ο νέος πίνακας Simplex θα έχει την ακόλουθη μορφή: βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 S 4 β μεταβλητές x /3-1/ /3 x /3 2/ /3 S S /3 1/ /3 z /3 4/ /3 41

22 Η νέα βασική εφικτή λύση είναι (x 1, x 2, S 1, S 2, S 3, S 4 ) = (10/3, 4/3, 0, 0, 3, 2/3). Επειδή στην γραμμή της αντικειμενικής δεν υπάρχει αρνητικός συντελεστής αυτή η βασική εφικτή λύση θα είναι και η βέλτιστη. Άρα η βέλτιστη εφικτή λύση του προβλήματος είναι: x 1 = 10/3, x 2 = 4/3, S 1 = 0, S 2 = 0, S 3 = 3, S 4 = 2/3 και z = 38/3. 42

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός

Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΜΠΣ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ» Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός Διπλωματική εργασία της

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo)

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) Μπουντούρης Ηρακλήs Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 15/10/2016 1 Παραδείγματα Που στοχεύει ο Γραμμικός Προγραμματισμός;

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ. 1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Μάρτιος 2014 Δρ. Δημήτρης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016 1 Γραφική μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Φ. ΜΑΓΕΙΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ ΕΚΔΟΣΗ 2.4 ΜΑΪΟΣ 2012 1-1 Κεφάλαιο 1. Μαθηματικός Προγραμματισμός...1-3

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση με περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 9-10 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα