ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής

Transcript

1 Εφαρμογές ΓΠ - Επίλυση με Χρήση Υπολογιστή ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής (Product mix) Το πρόβλημα της Διαίτης Το πρόβλημα Επιλογής Διαφημιστικής Πολιτικής Το πρόβλημα σύνθεσης επενδυτικού φακέλου (Portfolio selection) Το πρόβλημα προγραμματισμού παραγωγής (Production planning)

2 3.1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός και η μέθοδος Simplex για την επίλυση προβλημάτων ΓΠ θα παρουσίαζε θεωρητικό μόνον ενδιαφέρον χωρίς την ανάπτυξη της τεχνολογίας των υπολογιστών. Το ίδιο ισχύει γενικώς για όλες τις μεθόδους επιχειρησιακής έρευνας αλλά και ευρύτερα σε άλλα πεδία της ποσοτικής ανάλυσης (στατιστική, οικονομετρία κ.ά.) όπως αναπτύξαμε και στην ενότητα 1.4. Ειδικά όμως στην περίπτωση του γραμμικού προγραμματισμού όπου η επίλυση ενός προβλήματος απαιτεί μεγάλο αριθμό πολύπλοκων και επαναλαμβανόμενων υπολογισμών είναι καθοριστικής σημασίας. Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η εκτέλεση των υπολογισμών της μεθόδου Simplex είναι μία επίπονη εργασία που για προβλήματα σημαντικού μεγέθους που περιλαμβάνουν εκατοντάδες (και σε μερικές περιπτώσεις χιλιάδες) μεταβλητές και περιορισμούς είναι πρακτικά αδύνατο να πραγματοποιηθεί χωρίς την βοήθεια υπολογιστή Από την άλλη πλευρά η μέθοδος Simplex, λόγω ακριβώς της αλγοριθμικής της δομής είναι κατάλληλη για να κωδικοποιηθεί σε ένα πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή. Από το τέλος της δεκαετίας του 50 που οι υπολογιστές έγιναν διαθέσιμοι για εμπορικούς σκοπούς αναπτύχθηκαν προγράμματα (λογισμικό) για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Σημαντικό ορόσημο στην ανάπτυξη λογισμικού για επίλυση προβλημάτων ΓΠ (όπως και άλλων εφαρμογών μαθηματικής μοντελοποίησης) ήταν η ανάπτυξη γλωσσών μοντελοποίησης μαθηματικού προγραμματισμού (mathematical modelling languages) οι οποίες επιτρέπουν την αποτύπωση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού σε εύκολη και φιλική προς το χρήστη μορφή. Η διασύνδεση και συμπλήρωση των γλωσσών μοντελοποίησης με συστήματα διαχείρισης βάσεων δεδομένων, γεννητριών αναφορών και ανάλυσης αποτελεσμάτων, δημιουργούν ένα ισχυρό υπολογιστικό περιβάλλον για τη δημιουργία συστημάτων υποστήριξης αποφάσεων (decision support systems) για την ανάλυση και λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων. Η εξέλιξη της τεχνολογίας των μικροϋπολογιστών και ιδιαίτερα η τεράστια σε σύγκριση με το πρόσφατο παρελθόν υπολογιστική ισχύς των σημερινών μικροϋπολογιστών έδωσε νέα ώθηση και διεύρυνε τη χρήση προγραμμάτων με εφαρμογές βελτιστοποίησης γραμμικού προγραμματισμού, επιτρέποντας σε managers και στελέχη επιχειρήσεων άμεση πρόσβαση σε εργαλεία μαθηματικής μοντελοποίησης και ανάλυσης, μέσα στο καθημερινό περιβάλλον εργασίας τους χωρίς την ανάγκη χρήσης εξειδικευμένων και ισχυρών υπολογιστικών συστημάτων. Η υπολογιστική ισχύς των σημερινών προσωπικών υπολογιστών επιτρέπει τη δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων ΓΠ με μερικές χιλιάδες περιορισμούς και πολλές χιλιάδες μεταβλητών, ενώ σε ισχυρότερους υπολογιστές (mainframes) ανέρχεται σε δεκάδες χιλιάδων περιορισμών. Δεν έχει έννοια να αναφερθούμε σε τεχνικά χαρακτηριστικά και σύγκριση δυνατοτήτων διαφορετικών προγραμμάτων και γλωσσών μοντελοποίησης δεδομένου ότι η εξέλιξη της τεχνολογίας θα καταστήσει τις όποιες αναφορές παρωχημένες σε μικρό χρονικό διάστημα. Ως πα- 112

3 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή ράδειγμα ενός συστήματος μοντελοποίησης θα αναφέρουμε το πρόγραμμα LINDO 1, το οποίο είναι ένα ευρέως διαδομένο εξελισσόμενο σύστημα μοντελοποίησης μαθηματικού προγραμματισμού που χρησιμοποιείται από το 1979 σε διαφορετικές κατηγορίες υπολογιστών, καθώς επίσης και τη δυνατότητα μοντελοποίησης και επίλυσης προβλημάτων ΓΠ μέσω του ειδικού επιπρόσθετου (add-in) Solver, το οποίο διατίθεται με το γνωστό πρόγραμμα επεξεργασίας πινάκων Excel του MS Office Το πρόγραμμα LINDO Τo πρόγραμμα LINDO μπορεί να θεωρηθεί ως ένα πλήρες εργαλείο, το οποίο σχεδιάσθηκε για την εύκολη και αποτελεσματική καταχώριση, επίλυση και ανάλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Το LINDO είναι ένα ολοκληρωμένο πακέτο λογισμικού το οποίο περιλαμβάνει τη γλώσσα μοντελοποίησης για την απεικόνιση μοντέλων βελτιστοποίησης, ένα περιβάλλον εργασίας για τη δημιουργία και ανάπτυξη των προβλημάτων, το πρόγραμμα επίλυσης και προγράμματα αναφοράς αποτελεσμάτων. Στη συνέχεια παρουσιάζονται συνοπτικά οι δυνατότητες του LINDO, χρησιμοποιώντας ως παράδειγμα το πρόβλημα της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ (βλέπε κεφάλαιο 2). Δημιουργία Μοντέλου ΓΠ Η καταχώρηση του μοντέλου του γραμμικού προγραμματισμού γίνεται μεταφέροντας ακριβώς τη μαθηματική σύνταξη του μοντέλου στο αντίστοιχο παράθυρο του LINDO (βλέπε σχήμα 3.1.1). Σχήμα Το περιβάλλον του LINDO και το παράθυρο καταχώρησης του μοντέλου ΓΠ 1 Demo έκδοση του λογισμικού είναι διαθέσιμη δωρεάν από τον δικτυακό τόπο της εταιρείας στην διεύθυνση 113

4 Ο χρήστης έχει στη διάθεση του τις συνήθεις λειτουργίες του περιβάλλοντος των Windows με drop-down menus ή με χρήση εικονιδίων για άνοιγμα (open), αποθήκευσης (save/save as), εκτύπωσης (print), διόρθωσης (edit) κ.α. όπως φαίνονται στο σχήμα Αντί της μαθηματικής ονομασίας των μεταβλητών Χ1, Χ2, κ.λπ.., στο πρόγραμμα LINDO οι μεταβλητές μπορούν να καταχωρηθούν με συμβατικά μνημονικά ονόματα (μήκους έως και 8 χαρακτήρες). Το ίδιο ισχύει και για τους περιορισμούς του προβλήματος, όπου κάθε περιορισμός μπορεί να λάβει μία μνημονική ονομασία (έως και 8 χαρακτήρες). Η πρακτική αυτή σε προβλήματα με μεγάλο αριθμό μεταβλητών και περιορισμών διευκολύνει την ερμηνεία των αποτελεσμάτων της επίλυσης και την αντιστοίχηση τους με τα δεδομένα και τους όρους του επιχειρησιακού προβλήματος. Διατύπωση του μαθηματικού μοντέλου ΓΠ στο LINDO Η διατύπωση κάθε προβλήματος ΓΠ στο πρόγραμμα LINDO ξεκινά με τον όρο ΜΑΧ ή ΜΙΝ που δηλώνει τη γραμμή που αντιστοιχεί στην αντικειμενική συνάρτηση και το είδος της βελτιστοποίησης (μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση), ακολουθεί σε επόμενη σειρά, ο όρος SUBJECT TO (ή S.T.) που δηλώνει ότι οι επόμενες σειρές περιγράφουν τους περιορισμούς, ακολουθούν οι περιορισμοί με δυνατότητα ονομασίας (η ονομασία του περιορισμού τελειώνει με παρένθεση), και στην τελευταία γραμμή ο όρος ΕΝD δηλώνει το τέλος του προβλήματος. Στο σχήμα φαίνεται η καταχώρηση του προβλήματος της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ με ονόματα μεταβλητών TRAPEZ και KAREKL αντίστοιχα, και ονόματα περιορισμών XYLOURG, BAFEIO και STILVOT. Ονομασίες Περιορισμών Λέξεις - κλειδιά του LINDO Σχήμα Καταχώρηση του προβλήματος της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ στο LINDO με μνημονικές ονομασίες μεταβλητών και με ονομασίες περιορισμών 114

5 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή Επίλυση μοντέλου στο LINDO Η επίλυση του μοντέλου γίνεται από την επιλογή Solve του αντίστοιχου μενού (σχήμα 3.1.3). Εάν υπάρχουν οποιαδήποτε λάθη στη σύνταξη ή στη λογική του μοντέλου αυτά υποδεικνύονται στο χρήστη από τα αντίστοιχα μηνύματα. Το ίδιο συμβαίνει στην περίπτωση που το μοντέλο δεν έχει εφικτή λύση (infeasible), οπότε υποδεικνύονται οι περιορισμοί που δημιουργούν το πρόβλημα μη ύπαρξης εφικτών λύσεων ή όταν η περιοχή των εφικτών λύσεων δεν είναι φραγμένη (unbounded). Στην περίπτωση που το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί ο χρήστης ερωτάται εάν επιθυμεί και την ανάλυση ευαισθησίας του προβλήματος. Εντολή Επίλυσης Αποτέλεσμα Επίλυσης Επιλογή Ανάλυσης Ευαισθησίας Σχήμα Επίλυση του προβλήματος της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ στο LINDO Αναφορές Επίλυσης στο LINDO Τα αποτελέσματα της επίλυσης του προβλήματος με το LINDO παρουσιάζονται στο παράθυρο Reports. Τα αποτελέσματα της επίλυσης περιλαμβάνουν εκτός του προσδιορισμού των τιμών των μεταβλητών, της αντικειμενικής συνάρτησης, των σκιωδών τιμών των περιορισμών και επιπλέον δυνατότητες ανάλυσης όπως αυτές παρουσιάζονται στις επιλογές του μενού Reports (σχήμα 3.1.4). Στο ίδιο σχήμα παρουσιάζεται η αναφορά επίλυσης του προβλήματος της επίλυσης του προβλήματος της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ, όπου επαναλαμβάνονται τα αποτελέσματα επίλυσης και ανάλυσης ευαισθησίας που υπολογίσθηκαν αναλυτικά στο κεφάλαιο 2. Στα αποτελέσματα διακρίνουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (objective function value), τις τιμές των αρχικών μεταβλητών (variable value), τις τιμές των μεταβλητών περιθωρίου (slack or surplus), τις σκιώδεις τιμές (reduced cost για τις αρχικές μεταβλητές και dual prices για τις μεταβλητές περιθωρίου), και τα βήματα επαναλήψεις που απαιτήθηκαν για την επίλυση του προβλήματος (no. iterations). 115

6 Στη συνέχεια στα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας διακρίνουμε τις επιτρεπόμενες αυξομειώσεις στους συντελεστές κέρδους που δεν μεταβάλουν τη βέλτιστη λύση (objective coefficient ranges) και τις αυξομειώσεις στις ποσότητες των περιορισμών που δεν οδηγούν σε αλλαγή των βασικών μεταβλητών (righthand side ranges). Και στις δύο περιπτώσεις τα αποτελέσματα περιλαμβάνουν την τρέχουσα τιμή (current coef. ή current RHS) την επιτρεπόμενη αύξηση (allowable increase) και την επιτρεπόμενη μείωση (allowable decrease) των τιμών όπως φαίνεται στο σχήμα Εκτός από τα παραπάνω στοιχειώδη αποτελέσματα της επίλυσης του προβλήματος, υπάρχει η δυνατότητα εμφάνισης του πίνακα Simplex (επιλογή Tableau στο μενού των αναφορών), παραμετρικής ανάλυσης της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης σε σχέση με τις ποσότητες των περιορισμών (επιλογή Parametrics στο μενού των αναφορών), κ.ά. τα οποία ξεφεύγουν από το σκοπό αυτού του βιβλίου και για τα οποία ο αναγνώστης μπορεί να βρει τις λεπτομέρειες στο μενού βοήθεια (Help) του προγράμματος. Αναφορές Επίλυσης Τιμές μεταβλητών Τιμή Αντικειμενικής Συνάρτησης Σκιώδεις τιμές Διαστήματα διακύμανσης συντελεστών κέρδους Διαστήματα αυξομείωσης περιορισμών Σχήμα Αναφορά λύσης και ανάλυσης ευαισθησίας της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ στο LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel 116 Το λογισμικό μοντελοποίησης όπως το LINDO, απευθύνεται σε εξειδικευμένο κοινό εξοικειωμένο με τη μαθηματική διατύπωση των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού και γι αυτό έως πρόσφατα αποτελούσε μία από τις καλύτερες επιλογές λογισμικού για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού.

7 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή Τα τελευταία χρόνια η αύξηση της υπολογιστικής ισχύος στους μικροϋπολογιστές κατέστησε δυνατή την ανάπτυξη εργαλείων λογισμικού βελτιστοποίησης τα οποία μπορούν να ενσωματωθούν σε συνήθη προγράμματα που χρησιμοποιούνται για ανάλυση επιχειρηματικών προβλημάτων όπως τα προγράμματα επεξεργασίας πινάκων (spreadsheets). Η δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων βελτιστοποίησης ΓΠ σε προγράμματα επεξεργασίας πινάκων όπως το Excel παρουσιάζει δύο βασικά πλεονεκτήματα. Καταρχήν το Excel αποτελεί ίσως το πιο δημοφιλές λογισμικό επεξεργασίας ποσοτικών δεδομένων τόσο στις επιχειρήσεις αλλά και στον ακαδημαϊκό χώρο και επομένως είναι προσβάσιμο από ένα μεγάλο αριθμό χρηστών. Πέρα από αυτό το Excel όπως και τα άλλα αντίστοιχα προγράμματα επεξεργασίας πινάκων διαθέτουν πολύ πρόσφορα τεχνικά χαρακτηριστικά σε ότι αφορά την καταχώρηση και επεξεργασία δεδομένων τα οποία επιτρέπουν την ανάπτυξη ενός μοντέλου ΓΠ με έναν τρόπο λιγότερο μαθηματικό, και ο οποίος σχετίζεται πιο άμεσα με το επιχειρησιακό πρόβλημα. Ο Επιλυτής (Solver) του Excel είναι ένα επιπρόσθετο (περιλαμβάνεται στο λογισμικό αλλά δεν αποτελεί μέρος της τυπικής εγκατάστασης, και μπορεί να εγκατασταθεί εκ των υστέρων) εργαλείο του Excel το οποίο διαθέτει δυνατότητες εκτέλεσης υπολογισμών βελτιστοποίησης. Εγκατάσταση του Solver Για την επίλυση προβλημάτων ΓΠ με το Excel απαιτείται κατ αρχήν να είναι εγκατεστημένο το επιπρόσθετο Solver (Επίλυση), το οποίο φαίνεται ως μία επιλογή στο μενού Tools (Εργαλεία). Εάν δεν είναι ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i. Επιλέγουμε από το μενού Tools (Εργαλεία) την επιλογή Add-Ins (Επιπρόσθετα) ii. Από το παράθυρο διαλόγου που θα εμφανισθεί επιλέγουμε (check box) την επιλογή Solver (Επιλυτής). iii. Επιλέγοντας OK, ολοκληρώνεται η εγκατάσταση του Solver (Επιλυτής) που είναι πλέον προσβάσιμο από το μενού Tools (Εργαλεία). Η διαδικασία βελτιστοποίησης με τον Solver περιγράφεται εν συντομία παρακάτω, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ελαχιστοποίησης της ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ από το προηγούμενο κεφάλαιο (ενότητα 2.4.1). Δημιουργία Μοντέλου ΓΠ στο Excel Αντίθετα σε ότι συμβαίνει στις γλώσσες μοντελοποίησης όπως η LINDO, όπου καταχωρείται η μαθηματική διατύπωση του μοντέλου, η ανάπτυξη ενός προβλήματος ΓΠ στο Excel δεν ακολουθεί συγκεκριμένους κανόνες σύνταξης. Σε γενικές γραμμές μία καλή πρακτική που μπορεί να ακολουθηθεί για τη δημιουργία ενός μοντέλου ΓΠ σε spreadsheet περιλαμβάνει: 1. Καταχώρηση όλων των δεδομένων του προβλήματος σε μία περιοχή του φύλλου εργασίας. 2. Καταχώριση των μεταβλητών του προβλήματος σε μία άλλη διαφορετική περιοχή του φύλλου εργασίας. 117

8 3. Καταχώρηση μαθηματικού τύπου (ή τύπων) που να καταλήγουν στον υπολογισμό του τελικού αποτελέσματος (τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) το οποίο θα υπολογίζεται άμεσα ή έμμεσα από τις τιμές των μεταβλητών. 4. Καταχώρηση μαθηματικού τύπου (ή τύπων) που θα υπολογίζουν τις ποσότητες που υπόκεινται σε περιορισμούς με βάση τις τιμές των μεταβλητών. Σε αντίθεση με τα προγράμματα μοντελοποίησης όπως το LINDO όπου η διατύπωση των περιορισμών απαιτεί το αριστερό μέλος της ισότητας ή ανισότητας να είναι συνάρτηση των μεταβλητών και το δεξιό μέλος να είναι σταθερό, στο Excel ένας περιορισμός μπορεί να καταχωρηθεί ως σύγκριση δύο ποσοτήτων που και οι δύο μπορεί να εξαρτώνται από τις τιμές των μεταβλητών. Οι παραπάνω βασικές αρχές μπορούν να προσαρμοσθούν στις απαιτήσεις οποιουδήποτε προβλήματος ΓΠ έτσι ώστε αυτό να εμφανίζεται στο φύλλο εργασίας ως μία σειρά απλών οικονομοτεχνικών υπολογισμών κατανοητή και από τον μη εξειδικευμένο χρήστη. Στο σχήμα φαίνεται η καταχώρηση του παραδείγματος της ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ (ενότητα 2.4.1) σε ένα φύλλο εργασίας στο Excel με τρόπο που να μπορεί να επιλυθεί με τη χρήση του Επιλυτή (Solver). Το μοντέλο ΓΠ της ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ στο Excel Τα δεδομένα Προβλήματος είναι καταχωρημένα στις θέσεις A3:D8 Οι τιμές των μεταβλητών του προβλήματος αντιστοιχούν στα κελιά Β14, Β15 και Β16. Οι υπολογισμοί κόστους και ποσοτήτων εξαρτώνται από τις τιμές που καταχωρούνται στα αυτά τα κελιά. Στον πρώτο πίνακα έχουν καταχωρηθεί μηδενικές ποσότητες, στο δεύτερο έχουν καταχωρηθεί τυχαίες ποσότητες. Το ζητούμενο είναι ο προσδιορισμός των βέλτιστων τιμών στα συγκεκριμένα κελιά Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης υπολογίζεται με τον τύπο που έχει καταχωρηθεί στο κελί D11: D5*B14+D6*B15+D7*B16 Στη θέσεις Β20 έως Β22 υπολογίζονται η συνολική ποσότητα του μείγματος και οι ποσότητες πρωτεϊνών και υδατανθράκων που θα περιέχονται σε αυτό. Οι τιμές σε αυτά τα κελιά αντιστοιχούν στο αριστερό μέλος των περιορισμών του προβλήματος. Β20: Β14+Β15+Β16 ή SUM(B14:b16) Β21: Β14*Β5+Β15*Β6+Β16*Β7 ή SUMPRODUCT(B14:B5;B5:B7) Β22: Β14*C5+Β15*C6+Β16*C7 ή SUMPRODUCT(B14:B5;C5:C7) Τέλος στις θέσεις D20 έως D22 υπολογίζονται η επιθυμητή ποσότητα του μείγματος και οι ελάχιστες απαιτούμενες ποσότητες πρωτεϊνών και υδατανθράκων που πρέπει να περιέχονται σε αυτό. Οι τιμές σε αυτά τα κελιά αντιστοιχούν στο δεξιό μέλος των περιορισμών του προβλήματος. D20: 1000 D21: D20*B8 D20: D20*C8 118

9 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή Σχήμα Δημιουργία μοντέλου ΓΠ στο Excel Το παράδειγμα της ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ Μοντέλα ΓΠ στο Excel Το Excel σε αντίθεση με τις γλώσσες μοντελοποίησης (LINDO κ.λπ.) δεν έχει τη δυνατότητα ελέγχου της σύνταξης του μοντέλου. Τα παρακάτω ερωτήματα βοηθούν στον έλεγχο του μοντέλου ΓΠ που αναπτύχθηκε σε φύλλο εργασίας Excel. o o Ποια είναι τα κελιά του φύλλου εργασίας τις τιμές των οποίων επιθυμώ να προσδιορίσω; Οι τιμές αυτών των κελιών δεν πρέπει να εξαρτώνται από άλλα κελιά. Αλλάζοντας τις τιμές των συγκεκριμένων κελιών, μπορώ να δω το πως μεταβάλλεται το αποτέλεσμα; Είναι το τελικό αποτέλεσμα καταχωρημένο 119

10 σε ένα και μοναδικό κελί; o o Αλλάζοντας τις τιμές των κελιών που επιθυμώ να προσδιορίσω, μπορώ να διακρίνω, συγκρίνοντας τις τιμές δύο κελιών του φύλλου εργασίας, αν ικανοποιείται ή παραβιάζεται κάθε ένας από τους περιορισμούς του προβλήματος; Γενικά, μπορώ να δοκιμάζω (trial and error) διαφορετικές τιμές στα υπό προσδιορισμό κελιά, να γνωρίζω αν η επιλογή μου είναι εφικτή και να έχω το αντίστοιχο αποτέλεσμα; Αν οι παραπάνω ερωτήσεις είναι δύσκολο να απαντηθούν τότε θα πρέπει να σκεφτούμε τον επανασχεδιασμό του φύλλου εργασίας. Ας επανέλθουμε στο παράδειγμα της ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ Δοκιμάζουμε το μοντέλο του Excel με μία τυχαία λύση του προβλήματος. Ας υποθέσουμε ότι χρησιμοποιούμε 200 κιλά εισαγόμενης τροφής, 300 κιλά ιχθυάλευρο και 500 κιλά δημητριακά, σύνολο 1000 κιλά. Αν οι παραπάνω ποσότητες καταχωρηθούν στα κελιά Β14 έως Β16 αντίστοιχα του φύλλου εργασίας του σχήματος έχουμε τα αποτελέσματα του σχήματος στο ο- ποίο φαίνεται ότι το κόστος της συγκεκριμένης επιλογής είναι 810, η περιεκτικότητα σε πρωτεΐνες είναι 255 κιλά αντί των 300 (κελιά Β21 και D21), ενώ η περιεκτικότητα σε υδατάνθρακες είναι 340 κιλά αντί των 400 (κελιά Β22 και D22). 120

11 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή Σχήμα Έλεγχος τυχαίας λύσης στο μοντέλο ΓΠ του Excel για το παράδειγμα ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ Η διαδικασία επίλυσης με τον Solver Μετά την επιλογή της Επίλυσης (Solver) στο μενού Εργαλεία (Tools) εμφανίζεται το παράθυρο διαλόγου του σχήματος 3.1.7, στο οποίο ορίζονται κατά σειρά τα εξής: i. Η διεύθυνση του κελιού που περιέχει την τιμή στόχο, δηλαδή την τιμή που επιθυμούμε να βελτιστοποιήσουμε (αντιστοιχεί στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης). Στο παράδειγμα της ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ η τιμή αυτή είναι το κόστος του μείγματος, ο υπολογισμός του οποίου βρίσκεται στο κελί D11 (σχήμα 3.1.5). ii. Ο στόχος του προβλήματος, δηλαδή αν επιζητούμε μεγιστοποίηση (Max) ή ελαχιστοποίηση (Min) ή απλά η επίτευξη συγκεκριμένης τιμής (Value of) στο κελί της τιμής στόχου (σχήμα 3.1.7). iii. Οι διευθύνσεις των κελιών οι τιμές των οποίων επιθυμούμε να προσδιορισθούν (By changing cells) ώστε να επιτευχθεί το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα τα κελιά στα οποία καταχωρούνται οι ποσότητες των τριών τροφών του μείγματος είναι τα κελιά Β14 έως Β

12 Σχήμα Καταχώριση τιμής στόχου για ελαχιστοποίηση και των κελιών που περιέχουν τις υπό προσδιορισμό τιμές Πρόβλημα ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ iv. Στη συνέχεια καταχωρούνται οι περιορισμοί του προβλήματος, επιλέγοντας το κουμπί Add στο τμήμα Subject to the Constraints. Με την επιλογή Add εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο διαλόγου στο οποίο καταχωρούμε τις δύο τιμές που θα συγκριθούν και το είδος της σχέσης μεταξύ τους. Στο σχήμα φαίνεται η καταχώρηση των τριών περιορισμών. (Τα κελιά Β20 έως Β22 περιέχουν τις ποσότητες συνολικών κιλών, πρωτεϊνών, και υδατανθράκων που αντιστοιχούν στις τιμές των κελιών Β14 έως Β16, ενώ τα κελιά D20 έως D22 περιέχουν τις επιθυμητές ποσότητες) Σχήμα Καταχώριση των περιορισμών μοντέλου ΓΠ στο Excel Το παράδειγμα ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ Εισαγωγή περιορισμών στον Solver του Excel Οι περιορισμοί μπορεί να καταχωρηθούν ένας κάθε φορά δηλαδή ο κάθε περιορισμός ορίζεται από τη σύγκριση της τιμής ενός κελιού με την τιμή ενός 122

13 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή άλλου κελιού ή μιας σταθερής τιμής (πρώτο παράθυρο στο σχήμα 3.1.8). Εναλλακτικά παρόμοιοι περιορισμοί μπορεί να καταχωρηθούν όλοι μαζί. Σε αυτή την περίπτωση η σύγκριση γίνεται μεταξύ των δύο αντίστοιχων περιοχών κελιών όπως στο δεύτερο παράθυρο του σχήματος το οποίο αντιστοιχεί σε δύο περιορισμούς (Β21 D21 και Β22 D22) Εκτός των συγκρίσεων >=, <=, ή =, άλλοι περιορισμοί που δέχεται ο Solver είναι ο περιορισμός ΙΝΤ (ακέραιες τιμές) και ΒΙΝ (τιμές 0 ή 1). Μετά την ολοκλήρωση της καταχώρηση όλων των περιορισμών επιλέγουμε το κουμπί ΟΚ. Το παράθυρο του Solver περιέχει όλα τα απαραίτητα στοιχεία για την επίλυση του προβλήματος: τις μεταβλητές, την αντικειμενική συνάρτηση και τους περιορισμούς όπως φαίνεται στο σχήμα Σχήμα Το παράθυρο του Solver συμπληρωμένο Το παράδειγμα ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ H επιλογή Solve (Επίλυση), ενεργοποιεί τον αλγόριθμο επίλυσης του προβλήματος και εμφανίζει (εφόσον το πρόβλημα επιδέχεται επίλυση) το παράθυρο των αποτελεσμάτων του Solver όπου υπάρχουν οι επιλογές παρουσίασης της λύσης (solution), της αναφοράς ευαισθησίας (sensitivity) και της αναφοράς ορίων (limits). Επίσης ο χρήστης μπορεί να επιλέξει είτε να διατηρηθούν στο φύλλο εργασίας, οι τιμές που προσδιορίσθηκαν στην επίλυση, ή να επαναφερθούν οι αρχικές τιμές του φύλλου εργασίας. (σχήμα ) ιαδικασία Επίλυσης Παράμετροι Πριν επιλέξουμε την επιλογή Solve (Επίλυση), μία καλή πρακτική που πρέπει να ακολουθείται, είναι ο ορισμός των χαρακτηριστικών του προβλήματος από την επιλογή Options (Επιλογές). Σε προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού επιλέγεται η αντίστοιχη επιλογή Γραμμικό Μοντέλο εκτός και αν το 123

14 μοντέλο δεν είναι γραμμικό. Επειδή ο αλγόριθμος επίλυσης του Solver είναι σχεδιασμένος για επίλυση τόσο γραμμικών όσο και μη γραμμικών προβλημάτων βελτιστοποίησης, ο καθορισμός του μοντέλου ως γραμμικού επιταχύνει το χρόνο επίλυσης. Επίσης με τον ίδιο τρόπο δηλώνουμε ότι οι μεταβλητές του μοντέλου λαμβάνουν μη αρνητικές τιμές (non-negative) Μήνυμα επιτυχούς επίλυσης Σχήμα Το παράθυρο Αποτελεσμάτων του Solver Το παράδειγμα ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ Αναφορά Αποτελεσμάτων Αποτελεί επίσης καλή πρακτική να διατηρούνται οι αρχικές τιμές του μοντέλου στο φύλλο εργασίας έτσι ώστε να διευκολύνεται η επιστροφή στο αρχικό πρόβλημα και οι αλλαγές που μπορεί να απαιτούνται στη δομή του μοντέλου. Οι τιμές που προσδιορίσθηκαν στη διάρκεια της επίλυσης μπορεί να αποθηκευτούν σε νέο φύλλο εργασίας (worksheet) με την επιλογή Αποθήκευση σεναρίου Στην περίπτωση που επιλεγεί η εμφάνιση και των τριών αναφορών, αυτές τοποθετούνται αυτομάτως σε ένα νέο φύλλο εργασίας (spreadsheet) η κάθε μία, στο ίδιο βιβλίο εργασίας (workbook) του Excel. Η αναφορά λύσεων (Answer Report) περιλαμβάνει τη λύση του προβλήματος, δηλαδή την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, τις τιμές των μεταβλητών και για κάθε περιορισμό την τιμή του αντίστοιχου κελιού, την κατάσταση (δεσμευτικός ή μη) και τις τιμές των αντίστοιχων μεταβλητών περιθωρίου (σχήμα ). 124

15 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή Σχήμα Αναφορά Αποτελεσμάτων (Answer Report) του Solver Το παράδειγμα ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ Το πρώτο τμήμα της αναφοράς αναφέρεται στην αντικειμενική συνάρτηση. Στη στήλη Original Value (Αρχική τιμή) δίνεται η τιμή του κελιού πριν τη βελτιστοποίηση και στη στήλη Final Value (Τελική Τιμή) δίνεται η βέλτιστη τιμή. Το δεύτερο τμήμα περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών που ζητήθηκε να προσδιορισθούν. Η στήλη Original Values (Αρχικές Τιμές) περιλαμβάνει τις τιμές που ήταν καταχωρημένες στο φύλλο εργασίας, ενώ η στήλη Final Values (Τελικές Τιμές) τις τιμές στις οποίες κατέληξε o Solver, δηλαδή 500 κιλά εισαγόμενης τροφής και 500 κιλά Δημητριακών. Το τρίτο τμήμα περιλαμβάνει τους τρεις περιορισμούς, όπου για κάθε περιορισμό αναφέρεται το κελί που αντιστοιχεί στην ποσότητα που υπόκειται στον περιορισμό, η ονομασία του περιορισμού που λαμβάνεται από τα αντίστοιχα κελιά του Excel, η τιμή του κελιού στη βέλτιστη λύση, ο μαθηματικός τύπος του περιορισμού, η κατάσταση του (δεσμευτικός ή μη-δεσμευτικός) και η αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής περιθωρίου. Τα αποτελέσματα είναι προφανώς τα ίδια τα οποία υπολογίσθηκαν στο κεφάλαιο 2.4 με τη μέθοδο Simplex. Η αναφορά ευαισθησίας περιλαμβάνει τα όρια των τιμών τόσο για τους συντελεστές κέρδους όσο και για τις ποσότητες των περιορισμών. Όπως φαίνεται και στο σχήμα , η αναφορά περιλαμβάνει δύο τμήματα. Το πρώτο αφορά τις μεταβλητές και τους αντίστοιχους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης και περιλαμβάνει εκτός από τις τιμές των μεταβλητών, τις σκιώδεις τιμές (reduced cost) τους αρχικούς συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης καθώς και την επιτρεπόμενη αύξηση (allowable increase) ή επιτρεπόμενη μείωση (allowable decrease) για κάθε συντελεστή που δεν μεταβάλλει τη βέλτιστη λύση. 125

16 Σχήμα Αναφορά Ευαισθησίας (Sensitivity Report) του Solver Το παράδειγμα ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ Το δεύτερο μέρος της αναφοράς ευαισθησίας αφορά τους περιορισμούς όπου για κάθε περιορισμό δίνεται η επιτευχθείσα τιμή του αντίστοιχου κελιού στη βέλτιστη λύση, η σκιώδης τιμή (shadow values), η αρχική ποσότητα του περιορισμού καθώς και την επιτρεπόμενη αύξηση (allowable increase) ή επιτρεπόμενη μείωση (allowable decrease) με την ερμηνεία που δόθηκε στην ενότητα του προηγουμένου κεφαλαίου. Τέλος η αναφορά ορίων περιλαμβάνει πληροφορίες σχετικές με την όρια των ποσοτήτων των περιορισμών και τις αντίστοιχες μεταβολές στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (σχήμα ). 126 Σχήμα Αναφορά Ορίων (Limits Report) του Solver Το παράδειγμα ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ Για την βελτίωση της αποτελεσματικότητας της διαδικασίας βελτιστοποίησης, ο Solver επιτρέπει στον χρήστη να ρυθμίσει ορισμένες παραμέτρους τις διαδικασίας βελτιστοποίησης μέσω του παραθύρου διαλόγου Options (Επιλογές) (σχήμα ). Οι ρυθμίσεις αυτές αφορούν τη μαθηματική ακρίβεια της λύσης, τον μέγιστο αριθμό επαναληπτικών βημάτων που θα εκτελέσει ο Solver (προβλήματα μεγάλης κλίμακας απαιτούν χιλιάδες επαναλήψεων για τον προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης), τη δυνατότητα εμφάνισης των αποτελεσμάτων στα διαδοχικά βήματα, τη δυνατότητα αποθήκευσης του μοντέλου κ.α. Κάποιες από τις ρυθμίσεις αφορούν τη βελτιστοποίηση μη γραμμικών προβλημάτων (όπως στο κάτω τμήμα του

17 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή παραθύρου) και η επεξήγηση τους απαιτεί έννοιες που δεν καλύπτονται στο παρόν σύγγραμμα, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι χωρίς τον καθορισμό των αντίστοιχων ρυθμίσεων είναι απαγορευτική η χρήση του Solver για τη βελτιστοποίηση μη γραμμικών προβλημάτων Σχήμα Παράθυρο Επιλογών του Solver Αναφορά Αποτελεσμάτων Ο Solver αποτελεί ένα απλό, αλλά αποτελεσματικό εργαλείο που δίνει τη δυνατότητα στο χρήστη να εφαρμόσει μεθόδους βελτιστοποίησης, διατυπώνοντας το πρόβλημα με έναν οικείο για επιχειρησιακές εφαρμογές τρόπο (σε ένα φύλλο εργασίας) χωρίς να απαιτείται μαθηματική διατύπωση του προβλήματος, όπως στα εξειδικευμένα πακέτα ΓΠ. Όπως και κάθε εργαλείο έτσι και ο Solver μπορεί να είναι κατάλληλος για κάποια προβλήματα και λιγότερο κατάλληλος για άλλα. Ο παρακάτω ενδεικτικός κατάλογος πλεονεκτημάτων και μειονεκτημάτων του Solver μπορεί να βοηθήσει τον ενδιαφερόμενο στην απόφαση του για την καταλληλότητα του στην α- νάπτυξη και επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων. Πλεονεκτήματα Το πρόβλημα μπορεί να αναπτυχθεί σταδιακά και εξελικτικά. Ο χρήστης μπορεί να πειραματισθεί στη διάρκεια ανάπτυξης του μοντέλου με τη μέθοδο δοκιμής - λάθους (trial and error) στο δομημένο αλλά και ευέλικτο περιβάλλον των spreadsheets, παρατηρώντας την επίδραση των μεταβλητών και περιορισμών στα αποτελέσματα και κατανοώντας βαθύτερα το μοντέλο. 127

18 εν είναι απαραίτητο να διαμορφωθεί ένα αναλυτικό μαθηματικό μοντέλο. Ο Solver είναι τμήμα ενός ευρέως χρησιμοποιούμενου λογισμικού για ανάλυση δεδομένων επομένως υπάρχει ευρεία προσβασιμότητα στο λογισμικό τόσο από την ακαδημαϊκή κοινότητα αλλά κυρίως στους χώρους εφαρμογής. Οι χρήστες είναι εξοικειωμένοι με το περιβάλλον του Solver και μπορούν να εντάξουν εφαρμογές βελτιστοποίησης σε επιχειρησιακά προβλήματα που είναι διατυπωμένα σε περιβάλλον spreadsheet. Ta αποτελέσματα μπορούν να μεταφερθούν σε άλλες εφαρμογές (π.χ. επεξεργασίας κειμένου) ή να παρουσιασθούν εύκολα με χρήση γραφικών ή άλλων εργαλείων. Μειονεκτήματα Χρήση πολύπλοκων μη γραμμικών συναρτήσεων του Excel μπορεί να εισάγει μη γραμμικότητα στο μοντέλο την οποία ο μη ειδικός σε τεχνικές βελτιστοποίησης χρήστης να μην έχει τις γνώσεις να χειριστεί αποτελεσματικά (π.χ., κατάλληλος ορισμός αρχικής λύσης, ορισμός επαναληπτικής μεθόδου, κατάληξη σε τοπικά βέλτιστα κ.α.) εν είναι δυνατή η εμφάνιση του πίνακα Simplex ούτε στην τελική ούτε στις ενδιάμεσες μορφές. Επομένως οι τεχνολογικοί συντελεστές δεν είναι διαθέσιμοι. Ο χρόνος επίλυσης είναι αυξημένος σε σχέση με τον αντίστοιχο χρόνο ε- πίλυσης μέσω ειδικού λογισμικού επίλυσης προβλημάτων ΓΠ. Η διατύπωση μεγάλης κλίμακας μοντέλων (τάξης μεγέθους χιλιάδων περιορισμών και μεταβλητών) είναι αδύνατη, αλλά ακόμα και αν καταστεί δυνατή δεν είναι εύκολο να τεκμηριωθεί και να ελεγχθεί το μοντέλο. 128

19 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή 3.2 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Έχοντας ήδη αναπτύξει τη μεθοδολογία επίλυσης και ανάλυσης των προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και τρόπους επίλυσης τους με τη βοήθεια του υπολογιστή, θα στρέψουμε τώρα το ενδιαφέρον μας στα πεδία εφαρμογής του Γραμμικού Προγραμματισμού. Ο Γραμμικός Προγραμματισμός αποτελεί ένα πολύ δυνατό εργαλείο ανάλυσης για ποικίλα οικονομοτεχνικά προβλήματα. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε μερικές από τις πιο τυπικές εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού σε επιχειρησιακά προβλήματα. Κάθε κατηγορία προβλήματος ΓΠ θα παρουσιάζεται μέσω ενός παραδείγματος, όπου θα αναλύεται ο τρόπος διατύπωσης του αντίστοιχου μοντέλου ΓΠ, θα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της επίλυσης του με τη βοήθεια του LINDO ή του Solver, και θα ακολουθεί η ανάλυση των αποτελεσμάτων Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής (Product Mix) Το πρόβλημα μίξης της παραγωγής αφορά τον καθορισμό της ποσότητας κάθε προϊόντος (ή υπηρεσίας) που παράγει μία επιχείρηση έτσι ώστε η επιχείρηση να μεγιστοποιήσει το συνολικό κέρδος αξιοποιώντας τους παραγωγικούς πόρους, που έχει στη διάθεση της και λαμβάνοντας υπόψη άλλους εξωγενείς ή ενδογενείς κανόνες και περιορισμούς που καθορίζουν το πλαίσιο λειτουργίας της. Το παράδειγμα της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ που αναλύθηκε στο κεφαλαίο 2 είναι μία απλή μορφή προβλήματος μίξης παραγωγής. Η αντικειμενική συνάρτηση σε ένα πρόβλημα μίξης παραγωγής εκφράζει το συνολικό κέρδος της επιχείρησης από τις παραγόμενες ποσότητες προϊόντων ή υπηρεσιών, όπως προκύπτει από τους συντελεστές κέρδους για κάθε παραγόμενο προϊόν. Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν την περιορισμένη ποσότητα πόρων που είναι διαθέσιμοι και θα πρέπει να κατανεμηθούν στην παραγωγή διαφόρων προϊόντων. Τέτοιοι πόροι μπορεί να είναι ο αριθμός των διαθέσιμων ωρών του μηχανολογικού (ή άλλου) εξοπλισμού, οι διαθέσιμες ανθρωποώρες στα διάφορα τμήματα παραγωγής, οι διαθέσιμες πρώτες ύλες, τα κεφάλαια της επιχείρησης, οι αποθηκευτικοί χώροι κ.λπ. Επιπλέον περιορισμοί μπορεί να επιβάλλονται από τη συγκεκριμένη πολιτική της επιχείρησης (π.χ., ελάχιστες ποσότητες παραγωγής κ.ά.), από συνθήκες της αγοράς (π.χ., ζήτηση των προϊόντων) ή ακόμη και από λειτουργικούς περιορισμούς. Το παράδειγμα που ακολουθεί είναι ένα πρόβλημα μίξης παραγωγής. Παράδειγμα ΑΓΚΡΟΤΕΚ Η εταιρεία κατασκευής αγροτικών μηχανημάτων ΑΓΚΡΟΤΕΚ κατασκευάζει 4 διαφορετικά αγροτικά μηχανήματα: Καλλιεργητές, Άροτρα, Μικρά Μεταφορικά και Σκαπτικά, τα οποία διαθέτει σε όλη την Ελλάδα. Τα δύο πρώτα αποτελούνται μόνον από μεταλλικά μηχανικά μέρη τα οποία σχεδιάζει και κατασκευάζει η ΑΓΡΟΤΕΚ στις εγκαταστά- 129

20 σεις της, ενώ τα Μεταφορικά και τα Σκαπτικά έχουν ενσωματωμένους μικρούς βενζινοκινητήρες τους οποίους η ΑΓΡΟΤΕΚ εισάγει από το εξωτερικό. Η διαδικασία κατασκευής και για τα τέσσερα προϊόντα απαιτεί διαφορετικές ώρες εργασίας για το κάθε προϊόν στα τέσσερα τμήματα της επιχείρησης. το τμήμα κοπής μετάλλων, το τμήμα συναρμολόγησης, το βαφείο και το τμήμα ποιοτικού ελέγχου, όπως φαίνεται παρακάτω. Τμήμα Ώρες εργασίας ανά μονάδα προϊόντος Διαθέσιμες Παραγωγής Καλλιεργητής Άροτρο Μεταφορικό Σκαπτικό Ώρες Κοπή Συναρμολόγηση Βαφείο Ποιοτ. Έλεγχ. 0, Για τον επόμενο εποχιακό κύκλο παραγωγής η ΑΓΚΡΟΤΕΚ έχει προσδιορίσει ότι οι διαθέσιμες ώρες παραγωγής στο τμήμα κοπής μετάλλων είναι 3.000, στο τμήμα συναρμολόγησης στο βαφείο και στο τμήμα ποιοτικού ελέγχου 800. Η εκτίμηση του κέρδους που αποφέρει κάθε προϊόν στην επιχείρηση είναι 200 για κάθε καλλιεργητή, 300 για κάθε άροτρο, 150 για κάθε μεταφορικό και 100 για κάθε σκαπτικό. Για την εισαγωγή των βενζινοκινητήρων που θα χρησιμοποιηθούν στα μεταφορικά και στα σκαπτικά η ΑΓΚΡΟΤΕΚ πρέπει να προκαταβάλει το αντίστοιχο τίμημα που ανέρχεται σε 100 για κάθε κινητήρα σκαπτικού και 150 για κάθε κινητήρα μεταφορικού. Λόγω ταμιακής στενότητας η ΑΓΚΡΟΤΕΚ έχει εξασφαλίσει δάνειο ύψους έως με ευνοϊκούς όρους για τη συγκεκριμένη εισαγωγή. Με βάση τα δεδομένα των περυσινών πωλήσεων, το τμήμα πωλήσεων της ΑΓΚΡΟΤΕΚ εκτιμά ότι η ζήτηση για κάθε προϊόν δεν πρόκειται να ξεπεράσει τα όρια που δίνονται στον παρακάτω πίνακα, ενώ θεωρεί ότι σε κάθε περίπτωση, θα πρέπει να κατασκευασθεί ένας ελάχιστος αριθμός 10 τεμαχίων από κάθε προϊόν. Προϊόντα Καλλιεργητής Άροτρο Μεταφορικό Σκαπτικό Ζήτηση Προϊόντος Η ΑΓΚΡΟΤΕΚ ενδιαφέρεται καταρχήν να αξιοποιήσει τις διαθέσιμες ώρες με τέτοιο τρόπο ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της. Επιπλέον όμως η διεύθυνση της επιχείρησης επιθυμεί επιπρόσθετες πληροφορίες όπως οι εξής: Αν μετακινώντας προσωπικό από τμήμα σε τμήμα, αυξομειώνοντας έτσι τις διαθέσιμες ώρες σε κάθε τμήμα μπορεί να βελτιώσει την κερδοφορία της. Σε ποια τμήματα θα πρέπει να προστεθούν ώρες και ποιο θα είναι το οικονομικό κέρδος από την ανακατανομή του προσωπικού. 130

21 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή Αν απαιτηθεί υπερωριακή απασχόληση σε κάποιο ή κάποια τμήματα και αν το κόστος της υπερωριακής απασχόλησης δικαιολογείται από το οικονομικό αποτέλεσμα. Αν μπορεί να αυξηθούν οι ελάχιστες ποσότητες παραγωγής που έθεσε το τμήμα πωλήσεων από 10 σε 20 τεμάχια ανά προϊόν. Αν χρειαστεί να διαπραγματευτεί νέο δάνειο για την εισαγωγή των βενζινοκινητήρων. Η διατύπωση του προβλήματος της ΑΓΚΡΟΤΕΚ σε μορφή ΓΠ έχει ως εξής: Θεωρώντας ότι οι μεταβλητές Χ 1, Χ 2, Χ 3 και Χ 4 αντιπροσωπεύουν τις ποσότητες παραγωγής Καλλιεργητών, Αρότρων, Μεταφορικών και Σκαπτικών αντίστοιχα έχουμε : Μεγιστοποίηση Κέρδους: 200Χ Χ Χ Χ 4 Υπό τους περιορισμούς Περιορισμός ωρών Κοπής 10X 1 + 6Χ 2 + 4Χ 3 + 2Χ Περιορισμός ωρών Συναρμολόγησης 5Χ Χ 2 + 6Χ 3 + 4Χ Περιορισμός ωρών Βαφείου 2Χ 1 + 4Χ 2 + 2Χ 3 + 1Χ Περιορισμός ωρών Ποιοτ. Ελέγχου 0.5Χ 1 + 1Χ 2 + 1Χ 3 + 2Χ Περιορισμός ύψους δανείου 150Χ Χ Περιορισμοί πωλήσεων (μέγιστη ποσότητα) Χ Χ Χ 3 80 Χ Περιορισμοί πωλήσεων (ελάχιστη ποσότητα) Χ 1 10 Χ 2 10 Χ 3 10 Χ 4 10 Χ 1, Χ 2, Χ 3, Χ 4 0 Η διατύπωση του προβλήματος στο λογισμικό μοντελοποίησης Γραμμικού Προγραμματισμού LINDO φαίνεται στο σχήμα Ως ονόματα μεταβλητών χρησιμοποιήθηκαν οι συμβολικές ονομασίες KALIERG, AROTRO, METAFOR και SKAPTIKO, ενώ αντίστοιχες ο- νομασίες δόθηκαν στους περιορισμούς του προβλήματος. Τα αποτελέσματα της επίλυσης του προβλήματος δίνονται στο σχήμα

22 Σχήμα Η διατύπωση του προβλήματος ΑΓΚΡΟΤΕΚ στο LINDO Σχήμα Αποτελέσματα Επίλυσης του προβλήματος ΑΓΚΡΟΤΕΚ στο LINDO 132

23 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή Οι βέλτιστες ποσότητες παραγωγής είναι η κατασκευή 182 καλλιεργητών, 120 αρότρων, 15 μεταφορικών και 200 σκαπτικών. Ο συνδυασμός αυτός δίνει το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος με τις παρούσες συνθήκες που ανέρχεται σε Παρατηρούμε ότι για τα άροτρα και τα σκαπτικά εξαντλούνται τα όρια που έχει θέσει το τμήμα πωλήσεων, ενώ για τους καλλιεργητές και τα μεταφορικά οι παραγόμενες ποσότητες υπολείπονται του αντίστοιχου μέγιστου στόχου που έθεσε το τμήμα πωλήσεων. Οι διαθέσιμες ώρες εργασίας στα τμήματα κοπής και συναρμολόγησης μαζί με τα όρια πωλήσεων για τα άροτρα και τα σκαπτικά αποτελούν τους δεσμευτικούς περιορισμούς του προβλήματος με αντίστοιχες σκιώδεις τιμές 11,25, 17,50, 57,50, και 7,5 αντίστοιχα. Δηλαδή μία επιπλέον ώρα εργασίας στο τμήμα κοπής θα μπορούσε να συνεισφέρει στο κέρδος 11,25, ενώ αντίστοιχα στο τμήμα συναρμολόγησης 17,5. Επομένως αν το κόστος υπερωριών στα δύο τμήματα είναι μικρότερο από τις αντίστοιχες σκιώδεις τιμές, συμφέρει η αύξηση των ωρών εργασίας με χρήση υπερωριών, αλλιώς όχι. Στα τμήματα Βαφείου και Ποιοτικού Ελέγχου υπάρχει ένα περίσσευμα 726 και 174 ωρών εργασίας αντίστοιχα που δεν μπορούν να αξιοποιηθούν δεδομένων των άλλων περιορισμών του προβλήματος, και θα μπορούσαν να μεταφερθούν στα άλλα δύο τμήματα. Τέλος οι σκιώδεις τιμές για τους περιορισμούς των άνω ορίων για τα άροτρα και τα σκαπτικά δηλώνουν ότι αν οι περιορισμοί αυτοί αρθούν κατά μία μονάδα (π.χ., το άνω όρια για τα άροτρα γίνει 121 από 120) το αντίστοιχο επιπλέον κέρδος θα είναι 57,5 για κάθε άροτρο και 7,5 για κάθε σκαπτικό. Σχήμα Αποτελέσματα Ανάλυσης Ευαισθησίας του προβλήματος ΑΓΚΡΟΤΕΚ στο LINDO 133

24 Η ανάλυση ευαισθησίας (σχήμα 3.2.3) δείχνει ότι στο τμήμα κοπής οι ώρες εργασίας μπορεί να αυξηθούν έως και 40 (στήλη allowable) χωρίς να μεταβληθεί η βάση του προβλήματος, αποφέροντας επιπλέον κέρδος 11,5 ανά προστιθέμενη ώρα. Αντίστοιχα στο τμήμα συναρμολόγησης μπορούν να προστεθούν έως και 260 ώρες με επιπρόσθετο κέρδος 57,5 ανά προστιθέμενη ώρα. Επομένως κάποιες από τις ώρες εργασίας των τμημάτων βαφείου και ποιοτικού ελέγχου που δεν χρησιμοποιούνται θα μπορούσαν να μεταφερθούν στα δύο τμήματα. Από το διαθέσιμο ποσό του δανείου η επιχείρηση θα χρειαστεί μόνον τα Τέλος σε ότι αφορά την ανάλυση ευαισθησίας των συντελεστών κέρδους, η λύση που προέκυψε παρουσιάζει μεγάλη σταθερότητα σε μεταβολές των συντελεστών κέρδους. Το περιθώριο διακύμανσης του συντελεστή κέρδους για καλλιεργητές (που έχει υπολογισθεί στα 200 ) είναι από 125 έως 375, για τα άροτρα (τρέχουσα τιμή 300) πάνω από 57,5, για τα μεταφορικά (τρέχουσα τιμή 150) από 80 έως 160, και για τα σκαπτικά (τρέχουσα τιμή 100) πάνω από 92, Το πρόβλημα της Διαίτης Το πρόβλημα της διαίτης αφορά τον προσδιορισμό ενός συνδυασμού τροφών ο οποίος να ικανοποιεί συγκεκριμένες απαιτήσεις διατροφής ως προς τα περιεχόμενα θρεπτικά υλικά με ελαχιστοποίηση του αντίστοιχου κόστους. Ένα παράδειγμα προβλήματος διαίτης είναι το παράδειγμα ΓΠ με ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης που αναπτύχθηκε στο κεφάλαιο 2.4. Εφαρμογές του προβλήματος διαίτης βρίσκουμε στον καθορισμό διαιτολογίου σε περιπτώσεις μαζικής εστίασης (νοσοκομεία, στρατιωτικές μονάδες, κατασκηνώσεις κ.ά.) όπου πρέπει να τηρούνται προδιαγραφές σε ότι αφορά την παροχή θρεπτικών υλικών ταυτόχρονα με έλεγχο του κόστους. Η ίδια διατύπωση μπορεί επίσης να βρει εφαρμογή στην ανάπτυξη συνθετικών υλικών που προκύπτουν από μίξη διαφορετικών συστατικών όπου το παραγόμενο υλικό πρέπει να συγκεντρώνει συγκεκριμένες φυσικές ή χημικές ιδιότητες (ελαστικότητα, ανθεκτικότητα, βραδύτητα γήρανσης κ.ά.) και φυσικά να παραχθεί με το χαμηλότερο κόστος Το πρόβλημα Επιλογής Διαφημιστικής Πολιτικής 134 Μοντέλα Γραμμικού Προγραμματισμού χρησιμοποιούνται στο πεδίο της διαφήμισης ως εργαλεία υποστήριξης αποφάσεων για τον καθορισμό μιας αποτελεσματικής διαφημιστικής πολιτικής με την επιλογή διαφόρων διαφημιστικών μέσων. Ο βέλτιστος καθορισμός της διαφημιστικής πολιτικής μπορεί να γίνει με δύο διαφορετικές προσεγγίσεις. Η πρώτη προσέγγιση θεωρεί δεδομένο τον προϋπολογισμό (ή τουλάχιστον το ανώτερο όριο του προϋπολογισμού). Η διατύπωση του προβλήματος αφορά την κατανομή του προϋπολογισμού σε διάφορα διαφημιστικά μέσα, τα οποία μπορεί να περιλαμβάνουν ράδιο, εφημερίδες, τηλεόραση, περιοδικά, ταχυδρόμηση ενημερωτικών φυλλαδίων (direct mailing) κ.ά. Στόχος σε αυτή την περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση της διαφημιστικής κάλυψης. Στο πρόβλημα

25 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή υπεισέρχονται και άλλοι περιορισμοί όπως περιορισμένη διαθεσιμότητα διαφημιστικών μέσων, υπάρχουσες συμφωνίες κ.λπ.. Η δεύτερη προσέγγιση αφορά την ελαχιστοποίηση του κόστους διαφήμισης. Οι περιορισμοί αφορούν τις ελάχιστες απαιτήσεις διαφημιστικής κάλυψης ανά περιοχή. Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση στο πρόβλημα υπεισέρχονται και άλλοι περιορισμοί. Ας εξετάσουμε από ένα παράδειγμα για κάθε περίπτωση. Επιλογή Διαφημιστικής Πολιτικής - Μεγιστοποίηση κάλυψης Η διαφημιστική εταιρεία Advertising S.A. ανέλαβε τη διαφήμιση των ξενοδοχείων των Ανατολικών ακτών του Νομού Λάρισας στην Κεντρική Γερμανία. Η ένωση των ξενοδόχων της περιοχής διαθέτει ένα προϋπολογισμό ευρώ ανά εβδομάδα για διαφήμιση. Ο προϋπολογισμός θα καλύψει διαφήμιση στην τηλεόραση, σε εφημερίδες και σε δύο ζώνες ακρόασης στο ραδιόφωνο. Στόχος της Advertising S.A είναι να έχει τη μεγαλύτερη δυνατή διαφημιστική κάλυψη χρησιμοποιώντας όλα τα διαφημιστικά μέσα. Ο παρακάτω πίνακας περιλαμβάνει εκτίμηση για τον αριθμό των οικογενειών που θα λάβει το διαφημιστικό μήνυμα από κάθε μέσο, με βάση την ακροαματικότητα κάθε μέσου και την κυκλοφορία των εφημερίδων. Στον ίδιο πίνακας δίνεται το κόστος κάθε δράσης και ο μέγιστος αριθμός διαφημιστικών καταχωρήσεων ανά εβδομάδα σε κάθε μέσο. Διαφημιστική Μέγιστος Αριθμός Διαφημιστικό Κάλυψη ανά Κόστος ανά μηνυμάτων Μέσο μήνυμα μήνυμα( ) ανά εβδομάδα Τηλεοπτικά Σποτ Ημερήσιες Εφημερίδες Ραδιοφωνικά Σποτ 30 - Υψηλή ζώνη ακροαματικότητας Ραδιοφωνικά Σποτ 60 - Χαμηλή ζώνη ακροαματικότητας Προηγούμενες συμφωνίες της Advertising S.A. επιβάλουν τη χρήση τουλάχιστον 12 ραδιοφωνικών σποτ την εβδομάδα. Από την άλλη μεριά επειδή η κάλυψη του ραδιόφωνου είναι πιο περιορισμένη γεωγραφικά, η Advertising S.A. δεν θέλει να δαπανήσει περισσότερο από σε διαφημίσεις ραδιόφωνου κάθε εβδομάδα. Λαμβάνοντας υπ όψη ότι το ζητούμενο στον προγραμματισμό είναι ο αριθμός των διαφημιστικών δράσεων σε κάθε μέσο, η διατύπωση του προβλήματος σε μορφή Γραμμικού Προγραμματισμού, ξεκινώντας από τον ορισμό των μεταβλητών έχει ως εξής: Μεταβλητές: Χ 1 = Αριθμός των τηλεοπτικών σποτ ανά εβδομάδα Χ 2 = Αριθμός διαφημιστικών καταχωρήσεων σε εφημερίδες Χ 3 = Αριθμός ραδιοφωνικών διαφημίσεων 30 σε ώρες υψηλής ακροαματικότητας Χ 4 = Αριθμός ραδιοφωνικών διαφημίσεων 60 σε ώρες χαμηλής ακροαματικότητας 135

26 Στόχος της Advertising είναι η μεγιστοποίηση της διαφημιστικής κάλυψης. Εφόσον γνωρίζουμε τη διαφημιστική κάλυψη για κάθε δράση σε κάθε μέσο διαφήμισης η αντικειμενική συνάρτηση διατυπώνεται ως το άθροισμα του αριθμού των οικογενειών που είναι αποδέκτες του κάθε είδους διαφημιστικού μηνύματος: Αντικειμενική συνάρτηση: Μεγιστοποίηση Διαφημιστικής Κάλυψης (σε αριθμό οικογενειών που θα δεχθούν το διαφημιστικό μήνυμα) : 5000Χ Χ Χ Χ 4 Περιορισμοί: Μία ομάδα περιορισμών αφορά τα όρια που έχουν τεθεί εκ των προτέρων για κάθε είδος διαφήμισης: Χ 1 20 Μέγιστος αριθμός τηλεοπτικών σποτ Χ 2 5 Μέγιστος αριθμός διαφημίσεων σε εφημερίδες. Χ 3 30 Μέγιστος αριθμός ραδιοφωνικών σποτ 30 Χ 4 20 Μέγιστος αριθμός ραδιοφωνικών σποτ 60 Χ 3 + Χ 4 12 Ελάχιστος αριθμός ραδιοφωνικών σποτ Μία δεύτερη κατηγορία περιορισμών αφορά το συνολικό προϋπολογισμό της διαφήμισης όσο και τον προϋπολογισμό για τη διαφήμιση στο ραδιόφωνο: 4000Χ Χ Χ Χ Χ Χ Εβδομαδιαίος προϋπολογισμός σε χιλιάδες ευρώ Όριο δαπανών για διαφημίσεις σε ράδιο Τα αποτελέσματα επίλυσης του προβλήματος με το LINDO όπου ως ονόματα των μεταβλητών έχουν χρησιμοποιηθεί συμβολικές ονομασίες, έχουν ως εξής: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST TVSPOT PAPERADS RADIO RADIO ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES TVSPOT) PAPERADS) RADIO30) RADIO60) PROYPOL) ALLRADIO) DAPRADIO)

27 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE TVSPOT PAPERADS INFINITY RADIO INFINITY RADIO INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE TVSPOT INFINITY PAPERADS RADIO INFINITY RADIO INFINITY PROYPOL ALLRADIO INFINITY DAPRADIO Παρατηρούμε ότι για τη βελτιστοποίηση της διαφημιστικής κάλυψης απαιτείται η χρήση 11,75 τηλεοπτικών σποτ, 5 διαφημίσεων σε εφημερίδες και 18 σποτ των 30 δευτερολέπτων σε υψηλή ζώνη ακροαματικότητας στο ραδιόφωνο. Το σύνολο των μηνυμάτων που θα δεχθούν οι οικογένειες της περιοχής ανέρχεται σε Το άνω όριο σε καταχωρίσεις εφημερίδων, ο συνολικός προϋπολογισμός και το όριο των δαπανών για διαφημίσεις στο ραδιόφωνο αποτελούν τους δεσμευτικούς περιορισμούς του προβλήματος, όπως φαίνεται από τις αντίστοιχες μηδενικές τιμές των μεταβλητών περιθωρίου (slack / surplus). Εξετάζοντας τις σκιώδεις τιμές των δεσμευτικών περιορισμών, βλέπουμε ότι αύξηση του προϋπολογισμού κατά ένα ευρώ θα έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της διαφημιστικής κάλυψης κατά 1,25 οικογένειες, ενώ αντίστοιχα αύξηση του ορίου για δαπάνες σε ραδιοφωνική διαφήμιση κατά ένα ευρώ θα έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της κάλυψης κατά 1,15 οικογένειες. Τέλος κάθε επιπλέον καταχώρηση σε εφημερίδες (με τον ίδιο προϋπολογισμό, και επομένως με αντίστοιχη μείωση σε άλλες κατηγορίες διαφήμισης) θα έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της κάλυψης κατά οικογένειες. Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν μέσα στα όρια των αντιστοίχων τιμών των παραμέτρων. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την περίπτωση αυξομειώσεων στον προϋπολογισμό διαφήμισης. Παρατηρώντας τα διαστήματα των τιμών των ποσοτήτων στα δεξιά μέλη των περιορισμών (RIGHT HAND SIDE RANGES) η επιτρεπόμενη αύξηση (ALLOWABLE INCREASE) στο ποσό του προϋπολογισμού είναι Επομένως η σχέση μεταβολής της διαφημιστικής κάλυψης κατά 1,25 οικογένειες για κάθε ένα ευρώ, ισχύει για αύξηση του προϋπολογισμού έως και 47000, δηλαδή έως συνολικό προϋπολογισμό διαφήμισης Αντίστοιχη είναι και η περίπτωση μείωσης του ποσού 137

28 της διαφήμισης, με επιτρεπόμενη μείωση (ALLOWABLE DECREASE) δηλαδή με ελάχιστο προϋπολογισμό ( ). Μη ακέραιες τιμές Στο πρόβλημα της μεγιστοποίησης της διαφημιστικής κάλυψης συναντάμε για πρώτη φορά την περίπτωση μη ακέραιων τιμών σε μεταβλητές που από τη φύση τους είναι αδύνατο να λάβουν κλασματικές τιμές. Πως μπορεί να υλοποιηθεί η δεδομένη λύση που περιλαμβάνει 11,75 τηλεοπτικά μηνύματα; Η εύκολη λύση της στρογγυλοποίησης της τιμής από 11,75 σε 12 δεν είναι μαθηματικά σωστή διότι οδηγεί σε μη εφικτές λύσεις (υπέρβαση του προϋπολογισμού). Στη συγκεκριμένη περίπτωση η μικρή υπέρβαση του προϋπολογισμού μπορεί να γίνει αποδεκτή από τους υπεύθυνους και να υλοποιηθεί η λύση πρακτικά. Γενικά, τα προβλήματα ΓΠ στα οποία οι τιμές των μεταβλητών περιορίζονται μόνον σε ακέραιες τιμές, χαρακτηρίζονται ως προβλήματα Ακέραιου Προγραμματισμού (Integer Programming) και απαιτούν διαφορετικούς αλγορίθμους για την επίλυση τους, που ο ενδιαφερόμενος μπορεί να βρει σε συγγράμματα Μαθηματικού Προγραμματισμού. Στο πρόβλημα που ακολουθεί παρουσιάζεται η δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού με το πρόγραμμα LINDO. 138 Επιλογή Διαφημιστικής Πολιτικής - Ελαχιστοποίηση Κόστους Στην περίπτωση αυτή, θεωρούμε ότι ο στόχος της διαφημιστικής εκστρατείας επιτυγχάνεται όταν η διαφημιστική εκστρατεία καλύψει κάποια συγκεκριμένα ποσοστά πληθυσμού και α- ναζητούμε τον οικονομικότερο συνδυασμό επιλογής διαφημιστικών μέσων με τον οποίο μπορεί να επιτευχθεί ο στόχος που έχει τεθεί. Ένα νέο κατάστημα γνωστής αλυσίδας καταστημάτων που ξεκίνησε τη λειτουργία του στην πόλη της Λάρισας, ήθελε να διαφημιστεί μέσω του ραδιόφωνου και των τοπικών εφημερίδων τόσο στην πόλη, όσο και στα περίχωρα. Με βάση την εμπειρία του από το άνοιγμα καταστημάτων της ιδίας αλυσίδας σε άλλες πόλεις, ο υπεύθυνος μάρκετινγκ του καταστήματος επιθυμεί να επιτύχει επίπεδα διαφημιστικής κάλυψης τουλάχιστον 60% μέσα στην πόλη και 40% στη γύρω περιοχή. Κάθε διαφήμιση στο τοπικό ραδιόφωνο έχει ακροαματικότητα 3% μέσα στην πόλη και 5% στα περίχωρα. Αντίθετα οι διαφημιστικές καταχωρήσεις στον τοπικό τύπο έχουν διαφημιστική κάλυψη 8% στην πόλη και 4% στα περίχωρα. Το κόστος κάθε διαφημιστικού σποτ στο ράδιο είναι 300, ενώ η κάθε καταχώρηση στις εφημερίδες στοιχίζει 400.

29 Εφαρμογές ΓΠ Επίλυση με χρήση υπολογιστή Στόχος του υπευθύνου μάρκετινγκ είναι να πετύχει τη διαφημιστική κάλυψη που επιθυμεί με όσο το δυνατόν μικρότερη δαπάνη. Η διατύπωση του προβλήματος έχει κοινά στοιχεία με την προηγούμενη περίπτωση. Και σε αυτή την περίπτωση οι μεταβλητές του προβλήματος αφορούν τον αριθμό των διαφημιστικών καταχωρήσεων σε κάθε μέσο. Έστω λοιπόν: Χ 1 = Χ 2 = Αριθμός των ραδιοφωνικών σπότ ανά εβδομάδα Αριθμός διαφημιστικών καταχωρήσεων σε εφημερίδες Η αντικειμενική συνάρτηση αφορά την ελαχιστοποίηση του κόστους διαφήμισης, το οποίο εξαρτάται από τον αριθμό των διαφημίσεων στο ραδιόφωνο (Χ 1 ) και στις εφημερίδες (Χ 2 ). Αντικειμενική Συνάρτηση: Ελαχιστοποίηση Κόστους Διαφήμισης 300Χ Χ 2 Οι περιορισμοί αφορούν την επίτευξη της ελάχιστης διαφημιστικής κάλυψης σε κάθε περιοχή. Έχουμε λοιπόν: Ελάχιστη διαφημιστική κάλυψη στην πόλη: 03Χ Χ 2.60 Ελάχιστη διαφημιστική κάλυψη στα περίχωρα: 05Χ Χ 2.40 Το πρόβλημα βέβαια σε μια πραγματική κατάσταση είναι πιο σύνθετο διότι οι εναλλακτικές λύσεις για διαφήμιση είναι περισσότερες και επιπλέον υπεισέρχονται περιορισμοί που αφορούν τη διαθεσιμότητα των μέσων διαφήμισης, τα όρια στα οποία θα κινηθεί η διαφήμιση για κάθε μέσο, καθώς και διαφοροποίηση των στόχων για διαφορετικές ομάδες πληθυσμού. Τα αποτελέσματα επίλυσης του προβλήματος με το LINDO όπου ως ονόματα των μεταβλητών έχουν χρησιμοποιηθεί συμβολικές ονομασίες, έχουν ως εξής: 139

30 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST RADIO PAPER ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES POLI) PERIXORA) NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE RADIO PAPER RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE POLI PERIXORA Η λύση του προβλήματος καταλήγει και σε αυτή την περίπτωση σε μη ακέραιες τιμές: 2,85 καταχωρήσεις στο ραδιόφωνο και 6,42 καταχωρήσεις σε εφημερίδες. Αν οι τιμές στρογγυλευτούν σε 3 και 6 καταχωρήσεις αντίστοιχα, τότε η κάλυψη στην πόλη ανέρχεται σε 57%, που υπολείπεται κατά 3% από το ελάχιστο όριο που έχει τεθεί. Όπως βλέπουμε η στρογγυλοποίηση των μεταβλητών σε ακέραιες τιμές, δεν δίνει πάντα τη βέλτιστη ακέραια λύση και σε μερικές περιπτώσεις ούτε καν μία εφικτή λύση. Ορισμός ακέραιων τιμών για τις μεταβλητές στο LINDO Σε περιπτώσεις που οι μεταβλητές πρέπει να λάβουν ακέραιες τιμές θα πρέπει να ζητηθεί η λύση μέσω αλγορίθμων ακέραιου προγραμματισμού. Η διατύπωση του προβλήματος του παραδείγματος σε πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού για επίλυση με το LINDO γίνεται με την προσθήκη, μετά το τέλος των περιορισμών, των εντολών GIN όνομα μεταβλητής (GIN=General INteger) όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: 140